(完整版)平面向量题型归纳总结

资料 平面向量题型归纳

一．向量有关概念：【任何时候写向量时都要带箭头】

1．向量的概念：既有大小又有方向的量，记作：AB或a。注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。

例：已知A（1,2），B（4,2），则把向量AB按向量a＝（－1,3）平移后得到的向量是

2.向量的模：向量的大小（或长度），记作：||AB或||a。

3．零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的；

4．单位向量：单位向量：长度为1的向量。若e是单位向量，则||1e。(与AB共线的单位向量是||ABAB)；

5．相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；

6．平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，记作：a∥b，规定零向量和任何向量平行。

提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；

②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；

③平行向量无传递性！（因为有0)；

④三点ABC、、共线 ABAC、共线；

如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中正确的是 （

）

A.ABCD B.ABADBD C.ADABAC D.ADBC0

7．相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是－a、ABBA。例：下列命题：（1）若ab，则ab。（2）若,abbc，则ac。（6）若//,//abbc，则//ac。（3）若ABDC，则ABCD是平行四边形。（4）若ABCD是平行四边形，则ABDC。其中正确的是_______

题型1、基本概念

1：给出下列命题：

①若|a|＝|b|，则a=b；②向量可以比较大小；③方向不相同的两个向量一定不平行；

④若a=b，b=c，则a=c；⑤若a//b，b//c，则a//c；⑥00a；⑦00a；

其中正确的序号是 。 资料 2、基本概念判断正误：（1）共线向量就是在同一条直线上的向量。

（2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。

（3）与已知向量共线的单位向量是唯一的。

（4）四边形ABCD是平行四边形的条件是ABCD。

（5）若ABCD，则A、B、C、D四点构成平行四边形。

（6）因为向量就是有向线段，所以数轴是向量。

（7）若a与b共线， b与c共线，则a与c共线。

（8）若mamb，则ab。 （9）若mana，则mn。

（10）若a与b不共线，则a与b都不是零向量。

（11）若||||abab，则//ab。 （12）若||||abab，则ab。

二、向量加减运算

8.三角形法则：

ABBCAC；ABBCCDDEAE；ABACCB（指向被减数）

9.平行四边形法则：

以,ab为临边的平行四边形的两条对角线分别为ab，ab。

题型2.向量的加减运算

1、化简()()ABMBBOBCOM 。

2、已知||5OA,||3OB,则||AB的最大值和最小值分别为 、 。

3、在平行四边形ABCD中，若ABADABAD，则必有 ( )

A. 0AD B. 00ABAD或 C. ABCD是矩形 D. ABCD是正方形

题型3.向量的数乘运算 资料 1、计算：（1）3()2()abab （2）2(253)3(232)abcabc

题型4.作图法求向量的和

1、已知向量,ab，如下图，请做出向量132ab和322ab。

a

b

题型5.根据图形由已知向量求未知向量

1、已知在ABC中，D是BC的中点，请用向量ABAC，表示AD。

2、在平行四边形ABCD中，已知,ACaBDb，求ABAD和。

资料

题型6.向量的坐标运算

1、已知(1,4),(3,8)ab，则132ab

。

练习：若物体受三个力1(1,2)F,2(2,3)F,3(1,4)F,则合力的坐标为 。

2、已知(3,5)PQ，(3,7)P，则点Q的坐标是 。

3、.已知(3,4)a，(5,2)b，求ab，ab，32ab。

2、已知(1,2),(3,2)AB,向量(2,32)axxy与AB相等，求,xy的值。

资料

5、已知O是坐标原点，(2,1),(4,8)AB，且30ABBC，求OC的坐标。

三．平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数1、2，使a=1e1＋2e2。

基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。

题型7.判断两个向量能否作为一组基底

1、已知12,ee是平面内的一组基底，判断下列每组向量是否能构成一组基底：

A.1212eeee和 B.1221326eeee和4 C.122133eeee和 D.221eee和

练习：下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）

(A))2,1(),0,0(21ee (B) )7,5(),2,1(21ee

(C) )10,6(),5,3(21ee (D) )43,21(),3,2(21ee

2、.已知(3,4)a，能与a构成基底的是（ ）

A.34(,)55 B.43(,)55 C.34(,)55 D.4(1,)3 资料 3、知向量e1、e2不共线，实数(3x-4y)e1＋(2x-3y)e2 =6e1+3e2 ,则x－y的值等于

4、设21,ee是两个不共线的向量，2121212,3,2eeCDeeCBekeAB，若A、B、D三点共线，求k的值.

5、平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1),B(-1,3),若点C(x, y)满足OC=αOA+βOB，其中α,β∈R且α+β=1，则x, y所满足的关系式为 （ ）

A．3x+2y-11=0 B．(x-1)2+(y-2)2=5 C．2x-y=0 D．x+2y-5=0

四．平面向量的数量积：

1．两个向量的夹角：对于非零向量a，b，作,OAaOBb，AOB

0称为向量a，b的夹角，当＝0时，a，b同向，当＝时，a，b反向，当＝2时，a，b垂直。

实数与向量的积：实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的长度和方向规定如下：1,2aa当>0时，a的方向与a的方向相同，当<0时，a的方向与a的方向相反，当＝0时，0a，注意：a≠0。

例1、已知,ADBE分别是ABC的边,BCAC上的中线,且,ADaBEb,则BC可用向量,ab表示为_____

例2、已知ABC中，点D在BC边上，且DBCD2，ACsABrCD，则sr的值是

2．平面向量的数量积：如果两个非零向量a，b，它们的夹角为，我们把数量||||cosab叫做a与b的数量积（或内积或点积），记作：a•b，即a•b＝cosab。规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。

3．向量的运算律：

1．交换律：abba，aa，abba••；

2．结合律：,abcabcabcabc，ababab•••；

3．分配律：,aaaabab，abcacbc•••。

题型8：有关向量数量积的判断

1：判断下列各命题正确与否：

（1）)()(cbacba；（2）若abac，则bc当且仅当0a时成立；

（3）cbcacba)(；（4）()()abcabc对任意,,abc向量都成立； 资料 （5）若0,aabac，则bc；（6）对任意向量a，有22aa。

(7)m（ba）=ma+mb 其中正确的序号是 。

2、下列命题中：① cabacba)(；② cbacba)()(；③

2()ab2||a22||||||abb；④ 若0ba，则0a或0b；⑤若,abcb则ac；⑥22aa；⑦2abbaa；⑧222()abab；⑨222()2abaabb。其中正确的是______

题型9、求单位向量 【与a平行的单位向量：||aea】

1.与(12,5)a平行的单位向量是 。2.与1(1,)2m平行的单位向量是

题型10、数量积与夹角公式：||||cosabab； cos||||abab

向量的模：若(,)axy，则22||axy，22||aa，2||()abab

1、△ABC中，3||AB，4||AC，5||BC，则BCAB_________

2、已知11(1,),(0,),,22abcakbdab，c与d的夹角为4，则k等于____

3、已知||3,||4ab，且a与b的夹角为60，求（1）ab，（2）()aab， （3）1()2abb，（4）(2)(3)abab。

4、已知,ab是两个非零向量，且abab，则与aab的夹角为____

5、已知(3,1),(23,2)ab，求a与b的夹角。