2016-2017学年江苏省南京市鼓楼区高二(下)期中数学试卷(理科)

2016学年第二学期高二数学期末考试一、填空题(本大题满分54分)本大题共有12题，其中第1题至第6题每小题4分，第7题至第12题每小题5分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分．1. 的展开式中项的系数为______．【答案】【解析】的展开式的通项公式为，令，求得，可得展开式中项的系数为，故答案为10.2. 已知直线经过点且方向向量为，则原点到直线的距离为______.【答案】1【解析】直线的方向向量为，所以直线的斜率为，直线方程为，由点到直线的距离可知，故答案为1.3. 已知全集，集合,,若，则实数的值为___________.【答案】2【解析】试题分析：由题意，则，由得，解得．考点：集合的运算．4. 若变量满足约束条件则的最小值为_________.【答案】【解析】由约束条件作出可行域如图，联立，解得，化目标函数，得，由图可知，当直线过点时，直线在y轴上的截距最小，有最小值为，故答案为. 点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.5. 直线上与点的距离等于的点的坐标是_____________.【答案】或.【解析】解：因为直线上与点的距离等于的点的坐标是和6. 某学生在上学的路上要经过2个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，则这名学生在上学路上到第二个路口时第一次遇到红灯的概率是_______.【答案】【解析】设“这名学生在上学路上到第二个路口首次遇到红灯”为事件，则所求概率为，故答案为.7. 某学校随机抽取名学生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是，样本数据分组为，，，，．则该校学生上学所需时间的均值估计为______________．（精确到分钟）.【答案】34................点睛：本题考查频率分布直方图，解题的关键是理解直方图中各个小矩形的面积的意义及各个小矩形的面积和为1，本题考查了识图的能力；根据直方图求平均值的公式，各个小矩形的面积乘以相应组距的中点的值，将它们相加即可得到平均值.8. 一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种________.【答案】186【解析】试题分析：设取红球个，白球个，则考点：古典概型.9. 如图，三棱锥满足：，，，，则该三棱锥的体积V的取值范围是______．【答案】【解析】由于平面，，在中，，要使面积最大，只需，的最大值为，的最大值为，该三棱锥的体积V的取值范围是.10. 是双曲线的右支上一点，分别是圆和上的点，则的最大值等于_________.【答案】9【解析】试题分析：两个圆心正好是双曲线的焦点，，，再根据双曲线的定义得的最大值为.考点：双曲线的定义，距离的最值问题.11. 棱长为1的正方体及其内部一动点，集合,则集合构成的几何体表面积为___________.【答案】【解析】试题分析：.考点：几何体的表面积.12. 在直角坐标平面中，已知两定点与位于动直线的同侧，设集合点与点到直线的距离之差等于，，记,.则由中的所有点所组成的图形的面积是_______________.【答案】【解析】过与分别作直线的垂线，垂足分别为，，则由题意值，即，∴三角形为正三角形，边长为，正三角形的高为，且，∴集合对应的轨迹为线段的上方部分，对应的区域为半径为1的单位圆内部，根据的定义可知，中的所有点所组成的图形为图形阴影部分．∴阴影部分的面积为，故答案为.二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13. 已知为实数，若复数是纯虚数，则的虚部为（）A. 2B. 0C. -2D. -2【答案】C【解析】∵复数是纯虚数，∴，化为，解得，∴，∴，∴的虚部为，故选C.14. 已知条件：“直线在两条坐标轴上的截距相等”，条件：“直线的斜率等于”，则是的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件【答案】B【解析】当直线过原点时，直线在两条坐标轴上的截距相等，斜率可以为任意数，故不成立；当直线的斜率等于，可设直线方程为，故其在两坐标轴上的截距均为，故可得成立，则是的必要非充分条件，故选B.15. 如图，在空间直角坐标系中，已知直三棱柱的顶点在轴上，平行于轴，侧棱平行于轴．当顶点在轴正半轴上运动时，以下关于此直三棱柱三视图的表述正确的是（）A. 该三棱柱主视图的投影不发生变化；B. 该三棱柱左视图的投影不发生变化；C. 该三棱柱俯视图的投影不发生变化；D. 该三棱柱三个视图的投影都不发生变化．【答案】B【解析】A、该三棱柱主视图的长度是或者在轴上的投影，随点得运动发生变化，故错误；B、设是z轴上一点，且，则该三棱柱左视图就是矩形，图形不变．故正确；C、该三棱柱俯视图就是，随点得运动发生变化，故错误．D、与矛盾．故错误；故选B.点睛：本题考查几何体的三视图，借助于空间直角坐标系．本题是一个比较好的题目，考查的知识点比较全，但是又是最基础的知识点；从正面看到的图叫做主视图，从左面看到的图叫做左视图，从上面看到的图叫做俯视图，根据图中C点对三棱柱的结构影响进一步判断.16. 如图，两个椭圆，内部重叠区域的边界记为曲线，是曲线上任意一点，给出下列三个判断：①到、、、四点的距离之和为定值；②曲线关于直线、均对称；③曲线所围区域面积必小于．上述判断中正确命题的个数为（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】C【解析】对于①，若点在椭圆上，到、两点的距离之和为定值、到、两点的距离之和不为定值，故错；对于②，两个椭圆，关于直线、均对称，曲线关于直线、均对称，故正确；对于③，曲线所围区域在边长为6的正方形内部，所以面积必小于36，故正确；故选C.三、解答题(本大题满分76分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17. 已知复数满足，（其中是虚数单位），若，求的取值范围．【答案】或【解析】试题分析：化简复数为分式的形式，利用复数同乘分母的共轭复数，化简为的形式即可得到，根据模长之间的关系，得到关于的不等式，解出的范围.试题解析：，，即，解得或18. 如图，直四棱柱底面直角梯形，，，是棱上一点，，，，，.（1）求异面直线与所成的角；（2）求证：平面.【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：（1）本题中由于有两两垂直，因此在求异面直线所成角时，可以通过建立空间直角坐标系，利用向量的夹角求出所求角；（2）同（1）我们可以用向量法证明线线垂直，以证明线面垂直，，，，易得当然我们也可直线用几何法证明线面垂直，首先，这由已知可直接得到，而证明可在直角梯形通过计算利用勾股定理证明，，，因此，得证.（1）以原点，、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.则，，，. 3分于是,,,异面直线与所成的角的大小等于. 6分（2）过作交于，在中，，，则，，，，10分，.又，平面. 12分考点：（1）异面直线所成的角；（2）线面垂直.19. 如图，圆锥的顶点为，底面圆心为，线段和线段都是底面圆的直径，且直线与直线的夹角为，已知，．（1）求该圆锥的体积；（2）求证：直线平行于平面，并求直线到平面的距离．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）利用圆锥的体积公式求该圆锥的体积；（2）由对称性得，即可证明直线平行于平面，到平面的距离即直线到平面的距离，由，求出直线到平面的距离.试题解析：（1）设圆锥的高为，底面半径为，则，，∴圆锥的体积；（2）证明：由对称性得，∵不在平面，平面，∴平面，∴C到平面的距离即直线到平面的距离，设到平面的距离为，则由，得，可得，∴，∴直线到平面的距离为．20. 阅读：已知，，求的最小值.解法如下：，当且仅当，即时取到等号，则的最小值为.应用上述解法，求解下列问题：（1）已知，，求的最小值；（2）已知，求函数的最小值；（3）已知正数，，求证：.【答案】（1）9（2）18（3）见解析【解析】试题分析：本题关键是阅读给定的材料，弄懂弄清给定材料提供的方法（“1”的代换），并加以运用.主要就是，展开后就可应用基本不等式求得最值.（1）；（2）虽然没有已知的“1”，但观察求值式子的分母，可以凑配出“1”：，因此有，展开后即可应用基本不等式；（3）观察求证式的分母，结合已知有，因此有此式中关键是凑配出基本不等式所需要的两项，如与合并相加利用基本不等式有，从而最终得出.（1），2分而，当且仅当时取到等号，则，即的最小值为. 5分（2），7分而，，当且仅当，即时取到等号，则，所以函数的最小值为. 10分（3）当且仅当时取到等号，则. 16分考点：阅读材料问题，“1”的代换，基本不等式.21. 设椭圆的长半轴长为、短半轴长为，椭圆的长半轴长为、短半轴长为，若，则我们称椭圆与椭圆是相似椭圆．已知椭圆，其左顶点为、右顶点为．（1）设椭圆与椭圆是“相似椭圆”，求常数的值；（2）设椭圆，过作斜率为的直线与椭圆仅有一个公共点，过椭圆的上顶点为作斜率为的直线与椭圆仅有一个公共点，当为何值时取得最小值，并求其最小值；（3）已知椭圆与椭圆是相似椭圆．椭圆上异于的任意一点，求证：的垂心在椭圆上．【答案】（1）或；（2）当时，取得最小值．（3）见解析【解析】试题分析：（1）运用“相似椭圆”的定义，列出等式，解方程可得s；（2）求得的坐标，可得直线与直线的方程，代入椭圆的方程，运用判别式为，求得，再由基本不等式即可得到所求最小值；（3）求得椭圆的方程，设出椭圆上的任意一点，代入椭圆的方程；设的垂心的坐标为，运用垂心的定义，结合两直线垂直的条件：斜率之积为，化简整理，可得的坐标，代入椭圆的方程即可得证．试题解析：（1）由题意得或，分别解得或.（2）由题意知：，，直线，直线，联立方程，整理得：.因为直线与椭圆仅有一个公共点，所以. ①联立方程，整理得：.因为直线与椭圆仅有一个公共点，所以. ②由①②得：.所以，此时，即.（3）由题意知：，所以，且.设垂心，则，即. 又点在上，有，. 则，所以的垂心在椭圆上.。

