5.1认识二元一次方程组

—1— —2—5.1 认识二元一次方程组学习目标：1.理解二元一次方程（组）及其解的概念, 能判别一组数是否是二元一次方程（组）的解；2.会根据实际问题列简单的二元一次方程或二元一次方程组. 一、复述回顾：（二人小组完成）1.什么是一元一次方程？2.下面括号内的数是这个方程的解吗？ ①2x-3=x+4 ( x=7 )②32121+=-x x ( x=3 ) 二、设问导读：阅读课本P 103-105完成下列问题：1.在老牛和小马的对话中你能获得哪些信息？这个问题涉及到的未知数是：_____________________________________. 这个问题涉及到的等量关系是：_____________________________________. 设老牛驮x 个包裹，小马驮y 个包裹，那么根据你的等量关系所列的方程是：________________ 和__________________. 2. 在两人的对话中你能获得哪些信息？这个问题涉及到的未知数是：_______________ 这个问题涉及到的等量关系是：_____________________________________. _____________________________________. 设成人有x 个，儿童有y 个，那么根据你的等量关系所列的方程是： _________________和__________________. 3. 二元一次方程的定义：含有_____个未知数，并且_____________次数都是1的方程叫做二元一次方程.4.二元一次方程与一元一次方程的定义有什么区别？问：下列方程有哪些是二元一次方程？①x 1+2y=1 ②xy+x=1 ③3x-2y =5 ④x 2-2=3x ⑤x=y ⑥2x(y+1)=9 ⑦2x-y=1 ⑧x+y=05.二元一次方程组中必须含有____个未知数，两个方程必须是____次方程.问：⎩⎨⎧==1y 0x 是二元一次方程组吗?6. 完成做一做：_________________________________________，叫做这个二元一次方程的一个解.你是怎样理解“一个解”这三个字的？x+y=8和5x+3y=34各有______个解,它们两个的公共解记为__________________.所以方程组⎩⎨⎧=+=+34358y x y x 的解记为____________. 7. 二元一次方程组中___________________ __________，叫做这个二元一次方程组的解.三、自学检测：1. 方程 ①2x+5y=0; ②2x －y 1=8; ③5x+2y=7; ④4x －xy=3; ⑤514yx =+;⑥x －2y 2=6; ⑦4y x -+y=5中，二元一次方程有_______________________.(填序号) 2.写出x －4y=6的一个解为________.3. 请写出解为⎩⎨⎧==11y x 的一个二元一次方程组___________________________________.四、巩固训练：1.填空题:①若3x m+4y 3和5x 5y 2n-m是同类项，则m=_______,n=________.②在方程3x+y=2中，用x 表示y,则y=________;用y 表示x,则x=________. ③在二元一次方程－x+6y －4=0中，当x=4时，y=________;当y=－1时，x=________. ④⎩⎨⎧-==12y x 是二元一次方程ax+by=－1的一组解，则2a －b+11=________.⑤若方程(2m －6)x|n|－1+(n+1)9-m 2y =1是二元一次方程，则m=_____,n=_____. 2. 选择题:①下列方程中，是二元一次方程的是（ ）A.xy=1B.y=3x －1C.x+y1=2 D.x+y+z=1 ②下列方程组中,是二元一次方程组的是（ ）A.⎪⎩⎪⎨⎧-=+=+222y 1y x x = B.⎩⎨⎧=+=+35z y y xC. x=y=3D.⎩⎨⎧==+462xy y x ③下列各对数值中是方程组⎩⎨⎧-=+=+2222y x y x 的解的是（ ）A.⎩⎨⎧==22y x B.⎩⎨⎧=-=22y xC.⎩⎨⎧==20y xD.⎩⎨⎧==02y x④二元一次方程3a+b=9在正整数范围内的解的个数是（ ）A.0B.1C.2D.3⑤根据题意列二元一次方程组，不求解：两批货物，第一批360吨，用5节火车皮和12辆汽车正好装完；第二批500吨，用7节火车皮和16辆汽车正好装完.每节火车皮和每辆汽车平均各装货物多少吨？五、拓展延伸：1.如果⎩⎨⎧==t y tx 32是方程x －6y+16=0的解，则t=?六、我的收获（反思静悟、体验成功）八年级数学（上）导学案班级 姓名 学号。

八年级数学上册5.1认识二元一次方程组教案新版北师大版一. 教材分析本节课的主题是“认识二元一次方程组”，是北师大版八年级数学上册第五章第一节的内容。

这部分内容是在学生已经掌握了二元一次方程的基础上进行学习的，通过本节课的学习，让学生能够理解二元一次方程组的概念，学会用图形的方法来解二元一次方程组，为后续学习二元一次方程组的解法和其他应用打下基础。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了二元一次方程的知识，对于解方程有一定的掌握，但是对于二元一次方程组的概念和解法可能还比较陌生。

