圆与圆、圆与正多边形的关系

中考总复习：正多边形与圆的有关的证明和计算—知识讲解（基础）【知识网络】【考点梳理】考点一、正多边形和圆1、正多边形的有关概念：(1) 正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.(2)正多边形的中心——正多边形的外接圆的圆心.(3)正多边形的半径——正多边形的外接圆的半径.(4)正多边形的边心距——正多边形中心到正多边形各边的距离.（正多边形内切圆的半径）(5)正多边形的中心角——正多边形每一边所对的外接圆的圆心角.2、正多边形与圆的关系：(1)将一个圆n(n≥3)等分(可以借助量角器)，依次连结各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形.(2)这个圆是这个正多边形的外接圆.（3）把圆分成n(n≥3)等分，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形.这个圆叫做正n边形的内切圆.（4）任何正n边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.3、正多边形性质：(1)任何正多边形都有一个外接圆.(2) 正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心．当边数是偶数时，它又是中心对称图形，它的中心就是对称中心.(3)边数相同的正多边形相似.它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．（4）任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.要点诠释：（1）正n边形的有n个相等的外角，而正n边形的外角和为360度，所以正n边形每个外角的度数是360n；所以正n边形的中心角等于它的外角.（2）边数相同的正多边形相似.周长的比等于它们边长（或半径、边心距）的比.面积比等于它们边长（或半径、边心距）平方的比.考点二、圆中有关计算1．圆中有关计算圆的面积公式：，周长.圆心角为、半径为R的弧长.圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积.弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为的圆柱的体积为，侧面积为，全面积为.圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为，高为的圆锥的侧面积为，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有.要点诠释：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；(4)扇形两个面积公式之间的联系：.【典型例题】类型一、正多边形有关计算1．图①是我们常见的地砖上的图案，其中包含了一种特殊的平面图形﹣正八边形．（1）如图②，AE是⊙O的直径，用直尺和圆规作⊙O的内接正八边形ABCDEFGH（不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的前提下，连接OD，已知OA=5，若扇形OAD（∠AOD＜180°）是一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径等于．【思路点拨】（1）作AE的垂直平分线交⊙O于C，G，作∠AOG，∠EOG的角平分线，分别交⊙O于H，F，反向延长 FO，HO，分别交⊙O于D，B顺次连接A，B，C，D，E，F，G，H，八边形ABCDEFGH即为所求；（2）由八边形ABCDEFGH是正八边形，求得∠AOD=3=135°得到的长=，设这个圆锥底面圆的半径为R，根据圆的周长的公式即可求得结论．【答案与解析】（1）如图所示，八边形ABCDEFGH即为所求，（2）∵八边形ABCDEFGH是正八边形，∴∠AOD=3=135°，∵OA=5，∴的长=，设这个圆锥底面圆的半径为R，∴2πR=，∴R=，即这个圆锥底面圆的半径为．故答案为：．【总结升华】本题考查了尺规作图，圆内接八边形的性质，弧长的计算，圆的周长公式的应用，会求八边形的内角的度数是解题的关键．举一反三：【变式1】如图是三根外径均为1米的圆形钢管堆积图和主视图，则其最高点与地面的距离是______米．【答案】31 .解析：如图，以三个圆心为顶点等边三角形O1O2O3的高O1C＝3，所以AB＝AO1+O1C+BC＝131312222++=+．