上海2014届高三年级八校联合调研考试试卷文科数学

2014届高三年级八校联合调研考试试卷数学（理科）一、填空题（本题满分56分）本大题共有14题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1. 在复平面上，复数()232i -对应的点到原点的距离为 ．2. 已知函数()x x x f ωω44cos sin -=()0>ω的最小正周期是π，则=ω ．3. 向量在向量方向上的投影为 ．4. 已知正数,a b 满足2a b +=，则行列式111111ab++的最小值为 ．5. 阅读右边的程序框图，如果输出的函数值y 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡141,内，则输入的实数x 的取值范围是 ．6. 设αβ、是一元二次方程022=+-m x x 的两个虚根.若||4αβ=，则实数=m ．7. 集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+-=011x x x A ，{}a b x x B <-=．若“a ＝1”是“A B φ≠ ”的充分条件， 则实数b 的取值范围是 ．8. 已知椭圆的焦点在x 轴上，一个顶点为(0,1)A -，其右焦点到直线0x y -+=的距离为3，则椭圆的方程为 ．9. 在△ABC 中，A B C 、、所对边分别为a 、b 、c ．若tan 210tan A cB b++＝，则A = ． 10. 已知数列{}n a 的首项12a =，其前n 项和为n S ．若121n n S S +=+，则n a = ． 11. 某地球仪上北纬30︒纬线长度为12πcm ，该地球仪的表面上北纬30︒东经30︒对应点A 与北纬30︒东经90︒对应点B 之间的球面距离为 cm （精确到0.01）． 12. 已知直线()2+=x k y 与抛物线x yC 8:2=相交于A 、B 两点，F 为抛物线C 的焦点．若||2||FA FB =，则实数=k ．13. 将()22x x af x =-的图像向右平移2个单位后得曲线1C ，将函数()y g x =的图像向下平移2个单位后得曲线2C ，1C 与2C 关于x 轴对称．若()()()f x F x g x a=+的最小值为m 且2m >a 的取值范围为 ．14. 已知“,,,,,a b c d e f ”为“1,2,3,4,5,6”的一个全排列．设x 是实数，若“()()0x a x b --<”可推出“()()0x c x d --<或()()0x e x f --<”，则满足条件的排列“,,,,,a b c d e f ”共有__________个．二． 选择题（本题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得 5分，否则一律得零分．15. 函数()()21212-<+=x x x f 的反函数是 （ ）(A) 3)y x =≤<． (B) 3)y x =>．(C) 3)y x =≤<． (D)3)y x =>．16. 直线l 的法向量是(),n ab =. 若0ab <，则直线l 的倾斜角为 ( ) (A)arctan b a ⎛⎫-⎪⎝⎭ (B)arctan a b ⎛⎫- ⎪⎝⎭(C)arctan a b π+ (D)arctan b a π+ 17. 已知A 、B 、C 是单位圆上三个互不相同的点.若||||AB AC =，则AB AC 的最小值是（ ）(A)0． （B ）14-． （C ）12-． （D ）34-．18. 等差数列{}n a 的公差0d ≠，a nÎR ，前n 项和为n S ，则对正整数m ，下列四个结论中：（1）232,,m m m m m S S S S S --成等差数列，也可能成等比数列； （2）232,,m m m m m S S S S S --成等差数列，但不可能成等比数列； （3）23,,m m m S S S 可能成等比数列，但不可能成等差数列；（4）23,,m m m S S S 不可能成等比数列，也不可能成等差数列；正确的是 （ ） (A)（1）（3）. （B ）（1）（4）. （C ）（2）（3）. （D ）（2）（4）.三． 解答题：（本题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．19. （本题满分12分；第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分）在直三棱柱111ABC -A B C 中,90 ABC =∠︒ ,11,2AB =BC =BB =，求： （1）异面直线11B C 与1AC 所成角的大小； （2）直线11B C 到平面BC A 1的距离．20. (本题满分14分；第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分)已知()()x b xx f 24lg2++=，其中b 是常数．（1）若()x f y =是奇函数，求b 的值；（2）求证：()x f y =的图像上不存在两点A 、B ，使得直线AB 平行于x 轴．21. （本题满分14分；第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分 ）如图，制图工程师要用两个同中心的边长均为4的正方形合成一个八角形图形．由对称性，图中8个三角形都是全等的三角形，设α=∠11H AA ．（1）试用α表示11H AA ∆的面积；（2）求八角形所覆盖面积的最大值，并指出此时α的大小．C22. （本题满分16分；第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）已知点1F 、2F 为双曲线C ：()01222>=-b b y x 的左、右焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线，在x 轴上方交双曲线C 于点M ，且︒=∠3021F MF ．圆O 的方程是222b y x =+．（1）求双曲线C 的方程；（2）过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为1P 、2P ，求21PP PP ⋅的值；（3）过圆O 上任意一点()00y ,x Q 作圆O 的切线l 交双曲线C 于A 、B 两点，AB 中点为M ，求证：2AB OM = ．23. （本题满分18分；第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分8分）在等差数列{}n a 和等比数列{}n b 中，112a b ==，222a b b ==+，n S 是{}n b 前n 项和．（1）若lim 3n n S b →∞=-，求实数b 的值；（2）是否存在正整数b ，使得数列{}n b 的所有项都在数列{}n a 中？若存在，求出所有的b ，若不存在，说明理由；（3）是否存在正实数b ，使得数列{}n b 中至少有三项在数列{}n a 中，但{}n b 中的项不都在数列{}n a 中？若存在，求出一个可能的b 的值，若不存在，请说明理由．2014届高三年级八校联合调研考试试卷数学（理科）一、 填空题（本题满分56分）本大题共有14题，要求在答题纸相应题序的二． 选择题（本题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得 5分，否则一律得零分．三． 解答题：（本题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．19.（本题满分12分；第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分）在直三棱柱111ABC -A B C 中,90 ABC =∠︒ ,11,2AB =BC =BB =，求：（1）异面直线11B C 与1AC 所成角的大小； （2）直线11B C 到平面BC A 1的距离．解：（1）因为11//B C BC ，所以1ACB ∠（或其补角）是异面直线11B C 与1AC 所成角. ………………1分因为BC ^AB ,BC ^BB 1,所以BC ⊥平面1ABB ，所以1BC A B ⊥. (3)分在1Rt A BC 中,11tan A BACB BC∠==,所以1A CB ∠=………………5分所以异面直线11B C 与1AC 所成角的大小为 ………………6分 （2）因为11B C //平面1A BC所以11B C 到平面1A BC 的距离等于1B 到平面1A BC 的距离 ………………8分 设1B 到平面1A BC 的距离为d ， 因为111B A BC A BB C V V --=，所以11111133A BCB BC S d S A B ∆∆⨯=⨯ ………………10分可得5d = ………………11分直线11B C 与平面1A BC 的距离为5． ………………12分 20.(本题满分14分；第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分)函数()()x b xx f 24lg2++=，其中b 是常数且R b ∈．（1）若函数()x f y =是奇函数，求b 的值；（2）求证：函数()x f y =的图像上不存在两点A 、B ，使得直线AB 平行于x 轴． 解：（1）解法一：设()y f x =定义域为D ,则：因为()x f y =是奇函数，所以对任意x D ∈，有()()0f x f x +-=，…………3分 得1b =. …………5分此时，())lgf x x =，D R =，为奇函数。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试题卷（文史类）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题．考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1.函数212cos (2)y x =-的最小正周期是_________.2.若复数z=1+2i ，其中i 是虚数单位，则1()z z+z ⋅=__________.3.设常数a ∈R ，函数2()1f x x x a =-+-，若(2)1f =，则(1)f =_________.4.若抛物线22y px =的焦点与椭圆15922=+y x 的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为__________. 5.某校高一、高二、高三分别有学生1600名、1200名、800名，为了解该校高中学生的牙齿健康状况，按各年级的学生数进行分层抽样，若高三抽取20名学生，则高一、高二共抽取的学生数为_________. 6.若实数x ，y 满足1xy =，则2x +22y 的最小值为_________.7.若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为________.（结果用反三角函数值表示） 8.在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如图， 则切割掉的两个小长方体的体积之和等于________.9.设,0,()1,0,x a x f x x x x -+≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩若(0)f 是()f x 的最小值，则a 的 取值范围是_________.10.设无穷等比数列{n a }的公比为q ，若)(lim 431 ++=∞→a a a n ，则q =________.11.若2132()f x x x-=-，则满足0)(<x f 的x 取值范围是_________.12.方程sin 3cos 1x x +=在区间[0,2]π上的所有解的和等于_________.13.为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是 .（结果用最简分数表示）14.已知曲线C ：24x y =--，直线l ：x=6．若对于点A （m ，0），存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得0AP AQ +=，则m 的取值范围为__________.3511 12二、选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．