因此，在教学过程中，需要引导学生从已有的知识出发，逐步理解二元一次方程组的概念，掌握解二元一次方程组的方法。

三. 教学目标1.让学生理解二元一次方程组的概念，能够识别二元一次方程组。

2.让学生学会用图形的方法来解二元一次方程组。

3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.重点：二元一次方程组的概念和解法。

2.难点：如何引导学生用图形的方法来解二元一次方程组。

五. 教学方法采用问题驱动法，通过引导学生思考和探索，让学生在自主学习的过程中掌握二元一次方程组的概念和解法。

同时，运用图形的方法，让学生更直观地理解二元一次方程组的解法。

六. 教学准备1.准备相关的教学PPT，包括二元一次方程组的定义、解法以及应用等内容。

2.准备一些实际的例子，用于引导学生思考和探索。

3.准备一些练习题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际例子，引导学生思考如何解决两个未知数的问题。

例如，某个商品的单价和数量，总价是多少？这样让学生感受到二元一次方程组在实际生活中的应用。

2.呈现（10分钟）讲解二元一次方程组的定义，呈现一些二元一次方程组的例子，让学生理解二元一次方程组的概念。

同时，介绍解二元一次方程组的方法，如代入法、消元法等。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选取一个二元一次方程组进行解题。

5.1认识二元一次方程组(教案〕教学目的知识与技能：通过实例理解二元一次方程、二元一次方程组及其解等概念,并会判断一组数是不是某个二元一次方程组的解.过程与方法：开展学生的归纳、观察和概括的才能,同时培养学生运用数学知识解决实际问题的才能.情感态度与价值观：激发学生的求知欲望,培养他们勇于探究的精神.教学重难点【重点】对二元一次方程、二元一次方程组及其解等有关概念的理解,并会判断二元一次方程组的解.【难点】对二元一次方程及二元一次方程组的解的个数的判断.教学准备【老师准备】预设学生学习过程中可能出现的问题.【学生准备】复习一元一次方程的有关概念.教学过程一、导入新课导入一:每块饼干的质量是x克,每颗糖果的质量是y克,小明拿了一个等臂天平,在左边秤盘放两块饼干,右边秤盘放三颗糖果,结果天平两臂平衡,当在左边秤盘里又放了三块饼干,右边秤盘里又放了四颗糖果时,天平并没有平衡,只好在右边秤盘里又加了1克的砝码才使得天平平衡.上面的例子中,可以得到两个方程是2x=3y和5x=7y+1,怎样对待这两个方程呢?它们的解有什么实际意义?导入二:我们已经学习了一元一次方程,你能举一个一元一次方程的例子吗?生:(轻松答复)3x+4=5x,0.5x=3.师:很好!那么什么是一元一次方程?生:含有一个未知数,并且所含未知数的次数为1的整式方程叫一元一次方程.师:非常准确!从这节课开场我们将进一步来学习有关方程的问题.我们都知道牛和马是人类最忠诚的帮手,在那个非机械化的年代,是它们为我们驮运货物,帮助农民耕地……活干多了,牢骚也来了.请同学们看下面的故事,同时请两个同学来为它们配音.(多媒体出示) (显示对话,老牛与小马,学生配音)老牛喘着气吃力地说:“累死我了.〞小马说:“你还累,这么大的个,才比我多驮了2个.〞老牛气喘吁吁地说:“哼,我从你背上拿来1个,我的包裹数就是你的2倍!〞小马不相信地说:“真的?!〞生:(笑)……师:两位同学表演得很不错,请同学们想一想它们在争论什么呢?生:它们在争论谁的包裹多.师:对,那么你能用数学知识帮助它们解决这个问题吗?让每个学习小组讨论(讨论2分钟,然后发言).老师注意引导学生设两个未知数,从而得出两个二元一次方程.师:题目中等量关系有几个?你是如何得到的?生:2个等量关系.根据老牛的包裹数比小马多2个得到:老牛驮的包裹数-小马驮的包裹数=2个.根据老牛从小马背上拿来1个包裹,这时老牛驮的包裹数是小马驮的2倍得到:老牛驮的包裹数+1=(小马驮的包裹数-1)×2.师:你能设出适当的未知数列出相应的方程吗?请大家写下来.生:(板演)设老牛驮了x个包裹,小马驮了y个包裹.根据题意得x-y=2,x+1=2(y-1).[设计意图]以动漫的形式引出方程问题,调动学生的积极性,让学生再次经历建模的同时,以相对轻松的状态进入后面的学习.通过自主探究来认识体会二元一次方程建模思想的过程,也是学生完成从一元到多元的认识转化过程.