《函数》课后拓展训练

函数定义域定义函数定义域是指函数的输入值（自变量）所组成的集合，也可以理解为函数能够接受的输入的范围。

在数学中，函数定义域通常用数学符号表示为D(f)，其中f为函数，而D表示定义域。

函数定义域的符号通常写在函数名下方的小括号内。

用途函数定义域是研究函数性质与范围的重要概念，对于理解函数的定义、性质、图像以及求解问题都具有重要意义。

具体来说，函数定义域用于以下几个方面的应用： 1. 确定函数的合法输入范围：函数定义域可以帮助我们确定函数所接受的输入值的范围，从而使得函数在该范围内有意义。

2. 确定函数的范围：函数定义域与函数的值域相对应，通过对函数的定义域进行分析可以推测出函数的值域，并帮助我们确定函数的输出范围。

3. 研究函数性质：函数定义域可以揭示函数的性质，例如函数的奇偶性、对称轴等。

4. 求解问题：在实际问题中，函数的定义域常常与问题的限制条件相关联。

通过分析函数的定义域，可以对问题进行限制，并根据定义域的要求求解问题。

综上所述，函数定义域是研究函数性质、解决实际问题的基础，在数学和实际应用中具有重要作用。

工作方式函数定义域的工作方式取决于函数的类型以及问题的要求。

下面将分别介绍几种常见的函数类型及其工作方式。

1. 线性函数线性函数是最简单的函数类型之一，其形式为f(x) = ax + b，其中a和b为常数。

线性函数的定义域是实数集R，即函数能够接受任意实数作为输入。

这是因为线性函数的性质使得其对任意实数都有定义，并且没有任何限制条件。

由于线性函数是直线的图像，其图像在整个实平面上都存在。

因此，线性函数的定义域与实数集R相同。

2. 二次函数二次函数是一种常见的函数类型，其形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c 为常数，且a不等于零。

对于二次函数，其定义域的确定需要满足以下两个条件： 1. 二次函数的对称轴：二次函数的对称轴为x = -b/2a。

函数定义域应该包括对称轴两侧的所有实数。

19.2一次函数1．如图14－69所示，小明在扇形花台OAB 沿O →A →B →O 的路径散步，能近似地刻画小明到出发点O 的距离y 与时间x 之间的函数图象是图14－70中的 ( )2．已知直线y ＝x ＋b ，当b ＜0时，直线不经过 ( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第二象限D ．第四象限3．点M (－2，m )在直线y ＝－2x ＋3上，则点M 在平面直角坐标系中的位置是 ( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．如果一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过第一象限，且与y 轴负半轴相交，那么( )A ．k ＞0，b ＞0B ．k ＞0，b ＜0C ．k ＜0，b ＞0D ．k ＜0，b ＜05．如右图所示，一次函数的图象过点A ，且与正比例函数y ＝－x 的图象交于点B ，则该一次函数的表达式为 ( )A ．y ＝－x ＋2B ．y ＝x ＋2C ．y ＝x －2D ．y ＝－x －26．当m ＝ 时，函数y ＝mx 3m ＋5是正比例函数．7．如果函数y ＝(3m －1)x 是正比例函数，且y 随x 的增大而减小，那么m 的取值范围是 ．8．已知m 是整数，且一次函数y ＝(m ＋4)x ＋m ＋2的图象不经过第二象限，则m 的值是 ．9．若正比例函数2)1(m x m y -=的图象经过第二、四象限，则m 的值是 ．10．将直线y ＝2x －4向上平移5个单位后，所得直线的表达式是 ．11．搭建如下图①所示的单顶帐篷需要17根钢管，这样的帐篷按图②，图③的方式串起来搭建，则串7顶这样的帐篷需要 根钢管．12．汽车从距A站300 km的B处以每小时60 km的速度开向A站．(1)写出开出时间t(h)与汽车距A站的距离s(km)之间的函数关系式(t是自变量)；(2)写出自变量t的取值范围；(3)汽车开出多久后，离A站100 km?13．A，B两城相距600千米，甲、乙两车同时从A城出发驶向B城，甲车到达B城后立即返回，如图所示的是它们离A城的距离y(千米)与行驶时间x(小时)之间的函数图象．(1)求甲车行驶过程中y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；(2)当它们行驶了7小时时，两车相遇，求乙车的速度．14．在一条直线上依次有A，B，C三个港口，甲、乙两船同时分别从A，B港口出发，沿直线匀速驶向C港，最终到达C港．设甲、乙两船行驶x(h)后，与B港的距离分别为y1，y2(km)，y1，y2与x的函数关系如图所示．(1)A，C两港口间的距离为km，a＝；(2)求图中点P的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义；(3)若两船的距离不超过10km 时能够相互望见，求甲、乙两船可以相互望见时x的取值范围．参考答案1．C2．B3．B4．B5．B 6．34- 7．m ＜31 8．－2或－39．－110．y ＝2x ＋111．8312．解：(1)开出时间t (h)与汽车距A 站的距离s (km)之间的函数关系式是s ＝300－60t ． (2)自变量t 的取值范围是0≤t ≤5． (3)当s ＝100时，有100＝300－60t ，∴t ＝310．∴当汽车开出h 310后离A 站100 km ． 13．解：(1)当0≤x ≤6时，y ＝100x ．当6＜x ≤14时，设y ＝kx ＋b ，∵图象过(6，600)，(14，0)两点，∴⎩⎨⎧=+=+,014,6006b k b k 解得⎩⎨⎧=-=.1050,75b k ∴y ＝－75x ＋1050．∴100(06),751050(614).x x y x x ≤≤⎧=⎨-+<≤⎩ (2)当x ＝7时，y ＝－75×7＋1050＝525．7525=乙v ＝75(千米／时)．14．解：(1)120 2 (2)由点(3，90)求得y 2＝30x ．当0．5＜x ≤2时，由点(0．5，0)，(2，90)求得y 1＝60x －30．当y 1＝y 2时，60x －30＝30x ，解得x ＝1．此时y 1＝y 2＝30．所以点P 的坐标为(1，30)．该点坐标的意义为：两船出发1 h 后，甲船追上乙船，此时两船离B 港的距离为30 km ．求点P 的坐标的另一种方法：由图可得，甲的速度为5.030＝60(km ／h)，乙的速度为390＝30(km ／h)．则甲追上乙所用的时间为306030-＝1(h)．此时乙船行驶的路程为30×1＝30(km)．所以点P 的坐标为(1，30)． (3)①当0≤x ≤0．5时，由点(0，30)，(0．5，0)求得y 1＝－60x ＋30．依题意，得(－60x ＋30)＋30x ≤10，解得x ≥32，不合题意．②当0．5＜x ≤1时，依题意，得30x －(60x －30)≤10．解得x ≥32，所以32≤x ≤1．③当1＜x ≤2时，依题意，得(60x －30)－30x ≤10，解得x ≤34，所以1＜x ≤34．④当2＜x ≤3时，依题意，得0≤90－30x ≤10，解得38≤x ≤3．综上所述，当32≤x ≤34或38≤x ≤3时，甲、乙两船可以相互望见．。

