高考数学 2-9函数模型及其应用配套作业 北师大版

【走向高考】2020年高考数学总复习 2-10函数模型及其应用课后作业北师大版一、选择题1．(文)(教材改编题)等边三角形的边长为x，面积为y，则y与x之间的函数关系式为( )A．y＝x2B．y＝1 2 x2C．y＝32x2D．y＝34x2[答案] D[解析]y＝12·x·x·sin60°＝34x2.(理)2020年7月1日某人到银行存入一年期款a元，若年利率为x，按复利计算，则到2020年7月1日可取款( )A．a(1＋x)5元B．a(1＋x)6元C．a＋(1＋x)5元D．a(1＋x5)元[答案] A[解析]因为年利率按复利计算，所以到2020年7月1日可取款a(1＋x)5.2．(2020·商丘一模)某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x －0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为( )A．45.606 B．45.6C．45.56 D．45.51[答案] B[解析]依题意可设甲销售x辆，则乙销售(15－x)辆，∴总利润S＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)＝－0.15x2＋3.06x＋30(x≥0)．∴当x＝10时，S max＝45.6(万元)．3．某市2020年新建住房100万平方米，其中有25万平方米经济适用房，有关部门计划以后每年新建住面积比上一年增加5%，其经济适用房每年增加10万平方米．按照此计划，当年建造的经济适用房面积首次超过该年新建住房面积一半的年份是(参考数据：1.052＝1.10,1.053＝1.16,1.054＝1.22,1.055＝1.28)( )A．2020年B．2020年C．2020年D．2020年[答案] C[解析] 设第n 年新建住房面积为a n ＝100(1＋5%)n，经济适用房面积为b n ＝25＋10n ，由2b n >a n得：2(25＋10n )>100(1＋5%)n利用已知条件解得n >3，所以在2020年时满足题意．4．某学校制定奖励条例，对在教育教学中取得优异成绩的教职工实行奖励，其中有一个奖励项目是针对学生高考成绩的高低对任课教师进行奖励的．奖励公式为f (n )＝k (n )(n －10)，n >10(其中n 是任课教师所在班级学生参加高考该任课教师所任学科的平均成绩与该科省平均分之差，f (n )的单位为元)，而k (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，n ≤10，100，10<n ≤15，200，15<n ≤20，300，20<n ≤25，400，n >25.现有甲、乙两位数学任课教师，甲所教的学生高考数学平均分超出省平均分18分，而乙所教的学生高考数学平均分超出省平均分21分．则乙所得奖励比甲所得奖励多( )A ．600元B ．900元C ．1600元D ．1700元[答案] D[解析] ∵k (18)＝200(元)，∴f (18)＝200×(18－10)＝1600(元)． 又∵k (21)＝300(元)，∴f (21)＝300×(21－10)＝3300(元)， ∴f (21)－f (18)＝3300－1600＝1700(元)．5．某种细胞在培养过程中正常情况下，时刻t (单位：分)与细胞数n (单位：个)的部分数据如下：A ．200B ．220C ．240D ．260[答案] A[解析] 由表格中所给数据可以得出n 与t 的函数关系为n ＝2t20 ，令n ＝1000，得2t20＝1000，又210＝1024，所以时刻t 最接近200分．6．(2020·北京理，6)根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧c x ，x <A ，c A ，x ≥A(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是( )A ．75,25B ．75,16C ．60,25D ．60,16[答案] D[解析] 本题主要考查了分段函数的理解及函数解析式的求解． 依题意：当x ≤A 时，f (x )单调递减；当x ≥A 时，f (x )恒为常数． 因此，c4＝30，cA＝15，解得：c ＝60，A ＝16，故选D. 二、填空题7．由于电子技术的飞速发展，计算机的成本不断降低，若每隔5年计算机的价格降低13，则现在价格为8100元的计算机经过15年的价格应降为________元．[答案] 2400[解析] 设经过3个5年，产品价格为y ，则y ＝8100×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－133＝8100×827＝2400(元)．8．(2020·南京模拟)某工厂生产某种产品固定成本为2000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元，又知总收入k 是单位产品数Q 的函数，k (Q )＝40Q －120Q 2，则总利润L (Q )的最大值是________万元．[答案] 2500[解析] 总利润L (Q )＝40Q －120Q 2－10Q －2 000＝－120(Q －300)2＋2500.故当Q ＝300时，总利润最大，为2500万元． 三、解答题9．某商人将进货单价为8元的某种商品按10元一个销售时，每天可卖出100个，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品销售单价每涨1元，销售量就减少10个，问他将售价每个定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大值．[解析] 设每个提价为x 元(x ≥0)，利润为y 元，每天销售总额为(10＋x )(100－10x )元，进货总额为8(100－10x )元，显然100－10x >0，即x <10，则y ＝(10＋x )(100－10x )－8(100－10x )＝(2＋x)(100－10x)＝－10(x－4)2＋360(0≤x<10)．当x＝4时，y取得最大值，此时销售单价应为14元，最大利润为360元.一、选择题1．(2020·广东华南师大附中模拟)在股票买卖过程中，经常用到两种曲线，一种是即时价格曲线y＝f(x)，一种是平均价格曲线y＝g(x)(如f(2)＝3表示开始交易后第2小时的即时价格为3元；g(2)＝4表示开始交易后两个小时内所有成交股票的平均价格为4元)．下面所给出的四个图像中，实线表示y＝f(x)，虚线表示y＝g(x)，其中可能正确的是( )[答案] C[解析]本题考查函数及其图像的基本思想和方法，考查学生看图识图及理论联系实际的能力，则开始交易时，即时价格和平均价格应该相等，A错误；开始交易后，平均价格应该跟随即时价格变动，在任何时刻其变化幅度应该小于即时价格变化幅度，B、D均错误，故选C.2．(2020·长沙质检)某医院经调查发现：当还未开始挂号时，有N个人已经在排队等候挂号；开始挂号后，排队的人平均每分钟增加M个．假定挂号的速度是每个窗口每分钟K个人．当开放1个窗口时，40分钟后恰好不会出现排队现象．当同时开放2个窗口时，15分钟后恰好不会出现排队现象．根据以上信息，若要求8分钟不出现排队现象，则需要同时开放的窗口至少有( ) A．4个B．5个C．6个D．7个[答案] A[解析]当开放一个窗口时，N＋40M＝40K；①当开放两个窗口时，N＋15M＝30K. ②由①、②得N＝60M，K＝52 M.设8分钟后不出现排队现象需同时开放x个窗口，则N＋8M≤8x·K，∴60M＋80M≤8x·52M，即68M≤20Mx.∴x ≥3.8，又∵x ∈N ＋， ∴至少需同时开放4个窗口． 二、填空题3．如下图，书的一页的面积为600cm 2，设计要求书面上方空出2cm 的边，下、左、右方都空出1cm 的边，为使中间文字部分的面积最大，这页书的长、宽应分别为________．[答案] 30cm,20cm[解析] 设书的长为a ，宽为b ，则ab ＝600，则中间文字部分的面积S ＝(a －2－1)(b －2)＝606－(2a ＋3b )≤606－26×600＝486，当且仅当2a ＝3b ，即a ＝30，b ＝20时，S max ＝486.4．(2020·湖北文，15)里氏震级M 的计算公式为：M ＝lg A －lg A 0，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A 0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．[答案] 6 10000[解析] 本题考查应用数学解决实际问题的能力． (1)M ＝lg1000－lg0.001＝3＋3＝6.(2)设9级、5级地震最大振幅分别为A 9，A 5，则9＝lg A 9－lg A 0,5＝lg A 5－lg A 0，两式相减得4＝lg A 9－lg A 5＝lg A 9A 5，即A 9A 5＝104，所以9级地震最大振幅是5级地震最大振幅的10000倍．三、解答题5.据气象中心观察和预测：发生于M 地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v (km/h)与时间t (h)的函数图像如下图所示，过线段OC 上一点T (t,0)作横轴的垂线l ，梯形OABC 在直线l 左侧部分的面积即为t (h)内沙尘暴所经过的路程s (km)．(1)当t ＝4时，求s 的值；(2)将s 随t 变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若N 城位于M 地正南方向，且距M 地650km ，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N 城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N 城？如果不会，请说明理由．[分析] 认真审题，准确理解题意，建立函数关系． [解析] (1)由图像可知，当t ＝4时，v ＝3×4＝12， ∴s ＝12×4×12＝24(km)．(2)当0≤t ≤10时，s ＝12·t ·3t ＝32t 2，当10<t ≤20时，s ＝12×10×30＋30(t －10)＝30t －150；当20<t ≤35时，s ＝12×10×30＋10×30＋(t －20)×30－12×(t －20)×2(t －20)＝－t 2＋70t －550.综上可知s ＝⎩⎪⎨⎪⎧32t 2， t ∈[0，10]，30t －150， t ∈10，20]，－t 2＋70t －550， t ∈20，35].(3)∵t ∈[0,10]时，s max ＝32×102＝150<650.t ∈(10,20]时，s max ＝30×20－150＝450<650.∴当t ∈(20,35]时，令－t 2＋70t －550＝650.解得t 1＝30，t 2＝40，∵20<t ≤35，∴t ＝30， 所以沙尘暴发生30h 后将侵袭到N 城．6．(文)某厂生产一种机器的固定成本(即固定投入)为0.5万元，但每生产100台，需要增加可变成本(即另增加投入)0.25万元．市场对此产品的年需求量为500台，销售收入函数为R (x )＝5x －x 22(万元)(0≤x ≤5)，其中x 是产品售出的数量(单位：百台)． (1)把利润表示为年产量的函数； (2)年产量是多少时，工厂所得利润最大？ (3)年产量是多少时，工厂才不亏本？[解析] (1)当x ≤5时，产品能售出x 台；当x >5时，只能售出5百台，故利润函数为L (x )＝R (x )－C (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫5x －x 22－0.5＋0.25x 0≤x ≤5⎝⎛⎭⎪⎫5×5－522－0.5＋0.25xx >5即L (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4.75x －x 22－0.5 0≤x ≤512－0.25x x >5(2)当0≤x ≤5时，L (x )＝4.75x －x 22－0.5，当x ＝4.75时，L (x )max ＝10.78125万元． 当x >5时，L (x )<10.75. ∴生产475台时利润最大． (3)由⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤54.75x －x 22－0.5≥0或⎩⎪⎨⎪⎧x >512－0.25x ≥0得，0.1≤x ≤5或5<x ≤48，∴产品年产量在10台到4800台时，工厂不亏本．(理)(2020·福建理，18)某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝a x －3＋10(x －6)2，其中3<x <6，a 为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．