【变式2】同一个圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长的比是__________.【答案】321：：【变式3】一张圆心角为45°的扇形纸板和圆形纸板按如图方式剪得一个正方形，边长都为2，则扇形纸板和圆形纸板的面积比是（）A．5：4 B．5：2 C．：2 D．：【答案】A.【解析】解：如图1，连接OD，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCB=∠ABO=90°，AB=BC=CD=2，∵∠AOB=45°，∴OB=AB=2，由勾股定理得：OD==2，∴扇形的面积是=π；如图2，连接MB、MC，∵四边形ABCD是⊙M的内接四边形，四边形ABCD是正方形，∴∠BMC=90°，MB=MC，∴∠MCB=∠MBC=45°，∵BC=2，∴MC=MB=，∴⊙M的面积是π×（）2=2π，∴扇形和圆形纸板的面积比是π÷（2π）=．故选：A．类型二、正多边形与圆有关面积的计算2．(1)如图(a)，扇形OAB的圆心角为90°，分别以OA，OB为直径在扇形内作半圆，P和Q 分别表示阴影部分的面积，那么P和Q的大小关系是( )．A．P＝Q B．P＞Q C．P＜Q D．无法确定(2)如图(b)，△ABC为等腰直角三角形，AC＝3，以BC为直径的半圆与斜边AB交于点D，则图中阴影部分的面积是________．(3)如图(c)，△AOB中，OA＝3cm，OB＝1cm，将△AOB绕点O逆时针旋转90°到△A′OB′，求AB 扫过的区域(图中阴影部分)的面积．(结果保留π)【思路点拨】 直接使用公式计算阴影部分面积比较困难时，可采用和差法、转化法、方程法等，有时也需要运用变换的观点来解决问题．【答案与解析】解：(1)阴影部分的面积直接求出十分困难，可利用几个图形面积的和差进行计算：2OAB OCA P S S Q =-+扇形半圆2211()42R R Q Q ππ=-+=； (2)(转化法“凑整”)利用BmD CnD S S =弓形弓形，则阴影部分的面积可转化为△ACD 的面积，等于△ABC面积的一半，答案为94； (3)(旋转法)将图形ABM 绕点O 逆时针旋转到A ′B ′M ′位置，则A OA MOM S S S ''=-阴影扇形扇形2211244OA OM πππ=-=． 【总结升华】求阴影面积的几种常用方 (1)公式法；(2)割补法；（3）旋转法；(4)拼凑法；(5)等积变形法；(6)构造方程法．举一反三：【变式】如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AB ＝8，BC ＝12，分别以AB 、AC 为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是( )A ．64π127-B ．16π32-C ．16π247-D ．16π127-【答案】解：如图，由AB ，AC 为直径可得AD ⊥BC ，则BD ＝DC ＝6．在Rt △ABD 中，228627AD =-=∴ 211246271612722S ππ⎛⎫=⨯⨯⨯-⨯⨯=-⎪⎝⎭阴影． 答案选D. 3．如图所示，A 是半径为2的⊙O 外一点，OA ＝4，AB 是⊙O 的切线，B 为切点，弦BC ∥OA ，连AC ，求阴影部分的面积．【思路点拨】图中的阴影是不规则图形，不易直接求出，如果连接OB 、OC ，由BC ∥OA ，根据同底等高的三角形面积相等，于是所求阴影可化为扇形OBC 去求解．【答案与解析】解：如图所示，连OB 、OC∵ BC ∥OA ．∴ △OBC 和△ABC 同底等高，∴ S △ABC ＝S △OBC ，∵ AB 为⊙O 的切线，∴ OB ⊥AB ．∵ OA ＝4，OB ＝2，∴ ∠AOB ＝60°．∵ BC ∥OA ， ∴ ∠AOB ＝∠OBC ＝60°．∵ OB ＝OC ，∴ △OBC 为正三角形．∴ ∠COB ＝60°，∴ 260223603OBC S S ππ⨯===阴影扇形．【总结升华】通过等积替换化不规则图形为规则图形，在等积转化中①可根据平移、旋转或轴对称等图形变换；②可根据同底（等底）同高（等高）的三角形面积相等进行转化．举一反三：【变式】如图所示，半圆的直径AB ＝10，P 为AB 上一点，点C ，D 为半圆的三等分点，则阴影部分的面积等于________．【答案】解：连接OC 、OD 、CD ． ∵ C 、D 为半圆的三等分点，∴ ∠AOC ＝∠COD ＝∠DOB ＝180603=°°． 又∵ OC ＝OD ，∴ ∠OCD ＝∠ODC ＝60°，∴ DC ∥AB ，∴ PCD OCD S S =△△，∴ 2605253606S S ππ===阴影扇形OCD ．4．