高一拓展训练九：函数问题一．热点知识归纳：1．函数图像变换(1)对称变换①y ＝f (－x )与y ＝f (x )的图象关于y 轴对称； ②y ＝－f (x )与y ＝f (x )的图象关于x 轴对称； ③y ＝－f (－x )与y ＝f (x )的图象关于原点对称． (2)翻折变换①要得到y ＝|f (x )|的图象，可先画出y ＝f (x )的图象，然后“上不动，下翻上”即可得到； ②由于y ＝f (|x |)是偶函数，要得到y ＝f (|x |)的图象，可先画出y ＝f (x )的图象，然后“右不动，左去掉，右翻左”即可得到．2．复合函数单调性：适用于形如y ＝f (φ(x ))的复合函数，具体规则如下表：y ＝f (同时，为增函数；单调性不同时为减函数． 3．函数周期性常见的几个结论周期函数y ＝f (x )满足：(1)若f (x ＋a )＝f (x －a )，f (x ＋a )＝－f (x )，f (x ＋a )＝－1f （x ）则函数的周期为2a ；(2)函数f (x )关于直线x ＝a 与x ＝b 对称，那么函数f (x )的周期为2|b －a |；(3)若函数f (x )关于点(a ，0)对称，又关于点(b ，0)对称，则函数f (x )的周期是2|b －a |； (4)若函数f (x )关于直线x ＝a 对称，又关于点(b ，0)对称，函数f (x )的周期是4|b －a |； (5)若函数f (x )是偶函数，其图象关于直线x ＝a 对称，则其周期为2a ； (6)若函数f (x )是奇函数，其图象关于直线x ＝a 对称，则其周期为4a . 4．函数的对称性：(1)函数y ＝f (x )关于x ＝a ＋b2对称⇔f (a ＋x )＝f (b －x )⇔f (x )＝f (b ＋a －x )．特殊：函数y ＝f (x )关于x ＝a 对称⇔f (a ＋x )＝f (a －x )⇔f (x )＝f (2a －x )； 函数y ＝f (x )关于x ＝0对称⇔f (x )＝f (－x )(即为偶函数)．(2)函数y ＝f (x )关于点(a ，b )对称⇔f (a ＋x )＋f (a －x )＝2b ⇔f (2a ＋x )＋f (－x )＝2b . 特殊：函数y ＝f (x )关于点(a ，0)对称⇔f (a ＋x )＋f (a －x )＝0⇔f (2a ＋x )＋f (－x )＝0；函数y ＝f (x )关于(0， 0)对称⇔f (x )＋f (－x )＝0(即为奇函数)． (3)y ＝f (x ＋a )是偶函数⇔函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称； y ＝f (x ＋a )是奇函数⇔函数y ＝f (x )关于点(a ，0)对称．二．基础题型训练：1．函数1()2ln(1)x f x x =+++的定义域为（ ） A.[2,0)(0,2]- B.(1,0)(0,2]- C.[2,2]- D.(1,2]-【解析】由已知，得2101140x x x ⎧+>⎪+≠⎨⎪-≥⎩，解得12x -<≤且0x ≠所以()f x 的定义域为(1,0)(0,2]-U ，选B2．设3log 2a =，5log 2b =，2log 3c =，则（ ）A .a c b >>B .b c a >>C .c b a >>D .c a b >>【答案】B【解析】321log 2log 3a ==，521log 2log 5b ==，22log 5log 31>>Q ，221101log 5log 3∴<<<，即01b a <<< ,又2log 31c =>，所以c a b >> 3．下列函数为奇函数的是（ A ）A.122x x-B.3sin x xC.2cos 1x +D.22xx + 4．设a, b, c 均为不等于1的正实数, 则下列等式中恒成立的是 ( ) A ． ·log log log a c c b a b = B . b a b c c a log log log =⋅ C . c b bc a a a log log )(log ⋅=D . ()log g og o l l a a a b b c c +=+【答案】B5．设()f x 是定义在R 上的周期为2的函数，当[1,1)x ∈-时，242,10,(),01,x x f x x x ⎧-+-≤<=⎨≤<⎩，则3()2f = .【答案】1 【解析】311()()421224f f =-=-⨯+=6． ⎝⎛⎭⎫1681－34＋log 354＋log 345＝________.2787．已知偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，f (2)＝0.若f (x －1)>0，则x 的取值范围是________． 【解析】 由题知，f (2)＝0且f (x －1)>0，故f (x －1)>f (2)，而函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减且为偶函数，故满足|x －1|<2，解得－1<x <3.【答案】 (－1，3)8．已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1，0]，则a ＋b ＝________．【解析】 当0<a <1时，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2，a ＝12，∴a ＋b ＝－32.当a >1时，⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0，解得b ＝－1，∴1a ＝0，无解．综上a ＋b ＝－32.二、重点、难点题型训练1．已知函数y ＝f (x )的周期为2，当x ∈[－1，1]时，f (x )＝x 2，那么函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝|lg x |的图象的交点共有( )A ．10个B ．9个C ．8个D ．1个解析：在同一平面直角坐标系中分别作出y ＝f (x )和y ＝|lg x |的图象，如图．又lg 10＝1，由图象知选A.2．如图，函数f (x )的图象为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集是( )A ．{x |－1<x ≤0}B ．{x |－1≤x ≤1}C ．{x |－1<x ≤1}D ．{x |－1<x ≤2} 【答案】 C 如图，线段BC 的解析式为x ＋y ＝2，∴当x ＝1时，f (x )＝log 2(x ＋1)．∴f (x )≥log 2(x ＋1)的解集是{x |－1<x ≤1}．3．已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，12B.⎝⎛⎭⎫12，1 C ．(1，2) D ．(2，＋∞) 【答案】f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≥2，3－x ，x <2.如图，作出y ＝f (x )的图象，其中A (2，1)，则k OA ＝12.要使方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则函数f (x )与g (x )的图象有两个不同的交点，由图可知，12<k <1.4．某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A.p ＋q 2B.（p ＋1）（q ＋1）－12C.pqD.