(word完整版)高二空间向量知识点归纳总结,推荐文档

高中数学知识点总结空间向量与立体几何一、考点概要：1、空间向量及其运算1〕空间向量的根本知识：①定义：空间向量的定义和平面向量一样，那些具有大小和方向的量叫做向量，并且仍用有向线段表示空间向量，且方向相同、长度相等的有向线段表示相同向量或相等的向量。

②空间向量根本定理：ⅰ定理：如果三个向量不共面，那么对于空间任一向量，存在唯一的有序实数组x、y、z，使。

且把叫做空间的一个基底，都叫基向量。

ⅱ正交基底：如果空间一个基底的三个基向量是两两相互垂直，那么这个基底叫正交基底。

ⅲ单位正交基底：当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称为单位正交基底，通常用表示。

ⅳ空间四点共面：设O、A、B、C是不共面的四点，那么对空间中任意一点P，都存在唯一的有序实数组x、y、z，使。

③共线向量〔平行向量〕：ⅰ定义：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量，记作。

ⅱ规定：零向量与任意向量共线；ⅲ共线向量定理：对空间任意两个向量平行的充要条件是：存在实数λ，使。

④共面向量：ⅰ定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量；空间的任意两个向量都是共面向量。

ⅱ向量与平面平行：如果直线OA平行于平面或在α内，那么说向量平行于平面α，记作。

平行于同一平面的向量，也是共面向量。

ⅲ共面向量定理：如果两个向量、不共线，那么向量与向量、共面的充要条件是：存在实数对x、y，使。

ⅳ空间的三个向量共面的条件：当、、都是非零向量时，共面向量定理实际上也是、、所在的三条直线共面的充要条件，但用于判定时，还需要证明其中一条直线上有一点在另两条直线所确定的平面内。

ⅴ共面向量定理的推论：空间一点P在平面MAB内的充要条件是：存在有序实数对x、y，使得，或对于空间任意一定点O，有。

⑤空间两向量的夹角：两个非零向量、，在空间任取一点O，作，〔两个向量的起点一定要相同〕，那么叫做向量与的夹角，记作，且。

⑥两个向量的数量积：ⅰ定义：空间两个非零向量、，那么叫做向量、的数量积，记作，即：。

空间向量知识点总结1。

直线的方向向量和平面的法向量 ⑴．直线的方向向量：若A 、B 是直线l 上的任意两点，则AB 为直线l 的一个方向向量；与AB 平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量. ⑵．平面的法向量：若向量n 所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作n α⊥,如果n α⊥，那么向量n 叫做平面α的法向量。

⑶．平面的法向量的求法(待定系数法)： ①建立适当的坐标系．②设平面α的法向量为(,,)n x y z =．③求出平面内两个不共线向量的坐标123123(,,),(,,)a a a a b b b b ==．④根据法向量定义建立方程组00n a n b ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩。

⑤解方程组，取其中一组解,即得平面α的法向量.（如图）2。

用向量方法判定空间中的平行关系 ⑴线线平行设直线12,l l 的方向向量分别是a b 、，则要证明1l ∥2l ，只需证明a ∥b ，即()a kb k R =∈。

即:两直线平行或重合两直线的方向向量共线。

⑵线面平行①(法一）设直线l 的方向向量是a ，平面α的法向量是u ，则要证明l ∥α,只需证明a u ⊥，即0a u ⋅=。

即：直线与平面平行直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外②(法二）要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可。