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，以AB 为直径的半圆与对角线AC 交于点E ．（1）求弧BE 所对的圆心角的度数．（2）求图中阴影部分的面积（结果保留π）．【思路点拨】（1）连接OE，由条件可求得∠EAB=45°，利用圆周角定理可知弧BE所对的圆心角∠EOB=2∠EAB=90°；（2）利用条件可求得扇形AOE的面积，进一步求得弓形的面积，利用Rt△ADC的面积减去弓的面积可求得阴影部分的面积．【答案与解析】解：（1）连接OE，∵四边形ABCD为正方形，∴∠EAB=45°，∴∠EOB=2∠EAB=90°；（2）由（1）∠EOB=90°，且AB=4，则OA=2，∴S扇形AOE==π，S△AOE=OA2=2，∴S弓形=S扇形AOE﹣S△AOE=π﹣2，又∵S△ACD=AD•CD=×4×4=8，∴S阴影=8﹣（π﹣2）=10﹣π．【总结升华】本题主要考查扇形面积的计算和正方形的性质，掌握扇形的面积公式是解题的关键，注意弓形面积的计算方法．5．将一块三角板和半圆形量角器按图中方式叠放，重叠部分（阴影）的量角器圆弧（AB）对应的中心角（∠AOB）为120°，AO的长为4cm，求图中阴影部分的面积.【思路点拨】看是否由“规则的”三角形、四边形、圆、扇形、弓形等可求面积的图形，经过怎样的拼凑、割补、叠合而成，这是解决这类题的关键．【答案与解析】阴影部分的面积可看成是由一个扇形AOB 和一个Rt △BOC 组成，其中扇形AOB 的中心角是120°，AO 的长为4，Rt △BOC 中，OB ＝OA ＝4，∠BOC ＝60°，∴ 可求得BC 长和OC 长，从而可求得面积，阴影部分面积＝扇形AOB 面积+△BOC 面积＝21623cm 3π⎛⎫+ ⎪⎝⎭． 【总结升华】本题是求简单组合图形的面积问题，解答时，常常是寻找这些“不规则的图形”是由哪些“可求面积的、规则的图形”组合而成.举一反三：【变式】如图，矩形ABCD 中，AB ＝1，2AD =．以AD 的长为半径的⊙A 交BC 于点E ，则图中阴影部分的面积为________．【答案】1224π--. 解析：连接AE ，易证AB ＝BE ＝1，∠BAE ＝45°，所以∠EAD ＝45°， 所以21112(2)22824ABE ABCD DAE S S S S ππ=--=--=--△阴影矩形扇形．6．如图，AB是⊙O的直径，点P是AB延长线上一点，PC切⊙O于点C，连接AC，过点O作AC的垂线交AC于点D，交⊙O于点E．已知AB﹦8，∠P=30°．（1）求线段PC的长；（2）求阴影部分的面积．【思路点拨】（1）连接OC，由PC为圆O的切线，根据切线的性质得到OC与PC垂直，可得三角形OCP为直角三角形，同时由直径AB的长求出半径OC的长，根据锐角三角函数定义得到tanP为∠P的对边OC与邻边PC的比值，根据∠P的度数，利用特殊角的三角函数值求出tanP的值，由tanP及OC的值，可得出PC 的长；（2）由直角三角形中∠P的度数，根据直角三角形的两个锐角互余求出∠AOC的度数，进而得出∠BOC的度数，由OD与BC垂直，且OC=OB，利用等腰三角形的三线合一得到OD为∠BOC的平分线，可求出∠COD度数为60°，再根据直角三角形中两锐角互余求出∠OCD度数为30°，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，由斜边OC的长求出OD的长，先由∠COD的度数及半径OC的长，利用扇形的面积公式求出扇形COE的面积，再由OD与CD的长，利用直角三角形两直角边乘积的一半求出直角三角形COD 的面积，用扇形COE的面积减去三角形COD的面积，即可求出阴影部分的面积．【答案与解析】解：（1）连接OC，∵PC切⊙O于点C，∴OC⊥PC，∵AB=8，∴OC=12AB=4，又在直角三角形OCP中，∠P=30°，∴tanP=tan30°=OCPC，即PC=433=43；（2）∵∠OCP=90°，∠P=30°，∴∠COP=60°，∴∠AOC=120°，又AC⊥OE，OA=OC，∴OD为∠AOC的平分线，∴∠COE=12∠AOC=60°，又半径OC=4，∴S扇形OCE=26048= 3603ππ⨯，在Rt△OCD中，∠COD=60°，∴∠OCD=30°，∴OD=12OC=2，根据勾股定理得：CD=22OC-OD=23，∴S△OCD=12DC•OD=12×23×2=23，则S阴影=S扇形OCE-S△OCD=8-233π．【总结升华】此题考查了切线的性质，含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数定义，以及扇形的面积公式，遇到已知切线的类型题时，常常连接圆心与切点，利用切线的性质得出垂直，利用直角三角形的性质来解决问题．。

