考研数学复习 每日一题(2月14日)

考研数学二（填空题）模拟试卷14(题后含答案及解析) 题型有：1.1．若A=，则｜A｜=________．正确答案：0解析：利用公式“r(AB)≤r(B)及A≠0，则r(A)≥1”，易见本题中r(A)=1，所以｜A｜=0．或作矩阵乘法，由A中两行元素成比例而知｜A｜=0．知识模块：行列式2．=__________。

正确答案：解析：知识模块：一元函数积分学3．设K，L，δ为正的常数，则=________．正确答案：KδL1－δ解析：属1∞型极限．原式=，而因此，原式= 知识模块：极限、连续与求极限的方法4．齐次方程组有非零解，则λ=________。

正确答案：一3或一1解析：系数矩阵的行列式｜A｜==一(λ+3)(λ+1)，所以当λ=一3或一1时，方程组有非零解。

知识模块：线性方程组5．已知y〞＋(χ＋e2y)y′3＝0，若把χ看成因变量，y看成自变量，则方程化为_______，并求此方程通解为_______．正确答案：原方程化为χ〞y－χ＝e2y，通解为：χ＝C1ey＋C2e－y＋e2y 涉及知识点：常微分方程6．设n(n≥3)阶方阵A＝的秩为n－1，则a＝________．正确答案：解析：r(A)＝n－1，｜A｜＝[1＋(n－1)a](1－a)n-1＝0，或a＝1，而当a＝1时有r(A)＝1≠n－1，故必有a＝知识模块：矩阵7．若函数在处取得极值，则a=__________．正确答案：2解析：f’(x)=acosx+cos3x，因为极值点，则a=2．这时f”(x)=-2sinx-3sin3x，故为极大值点．知识模块：一元函数微分学8．曲线在点(0，0)处的切线方程为_________.正确答案：y=一2x解析：方程两边对x求导，可得即(0，0)点切线的斜率为一2．因此点(0，0)处的切线方程为y一0=(一2).(x一0)，即y=一2x。

知识模块：一元函数微分学9．设A为n阶方阵，任何n维列向量都是方程组的解向量，则R(A)=________。

考研数学每日真题及答案考研数学每日真题及答案考研数学是考研考生必须面对的一项重要科目，也是考生们普遍感到较为困难的一门科目。

为了更好地备考数学，考生们需要不断地进行练习和复习，掌握各种解题方法和技巧。

每日真题练习是一种非常有效的方法，可以帮助考生们熟悉考试题型和提高解题能力。

本文将介绍一些考研数学每日真题及答案，希望对考生们的备考有所帮助。

一、线性代数1. 已知矩阵A为3×3矩阵，满足A^2-3A+2E=0，其中E为3×3单位矩阵。

求矩阵A的特征值和特征向量。

解析：由已知条件可得(A-2E)(A-E)=0，所以矩阵A的特征值为2和1。

接下来求解A-2E和A-E的特征向量即可。

2. 设向量组α1=(1,2,3)，α2=(2,3,4)，α3=(3,4,5)，求向量组α1,α2,α3的秩和一个极大线性无关组。

解析：将向量组α1,α2,α3写成矩阵形式，进行行变换，化简为阶梯形矩阵，然后根据阶梯形矩阵的性质，确定秩和极大线性无关组。

二、概率论与数理统计1. 设X1,X2,...,Xn为来自总体X的一个样本，其中X的概率密度函数为f(x)，求样本X1,X2,...,Xn的联合概率密度函数。

解析：样本X1,X2,...,Xn的联合概率密度函数为f(x1)f(x2)...f(xn)，其中f(x1),f(x2),...,f(xn)分别是X1,X2,...,Xn的概率密度函数。

2. 设X1,X2,...,Xn为来自总体X的一个样本，其中X服从参数为θ的指数分布，求参数θ的最大似然估计。

解析：根据样本的概率密度函数，构造似然函数L(θ)，然后对似然函数求导，令导数为0，解方程求解参数θ的值。

三、数学分析1. 设函数f(x)在区间[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f'(x)>0，证明函数f(x)在区间[a,b]上单调递增。