江苏省南京市高二上学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分） (2017高一上·河北期末) 集合P={﹣1，0，1}，Q={y|y=cosx，x∈R}，则P∩Q=（）A . PB . QC . {﹣1，1}D . [0，1]2. （2分）与椭圆共焦点，且渐近线为的双曲线方程是（）A .B .C .D .3. （2分） (2017高一下·温州期末) 设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=4x+5y的最小值为（）A . 6B . 8C . 10D . 124. （2分） (2019高二上·大庆月考) 设甲是乙的必要条件；丙是乙的充分但不必要条件，那么（）A . 丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B . 丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C . 丙是甲的充要条件D . 丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件5. （2分）已知直线∥平面，，那么过点P且平行于直线的直线（）A . 只有一条，不在平面内B . 有无数条，不一定在内C . 只有一条，且在平面内D . 有无数条，一定在内6. （2分） (2016高二下·清流期中) 以下四图，都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图象，其中一定正确的序号是（）A . ①②B . ①③C . ③④D . ①④7. （2分）已知且，则tanα=（）A . -B .C . -D .8. （2分） (2016高一上·温州期中) 设函数，集合M={x|f（x）=0}={x1 ， x2 ， x3 ， x4 ， x5}⊆N* ，设c1≥c2≥c3 ，则c1﹣c3=（）A . 6B . 8C . 2D . 49. （2分） (2017高三下·深圳模拟) 已知棱长为2的正方体，球与该正方体的各个面相切，则平面截此球所得的截面的面积为（）A .B .C .D .10. （2分） (2019高一上·宁波期中) 已知则下列命题成立的是（）A .B .C .D .二、填空题 (共7题；共7分)11. （1分） (2016高一上·武汉期中) 若f（x﹣1）=1+lgx，则f（9）=________．12. （1分） (2019高一下·哈尔滨月考) 点到直线的距离的最大值为________.13. （1分）一个正四棱锥的三视图如图所示，则此正四棱锥的侧面积为________14. （1分） (2020高一下·广东月考) 某人在C点测得塔顶A在南偏西80°，仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10m到D，测得塔顶A的仰角为30°，则塔高为________m.15. （1分）(2014·上海理) 若抛物线y2=2px的焦点与椭圆 + =1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为________．16. （1分） (2019高一上·惠州期末) 已知函数，则的最小值为________.17. （1分） (2016高二下·连云港期中) 已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则• 的值为________．三、解答题 (共5题；共30分)18. （10分） (2017高二下·瓦房店期末) 已知函数 .（1）求函数的单调递增区间；（2）当时，求函数的最大值和最小值.19. （5分）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E，M分别是线段BC，CC1 ， AB的中点，AA1=2AB=4．（1）求证：DE∥平面A1MC；（2）在线段AA1上是否存在一点P，使得二面角A1﹣BC﹣P的余弦值为？若存在，求出AP的长；若不存在，请说明理由．20. （5分）已知数列{ an}是等差数列，其中 a3=9，a9=3（1）求数列{ an}（2）数列{ an}从哪一项开始小于0．21. （5分）(2020·济宁模拟) 已知椭圆的离心率为e，若椭圆的长轴长等于的直径，且，成等差数列（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设、是椭圆E上不同的两点，线段的垂直平分线交轴于点，试求点P的横坐标的取值范围．22. （5分） (2018高一下·苏州期末) 已知函数 .（1）当，时，求满足的的值；（2）若函数是定义在上的奇函数.①存在，使得不等式有解，求实数的取值范围；②若函数满足，若对任意且，不等式恒成立，求实数的最大值.参考答案一、单选题 (共10题；共20分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：二、填空题 (共7题；共7分)答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：答案：17-1、考点：解析：三、解答题 (共5题；共30分)答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：。

2016-2017学年江苏省南京市高二(上)期末数学试卷(理科)1.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

请将答案填写在答题卡相应位置上。

1.(5分) 命题“若a=b，则|a|=|b|”的逆命题是“若|a|≠|b|，则a≠b”。

2.(5分) 双曲线的离心率大于1.3.(5分) 已知复数z=1的渐近线方程是y=x。

4.(5分) 在平面直角坐标系xOy中，点(4,3)到直线3x-4y+a=0的距离为1，则实数a的值是-5.5.(5分) 曲线y=x^4与直线y=4x+b相切，则实数b的值是4.6.(5分) 已知实数x，y满足条件x+y=1，则z=2x+y的最大值是2.7.(5分) 在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y^2=4x的焦点为F，P为抛物线C上一点，且PF=5，则点P的横坐标是9.8.(5分) 在平面直角坐标系xOy中，圆O：x^2+y^2=r^2（r>0）与圆M：(x-3)^2+(y+4)^2=4相交，则r的取值范围是1<r<3.9.(5分) 观察下列等式：sin^(-2)+sin^(-2)+sin^(-2)+。

+sin^(-2)=n(n+1)/2照此规律。

sin^(-2)+sin^(-2)+sin^(-2)+sin^(-2)+sin^(-2)+。

=110.(5分) 若“∃x∈R，x^2+ax+a=0”是真命题，则实数a的取值范围是a≤0.11.(5分) 已知函数f(x)=(x^2+x+m)ex（其中m∈R，e为自然对数的底数）。

若在x=-3处函数f(x)有极大值，则函数f(x)的极小值是f(-2)。

12.(5分) 有下列命题：①“m>0”是“方程x^2+my^2=1表示椭圆”的充要条件；②“a=1”是“直线l1：ax+y-1=0与直线l2：x+ay-2=0平行”的充分不必要条件；③“函数f(x)=x^3+mx单调递增”是“m>0”的充要条件；④已知p，q是两个不等价命题，则“p或q是真命题”是“p 且q是真命题”的必要不充分条件。

福建省龙岩市一级达标校2016-2017学年高二第二学期期末教学质量检查理科数学试卷(扫描版含答案)龙岩市一级达标校2016-2017学年第二学期期末高二教学质量检查数学（理科）试题参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）1.B2.A3.C4.C5.D6.B7.A8.C9.B10.A11.D12.D二、填空题（每小题5分，共20分）13.914.2715.a(45,81)16.m≤e+2三、解答题（共70分）17.（本小题满分12分）Ⅰ）列出列联表：男女合计课外体育不达标 60 90 150课外体育达标 30 20 50合计 90 110 200Ⅱ）依表格数据得跳远成绩的平均数x=70，短跑100米成绩的平均数y=66.b=(∑xy-5x·y)/(∑x^2-5x^2)=-5·70·66/2250=0.54b=y-b x=66-0.54·70=28.2所求的回归方程为y=0.54x+28.2.因为k=2200/33≈6.06<6.635，所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下不能判断“课外体育达标”与性别有关。

17.（本小题满分12分）Ⅰ）解得z=1+i，所以ω=(2-i)/(2+i)=1-i。

OA=(1,-1)，OB=(0,2)。

逆时针旋转5π/4可得到OA的位置，即θ的最小值为5π/4.Ⅱ）由已知可得n=10.设第r+1项的系数最大，则C(10,r+1)=2·C(10,r)。

2(r+2)/(r+1)≥10/(r+1)，解得2≥r+1，即1≤r≤3.r=1,2,3.所以3≤n-r≤9，即n-r=3,4,5,6,7,8,9.解得x=1/3或x=-1/2.所求的三项式为3x^2-2x或2x^3-3x^2.答案不唯一。

注：原文章中，解答题的第17题和第18题没有明确区分，已修改。

所以r=7，即系数最大的项为T77.根据分式拆分，2x^2=x^2，化简得x=±24.解：（Ⅰ）由题意得y=(4+202)/(p-10-2p-x)=10+2p-x/(4+x+1)。

