中职数学拓展模块课后作业答案

第1章充要条件参考答案1．1充分条件和必要条件【要点梳理】1．充分条件，p q．2．如果q，那么p．3．必要条件，p q．【闯关训练】1．1充分条件和必要条件一、选择题1．D．2．C．3．A．4．B．*5．C．提示：判断p是不是结论q的充分条件，只需要判断由p能不能推出q．*6．A．提示：判断p是不是结论q的必要条件，只需要判断由q能不能推出p．二、填空题1．假命题2．日取其半，万世不竭3．如果己所不欲，那么勿施于人三、解答题充分条件：x＝10；x＞8；必要条件：x－5＞0；x＞0．1．2 充要条件【要点梳理】1．充要条件，p q．2．充分条件，必要条件．【闯关训练】1．2充要条件一、选择题1．B．*2．C．提示：要想p是q的充分不必要条件，那么，不但由p能推出q，而且由q不能推出p．*3．A．提示：要想p是q的必要不充分条件，那么，不但由q能推出p，而且由p不能推出q．4．C．二、填空题*1．（2）（3）（4）．提示：由“且”联结的两个命题，如果都是真命题，那么整个命题为真，只要有一个是假命题，整个命题就是假命题，即所谓：真真才为真；由“或”联结的两个命题，如果都是假命题，那么整个命题为假，只要有一个是真命题，整个命题就是真命题，即所谓：假假才为假．2．（1）（2）（3）（4）（5）（6）第一章自我检测一、选择题（每小题10分，共60分）1．D．2．A．3．B．4．A．5．C．6．D．二、填空题（每小题10分，共30分）1．必要不充分．*2．充要．提示：本题是学生比较熟悉的关联情境问题，在“A、B是 ABC内角”的前提下，A、B中最多只有一个钝角或都是锐角；如果sin A＝sin B，那么A 与B只可能相等且都为锐角，不可能互补；同时，如果A＝B，那么必有sin A＝sin B．*3．（1）（3）．提示：命题（1）中由a＋b＋c＝0可知1是方程ax2＋bx＋c＝0的一个实数根；可以用特殊值法,例举小于或等于0的x，不满足1x＞1;命题（4）可以结合图示法判断；命题（5）可以采用特殊值法,当“x≠1且y≠2”时,如x ＝0且y＝3,照样有x＋y＝3,“x≠1且y≠2”不是“x＋y≠3”的充分条件．三、解答题（10分）必要不充分条件．因为：A B C D，即A D，也就是说D A，所以D 是A的必要不充分条件．第2章平面向量参考答案2．1 向量的概念【要点梳理】1．大小，方向.2．大小，|a|.3．模为1.4．模为0，0或0，任意的.5．模相等，方向相同.6．模相等，方向相反，零向量.7．方向相同，相反，共线向量.【闯关训练】2．1 向量的概念一、选择题1．B.2．D.3．A.4．D.5．D.6．C.7．A.8．B.二、填空题1．任意的.2．−.3．充分不必要.4．AD，DA，CD，DC，BD，DB，BC，CB.三、解答题1．如图，其中向量AB 是单位向量．2．（1）=KJ DC ，模为2； （2）=HG UV；（3）AB ∥MN，模分别为，HG ∥UV ，模为10DC ∥KJ ∥ST ，模分别为2、2和1， FE ∥PQ ，模分别为3和1.3．（1）GC ∥CG ∥AE ∥EA ∥EB ∥BE ∥AB ∥BA ； （2）=AG EC ．2．2 向量的线性运算【要点梳理】1．加法，减法，数乘. 2．AC ，CB . 3．a ，0. 4．AC . 5．b +a ，(a +b )+c . 6．|λ||a |.7．相同，相反，0，是任意的. 8．λ(μa )，μ(λa )，λa +μa ，λa +λb . 9．存在实数λ，使得b =λa .xy OA BC1 2-3110．e=λa +μb （λ、μ均为实数）.【闯关训练】2．2．1 向量的加法运算一、选择题1．B ． 2．A ． 3．D ．4．C.提示：向量同向时和向量的模为4，向量反向时和向量的模为2. 5．C ． 二、填空题1． AD .提示：原式==AB BC CD AD ++. 2．水平向西，2.3．（1）DE .提示：原式==DB BE DE +； （2）ED .提示：原式=++=+=EA AB BD EB BD ED . 三、解答题1．=AD AO OD +，=AD AB BD +,=AD AC CD +；由于=AD BC ，因此=AD BO OC +,=AD BD DC +,=AD BA AC +；由于=AO OC ，=BO OD ，因此==AD AO BO OC OD ++．2．图略．2．2．2 向量的减法运算一、选择题1．A. 2．B. 3．A.4．B.提示：==AC AB BD DC BC -+.*5．D.提示：=OA OB BA -，因为=AC CA -，所以==BA AC BA CA BC +-. 二、填空题1． DC . 2．（1）DB ； （2）DC .3．2或4.提示：两个向量同向时差向量的模是2，反向时差向量的模是4. 三、解答题1．原式===CB CD DE DB DE EB ---． 2．图略．2．2．3 向量的数乘运算一、选择题1．C. 2．A. 3．C. 4．D. 5．B. 二、填空题1． -a . 2．相反，2. 3．OD . 三、解答题1．原式=5a -6a -4b +3a -3b =2a -7b ．2．（1）根据题意，“A 队”在静水中的速度大小为11 km/h 、方向正北，所以实际速度为9 km/h 、方向正北；（2）由AC =-4AB 得到“B 队”的实际速度大小为8 km/h 、方向正北． 【学海探津】平行四边形.提示：==+AB AD DB +a b ,==+DC DA AC +a b ，即=AB DC .2．3 向量的内积【要点梳理】1．最小正角，<a ,b >. 2．0，π，0≤<a ,b >≤π. 3．|a ||b |cos <a ,b >，0. 4．（1）a ⋅b =0；（2；（3）⋅a ba b.【闯关训练】2．3 向量的内积一、选择题1．C ． 2．B ． 3．A ． 4．A ． 5．D ． 6．B ． 7．B ．*8．C.提示：由0AB AC ⋅<知cos A <0，所以三角形中角A 为钝角，即三角形是钝角三角形. 二、填空题1．2. 2．135°.3．120°.提示：向量AB 与向量CA 起点不相同，需要将向量平移至同一起点再确定夹角. 4．3 600.三、解答题1．a ⋅(a -b )= a ⋅a -a ⋅b =|a |2-|a ||b |cos <a ,b >=4-⎛ ⎝⎭=7． 2．当向量a 与b 同向，即a 与b 的夹角<a ,b >=0时，a ⋅b =|a ||b |cos0=2；当向量a 与b 反向，即a 与b 的夹角<a ,b >=π时，a ⋅b =|a ||b |cosπ=-2．3．根据平面几何知识=2DB ，并且DC DB ，=45°，所以=12=12DC DB ⋅⨯．2．4 向量的坐标表示【要点梳理】1．a =x i +y j ，a =(x ,y ).2．(0,0)，(1,0)，(0,1)，(x ,y )，2121(,)x x y y --.3．1212(+,+)x x y y ，1212(,)x x y y --，11(λ,λ)x y ，1212+x x y y . 4．（1）21x x =21y y ，1221=x y x y ；（2）1212+=0x x y y ；（3）；（4.【闯关训练】2.4.1 向量的坐标表示一、选择题1．D. 2．B. 3．C. 4．A. 5．B. 二、填空题1．(5,-4)，(5,-4). 2．(5,3).3．(10,2)，(-2,-3). 三、解答题1．OA =(-3,1)，OA =-3i +j ，在坐标系中如图所示：2．设点C 的坐标是(x ,y )，因为四边形是平行四边形，所以=OB DC .根据已知条件，OB =(4,0)，DC =(x -2, y -3)，所以应满足2=43=0x y -⎧⎨-⎩，，解得 x =6，y =3，即点C 的坐标是(6,3).2.4.2 向量线性运算的坐标表示一、选择题1．A.2．D.3．D.4．C.5．B.二、填空题1．(7,9).2．-5.*3．(-4,1)或(-12,3).提示：应分类讨论两种情况．如果点C在线段OB上，那么点C 坐标是(4,-1)，此时=BC(-4,1)；如果点C在线段BO延长线上，那么点C坐标是(-4,1)，此时=BC(-12,3).三、解答题1．（1）a-2b=(-2-2×2,2-2×4)=(-6,-6)，3a+b=(3×(-2)+2, 3×2+4)=(-4,10)；（2）a-2b=(3-2×(-1),1-2×0)=(5,1)，3a+b=(3×3+(-1), 3×1+0)=(8,3).2．设点D的坐标是(x,y)，根据已知得到，AB=(6,6)，DC=(-1-x,2-y)，所以(6,6)=2(-1- x,2- y)=(-2-2x,4-2y)，得到方程组22=642=6xy--⎧⎨-⎩，，解得：x=-4，y=-1，所以点D的坐标是(-4,-1)．2.4.3 向量内积的坐标表示一、选择题1．B.2．D.3．C.4．A.5．A.6．D.7．C.*8．B.提示：AB AC⋅=0 ，所以∠A=90°.二、填空题1．0. 2．5. 3．2.4．(42,-28)，(-34,-85).提示：a ⋅b =2×(-3)+5×4=14，所以(a ⋅b )c =14c =(42,-28)；b ⋅c =(-3)×3+4×(-2)=-17，所以a (b ⋅c )=-17a =(-34,-85)． 三、解答题1．a ⋅b =4×2+(-3)×2 =2；|a ；|b ；cos ,=⋅a b a b a b 2．由题意得 a +λb =(4,-2)+ λ(1,-3)=(4+λ,-2-3λ)，因为a +λb 与b 垂直，所以 (4+λ,-2-3λ)⋅(1,-3)=4+λ+(-3)×(-2-3λ)=10+10λ=0，所以λ=-1．3．由题意得cos <a ,b >=cos60°=1212，解得=k ±【学海探津】约为5 kg ．第二章 自我检测一、选择题（每小题8分，共40分）1．D. 2．B. 3．A. 4．C. 5．B.二、填空题（每小题8分，共40分）1．b .提示：原式=5a -2a +4b -3a -3b =b ． 2．10. 3．(1,1). 4．18.5．-7.提示：原式=(-1+2×1,3+2×(-2))⋅(-1-1,3-(-2))=( 1,-1)⋅(-2,5)=-7. 三、解答题（每小题10分，共20分）*1．由题意知i ⋅j =0，a ⋅b <0． ——————————————————4分 因为a ⋅b =(3i -m j )⋅(i +2j )=3-2m <0． ————————————————8分解得32m>，即m的取值范围是3+2∞⎛⎫⎪⎝⎭，．——————————————10分2．（1）如图所示：——————3分（2）根据题意建立直角坐标系时，应有|f1|=|f2|=60，——————5分所以f1=(30-,，f2=(30,，———————7分f1+f2=(0,. ———————9分（3）f1+f2是与物体重力方向相反，大小相同的力，因此垃圾所受重力是N.———————10分第3章 圆锥曲线 参考答案3.1 椭圆【要点梳理】1．两个定点12,F F ；常数. 2.焦点；焦点；焦距.3.()222210y x a b a b+=>>；,a x a b y b --；()()()(),0,,0,0,,0,a a b b --；()()()(),0,,0,0,,0,b b a a --；()(),0,,0c c -；2c ；2a ；2b ；ca. 【闯关训练】3.1.1椭圆的标准方程一、选择题 1.C.2.B.3.C.4.B.5.C.6.D.7.A.8.A.二、填空题1. 2.20. 3.6. 4.1. 三、解答题1.解：由题意设所求的椭圆标准方程为)0(12222>>=+b a by a x .因为2c =，所以32=c ，即1222=-b a，又因为点P 在椭圆上，因此22821a b +=，即222212,82 1.a b a b ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩解得2216,4.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩故椭圆标准方程为221164x y +=. 2.解：由题意得，Sab π=,即S ab π==，得ab =.又因为21212432F AB C AF AF BF BF a =+++==△，得8a =，所以b =，故椭圆的标准方程为221364x y +=. 3.解：由题意得，2c =,12=4F F . 又因为112122PF F F F F PF -=-，因此1212282PF PF F F a +===，即4a =， 则22216412b a c =-=-=，故椭圆的标准方程为2211612x y +=.3.1.2椭圆的几何性质一、选择题 1.A. 2.D. 3.D. 4.A. 5.B. 6.C. 7.D.*8.B.二、填空题1.()()()()2,0,2,0,0,1,0,1--；2. 2.221169x y +=. 3.22198x y +=.*. 三、解答题1.解：由椭圆方程得，22124x y +=，焦点在y 轴上， 则2242a ,b ==，因此2222c a b =-=，即2a ,b ===因此椭圆的长轴长为4，短轴长为，焦距为，焦点坐标为((00,,，顶点坐标为()()())020200,,,,,-，离心率2c e a ==. 2.