⑶面面平行若平面α的法向量为u ,平面β的法向量为v ，要证α∥β，只需证u ∥v ，即证u v λ=. 即：两平面平行或重合两平面的法向量共线。

3。

用向量方法判定空间的垂直关系 ⑴线线垂直设直线12,l l 的方向向量分别是a b 、,则要证明12l l ⊥,只需证明a b ⊥，即0a b ⋅=。

即：两直线垂直两直线的方向向量垂直。

⑵线面垂直①（法一）设直线l 的方向向量是a ，平面α的法向量是u ，则要证明l α⊥，只需证明a ∥u ，即a u λ=。

空间向量及其运算1.空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量. 注：⑴空间的一个平移就是一个向量 .⑵向量一般用有向线段表示■同向等长的有向线段表示同一或相等的向量⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示2.空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下OB OA AB a b ; BA OA OB a b; OP a(R)运算律：⑴加法交换律：abb aD' ----------------- .C'⑵加法结合律：（a b） c a(b c)J /f /.⑶数乘分配律：（a b）a b，A'.a ---------- .B'i * 3•平行六面体：C4 1 1I平行四边形ABCD平移向量a到A BCD的轨迹所形成的几何体，D ----------------------------------- C叫做平行六面体，并记作：ABCD- A B CD •它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱一A B4.平面向量共线定理方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量.由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量.向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数入使b = ^a.要注意其中对向量a的非零要求.5，共线向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量.a平行于b记作a〃b .当我们说向量a、b共线（或a// b ）时，表示a、b的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线.6.共线向量定理：空间任意两个向量a、b （b丰0 ）, a// b的充要条件是存在实数入使a=Ab .推论：如果I为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对于任意一点0,点P在直线|上的充要条件是存在实数t满足等式OP 0A t a•其中向量a叫做直线I的方向向量.空间直线的向量参数表示式：tOB ,OP 0A t a或OP 0A t（OB 0A）（1 t）OA一，1 ——一中点公式.OP -（0A OB）2uuu rr7.向量与平面平行：已知平面和向量a，作OA a , 如果直线OA平行于或在内，那么我们说向量a平行于平面，记作：a〃•通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量说明：空间任意的两向量都是共面的•r&共面向量定理：如果两个向量a,b不共线，P与向量r r r r ra,b共面的充要条件是存在实数x, y使p xa yb ■推论：空间一点P 位于平面MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对x,y ,使uju uuur uuir uuu uuuu uur uuirMPxMA yMB ①或对空间任一点 O ，有OP OM xMA yMB ② uuu uuu uuu uuuu或 OP xOA yOB zOM ,(x y z 1)③上面①式叫做平面 MAB 的向量表达式*r9，空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有r序实数组x, y,z ,使p xa yb zC.rr r若三向量a,b,c 不共面，我们把｛^bd ｝叫做空间的一个基底，a,b,C 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底 推论：设O,代B,C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数x,y,z ,uuu uuu uuu uuir 使 OP xOA yOB zOC +10 .