二、新知构建[过渡语]我们以前学过的方程都是含有一个未知数的,假如方程中含有两个未知数,这样的方程是怎样的呢?(1)、认识二元一次方程思路一:出示教材情境图,师生交流.①怎样列一元一次方程解决这个问题呢?生1:设老牛驮了x个包裹,那么有2(x-3)=x+1.生2:设小马驮了x个包裹,那么有2(x-1)=x+3.②假如设两个未知数,怎样解决这个问题呢?设老牛驮了x个包裹,小马驮了y个包裹.老牛驮的包裹数比小马驮的多了2个,由此你能得到怎样的方程?生:x-2=y.假设老牛从小马背上拿来1个包裹,这时老牛的包裹数是小马的2倍,由此你又能得到怎样的方程?生:x+1=2(y-1).③怎样列出教材第104页引例中的方程?生:x+y=8,5x+3y=34.小结:含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程.思路二:大家观察下面的5个方程,是我们学过的一元一次方程吗?360x+720y=17280;x-y=2;x+1=2(y-1);x+y=8;5x+8y=34.生:不是.师:与一元一次方程的特征相比拟我们可以给它们取一个什么名称呢?生:二元一次方程!师:很好,请同学们找出二元一次方程有什么特征?生1:含有两个未知数.生2:未知数的次数是1.生3:方程两边都是整式.(多媒体同一页显示,便于学生逐条比拟)师:对于方程xy+8=5x,大家认为是二元一次方程吗?(学生认识不统一,有说是,有说不是)xy(多媒体用红色圈出)这个项的次数是几?(学生有的说是2,有的说是1.此时老师加以纠正,单项式的次数是单项式中所有字母的指数和,因此项xy次数为2,原方程不是二元一次方程)师:我们应将“未知数的次数是1〞更正为什么?生:含未知数的项的次数是1.师:很好,如今大家知道什么叫二元一次方程了吗?生:含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程.(多媒体显示二元一次方程的概念,并让学生加以稳固)[设计意图]为了让学生尽快理解新知识,教学通过类比的方法,引导学生与一元一次方程相比拟,逐步理解二元一次方程的概念,同时培养学生归纳概括才能.师:两人一组,分别写出几个方程,让另一位同学判断是不是二元一次方程.(学生迅速出题,然后互相判断,很多小组出现争执,场面非常活泼,老师巡视,对出现的争执及时给予评判)[知识拓展]1.二元一次方程还可以定义为:在方程中有两个未知数,未知数与未知数之间没有乘法、除法运算,并且未知数的次数都是1,像这样的方程叫做二元一次方程.2.本节课常出现的错误是对二元一次方程的概念理解不准确,其表现形式有两种:一种是把“含未知数的项的次数都是1〞理解为“每个未知数的次数都是1〞,误认为xy+2=0也是二元一次方程,另一种是遇到含有字母系数的方程时,容易忽略“未知数的系数不等于零〞这个隐含条件,如二元一次方程ax+y=6中a≠0这个条件.3.二元一次方程满足的条件{含有两个未知数,含未知数的项的次数为1,整式方程.(2)、认识二元一次方程组问题1:在前面的实际问题中,这两个方程中x的含义一样吗?分别是什么含义?y呢?问题2:假设x,y同时满足这两个方程,用什么方式把这两个方程联立起来,即写成什么形式呢?问题3:假如两个方程中一样字母所代表的含义一样,把它们联立起来,就组成了二元一次方程组,你能归纳出二元一次方程组的概念吗?问题4:根据二元一次方程组的概念答复以下问题:①二元一次方程组中每个方程都必须是二元一次方程吗?②一次方程指的是“含未知数的项的次数是1〞还是“各个未知数的次数是1〞?③二元一次方程组中一定只能含有两个一次方程吗?[处理方式] 学生独立考虑后小组讨论交流,小组代表发言.老师适时点拨,逐步总结出二元一次方程组的定义(含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程叫做二元一次方程组).强调定义中的两个未知数是指两个方程共含两个未知数,一次方程可以是一元一次方程,也可以是二元一次方程.点拨性语言例如:成为二元一次方程组应满足几个条件?根据上面的定义分别判断这样的两个方程组:(1){a -b =−1,5a +4b =3;(2){m +1=5,-2+n =7是不是二元一次方程组?让学生对二元一次方程组的定义进展再认识.[设计意图] 将方程返回实际问题中理解研究,表达数学与生活实际的联络.