[解析](1)因为x＝5时，y＝11，所以a2＋10＝11，a＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y＝2x－3＋10(x－6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)＝(x－3)[2x－3＋10(x－6)2]＝2＋10(x－3)(x－6)2,3<x<6.从而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6)．于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．7．某加工厂需定期购买原材料，已知每公斤原材料的价格为1.5元，每次购买原材料需支付运费600元．每公斤原材料每天的保管费用为0.03元，该厂每天需消耗原材料400公斤，每次购买的原材料当天即开始使用(即有400公斤不需要保管)．(1)设该厂每x天购买一次原材料，试写出每次购买的原材料在x天内总的保管费用y1(元)关于x的函数关系式；(2)求该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用y(元)最少，并求出这个最小值．[解析](1)每次购买原材料后，当天用掉的400公斤原材料不需要保管，第二天用掉的400公斤原材料需保管1天，第三天用掉的400公斤原材料需保管2天，第四天用掉的400公斤原材料需保管3天，…，第x天(也就是下次购买原材料的前一天)用掉最后的400公斤原材料需保管x－1天．∴每次购买的原材料在x天内的保管费用为y1＝400×0.03[1＋2＋3＋…＋(x－1)]＝6x2－6x.(2)由(1)可知，购买一次原材料的总的费用为6x2－6x＋600＋1.5×400x＝6x2＋594x＋600(元)，∴购买一次原材料平均每天支付的总费用为y＝600x＋6x＋594＝2600x·6x＋594＝714.当且仅当600x＝6x，即x＝10时，取得等号．∴该厂10天购买一次原材料可以使平均每天支付的总费用最少，最少费用为714元．。

第2章 第9课时(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题1．某种商品进价为每件100元，按进价增加25%出售，后因库存积压降价，按九折出售，每件还获利( )A ．25元B ．20.5元C ．15元D ．12.5元解析： 九折出售时价格为100×(1＋25%)×90%＝112.5元，此时每件还获利112.5－100＝12.5元．答案： D2．已知A 、B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A 地前往B 地，到达B 地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A 地，把汽车离开A 地的距离x (千米)表示为时间t (小时)的函数，则下列正确的是( )A ．x ＝60t ＋50t (0≤t ≤6.5)B ．x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t ，0≤t ≤2.5150，2.5＜t ≤3.5150－50t ，3.5＜t ≤6.5C ．x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t ，0≤t ≤2.5150－50t ，t ＞3.5D ．x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t ，0≤t ≤2.5150，2.5＜t ≤3.5150－50t －3.5，3.5＜t ≤6.5解析： 依题意，函数为分段函数，求出每一段上的解析式即可． 答案： D3．在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长10%，专家预测经过x 年可能增长到原来的y 倍，则函数y ＝f (x )的图象大致为( )解析： 设原有荒漠化土地面积为b ，由题意可得y ·b ＝b (1＋10%)x ，即y ＝(1＋10%)x .答案： D4．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据．现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( )A.y ＝2x2C ．y＝12(x 2－1)D ．y ＝2.61cos x解析： 通过检验可知，y ＝log 2x 较为接近． 答案： B5．如图，点P 在边长为1的正方形ABCD 上运动，设点M 为CD 的中点，当点P 沿A →B →C →M 运动时，点P 经过的路程设为x ，△APM 面积设为y ，则函数y ＝f(x )的图象只可能是下图中的( )解析： 据题意可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x x ，34－14x x 54－12x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2<x ≤52，，易知只有A 选项符合条件．答案： A6．将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，t 分钟后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线y＝a e nt.假设5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，若m 分钟后甲桶中的水只有a8，则m 的值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析： 令18a ＝a e nt，即18＝e nt ，因为12＝e 5n ，故18＝e 15n ，比较知t ＝15，m ＝15－5＝10.答案： D 二、填空题7．拟定从甲地到乙地通话m 分钟的电话费由f (x )＝1.06×(0.50×[m ]＋1)给出，其中m ＞0，[m ]是大于或等于m 的最小整数，若通话费为10.6元，则通话时间m ∈________.解析： ∵10.6＝1.06(0.50×[m ]＋1)， ∴0.5[m ]＝9，∴[m ]＝18，∴m ∈(17,18]． 答案： (17,18]8．为了保证信息安全，传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理如下： 明文――→加密密文――→发送密文――→解密明文已知加密为y ＝a x－2(x 为明文、y 为密文)，如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”，再发送，接受方通过解密得到明文“3”，若接受方接到密文为“14”，则原发的明文是________．解析： 依题意y ＝a x－2中，当x ＝3时，y ＝6， 故6＝a 3－2，解得a ＝2.所以加密为y ＝2x－2，因此，当y ＝14时，由14＝2x－2，解得x ＝4. 答案： 49．某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过800元，不享受任何折扣，如果顾客购物总金额超过800元，则超过800元部分享受一定的折扣优惠，按下表折扣分别累计计算.y 关于x 的解析式为 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，0＜x ≤800，x －，800＜x ≤1 300，x －＋25，x ＞1 300.若y ＝30元，则他购物实际所付金额为________元．解析： 若x ＝1 300元，则y ＝5%(1 300－800)＝25(元)＜30(元)，因此x ＞1 300. ∴由10%(x －1 300)＋25＝30，得x ＝1 350(元)． 答案： 1 350 三、解答题10．某旅游商品生产企业2009年某商品生产的投入成本为1元/件，出厂价为流程图的输出结果p 元/件，年销售量为10 000件，因2009年国家长假的调整，此企业为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每件投入成本增加的比例为x (0＜x ＜1)，则出厂价相应提高的比例为0.75x ，同时预计销售量增加的比例为0.8x .已知利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．(1)写出2010年预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式； (2)为使2010年的年利润比2009年有所增加，问：投入成本增加的比例x 应在什么范围内？解析： (1)由流程图可知p ＝1.2. 依题意，得y ＝[1.2×(1＋0.75x )－1×(1＋x )]×10 000×(1＋0.8x )＝－800x 2＋600x ＋2 000(0＜x ＜1)．(2)要保证2010年的年利润比2009年有所增加，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧y ＞－0＜x ＜1，即⎩⎪⎨⎪⎧－800x 2＋600x ＞0，0＜x ＜1，解得0＜x ＜34.11．渔场中鱼群的最大养殖量为m 吨，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留出适当的空闲量．已知鱼群的年增长量y 吨和实际养殖量x 吨与空闲率的乘积成正比，比例系数为k (k ＞0)(空闲率为空闲量与最大养殖量的比值)．(1)写出y 关于x 的函数关系式，并指出这个函数的定义域； (2)求鱼群年增长量的最大值；(3)求鱼群的年增长量达到最大值时k 的取值范围．【解析方法代码108001022】解析： (1)由题意，空闲率为1－x m，所以y ＝kx ⎝⎛⎭⎪⎫1－x m ， 定义域为(0，m )．(2)由(1)得y ＝kx ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x m ＝－k m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －m 22＋km4，因为x ∈(0，m )，k ＞0，所以当x ＝m 2时，y max ＝km4.(3)由题意有0＜x ＋y ＜m ，即0＜m 2＋km4＜m .因为m ＞0，解得－2＜k ＜2，又k ＞0，故k 的取值范围为(0,2)．12．(2010·深圳模拟)某跨国饮料公司在对全世界所有人均GDP(即人均纯收入)在0.5千美元～8千美元的地区销售该公司A 饮料的情况的调查中发现：人均GDP 处在中等的地区对该饮料的销售量最多，然后向两边递减．(1)下列几个模拟函数中(x 表示人均GDP ，单位：千美元，y 表示年人均A 饮料的销量，单位：升)，用哪个模拟函数来描述人均A 饮料销量与地区的人均GDP 关系更合适？说明理由．①y ＝ax 2＋bx ，②y ＝kx ＋b ，③y ＝log a x ＋b ，④y ＝a x＋b .(2)若人均GDP 为1千美元时，年人均A 饮料的销量为2升；若人均GDP 为4千美元时，年人均A 饮料的销量为5升，把(1)中你所选的模拟函数求出来，并求出各个地区中，年人均A 饮料的销量最多是多少？解析： (1)用函数y ＝ax 2＋bx 来描述A 饮料销量与地区的人均GDP 的关系更合适． 因为函数y ＝kx ＋b ，y ＝log a x ＋b ，y ＝a x＋b 在其定义域内都是单调函数，不具备先递增后递减的特征．(2)依题意知，函数过点(1,2)和(4,5)，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝216a ＋4b ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－14b ＝94，∴y ＝－14x 2＋94x (0.5≤x ≤8)，∵y ＝－14x 2＋94x ＝－14⎝⎛⎭⎪⎫x －922＋8116≤8116，∴在各地区中，当x ＝92时，年人均A 饮料销量最多是8116升．。

