随机变量及其分布作业

第1课时 随机变量及其概率分布（1）一、知识要点：1、一般地，如果随机试验的结果，可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做 通常用大写拉丁字母X,Y,Z （或小写希腊字母,,ξηζ）等表示，而用小写拉丁字母x,y,z （加上适当下标）等表示随机变量取的可能值2、假定随机变量X 有n 个不同的值，它们分别是12,...n x x x ,(),1,2...,i i P X x p i n ===① 则称①为随机变量X 的 ，简称为X 的分布列，也可以将其用表的形式来表示，我们称为随机变量X 的 ，它和①都叫做随机变量X 的3、随机变量X 只取两个可能值0和1，我们把这一类概率分布列称为 或 二、例题分析： 例1、（1）掷一枚质地均匀的硬币一次，用X 表示掷得正面的次数，则随机变量X 的可能取值有哪些？（2）一试验箱中装有标号1,2,3,3,4的五只白鼠，从中任取一只，记取到的白鼠的标号为Y ，则随即变量Y 的可能取值有哪些？例2从装有6只白球和4只红球的口袋中任取一只球，用X 表示“取到的白球个数”，即10X ⎧=⎨⎩，当取到白球时，当取到红球时，求随机变量X 的概率分布例3、同时掷两颗质地均匀的骰子，观察朝上一面出现的点数，求两颗骰子中出现的最大点数X 的概率分布，并求X 大于2小于5的概率P （25X <<）三、练习：课本P48 1,2,3（做在课本上）1、写出下列随即变量的可能取值，并说明随机变量所表示的随机试验的结果（1）从甲地到乙地有汽车、火车和飞机三种直达交通工具，旅费分别是100元、80元和400元，某人从甲地去乙地旅游，他的旅费为X ；（2）盒内装着标有1－4号的大小相同的4个小球，设随机抽取2个，所得的号码之和为Y（3）袋中有大小相同的红球10个，白球5个，从袋中每次任取1个球，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数Z2、设随机变量X 只能取5,6,7,…,16这12个值，且取每个值的机会是均等的，试求： （1）P （X>8）； （2）P （6<X ≤8）； （3）(10)P X ≥3、随机变量X 的分布列为(),1,2,3,4,515kP X k k ===，试求： (1)(3)P X <； 15(2)()22P X <<； （3）(24)P X ≤≤第1课时 随机变量及概率分布（1）作业感受·理解1、设随机变量X 等可能的取值1，2，3，…，n ，如果3.0)4(=<X P ，那么n=2、在含有5件次品的100件产品中，任取3件，则取到的次品数X 的分布列为 _______ ___3、设随机变量X 的概率分布是kak X P 5)(==，a 为常数，3,2,1=k ，则a =_________ 抛掷一颗骰子两次,定义随机变量⎩⎨⎧=)(,1)(,0的点数数等于第二次向上一面当第一次向上一面的点面的点数数不等于第二次向上一当第一次向上一面的点ξ试写出随机变量ξ的分布列4、学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，现从中选2人．设ξ为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且107)0(P =>ξ，则文娱队的人数是5、设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述一次该项试验的成功次数，则)0(=ξP 等于思考·运用6、写出下列随即变量的可能取值，并说明随机变量所表示的随机试验的结果（1）从甲地到乙地有汽车、火车和飞机三种直达交通工具，旅费分别是100元、80元和400元，某人从甲地去乙地旅游，他的旅费为X ；（2）盒内装着标有1－4号的大小相同的4个小球，设随机抽取2个，所得的号码之和为Y ；（3）袋中有大小相同的红球10个，白球5个，从袋中每次任取1个球，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数Z 。

第二章 随机变量及其分布（一）一、选择题1.设A,B 为随机事件,,0)(=AB P 则( ).BA..φ=ABB.AB 未必是不可能事件C.A 与B 对立D.P(A)=0或P(B)=02.设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且},2{}1{===X P X P 则}2{>X P 的值为( ）.A.2-eB.251e-C.241e-D.221e-. 采用的教材中称“普哇松分布”概率函数在第四章给出3.设X 服从]5,1[上的均匀分布,则( ). A.4}{ab b X a P -=≤≤ B.43}63{=<<X P C.1}40{=<<X PD.21}31{=≤<-X P4.设),4,(~μN X 则( ). A.)1,0(~4N X μ- B.21}0{=≤X P C.)1(1}2{Φ-=>-μX PD.0≥μ正态分布也是第四章才学习的5.设随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧<<=其他,010,2)(x x x f ，以Y 表示对X 的三次独立重复观察中事件}21{≤X 出现的次数，则（ ）. A ．由于X 是连续型随机变量，则其函数Y 也必是连续型的B ．Y 是随机变量，但既不是连续型的，也不是离散型的C ．649}2{==y P D.)21,3(~B Y 二项分布正式出现，还有这个记法在第四章。