15.设,a b ∈R ，则“4>+b a ”是“2,2>>b a 且”的（ ）（A ）充分条件 （B ）必要条件 （C ）充分必要条件 （D ）既非充分又非必要条件 16.已知互异的复数a ，b 满足0ab ≠，集合{,}a b ={2a ，2b }，则a b +=（ ） （A ）2 （B ）1 （C ）0 （D ）1-17.如图，四个边长为1的正方形排成一个大正方形，AB 是大正方形的一条边，(1,2,,7)i P i =是小正方形的其余各个顶点，则(1,2,,7)i AB AP i ⋅=的不同值的个数为（ ） （A ）7 （B ）5 （C ）3 （D ）118.已知),(111b a P 与),(222b a P 是直线1+=kx y （k 为常数）上两个不同 的点，则关于x 和y 的方程组⎩⎨⎧=+=+1,12211y b x a y b x a 的解的情况是（ ）（A ）无论k ，1P ，2P 如何，总是无解 （B ）无论k ，1P ，2P 如何，总有唯一解 （C ）存在k ，1P ，2P ，使之恰有两解 （D ）存在k ，1P ，2P ，使之有无穷多解 三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19.（本题满分12分）底面边长为2的正三棱锥ABC P -，其表面展开图是三角形123PP P ，如图，求△123PP P 的各边长及此三棱锥的体积V .P 1AC BP 2P 3P 3AB P 1 P 7 P 6 P 5P 2P 420.（本题满分14分）本题有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分1分.设常数0≥a ，函数aax f x x -+=22)(.（1）若a =4，求函数)(x f y =的反函数)(1x fy -=；（2）根据a 的不同取值，讨论函数)(x f y =的奇偶性，并说明理由．21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，某公司要在A ，B 两地连线上的定点C 处建造广告牌CD ，其中D 为顶端，AC 长35米，CB 长80米，设A ，B 在同一水平面上，从A 和B 看D 的仰角分别为α和β.（1）设计中CD 是铅垂方向，若要求βα2≥，问CD 的长至多为多少（结果精确到0.01米）？ （2）施工完成后CD 与铅垂方向有偏差，现在实测得，，45.1812.38==βα求CD 的长（结果精确到0.01米）？αACBβD22.（本题满分16分）本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分. 在平面直角坐标系xOy 中，对于直线l ：0ax by c ++=和点),(111y x P ，),(222y x P ，记1122)().ax by c ax by c η=++++（若η<0，则称点21,P P 被直线l 分隔.若曲线C 与直线l 没有公共点，且曲线C 上存在点21P P ，被直线l 分隔，则称直线l 为曲线C 的一条分隔线． （1）求证：点)2,1(A ，)0,1(-B 被直线01=-+y x 分隔；（2）若直线kx y =是曲线1422=-y x 的分隔线，求实数k 的取值范围；（3）动点M 到点(0,2)Q 的距离与到y 轴的距离之积为1，设点M 的轨迹为E ，求E 的方程，并证明y 轴为曲线E 的分割线．23.（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分. 已知数列{}n a 满足1133n n n a a a +≤≤，n ∈N *，11a =. （1）若2342,,9a a x a ===，求x 的取值范围；（2）若{}n a 是等比数列，且11000m a =，求正整数m 的最小值，以及m 取最小值时相应{}n a 的公比； （3）若12100,,,a a a 成等差数列，求数列12100,,,a a a 的公差的取值范围．2014年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（文科）参考答案一、填空题 1．π2【解析】()212cos 2cos4y x x =-=-，则π2T =. 【考点】二倍角余弦公式以及标准三角函数最小正周期的求解 2．6【解析】211516z z z z ⎛⎫+⋅=+=+= ⎪⎝⎭.【考点】复数的代数四则运算以及复数模的性质 3．3【解析】由()21f =得1414a a +-=⇒=，则()1143f =-=. 【考点】对函数概念的理解 4．2x =-【解析】易知焦点为()2,0，则准线方程为2x =-. 【考点】圆锥曲线基本量 5．70 【解析】()201600120070800+=. 【考点】分层抽样的方法（关键是样本比例相等） 6．22【解析】2222222x y xy +≥= 【考点】基本不等式求最值 7．1arccos 3θ=【解析】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，母线与轴所成角为θ. 由已知得233rl r l r ππ=⇒=，则1sin 3r l θ==，所以1arccos 3θ=.【考点】反正弦函数、解三角形 8．24【解析】2(322)24V =⨯⨯⨯=. 【考点】三视图、长方体体积的计算 9．2a ≤【解析】由题意知()02f ≤，即2a ≤. 【考点】分段函数的值域 10．152-+ 【解析】由题意得231111a a q a q q==--且01q <<，则152q -+=.【考点】无穷递缩等比数列的各项和 11．()0,1【解析】首先注意定义域()0,+∞；再由()0f x <得2132x x -<，作图即得结果为()0,1.【考点】幂函数与数形结合 12．7π3【解析】由已知化简得π1sin 32x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为ππ,2π333x π⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，则π5ππ,2π366x +=+，所以1π2x =，211π6x =，所以127π3x x +=. 【考点】三角方程 13．115【解析】3108115P C ==. 【考点】古典概型 14．23m ≤≤【解析】由已知得曲线C 为以原点为圆心，2为半径的左半圆．A 为P Q 、的中点. 设()6,Q n ，则()26,P m n --.因为()26,P m n --在曲线C 上，则2260m -≤-≤，即23m ≤≤. 【考点】向量与解析几何 二、选择题 15．B【解析】由“2a >且2b >”可以推出“+4a b >”；由“+4a b >”推不出“2a >且2b >”，故选B. 【考点】充分条件、必要条件、充分必要条件 16．D【解析】由题得22,1,1,a a a b b b ⎧==⎧⎪⇒⎨⎨==⎪⎩⎩（舍），或2222,1a b a b b a a b b a⎧=⎪⇒-=-⇒+=-⎨=⎪⎩.【考点】集合相等的含义、复数的运算 17．C【解析】cos i i AB AP AB AP θ⋅=⋅，cos i AP θ的值可能为0、1或2，所以i AB AP ⋅=0、2或4， 即i AB AP ⋅（i =1，2，…，7）的不同值的个数为3，故选C. 【考点】平面向量的数量积 18．B【解析】易得原点O 不在直线1y kx =+上，所以()()()111222,,0,0,,P a b P a b O 不在同一直线上， 故向量1OP 与向量2OP 不平行，所以1221a b a b ≠，方程组有唯一解，故选B. 【考点】二元线性方程组解的讨论 三、解答题19．在△123P P P 中，13PA P A =，23P C P C =， 所以AC 是中位线，故1224PP AC ==. ……3分 同理，234P P =，314P P =.所以△123P P P 是等边三角形，各边长均为4. ……6分 设Q 是△ABC 中心，则PQ ⊥平面ABC ，所以233AQ =，22263PQ AP AQ =-=. ……9分 从而，12233ABC V S PQ =⋅=△. ……12分【考点】椎体体积的计算20．（1）因为2424x x y +=-，所以4(1)21x y y +=-， ……3分得1y <-或1y >，且24(1)log 1y x y +=-.因此，所求反函数为124(1)()log 1y f x y -+=-，1x <-或1x >. ……6分（2）当0a =时，()1f x =，定义域为R ，故函数()y f x =是偶函数； ……8分当1a =时，21()21x x f x +=-，定义域为(,0)(0,)-∞+∞，2121()()2121x x x x f x f x --++-==-=---，故函数()y f x =是奇函数； ……11分当0a >且1a ≠时，定义域22(,log )(log ,)a a -∞+∞关于原点不对称，故函数()y f x =既不是奇函数，也不是偶函数. ……14分 【考点】反函数、函数的奇偶性、分类讨论 21．（1）记CD h =.根据已知得tan tan 20αβ≥>，tan 35h α=，tan 80h β=，所以2280035180hh h ⨯≥>⎛⎫- ⎪⎝⎭， ……4分 APB HCQ解得20228.28h ≤≈．因此，CD 的长之多约为28.28米. ……6分 （2）在△ABD 中，由已知，+=56.57αβ，115AB =， 由正弦定理得sin sin()BD ABααβ=+，解得85.064BD ≈. ……10分 在△BCD 中，由余弦定理得2222cos CD BC BD BC BD β=+-⋅⋅，解得26.93CD ≈.所以，CD 的长约为26.93米. ……14分 【考点】任意角的三角比、正弦定理和余弦定理22．（1）因为40η=-<，所以点,A B 被直线10x y +-=分隔. ……3分（2）直线y kx =与曲线2241x y -=有公共点的充要条件是方程组22,41y kx x y =⎧⎨-=⎩有解，即1||2k <. 因为直线y kx =是曲线2241x y -=的分隔线，故它们没有公共点，即1||2k ≥. 当1||2k ≥时，对于直线y kx =，曲线2241x y -=上的点(1,0)-和(1,0)满足20k η=-<， 即点(1,0)-和(1,0)被y kx =分隔. 故实数k 的取值范围是11,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭. ……9分 （3）设M 的坐标为(,)x y ，则曲线E 的方程为22(2)||1x y x +-⋅=，即222(2)1x y x ⎡⎤+-⋅=⎣⎦. ……11分对任意的0y ，0(0,)y 不是上述方程的解，即y 轴与曲线E 没有公共点. ……13分 又曲线E 上的点(1,2)-和(1,2)对于y 轴满足0η<，即点(1,2)-和(1,2)被y 轴分隔. 所以y 轴为曲线E 的分隔线. ……16分 【考点】新定义问题、曲线与方程 23．（1）由条件得263x ≤≤且933xx ≤≤，解得36x ≤≤. 所以x 的取值范围是[3，6]. ……3分（2）设{}n a 的公比为q ．由133n n a a ≤，且110n n a a q -=≠，得0n a >.因为+1133n n n a a a ≤≤，所以133q ≤≤.从而11111110003m m m a q q ---⎛⎫==≥ ⎪⎝⎭，131000m -≥，解得8m ≥. ……7分8m =时，711,310003q ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦. 所以，m 的最小值为8，8m =时，{}n a 的公比为741010. ……9分（3）设数列12100,,,a a a 的公差为d .则1+33n n n a a d a ≤≤，223n n a d a -≤≤，1,2,,99n =. ①当0d >时，999821a a a a >>>>，所以102d a <≤，即02d <≤； ……12分 ②当0d =时，999821a a a a ====，符合条件； ……14分③当0d <时，999821a a a a <<<<，所以9999223a d a -≤≤，2(198)2(198)3d d d -+≤≤+，又0d <，所以20199d -≤<． 综上，12100,,,a a a 的公差的取值范围为2,2199⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． ……18分 【考点】建立不等关系、解不等式、等差数列、等比数列、分类讨论．。

