高二数学空间向量的夹角.ppt

探究2：点到直线的距离 几何(等面积法)
思考：已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，直线外一点.
|| =
设 = ，如何利用这些条件求点到直线的距离？
Ԧ
追问1：与有何关系？
是在直线上的投影向量，
且 = ||
Ԧ ∙ cos∠ ∙ = (Ԧ ∙ ) ∙
面的距离公式为？
点到平面的距离就是在直线上投影向量的长度.
因此 = | ∙

|
||
=
∙
|
|
||
=

|∙|
.
||
追问：如何求直线与平面间的距离？
两个平行平面间的距离？
⟺点到平面的距离
α



典例精析
例题：如图，在棱长为1的正方体 − 1 1 1 1 中，为线段1 1 的中
(4)求距离 =

|∙|
.
||
α


归纳总结
与用平面向量解决平面几何问题的“三步曲”类似，我们可以得出用
空间向量解决立体几何问题的“三步曲”：
(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、
直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的
2
2
2
2
1
因为 = 1 = (−1, , 0)，所以//1 ，即//平面1 .
2
所以点到平面1 的距离即为直线到平面1 的距离.
设平面1 的法向量为 = (, , )，
1

2
− =0
∙ = 0
则
，即
，取 = 1，则 = (1,2,1)，

共线定理、共面定理的应用
【训练 2】 已知 A，B，C 三点不共线，对平面 ABC 外的任一点 O， 若点 M 满足O→M＝1(O→A＋O→B＋O→C)．
3 (1)判断M→A，M→B，M→C三个向量是否共面； (2)判断点 M 是否在平面 ABC 内．
解 (1)由已知O→A＋O→B＋O→C＝3 O→M， ∴O→A －O→M＝ (O→M －O→B )＋(O→M －O→C)， 即M→A＝B→M＋C→M＝－M→B－M→C， ∴M→A，M→B，M→C共面． (2)由(1)知，M→A，M→B，M→C共面且基线过同一点 M， ∴四点 M，A，B，C 共面，从而点 M 在平面 ABC 内．
空间向量的数量积及其应用
【例3】如图所示，已知空间四边形的ABCD各边和对角线的长都等
于a ，点M , N分别是AB,CD 的中点．
在空间中，具有 的量叫做(空1间)向求量，证其大：M小叫N做向量A的B长度；或模(．2)求 MN 的长；
a1＝ b1，a2＝ b2，a3＝ 探究三 空间向量的数量
(b33 )求异面直线AN与CM
2.空间向量中的有关定理
(1)共线（平行）向量定理：对空间任意两个向量 a，b(b≠0)，a∥b⇔存
在λ∈R，使 a＝ b . (2)共面向量定理：若两个向量 a，b 不共线，则向量 p 与向量 a，b 共面 ⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使 p＝ xa＋yb . (3)空间向量基本定理：如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对空间任一 向量 p，存在一个唯一的有序实数组{x，y，z}使得 p＝ xa＋yb＋zc .
【例3】如图所示，已知空间四边形的 各边和对角线的长都等于 ，点 分别是 的中点．
（1）利用数量积解决问题的两种途径：

例 1 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°， 棱AA1＝2，M，N分别是AA1，CB1的中点. （2）求△BMN的面积.
解答：以C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图.
例 2 在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1， BD，BB1的中点. （1）求证：EF⊥CF；
向量夹角的坐标表示
一一对应
向量的运算
a＋b =（x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2） a－b =（x1－x2，y1－y2，z1－z2） λa =（λx1，λy1，λz1）
a·b =x1x2＋y1y2＋z1z2
向量的平行与垂直
环节一
空间向量长度和 夹角的坐标表示
1、空间向量长度和夹角的坐标表示
回顾：在平面向量中我们如何求向量的长度？
求模先平方 求模小勾股
求模先平方 求模小勾股
1、空间向量长度和夹角的坐标表示
求向量的模首先要用坐标表示出该向量！
推广：
1、空间向量长度和夹角的坐标表示
求哪两个向量的夹角的余弦值，用哪两个向量的数量积除以 它们的模积
例 1 若向量a＝（1，－1，2），b＝（2，1，－3），则｜a＋b｜＝
（ D）
A.
B.2
C.3
D.例2A.3源自°B.60°C.120°
C D.150°
例 3 已知向量a＝（2，－3，1），b＝（2，0，3），c＝（0，2，2）.求： （1）｜a＋b－2c｜； （2）cos＜a－b，b－c＞.
环节二
空间向量 的综合应用
例 1 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°， 棱AA1＝2，M，N分别是AA1，CB1的中点. （1）求BM，BN的长；