解：由题意得，椭圆焦点可能在x 轴上或y 轴上， （1）当椭圆焦点在x 轴上时，228a ,b m ==，且8m <，则2228c a b m =-=-，而12e =，因此2221848c m e a -===，解得6m =.（2）当椭圆焦点在y 轴上时，228a m,b ==，且8m >，则2228c a b m =-=-，而12e =，因此222184c m e a m -===，解得323m =.综上所述，m 的值为6或323. *3.解：在Rt OFA ∆中，,,AF a OA b OF c ===，由题意得26a =，得3a =，2cos 3OF c OFA AFa ∠===，可解得2c =， 因此222945b a c =-=-=，故椭圆的标准方程为22195x y +=．【学海探津】解：设椭圆的长轴长为2a ，焦距为2c ，由题意得200174086001740a c a c -=+⎧⎨+=+⎩，解得61404200a c =⎧⎨=⎩，所以离心率42000.686140c e a ==≈．3.2 双曲线【要点梳理】1．两个定点12,F F ；绝对值. 2.焦点；焦距.3. y 2a 2−x 2b 2=1；,x a x a y R -∈或；()(),0,,0a a -；()()0,,0,a a -；()(),0,,0c c -；()()0,,0,c c -；2c ；2a ；2b ，c a ；b y x a=±；a y x b =±.【闯关训练】3.2.1双曲线的标准方程一、选择题 1.B. 2.D. 3.A. 4.A. 5.C.7.A. 8.C. 二、填空题1.2.((0,,. 3.()(),14,-∞+∞.*4.1.三、解答题1. 解：由题意得，6b =，10c =，且焦点在x 轴上，则2221003664a c b =-=-=，故双曲线的标准方程为2216436x y -=． 2. 解：由2120m +>知双曲线的焦点在x 轴上， 因此2212a m =+，224b m =-，且240m -<， 又因为2222212416c a b m m =+=++-=，所以4c =， 故双曲线的焦点坐标为()()4,0,4,0-，焦距为*3. 解：由双曲线定义得，216AF AF -=，216BF BF -=，因此216AF AF =+，216BF BF =+，而22211ABF C AB AF BF AB AF BF =++=++△3.2.2双曲线的几何性质一、选择题2.B.3.C.4.D.5.A.6.C.7.B.8.C.9.A.*10.B.二、填空题1.45y x =±.2.6.3.221412x y -=. 4. 3∶1.5.221416x y -=或22141y x -=. *6. 4.三、解答题1. 解 将双曲线的方程22169144x y -=化为标准方程221916x y -=， 由此可得双曲线的焦点在x 轴上，229,16a b ==，22291625c a b =+=+= 从而，3,4a b ==，5c =．故双曲线的焦点坐标为()()5,0,5,0-，顶点坐标为为()()3,0,3,0-，实轴长为6，虚轴长为8，离心率53c e a ==，渐近线方程为43b y x x a =±=±.2. 解 ⑴由题意得，5210,5,4c c c e a ====， 则2224,9a b c a ==-=， 又因为焦点在x 轴上，故双曲线的标准方程是221169x y -=； ⑵由题意得1b =，又因为2e =，则22222514c a e a a +===，解得24a =，由于焦点在y 轴上，故双曲线的标准方程为22141y x -=.3. 解 由于22126x y k k +=--是双曲线方程，且26k k ->-， 因此2060.k k ->⎧⎨-<⎩，解得26k <<．即222,6a k b k =-=-，则222264c a b k k =+=-+-=，2c =， 而2ce a==，得到1a =，因此23b =，b = 故21k -=，3k =，故双曲线的焦点坐标为()()2,0,2,0-，渐近线方程为y =. *4. 解 由题意得双曲线的焦点在x 轴上，焦点坐标为()()5,0,5,0-，5c =．方法一：设双曲线方程为()222210,0x y a b a b -=>>，则224,325.b a a b ⎧=⎪⎨⎪+=⎩解得229,16.a b ⎧=⎨=⎩ 故双曲线的标准方程为221916x y -=．*方法二：根据渐近线方程x y 34±=，可设双曲线方程为()220916x y λλ-=≠， 因此229,16a b λλ==，则2229162525c a b λλλ=+=+==，得=1λ，故双曲线的标准方程为221916x y -=．3.3 抛物线【要点梳理】 1．定点，相等. 2．焦点，准线.3. 22y px =-；22x py =；22x py =-；0,x y R ∈；0,y x R ∈；0,y x R ∈；x 轴；y 轴；y 轴；,02p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭；0,2p F ⎛⎫⎪⎝⎭；0,2p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭；2p x =；2p y =-；2py =；()0,0；1．【闯关训练】3.3.1抛物线的标准方程一、选择题 1.D. 2.D. 3.C. 4.A. 5.A. 6.C. 7.B. 8.B. 二、填空题 1. ()1,0.2. 28y x =-.3. 3.4. 4. 三、解答题1. 解：（1）由焦点坐标可知22p=，4p =，焦点在y 轴负半轴上， 故抛物线的标准方程为28x y =-. （2）由准线方程可知122p =，1p =，焦点在y 轴正半轴上， 故抛物线的标准方程为22x y =.（3）由题意可知4p =，故抛物线的标准方程为28y x =或28y x =-.2. 解：（1）将抛物线的方程化为标准方程22y x =-可知，抛物线的焦点在x 轴负半轴上，且22p =，1p =，122p =， 故抛物线的焦点坐标为1,02F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，准线方程12x =．（2）将抛物线的方程化为标准方程26x y =可知，抛物线的焦点在y 轴正半轴上，且26p =，3p =，322p =， 故抛物线的焦点坐标为30,2F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程32y =-．3. 解：由题意可得，动点P 到定点(4,0)F 的距离与它到定直线4x =-的距离相等，动点P 的轨迹是焦点为(4,0)F ，准线方程为4x =-的抛物线.因此42p=，8p =，216p =.动点P 的轨迹方程为216y x =.【学海探津】如图建立平面直角坐标系，则有()16,8A -，设抛物线方程为()220x py p =->，将()16,8A -代入得，16p =，即抛物线方程为232x y =-， 当2x =时，18y =-，而1638788-=>，则竹排能够安全通过桥孔．3.3.2抛物线的几何性质一、选择题 1.D. 2.C. 3.B. 4.A. 5.A. 6.C. 7.B. *8.D. 二、填空题 1. 28y x =. 2. 2±. 3. 16.*4. ()()1,1,4,2-. 三、解答题1. 解：（1）因为抛物线的对称轴为x 轴，点()2,1-是第二象限内的点，故抛物线的焦点在x 轴的负半轴上，设抛物线方程为22y px =-， 将点()2,1-代入方程得，41p =，14p =，122p =．故抛物线的标准方程为212y x =-.（2）由双曲线方程22142x y -=可知双曲线的右顶点为()2,0， 因此抛物线的焦点为()2,0，则22p=，4p =，28p = 故抛物线的标准方程为28y x =.2. 解：因为抛物线的对称轴为y 轴，点(),3P m 是第一或第二象限内的点，故抛物线的焦点在y 轴的正半轴上，如图所示， 由抛物线的定义可知3522p p pPF y =+=+=， 因此4p =，28p =，故抛物线的标准方程为28x y =.*3. 解：如图所示，由抛物线和正三角形的图形特征可得直线AB 的倾斜角为6π，直线BC 垂直于x 轴，且,B C 关于x 轴对称.直线AB方程为y x =，代入抛物线方程22y x =，解得6,x y =⎧⎪⎨=⎪⎩或0,0.x y =⎧⎨=⎩因此(6,(6,B C -， 故△ABC 的边长BC =. 【学海探津】解：以拱桥的桥顶为原点，如图所示，建立平面直角坐标系．CBAyx可设抛物线的标准方程为22x py =-， 由题意得，点()16,8-在抛物线上，将点()16,8-代入方程22x py =-得，16p =，232p =，因此抛物线的标准方程为232x y =-．解法一：因为木箱的宽为4m ，则2x =±，代入方程得，18y =-，那么此时的最高限度为16387.875788-==>， 所以此时竹排能够安全通过桥孔．解法二：因为木箱的高为7m ，则871-=，1y =-，代入方程得，x =±，那么此时的最大宽度为4>，所以此时竹排能够安全通过桥孔．第三章 自我检测一、选择题 （每小题6分，共48分）1.B.提示：由题意可得，,2ab b π⎧=⎪⎨⎪=⎩即可解得2,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩ 2. B.提示：由题意可得，2a =，b =5a y x xb =±=±. 3. D.提示：由题意可得，抛物线的焦点在y 轴的负半轴上，52p=，10p =. 4. D.提示：由题意可得，28a =，4a =，又因为34c e a ==，可得3c =，图3-11Oy x因此2221697b a c =-=-=，而椭圆的焦点可能在x 轴或y 轴上，因此椭圆方程有两种可能.5. C.提示：可结合图像得到，13p y +=，2p y =.6. B.提示：由题意可得，2516,160.m m m ->+⎧⎨+>⎩求解即可得到m 的取值范围.*7. B.提示：由题意可得，12222322AF AF AF AF AF a -=-==，因此2AF a =，13AF a =，又因为1290F AF ∠=︒，可得2221212AF AF F F +=，即22294a a c +=，化简得，22104a c =，2252c a =，即2c e a ==.*8. B.提示：由已知得81.5010a =⨯，离心率0.02ce a==，因此，80.0310c =⨯，则地球到太阳的最远距离为8881.50100.0310 1.5310a c km +=⨯+⨯=⨯，最近距离为8881.50100.0310 1.4710a c km -=⨯-⨯=⨯. 二、填空题（每小题8分，共32分） 1.提示：由题意可得，221m +=，解得m =.2. 212y x =-.提示：由题意可得，椭圆的左顶点为()3,0-，因此抛物线的焦点即为()3,0-，则32p=，6p =. 3. 1.提示：由题意可得，24a =，24b m =-，所以2a =，222c a b m =-=，而12c e a ==，则1c =. *4. ()2,2.提示：从图像中可知，要使PA PF +最小，则过点A 作AQ l ⊥，垂足为Q ，交抛物线于点P ，此时点P 的纵坐标为2，代入抛物线方程可得横坐标为2.三、解答题（每小题10分，共20分）1. 解：由题意可设抛物线的标准方程为22x py =，---------------2分当水面宽度为40m 时，水面最深处为2m ， 即当20x =时，2y =，---------------1分将点()20,2代入抛物线方程得，4004p =，100p =，---------------2分 则抛物线的标准方程为2200x y =，---------------2分当水面宽度为36m 时，即18x =时，得 1.62 1.8y =<，---------------2分 因此这艘吃水深度为1.8m 的货船不能安全通过．---------------1分*2. 解：方法一：由题意得，双曲线141622=-y x 渐近线为12y x =±，---------------2分当x =时，12y =±⨯=而2<<，因此所求的双曲线焦点在x 轴上，---------------2分设双曲线方程为()222210,0x y a b a b-=>>，则221,2244 1.b a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得228,2.a b ⎧=⎨=⎩---------------4分 故双曲线的标准方程为22182x y -=．---------------2分 *方法二：设双曲线方程为()220164x y λλ-=≠，---------------4分将点2)代入方程得，12λ=，---------------2分 故双曲线的标准方程为2211642x y -=即22182x y -=．---------------4分第4章立体几何参考答案4.1 平面【要点梳理】1. 无限延伸；平行四边形；α、β、γ….2.同一直线上;A∈α,B∈α,C∈α;所有点；m α；该直线外一点；相交直线；平行直线；公共直线；α∩β=l.【闯关训练】4.1.1平面的特征和表示一、选择题1.C.2.B.3.D.4.D.5.D.二、填空题1.平面BD、平面DB、平面CA、平面ABCD（答案不唯一）.2.A∈m且A β.