中国科学院大学2013年《数学分析》考研专业课真题试卷

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1 2013年考研数学三真题及答案

一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．

１．当0x时，用)(xo表示比x高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（ ）

（A）)()(32xoxox （B）)()()(32xoxoxo

（C）)()()(222xoxoxo （D）)()()(22xoxoxo

【详解】由高阶无穷小的定义可知（A）（B）（C）都是正确的，对于（D）可找出反例，例如当0x时)()(),()(2332xoxxgxoxxxf，但)()()(xoxgxf而不是)(2xo故应该选（D）．

2．函数xxxxxfxln)1(1)(的可去间断点的个数为（ ）

（A）0 （B）1 （C）2 （D）3

【详解】当0lnxx时，xxexxxxln~11ln，

1lnlnlimln)1(1lim)(lim000xxxxxxxxxfxxxx，所以0x是函数)(xf的可去间断点．

21ln2lnlimln)1(1lim)(lim011xxxxxxxxxfxxxx，所以1x是函数)(xf的可去间断点．

xxxxxxxxxfxxxxln)1(lnlimln)1(1lim)(lim111，所以所以1x不是函数)(xf的可去间断点．

故应该选（C）．

３．设kD是圆域1|),(22yxyxD的第k象限的部分，记kDkdxdyxyI)(，则（ ）

（A）01I （B）02I （C）03I （D）04I

【详解】由极坐标系下二重积分的计算可知

22122110222)1(|cossin31)sin(sin31)cos(sin)(kkkkkkDkddrrddxdyxyIk

2013年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)

1.已知极限0arctanlimkxxxcx，其中k，c为常数，且0c，则（ ）

A. 12,2kc B. 12,2kc C. 13,3kc D. 13,3kc

【考点分析】：无穷小的比较，同阶无穷小，洛必达法则的应用。

【求解过程】：D

0arctanlimkxxxx210111limkxxkx（洛必达法则）=22101limkxxxkx23011limkxxkx301limkxkx

由于c为常数，则k-3=0，即k=3，因此13c。

【方法总结】：此类题目为典型的基础题，历年真题中出现若干次，也是一种经典的练习题目，此类题目解题方法比较固定，无非就是，洛必达法则，等价无穷小代换和泰勒公式的使用，读者对这类题目只要打好基础，多多练习即可；若此类问题解决不好，一定要充分的复习基础，考研数学基础第一。

2.曲面2cos()0xxyyzx在点(0,1,1)处的切平面方程为（ ）

A. 2xyz B. 0xyz C. 23xyz D. 0xyz

【考点分析】：切平面方程求法。

【求解过程】：A

一个曲面在某个点的切平面方程，核心就是该点处的法向量。法向量为（Fx，Fy，Fz）

Fx=2sin()1xyxy=1

Fy=sin()xxyz=1

Fz=1y

求得法向量为（1，-1，1），因此2xyz。

【方法总结】：同样是考查基础的题目，详情见高数（同济版下册）98页，关于切平面和切线的求法要熟练，教材中例题和本题十分相似，不再赘述。

3.设1()2fxx，102()sin(1,2,)nbfxnxdxn，令1()sinnnSxbnx，则9()4S（ ）

复习题

2009级研究生《数值分析》试卷

一.(6分) 已知描述某实际问题的数学模型为xyyxyxu223),(，其中，yx,由统计方法得到，分别为4,2yx,统计方法的误差限为0.01,试求出u的误差限)(u和相对误差限)(ur.

二.(6分) 已知函数13)(3xxf计算函数)(xf的2阶均差]2,1,0[f,和4阶均差]4,3,2,1,0[f.

三.(6分)试确定求积公式: )]1(')0('[121)]1()0([21)(10ffffdxxf的代数精度.

四.(12分) 已知函数122)(23xxxxf定义在区间[-1,1]上,在空间},,1{)(2xxSpanx上求函数)(xf的最佳平方逼近多项式.

其中,权函数1)(x,154))(),((,1532))(),((,34))(),((210xxfxxfxxf.

五.(16分) 设函数)(xf满足表中条件:

k 0 1 2

kx 0 1 2

)(kxf 1 0 1

)('kxf -2 0

(1) 填写均差计算表(标有*号处不填):

k kx ][kxf ],[1kkxxf ],,[21kkkxxxf

0 0 *** ***

1 1 ***

2 2

(2) 分别求出满足条件)2,1,0(),()(),()(22kxfxNxfxLkkkk的 2次 Lagrange 和

Newton差值多项式.

(3) 求出一个四次插值多项式)(4xH,使其满足表中所有条件.并用多项式降幂形式表示.

六.(16分)

(1). 用Romberg方法计算31dxx,将计算结果填入下表(*号处不填).

k kT2 12kS 22kC 32kR

0

*** *** ***

1 *** ***

2 2.79306 2.79734 2.79740 ***

3 2.79634

北 京 科 技 大 学

2013年硕士学位研究生入学考试试题

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试题编号： 613 试题名称： 数学分析 （共 2 页）

适用专业： 数学，统计学

说明： 所有答案必须写在答题纸上，做在试题或草稿纸上无效。

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1．（20分） （1）、设,,()zfxyuxyxFu，其中F为可微函数，且yux，证明： zzxyzxyxy.

（2）、设zyux，求： 22,uuzz。

2．（20分）（1）设()fx在,ab上连续, 21()(),4bbaafxdxfxdx 则存在(,),ab使得 21()().4()ffba

（2）求极限1

0limedxxtxt

3. (20分) 设()e, 0()0, 0xgxxfxxx，其中()gx有二阶连续的导数，且(0)1g，(0)1g，求()fx, 并讨论()fx在(,)上的连续性.

4．（15分）设()fx在0,1上连续可微, 且(0)0,(1)1,ff求证：

（1） [0,1],|()()|().xxfxfxefx