L
sin θ
|cosDB1,A1C| cosθ 2 2 .
|DB1 A1C| |DB1|| A1C|
2
4 32
1
A
，x
33
E
3
DB1与平面EFGHKL所成角的余弦值为
2
2 3
.
F Cy
B
巩固练习
课本P49
16.棱长为a的正方体OABC-OʹAʹBʹCʹ中，E, F分别是棱AB, BC上的动点，且AE=BF. (1)求证：AʹF⊥CʹE； (2)当三棱锥Bʹ-BEF的体积取得最大值时，求平面BʹEF与平面BEF的夹角正切值.
第一章 空间向量与立体几何
1.4 空间向量的应用
1.4.2 用空间向量研究距离、 夹角问题
（第三课时）
复习导入
点、直线、平面
立体 几何
位置 关系
度量 问题
垂直 平行 距离 角度
空间 向量
前面我们学习了如何用向量方法求解立体几何中的距离和角度问题. 这节课我们应用这些知识解决综合性较强的问题.
典例解析
C' O'
a CF
O
a
B' 析 : (1)建系Cxyz,设AE BF x,
A' F(0,a x,0), E(a x,a,0), A'(a,a,a),C'(0,0,a),
A' F C' E (a,x,a) (a x,a,a)
B
a(a x) ax a2 0
E
A
巩固练习
课本P49
对于具体的问题，应根据它的条件和所求选择合适的方法．
巩固练习
课本P41
1. 如图, 二面角α-l-β的棱上有两个点A, B, 线段BD与AC分别在这个二面角的两个

所以
sin
θ＝|cos〈n，—A1→B 〉|＝|n·——A1→→B |＝ |n|| A1B |
63，即
A1B
与平面
AEF
所成角的正弦值为
3 6.
三、两个平面的夹角
例 3 如 图 ， 四 棱 柱 ABCD － A1B1C1D1 的 所 有 棱 长 都 相 等 ， AC∩BD ＝ O ， A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形. (1)证明：O1O⊥平面ABCD；
(1)证明：CM⊥SN； 证明 设PA＝1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x轴，y轴，z轴正方向 建立空间直角坐标系(如图).则P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，
又 AN＝41AB，M，S 分别为 PB，BC 的中点， ∴N21，0，0，M1，0，12，S1，21，0，
C→M＝1，－1，21，S→N＝－12，－21，0， ∴C→M·S→N＝1，－1，12·－21，－12，0＝0，
3，－1，－ 7
3|＝71.
|A1B||O1A|
∴异面直线 A1B 与 AO1 所成角的余弦值为71.
反思感悟 求异面直线夹角的方法
(1)传统法：作出与异面直线所成角相等的平面角，进而构造三角形求解.
(2)向量法：在两异面直线a与b上分别取点A，B和C，D，则
→ AB
与
→ CD
可分别为a，b的方向向量，
∴点 S 到 y 轴的距离为 1，到 x 轴的距离为 3， 则有 D(0,0,0)，S(－1， 3，0)，A(0,0,2)，C(2,0,0)，B(2,0,1)，
设平面SAD的法向量为m＝(x，y，z)， ∵A→D＝(0,0，－2)，A→S＝(－1， 3，－2)， ∴－－2x＋z＝03，y－2z＝0， 取 x＝ 3，得平面 SAD 的一个法向量为 m＝( 3，1,0).