三、解答题1.解：连接BD′和AC′，则BD′与AC′的交点就是点P，如图所示.4.1.2平面的基本性质一、选择题1.D.2.D.3.D.4.C.A BC DB′C′D′A′P（1） （2） （3）二、填空题 1.相交.2.1或 3. 3.l ∩α=A .三、解答题1.答：A ∈AB ，AB 平面AB ′，AB ∩BC =B （答案不唯一）.2.解：如图 （1）（2）（3）.4.2直线与直线的位置关系【要点梳理】1.异面直线；共面直线.2.3；平行；相交；异面.3.同一条直线.4.1；最小正角.5.0；02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，；02π⎛⎤⎥⎝⎦，.6.相等.7.不经过.8.公垂线；公垂线段；距离.【闯关训练】4.2.1共面直线一、选择题 1.C.2.D.3.B.4.D.αBCAαPmnαmn二、填空题1.AB 与BC ，AB ′与BB ′.（答案不唯一）2.AB 与CD ，BB ′与CC ′.（答案不唯一）3.AA ′与AB ，BC 与B ′C ′.（答案不唯一） 三、解答题1.（1）平行；（2）相交.*2.证明：在长方体 ABCD －A′B′C′D′中，∵点O 是AC 与BD 的交点，点O′是A′C′与B′D′的交点. ∴OD =12BD ，O′D′=12B′D′，且OD ∥O′D′ 又∵BD = B′D′ ∴OD O′D ′∴四边形OO′D′D 是平行四边形.4.2.2异面直线一、选择题 1.C.2.C.3.D.4.B.5.C.6.C.7.D.8.B.二、填空题1.AB 与CD 、BC 与AD 和AC 与BD .2.异面.*3.3π.提示：将 A D′平移至 BC′，则∠A′C′B 是 AD′与 A′C′所成的角. 连接 A′B ，则△A′BC′是等边三角形，故AD′与A′C′所成的角为3π.*4.125.提示：因为DD ′⊥平面AC ，AC 平面AC ，所以DD ′⊥AC ，故点D 到AC 的距离就是DD ′与AC 的距离，设为h.在△ACD 中，AB=4cm ，BC=3cm,由AD ×DC=AC ×h 知，h=125. 三、解答题1.解：与直线EH 异面的直线有SC 、AC 、BC.2.解：（1）∵长方体ABCD-A ′B ′C ′D ′中，D′C′⊥DD′且D′C′⊥BC′∴D ′C ′是直线DD′与BC′的公垂线段 又∵D′C′=AB=8∴DD′与BC′的距离为8.（2）平移DD ′至CC ′，则∠CC ′B 是直线DD ′与BC ′所成的角.在RT △BCC ′中，BC=CC′=6∴∠CC ′B=4π，即直线DD ′与BC ′所成角的大小为4π. 3.证明：假设PC 与AB 共面.∵点A 、B 、C 同在平面α内则PC α，与直线PC 与平面相交于点C 矛盾 ∴PC 与AB 是异面直线.4.3 直线与平面的位置关系【要点梳理】 1.无数；相交；平行.2.直线在平面外.3.平行.4.平行.5.垂直.【闯关训练】4.3.1 直线与平面平行一、选择题 1. D. 2. C.3.A.4.D.5.C.二、填空题1.平行或在平面内.2.平行、相交、异面.3.无数.三、解答题1.证明：连接AC交BD于点O，连接MO.由□ABCD知，点O为AC的中点.∵点M为P A中点，∴在△P AC中，MO为中位线，有MO∥PC.又∵MO 平面MBD ，PC 平面MBD,∴PC∥平面MBD.2.证明：连接MO.由□ABCD知，点O为中点，∵点M为PB的中点,∴在三角形PBD中，MO为中位线，有MO∥PD.又∵PD 平面MAC，MO 平面MAC，∴PD∥平面MAC.4.3.2 直线与平面垂直一、选择题1.C.2.A.3.B.4.D.5.C.6.C.7.C.8.B.二、填空题 1.1.2.2. 3.60°.4.2a . 三、解答题1.l l l l l 设△ABC 在平面 α内，直线⊥AB ，⊥BC ，求证：⊥AC 证明：∵ ⊥AB ， ⊥BC ，AB 平面 α，BC 平面 α且 AB ∩BC =B ，l ∴ ⊥平面 ABC .又∵AC 平面 ABC ，∴l ⊥AC ，即与三角形两边垂直的直线也和三角形的第三边垂直.2．证明：∵点O 是正方形ABCD 对角线的交点，∴点O 是AC 和BD 的中点. ∵P A=PC ，∴在等腰三角形P AC 中， PO ⊥AC. 同理：PO ⊥BD .又∵AC 平面ABCD ，BD 平面ABCD 且AC ∩BD =O ， ∴PO ⊥平面ABCD.*3. 证明：（1）∵点O 为□ABCD 对角线交点，∴点O 为AC 的中点. 又∵点M 是PC 的中点，在△P AC 中，由中位线定理知，MO ∥P A . ∵P A ⊥平面ABCD ， ∴MO ⊥平面ABCD .（2）∵AD=AC=2，在等腰 ACD 中，过A 作AE ⊥CD ，∴点E 为CD 的中点，连接ME 、PD . 由ME 为中位线知，ME12PD .∵P A ⊥平面ABCD ，AD 平面ABCD ， ∴P A ⊥AD .在Rt P AD 中，P A=AD=2，PD =.∴ME .4.3.3 直线与平面所成角一、选择题*1. D. 提示：直角在平面的射影当摆放角度不同时可得到直角、锐角和钝角的情况. 2.B.3.A.4.D.5.D.*6. C.提示：设平面 α 内的等腰 RT △ABC 的腰长为 1，则可得 AB =RT △PBC 中，∠PBC =60°,BC=1,可得PB =2，因此在RT △P AB 中,cos ∠PBA =AB PB=2,所以，∠PBA =45°. *7. D.提示：由点 P 到四条边的距离相等，则其射影也相等，即点 P 在四边形ABCD 的射影到四条边的距离都相等，因此，四边形即为圆的外切四边形. 8. D.二、填空题 1.90°、0°.2.90°.3.垂足与斜足.4.45°.三、解答题1.解：（1）由题知在正方体中，1A B 与平面所成角为∠1A BA =45°（2）连接11B C BC 与交于点O ，连接1A O 可证∠1BA O 即为直线1A B 与平面11A B CD 所成角，设正方体边长为1，可得12A B BO ==，则在直角三角形1A BO 中，∠1BA O =30°.2.解：（1）正方体ABCD- A 1B 1C 1D 1中，B 1 D 1 ∥BD ，∴∠OBD 是BO 与B 1 D 1所成的角. ∵正方体棱长为2,∴BD=，.在RT △ABO 中，∵222BD =OD +BO ，∴△BOD 是直角三角形，∠BOD =90°. 又∵OD =12BO ， ∴∠OBD =30°.（2）过O 做OE ⊥AD ，连接BE ，则∠OBE 为BO 与平面ABCD 所成的角.由正方体棱长为2，可得OE =1，BE则tan ∠OBE =5*3. 提示：本题主要考查正棱锥顶点在底面射影在底面高线上，且分高所成比例为2∶1 .解：过点 P 做 PO ⊥面 ABC ，AD ⊥BC ，则点 O 在 AD 上且 AO:OD =2∶1在△PBC 中，可得PD =2，在△ABC 中，可得AD =2，因此OD ，在RT △POD 中，由勾股定理可得PO =34.4 平面与平面的位置关系【要点梳理】1.相交；平行.2.相交.3.半平面；二面角.4.垂直.【闯关训练】4.4.1 两平面平行一、选择题1.D.2.A.3.A.4.D.5.B.二、填空题1.平行或异面.2.平行.3.0或1.三、解答题1.证明：在正方体ABCD- A1B1C1D1中，A1B∥D1C.∵A1B 平面CB1D1，D1C 平面CB1D1，∴A1B∥平面CB1D1.同理可得A1D∥平面CB1D1.又∵A1B与A1D相交于平面A1BD内一点A1，∴平面CB1D1∥平面A1BD.*2. 如图所示，已知平面α∥平面β，AB∥CD，A、C∈平面α，B、D∈平面β.求证：AB=CD.图4-47 证明：连接AC 、BD .如图所示，平面ABDC ∩α=AC ，平面ABDC ∩β=BD,∵α∥β， ∴AC ∥BD . 又∵AB ∥CD ， ∴ABDC 为平行四边形∴AB=CD .4.4.2 二面角一、选择题 1.C.2.C.*3. B.提示：在长方体中，二面角的平面角为∠1A BA ，在RT △1A BA 中，AB=1,13AA =，则∠1A BA =60°.*4. D.提示： 连接AC 、BD 和MO ，由题知∠MOC 为二面角的平面角，可先算出其互补角∠MOA =60°. 5.B.二、填空题 1.82. 2.532. *3. 30°.提示：在长方体中可得二面角的平面角为∠11D AA ，在RT △11D AA 中，边长1113,1AA A D BC ===，可得∠11D AA =30°. 三、解答题1.解：设上升到点P ，过P 做PO ⊥底面，由直道与水平线成45°且长度为200米，可得点P 到坡脚距离为1002，又山坡斜度为60°，6则可得,PO =50.*2.提示：分别利用直线和平面所成角求出 MD 和 MA ，在 RT △MAD 中可求αCAβBD解：（1）由题知∠CMD为MC与平面MAD所成角，∠MCA为MC与平面ABC 所成角，由MC=4，可得MD=MA=2，在RT△MAD中，可得AD=2（2）过点D作DE⊥MC，过A做AN⊥MC，做EH∥AN，在等腰RT△MDC中，可得DE=2，在△MAC中，可得AN，EH，,又在△ACD与△AHD中,利用余弦定理可得DH=3.在△DEH中,利用余弦定理可得cos∠DEH=34.4.3 两平面垂直一、选择题1.A．2.C．3.B．4.A．5.A．6.B．7.D．8.D．二、填空题1. .2.垂直.3. .4.互相平行.三、解答题1.证明：∵MB=MC，D为中点，∴在等腰△MBC中，MD⊥BC.同理，在等腰△ABC中，AD⊥BC.∵MD交AD于平面MAD内一点D,∴BC⊥平面MAD.又∵MA 平面MAD,∴BC⊥MA.∵MA⊥AD,且AD交BC于平面ABC内一点D，∴MA⊥平面ABC.又∵MA 平面MAB,∴平面ABC⊥平面MAB.*2. 证明：（1）由MA⊥平面ABC，NC⊥平面ABC知MA∥NC，又∵MA=NC∴四边形MACN为平行四边形，则MN∥AC.∵MN 平面ABC，AC 平面ABC，∴MN∥平面ABC.（2）由（1）知MACN为平行四边形，又MA⊥平面ABC，∴MA⊥AC.因此，MACN为矩形，有MN⊥MA.又∵AC⊥AB,∴MN⊥AB.由于AB交PB于平面MAB内一点A∴MN⊥平面MAB，又∵MN 平面MBN，∴平面MAB⊥平面MBN.3.证明：∵MA⊥平面ABC，∴MA⊥BC.又∵点C在圆上，AB为直径，∴∠ACB=90°，即BC⊥AC.又AC∩MA=A，∴BC⊥平面MAC.∵BC 平面PBC，∴平面MAC⊥平面PBC.第四章自我检测一、选择题（每小题10分，共60分）1.D.2.D.3.C.4.C.5.C.*6.C. 提示：连接AC、 EC，则1AE=DE=2a，在Rt∆EDC中，2a，在Rt∆AEC中，2a.二、填空题（每小题6分，共18分）1.293. 提示：连接PD、PB、BD，作AE⊥BD交BD于E，连接PE，因为PA⊥平面ABCD，AB=3，BC=4，PA=6，在△ABD中，AE=125，在Rt△PAE中，，所以，PBD1S=BD2⨯⨯.2.相交、平行或在α内.*3.1010. 提示：由BH∥AE，则AE与FG所成的角就是∠BGF.在∆BGF中，BG＝BF＝5，FG＝2，可求得cos∠BGF＝225＝1010.三、解答题（第10题10分，第*11题12分，共22分）1.证明：由题知，在三角形ABC中，EF为底边AC中位线，∴EF∥AC，且EF＝12AC.————————————2分同理HG∥AC,且HG＝12AC. ————————————4分∴EF∥GH，且EF＝GH. ————————————5分因此，EFGH为平行四边形. ————————————6分同理EH＝GF＝12 BD，————————————7分又∵AC＝BD，∴EF=EH，————————————8分即四边形EFGH为菱形. ————————————9分因此，对角线EG⊥FH. ————————————10分*2.（1）由PC⊥平面ABC知，PB为斜线，∴BC为PB在平面ABC内的射影. ————————————2分∵∠ABC=90°，即AB⊥BC，则PB⊥AB.即PB为点P到直线AB的距离. ————————4分又∵在RT△PBC中，PC=6，BC=33∴=————————6分（2）由（1）知AC为斜线P A在平面ABC内的射影，则∠P AC为P A与平面ABC 所成的角.————————8分在RT△ABC中，AB=3,BC=∴AC————————10分又∵PC=6，∴三角形P AC为等腰直角三角形.因此∠P AC=45°，即直线P A与平面ABC所成的角为45°.———12分第5章 复数 参考答案 5.1 复数的概念和意义【要点梳理】1．（1）虚数单位，－1． （2）实部，虚部，C ．（3）虚数，a ＝0．（4）虚轴，虚数．（5）a 2+ b 2．2．a ＝c 且b ＝d ，a ＝0且b ＝0，a －b i ． 【闯关训练】5.1.1 复数的概念一、1．C. 2．B ． 3．C ． 4．A ． 5．B ． 二、填空题 1．b ≠0．2．－1． 3．14． 三、解答题*（1）若z 是实数，则m 2－2m －3＝0，解得m ＝－1或3.（2）若z 是纯虚数，则m 2－2m －3≠0且m 2＋m －12＝0，解得m ＝－4．（3）z 对应的点在第二象限，则m 2＋m －12＜0且m 2－2m －3＞0，解得－4＜m ＜－1．5.1.2 复数的几何意义一、选择题1．