解析：根据导数的定义和单调性的定义，可以证明函数f(x)在区间[a,b]上单调递增。

数学二(研究生)1、设函数y-f(x)连续，除x=a外f''(x)均存在。

一一阶导函数y'=f(x)的图形如下，则y=f(x)——[单选题]A 有两个极大值点，一个极小值点，一个拐点B 有一个极大值点，一个极小值点，两个拐点C 有一个极大值点，一个极小值点，一个拐点D 有一个极大值点，两个极小值点，两个拐点正确答案：D2、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：D3、下列向量组中a、b、c、d、e、f均是常数，则线性无关的向量组是：——[单选题]A AB BC CD D正确答案：C4、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：D5、——[单选题]A 不存在B 仅含一个非零解向量C 含有两个线性无关的解向量D 含有三个线性无关的解向量正确答案：B6、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：B7、已知，P为三阶非零矩阵，且，则——[单选题]A AB BC CD D正确答案：C8、下列矩阵中能相似于对角矩阵的是：——[单选题]A AB BC CD D正确答案：C9、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：D10、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：A11、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：B12、关于n级排列，以下结论不正确的是（）.——[单选题]A 逆序数是一个非负整数B 一个对换改变其奇偶性C 逆序数最大为nD 可经若干次对换变为12…n正确答案：C13、——[单选题]A AB BC CD D14、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：A15、关于排列n(n1)…2 1的奇偶性，以下结论正确的是（）.——[单选题]A 当n为偶数时是偶排列B 当n为奇数时是奇排列C 当n=4m或n=4m+2时是偶排列D 当n=4m或n=4m+1时是偶排列，当n=4m+2或n=4m+3时奇排列正确答案：D16、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：C17、已知4阶行列式中第1行元素依次是-4，0，1，3，第3行元素的余子式依次为-2，5，1，x，则x=( ).——[单选题]A 0B -3C 3D 2正确答案：C18、若，则D中第1行元素的代数余子式的和为( ).——[单选题]A -1B -2C -3D 019、设，则a21的代数余子式a21的值为( ).——[单选题]A 1B -1C 2D -2正确答案：A20、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：C21、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：A22、下列行列式的值为n的是( ).——[单选题]A AB BC CD D正确答案：C23、——[单选题]A AB BC C正确答案：C24、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：D25、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：C26、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：C27、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：B28、——[单选题] A AC CD D正确答案：D29、下列等式中，正确的是（）.——[单选题]A AB BC CD D正确答案：D30、下列等式中，正确的是（）.——[单选题]A AB BC CD D正确答案：D31、设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有( ).——[单选题]A AB BC CD D正确答案：D32、——[单选题]A AB BC C正确答案：D33、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：A34、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：B35、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：B36、设A是一个n阶矩阵，那么是对称矩阵的是（）.——[单选题]A AB BC CD D正确答案：A37、设A是3阶可逆矩阵,交换A的1,2行得B,则——[单选题]A AB BC CD D正确答案：D38、设A、B均为n阶方阵，则下列式子中错误的是（）.——[单选题]A AB BC CD D正确答案：D39、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：B40、设A、B、C是同阶可逆方阵，下面各等式中正确的是（）.——[单选题]A AB BC CD D正确答案：B41、设A为n阶可逆矩阵，则下面各式恒正确的是（）. ——[单选题]A AB BC CD D正确答案：D42、——[单选题]A 1B 2C 3D 4正确答案：C43、设A，B为n阶可逆矩阵,下面各式恒正确的是( ).——[单选题]A AB BC CD D正确答案：B44、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：C45、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：C46、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：B47、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：A48、设A，B均为n 阶方阵，下面结论正确的是( ).——[单选题]A AB BC CD D正确答案：B49、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：A50、对任一矩阵A，则一定是（）.——[单选题]A 可逆矩阵B 不可逆矩阵C 对称矩阵D 反对称矩阵正确答案：C51、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：C52、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：A53、初等矩阵（）——[单选题]A 都可以经过初等变换化为单位矩阵B 所对应的行列式的值都等于1C 相乘仍为初等矩阵D 相加仍为初等矩阵正确答案：A54、——[单选题]A AB BC CD D55、设A是3阶方阵，将A的第1列与第2列交换得B,再把B的第2列加到第3列得C, 则满足AQ=C的可逆矩阵Q为——[单选题]A AB BC CD D正确答案：D56、设为3阶矩阵，将的第2列加到第1列得矩阵，再交换的第2行与第3行得单位矩阵，记，，则A=（）——[单选题]A AB BC CD D正确答案：D57、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：B58、——[单选题]A AB BC CD D59、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：A60、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：C61、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：C62、设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的-1倍加到第2列得C，记，则（ ?）——[单选题]A AB BC CD D正确答案：B63、设A是3阶方阵，将A的第1列与第2列交换得B,再把B的第2列加到第3列得C, 则满足AQ=C的可逆矩阵Q为——[单选题]A AB BC CD D正确答案：D64、设A是3阶方阵，将A的第1列与第2列交换得B，再把B的第2列加到第3列得C，则满足的可逆矩阵Q为（ ?）.——[单选题]A AB BC CD D正确答案：D65、设A，B为n阶矩阵，考虑以下命题：①若A，B为等价矩阵，则A，B的行向量组等价②若行列式.，则A，B为等价矩阵③若与都只有零解，则A，B为等价矩阵④若A，B为相似矩阵，则与的解空间的维数相同以上命题中正确的是（）.——[单选题]A ①③B ②④C ②③D ③④正确答案：D66、设A，B为同阶可逆方阵，则（ ?）.——[单选题]A AB BC CD D正确答案：D67、设矩阵A与B等价，则必有（）——[单选题]A A的行向量与B的行向量等价B A的行向量与B的行向量等价C Ax=0与Bx=0同解D Ax=0与Bx=0的基础解系中向量个数相同正确答案：D68、设，则A与B（）.——[单选题]A 合同且相似B 合同但不相似C 不合同但相似D 不合同且不相似正确答案：A69、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：B70、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：B71、设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，.则（）.——[单选题]A A与B相似B A与B不等价C A与B有相同的特征值D A与B合同正确答案：D72、n阶方阵A,B,C满足ABC=E，其中E为单位矩阵，则必有（）.——[单选题]A ACB=EB CBA=EC BAC=ED BCA=E正确答案：D73、设，B是三阶非零矩阵，且，则（）.——[单选题]A AB BC CD D正确答案：B74、设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，且AB=E,其中E为m阶单位矩阵，则（）A.r(A)=r(B)=mB.r(A)=m r(B)=nC.r(A)=n r——[单选题]A =mB rC =rD =n正确答案：A75、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：A76、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：D77、设矩阵A,B,C均为n阶矩阵，若AB=C，且B可逆，则（）——[单选题]A 矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价B 矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价C 矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价D 矩阵C的行向量组与矩阵B的列向量组等价正确答案：B78、设A,B为满足AB=0的任意两个非零矩阵，则必有——[单选题]A A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关B A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关C A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关D A的行向量组线性相关，B的列向量组线性相关正确答案：A79、设向量组Ⅰ可由向量组Ⅱ:线性表示,下列命题正确的是( )——[单选题]A 若向量组Ⅰ线性无关,则r≤sB 若向量组Ⅰ线性相关,则r大于sC 若向量组Ⅱ线性无关,则r≤sD 若向量组Ⅱ线性相关,则r小于s正确答案：A80、设A,B为满足AB=0的任意两个非零矩阵,则必有( )——[单选题]A A的列向量组线性相关,B的行向量组线性相关B A的列向量组线性相关,B的列向量组线性相关C A的行向量组线性相关,B的行向量组线性相关D A的行向量组线性相关,B的列向量组线性相关正确答案：A81、设其中为任意常数，则下列向量组线性相关的是（）——[单选题]A a1，a2，a3B a1，a2，a4C a1，a3，a4D a2，a3，a4正确答案：C82、设a1，a2，a3均为3维向量，则对任意常数k,l，向量组线性无关是向量组a1，a2，a3线性无关的（）——[单选题]A 必要非充分条件B 充分非必要条件C 充分必要条件D 既非充分也非必要条件正确答案：A83、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：C84、设a1,a2,3向量组线性无关，则下列向量组线性相关的是（）——[单选题]A AB BC CD D正确答案：A85、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：A86、设 A 为n阶方阵，且|A| =0，则必有——[单选题]A A 中某一行元素全为 0B A 的第n行是其余，n - 1 行的线性组合C A 中有两列对应元素成比例D A 中某一列是其余 n - 1 列的线性组合正确答案：D87、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：D88、设 A 、 B 为n阶方阵，AB＝0 ，则——[单选题]A AB BC CD D正确答案：C89、——[单选题]A 不存在B 仅含一个非零解向量C 含有两个线性无关的解向量D 含有三个线性无关的解向量正确答案：B90、设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0, 其中A,B均为矩阵，现有4个命题：① 若Ax=0的解均是Bx=0的解，则秩(A)秩(B)；② 若秩(A)秩(B)，则Ax=0的解均是Bx=0的解；③ 若Ax=0与Bx=0同解，则秩(A)=秩(B)；④ 若秩(A)=秩(B)，则Ax=0与Bx=0同解，以上命题中正确的是——[单选题]A ① ②B ① ③C ② ④D ③ ④正确答案：B91、已知线性方程组，则k等于——[单选题]A 1B -1C 2D -2正确答案：D92、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：C93、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：D94、设A是4×3矩阵,r(A)=3,则下列4个断言中不正确为( ).——[单选题]A AB BC CD D正确答案：D95、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：C96、——[单选题]A 不可能有唯一解B 必有无穷多解C 无解D 可能有唯一解，也可能有无穷多解正确答案：A97、设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0, 其中A,B均为矩阵，现有4个命题：① 若Ax=0的解均是Bx=0的解，则秩(A) 秩(B)；② 若秩(A) 秩(B)，则Ax=0的解均是Bx=0的解；③ 若Ax=0与Bx=0同解，则秩(A)=秩(B)；④ 若秩(A)=秩(B)，则Ax=0与Bx=0同解——[单选题]A ① ②B ① ③C ② ④D ③ ④正确答案：B98、设有三张不同平面的方程 , ,它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为２,则这三张平面可能的位置关系为——[单选题]A AB BC CD D正确答案：B99、设 2 是方阵 A 的特征值，则必有特征值——[单选题]A 0B 1C -1D 以上都不对正确答案：C100、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：B101、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：C102、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：B103、设A,B是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是——[单选题]A AB BC CD D正确答案：C104、已知矩阵，则（）．