空间向量的夹角及其表示： 则 AOB 叫做向量a, b, a 11.向量的模：设 ;若uuuOAa,，则称a 与b 互相垂直，记作： a b .2则有向线段 OA 的长度叫做向量a 的长度或模，记作:12.向量的数量积: 已知向量 iai .a,b ，则|a | |b | cos a,b 叫做a,b 的数量积，记作 ab ,即|a| |b| cos a,b . uuu r已知向量AB a 和轴 uumr 在I 上的射影B ，则ABuuu uuu r r| A B | | AB | cos a, e 13.空间向量数量积的性质： r r r r r(1) a e | a | cos a, e 14•空间向量数量积运算律： r r b) r 1，e 是1上与1同方向的单位向量，作点A 在1上的射影u A u ,作点B i 上或在e 上的正射影.可以证明A B 的长度 叫做向量 |a e|. uuuAB 在轴 r ■) b 0. (3) |a|(1) ( a) b (a r rr r (3)a (b C )aa (b). ( 2)ab b a (交换律).b ac (分配律)+空间向量的直角坐标及其运算1 •空间直角坐标系： (1) 若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为 1,这个基底叫单位正交基底，用｛i, j, k ｝表示；r r r (2) 在空间选定一点 O 和一个单位正交基底｛i, j,k ｝，以点O 为原点， 分别以i,j,k 的方向为正方向建立三条数轴： x 轴、y 轴、z 轴，它 们都叫坐标轴•我们称建立了一个空间直角坐标系 向量.通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为 2.空间直角坐标系中的坐标： 在空间直角坐标系 O xyz 中，对空间任一点 uuu r rxyz ，点0叫原点，向量 xOy 平面，yOz 平面，r r ri, j,k 都叫坐标zOx 平面；A ，存在唯一的有序实数组 A 在空间直角坐标系 O xyz 中的坐标，记作(x, y,z)，使r ruju 已知两非零向量 a,b ，在空间任取一点 O ,作OAr r rb 的夹角，记作 a,b ；且规定0 a,br uuua, OB ,显然有A(x, y,z) , x 叫横坐标, y 叫纵坐标，z 叫竖坐标.常见坐标系① 正方体：如图所示， 选择点D 为原点，DA 、 立空间直角坐标系 D 正方体 ABCD A'B'C'D'的棱长为a ，一般 DC 、DD'所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建 xyz ，则各点坐标为 亦可选A 点为原点•在长方体中建立空间直角坐标系与之类似 ② 正四面体：如图所示，正四面体 A BCD 的棱长为a ，一般选择 A 在 BCD 上的射影为原点，0C 、OD （或0B ）、OA 所在直线分别为x 轴、 y 轴、z 轴建立空间直角坐标系 0 xyz ，则各点坐标为 ③ 正四棱锥：如图所示，正四棱锥 P ABCD 的棱长为a ，一般选择点P 在平面ABCD 的射影为原点，0A （或0C ）、0B （或0D ）、0P 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系 0 xyz ，则各点 坐标为 ④ 正三棱柱：如图所示，正三棱柱 ABC A'B'C'的底面边长为a , 高为h ，一般选择AC 中点为原点，0C （或0A ）、0B 、0E （ E 为0 在A'C'上的射影）所在直线分别为 x 轴、 系0 xyz ，则各点坐标为 3.空间向量的直角坐标运算律：（i ） 若 a y 轴、z 轴建立空间直角坐标 (a i (a i aib (a i ,a 2,a 3，b (^,b 2,b 3)，bi,a 2 b 2,a 3 bi,a 2 b 2,a 3 d)， b s ), a i > a 2>a 3)( R)，a 2b 2 a//b a i b 2,a 3R)，a^ a ?b 2 a s bj 1zzC 1/B ID zC:A\ zl\1 \ i l -----Buuu （2）若 A （X i ,y i ,z i ） , B （X 2,y 2,Z 2），则 AB （x 2 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标r r 4 ■模长公式：若a ⑻忌怎）,b （以6,6）,x i , y 2 y i ,Z 2 Z i ) •A2a 2 a 32 , |b | \ b b 、t ^2 b 22b 32•5.