6.设=≥=≥}1{,95}1{),,3(~),,2(~Y P X P p B Y p B X 则若( ). A.2719 B.91C.31D.2787.设随机变量X 的概率密度函数为(),23X f x Y X =-+则的密度函数为( ).A.13()22X y f ---B.13()22X y f --C.13()22X y f +--D.13()22X y f +-8.连续型随机变量X 的密度函数)(x f 必满足条件( ). A.1)(0≤≤x fB.)(x f 为偶函数C.)(x f 单调不减D.()1f x dx +∞-∞=⎰9.若)1,1(~N X ,记其密度函数为)(x f ，分布函数为)(x F ,则( ). A.{0}{0}P X P X ≤=≥ B.)(1)(x F x F --= C.{1}{1}P X P X ≤=≥D.)()(x f x f -=10.设)5,(~),4,(~22μμN Y N X ,记},5{},4{21+≥=-≤=μμY P P X P P 则( ). A.21P P =B.21P P <C.21P P >D.1P ,2P 大小无法确定11.设),,(~2σμN X 则随着σ的增大,}|{|σμ<-X P 将( ). A.单调增大B.单调减少C.保持不变.D.增减不定9-11是正态分布的题，第四章内容12.设随机变量X 的概率密度函数为(),()(),()f x f x f x F x =-是X 的分布函数,则对任意实数a 有( ). A.⎰-=-adx x f a F 0)(1)( B.⎰-=-adx x f a F 0)(21)(C.)()(a F a F =-D.1)(2)(-=-a F a F13.设X的密度函数为01()0,x f x ≤≤=⎪⎩其他，则1{}4P X >为( ).A.78B.14⎰C.141-⎰D.3214.设~(1,4),(0.5)0.6915,(1.5)0.9332,{||2}X N P X Φ=Φ=>则为( ). A.0.2417 B.0.3753 C.0.3830 D.0.866415.设X 服从参数为91的指数分布,则=<<}93{X P ( ). A.)93()99(F F -B.)11(913ee - C.ee 113-D.⎰-939dx e x16.设X 服从参数λ的指数分布,则下列叙述中错误的是( ).A.⎩⎨⎧≤>-=-0,00,1)(x x e x F x λ.对任意的x e x X P x λ-=>>}{,0有C.对任意的}{}|{,0,0t X P s X t s X P t s >=>+>>>有D.λ为任意实数17.设),,(~2σμN X 则下列叙述中错误的是( ). A.)1,0(~2N X σμ-B.)()(σμ-Φ=x x FC.{(,)}()()a b P X a b μμσσ--∈=Φ-Φ D.)0(,1)(2}|{|>-Φ=≤-k k k X P σμ14-17第四章内容18.设随机变量X 服从(1,6)上的均匀分布,则方程012=++Xx x 有实根的概率是( ). A.0.7B.0.8C.0.6D.0.5注意一次项的系数是一个随机变量19.设=<=<<}0{,3.0}42{),,2(~2X P X P N X 则σ（ ）. A ．0.2 B.0.3 C.0.6 D.0.820.设随机变量Ｘ服从正态分布2(,)N μσ，则随σ的增大，概率{||}P X μσ-<（ ）.Ａ．单调增大 Ｂ．单调减少 Ｃ．保持不变 Ｄ．增减不定上面两道也是正态分布的题目 二、填空题1．随机变量X 的分布函数)(x F 是事件 的概率.2．已知随机变量X 只能取-1，0，1，2四个数值，其相应的概率依次是cc c c 161,81,41,21，则=c3．当a 的值为 时， ,2,1,)32()(===k a k X p k 才能成为随机变量X的分布列.4．一实习生用一台机器接连独立地制造3个相同的零件，第i 个零件不合格的概率)3,2,1(11=+=i i p i ，以X 表示3个零件中合格品的个数，则________)2(==X p .5.已知X 的概率分布为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-4.06.011，则X 的分布函数=)(x F .6.随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的分布列为 .7．设随机变量X 的概率密度为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈∈=其它,0]6,3[,92]1,0[,31)(x x x f ，若k 使得{}32=≥k X p则k 的取值范围是 .因为密度函数是分段函数，因此必须根据k 所在的区间分类讨论 8．设离散型随机变量X 的分布函数为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥+<≤-<≤--<=2,21,3211,1,0)(x b a x a x a x x F且21)2(==X p ，则_______,________a b ==.9．设]5,1[~U X ，当5121<<<x x 时，)(21x X x p <<= . U 是英语均匀分布的第一个字母，采用的教材中没有 10．设随机变量),(~2σμN X ，则X的分布密度=)(x f .若σμ-=X Y ，则Y 的分布密度=)(y f .11．设)4,3(~N X ，则}{=<<-72X p .12．若随机变量),2(~2σN X ，且30.0)42(=≤<X p ，则_____)0(=≤X p .13．设)2,3(~2N X ，若)()(c X p c X p ≥=<，则=c .14.设某批电子元件的寿命),(~2σμN X ，若160=μ，欲使80.0)200120(=≤<X p ，允许最大的σ= .10-15正态分布 15.若随机变量X的分布列为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-5.05.011，则12+=X Y 的分布列为 .16.设随机变量Ｘ服从参数为（２，ｐ）的二项分布，随机变量Ｙ服从参数为（３，ｐ）的二项分布，若Ｐ｛Ｘ≥１｝＝５／９，则Ｐ｛Ｙ≥１｝＝ .17.设随机变量Ｘ服从（０，２）上的均匀分布，则随机变量Ｙ＝2X 在（０，４）内的概率密度为()f y＝ .Y18.设随机变量Ｘ服从正态分布2Nμσσ>，且二次方程(,)(0)240++=无实根的概率为１／２，则μ= .y y X。