初中数学知识点：正多边形和圆知识点新一轮的中考复习又开始了，本站编辑为此特为大家整理了正多边形和圆知识点，希望可以帮助大家复习，预祝大家取得优异的成绩~正多边形和圆知识点1、正多边形的定义各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。

2、正多边形和圆的关系只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以做出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。

典型例题粉笔是校园中最常见的必备品.图1是一盒刚打开的六角形粉笔，总支数为50支.图2是它的横截面(矩形ABCD)，已知每支粉笔的直径为12mm，由此估算矩形ABCD的周长约为_____mm.(，结果精确到1mm)答案：300解析:把图形中的边长的问题转化为正六边形的边长、边心距之间的计算即可.解：作B′M′∥C′D′，C′M′⊥B′M′于点M′.粉笔的半径是6mm.则边长是6mm.∵∠M′B′C′=60°∴B′M′=B′C′?cos60°=6×=3.边心距C′M′=6sin60°=3mm.则图(2)中，AB=CD=11×3=33mm.AD=BC=5×6+5×12+3=93mm.则周长是：2×33+2×93=66+186≈300mm.故答案是：300mm.同步练习题1判断题:①各边相等的圆外切多边形一定是正多边形.( )②各角相等的圆内接多边形一定是正多边形.( )③正多边形的中心角等于它的每一个外角.( )④若一个正多边形的每一个内角是150°,则这个正多边形是正十二边形.( )⑤各角相等的圆外切多边形是正多边形.( )2填空题:①一个外角等于它的一个内角的正多边形是正____边形.[②正八边形的中心角的度数为 ____,每一个内角度数为____,每一个外角度数为____.③边长为6cm的正三角形的半径是____cm,边心距是____cm ,面积是____cm.④面积等于 cm2的正六边形的周长是____.⑤同圆的内接正三角形与外切正三角形的边长之比是____.⑥正多边形的面积是240cm2,周长是60cm2,则边心距是____cm.⑦正六边形的两对边之间的距离是12cm,则边长是____cm.⑧同圆的外切正四边形与内接正四边形的边心距之比是____.⑨同圆的内接正三角形的边心距与正六边形的边心距之比是____.3选择题:①下列命题中,假命题的是( )A.各边相等的圆内接多边形是正多边形.B.正多边形的任意两个角的平分线如果相交,则交点为正多边形的中心.C.正多边形的任意两条边的中垂线如果相交,则交点是正多边形的中心.D.一个外角小于一个内角的正多边形一定是正五边形.②若一个正多边形的一个外角大于它的一个内角,则它的边数是( )A.3B.4C.5D.不能确定③同圆的内接正四边形与外切正四边形的面积之比是( )A.1:B.1:C.1:2D. :1④正六边形的两条平行边间距离是1,则边长是( )A . B. C. D.⑤周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S3、S4、S6之间的大小关系是:( )A.S3>S4>S6B.S6>S4>S3C.S6>S3>S4D.S4>S6>S3⑥正三角形的边心距、半径和高的比是( )A.1:2:3B.1: :C. 1: :3D.1:2:四、计算1.已知正方形面积为8cm2，求此正方形边心距 .3.已知圆内接正三角形边心距为 2cm，求它的边长.距长.长.8.已知圆外切正方形边长为2cm ，求该圆外切正三角形半径.10.已知圆内接正方形边长为m，求该圆外切正三角形边长.长.12.已知正方形边长为1cm，求它的外接圆的外切正六边形外接圆的半径.13.已知一个正三角形与一个正六边形面积相等，求两者边长之比.15.已知圆内接正六边形与正方形面积之差为11cm2，求该圆内接正三角形的面积.16.已知圆O内接正n边形边长为an，⊙O半径为R，试用an，R表示此圆外切正n边形边长bn.。