（p ＋1）（q ＋1）－1【答案】 D 设这两年的平均增长率为m ，则有(1＋p )(1＋q )＝(1＋m )2， ∴m ＝（1＋p ）（1＋q ）－1.5．已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0，3)时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12.若函数y ＝f (x )－a 在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________． 【解析】 当x ∈[0，3)时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12＝⎪⎪⎪⎪（x －1）2－12，由f (x )是周期为3的函数，作出f (x )在[－3，4]上的图象，如图．由题意知方程a ＝f (x )在[－3，4]上有10个不同的根．由图可知a ∈⎝⎛⎭⎫0，12.6．(2015·安徽蚌埠一模，19，13分)经调查测算，某产品的年销售量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m 万元(m ≥0)满足x ＝3－km ＋1(k 为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2014年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2014年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； (2)该厂家2014年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？解：(1)由题意可知，当m ＝0时，x ＝1(万件)， ∴1＝3－k ，k ＝2，即x ＝3－2m ＋1，每件产品的销售价格为1.5×8＋16xx (元)，∴2014年的利润y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1.5×8＋16x x －(8＋16x ＋m )＝4＋8x －m ＝4＋8⎝⎛⎭⎪⎫3－2m ＋1－m ＝28－16m ＋1－m (m ≥0)． ∴利润y 表示为年促销费用的函数关系式是y ＝28－16m ＋1－m (m ≥0)． (2)由(1)知y ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤16m ＋1＋（m ＋1）＋29(m ≥0)． ∵m >0时，16m ＋1＋(m ＋1)≥216＝8， ∴y ≤－8＋29＝21， 当且仅当16m ＋1＝m ＋1，即m ＝3时，y 取得最大值．∴当该厂家2014年的促销费用投入3万元时，厂家获得的利润最大，为21万元．三． 巩固提升训练：1．函数y ＝x ln(1－x )的定义域为( )A ．(0，1)B ．[0，1)C ．(0，1]D ．[0，1]【答案】 B 由⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，1－x >0，解得0≤x <1，故选B.2．函数f (x )的图象向右平移一个单位长度，所得图象与曲线y ＝e x 关于y 轴对称，则f (x )＝( )A ．e x＋1B ．e x －1 C ．e－x ＋1D ．e－x －1【答案】 D f (x )向右平移一个单位之后得到的函数应该是g (x )＝e －x ，于是f (x )相当于g (x )向左平移一个单位的结果，即f (x )＝e－(x ＋1)＝e－x －1，选D.3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2（2－x ）， x ＜1，2x －1， x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12【答案】 C ∵log 212＞1，∴f (log 212)＝2log 212－1＝21＋log 23＝2×3＝6.∴原式＝1＋log 24＋6＝9.4．函数f (x )＝x cos x 2在区间[0，4]上的零点个数为( )A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】 C ∵x ∈[0，4]，∴x 2∈[0，16]，∴x 2＝0，π2，3π2，5π2，7π2，9π2都是f (x )的零点．∴f (x )的零点个数为6，故选C.5．设常数a R ∈，函数2()2x x af x a-=+，若()y f x =为偶函数，则a = ; 若()y f x =为奇函数，则a =【答案】当0a =时()y f x =为偶函数，1a =时()y f x =为奇函数【解析】若()y f x =为偶函数，则(1)(1)f f -= ，122122aaa a --=++，解得0a =； 若()y f x =为奇函数，则(0)0f = ，00202aa-=+，解得1a = 6．若a ＝log 43，则2a ＋2－a ＝________．【解析】 ∵a ＝log 43＝12log 23，∴2a＋2－a ＝212log 23＋2－12log 23＝(2log 23)12＋(2log 23)－12＝312＋3－12＝3＋13＝433.7．若函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log ax ，x>2(a >0，a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．【解析】 当x ≤2时，f(x )＝－x ＋6，此时f(x )∈[4，＋∞)．∴当x >2时，f(x)＝3＋log a x 的值域为[4，＋∞)的子集． ①当a <1时，不符合题意；②当a >1时，需满足3＋log a 2≥4， ∴log a 2≥log a a ，∴a ≤2.综上可得1<a ≤2.【答案】 (1，2]8．如图，长方体物体E 在雨中沿面P (面积为S )的垂直方向做匀速移动，速度为v (v >0)，雨速沿E 移动方向的分速度为c (c ∈R )．E 移动时单位时间．．．．内的淋雨量包括两部分：①P 或P 的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量，假设其值与|v －c |×S 成正比，比例系数为110；②其他面的淋雨量之和，其值为12.记y 为E 移动过程中的总淋雨量．当移动距离d ＝100，面积S＝32时， (1)写出y 的表达式；(2)设0<v ≤10，0<c ≤5，试根据c 的不同取值范围，确定移动速度v ，使总淋雨量y 最少．解：(1)由题意知，E 移动时单位时间内的淋雨量为320|v －c |＋12，故y ＝100v ⎝⎛⎭⎫320|v －c |＋12 ＝5v (3|v －c |＋10)．(2)由(1)知，当0<v ≤c 时，y ＝5v (3c －3v ＋10)＝5（3c ＋10）v －15； 当c <v ≤10时，y ＝5v (3v －3c ＋10)＝5（10－3c ）v＋15. 故y ＝⎩⎪⎨⎪⎧5（3c ＋10）v －15，0<v ≤c ，5（10－3c ）v ＋15，c <v ≤10.①当0<c ≤103时，y 是关于v 的减函数，故当v ＝10时，y min ＝20－3c2.②当103<c ≤5时，在(0，c ]上，y 是关于v 的减函数；在(c ，10]上，y 是关于v 的增函数．故当v ＝c 时，y min ＝50c.。