B ．2．C ．3．A ．4．B ．5．D ．二、填空题1．8＋6i 或－8＋6i ．2．z ＝2．*3．m ＝4．由0z <知z 是实数，所以m 2＋3m －28＝0且m 2－m ＋15＜0，解得m ＝4．三、解答题（1）如图，复数65i +对应的向量为OA ＝（6，5），复数34i -+对应的向量为OB ＝（－3，4）.（2）由AB ＝OB －OA ＝（－3，4）－（6，5）＝（－9，－1）知，AB 表示的复数为－9－i ；由BA ＝－AB ＝（9，1）知，BA 表示的复数为9＋i ．5.2 复数的运算【要点梳理】（a ＋c ）＋(b ＋d )i ； （a －c ）＋(b －d )i ； (ac －bd)＋(ad ＋bc)i .【闯关训练】5.2.1 复数的加法与减法一、选择题 x y O AB -3 6 4 51. A.2. A.3. D.4. C.5. D.二、填空题1.2．2－3i.三、解答题解：（1）由题知AB =（a ,1）－（1，2）=（a －1,－1），所以1z =（a －1）－i. 同理CD =（－1，b ）－(2,3)=(-3,b －3),所以2z =-3＋（b －3）i.又121z z i +=+，即（a －1）－i －3＋（b －3）i =1＋i ，所以 a －4=1,a =5;b －4=1,b =5.因此1z =4－i ,2z =－3+2i.(2)由题知1z ＋2z =（a －4）＋(b －4)I 2=又1z －2z =（a －1）－i ＋3－（b －3）i =(a ＋2)＋(－b ＋2)i 为实数，即b =2代入得a =4.5.2.2 复数的乘法一、选择题1．C.2．A.3．D.4．A.二、填空题1.2．7.三、解答题*1．（1）设1z =a ＋b i ，则（a ＋b i ）.i =－b ＋a i =1＋i ，所以b =－1,a=1． 因此1z =1－i ．（2）12z z ⋅=（1－i ）（m ＋2i ）=(m ＋2)＋(2－m )i 为纯虚数，因此m =－2． 2.(1)由题知1z =2－3i. (2)当m ＝1时，2z =1－i ．因此12z z =（2＋3i ）（1－i ）=5＋i ．5.3 实系数一元二次方程的解法【要点梳理】（1）aac b a b x 242221-±-=，. （2）ab x 221-=，. （3）i ab ac a b x 22221-±-=4，．【闯关训练】5.3 实系数一元二次方程的解法一、选择题1. B ．2. B ．3. A ．4. C ．二、填空题1.（x ＋22i ）（x －22i ）．2. －4＋3i ．3. 1－2i ．4. a ＝－12，b ＝20.三、解答题将方程化为()22+210（）x x m x i ++--=，因为m 与x 都是实数，所以220x x m ++=且210x --=，解得x ＝－12，m ＝0．第五章 自我检测题一、选择题（每小题6分，共48分）1．B.2．C.3. C.4．D.5．B.6．C.7．D.8．A.二、填空题（每小题8分，共32分）1．z =1+i.2．=a 2.3．c =3．4．2+4i ．三、解答题（每小题10分，共20分）1．图形是半径大于3小于等于5的圆环（不含内圈），如图所示．2．（1）当2m =时，z=2+5i ，————————————————1分 x y O -5 -3 3 5 -5-335因此z=2-5i．————————————————2分所以z z⋅=（2+5i）（2-5i）=29．————————————————4分=上，即该复数实部和虚部相等，———————6分（2）若点Z在直线y x因此2-=m+3，——————————8分m m即2230--=，所以m=3或-1．——————————10分m m。

中职数学拓展模块《数学学习指导与练习（拓展模块一）》参考答案第6章 三角计算6.1和角公式 【要点梳理】1.=+)cos(βαβαβαsin sin cos cos − =)-cos(βαβαβαsin sin cos cos +2.=+)sin(βαβαβαsin cos cos sin + =)-(sin βαβαβαsin cos -cos sin3.=+)tan(βαβαβαtan tan 1tan tan −+tan()α−β=tan tan 1tan tan α−β+αβ【闯关训练】6.1.1 两角和与差的余弦公式一、选择题1.B2.C3.D4.C5.A6.C7.C8.A 二、填空题1.2.αcos 3 . 4.21 【提示】诱导公式o 78cos 化为o12sin ，两角和的余弦公式逆用 三、解答题1.解 原式=)15180cos(165cos o o o −==o cos15−=o o cos 4530)−−（=o o o o(cos 45cos30sin 45in30)s −+=2.解 因为)23,(,43cos ππαα∈−=所以sin αcos()cos cos sin sin666πππα−=α+α21)47(23)43(×−+×−==3.解 原式=2cos()cos cos(2)α−βα−α−β =2cos()cos cos[()]α−βα−α−β+α=2cos()cos [cos()cos sin ()sin ]α−βα−α−βα−α−βα =cos()cos sin()sin α−βα+α−βα =βcos 【学海探津】o 62.9056.1.2 两角和与差的正弦公式一、选择题1.A2.B3.B4.D5.C6.B7.A8.C二、填空题1. 426+2. x sin3. 102−4.23【提示】用诱导公式将o 50sin 化为o 40cos ，两角和的正弦公式逆用. 三、解答题1.解 原式=)15180sin(195sin o o o +==sin15o −=o o sin 4530)−−（=o o o o(sin45cos30cos 45sin30)−−= 2.解 因为),2(,32sin ππαα∈=所以cos αsin()sin cos cos sin 333πππα−=α−α2132=×−（6152+=. 3.解 因为20,53)cos(παββα<<<=+所以πβα<+<0，54)53(1)sin(2=−=+βα. ，20παβ<<<178)cos(=−βα02π<α−β<，15sin()17α−β=)]()sin[(2sin βαβαα−++==)sin()cos()cos()sin(βαβαβαβα−++−+=8577【学海探津】1207π6.1.3 两角和与差的正切公式一、选择题1.C2.C3.B4.D5.A6.A 二、填空题1.3 2 . 2−− 3. 17−4. 2三、解答题1.解 原式=)15180tan(165tan o o o −==tan15o −=o o tan 6045)−−（2− 2.解 因为tan ,tan αβ是方程2470x x −−=的两个实根 所以，4tan tan =+βα，tan tan 7αβ=−， 21)7(14tan tan 1tan tan )tan(=−−=−+=+βαβαβα3.解 因为3sin ,(,)52πα=α∈π，所以54)53(1cos 2−=−−=α. 435453cos sin tan −=−==ααα,31tan tan 42tan()2311tan tan 142−−α−βα−β===−+αβ+−×（） 【学海探津】莱诺三角形6.2 二倍角公式 【要点梳理】1. 二倍角的正弦公式 =α2sin ααcos sin 22.二倍角的余弦公式=α2cos 22cos sin α−α =α2cos 22cos 1α−=α2cos 212sin −α3.二倍角的正切公式=α2tan 22tan 1tan α−α【闯关训练】一、选择题1.B2.D3.D4.B5.C6.C7.A8.C 二、填空题 1.（1）23 ;（2）412. 1691203. 3{|k ,}4x x k Z π≠π+∈4. 1三、解答题1.解 因为)23,(,54sin ππαα∈−=所以3cos 5α=− 4sin 45tan 3cos 35−αα===α−2524)53()54(2cos sin 22sin =−×−×==ααα 2247cos 212in 12()525s α=−α=−×−=−742-341342tan 1tan 22tan 22=−×=−=）（ααα. 2.解 原式=ααααcos 12cos sin 2sin −+− αααααcos cos 2sin cos sin 22−−=αααααcos cos 2sin cos sin 22−−=αααααtan 1cos 2cos 1cos 2sin =−−=）（）（3.证明 左边= αααααααααsin cos )1cos 2(cos 2sin 1sin cos 2cos sin212+−++=+++22sin cos 2cos cos sin αα+α=α+α2cos sin cos 2cos cos sin αα+α=αα+α（）=右边原等式成立【学海探津】令x =π，得01=+πi e6.3 正弦型函数的图像与性质 【要点梳理】 1.（1）R ，[A,A]− （2）ϖπ2（3）A ；A −（4）x y ϖsin =；)sin(ϕϖ+=x y ；)sin(ϕϖ+=x A y2.)sin(22ϕϖ++=x b a y ；2πϖ；22b a +；.【闯关训练】一、选择题1.D2.C3.B4.B5.C6.B7.D8.A 二、填空题1. [3,3]−；3π2. π3. {|2,}3x x k k Z π=π+∈4. 3[,]22ππ 三、解答题1.解 因为5,3,6A π=ϖ=φ=，所以函数的最小正周期为23π.首先，将函数x y sin =图像上所有点的横坐标变为原来的31倍（纵坐标不变），得到x y 3sin =的图像.其次，把x y 3sin =的图像向左平移18π个单位，得到sin 36y x π+（）的图像. 最后，将sin 36yx π+（）的图像上各点的纵坐标变为原来的5倍（横坐标不变），得到)63sin(5π+=x y 的图像.2.解 由题意得42993T πππ−，所以23T π= 又2T π=ϖ解得3=ϖ；又4=A ,当9x π=时，取得最大值4，所以，Z k k x ∈+=+×=+,2293ππϕπϕϖ又||2πϕ<，所以6πϕ=.故函数的解析式为()4sin(3)6f x x π=+.3.解 （1）函数()sin()6f x x π=ϖ−的最小正周期为π2T π=ϖ, 所以 ϖ=2 所以 函数()sin(2)6f x x π=−，)(x f 的最小值为−1.（2）因为2x π<<π，且53sin =x所以54)53(1sin 1cos 22−=−−=−−=x x3424sin 22sin cos 2()5525x x x ==××−=−257)53(21sin 212cos 22=×−=−=x x 由（1）()sin(2)6f x x π=−=sin 2cos cos 2sin 66x x ππ−=247125252−−×（）=【学海探津】我们运用现在所学的“周期”知识，就可以知道这所谓的“神奇”其实是再正常不过的事情.4月4日，6月6日，8月8日，10月10日，12月12日这几个日期之间正好把7月、8月两个拥有31天的月份分开了.使得4月4日和6月6日，6月6日和8月8日，8月8日和10月10日，10月10日和12月12日之间都相隔一个31天，一个30天，共61天.由于648610812102−=−=−=−=，加上这两天，共63天，一个星期有七天.63是7的整数倍，或者说以7天一个周期，63天以后，当然星期几是一样的了.6.4 解三角形面积 【要点梳理】1.111sin sin sin 222ABCS bc A ac B ab C∆===2.sin sin sin a b c A B C ==3.2222cos a b c bc A =+−;2222cos b a c ac B =+−;2222cos c a b ab C =+−222cos 2b c aA bc +−=;222cos 2a c b B ac +−=;222cos 2a b c C ab+−=.6.4.1 三角形面积公式【闯关训练】一、选择题1.B2.C3.B4.A 二、填空题1. =2. 3. 18三、解答题1.解 设扇形 OB A 的弧长为l ，半径为r ，圆心角为θ.根据扇形面积公式S=12lr ,有1622ππr =××，得r=6又弧度制的定义lθr=,有263ππθ==.根据三角形的面积公式得：166sin 23πS ∆ΑΟΒ=×××=.2.解 由22sin cos 1C C +=，sin C由三角形的面积公式得：C122S∆ΑΒ=×=.3.解设AB边上的高为h,根据三角形的面积公式有11sin22AB AC A AB h×××=××代人已知得13h=.【学海探津】如图6-1所示，单位圆内接正六边形由六个边长为1的正三角形组成，所以正六边形的面积S6＝6×12×1×23＝332.图6-16.4.2 正弦定理一、选择题1.C2.A3.C4.D二、填空题1. 2 32. 2 53.π3或2π3【提示】由正弦定理，得sin A＝a sin Bb＝3×222＝32，又A∈(0，π)，a>b，∴A>B，∴A＝π3或2π3.三、解答题1.解由正弦定理得sin sinAC ABBC=，sinsinAB CCAC×==60120B+C<18060120CCοοοοο=∠∠=得或验证可得均成立所以或2.