简单的线性规划-可乐学习动态ppt

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的可行域内共有_______个整数点．
2．设z = x y，式中变量x，y满足
x y1

4x y 4 .
2 x 3 y 8 0

求z的最大值和最小值．
z max = 1，
z min = 3．
小结
练习：
3．教材P64练习1：
(1) 求z = 2x + y的最大值，使式
域内的点且平行于l的直线中，以经过
点A(5，2)的直线l2所对应的t最大，
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
y
x 1
− 4 + 3 = 0
l2
6
5
l1
4
3
2
1
O
− 4 + 3 = 0
C
3 + 5 − 25 = 0
A
=1
B
1
2
3
4
5
6
7
x
以经过点B(1，1)的直线l1所对应的
2
1
O
C
3 + 5 − 25 = 0
A
=1
B
1
2
3
4
5
6
7
x
分析：不等式组表示的区域是图
中的ABC．
y
x 1
− 4 + 3 = 0
− 4 + 3 = 0
6
5
4
3
2
1
O
C
3 + 5 − 25 = 0
A
=1
B
1
2
3
4
5
6
7

第2课时 简单线性规划的应用
在实际问题中常遇到两类问题： 一是在人力、物力、资金等资源一定的条件 下，如何使用它们来完成最多的任务； 二是给定一项任务，如何合理地安排和规划 能以最少的人力、物力、资金等资源来完成它.
下面我们来看看线性规划在实际中的一些应用.
1.体会线性规划的基本思想，并能借助几何直
y
作出可行域如图所示：
x y 0
M
x
O
2x+y=15
x+2y=18
x+3y=27
作出一组平行直线 z=x+y，当直线经过可行域上的 点M时，z最小.
x 3 y 27, 18 39 解方程组 M ( , ). 得 5 5 2 x y 15,
18 39 由于 5 , 5
钢板类型 规格类型
A规格 2 1
B规格 1
C规格 1 3
第一种钢板
第二种钢板
2
今需要A，B，C三种规格的成品分别15,18,27 块，用数学关系式和图形表示上述要求．各截这 两种钢板多少张可得所需A，B，C三种规格成品， 且使所用钢板张数最少？

【解题关键】列表
A规格 B规格 1 2 x 2y C规格 张数
第一种钢板
第二种钢板 成品块数
2
1
1
3
x
y
2x y
x 3y
【解析】设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张， 共需截这两种钢板共z张，则
2 x y 15, x 2 y 18, x 3 y 27 , x 0, y 0.
线性目标函数 z x y .
第一种钢板3张，第二种钢板9张；第二种截法

(1)已知 x - y 0 x y -1 0 y 1 0
求z=2x+y的最大值和最小值。
y
y-x=0
5
1
O1
5
x
y+1=0
B(-1,-1) -1
A(2,-1)
zmax 3
zmin 3
x+y-1=0
练习2、已知
y x 1 x - 5y 3 5x 3y 15 求z=3x+5y的最大值和最小值。
把上面两个问题综合起来:
x 4 y 3 设z=2x+y,求满足 3x 5 y 25
x 1
时,求z的最大值和最小值.
y
A: (5.00,2.00)
B: (1.00,1.00)
5
C
C: (1.00,4.40)
x 4 y 3 1.先作出3x 5 y 25
x 1 所表示的区域 .
2.作直线l0 : 2x y 0
5x+3y=15 y
5
y=x+1
B(3/2,5/2)
1
O1
5
-1
A(-2,-1)
X-5y=3 x
Z max 17; Z min 11
解线性规划问题的步骤：
（1（）1画）：画画：出在线平性面约直束角条坐件标所系表中示画的出可各行不域； 等式所表示的平面区域，公共部分即不等 式组表示的可行域。
（2）移：在线性目标函数所表示的一组平行 线中，利用平移的方法找出与可行域有公共 点且纵截距最大或最小的直线；
最大值或最小值所涉及的变量x，y的解析式称为 目标函数。关于x，y的一次目标函数称为线性目 标函数。求线性目标函数在线性约束条件下的最 大值或最小值问题称为线性规划问题。满足线性 约束条件的解（x，y）称为可行解。所有可行解 组成的集合称为可行域。使目标函数取得最大值 或最小值的可行解称为最优解。

