第5章 系统工程-结构模型ISM

1 结构模型ISM(Interpretive Structure Model)

邻接矩阵的数学形式 （图论－矩阵）（见后面）

设系统S有n个元素，

S=［e1、e2、…en］

则邻接矩阵

A 111112112212221121212nnnnnnnnSeaaaSeaaaSeaaanSSSeee

1 当Si对Sj有影响

其中各元素 aij＝

0 当Si对Sj无影响

这是布尔矩阵，应遵循布尔矩阵运算规则

①逻辑和 AUB＝C （C为布尔矩阵对应元素）

cijaijUbijmax,ijijab

②逻辑乘 AB＝C （C为布尔矩阵对应元素）

cijaijbijmin,aijbij

③A和B乘积

AB=D dijai1 b1ja12b2j…

innjikkji11ji22jinnj1a ba b󰀀=max min(a,b),min(a,b),,min(a,b)nk

2 邻接矩阵的性质

①邻接矩阵与系统结构模型图一一对应

12345123450000010000100100010000100eeeeeeeeee

③邻接矩阵A转置后的AT是与A相应的结构模型图

箭头反过来后的图的相应的邻接矩阵

010001010 123123000101010eeeeee

③邻接矩阵中如有一列元素都是0（如第I列），则ei是系统的源点，如图中的（e5），1 2 3 1

2 3 e1

e3 e4

e5 e2 3 如有一行（如K行）元素全为0，则ek为汇点，如图中的e1

④如果从ei出发经k段支路到达ej， 我们就说ei与ej之间有“长度”为k的通路存在。我们计算AK，得出的n×n方阵中各元素表示的便是相应各单元间有无“长度”为k的通路存在。以上图为例

122345000000000000000100001000000000100101001000100001000010010010001000010010010eeeeeA

三行三列的1表示e3对e1有经过e4的间接影响

四行一列的1表示e4对e1有经过e3的间接影响

⑤如果我们需要知道从某一单位出发可能到达哪一些单元，则可以把A（直接地）、A2，A3…（间接地）结合在一起进行研究，取

R＝AA2A3…An

有时为方便起见，我们认为任何Si到自身也是可达的，这再加一个单位短阵，取

R＝IAA2A3…An

我们称R为可达矩阵，R也是n×n方阵，其每元素Cij表明Si可否达到Sj

R的简便算法（上式占有存贮单元多）

考虑到

（IA）2＝［I（IA）］[A(IA)]=IAA2

以此类推

（IA）n=IAA2…An＝R

所以只算（IA）n就可以了

不仅计算量少，而且存储中间结果少，

R＝（IA）5＝5100000000010000010001000011000001001001010110000100010010110000010010010111它表明，e1能达到本身，e2可达e1，e2，e3；e4可达e1，e3，e4；e5可达e1，e3，e4和本身e5

⑥如有回路存在，R中必有子矩阵是满阵，如R中三，四行和三，四列元素都是1，对应于e3和e4的回路，我们称从e3到e4与e4到e3都有连接的关系称为强连接。 4 ⑦如结构模型图中无回路，则必然有这样一个()vvn存在，使得

0,KAKv

如果从可达矩阵看，则必然是

TRRI

设已知 可达矩阵

1000011000101101011010111

求其结构模型图？

共有五个步骤对可达矩阵进行分解

(1)，1();SSZZ 关系划分

(2)，212(),,,,kELLL级别划分

(3)，3(),EIK分部划分

(4)，判明4()kL是否强连接(有否回路)？

(5)，512(),,,,PECCC如有强连接，求最大回路？

5

结构模型的建立(Structural Model)

l

人 计算机

SM是由人和计算机通过多次对话建立起来的。

建模步骤

一般工程系统因系统由各个零件和子系统按一定方式结合而成的邻接矩阵比较容易得到；但复杂系统特别是社会、经济系统则可达矩阵易得 (因为容易判断有无关系)，但邻接矩阵不易得(分不清直接、间接)