2016-2017学年江苏省南京市六合区程桥高中高一（下）6月月考数学试卷（理科）一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分.）1．（5分）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜1}，B＝{x|x＞0}，则A∩B＝．2．（5分）命题“若x2＜1，则﹣1＜x＜1”的逆否命题是．3．（5分）某算法流程图如图所示，则输出k的值是．4．（5分）交通部门对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控，从速度在50﹣90km/h的汽车中抽取150辆进行分析，得到数据的频率分布直方图如图所示，则速度在70km/h以下的汽车有辆．5．（5分）4人站成一排，其中甲乙相邻则共有种不同的排法．6．（5分）袋中有2个红球，2个蓝球，1个白球，从中一次取出2个球，则取出的球颜色相同的概率为．7．（5分）一组数据2，x，4，6，10的平均值是5，则此组数据的标准差是．8．（5分）已知a，b，c，d为实数，且c＞d．则“a＞b”是“a﹣c＞b﹣d”的条件．9．（5分）（x2﹣）5展开式中的常数项为．10．（5分）矩阵的特征值是．11．（5分）已知p：x2﹣2x﹣3＜0；q：＜0．若p∧q为真，则x的取值范围是．12．（5分）若X～B（15，），则使P（X＝k）取最大值的k的值为．13．（5分）下列图形中，若黑色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项公式为14．（5分）2010年上海世博会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有种．二、解答题：（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15．（14分）在极坐标系中，已知直线l：ρsin（θ﹣）＝a被圆C：ρ＝4cosθ截得的弦长为2，求实数a的值．16．（14分）设a＞0，b＞0，若矩阵A＝把圆C：x2+y2＝1变换为椭圆E：＝1．（1）求a，b的值；（2）求矩阵A的逆矩阵A﹣1．17．（14分）已知a∈R，命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，命题q：“∃x∈R，x2+2ax+2＝0”．（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；（2）若命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．18．（16分）如图，P A⊥平面ABCD，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝BC＝P A＝1，AD＝3，E是PB的中点．（1）求证：AE⊥平面PBC；（2）求二面角B﹣PC﹣D的余弦值．19．（16分）甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是．假设各局比赛结果相互独立．（1）分别求甲队以3：0，3：1，3：2胜利的概率；（2）若比赛结果为3：0或3：1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3：2，则胜利方得2分，对方得1分．求乙队得分X的分布列及数学期望．20．（16分）已知的展开式的系数和比（3x﹣1）n的展开式的系数和大992，求（2x﹣）2n的展开式中：（1）二项式系数最大的项；（2）系数的绝对值最大的项．2016-2017学年江苏省南京市六合区程桥高中高一（下）6月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分.）1．（5分）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜1}，B＝{x|x＞0}，则A∩B＝{x|0＜x＜1}．【解答】解：∵A＝{x|﹣1＜x＜1}，B＝{x|x＞0}，∴A∩B＝{x|0＜x＜1}．故答案为：{x|0＜x＜1}．2．（5分）命题“若x2＜1，则﹣1＜x＜1”的逆否命题是“若x≥1或x≤﹣1，则x2≥1”．【解答】解：∵“x2＜1”的否定为“x2≥1”．“﹣1＜x＜1”的否定是“x≤﹣1或x≥1”．∴命题“若x2＜1，则﹣1＜x＜1”的逆否命题是：“若x≥1或x≤﹣1，则x2≥1”．故答案：若x≥1或x≤﹣1，则x2≥1．3．（5分）某算法流程图如图所示，则输出k的值是5．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，得；k＝1，S＝10﹣1＝9；k＝2，S＝9﹣2＝7；k＝3，S＝7﹣3＝4；k＝4，S＝4﹣4＝0；S≤0，输出k＝4+1＝5．故答案为：5．4．（5分）交通部门对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控，从速度在50﹣90km/h的汽车中抽取150辆进行分析，得到数据的频率分布直方图如图所示，则速度在70km/h以下的汽车有75辆．【解答】解：由频率分布直方图，得速度在70km/h以下的汽车所点频率为（0.02+0.03）×10＝0.5，∴从速度在50﹣90km/h的汽车中抽取150辆进行分析，则速度在70km/h以下的汽车有：150×0.5＝75（辆）．故答案为：75．5．（5分）4人站成一排，其中甲乙相邻则共有12种不同的排法．【解答】解：相邻问题运用捆绑法，甲乙捆绑，再与其它2人，全排，故甲、乙二人相邻的不同排法共A22•A33＝12种．故答案为：12．6．（5分）袋中有2个红球，2个蓝球，1个白球，从中一次取出2个球，则取出的球颜色相同的概率为．【解答】解：从五个球中取出2球，共有＝10种不同情况，而且这些情况是等可能发生的，其中取出的球颜色相同，共有+＝2种不同情况，∴取出的球颜色相同的概率为P＝＝，故答案为：7．（5分）一组数据2，x，4，6，10的平均值是5，则此组数据的标准差是2．【解答】解：∵一组数据2，x，4，6，10的平均值是5，∴2+x+4+6+10＝5×5，解得x＝3，∴此组数据的方差[（2﹣5）2+（3﹣5）2+（4﹣5）2+（6﹣5）2+（10﹣5）2]＝8，∴此组数据的标准差S＝＝2．故答案为：2．8．（5分）已知a，b，c，d为实数，且c＞d．则“a＞b”是“a﹣c＞b﹣d”的必要不充分条件．【解答】解：充分性，因为c＞d，所以﹣d＞﹣c，当a＞b时可得a﹣d＞b﹣c．不一定能得到a﹣c＞b﹣d，故充分性不成立；必要性，当a﹣c＞b﹣d成立时，两边都加上c得a＞b+（c﹣d）因为c＞d，得（c﹣d）＞0，所以b+（c﹣d）＞b由不等式的传递性，得a＞b成立，故必要性成立故答案为：必要不充分9．（5分）（x2﹣）5展开式中的常数项为40．【解答】解：（x2﹣）5展开式中的通项公式为T r+1＝•x10﹣2r•（﹣2）r•x﹣3r＝（﹣2）r ••x10﹣5r，令10﹣5r＝0，r＝2，故展开式的常数项为4•＝40，故答案为40．10．（5分）矩阵的特征值是λ1＝﹣4，λ2＝8．【解答】解：矩阵的特征矩阵为：，其特征多项式为（λ+2）（λ﹣6）﹣20，求解特征方程：（λ+2）（λ﹣6）﹣20＝0 可得矩阵的特征值为：λ1＝﹣4，λ2＝8．故答案为：λ1＝﹣4，λ2＝8．11．（5分）已知p：x2﹣2x﹣3＜0；q：＜0．若p∧q为真，则x的取值范围是（﹣1，2）．【解答】解：p：x2﹣2x﹣3＜0，解得﹣1＜x＜3．q：＜0．解得x＜2．若p∧q为真，则p与q都为真命题．∴，解得﹣1＜x＜2．x的取值范围是（﹣1，2）．故答案为：（﹣1，2）．12．（5分）若X～B（15，），则使P（X＝k）取最大值的k的值为3或4．【解答】解：∵随机变量X～B（15，），∴P（X＝k）＝C15k（1﹣）15﹣k（）k＝315﹣k，∴＝＝•≤1，得k≥3．＝≤1，解得k≤4，从而k＝3或4时，P（X＝k）取得最大值，故答案为3或4．13．（5分）下列图形中，若黑色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项公式为a n＝3n﹣1【解答】解：由图形得：第2个图形中有3个三角形，第3个图形中有3×3个三角形，第4个图形中有3×9个三角形，以此类推：第n个图形中有3n﹣1个三角形．故答案为：a n＝3n﹣114．（5分）2010年上海世博会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有36种．【解答】解：由题意知本题需要分类，若小张或小赵入选，则有选法C21C21A33＝24；若小张、小赵都入选，则有选法A22A33＝12，根据分类计数原理知共有选法24+12＝36种故答案为：36二、解答题：（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15．（14分）在极坐标系中，已知直线l：ρsin（θ﹣）＝a被圆C：ρ＝4cosθ截得的弦长为2，求实数a的值．【解答】解：∵圆C：ρ＝4cosθ，∴ρ2＝4ρcosθ，∴x2+y2＝4x，即圆C的直角坐标方程为（x﹣2）2+y2＝4，∴圆心C（2，0），半径r＝2．∵直线l的参数方程展开得，∴，即直线l的直角坐标方程为．所以圆心C到直线l的距离．因为圆C被直线l截得的弦长为，所以．即4﹣（1+a）2＝3，化为a2+2a＝0，解得a＝0，或a＝﹣2．故实数a的值为0或﹣2．16．（14分）设a＞0，b＞0，若矩阵A＝把圆C：x2+y2＝1变换为椭圆E：＝1．（1）求a，b的值；（2）求矩阵A的逆矩阵A﹣1．【解答】解：（1）设点P（x，y）为圆C：x2+y2＝1上任意一点，经过矩阵A变换后对应点为P′（x′，y′）则═，所以．…2分因为点P′（x′，y′）在椭圆E：上，所以，这个方程即为圆C方程．…6分因为a＞0，b＞0，所以a＝2，b＝．…8分（2）由（1）得A＝，设A﹣1＝，得AA﹣1＝＝＝．．∴m＝，n＝p＝0，q＝，可得A﹣1＝…10分17．（14分）已知a∈R，命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，命题q：“∃x∈R，x2+2ax+2＝0”．（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；（2）若命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，令f（x）＝x2﹣a，根据题意，只要x∈[1，2]时，f（x）min≥0即可，也就是1﹣a≥0，解得a≤1，∴实数a的取值范围是（﹣∞，1]；（2）由（1）可知，当命题p为真命题时，a≤1，命题q为真命题时，△＝4a2﹣4×2≥0，解得a≤﹣或a≥．∵命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，∴命题p与命题q必然一真一假，当命题p为真，命题q为假时，．当命题p为假，命题q为真时，综上：a或﹣＜a≤118．（16分）如图，P A⊥平面ABCD，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝BC＝P A＝1，AD＝3，E是PB的中点．（1）求证：AE⊥平面PBC；（2）求二面角B﹣PC﹣D的余弦值．【解答】（1）证明：根据题意，建立如图所示的空间直角坐标系，A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，3，0），P（0，0，1），E（，0，），∴＝（，0，），＝（0，1，0），＝（﹣1，0，1）．∴•＝0，•＝0，所以⊥，⊥．所以AE⊥BC，AE⊥BP．因为BC，BP⊂平面PBC，且BC∩BP＝B，所以AE⊥平面PBC．（2）解：设平面PCD的法向量为＝（x，y，z），则•＝0，•＝0．因为＝（﹣1，2，0），＝（0，3，﹣1），所以．令x＝2，则y＝1，z＝3．所以＝（2，1，3）是平面PCD的一个法向量．…8分因为AE⊥平面PBC，所以平面PBC的法向量．所以cos＜，＞＝＝．根据图形可知，二面角B﹣PC﹣D的余弦值为﹣．…10分19．（16分）甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是．假设各局比赛结果相互独立．（1）分别求甲队以3：0，3：1，3：2胜利的概率；（2）若比赛结果为3：0或3：1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3：2，则胜利方得2分，对方得1分．求乙队得分X的分布列及数学期望．【解答】解：（1）记“甲队以3：0胜利”为事件A1，“甲队以3：1胜利”为事件A2，“甲队以3：2胜利”为事件A3，由题意知，各局比赛结果相互独立，故P（A1）＝（）3＝，P（A2）＝＝，P（A3）＝＝．所以甲队以3：0胜利、以3：1胜利的概率都为，以3：2胜利的概率为．（2）设“乙队以3：2胜利”为事件A4，由题意知，各局比赛结果相互独立，所以P（A4）＝＝．由题意知，随机变量X的所有可能的取值为0，1，2，3，根据事件的互斥性得P（X＝0）＝P（A1+A2）＝P（A1）+P（A2）＝．又P（X＝1）＝P（A3）＝，P（X＝2）＝P（A4）＝，P（X＝3）＝1﹣P（X＝0）﹣P（X＝1）﹣P（X＝2）＝，故X的分布列为所以E（X）＝0×+1×+2×+3×＝．20．（16分）已知的展开式的系数和比（3x﹣1）n的展开式的系数和大992，求（2x﹣）2n的展开式中：（1）二项式系数最大的项；（2）系数的绝对值最大的项．【解答】解：由题意知：22n﹣2n＝992，解得n＝5．（1）的展开式中第6项的二项式系数最大，即（2）设第r+1项的系数的绝对值最大，因为＝（﹣1）10﹣r x10﹣2rr C10r2则，得即解得所以r＝3，故系数的绝对值最大的项是第4项即。