平面几何中的正多边形与圆的周长在平面几何中，正多边形与圆的周长是一个重要的概念。

正多边形是指所有边长相等且所有内角相等的多边形，而圆的周长则是指圆的边缘一周的长度。

本文将探讨正多边形和圆的周长的关系，并介绍一些计算正多边形和圆的周长的方法。

一、正多边形的周长正多边形的周长可以通过计算每条边的长度之和来得到。

设正多边形有n条边，边长为a，则正多边形的周长L可以表示为L = n * a。

例如，一个有6条边的正六边形，若每条边的长度为3cm，则正六边形的周长L = 6 * 3 = 18cm。

需要注意的是，正多边形的周长与边数以及边长有关。

当边数n增加时，正多边形的周长也会增加；当边长a增加时，正多边形的周长也会增加。

二、圆的周长在平面几何中，圆的周长又称为圆的周长或圆周长。

圆的周长C可以通过计算圆的直径或半径与圆周率π的乘积来得到。

根据定义，圆周率π的近似值约为3.14159。

1. 通过直径计算设圆的直径为d，则圆的周长C可以表示为C = π * d。

例如，一个直径为10cm的圆的周长C = 3.14159 * 10 = 31.4159cm。

2. 通过半径计算设圆的半径为r，则圆的周长C可以表示为C = 2 * π * r。

例如，一个半径为5cm的圆的周长C = 2 * 3.14159 * 5 = 31.4159cm。

需要注意的是，无论是通过直径还是半径计算，圆的周长都与圆周率π有关。

当直径或半径增加时，圆的周长也会增加。

三、正多边形与圆的周长的关系在考察正多边形和圆的周长时，我们可以发现一个有趣的现象。

当正多边形的边数n足够大时，正多边形的周长L会趋近于圆的周长C。

这可以通过以下推理来解释：首先，在一个给定的正多边形中，边数越多，每条边的长度a则越短，这意味着多边形的周长L越接近于n * a。

而当n趋近于无穷大时，正多边形的周长L趋近于无限，也就是周长无限长。

而圆的周长C是有限且确定的，不会随着边数的增加而增加。

圆与圆的位置关系圆与正多边形考点解读模块考点水平层级图形与几何相关定义Ⅱ两圆位置关系及圆与正多边形的位置关系备注理解性理解水平（记为Ⅱ）探究性理解水平(记为Ⅲ)知识梳理一、相关定义：1．外离：两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部，叫做这两个圆外离．2．外切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部，叫做这两个圆外切．这个唯一的公共点叫做切点．3．相交：两个圆有两个公共点，叫做这两个圆相交．4．内切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部，叫做这两个圆内切，这个唯一的公共点叫做切点．5．内含：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部，叫做这两个圆内含.当两个圆的圆心重合时，称它们为同心圆．6．圆心距：两个圆的圆心之间的距离叫做圆心距．7．各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形．n ）就称作正n边形．8．有n条边的正多边形（n是正整数，且39．正多边形的外接圆（或内切圆）的圆心叫做正多边形的中心．10．正多边形的外接圆的半径叫做正多边形的半径．11．正多边形的内切圆的半径长叫做正多边形的边心距．12．正多边形一边所对的关于外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角．【注意】1．正n边形，若n是奇数，则正n边形是轴对称图形；若n是偶数，则正n边形既是轴对称图形，又是中心对称图形．2．正n边形的条对称轴交于一点，其外接圆和内切圆的圆心都是这个正n边形的对称轴的交点．这个交点到正n边形的各顶点的距离相等，到正n边形各边的距离也相等．二、两圆位置关系：1．半径不等的两圆的位置关系：半径不等的两圆的半径分别为1R 和2R ，圆心距为d ，则两圆的位置关系可用1R 、2R 和d 之间的 数量关系表达，具体表达如下： ①两圆外离12d R R ⇔>+； ②两圆外切12d R R ⇔=+；③两圆相交1212R R d R R ⇔-<<+； ④两圆内切12d R R ⇔=-； ⑤两圆内含120d R R ⇔≤<-．