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南京大学数学分析，高等代数考研真题
南京大学 2002 年数学分析考研试题
一 求下列极限。
(1 x)x cos x
（1） lim 2 ；
x sin x )ln(1 x) (sin x
2
（2）设 f ( x) x ln( a x) ， x ( , a) ，
（ i） f ( x) 在 ( , a) 上的最大值；
（ ii ）设 x1 ln a ， x2 ln( a x1 ) ， xn 1
二 设 f ( x) sin x 1 f (x) 在 [2, ，试证明
ln x
三 设 f ( x) 在 x 0 的某个邻域内连续，且 f (0)
（ 1）求 f (0) ；
f ( x)
（ 2）求 lim 2 ；
x 0 x
f ( xn ) ， ( n 2,3, ) ，求 lim xn 。
n
) 内有无穷多个零点。
0 ， lim f ( x) ， 2
x 0 1 cosx
（ 3）证明 f ( x) 在点 x 0 处取得最小值。
四 设 f ( x) 在 x 0 的某个邻域内具有二阶连续导数，且lim f (x) 0 ，试证明：
x 0 x
（ 1） f (0) f (0) 0 ；
（ 2）级数 f ( 1 ) 绝对收敛。
n 1 n
五 计算下列积分
（ 1）求 xex
dx；
ex 1
（2） I zxdydz xydzdx yzdxdy，其中 S 是圆柱面 x2 y2 1，三个坐标平面及
S
旋转抛物面 z 2 x2 y2 所围立体的第一象限部分的外侧曲面。
六 设 f ( x) C[a, b] ， f ( x) 在 ( a, b) 内可导， f (x) 不恒等于常数，且 f (a) f (b) ，
2020哈工大数分
1. 判断以下命题成立与否，并给出证明
（1） 𝑓(
𝑥)
在𝑥=0的任意领域上无界，则当𝑥→0时，𝑓(
𝑥)
为无穷大。
（2） 数列{𝑎
𝑛}的无穷多个子列都收敛于𝑎，是否可以断定lim
𝑛→∞𝑎
𝑛=𝑎。
（3） 设𝑓(
𝑥)
在有限闭区间[
𝑎,𝑏]
上处处都可导，则𝑓′
(
𝑥)
有界。
（4） 非负数列{𝑢
𝑛}满足𝑢
𝑛=𝑜(1
𝑛)，则∑
𝑢
𝑛∞
𝑛=1收敛。
（5） 设𝑓(
𝑥,𝑦)
在(
0,0)
上的偏导数都存在，则𝑓(
𝑥,y)
在(
0,0)
上连续。
2. 设lim
𝑛→∞𝑎
𝑛=𝑎，证明
lim
𝑛→∞12𝑎
1+23𝑎
2+⋯+𝑛
𝑛+1
𝑛=𝑎
3. 叙述闭区间连续函数的Cantor定理，并证明。
4. 函数𝑓(
𝑥)
在(
0,𝑎]
上可导，则
（1）
√
𝑥𝑓′
(
𝑥)
在(
0,𝑎]
上有界，求证𝑓(
𝑥)
在(
0,𝑎]
上一致连续；
（2） lim
𝑥→0+√
𝑥𝑓′
(
𝑥)
在(
0,𝑎]
上存在，求证𝑓(
𝑥)
在(
0,𝑎]
上一致连续。
5. 函数𝑓(
𝑥)
在[
𝑎,𝑏]
上具有连续的二阶导数，则存在𝑐∈[
𝑎,𝑏]
，使得
∫𝑓(
𝑥)
𝑑𝑥𝑏
𝑎=(
𝑏−𝑎)
𝑓(𝑎+𝑏
2)+1
24(
𝑏−𝑎)3
𝑓′′
(
𝑐)
6. 讨论∑
ln(1+(
−1)𝑛
𝑛
𝑝)∞
𝑛=1的收敛性和绝对收敛性(
𝑝>0)
7. （1） 数列的和∑
𝑢
𝑛∞
𝑛=1在区间𝐼上一致收敛，求证其一般项𝑢
𝑛在𝐼上一致收
敛于0；
（2） 讨论级数
∑2𝑛
sin1
3𝑛
𝑥∞
𝑛=1
在𝑥>0上的一致收敛性。
8. （1） 方程：
𝑥2
+2𝑦+cos(
𝑥𝑦)
=0
在(
0,0)
的充分小领域上确定唯一的连续函数𝑦=𝑦(
𝑥)
，使𝑦=𝑦(
0)
（2） 讨论𝑦=𝑦(
𝑥)
在𝑥=0处的可微性
（3） 求极限lim
历年真题解析 【内部资料】
完整版资料请查看来源网站：/thread-433785-1-1.html 南开大学考研历年真题解析 ——701数学分析 主编：弘毅考研 【资料说明】 1.命题风格与试题难易 弘毅教育出品 历年真题解析 【内部资料】
完整版资料请查看来源网站：/thread-433785-1-1.html 南开大学数学分析试题一直很基础，比高代要简单一些，高等代数偶尔还出个压轴题，数学分析最近几年也不出压轴题了，都是常规题，基础题就要占到70%，其它也就算中档题。例如2012的数学分析试题最后一题也不属于难题，做过裴礼文的《数学分析中的典型问题与方法》再做这题十分简单，利用定义就可以了。常规一直是南开大学数学分析的风格，没有什么偏题怪题，并且中低档题足够考个110分以上（数学专业的分数线一直不高），这估计大家很喜欢报考。 2.考试题型与分值 南开数学分析考试题型全是解答题，没有其它题型。解答题也就计算题和证明题，计算题比重占的比重也很大，例如2012年就要占到大概50%，其它也不能说全是证明，会有一部分判断，对的证明之，不对的举出反例。证明题的难度要比计算题相对大一些。 3.各章节的出题比重 南开大学数学分析真题的出的变换比较大，每年考的知识点都在变化，这一点和其它一些大学很不一样。数学分析本来变化就很大，这和其它学科很不一样。 但有一些重要的知识点一定会在某一年考到。例如，一致连续（2012年考到），一致收敛（2011年考到），广义积分的敛散性判别（2011年考到），重积分曲线积分和曲面积分（每年几乎必考到，例如2008,2009,2010两个题，2011,2012两题），和函数的计算（几乎必考，重中之重）等等。但其他知识点也绝对不能忽略。这主要是因为南开试题变换大，今年考的明年不一定不考，今年不考的明年还可能考。 4.重要的已考知识点 特别重要的只是点就是求和函数（很重要，经常出，例如2012,2010,2009年等），曲线积分和曲面积分（几乎每年必出），一致连续（2012年考到），一致收敛（重中之重！而且也十分容易考到，这也是数学分析中的重中之重，考到分值就会很大。例如2011年），求极限（虽然简单，但也几乎每年必出，2003-2012只有2009年没出极限其它年份每年必出极限）。还有就是中值定理，含参变量的积分，以及数项级数敛散性的判别，广义积分敛散性的判别（2011年考到，此题还是不简单的），积分不等式等等。 5.联系热点的出题方式 数学分析是基础学科，科目变化不大，和热点的联系很小。 6.反复变化的出题方式 例如求极限每年都在出现，玩着花样的出现，但这比较简单，方法也很多，大多还是建议用最简单快捷的方法做出，例如Taylor展式，等价无穷小等等。中值定理也是 历年真题解析 【内部资料】
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