第二章 随机变量及其分布18.[十七] 设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=.,1,1,ln ,1,0)(e x e x x x x F X ，求（1）P (X<2), P {0<X ≤3}, P (2<X<25)；（2）求概率密度f X (x ). 解：（1）P (X ≤2)=F X (2)= ln2， P (0<X ≤3)= F X (3)－F X (0)=1，45ln 2ln 25ln )2()25(252(=-=-=<<X X F F X P （2）⎪⎩⎪⎨⎧<<==其它,0,1,1)(')(e x x x F x f24.[二十二] 设K 在（0，5）上服从均匀分布，求方程02442=+++K xK x 有实根的概率∵ K 的分布密度为：⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他50051)(K K f要方程有根，就是要K 满足(4K )2－4×4× (K+2)≥0。

解不等式，得K ≥2时，方程有实根。

∴53051)()2(5522=+==≥⎰⎰⎰∞+∞+dx dx dx x f K P 25.[二十三] 设X ～N （3.22）（1）求P (2<X ≤5)，P (－4)<X ≤10)，P {|X|>2}，P (X>3)∵ 若X ～N （μ，σ2），则P (α<X ≤β)=φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-σμβφ⎪⎭⎫ ⎝⎛-σμα ∴P (2<X ≤5) =φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-235φ⎪⎭⎫ ⎝⎛-232=φ(1)－φ(－0.5) =0.8413－0.3085=0.5328P (－4<X ≤10) =φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-2310φ⎪⎭⎫ ⎝⎛--234=φ(3.5)－φ(－3.5) =0.9998－0.0002=0.9996P (|X |>2)=1－P (|X |<2)= 1－P (－2< P <2 )=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--Φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-2322321 =1－φ(－0.5) +φ(－2.5) =1－0.3085+0.0062=0.6977P (X >3)=1－P (X ≤3)=1－φ⎪⎭⎫⎝⎛-233=1－0.5=0.5（2）决定C 使得P (X > C )=P (X ≤C )∵P (X > C )=1－P (X ≤C )= P (X ≤C )得 P (X ≤C )=21=0.5 又P (X ≤C )=φ023,5.023=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-C C 查表可得∴ C =3 28.[二十六] 一工厂生产的电子管的寿命X （以小时计）服从参数为μ=160，σ(未知)的正态分布，若要求P (120＜X ≤200＝=0.80，允许σ最大为多少？∵ P (120＜X ≤200)=80.04040160120160200=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φσσσσ 又对标准正态分布有φ(－x )=1－φ(x )∴ 上式变为80.040140≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ--⎪⎭⎫ ⎝⎛Φσσ 解出9.040:40≥⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ⎪⎭⎫ ⎝⎛Φσσ便得 再查表，得25.31281.140281.140=≤≥σσ 31.[二十八] 设随机变量X 在（0，1）上服从均匀分布 （1）求Y=e X 的分布密度∵ X 的分布密度为：⎩⎨⎧<<=为其他x x x f 0101)(Y=g (X ) =e X 是单调增函数 又 X=h (Y )=lnY ，反函数存在且α = min [g (0), g (1)]=min (1, e )=1=βmax [g (0), g (1)]=max (1, e )= e∴ Y 的分布密度为：⎪⎩⎪⎨⎧<<⋅=⋅=为其他y e y yy h y h f y ψ0111|)('|)]([)(（2）求Y=－2lnX 的概率密度。

