北京市房山区2014届九年级上期末考试数学试题

2014年房山区初三毕业会考试卷数 学一、选择题（本题共32分，每小题4分）下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．用铅笔把“机读答题卡”上对应题目答案的相应字母处涂黑． 1．23-的绝对值是 A ．23- B ．23 C ．32- D ．322．转基因作物是利用基因工程将原有作物基因加入其它生物的遗传物质，并将不良基因移除，从而造成品质更好的作物．我国现有转基因作物种植面积约为4 200 000公顷，将4 200 000用科学记数法表示为A ． 64.210⨯B ．54.210⨯C ．54210⨯D ．70.4210⨯3．某班共有学生31名，其中男生11名．老师随机请一名同学回答问题，则男生被选中的概率是A ． 1B ．1131C ．2031D ．04．如图，直线m ∥n ，将含有45°角的三角板ABC 的 直角顶点C 放在直线n 上，则∠1+∠2等于 A ．30° B ． 40° C ．45° D ．60°5．将二次函数243y x x =-+化为2()y x h k =-+的形式，下列结果正确的是 A ． 2(2)1y x =++ B ．2(2)1y x =+- C ． 2(2)1y x =-+ D ．2(2)1y x =--6．国家统计局公布了2014年1月的居民消费价格指数（CPI ），16个省市CPI 同比涨幅超过全国平均水平，其中7个省市的涨幅如下表：则这组数据的众数和中位数分别是A ． 2.8，2.8B ．2.8，2.9C ．3.3，2.8D ．2.8，3.0 7．如图,在边长为9的正方形ABCD 中, F 为AB 上一点,连接 CF.过点F 作FE ⊥CF,交AD于点E ，若AF ＝3,则AE 等于 A ．1B ．1. 5 C．2 D ．2. 58．如图1，菱形ABCD 的对角线交于点O ，AC=2BD ，点P 是AO 上一个动点，过点P 作AC 的垂线m 1y321交菱形的边于M ，N 两点．设AP ＝x ，△OMN的面积为y ， 表示y 与x 的函数关系的图象大致如图2所示，则菱形的周长为A. 2 B ．． 4 D ．二、填空题（本题共16分，每小题4分） 10．分解因式：322x x x -+= ． 11．如图，在小山的东侧A 点处有一个热气球，由于受风向的影响，该热气球以每分钟30米的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25分钟后到达C 处，此时热气球上的人测得小山西侧B 点的俯角为30°，则A ，B 两点间的距离为 米．12．如图，点P 1（x 1，y 1），点P 2（x 2，y 2），…，点P n （x n ，y n ）都在函数ky x=（x ＞0）的图象上，△P 1OA 1，△P 2A 1A 2，△P 3A 2A 3，…，△P n A n ﹣1A n 都是等腰直角三角形，斜边OA 1，A 1A 2，A 2A 3，…，A n ﹣1A n 都在x 轴上（n 是大于或等于2的正整数），已知点A 1的坐标为（2，0），则点P 1的坐标为；点P 2的坐标为；点P n 的坐标为 （用含n 的式子表示）．三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．计算： 20(1)3tan302)︒---14．已知：如图，在△DBC 中，BC=DC,过点C 作CE ⊥DC 交DB 的延长线于点E ，过点C 作AC BC ⊥且AC=EC ，连结AB. 求证：AB=ED.15．求不等式组()x x 111,212ìïï-ïíïï-ïî≤＜的解集，并求它的整数解.16. 已知2310x x +-=，求代数式()()()23113x x x +---的值．17．如图，点A 在反比例函数)0(≠=k xky 的图象上.（1) 求反比例函数)0(≠=k xky 的解析式；（2）在y 轴上是否存在点P ，使得△AOP 是直角三角形？若存在，直接写出P 点坐标；若不存在，请说明理由.18．列方程或方程组解应用题：为保证“燕房线”轻轨建设，我区对一条长 2 500米的道路进行改造.在改造了 1 000米后，为了减少施工对交通造成的影响，采用了新的施工工艺，使每天的工作效率是原来的1.5倍，结果提前5天完成任务．求原来每天改造道路多少米？ 四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19．已知：如图，在△ABC 中，点D 是BC 中点，点E是AC 中点，且AD ⊥BC ，BE ⊥AC ， BE,AD 相交于点G ，过点B 作BF ∥AC 交AD 的延长线于点F ， DF=6. (1) 求AE 的长； (2) 求AEGFBGS S 的值. 20.某校开展“我运动、我健康、我阳光、我快乐”的寒假体育锻炼活动，要求学生每天体育锻炼一小时.开学后小明对本年级学生是否参加体育锻炼的情况进行了调查，并对参加锻炼的学生进行了身体健康测试，绘制成如下统计图.学生是否参加体育锻炼情况统计图 参加体育锻炼的学生身体健康测试情况统计图根据以上信息，解答下列问题： （1）小明本次共调查了多少名学生？（2）参加体育锻炼的学生中，有多少人身体健康指数提升？（3）若该校有1 000名学生，请你估计有多少人假期参加体育锻炼？要使两年后参加体育锻炼的人数增加到968人，假设平均每年的增长率相同，求这个增长率．体育锻炼体育锻炼060身体健康指数提升占97.5%身体健康指数未提升占2.5%21．如图， AE 是⊙O 直径，D 是⊙O 上一点，连结AD 并延长使AD=DC ，连结CE 交⊙O 于点B ，连结AB .过点E 的直线与AC 的延长线交于点F ，且∠F=∠CED .（1）求证:EF 是⊙O 切线； （2）若CD=CF=2，求BE 的长.22.阅读下列材料：小明遇到这样一个问题：已知：在△ABC 中，AB ,BC ,AC，求△ABC 的面积．小明是这样解决问题的：如图1所示，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC （即△ABC 三个顶点都在小正方形的顶点处），从而借助网格就能计算出△ABC 的面积. 他把这种解决问题的方法称为构图法．请回答：(1)图1中△ABC 的面积为 ；参考小明解决问题的方法，完成下列问题：(2)图2是一个6×6的正方形网格(每个小正方形的边长为1) ．①利用构图法在答题卡的图2的格点△DEF ； ②计算△DEF 的面积为 ．(3)如图3，已知△PQR ，以PQ ，PR 为边向外作正方形PQAF，PRDE ，连接EF ．若,3,7P Q P R = ,则六边形AQRDEF 的面积为__________．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23. 如图，抛物线c bx x y ++-=2经过(10)A -，、(04)C ，两点，与x 轴的另一交点是B ． （1）求抛物线的解析式；（2）若点()1,+a a D 在第一象限的抛物线上，求点D 'D 图1图2图3的坐标；（3）在（2）的条件下，过点D 作BC DE ⊥于点E,反比例函数)0(≠=k xky 的图象经过点E ，点()3,-n m F 在此反比例函数图象上，求mn 154-的值．24. 将等腰Rt △ABC 和等腰Rt △ADE 按图1方式放置，∠A=90°， AD 边与AB 边重合， AB ＝2AD＝4．将△ADE 绕点A 逆时针方向旋转一个角度α（0°≤α≤180°），BD 的延长线交直线CE 于点P .（1）如图2，BD 与CE 的数量关系是 , 位置关系是 ； （2）在旋转的过程中，当AD ⊥BD 时，求出CP 的长； （3）在此旋转过程中，求点P 运动的路线长.25.我们规定：形如()ax ky a b k k ab x b+=≠+、、为常数，且 的函数叫做“奇特函数”.当0a b ==时，“奇特函数”ax ky x b +=+就是反比例函数()0k y k x=≠.(1) 若矩形的两边长分别是2和3，当这两边长分别增加x 和y 后，得到的新矩形的面积为8 ，求y 与x 之间的函数关系式，并判断这个函数是否为“奇特函数”； (2) 如图，在平面直角坐标系中，点O 为原点，矩形OABC 的顶点A ，C 的坐标分别为（9，0）、（0，3）. 点D 是OA 的中点，连结OB ，CD交于点E ，“奇特函数”6ax ky x +=-的图象经过B ，E 两点.① 求这个“奇特函数”的解析式； ② 把反比例函数3y x=的图象向右平移6个单位，再向上平移 个单位就可得到①中所得“奇特函数”的图象.过线段BE 中点M 的一条直线l 与这个“奇特函数”的图象交于P ，Q 两点，若以B 、E 、P 、Q 为顶点组成图1 图2 备用图的四边形面积为16，请直接写出点P的坐标.。

2014—2015学年度第一学期终结性检测试题九年级数学题号 一 二 三 四 五 总分 得分一、选择题（本题共32分，每小题4分）下列各题均有四个选项，其中有且只有一个．．是符合题意的．请将正确选项前的字母填在下表中相应题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案1. 抛物线()225=--+y x 的顶点坐标是 A ．()2，5-B ．()2，5C ．()25，--D ．()52，- 2．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，若AB=OA=OB ，则∠C 等于A ．30°B ．40°C ．60°D ．80° 3．在 Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，则sin B 的值等于A ． 34B ．43C ．35D ．454. 已知点P (-3,2)是反比例函数图象上的一 点，则该反比例函数的表达式为A.xy 3=B.5y x =- C. 6y x = D.6y x =-5. 已知△ABC ∽△A′B′C′，相似比为1：2，则△ABC 与△A′B′C′ 的面积的比为 A ．1：2 B ． 2：1 C ． 1：4 D ． 4：16. 如图，弦AB ⊥ OC ，垂足为点C ，连接OA ，若OC =2，AB =4，则OA 等于A ．22B ．23C ．32D ．257. 在某一时刻，测得一根高为1.8m 的竹竿的影长为3m ，同时测得一根旗杆的影长为，那么这根旗杆的高度为A ． 10mB ． 12mC ． 15mD ．40m8. 如图，⊙O 的半径为2，点P 是半径OA 上的一个动点，过点P 作直线MN 且∠APN =60°，过点AOB CCOABA 的切线AB 交MN 于点B . 设OP =x ，△P AB 的面积为 y ，则下列图象中， 能表示y 与x 的函数关系的图象大致是二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 边上的点，且 DE ∥BC ， 若AD =5，DB =3，DE =4，则BC 等于 ．10．如图，⊙O 的半径为2，4=OA ，AB 切⊙O 于B ，弦BC OA ∥连结AC ， 则图中阴影部分的面积为 ．11. 如图，⊙O 的直径CD 过弦AB 的中点E ，∠BCD =15°，⊙O 的半径为10，则AB = ．12. 抛物线()()2211-11n y x x n n n n +=+++（其中n 是正整数）与x 轴交于A n 、B n 两点，若以A n B n 表示这两点间的距离，则A B _________=11; A B A B __________+=1122； n n A B A B A B A B ____________.+++⋅⋅⋅+=112233(用含n 的代数式表示) 二、解答题（本题共30分，每小题5分） 13.计算： 011(31)2cos30()128--︒-+解：14.如图，C 为线段BD 上一点，AC CE ⊥，AB BD ⊥，ED BD ⊥．求证：AB BC CDDE=．A E D CBCO BEDBAyxyxyxy xDC B A23232323OOOONMBOAP E AO DCB解:15.已知二次函数12)3(2++-=x x k y 的图象与x 轴有交点，求k 的取值范围． 解:16. 如图，在ABC ∆中，90C ︒∠=，52sin =A ，D 为AC 上一点，45BDC ︒∠=，6=DC ，求AD 的长. 解:17. 小红想要测量校园内一座教学楼CD 的高度. 她先在A 处测得楼顶C 的仰角=α30°，再向楼的方向直行10米到达B 处，又测得楼顶C 的仰角=β60°，若小红的目高（眼睛到地面的高度）AE 为1.60米，请你帮助她计算出这座教学楼CD 的高度（结果精确到0.1米）参考数据：41.12≈，73.13≈，24.25≈解:18. 如图，直线y =3x 与双曲线ky x=的两个交点分别为A (1 , m )和B ． （1）直接写出点B 坐标，并求出双曲线ky x=的表达式； D CBAβαG F E CBA（2）若点P 为双曲线ky x=上的点（点P 不与A 、B 重合），且满足PO=OB ，直接写出点P 坐标． 解:四、解答题(本题共20分，每小题5分)19. 抛物线2y x bx c =++与x 轴分别交于点A (－1,0)和点B ，与y 轴的交点C 坐标为(0,－3)． （1）求抛物线的表达式；（2）点D 为抛物线对称轴上的一个动点，若DA +DC 的值最小，求点D 的坐标. 解:20.如图是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连结外圆上的两点A 、B ，并使AB 与车轮内圆相切于点D ，做CD ⊥AB 交外圆于点C ．测得CD =10cm ，AB =60cm ，求这个车轮的外圆半径长．解:21.如图，AB 是⊙O 的直径， 点C 在⊙O 上，CE ⊥ AB 于E , CD 平分∠ECB , 交过 点B 的射线于D , 交AB 于F , 且BC=BD .y xBAO 1mAB（1）求证：BD 是⊙O 的切线； （2）若AE =9, CE =12, 求BF 的长. 解:22. 阅读下面的材料：小明在数学课外小组活动中遇到这样一个“新定义”问题：()()()0210.ab ba ab bb ⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩=-＞；定义运算“： ※”求为※※＜的值.小明是这样解决问题的：由新定义可知a =1，b =-2，又b ＜0，所以1※（-2）= 12 .请你参考小明的解题思路，回答下列问题： (1) 计算：2※3= ；(2) 若5※m =56，则m = .(3) 函数y =2※x （x ≠0）的图象大致是（ ）五、解答题（本题共22分，其中23题7分，24题7分，25题8分）23. 直线y =﹣3x +3与x 轴交于点A , 与y 轴交于点B ，抛物线y =a （x ﹣2）2+k 经过点A 、B ，与x 轴的另一交点为C ． （1）求a ，k 的值；（2）若点M 、N 分别为抛物线及其对称轴上的点, 且以A ，C ，M ，N 为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点M 的坐标．24. 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AC 是直径，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，延长DO 交⊙O 于点P ，过点P 作PE ⊥AC 于点E ，作射线DE 交BC 的延长线于F 点，连接PF ．y x Oyx Oy xOyxOA B C DF DE POC（1）若∠POC =60°，AC =12，求劣弧PC 的长；（结果保留π） （2）求证：OD =OE ；（3）求证：PF 是⊙O 的切线． 解:25. 已知抛物线2154(3)22my x m x -=--+． （1） 求证：无论m 为任何实数，抛物线与x 轴总有两个交点；（2） 若A 2(3,2)n n -+、B 2(1,2)n n -++是抛物线上的两个不同点，求抛物线的表达式和n 的值； （3） 若反比例函数(0,0)ky k x x=>>的图象与（2）中的抛物线在第一象限内的交点的横坐标为0x ，且满足2<0x <3，求k 的取值范围.解:AD BC房山区2014—2015学年度第一学期终结性检测试题九年级数学参考答案和评分参考一、选择题（每题4分，共32分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案BADDCACD二、填空题（每题4分）9. 325 10. 23π 11. 10 12. 12231n ;;n +(前两空每1分，最后一空2分) 三、解答题 13. 解：原式=1-2×32-8+2 3 …………………………4分 = 3 -7 ………………………………………5分 14. 证明：∵90B ∠=o ，∴90A ACB ∠+∠=o ．∵C 为线段BD 上一点，且AC CE ⊥，∴90ACB ECD ∠+∠=o ． ∴A ECD ∠=∠ ． …………………………………………………………………2分∵B D ∠=∠=90o ， …………………………………………………………………3分 ∴△ABC ∽△CDE ．………………………………………………………………4分∴AB BC CDDE=．………………………………………………………………………5分15. 由题意可知：30k -≠⎧⎨∆⎩≥ ……………………2分即()232430k k ≠⎧⎪⎨--⎪⎩≥…………………………3分解得34k k ≠⎧⎨⎩≤……………………………………4分∴ k 的取值范围是：k ≤4且k≠3……………5分16. 解：在BDC ∆中，090=∠C ， 045=∠BDC ，6=DC∴tan 451BCDC︒== ∴6BC = …………………………………1分EDB A在ABC ∆中，52sin =A ，∴25BC AB =，……2分 ∴15AB =……………………………………3分 ∴22156321AC =-=…………………4分 ∴3216AD =-……………………………5分17. ∵=α30°，=β60°，∴∠ECF ＝αβ-＝30°. ∴10==EF CF .在Rt △CFG 中，.35cos =⋅=βCF CG ……………………………………………3分 ∴3.106.135≈+=+=GD CG CD . ………………………………………………5分 答：这座教学楼的高度约为10.3米.18.（1）点B 坐标为（-1，-3）……………………………………1分∵直线y=3x 过点A(1，m ) ∴m=3×1=3∴A(1,3) ……………………………………………………2分 将A(1,3)代入y=kx中，得 k =xy =1×3=3∴y=3x …………………………………………………………3分(2) P 1(-3,-1), P 2(3,1)………………………………………………5分四、解答题19. 解：(1) 将A(-1,0)和C(0,-3)代入抛物线2y x bx c =++ 中得： 103b c c -+=⎧⎨=-⎩ ， 解得：23b c =-⎧⎨=-⎩ …………1分∴抛物线的解析式为223y x x =-- …………………2分 (2)由223y x x =--=()()()21413x x x --=+-知抛物线的对称轴为直线x =1，点B (3,0)……………3分连接BC ，交对称轴x =1于点D 可求得直线BC :y =x -3 当x =1时，y =-2∴点D (1,-2)……………………………………………5分 20. 如图，设点O 为外圆的圆心，连接OA 和OC ，……1分∵CD=10cm ，AB=60cm ，∴设半径为r ，则OD=r ﹣10，…………………………2分yx–4–3–2–11234–2–11234D CBAO根据题意得：r 2=（r ﹣10）2+302，…………………3分 解得：r=50，…………………………………………5分 ∴这个车轮的外圆半径长为50．21. （1）证明：∵CE AB ⊥,∴ 90CEB ∠=o .∵ CD 平分ECB ∠, BC =BD , ∴ 12∠=∠, 2D ∠=∠.∴ 1D ∠=∠. …………………………1分 ∴ CE ∥BD .∴ 90DBA CEB ∠=∠=o .∵ AB 是⊙O 的直径,∴ BD 是⊙O 的切线. ………………………………………………………2分 （2）连接AC ，∵ AB 是⊙O 直径，∴ 90ACB ∠=o . ∵CE AB ⊥, 可得 2CE AE EB =⋅.∴ .162==AECE EB ………………………………………………………3分在Rt △CEB 中，∠CEB =90︒, 由勾股定理得 2220.BC CE EB =+= ……………4分 ∴ 20BD BC ==.∵ 1D ∠=∠, ∠EFC =∠BFD ,∴ △EFC ∽△B FD. ………………………………………………………5分 ∴ BFEFBD EC =. ∴121620BFBF-=. ∴ BF =10. ………………………………………………………………………6分22. 解：（1）23…………………1分 (2) ±6 ……………………3分 （3）D ………………………5分五、解答题（本题共22分，其中23题7分，24题7分，25题8分）23. (1)∵直线33y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，∴(1,0)A ，(0,3)B . ……………………………………2分 又抛物线2(2)y a x k =-+经过点(1,0)A ，(0,3)B ∴0,43;a k a k +=⎧⎨+=⎩解得1,1.a k =⎧⎨=-⎩即a ，k 的值分别为1，1-. ……………………………4分21E FOC（2）()()()1230,3,4,3,2,1M M M - …………………………………7分 24. （1）解：∵AC =12，∴CO =6， ∴==2π；（2）证明：∵PE ⊥AC ，OD ⊥AB ，∠PEA =90°，∠ADO =90° 在△ADO 和△PEO 中，，∴△POE ≌△AOD （AAS ）， ∴OD =EO ；（3）证明：如图，连接AP ，PC ，∵OA =OP ， ∴∠OAP =∠OP A ， 由（1）得OD =EO ， ∴∠ODE =∠OED ， 又∵∠AOP =∠EOD ， ∴∠OP A =∠ODE ， ∴AP ∥DF ， ∵AC 是直径， ∴∠APC =90°， ∴∠PQE =90° ∴PC ⊥EF ， 又∵DP ∥BF ， ∴∠ODE =∠EFC ， ∵∠OED =∠CEF ， ∴∠CEF =∠EFC ， ∴CE =CF ，∴PC 为EF 的中垂线，∴∠EPQ =∠QPF ，∵△CEP ∽△CAP∴∠EPQ =∠E AP ，∴∠QPF =∠EAP ，∴∠QPF =∠OP A ，∵∠OP A +∠OPC =90°，∴∠QPF +∠OPC =90°， ∴OP ⊥PF ，∴PF 是⊙O 的切线．25．（1）证明：令2154(3)022m x m x ---+=. 得[]2154(3)422m m -∆=---⨯⨯224m m =-+2(1)3m =-+. Q 不论m 为任何实数，都有(m －1)2＋3＞0，即△＞0. ……………1分∴不论m 为任何实数，抛物线与x 轴总有两个交点. ……………… 2分（2）解：抛物线2154(3)22m y x m x -=--+的对称轴为 ∵抛物线上两个不同点A 2(3,2)n n -+、B 2(1,2)n n -++的纵坐标相同，∴点A和点B 关于抛物线的对称轴对称，则(3)(1)312n n m -+-+-==-． ∴2m =. ……………………………………………………… 3分∴抛物线的解析式为21322y x x =+-． ………………… 4分 ∵A 2(3,2)n n -+在抛物线21322y x x =+-上， ∴2213(3)(3)222n n n -+--=+. 化简，得2440n n ++=.∴ 2n =-． ……………………………………………… 5分（3） 当2<x <3时，对于21322y x x =+-，y 随着x 的增大而增大， 对于(0,0)k y k x x=>>，y 随着x 的增大而减小. 所以当02x =时，由反比例函数图象在二次函数图象上方，(3) 3.122m x m --=-=-⨯得2k ＞2132222⨯+-， 解得k ＞5. …………………………………6分 当03x =时，由二次函数图象在反比例函数图象上方， 得2133322⨯+-＞3k ， 解得k ＜18. ……………………………………7分 所以k 的取值范围为5＜k ＜18. ……………………………8分。