2．半径相等的两圆的位置关系有：外离、外切、相交、重合．【总结】1．半径不等两圆的位置关系用数轴表示：2．从两圆公共点个数考虑：交点个数 半径不等 半径相等两圆无交点 两圆外离两圆内含（同心圆）两圆外离 两圆有一个交点 两圆外切两圆内切两圆外切 两圆有两个交点 两圆相交 两圆相交 两圆有无数个交点 ——两圆重合三、相关定理：1．相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦． 2．相切两圆的连心线经过切点．典型例题1. 下列判断错误的是（ C ）A. 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形B. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形C. 对角线相等的四边形是矩形D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 2. 已知1O 与2O 外离，1O 半径是5，圆心距127O O =，那么2O 半径可以是（ D ）A. 4B. 3C. 2D. 13.已知⊙1O 的半径16r =，⊙2O 的半径为2r ，圆心距123O O =，如果⊙1O 与⊙2O 有交点，那么2r 的 取值范围是（ D ）A. 23r ≥B. 29r ≤C. 239r <<D. 239r ≤≤4. 圆O 是正n 边形12n A A A ⋅⋅⋅的外接圆，半径长为18，若12A A 长为π，那么边数n 为（ C ） A. 5 B. 10 C. 36 D. 725.若⊙1O 与⊙2O 相交于两点，且圆心距125O O cm =，则下列哪一选项中的长度可能为此两圆的 半径？（ D ）A. 1cm ，2cmB. 2cm ，3cmC. 10cm ，15cmD. 2cm ，5cm 6.如图，A 、B 的半径分别为1cm 、2cm ，圆心距AB 为5cm .将A 由图示位置沿直线AB 向右平移，当该圆与B 内切时，A 平移的距离是 4或6 .（黄浦2015二模5） 如果两圆的半径长分别为6与2，圆心距为4，那么这两个圆的位置关系是（A ）内含； （B ）内切； （C ）外切； （D ）相交. 【答案】B（奉贤2015二模5）相交两圆的圆心距是5，如果其中一个圆的半径是3，那么另外一个圆的半径可以是（ ）A ．2；B ．5；C ．8；D ．10． 【参考答案】B（虹口2015二模5）下列多边形中，中心角等于内角的是（ ）A ．正三角形；B ．正四边形；C ．正六边形；D ．正八边形． 【参考答案】B（奉贤2015二模14）如果正n 边形的中心角是40°，那么n = ； 【参考答案】9（黄浦2015二模17）当两个圆有两个公共点，且其中一个圆的圆心在另一圆的圆内时，我们称此两圆的 位置关系为“内相交”．如果⊙1O 、⊙2O 半径分别为3和1，且两圆“内相交”，那么两圆的圆心距d 的 取值范围是 ．【参考答案】23d <<．（黄浦2016二模5）如果两圆的半径长分别为1和3，圆心距为3，那么这两个圆的位置关系是（ ） A. 内含 B. 内切 C. 外切 D. 相交【参考答案】D（奉贤2016二模6）已知1O 与2O 外离，1O 半径是5，圆心距127O O =，那么2O 半径可以是（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1【参考答案】D（松江2016二模6）已知⊙1O 的半径16r =，⊙2O 的半径为2r ，圆心距123O O =，如果⊙1O 与⊙2O 有交点，那么2r 的取值范围是（ ）A. 23r ≥B. 29r ≤C. 239r <<D. 239r ≤≤【参考答案】D（闸北2016二模6）若⊙1O 与⊙2O 相交于两点，且圆心距125O O cm =，则下列哪一选项中的长度可能为此两圆的半径？