6.2一次函数1．函数y=2x－3，y＝12x2，y＝2x，y＝2x中，是一次函数的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个2．下列函数中，是正比例函数的是( )A．y=5x B．y＝3x－12 C．y＝1xD．y=x2 3．在一次函数y=kx＋3中，当x＝2时，y＝1，则( )A．y＝12x＋3 B．y＝－x＋3 C．y＝12x D．y＝－x4．若5y＋2与x－3成正比例，则y是x的( )A．正比例函数B．一次函数C．无函数关系D．以上都不对5．若函数y＝(m＋1)x＋m2一1是正比例函数，则m的值为( ) A．－1 B．1 C．±1 D．不存在6．某油箱中有油20升，油从管道中均匀流出，100分可以流尽，则油箱中余油量Q (升)与流出时间t(分)之间的函数关系式是，自变量t的取值范围是.7．一根弹簧长15 cm，它所挂物体的质量不能超过18kg，并且每挂1 kg的物体，弹簧就伸长12cm，写出挂上物体后弹簧的长度y(cm)与所挂物体的质量x(kg)之间的函数关系式，并判断y是不是x的一次函数．8．已知y－3与x成正比例，且x＝2时，y＝7．(1)写出y与x之间的函数关系式；(2)当x＝4时，求y的值；(3)当y＝4时，求x的值．9．同一种商品在甲、乙两个商场的标价都是每件10元，在销售时都有一定的优惠．甲的优惠条件是：购买不超过10件按原价销售，超过10件，超出部分按七折优惠；乙的优惠条件是：无论买多少件都按九折优惠．(1)分别写出顾客在甲、乙两个商场购买这种商品应付金额y甲(元)，y乙(元)与购买件数x(件)之间的函数关系式；(2)某顾客想购买这种商品20件，他到哪个商场购买更实惠?参考答案1．B2．A3．B[提示：当x＝2时，y＝l，则1＝2k＋3，所以k＝－1，所以y＝－x＋3．] 4．B5．B[提示：由题意，得m2－1＝0，且m＋1≠0，所以m＝1．]6．Q＝20－0．2t0≤t≤1007．解：y＝12x＋15(0≤x≤18)，y是x的一次函数．8．解：(1)由于y－3与x成正比例，所以设y－3＝kx，把x=2，y=7代人，得7－3＝2k，k＝2，∴y与x之间的函数关系式为y－3＝2x，即y=2x＋3．(2)当x＝4时，y=2x＋3＝2×4＋3＝11．(3)当y=4时，4＝2x＋3，x＝12．9．解：(1)当购买件数x不超过10件时，y甲＝10x，当购买件数x超过10件时，y甲=10×10＋10(x－10)×0．7＝7x＋30，y乙＝9x. (2)当x=20时，y甲＝7×20＋30＝170(元)，y乙＝9×20＝180(元)，y甲＜y乙，所以某顾客想购买这种商品20件，到甲商场购买更实惠．。

