组合(二)

组合计算公式(二)组合计算公式组合计算公式是一种用于计算从n个元素中选取k个元素的方式的数学公式。

在组合问题中，元素之间的顺序不重要，只要选取的元素相同，就视为同一种组合。

组合计算公式可以用于解决排列问题、概率问题等。

计算公式组合计算公式可以表示为C(n,k)，其中n为元素总数，k为选取的元素个数。

组合计算公式的计算方法有多种，最常用的是排列组合公式和递推公式。

排列组合公式排列组合公式即多项式系数，可以用来计算从n个不同元素中选取k个元素的组合数。

排列组合公式可以表示为：C(n,k) = n! / (k! * (n-k)!)其中”!“表示阶乘，即将正整数n乘以小于等于n的所有正整数的积。

阶乘可以用递推公式计算。

递推公式递推公式是一种通过已知的组合数计算未知组合数的方法。

递推公式可以表示为：C(n,k) = C(n-1,k-1) + C(n-1,k)递推公式的原理是将组合问题划分为两个子问题：选取第一个元素和不选取第一个元素。

通过递推公式可以逐步计算出所需的组合数。

示例说明下面是一些示例，用于说明组合计算公式的应用：示例1计算从10个不同的元素中选取3个元素的组合数。

利用排列组合公式：C(10,3) = 10! / (3! * (10-3)!) = 10! / (3! * 7!) = 120 / (6 * 5040) = 120 / 720 =示例2已知C(5,2) = 10，计算C(6,3)。

利用递推公式：C(6,3) = C(5,2) + C(5,3) = 10 + 10 = 20示例3已知C(8,4) = 70，计算C(9,5)。

利用递推公式：C(9,5) = C(8,4) + C(8,5) = 70 + 56 = 126这个示例展示了递推公式的连续应用。

以上是组合计算公式的简单说明和示例，通过这些计算公式，我们可以快速准确地计算组合问题。

在实际应用中，组合计算公式在概率统计、排列组合问题、图论等领域都有重要的作用。

组合专题：超难组合数学㈡
1．在参观团的任意四个人中，有一个人认识其他三个人。

证明：在任何四个团员中，总可以找到一个人，他认识所有的团员。

2．某个团体有n个成员(n≥5)，并且有n＋1个三人委员会，其中没有两个委员会有完全相同的成员。

证明：有两个委员会恰好有一个成员相同。

3．有一个十人的会，在他们当中任何三人至少有两人互不相识。

证明在这会中有四人，他们没一人认识四人中的其他人。

4．大厅中聚会了100个客人，他们中每个都与其余客人中至少67人相识。

证明：这些客人中一定可以找到4个客人，他们中任何两人都彼此相识。

测试题
四个人的聚会，每人各带了2件礼品，分赠给其余三个人中的二人，请你证明，至少有两对人，每对人是互赠过礼品的。

答案与解析
【分析】将四个人看为4个点ABCD
如果某个人赠送另一个礼品，则在这两个点之间了连一条边
(如果互增礼品，则在这两点之间连两条边)
每个人赠送两件礼品
故总边数为4×2＝8
若四个人两两之间至多连一条边，至多连(4×3)÷2＝6
又因为两个点之间至多连两条边
所以必定又两组点之间连8－6＝2条边
所以命题成立。

小升初数学高频考点——组合专题（二）统筹规划一、高频类型：1、合理安排；2、最短路线；3、合理调运和布线★高频考题例一：（合理安排：①用时最短→别闲着；②等候最短→快的先上）（1）早晨，妈妈起来准备早饭．她烧开水需要 8 分钟，灌开水需要 1 分钟，擦桌子需要 5 分钟，下楼拿牛奶需要 6 分钟，煮牛奶需要 6 分钟．如果灶台上只有一个灶头，请问妈妈准备早饭最少需要多少分钟？（2）煎芝麻饼需要煎两面，煎第一面要 2 分钟，煎第二面时间只要 1 分钟就行了。

一口煎锅一次能放入 2 个芝麻饼，如果要煎 3 个芝麻饼，需要多少时间？（3）理发店里只有一位理发师，但同时来了三位顾客，理发师一次只能给一位顾客理发．由于顾客要求的发型不同，理发师给这三位顾客理发分别需要 12 、10 、16 分钟．合理安排他们理发的顺序，排队等候所用时间的总和最少是多少分钟？（4）有甲、乙两个水龙头，6 个人各拿一只水桶到水龙头接水，水龙头注满 6 个人的水桶所需时间分别是 5 分钟、4 分钟、3 分钟、10 分钟、7 分钟、6 分钟．优化安排这 6 个人打水，使他们等候的总时间最短，最短时间是多少分钟？例二：（最短路线问题）①单人复杂路线→擦线法②多人设点：投票法③物品搬运：小往大处靠，过半就设点（1）下图是一张道路示意图，每段路上的数字表示小杨走这段路所需要的时间( 单位：分)．小杨从 A 到 B 最快要几分钟？（2）如图，在街道上有 A、B、C、D、E 五栋居民楼，每个楼里的居民一样多，为使五栋楼的居民到车站的距离之和最短，车站应设在哪一点处？（3）在一条公路上每隔 100 千米有一个仓库(如图)，共有 5 个仓库，一号仓库存有 10 吨货物，二号仓库有 20 吨货物，五号仓库存有 40 吨货物，其余两个仓库是空的．现在想把所有的货物集中存放在一个仓库里，如果每吨货物运输 1 千米需要 1 元运输费，那么最少要多少元运费?。

§1.2.1 组合学案（第二课时）主备人：杨素玲 定稿：高二数学备课组 班级 姓名 课题：组合的简单应用及组合数的两个性质目的：深刻理解排列与组合的区别和联系，熟练掌握组合数的计算公式；掌握组合数的两个性质，并且能够运用它解决一些简单的应用问题．过程：一、复习回顾：1强调：排列——次序性；组合——无序性．2．练习一：练习1：求证：11--=m n m n C mn C ． （本式也可变形为：11--=m n m n nC mC ）练习2：计算：① 310C 和710C ； ② 2637C C -与36C ； ③ 511411C C +3．练习二：⑴ 平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？⑵ 平面内有10个点，以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条？答案：⑴45210=C （组合问题） ⑵90210=A （排列问题）二、新授：1．组合数的 性质1：m n n m n C C -=．注：1︒ 等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标．2︒ 此性质作用：当2n m >时，计算m n C 可变为计算m n n C -，能够使运算简化． 例如：20012002C ＝200120022002-C ＝12002C =2002．3︒ y n x n C C =y x =⇒或n y x =+2．例1：（课本101例4）一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．⑴ 从口袋内取出3个球，共有多少种取法？⑵ 从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？⑶ 从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？组合数的 性质2：m n C 1+＝m n C +1-m nC ．注：1︒ 公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与高的相同的一个组合数．2︒ 此性质的作用：恒等变形，简化运算．在今后学习“二项式定理”时，我们会看到它的主要应用．3．例2：⑴ 计算：69584737C C C C +++⑵ 求证：n m C 2+＝n m C +12-n m C +2-n m C⑶ 解方程：3213113-+=x x C C⑷ 解方程：333222101+-+-+=+x x x x x A C C例3．6本不同的书分给甲、乙、丙3同学，每人各得2本，有多少种不同的分法？例4．4名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人实践活动小组，问组成方法共有多少种？。