夹角公式： cos ：a aib i a 2b 2 asd2 2b 2b3|a| |b|,a i 2 a 22 a 32、bi A(x i ,y i ,z i ) , Bgy zZ ), 6.两点间的距离公式：若UJU /L L U2I ----------------- 2 --------------------- 2 ------------------- 2 则 | AB| \AB J (X 2 X i ) (y 2 y i )亿 z)，或 d A,BX i )2(y 2 y i )2②乙)2空间向量应用一、直线的方向向量 把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为直线的方向向量uuuA （x i , y i , z i ）与B （x 2, y 2, z 2）确定直线AB 的方向向量是 AB （x 2平面法向量 如果a ，那么向量a 叫做平面 的法向量••在空间直角坐标系中，由X i , y 2 y iZ 乙）.二、证明平行问题 1 •线线平行：证明两直线平行可用 a//b 冃 ba b 2,a 3t 3( R)或 a//ba ? a 32. 线面平行：直线I 的方向向量为3. 面面平行：平面 的法向量为 三、证明垂直问题 &，平面 n ，平面 的法向量为、n u 且1卄 的法向量为n 2，右 n // n 2 即 n 1 r即 a n 0 则 a//.uu n 2 则〃.i .线线垂直：证明两直线垂直可用 a b a i b i a z ba 3b 3 02. 线面垂直：直线I 的方向向量为3. 面面垂直：平面 四、求夹角 的法向量为 u ?,平面 n ，平面 的法向量为％且1的法向量为n 2，若 u 岛〃 n 即a n则arii n 2 即 n, n 2 0 则1.线线夹角：设a 佝,@,a 3)b (bbb) (0,90］为一面直线所成角，贝^： a b |a| |b| cos a,b ; cos a,b|a| |b| a 12.线面夹角：如图，已知PA 为平面 垂线PO ，连结OA 则 PAO 为斜线 uuu unr sin |sin(— OP,AP ) | 2=；cos | cos a,b |. b 3 a ； a 3 ,b 12 的一条斜线，n 为平面 的一个法向量，过P 作平面 的 所成的角，记为 易得 PA 和平面 | cos | cos r uuu r uunn, AP | | cos n, PA 3.面面夹角: ir uu n 、n 2分别是二面角两个半平面 uu uuu uuu OP, AP |r uuu |n PA| -4—tuu- |n ||PA| 的法向量，当法向量 当法向量 五、距离 设 ir n 、n 2同时指向二面角内或二面角外时，二面角 ir uu 厲、n 2 一个指向二面角内， 另一外指向二面角外时， Oir uumm .面角 的大小为的大小为 ir uumm 1.点点距离：设 A(X 1,y 1,w) , B(X 2,y 2,Z 2), d A,B .区 x 1) uuu uu tur ----------------------- -------------- 2~ | AB| x AB AB . (X 2 xj ® %) (z> 対2 %)2亿乙)2乙)2 2.点面距离： 过P 作平面 uuur uuu uuu uuu r | PO | | PA | sin | PA| | cos PA, n | | PA | n 为平面 的一个法向量， 所成的角，记为易得uuu r|PA n| |n|.设两条异面直线a 、b 的任一点，已知 PA 为平面 的一条斜线， 的垂线PO ,连结OA 则 PAO 为斜线PA 和平面 uuu rG UPA 甲|PA| |n| 3. 线线距离：求异面直线间的距离可以利用向量的正射影性质直接计算r 公垂线的方向向量为 n ,这时分别在a 、b 上任取A 、B 两点，则向量在n 上的正射影长就是两 条异面直线a 、b 的距离.即两异面直线间的距离等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线 r uurur uuu n | AB n | .直线a 、b 的距离d |AB 卓| LA B Bn|. |n||n|4.线面距离：一条直线和一个平面平行时， 这条直线上任意一点到这个平面的距离叫做这条直线 到这个平面的距离.直线到平面的距离可转化为求点到平面的距离 A 为平面 方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值 •公垂线夹在这两个平平面间的部分叫做两个平行平面的公垂线段•公垂线段的长度叫做两个平行平面间的距离。