解由正弦定理得ACsin B＝BCsin A，∴AC＝BC·sin Bsin A＝6×sin 120°sin 30°＝6 3.又∵C＝180°－120°－30°＝30°，∴S △ABC ＝12AC ·BC ·sin C ＝12×63×6×12＝9 3. 3.解 因为cos B ＝2cos 2 B 2－1＝35，故B 为锐角，所以sin B ＝45，所以sin A ＝sin(π－B －C )＝3sin 4πB −＝sin 3π4cos B －cos 3π4sin B ＝7210. 由正弦定理，得c ＝a sin C sin A ＝107， 所以S △ABC ＝12ac sin B ＝12×2×107×45＝87. 【学海探津】在∆ABD 中，由正弦定理可知sin sin sin sin ∠=⇒=∠∠∠AB BD AB BDABDA BAD BDBAD在∆ADC 中，由正弦定理可知sin sin sin sin ∠=⇒=∠∠∠AC DC ACADCADC DAC DCDAC又180,ο∠+∠=∠=∠BDA ADC BAD DAC ,则sin sin ∠=∠BDA ADC ，则=AB BDAC DC6.4.3 余弦定理一、选择题1.C2.B3.D4.B 【提示】根据b 2＝ac 且c ＝2a ，得到：b 2＝2a 2 . 二、填空题1. 30－4 62. 13. 锐角三角形 三、解答题1.解 依题意设a ＝4k ，b ＝3k ，c ＝2k (k >0)， 则cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝16k 2＋4k 2－9k 22×4k ×2k ＝1116.2.解 由S ＝2203，得12bc sin A ＝2203，即12×16×c ×23＝2203，∴c ＝55.由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos 60°＝162＋552－2×16×55×12＝2 401， ∴ a ＝49.3.解 ∵c 2＝(a －b )2＋6，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.①∵C ＝π3，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab .②由①②，得－ab ＋6＝0，即ab ＝6. ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×23＝332. 【学海探津】由余弦定理,得222222cos ,cos ,22a c b a b c B C +−+−==∴222222c c cos cos 22a b a b b C c B b c ab ac +−+−+=⋅+⋅ 222222c c 22a b a b c a a +−+−+⋅222a a=a = ∴cos cos ab Cc B +同理可证(2) cos cos bc A a C +;(3) cos cos c a B b A +.6.5 三角计算的应用一、选择题1.A2.A3.B4.B 二、填空题6.3. 60 【提示】河宽即AB 边上的高，这与AC 边上的高相等 三、解答题1.解 由题意知，AB ＝24×14＝6(km)，∠BAS ＝30°，∠ASB ＝75°－30°＝45°. 由正弦定理，得BS ＝sin sin AB BAS ASB∠∠＝6sin 30°sin 45°32(km).2.sin sin(45)=+°=C θ由正弦定理, sin sin 45sin ο==AB AC BC C θ得sin 45sin ο=×ABACC,=BC 新的飞行路程比原路程多520680122.8()+−=+−=AC BC AB km第6章自我检测一、选择题1.D2.B3.B4.B5.A6.B7.B8.D 7 B 【提示】2α=α+β+α−β（）（） 8 D 【提示】A.根据公式2T π==πω； B.2x=2π时，有最大值2；C.奇函数满足()()0f x f x +−=；D.[]1,12sin −∈x ，函数()f x 的值域为[]0,2二、填空题1. π3. 4. 12【提示】先用和差公式分解，然后用商式求解. 三、解答题1.解 由题意知tanα+tanβ=−3,tanαtanβ=4,①∴ tan()αβ+=又∵α,β(,)22ππ∈−且由①知α∈(−,0)，β∈(−,0),∴ αβ+∈(−π,0)∴ 23παβ+=−. 2.解 f(x)=2sin x −cos x =4(sin x −cos x )42−33tan tan 1tan tan =−+βαβα2π2π322123=4(sin x cos−cos xsin)=4sin 3x π−∴函数f(x)的最大值是4，最小值是−4. 3.解 如图，过A 作AE ⊥BD 于点E ，图6-2由已知可知AB ＝107，BC ＝30，AC ＝20，∴1cos 2ACB ∠=. ∵0°<∠ACB <180°，∴∠ACB ＝60°，∴AE ＝10 3. ∵∠DAE ＝60°，∴DE ＝103×3＝30.∵∠CAE ＝30°，∴CE ＝10，DC ＝20，∴t ＝2090×60+20＝1003.3π3π第七章 数列7.1 数列的概念 【要点梳理】 1.数列 2.项 首项3.有穷数列 无穷数列 常数列4.通项公式 【闯关训练】 一、选择题1.C2.C3.D4.B5.B6.A 二、填空题 1. 7− 2. 115 3. 27；13n − 4. 12n5. 34 三、解答题 1.解（1）112a =，212122a =×+=，32215a =×+=，425111a =×+=， 5211123a =×+=（2）112a =−，211312a =−=−，312133a =−=，4111223a =−=−，511312a =−=−2.解：由题意得，2210n n +=，解得2n =或5n =−（不合题意，舍去） 故10是数列{}n a 的第2项.3.解：（1）由题意得，2560n n −−<，解得16n −<<.因此数列第1,2,3,4,5项为负数.（2）225495624n n n−−−−，当23n =或时，12n a =−为最小值.【学海探津】 21na n =+由题图，易得a 1=3,a 2=3+2=5,a 3=3+2+2=7,a 4=3+2+2+2=9,…,所以a n =2n +1.7.2等差数列 【要点梳理】1.等差数列 公差 d2.1(1)n a a n d =+−3.等差中项 2a bA += 4.1()2n n n a a S += 1(1)2n n n S na d −=+【闯关训练】 7.2.1 等差数列的概念 一、选择题1.B2.B3.D4.A5.C6.C 二、填空题1. 3−2. 53. 294. 2−5. 106. 212n − 三、解答题1. 解（法一）由题意可得11141037a a d a d ++= += ，解得112a d = = （法二）由等差数列性质可知，153210a a a +，35a ∴=，432d a a =−= 2.解 由题意得，13n n a a +−=−.数列{}n a 是首项为19，公差为3−的等差数列. 19(1)(3)2021m a n =+−×−=−，解得681m =. 3.解 由等差数列性质可知，46374a a a a +=+=−.3737412a a a a +=− ⋅=− ，解得3726a a =− = 或3762a a = =−等差数列{}n a 的公差为正数，3726a a =− ∴ = .解得162a d =− = ，28n a n ∴=−.【学海探津】设十二节气自冬至日起的日影长构成等差数列为{}n a ，则立春当日的日影长为49.5a =，立夏当日的日影长为10 2.5a =，因此春分当日的日影长为74101()62a a a +.7.2.2 等差数列的前n 项和公式 一、选择题1.B2.B3.D4.B5.C6.B7.B8.A二、填空题1. 482. 123. 104. 8 三、解答题1.解（1）由题意知115411a d a d += += ，解得132a d = = ，3(1)221n a n n =+−×=+ （2）(1)321202n n n S n −+×，解得10n =（12n =−不合题意，舍去） 2.解 设数列{}n a 的公差为d ，则221211()3a a a a d +=++=−，5151010S a d =+=，解得14a =−，3d =，则91820a a d =+=.3.解 11111()11222a a S +×==，解得1114a a +=. 由等差数列的性质可知，1114862a a a a a +=+=，62a ∴=. 因此有378468636a a a a a a a ++=++== 【学海探津】设每人所出钱数成等差数列{}n a ，公差为d ，前n 项和为n S ，则由题可得51514285451002a a d S a d =+=×=+= ，解得1124a d = = ， 所以“不更”出的钱数为212416a =+=. 7.3 等比数列 【要点梳理】1.等比数列 公比 q2.11n n a a q −=⋅3.等比中项 2G ab =或G =4.1n S na = 1(1)1n n a q S q −=−或11n n a a q S q −=−【闯关训练】 7.3.1 等比数列的概念一、选择题1.C2.B3.D4.C5.B6.A7.B8.A 二、填空题1. 4−2. 23. 54. 32 三、解答题1.解 由等比数列的性质可知，24219a q a ==，解得13q =±.由于数列的各项均为正数，故13q =，127a =，1411112733n n n n a a q −−−=⋅=×=2.解 根据等比数列的性质可知，1423a a a a ⋅=⋅，则有232324336a a a a ⋅=+= ，解得23927a a = = 或23279a a = = （舍去） 由23927a a = = 可得133a q = = .【学海探津】由表格知，第一行构成以1为首项，12为公差的等差数列，所以第一行第四个数为52，第五个数为3.第三列构成以2为首项，12为公比的等比数列，所以a 12.同理，b ＝516，c ＝316，所以a ＋b ＋c ＝1. 7.3.2 等比数列前n 项和公式 一、选择题1.B2.A3.C4.C5.D6.A二、填空题1. 622. 1273. 3144. 11−三、解答题1.解 （1）由题意可知，34164a q a ==−，4q =−； （2）441[1(4)]511(4)S −×−−==−−.2.解 由题意可知，数列{}n a 是首项14a =，公比2q =的等比数列，则有4(12)12412n ×−=−，解得5n =. 3.解 由11n n a a q S q−=−，得3961891qq −=−，则2q =. 又11n na a q −=⋅，则13296n −×=，解得6n =. 4.解 设等比数列{}n a 的公比为q ，则645353532a a a q a qq a a a a −⋅−⋅===−− 1111(12)12222n n n n n a S a a −−−−∴==−×7.4 等差数列与等比数列的应用 一、选择题1.A2.B3.A4.D （提示：依题意，以标准对数视力5.0为左边数据组的等差数列的首项，其公差为-0.1，标准对数视力4.8为该数列第3项，标准对数视力5.0对应的国际标准视力值1.0标准对数视力4.8对应的国际标准视力值为该等比数列的第3项，其大小为210.63×≈.） 二、填空题1. 8202. 16003. 6 （提示：设每天植树的棵数组成的数列为{}n a ，由题意可知它是等比数列，且首项为2，公比为2，所以由题意可得2(1－2n )1－2≥100，即2n ≥51，而25＝32，26＝64，n ∈N *，所以n ≥6.4. 24 （提示：由题意，每天所走的路程构成公比为12的等比数列，设第一天走了x 里，则61[1()]2378112x −=−，解得192x =，所以第四天走的路程为31192()242×=． 5. 50 三、解答题1.解： 根据题意，从2017年开始，每一年新能源汽车的产量构成等比数列，设为{}n a ，则15000a =，公比150%1.5q =，所以1115000 1.5n n n a a q −−==×，则2025年全年约生产新能源汽车为895000 1.5128145a =×≈（辆）， 故2025年全年约生产新能源汽车128145辆.2.解：（1）第一环的扇面形石有9块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多9块，则依题意得：每环的扇面形石块数是一个以9为首项，9为公差的等差数列，则9(1)99n a n n =+−×=，27243a ∴=（2）前27项和为：1272727()27(9243)340222a a S ×+×+===.3.解：当n ≤6时，数列{a n }是首项为120，公差为10−的等差数列，a n ＝120－10(n －1)＝130－10n ；当n ≥7时，数列{a n }是以a 6为首项，34为公比的等比数列， 又a 6＝70，63704n n a −∴=×.综上可知，613010,6,370,74n n n n a n −−≤ =×≥4.解：（1）由题意知每年的出口量构成等比数列，且首项a 1＝a ，公比q ＝1－10%＝0.9，∴10.9n n a a −=⋅．