房山区2014—2015学年度第一学期终结性检测试题九年级数学一、选择题（本题共32分，每小题4分）下列各题均有四个选项，其中有且只有一个．．是符合题意的．请将正确选项前的字母填在下表中相应1. 抛物线()225=--+y x 的顶点坐标是 A ．()2，5-B ．()2，5C ．()25，--D ．()52，- 2．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，若AB=OA=OB ，则∠C 等于A ．30°B ．40°C ．60°D ．80° 3．在 Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，则sin B 的值等于A ． 34B ．43C ．35D ．454. 已知点P (-3,2)是反比例函数图象上的一 点，则该反比例函数的表达式为A.xy 3=B.5yx =- C. 6y x =D.6y x =-5.已知△ABC ∽△A′B′C′，相似比为1：2，则△ABC 与△A′B′C′ 的面积的比为 A ．1：2 B ． 2：1 C ． 1：4 D ．4：16. 如图，弦AB ⊥ OC ，垂足为点C ，连接OA ，若OC =2，AB =4，则OA 等于 A ．．．．7. 在某一时刻，测得一根高为1.8m 的竹竿的影长为3m ，同时测得一根旗杆的影长为25m ，那么这根旗杆的高度为A ． 10mB ． 12mC ． 15mD ．40m8. 如图，⊙O 的半径为2，点P 是半径OA 上的一个动点，过点P 作直线MN 且∠APN =60°，过点A 的切线AB 交MN 于点B . 设OP =x ，△P AB 的面积为 y ，则下列图象中， 能表示y 与x 的函数关系的图象大致是二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 边上的点，且 DE ∥BC ， 若AD =5，DB =3，DE =4，则BC 等于 ．10．如图，⊙O 的半径为2，4=OA ，AB 切⊙O 于B ，弦BC OA ∥连结AC ， 则图中阴影部分的面积为 ．11. 如图，⊙O 的直径CD 过弦AB 的中点E ，∠BCD =15°，⊙O 的半径为10，则AB = ．12. 抛物线()()2211-11n y x x n n n n +=+++（其中n 是正整数）与x 轴交于A n 、B n 两点，若以A n B n 表示这两点间的距离，则A B _________=11; A B A B __________+=1122； n n A B A B A B A B ____________.+++⋅⋅⋅+=112233(用含n 的代数式表示) 二、解答题（本题共30分，每小题5分） 13.计算： 0111)2cos30()8--︒-+解：A E D xDC B ADC14.如图，C 为线段BD 上一点，AC CE ⊥，AB BD ⊥，ED BD ⊥．求证：AB BC CDDE=．解:15.已知二次函数12)3(2++-=x x k y 的图象与x 轴有交点，求k 的取值范围． 解:16. 如图，在ABC ∆中，90C ︒∠=，52sin =A ，D 为AC 上一点，45BDC ︒∠=，6=DC ，求AD 的长. 解:17. 小红想要测量校园内一座教学楼CD 的高度. 她先在A 处测得楼顶C 的仰角=α30°，再向楼的方向直行10米到达B 处，又测得楼顶C 的仰角=β60°，若小红的目高（眼睛到地面的高度）AE 为1.60米，请你帮助她计算出这座教学楼CD 的高度（结果精确到0.1米）参考数据：41.12≈，73.13≈，24.25≈解:EDCB ABAβαG F E CB18. 如图，直线y =3x 与双曲线ky x=的两个交点分别为A (1 , m )和B ． （1）直接写出点B 坐标，并求出双曲线ky x=的表达式； （2）若点P 为双曲线ky x=上的点（点P 不与A 、B 重合），且满足PO=OB ，直接写出点P 坐标． 解:四、解答题(本题共20分，每小题5分)19. 抛物线2y x bx c =++与x 轴分别交于点A (－1,0)和点B ，与y 轴的交点C 坐标为(0,－3)． （1）求抛物线的表达式；（2）点D 为抛物线对称轴上的一个动点，若DA +DC 的值最小，求点D 的坐标. 解:20. 如图是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连结外圆上的两点A 、B ，并使AB 与车轮内圆相切于点D ，做CD ⊥AB 交外圆于点C ．测得CD =10cm ，AB =60cm ，求这个车轮的外圆半径长．解:21.如图，AB 是⊙O 的直径， 点C 在⊙O 上，CE ⊥ AB 于E , CD 平分∠ECB , 交过 点B 的射线于D , 交AB 于F , 且BC=BD . （1）求证：BD 是⊙O 的切线； （2）若AE =9, CE =12, 求BF 的长. 解:22. 阅读下面的材料：小明在数学课外小组活动中遇到这样一个“新定义”问题：()()()0210.ab ba ab bb ⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩=-＞；定义运算“： ※”求为※※＜的值.小明是这样解决问题的：由新定义可知a =1，b =-2，又b ＜0，所以1※（-2）= 12.请你参考小明的解题思路，回答下列问题： (1) 计算：2※3= ；(2) 若5※m =56，则m = .(3) 函数y =2※x （x ≠0）的图象大致是（ ）五、解答题（本题共22分，其中23题7分，24题7分，25题8分）23. 直线y =﹣3x +3与x 轴交于点A , 与y 轴交于点B ，抛物线y =a （x ﹣2）2+k 经过点A 、B ，与x 轴的另一交点为C ． （1）求a ，k 的值；（2）若点M 、N 分别为抛物线及其对称轴上的点, 且以A ，C ，M ，N 为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点M 的坐标．y x OyxOA B C DDAB24. 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AC 是直径，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，延长DO 交⊙O 于点P ，过点P 作PE ⊥AC 于点E ，作射线DE 交BC 的延长线于F 点，连接PF ． （1）若∠POC =60°，AC =12，求劣弧PC 的长；（结果保留π） （2）求证：OD =OE ；（3）求证：PF 是⊙O 的切线． 解:25. 已知抛物线2154(3)22my x m x -=--+． （1） 求证：无论m 为任何实数，抛物线与x 轴总有两个交点；（2） 若A 2(3,2)n n -+、B 2(1,2)n n -++是抛物线上的两个不同点，求抛物线的表达式和n 的值； （3） 若反比例函数(0,0)ky k x x=>>的图象与（2）中的抛物线在第一象限内的交点的横坐标为0x ，且满足2<0x <3，求k 的取值范围.解:F房山区2014—2015学年度第一学期终结性检测试题九年级数学参考答案和评分参考二、填空题（每题4分）9. 325 10. 23π 11. 10 12. 12231n ;;n +(前两空每1分，最后一空2分) 三、解答题 13. 解：原式=1-2×32-8+2 3 …………………………4分 = 3 -7 ………………………………………5分14. 证明：∵90B ∠=，∴90A ACB ∠+∠=．∵C 为线段BD 上一点，且AC CE ⊥，∴90ACB ECD ∠+∠=．∴A ECD ∠=∠ ． …………………………………………………………………2分 ∵B D ∠=∠=90， …………………………………………………………………3分 ∴△ABC ∽△CDE ．………………………………………………………………4分 ∴AB BC CDDE=．………………………………………………………………………5分15. 由题意可知：30k -≠⎧⎨∆⎩≥ ……………………2分即()232430k k ≠⎧⎪⎨--⎪⎩≥…………………………3分解得34k k ≠⎧⎨⎩≤……………………………………4分∴ k 的取值范围是：k ≤4且k≠3……………5分16. 解：在BDC ∆中，090=∠C ， 045=∠BDC ，6=DC∴tan 451BCDC︒== EDBA∴6BC = …………………………………1分 在ABC ∆中，52sin =A ，∴25BC AB =，……2分 ∴15AB =……………………………………3分∴AC ==…………………4分∴6AD =……………………………5分17. ∵=α30°，=β60°，∴∠ECF ＝αβ-＝30°. ∴10==EF CF .在Rt △CFG 中，.35cos =⋅=βCF CG ……………………………………………3分 ∴3.106.135≈+=+=GD CG CD . ………………………………………………5分 答：这座教学楼的高度约为10.3米.18.（1）点B 坐标为（-1，-3）……………………………………1分∵直线y=3x 过点A(1，m ) ∴m=3×1=3∴A(1,3) ……………………………………………………2分 将A(1,3)代入y=kx中，得 k =xy =1×3=3∴y=3x …………………………………………………………3分(2) P 1(-3,-1), P 2(3,1)………………………………………………5分四、解答题19. 解：(1) 将A(-1,0)和C(0,-3)代入抛物线2y x bx c =++ 中得： 103b c c -+=⎧⎨=-⎩ ， 解得：23b c =-⎧⎨=-⎩ (1)∴抛物线的解析式为223y x x =-- (2)由223y x x =--=()()()21413x x x --=+-知抛物线的对称轴为直线x =1，点B (3,0) 连接BC ，交对称轴x =1于点D 可求得直线BC :y =x -3 当x =1时，y =-2∴点D (1,-2)……………………………………………5分20. 如图，设点O 为外圆的圆心，连接OA 和OC ，……1分∵CD=10cm ，AB=60cm ，∴设半径为r ，则OD=r ﹣10，…………………………2分根据题意得：r 2=（r ﹣10）2+302，…………………3分 解得：r=50，…………………………………………5分 ∴这个车轮的外圆半径长为50．21. （1）证明：∵CE AB ⊥,∴ 90CEB ∠=.∵ CD 平分ECB ∠, BC =BD , ∴ 12∠=∠, 2D ∠=∠.∴ 1D ∠=∠. …………………………1分 ∴ CE ∥BD .∴ 90DBA CEB ∠=∠=.∵ AB 是⊙O 的直径,∴ BD 是⊙O 的切线. ………………………………………………………2分 （2）连接AC ，∵ AB 是⊙O 直径，∴ 90ACB ∠=. ∵CE AB ⊥, 可得 2CE AE EB =⋅.∴ .162==AECE EB ………………………………………………………3分 在Rt △CEB 中，∠CEB =90︒, 由勾股定理得20.BC = ……………4分 ∴ 20BD BC ==.∵ 1D ∠=∠, ∠EFC =∠BFD ,∴ △EFC ∽△BFD. ………………………………………………………5分 ∴ BFEFBD EC =. ∴121620BFBF-=. ∴ BF =10. ………………………………………………………………………6分22. 解：（1）23…………………1分 (2) ±6 ……………………3分 （3）D ………………………5分五、解答题（本题共22分，其中23题7分，24题7分，25题8分）23. (1)∵直线33y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，∴(1,0)A ，(0,3)B . ……………………………………2分 又抛物线2(2)y a x k =-+经过点(1,0)A ，(0,3)B∴0,43;a k a k +=⎧⎨+=⎩解得1,1.a k =⎧⎨=-⎩即a ，k 的值分别为1，1-. ……………………………4分 （2）()()()1230,3,4,3,2,1M M M - …………………………………7分 24. （1）解：∵AC =12，∴CO =6， ∴==2π；（2）证明：∵PE ⊥AC ，OD ⊥AB ，∠PEA =90°，∠ADO =90° 在△ADO 和△PEO 中，，∴△POE ≌△AOD （AAS ）， ∴OD =EO ；（3）证明：如图，连接AP ，PC ，∵OA =OP ， ∴∠OAP =∠OP A ， 由（1）得OD =EO ， ∴∠ODE =∠OED ， 又∵∠AOP =∠EOD ， ∴∠OP A =∠ODE ， ∴AP ∥DF ， ∵AC 是直径， ∴∠APC =90°， ∴∠PQE =90° ∴PC ⊥EF ， 又∵DP ∥BF ， ∴∠ODE =∠EFC ， ∵∠OED =∠CEF ， ∴∠CEF =∠EFC ，∴CE =CF ，∴PC 为EF 的中垂线，∴∠EPQ =∠QPF ，∵△CEP ∽△CAP∴∠EPQ =∠EAP ，∴∠QPF =∠EAP ，∴∠QPF =∠OP A ，∵∠OP A +∠OPC =90°，∴∠QPF +∠OPC =90°，∴OP ⊥PF ，∴PF 是⊙O 的切线．25．（1）证明：令2154(3)022m x m x ---+=. 得[]2154(3)422m m -∆=---⨯⨯224m m =-+2(1)3m =-+. 不论m 为任何实数，都有(m －1)2＋3＞0，即△＞0. ……………1分∴不论m 为任何实数，抛物线与x 轴总有两个交点. ……………… 2分（2）解：抛物线2154(3)22m y x m x -=--+的对称轴为 ∵抛物线上两个不同点A 2(3,2)n n -+、B 2(1,2)n n -++的纵坐标相同，∴点A和点B 关于抛物线的对称轴对称，则(3)(1)312n n m -+-+-==-． ∴2m =. ……………………………………………………… 3分 ∴抛物线的解析式为21322y x x =+-． ………………… 4分 ∵A 2(3,2)n n -+在抛物线21322y x x =+-上， ∴2213(3)(3)222n n n -+--=+. 化简，得2440n n ++=.∴ 2n =-． ……………………………………………… 5分（3） 当2<x <3时， 对于21322y x x =+-，y 随着x 的增大而增大， 对于(0,0)k y k x x=>>，y 随着x 的增大而减小. (3) 3.122m x m --=-=-⨯所以当02x =时，由反比例函数图象在二次函数图象上方， 得2k ＞2132222⨯+-， 解得k ＞5. …………………………………6分 当03x =时，由二次函数图象在反比例函数图象上方， 得2133322⨯+-＞3k，解得k ＜18.……………………………………7分 所以k 的取值范围为5＜k ＜18.……………………………8分。

2014-2015 学年北京市房山区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共32 分，每小题4 分）下列各题均有四个选项，其中有且只有一个是符合题意的．请将正确选项前的字母填在下表中相应的位置上．1．（4 分）二次函数y=﹣（x﹣2）2+5 图象的顶点坐标是（）A．（﹣2，5）B．（2，5）C．（﹣2，﹣5）D．（2，﹣5）2．（4 分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，若AB=OA=OB，则∠C等于（）A．30°B．40°C．60°D．80°3．（4 分）在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，则sinB的值是（）A．B．C．D．4．（4分）已知点P（﹣3，2）是反比例函数的图象上一点，则此反比例函数的解析式是（）A．B．C．D．5．（4 分）若△ABC∽△A′B′C′，相似比为1：2，则△ABC 与△A′B′C′的面积的比为（）A．1：2 B．2：1 C．1：4 D．4：16．（4分）如图，弦AB⊥OC，垂足为点C，连接OA，若OC=2，AB=4，则OA 等于（）A．2 B．2 C．3 D．27．（4分）在某一时刻，测得一根高为1.8m 的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为25m，那么这根旗杆的高度为（）A．10m B．12m C．15m D．40m8．（4 分）如图，⊙O 的半径为2，点P 是半径OA 上的一个动点，过点P 作直线MN 且∠APN=60°，过点A 的切线AB 交MN 于点B．设OP=x，△PAB 的面积为y，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是（）B．C．D．二、填空题（本题共16 分，每小题4 分）9．（4分）如图，在△ABC 中，D、E 分别是AB、AC 边上的点，且DE∥BC，若AD=5，DB=3，DE=4，则BC等于．10．（4 分）如图，⊙O 的半径为2，OA=4，AB 切⊙O 于B，弦BC∥OA，连结AC，图中阴影部分的面积为．11．（4 分）如图，⊙O的直径CD过弦AB的中点E，∠BCD=15°，⊙O的半径为10，则AB=．A．：12．（4 分）抛物线 y=x 2﹣x + （其中 n 是正整数）与 x 轴交于 A n 、B n 两点，若以 A n B n 表示这两点间的距离，则 A 1B 1= ；A 1B 1+A 2B 2=；A 1B 1+A 2B 2+A 3B 3+…+A n B n =．（用含 n 的代数式表示）二、解答题（本题共 30 分，每小题 5 分） 13．（5 分）计算：（ ﹣1）0﹣2cos 30°﹣（）﹣1+．14．（5 分）如图，C 为线段 BD 上一点，AC ⊥CE ，AB ⊥BD ，ED ⊥BD ．求证=．15．（5 分）已知函数 y=（k ﹣3）x 2+2x +1 的图象与 x 轴有交点，求 k 的取值范围． 16．（5 分）如图，在△ABC 中，∠C=90°，sinA=，D 为 AC 上一点，∠BDC=45°， DC=6，求 AB 的长．17．（5 分）小红想要测量校园内一座教学楼 CD 的高度．她先在 A 处测得楼顶 C 的仰角α=30°，再向楼的方向直行 10 米到达 B 处，又测得楼顶 C 的仰角β=60°， 若小红的目高（眼睛到地面的高度）AE 为 1.60 米，请你帮助她计算出这座教 学楼 CD 的高度（结果精确到 0.1 米）参考数据：≈1.41， ≈1.73， ≈2.24．18．（5 分）如图，直线y=3x与双曲线y= 的两个交点分别为A（1，m）和B．（1）直接写出点B 坐标，并求出双曲线y=的表达式；（2）若点P 为双曲线y=上的点（点P 不与A、B 重合），且满足PO=OB，直接写出点P 坐标．四、解答题（本题共20 分，每小题5 分）19．（5 分）抛物线y=x2+bx+c与x轴分别交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴的交点C坐标为（0，﹣3）．（1）求抛物线的表达式；（2）点D 为抛物线对称轴上的一个动点，若DA+DC 的值最小，求点D 的坐标．20．（5 分）如图是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连结外圆上的两点A、B，并使AB 与车轮内圆相切于点D，作CD⊥AB 交外圆于点C．测得CD=10cm，AB=60cm，求这个车轮的外圆半径长．21．（5分）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，CE⊥AB 于E，CD 平分∠ECB，交过点B 的射线于D，交AB 于F，且BC=BD．（1）求证：BD 是⊙O 的切线；（2）若AE=9，CE=12，求BF 的长．22．（5分）阅读下面的材料：小明在数学课外小组活动中遇到这样一个“新定义”问题：定义运算“※”为：a※b= ．求1※（﹣2）的值．小明是这样解决问题的：由新定义可知a=1，b=﹣2，又b＜0，所以1※（﹣2）=．请你参考小明的解题思路，回答下列问题：（1）计算：2※3=；（2）若5※m=，则m=．（3）函数y=2※x（x≠0）的图象大致是．五、解答题（本题共22 分，其中23 题7 分，24 题7 分，25 题8 分）23．（7 分）直线y=﹣3x+3 与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=a（x﹣2）2+k 经过点A、B，与x 轴的另一交点为C．（1）求a，k 的值；（2）若点M、N 分别为抛物线及其对称轴上的点，且以A，C，M，N 为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点M 的坐标．