——[单选题]A A与C相似，B与C相似B A与C相似，B与不C相似C A与C不相似，B与C相似D A与C不相似，B与C不相似正确答案：B105、矩阵与相似的充分必要条件为（）——[单选题]A a=0，b=2B a=0，b为任意常数C a=2，b=0D a=2，b为任意常数正确答案：B106、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：D107、设，则在实数域上与A合同的矩阵为（）——[单选题]A AB BC CD D正确答案：D108、，则( )中矩阵在实数域上与A合同.——[单选题]A AB BC CD D正确答案：D109、设n阶矩阵A与B等价, 则必须——[单选题]A AB BC CD D正确答案：D110、设A和B都是可逆n阶实对称矩阵，下列命题中不正确的是( ).A.如果Α和B相似,则A^-1和B^-1相似B.如果Α和B合同,则和合同——[单选题]A 如果Α和B相似,则f(Α)和fB 相似C 如果Α和B合同,则f(Α)和fD 合同正确答案：D111、设矩阵，，则A与B（）——[单选题]A 合同，且相似B 合同，但不相似C 不合同，但相似D 既不合同也不相似正确答案：B112、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：A113、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：D114、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：C115、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：C116、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：A117、——[单选题]A 30B 15C 3D 1正确答案：B118、下列函数中，是初等函数的是( )——[单选题]A AB BC CD D正确答案：D119、下列函数中，不是基本初等函数的是( )——[单选题]A AB BC CD D正确答案：B120、——[单选题]A 偶函数B 无界函数C 周期函数D 单调函数正确答案：B121、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：B122、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：A123、——[单选题]A 是周期函数，且周期为πB 是周期函数，且周期为2πC 是周期函数，且周期为3πD 不是周期函数正确答案：B124、下列函数的图像为关于原点对称的是( )——[单选题]A AB BC CD D正确答案：A125、下列选项中收敛的数列是( )——[单选题]A AB BC CD D正确答案：D126、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：A127、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：D128、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：C129、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：D130、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：D131、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：B132、——[单选题]A 无穷小量B 无穷大量C 有界量，但非无穷小量D 无界，但非无穷大量正确答案：D133、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：B134、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：C135、下列说法正确的是( )——[单选题]A 无限个无穷小之和为无穷小B 无限个无穷小之积未必是无穷小C 无穷小与无界量的乘积必为无穷小D 无界量必为无穷大正确答案：B136、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：A137、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：D138、下列变量在给定的变化过程中是无穷小量的是( )——[单选题]A AB BC CD D正确答案：B139、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：B140、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：D141、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：B142、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：D143、——[单选题]A 都收敛于aB 都收敛，但不一定收敛于aC 可能收敛，也可能发散D 都发散正确答案：A144、——[单选题]A 充分必要条件B 充分非必要条件C 必要非充分条件D 即非充分地非必要条件正确答案：B145、下列命题中不正确的是( )．——[单选题]A AB BC CD D正确答案：D146、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：B147、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：C148、——[单选题]B BC CD D正确答案：B149、——[单选题]A 1B 2C 3D 4正确答案：B150、——[单选题]A 高阶B 同阶不等价C 等价D 低阶正确答案：D151、当时，若均是比x高阶的无穷小，则α的取值范围是（）——[单选题]A AB BC CD D正确答案：B152、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：A153、——[单选题]B BC CD D正确答案：C154、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：D155、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：D156、函数的可去间断点个数为（）——[单选题]A 1B 2C 3D 无穷多个正确答案：C157、函数的可去间断点的个数为（）.——[单选题]A 1B 2C 3D 无穷多个正确答案：C158、——[单选题]A 两个第一类间断点B 三个第一类间断点C 两个第一类间断点和一个第二类间断点D 一个第一类间断点和—个第二类间断点正确答案：C159、——[单选题]A 连续B 有可去间断点C 有跳跃间断点D 有无穷间断点正确答案：B160、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：D161、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：C162、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：D163、——[单选题]B BC CD D正确答案：C164、函数不可导点的个数是( ).——[单选题]A 3B 2C 1D 0正确答案：B165、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：A166、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：A167、——[单选题]A 极限不存在B 极限存在,但不连续C 连续,但不可导D 可导正确答案：D168、——[单选题]B BC CD D正确答案：A169、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：D170、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：A171、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：B172、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：B——[单选题]A AB BC CD D正确答案：B174、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：C175、——[单选题]A 2B 1C -1D -2正确答案：A176、——[单选题]A -1B 0.1C 1D 0.5正确答案：D177、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：C——[单选题]A AB BC CD D正确答案：B179、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：D180、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：D181、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：D182、——[单选题]A AB BC CD D183、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：D184、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：C185、——[单选题]A 0B 1C 2D 3正确答案：C186、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：D187、——[单选题]A 不存在B 0C -1D -2188、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：A189、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：D190、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：B191、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：C192、——[单选题]A AB BD D正确答案：B193、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：D194、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：C195、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：B196、设函数，则的零点个数为（）——[单选题]A 0B 1C 2D 3正确答案：D197、——[单选题]A AC CD D正确答案：D198、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：B199、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：B200、设函数f(x)在内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有——[单选题]A 一个极小值点和两个极大值点B 两个极小值点和一个极大值点C 两个极小值点和两个极大值点D 三个极小值点和一个极大值点正确答案：C201、设三次函数 , 若两个极值点及其对应的两个极值均为相反数, 则这个函数的图形是——[单选题]A 关于y轴对称B 关于原点对称C 关于直线y=x轴对称D 以上均错正确答案：B202、已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且，则——[单选题]A 点(0,0)不是f(x,y)的极值B 点(0,0)是f(x,y)的极大值点C 点(0,0)是f(x,y)的极小值点D 根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点正确答案：A203、曲线渐近线的条数为（）——[单选题]A 0B 1C 2D 3正确答案：D204、下列曲线有渐近线的是（）——[单选题]A AB BC CD D正确答案：C205、曲线的渐近线的条数为（）——[单选题]A 0B 1C 2D 3正确答案：C206、曲线的渐近线有（）——[单选题]A 一条B 二条C 三条D 四条正确答案：B207、——[单选题]B 1C 2D 3正确答案：C208、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：B209、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：C210、设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，表示“M的充分必要条件是N”，则必有——[单选题]A AF(x)是偶函数f(x)是奇函数B BF(x)是奇函数f(x)是偶函数C CF(x)是周期函数f(x)是周期函数D DF(x)是单调函数f(x)是单调函数正确答案：A211、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：D——[单选题]A AB BC CD D正确答案：B213、——[单选题]A 连续的奇函数B 连续的偶函数C 在x=0间断的奇函数D 在x=0间断的偶函数正确答案：B214、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：D215、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：D216、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：C217、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：D218、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：C219、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：D220、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：B221、——[单选题]A AB BD D正确答案：A222、设有三元方程，根据隐函数存在定理，存在点(0,1,1)的一个邻域，在此邻域内该方程——[单选题]A 只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z=z(x,y)B 可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和z=z(x,y)C 可确定两个具有连续偏导数的隐函数y=y(x,z)和z=z(x,y)D 可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和y=y(x,z)正确答案：D223、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：D224、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：D225、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：A226、——[单选题]B BC CD D正确答案：A227、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：A228、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：C229、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：D230、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：C。