《一次函数》拓展训练一、选择题1．若关于x的函数y＝（m﹣1）x|m|﹣5是一次函数，则m的值为（）A．±1B．﹣1C．1D．22．下列函数：①y＝8x；②y＝；③y＝2x2；④y＝﹣2x+1．其中是一次函数的个数为（）A．0B．1C．2D．33．y是x的一次函数，根据表格中的数据可得p的值为（）x﹣201y3p0A．1B．﹣1C．3D．﹣34．已知函数y＝（m+1）x是正比例函数，且图象在第二、四象限内，则m 的值是（）A．2B．﹣2C．±2D．﹣5．一次函数y＝kx+3的自变量取值增加2，函数值就相应减少2，则k的值为（）A．2B．﹣2C．﹣1D．46．下列说法不正确的是（）A．一次函数不一定是正比例函数B．不是一次函数就不一定是正比例函数C．正比例函数是特殊的一次函数D．不是正比例函数就一定不是一次函数7．下列函数不是一次函数的是（）A．y＝x B．y＝C．y＝﹣x+1D．y＝（x﹣3）8．y是x的正比例函数，当x＝2时，y＝4，那么x＝﹣1时，则y等于（）A．2B．1C．﹣2D．﹣19．[a，b]为一次函数y＝ax+b（a≠0，a，b为实数）的“关联数”．若“关联数”[1，m﹣]的一次函数是正比例函数，则关于x的方程x+＝的解为（）A．B．﹣C．D．﹣10．下列语句中，y与x是一次函数关系的有（）个（1）汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶路程y（千米）与行驶时间x（时）之间的关系（2）圆的面积y（厘米2）与它的半径x（厘米）之间的关系；（3）一棵树现在高50厘米，每个月长高2厘米，x月后这个棵树的高度为y厘米，y与x的关系；（4）某种大米的单价是2.2元/千克，当购买大米x千克大米时，花费y元，y 与x的关系．A．5B．4C．3D．2二、填空题11．已知y＝（m+3）x+3是一次函数，则m＝．12．若函数y＝mx+1是一次函数，则常数m的取值范围是．13．函数y＝（m﹣5）x+（2|m|﹣10）x2（m为常数）中的y与x成正比例，则m ＝．14．新定义：[a，b]为一次函数y＝ax+b（a≠0，a，b为实数）的“关联数”．若“关联数”[1，m﹣3]的一次函数是正比例函数，则关于x的方程+＝1的解为．15．已知y是x的一次函数，表中列出了部分对应值，则m等于x﹣101y1m﹣5三、解答题16．已知y＝（k﹣1）x IkI+（k2﹣4）是一次函数．（1）求k的值；（2）求x＝3时，y的值；（3）当y＝0时，x的值．17．当m为何值时函数y＝（m+2）是正比例函数．18．已知函数y＝（m+1）x+（m2﹣1）．（1）当m取什么值时，y是x的正比例函数．（2）当m取什么值时，y是x的一次函数．19．已知正比例函数y＝（m﹣1）的图象在第二、四象限，求m的值．20．已知+（b﹣2）2＝0，则函数y＝（b+3）x﹣a+1﹣2ab+b2是什么函数？当x＝﹣时，函数值y是多少？《一次函数》拓展训练参考答案与试题解析一、选择题1．若关于x的函数y＝（m﹣1）x|m|﹣5是一次函数，则m的值为（）A．±1B．﹣1C．1D．2【分析】依据一次函数的定义列出关于m的不等式组，从而可求得m的值．【解答】解：∵关于x的函数y＝（m﹣1）x|m|﹣5是一次函数，∴|m|＝1且m﹣1≠0．解得：m＝﹣1．故选：B．【点评】本题主要考查的是一次函数的定义，由一次函数的定义列出不等式组是解题的关键．2．下列函数：①y＝8x；②y＝；③y＝2x2；④y＝﹣2x+1．其中是一次函数的个数为（）A．0B．1C．2D．3【分析】根据一次函数的定义进行解答．【解答】解：由于③的自变量x的指数是2，根据一次函数定义可知不是一次函数，故一次函数有3个．故选：D．【点评】本题考查了一次函数的定义．一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数．3．y是x的一次函数，根据表格中的数据可得p的值为（）x﹣201y3p0A．1B．﹣1C．3D．﹣3【分析】根据一次函数的定义列方程组即可得到结论．【解答】解：∵y是x的一次函数，∴设y＝kx+b，∴，解得：，∴y＝x﹣1，当x＝0时，y＝﹣1，∴p＝﹣1，故选：B．【点评】本题考查了一次函数的定义，正确的理解题意是解题的关键．4．已知函数y＝（m+1）x是正比例函数，且图象在第二、四象限内，则m 的值是（）A．2B．﹣2C．±2D．﹣【分析】根据正比例函数的定义，正比例函数的性质，可得答案．【解答】解：由题意，得m2﹣3＝1，且m+1＜0，解得m＝﹣2，故选：B．【点评】本题考查了正比例函数，利用正比例函数的定义得出方程是解题关键，注意比例系数是负数．5．一次函数y＝kx+3的自变量取值增加2，函数值就相应减少2，则k的值为（）A．2B．﹣2C．﹣1D．4【分析】先根据自变量取值增加2，函数值就相应减少2，得到ka+3﹣[k（a+2）+3]＝2，据此求得k的值．【解答】解：当x＝a时，y＝ka+3，当x＝a+2时，y＝k（a+2）+3，∵函数值相应减少2，∴（ka+3）﹣[k（a+2）+3]＝2，∴ka+3﹣（ka+2k+3）＝2，∴﹣2k＝2，∴k＝﹣1，故选：C．【点评】本题考查了一次函数的定义以及待定系数法的运用，注意理解函数解析上的点满足函数解析式．6．下列说法不正确的是（）A．一次函数不一定是正比例函数B．不是一次函数就不一定是正比例函数C．正比例函数是特殊的一次函数D．不是正比例函数就一定不是一次函数【分析】根据正比例函数的定义，以及一次函数的定义，逐项判定即可．【解答】解：∵一次函数不一定是正比例函数，一次函数y＝kx+b，当b≠0时函数不是正比例函数，∴选项A不符合题意；∵不是一次函数就不一定是正比例函数，∴选项B不符合题意；∵一次函数y＝kx+b，当b＝0时函数是正比例函数，∴正比例函数是特殊的一次函数，∴选项C不符合题意；∵一次函数y＝kx+b，当b≠0时函数不是正比例函数，∴选项D符合题意．故选：D．【点评】此题主要考查了正比例函数的定义，以及一次函数的定义，要熟练掌握．7．下列函数不是一次函数的是（）A．y＝x B．y＝C．y＝﹣x+1D．y＝（x﹣3）【分析】根据一次函数的定义，可得答案．【解答】解：A、是一次函数，故A不符合题意；B、是反比例函数，故B符合题意；C、是一次函数，故C错误；D、是反比例函数，故B错误；故选：B．【点评】本题通过考查一次函数，利用一次函数y＝kx+b（k≠0，k是常数）是解题关键．8．y是x的正比例函数，当x＝2时，y＝4，那么x＝﹣1时，则y等于（）A．2B．1C．﹣2D．﹣1【分析】先求出正比例函数的解析式，再把x＝﹣1代入求出y的值即可．【解答】解：设正比例函数的解析式为y＝kx（k≠0），∵当x＝2时，y＝4，∴2k＝4，解得k＝2，∴正比例函数的解析式为y＝2x，∴x＝﹣1时，y＝﹣2．故选：C．【点评】本题考查的是正比例函数的定义，熟知一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数是解答此题的关键．9．[a，b]为一次函数y＝ax+b（a≠0，a，b为实数）的“关联数”．