24．（7 分）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AC 是直径，过点O 作OD⊥AB 于点D，延长DO 交⊙O 于点P，过点P 作PE⊥AC 于点E，作射线DE 交BC 的延长线于F 点，连接PF．（1）若∠POC=60°，AC=12，求劣弧PC的长；（结果保留π）（2）求证：OD=OE；（3）求证：PF 是⊙O 的切线．25．（8 分）已知抛物线．（1）求证：无论m 为任何实数，抛物线与x 轴总有两个交点；（2）若A（n﹣3，n2+2）、B（﹣n+1，n2+2）是抛物线上的两个不同点，求抛物线的解析式和n 的值；（3）若反比例函数的图象与（2）中的抛物线在第一象限内的交点的横坐标为x0，且满足2＜x0＜3，求k 的取值范围．2014-2015 学年北京市房山区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共32 分，每小题4 分）下列各题均有四个选项，其中有且只有一个是符合题意的．请将正确选项前的字母填在下表中相应的位置上．1．（4 分）二次函数y=﹣（x﹣2）2+5 图象的顶点坐标是（）A．（﹣2，5）B．（2，5）C．（﹣2，﹣5）D．（2，﹣5）【分析】根据二次函数顶点式解析式写出顶点坐标即可．【解答】解：y=﹣（x﹣2）2+5 图象的顶点坐标是（2，5）．故选：B．【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键．2．（4 分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，若AB=OA=OB，则∠C等于（）A．30°B．40°C．60°D．80°【分析】先根据AB=OA=OB 得出△OAB 是等边三角形，故∠AOB=60°，再由圆周角定理即可得出结论．【解答】解：∵AB=OA=OB，∴△OAB 是等边三角形，∴∠AOB=60°，∴∠C=∠AOB=30°．故选：A．【点评】本题考查的是圆周角定理及垂径定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．3．（4 分）在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，则sinB的值是（）A．B．C．D．【分析】先根据勾股定理计算出斜边AB 的长，然后根据正弦的定义求解．【解答】解：如图，∵∠C=90°，AC=8，BC=6，∴AB= =10，∴sinB= ==．故选：A．【点评】本题考查了正弦的定义：在直角三角形中，一锐角的正弦等于它的对边与斜边的比值．也考查了勾股定理．4．（4分）已知点P（﹣3，2）是反比例函数的图象上一点，则此反比例函数的解析式是（）A．B．C．D．【分析】首先把P（﹣3，2）代入反比例函数中，即可算出k 的值，进而得到反比例函数解析式．【解答】解：把P（﹣3，2）代入反比例函数中，k=﹣3×2=﹣6，则反比例函数解析式为：y=﹣，故选：D．【点评】此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，关键是就是把P（﹣3，2）代入反比例函数中算出k 值．5．（4 分）若△ABC∽△A′B′C′，相似比为1：2，则△ABC与△A′B′C′的面积的比为（）A．1：2 B．2：1 C．1：4 D．4：1【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方计算即可得解．【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，相似比为1：2，∴△ABC 与△A′B′C′的面积的比为1：4．故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的性质，熟记相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．6．（4分）如图，弦AB⊥OC，垂足为点C，连接OA，若OC=2，AB=4，则OA 等于（）A．2 B．2 C．3 D．2【分析】先根据垂径定理得出AC 的长，再根据勾股定理即可得出结论．【解答】解：∵弦AB⊥OC，AB=4，OC=2，∴AC= AB=2，∴OA= ==2 ．故选：A．【点评】本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．7．（4分）在某一时刻，测得一根高为1.8m 的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为25m，那么这根旗杆的高度为（）A．10m B．12m C．15m D．40m【分析】根据同时同地物高与影长成正比列式计算即可得解．【解答】解：设旗杆高度为x 米，由题意得，= ，解得：x=15．故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了同时同地物高与影长成正比，需熟记．8．（4 分）如图，⊙O的半径为2，点P是半径OA上的一个动点，过点P作直线MN 且∠APN=60°，过点A 的切线AB 交MN 于点B．设OP=x，△PAB 的面积为y，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是（）B．A．C．D．【分析】根据已知得出S 与x 之间的函数关系式，进而得出函数是二次函数，当x=﹣=2 时，S 取到最小值为：=0，即可得出图象．【解答】解：∵A 点在半径为2 的⊙O 上，过线段OA 上的一点P 作直线m，与⊙O 过A 点的切线交于点B，且∠APB=60°，∴AO=2，OP=x，则AP=2﹣x，∴tan60°= = ，解得：AB=（2﹣x）=﹣x+2，= ×PA×AB= （2﹣x）••（﹣x+2）= x2﹣2 x+2 ，∴S△ABP故此函数为二次函数，∵a= ＞0，∴当x=﹣=2 时，S 取到最小值为：=0，根据图象得出只有D 符合要求．故选：D．【点评】此题主要考查了动点函数的图象，根据已知得出S 与x 之间的函数解析式是解题关键．二、填空题（本题共16 分，每小题4 分）9．（4分）如图，在△ABC 中，D、E 分别是AB、AC 边上的点，且DE∥BC，若AD=5，DB=3，DE=4，则BC 等于．【分析】由平行线分线段成比例可得=，把线段代入可求得BC．【解答】解：∵DE∥BC，∴=，∵AD=5，BD=3，∴B=8，且DE=4，∴=，解得BC=，故答案为：．【点评】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．10．（4 分）如图，⊙O 的半径为2，OA=4，AB 切⊙O 于B，弦BC∥OA，连结AC，图中阴影部分的面积为．∴S 阴影=S 扇形 BOC =故答案为： ．【分析】首先连接 OB ，OC ，由⊙O 的半径为 2，OA=4，AB 切⊙O 于 B ，易求得 ∠AOB=60°，又由弦 BC ∥OA ，可得△BOC 是等边三角形，且 S △ABC =S △OBC ，则 可得 S 阴影=S 扇形 BOC ==．【解答】解：连接 OB ，OC ， ∵弦 BC ∥OA ， ∴S △ABC =S △OBC ， ∵AB 切⊙O 于 B ， ∴OB ⊥AB ，∵⊙O 的半径为 2，OA=4， ∴sin ∠OAB===，∴∠OAB=30°，∴∠AOB=90°﹣∠OAB=60°， ∵弦 BC ∥OA ， ∴∠OBC=∠AOB=60°， ∵OB=OC ，∴△OBC 是等边三角形， ∴∠BOC=60°， =．【点评】此题考查了切线的性质、等边三角形的判定与性质以及扇形的面积．此 题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 11．（4 分）如图，⊙O 的直径 CD 过弦 AB 的中点 E ，∠BCD=15°，⊙O 的半径为 10，则 AB= 10 ．【分析】连接OB，根据圆周角定理求出∠BOD 的度数，再根据垂径定理得出∠AOD 的度数，由等边三角形的性质即可得出结论．【解答】解：连接OB，∵∠BCD 与∠BOD 是同弧所对的圆周角与圆心角，∴∠BOD=2∠BCD=2×15°=30°，∵点E 是弦AB 的中点，∴AB⊥CD，=，∴AB=2AE，∠AOD=∠BOD=30°，∴∠AOB=60°，∵AO=BO，∴△AOB 是等边三角形，∵⊙O 的半径为10，∴OA=AB=BO=10．故答案为：10．【点评】本题考查的是垂径定理及圆周角定理、等边三角形的性质等知识，根据题意作出辅助线，构造出圆心角是解答此题的关键．12．（4 分）抛物线y=x2﹣x+ （其中n 是正整数）与x 轴交于A n、B n 两点，若以A n B n 表示这两点间的距离，则A1B1=；A1B1+A2B2=；： A 1B 1+A 2B 2+A 3B 3+…+A n B n =．（用含 n 的代数式表示）【分析】先化简抛物线 y=x 2﹣x +，然后求出一元二次方程的根， 根据两点间的坐标差求出距离，找出规律解答即可． 【解答】解：y=x 2﹣x +=（x ﹣ ）（x ﹣）故抛物线与 x 轴交点坐标为（，0）和（，0） 由题意，AnBn= ﹣．所以 A 1B 1=1﹣=，A 1B 1+A 2B 2=（1﹣ ）+（ ﹣ ）= +=A 1B 1+A 2B 2+A 3B 3+…+A n B n ═（1﹣ ）+（﹣）+…+（ ﹣）=1﹣=．故答案是：；；．【点评】本题考查的是二次函数与一元二次方程，在解答过程中，注意二次函数 与一元二次方程之间的联系，并从中择取有用信息解题；求两点间的距离时， 要利用两点间的坐标差来解答．二、解答题（本题共 30 分，每小题 5 分） 13．（5 分）计算：（ ﹣1）0﹣2cos 30°﹣（）﹣1+．【分析】原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用特殊角的三角函数值计 算，第三项利用负指数幂法则计算，最后一项化为最简二次根式，计算即可． 【解答】解：原式=1﹣2× ﹣8+2=﹣7．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 14．（5 分）如图，C 为线段 BD 上一点，AC ⊥CE ，AB ⊥BD ，ED ⊥BD ．求证 =．【分析】由条件可证得∠A=∠ECD，可证明△ABC∽△CDE，根据相似三角形的性质可证得结论．【解答】证明：∵C 为线段BD 上一点，AC⊥CE，∴∠ACB+∠ECD=90°，∵AB⊥BD，ED⊥CD，∴∠A+∠ACB=90°，∴∠A=∠ECD，且∠B=∠D，∴△ABC∽△CDE，∴=．【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键．15．（5 分）已知函数y=（k﹣3）x2+2x+1 的图象与x轴有交点，求k的取值范围．【分析】由于k 的取值范围不能确定，故应分k﹣3=0 和k﹣3≠0 两种情况进行讨论，（1）当k﹣3=0 即k=3 时，此函数是一次函数；（2）当k﹣3≠0，即k≠3 时，此函数是二次函数，根据函数图象与x 轴有交点可知b2﹣4ac≥0，求出k 的取值范围即可．【解答】解：（1）当k=3 时，函数y=2x+1 是一次函数．∵一次函数y=2x+1 与x 轴有一个交点，∴k=3．…（1 分）（2）当k≠3 时，y=（k﹣3）x2+2x+1 是二次函数．∵二次函数y=（k﹣3）x2+2x+1 的图象与x 轴有交点，∴b2﹣4ac≥0．…（2 分）∵b2﹣4ac=22﹣4（k﹣3）=﹣4k+16，∴﹣4k+16≥0．…（3 分）∴k≤4 且k≠3．…（4 分）综合（1）（2）可知，k的取值范围是k≤4．…（5 分）【点评】本题考查的是抛物线与x 轴的交点及根的判别式，解答此题时要注意分类讨论，不要漏解．16．（5 分）如图，在△ABC中，∠C=90°，sinA=，D为AC上一点，∠BDC=45°，DC=6，求AB 的长．【分析】由已知得△BDC 为等腰直角三角形，所以CD=BC=6，又因为已知∠A 的正弦值，即可求出AB 的长．【解答】解：∵∠C=90°，∠BDC=45°∴BC=CD=6又∵sinA=∴AB=6÷=15．【点评】直角三角形知识的牢固掌握和三角函数的灵活运用．17．（5 分）小红想要测量校园内一座教学楼CD 的高度．她先在A 处测得楼顶C 的仰角α=30°，再向楼的方向直行10 米到达B 处，又测得楼顶C 的仰角β=60°，若小红的目高（眼睛到地面的高度）AE 为1.60 米，请你帮助她计算出这座教学楼CD 的高度（结果精确到0.1 米）参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.24．【分析】由α=30°，β=60°，可求得∠ECF=α=30°，然后由等角对等边，可得CF=EF=10 米，则可求得CG 的长，继而求得这座教学楼CD 的高度．【解答】解：∵α=30°，β=60°，∴∠ECF=β﹣α=30°．∴CF=EF=10 米，在Rt△CFG中，CG=CF•co sβ=5（米），∴CD=CG+GD=5+1.60≈10.3（米）．答：这座教学楼的高度约为10.3 米．【点评】本题考查仰角的定义．注意能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键．18．（5 分）如图，直线y=3x与双曲线y=的两个交点分别为A（1，m）和B．（1）直接写出点B 坐标，并求出双曲线y=的表达式；（2）若点P 为双曲线y=上的点（点P 不与A、B 重合），且满足PO=OB，直接写出点P 坐标．【分析】（1）把A 点坐标代入y=3x，可求得m 的值，可求得A 点坐标，根据对称性质可直接得到B 点坐标，把A 点坐标代入双曲线可求得k 的值，可求得双曲线的表达式；（2）根据条件可求得OB，设出P 点坐标，根据条件可得到P 点坐标的方程，可求得答案．【解答】解：（1）∵A、B 关于原点对称，∴点B坐标为（﹣1，﹣3），∵直线y=3x过点A（1，m），∴m=3×1=3，∴A（1，3），将A（1，3）代入y=中，得k=xy=1×3=3，∴y= ；（2）设P点坐标为（x，），则OP=x2+由（1）可求得OB2=10，∵OB=OP，∴x2+ =10，解得x=1（舍去）或x=﹣1（舍去）或x=3 或x=﹣3，∴P1（﹣3，﹣1），P2（3，1）．【点评】本题主要考查待定系数法求函数解析式及函数交点问题，掌握函数图象的交点坐标满足两函数解析式是解题的关键．四、解答题（本题共20 分，每小题5 分）19．（5 分）抛物线y=x2+bx+c与x轴分别交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴的交点C坐标为（0，﹣3）．（1）求抛物线的表达式；（2）点D 为抛物线对称轴上的一个动点，若DA+DC 的值最小，求点D 的坐标．【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据函数解析式，可得对称轴，及B 点坐标，根据线段垂直平分线的性质，可得对称轴上的点到线段两端点的距离相等，可得DA=DB，再根据自变量的值，可得相应的函数值．【解答】解：（1）将A（﹣1，0）和C（0，﹣3）代入抛物线y=x2+bx+c 中得：，解得：，∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3；（2）由y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4=（x+1）（x﹣3），得知抛物线的对称轴为直线x=1，点B（3，0），连接BC，交对称轴x=1 于点D可求得直线BC：y=x﹣3当x=1 时，y=﹣2∴点D（1，﹣2）．【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，利用了待定系数法求函数解析式，利用轴对称的性质：对称轴上的点到对应点的距离相等．20．（5 分）如图是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连结外圆上的两点A、B，并使AB 与车轮内圆相切于点D，作CD⊥AB 交外圆于点C．测得CD=10cm，AB=60cm，求这个车轮的外圆半径长．【分析】根据垂径定理求得AD=30cm，然后根据勾股定理即可求得半径．【解答】解：如图，设点O 为外圆的圆心，连接OA 和OC，∵CD=10cm，AB=60cm，∵CD⊥AB，∴OC⊥AB，∴AD= AB=30cm，∴设半径为r，则OD=r﹣10，根据题意得：r2=（r﹣10）2+302，解得：r=50．∴这个车轮的外圆半径长为50．【点评】本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理的应用，作出辅助线构建直角三角形是本题的关键．21．（5分）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，CE⊥AB 于E，CD 平分∠ECB，交过点B 的射线于D，交AB 于F，且BC=BD．（1）求证：BD 是⊙O 的切线；（2）若AE=9，CE=12，求BF 的长．【分析】（1）要证明BD是⊙O的切线，由已知条件转化为证明∠DBA=90°即可；（2）连接AC，利用三角形相似求出BE 的值，由勾股定理求出BC 的值，由已知条件再证明△EFC∽△BFD，相似三角形的性质利用：对应边的比值相等即可求出BF 的长．【解答】（1）证明：∵CE⊥AB，∴∠CEB=90°．∵CD 平分∠ECB，BC=BD，∴∠1=∠2，∠2=∠D．∴∠1=∠D，∴CE∥BD，∴∠DBA=∠CEB=90°，∵AB 是⊙O 的直径，∴BD 是⊙O 的切线；（2）解：连接AC，∵AB 是⊙O 直径，∴∠ACB=90°．∵CE⊥AB，∴∠AEC=∠BEC=90°，∵∠A+∠ABC=90°，∠A+∠ACE=90°，∴∠ACE=∠ABC，∴△ACE∽△CBE，∴=，即CE2=AE•EB，∵AE=9，CE=12，∴EB=16，在Rt△CEB 中，∠CEB=90，由勾股定理得BC=20，∴BD=BC=20，∵∠1=∠D，∠EFC=∠BFD，∴△EFC∽△BFD，∴=，即∴BF=10．【点评】本题考查了切线的判定定理、圆周角定理、相似三角形判定和相似三角形的性质以及勾股定理的运用，题目综合性很强，难度不大．22．（5 分）阅读下面的材料：小明在数学课外小组活动中遇到这样一个“新定义”问题：定义运算“※”为：a※b= ．求1※（﹣2）的值．小明是这样解决问题的：由新定义可知a=1，b=﹣2，又b＜0，所以1※（﹣2）=．请你参考小明的解题思路，回答下列问题：（1）计算：2※3=；（2）若5※m=，则m= ±6 ．（3）函数y=2※x（x≠0）的图象大致是 D ．【分析】（1）由a※b= ，可求得2※3=；（2）分别从m＞0 与m＜0 去分析求解即可求得答案；（3）分别从x＞0 与x＜0 去分析求解即可求得答案．【解答】解：（1）2※3=；（2）∵当m＞0 时，5※m== ，解得：m=6，当m＜0 时，5※m=﹣=，解得：m=﹣6，∴m=±6；（3）∵当x＞0 时，y=2※x=，∴此时是双曲线的第一象限部分；∵当x＜0 时，y=2※x=﹣，∴此时是双曲线的第二象限部分；故函数y=2※x（x≠0）的图象大致是D．故答案为：（1），（2）±6，（3）D．【点评】此题属于反比例函数综合题，也是新定义题．此题难度适中，注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．五、解答题（本题共22 分，其中23 题7 分，24 题7 分，25 题8 分）23．（7 分）直线y=﹣3x+3 与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=a（x﹣2）2+k 经过点A、B，与x 轴的另一交点为C．（1）求a，k 的值；（2）若点M、N 分别为抛物线及其对称轴上的点，且以A，C，M，N 为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点M 的坐标．【分析】（1）根据直线y=﹣3x+3 与x 轴交于点A，与y 轴交于点B，可以求得点A 和B 的坐标，由抛物线y=a（x﹣2）2+k 经过点A、B，可以求得a，k 的值．（2）根据第一问中求得的a、k 的值可以得到抛物线的解析式，从而可以求得点C 的坐标，再根据题目中提供的信息，可以得到点M 存在三种情况，画出相应的图形，从而可以得到点M 的坐标．【解答】解：（1）∵直线y=﹣3x+3 与x轴交于点A，与y轴交于点B，∴令y=0 时，x=1；x=0 时，y=3．∴点A 的坐标为（1，0），点B 的坐标为（0，3）．又∵抛物线y=a（x﹣2）2+k 经过点A、B，∴．解得，a=1，k=﹣1．即a 的值为1，k 的值为﹣1．（2）点M的坐标为：（0，3）或（4，3）或（2，﹣1）．∵a=1，k=﹣1，∴y=（x﹣2）2﹣1=x2﹣4x+3．令y=0，得x1=1，x2=3．∵A的坐标（1，0），∴C的坐标（3，0）．∵y=x2﹣4x+3 的对称轴为：x=，又∵点M、N 分别为抛物线及其对称轴上的点，且以A，C，M，N 为顶点的四边形为平行四边形，∴存在三种情况，第一种情况如下图一所示：∵四边形ACNM 为平行四边形，AC=2，点N 的横坐标为2，∴点M 的横坐标为：2﹣2=0．将x=0 代入y=x2﹣4x+3 得，y=3．∴点M 的坐标为：（0，3）．第二种情况如下图二所示：∵四边形ACMN 为平行四边形，AC=2，点N 的横坐标为2，∴点M 的横坐标为：2+2=4．将x=4 代入y=x2﹣4x+3 得，y=3．∴点M 的坐标为：（4，3）．第三种情况如下图三所示：∵四边形AMCN 为平行四边形，AC=2，点N 的横坐标等于2，∴点M 的横坐标为2．将x=2 代入y=x2﹣4x+3 得，y=﹣1．∴点M的坐标为：（2，﹣1）．由上可得，点M的坐标为：（0，3）或（4，3）或（2，﹣1）．【点评】本题考查一次函数与x 轴，y 轴的交点、二次函数与一次函数的交点、二次函数与x 轴的交点、平行四边形的性质，解题的关键正确分析题意，找出所求问题所需要的条件，灵活变化，利用分类讨论的数学思想解答．24．（7 分）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AC 是直径，过点O 作OD⊥AB 于点D，延长DO 交⊙O 于点P，过点P 作PE⊥AC 于点E，作射线DE 交BC 的延长线于F 点，连接PF．（1）若∠POC=60°，AC=12，求劣弧PC的长；（结果保留π）（2）求证：OD=OE；（3）求证：PF 是⊙O 的切线．【分析】（1）根据弧长计算公式l=进行计算即可；（2）证明△POE≌△ADO 可得DO=EO；（3）方法1、连接AP，PC，证出PC 为EF 的中垂线，再利用△CEP∽△CAP 找出角的关系求解．