2023年全国硕士研究生招生考试考研《数学二》真题及详解一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。

1．曲线1ln 1y x e x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭的渐近线方程为（ ）。

A ．y ＝x ＋e B ．y ＝x ＋1/e C ．y ＝xD ．y ＝x －1/e 【正确答案】B【参考解析】由已知1ln 1y x e x ⎛⎫=+⎪-⎝⎭，则可得： 1ln 11lim lim lim ln 11x x x x e y x k e x x x →∞→∞→∞⎛⎫+ ⎪-⎛⎫⎝⎭===+= ⎪-⎝⎭ ()()()11lim lim ln lim ln 11111lim ln 1lim 11x x x x x b y kx x e x x e x x x x e x e x e →∞→∞→∞→∞→∞⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=+-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥--⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎡⎤=+==⎢⎥--⎣⎦所以斜渐近线方程为y ＝x ＋1/e 。

2．函数()()01cos ,0x f x x x x ≤=+>⎩的原函数为（ ）。

A ．())()ln ,01cos sin ,0x x F x x x x x ⎧≤⎪=⎨⎪+->⎩B ．())()ln 1,01cos sin ,0x x F x x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪+->⎩C ．())()ln ,01sin cos ,0x x F x x x x x ⎧≤⎪=⎨⎪++>⎩D ．())()ln 1,01sin cos ,0x x F x x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪++>⎩【正确答案】D【参考解析】当x ≤0时，可得：()(1d ln f x x x C ==++⎰当x ＞0时，可得：()()()()()2d 1cos d 1dsin 1sin sin d 1sin cos f x x x x xx xx x x xx x x C =+=+=+-=+++⎰⎰⎰⎰在x ＝0处，有：(110lim ln x x C C -→+=，()22lim 1sin cos 1x x x x C C +→+++=+由于原函数在（－∞，＋∞）内连续，所以C 1＝1＋C 2，令C 2＝C ，则C 1＝1＋C ，故())()ln 1,0d 1sin cos ,0x C x f x x x x x C x ⎧+++≤⎪=⎨⎪+++>⎩⎰令C ＝0，则f （x ）的一个原函数为())()ln 1,01sin cos ,0x x F x x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪++>⎩。