若“关联数”[1，m﹣]的一次函数是正比例函数，则关于x的方程x+＝的解为（）A．B．﹣C．D．﹣【分析】首先根据题意可得y＝x+m﹣，再根据正比例函数的解析式为：y＝kx （k≠0）可得m的值，把m的值代入关于x的方程，再解方程即可．【解答】解：根据题意可得：y＝x+m﹣，∵“关联数”[1，m﹣2]的一次函数是正比例函数，∴m﹣＝0，解得：m＝，则关于x的方程x+＝变为x+＝，解得：x＝，∴关于x的方程x+＝的解为．故选：C．【点评】此题主要考查了解一元一次方程，以及正比例函数，关键是求出m的值．10．下列语句中，y与x是一次函数关系的有（）个（1）汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶路程y（千米）与行驶时间x（时）之间的关系（2）圆的面积y（厘米2）与它的半径x（厘米）之间的关系；（3）一棵树现在高50厘米，每个月长高2厘米，x月后这个棵树的高度为y厘米，y与x的关系；（4）某种大米的单价是2.2元/千克，当购买大米x千克大米时，花费y元，y 与x的关系．A．5B．4C．3D．2【分析】根据一次函数的定义逐个判断即可．【解答】解：汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶路程y（千米）与行驶时间x（时）之间的关系，是一次函数；圆的面积y（厘米2）与它的半径x（厘米）之间的关系，不是一次函数；一棵树现在高50厘米，每个月长高2厘米，x月后这个棵树的高度为y厘米，y 与x的关系，是一次函数；某种大米的单价是2.2元/千克，当购买大米x千克大米时，花费y元，y与x的关系，是一次函数，所以共3个一次函数，故选：C．【点评】本题考查了一次函数的定义，能熟记一次函数的定义的内容是解此题的关键．二、填空题11．已知y＝（m+3）x+3是一次函数，则m＝3．【分析】根据一次函数的定义得出m+3≠0且m2﹣8＝1，求出不等式的解即可．【解答】解：∵y＝（m+3）x+3是一次函数，∴m+3≠0且m2﹣8＝1，故答案为：3．【点评】本题考查了一次函数的定义，能根据一次函数的定义得出关于m的不等式是解此题的关键．12．若函数y＝mx+1是一次函数，则常数m的取值范围是m≠0．【分析】依据一次函数的定义求解即可．【解答】解：∵函数y＝mx+1是一次函数，∴m≠0．故答案为：m≠0．【点评】本题主要考查的是一次函数的定义，掌握一次函数的定义是解题的关键．13．函数y＝（m﹣5）x+（2|m|﹣10）x2（m为常数）中的y与x成正比例，则m ＝﹣5．【分析】根据正比例函数的定义进行解答．【解答】解：∵函数y＝（m﹣5）x+（2|m|﹣10）x2（m为常数）中的y与x成正比例，∴2|m|﹣10＝0且m﹣5≠0，解得m＝﹣5．故答案是：﹣5．【点评】本题考查了正比例函数的定义，正比例函数的一般形式是y＝kx（k≠0）．14．新定义：[a，b]为一次函数y＝ax+b（a≠0，a，b为实数）的“关联数”．若“关联数”[1，m﹣3]的一次函数是正比例函数，则关于x的方程+＝1的解为x＝4．【分析】首先根据题意可得y＝x+m﹣3，再根据正比例函数的解析式为：y＝kx （k≠0）可得m的值，把m的值代入关于x的方程，再解分式方程即可．【解答】解：根据题意可得：y＝x+m﹣3，∵“关联数”[1，m﹣3]的一次函数是正比例函数，∴m﹣3＝0，解得：m＝3，则关于x的方程+＝1变为+＝1，检验：把x＝4代入最简公分母3（x﹣1）＝3≠0，故x＝4是原分式方程的解，故答案为：x＝4．【点评】此题主要考查了解分式方程，以及正比例函数，关键是求出m的值，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解；解分式方程一定注意要验根．15．已知y是x的一次函数，表中列出了部分对应值，则m等于﹣2 x﹣101y1m﹣5【分析】直接利用待定系数法求出一次函数解析式，进而得出m的值．【解答】解：设一次函数的解析式为：y＝kx+b，则，解得：，故一次函数解析式为：y＝﹣3x﹣2，则x＝0时，y＝﹣2．故m＝﹣2．故答案为：﹣2．【点评】此题主要考查了一次函数的定义以及待定系数法求一次函数解析式，正确得出一次函数解析式是解题关键．三、解答题16．已知y＝（k﹣1）x IkI+（k2﹣4）是一次函数．（1）求k的值；（2）求x＝3时，y的值；（3）当y＝0时，x的值．【分析】（1）直接利用一次函数的定义得出k的值即可；（2）利用（1）中所求，再利用x＝3时，求出y的值即可；（3）利用（1）中所求，再利用y＝0时，求出x的值即可．【解答】解：（1）由题意可得：|k|＝1，k﹣1≠0，（2）当x＝3时，y＝﹣2x﹣3＝﹣9；（3）当y＝0时，0＝﹣2x﹣3，解得：x＝．【点评】此题主要考查了一次函数的定义，正确把握一次函数的定义是解题关键．17．当m为何值时函数y＝（m+2）是正比例函数．【分析】直接利用正比例函数的定义分析得出即可．【解答】解：根据题意，得：，由①，得：m＝2或m＝﹣2，由②，得：m≠﹣2，∴m＝2，即当m＝2时函数y＝（m+2）是正比例函数．【点评】此题主要考查了正比例函数的定义，正确得出关于m的等式是解题关键．18．已知函数y＝（m+1）x+（m2﹣1）．（1）当m取什么值时，y是x的正比例函数．（2）当m取什么值时，y是x的一次函数．【分析】（1）根据正比例函数的定义可知m+1≠0且m2﹣1＝0，从而可求得m 的值；（2）根据一次函数的定义可知m+1≠0．【解答】解：（1）∵函数y＝（m+1）x+（m2﹣1）是正比例函数，∴m+1≠0且m2﹣1＝0．解得：m＝1．（2）根据一次函数的定义可知：m+1≠0，【点评】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．19．已知正比例函数y＝（m﹣1）的图象在第二、四象限，求m的值．【分析】当一次函数的图象经过二、四象限可得其比例系数为负数，据此求解．【解答】解：∵正比例函数y＝（m﹣1），函数图象经过第二、四象限，∴m﹣1＜0，5﹣m2＝1，解得：m＝﹣2．【点评】此题主要考查了正比例函数图象的性质：它是经过原点的一条直线．当k＞0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小．20．已知+（b﹣2）2＝0，则函数y＝（b+3）x﹣a+1﹣2ab+b2是什么函数？当x＝﹣时，函数值y是多少？【分析】先根据非负数的性质求出ab的值，再把ab的值代入函数解析式即可判断出函数的种类，再把x的值代入求解即可．【解答】解：因为+（b﹣2）2＝0，所以a＝﹣1，b＝2．所以y＝（2+3）x﹣（﹣1）+1﹣2×（﹣1）×2+22，即y＝5x+9，所以函数y＝（b+3）x﹣a+1﹣2ab+b2是一次函数，当x＝﹣时，y＝5×（﹣）+9＝．【点评】本题考查的是一次函数的定义，要根据非负数的性质解答，初中非负数有三种：绝对值，偶次方，二次根式．一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．。