空间向量与立体几何知识点归纳总结一．知识要点。

1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。

注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。

（2）向量具有平移不变性2. 空间向量的运算。

定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。

;;OB OA AB a b =+=+ BA OA OB a b =-=- ()OP a R λλ=∈运算律：⑴加法交换律：a b b a+=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a++=++⑶数乘分配律：ba b aλλλ+=+)(运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则3. 共线向量。

（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，平行于，记作。

ab b a//（2）共线向量定理：空间任意两个向量、（≠），//存在实数λ，使＝λa bb 0 a b a。

b （3）三点共线：A 、B 、C 三点共线<=>AC AB λ=<=>)1(=++=y x OB y OA x OC 其中（4）与共线的单位向量为a a 4. 共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。

说明：空间任意的两向量都是共面的。

（2）共面向量定理：如果两个向量不共线，与向量共面的条件是存在实,a b p ,a b数使。

,x y p xa yb =+（3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>ACy AB x AP +=<=>)1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP 其中5. 空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在,,a b cp 一个唯一的有序实数组，使。

,,x y z p xa yb zc =++若三向量不共面，我们把叫做空间的一个基底，叫做基向量，,,a b c {,,}a b c,,a b c 空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。

空间向量的知识点总结空间向量是指空间中的一条具有方向和大小的有向线段，在数学上通常表示为箭头上有一个加粗的字母来表示。

一、空间向量的概念空间向量是指具有方向和大小的有向线段，它是向量的一种特殊形式。

它与平面向量类似，但是空间向量不仅有大小和方向，而且还有位置。

空间向量可以用某个点P到另一个点Q的有向线段来表示，表示为PQ→。

空间向量的大小可以通过计算两点之间的距离来得到，而它的方向可以通过计算两个点之间的夹角来得到。

二、空间向量的基本运算1、空间向量的加法设空间向量a=(x1,y1,z1)和 b=(x2,y2,z2)，那么 a+b = (x1+x2, y1+y2, z1+z2)。

这表示a+b等于a与b的x、y、z分量分别相加得到的结果。

2、空间向量的数乘设空间向量a=(x,y,z)，k为实数，则ka=(kx,ky,kz)。

这表示空间向量a的每个分量都乘以k得到的结果。

3、空间向量的减法空间向量的减法定义为a-b=a+(-b)，即对b取反再进行加法操作。

4、空间向量的数量积设空间向量a=(x1,y1,z1)和 b=(x2,y2,z2)，则a·b = x1x2+y1y2+z1z2。

这表示a·b等于a与b的x、y、z分量分别相乘并求和的结果。

5、空间向量的向量积设空间向量a=(x1,y1,z1)和 b=(x2,y2,z2)，则a×b = (y1z2-z1y2, z1x2-x1z2, x1y2-y1x2)。

这表示a×b等于a与b按照右手定则进行叉乘得到的结果。

三、空间向量的坐标表示空间向量可以用坐标表示。

设点A(a1,a2,a3)和点B(b1,b2,b3)，则AB向量可以表示为AB=(b1-a1,b2-a2,b3-a3)。

四、空间向量的运算律1、给定三个空间向量a，b，c，则有以下运算律：（1）加法交换律：a+b = b+a（2）加法结合律：(a+b)+c = a+(b+c)（3）数乘结合律：k(la) = (kl)a（4）分配律：k(a+b) = ka+kb2、空间向量的数量积定理给定三个空间向量a，b，c以及实数k，则有以下数量积定理：（1）数量积交换律：a·b = b·a（2）数量积结合律：a·(b+c) = a·b+a·c（3）数量积与数乘结合律：k(a·b) = (ka)·b = a·(kb)（4）对于a≠0，b≠0，有a·b=|a|·|b|·cosθ，其中|a|表示a的大小，θ表示a与b的夹角。

空间向量知识点总结空间向量是高中数学中一个重要的概念，它在解决立体几何问题时具有独特的优势。

以下是对空间向量知识点的详细总结。

一、空间向量的基本概念1、空间向量的定义空间向量是既有大小又有方向的量。

与平面向量类似，但所处的空间维度更高。

2、空间向量的表示可以用有向线段表示，其起点和终点分别表示向量的起点和终点。

也可以用坐标表示，如在空间直角坐标系中，向量＼（＼overrightarrow{AB}＼）的坐标为＼（（x_B x_A, y_B y_A, z_B z_A)＼）。

3、空间向量的模空间向量的模长计算公式为＼（＼vert\overrightarrow{a}＼vert ＝＼sqrt{x^2 ＋ y^2 ＋ z^2}＼），其中＼（＼overrightarrow{a} ＝（x, y, z)＼）。

4、单位向量模长为 1 的向量称为单位向量。

对于向量＼（＼overrightarrow{a}＼），其单位向量为＼（＼frac{＼overrightarrow{a}｝｛＼vert\overrightarrow{a}＼vert}＼）。