第 9 讲函数模型及其应用一、知识梳理1．几种常有的函数模型函数模型函数分析式一次函数模型f(x)＝ ax＋ b(a， b 为常数， a≠ 0)二次函数模型f(x)＝ ax2＋ bx＋ c(a， b， c 为常数， a≠ 0)指数函数模型f(x)＝ ba x＋c(a， b， c 为常数，a>0 且 a≠ 1， b≠ 0)对数函数模型f(x)＝ blog a x＋ c(a， b，c 为常数， a>0 且 a≠ 1， b≠0) 幂函数模型f(x)＝ ax n＋b(a， b， n 为常数， a≠ 0， n≠ 0)2.三种函数模型性质比较y＝ a x(a>1) y＝ log a x(a>1) y＝ x n (n>0) 在 (0，＋∞)上的单一性增函数增函数增函数增添速度愈来愈快愈来愈慢相对安稳图象的变化随 x 值增大，图象与 y 随 x 值增大，图象与 x 随 n 值变化而不一样轴靠近平行轴靠近平行常用结论a“对勾”函数 f(x) ＝ x＋x(a>0) 的性质(1) 该函数在 (－∞，－a] 和 [ a，＋∞ )上是增添的，在 [ －a， 0)和 (0 ，a ]上是减少的．(2)当 x>0 时，x＝a时取最小值 2 a；当 x<0 时， x＝－a时取最大值－ 2 a.二、教材衍化某工厂一年中各月份的收入、支出状况的统计图以下图，则以下说法中错误的选项是()A ．收入最高值与收入最低值的比是3∶1B．结余最高的月份是7 月C．1 至 2 月份的收入的变化率与 4 至 5 月份的收入的变化率同样D．前 6 个月的均匀收入为40 万元答案： D一、思虑辨析判断正误 (正确的打“√”，错误的打“×”)(1)幂函数增添比一次函数增添更快．()(2)在 (0，＋∞ )内，跟着x 的增大， y＝ a x(a>1)的增添速度会超出并远远大于的增添速度． ()(3)指数型函数模型，一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实质问题．答案： (1)×(2) √(3) √αy＝ x (α>0)()二、易错纠偏常有误区 (1)忽略实质问题中实质量的单位、含义、范围等；(2)成立函数模型犯错．1．某城市客运公司确立客票价钱的方法是：假如行程不超出100 km，票价是 0.5 元 /km ，假如超出 100 km ，超出 100 km 的部分按 0.4 元 /km 订价，则客运票价 y(元 )与行驶千米数x(km) 之间的函数关系式是．分析：由题意可得0.5x， 0<x≤100，y＝0.4x＋ 10， x>100.0.5x，0<x≤ 100，答案： y＝0.4x＋10， x>1002．生产必定数目商品的所有花费称为生产成本，某公司一个月生产某种商品x 万件时1的生产成本为 C( x)＝ x2＋2x＋ 20(万元 )．一万件售价为 20 万元，为获取更大利润，该公司2一个月应生产该商品数目为万件．分析：设利润为 L(x)，则利润L( x)＝ 20x－ C(x)＝－1(x－18)2＋142，当 x＝18 时， L( x) 2有最大值．答案： 18用函数图象刻画变化过程(师生共研 )汽车的“燃油效率”是指汽车每耗费1升汽油行驶的里程，如图描绘了甲、乙、丙三辆汽车在不一样速度下的燃油效率状况．以下表达中正确的选项是 ()A ．耗费 1 升汽油，乙车最多可行驶 5 千米B．以同样速度行驶同样的行程，三辆汽车中，甲车耗费汽油量最多C．甲车以80 千米 /小时的速度行驶 1 小时，耗费10 升汽油D．某城市灵活车最高限速80 千米 /小时，同样条件下，在该城市用丙车比用乙车更省油【分析】依据图象知耗费 1 升汽油，乙车最多行驶里程大于 5 千米，应选项 A 错；以同样速度行驶时，甲车燃油效率最高，所以以同样速度行驶同样行程时，甲车耗费汽油最少，应选项 B 错；甲车以80 千米 /小时的速度行驶时燃油效率为10 千米 /升，行驶 1 小时，里程为 80 千米，耗费 8 升汽油，应选项 C 错；最高限速80 千米 /小时，丙车的燃油效率比乙车高，所以同样条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，应选项D对．【答案】 D判断函数图象与实质问题变化过程相符合的方法(1)建立函数模型法：当依据题意易建立函数模型时，先成立函数模型，再联合模型选图象．，考证是(2) 考证法：依据实质问题中两变量的变化快慢等特色，联合图象的变化趋向否符合，从中清除不切合实质的状况，选择切合实质状况的答案．(2020 ·广州市综合检测(一 )) 如图，一高为 H 且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔翻开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T. 若鱼缸水深为h 时，水流出所用时间为t，则函数h＝ f(t)的图象大概是( )分析：选 B.水位由高变低，清除C， D. 半缸前降落速度先快后慢，半缸后降落速度先慢后快，应选 B.二次函数、分段函数、“对勾”函数模型(师生共研 )小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场检查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3 万元，每生产x万件，需另投入流动成本为W(x)万元，在年产量不足8 万件时，W(x)＝1x 2 ＋ x(万元 )．在年3产量不小于 8 万件时， W(x)＝6x ＋100x －38(万元 )．每件产品售价为5 元．经过市场剖析，小王生产的商品能当年所有售完．(1)写出年利润 L(x)(万元 )对于年产量 x(万件 )的函数分析式； (注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所赢利润最大？最大利润是多少？【解】 (1) 由于每件商品售价为 5 元，则 x 万件商品销售收入为 5x 万元，依题意得 ，当 0<x<8 时，1 1L(x)＝ 5x － 3x 2 ＋x － 3＝－ 3x 2＋ 4x － 3；当 x ≥ 8 时， L(x)＝ 5x － 6x ＋ 100－ 38 － 3＝35－ x ＋ 100 .xx－ 1x 2＋ 4x －3， 0<x<8， 3所以 L(x)＝10035－ x ＋ x，x ≥ 8.(2)当 0< x<8 时， L(x)＝－ 1 (x － 6)2＋ 9.3此时 ，当 x ＝ 6 时， L(x)获得最大值 L(6)＝ 9 万元．当 x ≥ 8 时，L(x)＝ 35－100≤35－2100 － 20＝15，当且仅当 x ＝ 100 x ＋ x x · ＝35时等xx号成立 ，即 x ＝ 10 时， L(x)获得最大值 15 万元．由于 9<15，所以当年产量为10 万件时，小王在这一商品的生产中所赢利润最大，最大利润为 15 万元．建模解决实质问题的三个步骤(1)建模：抽象出实质问题的数学模型．(2)推理、演算：对数学模型进行逻辑推理或数学演算，获取问题在数学意义上的解．(3)评论、解说：对求得的数学结果进行深入的议论，作出评论、解说，返回到本来的实质问题中去，获取实质问题的解．即：[提示 ] (1)建立函数模型时不要忘掉考虑函数的定义域．(2)利用模型f(x)＝ ax＋bx求解最值时，注意获得最值时等号成立的条件．1．某养殖场需按期购置饲料，已知该养殖场每日需要饲料200 千克，每千克饲料的价格为 1.8 元，饲料的保存费与其余花费均匀每千克每日0.03 元，购置饲料每次支付运费300 元．则该养殖场多少天购置一次饲料才能使均匀每日支付的总花费最少．解：设该养殖场x(x∈N ＋ )天购置一次饲料能使均匀每日支付的总花费最少，设总花费为y 元．由于饲料的保存费与其余花费每日比前一天少200× 0.03＝ 6(元 )，所以x 天饲料的保存费与其余花费共是6(x－ 1)＋ 6(x－ 2)＋＋6＝ (3x2－3x)元．进而有y＝1(3x2－ 3x＋300)＋ 200× 1.8＝ 300＋ 3x＋ 357≥ 2x x300x ·3x＋357＝ 417，当且仅当 300x＝3x，即x＝10 时， y 有最小值．故该养殖场10 天购置一次饲料才能使均匀每日支付的总花费最少．2．据气象中心察看和展望：发生于沿海M 地的台风向来向正南方向挪动，其挪动速度v(km/h) 与时间t(h) 的函数图象以下图，过线段OC 上一点T(t， 0) 作横轴的垂线l，梯形OABC 在直线l 左边部分的面积即为时间t(h)内台风所经过的行程s(km) ．(1)当 t ＝4 时，求s 的值；(2)将 s 随t 变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若N 城位于M 地正南方向， 且距M 地650 km ，试判断这场台风能否会侵袭到N 城，假如会，在台风发生后多长时间它将侵袭到解： (1)由题图可知 ，直线 OA 的方程是 N 城？假如不会，请说明原因．v ＝3t ，直线 BC 的方程是 v ＝－ 2t ＋70.当 t ＝ 4 时，v ＝ 12，所以 s ＝ 12× 4× 12＝ 24.(2)当 0≤ t ≤ 10 时， s ＝ 1× t × 3t ＝ 3t 2； 2 2当 10<t ≤ 20 时， s ＝12×10× 30＋ (t － 10)×30＝ 30t － 150；当 20<t ≤ 35 时， s ＝ 150＋ 300＋1× (t － 20)× (－2t ＋70＋ 30)＝－ t 2＋ 70t －550. 2 综上可知 ， s 随 t 变化的规律是3 2，2 t ， t ∈ [0， 10]s ＝30t －150， t ∈（ 10， 20] ，－ t 2＋ 70t － 550， t ∈（ 20， 35].(3)当 t ∈[0， 10]时， s max ＝ 3× 102＝ 150<650，2 当 t ∈ (10， 20] 时， s max ＝ 30× 20－ 150＝ 450<650，当 t ∈ (20， 35] 时，令－ t 2＋ 70t － 550＝650，解得 t ＝ 30 或 t ＝ 40(舍去 )，即在台风发生30 小时后将侵袭到 N 城．指数、对数函数模型(师生共研 )(1) (2020 陕·西商洛一模 )一个放射性物3的质量发生衰变．若该物质余下质量不超出原有质不停衰变成其余物质，每经过一年就有4的 1%，则起码需要的年数是 ()A ． 6 B． 5C．4 D． 3(2)里氏震级 M 的计算公式为： M＝ lg A－ lg A ，此中 A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅， A0是相应的标准地震的振幅．假定在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是 1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为级； 9 级地震的最大振幅是 5 级地震最大振幅的倍．【分析】 (1) 设这类放射性物质最先的质量为1，经过 x(x∈ N)年后，节余量是 y.则有1 x 1 x 1y＝4 ，依题意得 4 ≤100，整理得22x≥ 100，解得 x≥ 4，所以起码需要的年数是4，故选 C.(2)M ＝lg 1 000 － lg 0.001 ＝ 3－ (－ 3)＝ 6.设 9 级地震的最大振幅和 5 级地震的最大振幅分别为 A 1 210A 1，，A ，则 9＝ lg A － lg A ＝ lg A 0则A 1＝ 109，A 05＝ lg A 2A 2，则A 2＝ 105 ，所以A 1＝ 104－ lg A ＝lg A 0 A 0 A 2 .即 9 级地震的最大振幅是 5 级地震最大振幅的 10 000 倍．【答案】(1)C (2)6 10 000指数型、对数型函数模型(1) 在实质问题中 ，相关人口增添、银行利率、细胞分裂等增添率问题常用指数函数模型表示．往常能够表示为y ＝N(1＋ p)x (此中 N 为基础数 ，p 为增添率 ， x 为时间 )的形式．解题时 ，常常用到对数运算 ，要注意与已知表格中给定的值对应求解．(2) 相关对数型函数的应用题 ，一般都会给出函数分析式 ，要求依据实质状况求出函数分析式中的参数 ，或给出详细情境 ，从中提炼出数据 ，代入分析式求值 ，而后依据值回答其实质意义．候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模地迁移，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞翔速度v(单位： m/s)与其耗氧量 QQ之间的关系为： v ＝ a ＋ blog 310(此中 a ， b 是实数 )．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30 个单位，而其耗氧量为90 个单位时，其飞翔速度为1 m/s.(1)求出 a ， b 的值；(2)若这类鸟类为赶行程，飞翔的速度不可以低于2 m/s ，则其耗氧量起码要多少个单位？解： (1)由题意可知 ，当这类鸟类静止时，它的速度为 0 m/s ，此时耗氧量为30 个单位 ，30故有 a ＋ blog 3 ＝ 0，即 a ＋b ＝ 0；当耗氧量为 90 个单位时 ，速度为 1 m/s ，故 a ＋blog 390＝ 1，整理得 a ＋ 2b ＝1.10解方程组 a ＋b ＝ 0，a ＝－ 1，得b ＝ 1.a ＋2b ＝ 1，(2)由 (1) 知， v ＝ a ＋blog 3Q＝－ 1＋ log 3 Q2 m/s ，则有 v ≥ 2，10 10.所以要使飞翔速度不低于所以－ 1＋ log 3 Q≥2，10即 log 3 Q ≥ 3，解得Q≥ 27，即 Q ≥ 270.1010所以若这类鸟类为赶行程，飞翔的速度不可以低于 2 m/s ，则其耗氧量起码要 270 个单位．中心修养系列6数学建模——函数建模在实质问题中的妙用数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法建立模型解决问题的过程．主要包含：在实质情境中从数学的视角发现问题、提出问题，剖析问题、建立模型，求解结论，考证结果并改良模型，最后解决实质问题．