上海市松江区2014学年度第一学期高三期末考试数学（文理合卷）试卷参考答案2015.1一、填空题1． i 2± 2． x⎪⎭⎫⎝⎛213．90 4．25． arccos 46．7．20 8． 12π9． 10．1311．(理)(0,1] （文）5[,]()1212k k k Z ππππ-+∈ 12113．()2,43 14． （理）4029 （文） 7二、选择题15．A 16． D 17．C 18．A三、解答题 19． 解：（1）B a b sin 2= B A B sin sin 2sin =∴……………2分0sin >B 21sin =∴A ……………4分 由于c b a <<，A ∴为锐角，6π=∴A ……………6分（2）由余弦定理：2222cos a b c bc A =+-,233221242⨯⨯⨯-+=∴c c ，……………8分 0862=+-c c ，2=c 或4=c由于c b a <<，4=c ……………10分所以1sin 2S bc A ==12分20． 解：（1）()f x 为偶函数，∴对任意的x R ∈，都有()()f x f x -=，……………2分即x bx baa +-+= xb x b +=-+ ……………4分得 0b =。

……………6分 （2）记()x b x bh x x b x b x b+≥-⎧=+=⎨--<-⎩，……………8分①当1a >时，()f x 在区间[)2,+∞上是增函数，即()h x 在区间[)2,+∞上是增函数，∴2b -≤，2b ≥-……………10分②当01a <<时，()f x 在区间[)2,+∞上是增函数，即()h x 在区间[)2,+∞上是减函数但()h x 在区间[),b -+∞上是增函数，故不可能……………12分∴()f x 在区间[)2,+∞上是增函数时，a 、b 应满足的条件为1a >且2b ≥-……14分 21．解（1）开始时，沙漏上部分圆锥中的细沙的高 为216833H =⨯=，底面半径为28433r =⨯=……………22118163333V r H ππ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭39.71……………5分198602.0=÷V （秒）所以，沙全部漏入下部约需1986秒。

2014届高三年级八校联合调研考试试卷数学（文科）一、填空题（本题满分56分）本大题共有14题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1. 在复平面上，复数()232i -对应的点到原点的距离为 ．2. 已知函数()44sin cos f x x x ωω=-()0>ω的最小正周期是π，则=ω ．3. 向量在向量方向上的投影为 ．4. 直线220x y -+=过椭圆22221x y a b+=的左焦点1F 和一个顶点B ，则椭圆的方程为 ．5. 已知直线l 的法向量为()1,2=，则该直线的倾斜角为 ．（用反三角函数值表示）6. 已知正数,a b 满足2a b +=，则行列式111111ab++的最小值为 ．7. 阅读右边的程序框图，如果输出的函数值y 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡141,内，则输入的实数x 的取值范围是 ． 8. 设αβ、是一元二次方程022=+-m x x 的两个虚根.若||4αβ=，则实数=m ．9. 在△ABC 中，A B C 、、所对边分别为a b c 、、.若tan 21tan A cB b+=，则A = ．10. 已知数列{}n a 的首项12a =，其前n 项和为n S .若121n n S S +=+，则n S = ． 11. 某地球仪上北纬30︒纬线长度为12πcm ，该地球仪的表面积为 cm 2．12. 已知直线()2y k x =-与抛物线x y C 8:2=相交于A 、B 两点，F 为抛物线C 的焦点．若||2||FA FB =u u u r u u u r，则实数=k ．13. 已知“,,,c d e f ”是从1,3,4,5,7中取出4个元素的一个排列．设x 是实数，若“(2)(6)0x x --<”可推出“()()0x c x d --<或()()0x e x f --<”，则满足条件的排列“,,,c d e f ”共有_________个． 14. 将()22xxaf x =-的图像向右平移2个单位后得曲线1C ，将函数()y g x =的图像向下平移2个单位后得曲线2C ，1C 与2C 关于x 轴对称．若()()()f x F x g x a=+的最小值为m 且m >2+7，则实数a 的取值范围为 ．二． 选择题（本题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得 5分，否则一律得零分．15. 已知关于x 的不等式21<++ax x 的解集为P . 若P ∉1，则实数a 的取值范围为 （ ）（A ）(][)+∞∞-,,10Y . （B ）[]01,-. （C ）()()+∞-∞-,,01Y . （D ）(]01,-. 16. 函数()()21212-<+=x x x f 的反函数是（ ）（A ）3)y x =≤<. （B ） 3)y x =>.（C ）3)y x =≤<. （D ）3)y x =>. 17. 已知A 、B 、C 是单位圆上三个互不相同的点.若，则的最小值是（ ）（A ）0． （B ）14-． （C ）12-． （D ）34-．18. 已知公比为q 的等比数列{}n a 的前n 项和为,*n S n N ∈，则下列结论中：（1）232,,n n n n n S S S S S --成等比数列； （2）2232()()n n n n n S S S S S -=-； （3）322()n n n n n S S q S S -=-正确的结论为 （ ）（A ）（1）（2）． （B ）（1）（3）． （C ）（2）（3）． （D ）（1）（2）（3）．三． 解答题：（本题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．19. （本题满分12分；第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分）在直三棱柱111ABC -A B C 中,90 ABC =∠︒ ,11,2AB =BC =BB =，求: （1）异面直线11B C 与1A C 所成角的大小； （2）四棱锥111A B BCC -的体积．20. (本题满分14分；第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分)已知()()x b xx f 24lg2++=，其中常数0>b ．求证：（1）当1b =时，()x f 是奇函数；（2）当4b =时，()x f y =的图像上不存在两点A 、B ，使得直线AB 平行于x 轴．21. （本题满分14分；第（1）小题6分，第（2）小题8分）已知点1F 、2F 为双曲线C ：()01222>=-b by x 的左、右焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线，在x 轴上方交双曲线C 于点M ，1230MF F ∠=︒．（1）求双曲线C 的方程；（2）过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为1P 、2P ，求21PP PP ⋅的值．22. （本题满分16分；第（1）小题满分8分，第（2）小题满分8分 ）如图，制图工程师用两个同中心的边长均为4的正方形合成一个八角形图形．由对称性，图中8个三角形都是全等的三角形，设α=∠11H AA ．（1）试用α表示11H AA ∆的面积； （2）求八角形所覆盖面积的最大值，并指出此时α的大小．23. （本题满分18分；第（1）小题６分，第（2）小题6分，第（3）小题６分）在等差数列{}n a 和等比数列{}n b 中，112a b ==，222a b b ==+，n S 是{}n b 前n 项和．（1）若lim 3n n S b →∞=-，求实数b 的值；（2）是否存在正整数b ，使得数列{}n b 的所有项都在数列{}n a 中？若存在，求出所有的b ，若不存在，说明理由；（3）是否存在实数b ，使得数列{}n b 中至少有三项在数列{}n a 中，但{}n b 中的项不都在数列{}n a 中？若存在，求出一个可能的b 的值，若不存在，说明理由．2014届高三年级八校联合调研考试试卷数学（文科）一、填空题（本题满分56分）本大题共有14题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．答案 351 22- 2215x y += 2arctan -π 3 []02,-题号 8 910111213 14答案 43π 321n⋅+ 192π 22±481(,2)2二． 选择题（本题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得 5分，否则一律得零分．题号 15 16 17 18 答案DBCC三． 解答题：（本题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．19.（本题满分12分；第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分）在直三棱柱111ABC -A B C 中,90 ABC =∠︒ ,11,2AB =BC =BB =，求: （1）异面直线11B C 与1A C 所成角的大小； （2）四棱锥111A B BCC -的体积．解：（1）因为11//B C BC ，所以1A CB ∠（或其补角）是异面直线11B C 与1A C 所成角. ………………1分因为BC ^AB ,BC ^BB 1,所以BC ⊥平面1ABB ，所以1BC A B ⊥. (3)分在Rt D A 1BC 中,11tan 5A BACB BC∠==所以15ACB ∠=5分 所以异面直线11B C 与1A C 所成角的大小为5． ………………6分（2）因为A 1B 1^B 1C 1,A 1B 1^BB 1所以11A B ⊥平面11B BCC ……………9分则11111111233A B BCC B BCC V S A B -=⨯= ……………12分20.(本题满分14分；第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分)函数()()x b xx f 24lg2++=，其中常数0>b ．求证：（1）当1b =时， ()y f x =是奇函数；（2）当4b =时，()x f y =的图像上不存在两点A,B ，使得直线AB 平行于x 轴． 证明：（1）由题意，函数定义域R ， ……………1分对定义域任意x ，有：()))lg2lg2f x x x -===- ……4分所以()()f x f x -=-，即y f x =是奇函数. ……………6分（2）假设存在不同的B A ,两点，使得AB 平行x 轴，则))lg2lg2A B x x = ……………9分A B x x =-化简得：2220A B A B x x x x +-=，即A B x x =，与A B 、不同矛盾。