5、零向量模长为 0 的向量称为零向量，其方向任意。

二、空间向量的运算1、加法和减法空间向量的加法和减法满足三角形法则和平行四边形法则。

＼（＼overrightarrow{a} ＋＼overrightarrow{b} ＝（x_a ＋ x_b, y_a ＋ y_b, z_a ＋ z_b)＼），＼（＼overrightarrow{a} ＼overrightarrow{b} ＝（x_a x_b, y_a y_b, z_a z_b)＼）。

2、数乘运算实数＼（λ\）与空间向量＼（＼overrightarrow{a}＼）的乘积是一个空间向量，记作＼（λ\overrightarrow{a}＼）。

＼（λ\overrightarrow{a} ＝（λx_a, λy_a, λz_a)＼）。

3、数量积（点积）＼（＼overrightarrow{a} ＼cdot ＼overrightarrow{b} ＝＼vert\overrightarrow{a}＼vert ＼vert\overrightarrow{b}＼vert ＼cos ＜＼overrightarrow{a}，＼overrightarrow{b} ＞＼）。

高中数学中的空间向量重点知识点归纳在高中数学中，空间向量是一个十分重要的概念，它不仅在几何学中有广泛的应用，还在物理学等学科中起到关键作用。

掌握空间向量的相关知识对于解决现实生活和学习中的问题具有重要意义。

本文将对高中数学中空间向量的重点知识点进行归纳总结。

1. 空间向量的概念空间向量是指空间中的有方向的线段，它由起点和终点确定，并且可以平移。

空间向量常用字母表示，如AB、CD等。

空间向量具有大小和方向两个重要特征，可以用坐标表示，也可以用向量的箭头和尾巴表示。

2. 向量的坐标表示向量的坐标表示是指用数值表示向量在坐标系中的位置。

在三维直角坐标系中，空间向量可以用三个有序实数表示。

通常我们用尖括号 < a, b, c > 表示一个向量，其中a、b、c分别表示向量在x、y、z轴上的分量。

例如向量AB可以表示为< x2-x1, y2-y1, z2-z1 >，其中A的坐标为(x1, y1, z1)，B的坐标为(x2, y2, z2)。

3. 向量的运算(1) 向量的加法向量的加法是指将两个向量相连接形成一个新的向量的运算。

假设有向量AB和向量BC，将它们的起点和终点相连得到一条新的向量AC，表示为向量AC = 向量AB + 向量BC。

向量的加法满足“平行四边形法则”，即将两个向量的起点相连得到的向量与两个向量终点相连得到的向量是相等的。

(2) 向量的数量乘法向量的数量乘法是指将向量与一个实数相乘得到一个新的向量。

假设有向量AB，将其与实数k相乘得到一个新的向量kAB。

当k>1时，新向量与原向量的方向相同；当0<k<1时，新向量与原向量的方向相反；当k<0时，新向量与原向量的方向相反。

(3) 向量的点积向量的点积是指将两个向量进行数量乘法后再求和得到一个实数的运算。

假设有向量AB和向量AC，将它们的数量乘法相加得到一个实数AB·AC，表示为AB·AC = |AB| |AC| cosθ，其中θ表示两个向量之间的夹角，|AB|和|AC|分别表示两个向量的模长。

空间向量与立体几何知识点归纳总结一．知识要点。

1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。

注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。

（2）向量具有平移不变性2. 空间向量的运算。

定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。

OB OA AB a b =+=+;BA OA OB a b =-=-;()OP a R λλ=∈运算律：⑴加法交换律：a b b a +=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a++=++⑶数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量。

（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a平行于b ，记作b a //。

（2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a//b 存在实数λ，使a＝λb。

（3）三点共线：A 、B 、C 三点共线<=>AC AB λ=<=>)1(=++=y x OB y OA x OC 其中 （4）与共线的单位向量为±4. 共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。

说明：空间任意的两向量都是共面的。

（2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y 使p xa yb =+。

（3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>AC y AB x AP +=<=>)1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP 其中5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++。