4.3一次函数的图象1．若一次函数y＝kx＋b的函数值y随x的增大而减小，且图象与y轴的正半轴相交，那么对k，b的符号判断正确的是( )A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜02．小亮每天从家去学校上学行走的路程为900米，某天他从家去上学时以每分30米的速度行走了450米，为了不迟到他加快了速度，以每分45米的速度行走完剩下的路程，那么小亮行走过的路程s(米)与他行走的时间t(分)之间的函数关系用图象表示正确的是(如图6－14所示) ( )3．如图6－15所示的几个图象中，不可能是关于x的一次函数y＝mx－(m－2)的图象的是( )4．已知m是整数，且一次函数y＝(m＋4)x＋m＋2的图象不经过第二象限，则m 为( )A．－3 B．－2 C．－1 D．－3或－2 5．若一次函数y＝kx＋b的图象经过点(x1，y1)和(x2，y2)，且k＞0，b＜0，则当x1＜0＜x2时，有( )A．y1＞b＞y2B．y1＜b＜y2C．y1＜y2＜0 D．y1＞y2＞0 6．若正比例函数y＝(m－1)2-3m x的图象经过第二、四象限，则m的值是．7．一次函数y＝(2m－6)x＋5中，y随x的增大而减小，则m的取值范围是．8．若点M(－2，k)在直线y＝2x＋1上，则M到x轴的距离d＝．9．某种型号的摩托车的油箱最多可以储油8 L，加满油后，油箱中的剩余油量y(L)与摩托车行驶路程x(km)之间的关系如图6－16所示．根据图象回答下列问题．(1)一箱汽油可供摩托车行驶多少千米?(2)摩托车每行驶100 km消耗多少升汽油?(3)油箱中的剩余油量小于1L时，摩托车将自动报警，行驶多少千米后，摩托车将自动报警?参考答案1．C2．D3．C4．D5．B[提示：因为k＞0，所以y＝kx＋b的值随x的增大而增大，又因为x1＜0＜x2，b＜0，所以y1＜b＜y2．]6．－27．m＜38．39．解：(1)当y＝0时，x＝400，所以一箱汽油可供摩托车行驶400 km．(2)x 从0增加到100时，y从8减少到6，减少了2，所以摩托车每行驶100 km消耗2 L汽油．(3)当y＝1时，x＝350，所以行驶了350 km后，摩托车将自动报警．。