方法2、先计算判断出PD=BF，进而判断出四边形PDBF 是矩形即可得出结论；方法3、利用三个内角是90 度的四边形是矩形判断出四边形PDBF 是矩形即可得出结论．【解答】（1）解：∵AC=12，∴CO=6，∴==2π；答：劣弧PC 的长为：2π．（2）证明：∵PE⊥AC，OD⊥AB，∠PEA=90°，∠ADO=90°在△ADO 和△PEO 中，，∴△POE≌△AOD（AAS），∴OD=EO；（3）证明：法一：如图，连接AP，PC，∵OA=OP，∴∠OAP=∠OPA，由（2）得OD=EO，∴∠ODE=∠OED，又∵∠AOP=∠EOD，∴∠OPA=∠ODE，∴AP∥DF，∵AC 是直径，∴∠APC=90°，∴∠PQE=90°∴PC⊥EF，又∵DP∥BF，∴∠ODE=∠EFC，∵∠OED=∠CEF，∴∠CEF=∠EFC，∴CE=CF，∴PC 为EF 的中垂线，∴∠EPQ=∠QPF，∵△CEP∽△CAP∴∠EPQ=∠EAP，∴∠QPF=∠EAP，∴∠QPF=∠OPA，∵∠OPA+∠OPC=90°，∴∠QPF+∠OPC=90°，∴OP⊥PF，∴PF 是⊙O 的切线．法二：设⊙O 的半径为r．∵OD⊥AB，∠ABC=90°，∴OD∥BF，∴△ODE∽△CFE又∵OD=OE，∴FC=EC=r﹣OE=r﹣OD=r﹣BC ∴BF=BC+FC=r+ BC∵PD=r+OD=r+ BC∴PD=BF又∵PD∥BF，且∠DBF=90°，∴四边形DBFP 是矩形∴∠OPF=90°∴OP⊥PF，∴PF 是⊙O 的切线．方法3、∵AC 为直径，∴∠ABC=90°又∵∠ADO=90°，∴PD∥BF∴∠PCF=∠OPC∵OP=OC，∴∠OCP=∠OPC∴∠OCP=∠PCF，即∠ECP=∠FCP ∵PD∥BF，∴∠ODE=∠EFC∵OD=OE，∴∠ODE=∠OED又∵∠OED=∠FEC，∴∠FEC=∠EFC∴EC=FC在△PEC 与△PFC 中∴△PEC≌△PFC（SAS）∴∠PFC=∠PEC=90°∴四边形PDBF 为矩形∠DPF=90°，即PF 为圆的切线．【点评】本题主要考查了切线的判定，解题的关键是适当的作出辅助线，准确的找出角的关系．25．（8 分）已知抛物线．（1）求证：无论m 为任何实数，抛物线与x 轴总有两个交点；（2）若A（n﹣3，n2+2）、B（﹣n+1，n2+2）是抛物线上的两个不同点，求抛物线的解析式和n 的值；（3）若反比例函数的图象与（2）中的抛物线在第一象限内的交点的横坐标为x0，且满足2＜x0＜3，求k 的取值范围．【分析】（1）根据原式等于0，利用根的判别式△＞0 即可得出答案；（2）首先利用抛物线上两个不同点A（n﹣3，n2+2）、B（﹣n+1，n2+2）的纵坐标相同，得出点A和点B关于抛物线的对称轴对称，则，进而求出m 的值，即可得出二次函数解析式，即可得出n 的值；（3）根据当2＜x＜3 时，对于，y 随着x 的增大而增大，再利用x=2 和3 时y 的值得出k 的取值范围．【解答】（1）证明：令．得=m2﹣2m+4=（m﹣1）2+3．∵不论m 为任何实数，都有（m﹣1）2+3＞0，即△＞0．∴不论m 为任何实数，抛物线与x 轴总有两个交点．．（2）解：抛物线的对称轴为：x=m﹣3，∵抛物线上两个不同点A（n﹣3，n2+2）、B（﹣n+1，n2+2）的纵坐标相同，∴点A 和点B 关于抛物线的对称轴对称，则．∴m=2．∴抛物线的解析式为．∵A（n﹣3，n2+2）在抛物线上，∴．化简，得n2+4n+4=0．∴n=﹣2．（3）解：当2＜x＜3 时，对于，y 随着x 的增大而增大，对于，y 随着x 的增大而减小．所以当x0=2 时，由反比例函数图象在二次函数图象上方，得＞，解得：k＞5．当x0=3 时，由二次函数图象在反比例函数图象上方，得＞，解得k＜18．所以k 的取值范围为：5＜k＜18．【点评】此题主要考查了抛物线与x 轴交点问题以及二次函数与不等式等知识，根据二次函数图象上点的特征得出n 的值是解题关键．第31页（共31页）。

2014年房山区初三毕业会考试卷数 学一、选择题（本题共32分，每小题4分）下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．用铅笔把“机读答题卡”上对应题目答案的相应字母处涂黑．1．23-的绝对值是A ．23-B ．23C ．32-D ．322．转基因作物是利用基因工程将原有作物基因加入其它生物的遗传物质，并将不良基因移除，从而造成品质更好的作物．我国现有转基因作物种植面积约为4 200 000公顷，将4 200 000用科学记数法表示为A ． 64.210⨯B ．54.210⨯C ．54210⨯D ．70.4210⨯3．某班共有学生31名，其中男生11名．老师随机请一名同学回答问题，则男生被选中的概率是 A ． 1 B ．1131C ．2031 D ．04．如图，直线m ∥n ，将含有45°角的三角板ABC 的直角顶点C 放在直线n 上，则∠1+∠2等于 A ．30° B ． 40° C ．45° D ．60°5．将二次函数243y x x =-+化为2()y x h k =-+的形式，下列结果正确的是A ． 2(2)1y x =++B ．2(2)1y x =+-C ． 2(2)1y x =-+D ．2(2)1y x =--6．国家统计局公布了2014年1月的居民消费价格指数（CPI ），16个省市CPI 同比涨幅超过全国平均水平，其中7个省市的涨幅如下表： 地区 北京 广东 上海 浙江 福建 云南 湖北 同比涨幅（﹪）3.33.33.02.82.82.82.3则这组数据的众数和中位数分别是A ． 2.8，2.8B ．2.8，2.9C ．3.3，2.8D ．2.8，3.0 7．如图,在边长为9的正方形ABCD 中, F 为AB 上一点,连接CF.过点F 作FE ⊥CF,交AD 于点E ，若AF ＝3,则AE 等于 A ．1 B ．1. 5 C ．2 D ．2. 5ABD 12BA C321A. 2 B ．． 4 D ． 二、填空题（本题共16分，每小题4分） 10．分解因式：322x x x -+= ．11．如图，在小山的东侧A 点处有一个热气球，由于受风向的影响，该热气球以每分钟30米的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25分钟后到达C 处，此时热气球上的人测得小山西侧B 点的俯角为30°，则12．如图，点P 1（x 1，y 1），点P 2（x 2，y 2），…，点P n （x n ，y n ）都在函数ky x=（x ＞0）的图象上，△P 1OA 1，△P 2A 1A 2，△P 3A 2A 3，…，△P n A n ﹣1A n 都是等腰直角三角形，斜边OA 1，A 1A 2，A 2A 3，…，A n ﹣1A n 都在x 轴上（n 是大于或等于2的正整数），已知点A 1的坐标为（2，0），则点P 1的坐标为 ；点P 2的坐标为 ；点P n 的坐标为 （用含n 的式子表示）． 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．计算： 20(1)3tan 302)︒----+14．已知：如图，在△DBC 中，BC=DC,过点C 作CE ⊥DC 交DB的延长线于点E ，过点C 作AC BC ⊥且AC=EC ，连结AB. 求证：AB=ED.图1 图2215．求不等式组()x x 111,212ìïï-ïíïï-ïî≤＜的解集，并求它的整数解.16. 已知2310x x +-=，求代数式()()()23113x x x +---的值．17．如图，点A 在反比例函数)0(≠=k xky 的图象上.（1) 求反比例函数)0(≠=k xky 的解析式；（2）在y 轴上是否存在点P ，使得△AOP 是直角三角形？若存在，直接写出P 点坐标；若不存在，请说明理由.18．列方程或方程组解应用题：为保证“燕房线”轻轨建设，我区对一条长2 500米的道路进行改造.在改造了1 000米后，为了减少施工对交通造成的影响，采用了新的施工工艺，使每天的工作效率是原来的1.5倍，结果提前5天完成任务．求原来每天改造道路多少米？ 四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19．已知：如图，在△ABC 中，点D 是BC 中点，点E 是AC 中点，且AD ⊥BC ，BE ⊥AC ， BE,AD 相交于点G ，过点B 作BF ∥AC 交AD 的延长线于点F ， DF=6. (1) 求AE 的长； (2) 求AEGFBGS S V V 的值. 20.某校开展“我运动、我健康、我阳光、我快乐”的寒假体育锻炼活动，要求学生每天体育锻炼一小时.开学后小明对本年级学生是否参加体育锻炼的情况进行了调查，并对参加锻炼的学生进行了身体健康测试，绘制成如下统计图.学生是否参加体育锻炼情况统计图 参加体育锻炼的学生身体健康测试情况统计图体育锻炼体育锻炼060身体健康指数提升占97.5%身体健康指数未提升占2.5%根据以上信息，解答下列问题：（1）小明本次共调查了多少名学生？（2）参加体育锻炼的学生中，有多少人身体健康指数提升？（3）若该校有1 000名学生，请你估计有多少人假期参加体育锻炼？要使两年后参加体育锻炼的人数增加到968人，假设平均每年的增长率相同，求这个增长率．21．如图， AE是⊙O直径，D是⊙O上一点，连结AD并延长使AD=DC，连结CE交⊙O于点B，连结AB.过点E的直线与AC的延长线交于点F，且∠F=∠CED.（1）求证:EF是⊙O切线；（2）若CD=CF=2，求BE的长.22.阅读下列材料：小明遇到这样一个问题：已知：在△ABC中，AB,BC,AC，求△ABC的面积．小明是这样解决问题的：如图1所示，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），从而借助网格就能计算出△ABC的面积. 他把这种解决问题的方法称为构图法．请回答：(1)图1中△ABC的面积为；参考小明解决问题的方法，完成下列问题：(2)图2是一个6×6的正方形网格(每个小正方形的边长为1) ．①利用构图法在答题卡的图2DEF；②计算△DEF的面积为．(3)如图3，已知△PQR，以PQ，PR为边向外作正方形PQAF，PRDE，连接EF．若PQ PR QR=== ,则六边形AQRDEF的面积为__________．y xCBAOFAQD EPR五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23. 如图，抛物线c bx x y ++-=2经过(10)A -，、(04)C ，两点，与x 轴的另一交点是B ． （1）求抛物线的解析式；（2）若点()1,+a a D 在第一象限的抛物线上，求点D 关于直线BC 的对称点'D 的坐标；（3）在（2）的条件下，过点D 作BC DE ⊥于点E,反比例函数)0(≠=k xky 的图象经过点E ，点()3,-n m F 在此反比例函数图象上，求mn 154-的值．24. 将等腰Rt △ABC 和等腰Rt △ADE 按图1方式放置，∠A=90°， AD 边与AB 边重合， AB＝2AD ＝4．将△ADE 绕点A 逆时针方向旋转一个角度α（0°≤α≤180°），BD 的延长线交直线CE 于点P .（1）如图2，BD 与CE 的数量关系是 , 位置关系是 ； （2）在旋转的过程中，当AD ⊥BD 时，求出CP 的长； （3）在此旋转过程中，求点P 运动的路线长.图1图2图3图1图2DB EDB ABA备用图25. 我们规定：形如()ax ky a b k k ab x b+=≠+、、为常数，且 的函数叫做“奇特函数”.当0a b ==时，“奇特函数”ax ky x b +=+就是反比例函数()0k y k x=≠.(1) 若矩形的两边长分别是2和3，当这两边长分别增加x 和y 后，得到的新矩形的面积为8 ，求y 与x 之间的函数关系式，并判断这个函数是否为“奇特函数”； (2) 如图，在平面直角坐标系中，点O 为原点，矩形OABC 的顶点A ，C 的坐标分别为（9，0）、（0，3）. 点D 是OA 的中点，连结OB ，CD 交于点E ，“奇特函数”6ax ky x +=-的图象经过B ，E 两点. ① 求这个“奇特函数”的解析式； ② 把反比例函数3y x=的图象向右平移6个单位，再向上平移 个单位就可得到①中所得“奇特函数”的图象.过线段BE 中点M 的一条直线l 与这个“奇特函数”的图象交于P ，Q 两点，若以B 、E 、P 、Q 为顶点组成的四边形面积为16，请直接写出点P 的坐标.2014年房山区初中毕业会考数学参考答案和评分参考一、选择题（本题共32分，每小题4分，）下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．用铅笔把“机读答题卡”上对应题目答案的相应字母处涂黑．1．B2．A3．B4．C 5．D 6．A 7．C 8．D二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．1x ≠ 10．2(1)x x - 11． 12．1(1,1)P，211)P，n P三、解答题（本题共30分，每小题5分）13.解：原式=1313-⨯-+ ..................................4分= ..................................5分 14.证明：∵AC BC ⊥,EC DC ⊥∴∠DCE=∠BCA=90°在 △ABC 与△EDC 中BC DC ACB DCE AC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩..................................3分 ∴ △ABC ≌△EDC （SAS ） ..................................4分 ∴ AB= ED ..................................5分15.解：由（1）得：x ≤3 ..................................1分 由（2）得：x >-1 ..................................2分 ∴ -1<x ≤3 ..................................4分∴不等式组的整数解是0,1,2,3 ..................................5分 16．解：原式=()()223169x xx ---+ ..................................2分= 2233+69x x x ---=22+612x x - ..................................3分∵2310x x +-=231x x ∴+= ..................................4分∴原式= ()22+312x x -=-10 ..................................5分17.解：（1）由题意得A （2，-4） .................................1分∵点A 在反比例()0ky k x=≠ 图象上 ∴8k =-∴8y x=-.................................3分 (2)存在;P(0,-4)，(0,-5) ..................................5分18.解：设原来每天改造道路x 米，则采用了新的施工工艺每天改造道路1.5x 米，由题意，列方程得 ..................................1分25001000150051.5x x x --= .................................. 2分解得：100x = .................................. 3分 经检验：100x =是原方程的解，且符合题意． ...................................4分 答：原来每天改造道路100米. .................................. 5分四、解答题（本题共20分，每小题5分）19. 证明：（1）∵点D 是BC 中点，点E 是AC 中点，AD ⊥BC ， BE ⊥AC ，AC AB CB ∴==∴△ABC 是等边三角形 ..................................2分60C ∴∠=o 30F ∴∠=o∵6DF=12BD BC ∴==又∵BD DC EC AE ===AE ∴= (3)分（2）由（1）DF =6，∠ F =30°，∠ BDF =90° ∴BF= ∴12AE BF = ..................................4分 ∵AE ∥BF ∴△AEG ∽△FBG∴221124AEG FBG S AE S BF ∆∆⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ..................................5分20. （1）240＋60＝300（人） ..................................1分（2）240×97.5％＝234（人） .................................. 2分 （3）因为假期进行体育锻炼的百分率为300240100%⨯＝80％， 所以估计该校假期进行体育锻炼的学生有1000×80％＝800（人）..................................3分设这个增长率为x ，由题意知800×2)1(x +＝968解得1.01=x ，1.22-=x （舍去），∴年增长率为10％ . (5)答:估计该校有800人假期参加体育锻炼，增长率为10％.21.证明：（1）∵AE 为⊙O 直径∴∠ADE =∠ABE =90°∵D 为AC 中点，ED ⊥AC ∴AE =EC∴∠AED=∠DEC ， ..................................1分 ∵∠F =∠CED ∴∠AED=∠F ∵∠F +∠FED =90°∴∠AED +∠FED =90°=∠AEF∴EF 是⊙O 切线 ..................................2分 （2）在△ADE 和△AEF 中，∵∠ADE =∠AEF =90°，∠DAE =∠EAF ， ∴△ADE ∽△AEF ．∴AEADAF AE =， ∵AD =DC =CF=2，∴AF=6． AC =4 ∴AEAE 26=．∴AE =23 ..................................3分 又∵D 是AC 的中点 ∴EC =AE =E∵AD =2, ∠ADE =90° ∴DE=利用△AEC 的面积得：EC AB AC DE =g g∵EC=AC =4 , DE=∴3AB = ∵AC =4,∠ABC =90°∴BC ==.................................4分∴BE EC BC =-=.................................. 5分 22. （1）图1中△ABC 的面积为 3.5 . ..................................1分（2）① 如图2所示：（答案不唯一）分② △DEF 的面积为 8 ． .................................. 3分 （3）六边形ABCDEF 的面积是 31 ． ................................5分五、解答题（本题22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23. （1）∵抛物线c bx x y ++-=2经过(10)A -，、(04)C ，两点，∴3b =，4c =.∴此抛物线的解析式为234y x x =-++..............................2分 （2）∵234y x x =-++∴点()0,4B ,4OB =∵点()1,+a a D 在第一象限的抛物线上 ∴2134a a a +=-++∴13a =，21a =-图2∵点()1,+a a D 在第一象限 ∴21a =-不合题意故舍去 ∴3a =∴点()3,4D ..................................3分 ∵()0,4C∴CD ∥x 轴，3CD = ∵4,4OC OB == ∴o 45OCB BCD ∠==∠∴点'D 在y 轴上，且'3CD CD == ∴点()'0,1D ..................................4分(3)可求得点35,22E ⎛⎫⎪⎝⎭..................................5分∴4n m-=..................................7分24.解：（1）BD =CE , BD ⊥CE ..................................2分（2）如图3所示，∵△ABC 和△ADE 都是等腰三角形 ∴AB =AC,AD =AE ∵∠BAC =∠DAE =90°∴∠BAD =∠CAE∴△ABD ≌△ACE .................................3分图3∴ ∠ABD =∠ACE ∵∠1=∠2，∴∠CPB =∠CAB =90° ∴BP ⊥CE∵AD ⊥BP ，∠DAE =90°，AD =AE∴四边形ADPE 为正方形 ∴AD =PE =2，∵∠ADB =90°，AD =2，AB =4 ∴∠ABD =30°BD =CE= ..................................4分 ∴CP =CE -PE=2 ..................................5分（3）如图4，取BC 中点O ，连结OP 、OA . ∵∠BPC ＝∠BAC ＝90°∴OP ＝OA =12BC ＝2 2 ..................................6分在此旋转过程中（0°≤α≤180°）， 由（2）知，当α＝60°时， ∠PBA 最大，且∠PBA=30°此时∠AOP ＝60°∴点P 运动的路线是以O 为圆心，OA 长为半径的»AP +»PA ∴点P 运动的路线长为：»»»l AP PA AP ⋅π⋅=+===60221803 ...............................7分25. 解：（1）由题意得，（2+x ）（3+y ）=8∵x +2≠0y x ∴+=+832 ∴x y x x -+=-=++832322...............................1分 根据定义，322x y x -+=+是“奇特函数” ...............................2分图4（2） ①由题意得，B (9,3）、D (92,0) 易得直线OB 解析式为：y x =13，直线CD 解析式为：+y x =233－由 y x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩13233，得x y =⎧⎨=⎩31 ∴点E (3,1)将点B (9,3)、E (3,1)代入函数6ax k y x +=-中，得=a ka k+⎧⎪⎪-⎨+⎪=⎪-⎩93963136，整理得，=9=a k a k +⎧⎨+-⎩933 ，解得=2=9a k ⎧⎨⎩－∴“奇特函数”的解析式为296x y x -=- ............................3分② 2 ...............................4分P 1(7，5),P 2(15，73 ),P 3(-3，53),P 4(5，1-) ..............................8分（注：每个坐标1分）。