2014年考研数学(二)试题答案速查一、选择题（1）B （2）C （3）D （4）C （5）D （6）A （7）B （8）A 二、填空题（9）3π8 （10）1 （11）1(d d )2x y −+ （12）2ππ2y x =−+ （13）2011 （14）]2,2[−三、解答题 （15）21. （16）(1)1y =为极大值，(1)0y −=为极小值. （17）34−. （18）22111()e e 444u u y f u u −⎛⎫==−− ⎪⎝⎭.（19）略. （20）1. （21）5π2πln24−. （22）（Ⅰ）T(1,2,3,1)ξ=−.（Ⅱ）123123123123261123212134313k k k k k k k k k k k k −−−−⎛⎫⎪−+−++ ⎪=⎪−+−++⎪⎝⎭B ,123,,k k k 为任意常数.（23）略.2014年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）参考答案一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分．下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上． （1）【答案】B.【解答】由定义02lim )2(lim )21(ln lim 1000===+−→→→ααααx xx x x x x x ，所以10,1αα−>>.当+→0x 时，ααα1212~)cos 1(x x −是比x 的高阶无穷小，所以210,2αα−><.故选择B.（2）【答案】C.【解答】C 选项，11sinsinlimlim1lim 1,x x x x x x a x x→∞→∞→∞+==+= 11lim[sin ]limsin 0x x b x x x x→∞→∞=+−==，所以x x y 1sin +=存在斜渐近线y x =，故选择C.（3）【答案】D.【解答】令)()1()1)(0()()()(x f x f x f x f x g x F −+−=−=，则0)1()0(==F F ,)()(),()1()0()(x f x F x f f f x F ''−='''−+−='.若()0,f x ''则()0,()F x F x ''在]1,0[上是凸的，又0)1()0(==F F ，故当]1,0[∈x 上时，()0F x ，从而()()g x f x ，故选择D.（4）【答案】C.【解答】22111122d 24d 3,1d 2d 2t t t t y t y t x t x t ====−+====−, 10101,)91(1)1(23232==+='+''=KR y y K ,故选择C. (5)【答案】D. 【解答】因,11)()(2ξξ+='=f x x f 所以)()(2x f x f x −=ξ,313111limarctan arctan lim )()(limlim220202022=+−=−=−=→→→→x x x x xx x f x x f x x x x x x ξ,故选择D. （6）【答案】A.【解答】记C A B yuC y x u B x u A ,,0,,,22222≠∂∂=∂∂∂=∂∂=互为相反数，故20AC B −<. 由于闭区域上连续函数必有极值，所以),(y x u 在D 内无极值，则极值在边界上取得.故选择A. （7）【答案】B.【解答】00000000a b abc d cd=0000000000000000c d c d a b a b c d d c a b b a −=2()c d d cad bc a b b a=⋅=−−. 故选择B.（8）【答案】A.【解答】132312310()(,,)01k ,l k l ⎛⎫⎪++= ⎪ ⎪⎝⎭ααααααα，记1323()k ,l =++A αααα，123(,,)=B ααα，1001k l ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭C . 若123,,ααα线性无关，则()()()2r r r ===A BC C ，故1323k ,l ++αααα线性无关，所以13k +αα，23l +αα线性无关是向量组123,,ααα线性无关的必要条件；反之，未必成立，例如取3=α0，12,αα线性无关，虽然13k +αα，23l +αα线性无关，123,,ααα却线性相关，故选A.二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分．请将答案写在答题纸．．．指定位置上． (9)【答案】3π8. 【解答】1122111113πd d arctan 25(1)4228x x x x x x −∞−∞+===−∞++++⎰⎰. （10）【答案】1.【解答】由于]2,0[),1(2)(∈−='x x x f ，所以]2,0[,)1()(2∈+−=x C x x f ，又)(x f 为奇函数，故0)0(=f ，代入方程可得1−=C ,故]2,0[,1)1()(2∈−−=x x x f ，又)(x f 是周期为4的奇函数，则1)1()1()81()7(=−=−=+−=f f f f . （11）【答案】1(d d )2x y −+. 【解答】对方程两边同时对y x ,求偏导数得22e 210,e (22)20,yzyz z z y x x z z z y y y y ∂∂⎧⋅⋅++=⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪+++=∂∂⎪⎩当21==y x 时，0=z ，故21,21)21,21()21,21(−=∂∂−=∂∂yz x z ,故11(,)221d (d d )2zx y =−+.（12）【答案】2ππ2y x =−+. 【解答】由直角坐标和极坐标的关系cos cos ,sin sin ,x r y r θθθθθθ==⎧⎨==⎩于是ππ(,)(,)22r θ=对应于π(,)(0,)2x y =，切线斜率d d cos sin d d d cos sin d yy x x θθθθθθθθ+==−, 所以π(0,)2d 2d πy x=−，从而切线方程为2ππ2y x =−+. （13）【答案】2011. 【解答】质心坐标为1010()d ()d x x x x x xρρ=⎰⎰,而11205()d (21)d 3x x x x x ρ=−++=⎰⎰,1120011()d (21)d 12x x x x x x x ρ=−++=⎰⎰,所以2011351211==x . （14）【答案】]2,2[−.【解答】3231222132142),,(x x x ax x x x x x f ++−==232232231)4()2()(x a x x ax x −+−−+,由于二次型的负惯性指数为1，故240a −，故22a −.三、解答题：15～23小题,共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸．．．指定位置上． （15）（本题满分10分）解：11221122(e 1)d (e 1)d limlim 11ln(1)xx t tx x t t t t t t x x x x→+∞→+∞⎡⎤⎡⎤−−−−⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=+⋅⎰⎰12201e 1lim [(e 1)]limt xx t t t x x x t +→+∞→=−−=−−00e 11lim lim 222t t t t t t ++→→−===.（16）（本题满分10分）解：由y y y x '−='+122得，221)1(x y y −='+ ① 此时方程为可分离变量，通解为C x x y y +−=+333131,由0)2(=y 得32=C ； 由①可得2211)(y x x y +−='，当0)(='x y 时，1±=x ，且有 0)(,1;0)(,11;0)(,1<'>>'<<−<'−<x y x x y x x y x ，所以)(x y 在1−=x 处取得极小值，在1=x 取得极大值，且1)1(,0)1(==−y y ， 故)(x y 的极限值为0，极大值为1. （17）（本题满分10分）解：如图因为D 关于x y =对称，由轮换对称性质，则22sin(π)d d Dx x y x y x y ++⎰⎰22sin(π)d d D y x y x y x y +=+⎰⎰ 所以,22sin(π)d d Dx x y I x y x y +=+⎰⎰22()sin(π)1d d 2D x y x y x y x y++=+⎰⎰ yxO12221x y +=224x y +=221sin(π)d d 2D x y x y =+⎰⎰π220113d sin πd 24r r r θ=⋅=−⎰⎰.（18）（本题满分10分） 解：由(e cos )x z f y =可得(e cos )e cos ,(e cos )(e sin )x x x x z zf y y f y y x y∂∂''=⋅=⋅−∂∂， 22(e cos )e cos e cos (e cos )e cos x x x x xz f y y y f y y x ∂'''=⋅⋅+⋅∂，22(e cos )(e sin )(e sin )(e cos )(e cos )x x x x xz f y y y f y y y ∂'''=⋅−⋅−+⋅−∂.由22222(4e cos )e x xz z z y x y∂∂+=+∂∂，并把以上式子代入得 22(e cos )e[4(e cos )e cos ]e xxx x x f y f y y ''⋅=+，即 (e cos )4(e cos )e cos x x xf y f y y ''−=，令 e cos xu y =得 ()4()f u f u u ''−= ① 特征方程为 042=−λ，特征根为2λ=±，通解2212e e uu y C C −=+.设方程①的特解b au y +=*，代入方程 得1,04a b =−=，特解为*4u y =−， 则原方程的通解为22121()ee 4uu y f u C C u −==+−，由0)0(,0)0(='=f f 得1211,1616C C ==−,则方程为22111()e e 444u u y f u u −⎛⎫==−− ⎪⎝⎭.（19）（本题满分10分） 证：（Ⅰ)由积分中值定理()d ()(),[,]xag t t g x a a x ξξ=−∈⎰，因为0()1g x ，故0()(),0()d ()xag x a x a g t t x a ξ−−−⎰；（Ⅱ)()d ()()()d ()d ua ua g t t aaF u f x g x x f x x +⎰=−⎰⎰令，()()()(()d )()u aF u f u g u f a g t t g u '=−+⋅⎰()[()(()d )]uag u f u f a g t t =−+⎰，由（Ⅰ)知0()d (),()d uuaag t t u a a a g t t u −+⎰⎰，由于)(x f 单调增加，则()(()d )0uaf u f ag t t −+⎰，所以()0,()F u F u '单调不减，则()()0F u F a =， 取b u =得()0F b ，即所证结论成立.（20）（本题满分11分）解：因为12(),()112x xf x f x x x==++,3()13x f x x =+,…,由数学归纳法可得()1n xf x nx =+,所以1100()d d 1n n x S f x x x nx==+⎰⎰， 111000d 1()d d 11ln(1)11n n nx x nS n f x x x n nx nx n===−=−+++⎰⎰⎰，从而可知lim 1n n nS →∞=.（21）（本题满分11分） 解：因为)1(2+=∂∂y yf，所以)(),(2),(2x x y y y x f ϕϕ其中++=为待定函数. 又因为2(,)(1)(2)ln f y y y y y =+−−，则()(2)ln y y y ϕ=−−，从而x x y x x y y y x f ln )2()1(ln )2(12),(22−−+=−−++=，所以0),(=y x f 对应的方程为2(1)(2)ln ,(12)y x x x +=−， 其所围图形绕直线1−=y 旋转所成旋转体的体积为222221111π(1)d π(2)ln d π2ln d πln d V y x x x x x x x x x =+=−=−⎰⎰⎰⎰π352π(2ln 21)(4ln 2)(2ln 2)π224=−−−=−.（22）（本题满分11分）解：(Ⅰ)对矩阵A 作初等行变换，可得123410010111010212030013−−⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=−→− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−⎝⎭⎝⎭A ，则方程组=Ax 0的一个基础解系为T)1,3,2,1(−=ξ. (Ⅱ)对矩阵()AE 作初等行变换，有12341001234100()0111010011101012030010431101−−−−⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=−→− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−−⎝⎭⎝⎭A E123410010012610111010010213100131410013141−−−⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→−→−−− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−−−−−⎝⎭⎝⎭. 记T3T 2T 1)1,0,0(,)0,1,0(,)0,0,1(===e e e ，则1e x A =的通解为T1111T1),31,21,2()0,1,1,2(k k k k ξk x +−+−−=−−+=， 2e x A =的通解为T2222T2),34,23,6()0,4,3,6(k k k k k x +−+−−=−−+=ξ， 3e x A =的通解为T3333T3),31,21,1()0,1,1,1(k k k k k x ++−−=−+=ξ，所以，123123123123261123212134313k k k k k k k k k k k k −−−−⎛⎫⎪−+−++ ⎪=⎪−+−++⎪⎝⎭B ，123,,k k k 为任意常数.（23）（本题满分11分）证：不妨设111111111⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭A ，00100200B n ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则， ()()111...111...111...111 (1)..................11...111...1n n n λλλλλλλλλ−−−−−−−−−−−−==−=−−−−−−E A ，特征值为1210,n n n λλλλ−=====，()10...10 (2).........00...n n n λλλλλλ−−−−==−−E B ，特征值为1210,n n n λλλλ−=====，因为矩阵A 为对称阵，所以必可以对角化，相似于矩阵00n ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭Λ； 对于矩阵B ，当0λ=时，(0)()1r r −==E B B ，所以矩阵B 对应于特征值0有1n −个线性无关的特征向量，所以矩阵B 可以对角化为00n ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭Λ，所以二者相似.。