（2）10年的出口总量101010(10.9)10(10.9)10.9a S a −==−−． ∵S 10≤80，∴10a (1－0.910)≤80，即a ≤10810.9−812.310.35≈≈−， ∴a ≤12.3．故2018年最多出口12.3吨．第7章自我检测一、选择题1.D2.C3.D4.C5.B6.A7.B 二、填空题1. 8±2. 25003. 549（提示：由题意可得该数阵中第m 行有2m ﹣1个数，前m 行共有2m ﹣1个数，所以前8行共255个数.由于该数阵中的数依次相连成等差数列，所以该数阵中第9行从左往右数的第20个数是1+（275-1）*2=549）三、解答题11.解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d .由a 1＝1，a 3＝－3，可得1＋2d ＝－3，解得d ＝－2. 从而a n ＝1＋(n －1)×(－2)＝3－2n . (2)由(1)可知a n ＝3－2n ， 所以S n ＝n [1＋(3－2n )]2＝2n －n 2.由S k ＝－35，可得2k －k 2＝－35，即k 2－2k －35＝0， 解得k ＝7或k ＝－5.又k ∈N *，故k ＝7.12.解 由题意可知111S a ==，212122S a a a d d =+=+=+，41434462S a d d ×=+=+. 由于124,,S S S 成等比数列，则2214S S S =⋅，即2(2)1(46)d d +=×+解得d ＝2(d ＝0不合题意舍去）13.解 ∵log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1，∴a n ＋1＝3a n .∴数列{a n }是以3为公比的等比数列．∴a 2＋a 4＋a 6＝a 2(1＋q 2＋q 4)＝9.∴a 5＋a 7＋a 9＝a 5(1＋q 2＋q 4)＝a 2q 3(1＋q 2＋q 4)＝35. ∴log 1335＝－5.14.解（1）由题意可知，这13个单音构成了一个以1f 为首项，为公比的等比数列，所以1111n n n a a q f −−=⋅=⋅（2）由等比数列的性质可知：6693f q f ===第8章 排列组合8.1 计数原理 【要点梳理】1.n 个，12n N k k k =+++ ，加法.2.n 个，12n N k k k = ，乘法.3.分类，互相独立；分步，相互依存.【闯关训练】8.1.1 分类计数原理一、选择题1.A2.C3.B4.D 二、填空题1. 112. 133. 5 三、解答题1.解：给教室的座位编号分为两类方法：第1类，用一个大写的英文字母进行编号，有26种方法； 第2类，用一个阿拉伯数字进行编号，有10种方法． 总共能编出不同的号码有261036N =+=种． 2.解：根据分类计数原理，分四类：第1类，选O 型血，有16种选法； 第2类，选A 型血，有10种选法； 第3类，选B 型血，有8种选法； 第4类，选AB 型血，有4种选法． 不同的选法共有16108438N +++种．*3.解：要完成“至少买一盒水彩笔”这件事，可分三类，而每一类都能独立完成“至少买一盒水彩笔”这件事．第一类，买1盒水彩笔，可以买20元的也可以买30元的，有2种方法； 第二类，买2盒水彩笔，可以买20元的2盒，也可以买30元的2盒，还可以买20元和30元的各1盒，有3种方法；第三类，买3盒水彩笔，可以买20元的3盒，也可以买20元的2盒和30元的1盒，有2种方法．不同的买法共有2＋3＋2＝7(种). 【学海探津】根据分类计数原理，按由小三角形个数构成三角形的情况进行分类，可得： （1）11S =；2213S =+=；33216S =++=； （2）第n 个图形中的三角形构成分n 类：第1类，由1个小三角形构成的三角形，有n 个三角形； 第2类，由2个小三角形构成的三角形，有1n −个三角形； 第3类，由3个小三角形构成的三角形，有2n −个三角形；……第1n −类，由1n −个小三角形构成的三角形，有2个三角形； 第n 类，由n 个小三角形构成的三角形，有1个三角形．因此，第n 个图形中三角形的个数(1)(1)(2)3212n n n S n n n +=+−+−++++=．8.1.2 分步计数原理一、选择题 1.B 2.D 3.C*4.D （提示：共分4步：对于第1位同学来说，有3种报名方法，同理每位同学都有3种报名方法，根据分类计数原理，4位同学共有433333N =×××=种报名方法） 二、填空题 1. 6 2. 8*3. 5 （提示：A 有3种选法，B 有2种选法，但30x y +=与260x y +=为同一条直线，故形如0Ax By +=这样的直线共有3215N =×−=条） 三、解答题1.解：根据分步计数原理，分三步：不同的选法共有56390N =××=种.2.解：根据分类计数原理，分三步： 第1步，排个位上的数字，有4种排法；第2步，排十位上的数字，有3种排法第3步，排百位上的数字，有2种排法.故没有重复数字的三位数共有43224N=××=个.*3.解：解决本题分四步：第1步，词语“好好”有4种涂色；第2步，词语“学习”有3种涂色；第3步，词语“天天”有3种涂色；第4步，词语“向上”有3种涂色．根据分步计数原理，共有433372N=×××=种不同的涂色方法．【学海探津】对于甲来说，有4种借阅可能，同理每人都有4种借阅可能，根据分类计数原理，故五个人共有5444444N=××××=种借阅方案.8.1.3 计数原理的应用（1）一、选择题1.C2.D3.B4.C二、填空题1. 142. 23三、解答题1.解：根据分类计数原理，分三类：第1类，选一本语文书和一本数学书，有15630N=×=种；第2类，选一本语文书和一本英语书，有25315N=×=种；第3类，选一本数学书和一本英语书，有36318N=×=种.故共有30151863N=++=种不同的选法.*2.解：能被5整除的数分两类：第1类，个位数是0，任选1、3、5中的两个数排在十位和百位，则三位数有1326N=×=个；百十个第2类，个位数是5，此时又分两类：（1）含有数字0，则0只能排在十位，任选1、3中的一个数排在百位，三位数有22N =个；（2）不含数字0时，则2排在十位或百位，有2种排法，另一数位上排1、3中的任意一个数字，也有2种排法，三位数有3224N =×=个． 故共有123()62412N N N N =++=++=个能被5整除的数．8.1.3 计数原理的应用（2）一、选择题1.C2.C3.A*4.A. 解析：依题意，这个四位数的百位数、十位数、个位数之和为4.由4,0,0组成3个数分别为400,040,004；由3,1,0组成6个数分别为310,301,130,103,013,031；由2,2,0组成3个数分别为220,202,022；由2,1,1组成3个数分别为211,121,112.共计3＋6＋3＋3＝15个． 二、填空题 1. 92 *2. 37 第2题提示：法一：(直接法)以甲工厂分配班级情况进行分类，共分为三类：第一类，三个班级都去甲工厂，此时分配方案只有1种情况；第二类，有两个班级去甲工厂，剩下的一个班级去另外三个工厂，其分配方案共有339×=种； 第三类，有一个班级去甲工厂，另外两个班级去其他三个工厂，其分配方案共有33327××=种．综上所述，不同的分配方案有1＋9＋27＝37种． 法二：(间接法)先计算3个班自由选择去何工厂的总数，再扣除甲工厂无人去的情况，即：44433337××−××=种方案． 三、解答题1.解：既会英语又会日语的有7＋3－9＝1(人)，仅会英语的有6人，仅会日语的有2人．所以“完成从9人中选出会英语与日语的各1人”这件事，需分三类，先分类后分步：（1）既会英语又会日语的不当选，即从仅会英、日语的人中各选1人有6×2种选法；（2）既会英语又会日语的按“会英语”当选，即从仅会英语与英、日语都会的人中各选1人有6×1种选法；（3）既会英语又会日语的按“会日语”当选，即从仅会日语与英、日语都会的人中各选1人有2×1种选法．根据分类加法计数原理，共有6×2＋6×1＋2×1＝20种不同选法．*2.解:分两类：第1类，五位数的个位数字为0，则有1432124N=×××=个；第2类，五位数的个位数字不为0，则个位上的数字必为4，百位不能排0，从除0和4外的三个数字中选一个排在百位有3种排法，中间的数字任意排，共有2332118N=×××=个.所以无重复数字的五位偶数共有12241842N N N=+=+=个.【学海探津】要使所拨数字大于200，分两类考虑：第1类，上珠拨的是千位档或百位档，则所拨数字一定大于200,有123212N=××=种；第2类，上珠拨的是个位档或十位档，则下珠一定要拨千位，再从其余的档位中选一个下珠，有2224N=×=种.故所拨数字大于200的共有1212416N N N=+=+=个.8.2 排列与组合【要点梳理】1.不同；一定的顺序；从n个不同元素中取出m个元素；选排列；全排列.2.排列数；mnP.3.)1()2)(1(+−−−m n n n n ；123)2)(1(××−− n n n ；)!(!m n n −；!n ；1.4.组成一组.5.组合数；mn C .6.!)1()2)(1(m m n n n n p p m m mn +−−−= ；1；)!(!!m n m n −.7.m n n m n C C −=，11−++=m nm n m n C C C .【闯关训练】8.2.1 排列一、选择题1.C2.B3.D4.A5.D6.A7.B8.B 二、填空题1. 15；12. 63. 604. 48 三、解答题1.解：从6名运动员中选4人参加m 1004×接力赛,相当于从6个不同的元素中取出4个元素的排列数，共有360345646=×××=P (种）．2.解：（1）根据分步计数原理，分两步： 第一步，选千位上的数字，有616=P 种选法； 第二步，选其它数位上的数字，有12036=P 种选法． 因此，这样的四位数共有72012063616=×=⋅P P (种）．（2）根据分步计数原理，分三步： 第一步，选个位上的数字，有313=P 种选法； 第二步，选千位上的数字，有515=P 种选法；第三步，选其它数位上的数字，有2025=P 种选法． 因此，这样的四位奇数共有1123553520300P P P ⋅⋅=××=(种）根据分类计数原理，分两类：第一类，0在个位，有12045636=××=P 种选法；第二类，0不在个位，根据分步计数原理，有3002053251513=××=⋅⋅P P P 种选法． 因此，这样的四位偶数共有42030012025251336=+=⋅⋅+P P P P (种）3.解：（1）优先考虑特殊元素甲，根据分步计数原理，分两步： 第一步，先排甲，有414=P 种选法； 第二步，排其他同学，有12055=P 种选法．因此，甲不站两端的站法共有48012045514=×=⋅P P (种）． *（2）根据分类计数原理，分两类：第一类，甲站在右端，有12055=P 种站法；第二类，甲不站在右端，根据分步计数原理，有3842444441414=××=⋅⋅P P P 种站法．不同的站法共有50438412044141455=+=⋅⋅+P P P P (种).【学海探津】总共有6位，全排列有72066=P (种)，三个6和二个8的排法有12262233=×=⋅P P (种)， 排除三个6和二个8的排法有60223366=⋅P P P (种)，再减去一种正确的，输错密码的总数为591223366=−⋅P P P (种).8.2.2 组合一、选择题1.C2.A3.C4.C5.B6.C7.A8.D 二、填空题1.（1）20 （2）1 （3）12. 103. 10 *4. 165三、解答题1.解：（1）从平面内8个点，任选其中2个点为端点的线段,相当于从8个不同的元素中取出2个元素的组合数，共有28127828=××=C (条）． （2）从平面内8个点，任选其中2个点为端点的有向线段,相当于从8个不同的元素中取出2个元素的排列数，共有567828=×=P (条）． 2.解（1）从12件作品中挑选5件参加市级展示活动的选法，相当于从12个不同的元素中取出5个元素的组合数，不同的选法7921234589101112512=××××××××=C (种）．（2）从12件作品中挑选5件参加市级展示活动，作品甲必选，相当于从除了作品甲以外的11件作品中再选4件的组合数，不同的选法3301234891011411=××××××=C (种）．*3.解：小组赛采用单循环赛，相当于从4个不同的元素中取出2个元素的组合数，3个小组共进行1863324=×=C （场），剩下8支球队采用淘汰赛，决出4强，决出2强，再决出冠军进行4+2+1=7（场），总共进行18+7=25（场）．8.2.3 排列组合的应用一、选择题1.C2.C3.A4.C5.B6.C7.B8.D 二、填空题9. 720 10. 281511. 140 *12. 240三、解答题13.解：(1)根据分步计数原理，分两步：第一步，将甲、乙视为一个整体，将其与另5个人进行排列，有66P 种方法； 第二步，对甲、乙进行排列，有22P 种方法．因此，甲、乙相邻的不同排法有14406622=⋅P P (种）．（2）根据分步计数原理，分两步：第一步，将甲、乙以外的5人进行排列，有55P 种方法； 第二步，对甲、乙进行排列，有24P 种方法．因此，不同排法有14402455=⋅P P (种）． 14.