房山区2023—2024学年度第一学期期末检测试卷九年级数学一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1.下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（A ）（B ）（C ）（D ）2.如果53x y =，那么x yy -的值是（A ）52-（B ）23-（C ）23（D ）523.抛物线2(1)2y x =-+的顶点坐标是（A ）(12)-，（B ）(12)，（C ）(12)--，（D ）(12)-，4.如图，在⊙O 中，若25BAC ∠=︒，则BOC ∠的度数是（A ）15︒（B ）25︒（C ）50︒（D ）75︒5.将二次函数2y x =的图象向上平移5个单位，得到的函数图象的表达式是（A ）25y x =+（B ）25y x =-（C ）2(5)y x =+（D ）2(5)y x =-6.若点1(1)A y ，，2(2)B y ，在反比例函数2y x=-的图象上，则1y ，2y 的大小关系是（A ）12y y >（B ）12y y <（C ）12y y ≥（D ）12y y ≤7.如图,建筑物CD 和旗杆AB 的水平距离BD 为9m ，在建筑物的顶端C 测得旗杆顶部A 的仰角α为30︒，旗杆底部B 的俯角β为45︒，则旗杆AB 的高度为（A ）32m （B ）33m （C ）(329)m+（D ）(339)m+8.如图，AB 是半圆O 的直径，半径OC AB ⊥，点D 是的中点，连接BD ，OD ，AC ，AD ，AD 与OC 交于点E ，给出下面三个结论：①AD 平分CAB ∠；②AC ∥OD ；③AE .上述结论中，所有正确结论的序号是（A ）①②（B ）①③（C ）②③（D ）①②③二、填空题（共16分，每题2分）9．函数11y x =-的自变量x 的取值范围是．10.如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，若130C ∠=︒，则A ∠=︒．11．请写出一个图象过点(12)，的函数表达式：．12.如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 上，DE ∥BC ，3DE =，9BC =，2AE =，则EC 的长为．（第10题图）（第12题图）13.如图，A ，B ，D 三点在半径为5的⊙O 上，AB 是⊙O 的一条弦，且OD AB ⊥于点C ，若8AB =，则OC 的长为．（第13题图）（第14题图）14.如图，在33⨯的方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，O ，A ，B 分别是小正方形的顶点，点C 在OB 上，则的长为．15.在△ABC 中，2BC =，AC =，30A ∠=︒，则△ABC 的面积为．16.在平面直角坐标系xOy 中，A 为y 轴正半轴上一点.已知点(10)B ，，(50)C ，，⊙P 是△ABC 的外接圆.（1）点P 的横坐标为；（2）若BAC ∠最大时，则点A 的坐标为．三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17.计算：04sin 451)5︒++-.18.如图，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的点，ADE C ∠=∠．求证：△ADE ∽△ACB ．19.已知二次函数223y x x =+-.（1）在平面直角坐标系中画出它的图象，并写出它的对称轴；（2）结合图象直接写出当11x -<<时，y 的取值范围.20.如图，在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，5BC =，13AB =．求cos A 的值．21.已知：如图⊙O ．求作：⊙O 的内接正方形．作法：①作⊙O 的直径AB ；；22.如图，在矩形ABCD 中，AC 为对角线，DE AC ⊥，垂足为点E ．（1）求证：DAE EDC ∠=∠；（2）若8BC =，3tan 4EDC ∠=,求DE 的长.23.在平面直角坐标系xOy 中，直线y x =与双曲线ky x=相交于点(2)P m ，和点Q .（1）求m 的值及点Q 的坐标；（2）已知点(0)N n ，,过点N 作平行于x 轴的直线交直线y x =与双曲线ky x=分别为点11()A x y ，和22()B x y ，.当12x x >时，直接写出n 的取值范围是．24.如图,AB 是⊙O 的直径，AC ，BC 是弦，点D 在AB 的延长线上，且DCB DAC ∠=∠，⊙O 的切线AE 与DC 的延长线交于点E ．（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若⊙O 的半径为2，30D ∠=︒，求AE 的长.25.原地正面掷实心球是北京市初中学业水平考试体育现场考试的选考项目之一.实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系.实心球从出手（点A 处）到落地的过程中，实心球的竖直高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）近似满足函数关系2()(0)y a x h k a =-+<.九年级一名男生进行了两次训练.（1）第一次训练时，实心球的水平距离x 与竖直高度y 的几组数据如下：根据上述数据，直接写出实心球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系2()(0)y a x h k a =-+<；（2）第二次训练时，实心球的竖直高度y 与水平距离x 近似满足函数关系2149(5)1212y x =--+.记该男生第一次训练实心球落地的水平距离为1d ，第二次训练实心球落地的水平距离为2d ，则1d 2d （填“>”“=”或“<”）.水平距离/mx 035679竖直高度/my 217459125591217426.在平面直角坐标系xOy 中，点(1)m ，，(3)n ，在抛物线24(0)y ax bx a =++>上,设抛物线的对称轴为x t =.（1）当m n =时，求抛物线与y 轴交点的坐标及t 的值；（2）点00()(3)x n x ≠，在抛物线上，若4m n <<，求t 的取值范围及0x 的取值范围.27.如图，在等边三角形ABC 中，E ，F 分别是BC ，AC 上的点，且BE CF =，AE ，BF 交于点G .（1）AGF ∠=°；（2）过点A 作AD ∥BC （点D 在AE 的右侧），且AD BC =，连接DG .①依题意补全图形；②用等式表示线段AG ，BG 与DG 的数量关系，并证明.28.定义：在平面直角坐标系xOy 中，对于⊙M 内的一点P ，若在⊙M 外存在点P'，使得2MP'=MP ，则称点P 为⊙M 的“内二分点”.（1）当⊙O 的半径为2时，①在1(10)P -，，23(12P ，，31)P -，4(1)P -四个点中，是⊙O 的“内二分点”的是___________；②已知一次函数2y kx k =-在第一象限的图象上的所有点都是⊙O 的“内二分点”，求k 的取值范围；（2）已知点(0)M m ，，(01)B -，，(11)C -，，⊙M 的半径为4，若线段BC 上存在⊙M 的“内二分点”，直接写出m 的取值范围.房山区2023—2024学年度第一学期期末检测试卷参考答案九年级数学第一部分选择题（共16分，每题2分）在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.第二部分非选择题（共84分）二、填空题（共16分，每题2分）9.1x≠10.5011.2y x=或2yx=或22y x=（答案不唯一）12.413.314.π215或16.（1）3；（2）(0（注：第15题答对1个给1分，第16题一空1分）三、解答题（共68分，第17 -22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．解：04sin451)5︒++−4152=⨯++−………….………..……….4分6=. ………….………..……….5分18. 证明：∵A A∠=∠，………….………..……….2分又∵ADE C∠=∠，………….………..……….4分∴△ADE∽△ACB. ………….………..……….5分19．（1）二次函数223y x x =+−的图象，如图.………….………..……….2分抛物线的对称轴为直线1x =−. ………….………..……….3分 （2）当11x −<<时，则y 的取值范围是40y −<<. …….………..……….5分 20. 解：在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，5BC =，13AB =，由勾股定理得：12AC ==. ………..……….3分∴12cos 13AC A AB ==. ………….………..……….5分 21. 解：（1）补全的图形如图所示： ………….………..……….2分（2） …….………..……….3分90； 直径所对的圆周角是直角. …….………..……….5分BA22. （1）证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴90ADC ∠=︒.∴90ADE EDC ∠+∠=︒. ………….………..……….1分 ∵DE AC ⊥，∴90ADE DAE ∠+∠=︒. ………….………..……….2分 ∴DAE EDC ∠=∠. ………….………..……….3分（2）解：在Rt △DEC 中，3tan 4EDC ∠=，设3EC x =，4DE x =， 则5DC x =.∵DAE EDC ∠=∠，∴3tan tan 4DAE EDC ∠=∠=. ∵四边形ABCD 是矩形， ∴8AD BC ==. 在Rt △ADC 中，3tan 4DAC ∠=，8AD =. ∴3tan 4DC DAE AD ∠==. ∴6DC =.∴56DC x ==. ∴65x =. ∴2445DE x ==. ………….………..……….5分 23. 解：（1）∵直线y x =与双曲线ky x=相交于点(2)P m ，. ∴ 2m =. ………….………..……….2分 把点(22)P ，代入ky x=得 EDCBA22k=. ∴4k =. ………….………..……….3分 ∴4y x=. ∴4.y x y x =⎧⎪⎨=⎪⎩， ∴222. 2.x x y y ==−⎧⎧⎨⎨==−⎩⎩，，或∴点Q 的坐标为(22)−−，. ………….………..……….4分 （2）n 的取值范围是2n >或20n −<<. ………….………..……….6分 24.（1）证明：连接OC .∵OA OC =， ∴OAC OCA ∠=∠. 又∵DCB DAC ∠=∠，∴DCB OCA ∠=∠. .……….1分∵AB 是⊙O 的直径，∴90OCA OCB ∠+∠=︒.∴90DCB OCB ∠+∠=︒. ………….………..……….2分 又∵OC 是半径，CD 经过⊙O 的半径外端C .∴CD 是⊙O 的切线. ………….………..……….3分（2）解：在Rt △OCD 中，∵90OCD ∠=︒，30D ∠=︒，2OC =，∴4OD =. ………….………..……….4分 ∴6AD AO OD =+=.∵AE 是⊙O 的切线，切点为A ，∴OA AE ⊥. ………….………..……….5分DEA在Rt △EAD 中，∵90EAD ∠=︒，30D ∠=︒，6AD =，∴tan 3063AE AD =⋅︒=⨯= ………….………..……….6分25. （1）5m . ………….………..……….2分解：由题意可知2(6)5y a x =−+. ∵当0x =时，2y =， ∴2(06)52a −+=，解得112a =−， ∴函数关系为21(6)512y x =−−+. ……….………..……….5分 （2）>. ……….………..……….6分 26.（1）解：当0x =时，4y =.∴抛物线与y 轴交点的坐标为(04)，.……….………..……….1分∵点(1)m ，，(3)n ，在抛物线24(0)y ax bx a =++>上，且m n =， ∴31t t −=−，解得2t =. ………….………..……….3分（2）解：由4m a b =++，934n a b =++，∵m n <， ∴820a b +>. ∴4b a >−. ∵0a >， ∴22ba−<，即2t <. ∵4n <， ∴930a b +<. ∴3b a <−. ∴322b a −>,即32t >.综上所述，322t <<. ………….………..……….5分 ∵点00()(3)x n x ≠，在抛物线上， ∴0()x n ，，(3)n ，关于抛物线的对称轴x t =对称，且0x t <. ∴03t t x −=−,解得032x t +=. ∴033222x +<<. ∴001x <<. ………….………..……….6分 27.（1）60； ………….………..……….2分 （2）① 依题意补全图形，如图.………….………..……….4分② 用等式表示线段AG ，BG 与DG 的数量关系：2223AG BG DG +=.………….………..……….5分证明：作120GAM ∠=︒，在AM 截取AP AG =，连接GP ，PD .∵ AP AG =,120GAP ∠=︒, ∴30AGP APG ∠=∠=︒. ∵ △ABC 是等边三角形， ∴AB BC =,60ABC ∠=︒. 又∵AD BC =,DG FECBA∴ AB AD =. ∵ AD ∥BC ，∴180ABC BAD ∠+∠=︒.∴120BAD ∠=︒. ∵120GAP ∠=︒, ∴ BAG DAP ∠=∠.∴ △BAG ≌△DAP （SAS ）. ∴ BG DP =，120APD AGB ∠=∠=︒. ∵ 30APG ∠=︒， ∴ 90DPG ∠=︒.∴222GP DP DG +=. 过点A 作AQ GP ⊥于点Q ， 在Rt △AGQ 中，∵30AGQ ∠=︒，cos GQAGQ AG∠=，∴2GQ AG =.∴2GP GQ ==. 又∵BG DP =，∴2223AG BG DG +=. ………….………..……….7分28.（1）①2P ，3P ； ………….………..……….2分 ②解：∵当2x =时，0y =，∴一次函数2y kx k =−的图象过点(20)，.如图1，当一次函数2y kx k =−的图象与半径为1的⊙O 相切时，30OBP ∠=︒,得：3k =−. M QPH DG FECBA如图2，当一次函数2y kx k =−的图象与y 轴的交点也是⊙O 与y 轴的交点时，45OBA ∠=︒,得：1k =−.∴13k −<−≤； ………….………..……….5分图1 图2（2）1m <<1m <<+ ………….………..……….7分。

房山区2012—2013学年度第一学期终结性检测试卷九年级数学、（本大题共32分，每小题4分）选择题（下列各题均有四个选项，其中有且只有一个 是符合题意的•请将正确选项前的字母填在下表中相应的位置上）:题号 1 23 4 5 678答案1.如图，点A , B, C 都在O O 上，若/ C =34；，则/ AOB 为2.如图，AB 是O O 的直径，弦 CD 丄AB 于点 M, AM = 2 ,OM = 3.贝U CD 的长为C . 8D. 1623•抛物线y = 2x -4x 1的对称轴是直线A • X =1B • X =33C • X =-2D •X =-14. 一个袋子中装有 10个球，其中有6个黑球和4个白球，这些球除颜色外，形状、大小、质地等完全相在看不到球的条件下,随机从这个袋子中摸出一个球,摸到白球的概率为2 2A •B •3 55.已知两圆的半径分别为 5cm 和7cm ，圆心距为 A •外离 B •外切C•k 6•若反比例函数y 的图象在其每个象限内，xA • -3B • -1C • 0D•11C •D • 4 10 8cm ，那么这两个圆的位置关系为 相交D •内切y 随x 的增大而减小，贝U k 的值可以是 11 1 D. 1A.-B.— C.-432OBA第1题图第2题图8.如图，MN是O O的直径，弦BC丄MN于点E,BC=6.点A、D分别为线段EF、BC上的动点.2 2连接AB、AD，设BD =x , AB -AD 二y ,下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象是A • 34 B• 56 C • 60； D • 68；A ( 1, 2),则此反比例函数的解析式堤高BC = 5米，迎水坡AB 的坡比1 : BC与水平宽度 AC 之比)， 则AC 的长是 ______ 米.11. 如图，直径AB 为6的半圆O ,绕A 点逆时针旋转60°此时 点B 到了点B '，则图中阴影部分的面积为 _______________ .(第11题图)12.如图，在直角坐标系中，已知点 A(-3 , 0), B(0 , 4)，对△ OAB连续作旋转变换，依次得 到三角形①、②、三、(本大题共29分，其中第13—17题每小题5分，第18题4分)解答题: 心本小题5分)计算：皿+〔3)-―3.14)0®60。

1D 房山区第一学期终结性检测试卷九年级数学学科一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1. 二次函数2(1)3y x =--的顶点坐标是A ．（1，-3）B ．（-1，-3）C ．（1，3）D ．（-1，3）2．如图，在△ABC 中，M ，N 分别为AC ，BC 的中点．则△CMN 与△CAB 的面积之比是A ．12B ． 13C ．14D ．193．如图，在⊙O 中，A ，B ，D 为⊙O 上的点，∠AOB =52°，则∠ADB 的度数 是A ．104°B ．52°C ．38°D ．26°4. 如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，若 13=AD AB ,AE =1,则EC 等于A ．1B ． 2C ．3D ．45. 如图，点P 在反比例函数2y x=的图象上，P A ⊥轴于点A ，则△P AO 的面积为A ．1B ．2C ．4D ．66. 如图，在△ABC 中，B ACD ∠=∠，若AD =2,BD =3,则AC 长为A ．B ．CD ．67. 抛物线22y x x m =-+与轴有两个交点，则m 的取值范围为A ．1m >B ．=1mC ． 1m <D ．4m <8. 已知二次函数y 1＝a 2＋b ＋c (a ≠0)和一次函数y 2＝＋n (≠0)的图象如图所示，下面有四个推断 ①二次函数y 1有最大值B CB2②二次函数y 1的图象关于直线1x =-对称 ③当2x =-时，二次函数y 1的值大于0④过动点P (m ，0)且垂直于轴的直线与y 1，y 2的图象的交点分别 为C ，D ，当点C 位于点D 上方时，m 的取值范围是m ＜-3或m ＞-1．A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④二、填空题(本题共16分，每小题2分)9. 已知点A （1，a ）在反比例函数12y x=-的图象上，则a 的值为 ． 10．请写出一个开口向上，并且与y 轴交点在y 轴负半轴的抛物线的表达式：11. 如图，在⊙O 中，AB 为弦，半径OC ⊥AB 于E ，如果AB=8，CE =2， 那么⊙O 的半径为 ．12. 把二次函数245=-+y x x 化为()2y a x h k =-+的形式，那么h k +=_____.13. 如图，∠DAB =∠CAE ，请你再添加一个条件____________， 使得△ABC ∽△ADE ．14. 若一个扇形的圆心角为45°，面积为6π，则这个扇形的半径为 ．15. 为测量学校旗杆的高度，小明的测量方法如下：如图，将直角三角形硬纸板DEF 的斜边DF 与地面保持平行，并使边DE 与旗杆顶点A 在同一直线上. 测得DE =0.5米，EF =0.25米，目测点D 到地面的距离DG =1.5米，到旗杆的水平距离DC =20米．按此方法，请计算旗杆的高度为 米．16．如图1，将一个量角器与一张等边三角形（△ABC ）纸片放置成轴对称图形，CD ⊥AB ,垂足为D ，半圆（量角器）的圆心与点D 重合，此时，测得顶点C 到量角器最高点的距离CE ＝2cm ，将量角器沿DC 方向平移1cm ，半圆（量角器）恰与△ABC 的边AC ，BC 相切，如图2,则AB 的长为 cm .图1CBAEED ABC 图2CB3三、解答题（本题共68分，第17－22题，每小题5分，第23－26题，每小题6分，第27，28题，每小题7分）17．计算：o o o 2sin 45tan 602cos30++18. 下面是小西“过直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程. 已知：直线l 及直线l 外一点P . 求作：直线PQ ，使得PQ ⊥l . 做法：如图，①在直线l 的异侧取一点，以点P 为圆心，P 长为半径画弧，交直线l 于点A ，B ； ②分别以点A ，B 为圆心，大于12AB 的同样长为半径画弧，两弧交于点Q （与P 点不重合）； ③作直线PQ ，则直线PQ 就是所求作的直线. 根据小西设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明.证明：∵P A = ，QA = ,∴PQ ⊥l （ ）（填推理的依据）.19．如图，由边长为1的25个小正方形组成的正方形网格上有一个△ABC ，且A ，B ，C 三点均在小正方形的顶点上，试在这个网格上画一个与△ABC 相似的△A 1B 1C 1，要求：A 1，B 1，C 1三点都在小正方形的顶点上，并直接写出△A 1B 1C 1的面积．P420. 