某新式公司为获取更大利润，须不停加大投资，若估计年利润低于10%时，则该公司就考虑转型，下表显示的是某公司几年来年利润y( 百万元 )与年投资成本x(百万元 )变化的一组数据：年份2008 2009 2010 2011投资成本x35917年利润 y123 4给出以下 3 个函数模型：① y＝ kx＋ b(k≠ 0)；②y＝ ab x(a≠0，b＞0，且 b≠ 1)；③ y＝ log a(x ＋b)( a＞0，且 a≠1)．(1) 选择一个适合的函数模型来描绘x， y 之间的关系；(2) 试判断该公司年利润超出 6 百万元时，该公司能否要考虑转型．【解】 (1) 将(3， 1)， (5， 2)代入 y＝ kx＋ b(k≠ 0)，1＝ 3k＋ b，1，k＝2得2＝5k＋ b，解得1b＝－，21 1所以 y＝2x－2.当 x＝ 9 时， y＝ 4，不切合题意；将 (3， 1)， (5，2) 代入 y＝ ab x(a≠ 0， b＞0，且 b≠1)，1＝ ab3，a＝2，x－ 3得解得4所以 y＝2·( 2)x＝ 2 2 .2＝ ab5，b＝2， 49－ 3当 x＝ 9 时， y＝ 2 2＝ 8，不切合题意；将 (3， 1)， (5，2) 代入 y＝ log a(x＋ b)(a＞ 0，且 a≠ 1)，1＝ log a（ 3＋ b），a＝ 2，得解得所以 y＝ log 2(x－ 1)．2＝log a（ 5＋ b），b＝－ 1，当 x＝ 9 时， y＝ log28＝ 3；当 x＝ 17 时， y＝log 216＝4.故可用③来描绘 x， y 之间的关系．(2)令 log 2(x－ 1)>6，则 x>65.由于年利润6 ＜10%，所以该公司要考虑转型．65依据实质问题选择函数模型时应注意以下几点(1)若能够依据实质问题作出知足题意的函数图象，可联合图象特色选择．(2)当研究的问题体现先增添后减少的特色时，能够采用二次函数模型y＝ ax2＋ bx＋ c(a，b，c 均为常数，a<0) ；当研究的问题体现先减少后增添的特色时，能够采用二次函数模型 y ＝ax2＋bx＋ c(a， b，c 均为常数， a>0)．(3)对数函数 (底数大于 1 时 )增添愈来愈慢，而指数函数 (底数大于 1 时) 增添愈来愈快．某地西红柿上市后 ，经过市场检查 ，获取西红柿的栽种成本Q(单位：元 /100 kg) 与上市时间 t(单位：天 )的数据以下表：时间 t 60 100 180栽种成本 Q11684116依据上表数据 ，从以下函数中选用一个函数描绘西红柿的栽种成本 Q 与上市时间 t 的变化关系：Q ＝ at ＋ b ， Q ＝ at 2 ＋bt ＋c ， Q ＝ a ·b t ， Q ＝ a ·log b t. 利用你选用的函数 ，求：(1)西红柿栽种成本最低时的上市天数是；(2)最低栽种成本是元 /100 kg.分析： 由于跟着时间的增添 ，栽种成本先减少后增添 ，并且当 t ＝ 60 和 t ＝ 180 时栽种成真相等 ，再联合题中给出的四种函数关系可知，栽种成本与上市时间的变化关系应当用二次函数 Q ＝ at 2＋ bt ＋ c ，即 Q ＝ a(t － 120)2＋ m 描绘 ，将表中数据代入可得a （60－ 120）2＋m ＝116， a ＝ 0.01，a （100－ 120） 2＋ m ＝84， 解得m ＝ 80，所以 Q ＝ 0.01(t － 120)2＋ 80，故当上市天数为 120 时，栽种成本取到最低值 80 元 /100 kg. 答案： (1)120 (2)80[基础题组练]1．某电视新产品投放市场后第一个月销售100 台，第二个月销售200 台，第三个月销售 400 台，第四个月销售790 台，则以下函数模型中能较好地反应销量y 与投放市场的月数x 之间关系的是( )A ． y＝ 100x B． y＝ 50x2－50x＋ 100C．y＝ 50× 2x D． y＝ 100log2 x＋100分析：选 C.依据函数模型的增添差别和题目中的数据可知，应为指数型函数模型，代入数据考证即可得．应选 C.2．已知正方形 ABCD P 运动的行程为 x，△ ABP 的边长为的面积为4，动点 P 从 B 点开始沿折线S，则函数S＝f(x)的图象是 (BCDA)向A 点运动．设点分析：选 D. 依题意知当0≤ x≤4 时， f(x) ＝2x；当 4<x≤8 时， f(x)＝ 8；当 8<x≤ 12 时，f(x)＝ 24－ 2x，察看四个选项知 D 项切合要求．3．成都市某物流公司为了配合“北改”项目顺利进行，决定把三环内的租用库房搬家到北三环外从头租地建设．已知库房每个月占用费 y 1与库房到车站的距离成反比，而每个月车载货物的运费 y 2 与库房到车站的距离成正比．据测算，假如在距离车站10 千米处建库房，这两项花费 y 1，y 2 分别是 2 万元和 8 万元， 那么要使这两项花费之和最小， 库房应建在离车站()A ．5 千米处B ． 4 千米处C ．3 千米处D ． 2 千米处分析 ：选 A. 设库房应建在离车站 x 千米处．由于库房每个月占用费 y 1 与库房到车站的距离成反比 ，所以令反比率系数为m(m>0)，则 y 1m1m＝ 2，所以 m ＝ 20.＝ x .当 x ＝ 10 时， y ＝ 10由于每个月车载货物的运费 y 2 与库房到车站的距离成正比，所以令正比率系数为n(n>0)，则420 4xy 2＝ nx.当 x ＝ 10 时， y 2 ＝ 10n ＝ 8 ，所以 n ＝ 5. 所以两项花费之和为 y ＝ y 1 ＋ y 2＝ x ＋ 5≥2 20 4x 20 4x，仓 x · ＝ 8，当且仅当 ＝ ，即 x ＝ 5 时取等号．所以要使这两项花费之和最小5 x 5 库应建在离车站 5 千米处．应选 A.4．某高校为提高科研能力， 计划逐年加大科研经费投入． 若该高校 2017 年整年投入科 研经费 1 300 万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增添12% ，则该高校整年投入的科研经费开始超出 2 000 万元的年份是 (参照数据： lg 1.12 ≈ 0.05，lg 1.3 ≈ 0.11， lg 2 ≈0.30)()A ．2020 年B ． 2021 年C ．2022 年D ． 2023 年分析：选 B.若 2018 年是第一年 ，则第 n 年科研费为 1 300× 1.12n ，由 1 300× 1.12 n>2 000，可得 lg 1.3＋ n lg 1.12>lg 2 ，得 n × 0.05>0.19， n>3.8，n ≥ 4，即 4 年后 ，到 2021 年科研经费 超出 2 000 万元．应选 B.5． (2019 高·考北京卷 )在天文学中，天体的明暗程度能够用星等或亮度来描绘．两颗星 的星等与亮度知足5 E 1m k 的星的亮度为 E k (k ＝ 1， 2)．已知太阳的m 2－ m 1＝ lg ，此中星等为 2 E 2 星等是－ 26.7，天狼星的星等是－ 1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为()A. 10 10.1B. 10.1C. lg 10.1D. 10－10.1分析： 选 A. 依据题意 ，设太阳的星等与亮度分别为 m 1 与 E 1，天狼星的星等与亮度分别为 m 2 与 E 2，则由已知条件可知 m 1＝－ 26.7，m 2＝－ 1.45，依据两颗星的星等与亮度知足 m 25 E 5 EE 1 －m 1＝ lg 1 ，把 m 1 与 m 2 的值分别代入上式得 ，－ 1.45－ (－ 26.7)＝lg 1，得 lgE 2 2 E 2 ＝ 10.1，2E 2 所以 E 1＝ 1010.1，应选 A. E 26．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的状况．加油时间加油量 (升 ) 加油时的累计里程(千米 ) 2019年5月1日12 35 0002019年 5月 15 日48 35 600注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的行程．在这段时间内，该车每100 千米均匀耗油量为升．分析：由于每次都把油箱加满，第二次加了48 升油，说明这段时间总耗油量为48 升，而行驶的行程为 35 600－ 35 000＝ 600(千米 )，故每 100 千米均匀耗油量为48÷ 6＝8(升) ．答案： 87．李冶 (1192－1279) ，真定栾城 (今河北省石家庄市)人，金元期间的数学家、诗人，晚年在封龙山隐居讲学，数学著作多部，此中《益古演段》主要研究平面图形问题：求圆的直径、正方形的边长等．此中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，此中水池的边沿与方田四边之间的面积为13.75 亩，若方田的四边到水池的近来距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是步、步． (注： 240 平方步为 1 亩，圆周率按 3 近似计算 )分析：设圆池的半径为r 步，则方田的边长为(2r ＋40)步，由题意，得 (2r ＋ 40)2－ 3r2＝13.75× 240，解得 r＝10 或 r＝－ 170(舍 )，所以圆池的直径为 20 步，方田的边长为60 步．答案： 20 608．一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100 万元，别的每生产 1 件该产品还需要增添投资 1 万元，年产量为x(x∈N ＋)件．当 x≤ 20 时，年销售总收入为(33x－ x2)万元；当 x ＞20 时，年销售总收入为260 万元．记该工厂生产并销售这类产品所得的年利润为y 万元，则 y( 万元 )与 x(件 )的函数关系式为 ____________，该工厂的年产量为 ________件时，所得年利润最大 (年利润＝年销售总收入－年总投资 ) ．分析：当 0<x≤ 20 时， y＝ (33x－ x2)－ x－ 100＝－ x2＋ 32x－ 100；当 x＞ 20 时， y＝260 －100－ x＝160－ x.－x2＋ 32x－ 100， 0<x≤20，故 y＝(x∈ N＋ )．160－ x，x＞ 20当 0<x≤20 时， y＝－ x2＋ 32x－ 100＝－ (x－ 16)2＋ 156，x＝ 16 时， y max＝ 156.而当 x＞ 20 时， 160－ x<140，故当 x＝ 16 时获得最大年利润．－x2＋ 32x－ 100，0<x≤ 20，答案： y＝( x∈N ＋ ) 16160－ x， x＞ 209.以下图，已知边长为8 米的正方形钢板有一个角被锈蚀，此中AE＝4 米， CD＝6 米．为了合理利用这块钢板，在五边形 ABCDE 内截取一个矩形BNPM ，使点 P 在边 DE 上．(1)设 MP ＝ x 米， PN＝ y 米，将 y 表示成 x 的函数，求该函数的分析式及定义域；(2)求矩形 BNPM 面积的最大值．解： (1)作 PQ⊥AF 于点 Q，所以 PQ＝8－ y， EQ＝ x－ 4，在△EDF 中，EQ＝EF，所以x－ 4 4 1PQ FD＝，所以 y＝－x＋ 10，定义域为 { x|4≤ x≤8} ．8－ y 2 2(2)设矩形 BNPM 的面积为 S，则 S(x)＝ xy＝ x 10－x 21x＝ 10，＝－ ( x－ 10)2＋ 50，所以 S(x)是对于 x 的二次函数，且其张口向下，对称轴为2所以当 x∈ [4，8] 时， S(x)是增添的，所以当 x＝ 8 时，矩形 BNPM 面积获得最大值48 平方米．10．某公司对营销人员有以下规定：①年销售额x(单位：万元 )在 8 万元以下，没有奖金；②年销售额 x(单位：万元 )，x ∈ [8，64] 时，奖金为 y 万元，且 y ＝ log a x ， y ∈ [3， 6]，且年销售额越大，奖金越多；③年销售额超出 64 万元，按年销售额的 10%发奖金．(1)求奖金 y 对于 x 的函数分析式；(2)若某营销人员争取奖金 y ∈ [4，10]( 单位：万元 )，则年销售额 x(单位：万元 )在什么范围内？log 8＝ 3，解： (1)依题意 ， y ＝ log a x 在 x ∈ [8，64] 上为增函数 ，所以a解得 a ＝ 2，所以log 64＝ 6，a0， 0≤ x<8，log 2x ， 8≤x ≤ 64，y ＝110x ， x>64.(2)易知 x ≥ 8，当 8≤ x ≤ 64 时，要使 y ∈ [4，10] ，则 4≤ log 2x ≤10，解得 16≤ x ≤1 024，所以 16≤ x ≤64；当 x>64 时，要使 y ∈ [4，10]，则 40≤ x ≤ 100，所以 64<x ≤100. 综上所述 ，当年销售额 x ∈ [16 ， 100] 时，奖金 y ∈[4 ，10] ．[综合题组练 ]1． (创新式 ) 我们定义函数 y ＝[ x]([ x] 表示不大于 x 的最大整数 )为“下整函数”；定义y＝{ x}({ x} 表示不小于 x 的最小整数 )为“上整函数”；比如 [4.3] ＝ 4，[5] ＝ 5；{4.3} ＝ 5，{5}＝5.