（ ）A. 1cm ，2cmB. 2cm ，3cmC. 10cm ，15cmD.2cm ，5cm【参考答案】D（嘉定、宝山2016二模15）已知A 的半径长为1、B 的半径长为2、C 的半径长为3，如果这三个圆两两外切，那么cos B 的值是______________.【参考答案】35（虹口2016二模16）若两圆的半径分别为1cm 和5cm ，圆心距为4cm ，则这两圆的位置关系是________.【参考答案】内切（静安、青浦2016二模17）已知⊙1O 、⊙2O 的半径分别为3、2，且⊙1O 上的点都在⊙2O 的外部，那么圆心距d 的取值范围是________________.【参考答案】5d >或01d ≤<变式训练1.如图，已知AB 是⊙O 的直径，16AB =，点P 是AB 所在直线上一点，10OP =，点C 是⊙O 上 一点，PC 交⊙O 于点D ，3sin 5BPC ∠=，求CD 的长；【答案】 CD =；22. 如图①，三个直径为a 的等圆⊙P 、⊙Q 、⊙O 两两外切，切点分别是A 、B 、C ； （1）那么OA 的长是 （用含a 的代数式表示）；（2）探索：现有若干个直径为a 的圆圈分别按如图②所示的方案一和如图③所示的方案二的方式排放，那么这两种方案中n 层圆圈的高度n h = ，n h '= （用含n 、a 的代数式表示）；（3）应用：现有一种长方体集装箱，箱内长为6米，宽为2.5米，高为2.5米，用这种集装箱装运长 为6米，底面直径（横截面的外圆直径）为0.1米的圆柱形铜管，你认为采用第（2）题中的哪种方案 在这种集装箱中装运铜管数多？通过计算说明理由；1.41≈ 1.73≈】【答案】22.（1；（2）na (1a +-；（3）方案②；（闸北2016二模17）在平面直角坐标系xOy 中，⊙C 的半径为r ，点P 是与圆心C 不重合的点，给出如下定义：若点P '为射线CP 上一点，满足2CP CP r '⋅=，则称点P '为点P 关于⊙C 的反演点，如图为点P 及其关于⊙C 的反演点P '的示意图，写出点1(,0)2M 关于以原点O 为圆心，1为半径的⊙O 反演点M '的坐标_____________.【参考答案】(2,0)课后训练（崇明2016二模5）如图，正六边形ABCDEF 内接于圆O ，半径为4，那么这个正六边形的边心距OM 和弧BC 的长分别为（ ）A. 2、3πB. πC. 、23πD. 43π【参考答案】D（普陀2016二模6）如果圆形纸片的直径是8cm ，用它完全覆盖正六边形，那么正六边形的边长最大不能超过（ ）A. 2cmB.C. 4cmD.【参考答案】C（杨浦2016二模6）圆O 是正n 边形12n A A A ⋅⋅⋅的外接圆，半径长为18，若12A A 长为π，那么边数n 为（ ）A. 5B. 10C. 36D. 72【参考答案】C（黄浦2016二模15）中心角为60°的正多边形有 条对称轴.【参考答案】6（长宁、金山2016二模17）已知AB 、AC 分别是同一个圆的内接正方形和内接正六边形的边，那么BAC ∠的度数是 度【参考答案】15或105（虹口2016二模17）设正n 边形的半径为R ，边心距为r ，如果我们将Rr的值称为正n 边形的“接近度”， 那么正六边形的“接近度”是 （结果保留根号）【参考答案】3（崇明2016二模5）如图，正六边形ABCDEF 内接于圆O ，半径为4，那么这个正六边形的边心距OM 和弧BC 的长分别为（ ）A. 2、3πB. πC. 、23πD. 43π【参考答案】D（普陀2016二模6）如果圆形纸片的直径是8cm ，用它完全覆盖正六边形，那么正六边形的边长最大不能超过（ ）A. 2cmB.C. 4cmD.【参考答案】C（杨浦2016二模6）圆O 是正n 边形12n A A A ⋅⋅⋅的外接圆，半径长为18，若12A A 长为π，那么边数n 为（ ）A. 5B. 10C. 36D. 72【参考答案】C（黄浦2016二模15）中心角为60°的正多边形有 条对称轴.【参考答案】6（长宁、金山2016二模17）已知AB 、AC 分别是同一个圆的内接正方形和内接正六边形的边，那么BAC ∠的度数是 度【参考答案】15或105（虹口2016二模17）设正n边形的半径为R，边心距为r，如果我们将Rr的值称为正n边形的“接近度”，那么正六边形的“接近度”是（结果保留根号）【参考答案】3。