所以分两步：

第一步：先通过人机对话求可达矩阵；

第二步：再经过一定处理求结构模型。

第二步：由可达矩阵求结构模型

为构成结构模型，需划分关系，明确系统的层次与结构细节。

(一)关系划分1()SS

按各元素之间是否可达，划分为两大类,ZZ；存在关系为Z，否则为Z。根据可达矩阵，元素是1或0，很容易划分。公式为

1();SSZZ

意识模型

Mental Model 可达矩阵

reachability

matrix 矩阵模型

(结构)

元素、关系

结构模型

(多级有向图)

供决策用文件 6 已知某系统表达矩阵为

12345671234567100010101000000010110.0101000000010000101100000101SSSSSSSSSSSSSS 共49个元素，有15个1，34个0，划分后：

1();[(1,1),(1,5),(1,7),(2,2),(3,3),(3,5),(3,6),(7,5),(7,7)][(1,2),SSZZ

(1,3),(1,4),(1,6),(7,6)]

(二)级别划分

2.1对每一单元Si 我们把Si可达的单元汇成一个集合，称为Si的可达集(或后果集)R(Si)；再把所有可达到Si的单元汇成一个集合，称为Si的前因集A(Si)。从可达矩阵很容易得到这两个集合。在Si行中元素为1的列单元都在R(Si)之内，

在Si列中元素为1的行单元都在A(Si)之内，

2.2 Si为最上级单元的条件为

()()()iiiRSRSAS

212(),,,kSLLL

得出最上级，暂时去掉,用同法可得次一级。可用公式表示级别划分

为便于表达，可引入第零级L0，它是个空集0L，则各级中元素的迭代求法可用下列公式表述：

011111()()()jijjijijiLSSLLLRSRSAS

其中1()jiRS与1()jiAS分别表示从(011jSLLL)子集中求得的Si的可达集与前因集。实际应用时用下列的表。

7 2.3表

表一

从表中可见，L1=[2，5](最上级的单元)

表二

L2=[3，4，6，7]——第二级

去掉3，4，6，7按012SLLL去找可得

表三

因此 L3=[1]

(三)分部划分3()S

把系统划分成为无直接或间接联系的几个部分，步骤自下而上。

第一步首先求底层单元B 单元iS 可达集()iRS 前因集()iAS ()()iiRSAS

1 1，5，7 ——1行 1——1列 1

2 2 ——2行 2，4——2列 2

3 3，5，6 ——3行 3，6——3列 3，6

4 2，4 ——4行 4——4列 4

5 5 ——5行 1，3，5，6，7——5列 5

6 3，5，6 ——6行 3，6——6列 3，6

7 5，7 ——7行 1，7——7列 7

单元iS 可达集()iRS 前因集()iAS ()()iiRSAS

1 1，7 1 1

3 3，6 3，6 3，6

4 4 4 4

6 3，6 3，6 3，6

7 7 1，7 7

单元iS 可达集()iRS 前因集()iAS ()()iiRSAS

1 1 1 1 8 ()()()iiiiBSSASASRS

本例1，3，4，6四个单元合乎上述条件

第二步再求哪些单元和它们是在一个部分(有向图)之 内。

如Si,Sj的可达集有共同单元就是R(Si) ，R(Sj)的交集不是空集。

[()()]ijRSRS

则它们是同一个部分之内

本例中，R(1)，R(3)，R(5)，R(6)，R(7)中有共同单元S5，即

[(1)(3)(5)(6)(7)][5]RRRRR

所以13567,,,,SSSSS在一部分里，而因为4()RS中与S1，S3，S6无共同单元。所以可以肯定S4不在这一部分之内：

(1)(4)(3)(4)(6)(4)RRRRRR

第三步

2()S我们再根据各可达矩阵中的单元，就可以确定，S5与S7是在S1，S3，S5，S6那一部分里，S2在S4那一部分里，因此

3()1,3,5,6,7;2,4S，我们从横的方面把七个单元分为两块

(四)是否强连接单元的划分4()S

4.1判别准则

如某单元不属于强连接部分，则对本层来说，它的可达集正是它本身，即

()kiLiSRS

klR中kL表明只对K级这一层言

这样，可得各层类是否有强连接

(级)分成两类，一内的，称类；

即 4(),kLIk，

I和K中很可能有一个是空集，但不都是空集。