静安杨浦青浦宝山2013学年度联合高考模拟考试数学试卷文科(满分150分,完卷时间120分钟) 2014.4一､填空题 (本大题共有14题,满分56分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分. 1.二阶行列式ii i ++-1101的值是 . (其中i 为虚数单位)2. 已知j i,是方向分别与x 轴和y 轴正方向相同的两个基本单位向量,则平面向量ji +的模等于 .3.二项式7)1(+x 的展开式中含3x 项的系数值为_______________.4.已知圆锥的母线长为5,侧面积为π15,则此圆锥的体积为__________.(结果中保留π)5.已知集合{}sin ,A y y x x R ==∈,{}21,B x x n n Z ==+∈,则AB = .(文)若),(ππ-∈x ,则方程12cos 2sin 3=-x x 的解是_____________. 9.(文)满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥+≥+,0,0,32,42y x y x y x 的目标函数y x f +=的最小值为_______.10. 阅读右面的程序框图,运行相应的程序,输出的结果为 .11.(文)在平面直角坐标系xOy 中,若中心在坐标原点的双曲线过点()2,3,且它的一个顶点与抛物线24y x =的焦点重合,则该双曲线的方程为 .12. (文)从5男3女8位志愿者中任选3人参加冬奥会火炬接力活动,所选3人中恰有两位女志愿者的概率是 .13.(文)若三个数c a ,1,成等差数列(其中c a ≠),且22,1,c a 成等比数列,则nn ca c a )(lim 22++∞→的第10题图值为 .14. (文) 函数()f x 的定义域为实数集R ,⎪⎩⎪⎨⎧<≤--≤≤=.01,1)21(,10,)(x x x x f x 对于任意的x R ∈都有(1)(1)f x f x +=-.若在区间[1,3]-上函数()()g x f x mx m =--恰有四个不同的零点,则实数m 的取值范围是 .二､选择题(本大题共有4题,满分20分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分. 15. (文) 不等式12x x->的解集为……………………………………………( ). )(A }01|{>-<x x x 或 )(B }1|{-<x x )(C }1|{->x x )(D }01|{<<-x x16.“1=ω”是“函数x x x f ωω22cos sin )(-=的最小正周期为π”的…………( ).)(A 充分必要条件 )(B 充分不必要条件)(C 必要不充分条件 )(D 既不充分又必要条件17. 若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等,圆柱､球的表面积分别记为1S ､2S ,则1S :2S =………………………………………………………………( ).)(A 1:1 )(B 2:1 )(C 3:2 )(D 4:118. (文)已知向量,满足:1||||==,且||3||k k -=+(0>k ).则向量与向量的夹角的最大值为 ……………………………… ( ).)(A 3π )(B 32π )(C 6π )(D 65π三､解答题(本大题共有5题,满分74分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 19.(本题满分12分)(文)已知几何体由正方体和直三棱柱组成,其三视图和直观图(单位:cm)如图所示.设两条异面直线1AQ 和PD 所成的角为θ,求cos θ的值.20.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分 某公司承建扇环面形状的花坛如图所示,该扇环面花坛是由以点O 为圆心的两个同心圆弧AD ､弧BC 以及两条线段AB 和CD 围成的封闭图形.花坛设计周长为30米,其中大圆弧AD 所在圆的半径为10米.设小圆弧BC 所在圆的半径为x 米(100<<x ),圆心角为θ弧度.(1)求θ关于x 的函数关系式;(2)在对花坛的边缘进行装饰时,已知两条线段的装饰费用为4元/米,两条弧线部分的装饰费用为9元/米.设花坛的面积与装饰总费用的比为y ,当x 为何值时,y 取得最大值?21.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分5分,第2小题满分9分(文)已知椭圆2222:1x y C a b+=()0a b >>的右焦点F (1,0),长轴的左､右端点分别为12,A A ,且121FA FA ⋅=-.(第20题图)1A D 1D 1Q 1 A 正视图侧视图俯视图(1)求椭圆C 的方程;(2)过焦点F 斜率为k (0>k )的直线l 交椭圆C 于,A B 两点,弦AB 的垂直平分线与x 轴相交于D 点. 试问椭圆C 上是否存在点E 使得四边形ADBE 为菱形?若存在,求k 的值;若不存在,请说明理由.22.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分(文)已知数列}{n a 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥=+==-+).2(,,8,21121n ca a a a a n n n (c 为常数,*N n ∈)(1)当2=c 时,求n a ; (2)当1=c 时,求2014a 的值;(3)问:使n n a a =+3恒成立的常数c 是否存在?并证明你的结论.23.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分(文)设函数x x g 3)(=,x x h 9)(=. (1)解方程:0)1()(8)(=--h x g x h ; (2)令3)()()(+=x g x g x p ,求证:22013)20142013()20142012()20142()20141(=++++p p p p ; (3)若bx g ax g x f +++=)()1()(是实数集R 上的奇函数,且0))(2()1)((>⋅-+-x g k f x h f 对任意实数x 恒成立,求实数k 的取值范围.四区2013学年度高考模拟考试数学试卷文理科解答参考答案及评分标准 2014.04说明1.本解答列出试题一种或几种解法,如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评分标准的精神进行评分.2.评阅试卷,应坚持每题评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅.当考生的解答在某一步出现错误,影响了后续部分,但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时,可视影响程度决定后面部分的给分,但是原则上不应超出后面部分应给分数之半,如果有较严重的概念性错误,就不给分.3.第19题至第23题中右端所注的分数,表示考生正确做到这一步应得的该题分数.4.给分或扣分均以1分为单位.一.填空题(本大题满分56分)本大题共有14题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分. 理1.2; 2.2 3.35; 4.π125.{}1,1-;6. 30x y +-=7. 22;8.41 9.⎩⎨⎧==,sin 4,cos 4ααy x (α为参数);10. 138 11..895613561525630156100=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE 12.3. 13.23 14.1012sin =α 文1.2; 2.2 3.35; 4.π12 5.{}1,1-;6.}2,6,2,65{ππππ--7.30x y +-= ; 8.22 9.37; 10. 41 11. 2213y x -=; 12.1253381556C C C = 13.当1-=ac 时,0lim 622222=⎪⎭⎫⎝⎛++∴⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→nn n n c a c a c a c a ; 当1=ac 时,c a =舍去. 14.]41,0(二､选择题(本大题满分20分)本大题共有4题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答案纸的相应编号上,填上正确的答案,选对得5分,否则一律得零分. 15.D;16.B;17.C;18.理D;文A三､解答题(本大题满分74分)本大题共5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .19.(理)1(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(1,,0),(0,0,1)2A CB D F P --. (1) 证明方法一:Q 四边形是平行四边形,Q PA ⊥平面ABCD ∴PA DA ⊥,又AC DA ⊥,AC PA A =I ,∴DA ⊥平面PAC .方法二:证得DA uu u r是平面PAC 的一个法向量,∴DA ⊥平面PAC .(2)通过平面几何图形性质或者解线性方程组,计算得平面PAF 一个法向量为(1,2,0)m =u r,又平面PCD 法向量为(1,1,1)n =r ,所以||cos ,||||m n m n m n ⋅<>==u r ru r r u r r∴(文)由//PQ CD ,且PQ CD =,可知//PD QC ,故1AQC ∠为异面直线1AQ ､PD 所成的角(或其补角).由题设知2222111126AQ A B B Q =+=+=,12AC ==取BC 中点E ,则QE BC ⊥,且3QE =,222223110QC QE EC =+=+=.由余弦定理,得2221111cos cos 2AQ QC AC AQC AQ QC θ+-=∠=⋅==. 20.(1)设扇环的圆心角为θ,则()30102(10)x x θ=++-, 所以10210xxθ+=+, (2) 花坛的面积为2221(10)(5)(10)550,(010)2x x x x x x θ-=+-=-++<<. 装饰总费用为()9108(10)17010x x x θ++-=+,所以花坛的面积与装饰总费用的比22550550==1701010(17)x x x x y x x -++---++,令17t x =+,则3913243()101010y t t =-+≤,当且仅当t =18时取等号, 此时121,11x θ==. 答:当1x =时,花坛的面积与装饰总费用的比最大.21.理(1)依题意不妨设1(0,)B b -,2(0,)B b ,则1(1,)FB b =--,2(1,)FB b =-.由12FB FB a ⋅=-,得21b a -=-. 又因为221a b -=,解得2,a b ==.所以椭圆C 的方程为22143x y +=. (2)依题意直线l 的方程为(1)y k x =-.由22(1),143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(34)84120k x k x k +-+-=.设11(,)M x y ,22(,)N x y ,则2122834k x x k +=+,212241234k x x k -=+.所以弦MN 的中点为22243(,)3434k kP k k-++.所以MN ===2212(1)43k k +=+. 直线PD 的方程为222314()4343k k y x k k k +=--++, 由0y =,得2243k x k =+,则22(,0)43k D k +,所以DP =所以224312(1)43DP k k MN k +==++=. 又因为211k +>,所以21011k <<+.所以104<<. 所以DP MN 的取值范围是1(0,)4.(文)(1)依题设1(,0)A a -,2(,0)A a ,则1(1,0)FA a =--,2(1,0)FA a =-. 由121FA FA ⋅=-,解得22a =,所以21b =.所以椭圆C 的方程为2212x y +=. (2)依题直线l 的方程为(1)y k x =-.由22(1),22y k x x y =-⎧⎨+=⎩得()2222214220k x k x k +-+-=. 设11(,)A x y ,22(,)B x y ,弦AB 的中点为00(,)M x y ,则2122421k x x k +=+,21222(1)21k x x k -=+,202221k x k =+,0221k y k -=+, 所以2222(,)2121k kM k k -++. 直线MD 的方程为22212()2121kk y x k k k +=--++, 令0y =,得2221D k x k =+,则22(,0)21k D k +. 