解：（1）从5名男医生和4名女医生中选出3人，相当于从9个不同的元素中取出3个元素的组合数，不同的选法有8439=C (种）． （2）至多有2名女医生，根据分类计数原理，可以分三类：第一类，0名女医生，有1035=C 种选法； 第二类，1名女医生，有401425=⋅C C 种选法； 第三类，2名女医生，有302415=⋅C C 种选法．至多有2名女医生共有802415142535=⋅+⋅+C C C C C 种选法，因此，选出3人中，至多有2名女医生的概率为21208480=． （3）男医生甲必须入选，相当于从除甲以外的8位医生中选出2位的组合数，选法总数有2828=C （种），因此，选出3人中，甲必须入选的概率为318428=． *15.解：根据分类计数原理，分三类：第一类，甲、丙同去，乙不去，有2404425=⋅P C 种选法；第二类，甲、丙同不去，乙去，有2404435=⋅P C 种选法；第三类，甲、乙、丙都不去，有12045=P 种选法．因此，共有6004544354425=+⋅+⋅P P C P C 种不同的选派方案．【学海探津】如图8-1，根据题意，把五个区域分别记为①②③④⑤， 根据分类计数原理，分三类：第一类，涂五种不同的颜色，有12055=P 种不同的涂色方法；第二类，涂四种不同的颜色，则有545=C 种选颜色的方法，此时只能②与④同色或者是③与⑤同色，因此有2402544=×P （种）不同的涂色方法；第三类，涂三种不同的颜色，则有1035=C 种选颜色的方法，此时只能是有②④一种颜色，③⑤一种颜色，因此有601033=P 种不同的涂色方法． 综上共有420602401201025334555=++=+×+P P P 种不同的涂色方法．图8-1 8.3 二项式定理 【要点梳理】1.（1）011+++n n k n k k n nn n n n C a C a b C a b C b −−+ ；二项式定理；二项展开式；1n +；二项式系数.（2）k n k k n C a b −；+1k .2.（1）等距离；相等（2）一；2n nC ；两；1122n n n n C C −+和最大；相等（3）2n ；024+n n n C C C + ；135+n n n C C C + ；12n −【闯关训练】8.3.1 二项式定理一、选择题1.C2.D3.C4.B5.B6.B （提示：由题可知6n =，33332462()160T C x x−== ）7.A （提示：1(2)(2)k k k k k k n n T C x C x +=−=−，令2k =得含2x 的系数为24nC ） 8.C（提示：93921991()(1)kkkk k kk T C C x x−−+=−=−,令9303kk −==得,常数为 3349(1)84T C =−=−）二、填空题1. 15；48602. 79x −−3. 1604. 9 （提示：3333641()n n nn T C x C x x−−== ，令639n n −==得） 三、解答题 1.解：50514232323445555555554322345(+2)+(2)(2)(2)(2)(2)+1040808032a b C a C a b C a b C a b C a b C b a a b a b a b ab b =++++=++++2.解：展开式中的倒数第三项为顺数第五项4224445623()()159135T C x x x x∴=−=×=因此，展开式中倒数第三项为4135x ，该项的二项式系数为15，系数为135.3.解：由题可知，2(1)36,362n n n C −==即解得9n =展开式的通项为18329199((1)k k kk k k k T C x C x −−+==− 令183342kk −==解得 所以含有3x 的项为443359(1)126T C x x =−=【学海探津】()k kk k b a a C T −++=5251，令2=k ，则()232253b a a C T +=，对于()32aa +，令()r r r rr r a C a a C T −−+==633231，则1,56==−r r ，所以25b a 的系数301325=C C .8.3.2 二项式系数的性质一、选择题1.B2.B3.C4.A （提示：系数之和用赋值法，令661,(13)(13)64x x =−=−=得）5.A6.B7.D8.C （提示：展开式中含x 的奇次项系数之和，1357991010101010(+)2512C C C C C −+++=−=−）二、填空题1. 52. 21512x − 3. 5220x − 4. −2（提示：令1x =得01237+=1a a a a a ++++− ；令00,1x a =得，所求式子为−2）四、解答题1.解：由题意可知 268n nC C n ==解得 所以展开式中系数最大的项为第五项424445831()()70T C x x x−== 2.解：（1）展开式的通项为291851693()()()kk kk k k k a T C x a C x x−−+=−=− 令18533k k −==解得所以339()841a C a −==，得 （2）展开式的中间项为第5项和第6项442259(1)126T C x x −−=−= 557769(1)126T C x x −−=−=−3.解:(1)由题意可知 12256n −= 得9n =(2)展开式的通项为959219922()2kk kk k kk T C C x x−−+==令*959025k k N −==∉解得，所以该二项展开式不存在常数项.【学海探津】20101001019282919101010101010103=9=(7+2)7+7272++722C C C C C =×+××+ 而前面10项都能被7整除，1021024=被7整除余2，因此再过203天是星期三.第8章自我检测一、选择题1.A2.D3.C4.D5.B6. C7. C8. C（提示：由6(1)x +的二项式展开式的通项公式可得6rrC x ，在621)(1)x x++（1展开式中，若21)x +（1提供常数项1，则6(1)x +提供含有2x 的项，可得展开式中2x 的系数为2615C =；若21)x +（1提供21x 项，则6(1)x +提供含有4x 的项，展开式中4x 的系数为4615C =；所以2x 的系数为：15+15=30）二、填空题1. 52. 563. −1924. 34种 （提示:采取间接法，共有447434C C −=种不同的选法） 三、解答题1. 解：(1)先选后排，先选可以是2女3男，也可以是1女4男，先取有32415353C C C C + 种，后排有55P 种，共有3241553535()5400C C C C P +=种． (2)除去该女生后，先取后排，有4474840C P =种．(3)先选后排，但先安排该男生，有4147443360C C P =种 2. 解：由题意可知10=a 且0432104321a a a a a a a a a a −++++=+++=151)13(4=−−3.解：（1）82562=∴=n n（2）rr r r x x C T−=−+2881()r r rx C 2882-−=228=−r 由得3=r24448x T −=∴第九章9.1离散型随机变量及其分布【要点梳理】1.随机变量；离散型随机变量．2．（1）分布列．（2）①pi≥0，i＝1，2，…，n；②p1＋p2＋…＋p i＋…＋p n＝1.3. E(ξ)＝x1p1＋x2p2＋…＋x n p n；期望值；方差．4. 平均取值水平；方差；离散程度.5．q＝1－p；k k n knC p q−；二项分布；ξ～B(n，p)；,n p．【闯关训练】9.1.1 离散型随机变量一、选择题1. C2. B3. D 4．C 5．D二、填空题1. 0，1，22. 2，3，4，5，6，7，83．0，1，2，3三、解答题1. 解：挑到的题目应判为错误的个数可能有0个，1个，2个，3个，4个。

二项式定理的定义二项式定理的证明二项展开式的通项二项式系数的性质二项式定理一、定义：n nn r r n rn n n n n n n n b b a b a b a a b a C C C C C ++++++=+--- 22211)()(*N n ∈，这一公式表示的定理叫做二项式定理，其中公式右边的多项式叫做n b a )(+的二项展开式；上述二项展开式中各项的系数),,2,1,0(n r C rn = 叫做二项式系数，第1+r 项叫做二项展开式的通项，用1+r T 表示；r r n rn r b a T C -+=1叫做二项展开式的通项公式． 二、二项展开式的特点与功能1. 二项展开式的特点项数：二项展开式共1+n （二项式的指数+1）项；指数：二项展开式各项的第一字母a 依次降幂（其幂指数等于相应二项式系数的下标与上标的差），第二字母b 依次升幂（其幂指数等于二项式系数的上标），并且每一项中两个字母的系数之和均等于二项式的指数n ；系数：各项的二项式系数下标等于二项式指数；上标等于该项的项数减去1（或等于第二字母b 的幂指数； 2. 二项展开式的功能知识内容二项式定理注意到二项展开式的各项均含有不同的组合数，若赋予a ，b 不同的取值，则二项式展开式演变成一个组合恒等式．因此，揭示二项式定理的恒等式为组合恒等式的“母函数”，它是解决组合多项式问题的原始依据．又注意到在b b a )(+的二项展开式中，若将各项中组合数以外的因子视为这一组合数的系数，则易见展开式中各组合数的系数依次成等比数列．因此，解决组合数的系数依次成等比数列的求值或证明问题，二项式公式也是不可或缺的理论依据． 三、二项式系数的性质1. 对称性：在二项展开式中，与首末两项“等距离”的两项的二项式系数相等．2. 单调性：二项式系数（数列）在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间（项）取得最大值．其中，当n 为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数C n n2最大；当n 为奇数时，二项展开式中间两项的二项式系数Cn n21-,Cn n21+ 相等，且最大．3. 组合总数公式：nnn n n n C C C C 221=++++ 即二项展开式中各项的二项式系数之和等于n 2．4. “一分为二”的考察：二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和，即1531422-=+++=+++n n n n n n n C C C C C C ．例题练习1. 二项式定理及其展开式【例1】 求5)1(x x +的展开式．【解析】5)1(x x +=505541453235232514150505)1()1()1()1()1()1(x x x x x x x x x x x x C C C C C C +++++ =5x +53x +10x +10x 1+531x +51x【例2】 0．9915的近似值（精确到）是【解析】0．9915=(1-0．009)5=1-5×0．009+10×2 … ≈+0．00081≈【例3】 求证：（1）11--n n 能被2)1(-n 整除)3,(≥∈n N n ；【证明】为利用二项式定理，对1-n n 中的底数n 变形为两数之和（或差）． ∵ 3≥n ，且N n ∈， ∴11)]1(1[---+=n n n n 于是有 1)]1(1[111--+=---n n n n()()()21121111112...11n n n n n C n C n C n -----⎡⎤=+-+-++--⎣⎦()()()2112111112...1n n n n n C n C n C n -----=-+-++-()()()23231111111...1n n n n n n C C n C n -----⎡⎤=-++-++-⎣⎦(※) 注意到3≥n ，且N n ∈ ，故()()323111111...1n n n n n C C n C n N --*---++-++-∈因此由(※)式知11--n n 能被2)1(-n 整除；2. 二项式系数【例4】 在8)1)(1(+-x x 的展开式中5x 的系数是（ ）【例5】 A ． –14 B ． 14 C ． –28 D ． 28 【分析】对于多项展开式中某一项的总数的寻求，“化整为零”为基本方法之一，8)1)(1(+-x x =8888)1()1()1()1(x x x x x x +-+=+-+⋅ ，又8)1(x +的展开式中4x 的系数为C 48，5x 的系数为C 58．∴ 原展开式中5x 的系数为1438485848=-=-C C C C ，应选B ．【例6】 设1,2,3,4,5,k =则5)2(+x 的展开式中k x 的系数不可能是（ ）A ． 10B ． 40C ． 50D ． 80 【分析】立足于二项展开式的通项公式：)5,,2,1,0(2551 ==-+r x T r r rr C∴ 当k=1时，r=4，1x 的系数为802445=⋅C ； 当k=2时，r=3，2x 的系数为802335=⋅C ； 当k=3时，r=2，3x 的系数为402225=⋅C ； 当k=4时，r=1，4x 的系数为102115=⋅C ． ∴ 综上可知应选C ．【点评】关于二项展开式中某一项的问题，一般要利用二项展开式的通项公式．【例7】 在8765)1()1()1()1(x x x x -+-+-+-的展开式中，3x 的项的系数为（ ）A ． 74B ． 