考研数学复习计划考研数学复习计划（精选12篇）如果你也是考研数学非常迷茫的同学，不妨按照这个方案来规划你接下来的数学复习，来看看这安排怎么样吧！为了帮助大家更好的写作考研数学复习计划，作者整理分享了12篇考研数学复习计划。

考研数学复习计划篇一一、复习前的准备1.时间：年前-2月2.需要做的事1)了解掌握考试常识。

比如：了解试卷的题型、分值、考试大纲、历年考试难易程度等。

2)明确自己所学专业需要报考考数一、数二还是数三，并根据科目准备相应教材。

3)查看了解需要考的考研数学大纲(若本年没出，可先参考前年的大纲，没有重大改变大纲基本是可以纳入参考范围的)，并了解考研数学的考察内容和考察重点。

二、复习的基础阶段1.时间：3月-6月2.需要做的事1)学习目标：进行知识点全方位复习2)阶段重点：按照教材进行逐一梳理，每个章节每个知识点都要看到，并做一些课后习题3)复习建议：(1)按照章节顺序并且结合大纲梳理教材，不留死角和空白。

(2)对于重要的定理、公式，不能够仅停留在看明白读懂了的层面上，一定要自己亲自进行推导证明过程。

(3)每天学习新内容前要复习前面的内容，建议可以准备一个记题本，将复习过程中碰到的不懂的知识点记录下来跟做错的习题整理成错题集。

(4)注意顺序：一定要先看书后做题，此阶段不要做难题。

三、复习强化阶段1.时间：7月-8月2.需要做的事1)学习目标：熟悉考研题，分清重难点2)阶段重点：通过大量练习，归纳常见题型，总结解题思路和方法3)复习建议：(1)这一时期考生每天学习数学的时间尽量集中在一起，保证每日至少2个小时连续复习时间。

(2)可以买一本辅导书，先做练习题。

学会归纳题型与常考知识点，把重点、难点以及错题做成笔记，以便以后复习。

(3)遇上不懂或似懂非懂的题目要认真对待，切忌一看不会就直接看答案。

四、自我提升阶段1.时间：9月-10月2.需要做的事1)学习目标：通过整套真题练习，检查知识点的掌握程度，提高解题的准确度与速度2)阶段重点：研究近10年的真题3)复习建议：(1)新的考试大纲基本上会在这个时间段发布，对其要求的知识点做较后梳理，熟记各种公式、定理，对于新增的考点要及时的进行梳理。