→
2|k|
|BE·n|
2 11
于是点 B 到平面 EFG 的距离为 d＝
＝
＝
.
11
|n|
1＋1＋9|k|
新知应用
题型三：平面与平面的距离
5.正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 4，M，N，E，F 分别为 A1D1，A1B1，C1D1，
B1C1 的中点，求平面 AMN 与平面 EFBD 间的距离．

2 − ( ∙ )2 .
思考1：类比点到直线的距离的求法，如何求两条平行直线之间的距离？
求两条平行直线l,m之间的距离,可在其中一条直线l上任取一点P,则两条平行直线
间的距离就等于点P到直线m的距离.
∴ 两条平行直线之间的距离⟺点到直线的距离

空间中点到平面的距离
探究2：如何求平面α外一点点到平面α的距离？
设平面DA1C1的法向量为 = (, , )，所以 ⊥ 1, ⊥ 1,因为，由 ∙ 1 = 0 ，得
∙ 1 = 0
+=0
，
2 + = 0
(2)直线B1C到平面DA1C1的距离等于B1到平面DA1C1的距离．因为11=(1,0,0)，所以B1
不妨取y=1，则 = (2,1, −2) .
常见的空间中的距离有：点到直线、点到平面、两条平行线及两个平
行平面的距离;
常用的求解距离的方法有：传统方法和向量法.
02用空间向量研究距
离问题
P
A
R
T
O
N
E
空间中点到直线的距离
探究1：已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，直线外一点.如何利
用这些条件求点到直线的距离？

=
2
, ∴<
2
∴ 平面EAC与平面ABCD的夹角为45°.
P
= (x, y, z),
E
A
D
∵ PA ⊥ 平面ABCD, ∴ 平面ACD的法向量为 AP = (0,0, a).
∴ cos < ՜
m , AP >=
z
՜
m , AP >= 45°,
C
x
B
y
练习巩固 大册P32变式训练
练习8 :如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF
Ԧ >|=
|∙|
||∙||
|∙|
||∙||
3、平面与平面的夹角： = | < , > | =

∈ [0, ]
2
|∙|
||∙||
二面角：先计算平面角再根据图分辨锐、钝二面角，添加正负号
练习巩固 课本P38练习1
练习1:在直三棱柱 − 111中，∠ = 90°，1, 1分别是11, 11
的角最大时,求的值.
练习巩固
练习6:棱长为的正方体 − ′ ′ ′ ′ 中，，分别是棱，上的动点，
且 = .
(1)求证：′ ⊥ ′ ；
(2)当三棱锥′ − 的体积取最大值时，求平面′ 与夹角的正切值.
z
y
x
练习巩固 大册P30例3
3 34
∴AD与平面AMN 所成角的正弦值为
.
34
| AD || n |
8 34
34
练习巩固 课本P41练习3
练习3:如图，在三棱锥 − 中，, , 两两垂直， = = 3，
z
= 2. 求直线与平面所成角的余弦值.

线以及两个平行平面的距离问题等，如何用空间向量解决这些距离问题呢?
点到直线的距离
点到平面的距离
两条平行直线
的距离
两个平行平面的
距离
二
探究新知1——用空间向量表示点到直线的距离（互学）
已知直线 的单位方向向量为， 是直线 上的定点，是直线外一点.如
1.探究
何利用这些条件求点到直线 的距离?
与平面的法向量的夹角，如图，直线 与平面相交于点，设
直线 与平面所成的角为，直线 的方向向量，平面的
法向量为，则据“诱导公式”可得
= , =
∙
∙
=



注： 与平面所成的角为 ∈ ， .


十
探究新知4——用空间向量解决直线与平面、平面与平面夹角的问题（互学）
, ∴ =
, 取 = ，则 = ， = ，
∴ = (, , )是平面 的一个法向量，

方法提示：
到平面的距离
∙
=

注：其中为平面的斜线，
为斜足，为平面的法向量.
五
成果展示1(迁移变通)

例1 如图，在棱长为的正方体 − 中，为线段
则点到平面 的距离就是直线到平面 的距离，
为斜足，为平面的法向量.
又∵ ⊄ 平面 , ⊂ 平面 ,
五
成果展示1(迁移变通)

例1 如图，在棱长为的正方体 − 中，为线段
的中点，为线段的中点．

，



故直线到平面 的距离为 .
为斜足，为平面的法向量.
六
小结——用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”