121C ． –74D ． –121【分析】考虑求和转化，原式xx x x x x 9545)1()1()1(1])1(1[)1(---=-----=又5)1(x -的展开式中4x 系数为C 45 ，9)1(x -的展开式中4x 系数为C 49 ∴ 原展开式中3x 项的系数为1214945-=-C C ，应选D ．【例8】 已知n xx )21(3-)(*∈N n 的展开式中奇数项的二项式系数之和等于512，试求：（1）二项式系数最大的项； （2）系数的绝对值最大的项； （3）系数最大的项．【解析】由题意得5122142==+++-n n n o n C C C ∴10n =∴二项展开式的通项公式为 65301012)1(rrrrr xT C --+⋅⋅-⋅=)10,2,1,0( =r（1）∵10n =， ∴二项展开式共11项∴二项展开式的中间一项即第六项的二项式系数最大 又65551062x T C --=∴所求二项式系数最大的项为 656863x T -=（2）设第r+1项系数的绝对值r rC -⋅210最大，则有)10(2222)1(11010)1(11010≤⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⋅≥⋅⋅≥⋅----+-+-r r r r r r r r r C C C C ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅--≥⋅-⋅-+≥⋅-⇔-+1121)!11()!1(!1021)!10(!!1021)!9()!1(!1021)!10(!!10r r r r r r r r r r r r⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-≥-+⇔21121101r r r r解之得31138≤≤r ，注意到N r ∈，故得r=3∴ 第4项系数的绝对值最大∴ 所求系数绝对值最大的项为 25415x T -=（3）由通项公式的特征可知，系数最大的项应在项数为奇数的项内，即在r 取偶数的各项内又r 取偶数0，2，4，6，8，10时，相应的各项系数分别为0102C ,22102-C ,44102-C ,66102-C ,88102-C ,1010102-C ．即分别为1，445 ，8105 ，32105 ，25645,1021 由此可知，系数最大的项为第5项(r=4)，即3558105x T =点评：（1）解决二项式问题要注意区分两种系数：一种是某一项的系数，按通常的多项式系数去理解、认定；一种是某项的二项式系数，仅指这一项中所含的那个组合数．二者在特殊情况下方为同一数值． （2）这里103)21(xx -展开式中系数绝对值最大的项，实际上是103)21(xx +展开式中系数最大的项，必要时可适时转化．（3）本题解法“一题两制”：对于（2），我们运用一般方法进行推导；对于（3），我们运用认知、列举、比较的方法导出目标．当指数n 数值较小时，（3）的解法颇为实用．【例9】 设2002002210200)14(x a x a x a a x ++++=- ，求 ①展开式中各二项式系数的和；②展开式中各项系数的和；③19931a a a +++ 的值 ④20042a a a +++ 的值 ⑤20021a a a +++ 的值【解析】令2002002210200)14()(x a x a x a a x x f ++++=-=①注意到这里n=200，故展开式中各二项式系数的和2002002002200120002002=++++C C C C②展开式中各项系数的和2002002103)1(==++++f a a a a ③ 注意到2001993210)1(a a a a a a f +++++= ，2001993210)1(a a a a a a f +--+-=- )(2)1()1(19931a a a f f +++=--∴)53(21)]1()1([21200200199531-=--=++++∴f f a a a a④仿③得)53(21200200200420+=++++a a a a ，又1)0(0==f a ∴1)53(2120020020042-+=+++a a a ⑤解法一（直面原式）：2001993210)1(a a a a a a f +-+-+-=-∴)1(020********--=-++-+-f a a a a a a a ，又1)0(0==f a ∴1)1(2001994321--=+--+-+f a a a a a a再由二项式的展开式知，-+∈∈R a a a R a a a 1993120020,,,,,, ∴20021a a a +++151)1()()()(2002001994321-=--=+-+++-++-=f a a a a a a点评：对于二项展开式中各奇数项系数的和或各偶数项系数的和或其它有关多项式中系数的和，一般可根据问题的具体情况，对未知数x 赋予适当的数值，运用特取法求出和式的值．3. 二项式展开式的通项公式【例10】 求9)1(x x -的二项展开式中3x 的系数．【解析】展开式的通项为m mm m m m m x xx T C C 299991)1()1(--+-=-=根据题意，有923m -= ，解得m=3 因此，3x 的系数为8484)1()1(3393-=⋅-=-C【例11】 求7)21(x +的二项展开式中，第4项的系数和第4项的二项式系数． 【解析】7)21(x +的二项展开式的第4项为3373713)2(1x T C -+=所以第4项的二项式系数为3537=C第4项的系数为280837=⋅C【例12】 求10)1(xx +的二项展开式的第6项．【解析】252)1()(51055510156====+C C xx T T ．【例13】 二项式6)1(xx +的展开式中常数项的值为______．【解析】展开式的通项为r rr r r r x xx T C C 266661)1(--+==由题意知6-2r=0，即r=3，故有展开式中常数项 的值为2036=C ．【例14】 103)1(xx -展开式中的常数项是______．【解析】r rrr rrr xxx T C C 65510310101)1()1()(--+-=-=．依题意，0655=-r ，即6r =．所以展开式的常数项是210)1(61067=-=C T ．【例15】 （2010江西卷理6）8)2(x -展开式中不含4x 项的系数的和为（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．2【答案】B【解析】考查对二项式定理和二项展开式的性质，重点考查实践意识和创新能力，体现正难则反．采用赋值法，令1=x 得：系数和为1，减去4x 项系数1)1(28088=-C 即为所求，答案为0．4. 二项式定理在解决整除性问题中的应用【例16】 今天是星期一，再过n 8天后的那一天是星期几？【解析】 C C C C C nn n n n n n n n n n n +++++=+=---1122117777)17(8 因为C nn 前面各项都是7的倍数，故都能被7整除．因此余数为，1=C nn 所以应为星期二．【例17】 9291除以100的余数是（ ）． 【解析】转化为二项式的展开式求解．190909090)190(9191922909291192929292+++++=+=C C C ．上式中只有最后两项不能被100整除8281190921909192=+⨯=+C ． 8281除以100的余数为81，所以9291除以100的余数为81．5. 信息迁移【例18】 若)()21(2004200422102004R x x a x a x a a x ∈++++=- ，)()()(200402010a a a a a a ++++++= _______．（用数字作答）【解析】设2004200422102004)21()(x a x a x a a x x f ++++=-=则 1)0(0==a f ，1)1(2004210=++++=a a a a f ．∴ 原式=)(20042004210a a a a ++++ =2004)1(20030=+f a 应填2004．【例19】 已知函数1212)(+-=x x x f ，求证：对于任意不小于3的自然数n ，都有1)(+>n nn f ．【证明】要证1)(+>n nn f 3,(≥∈n N n 且，只要证11212+>+-n n n n ，即证)3(122≥+>n n n ． 而12)11(2110210+=++>++++=+=-n C C C C C C C n n n n n n n n n n n ，故原命题显然成立．【例20】 求证：*12(1)3(2,)n n n N n<+<≥∈【证明】n n n n n n n nn n n C C C C )1()1(1)11(2210+++⨯+=+=n nn n n nn n C C C 111113322⨯++⨯+⨯++=2+!21×2)1(n n n -+!31×3)2)(1(n n n n --+…+!1n ×n nn n 12)1(⨯⨯⨯-⨯ < 2+!21+!31+!41+…+!1n < 2+21+221+321+…+121-n=2+211])21(1[211---n =3-3)21(1<-n显然211111)11(3322>⨯++⨯+⨯++=+n nn n n n nn n n C C C 所以*,2(3)11(2N n n nn ∈≥<+<．课堂总结1. 在使用通项公式r r n rn r b a T C -+=1时，要注意：①通项公式是表示第r ＋1项，而不是第r 项②展开式中第r +1项的二项式系数C rn 与第r +1项的系数不同③通项公式中含有a ，b ，n ，r ，1+r T 五个元素，只要知道其中的四个元素，就可以求出第五个元素在有关二项式定理的问题中，常常遇到已知这五个元素中的若干个，求另外几个元素的问题，这类问题一般是利用通项公式，把问题归纳为解方程（或方程组）这里必须注意n 是正整数，r 是非负整数且r ≤n2. 证明组合恒等式常用赋值法3. 二项式定理应用通常有以下几类题型：①通项应用型：利用通项公式研究具体某一项系数的性质等问题②系数配对型：展开两因式乘积或可化为两因式乘积的三项式，求某项系数③系数性质型：灵活应用二项式系数性质或赋值求系数和④利用二项式定理求近似值，证明整除性或求余数问题，证明恒等式或不等式⑤在概率等方面的应用课后检测【习题1】（2010全国Ⅰ卷理5）533)1()21(x x -+的展开式中x 的系数是（ ）A ． -4B ． -2C ． 2D ． 4【命题意图】本小题主要考查了考生对二项式定理的掌握情况，尤其是展开式的通项公式的灵活应用，以及能否区分展开式中项的系数与其二项式系数，同时也考查了考生的一些基本运算能力．【答案】B【解析】 53533)1)(81261()1()21(x x x x x x x -+++=-+ 故533)1()21(x x -+的展开式中含x 的项为x x x x x C C 2121012)(1053335-=+-=+-⨯,所以x 的系数为-2．【习题2】4)2(x x +的展开式中3x 的系数是（ ）A 6B 12C 24D ． 48【答案】C 【解析】424)21()2(x x x x +=+，在4)21(x +中，x 的系数为242224=⋅C ．【习题3】73)12(x x -的展开式中常数项是（ ） A 14 B -14 C 42 D -42【答案】A 【解析】设73)12(x x -的展开式中的第r +1项是)7(32777371)1(2)1()2(r r r r r r r r r x x x T C C -+---+⋅-⋅=-=， 当0)7(32=-+-r r ，即r =6时，它为常数项，∴142)1(1667=⋅-C【习题4】（2010陕西卷理4）)(5R x x a x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+展开式中3x 的系数为10，则实数a 等于（ ） A ．-1 B ．0．5 C ．1 D ．2【答案】D【解析】∵r r r rr r r x a x a x T C C 255551--+⋅⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅=，又令325=-r 得1=r ，∴由题设知210115=⇒=⋅a aC ．【习题5】若n x x x )1(3+的展开式中的常数项为84，则n =_____________【答案】9 【解析】r n r n r r n r n r x x x T C C 2932331)()(---+⋅=⋅= ． 令3n －29r =0，∴2n =3r ∴n 必为3的倍数，r 为偶数试验可知n =9，r =6时，8469==C C r n【习题6】已知n x x )1(lg +展开式中，末三项的二项式系数和等于22，二项式系数最大项为20000，求x 的值【解析】由题意2212=++--C C C n n n n n n ,即22012=++C C C n n n ，∴n =6∴第4项的二项式系数最大 ∴20000)(3lg 36=x x C ，即1000lg 3=x x ．∴x =10或x 101 【习题7】(2010安徽卷理12）6)(x yy x-展开式中，3x 的系数等于________．【解析】3244615)()(x x y y x C ，所以3x 的系数等于15．。