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由 z＝x＋3y，得 y＝－13x＋3z，平移直线 x＋3y＝0 可
知，当直线 y＝－13x＋3z经过 A 点时 z 取最大值．由
2x＋y＝4，
得 A(1，2)，所以 zmax＝1＋2×3＝7.
x＝1，
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类型 2 求非线性目标函数的最值 x－y－2≤0，
[典例 2] 设实数 x，y 满足约束条件x＋2y－4≥0， 2y－3≤0，
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[变式训练] (1)在平面直角坐标系 xOy 中，M 为不
2x－y－2≥0， 等式组x＋2y－1≥0，所表示的区域上一动点，则直线
3x＋y－8≤0， OM 斜率的最小值为( )
A．2 B．1 C．－13 D．－12
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2x＋y－5≥0， (2)已知3x－y－5≤0，求(x＋1)2＋(y＋1)2 的最大、
简单的线性规划
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[学习目标] 1.了解线性规划的意义，了解线性约束 条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概 念． 2.掌握线性规划问题的图解法，会用图解法求线性 目标函数的最大值、最小值． 3.训练数形结合、化归等 数学思想，培养和发展数学应用意识．
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x－2y＋5≥0， 最小值．
(1)解析：如图所示，
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2x－y－2≥0， x＋2y－1≥0，所表示的 3x＋y－8≤0，
平面区域为图中的阴影部分．
x＋2y－1＝0，
由
得 A(3，－1)
3x＋y－8＝0，
当 M 点与 A 重合时，OM 的斜率最小，
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x－2y＋5≥0， 最小值．
(1)解析：如图所示，
编辑版pppt
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2x－y－2≥0， x＋2y－1≥0，所表示的 3x＋y－8≤0，
平面区域为图中的阴影部分．
x＋2y－1＝0，
由
得 A(3，－1)
3x＋y－8＝0，
当 M 点与 A 重合时，OM 的斜率最小，
编辑版pppt
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kOM＝－13. 答案：C
编辑版pppt
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4．求最优解．通过解方程组求出最优解． 5．求最值．求出线性目标函数的最小值或最大值．
知，当直线 y＝－13x＋3z经过 A 点时 z 取最大值．由
2x＋y＝4，
得 A(1，2)，所以 zmax＝1＋2×3＝7. Nhomakorabeax＝1，
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类型 2 求非线性目标函数的最值 x－y－2≤0，
[典例 2] 设实数 x，y 满足约束条件x＋2y－4≥0， 2y－3≤0，
求： (1)x2＋y2 的最小值； (2)xy的最大值．
由
解得 C(2，1)，
3x－y－5＝0，
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所以当 x＝3，y＝4 时， dmax＝(3＋1)2＋(4＋1)2＝41， 当 x＝2，y＝1 时， dmin＝(2＋1)2＋(1＋1)2＝13， 即(x＋1)2＋(y＋1)2 的最大值为 41，最小值为 13.
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类型 3 已知目标函数的最值求参数问题 y≥x，
当直线 l 经过可行域内点 C 时，v 最大， 由(1)知 C1，32， 所以 vmax＝32，所以xy的最大值为32.
编辑版pppt
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归纳升华 非线性目标函数最值问题的求解方法

坐标即为最优整解．
2.调整优解法：即先求非整数条件下的最优解，
调整Z的值使不定方程Ax+By=Z存在最大（小） 的整点值，最后筛选出整点最优解．
巩固练习一
设每天应配制甲种饮料x杯，乙种饮料y杯，则
咖啡馆配制两种饮料．甲种饮料每杯含奶粉9g 、咖啡4g、糖 9 x 4 y 3600 4 x 5 y 2000 3g,乙种饮料每杯含奶粉4g 、咖啡5g、糖10g．已知每天原料 的使用限额为奶粉3600g ，咖啡2000g 糖3000g,如果甲种饮 3x 10 y 3000 料每杯能获利0.7元，乙种饮料每杯能获利1.2元，每天在原料 x 0 的使用限额内饮料能全部售出，每天应配制两种饮料各多少 目标函数为：z =0.7x +1.2y y 0 杯能获利最大？ 练习一.gsp 解：将已知数据列为下表：
直线x+y=12经过的整点是B(3,9)和C(4,8)，它们是最优解. 答（略） 你能否猜测一下Z的最小值可能是多少?
3.最优解的几何意义是什么 (最优解可以转化为什么几何意义)?
结论2:
线性规划求最优整数解的一般方法:
1.平移找解法： 即先打网格，描出可行域内的
整点，平移直线，最先经过或最后经过的整点
9 x + 4 y = 3600 _
得点C的坐标为（200，240）
小结
答:每天配制甲种饮料200杯,乙种饮料240杯可获取最大利润.
巩固练习 二
某货运公司拟用集装箱托运甲.乙两种货物,一个大集装箱所装托 3 运货物的总体积不能超过24 m ,总重量不能超过1500kg,甲.乙 两种货物每袋的体积.重量和可获得的利润,列表如下:
原 料 奶粉(g) 咖啡(g) 糖(g) 利 润(元) 每配制1杯饮料消耗的原料 甲种饮料 x 乙种饮料 y 9 4 3 0.7 4 5 10 1.2 原 料限 额 3600 2000 3000