如图，在四边形ABCD 中，CD ∥AB ，AD =BC . 已知A （﹣20），B （6，0），D （0，3），函数(0)=>ky x x的图象G 经过点C （1）求点C 的坐标和函数(0)=>ky x x的表达式；（2）将四边形ABCD 向上平移2个单位得到四边形''''A B C D 问点'B 是否落在图象G 上？21. 小磊要制作一个三角形的模型，已知在这个三角形中，长度为(单位：cm)的边与这条边上的高之和为40 cm ，这个三角形的面积为S (单位：cm 2)．(1)请直接写出S 与之间的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围)；(2)当是多少时，这个三角形面积S 最大?最大面积是多少?[22. 如图，在△ABC 中，∠ACB =90︒，D 为AC 上一点，DE ⊥AB 于点E ，AC =12，BC =5． （1）求ADE ∠cos 的值；（2）当DE DC =时，求AD 的长．523. 如图，反比例函数=k y x分别交于M ，N 两点，已知点（1）求反比例函数的表达式；（2）点P 为y 轴上的一点，当∠标．24. 如图，AB ，AC 是⊙O 点E ，连接BE ，连接AO ． （1）求证：AO ∥BE ；（2）若2=DE ，tan ∠BEO25. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，D 是AB 的中点，连接CD ，过点B 作CD 的垂线，交CD 延长线于点E . 已知AC =30，cos A =53. （1）求线段CD 的长； （2）求sin ∠DBE 的值.26. 在平面直角坐标系xOy 中，点()4,2A --，将点A 向右平移6个单位长度，得到点B .B6（1）直接写出点B 的坐标；（2）若抛物线2y x bx c =-++经过点A ,B ，求抛物线的表达式；（3）若抛物线2y x bx c =-++的顶点在直线2y x =+上移动，当抛物线与线段AB 有且只有一个公共点时，求抛物线顶点横坐标t 的取值范围．27. 如图，Rt △ ABC 中，∠ACB =90°，AD 平分∠BAC ， 作AD 的垂直平分线EF 交AD 于点E ，交BC 的延长线于点F ，交AB 于点G，交AC 于点H ． （1）依题意补全图形； （2）求证：∠BAD =∠BFG ；（3）试猜想AB ，FB 和FD 之间的数量关系并进行证明．B728. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （1，2），B （3，2），连接AB . 若对于平面内一点P ，线段AB 上都存在点Q ，使得PQ ≤1，则称点P 是线段AB 的“临近点”． （1）在点C （0，2），D （2，32），E （4，1）中，线段AB 的“临近点”是__________； （2）若点M （m ，n）在直线2y x =+上，且是线段AB 的“临近点”，求m 的取值范围； （3）若直线3y x b =-+上存在线段AB 的“临近点”，求b 的取值范围.第一学期终结性检测试卷答案九年级数学学科二.填空题（本题共16分，每小题2分）89. -12 10.略 11. 5 12. 3 13.略14.15. 11.5 16. 三. 解答题（本题共68分，第17－22题，每小题5分，第23－26题，每小题6分，第27，28题，每小题7分）17.2sin 45tan 602cos30︒+︒+︒22=- ……………………4分= ……………………………………5分18. （1）如图所示 ………………………………………1分（2）P A=PB ，QA=QB …………………………………3分依据：①到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；②两点确定一条直线. ………………………………………5分19. 画图略 …………………………………………………3分面积略 ……………………………………………………5分20. （1）C （4，3）， ……………………………………………1分反比例函数的解析式y=x12； ………………………3分 （2）点B ′恰好落在双曲线上． …………………………5分21.（1）x x S 20212+-= …………………………2分 （2）∵21-=a ＜0，∴S 有最大值， …………………………3分 当20)21(2202=-⨯-=-=abx 时，S 有最大值为200202020212=⨯+⨯-=S ∴当为20cm 时，三角形面积最大，最大面积是200cm 2. …………………………5分22. 解如图，（1）∵DE ⊥AB ，∴∠DEA =90°． ∴∠A+∠ADE =90°． ∵∠ACB =90︒， ∴∠A+∠B =90°．∴∠ADE =∠B ． ………………………………1分l9在Rt △ABC 中，∵AC =12，BC =5， ∴AB =13． ∴5cos 13BC B AB ==． ∴5cos cos 13ADE B ∠==． ………………………………2分 （2）由（1）得5cos 13DE ADE AD ∠==， 设AD 为，则513DE DC x ==． ………………………………3分 ∵ 12AC AD CD =+=，∴ 51213x x +=. .………………………………4分解得263x =. ∴ 263AD =. ……………………………5分23. （1）∵点M （-2，m ）在一次函数12y x =-的图象上，∴()1=212m -⨯-= ． ∴M （-2，1）． ……………………………2分 ∵反比例函数ky x=的图象经过点M （-2，1）， ∴＝-2×1＝-2．∴反比例函数的表达式为2=-y x． ……………………………4分 （2）点P 的坐标为（0，……………………………6分24. （1） 证明：连结BC ,∵AB ，AC 是⊙O 的两条切线，B ，C 为切点，∴=AB AC ,平分∠OA BAC ………………………………1分10 ∴OA ⊥BC . ∵CE 是⊙O 的直径, ∴∠CBE =90°，∴ OA ∥BE . ………………………………2分 (2)∵OA ∥BE, ∴∠BEO =∠AOC . ∵tan ∠BEO,∴tan ∠AOC (3)在Rt △AOC 中,设OC =r ,则AC r , OA ………………………4∴在Rt △CEB 中,EB =3r . ∵BE ∥OA , ∴△DBE ∽△D AO∴DE EBDO OA=, ………………………………………………………………5分 2DO =∴DO =3. ………………………………6分25. ⑴∵∠ACB =90°，AC =30，cos A =53，∴BC =40，AB =50. ……………………2分 ∵D 是AB 的中点， ∴CD =21AB =25. …………………………3分 (2)∵CD =DB ,∴∠DCB =∠DBC . ………………………4分 ∴cos ∠DCB =cos ∠DBC =45. ∵BC =40,∴CE =32， ……………………5分 ∴DE =CECD =7, ∴sin ∠DBE=725=DE DB . ……………………6分 BA1126. （1）()2,2B -……………………2分（2） 抛物线2y x bx c =-++过点,A B ，∴1642422b c b c --+=-⎧⎨-++=-⎩, 解得26b c =-⎧⎨=⎩∴抛物线表达式为226y x x =--+ ………………………4分 （3）抛物线2y x bx c =-++顶点在直线2y x =+上∴抛物线顶点坐标为(),2t t +∴抛物线表达式可化为()22y x t t =--++． 把()4,2A --代入表达式可得()2242t t -=---++解得123,4t t =-=-． ∴43t -≤<-．把()2,2B -代入表达式可得()2222t t --++=-．解得340,5t t == ∴05<≤t ．综上可知t 的取值范围时43t -≤<-或05<≤t ． …………………6分1227. （1）补全图形如图; ……………………………2分 （2）证明∵AD 平分∠BAC , ∴∠BAD =∠CAD∵FE ⊥AD , ∠ACF =90°, ∠AHE =∠∴∠CFH =∠CAD∴∠BAD =∠CFH , 即∠BAD =∠（3）猜想 222AB FD FB += 证明：连接AF ，∵EF 为AD 的垂直平分线，∴ AF=FD ，∠ DAF =∠ ADF∴ ∠ DAC +∠ CAF =∠ B +∠ BAD ， ∵ AD 是角平分线， ∴ ∠ BAD =∠ CAD ∴ ∠ CAF =∠ B ，∴ ∠ BAF =∠ BAC +∠ CAF=∠ BAC +∠ B =90°………………………6分∴222AB AF FB +=∴222+=AB FD FB ………………………………7分28.（1）C 、D （2）如图，设3y x =-+易知M （0,2），∴m≥0，易知N 的纵坐标为1，代入y =∴∴0≤m≤.（3）当直线3y x b=-+与半圆A相切时，=23-b…………5分当直线y x b=+与半圆B相切时，b分∴2+332－≤b……………………………………………7分13。

房山区2013—2014学年度第一学期终结性检测试题九年级数学参考答案和评分参考一、选择题（每题4分，共32分）二、填空题（每题4分）9. 0 10. 6π 11. 2 12. 13,251927三、解答题13.解：原式10= ………………5分14.证明：连结AC ………………1分 ∵AD =BC……………………2分∴AD BC = ……………………3分 ∴∠ACD =∠CAB (4)分 ∴AE =CE ………………………5分15. 证明：作AD ⊥BC 于D ……………………1分 ∵ACADC sin ,AC =54=10= ∴8=AD ……………………3分 又∵ABAD B sin =31=∴24=AB ……………………5分3194=-++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅分16. 解：作BE ⊥AD 于E …………………………1分 则∠AEB =∠BED =∠C =90° ∵∠A =45°，∠ABD =75°∴∠ABE =∠A =45°，∠DBE =∠CBD =30° ∴AE =BE ∵AB =22∴2==BE AE ……………………………………3分 ∵∠DBE =∠CBD =30， ∠BED =∠C =90°， BD =BD ， ∴△BDE ≌△BDC∴BC =BE =2…………………………………………5分 17. 解：(1) 将A (1，m ）代入y =3x 中， m =3×1=3∴A （1 , 3）………………………………1分 将A (1，3)代入xky =中，得 k =xy =3 ……………………………………2分 ∴反比例函数解析式为xy 3=………………3分 （2）()()933121,P ,P 、-- …………………5分18.解：连接AB 、AC ∵∠AOB =90°∴AB 为直径 ………………………………1分O BOBO,OCB 60=∠= O OAB OCB 60∴∠=∠=∴∠ABO =∠ACO =30°∵∠COB =45°， ∴∠CAB =45° ∵AB 为直径， ∴∠ACB =90° ∴∠ABC =45° ∴ ∠AOC =45°CD作AD ⊥OC 于D ……………………………………………………2分 ∵2=OA∴AD=OD=1， ……………………………………………………3分 ∴ 3=CD ……………………………………………………4分 ∴31+=OC ……………………………………………………5分19.解：（1）∵2(31)12k k =+-22961(31)k k k =-+=-………………………………………………1分∴0≥∴无论k 取何值，方程总有两个实数根.……………………2分 (2) 依题意得2(31)30kx k x +++=(31)(31)2k k k k-+±-=…………………………………………3分 121,3k k k=-=-…………………………………………………4分∴1k =± ……………………………………………………5分20. （1）2； (2) y 轴；（3）120,2π （最后一空2分，其余每空1分） 21. 解：（1）A (1，0) 、B (3，0) 、C (0，3）∴直线BC 的解析式为：y = -x +3（2）设过点D 与BC ∴224333094(3)0y x b y x x x x b b =-+⎧⎨=-+⎩-+-==--=34b ∴=21233302x x b x x ∴-+-===方程的解为 ………………………4分23434x x ∴-+=-33(,)24D ∴- ………………………………………………………………5分22. ⑴ BC 与⊙O 相切 证明：连接AE ， ∵AC 是O 的直径∴90E ∠=∴90EAD AFE ∠+∠=︒ ∵BF BC =∴BCE BFC ∠=∠ 又 ∵E 为 AD 的中点∴EAD ACE ∠=∠ ……………………………………………………1分 ∴ 90BCE ACE ∠+∠=︒ 即AC BC ⊥ 又∵AC 是直径∴BC 是O 的切线 …………………………………………………2分 （2）∵O 的半为2∴4AC =, ∵3cos 5B =由（1）知，90ACB ∠= ， ∴5AB = ,3BC =∴3BF = ,2AF = ……………………………………………………3分 ∵EAD ACE ∠=∠, E E ∠=∠ ∴AEF ∆∽CEA ∆，C∴12EA AF EC CA == ∴2EC EA =， ……………………………………………………4分 设 ,2EA x EC x ==由勾股定理 22416x x +=，x = （舍负） ∴CE =…………………………………………………5分23.解：（1）542--=x x y …………………………………………2分 对称轴是x =2 ……………………………………………3分 （2）()()()()12342,04,0M M M M -、、、 ……7分 24. 解：（1）223y x x =-++ …………………………………………2分（2）(0,3)B直线AB 的解析式为：3y x =-+ ………………………3分设过点C 与AB 平行的直线的解析式为y x b =-+ ，由C (1,4)得5b =∴设过点C 与AB 平行的直线的解析式为：5y x =-+ ∴该直线与y 轴的交点为：F (0，5) ∴线段BF 的中点E 的坐标为（0，4）∴过点E 与AB 平行的直线的解析式为4y x =-+∴解24,23y x y x x =-+⎧⎨=-++⎩得3322x x y y ⎧⎧+==⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩∴123535((2222P P -+ …………………5分 点E 关于点B 的对称点为H （0，2），过点H 与AB 平行的直线的解析式为2y x =-+∴解22,23y x y x x =-+⎧⎨=-++⎩得x x y y ⎧⎧==⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩∴34P P ………………7分25. (1)证明：连接O'C ,∵ CD 是⊙O ’的切线 ∴ O'C ⊥CD .....................................1分∵ AD ⊥CD ,∴ O'C ‖AD ,∴ ∠O ’CA =∠CAD∵ O ’A =O'C , ∴∠O ’CA =∠CAB ∴ ∠CAD =∠CAB ............................................2分 (2) ∵AB 是⊙O ’的直径，∴∠ACB =90°. ∵OC ⊥AB ,∴∠CAB =∠OCB ,∴∆CAO ∽∆BCO ∴'OC OBOA OC =即OC²=OA ∙ OB ∵tan ∠CAO =tan ∠CAD =12, ∴AO =2CO 又 ∵AB =10,∴OC²=2CO (10-2CO ), ∵CO >0 ∴CO=4,AO=8,BO=2∴A (-8,0),B (2,0),C (0,4) ..................................................................................................3分 ∵ 抛物线y=ax²+bx+c 过A 、B 、C 三点，∴c=4 ∴424064840a b a b ++=⎧⎨-+=⎩由题意得 解得213442y x x =--+ .............................4分②设直线DC 交x 轴于点F ，易得∆AOC ∽∆ADC ∴ AD=AO =8, ∵O'C ‖AD ∴∆FO ’C ∽∆F AD ∴ ''O F O CAF AD= ∴8(BF +5)=5(BF +10), ∴ BF =103, F (163,0) 设直线DC 的解析式为y=kx+m ,则41603m k m =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 即344k m ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴344y x =-+ ..................................................................................5分 由2213125254(3)-342444y x x x E =--+=-++得顶点的坐标（，） 将E （-3，254）代入直线DC 的解析式344y x =-+中 右边=325--3+4==44⨯（）左边 ∴ 抛物线顶点E 在直线CD 上 ..................................................................................6分 ③存在,12(10,6),(10,36)P P --- .................................................................................8分。

海淀区九年级第一学期期末测评数学试卷（分数：120分 时间：120分钟） 2014.1一、选择题（本题共32分，每小题4分） 下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．23的值是( ) A ．3 B ．－3 C ．3± D ．62．如图，将一矩形纸片沿对角线剪开得到两个直角三角形纸片，将这两个直角三角形纸片通过图形变换构成以下四个图形，这四个图形中是中心对称．．．．．图形的是( )A B C D3．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别为边AB 、AC 上的点，且DE ∥BC ，若5AD =，10BD =，3AE =，则CE 的长为( ) A ．3 B ．6 C ．9 D ．12 4．二次函数22+1y x =-的图象如图所示，将其绕坐标原点O 旋转180o ，则旋转后的抛物线的解析式为( )A ．221y x =--B ．221y x =+C ．22y x =D ．221y x =- 5．在平面直角坐标系xOy 中，以点(3,4)为圆心，4为半径的圆与y 轴所在直线的位置关系是( )A ．相离B ．相切C ．相交D ．无法确定 6．若关于x 的方程2(1)1x k +=-没有实数根，则k 的取值围是A ．1k ≤B ． 1k <C ．1k ≥D ．1k >7． 如图，AB 是⊙O 的切线， B 为切点，AO 的延长线交⊙O 于C 点，连接BC ，若30A ∠=o ，23AB =，则AC 等于( ) A. 4 B.6 C. 43 D. 638．如图，Rt △ABC 中，AC=BC =2，正方形CDEF 的顶点D 、F 分别在AC 、BC 边上， C 、D 两点不重合，设CD 的长度为x ，△ABC 与正方形CDE F 重叠部分的面积为y ，则下列图象中能表示y 与x 之间的函数关系的是( )A B C D二、填空题（本题共16分，每小题4分）E DCB A矩形纸片ACO22+1y x =-y O 12x 1241x 21O y y O 12x 12yO 12x 129．比较大小：（填 “>”、“=”或“<”）．10．如图，A B C 、、是⊙O 上的点，若100AOB ∠=o，则ACB ∠=___________度．11．已知点P （-1，m ）在二次函数21y x =-的图象上，则m 的值为 ；平移此二次函数的图象，使点P 与坐标原点重合，则平移后的函数图象所对应的解析式为 .12．在△ABC 中，E F 、分别是AC BC 、边上的点，1231n P P P P -L 、、、、是AB 边的n 等分点，1CE AC n=，1CF BC n=.如图1，若40B ∠=o，AB BC =，则∠1EP F +∠2EP F +∠3EP F + L +∠-1n EP F =度；如图2，若A α∠=，B β∠=，则∠1EP F +∠2EP F +∠3EP F + L +∠-1n EP F = （用含α，β的式子表示）.三、解答题（本题共30分，每小题5分） 130(2013)|+-+-．14．解方程：(3)2(3)x x x -=-．15．如图，在△ABC 和△CDE 中，90B D ∠=∠=o，C 为线段BD 上一点，且AC CE ⊥． 求证：AB BC CDDE=．16．已知抛物线2y x bx c =++经过（0，-1），（3，2）两点． 求它的解析式及顶点坐标．17．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC 且BD DC =，E 是BC 上一点，且CE DA =． 求证：AB ED =．18．若关于x 的方程 22+10x x k +-=有实数根．（1）求k 的取值围；EDCAEDCBA图2（2）当k 取得最大整数值时，求此时方程的根.四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．如图，用长为20米的篱笆恰好围成一个扇形花坛，且扇形花坛的圆心角小于180°，设扇形花坛的半径为r 米，面积为S 平方米．（注：π的近似值取3）（1）求出S 与r 的函数关系式，并写出自变量r 的取值围；（2）当半径r 为何值时，扇形花坛的面积最大，并求面积的最大值． 20．如图，AB 为e O 的直径，射线AP 交e O 于C 点，∠PCO 的平分线交e O 于D 点，过点D 作DE AP ⊥交AP 于E 点．（1）求证：DE 为e O 的切线；（2）若3DE =，8AC =，求直径AB 的长．21．已知二次函数22y x m =+．