通过一个个问题的设计,将二元一次方程组的概念进展解剖,帮助学生理解概念.[知识拓展] 1.二元一次方程组的概念也不是严格的定义.例如:①{y =2x +2,3x -y =7;②{x =8,9x +10y =6;③{2x =4,9y =6.这三个方程组都是二元一次方程组,其中方程组②中的第一个方程只有一个未知数;方程组③中的两个方程也都分别只有一个未知数,但它们仍然都是二元一次方程组.为了更好地识别一个方程组是不是二元一次方程组,我们可以这样表达:在一个方程组中,共有2个未知数,并且每个方程都是一次方程,这样的方程组就是二元一次方程组.2.事实上,共含有两个未知数的几个二元一次方程组成的方程组都是二元一次方程组,而我们最常见的是两个二元一次方程组成的方程组.(3)、二元一次方程和二元一次方程组的解思路一合适一个二元一次方程的一组未知数的值,叫做这个二元一次方程的一个解.如x =6,y =2是方程x +y =8的一个解,记作{x =6,y =2,同样{x =5,y =3也是方程x +y =8的一个解. 二元一次方程组中各个方程的公共解,叫做这个二元一次方程组的解.例如:{x =5,y =3就是二元一次方程组{x +y =8,5x +3y =34的解. 思路二(1)x =6,y =2合适方程x +y =8吗?x =5,y =3呢?x =4,y =4呢?你还能找出合适方程x +y =8的x ,y 的值吗?(2)x =5,y =3合适5x +3y =34吗?x =2,y =8呢?(3)你能找到一组x ,y 的值,同时合适方程x +y =8和5x +3y =34吗? 生1:x =6,y =2合适二元一次方程x +y =8;x =5,y =3;x =4,y =4都合适,还有x =0,y =8;x =-1,y =9……生2:x =5,y =3合适二元一次方程5x +3y =34;x =2,y =8也合适. (多媒体出示)合适一个二元一次方程的一组未知数的值,叫做这个二元一次方程的一个解.师:x =6,y =2是二元一次方程x +y =8的一个解,记作{x =6,y =2,同时{x =5,y =3也是二元一次方程x +y =8的一个解.大家说二元一次方程有多少个解呢?生1:很多个.生2:无数个!(师强调:二元一次方程的一个解不是一个值,而是一对值;一般地,二元一次方程有无数个解)师:刚刚我们找出二元一次方程的解,那么有没有一组x ,y 的值同时合适这两个方程呢?生:{x =5,y =3同时合适这两个方程. (多媒体出示概念)二元一次方程组中各个方程的公共解,叫做这个二元一次方程组的解.(给两分钟时间稳固理解概念)[知识拓展] 1.二元一次方程组的解是一对数,要将这对数代入方程组中的每一个方程进展检验,这对数只有满足方程组中的每一个方程,这对数才能是这个方程组的解.2.一般情况下,二元一次方程的解有无数个,而二元一次方程组的解是唯一的.但当对二元一次方程的解加以限制时也可能变为有限个了,如x +y =2的正整数解只有{x =1,y =1.三、课堂总结 四、课堂练习1.以下选项中,是二元一次方程的是 ( )x +3y =2 B.xy =9 C.x +2y 2=11 D.42x -y=2解析:此题考察二元一次方程的定义,B 选项的次数为2,C 选项的最高次数为2,D 选项不是整式方程,应选项B,C,D 都不是二元一次方程.应选A.2.以下方程组中,属于二元一次方程组的是 ( )A.{x +3y =5,2x -3z =3B.{m +n =5,mn +n =6C.{m +3n =1,m 6+2n 3=1 D.{2x -3y =10,1x -5y =6解析:此题主要考察二元一次方程组的定义,A 选项共含有三个未知数;B 选项是二元二次方程组;D 选项中1x -5y =6不是整式方程,不是二元一次方程组.应选C.3.下面各组数中,是二元一次方程组{7x -3y =−11,2x +y =8的解的是( )A.{x =−1,y =−1B.{x =2,y =4C.{x =4,y =2D.{x =1,y =6答案:D4.{x =−1,y =2是二元一次方程组{3x +2y =m,nx -y =1的解,那么m-n 的值是 .解析:把{x =−1,y =2代入方程组{3x +2y =m,nx -y =1,解得{m =1,n =−3,那么m-n =1-(-3)=1+3=4.故填4.五、板书设计1 认识二元一次方程组1.认识二元一次方程2.认识二元一次方程组3.