数学试卷（理科）一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1. 已知复数1iz i+=（i 为虚数单位），则复数z 的实部为 . 3.若346n n A C =，则n 的值为 . 4.已知向量()()1,1,0,1,0,2a b ==-，若ka b +与b 相互垂直，则k 的值是 .5．已知二项式61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则它的展开式中的常数项为 .6.在3名男教师和3名女教师中选取3人参加义务献血，要求男、女教师都有，则有 种不同的选取方法（用数字作答）.7.已知曲线()22:1C x y y -+=在矩阵2201A -⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换下得到曲线C '，则曲线C '的方程为 .8.甲、乙、丙三人各自独立的破译一个密码，假定它们译出密码的概率都是15，且相互独立，则至少两人译出密码的概率为 .11.现有10件产品，其中6件一等品，4件二等品，从中随机选出3件产品，其中一等品的件数记为随机变量X,则X 的数学期望()E X = .12.从3名男生和3名女生中选出4人分别分别担任辩论赛中的一、二、三、四辩手，其中男生甲不能担任一辩手，那么不同的编队形式有 种.（用数字作答）13.已知1232727272727S C C C C =++++，则S 除以9所得的余数是 .14.利用等式()111,,k k n n kC nC k n k n N -*-=≤≤∈可以化简12111222n n n n n C C n C -⋅+⋅+⋅ ()101122111111222123.n n n n n n n n nC n C n C n C n n -------=+⋅+⋅++⋅=+=⋅等式11k k n n kC nC --=有几种变式，如：1111k k n n C C k n--=又如将1n +赋给n ，可得到()111,k k n n kC n C -+=+，类比上述方法化简等式：23101211111115253515n n n n n n C C C C n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅+⋅+⋅++⋅= ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭.二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分14分）在某次问卷调查中，有a,b 两题为选做题，规定每位被调查者必须且只需在其中选做一题，其中包括甲乙在内的4名调查者选做a 题的概率均为23，选做b 题的概率均为1.3（1）求甲、乙两位被调查者选做同一道题的概率；（2）设这4名受访者中选做b 题的人数为ξ，求ξ的概率分布和数学期望.18.（本题满分16分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 为等腰直角三角形，1,2,3,AB AC AB AC AA M ⊥===是侧棱1CC 上一点.（1）若1BM A C ⊥，求1C MMC的值；（2）若2MC =，求直线1BA 与平面ABM 所成角的正弦值.19.（本题满分16分）已知()()()()()201211112,.nn x n a a x a x a x n n N *+=+-+-+++≥∈.（1）当3n =时，求31223222a a a ++的值； （2）设232,.2nn n n n a b T b b b -==+++①求n b 的表达式；②使用数学归纳法证明：当2n ≥时，()()11.6n n n n T +-=20.（本题满分16分）设函数()()(),10,0.xf x y my m y =+>>（1）当2m =时，求()7,f y 的展开式中二项式系数最大的项；（2）已知()2,f n y 的展开式中各项的二项式系数和比(),f n y 的展开式中各项的二项式系数和大992，若()01,nn f n y a a y a y =+++，且240a =，求1ni ai =∑；（3）已知正整数n 与正实数t ，满足()1,1,,n f n m f n t ⎛⎫= ⎪⎝⎭求证：162017,.f f t ⎛⎛⎫>- ⎪ ⎝⎭⎝.数学试卷（理科）参考答案与评分标准一、填空题:1．1 2．()2,0 3. 7 4. 5． 5. -20 6.18 7．2214x y += 8.13125 9. 10．,骣÷ç÷ç÷ç桫121255 11．95 12．300 13．7． 14．116()115n n +⎡⎤-⎢⎥+⎣⎦二、解答题:17．（1）设事件A 表示“甲选做第a 题”，事件B 表示“乙选做第a 题”，则甲、乙2名受访者选做同一道题的事件为“AB AB +”，且事件A 、B 相互独立.所以()()()()()P AB AB P A P B P A P B +=+=2211533339⨯+⨯= ………………5分答：甲、乙两位被调查者选做同一道题的概率59……………………………………6分（2）随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3,4，且ξ～1(4,)3B . (8)分所以44441112()()(1)()()(0,1,2,3,4)3333k k k k k kP k C C k ξ--==-==， …………10分所以变量ξ的分布表为：……12分所以1632248140123481818181813E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（或14433E np ξ==⨯=）…14分18.（1）以A 为坐标原点，以射线AB 、AC 、1AA分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，…………………………………………1分如图所示，则()2,0,0B()0,0,3，设MC h =，则 (0,2,M ()10,2,3AC =- 由1BM AC ⊥得1BM AC ⋅，即22⨯解得43h =故154C M MC =； (2) 因为2MC =，所以M ，()()(2,0,0,0,2,2,2,0,3AB AM BA ===-第18题图x设平面ABM 的一个法向量为(),,n x y z =，由0{0n AB n AM ⋅=⋅=得0{0x y z =+=，所以()0,1,1n =-，………………………………………………………………………10分 112,n BA n BA n BA ⋅==⋅-14分 设直线1BA 与平面ABM 所成的角为θ,所以13sin cos ,n BA θ==， 所以直线1BA 与平面ABM . ……………………………16分. 19.（1）记3()(1)f x x =+，令01,8x a ==得， …………………………………………2分令31223312522228a a a x =+++=0得 a ，……………………………………………………4分 故3122312561822288a a a ++=-=； ………………………………………………………5分 （2）设y x =-1，则原展开式变为：()n n ny a y a y a a y ++++=+...22210，则2222-=n n C a ， ………………………………………………………………………7分 所以222(1)22n n n a n n b C --===，………………………………………………………9分 证明：①当2=n 时，221,1T b ==，结论成立；……………………………………10分②假设k n =时成立，即(1)(1)6k k k k T +-=，那么1+=k n 时，11(1)(1)(1)62k k k k k k k k T T b +++-+=+=+[][](1)(1)1(1)1(1)(2)66k k k k k k ++++-++==所以当1n k =+时结论也成立．…………………………………………………………14分综上①②当2n ≥时，(1)(1)6n n n n T +-=． …………………………………………16分20．（1）因为f (7，y )＝()712y +，故展开式中二项式系数最大的项分别是第4项和第5项，即T 4＝()3372C y =3280y ，()444572560T C y y ==； ……………………………5分（2）由题意知，22n －2n ＝992，即(2n －32)(2n ＋31)＝0，所以2n ＝32，解得n ＝5， ………………………………………………………………7分则由()5(5,)1f y my =+=5015a a y a y +++，又222540a C m ==，且0m >，所以2m =，则51i i a ==∑()5512131+-=-=242； …………………………………………10分(3)证明：由1(,1)(,)nf n m f n t=，得(1＋m )n ＝m n(1＋m t )n ＝(m ＋m 2t )n ，则1＋m ＝m ＋m2t ，所以m ＝t ， ………………………………………………………12分又f ＝(1＋m 1 000t )2 017＝(1＋11 000)2 017>1＋12017C 11 000＋22017C (11 000)2＋32017C (11 000)3>1＋2＋2＋1＝6，而1(2017,)f t-=20171m t -⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝(1＋1t )－2 017<1， 所以f >16(2017,)f t -．………………………………………………16分。