初二函数的概念拓展练习题1. 函数的概念：函数是一种数学关系，它将一个值的集合（称为定义域）中的每个元素映射到另一个集合（称为值域）中的唯一元素。

使用符号表示函数的一般形式为：y = f(x)，其中x是自变量，y是因变量。

2. 线性函数与非线性函数：线性函数是一种特殊的函数，其图像是一条直线。

一般形式为：y = kx + b，其中k为斜率，b为截距。

非线性函数则指除了线性函数以外的其他函数。

3. 函数图像的性质：函数的图像可以描述函数的性质和规律。

在笛卡尔坐标系中，横轴表示自变量x，纵轴表示因变量y。

函数的图像可以是曲线、直线或其他形状。

通过观察函数图像，可以得出函数的增减性、奇偶性、周期性等信息。

4. 常见函数的图像：- 线性函数的图像为一条直线，斜率越大，线越陡峭。

- 幂函数的图像为曲线，形状根据幂的正负、大小而变化。

- 开方函数的图像为曲线，有平移和翻转的特点。

- 正弦函数与余弦函数的图像为波浪形，具有周期性。

- 指数函数的图像为曲线，增长速度越快，曲线越陡峭。

5. 函数的定义域与值域：函数的定义域是自变量的取值范围，值域是函数的所有可能取值。

对于一些函数，定义域和值域可能受到限制，例如开方函数的定义域为非负实数集，值域为非负实数集。

6. 函数的符号问题：在函数表示中，不同符号具有不同的含义，例如：- f(x)表示函数f的值，y = f(x)表示函数关系式。

- f'(x)表示函数f的导数。

- F(x)表示函数f的原函数，F'(x)表示函数f的某个原函数的导数。

7. 函数的应用：函数在实际场景中有广泛的应用，例如：- 经济学中的成本函数、利润函数等。

- 物理学中的位移函数、速度函数等。

- 生态学中的物种数量变化函数、生态系统稳定性函数等。

- 计算机科学中的算法复杂度函数、图像处理函数等。

总结：初二函数的概念拓展练习题触及了函数的定义、线性与非线性函数、函数图像的性质、常见函数的图像、定义域与值域、函数的符号问题以及应用等多个方面。

4.1 函数1．如图 6－5 所示，在矩形 ABCD 中， AB ＝ 2，BC ＝ 1，动点 P 从点 B 出发，沿路线 B→ C →D 做匀速运动，那么△ ABP 的面积 S 与点 P 运动的行程 x 之间的函数图象大致是(如图 6－6 所示) ( )．已知函数 ＝x5，当 x ＝－ 2 时，函数 y 的值为()2y1xA ． 3B ．－3C ．1D ．－1＝ 2 y1，则 y 等于33．已知 ()3x ，y 知足等式 x3A. 2 x 1B ． 3x 13 3 2C ． 3x1D ． 3x12224．等腰三角形的底角 y 与顶角 x 之间的函数关系式是．5．菱形的周长为 80 cm ，各边长都减少 x cm(x ＞0)后，获得的新菱形的周长为y cm ，则 y 与x 的函数关系式为.6．当 7．当x ＝2 时，函数x ＝2 时，函数y ＝kx ＋2 与y ＝2x ＋k 和y ＝2x －k 的值相等，则y ＝3kx － 2 的值相等，则k 的值是k ＝；当 x ＝3 时，两函数的函数值分别是，．8．写出函数关系式，并指出自变量的取值范围．(1)假如每盒圆珠笔有 12 支，售价为 18 元，求圆珠笔的售价 y(元)与圆珠笔的支数 x之间的函数关系式；(2)假如高度每高升 1 km ，气温就降落 6℃，求气温降低数 T(℃ )与高度增添数 h(km)之间的函数关系式；(3)设正方形 ABCD 的边长为 5，P 是 DC 边上一动点 (不与 D ，C 重合 )，设 DP 的长为 x ，求梯形 ABCP 的面积 y 与 x 的函数关系式．参照答案1．B2．B3．D4．y ＝－ 1x ＋ 90°(0°＜ x ＜180°)25．y ＝－ 4x ＋80(0＜x ＜20)6．23[ 提示：当 x ＝2 时，函数 y ＝ kx ＋2 的值为 2k ＋2，函数 y ＝2x －k 的值为 4－ k ，由题意，得 2k ＋2＝4－ k ，因此 k ＝2.]37．1．2 7．2 8．8．解： 每支圆珠笔的价钱为18＝ 3元，∴ y ＝ 3 ， 为自然数．(2)由题意得，8(1) 1222x xT=6hh ≥0．(3)由梯形的面积公式，得y ＝ 1×5×(5＋5－x)＝ 25－ 5， ＜ ＜ ．22 x 0 x5。