第二章 《随机变量及其分布》作业班级 学号 姓名一、单项选择题1. 设连续随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它，；,020,2)(x x x f 则P {－3≤X ≤1}＝ ( ) (A). 0(B). 0.25(C). 0.5(D). 12.设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,且{}{}21===X P X P , 则λ=( )(A) 1 ; (B) 2 ; (C) 3; (D) 4. 3.设随机变量),(~2σμN X ，则=≤≤)(b X a P （ ）).(A )()(b a Φ-Φ； ).(B )()(b a Φ+Φ； ).(C )()(σμσμ-Φ--Φb a ； ).(D )()(σμσμ-Φ--Φa b .4. 若4重伯努利试验中，事件A 至少发生一次的概率为8165，则在一次 试验中，事件A 发生的概率为（ ）).(A 1； ).(B 32； ).(C 41； ).(D 43.5. 设随机变量，且，则c=（ ）．0 ； ； ； ．二 .填空题1.已知随机变量只能取-1，0，1，2四个数值，其相应的概率依次是，则2.则X 的分布函数为=)(x F .),(~2σμN X )()(c X p c X p >=≤)(A )(B μ)(C μ-)(D σX c c c c 161,81,41,21=c3.设连续型随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤=其它021)2(10)(x x k x kx x f ,则k= ; ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤2321X P = .4.某高速公路一天的事故数X 服从参数3=λ的泊松分布,则一天内没有发生事故的概率是5.设离散型随机变量X 的分布列为则 随机变量函数 Y =()21+X 的分布列是6．设随机变量ξ在(1,6)上服从均匀分布,求方程012=++x x ξ有实根的概率 .7.已知ξ服从)4,150(2N ，则140(P ＜=≤)160ξ ，=≤)150(ξP 。

概率论分布列期望方差习题及答案The following text is amended on 12 November 2020.圆梦教育 离散型随机变量的分布列、期望、方差专题姓名：__________班级：__________学号：__________1．红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A 、B 、C 进行围棋比赛，甲对A ，乙对B ，丙对C 各一盘，已知甲胜A ，乙胜B ，丙胜C 的概率分别为,,，假设各盘比赛结果相互独立。

（Ⅰ）求红队至少两名队员获胜的概率；（Ⅱ）用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望E ξ.2．已知某种从太空带回的植物种子每粒成功发芽的概率都为13，某植物研究所分两个小组分别独立开展该种子的发芽实验，每次实验种一粒种子，假定某次实验种子发芽则称该次实验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次实验是失败的． (1) 第一小组做了三次实验，求实验成功的平均次数；(2) 第二小组连续进行实验，求实验首次成功时所需的实验次数的期望； (3)两个小组分别进行2次试验，求至少有2次实验成功的概率．3．一种电脑屏幕保护画面，只有符号“○”和“×”随机地反复出现，每秒钟变化一次，每次变化只出现“○”和“×”之一，其中出现“○”的概率为p ，出现“×”的概率为q .若第k 次出现“○”，则a k =1；出现“×”，则a k =1-.令S n =a 1+a 2+…+a n ()n N *∈.(1)当12p q ==时，求S 6≠2的概率；(2)当p =31，q =32时，求S 8=2且S i ≥0(i =1,2,3,4)的概率.4．在一个有奖问答的电视节目中，参赛选手顺序回答123A A A 、、三个问题，答对各个问题所获奖金（单位：元）对应如下表：当一个问题回答正确后，选手可选择继续回答下一个问题，也可选择放弃．若选择放弃，选手将获得答对问题的累计奖金，答题结束；若有任何一个问题回答错误，则全部奖金归零，答题结束．设一名选手能正确回答123A A A 、、的概率分别为421534、、，正确回答一个问题后，选择继续回答下一个问题的概率均为12，且各个问题回答正确与否互不影响．（Ⅰ）按照答题规则，求该选手1A 回答正确但所得奖金为零的概率；（Ⅱ）设该选手所获奖金总数为ξ，求ξ的分布列与数学期望．5．某装置由两套系统M,N 组成，只要有一套系统工作正常，该装置就可以正常工作。