若四边形ADBE 为菱形,则02E D x x x +=,02E D y y y +=.所以22232(,)2121k k E k k -++. 若点E 在椭圆C 上,则2222232()2()22121k kk k -+=++.整理得42k =,解得2k =所以椭圆C 上存在点E 使得四边形ADBE 为菱形.22.理(1)99)832(3+=-⋅⋅xx x ,93=x ,2=x(2)21323)21()20141007(===p p ,2163)21()20141007(===q q . 因为1333333333333)1()(11=+++=+++=-+--xxx xx xx x p x p ,1393399399399)1()(11=+++=+++=-+--x x x x x x x x q x q所以,211006)20142013()20142()20141(+=+++p p p , 211006)20142013()20142()20141(+=+++q q q . )20142013()20142()20141(p p p +++ =)20142013()20142()20141(q q q +++ . (3)因为bx ax x f +++=)()1()(ϕϕ是实数集上的奇函数,所以1,3=-=b a .)1321(3)(+-=xx f ,)(x f 在实数集上单调递增. 由0))(2()1)((>⋅-+-x g k f x h f 得))(2()1)((x g k f x h f ⋅-->-,又因为)(x f 是实数集上的奇函数,所以,)2)(()1)((-⋅>-x g k f x h f ,又因为)(x f 在实数集上单调递增,所以2)(1)(-⋅>-x g k x h 即23132-⋅>-x xk 对任意的R x ∈都成立,即xxk 313+<对任意的R x ∈都成立,2<k . (文)(1)46)1(62-=-+=n n a n (2) 21=a ,82=a ,63=a ,24-=a ,85-=a ,66-=a ,27=a ,88=a ,69=a ,210-=a ,811-=a , 612-=a ,我们发现数列为一周期为6的数列.事实上,由n n n a a a =+-+11有n n n n a a a a -=-=+++123,n n n n a a a a =-==++++3336.……8分(理由和结论各2分)因为 463352014+⨯=,所以242014-==a a . (3)假设存在常数c ,使n n a a =+3恒成立. 由n n n ca a a =+-+11 ○1,及n n a a =+3,有1112+-++=+⇒=+n n n n n n ca a a ca a a ○2 ○1式减○2式得0)1)((1=+-+c a a n n . 所以01=-+n n a a ,或01=+c .当*N n ∈,01=-+n n a a 时,数列{n a }为常数数列,不满足要求. 由01=+c 得1-=c ,于是n n n a a a -=+-+11,即对于2≥∈n N n 且,都有11-+--=n n n a a a ,所以 n n n n n n a a a a a a --=--=+++++12123,,从而n n n n n n n a a a a a a a =-+=--=+++++11123, )1(≥n .所以存在常数1-=c ,使n n a a =+3恒成立.23.理(1)1111a b a a ===,242112211--====--n a n n n n a a b ; (2)根据反证法排除11a =和*113()a a N ≥∈证明:假设12a ≠,又*N a n ∈,所以11a =或*113()a a N ≥∈ ①当11a =时,1111a b a a ===与13b =矛盾,所以11a ≠;②当*113()a a N ≥∈时,即1113a a b a ≥==,即11a a a ≥,又1+<n n a a ,所以11a ≤与*113()a a N ≥∈矛盾;由①②可知21=a .(3)首先{}n a 是公差为1的等差数列,证明如下:1n n a a +>*2,n n N ⇒≥∈时1n n a a ->,所以11n n a a -≥+()n m a a n m ⇒≥+-,*(,)m n m n N <∈、 1111[1(1)]n n a a n n a a a a ++++⇒≥++-+即11n n n n c c a a ++-≥- 由题设11n n a a +≥-又11n n a a +-≥11n n a a +⇒-=即{}n a 是等差数列.又{}n a 的首项11a =,所以n a n =,)223222(32n n n S ⋅++⋅+⋅+-= ,对此式两边乘以2,得14322232222+⋅--⋅-⋅--=n n n S两式相减得=⋅-++++=+13222222n n n n S 22211-⋅-++n n n 22211-=⋅+++n n n n S ,5021>⋅++n n n S 即5221≥+n ,当5≥n 时,526421>=+n ,即存在最小正整数5使得5021>⋅++n n n S 成立.注:也可以归纳猜想后用数学归纳法证明n a n =.(文)(1)0)1()(8)(=--h x g x h 即:09389=-⋅-x x ,解得93=x ,2=x (2)21323)21()20141007(===p p . 因为1333333333333)1()(11=+++=+++=-+--x x x x x x xx p x p , 所以,22013211006)20142013()20142()20141(=+=+++p p p , (3)同理科22(3).。

第7题图上海市闵行区2014届高三下学期教育质量调研（二模）数 学 试 卷（文科）考生注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、姓名及准考证号等填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码．答题时客观题用2B 铅笔按要求涂写，主观题用黑色水笔填写． 2．本试卷共有23道题，共4页．满分150分，考试时间120分钟． 3．考试后只交答题纸，试卷由考生自己保留．一. 填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格 内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．2135(21)lim331n n n n →∞++++-=++ ．2．关于方程211323x x =-的解为 ． 3．已知全集U =R ，集合1|,22P y y x x ⎧⎫==>⎨⎬⎩⎭，则U P ð= ． 4．设x ∈R ，向量(,1)a x =，(1,2)b =-，且a b ⊥，则||a b += ． 5．在ABC △中，若60A ∠=，45B ∠=，BC =AC = ． 6．若点(,)x y 位于曲线y x =与1y =所围成的封闭区域内(包括边界), 则4x y -的最小值为 ．7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ． 8．复数i z a b =+(a b ∈R 、，且0b ≠)，若24z bz -是实数， 则有序实数对()a b ，可以是 ．（写出一对即可） 9．已知关于x 的不等式222(1)(3)0x a x a --++>的解集 为R ，则实数a 的取值范围 ．10．将函数()()cos 0f x x ωω=>的图像向右平移3π个单位长 度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于 ． 11．已知不等式4()(16a x y x y++≥对任意正实数x y 、恒成立，则正实数a 的最小值为 ． 12．有标号分别为1、2、3的蓝色卡片和标号分别为1、2的绿色卡片，从这五张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率是 ．13．已知数列{}n a ，对任意的*k ∈N ，当3n k =时，3n n a a =；当3n k ≠时，n a n =，那么该数列中的第10个2是该数列的第 项．14．对于函数[]sin ,0,2()1(2),(2,)2x x f x f x x π⎧∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，有下列4个命题：①任取[)120,x x ∈+∞、，都有12()()2f x f x -≤恒成立；②()2(2)f x kf x k =+*()k ∈N ，对于一切[)0,x ∈+∞恒成立；③函数()ln(1)y f x x =--有3个零点； ④对任意0x >，不等式2()f x x≤恒成立． 则其中所有真命题的序号是 ．二. 选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15．下列命题中，错误．．的是（ ）． （A ）过平面α外一点可以作无数条直线与平面α平行 （B ）与同一个平面所成的角相等的两条直线必平行（C ）若直线l 垂直平面α内的两条相交直线，则直线l 必垂直平面α （D ）垂直于同一个平面的两条直线平行 16．已知集合2{320}A x x x =-+≤，0,02x a B x a x -⎧⎫=>>⎨⎬+⎩⎭,若“x A ∈”是“x B ∈”的充分非必要条件，则a 的取值范围是（ ）．（A ）01a << （B ）2a ≥ （C ） 12a << （D ）1a ≥17．若曲线(,)0f x y =上存在两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线的自公切线，下列方程的曲线有自公切线的是（ ）．（A ）210x y +-= （B）10x =（C ）220x x y -+= （D ）210x xy -+=18．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，向量,n S O P nn ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1,m S OP m m ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 2,k S OP k k ⎛⎫= ⎪⎝⎭()*n m k ∈N 、、，且12OP OP OP λμ=⋅+⋅，则用n m k 、、表 示μ=（ ）．（A ）k m k n -- （B ）k n k m -- （C ）n m k m -- （D ）n mn k-- 三. 解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．BAC ED 第19题图第20题图第21题图19.（本题满分12分）如图，BCD A -中，BD 长为E 为棱BC 的中点，求异面直线AE 与CD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分．如图，点A 、B 是单位圆O 上的两点，点C 是圆O 与x 轴的正半轴的交点，将锐角α的终边OA按逆时针方向旋转3π到OB . （1）若点A 的坐标为34,55⎛⎫⎪⎝⎭，求1sin 21cos 2αα++的值；（2）用α表示BC ，并求BC 的取值范围.21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分8分，第(2)小题满分6分．为了寻找马航MH370残骸,我国“雪龙号”科考船于2014年3月26日从港口O 出发，沿北偏东α角的射线OZ 方向航行，而在港口北偏东β角的方向上有一个给科考船补给物资的小岛A ，OA =海里，且==βαcos ,31tan 132.现指挥部需要紧急征调位于港口O 正东m 海里的B 处的补给船，速往小岛A 装上补给物资后，继续沿BA 方向全速追赶科考船，并在C 处相遇给科考船补给物资．经测算当两船运行的航线与海岸线OB 围成的三角形OBC 的面积S 最小时，这种补给方案最优. （1）求S 关于m 的函数关系式()S m ；（2）应征调位于港口正东多少海里处的补给船只，补给方案最优？22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)、(3)小题满分各6分．