若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。

-@>% )一空间向量的概念1.空间向量的有关概念及线性运算(1)空间向量的定义:在空间内具有大小和方向的量叫作空间向量.(2)空间向量的表示:空间向量可用有向线段来表示.(3)零向量:起点与终点重合的向量叫作零向量.(4)空间向量的模(或长度):表示空间向量的有向线段的长度叫作向量的模(或长度).(5)共线向量(或平行向量):基线互相平行或重合的向量叫作共线向量(或平行向量).(6)共面向量:向量所在的直线与平面平行或在平面内,称向量与平面平行,平行于同一平面的向量叫作共面向量.(7)空间向量的加法㊁减法㊁数乘向量运算的定义㊁92.空间向量的有关定理(1)共线向量定理:对空间向量aң,bң(bңʂ0ң),aңʊbң的充要条件是存在实数k,使aң=k bң.推论:①对于空间任一点O,点P在直线A B上的充要条件是存在实数t,使O Pң=(1-t)O Aң+t O Bң或O Pң=xO Aң+y O Bң(其中x+y=1).②如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量aң的直线,那么对任一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,满足关系式O Pң=O Aң+t aң,该方程称为直线方程的向量表达式.(2)共面向量定理:如果两个向量aң,bң不共线,则向量cң与向量aң,bң共面的充要条件是存在唯一的一对实数x,y,使cң=x aң+y bң.推论:空间一点P位于平面A B C内的充要条件是:存在有序实数对x,y,使C Pң=xC Aң+y C Bң,或对空间任一定点O,有O Pң=O Cң+xC Aң+y C Bң,该式称为平面C A B的向量表示式.(3)空间向量分解定理:如果三个向量aң,bң,cң不共面,那么对于空间任意一个向量pң,存在唯一的有序实数组x,y,z,使pң=x aң+y bң+z cң.其中不共面的三个向量aң,bң,cң叫作空间的一个基底,每一个向量aң,bң,cң叫8作基向量.3.空间向量的数量积(1)两个向量的夹角:对于两个非零向量aң,bң,在空间任取一点O,作O Aң=aң,O Bң=bң,则øA O B叫作向量aң,bң的夹角,记作<aң,bң>.注意:两个向量的夹角的取值范围是:0ɤ<aң,bң>ɤπ.(2)两个向量的数量积的定义:aң㊃bң=|aң||bң|㊃c o s<aң,bң>.二空间向量的坐标运算若向量aң=(a1,a2,a3),bң=(b1,b2,b3),则有:(1)aң+bң=(a1+b1,a2+b2,a3+b3);(2)aң-bң=(a1-b1,a2-b2,a3-b3);(3)λaң=(λa1,λa2,λa3);(4)aң㊃bң=a1b1+a2b2+a3b3;(5)距离公式:|aң|=aң2=a21+a22+a23;(6)夹角公式:c o s<aң,bң>=a1b1+a2b2+a3b3a21+a22+a23㊃b21+b22+b23;9(7)aңʊbң(bңʂ0ң)⇔a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λɪR)或aңʊbң(bң与三条坐标轴都不平行)⇔a1b1=a2b2=a3b3;(8)aңʅbң⇔a1b1+a2b2+a3b3=0.三利用空间向量证明空间中的位置关系1.直线的方向向量与平面的法向量(1)直线的方向向量:基线和直线平行的向量叫作这条直线的方向向量.(2)平面的法向量:基线和平面垂直的向量叫作这个平面的法向量.2.利用空间向量证明空间中的位置关系(1)证明直线与直线平行的方法是:若直线l1和l2的方向向量分别为vң1和vң2,则l1ʊl2⇔vң1ʊvң2.(2)证明直线与平面平行的方法有两种:若直线l 的方向向量为vң,平面α内的两个不共线向量是vң1和vң2,平面α的法向量为nң,则有:①lʊα⇔存在实数x,y,使vң=x vң1+y vң2;②lʊα⇔vңʅnң.(3)证明平面与平面平行的方法是将其转化为直线与直线平行或直线与平面平行,然后利用向量方法证明.也可以用如下方法:若平面α和β的法向量分别为nң1和0010 n ң2,则αʊβ⇔n ң1ʊn ң2.(4)证明直线与直线垂直的方法是:若直线l 1和l 2的方向向量分别为v ң1和v ң2,则l 1ʅl 2⇔v ң1ʅv ң2.(5)证明直线与平面垂直的方法是:若直线l 的方向向量为v ң,平面α的法向量为n ң,则l ʅα⇔v ңʊn ң.(6)证明平面与平面垂直的方法是:若平面α和β的法向量分别为n ң1和n ң2,则αʅβ⇔n ң1ʅn ң2.