向量题型归纳(全)

向量题型归纳(全)

平面向量部分常见的题型

类型（一）：向量共线问题

1.设向量a=(2,1)，b=(2,3)，若向量λa+b与向量c=(-4,-7)共线，则λ=?

2.已知A(1,3)，B(-2,-3)，C(x,7)，设AB=a，BC=b且a∥b，则x=?

3.已知a=(1,2)，c=25，且a∥c，求c的坐标。

4.n为何值时，向量a=(n,1)与向量b=(4,n)共线且方向相同？

5.已知a,b不共线，c=ka+b，d=a-b，如果c∥d，那么k=？c与d的方向关系是？

类型（二）：向量的垂直问题

1.已知向量a=(1,n)，b=(-1,n)，若2a-b与b垂直，则a=?

2.已知a=2,b=4，且a与b的夹角为π/3，若ka+2b与ka-2b垂直，求k的值。 3.已知单位向量m和n的夹角为π/3，求证：(2n-m)⊥m。

4.已知a=(4,2)，求与a垂直的单位向量的坐标。

5.已知a∥b，c⊥(a+b)，则c=？

类型（三）：向量的夹角问题

1.平面向量a,b，满足a=1,b=4且满足a·b=2，则a与b的夹角为？

2.已知非零向量a,b满足a=b，(a-b)·(2a+b)=-4且a=2，b=4，则a与b的夹角为？

3.已知平面向量a,b满足|a|=|b|，a+b=c，则⟨a,b⟩=？

4.设非零向量a、b、c满足|a|=|b|=|c|，a+b=c，则⟨a,b⟩=？

5.已知a=2,b=3,a+b=7，求a与b的夹角。

6.若非零向量a,b满足a=b，(2a+b)·b=0，则a与b的夹角为？

类型（四）：求向量的模的问题

1.已知零向量a=(2,1)，a·b=10，a+b=5，求b=？

2.已知向量a=1,b=2，a-b=2，则a+b=？ 3.已知向量a=(1,3)，b=(-2,x)，则a+b=？

4.已知向量a=(1,sinθ)，b=(1,cosθ)，则a-b的最大值为？

5.设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，BC=16，AB+AC=AB-AC，则AM=？

平面向量部分常见的题型

类型（一）：向量共线问题

1.已知向量a=(2,1)，b=(2,3)，若向量λa+b与向量c=(-4,-7)共线，则λ=？

2.已知A(1,3)，B(-2,-3)，C(x,7)，设AB=a，BC=b且a∥b，则x=？

3.已知a=(1,2)，c=25，且a∥c，求c的坐标。

4.若向量a=(n,1)与向量b=(4,n)共线且方向相同，则n=多少？

5.已知a,b不共线，c=ka+b，d=a-b，如果c∥d，那么k=？c与d的方向关系是？

类型（二）：向量的垂直问题

1.已知向量a=(1,n)，b=(-1,n)，若2a-b与b垂直，则a=？

2.已知a=2,b=4，且a与b的夹角为π/3，若ka+2b与ka-2b垂直，求k的值。

3.已知单位向量m和n的夹角为π/3，求证：(2n-m)⊥m。

4.已知a=(4,2)，求与a垂直的单位向量的坐标。

5.已知a∥b，c⊥(a+b)，则c=？

类型（三）：向量的夹角问题

1.平面向量a,b，满足a=1,b=4且满足a·b=2，则a与b的夹角为？

2.已知非零向量a,b满足a=b，(a-b)·(2a+b)=-4且a=2，b=4，则a与b的夹角为？

3.已知平面向量a,b满足|a|=|b|，a+b=c，则⟨a,b⟩=？

4.设非零向量a、b、c满足|a|=|b|=|c|，a+b=c，则⟨a,b⟩=？

5.已知a=2,b=3,a+b=7，求a与b的夹角。

6.若非零向量a,b满足a=b，(2a+b)·b=0，则a与b的夹角为？

类型（四）：求向量的模的问题

1.已知零向量a=(2,1)，a·b=10，a+b=5，求b=？

2.已知向量a=1,b=2，a-b=2，则a+b=？

3.已知向量a=(1,3)，b=(-2,x)，则a+b=？

4.已知向量a=(1,sinθ)，b=(1,cosθ)，则a-b的最大值为？

5.设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，BC=16，AB+AC=AB-AC，则AM=？

注：在改写过程中，主要是对标点符号、数字、字母大小写、符号等进行了修正，同时对一些表述不太清晰的地方进行了简单修改。

1.已知$a=5,b=4$，$a$与$b$的夹角$\theta=\frac{2\pi}{3}$，则向量$b$在向量$a$上的投影为$\frac{3}{2}$。

2.已知点$A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4)$，则向量$\overrightarrow{AB}$在$\overrightarrow{CD}$方向上的投影为$\frac{3}{\sqrt{2}}$。

3.在直角三角形$ABC$中，$\angle C=\frac{\pi}{2}$，$AC=4$，则$AB\cdot AC=2\sqrt{2}$。

4.关于$a\cdot b=a\cdot c$且$a\neq 0$，正确的说法有4个。 5.在向量组中，只有选项$C$可以表示向量$a=(3,2)$。

6.设$D$为$\triangle ABC$所在平面内一点，$BC=3CD$，则$AD=\frac{2}{3}AB-\frac{1}{3}AC$。

7.在$\triangle ABC$中，$CA=b$，$a\cdot b=\frac{1}{2}$，$|a|=1$，$|b|=2$，$AB$边的高为$CD$，若$CB=a$，则$AD=\frac{1}{3}(a-b)$。

8.设$D,E$分别是$\triangle ABC$的边$AB,BC$上的点，$AD=\frac{1}{2}DE+\frac{1}{2}AC$，则$\lambda+\mu=\frac{3}{4}$。

9.向量$a,b,c$在正方形网格中的位置如图所示，若$c=\lambda a+\mu b$，则无法确定$\lambda,\mu$的值。

10.在$\triangle ABC$中，$M$是$BC$的中点，$AM=3$，$BC=10$，则$AB\cdot AC=145$。

11.已知正方形$ABCD$的边长为$l$，点$E$是$AB$边上的动点，则$DE\cdot CB=\frac{1}{2}l^2$，$DE\cdot DC$的最大值为$\frac{1}{2}l^2$。

12.在平行四边形$ABCD$中，$AP\perp BD$，$AP=3$且$\angle PAC=\theta$，则$AD=2\sqrt{3}\cot\theta$。

13.在矩形$ABCD$中，若$AB\cdot AF=2$，则$AD^2+BD^2=5$。 在三角形ABC中，AD垂直于AB，BC等于3倍的BD，AD等于1.求AC乘以AD的值。

解析：由题意可知，BD等于BC的三分之一，即BD等于1.又因为AD垂直于AB，所以三角形ABD是直角三角形。根据勾股定理可得AB的平方等于AD的平方加上BD的平方，即AB的平方等于1加上1/9，即AB等于√10/3.因为AC等于AB加上BC，所以AC等于2倍的AB，即AC等于2/3乘以√10.所以AC乘以AD等于1/3乘以√10.

在平行四边形ABCD中，已知AB等于8，AD等于5.求BC的长度。

解析：因为ABCD是平行四边形，所以AB等于CD，AD等于BC。又因为AB等于8，AD等于5，所以CD等于8，BC等于5.