（1）若点1(2,)y -与2(3,)y 在此二次函数的图象上，则1y 2y （填 “>”、“=”或“<”）；（2）如图，此二次函数的图象经过点(04)-，，正方形ABCD 的顶点C 、D 在x 轴上， A 、B 恰好在二次函数的图象上，求图中阴影部分的面积之和．22．晓东在解一元二次方程时，发现有这样一种解法： 如：解方程(4)6x x +=．解：原方程可变形，得[(2)2][(2)2]6x x +-++=.PABC DEO22(2)26x +-=， 22(2)62x +=+， 2(2)10x +=.直接开平方并整理，得1222x x =-=-我们称晓东这种解法为“平均数法”.（1）下面是晓东用“平均数法”解方程(2)(6)5x x ++=时写的解题过程． 解：原方程可变形，得[() ][() ]5x x +-++=W d W d .22() 5x +-=W d ， 22()5x +=+W d .直接开平方并整理，得 12,x x ==☆¤．上述过程中的“W ”，“d ” ，“☆”，“¤”表示的数分别为_____，_____，_____，_____．（2）请用“平均数法”解方程：(3)(1)5x x -+=．五、解答题（本题共22分，第23、24小题各7分，第25小题8分） 23．已知抛物线2(1)21y m x mx m =--++（1m >）． （1）求抛物线与x 轴的交点坐标；（2）若抛物线与x 轴的两个交点之间的距离为2，求m 的值；（3）若一次函数y kx k =-的图象与抛物线始终只有一个公共点，求一次函数的解析式.24． 已知四边形ABCD 和四边形CEFG 都是正方形 ，且AB>CE ． （1）如图1，连接BG 、DE ．求证：BG =DE ；（2）如图2，如果正方形ABCD CEFG 绕着点C 旋转到某一位置时恰好使得CG //BD ，BG=BD .①求BDE ∠的度数；②请直接写出正方形CEFG的边长的值.25．如图1，已知二次函数23 2y x bx b=++的图象与x轴交于A、B两点(B在A的左侧)，顶点为C，点D（1，m）在此二次函数图象的对称轴上，过点D作y轴的垂线，交对称轴右侧的抛物线于E点．（1）求此二次函数的解析式和点C的坐标；（2）当点D的坐标为（1，1）时，连接BD、BE．求证：BE平分ABD∠；（3）点G在抛物线的对称轴上且位于第一象限，若以A、C、G为顶点的三角形与以G、D、E为顶点的三角形相似，求点E的横坐标．海淀区九年级第一学期期末练习数学试卷答案及评分参考2014.1 阅卷须知:1. 为便于阅卷,本试卷答案中有关解答题的推导步骤写的较为详细,阅卷时,只要考生将主要过程正确写出即可.2. 若考生的解法与给出的解法不同,正确者可参照评分参考相应给分.图1GFEDCBA图2ABCDEFG图1备用图1 备用图23. 评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数.二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．<； 10．130；11．0, 22y x x =-(每空2分)； 12．70，180αβ--o (每空2分)． 三、解答题（本题共30分,每小题5分） 13．（本小题满分5分）0(2013)|-+- 1=+ ………………………………………………………………4分1=. …………………………………………………………………………5分14．（本小题满分5分）解：原方程可化为(3)2(3)0x x x -+-=. ……………………………………………1分(3)(2)0x x -+=，30x -=或20x +=， ……………………………………………………………4分 ∴123 2x ,x ==-．…………………………………………………………………5分15．（本小题满分5分）证明：∵90B ∠=o ，∴90A ACB ∠+∠=o ．∵C 为线段BD 上一点，且AC CE ⊥， ∴90ACB ECD ∠+∠=o ． ∴A ECD ∠=∠ ． …………………………………………………………………2分∵B D ∠=∠=90o ， …………………………………………………………………3分 ∴△ABC ∽△CDE ．………………………………………………………………4分∴AB BC CDDE=．………………………………………………………………………5分16．（本小题满分5分）解：∵抛物线2y x bx c =++过（0，-1），（3，2）两点，EDCBA∴1,293c b c.-=⎧⎨=++⎩ 解得，12c ,b .=-⎧⎨=-⎩………………………………………………………………………2分∴抛物线的解析式为221y x x =--． ……………………………………………3分 ∵2221(1)2y x x x =--=--，……………………………………………………4分 ∴抛物线的顶点坐标为（1，-2）． ……………………………………………5分17．（本小题满分5分）证明：∵AD ∥BC ，∴ADB DBC ∠=∠． ………………………………………………………………1分 ∵BD CD =，∴DBC C ∠=∠．……………………………………………………………………2分 ∴ADB C ∠=∠． …………………………………………………………………3分 在△ABD 与△EDC 中， ,,,AD EC ADB C BD DC =∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩∴△ABD ≌△EDC .………………………………………………………………4分 ∴AB ED =． ……………………………………………………………………5分18．（本小题满分5分）解：（1）∵关于x 的方程 22+10x x k +-=有实数根，∴44(1)0k ∆=--≥. ………………………………………………………1分解不等式得， 2k ≤．………………………………………………………2分 （2）由（1）可知，2k ≤，∴k 的最大整数值为2.………………………………………………………3分 此时原方程为2210x x ++=． ………………………………………………4分 解得, 121x x ==-． …………………………………………………………5分四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19．（本小题满分5分）解：（1）设扇形的弧长为l 米.由题意可知，220l r +=. ∴202l r =-.∴21(202)+102S r r r r =-=-. …………………………………………………2分 其中410r <<.…………………………………………………………………3分 （2）∵22+10(5)25S r r r =-=--+.∴当5r =时，25S =最大值.……………………………………………………5分E DCA解：（1）证明:连接OD .∵OC OD =, ∴13∠=∠.∵CD 平分∠PCO ， ∴1=2∠∠.∴2=3∠∠.……………………………1分 ∵DE AP ⊥，∴2=90EDC ∠+∠o . ∴3=90EDC ∠+∠o . 即=90ODE ∠o . ∴OD DE ⊥.∴DE 为e O 的切线. …………………………………………………………2分(2) 过点O 作OF AP ⊥于F .由垂径定理得，AF CF =. ∵8AC =,∴4AF =.………………………………………………………………………3分 ∵OD DE ⊥, DE AP ⊥， ∴四边形ODEF 为矩形. ∴OF DE =. ∵3DE =，∴3OF =.………………………………………………………………………4分 在Rt △AOF 中，222224325OA OF AF =+=+=. ∴5OA =.∴210AB OA ==.………………………………………………………………5分21．（本小题满分5分）解：（1）1y < 2y .……………………………………………………………………2分 （2）∵二次函数22y x m =+的图象经过点（0，-4），∴m = -4． ……………………………………………………………………3分∵四边形ABCD 为正方形，又∵抛物线和正方形都是轴对称图形，且y 轴为它们的公共对称轴， ∴OD=OC ，=BCOE S S 阴影矩形. 设点B 的坐标为（n ，2n ）（n >0）， ∵点B 在二次函数224y x =-的图象上， ∴2224n n =-.解得，122,1n n ==-（舍负）. …………………………………………4分 ∴点B 的坐标为（2，4）.∴=BCOE S S 阴影矩形=2⨯4=8．…………………………………………………5分231FPA B C D EO(1) 4 ， 2 ， -1 ， -7 . （最后两空可交换顺序） ………2分 （2）(3)(1)5x x -+=.原方程可变形，得 [(1)2][(1)2]5x x ---+=. ……………………………3分22(1)25x --=， 22(1)52x -=+，2(1)9x -=. ……………………………………………………………4分直接开平方并整理，得124, 2x x ==-．………………………………………………………5分五、解答题（本题共22分，第23、24小题各7分，第25小题8分） 23. （本小题满分7分）解：（1）令0y =，则2(1)210m x mx m --++=.∵2(2)4(1)(1)4m m m ∆=---+=， 解方程，得 222(1)m x m ±=-.∴11x =，211m x m +=-. ∴抛物线与x 轴的交点坐标为（1，0），（11m m +-，0）. …………………2分 （2） ∵1m >， ∴111m m +>-. 由题意可知，1121m m +-=-. …………………………………………………3分解得，2m =.经检验2m =是方程的解且符合题意.∴2m =.………………………………………………………………………4分 （3）∵一次函数y kx k =-的图象与抛物线始终只有一个公共点，∴方程2(1)21kx k m x mx m -=--++有两个相等的实数根. 整理该方程，得 2(1)(2)10m x m k x m k --++++=，∴222(2)4(1)(1)44(2)0m k m m k k k k ∆=+--++=++=+=， 解得 122k k ==-. …………………………………………………………6分 ∴一次函数的解析式为22y x =-+.………………………………………7分24. （本小题满分7分）解：（1）证明：ABCDFG∵四边形ABCD 和CEFG 为正方形，∴BC DC =，CG CE =，90BCD GCE ∠=∠=︒. ∴BCD DCG GCE DCG ∠+∠=∠+∠.BCG DCE ∠=∠即：. ……………………1分 ∴△BCG ≌△DCE .∴BG DE =.………………………………2分（2）①连接BE .由（1）可知：BG=DE . ∵//CG BD ，∴=45DCG BDC ∠∠=︒.∴9045135BCG BCD GCD ∠=∠+∠=︒+︒=︒. ∵90GCE ∠=︒,∴36036013590135BCE BCG GCE ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒. ∴=BCG BCE ∠∠.…………………………3分 ∵BC BC CG CE ==，,∴△BCG ≌△BCE .∴BG BE =.………………………………4分 ∵BG BD DE ==, ∴BD BE DE ==. ∴△BDE 为等边三角形.∴60.BDE ∠=︒ …………………………5分②正方形CEFG1. ……………………………………………7分25. （本小题满分8分）解：（1）∵点D （1，m ）在232y x bx b =++图象的对称轴上， ∴112b -=． ∴2b =-．∴二次函数的解析式为223y x x =--．………………………………………1分∴C （1，-4）． …………………………………………………………………2分（2）∵D （1，1），且DE 垂直于y 轴， ∴点E 的纵坐标为1，DE 平行于x 轴． ∴DEB EBO ∠=∠．令1y =，则2231x x --=，解得121x x ==∵点E 位于对称轴右侧，∴E (1+． ∴D E令0y =，则223=0x x --，求得点A 的坐标为（3,0），点B 的坐标为（-1,0）．图1∴BD =()221115+--=⎡⎤⎣⎦．∴BD = D E ．……………………………………………………………………3分 ∴ DEB DBE ∠=∠． ∴ DBE EBO ∠=∠．∴BE 平分ABD ∠．……………………………………………………………4分 （3）∵以A 、C 、G 为顶点的三角形与以G 、D 、E 为顶点的三角形相似，且△GDE 为直角三角形， ∴△ACG 为直角三角形．∵G 在抛物线对称轴上且位于第一象限， ∴90CAG ∠=o ．∵A （3,0）C （1，-4），AF CG ⊥, ∴求得G 点坐标为（1，1）． ∴AG =5，AC =25．∴AC =2 AG .∴GD =2 DE 或 DE =2 GD .设()2, 23E t t t --（t >1） ，1︒.当点D 在点G 的上方时，则DE=t -1，GD = (223t t --)1-=224t t --. i. 如图2，当 GD =2 DE 时， 则有， 224t t --= 2(t -1).解得，=26t ±.(舍负)………………………5分 ii. 如图3，当DE =2GD 时， 则有，t -1=2(224t t --).解得，127=1=2t t -，.(舍负)…………………6分 2︒. 当点D 在点G 的下方时，则DE=t -1，GD =1- (223t t --)= -2+2+4t t . i. 如图4，当 GD =2 DE 时， 则有， 2+2+4t t -=2（t -1）.解得，=6t ±.(舍负) ………………………7分 ii. 如图5，当DE =2 GD 时， 则有，t -1=2（2+2+4t t -）.图3图4图2解得，123=3=2t t -，.(舍负) …………………8分 综上，E点的横坐标为或723.市西城区2013-2014学年度第一学期期末试卷九年级数学 2014.1一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．抛物线2(2)1y x =-+的顶点坐标是 A ．(21)，B ．(21)-，C ．(21)-，D ．(21)--，2．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，若o 100AOB ∠=，则∠ACB 的度数是 A ．40° B ．50° C ．60° D ．80°3．若两个圆的半径分别为2和1，圆心距为3，则这两个圆的位置关系是 A ．含B ．切C ．相交D ．外切4．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是A B C D 5．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若BC ＝1，AC ＝2，则sin A 的值为 A B C ．12D ．26．如图，抛物线2y ax bx c =++(0)a ≠的对称轴为直线12x =-．下列结论中，正确的是A ．a ＜0B ．当12x <-时，y 随x 的增大而增大C ．0a b c ++>D ．当12x =-时，y 的最小值是44c b-－17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 顶点的横、纵坐标都是整数．若将△ABC 以某点为旋转中心，顺时针旋转90°得到△DEF ，则旋转中心的坐标是 A ．(00)， B ．(10)， C ．(11)-， D ．(2.50.5)，8．若抛物线()2231y x m m =-+-（m 是常数）与直线1y x =+有两个交点，且这两个交点分别在抛物线对称轴的两侧，则m 的取值围是 A ．2m < B ．2m >C ．94m <D ．94m >二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．如图，△A BC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 边上，DE ∥BC ，若2AD =，3DB =，1DE =，则BC 的长是 ．10．把抛物线2=y x 向右平移1个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线=y ．11．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，BC ＝2．将△ABC 绕点C 逆时针旋转α角后得到△A′B′C ，当点A 的对应点A' 落在AB 边上时，旋转角α的度数是 度，阴影部分的面积为 ．12．在平面直角坐标系xOy 中，过点(65)A ，作AB ⊥x 轴于点B ．半径为(05)r r <<的⊙A与AB 交于点C ，过B 点作⊙A 的切线BD ，切点为D ，连接DC 并延长交x 轴于点E .（1）当52r =时，EB 的长等于 ；（2）点E 的坐标为 （用含r 的代数式表示）．13．计算：2sin603tan302tan60cos45︒+︒-︒⋅︒．14．已知：二次函数23y x bx =+-的图象经过点(25)A ，． （1）求二次函数的解析式；（2）求二次函数的图象与x 轴的交点坐标；（3）将（1）中求得的函数解析式用配方法化成2()y x h k =-+的形式．15．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠A ＝90°，点P 在AD 边上，且PC PB ⊥．若AB ＝6，DC ＝4，PD ＝2，求PB 的长．16．列方程或方程组解应用题：“美化城市，改善人民居住环境”是城市建设的一项重要容．某市近年来，通过植草、栽树、修建公园等措施，使城区绿地面积不断增加，2011年底该市城区绿地总面积约为75公顷，截止到2013年底，该市城区绿地总面积约为108公顷，求从2011年底至2013年底该市城区绿地总面积的年平均增长率．17．如图，为了估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A ，在近岸取点B ，C ，D ，使得AB ⊥BD ，∠ACB ＝45°，∠ADB ＝30°，并且点B ，C ，D 在同一条直线上．若测得CD ＝30米，求河宽AB（结果精确到1 1.73取1.41）．18．如图，AB 是⊙O 的弦，OC ⊥AB 于点C ，连接OA ，AB ＝12，cos A = （1）求OC 的长；（2）点E ，F 在⊙O 上，EF ∥AB ．若EF ＝16，直接写出EF 与AB 之间的距离．ABCO19．设二次函数2143y x x =-+的图象为C 1．二次函数22(0)y ax bx c a =++≠的图象与C 1关于y 轴对称． （1）求二次函数22y ax bx c =++的解析式； （2）当3x -<≤0时，直接写出2y 的取值围；（3）设二次函数22(0)y ax bx c a =++≠图象的顶点为点A ，与y 轴的交点为点B ，一次函数3y kx m =+( k ，m 为常数，k ≠0)的图象经过A ，B 两点，当23y y <时，直接写出x 的取值围．20．如图，在矩形ABCD 中，E 是CD 边上任意一点（不与点C ，D 重合），作AF ⊥AE 交CB 的延长线于点F ．（1）求证：△ADE ∽△ABF ；（2）连接EF ，M 为EF 的中点，AB ＝4，AD ＝2，设DE ＝x ， ①求点M 到FC 的距离（用含x 的代数式表示）； ②连接BM ，设2BM y =，求y 与x 之间的函数关系式，并直接写出BM 的长度的最小值．21．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，连接BC ，AC ，作OD ∥BC 与过点A 的切线交于点D ，连接DC 并延长交AB 的延长线于点E ．（1）求证：DE 是⊙O 的切线； （2）若23CE DE =，求cos ABC ∠的值．22．阅读下面材料：定义：与圆的所有切线和割线．．．．．．．都有公共点的几何图形叫做这个圆的关联图形． 问题：⊙O 的半径为1，画一个⊙O 的关联图形．在解决这个问题时，小明以O 为原点建立平面直角坐标系xOy 进行探究，他发现能画出很多⊙O 的关联图形，例如：⊙O 本身和图1中的△ABC （它们都是封闭的图形），以及图2中以O 为圆心的 （它是非封闭的图形），它们都是⊙O 的关联图形．而图2中以P ，Q 为端点的一条曲线就不是⊙O 的关联图形．参考小明的发现，解决问题：（1）在下列几何图形中，⊙O 的关联图形是 （填序号）；① ⊙O 的外切正多边形 ② ⊙O 的接正多边形③ ⊙O 的一个半径大于1的同心圆（2）若图形G 是⊙O 的关联图形，并且它是封闭的，则图形G 的周长的最小值是____； （3）在图2中，当⊙O 的关联图形 的弧长最小时，经过D ，E 两点的直线为y =__；（4）请你在备用图中画出一个⊙O 的关联图形，所画图形的长度l 小于（2）中图形G 的周长的最小值，并写出l 的值（直接画出图形，不写作法）．（DmE （DmE五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．已知：二次函数2314y x mx m =-++（m 为常数）．（1）若这个二次函数的图象与x 轴只有一个公共点A ，且A 点在x 轴的正半轴上． ①求m 的值；②四边形AOBC 是正方形，且点B 在y 轴的负半轴上，现将这个二次函数的图象平移，使平移后的函数图象恰好经过B ，C 两点，求平移后的图象对应的函数解析式； （2） 当0≤x ≤2时，求函数2314y x mx m =-++的最小值（用含m 的代数式表示）．24．已知：△ABC ，△DEF 都是等边三角形，M 是BC 与EF 的中点，连接AD ，BE .（1）如图1，当EF 与BC 在同一条直线上时，直接写出AD 与BE 的数量关系和位置关系；（2）△ABC 固定不动，将图1中的△DEF 绕点M 顺时针旋转α（o 0≤α≤o 90）角，如图2所示，判断（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请加以证明；若不成立，说明理由；（3）△ABC 固定不动，将图1中的△DEF 绕点M 旋转α（o 0≤α≤o 90）角，作DH ⊥BC 于点H ．设BH ＝x ，线段AB ，BE ，ED ，DA 所围成的图形面积为S ．当AB ＝6，DE ＝2时，求S 关于x 的函数关系式，并写出相应的x 的取值围．图2备用图图125．已知：二次函数224y ax ax =+-(0)a ≠的图象与x 轴交于点A ，B （A 点在B 点的左侧），与y 轴交于点C ，△ABC 的面积为12．