设椭圆1Γ的中心和抛物线2Γ的顶点均为原点O ，1Γ、2Γ的焦点均在x 轴上，过2Γ的焦点F 作直线l ，与2Γ交于A 、B 两点，在1Γ、2Γ上各取两个点，将其坐标记录于下表中： （1）求1Γ，2Γ的标准方程；x3 2- 4y-04- 2-（2）设M 是2Γ准线上一点，直线MF 的斜率为0k ，MA MB 、的斜率依次为12k k 、，请探究：0k 与12k k +的关系；（3）若l 与1Γ交于C 、D 两点，0F 为1Γ的左焦点，问00F AB F CDS S △△是否有最小值？若有，求出最小值；若没有，请说明理由.23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分8分．已知曲线C 的方程为24y x =，过原点作斜率为1的直线和曲线C 相交，另一个交点记为1P ，过1P 作斜率为2的直线与曲线C 相交，另一个交点记为2P ，过2P 作斜率为4的直线与曲线C 相交，另一个交点记为3P ，……，如此下去，一般地，过点n P 作斜率为2n的直线与曲线C 相交，另一个交点记为1+n P ，设点),(n n n y x P （*n ∈N ）．（1）指出1y ，并求1n y +与n y 的关系式（*n ∈N ）；（2）求{}21n y -（*n ∈N ）的通项公式，并指出点列1P ，3P ，…，12+n P ，… 向哪一点无限接近？说明理由；（3）令2121n n n a y y +-=-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，试比较314n S +与1310n +的大小，并证明你的结论．第22题图BACED第19题图O F 数学试卷（文科）参考答案与评分标准一. 填空题1．13； 2．2； 3．(],1-∞； 45． 6． (文) -5； 7．（文）73π； 8． ()2,1或满足2a b =的任意一对非零实数对； 9．（文）(1,5)-； 10． (文) 6； 11．4； 12． (文) 310； 13．39366（923⋅） 14．（文）①③④． 二. 选择题 15． B ； 16． A ； 17．C ； 18． C 三.解答题19.解：（1）过点A 作AO ⊥平面BCD ，垂足为O，则O 为BCD △的中心，由21233AO ⋅⋅1AO =（理1分文2分）又在正三角形BCD 中得=1OE ，所以AE = ……………………………（理2分文4分）取BD 中点F ，连结AF 、EF ，故EF ∥CD ， 所以AEF ∠就是异面直线AE 与CD 所成的角．（理4分文6分） 在△AEF中，AE AF ==EF =5分文8分）所以222cos 24AE EF AF AEF AE EF +-∠==⋅⋅．…………………（理6分文10分）所以，异面直线AE 与CD 所成的角的大小为arccos 47分文12分）（2）由AE =BCD A -的侧面积为13322S BC AE =⋅⋅⋅=⋅= …………………（理10分）所以正三棱锥BCDA -的表面积为24S BC == …………………………（理12分）20.解：（1）由已知， 34cos ,sin .55αα==………（2分）24sin 22sin cos ,25ααα∴==227cos 2cos sin .25ααα=-=-………（4分）1sin 21cos 2αα++=24149257181()25+=+-.………………………………………………（6分） （2）1,3OC OB COB πα==∠=+由单位圆可知:，……………………（8分）222+-2cos BC OC OB OC OB COB=∠由余弦定理得：112cos 22cos 33ππαα⎛⎫⎛⎫=+-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ………………………（10分）第21题图02πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，5336πππα⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，，1cos 32πα⎛⎫⎛⎫∴+∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭……（12分） (21,2,.BC BC ⎛∴∈+∴∈ ⎝⎭ ……………………（14分） 21.（1）以O 点为原点，正北的方向为y 轴正方向建立直角坐标系，…（1分）则直线OZ的方程为3y x =，设点A （x0，y 0），则0900x β==，0600y β==，即A （900，600）， …………………（3分） 又B （m ，0），则直线AB 的方程为：600()900y x m m=--，…………（4分）由此得到C 点坐标为：200600(,)700700m mm m --，…（6分） 21300()||||(700)2700C m S m OB y m m ∴=⨯=>- …（8分）（2）由（1）知22300300()7001700m S m m m m ==--+…（10分） 223003007001111700()14002800m m m =-+--+………（12分） 所以当111400m =，即1400m =时，()S m 最小，（或令700t m =-，则222300300(700)700()300(1400)700m t S m t m t t+===++- 840000≥，当且仅当1400m =时，()S m最小）∴征调1400m =海里处的船只时，补给方案最优. …………………（14分）22．解：（1）()-2,0⎭在椭圆上，(()34-4，，在抛物线上， 2211,43x y ∴Γ+=： 2Γ：24.y x = …………………（4分） （2）（文）F(1,0)是抛物线的焦点，①当直线l 的斜率存在时， 设l ：(1)y k x =-,1122A(x ,(x ,y B y 设），），联立方程24(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩，得2222(24)0k x k x k -++=，0k ≠时0∆>恒成立212224k x x k ++=，121x x ⋅=， ………………（6分）因2Γ准线为1x =-，设(1,)M m -，02mk =-，1111y m k x -=+，2221y m k x -=+21212121221212122()224411144kx k m kx k m kx x m x x k m mk mk k mx x x x x x k -----+----+=+===-++++++0k 与12k k +的关系是1202k k k +=. .……………………………（8分） ②当直线l 的斜率不存在时，l ：1x =，得(1,2)(1,2)A B -、122m k -=，222m k --=，12k k m +=-，仍然有1202k k k += ………（10分）（3）(文)0F l 设到直线的距离为d, 00F AB F CD S S △△=1212d AB ABCD d CD ⋅=. F(1,0)是抛物线的焦点，也是椭圆的右焦点，①当直线l 的斜率存在时， 设l ：(1)y k x =-,1122A(x ,(x ,y B y 设），），3344(x ,(x ,y y C ），D ）联立方程24(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩,得2222(24)0k x k x k -++=，0k ≠时0∆>恒成立.()2241k AB k +=== （也可用焦半径公式得：)2122412k AB x x k+=++=）………………（11分） 联立方程22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得2222(3+4)84120k x k x k -+-=，0∆>恒成立.()2212134k CD k +===+, ……（12分） ∴00F AB F CDS S △△=()()2222222413414433312134k k k k k k k ++==+>++. ………………（14分） ②当直线l 的斜率不存在时，l ：1x =， 此时，4AB =，3CD =，00F AB F CDS S △△=43.……………………………（15分） 所以，00F AB F CDS S △△的最小值为43. ……………………………（16分） 23. 解：（1）14y =． …………………………………………………………（1分）设(,)n n n P x y ，111(,)n n n P x y +++，由题意得 221111442n nn n n n n n ny xy x y yx x ++++⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪-⎪=-⎪⎩． …………（2分）114()2n n n y y +⇒+=⋅ …………………（4分）（2）分别用23n -、22n -代换上式中的n 得23222322212214()214()2n n n n n n y y y y------⎧+=⋅⎪⎪⎨⎪+=⋅⎪⎩2322123112()=()24n n n n y y ----⇒-=-⋅- (2n ≥) ………………（6分）又14y =，121841()()334n n y n --∴=+∈*N ， …………………（8分）因218lim 3n n y -→+∞=，所以点列1P ，3P ，…，12+n P ，…向点168(,)93无限接近（10分） （3）（文）121211()4n n n n a y y -+-=-=-，411()34n n S ⎡⎤∴=-⋅-⎢⎥⎣⎦． ………（12分）n 3111=44310n S n ++与比较大小，只要比较n 43n+10与比较大小．………（13分）n 1224(13)1333139310(3)n nn n n n C C C n n n =+=+⋅+⋅++⋅>++=+≥…（15分）当n =1时，3114310n S n +>+ …………………（16分）当n =2时，3114310n S n +=+ …………………（17分）当n >2时，3114310n S n +<+． …………………（18分）。

2014年下学期高三调研考试数学（文科）（考试时量：120分钟 满分150分）参考答案一：单选题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，二：填空题：（本题共5小题，每小题5分，共25分。

） 11． 2±12． 18 13． 23π14． 15． 9-三：解答题：（本大题共6小题，共75分。