y x
的
x、y
满足约束条件
x
y
1
y 1
x y5
2、 图中阴影部分的点满足不等式组 2 x y 6
在这些点中，使目标函数
k
=
6x
+
8y
x
0,
y
0
取得最大值的点的坐标是__(_0__,_5__)__
2、某木器厂生产圆桌和衣柜两种木料，第一 种有 72 米 3，第二种有 56 米 3，假设生产 每种产品都需要用两种木料，生产一张圆桌和 一个衣柜分别所需要木料如表所示，每生产一 张圆桌可获利润6元，生产一个衣柜可获利润 10元，木器厂在现有木料条件下，圆桌和衣 柜各生产多少，才使获得的利润最多？
y值 y=x
1
1
o
x
－1
x + y －1 = 0
y x
x
y
1
y 1
x 3 0
2x-y+1=0 y
1
1/2
1
o
x
x+y-1=0
y
2x-3y+2=0
2/3
-1 -1o/2
3
x
例3、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮 甲种肥料需要的主要原料是磷酸盐4吨，硝酸盐18吨； 生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨，硝酸 盐15吨.现有库存磷酸盐10吨，硝酸盐66吨.如果在此基 础上进行生产，设x、y分别为计划生产甲、乙两种混合 肥料的车皮数，请列出满足生产条件的数学关系式，并 画出相应的平面区域.
解：x和y所满足的数学关系式为：
y
4 x y 10
4x+y=10
18 x 15 y 66

图象
Z=20x+15y
(x,y N )
小结:
列表
实际问题
作 答
设出变量
寻找约束条件 建立目标函数
转化
线性规划问题
建模 三 个 转 化
最优解
调 整
四个步骤
图解法 目 标 函 数
平移找解法
常用方法
最优整数解
调整优值法
距离,斜率等
作业:习题7.4 第三题;第四题
思考问题:
1.探索问题一(课本例题3)的最优解是(12.4,34.4). 它存在最优整数解吗?若存在,求出最优整数解. 若不存在,请说明理由.
可行域
三个转化
y
Z的最大值为44
6． ． 5 4． 3． 2． 1 ． 最优解
2x+3y 线性目 标函数 x ≥0 Z=Ax+By
≤12转化
转化
Z y x B
线性约束 条件 一组平行线
12 20 M( , ) 7 7
可行域 ．． ．． ． ．． 1 2 3 4 5 6
y≥0
最优解
寻找平行线组 的纵截距 求z=9x+10y的最大值 . 最值9x+10y=0
M (12.4,34.4)
4x+9y=360
10 10 20 30 40 5x+4y=200 90
x
{
5x+4y=200 4x+9y=360
解得交点M的坐标为(12.4,34.4)
360 12.41 29 1000 y 34.48 29 x
10x+4y=300 600x+1000y=0
例3.gsp图形 答:应生产甲产品约12.4吨，乙产品34.4吨，能使利润总额达到最大。

•
30、风俗可以造就法律，也可以废除 法律。 ——塞·约翰逊
简单的线性规划
1、最灵繁的人也看不见自己的背脊。——非洲 2、最困难的事情就是认识自己。——希腊 3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。——黑塞 4、与肝胆人共事，无字句处读书。——周恩来 5、阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根
•
26、我们像鹰一样，生来就是自由的 ，但是 为了生 存，我 们不得 不为自 己编织 一个笼 子，然 后把自 己关在 里面。 ——博 莱索

•
27、法律如果不讲道理，即使延续时 间再长 ，也还 是没有 制约力 的。— —爱·科 克
•
28、好法律是由坏风俗创造出来的。 ——马 克罗维 乌斯
•
29、在一切能够接受法律支配的人类 的状态 中，哪 里没有 法律， 那里就 没有自 由。— —洛克

汇报人：XXX 汇报日期：20XX年10月10日
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x+y-1＞x0+y0-1= 0
1
x
即 ｘ＋ｙ－１＞０
o1
X+y-1=0
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4
因为点Ｐ（ｘ０，ｙ０）是直线ｘ＋ｙ－１＝０ 上任意点，所以对于直线ｘ＋ｙ－１＝０右上方 的任意点（ｘ，ｙ），ｘ＋ｙ－１＞０都成立
同理，对于直线ｘ＋ｙ－１＝０左下方的任意点 （ｘ，ｙ），ｘ＋ｙ－１＜０都成立。
Y
Y
2
X
O3
2
O
X
5
O3 X -4
（1）
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（2）
（3）
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例2画出不等式组
x－ｙ＋５≥０ x＋ｙ≥０
x≤３
分析：不等式组表示的平面区域是 各不等式所表示的平面点集 的交集，因而的各个不等式 所表示的平面区域的公共部 分。
表示的平面区域
x－y+5=0
Y
x+y=0
O
X
x=3
注：不等式组表示的平面区域是各不
等式所表示平面区域的公共部分。
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应该注意的几个问题：
1、若不等式中不含0，则边界应 画成虚线，否则应画成实线。
2、画图时应非常准确，否则将得 不到正确结果。
3、熟记“直线定界、特殊点定域” 方法的内涵。
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练习2：
1.画出下列不等式组表示的平面区域：
Y
y x
（一）
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问题1、在平面直角坐标系中，
x+y-1=0
表示的点的集合表示的图形是什么？