某泊车场收费标准为每小时2 元，即不超出 1 小时 (包含 1 小时 )收费 2 元，超出一小时，不超出 2 小时 (包含 2 小时 )收费 4 元，以此类推．若李刚泊车时间为 x 小时，则李刚对付费为( 单位：元 )()A ． 2[x ＋ 1]C ．2{ x}B ． 2([ x] ＋ 1)D ． {2 x}分析： 选 C. 如 x ＝ 1 时，对付费 2 元，此时 2[x ＋1] ＝4， 2([ x] ＋1) ＝4，清除 A ，B ；当 x ＝ 0.5 时，付费为 2 元，此时 {2 x} ＝ 1，清除 D ，应选 C.2．一个容器装有细沙 a cm 3，细沙冷静器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min后节余的细沙量为y ＝ ae －bt (cm 3)，经过 8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一．分析： 当 t ＝ 0 时， y ＝a ；当 t ＝ 8 时，y ＝ ae － 8b ＝1a ，故 e －8b ＝ 1.22当容器中的沙子只有开始时的八分之一时－bt1 －bt1 －b－24 b ， ，即 y ＝ ae ＝a ， e ＝ ＝ (e8)3＝ e88则 t ＝24，所以再经过 16 min 容器中的沙子只有开始时的八分之一．答案： 163．某旅行景点估计 2019 年 1 月份起前 x 个月的旅行人数的和 p(x)( 单位：万人 )与 x 的关系近似为 p(x)＝1x( x ＋1) ·(39－ 2x)(x ∈N ＋，且 x ≤ 12)．已知第 x 个月的人均花费额 q(x)(单235－ 2x ， x ∈ N ＋ ，且 1≤ x ≤6，位：元 )与 x 的近似关系是 q(x)＝ 160 ， x ∈N ＋ 且 7≤x ≤ 12.x(1)写出 2019 年第 x 个月的旅行人数 f( x)(单位：万人 )与 x 的函数关系式；(2)试问 2019 年第几个月的旅行花费总数最大？最大月旅行花费总数为多少元？1解：(1)当 x ＝ 1 时，f(1) ＝ p(1) ＝ 37，当 2≤ x ≤12，且 x ∈ N ＋时，f(x)＝ p(x)－ p(x － 1)＝2x(x＋ 1)(39 －2x)－ 1x(x － 1)(41－ 2x)＝－ 3x 2＋40x ，经考证 x ＝ 1 时也知足此式． 2所以 f(x)＝－ 3x 2＋ 40x(x ∈N ＋ ，且 1≤ x ≤ 12)． (2)第 x(x ∈ N ＋)个月的旅行花费总数为g(x)＝（－ 3x 2＋ 40x ）（ 35－ 2x ）， x ∈ N ＋ ，且 1≤ x ≤ 6， － 480x ＋ 6 400， x ∈ N ＋，且 7≤ x ≤12.①当 1≤ x ≤ 6，且 x ∈ N ＋ 时， g ′ (x)＝ 18x 2－ 370x ＋ 1 400，140令 g ′(x)＝ 0，解得 x ＝ 5 或 x ＝ 9 (舍去 )．当 1≤x ≤ 5 时， g ′ (x)≥0，当 5<x ≤ 6 时， g ′ (x)<0 ，所以 g( x)max ＝ g(5) ＝ 3 125；②当 7≤ x ≤ 12，且 x ∈ N 时，g(x)＝－ 480x ＋ 6 400 是减函数， 所以 g(x)max ＝ g(7) ＝ 3 040.＋综上， 2019 年 5 月份的旅行花费总数最大，最大月旅行花费总数为 3 125 万元．4．某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获取投资利润的范围是 [10 ，100]( 单位：万元 ) ．现准备拟订一个对科研课题组的奖赏方案：资本 y(单位：万元 )随投资收益 x( 单位：万元 ) 的增添而增添且资本不超出5 万元，同时资本不超出投资利润的20%.(1)若成立函数模型 y ＝ f(x) 拟订奖赏方案，请你依据题意，写出奖赏函数模型应知足的条件；1(2)现有两个奖赏函数模型：(ⅰ )y ＝ 20x ＋1；(ⅱ )y ＝ log 2x － 2.试剖析这两个函数模型能否切合公司要求．解： (1)设奖赏函数模型为y ＝ f(x)，则该函数模型知足的条件是：①当 x ∈[10， 100] 时， f(x)是增函数；②当 x ∈[10， 100] 时， f(x)≤ 5 恒成立；③当 x ∈[10， 100] 时， f(x)≤ x5恒成立．1(2)(a)对于函数模型 (ⅰ )y ＝20x ＋ 1，它在 [10， 100] 上是增函数 ，知足条件 ① ；但当 x ＝80 时， y ＝5，所以 ，当 x>80 时，y>5，不知足条件 ② ；故该函数模型不切合公司要求．(b)对于函数模型 (ⅱ )y ＝ log 2x － 2，它在 [10， 100] 上是增函数 ，知足条件 ①，x ＝100 时， y max ＝ log 2100－ 2＝2log 25<5，即 f(x)≤ 5 恒成立．知足条件 ②，设 h(x)＝ log 2x － 2－ 1x ，则 h ′(x)＝log2e － 1，5x 5又 x ∈ [10，100] ，所以 1001≤ 1x ≤ 101，所以 h ′(x)≤ log 2e1 2 1＝0，－ < 10 － 10 5 5x所以 h(x)在 [10 ， 100]上是减少的 ，所以 h(x)≤ h(10)＝ log 210－ 4<0 ，即 f(x)≤ 5恒成立 ，知足条件 ③，故该函数模型切合公司要求．综上所述 ，函数模型 (ⅱ )y ＝ log 2x － 2 切合公司要求．。

2.9函数模型及其应用必备知识预案自诊知识梳理1.常见的函数模型(1)一次函数模型:f(x)=kx+b(k,b为常数,k≠0);(2)二次函数模型:f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0);(3)反比例函数模型:f(x)=kx(k为常数,k≠0);(4)指数型函数模型:f(x)=ab x+c(a,b,c为常数,a≠0,b>0,b≠1);(5)对数型函数模型:f(x)=m log a x+n(m,n,a为常数,m≠0,a>0,a≠1);(6)幂型函数模型:f(x)=ax n+b(a,b,n为常数,a≠0);(7)分段函数模型:y={f1(x),x∈D1, f2(x),x∈D2, f3(x),x∈D3;(8)对勾函数模型:y=x+ax(a为常数,a>0).2.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)幂函数增长比一次函数增长更快.()(2)在(0,+∞)内,随着x的增大,y=a x(a>1)的增长速度会超过并远远大于y=xα(α>0)的增长速度.()(3)指数型函数模型,一般用于解决变化较快,短时间内变化量较大的实际问题.()(4)f (x )=x 2,g (x )=2x ,h (x )=log 2x ,当x ∈(4,+∞)时,恒有h (x )<f (x )<g (x ). ()(5)“指数爆炸”是指数型函数y=a ·b x +c (a>0,b>1)增长速度越来越快的形象比喻. ()2.(2020山东潍坊临朐模拟二,3)某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油时的情况.注:“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程.在这段时间内,该车每100千米平均耗油量为()A.6升B.8升C.10升D.12升3.(2020北京平谷二模,9)溶液酸碱度是通过pH 计算的,pH 的计算公式为pH =-lg [H +],其中[H +]表示溶液中氢离子的浓度,单位是摩尔/升,若人体胃酸中氢离子的浓度为2.5×10-2摩尔/升,则胃酸的pH 是()(参考数据:lg 2≈0.301 0)A.1.398B.1.204C.1.602D.2.602 4.某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案,在销售额x 为8万元时,奖励1万元,销售额x 为64万元时,奖励4万元.若公司拟定的奖励模型为y=a log 4x+b.某业务员要得到8万元奖励,则他的销售额应为万元.5.(2020北京朝阳期中质检,13)在一个房间使用某种消毒剂后,该消毒剂中的某种药物含量y (单位:mg/m 3)随时间t (单位:h)变化的规律可表示为y={at ,0<t <12,1at ,t ≥12,(a>0)如图所示,则a=.实验表明,当房间中该药物含量不超过0.75 mg/m 3时对人体无害,为了不使人体受到该药物的伤害,则使用该消毒剂对这个房间进行消毒后至少经过小时方可进入.关键能力学案突破考点 利用函数图像刻画实际问题【例1】(2020北京东城一模,10)假设存在两个物种,前者有充足的食物和生存空间,而后者仅以前者为食物,则我们称前者为被捕食者,后者为捕食者.现在我们来研究捕食者与被捕食者之间理想状态下的数学模型.假设捕食者的数量以x (t )表示,被捕食者的数量以y (t )表示.如图描述的是这两个物种随时间变化的数量关系,其中箭头方向为时间增加的方向.下列说法正确的是()A.若在t 1,t 2时刻满足:y (t 1)=y (t 2),则x (t 1)=x (t 2)B.如果y (t )数量是先上升后下降的,那么x (t )的数量一定也是先上升后下降C.被捕食者数量与捕食者数量不会同时到达最大值或最小值D.被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时,捕食者的数量也会达到最大值解题心得用函数图像刻画实际问题的解题思路将实际问题中两个变量间变化的规律(增长的快慢、最大、最小等)与函数的性质(单调性、最值等)、图像(增加、减少的缓急等)相吻合即可.对点训练1(2020北京顺义一模,14)某部影片的盈利额(即影片的票房收入与固定成本之差)记为y,观影人数记为x,其函数图像如图1所示.由于目前该片盈利未达到预期,相关人员提出了两种调整方案,图2、图3中的实线分别为调整后y与x的函数图像.给出下列四种说法:①图2对应的方案是:提高票价,并提高成本;②图2对应的方案是:保持票价不变,并降低成本;③图3对应的方案是:提高票价,并保持成本不变;④图3对应的方案是:提高票价,并降低成本.其中,正确的说法是.(填写所有正确说法的编号)考点已知函数模型解决实际问题【例2】(1)(2020全国3,理4)Logistic模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位:天)的Logistic模型:I(t)=K1+e-0.23(t-53),其中K为最大确诊病例数.当I(t*)=0.95K时,标志着已初步遏制疫情,则t*约为()(参考数据:ln 19≈3)A.60B.63C.66D.69(2)(2020北京人大附中二模,15)对于某种类型的口服药,口服x小时后,由消化系统进入血液中药物浓度y(单位:单位)与时间x(单位:小时)的关系为y=k(e-at-e-bt),其中k>0,b>a>0为常数,对于某一种药物k=4,a=1,b=2.①口服药物后小时血液中药物浓度最高;②这种药物服药n(n∈N一个病人上午8:00第一次服药,要使得病人血液中药物浓度保持在0.5个单位以上,第三次服药时间是.(时间以整点为准)解题心得利用已知函数模型解决实际问题的步骤若题目给出了含参数的函数模型,或可确定其函数模型的图像,求解时先用待定系数法求出函数解析式中相关参数的值,再用求得的函数解析式解决实际问题.对点训练2(1)(2020北京房山区二模,9)把物体放在冷空气中冷却,如果物体原来的温度是θ1℃,空气的温度是θ0℃,经过t分钟后物体的温度θ℃可由公式θ=θ0+(θ1-θ0)e-kt求得,其中k 是一个随着物体与空气的接触状况而定的大于0的常数.现有80 ℃的物体,放在20 ℃的空气中冷却,4分钟以后物体的温度是40 ℃,则k约等于(参考数据:ln 3≈1.099)()A.0.6B.0.5C.0.4D.0.3(2)对于一个声强为I(单位:W/m2)的声波,其声强级L(单位:dB)可由如下公式计算:L=10lg II0(其中I0是能引起听觉的最弱声强).设声强为I1时的声强级为70 dB,声强为I2时的声强级为60 dB,则I1是I2的倍.考点构建函数模型解决实际问题(多考向探究)考向1二次函数模型【例3】(2020山东省实验中学月考)某家庭进行理财投资,根据长期收益率市场预测,投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比,投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元,0.5万元.(1)分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系;(2)若该家庭有20万元资金,全部用于理财投资,问:怎样分配资金能使投资获得最大收益,其最大收益是多少万元?解题心得在现实生活中,很多问题涉及的两个变量之间是二次函数关系,如面积问题、利润问题、产量问题等.构建二次函数模型,利用二次函数的图像与单调性解决.对点训练3经市场调查,某商品在过去100天内的销售量和价格均为时间t (单位:天)的函数,且日销售量近似地满足g (t )=-13t+1123(1≤t ≤100,t ∈N ).