人教A 版数学高二弧度制精选试卷练习（含答案)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知扇形的周长是5cm ，面积是322cm ，则扇形的中心角的弧度数是（ ） A ．3B ．43C ．433或 D ．2【来源】江西省九江第一中学2016-2017学年高一下学期期中考试数学（文)试题 【答案】C2．已知扇形的周长为8cm ，圆心角为2，则扇形的面积为（ ） A ．1B ．2C ．4D ．5【来源】四川省双流中学2017-2018学年高一1月月考数学试题 【答案】C3．《掷铁饼者》 取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为4π米，肩宽约为8π米，“弓”所在圆的半径约为1.25米，你估测一下掷铁饼者双手之间的距离约为（ ）1.732≈≈）A ．1.012米B ．1.768米C ．2.043米D ．2.945米【来源】安徽省五校(怀远一中、蒙城一中、淮南一中、颍上一中、淮南一中、涡阳一中)2019-2020学年高三联考数学（理)试题 【答案】B4．已知扇形的周长为4，圆心角所对的弧长为2，则这个扇形的面积是（ ） A ．2B ．1C ．sin 2D ．sin1【来源】福建省泉州市南安侨光中学2019-2020学年高一上学期第二次阶段考试数学试题 【答案】B5．已知α是第三象限角，且cos cos22αα=-，则2α是（ ） A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【来源】2012人教A 版高中数学必修四1.2任意角的三角函数练习题 【答案】B6．如图,2弧度的圆心角所对的弦长为2,这个圆心角所对应的扇形面积是( )A ．1sin1B ．21sin 1C ．21cos 1D ．tan1【来源】广西河池市高级中学2017-2018学年高一下学期第二次月考数学试题 【答案】B7．半径为10cm ，面积为2100cm 的扇形中，弧所对的圆心角为（ ） A ．2 radB ．2︒C ．2π radD ．10 rad【来源】第一章滚动习题（一) 【答案】A8．若一扇形的圆心角为72︒，半径为20cm ，则扇形的面积为（ ）． A ．240πcmB ．280πcmC ．240cmD ．280cm【来源】陕西省西安市长安区第一中学2016-2017学年高一下学期第一次月考数学试题 【答案】D9．如图，把八个等圆按相邻两两外切摆放，其圆心连线构成一个正八边形，设正八边形内侧八个扇形（无阴影部分）面积之和为1S ，正八边形外侧八个扇形（阴影部分）面积之和为2S ，则12S S =（ ）A ．34B ．35C ．23D ．1【来源】广西省南宁市马山县金伦中学、武鸣县华侨中学等四校2017-2018学年高一10月月考数学试题. 【答案】B10．在－360°到0°内与角1250°终边相同的角是( ) . A ．170° B ．190° C ．－190°D ．－170°【来源】2012人教A 版高中数学必修四1.1任意角和弧度制练习题（一)（带解析) 【答案】C11．下列各角中，终边相同的角是 ( ) A ．23π和240o B ．5π-和314oC ．79π-和299π D ．3和3o【来源】新疆伊西哈拉镇中学2018-2019学年高一上学期第二次月考数学试题 【答案】C12．已知2弧度的圆心角所对的弧长为2，则这个圆心角所对的弦长是（ ） A ．sin 2B ．2sin 2C ．sin1D ．2sin1【来源】广东省东莞市2018-2019学年高一第二学期期末教学质量检查数学试题 【答案】D13，弧长是半径的3π倍，则扇形的面积等于（ ） A ．223cm πB ．26cm πC ．243cm πD ．23cm π【来源】河北省隆华存瑞中学（存瑞部)2018-2019学年高一上学期第二次数学试题 【答案】D14．如图所示，用两种方案将一块顶角为120︒，腰长为2的等腰三角形钢板OAB 裁剪成扇形，设方案一、二扇形的面积分别为12S , S ，周长分别为12,l l ，则（ ）A ．12S S =，12l l >B ．12S S =，12l l <C ．12S S >，12l l =D ．12S S <，12l l =【来源】浙江省省丽水市2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】A15．已知sin sin αβ>，那么下列命题成立的是( ) A ．若,αβ是第一象限角，则cos cos αβ> B ．若,αβ是第二象限角，则tan tan αβ> C ．若,αβ是第三象限角，则cos cos αβ> D ．若,αβ是第四象限角，则tan tan αβ>【来源】正定中学2010高三下学期第一次考试（数学文) 【答案】D16．半径为1cm ，中心角为150°的角所对的弧长为（ ）cm ． A ．23B ．23π C ．56D ．56π 【来源】宁夏石嘴山市第三中学2018-2019学年高一5月月考数学试题 【答案】D 17．设5sin 7a π=，2cos 7b π=，2tan 7c π=，则（ ） A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．b a c <<【来源】2008年高考天津卷文科数学试题 【答案】D18．扇形的中心角为120o ）A ．πB ．45πC D 2【来源】辽宁省大连市第八中学2016-2017学年高一下学期期中考试数学试题【答案】A19．若扇形的周长为8，圆心角为2rad ，则该扇形的面积为（ ） A ．2B ．4C ．8D ．16【来源】河南省洛阳市2018-2019学年高一下学期期中考试数学试卷 【答案】B20．-300° 化为弧度是（ ） A ．-43πB ．-53πC ．-54πD ．-76π【来源】2014-2015学年山东省宁阳四中高一下学期期中学分认定考试数学试卷（带解析) 【答案】B21．一个扇形的面积为3π，弧长为2π，则这个扇形的圆心角为（ ） A ．3π B ．4π C ．6π D ．23π 【来源】湖北省荆门市2017-2018学年高一（上)期末数学试题 【答案】D22．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就.其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积=12（弦×矢＋矢×矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为23π，弦长为的弧田.其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为（ ）平方米.（其中3π≈，1.73≈）A ．15B ．16C ．17D ．18【来源】湖北省2018届高三5月冲刺数学（理)试题 【答案】B23．下列各式不正确的是( ) A ．－210°＝76π-B ．405°＝49πC ．335°＝2312πD ．705°＝4712π【来源】河南信阳市息县第一高级中学、第二高级中学、息县高中2018-2019学年高一下学期期中联考数学（文)试题 【答案】C24．下列函数中，最小正周期为π2的是( )A ．y =sin (2x −π3)B ．y =tan (2x −π3)C ．y =cos (2x +π6) D ．y =tan (4x +π6)【来源】20102011年山西省汾阳中学高一3月月考数学试卷 【答案】B25．已知扇形的周长为12cm ，圆心角为4rad ，则此扇形的弧长为 （ ） A ．4cmB ．6cmC ．8cmD ．10cm【来源】江西省玉山县一中2018-2019学年高一（重点班)下学期第一次月考数学（理)试卷 【答案】C二、填空题26．已知扇形的圆心角18πα=，扇形的面积为π，则该扇形的弧长的值是______.【来源】上海市黄浦区2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】3π 27．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的底面半径为_______ . 【来源】上海市浦东新区川沙中学2018-2019学年高二下学期期末数学试题 【答案】128．一个扇形的弧长与面积的数值都是5，则这个扇形中心角的弧度数为__________． 【来源】河南省灵宝市实验高中2017-2018学年高一下学期第一次月考考数学试题 【答案】5229．已知圆锥的侧面展开图是一个扇形，若此扇形的圆心角为65π、面积为15π，则该圆锥的体积为________.【来源】上海市杨浦区2019-2020学年高三上学期期中质量调研数学试题 【答案】12π30．圆O 的半径为1，P 为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形（实线所示 ，正方形的顶点A 和点P 重合）沿着圆周顺时针滚动，经过若干次滚动，点A 第一次回到点P 的位置，则点A 走过的路径的长度为 ．【来源】2015届山东省日照市高三3月模拟考试理科数学试卷（带解析)31．已知扇形的圆心角为1弧度，扇形半径为2，则此扇形的面积为______． 【来源】上海市复兴高级中学2018-2019学年高一下学期3月份质量检测数学试题 【答案】232．一个球夹在120°的二面角内，且与二面角的两个面都相切，两切点在球面上的最短距离为π，则这个球的半径为_______ .【来源】上海市七宝中学2017-2018学年高二下学期期中数学试题 【答案】333．用半径为，面积为cm 2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（衔接部分忽略不计）， 则该容器盛满水时的体积是 ．【来源】2012届江苏省泗阳中学高三上学期第一次调研考试数学试卷（实验班) 【答案】31000cm 3π34．《九章算术》是体现我国古代数学成就的杰出著作，其中(方田)章给出的计算弧田面积的经验公式为:弧田面积12=(弦⨯矢+矢2)，弧田(如图阴影部分)由圆弧及其所对的弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦的长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有弧长为43π米，半径等于2米的弧田，则弧所对的弦AB 的长是_____米，按照上述经验公式计算得到的弧田面积是___________平方米.【来源】山东省济南市2018-2019学年高一下学期期末学习质量评估数学试题【答案】1235．设扇形的半径长为2cm ，面积为24cm ，则扇形的圆心角的弧度数是 【来源】2013-2014学年山东济南商河弘德中学高一下学期第二次月考数学试卷（带解析) 【答案】236．已知一个圆锥的展开图如图所示，其中扇形的圆心角为120o ，弧长为2π，底面圆的半径为1，则该圆锥的体积为__________．【来源】2018年春高考数学（文)二轮专题复习训练：专题三 立体几何【答案】337．现用一半径为10cm ，面积为280cm π的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（假定衔接部分及铁皮厚度忽略不计，且无损耗），则该容器的容积为__________3cm . 【来源】江苏省苏州市2018届高三调研测试（三)数学试题 【答案】128π38．已知扇形的周长为6，圆心角为1，则扇形的半径为___；扇形的面积为____. 【来源】浙江省宁波市镇海区镇海中学2018-2019学年高一上学期期中数学试题 【答案】2 2 39．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所在半径的大小无关； ④若sin sin αβ=，则α与β的终边相同；⑤若cos 0θ<，则θ是第二或第三象限的角． 其中正确的命题是______．（填序号）【来源】江苏省南通市启东中学2018-2019学年高二5月月考数学（文)试题 【答案】③40．设扇形的周长为4cm ，面积为21cm ，则扇形的圆心角的弧度数是________． 【来源】广东省中山市第一中学2016-2017学年高一下学期第一次段考（3月)数学（理)试题 【答案】2三、解答题41．已知扇形AOB 的周长为8．（1）若这个扇形的面积为3，求其圆心角的大小．（2）求该扇形的面积取得最大时，圆心角的大小和弦长AB ．【来源】2015-2016学年四川省雅安市天全中学高一11月月考数学试卷（带解析) 【答案】（1）或；（2）；．42．已知一扇形的中心角是120︒，所在圆的半径是10cm ，求： （1）扇形的弧长； （2）该弧所在的弓形的面积【来源】福建省福州市平潭县新世纪学校2019-2020学年高一上学期第二次月考数学试题【答案】（1）203π；（2）1003π-43．某公司拟设计一个扇环形状的花坛（如图所示），该扇环是由以点O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点AD 的两条线段围成．设圆弧AB 、CD 所在圆的半径分别为()f x 、R 米，圆心角为θ（弧度）．（1）若3πθ=，13r =，26=r ，求花坛的面积；（2）设计时需要考虑花坛边缘（实线部分）的装饰问题，已知直线部分的装饰费用为60元/米，弧线部分的装饰费用为90元/米，预算费用总计1200元，问线段AD 的长度为多少时，花坛的面积最大？【来源】江苏省泰州市泰州中学2019~2020学年高一上学期期中数学试题 【答案】（1）292m π（2）当线段AD 的长为5米时，花坛的面积最大44．已知一个扇形的周长为30厘米，求扇形面积S 的最大值，并求此时扇形的半径和圆心角的弧度数.【来源】上海市华东师范大学第二附属中学2018-2019学年高一上学期期末数学试题 【答案】()2rad α= 152r =45．如图所示为圆柱形大型储油罐固定在U 型槽上的横截面图，已知图中ABCD 为等腰梯形（AB ∥DC ），支点A 与B 相距8m ，罐底最低点到地面CD 距离为1m ，设油罐横截面圆心为O ，半径为5m ，56D ∠=︒，求：U 型槽的横截面（阴影部分）的面积.（参考数据：sin530.8︒≈，tan56 1.5︒≈，3π≈，结果保留整数）【来源】上海市闵行区七宝中学2019-2020学年高一上学期9月月考数学试题 【答案】202m46．明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》:“平地秋千未起,踏板一尺离地,送行二步恰竿齐,五尺板高离地…”某教师根据这首词的思想设计如下图形,已知CE l ⊥,DF l ⊥,CB CD =,AD BC ⊥,5DF =,2BE =,AD =则在扇形BCD 中随机取一点求此点取自阴影部分的概率.【来源】山西省阳泉市2018-2019学年高一第一学期期末考试试题数学试题【答案】1)4(P A π=-47．某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由试卷第11页，总11页 扇形OAD 挖去扇形OBC 后构成的）.已知10, (0<<10)OA=OB =x x ，线段BA 、CD与弧BC 、弧AD 的长度之和为30米，圆心角为θ弧度.（1）求θ关于x 的函数解析式；（2）记铭牌的截面面积为y ，试问x 取何值时，y 的值最大？并求出最大值.【来源】上海市黄浦区2018届高三4月模拟（二模)数学试题【答案】（1）210(010)10x x x θ+=<<+；（2）当52x =米时铭牌的面积最大，且最大面积为2254平方米. 48．已知一扇形的圆心角为()0αα>，所在圆的半径为R .（1）若90,10R cm α==o ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；（2）若扇形的周长是一定值()0C C >，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积?【来源】2019高考备考一轮复习精品资料 专题十五 任意角和弧度制及任意角的三角函数 教学案【答案】（1）2550π-；（2）见解析49．已知在半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10.（1）求弦AB 所对的圆心角α(0<α<π)的大小；（2）求圆心角α所在的扇形弧长l 及弧所在的弓形的面积S .【来源】（人教A 版必修四)1.1.2弧度制（第一课时)同步练习02【答案】（1）π3（2）10π3；50(π3−√32) 50．已知在半径为6的圆O 中，弦AB 的长为6，(1)求弦AB 所对圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形的弧长l 以及扇形的面积S.【来源】江西省玉山县一中2018-2019学年高一（重点班)下学期第一次月考数学（文)试卷【答案】（1）3π ；（2）2l π= ，6S π=。