解答应写出文字学明、证明过程或演算步骤） 16. （本小题满分12分）解：解：根据已知得2{|,34}{|,14}{1,2,3}A x x N x x x x N x ++=∈+>=∈-<<=， 2分由702x x -≤-，解得27x <≤. ∴{|,27}{3,4,5,6,7}B x x N x +=∈<≤= 4分 ∴集合C 中的元素为：（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（1，7）， （2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（2，7），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（3，7）共有15个 6分 (Ⅰ)∵（3，3）、（3，4）都在集合C 中，集合C 中共有15个元素， ∴在集合C 中随机取出一个元素(,)x y ， 取出的元素是(3,3)或(3,4)的概率等于215. 9分 （Ⅱ）∵在集合C 的元素(,)x y 中，满足6x y +≤的有（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（3，3）一共有6个，OBACDEFP∵62155=， ∴在集合C 中随机取出一个元素(,)x y ，6x y +≤的概率等于25. 12分 17．解：(Ⅰ)2()2cos cos f x x x x =+⋅1cos22x x =+2sin(2)16x π=++ 4分所以，周期T π=． 6分（Ⅱ）∵,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴ 22,663x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦ 8分1sin(2),162x π⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦∴()f x 的值域为[]0,3 12分18．解：(Ⅰ)证明：连接BD ，交AC 于点O ，连接OP ． 因为P 是DF 中点，O 为矩形ABCD 对角线的交点， 所以OP 为三角形BDF 中位线，所以BF // OP ，因为BF ⊄平面ACP ，OP ⊂平面ACP ，所以BF // 平面ACP ． 5分 （Ⅱ）因为∠BAF =90º，所以AF ⊥AB ，又因为 平面ABEF ⊥平面ABCD ， 且平面ABEF ∩平面ABCD = AB ， 所以AF ⊥平面ABCD 从而AF ⊥CD又因为四边形ABCD 为矩形 所以AD ⊥CD从而CD ⊥平面FAD 8分 所以∠CPD 就是直线PC 与平面FAD 所成的角 10分又2sin ,3CD CPD CP ∠==Q 且1CD PD PF =⇒=⇒=分 19．(Ⅰ)解法1：当1n =时，111a S p q ==++， 1分 当2n ≥时，1n n n a S S -=- 2分 ()()221121n pn q n p n q n p ⎡⎤=++--+-+=-+⎣⎦. 3分∵{}n a 是等差数列，∴1211p q p ++=⨯-+，得0q =. 4分 又2353,5,9a p a p a p =+=+=+， 5分 ∵235,,a a a 成等比数列，∴2325a a a =，即()()()2539p p p +=++， 6分解得1p =-. 7分 解法2：设等差数列{}n a 的公差为d ， 则()2111222n n n d d S na d n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭. 1分 ∵2n S n pn q =++， ∴12d =，12da p -=，0q =. 4分 ∴2d =，11p a =-，0q =. ∵235,,a a a 成等比数列，∴2325a a a =， 5分即()()()2111428a a a +=++.解得10a =. 6分 ∴1p =-. 7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得22n a n =-. 8分 ∵22log log n n a n b +=，∴221224n an n n b n n n --=⋅=⋅=⋅. 9分∴1231n n nT b b b b b -=+++++()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅ ， ① 10分则有()1231442434144n n n T n n -=+⨯+⨯++-⋅+⋅ ，② 11分①-②得0121344444n nn T n --=++++-⋅14414n nn -=-⋅-()13413n n -⋅-=12分 ∴()131419nn T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. 13分 20．解：(Ⅰ)根据题意，得1(5)8y x =- []0,5x ∈． 4分 (Ⅱ)令tt ⎡∈⎣，则212x t =， 7分2211517y t t (t 2).1648168=-++=--+ 10分因为2⎡∈⎣2=时，即2x =时，y 取最大值0.875． 12分 答：总利润的最大值是0.875亿元． 13分21．解（Ⅰ）∵2()ln 1f x x a x =--的定义域为(0,)+¥，函数()f x 的图象上的每一点处的切线斜率都是正数，∴()20af x x x'=->在(0,)+¥上恒成立. 2分 ∴22a x <在(0,)+¥上恒成立 .∵220y x =>在(0,)+¥上恒成立， ∴0a ≤∴所求的a 的取值方位为(,0]-¥. 6分 （Ⅱ）当2a =时，函数()1f x y x =-的图象与()y F x =的图象没有公共点. 理由：当2a =时，2()2ln 111f x x x y x x --==--， 它的定义域为01x x >≠且，()F x 的定义域为0x ≥.当01x x >≠且时，由()()1f x F x x =-得：22ln 20x x x --+=. 8分设2()2ln 2h x x x x =--+，则21)(222)()21x h x xx x +'=--=∴当01x <<时，()0h x '<，此时，()h x 单调递减； 当1x >时，()0h x '>，此时，()h x 单调递增. ∴当2a =，01x x >≠且时，()()1f x F x x =-无实数根， 即当2a =时，函数()1f x y x =-的图象与()y F x =的图象没有公共点. 13分。

闵行区2014学年第二学期高三年级质量调研考试数 学 试 卷（文科）（满分150分，时间120分钟） 考生注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、准考证号、姓名等填写清楚．2．请按照题号在答题纸各题答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．3．本试卷共有23道试题．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，考生必须在答题纸的相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得0分．1．已知集合35|22A x x ⎧⎫=->⎨⎬⎩⎭，U =R ，则U A =ð ． 2．若复数z 满足(2)(1)2z i i ++=（i 为虚数单位），则z = ．3．函数()cos f x x x =,若1()2f a =，则()f a -= ．4．计算221lim 4n n n n →∞+=+ ．5．若x 满足48x=,则x = .6．已知2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，sincos22θθ-=，则cos θ= ．7. 若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为 .8．口袋中有形状、大小都相同的3只白球和1只黑球，现一次摸出2只球，则摸出的两球颜色不相同的概率是 ．9．已知正方形ABCD 的边长为2，M 是正方形ABCD 四边上的动点，则AB AM ⋅u u u r u u u u r的最大值为 ． 10．函数22|log 2||log |y x x =+ 的最小值为 ．11．已知函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭,12()log g x x =,记函数(),()()()(),()()g x f x g x h x f x f x g x ≤⎧=⎨>⎩，则方程()2h x =的解为 .12．已知12F F 、是椭圆22122:14x y m m Γ+=-和双曲线22222:14x y n n Γ-=-的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且123F PF π∠=，则mn 的最大值为 .13．在ABC △中，记角A 、B 、C 所对边的边长分别为a 、b 、c ，若0AB AC ⋅<u u u r u u u r，则下列结论中：①ABC △是钝角三角形； ②222a b c >+； ③cos cos sin sin B C B C >； ④sin cos B C >． 其中错误结论的序号是 ． 14．已知数列{}n a 满足：对任意n *∈N 均有133n n a pa p +=+-（p 为常数，0p ≠且1p ≠），若{}2345,,,19,7,3,5,10,29a a a a ∈---，写出一个满足条件的1a 的值为 ．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4小题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格用铅笔涂黑，选对得5分，否则一律得0分．15．已知圆22:1O x y +=和直线:l y kx =+1k =是圆O 与直线l 相切的（ ） (A)充要条件. (B)充分不必要条件.(C)必要不充分条件. (D)既不充分也不必要条件.16． 8(2)x -展开式中各项系数的和为 ( )(A)1-. (B)1. (C)256. (D)256-.17．已知()y f x =是定义在R 上的函数，下列命题正确的是 ( )(A)若()f x 在区间[],a b 上的图像是一条连续不断的曲线，且在(),a b 内有零点，则有()()0f a f b ⋅<.(B)若()f x 在区间[],a b 上的图像是一条连续不断的曲线，且有()()0f a f b ⋅>，则其在(),a b 内没有零点.(C)若()f x 在区间(),a b 上的图像是一条连续不断的曲线，且有()()0f a f b ⋅<，则其在(),a b 内有零点.(D) 如果函数()f x 在区间[],a b 上的图像是一条连续不断的曲线，且有()()0f a f b ⋅<，则其在区间(),a b 内有零点.18．数列{}n a 是公差d 不为零的等差数列，其前n 项和为nS ，若记数据1232015,,,,a a a a ⋅⋅⋅的方差为1λ，数据3201512,,,,1232015S S S S ⋅⋅⋅的方差为2λ.则 ( ) (A) 12λλ>. (B) 12λλ=.(C) 12λλ<. (D) 1λ与2λ的大小关系与公差d 的正负有关.三.解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 19．（本题满分12分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，90,2ACB AC BC ∠===o，三棱锥1A ABC -的体积为83．求直线B A 1与1CC 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分．某公司生产电饭煲，每年需投入固定成本40万元，每生产1万件还需另投入16万元的变动成本．设该公司一年内共生产电饭煲x 万件并全部销售完，每一万件的销售收入为()R x 万元，且2440040000()10100R x x x x =-<<，，该公司在电饭煲的生产中所获年利润为W (万元).（注：利润=销售收入-成本）(1)写出年利润W (万元)关于年产量x (万件)的函数解析式； (2)为了让年利润W 不低于2760万元，求年产量x 的取值范围．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，每小题满分各7分．CB1C 1B1AA椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>的左右焦点分别为12F F 、，已知椭圆Γ上的点41,33P ⎛⎫ ⎪⎝⎭到12F F 、的距离之和为．（1）求椭圆Γ的方程；（2）若椭圆上两点C D 、关于点1(1,)2M 对称，求直线CD 的方程．22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3) 小题满分6分．已知函数221()2(sin cos 2f x x x x =+-（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）若存在,123t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦满足2[()]()0f t t m --=，求实数m 的取值范围； （3）求证：任意的1,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，存在唯一的2,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，使12()()1f x f x ⋅=成立.23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分．