前40天价格为f (t )=14t+22(1≤t ≤40,t ∈N ),后60天价格为f (t )=-12t+52(41≤t ≤100,t ∈N ),试求该商品的日销售额S (t )的最大值和最小值.考向2分段函数模型【例4】国庆期间,某旅行社组团去风景区旅游,若每团人数在30人或30人以下,飞机票每张收费900元;若每团人数多于30人,则给予优惠:每多1人,机票每张减少10元,直到达到规定人数75人为止.每团乘飞机,旅行社需付给航空公司包机费15 000元.(1)写出飞机票的价格关于人数的函数;(2)每团人数为多少时,旅行社可获得最大利润?解题心得1.在现实生活中,很多问题的两个变量之间的关系不能用同一个关系式给出,而是由几个不同的关系式构成分段函数.如出租车票价与路程之间的关系就是分段函数.2.分段函数主要是每一段上自变量变化所遵循的规律不同,可以先将其作为几个不同问题,将各段的规律找出来,再将其合在一起.要注意各段变量的范围,特别是端点.对点训练4已知某公司生产某款手机的年固定成本为40万元,每生产1万部还需另投入16万元.设该公司一年内共生产该款手机x 万部并全部销售完,每万部的销售收入为R (x )万元,且R (x )={400-6x ,0<x ≤40,7400x -40000x 2,x >40. (1)写出年利润W (单位:万元)关于年产量x (单位:万部)的函数解析式;(2)当年产量为多少万部时,该公司在该款手机的生产中所获得的利润最大?并求出最大利润.考向3指数型、对数型函数模型【例5】某城市现有人口总数为100万人,如果年自然增长率为1.2%,试解答以下问题:(1)写出该城市人口总数y (单位:万人)与年份x (单位:年)的函数关系式;(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人);(3)计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人.(精确到1年)(参数数据:1.01210≈1.127,1.01215≈1.196,1.01216≈1.210,log 1.0121.2≈15.3)解题心得1.在实际问题中,有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示.通常可以表示为y=N (1+p )x (其中N 为基础数,p 为增长率,x 为时间)的形式.解题时,往往用到对数运算,要注意与参考数据对应求解.2.有关对数型函数的应用题,一般都会给出函数解析式,要求根据实际情况求出函数解析式中的参数,或给出具体情境,从中提炼出数据,代入解析式求值,然后根据值回答其实际意义.对点训练5(1)(2020北京东城一模,9)已知某池塘中的荷花每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍,若荷叶20天可以完全长满池塘水面,则当荷叶刚好覆盖水面面积一半时,荷叶已生长了()A.10天B.15天C.19天D.2天(2)(2020北京延庆一模,9)某企业生产A,B两种型号的产品,每年的产量分别为10万支和40万支,为了扩大再生产,决定对两种产品的生产线进行升级改造,预计改造后的A,B两种产品的年产量的增长率分别为50%和20%,那么至少经过多少年后,A产品的年产量会超过B产品的年产量(取lg 2≈0.301 0)()A.6年B.7年C.8年D.9年1.解函数应用问题的步骤(四步八字)(1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型;(2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识,建立相应的数学模型;(3)解模:求解数学模型,得出数学结论;(4)还原:将数学结论还原为实际问题的意义.以上过程用框图表示如下:2.实际问题中往往涉及一些最值问题,我们可以利用二次函数的最值、函数的单调性、基本不等式等求得最值.1.解应用题的关键是审题,不仅要明白、理解问题讲的是什么,还要特别注意一些关键的字眼(如“几年后”与“第几年”),学生常常由于读题不谨慎而漏读和错读,导致题目不会做或函数解析式写错.2.解应用题建模后一定要注意定义域.3.解决完数学模型后,注意转化为实际问题写出总结答案.2.9函数模型及其应用必备知识·预案自诊知识梳理2.递增递增递增y轴x轴考点自诊1.(1)×(2)√(3)√(4)√(5)√2.B因为第一次油箱加满,所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量,故耗油量V=48升.而这段时间内行驶的里程数S=35600-35000=600(千米).所以这段时间内,该车每100千米平均耗油量为48600×100=8(升),故选B.3.C依题意pH=-lg(2.5×10-2)=-lg2.5100=lg1002.5=lg40=lg(4×10)=lg4+lg10=2lg2+1≈2×0.3010+1=1.602.故选C.4.1 024依题意得{alog 48+b =1,alog 464+b =4,即{32a +b =1,3a +b =4.解得a=2,b=-2.则y=2log 4x-2,当y=8时,即2log 4x-2=8,解得x=1024.5.223由图像可知,当t=12时,y=1,即2a =1,解得a=2.当t ≥12时,y=12t ,令y ≤0.75,得t ≥23. 关键能力·学案突破例1C 由图可知,曲线中纵坐标相等时横坐标未必相等,故选项A 不正确;在曲线上半段中观察到y (t )是先上升后下降,而x (t )是不断变小的,故选项B 不正确;捕食者数量最大时是在图像最右端,最小值是在图像最左端,此时都不是被捕食者的数量的最值处,同样被捕食者的数量最大是在图像最上端,最小是在图像最下端,也不是捕食者数量取最值的时候,所以被捕食者数量和捕食者数量不会同时达到最大值和最小值,故选项C 正确;当捕食者数量最大时在图像最右端,x (t )∈(25,30),y (t )∈(0,50),此时二者总和x (t )+y (t )∈(25,80),由图像可知存在点x (t )=10,y (t )=100,x (t )+y (t )=110,所以并不是被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时,捕食者数量也会达到最大值,故D 错误.对点训练1②③由图1可设盈利额y 与观影人数x 的函数为y=kx+b ,k>0,b<0,即k 为票价,当k=0时,y=b ,则-b 为固定成本,由图2知,直线向上平移,k 不变,即票价不变,b 变大,则-b 变小,成本减小.故①错误,②正确;由图3知,直线与y 轴的交点不变,直线斜率变大,k 变大,即提高票价,b 不变,则-b 不变,成本不变.故③正确,④错误.例2(1)C(2)①ln 2②15:00(1)由K 1+e -0.23(t *-53)=0.95K ,得e -0.23(t *-53)=119,两边取以e 为底的对数,得-0.23(t *-53)=-ln19≈-3,所以t *≈66.(2)①将k=4,a=1,b=2代入可得y=4(e -t -e -2t )=-41e 2t −1e t =-41e t −122+1,所以当1e t =12时,即t=ln2时y 取得最大值.②病人上午8:00第一次服药3小时后血液中药物浓度将低于0.5个单位,则第二次服药时间在11:00;第一次服药后7个小时后药物残留为0.1163,第二次服药后4小时的药物残留为0.4680,而0.1163+0.4680=0.5843>0.5.第一次服药后8小时的药物残留为0.072,第二次服药后5小时的药物残留为0.3010,而0.072+0.3010=0.3730<0.5.综上可知,第三次服药时间为第一次服药后的7小时,即为15:00.对点训练2(1)D(2)10(1)由题知,80℃的物体,放在20℃的空气中冷却,4分钟以后物体的温度是40℃,则40=20+(80-20)e -4k ,从而e -4k =13,则-4k=ln 13=-ln3,得k=14ln3≈1.0094≈0.3.故选D . (2)依题意,可知70=10lg I 1I 0,60=10lg I2I 0, 所以70-60=10lg I 1I 0-10lg I 2I 0,则1=lg I 1I 2,所以I1I 2=10. 例3解(1)设投资额为x (x ≥0),则两类产品的收益与投资的函数关系分别为f (x )=k 1x ,g (x )=k 2√x .由已知得f (1)=18=k 1,g (1)=12=k 2,所以f (x )=18x (x ≥0),g (x )=12√x (x ≥0).(2)设投资股票类产品为x (0≤x ≤20)万元,则投资债券类产品为(20-x )万元.依题意得y=f (20-x )+g (x )=20-x 8+12√x=-x+4√x+208=-(√x -2)2+248(0≤x ≤20). 所以当√x =2,即x=4时,收益最大,y max =3万元.故投资债券类产品16万元,投资股票类产品4万元时获得最大收益,为3万元. 对点训练3解由题意知,S (t )=g (t )f (t ).S (t )={(-13t +1123)(14t +22),1≤t ≤40,t ∈N ,(-12t +52)(-13t +1123),41≤t ≤100,t ∈N , 当1≤t ≤40,t ∈N 时,S (t )=-112(t-12)2+25003, 则S (40)≤S (t )≤S (12),即768≤S (t )≤25003, 当41≤t ≤100,t ∈N 时,S (t )=16(t-108)2-83,则S (100)≤S (t )≤S (41),即8≤S (t )≤14912, 综上,当t=12时,S (t )取最大值为25003; 当t=100时S (t )取最小值为8.例4解(1)设旅行团人数为x 人,由题意得0<x ≤75(x ∈N *),飞机票价为y 元,则y={900,0<x ≤30,900-10(x -30),30<x ≤75,即y={900,0<x ≤30,1200-10x ,30<x ≤75.(2)设旅行社获利S 元,则S={900x -15000,0<x ≤30,x (1200-10x )-15000,30<x ≤75,即S={900x -15000,0<x ≤30,-10(x -60)2+21000,30<x ≤75,因为S=900x-15000在区间(0,30]上单调递增,故当x=30时,S 取最大值12000.又因为S=-10(x-60)2+21000的对称轴为x=60,所以当x=60时,S 在区间(30,75]上取最大值21000.故每团人数为60时,旅行社可获得最大利润.对点训练4解(1)当0<x ≤40时,W=xR (x )-(16x+40)=-6x 2+384x-40,当x>40时,W=xR (x )-(16x+40)=-40000x-16x+7360. 所以W={-6x 2+384x -40,0<x ≤40,-40000x -16x +7360,x >40.(2)①当0<x≤40时,W=-6(x-32)2+6104.所以当x=32时,W取最大值,W max=6104;②当x>40时,W=-40000x -16x+7360,由于40000x+16x≥2√40000x×16x=1600,当且仅当40000x=16x,即x=50时,取等号,所以W取最大值为5760.综合①②,当x=32时,W取最大值为6104万元.故当年产量为32万部时,该公司在该款手机的生产中所获得的利润最大,最大利润为6104万元.例5解(1)1年后该城市人口总数为y=100+100×1.2%=100×(1+1.2%).2年后该城市人口总数为y=100×(1+1.2%)+100×(1+1.2%)×1.2%=100×(1+1.2%)2.3年后该城市人口总数为y=100×(1+1.2%)2+100×(1+1.2%)2×1.2%=100×(1+1.2%)3.……x年后该城市人口总数为y=100×(1+1.2%)x.所以该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式是y=100×(1+1.2%)x(x∈N*).(2)10年后该城市人口总数为100×(1+1.2%)10≈112.7(万).所以10年后该城市人口总数约为112.7万.(3)设x年后该城市人口将达到120万人,即100(1+1.2%)x≥120,1.012x≥120100,所以x≥log1.012120100=log1.0121.2≈15.3≈16(年).即大约16年后该城市人口总数将达到120万人.对点训练5(1)C(2)B(1)设荷叶覆盖水面的初始面积为a,则x天后荷叶覆盖水面的面积y=a·2x(x∈N*),根据题意,令a·2x=12a·220,解得x=19,故选C.(2)设至少经过n年后,A产品的年产量会超过B产品的年产量,则10×(1+50%)n>40×(1+20%)n,化简得54n>4,取对数可得n>2lg2lg5-2lg2≈2×0.30101-3×0.3010≈7.故至少经过7年后,A产品的年产量会超过B产品的年产量.。