目录第二章随机变量及其分布与数字特征 (1)习题A(作业题) (1)习题B(练习题) (4)一、填空题 (4)二、选择题 (5)三、计算题 (8)第六章统计量和抽样分布 (17)习题A(作业题) (17)习题B(练习题) (19)一、填空题 (19)二、选择题 (20)三、计算题 (23)第八章假设检验 (28)习题A(作业题) (28)习题B(练习题) (29)一、填空题 (29)二、选择题 (30)三、计算题 (33)第二章 随机变量及其分布与数字特征习题A(作业题)1求()⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛≤2523;252;1X p X p x F ）（）（）（．DX EX ,2.一批产品20个, 其中有5个次品, 从这批产品中随意抽取4个, 求(1)这4个中的次品数X 的分布列；(2))1(<X p3. 连续型随机变量X 的分布函数为)0(,1,arcsin ,0)(>⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-+-≤=a a x a x a a x B A a x x F试求：（1）系数A 、B ；（2）求2(a X p <）；（3）X 的分布密度函数。

4.服从拉普拉斯分布的随机变量X 的概率密度xAex f -=)( , 求(1)系数A ; (2))11(<<-X p ，(3)分布函数)(x F .5. 已知随机变量X ),(~2σμN ，975.0)9(=<X p ,062.0)2(=<X p ，利用标准正态分布表求)6(>X p 和)3(>X p 。

6．某保险公司对顾客进行人身保险，如果在一年内投保人死亡，保险公司赔偿10000元，若投保人受伤，保险公司赔偿5000元，已知一年内投保人死亡的概率为0.002，受伤的概率为0.005，为使保险公司的期望收益不低于保费的10%，该公司应该要求顾客至少交多少保险费？习题B(练习题)一、填空题1．用随机变量X 来描述掷一枚硬币的试验结果（正面为1，反面为0）. 则X 的分布函数为 。

概率论作业本姓名：任课教师：专业：班级：学号：黑龙江八一农垦大学文理学院数学系第一章 随机事件与概率1、设C B A 、、为已知事件，用C B A 、、表示以下事件:(1) 不发生发生，、C B A (2) C B A 、、都不发生(3)C B A 、、至少有一个发生 (4) C B A 、、恰有一个发生(5) C B A 、、至多有一个发生 （6）C B A 、、至少有两个发生2、设有一批产品共有100件，其中95件合格品，5件次品。

从中任取10件，试求：（1）样本空间所含基本事件个数n 。

（2）设"10"1件全是合格品所取=A 所含基本事件个数1m 。

（3）设"10"2件恰有两件次品所取=A 所含基本事件个数2m 。

3、把10本书任意地放在书架上,求其中指定的3本书放在一起的概率。

4、一盒中装有60个零件。

其中甲厂生产的占31，乙厂生产的占32。

现随机地从盒中取3 个，求其中恰有一支是甲厂生产的概率。

5、一份试卷上有6道试题。

某位学生在解答时，由于粗心随机地犯了4处不同的错误。

试求：（1）这4处错误发生在最后一道题上的概率。

（2）这4处错误发生在不同题上的概率。

（3）至少有3道题全对的概率。

6、将数字54321、、、、写在5张卡片上。

任意取出三张排成三位数，则这三位数是奇数的概率。

7、将4个小球随机地投入3个盒内，求有空盒的概率和没有空盒的概率。

8、将3个球随机地放入4个杯子中，求杯子中球的最大个数分别为1，2，3的概率各是多少？9、,B A ⊂5.0)(,1.0)(==B P A P ，试求)(),(),(B A P B A P AB P ⋃⋃。

10、6.0)(,3.0)(==B P A P ，7.0)(=⋃B A P 。

求)()(B A P B A P 和。

11、某射手在三次射击中至少命中一次的概率为875.0，试求该射手在一次射击中命中的概率。

12、五名篮球运动员独立地投篮，每个运动员投篮的命中率都是8.0。