（1）①填空：二次函数图象的对称轴为 ； ②求二次函数的解析式；（2） 点D 的坐标为（－2，1），点P 在二次函数图象上，∠ADP 为锐角，且tan 2ADP ∠=，求点P的横坐标；（3）点E 在x 轴的正半轴上，o 45OCE ∠>，点O 与点O '关于EC 所在直线对称．作ON ⊥EO '于点N ，交EC 于点M ．若EM ·EC ＝32，求点E 的坐标．东城区2013—2014学年第一学期期末统一测试初三数学 2014.1学校班级 考号一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 12．用配方法解方程x - 2x - 1=0时，配方后得到的方程为 A ．2(1)0x +=B ．2(1)0x -=C ．2(1)2x +=D ．2(1)2x -=3．袋子中装有4个黑球和2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出三个球．下列是必然事件的是 A ．摸出的三个球中至少有一个球是黑球 B ．摸出的三个球中至少有一个球是白球 C ．摸出的三个球中至少有两个球是黑球 D ．摸出的三个球中至少有两个球是白球4．如图，已知⊙O 是△ABD 的外接圆，AB 是⊙O 的直径， CD 是⊙O 的弦，∠ABD =58°，则∠BCD 等于 A ．116° B ．64° C ．58° D ．32° 5．如图，电线杆上的路灯距离地面8米，身高1.6米的小明 (AB )站在距离电线杆的底部（点O ）20米的A 处， 则小 明的影子AM 长为 A ．4米 B ．5米 C ．6米 D ．8米6．二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，则下列结论中正 确的是 A ．a ＞0 B ．当 -1＜x ＜3时，y ＞0 C ．c ＜0 D ．当x ≥1时，y 随x 的增大而增大 7．如图，四边形ABCD 是菱形，∠A =60°，AB =2，扇形BEF 的半 径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是 A ．2π3－3B ．2π3－32C ．π－32D ．π－38．如图，正方形ABCD 中，AB ＝8cm ，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 分别从B ，C 两点同时出发，以1cm/s 的速度沿BC ，CD 运动，到点C ，D 时停止运动．设运动时间为t (s)，△OEF 的面积为S (cm 2)，则S (cm 2)与t (s)的函数关系可用图象表示为A B C D 二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．若关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值围 是 ． 10．请写出一个开口向上，并且与y 轴交于点（0，-1）的抛物线的解析式__________．11．如图，在Rt △OAB 中，∠B =90°∠AOB =30°，将△OAB 绕点O 逆时针旋转100°得到△OA 1B 1，则∠A 1OB = °. 12．射线QN 与等边△ABC 的两边AB ，BC 分别交于点M ，N ，且AC ∥QN ，AM =MB =2cm ，QM =4cm ．动点P 从点Q 出发，沿射线QN 以每秒1cm 的速度向右移动，经过t 秒，以点P为圆心，3cm 为半径的圆与△ABC 的边相切，请写出t 可取的所有值 ．三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．解方程：21090x x -+=.14．如图，△ABC 和△A B C '''是两个完全重合的直角三角板，30B B '∠=∠=︒，斜边长为10cm ．三角形板A B C '''绕直角顶点C 顺时针旋转，当点A '落在AB 边上时，求C A ''旋转所构成的扇形的弧长»AA '．A B CDOF15．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为CD 上一点，连结AE ，BD ，且AE ，BD 交于点F ，S △DEF ∶S △ABF= 4∶25，求DE ∶EC 的值．16．二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于点A （-1, 0），与y 轴交于点C （0，-5），且经过点D （3，-8）.（1）求此二次函数的解析式和顶点坐标；（2）请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在原点处，并写出平移后抛物线的解析式．17．画图：（1）如右图，已知△ABC 和点O ．将△ABC 绕点O 顺时针旋转90°得到△111A B C ，在网格中画出△111A B C ；（2）如图，AB 是半圆的直径，图1中，点C 在半圆外；图2中，点C 在半圆，请仅用无刻度．．．的直尺（只能画线）按要求画图． （i ）在图1中，画出△ABC 的三条高的交点； （ii ）在图2中，画出△ABC 中AB 边上的高．图1 图218．如图，⊙O 的半径OD ⊥弦AB 于点C ，连结AO 并延长交⊙O 于点E ，连结EC ．若AB =8，CD =2，求EC 的长．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．如图，有四背面相同的纸牌A ，B ，C ，D ，其正面分别是红桃、方块、黑桃、梅花，其中红桃、方块为红色，黑桃、梅花为黑色．小明将这4纸牌背面朝上洗匀后，摸出一，将剩余3洗匀后再摸出一. 请用画树状图或列表的方法求摸出的两牌均为黑色的概率.20．在一幅长8分米，宽6分米的矩形风景画（如图①）的四周镶宽度相同的金色纸边，制成一幅矩形挂图（如图②）．如果要使整个挂图的面积是80平方分米，求金色纸边的宽．图① 图②21．在Rt △ACB 中，∠C =90°，点O 在AB 上，以O 为圆心，OA 长为半径的圆与AC ，AB 分别交于点D ，E ，且∠CBD =∠A ．（1）判断直线BD 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论； （2）若AD ∶AO =8∶5，BC =3，求BD 的长．22．阅读理解：如图1，若在四边形ABCD 的边AB 上任取一点E （点E 与点A ，B 不重合），分别连结ED ，EC ，可以把四边形ABCD 分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E 叫做四边形ABCD 的边AB 上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E 叫做四边形ABCD 的边AB 上的强相似点．解决问题： （1）如图1，若∠A =∠B =∠DEC =55°，试判断点E 是否是四边形ABCD 的边AB 上的相似点，并说明理由；（2）如图2，在矩形ABCD 中，AB =5，BC =2，且A ，B ，C ，D 四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形ABCD 的边AB 上的一个强相似点E ；拓展探究：（3）如图3，将矩形ABCD 沿CM 折叠，使点D 落在AB 边上的点E 处．若点E 恰好是四边形ABCM的边AB 上的一个强相似点，请直接写出BCAB的值．图1 图2 图3五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．已知二次函数2()2()y a x m a x m =---（a , m 为常数，且a ≠0）.（1）求证：不论a 与m 为何值，该函数的图象与x 轴总有两个公共点；（2）设该函数的图象的顶点为C ，与x 轴交于A ，B 两点，当△ABC 是等腰直角三角形时，求a 的值．24．如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC 和DEC 重合放置，其中90,C ∠=︒30B E ∠=∠=︒. （1）操作发现如图2，固定△ABC ，使△DEC 绕点C 顺时针旋转．当点D 恰好落在AB 边上时，填空：图1 图2 ① 线段DE 与AC 的位置关系是 ；② 设△BDC 的面积为1S ，△AEC 的面积为2S ，则1S 与2S 的数量关系是 ，证明你的结论； （2）猜想论证当△DEC 绕点C 旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中1S 与2S 的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC 和△AEC 中BC ，CE 边上的高，请你证明小明的猜想．图325．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2(1)4y x m x m =-+-+的图象与x 轴负半轴交于点A ，与y 轴交于点B （0，4），已知点E （0，1）． （1）求m 的值及点A 的坐标；（2）如图，将△AEO 沿x 轴向右平移得到△A ′E ′O ′，连结A ′B 、BE ′．①当点E ′落在该二次函数的图象上时，求AA ′的长；②设AA ′=n ，其中0＜n ＜2，试用含n 的式子表示A ′B 2+BE ′2，并求出使A ′B 2+BE ′2取得最小值时点E ′的坐标；③当A ′B +BE ′取得最小值时，求点E ′的坐标．东城区2013-2014学年第一学期期末统一测试 初三数学参考答案及评分标准 2014.1题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案CDADBBAB二、填空题（本题共16分，每小题4分）三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．解方程：21090x x -+=.解：变形为 2109x x -=-. ………………..1分配方，21025925x x -+=-+. …………..……..2分 整理，得2(5)16x -=. ………………..3分 解得，121,9x x ==. ………………..5分14．解：由题意可求，∠AC A ′=60°，CA=5． ………………..2分所以»60π55π1803cm AA ⨯'==． ………………..5分15．解：∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ AB ∥CD ．∴ △DEF ∽△BAF ． ………………..1分 ∴ 24=25DEF ABFS DE S AB =⎛⎫⎪⎝⎭△△． ………………..2分 ∴2=5DEAB ． ………………..3分又∵ AB CD =, ………………..4分 ∴ DE ∶EC =2∶3 ． ………………..5分16．解：（1）由题意，有0,5,938.a b c c a b c -+=⎧⎪=-⎨⎪++=-⎩解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-==.5,4,1c b a ∴此二次函数的解析式为542--=x x y . ………………..2分 ∴9)2(2--=x y ，顶点坐标为(2，-9). ………………..4分（2）先向左平移2个单位，再向上平移9个单位，得到的抛物线的解析式为y = x 2．………………..5分17．（1）………………..3分（2）（i ）如图1，点P 就是所求作的点；（ii ）如图2，CD 为AB 边上的高.图1 图2 ………………..5分18．解：∵ OD ⊥AB ，∴ AC =BC 12AB =． ………………..1分设AO = x ．在Rt △ACO 中，222AO AC OC =+． ∴ 2224(2)x x =+-．解得 5x =． ………………..2分 ∴ AE =10，OC =3． ………………..3分 连结BE ．∵ AE 是直径， ∴ ∠ABE =90°．由OC 是△ABE 的中位线可求 26BE OC ==． ………………..4分 在Rt △CBE 中，222CE BC BE =+．∴ 221636213CE BC BE =+=+=． ………………..5分四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19. 解：（1）树状图：列表法：………………..3 分（2）P ＝212＝16． ………………..5分AB C D A AB AC AD B AB BC BD C AC CB CD DADDBDC根据题意，得 （2x ＋6）(2x ＋8)＝80. ………………..3分解得：x 1＝1，x 2＝－8（不合题意，舍去）． ………………..4分 答：金色纸边的宽为1分米． ………………..5分 21．解：（1）直线BD 与⊙O 的位置关系是相切．证明：连结OD ，DE . ∵∠C =90°，AB C D B BBC CC DDDAAA∴∠CBD +∠CDB =90°． ∵∠A =∠CBD ， ∴∠A +∠CDB =90°． ∵OD = OA ， ∴∠A =∠ADO ．∴∠ADO + ∠CDB =90°． ∴∠ODB = 180° - 90°=90°． ∴OD ⊥BD ． ∵OD 为半径，∴BD 是⊙O 切线． ………………..2分 （2）∵AD : AO =8 : 5，∴AD AE =810． ∴由勾股定理得AD : DE : AE = 8 : 6 : 10． ∵∠C =90°，∠CBD =∠A . ∴△BCD ∽△ADE ．∴DC : BC : BD = DE : AD : AE =6 : 8 : 10． ∵BC =3，∴BD =154． ………………..5分22． 解：（1）点E 是四边形ABCD 的边AB 上的相似点．理由：∵∠A = 55°， ∴∠ADE +∠DEA = 125°． ∵∠DEC = 55°，∴∠BEC +∠DEA =125°． ∴∠ADE =∠BEC ． ∵∠A =∠B ，∴△ADE ∽△BEC ．∴点E 是四边形ABCD 的AB 边上的相似点． ………………..2分 （2）作图如下：图1 图2 ………………..4分（3）32BC AB=． ………….. 5分五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23. 解：（1）证明：2()2()y a x m a x m =---22(22)2.ax am a x am am =-+++ ……………………………..1分22=(22)4(2)a am a a am am ≠∆++-当0时，24.a = …………………………..2分∵0,a ≠∴240.a >∴不论a 与m 为何值，该函数的图象与x 轴总有两个公共点．…………..3分 （2）2()2()y a x m a x m =---2=(1).a x m a ---(1,).C m a ∴+-…………………………4分 当y =0时，解得x 1 = m ，x 2 = m + 2.∴AB =（m + 2）- m = 2. ………………………………..5分 当△ABC 是等腰直角三角形时，可求出AB 边上高等于1． ∴ 1a -=．∴ 1a =±． ……………………………………………..7分24．解：（1）①线段DE 与AC 的位置关系是 平行 ． …………………..1分 ②S 1与S 2的数量关系是 相等 ．证明：如图2，过D 作DN ⊥AC 交AC 于点N ，过E 作EM ⊥AC 交AC 延长线于M ，过C 作CF ⊥AB 交AB 于点F ．由①可知 △ADC 是等边三角形，DE ∥AC ， ∴DN =CF , DN =EM ． ∴CF =EM ．∵90,30ACB B ∠=︒∠=︒，∴2AB AC =． 又∵AD AC =,∴BD AC =． 图2∵112S CF BD =g ，212S AC EM =g ，∴1S =2S ． …………………..3分（2）证明：如图3，作DG ⊥BC 于点G ，AH ⊥CE 交EC 延长线于点H .∵90,180DCE ACB DCG ACE ∠=∠=︒∴∠+∠=︒． 又∵180,ACH ACE ACH DCG ∠+∠=︒∴∠=∠．又∵90,CHA CGD AC CD ∠=∠=︒=,∴△AHC ≌△DGC ．∴AH =DG ．又∵CE =CB , 图3 ∴12S S =． ……………………..7分25．解：（1）由题意可知 44m =，1m =．∴ 二次函数的解析式为24y x =-+．∴ 点A 的坐标为（- 2, 0）． …………………………..2分（2）①∵ 点E （0,1），由题意可知，241x-+=．解得3x=±．∴AA′=3．……………………………..3分②如图，连接EE′．由题设知AA′=n（0＜n＜2），则A′O = 2 -n．在Rt△A′BO中，由A′B2 = A′O2 + BO2，得A′B2 =(2–n)2 + 42 = n2 - 4n + 20．∵△A′E′O′是△AEO沿x轴向右平移得到的，∴EE′∥AA′，且EE′=AA′．∴∠BEE′=90°，EE′=n．又BE=OB -OE=3.∴在Rt△BE′E中，BE′2 = E′E2 + BE2 = n2 + 9，∴A′B2 + BE′2 = 2n2 - 4n + 29 = 2(n–1)2 + 27．当n = 1时，A′B2 + BE′2可以取得最小值，此时点E′的坐标是（1，1）．……………………………..5分③如图，过点A作AB′⊥x轴，并使AB′ = BE = 3．易证△AB′A′≌△EBE′，∴B′A′= BE′，∴A′B + BE′ = A′B + B′A′．当点B，A′，B′在同一条直线上时，A′B + B′A′最小，即此时A′B+BE′取得最小值．易证△AB′A′∽△OBA′，∴34 AA ABA O OB''=='，∴AA′=36277⨯=，∴EE′=AA′=67，∴点E′的坐标是（67，1）．………………………………………….8分石景山区2013—2014学年第一学期期末考试试卷初三数学考 生 须 知1．本试卷共6页．全卷共五道大题，26道小题． 2．本试卷满分120分，考试时间120分钟．3．在试卷密封线准确填写区（县）名称、学校、和号． 4．考试结束后，将试卷和答题纸一并交回．第Ⅰ卷（共32分）一、选择题（本题共8道小题，每小题4分，共32分）在每道小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请将所选答案前的字母按规定要求填涂在答题纸第1-8题的相应位置上． 1．已知⊙O 的半径为6，点A 在⊙O 部，则A ．6<OAB ．6>OAC ．3<OAD ．3>OA2．已知，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝12，AC =5，则cos A 的值是A ．125 B ．512 C ．135 D ．13123．如图，AB 、CD 是⊙O 的两条弦，连结AD 、BC ．若∠BCD=70°， 则∠BAD 的度数为 A ．40° B ．50°C ．60°D ．70°4．若函数xmy -=1的图象在其所在的每一象限，函数值y 随自变量x 的增大而增大，则m 的取值围是 A ．m ＞1B ． m ＞0C ． m ＜1D ．m ＜05．从1～12这十二个自然数中任取一个，取到的数恰好是4的倍数的概率是A ．121 B ．41 C ．31 D ．21 6．如图，P A 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 分别为切点，PO 交圆于点C ，若∠APB =60°，PC =6，则AC 的长为A ．4B ．22C ．32D ．337．如图，抛物线x x y 421+-=和直线x y 22=. 当y 1＞y 2时，x 的取值围是A ．0<x <2B ．x <0或x ＞2C ．x <0或x ＞4D ．0<x <48．如图，在等边△ABC 中，4=AB ，当直角三角板MPN 的︒60角的顶点P 在BC 上移动时，斜边MP 始终经过第2题CBA第3题C P O B A 第6题 第7题A C BD第8题 BAB 边的中点D ，设直角三角板的另一直角边PN 与AC 相交于点E .设x BP =，y CE =，那么y 与x 之间的函 数图象大致是第Ⅱ卷（共88分）二、填空题（本题共6道小题，每小题4分，共24分） 9． 已知线段a 、b 满足b a 32=，则=ba. 10. 若︒<α<︒900,21tan =α,则=αsin . 11．抛物线x x y 322+-=向上平移5个单位后的解析式为 .12．长方体底面周长为50cm ，高为10cm ．则长方体体积y ）（3cm 关于底面的一条边长x ）（cm 的函数解析式是 .其中x 的取值围是 . 13．如图，在ABC Rt ∆中，已知90ACB ∠=︒， 1AC =,3BC =,将ABC ∆绕着点A 按逆时针方向旋转30︒,使得点B 与点'B 重合，点C 与点'C 重合，则图中阴影部分的面积为___________.14．如图所示：下列正多边形都满足11BA CB =，在正三角形中，我们可推得：160AOB ∠=︒；在正方形中，可推得：190AOB ∠=︒；在正五边形中，可推得：1108AOB ∠=︒，依此类推在正八边形中，1AOB ∠= ︒，在正()3n n ≥边形中，1AOB ∠= ︒.三、解答题（本题共7道小题，每小题5分，共35分）15．计算：030cos 2145tan 60sin 227⎪⎭⎫ ⎝⎛︒--︒︒+．16．已知：二次函数1322-+-=a x ax y 的图象开口向上，并且经过原点O (0,0).（1）求a 的值；（2）用配方法求出这个二次函数图象的顶点坐标. 17．如图,在ABC ∆中，BD AC ⊥于点D ，22AB =6BD =并且12ABD CBD ∠=∠.求AC 的长.第12题B'C B A第11题18．已知：一次函数12+=x y 与y 轴交于点C , 点()n 1，A 是该函数与反比例函数）（0≠=k xky 在第一象限的交点．（1）求点A 的坐标及k 的值；（2）试在x 轴上确定一点B ，使CA CB =， 求出点B 的坐标．19．已知：如图，⊙O 的直径AB 与弦CD (不是直径)交于点F ，若FB =2，4==FD CF ，求AC 的长．20．如图，某机器人在点A 待命，得到指令后从A 点出发，沿着北偏东ο30的方向，行了4个单位到达B点，此时观察到原点O 在它的西北方向上，求A 点的坐标（结果保留根号）．21．已知：在ABC ∆中，90ACB ∠=o ，CD AB ⊥于D ，:3:5BE AB =,若2CE =，4cos 5ACD ∠=，求AEC ∠tan 的值及CD 的长.C AD O F. 1EDCB A北东。