2023年全国硕士研究生招生考试数学试题（数学二）一、选择题:1～10小题,每小题5分,共50分,下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的，请将所选选项前的字母填在答题卡指定位置．(1)1ln 1y x e x ⎛⎫=+⎪-⎝⎭的斜渐近线方程是()(A)y x e =+(B)1y x e =+(C)yx=(D)1y x e=-(2)函数0()(1)cos ,0x f x x x x≤=+>⎩的原函数为()(A))ln ,0()(1)cos sin ,0x x F x x x x x⎧-≤⎪=⎨⎪+->⎩(B))ln 1,0()(1)cos sin ,0x x F x x x x x⎧+≤⎪=⎨⎪+->⎩(C))ln ,0()(1)sin cos ,0x x F x x x x x⎧≤⎪=⎨⎪++>⎩(D))ln 1,0()(1)sin cos ,0x x F x x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪++>⎩(3)设数列{}n x ,{}n y 满足211111,sin ,2n n n n x y x x y y ++====,当n →∞时()(A)n x 是n y 的高阶无穷小(B)n y 是n x 的高阶无穷小(C)n x 是n y 的等价无穷小(D)n x 是n y 的同阶但非等价无穷小(4)已知微分方程0y ay by '''++=的解在(,)-∞+∞上有界，则,a b 的取值范围为()(A)0,0a b <>(B)0,0a b >>(C)0,0a b =>(D)0,0a b =<(5)设函数()y f x =由2sin x t ty t t⎧=+⎪⎨=⎪⎩确定，则()(A)()f x 连续，'(0)f 不存在(B)'(0)f 不存在，()f x 在0x =处不连续(C)'()f x 连续，(0)f "不存在(D)(0)f "存在，()f x "在0x =处不连续(6)若函数121()(ln )αα+∞+=⎰f dx x x 在0=αα处取得最小值，则0=α()(A)1ln(ln 2)-(B)ln(ln 2)-(C)1ln 2-(D)ln 2(7)设函数2()()xf x x a e =+，若()f x 没有极值点，但曲线()y f x =有拐点，则a 的取值范围是()(A)[)0,1(B)[)1,+∞(C)[)1,2(D)[)2,+∞(8)设,A B 为n 阶可逆矩阵，E 为n 阶单位矩阵，*M 为矩阵M 的伴随矩阵，则*A E OB ⎛⎫= ⎪⎝⎭()(A)*****0A B B A A B ⎛⎫-⎪⎝⎭(B)****0A B A B B A ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭(C)****0B A B A A B ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭(D)****0B A A B A B ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭(9)二次型222123121323(,,)()()4()f x x x x x x x x x =+++--的规范形为()(A)2212y y +(B)2212y y -(C)2221234y y y +-(D)222123y y y +-(10)已知向量12121221=2=1=5=03191ααββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，若γ既可由12αα，线性表示，也可由12ββ，线性表示，则γ=()(A)33,4k k R ⎛⎫⎪∈ ⎪⎪⎝⎭(B)35,10k k R ⎛⎫ ⎪∈ ⎪⎪⎝⎭(C)11,2k k R -⎛⎫ ⎪∈ ⎪⎪⎝⎭(D)15,8k k R ⎛⎫ ⎪∈ ⎪⎪⎝⎭二、填空题:11～16小题，每小题5分，共30分．(11)当0x →时，函数2()ln(1)=+++f x ax bx x 与2()cos x g x ex =-是等价无穷小，则ab =_______.(12)曲线y =⎰的弧长为________.(13)设函数(,)=z z x y 由2ze xz x y +=-确定，则22(1,1)zx ∂=∂________.(14)曲线35332=+x y y 在1x =对应点处的法线斜率为________.(15)设连续函数()f x 满足：(2)()f x f x x +-=，2()0f x dx =⎰，则31()f x dx =⎰________.(16)已知线性方程组13123123121202ax x x ax x x x ax ax bx +=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪+=⎩有解，其,a b 为常数，若0111412a a a=则，11120a a ab =________.三、解答题:17～22小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(17)(本题满分10分)设曲线L ：()()y x x e y =>经过点2(,0)e ，L 上任一点(,)P x y 到y 轴的距离等于该点处的切线在y 轴上的截距，(Ⅰ)求()y x .(Ⅱ)在L 上求一点，使该点的切线与两坐标轴所围三角形面积最小，并求此最小面积.(18)(本题满分12分)求函数2cos (,)2yx f x y xe=+的极值.(19)(本题满分12分)已知平面区域(,)01D x y y x ⎧⎫=≤≤≥⎨⎬⎩⎭，(Ⅰ)求D 的面积.(Ⅱ)求D 绕x 轴旋转所成旋转体的体积.(20)(本题满分12分)设平面有界区域D 位于第一象限，由曲线221x y xy +-=，222x y xy +-=与直线y =，0y =围成，计算2213Ddxdy x y +⎰⎰.(21)(本题满分12分)设函数()f x 在[],a a -上具有2阶连续导数，证明：(Ⅰ)若(0)0f =，则存在(,)a a ξ∈-，使得[]21()()()ξ''=+-f f a f a a .(Ⅱ)若()f x 在(,)a a -内取得极值，则存在(,)a a η∈-使得21()()()2f f a f a aη''≥--.(22)(本题满分12分)设矩阵A 满足：对任意123,,x x x 均有112321233232x x x x A x x x x x x x ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭(Ⅰ)求A ；(Ⅱ)求可逆矩阵P 与对角矩阵Λ，使得1-=ΛP AP .2023年答案及解析（数学二）一、选择题:1～10小题,每小题5分,共50分,下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的，请将所选选项前的字母填在答题卡指定位置．(1)【答案】(B)【解析】1ln()11limlim limln()11→∞→∞→∞+-===+=-x x x x e yx k e x x x 11lim()lim[ln()]lim [ln()1]11→∞→∞→∞=-=+-=+---x x x b y kx x e x x e x x 11lim ln[1lim .(1)(1)→∞→∞=+==--x x x x e x e x e所以斜渐近线方程为1.=+y x e(2)【答案】(D)【解析】当0≤x 时，1()ln(==++⎰f x dx x C当0>x时，()(1)cos(1)sin(1)sin sin=+=+=+-⎰⎰⎰⎰f x dx x xdx x d x x x xdx2(1)sin cos=+++x x x C原函数在(,)-∞+∞内连续，则在0=x处11lim ln(-→+=xx C C，22lim(1)sin cos1+→+++=+xx x x C C所以121=+C C，令2=C C，则11=+C C，故ln(1,0()(1)sin cos,0⎧⎪++≤=⎨+++>⎪⎩⎰x C xf x dxx x x C x，结合选项，令=C，则()f x的一个原函数为)1,0().(1)sin cos,0⎧⎪+≤=⎨++>⎪⎩x xF xx x x x(3)【答案】(B)【解析】在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭中，2sinx xπ<故12sinn n nx x xπ+=>112n ny y+<1111122444n nn n nn n ny y y yx x x xππππ++⎛⎫⎛⎫⇒<⋅=⋅===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Llim0nnnyx→∞⇒=.故n y是n x的高阶无穷小.(4)【答案】(C)【解析】微分方程0'''++=y ay by的特征方程为20++=a bλλ，当240∆=->a b时，特征方程有两个不同的实根12,λλ，则12,λλ至少有一个不等于零，若12,C C都不为零，则微分方程的解1212--=+x xy C e C eλλ在(,)-∞+∞无界；当240∆=-=a b时，特征方程有两个相同的实根，1,22=-aλ，若20≠C ，则微分方程的解2212--=+a x a x y C eC xe 在(,)-∞+∞无界；当240∆=-<a b 时，特征方程的根为1,222=-±a b a i λ，则通解为212(cos sin )22-=+ax y eC x C x ，此时，要使微分方程的解在(,)-∞+∞有界，则0=a ，再由240∆=-<a b ，知0.>b (5)【答案】(C)【解析】1)当0t >时，3sin cos ,sin 3x t dy t t ty t t dx =⎧+=⎨=⎩；当0t <时，sin cos ,sin 1x t dy t t ty t t dx =⎧--=⎨=-⎩；当0t =时，因为()()()000sin '0lim lim 03x t f x f t tf x t+++→→-===；()()()000sin '0lim lim 0x t f x f t tf x t---→→--===所以()'00f =.2)()()()()000sin cos sin cos lim 'lim 0'0;lim 'lim 0'0;33x t x t t t t t t t f x f f x f ++--→→→→+--======所以()()0lim ''00x f x f →==，即()'f x 在0x =连续.3)当0t =时，因为()()()00''0sin cos 2''0lim lim 339x t f x f t t t f x t +++→→-+===⋅；()()()00''0sin cos ''0lim lim 2x t f x f t t tf x t---→→---===-所以()''0f 不存在.(6)【答案】(A)【解析】当0α>时()()()12211111()ln ln ln 2f dx x x x αααααα+∞+∞+==-⋅=⋅⎰所以()()()211ln ln 21111'()ln ln 20ln 2ln 2ln 2f αααααααα⎛⎫=-⋅-⋅=-⋅+= ⎪⎝⎭，即01ln ln 2α=-.(7)【答案】(C)【解析】()()()222(),'()2'()42xxxf x x a e f x x a x e f x x x a e =+=++=+++，，由于()f x 无极值点，所以440a -≤，即1a ≥；由于()f x 有拐点，所以()16420a -+>，即2a <；综上所述[)1,2a ∈.(8)【答案】(D)【解析】结合伴随矩阵的核心公式，代入(D)计算知*********A EB A A B B AA AA B A B O B OA B O A BB ⎛⎫⎛⎫--+⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭**2⎛⎫⎛⎫-+=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭n B A EOB A E A B A B A B E OA B E O A B E ，故(D)正确.(9)【答案】(B)【解析】由已知()222123123121323,,233228f x x x x x x x x x x x x =--+++，则其对应的矩阵211134143A ⎛⎫⎪=- ⎪⎪-⎝⎭由()()211134730143E A λλλλλλλ----=-+-=+-=--+,得A 的特征值为3,7,0-故选(B).(10)【答案】(D)【解析】设11221122r x x y y ααββ=+=+则112211220x x y y ααββ+--=又()121212211003,,,2150010131910011ααββ--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--=-→- ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭故()()1212,,,3,1,1,1,TTx x y y c c R=--∈所以()()()121,5,81,5,81,5,8,TTTr c c c c k k R ββ=-+=---=-=∈.二、填空题:11～16小题，每小题5分，共30分．(11)【答案】2-【解析】由2200()ln(1)lim lim ()cos x x x f x ax bx x g x e x →→+++=-22222221()211()1()2ax bx x x x x x x x οοο++-+=⎡⎤++--+⎢⎥⎣⎦1=可得10a +=，1322b -=，即1,2a b =-=,2ab =-.(12)43π【解析】y '=由弧长公式可得l ==2sin x t =23024cos tdtπ⎰30441cos 23ππ=+=⎰tdt .(13)【答案】23-【解析】两边同时对x 求导得：02e z-=∂∂⋅++∂∂⋅xzx z x z ①两边再同时对x 求导得：2222e e 0zz z z z z z z x x x x x x x∂∂∂∂∂∂⋅⋅+⋅+++⋅=∂∂∂∂∂∂②将1,1x y ==代入原方程得10ze z z +=⇒=，代入①式得1200=∂∂⇒=∂∂++∂∂⋅xz x z x z e .代入②式得2301112222220-=∂∂⇒=∂∂+++∂∂⋅+⋅x z x z x z e e .(14)【答案】119-【解析】两边对x 求导：242956''=⋅+⋅x y y y y ①当1=x 时，代入原方程得12335=⇒+=y y y 将1,1==x y 代入①式得(1,1)995y 6y y |11'''=+⇒=,所以曲线在1=x 处的法线斜率为119-.(15)【答案】21【解析】⎰⎰⎰+=312132)()()(dxx f dx x f dx x f ⎰⎰++=211)2()(dxx f dx x f⎰⎰++=211])([)(dxx x f dx x f ⎰⎰⎰++=21101)()(xdxdx x f dx x f ⎰⎰+=201)(xdxdx x f 210+=21=(16)【答案】8【解析】由已知()(),34r A r A b =≤<，故,0A b =即()()1444011110111110,1112211112240120012002a a a a a Ab a a a a a baa ba b++==⋅-+⋅-=-+⋅=故111280a a a b=.三、解答题:17～22小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(17)【解析】(Ⅰ)曲线L 在点(,)P x y 处的切线方程为()Y y y X x '-=-，令0X =，则切线在y 轴上的截距为Y y xy '=-，则x y xy '=-，即11y y x'-=-，解得()(ln )y x x C x =-，其中C 为任意常数.又2()0y e =，则2C =，故()(2ln )y x x x =-.(Ⅱ)设曲线L 在点(,(2ln ))x x x -处的切线与两坐标轴所围三角形面积最小，此时切线方程为(2ln )(1ln )()Y x x x X x --=--.令0Y =，则ln 1xX x =-；令0X =，则Y x =.故切线与两坐标轴所围三角形面积为211()22ln 12(ln 1)x x S x XY x x x ==⋅⋅=--，则2(2ln 3)()2(ln 1)x x S x x -'=-.令()0S x '=，得驻点32x e =.当32e x e <<时，()0S x '<；当32x e >时，()0S x '>，故()S x 在32x e =处取得极小值，同时也取最小值，且最小值为332()S e e =.(18)【解析】cos cos 0(sin )0y x yy f e x f xe y '⎧=+=⎪⎨'=-=⎪⎩，得驻点为：1(,)e k π--，其中k 为奇数；(,)e k π-，其中k 为偶数.则cos cos 2cos 1(sin )sin (cos )xxy xyy y yy f f e y f xe y xe y ''⎧=⎪''=-⎨⎪''=+-⎩代入1(,)e k π--，其中k 为奇数，得210xxxyyyA fB fC f e -''⎧==⎪''==⎨⎪''==-⎩，20AC B -<，故1(,)e k π--不是极值点；代入(,)e k π-，其中k 为偶数，得210xxxyyy A f B f C f e ''⎧==⎪''==⎨⎪''==⎩，20AC B ->且0A >，故(,)e k π-是极小值点，2(,)2e f e k π-=-为极小值.(19)【解析】(Ⅰ)由题设条件可知：+++2111=1)(1)2tt S dt t t ∞∞∞===+-⎰⎰；(Ⅱ)旋转体体积22222111111(1(1)(1)4πππππ+∞+∞+∞⎡⎤====-⎢⎥++⎣⎦⎰⎰⎰V y dx dx dx x x x x .(20)【解析】本题目采用极坐标进行计算2ln 383tan arctan 312ln 21tan )ta 3(12ln cos )ta 3(12ln 212ln )sin cos 3(1ln )sin cos 3(11)sin cos 3(1)sin cos 3(131303023022302230cos sin 12cos sin 1122cos sin 12cos sin 112230cos sin 12cos sin 112223022πθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθσπππππθθθθθθθθπθθθθπ=⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅+=⋅+=+=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰------d n d n d d r d r d rd r d d y x D(21)【解析】(Ⅰ)证明:22()()()(0)(0)(0),02!2!f f f x f f x x f x x x ηηη''''''=++=+介于与之间，则211()()(0),02!f f a f a a a ηη'''=+<<①()222()()(0),02!f f a f a a a ηη'''-=-+-<<②①+②得：[]212()()()()2a f a f a f f ηη''''+-=+③又()f x ''在[]21,ηη上连续，则必有最大值M 与最小值m ，即()()12;;m f M m f M ηη''''≤≤≤≤从而()()12;2f f m M ηη''''+≤≤由介值定理得：存在[]()21,,ξηη∈⊂-a a ，有()()()122f f f ηηξ''''+''=，代入③得：()()22()()()(),f a f a f a f a a f f a ξξ+-''''+-==即(Ⅱ)证明：设()0(),f x x x a a =∈-在取极值，且0()f x x x =在可导，则0()0f x '=.又()()()22000000()()()()()(),02!2!f f f x f x f x x x x x f x x x x γγγ'''''=+-+-=+-介于与之间，则()21001()()(),02!f f a f x a x a γγ''-=+---<<()22002()()(),02!f f a f x a x a γγ''=+-<<从而()()()()22020111()()22f a f a a x f a x f γγ''''--=--+()()()()2202011122a x f a x f γγ''''≤-++又()f x ''连续，设(){}()12max,M f f γγ''''=，则()()()222200011()()22f a f a M a x M a x M a x --≤++-=+又()0,x a a ∈-，则()2220()()2f a f a M a x Ma --≤+≤，则21()()2M f a f a a ≥--，即存在()12,a a ηγηγ==∈-或，有()21()()2f f a f a aη''≥--(22)【解析】(I)因为112312123232331112211011x x x x x A x x x x x x x x x ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭对任意的1x ，2x ，3x 均成立，所以111211011A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭(II)1111111211(1)21111011E A λλλλλλλλ---+----=-+-=-⋅+⋅-+-+-+2(1)(2)2(2)(2)(2)(1)0λλλλλλλ=-+-+=+-+=.所以A 的特征值为1232,2,1λλλ=-==-.12λ=-时，1311100211011011000E A λ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=---→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，可得特征向量1(0,1,1)T α=-；22λ=时，2111104231013013000E A λ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=--→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，可得特征向量2(4,3,1)T α=；31λ=-时，3211201201010010000E A λ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，可得特征向量3(1,0,2)T α=-；令123041(,,)130112P ααα⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪-⎝⎭，则1200020001P AP --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭.。