2016-2017学年上海市华师大二附中高二（下)期中数学试卷一、填空题1．向量对应复数﹣3+2i，则向量所对应的复数为．2．复数z=（m2﹣m﹣4)+（m2﹣5m﹣6）i(m∈R），如果z是纯虚数，那么m= ．3．平面α的斜线与α所成的角为30°，那此斜线和α内所有不过斜足的直线中所成的角的最大值为．4．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,如果对角线AC1与过点A的相邻三个面所成的角分别是α，β，γ，那么cos2α+cos2β+cos2γ=．5．若复数|z﹣3i｜=5,求｜z+2｜的最大值和最小值．6．异面直线a与b所成的角为50°,P为空间一点，则过P点且与a，b所成的角都是50°的直线有条．7．圆锥底面半径为10，母线长为30，从底面圆周上一点，绕侧面一周再回到该点的最短路线的长度是．8．已知集合A={z｜z=i+i2+i3+…+i n,n∈N＊}，B={z|z=z1•z2,z1∈A，z2∈A}，则集合B中的元素共有个．9．设x1，x2是实系数一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，若x1是虚数,是实数,则S=1+= ．10．（理科）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，在正方体的表面上与点A距离为的点的集合形成一条曲线,则这条曲线的长度为．二、选择题（4&＃215；4=16）11．下列命题中,错误的是（）A．过平面α外一点可以作无数条直线与平面α平行B．与同一个平面所成的角相等的两条直线必平行C．若直线l垂直平面α内的两条相交直线，则直线l必垂直平面αD．垂直于同一个平面的两条直线平行12．下列命题中，错误的是( )A．圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形B．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个C．圆锥的轴截面是所有过顶点的界面中面积最大的一个D．当球心到平面的距离小于球面半径时，球面与平面的交线总是一个圆13．已知复数z1,z2满足｜z1﹣|=|1﹣z1z2｜｜，则有（) A．|z1|＜0且|z2|＜1 B．｜z1|＜1或｜z2|＜1 C．|z1|=1且｜z2｜=1 D．｜z1｜=1或｜z2|=114．如图，正四面体ABCD的顶点A，B,C分别在两两垂直的三条射线Ox,Oy，Oz上，则在下列命题中，错误的为( ）A．O﹣ABC是正三棱锥B．直线OB∥平面ACDC．直线AD与OB所成的角是45°D．二面角D﹣OB﹣A为45°三、解答题（8+10+12+14）15．已知复数z1满足（1+i）z1=﹣1+5i，z2=a﹣2﹣i，其中i为虚数单位，a∈R，若＜｜z1｜,求a的取值范围．16．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=1，BC=2,E为PD的中点．(1）求直线CE与平面ABCD所成角的大小;(2)求二面角E﹣AC﹣D的大小，(结果用反三角函数值表示）17．如图，在正三棱锥A﹣BCD中,AB=,点A到底面BCD的距离为1，E为棱BC的中点．（1）求异面直线AE与CD所成角的大小;（结果用反三角函数值表示)（2）求正三棱锥A﹣BCD的表面积．18．已知z是实系数方程x2+2bx+c=0的虚根，记它在直角坐标平面上的对应点为P z，(1）若（b，c)在直线2x+y=0上,求证：P z在圆C1:（x﹣1)2+y2=1上；（2）给定圆C：（x﹣m）2+y2=r2(m、r∈R，r＞0），则存在唯一的线段s满足：①若P z在圆C上，则（b，c）在线段s上；②若（b，c)是线段s上一点（非端点）,则P z在圆C上、写出线段s的表达式，并说明理由;(3)由（2）知线段s与圆C之间确定了一种对应关系，通过这种对应关系的研究，填写表（表中s1是（1）中圆C1的对应线段)．线段s与线段s1的关系m、r的取值或表达式s所在直线平行于s1所在直线s所在直线平分线段s12016-2017学年上海市华师大二附中高二(下)期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．向量对应复数﹣3+2i，则向量所对应的复数为3﹣2i ．【考点】A2：复数的基本概念．【分析】根据向量复数的几何意义进行求解即可．【解答】解：向量对应复数﹣3+2i，则向量对应向量坐标为（﹣3,2），则向量所对应的坐标为（3，﹣2)，则定义的复数为3﹣2i，故答案为：3﹣2i2．复数z=（m2﹣m﹣4）+(m2﹣5m﹣6）i（m∈R）,如果z是纯虚数，那么m= ．【考点】A2：复数的基本概念．【分析】根据纯虚数的定义建立方程进行求解即可．【解答】解：∵z是纯虚数，∴，得得m=,故答案为：3．平面α的斜线与α所成的角为30°，那此斜线和α内所有不过斜足的直线中所成的角的最大值为90°．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【分析】斜线和α内所有不过斜足的直线为异面直线，由此能求出此斜线和α内所有不过斜足的直线中所成的角的最大角．【解答】解:∵斜线和α内所有不过斜足的直线为异面直线，∴此斜线和α内所有不过斜足的直线中所成的角的最大角为90°．故答案为：90°．4．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，如果对角线AC1与过点A的相邻三个面所成的角分别是α,β，γ，那么cos2α+cos2β+cos2γ= 2 ．【考点】MI:直线与平面所成的角．【分析】由已知得cosα=，cosβ=，cosγ=，由此能求出cos2α+cos2β+cos2γ的值．【解答】解:∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，B1C1⊥面AB1，∴AC1与面AB1所成的角为∠C1AB1=α，同理AC1与面AD1所成的角为∠C1AD1=β,AC1与面AC所成的角为∠C1AC=γ，∵cosα=，cosβ=，cosγ=，∴cos2α+cos2β+cos2γ=++=++===2．故答案为：2．5．若复数｜z﹣3i|=5，求｜z+2|的最大值和最小值．【考点】A4:复数的代数表示法及其几何意义；A8：复数求模．【分析】利用圆的复数形式的方程和复数形式的两点间的距离公式即可得出．【解答】解:如图，满足|z﹣3i|=5的复数z所对应的点是以C（0,3）为圆心,5为半径的圆．｜z+2|表示复数z所对应的点Z和点A（﹣2，0)的距离，由题设z 所对应的点在圆周上，而此圆周上的点到点A距离的最大值与最小值是过A的圆周的直径被A点所分成的两部分．∴｜AC｜==．∴|z+2|max=5+，|z+2｜min=5﹣．6．异面直线a与b所成的角为50°，P为空间一点，则过P点且与a，b所成的角都是50°的直线有 2 条．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【分析】把异面直线a,b平移到相交，使交点为P，此时∠APB=50°，过P点作直线c平分∠APB，直线从c向两边转到d时与a，b所成角单调递增，必有经过50°，由此能求出结果．【解答】解：把异面直线a，b平移到相交，使交点为P,此时∠APB=50°,过P点作直线c平分∠APB，这时c与a，b所成角为25°,过P点作直线d垂直a和b，这时d与a，b所成角为90°，直线从c向两边转到d时与a，b所成角单调递增，必有经过50°，由题意满足条件的直线有2条．故答案为：2．7．圆锥底面半径为10，母线长为30，从底面圆周上一点，绕侧面一周再回到该点的最短路线的长度是30．【考点】LH：多面体和旋转体表面上的最短距离问题．【分析】作出侧面展开图，则扇形的弦长为最短距离．【解答】解:圆锥的侧面展开图为半径为30，弧长为20π的扇形AOB，∴最短距离为AB的长．扇形的圆心角为=,∴AB==30．故答案为：30．8．已知集合A=｛z|z=i+i2+i3+…+i n，n∈N＊}，B=｛z｜z=z1•z2，z1∈A，z2∈A｝，则集合B中的元素共有7 个．【考点】15:集合的表示法．【分析】由题意并且结合复数的有关运算可得:集合A=｛1，1+i，i，0｝,进而得到B={1，1+i，i，2i，﹣1+i，﹣1，0｝．【解答】解:由题意可得：集合A=｛z｜z=1+i+i2+…+i n，n∈N＊}=｛1,1+i，i,0｝，所以B=｛z｜z=z1•z2，z1、z2∈A｝=｛1，1+i，i,2i,﹣1+i，﹣1，0}，所以集合B中共有7个元素．故答案是：7．9．设x1，x2是实系数一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，若x1是虚数,是实数,则S=1+= ﹣2 ．【考点】A7：复数代数形式的混合运算．【分析】设x1=s+ti（s，t∈R，t≠0）．则x2=s﹣ti．则x1+x2=2s,x1x2=s2+t2．利用是实数,可得3s2=t2．于是x1+x2=2s，x1x2=s2+t2．+1=0，取=ω，则ω2+ω+1=0，ω3=1．代入化简即可得出．【解答】解：设x1=s+ti（s，t∈R，t≠0）．则x2=s﹣ti．则x1+x2=2s，x1x2=s2+t2．∵==+i是实数,∴3s2t﹣t3=0，∴3s2=t2．∴x1+x2=2s，x1x2=s2+t2．∴4s2==+2x1x2=x1x2，∴+1=0,取=ω，则ω2+ω+1=0，∴ω3=1．则S=1+=1+ω+ω2+ω4+ω8+ω16+ω32 =0+ω+ω2+ω+ω2=﹣2．故答案为：﹣2．10．