探讨正多边形和圆周的关系正多边形和圆周之间有着密切的关系。

在本文中，将探讨正多边形和圆周的性质、特点以及它们之间的关联。

通过对它们进行比较和分析，我们可以更好地理解它们之间的联系和相互作用。

正多边形是指所有边和角都相等的多边形。

最常见的正多边形是三角形、四边形和五边形，分别对应着等边三角形、正方形和正五边形。

正多边形具有以下特点：边数相等、角度相等、对称性强等。

在正多边形中，所有的边都相等。

这意味着正多边形的边长也是相等的。

以正五边形为例，五个边的长度都相等，这使得正多边形具有一种美观的对称性和几何上的完美性。

正多边形的角度也是相等的。

以正六边形为例，每个角都是120度。

正多边形的角度与边数有一定的关系，可以通过公式 (n-2) × 180 / n 来计算出每个角的度数，其中 n 表示边的个数。

我们可以发现，随着边数增多，正多边形的角度也会趋近于180度，这使得正多边形逐渐接近于圆形。

那么，正多边形和圆周之间有着怎样的关系呢？通过分析可以发现，正多边形可以被视为圆周上一系列等距离的点。

以正五边形为例，五个顶点恰好可以组成一个正圆，每个顶点处于圆周上，并且相邻两个顶点之间的弧长相等。

通过进一步研究，我们可以发现正多边形和圆周之间的联系更进一步。

正多边形的内接圆和外接圆是与之密切相关的概念。

内接圆是正多边形的内切圆，即内切于正多边形的圆。

外接圆则是正多边形的外接圆，即与正多边形的每个顶点都相切的圆。

正多边形的内接圆与外接圆有一定的关系。

通过观察可以发现，正多边形的内接圆的半径和边长之间存在一个比例关系，这个比例关系可以表示为半径 r 内接圆与边长 s 之间的比值为r = s / 2sin(π / n)，其中n 表示边数。

同样，正多边形的外接圆的半径和边长之间也存在一个比例关系，这个比例关系可以表示为半径 R 外接圆与边长 s 之间的比值为R = s / 2sin(π / n)cos(π / n)。

正多边形和圆及圆的有关计算一、知识梳理： 1、正多边形和圆各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形。

定理：把圆分成n （n ＞3）等分：（l ）依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内按正多边形；（2）经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n 边形。

定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。

正多边形的外接（或内切）圆的圆心叫正多边形的中心。

外接圆的半径叫正多边形的半径，内切圆的半径叫正多边形的边心距。

正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等，叫正多边形的中心角。

正n 边形的每个中心角等于n360正多边形都是轴对称图形，一个正n 边形共有n 条对称轴，每条对称轴都通过正n 边形的中心。

若n 为偶数，则正n 边形又是中心对称图形，它的中心就是对称中心。

边数相同的正多边形相似，所以周长的比等于边长的比，面积的比等于边长平方的比。

2、正多边形的有关计算正n 边形的每个内角都等于nn180)2(-定理：正n 边形的半径和边心距把正n 边形分成2n 个全等的直角三角形。

正多边形的有关计算都归结为解直角三角形的计算。

3、画正多边形(1)用量角器等分圆 (2)用尺规等分圆正三、正六、正八、正四及其倍数（正多边形）。

正五边形的近似作法(等分圆心角) 4、圆周长、弧长（1）圆周长C ＝2πR ；（2）弧长180Rn L π= 5、圆扇形，弓形的面积 （l ）圆面积：2R S π=；（2）扇形面积：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形。

在半径为R 的圆中，圆心角为n °的扇形面积S 扇形的计算公式为：3602R n S π=扇形 注意：因为扇形的弧长180Rn L π=。

所以扇形的面积公式又可写为LR S 21=扇形（3）弓形的面积由弦及其所对的弧组成的圆形叫做弓形。

弓形面积可以在计算扇形面积和三角形面积的基础上求得。

如果弓形的弧是劣弧，则弓形面积等于扇形面积减去三角形面积。