第9讲实际问题的函数建模基础巩固题组(建议用时：30分钟)一、选择题1)A．一次函数模型B．幂函数模型C．指数函数模型D．对数函数模型解析根据已知数据可知，自变量每增加1函数值增加2，因此函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型．答案 A2．(2015·合肥调研)某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图像正确的是()解析前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有A，C图像符合要求，而后3年年产量保持不变，故选A.答案 A3．(2014·北京东城期末)某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为()A．10 B．11 C．13 D．21解析设该企业需要更新设备的年数为x，设备年平均费用为y，则x年后的设备维护费用为2＋4＋…＋2x＝x(x＋1)，所以x年的平均费用为y＝100＋0.5x＋x（x＋1）x＝x＋100x＋1.5，由基本不等式得y＝x＋100x＋1.5≥ 2 x·100x＋1.5＝21.5，当且仅当x＝100x，即x＝10时取等号，所以选A.答案 A4．(2014·孝感模拟)物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是( )解析 由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高得，曲线上的点的切线斜率应逐渐增大，故函数的图像应一直是下凹的，故选B. 答案 B5. 某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式是月租20元，B 种方式是月租0元．一个月的本地网内打出电话时间t(分钟)与打出电话费s(元)的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差 ( ) A ．10元B ．20元C ．30元D.403元解析 设A 种方式对应的函数解析式为s ＝k1t ＋20， B 种方式对应的函数解析式为s ＝k2t ，当t ＝100时，100k1＋20＝100k2，∴k2－k1＝15，t ＝150时，150k2－150k1－20＝150×15－20＝10.答案 A 二、填空题 6.(2014·江西六校联考)A 、B 两只船分别从在东西方向上相距145 km 的甲乙两地开出．A 从甲地自东向西行驶．B 从乙地自北向南行驶，A 的速度是40 km h ，B 的速度是 16 km h ，经过________小时，AB 间的距离最短． 解析 设经过x h ，A ，B 相距为y km ，则y ＝（145－40x ）2＋（16x ）2(0≤x≤298)，求得函数的最小值时x 的值为258.答案2587．(2015·长春模拟)一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为 y ＝ae －bt(cm3)，经过 8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一． 解析 当t ＝0时，y ＝a ，当t ＝8时，y ＝ae －8b ＝12a ，∴e －8b ＝12，容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y ＝ae －bt ＝18a ，e －bt ＝18＝(e －8b)3＝e －24b ，则t ＝24，所以再经过16 min.答案 168.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为________m.解析 设内接矩形另一边长为y ，则由相似三角形性质可得x 40＝40－y40，解得y ＝40－x ，所以面积S ＝x(40－x)＝－x2＋40x ＝－(x －20)2＋400(0＜x ＜40)，当x ＝20时，Smax ＝400. 答案 20三、解答题 9．(2014·郑州模拟)某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y ＝x25－48x ＋8 000，已知此生产线年产量最大为210吨．(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？解 (1)每吨平均成本为yx (万元)．则y x ＝x 5＋8 000x－48≥2 x 5·8 000x－48＝32， 当且仅当x 5＝8 000x，即x ＝200时取等号．∴年产量为200吨时，每吨平均成本最低为32万元．(2)设年获得总利润为R(x)万元． 则R(x)＝40x －y ＝40x －x25＋48x －8 000＝－x25＋88x －8 000＝－15(x －220)2＋1 680(0≤x≤210)．∵R(x)在[0，210]上是增函数，∴x ＝210时， R(x)有最大值为－15(210－220)2＋1 680＝1 660.∴年产量为210吨时，可获得最大利润1 660万元． 10.在扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3 600元后，逐步偿还转让费(不计息)．在甲提供的资料中：①这种消费品的进价为每件14元；②该店月销量Q(百件)与销售价格P(元)的关系如图所示；③每月需各种开支2 000元．(1)当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额；(2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？ 解 设该店月利润余额为L 元， 则由题设得L ＝Q(P －14)×100－3 600－2 000， 由销量图易得Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2P ＋50 （14≤P≤20），－32P ＋40 （20＜P≤26），代入①式得L ＝⎩⎪⎨⎪⎧（－2P ＋50）（P －14）×100－5 600 （14≤P≤20），⎝⎛⎭⎫－32P ＋40（P －14）×100－5 600（20＜P≤26）， (1)当14≤P≤20时，Lmax ＝450元，此时P ＝19.5元； 当20＜P≤26时，Lmax ＝1 2503元，此时P ＝613元． 故当P ＝19.5元时，月利润余额最大，为450元．(2)设可在n 年后脱贫， 依题意有12n×450－50 000－58 000≥0，解得n≥20. 即最早可望在20年后脱贫． 能力提升题组(建议用时：25分钟)11．为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中都需要对文件加密，有一种为加密密钥密码系统(Private Key Cryptosystem)，其加密、解密原理为：发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)．现在加密密钥为 y ＝kx3，如“4”通过加密后得到密文“2”，若接受方接到密文“1256”，则解密后得到的明文是( )A.12B.14C ．2D.18解析 由题目可知加密密钥y ＝kx3是一个幂函数型，由已知可得，当x ＝4时，y ＝2，即2＝k×43，解得k ＝243＝132.故y ＝132x3，显然令y ＝1256，则1256＝132x3，即x3＝18，解得x ＝12.答案 A12.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x ，y 应为 ( ) A ．x ＝15，y ＝12 B ．x ＝12，y ＝15 C ．x ＝14，y ＝10 D ．x ＝10，y ＝14 解析 由三角形相似得24－y 24－8＝x 20.得x ＝54(24－y)，∴S ＝xy ＝－54(y －12)2＋180，∴当y ＝12时，S 有最大值，此时x ＝15. 答案 A 13．一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x(x ∈N ＋)件．当x≤ 20时，年销售总收入为(33x －x2)万元；当x ＞20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y 万元，则y(万元)与x(件)的函数关系式为________，该工厂的年产量为________件时，所得年利润最大(年利润＝年销售总收入－年总投资)． 解析 当0＜x≤20时，y ＝(33x －x2)－x －100＝－x2＋32x －100；当x ＞20时，y ＝260－100－x ＝160－x.故y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x2＋32x －100，0＜x≤20，160－x ，x ＞20(x ∈N ＋)．当0＜x≤20时，y ＝－x2＋32x －100＝－(x －16)2＋156，x ＝16时，ymax ＝156.而当x ＞20时，160－x ＜140，故x ＝16时取得最大年利润．答案 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x2＋32x －100，0＜x≤20，160－x ，x ＞20(x ∈N ＋) 1614．已知某物体的温度θ(单位：摄氏度)随时间t(单位：分钟)的变化规律：θ＝m·2t ＋21－t(t≥0，并且m ＞0)．(1)如果m ＝2，求经过多少时间，物体的温度为5摄氏度； (2)若物体的温度总不低于2摄氏度，求m 的取值范围． 解 (1)若m ＝2，则θ＝2·2t ＋21－t ＝2⎝⎛⎭⎫2t ＋12t ， 当θ＝5时，2t ＋12t ＝52，令2t ＝x≥1，则x ＋1x ＝52，即2x2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12(舍去)，此时t ＝1.所以经过1分钟，物体的温度为5摄氏度． (2)物体的温度总不低于2摄氏度，即θ≥2恒成立． 亦m·2t ＋22t ≥2恒成立，亦即m≥2⎝⎛⎭⎫12t －122t 恒成立． 令12t ＝x ，则0＜x≤1，∴m ≥2(x －x2)， 由于x －x2≤14，∴m ≥12.因此，当物体的温度总不低于2摄氏度时，m 的取值范围是⎣⎡⎭⎫12，＋∞.。

第九节函数模型及其应用授课提示：对应学生用书第34页[基础梳理]1．几类常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)反比例函数模型f(x)＝kx＋b(k，b为常数且k≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)指数函数模型f(x)＝ba x＋c(a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1)对数函数模型f(x)＝b log a x＋c(a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1)幂函数模型f(x)＝ax n＋b(a，b为常数，a≠0)2.三种函数模型的性质函数性质y＝a x(a＞1)y＝log a x(a＞1)y＝x n(n＞0) 在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图像的变化随x的增大逐渐表现为与y轴平行随x的增大逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当x>x0时，有log a x＜x n＜a x解决实际应用问题的一般步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型．(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．(3)求模：求解数学模型，得出数学结论．(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义，以上过程用框图表示如下：[四基自测]1．(基础点：指数函数换型)某种产品的产量原来是a件，在今后m年内，计划使每年的产量比上一年增加p%，则该产品的产量y随年数x变化的函数解析式为()A．y＝a(1＋p%)x(0＜x＜m)B．y＝a(1＋p%)x(0≤x≤m，x∈N)C．y＝a(1＋xp%)(0＜x＜m)D．y＝a(1＋xp%)(0≤x≤m，x∈N)答案：B2．(基础点：拟合函数模型)在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据．现()xyA.y＝2x2C ．y ＝12(x 2－1) D ．y ＝2.61cos x 答案：B3．(基础点：分段函数模型)某城市客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100 km ，票价是0.5元/km ，如果超过100 km ，超过100 km 的部分按0.4元/km 定价，则客运票价y (元)与行驶千米数x (km)之间的函数关系式是________． 