二元一次方程和二元一次方程组的解 六、布置作业 (1)、教材作业【必做题】教材习题5.1第1,2题. 【选做题】教材习题5.1第5题. (2)、课后作业【根底稳固】1.以下方程组是二元一次方程组的是 ( )A.{x +y =5,y =3+x +zB.{x +1y =1,1x-y =3 C.{x +y -xy =4,4x -2y =3 D.{12x -12y =3,14y -13x =5x -7 2.对于二元一次方程4x-3y =7,以下说法正确的选项是 ( )3.二元一次方程组{x +y =2,2x -y =1的解是 ( )A.{x =0,y =2B.{x =1,y =1C.{x =−1,y =−1D.{x =2,y =0 4.对于二元一次方程组甲:{5x +7y =297,9x -13y =135与二元一次方程乙:9x-13y =135的关系,下面说法正确的选项是 ( ) 一样5.为了研究吸烟是否对肺癌有影响,某肿瘤研究所随机地抽查了10000人,并进展统计分析,结果显示:在吸烟者中患肺癌的比例是2.5%,在不吸烟者中患肺癌的比例是0.5%,吸烟者患肺癌的人数比不吸烟者患肺癌的人数多22人,假如设这10000中,吸烟者患肺癌的人数为x ,不吸烟者患肺癌的人数为y ,根据题意,下面列出的方程组正确的选项是( )A.{x -y =22,2.5%x +0.5%y =10000 B.{x -y =22,x 2.5%+y 0.5%=10000 C.{x +y =10000,2.5%x -0.5%y =22 D.{x +y =10000,x 2.5%-y 0.5%=22 【才能提升】6.假设{x =2,y =−1是二元一次方程ax +by =-2的一个解,那么代数式2a-b +7= .7.假设x 2m-7+4y 3n-2=0是二元一次方程,那么m = ,n = .8.请写出一个二元一次方程组: ,使它的解为 {x =2,y =−1.9.二元一次方程2x +3y +5=0.(1)将方程写成用含有y 的代数式表示x 的形式; (2)写出方程的三个解. 10.根据题意列出方程组.(1)明明到邮局买0.8元与2元的邮票共13枚,共花去20元钱,那么明明两种邮票各买了多少枚?(2)将假设干只鸡放入假设干个笼中,假设每个笼中放4只,那么有一鸡无笼可放;假设每个笼里放5只,那么有一笼无鸡可放.那么有多少只鸡,多少个笼?11.方程组{mx -y =1,x +ny =3的解为{x =2,y =1,求(m-n )2的值.【拓展探究】12.方程(k 2-4)x 2+(k +2)x +(k-6)y =k +8,那么: (1)当k 为何值时,方程为关于y 的一元一次方程? (2)当k 为何值时,方程为关于x ,y 的二元一次方程? 【答案与解析】1.D(解析:A 选项含有三个未知数,B 选项的未知数x ,y 出如今分母上,不是整式方程,C 选项的xy 项为二次项.)2.C(解析:二元一次方程的解应该有无数个,但假设加以限制可能只有有限个了.)3.B(解析:根据二元一次方程组的解的定义,将四组值依次代入原方程组检验即可,而检验只有选项B 中x ,y 的值能使二元一次方程组中的每个方程左右两边都相等.应选B.)4.A(解析:方程组的解是组成这个方程组的各个方程的公共解.)5.B6.5(解析:将{x =2,y =−1代入ax +by =-2,得2a-b +7=-2+7=5.)7.4 1(解析:根据二元一次方程的定义可知2m-7=1,3n-2=1,故m =4,n =1.)8.{x +2y =0,2x -y =5(答案不唯一)9.解:(1)由2x +3y +5=0,得2x =-5-3y ,所以x =-32y-52. (2)答案不唯一,如:{x =−52,y =0或{x =−112,y =2或{x =0,y =−53.10.解:(1)设0.8元的邮票买了x 枚,2元的邮票买了y 枚,根据题意得{x +y =13,0.8x +2y =20. (2)设有x 只鸡,y 个笼,根据题意得{4y +1=x,5(y -1)=x. 11.解:将{x =2,y =1代入原方程组得{2m -1=1,2+n =3,解得{m =1,n =1,所以(m-n )2=0.12.解:(1)依题意,得{k 2-4=0,k +2=0,k -6≠0,即k =-2时,原方程为关于y 的一元一次方程. (2)依题意,得{k 2-4=0,k +2≠0,k -6≠0,即k =2时,原方程为关于x ,y 的二元一次方程.。