（理科)正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1,在正方体的表面上与点A距离为的点的集合形成一条曲线，则这条曲线的长度为．【考点】G7：弧长公式；L2：棱柱的结构特征．【分析】本题首先要弄清楚曲线的形状,再根据曲线的性质及解析几何知识即可求出长度．【解答】解:由题意，此问题的实质是以A为球心、为半径的球在正方体ABCD﹣A1B1C1D1各个面上交线的长度计算，正方体的各个面根据与球心位置关系分成两类:ABCD、AA1DD1、AA1BB1为过球心的截面,截痕为大圆弧,各弧圆心角为、A1B1C1D1、B1BCC1、D1DCC1为与球心距离为1的截面,截痕为小圆弧，由于截面圆半径为r=,故各段弧圆心角为．∴这条曲线长度为3••+3••=故答案为二、选择题（4&#215；4=16）11．下列命题中，错误的是（)A．过平面α外一点可以作无数条直线与平面α平行B．与同一个平面所成的角相等的两条直线必平行C．若直线l垂直平面α内的两条相交直线,则直线l必垂直平面αD．垂直于同一个平面的两条直线平行【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】应用直线与平面平行的判定定理可判断A；由直线与平面所成的角的概念可判断B；由直线与平面垂直的判定定理可判断C；由直线与平面垂直的性质定理，可判断D．【解答】解：A．由直线与平面平行的判定定理可知A正确，且它们在同一个平面内；B．与同一个平面所成的角相等的两条直线可能平行、相交或异面，故B错；C．由直线与平面垂直的判定定理，可知C正确;D．由直线与平面垂直的性质定理，可知D正确．故选B．12．下列命题中，错误的是（)A．圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形B．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个C．圆锥的轴截面是所有过顶点的界面中面积最大的一个D．当球心到平面的距离小于球面半径时，球面与平面的交线总是一个圆【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】根据旋转体的结构特征进行分析判断．【解答】解：对于A，圆锥的轴截面都是以母线为腰，以底面直径为底边的等腰三角形，故A正确；对于B，圆柱过母线的截面为矩形，一边为圆柱的高，另一边为圆柱底面圆的弦,∴当另一半为底面直径时截面最大,故B正确；对于C，设圆锥任意两条母线的夹角为θ,则过此两母线的截面三角形面积为l2sinθ，∴当圆锥轴截面的顶角为钝角,则当θ=时,过顶点的截面中面积最大，故C错误；对于D，球心到平面的距离小于球面半径时，球被平面分成两部分,截面为圆，故D正确．故选C．13．已知复数z1，z2满足｜z1﹣｜=｜1﹣z1z2|｜，则有（) A．｜z1｜＜0且|z2｜＜1 B．|z1｜＜1或|z2|＜1 C．｜z1|=1且｜z2｜=1 D．|z1|=1或|z2｜=1【考点】A4:复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用，结合，化简出，通过分解因式推出z1,z2中至少又一个值为1可得答案．【解答】解：由|z1﹣｜=|1﹣z1z2|，得，即=，∴=，∴=．∴，即．得或．∴|z1｜=1或｜z2|=1．故选：D．14．如图，正四面体ABCD的顶点A，B,C分别在两两垂直的三条射线Ox,Oy，Oz上，则在下列命题中，错误的为（)A．O﹣ABC是正三棱锥B．直线OB∥平面ACDC．直线AD与OB所成的角是45°D．二面角D﹣OB﹣A为45°【考点】MB：空间点、线、面的位置．【分析】结合图形,逐一分析答案，运用排除、举反例直接计算等手段，找出正确答案．【解答】解：对于A，如图ABCD为正四面体，∴△ABC为等边三角形，又∵OA、OB、OC两两垂直，∴OA⊥面OBC，∴OA⊥BC．过O作底面ABC的垂线，垂足为N，连接AN交BC于M，由三垂线定理可知BC⊥AM,∴M为BC中点，同理可证，连接CN交AB于P,则P为AB中点,∴N为底面△ABC中心，∴O﹣ABC是正三棱锥,故A正确．对于B，将正四面体ABCD放入正方体中，如图所示,显然OB与平面ACD不平行．则答案B不正确．对于C，AD和OB成的角,即为AD和AE成的角,即∠DAE=45°，故C正确．对于D，二面角D﹣OB﹣A即平面FDBO与下底面AEBO成的角,故∠FOA为二面角D﹣OB﹣A的平面角，显然∠FOA=45°，故D正确．综上，故选：B．三、解答题(8+10+12+14）15．已知复数z1满足（1+i）z1=﹣1+5i，z2=a﹣2﹣i,其中i为虚数单位，a∈R,若＜｜z1｜，求a的取值范围．【考点】A2:复数的基本概念；A5：复数代数形式的乘除运算；A8：复数求模．【分析】先求复数Z1,然后代入＜|z1｜，解二次不等式即可求出a的范围．【解答】解：由题意得z1==2+3i,于是=|4﹣a+2i｜=，|z1｜=.＜，得a2﹣8a+7＜0，1＜a＜7．16．如图,四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=1,BC=2，E为PD的中点．（1）求直线CE与平面ABCD所成角的大小；（2）求二面角E﹣AC﹣D的大小，（结果用反三角函数值表示）【考点】MT：二面角的平面角及求法；MI：直线与平面所成的角．【分析】（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴,AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线CE与平面ABCD所成角的大小．(2）先求出平面AEC的法向量和平面ACD的法向量，利用向量法能求出二面角E﹣AC﹣D的大小．【解答】解:（1)以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，则C（1,2，0），D(0，2，0），P(0，0，1），E（0，1，）,=（﹣1，﹣1，），平面ABCD的法向量=(0，0,1），设直线CE与平面ABCD所成角为θ，则sinθ===，．∴直线CE与平面ABCD所成角的大小为arcsin．（2）=(0，1，），=（1，2,0)，设平面AEC的法向量=（x，y,z）,则，取y=1，得=（﹣2，1，﹣2）,平面ACD的法向量=（0,0，1），设二面角E﹣AC﹣D的大小为θ，则cosθ=｜|==．θ=arccos．∴二面角E﹣AC﹣D的大小为．17．如图,在正三棱锥A﹣BCD中，AB=，点A到底面BCD的距离为1，E为棱BC的中点．(1）求异面直线AE与CD所成角的大小；（结果用反三角函数值表示)（2）求正三棱锥A﹣BCD的表面积．【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；LM:异面直线及其所成的角．【分析】(1)作出棱锥的高，利用勾股定理和等边三角形的性质计算底面边长，再计算斜高，利用余弦定理求出要求角的余弦值；(2）直接代入面积公式计算即可．【解答】解：(1）作AO⊥平面BCD，垂足为O，则O为等边三角形△ABC的中心，AO=1，连结OB,则OB==2,设△ABC的边长为a，则OB===2，∴a=2．连结OE，则OE==1，取BD的中点F，连结EF，AF．则EF∥CD，EF=a=，∴∠AEF是异面直线AE与CD所成角,∵AE=AF==，∴cos∠AEF==，∴异面直线AE与CD所成角为arccos．（2）三棱锥的表面积S=+=3+3．18．已知z是实系数方程x2+2bx+c=0的虚根,记它在直角坐标平面上的对应点为P z，(1）若(b，c）在直线2x+y=0上,求证：P z在圆C1:（x﹣1）2+y2=1上;（2）给定圆C:（x﹣m）2+y2=r2(m、r∈R，r＞0）,则存在唯一的线段s满足：①若P z在圆C上，则（b，c）在线段s上；②若（b，c）是线段s上一点(非端点)，则P z在圆C上、写出线段s的表达式，并说明理由；（3)由（2）知线段s与圆C之间确定了一种对应关系，通过这种对应关系的研究，填写表(表中s1是（1）中圆C1的对应线段)．线段s与线段s1的关系m、r的取值或表达式s所在直线平行于s1所在直线s所在直线平分线段s1【考点】A2：复数的基本概念；JE：直线和圆的方程的应用．【分析】（1）（b,c）在直线2x+y=0上，求出方程的虚根，代入圆的方程成立，就证明P z在圆C1:(x﹣1）2+y2=1上;（2）①求出虚根，虚根在定圆C:(x﹣m）2+y2=r2（m、r∈R,r＞0）,推出c=﹣2mb+r2﹣m2，则存在唯一的线段s满足（b，c）在线段s上；②(b,c)是线段s上一点（非端点）,实系数方程为x2+2bx﹣2mb+r2﹣m2=0，b∈（﹣m﹣r，﹣m+r）此时△＜0，求出方程的根P z，可推出P z在圆C上．(3）由（2)知线段s与圆C之间确定了一种对应关系，直接填写表．【解答】解：(1）由题意可得2b+c=0,解方程x2+2bx﹣2b=0，得∴点或，将点P z代入圆C1的方程，等号成立,∴P z在圆C1：（x﹣1）2+y2=1上(2）当△＜0，即b2＜c时，解得,∴点或，由题意可得（﹣b﹣m）2+c﹣b2=r2，整理后得c=﹣2mb+r2﹣m2,∵△=4(b2﹣c）＜0，（b+m）2+c﹣b2=r2,∴b∈（﹣m﹣r，﹣m+r）∴线段s为：c=﹣2mb+r2﹣m2,b∈［﹣m﹣r，﹣m+r]若(b，c）是线段s上一点（非端点），则实系数方程为x2+2bx﹣2mb+r2﹣m2=0,b∈(﹣m﹣r，﹣m+r）此时△＜0，且点在圆C上(3）表线段s与线段s1的关系m、r的取值或表达式s所在直线平行于s1所在直线m=1，r≠1s所在直线平分线段s1r2﹣（m﹣1）2=1，m≠1线段s与线段s1长度相等（1+4m2）r2=52017年6月18日。