答案：y ＝错误!4．(基础点：二次函数模型)有一批材料可以建成200 m 长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成的矩形最大面积为________．(围墙厚度不计)答案：2 500 m 2 授课提示：对应学生用书第35页考点一 由函数图像刻画变化过程挖掘 体会函数中变量的关系/ 自主练透[例] (1)(2020·某某模拟)如图是X 大爷晨练时所走的离家距离(y )与行走时间(x )之间的函数关系图，若用黑点表示X 大爷家的位置，则X 大爷散步行走的路线可能是( )[解析] 由图形可知，X 大爷的行走路线是：开始一段时间离家越来越远，然后有一段时间离家的距离不变，然后离家越来越近，C 符合．[答案] C(2)2018年6月，某某合作组织某某峰会后，某某成为国内外旅游的好去处，随着游客的增加，菜价上涨，某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在规定的时间T 内完成预测的运输任务Q 0，各种方案的运输总量Q 与时间t 的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是( )[解析] 由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高得曲线上的点的切线斜率应该逐渐增大．[答案] B[破题技法] 判断函数图像与实际问题中两变量变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图像．(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化特点，结合图像的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．考点二 已知函数模型的实际问题挖掘 函数模型的应用/ 互动探究[例] 为了贯彻落实总书记提出的“决战决胜脱贫攻坚战”，某地开展了“万名干部下基层”，以实际行动践行初心使命，某工作队结合所驻村的自然条件，帮助村民投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P 、种黄瓜的年收入Q 与投入a (单位：万元)满足P ＝80＋42a ，Q ＝14a ＋120，设甲大棚的投入为x (单位：万元)，每年两个大棚的总收益为f (x )(单位：万元)．(1)求f (50)的值；(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f (x )最大？[解析] (1)由题意知甲大棚投入50万元，则乙大棚投入150万元，∴f (50)＝80＋42×50＋14×150＋120＝277.5(万元)．(2)f (x )＝80＋42x ＋14(200－x )＋120＝－14x ＋42x ＋250，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥20，200－x ≥20⇒20≤x ≤180， 故f (x )＝－14x ＋42x ＋250(20≤x ≤180)． 令t ＝x ，则t ∈[25，65]，y ＝－14t 2＋42t ＋250＝－14(t －82)2＋282， 当t ＝82，即x ＝128时，f (x )取得最大值，f (x )max ＝282.∴甲大棚投入128万元，乙大棚投入72万元时，总收益最大，且最大总收益为282万元．[破题技法] 对于已知函数模型解决问题(1)将题目中已知函数变量转化为实际量理解．(2)根据实际意义，求自变量x 的取值X 围(定义域)．(3)根据函数模型，确定要解决的问题及方法．(4)回答实际问题．考点三 构建函数模型的实际问题挖掘1 构建一次函数、二次函数、分段函数模型/ 自主练透[例1](2020·某某模拟)牧场中羊群的最大畜养量为m 只，为保证羊群的生长空间，实际畜养量不能达到最大畜养量，必须留出适当的空闲量．已知羊群的年增长量y 只和实际畜养量x 只与空闲率的乘积成正比，比例系数为k (k >0)．(1)写出y 关于x 的函数关系式，并指出这个函数的定义域；(2)求羊群年增长量的最大值；(3)当羊群的年增长量达到最大值时，求k 的取值X 围．[解析] (1)根据题意，由于最大畜养量为m 只，实际畜养量为x 只，则畜养率为x m，故空闲率为1－x m，由此可得y ＝kx ⎝⎛⎭⎫1－x m (0<x <m )． (2)对原二次函数配方，得y ＝－k m (x 2－mx )＝－k m ⎝⎛⎭⎫x －m 22＋km 4. 即当x ＝m 2时，y 取得最大值km 4.(3)由题意知为给羊群留有一定的生长空间，则有实际畜养量与年增长量的和小于最大畜养量，即0<x ＋y <m .因为当x ＝m 2时，y max ＝km 4， 所以0<m 2＋km 4<m ，解得－2<k <2. 又因为k >0，所以0<k <2.挖掘2 构建y ＝x ＋a x(a >0)函数模型/ 互动探究 [例2](2020·某某模拟)小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x 万件，需另投入流动成本为W (x )万元．在年产量不足8万件时，W (x )＝13x 2＋x (万元)；在年产量不小于8万件时，W (x )＝6x ＋100x－38(万元)．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完．(1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？[解析] (1)因为每件产品售价为5元，则x 万件产品的销售收入为5x 万元，依题意得：当0<x <8时，L (x )＝5x －⎝⎛⎭⎫13x 2＋x －3＝－13x 2＋4x －3， 当x ≥8时，L (x )＝5x －⎝⎛⎭⎫6x ＋100x －38－3＝35－⎝⎛⎭⎫x ＋100x ，所以L (x )＝⎩⎨⎧－13x 2＋4x －3，0<x <8，35－⎝⎛⎭⎫x ＋100x ，x ≥8.(2)当0<x <8时，L (x )＝－13(x －6)2＋9，此时，当x ＝6时，L (x )取得最大值L (6)＝9(万元)． 当x ≥8时，L (x )＝35－⎝⎛⎭⎫x ＋100x ≤35－2x ·100x＝35－20＝15(万元)． 此时，当且仅当x ＝100x，即x ＝10时，L (x )取得最大值15万元． 因为9<15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元．挖掘3 构建指数、对数模型的实际问题/ 互动探究[例3] 候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模地迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为：v ＝a ＋b log 3Q 10(其中a ，b 是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s.(1)求出a ，b 的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要多少个单位？[解析] (1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s ，此时耗氧量为30个单位，故有a ＋b log 33010＝0， 即a ＋b ＝0；当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s ，故a ＋b log 39010＝1，整理得a ＋2b ＝1. 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，a ＋2b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1.(2)由(1)知，v ＝a ＋b log 3Q 10＝－1＋log 3Q 10.所以要使飞行速度不低于2 m/s ，则有v ≥2，即－1＋log 3Q 10≥2，即log 3Q 10≥3，解得Q ≥270. 所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要270个单位． 挖掘4 拟合函数的选择/ 互动探究[例4]某种特色水果每年的上市时间从4月1号开始仅能持续5个月的时间．上市初期价格呈现上涨态势，中期价格开始下降，后期价格在原有价格基础之上继续下跌．现有三种价格变化的模拟函数可供选择：①f (x )＝p ·q x ；②f (x )＝px 2＋qx ＋7；③f (x )＝log q (x ＋p )．其中p ，q 均为常数且q ＞1.(注：x 表示上市时间，f (x )表示价格，记x ＝0表示4月1号，x ＝1表示5月1号，…，以此类推x ∈[0，5])(1)在上述三个价格模拟函数中，哪一个更能体现该种水果的价格变化态势，请你选择，并简要说明理由；(2)对(1)中所选的函数f (x )，若f (2)＝11，f (3)＝10，记g (x )＝f （x ）－2x －13x ＋1，经过多年的统计发现，当函数g (x )取得最大值时，拓展外销市场的效果最为明显，请预测明年拓展外销市场的时间是几月1号？[解析] (1)根据题意，该种水果价格变化趋势是先单调递增后一直单调递减，基本符合开口向下的二次函数变化趋势，故应该选择②f (x )＝px 2＋qx ＋7.(2)由f (2)＝11，f (3)＝10解得f (x )＝－x 2＋4x ＋7.g (x )＝f （x ）－2x －13x ＋1＝－x 2－2x ＋6x ＋1＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤9x ＋1＋（x ＋1）－4. 因为－⎣⎢⎡⎦⎥⎤9x ＋1＋（x ＋1）－4≤－2， 当且仅当x ＋1＝3即x ＝2时等号成立．所以明年拓展外销的时间应为6月1号．(1)在实际问题中，若两个变量之间的关系是直线上升或直线下降或图像为直线(或其一部分)，一般构建一次函数模型，利用一次函数的图像与性质求解．(2)实际问题中的如面积问题、利润问题、产量问题或其图像为抛物线(或抛物线的一部分)等，一般选用二次函数模型，根据已知条件确定二次函数解析式．结合二次函数的图像、最值求法、单调性、零点等知识将实际问题解决．(3)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车计价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解．2．建立函数模型的步骤读题（文字语言）―→建模（数学语言）―→求解（数学应用）―→反馈（检验作答）.。

第9讲函数模型及其应用基础知识整合1．常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数型f(x)＝ax＋b(a，b为常数,a≠0）二次函数型f（x）＝ax2＋bx＋c(a，b,c为常数，a≠0）指数函数型f（x）＝ba x＋c(a，b，c为常数,a>0且a≠1,b≠0)对数函数型f（x)＝b log a x＋c（a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)幂函数型f(x)＝ax n＋b(a,b为常数，a≠0）2．指数、对数及幂函数三种增长型函数模型的图象与性质错误!错误!y＝a x（a>1）y＝log a x（a>1)y＝x n（n〉0）在(0，＋∞）上的增减性错误!单调递增错误!单调递增错误!单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与错误!y轴平行随x的增大逐渐表现为与错误!x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当x>x0时，有log a x<x n<a x形如f(x）＝x＋错误!（a＞0)的函数模型称为“对勾”函数模型:(1)该函数在(－∞，－错误!］和［错误!，＋∞）上单调递增，在[－错误!，0)和（0，错误!］上单调递减．（2)当x＞0时，x＝错误!时取最小值2错误!，当x＜0时,x＝－a时取最大值－2错误!.1．(2019·嘉兴模拟)为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中需要对文件加密，有一种加密密钥密码系统(Private－Key Cryptosystem），其加密、解密原理为:发送方由明文→密文(加密），接收方由密文→明文(解密）．现在加密密钥为y＝kx3,若明文“4"通过加密后得到密文“2"，则接收方接到密文“错误!”，解密后得到的明文是( )A．错误!B．错误!C．2 D．错误!答案A解析由已知，可得当x＝4时,y＝2，所以2＝k·43，解得k＝错误!＝错误!，故y＝错误!x3.令y＝错误!x3＝错误!,即x3＝错误!，解得x＝错误!。