2024 管综数学真题及解析一、问题求解: 第 1-15 小题，每小题 3 分，共 45 分。

下列每题给出的(A) 、(B) 、(C) 、(D) 、(E)五个选项 中, 只有一项是符合要求的。

请在答题卡上将所选项的字母涂黑。

1. 甲股票上涨 20%后价格与乙股票下跌 20%后的价格相等，则甲乙股票的原价格之比为 () A1:1 B. 1:2 C.2:1 D.3:2 E.2:32.将 3 张写有不同数字的卡片随机地排成一排，数字面朝下。

翻开左边和中间的 2 张卡片如果中间卡片 上的数字大，那么取中间的卡片，否则取右边的卡片。

则取出的卡片上的数字最大的概率为 () A 5/6 B 2/2 C 1/2 D 1/3 E 1/43. 甲、乙两人参加健步运动。

第一天两人走的步数相同，此后甲每天都比前一天多走 700 步，乙每天走的步数保持不变。

若乙前 7 天走的总步数与甲前 6 天走的总步数相同，则甲第 7 天走了( )步。

A.10500 B.13300 C.14000 D.14700 E.15400正确答案：D【考点】应用题&等差数列【解析】设甲、乙第 1 天步数均为 x ，则 甲第 7 天步数为10500 700 6 147004. 函数 f (x)的最小值为 ( )A. 12B.13C. 14D.15E.16正确答案：B 【考点】均值不等式正确答案：C【考点】古典概型：穷举法【解析】设 3 张卡片数字为 1 ，2 ，3 ，排列顺序有1, 2, 31, 3, 2 ， 2, 1, 3， 2, 3, 1， 3,1, 2 ， 3,2,1，符合条件的顺序有： 1，3，2 ， 2，1，3 ， 2，3，1 三种，P 正确答案：E【考点】 比和比例：等量方程式【解析】设甲股票价格 x ，乙股票价格y ，则1 20%x 1 20% y 700 7xx 10500 , ,6x【解析】5.已知点O(0,0),A(a,1),B(2,b),C(1,2),若四边形OABC 为平行四边形，则a+b=A.3B.4C.5D.6E.76.已知等差数列{a,}满足a₂a₃=a,a₄+50, 且a₂+a₃<a₁+a₅, 则公差为 ( )A.2B.-2C.5D.-5E.107.已知m,n,k都是正整数，若m+n+k=10,则m,n,k的取值方法有( )A.21种B.28种C.36种D.45 种E.55种8.如图1,正三角形ABC 边长为 3 , 以A 为圆心，以2为半径作圆弧，再分别以 B 、C 为圆心，以1为半径作圆弧，则阴影面积为()正确答案：B【考点】平面几何求面积正确答案 C【考点】排列组合相同元素【解析】隔板法，理解为10个相同球放入3个盒中，盒非空，则C种正确答案：C【考点】等差数列【解析】等差数列首项a, 公差为d, 则Qag =aa₄+50,(a+a)(q+2d)=a(q+3d)+50 ∴.d²=25,d=±5,又Qa₂+a₃<a₁+as,即2a₁+3d<2a₁+4d,∴d>0:.d=5正确答案：B【考点】解析几何中点&画图【解析】根据四边形OABC 为平行四边形，则线段OB 的中点为一个点，则a=1,b=3..a+b=4。

考研复习每日计划表一、脱产备考（适用于应届生、脱产往届生）1、7:00-8:00——起床+早饭+准备学习暑假天气逐渐炎热，建议大家早点起来，趁着天气稍凉爽的时候起床吃饭，更好进入状态。

再者，正式考试的时间是上午8:30开始，考试当天至少也要7:00就起床准备了。

坚持一个暑假，给自己一个机会。

2、8:00-8:30——背单词/政治刷题①背单词要贯穿考研始终。

时间宝贵，所以从强化阶段开始，建议大家利用碎片化的时间背单词。

早上半小时可以背背单词，帮助大脑进入学习状态。

②或者利用这半小时做一做政治《1000题》，前一天学完的章节，早上起来复习、做做题，然后可以根据做题情况调整当日的复习任务。

3、8:30-12:00——数学（考数学）/专业课（不考数学）学习这个时间段是考研数学或专业课一的考试时间，上午的精力充沛，适合学习思考性、理解性较强的科目。

大家可以在学习中途适当休息5-10分钟，上个厕所、户外伸伸胳膊之类的；也可以交叉学习，先听课记笔记、再做题，让大脑适当切换，提高专注力。

4、12:00-14:00——午饭+午睡学习了一个上午，大家需要好好休息一下，去吃点好的补充一下。

饭后可以适当午睡半小时左右，养足精神好进行下午的复习；另外，午睡时间不宜过久，30min左右即可，否则会影响学习状态，对身体也不好。

5、14:00-16:00——英语学习这个暑假，大家需要主攻阅读真题，每天精读1篇，速度慢不要紧，可以慢慢提升。

做完之后需要对文章进行精读，包括生词查找和积累、长难句分析、题目类型及错误原因等。

如果觉得英语基础不好，也可以延长英语的复习时间，重要的是当日任务要保质保量完成！6、16:00-17:00——政治学习暑期可以开始政治的学习了，至少在这两个月完成马原和史纲的学习并刷完对应部分的《肖1000题》。

对于知识点的学习，建议大家看看视频讲解，随后做一下对应部分的《肖1000题》。

使用徐涛老师强化班的同学，学长为大家整理了课程和题目的对应关系，便于大家配套使用：24徐涛强化班、《肖1000》、《精讲精练》｜对应关系【马原思修】。

一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。

1．y x ln e 1。

曲线的渐近线方程为（）x 1A ．y ＝x ＋eB ．y ＝x ＋1/eC ．y ＝xD ．y ＝x －1/e1,x 0 22．函数f x 1 x的原函数为（）。

x 1 cos x ,x 0ln 1 x 2x ,x 0A ．F xx 1 cos x sin x ,x 0 ln 1 x 2x 1,x 0B ．F xx 1 cos x sin x ,x 0 ln 1 x 2x ,x 0C ．F xx 1 sin x cos x ,x 0 ln 1 x 2 x 1,x 0D ．F xx 1 sin x cos x ,x 03．设数列{x n }，{y n }满足x 1＝y 1＝1/2，x n ＋1＝sinx n ，y n ＋1＝y n 2，当n →∞时（）。

A ．x n 是y n 的高阶无穷小B ．y n 是x n 的高阶无穷小C ．x n 是y n 的等价无穷小D ．x n 是y n 的同阶但非等价无穷小4．已知微分方程式y ′′＋ay ′＋by ＝0的解在（－∞，＋∞）上有界，则a ，b 的取值范围为（A ．a ＜0，b ＞0B ．a ＞0，b ＞0C ．a ＝0，b ＞0D ．a ＝0，b ＜0）。

２０２３年考研《数学二》真题及答案【解析版】5．设函数y ＝f （x ）由x 2t t 确定，则（）。

y t sin tA ．f （x ）连续，f ′（0）不存在B ．f ′（0）存在，f ′（x ）在x ＝0处不连续C ．f ′（x ）连续，f ′′（0）不存在D ．f ′′（0）存在，f ′′（x ）在x ＝0处不连续6．若函数f1x ln x12。

d x 在α＝α0处取得最小值，则α0＝（）A ．1ln ln 2B ．－ln （ln2）C ．1ln 2D ．ln27．设函数f （x ）＝（x 2＋a ）e x ，若f （x ）没有极值点，但曲线y ＝f （x ）有拐点，则a 的取值范围是（）。