已知数列{}n a 为等差数列，满足142()n n a a n n *++=+∈N ，其前n 和为n S ，数列{}nb 为等比数列，且2112233(1)24n n n a b a b a b a b n ++++⋅⋅⋅+=-⋅+对任意的n *∈N 恒成立.（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）是否存在,p q *∈N ，使得222()392p q a b +-=成立，若存在，求出所有满足条件的,p q ；若不存在，说明理由；（3）记集合|,n n S M n n b λ*⎧⎫=≥∈⎨⎬⎩⎭N ，若M 中共有5个元素，求实数λ的取值范围.闵行区2014学年第二学期高三年级质量调研考试 数学试卷参考答案与评分标准一. 填空题 1．[]1,4-； 2．1i -+； 3．12-； 4．14； 5．（理）1，（文）32； 6．54-；7．33π；8．(理)58，(文)12；9．(理) ，(文)4； 10．(理)1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，(文) 1； 11．（理）5，(文)14x =；12．； 13．(文理) ④；14．（理）{}1,3,67---，（文）1-或3-或67-二. 选择题 15． B ； 16． B ； 17．D ； 18． A ． 三. 解答题19．（文）11111183323A ABC BC V S AA BC AC AA -=⋅=⋅⋅⋅⋅=△A 11822411323AA AA =⋅⋅⋅⋅=⇒= ………………………………4分11//BB CC Q ， 11A BB ∴∠是直线B A 1与直线1CC 所成的角 ……6分11111tan 2A B A BB BB y ∴∠=== ………………………10分11arctan2A BB ∴∠=所以直线B A 1与1CC所成的角为arctan2 ………………12分19．（理）法一： 1111111ACB C AC CC ⊥⊥Q ，， ⊥∴11C A 平面C C BB 11，11BC A ∠∴是直线B A 1与平面C C BB 11所成的角．…………………4分 设1CC y =1BC ==11111tan 4AC A BC y BC ∴∠===⇒=， ……………8分所以111111111111183323C A BC A C BC C BC V V S A C BC CC A C --==⋅=⋅⋅⋅⋅=△．…12分 法二：如图，建立空间直角坐标系，设1CC y =． 得点(020)B ，，1(00)C y ，，，1(20)A y ，，． 则1(22)A B y =--u u u r，，，平面C C BB 11的法向量为(100)n =r，，． …………………4分设直线B A 1与平面C C BB 11所成的角为θ，则11sin 46A B n y A B n θ⋅===⇒=⋅u u u r ru u u r r ，……………8分所以111111111111183323C A BC A C BC C BC V V V S A C BC CC A C --===⋅=⋅⋅⋅⋅=△．…12分 20． (1)40000()(1640)164360W xR x x x x=-+=--+10100x <<， ……6分 (2) 解400001643602760W x x =--+≥ ………………12分得2(50)0x -≤时， 所以50x =.答：为了让年利润W 不低于2760万元，年产量50x =. …………………14分 21．（文）（1） 2a a =⇒=………………3分将点P 的坐标代入方程22212x y b +=得281199b +=⇒21b = ………6分 所以椭圆Γ的方程为2212x y +=．…………………………………7分（2）法一：设点C D 、的坐标分别为1122(,)(,)x y x y 、则2222112222,22x y x y +=+=，且12122,1x x y y +=+= ………9分由2222112222,22x y x y +=+=得：12121212()()2()()0x x x x y y y y +-++-=121212122()2()01x x y y x x -+-=⇒=-- ………………12分所以直线CD 的方程为32y x =-+………………14分 法二：设点C D 、的坐标分别为1122(,)(,)x y x y 、设直线CD 的方程为1(1)2y k x =-+………………9分将1(1)2y k x =-+代入2222x y +=得22223(21)(42)2202k x k k x k k +--+--=由212242221k kx x k -+==+得1k =- ………………12分所以直线CD 的方程为32y x =-+………………14分21．（理）(1)因为椭圆Γ过点4(,)33b P ,所以2161199a +=,解得22a = ……3分又以AP 为直径的圆恰好过右焦点2F ，所以220F A F P ⋅=u u u u r u u u u r又24(,),(,0),(0,)33bP F c A b得2(,)F A c b =-u u u u r ，24(,)33b F P c =-u u u u r ，所以24()033b c c --+=而22222b a c c =-=-，所以2210c c -+=得1c = ………………6分故椭圆Γ的方程是2212x y +=． ………………………………7分（2）法一：设点C D 、的坐标分别为1122(,)(,)x y x y 、，则2222112222,22x y x y +=+=，且12122,1x x y y +=+= ………9分由2222112222,22x y x y +=+=得：12121212()()2()()0x x x x y y y y +-++-=121212122()2()01x x y y x x -+-=⇒=--所以CD 所在直线的方程为32y x =-+………………11分将32y x =-+代入2222x y +=得253602x x -+=12||||CD x x =-=== ………14分法二：设点C D 、的坐标分别为1111(,)(2,1)x y x y --、，………9分则2222111122,(2)2(1)2x y x y +=-+-=两等式相减得1132y x =-+………………11分将32y x =-+代入2222x y +=得253602x x -+=12||||CD x x =-===．……14分22．（1）（文理）221()cos 22sin cos 2f x x x x x =++-1πcos 22cos 2sin 226x x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，……………2分函数()f x 的最小正周期T π= ………………………………4分（2）当,123t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，20,62t ππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，π()sin 216f t t ⎛⎫⎤=-+ ⎪⎦⎝⎭6分[]22()[()]()[()22,1F t f t t f t ⇒=-=--∈-- …………………8分（理）存在,123t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦满足()0F t m ->的实数m 的取值范围为(),1-∞-.……10分 （文）存在,123t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦满足()0F t m -=的实数m 的取值范围为[]2,1--.……10分（3）（理）存在唯一的2,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，使12()()1f x f x ⋅=成立. ………………12分 （文理）当1,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，12,622x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，11π()sin 216f x x ⎛⎫⎤=-+ ⎪⎦⎝⎭2211π()sin 21()6f x x f x ⎛⎫⎤==-+ ⎪⎦⎝⎭[]21π1sin 2=1,16()x f x ⎛⎫⇒--- ⎪⎝⎭ ………………14分设11()a f x =，则[]1,1a ∈-，由2πsin 2=6x a⎛⎫- ⎪⎝⎭ 得22ππ22arcsin 2=2arcsin ,66x k a x k a k πππ-=+-+-∈Z 或所以2x 的集合为2221π17π|arcsin +arcsin +,212212x x k a x k a k ππ⎧⎫=+⋅=-⋅∈⎨⎬⎩⎭Z 或 ∵1π17π5arcsin +,arcsin +6212332126a a ππππ-≤⋅≤≤-⋅≤∴2x 在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上存在唯一的值21πarcsin 212x a =⋅+使12()()1f x f x ⋅=成立. 16分 23．（文） （1）法1：由142()n n a a n n *++=+∈N 得12236,10a a a a +=+=所以31242a a d d -==⇒=，所以12a =故2,n a n = ……………………………2分因为2112233(1)24n n n a b a b a b a b n ++++⋅⋅⋅+=-⋅+ ①对任意的n *∈N 恒成立 则1112233-1-1(2)24n n n a b a b a b a b n ++++⋅⋅⋅+=-⋅+（2n ≥） ②①-②得12(2)n n n a b n n +=⋅≥又114a b =，也符合上式，所以12()n n n a b n n +*=⋅∈N所以2nn b = ……………………………4分法2：由于{}n a 为等差数列，令n a kn b =+，又142()n n a a n n *++=+∈N ，所以(1)2242()kn b k n b kn b k n k *++++=++=+∈N 所以24,222,0k k b k b =+=⇒==故2n a n = ………………2分因为2112233(1)24n n n a b a b a b a b n ++++⋅⋅⋅+=-⋅+ ①对任意的n *∈N 恒成立 则1112233-1-1(2)24n n n a b a b a b a b n ++++⋅⋅⋅+=-⋅+（2n ≥） ②①-②得12(2)n n n a b n n +=⋅≥又114a b =，也符合上式，所以12()n n n a b n n +*=⋅∈N所以2nn b = ……………………………4分（2）假设存在,p q *∈N 满足条件，则244)2392q p +-=（ 化简得2324472q p p -+-= ……………………………6分 由p *∈N 得22447p p +-为奇数，所以32q -为奇数，故3q = 得22244712240p p p p +-=⇒+-= ……………………8分 故46()p p ==-或舍去所以存在满足题设的正整数=4,=3p q ． ……………………………10分（3）易得2n S n n =+，则22n nn S n nb +=， ……………………12分下面考察数列2()2n n n f n +=的单调性， 因为2211(1)1(1)(2)(1)()222n n n n n n n n n f n f n +++++++-+-=-=……………14分所以3n ≥时，(1)()f n f n +<，又(1)1,f =3(2)(3)2f f ==，5(4),4f =15(5),16f = 21(6),32f = ……………………………16分因为M 中的元素个数为5，所以不等式,n n S n b λ*≥∈N 解的个数为5，故λ的取值范围是2115,3216⎛⎤⎥⎝⎦. ……………………………18分23．（理） （1）法1：设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公比为q 。