1.4 空间向量的应用
1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题
第1课时 用空间向量研究距离问题
【学习目标】
1.借助直线的方向向量和平面的法向量，能计算点到直线的距离、点到平
面的距离，并知道两条平行直线之间的距离、直线与平面平行时两者间的距离、
两个平行平面之间的距离.
2.能分析和解决一些立体几何中的距离问题，体会向量方法与综合几何方
→
⋅ AF = 0,
y = x,
−6x + 6y = 0,
所以
即 z = x,
−6x + 6z = 0,
令x = 1,则y = 1,z = 1,所以 = 1,1,1 是平面ACF的一个法向量.
设点E到平面ACF的距离为d,
则d =
AE⋅

=
12
3
= 4 3,所以点E到平面ACF的距离为4 3.
为AD，PC的中点.
（1）求证：DE//平面PFB；
课中探究
解：证明：以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别
为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则P 0,0,2 ，F 1,0,0 ，B 2,2,0 ，E 0,1,1 ，D 0,0,0 ，
所以FP = −1,0,2 ，FB = 1,2,0 ，DE = 0,1,1 ，
∴ A1 O ⊥ 平面ABC.
课中探究
∵△ ABC是等边三角形，∴ BO ⊥ AC，建立如图所示的空间
直角坐标系，则A 0, −1,0 ,B
P
∴
3
1
, − , 0 ,Q 0,1, 3 ,B1
2
2
3
3
QP =
, − , − 3 ,QB1

所以A1D是平面AMN的法向量。
A1 B1 M
A
D1 N
C1
Dy
A(0,0,0), A1(0,0, 4), D(0,8,0), x B
C
AD (0,8,0),
A1D (0,8, 4),
l u // n R,使得u n
un
6.空间中平面与平面垂直的判定
设平面, 的法向量分别是n1, n2
n2
n1
n1 n2 n1 n2 0
7.异面直线所成的角
uv平面角
un
sin cos u, n
un
l2
u
l1
v
A
un
42 30 10
4.变式: 在长方体 ABCD A1B1C1D1 中，AB=5, AD 8, AA1 4,
M为B1C1上的一点,且B1M 2,点N在线段A1D上，A1D AN.
(1)求证：A1D AM.
（2）求AD与平面ANM所成的角的正弦值. z
提示:
由(1)知A1D AM，又A1D AN AM AN A，所以A1D 平面AMN
D
G
B
PB 平面EFD
2.例10.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱
PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.
(1)求证：PA//平面EDB (2)求证：PB⊥平面EFD
(3)求平面CPB与平面PBD的夹角的大小.
z
(3)解:已知PB EF,由（2）可知PB DF,
B C
9.两个平面的夹角 n1 n2
cos cos n1, n2
n1 n2
n1
n2
二、巩固训练
1.例9.如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有

β
m n
α
β
m n
α
n,m
β
m
n
α
cos | cos n , m |
β
m
n
α
n,m
用空间向量求平面 α 和平面 β 夹角 θ 的步骤与方法：
化为向量问题 进行向量运算
① 转化为平面 α 的法向量 n 和平面 β 的法向量 m 的夹角 ② 计算| cos n , m | | n m |
| u || v |
③ 两直线 l1，l2 夹角 θ 的余弦值 cos | cos u , v |
设两条异面直线 a，b 的方向向量分别为 a＝(－1，1，0)，b＝(0，－1，1)， 则直线 a 和 b 所成的角为___6_0____．
在 三 棱 柱 ABC － A1B1C1 中 ， AA1⊥ 底 面 ABC ， AB ＝ BC ＝ AA1 ， ∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点， 试求直线 EF 和 BC1 所成角的大小. 60
u
v
l1
u,v
l2
vu
l1
cos | cos u , v |
l2
u v
l1
u,v
用空间向量求两条直线 l1，l2 夹角 θ 的步骤与方法：
化为向量问题 进行向量运算
① 转化为求两直线 l1，l2 的方向向量 u，v 的夹角 ② 计算 | cos u , v | | u v |
| u || v |
① 求直线 l 的方向向量 u 和平面 α 的法向量 n ② 计算 | cos u , n | | u n |
| u || n |
③ 直线 l 和平面 α 所成角 θ 的正弦值 sin | cos u , n |