江苏省涟水中学2016—2017学年度第二学期高二年级第二次检测数学试卷(理科）考试时间120分钟，满分160分一、填空题（14×5分=70分)1.已知复数121212,1()z i z ai i z z =+=+⋅是虚数单位，若为纯虚数,则实数a =___2。

若向量60||6||4,(2)(-3)a b a b a b a b ==+⋅=与夹角为，，则_____ 3。

矩阵123,12A A -⎡⎤==⎢⎥⎣⎦则_______4.设X 是一个离散型随机变量,其分布列为：21010.512XP q q --，则q =_______5。

在极坐标系中，点,A B 的坐标分别为2(5,),(8,)33ππ,则线段AB 的长度为_______ 6。

已知(2,1,3),(1,2,1),(),a b a a b λλ=-=-⊥-=若则________7.用数学归纳法证明命题：“2021n n n n >+≥对任意恒成立”时，起始值0n 为_______ 8.已知双曲线22221(0)x y a a a -=>的右焦点与抛物线24y x =的焦点重合，则a =______ 9。

设二项式53(x x 的展开式中常数项为A ，则A=_______ 10.正方体1111ABCD A BC D -中，直线1AC 与平面ABCD 所成角的正弦值为______11。

已知10件商品中有3件假货，从中抽取3件检查，至多一件假货的抽取方法有____种。

（填具体数字，填表达式不得分）12。

设(5n x x 的展开式中的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若M —N=240，则展开式中含x 的项的系数为__________________（填具体数字，填表达式不得分）13.平面内有n 条直线，最多可以将平面分成()()f n f n =个区域，则_______14。

共有7个不同的小球，放入4个不同的盒子中,要求所有盒子都不空,共有________种不同的放法. （填具体数字，填表达式不得分）二、解答题：（第15、16、18题每题14分，第17、19、20题16分)15.(1）已知矩阵21aMc⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的属于特征值3的一个特征向量为11α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,求矩阵M；（2）在极坐标系中，求直线sin()14πρθ⋅+=被圆4ρ=截得的弦长。