四利用空间向量求空间角1.有关角的概念(1)空间角主要包括两条异面直线所成的角㊁直线与平面所成的角㊁二面角.(2)斜线与平面所成的角:平面的一条斜线和它在这个平面内的射影的夹角叫作斜线和平面所成的角.规定:若一条直线与一个平面平行或在平面内,则这条直线和平面所成的角为0;若一条直线与一个平面垂直,则这条直线和平面所成的角为π2.因此,斜线和平面所成的角的范围是0,π2();直线和平面所成的角的范围是0,π2[].(3)二面角的定义:从一条直线出发的两个半平面二面角的平面角:在二面角α-l-β的棱l上任取一点O,在两个半平面内分别作射线O Aʅl,O Bʅl,则øA O B叫作二面角α-l-β的平面角.直二面角:平面角是直角的二面角叫作直二面角,互相垂直的两个平面相交所形成的二面角就是直二面角.二面角的取值范围是[0,π].(4)最小角原理:斜线和平面所成的角,是斜线和这个平面所有直线所成角中的最小的角.(5)从角的顶点出发的一条直线,如果它和这个角的两条边所成的角相等,那么它在这个角所在平面内的射影是这个角的平分线.这个结论常用于确定一条直线在一个平面内的射影.(6)利用射影面积公式:S'=S㊃c o sθ,也可以求一些二面角的大小.2.利用空间向量求空间角的方法(1)若异面直线l1和l2的方向向量分别为vң1和vң2,它们所成的角为θ,则c o sθ=|c o s<vң1,vң2>|.(2)利用空间向量求直线与平面所成的角,可以有两种办法:一是分别求出直线和它在平面内的射影直线的方向向量,转化为求两个方向向量的夹角(或其补02(3)利用空间向量方法求二面角,也有两种办法:一是分别在二面角的两个面内找到一个与棱垂直且从垂足出发的两个向量,则这两个向量的夹角的大小就是二面角的平面角的大小;二是通过平面的法向量来求:设二面角的两个面的法向量分别为nң1和nң2,则二面角的大小等于<nң1,nң2>(或π-<nң1,nң2>).五利用空间向量求点到平面的距离1.定义一个点到它在一个平面内的正射影的距离叫作这个点到平面的距离.2.求法一是根据定义,按照作(或找) 证 求的步骤求解;二是利用空间向量,首先求出平面的单位法向量nң0,再任意找一个从该点出发的平面的斜线段对应的向量vң,则点到平面的距离为d=|nң0㊃vң|.10。

空间向量知识点归纳总结(经典)(总9页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--空间向量与立体几何知识点归纳总结一．知识要点。

1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。

注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。

（2）向量具有平移不变性 2. 空间向量的运算。

定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。

OB OA AB a b =+=+;BA OA OB a b =-=-;()OP a R λλ=∈运算律：⑴加法交换律：a b b a+=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a++=++⑶数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量。

（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a平行于b ，记作b a //。

（2）共线向量定理：空间任意两个向量a、b （b ≠0 ），a b a bλ=)1(=++=y x y x 其中a a±共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。

说明：空间任意的两向量都是共面的。

（2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y 使p xa yb =+。

（3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>AC y AB x AP +=<=>)1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP 其中5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++。

若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。