2014旭东二摸考试题

2014年山东省某校高考数学二模试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）．1. 已知集合A ＝{x ∈R||x|≤2}，B ＝{x ∈R|x ≤1}，则A ∩B ＝（ ） A (−∞, 2] B [1, 2] C [−2, 2] D [−2, 1]2. 函数f(x)是R 上的增函数且f(a)+f(b)>f(−a)+f(−b)则（ ） A a >b >0 B a −b >0 C a +b >0 D a >0，b >03. 过点(1, 0)且与直线x −2y −2=0平行的直线方程是( )A x −2y −1=0B x −2y +1=0C 2x +y −2=0D x +2y −1=04. 阅读如图所示的程序框图，如果输出i ＝4，那么空白的判断框中应填入的条件是（ ）A S <8B S <9C S <10D S <115. 样本中共有五个个体，其值分别为a ，0，1，2，3．若该样本的平均值为1，则样本方差为( )A √65 B 65C √2D 26. 设定义在R 上的函数f(x)满足f(x)⋅f(x +2)=13，若f(1)=2，则f(99)=( ) A 13 B 2 C 132D 2137. 由0，1，2，3，4这5个数字组成没有重复数字且个位上的数字不能为1的3位数共有（ ）A 28个B 36个C 39个D 42个8. 实数x ，y 满足{y ≥1y ≤2x −1x +y ≤b ，如果目标函数z =x −y 的最小值为−2，则实数b 的值为（ ）A 0B 6C 7D 89. 在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且角A =60∘，若S △ABC =15√34，且5sinB =3sinC ，则ABC 的周长等于（ ）A 8+√19B 14C 10+3√5D 1810. 设互不相等的平面向量组a i (i =1, 2, 3,…)，满足①|a i |=1；②a i ⋅a i+1=0．若T m =a 1+a 2+...+a m (m ≥2)，则|T m |的取值集合为（ ）A {0, √2}B {1, √3}C {1, √2, √3}D {0, 1, √2}二、填空题：把答案填在答题卷中的横线上（本大题共4小题，每小题5分，共25分）． 11. 双曲线x 24−y 2m =1的焦距为4√2，则m =________． 12. 二项式(ax 2√x)5的展开式中常数项为160，则a 的值为________．13. 已知√2+23=2√23，√3+38=3√38，√4+415=4√415…，照此规律，第五个等式为________．14. 某制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，如图所示，长方形ABCD(AB>AD)的周长为4米，沿AC折叠使B到B′位置，AB′交DC于P．研究发现当ADP的面积最大时最节能，则最节能时长方形ABCD的面积为________．二、请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分。

数学理一参考答案及评分标准一、选择题CABDD CAACC二、填空题11.13 12.1613. 7?n ≤ 14.2 15.12 三、解答题 16. 解：31cos 21()sin 2222x f x x -=++31sin 2cos 2122x x =-+ sin(2)16x π=-+ …………3分 ∵51212x ππ-≤≤，∴22363x πππ-≤-≤， ∴3sin(2)126x π-≤-≤，从而31sin(2)1226x π-≤-+≤ 则)(x f 的最小值是312-，最大值是2 …………6分 （2）()sin(2)126f C C π=-+=，则πsin(2C -)=16， ∵0C π<<，∴112666C πππ-<-<， ∴262C ππ-=，解得3C π=. …………8分∵向量(1,)a =m 与向量(2,)b =n 共线，∴20b a -=，即2b a = ① …………9分 由余弦定理得，222πc =a +b -2abcos 3，即22a +b -ab =3 ② 由①②解得a =1,b =2. …………12分17.解：（1）ξ得可能取值为 0,1,2,3由题意P (ξ=0)=3437435C C =, P (ξ=1)=2143371835C C C =, P (ξ=2)=1243371235C C C = P (ξ=3)=034337135C C C = …………4分 ∴ξ的分布列、期望分别为：ξ 0 1 2 3 p 435 1835 1235 135E ξ=0×435+1×1835+2 ×1235+3×135=97…………8分 （2）设在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的事件为C男生甲被选中的种数为2615C =,男生甲被选中，女生乙也被选中的种数为155C = …………10分∴P (C )=152651153C C == 在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为13……12分 18.解：（1）设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，依题意，有423)22a a a +=+（， 由4128S S -=可得,28432=++a a a 得20,8423=+∴=a a a ……3分⎪⎩⎪⎨⎧===+∴820213311q a a q a q a 解之得11122232q q a a ⎧==⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎩或 ………………5分 所以n n a 2=或6)21(-=n n a ………………6分（2）因为数列{}n a 单调递增，n n a a q 2,2,21=∴=∴=∴22211111()log 2log 2(2)22n n n b n n n n +===-⋅++，……………………7分 所以11111111(1)2324352n T n n =-+-+-++-+ 21311323()22124264n n n n n +=--=-++++.……………………9分 假设存在，则有2323142642n n n +->++，整理得：240n n --> 解得11711722n n +-><或（不合题意舍去） ………………11分 又因为n 为正整数，所以n 的最小值为3. ………………………………12分19. 解：（1）证明：//,//,//AD EF EF BC AD BC ∴，2,//,BC AD G BC AD BG AD BG =∴=为的中点，且.//.ABGD AB DG ∴∴四边形是平行四边形， …………2分,,//.AB DEG DG DEG AB DEG ⊄⊂∴平面平面平面…………4分(2)证明：EF AEB AE AEB BE AEB ∴⊥⊂⊂平面，平面，平面,,,,,,EF AE EF BE AE EB EB EF EA ∴⊥⊥⊥∴两两垂直.……6分以点E 为坐标原点，,,,,EB EF EA x y z 分别为轴，建立空间直角坐标系如图所示，由已知得(002),(200),(240),(022),(030),(220).A B C D F G ，，，，，，，，，，，，(220),(22,2),=-2222200.EG BD EG BD ∴==-⋅⨯+⨯+⨯=，，，故BD EG ∴⊥ ………………………8分(3)由已知可得(2,0,0)EB =是平面EFDA 的一个法向量.设平面DCF 的一个法向量为()=x,y,z n ，(0-1,2(210)FD FC ==，），，，，20,11, 2.(1,2,1).20y z z x y x y -+=⎧∴==-==-⎨+=⎩n 令得即……………10分 设二面角C FD E --的大小为θ， 则2630cos cos ,,sin .6626n EB θθ-=<>==-=…………11分 30.6C DF E ∴--二面角的正弦值为………………………12分 20.解：（1）由题知抛物线方程为24y x = 。

第6题（第 14 题）89 1 2 3 4 5 6 7 8 9102014初中数学二模试题(本试卷共150分 考试时间150分钟)第I 卷 选择题(共18分)请注意：考生须将本卷所有答案填涂到答题卡上，答在试卷上无效！ 一、选择题(每题3分，共18分) 1. 下列计算中正确的是A ．2352a a a += B ．236a a a ⋅= C ．235a a a ⋅= D ．329()a a =2. 某5A 级风景区去年全年旅游总收入达10.04亿元．将10.04亿元，用科学记数法可表示为 A ．10.04×108元B ．10.04×109元C ．1.004×1010元D ．1.004×109元3. 下列事件中最适合使用普查方式收集数据的是A ．了解全国每天丢弃的废旧电池数B ．了解某班同学的身高情况C ．了解一批炮弹的杀伤半径D ．了解我国农民的人均年收入情况 4.5. 如图，在矩形ABCD 中，AD ＝10，AB ＝6，E 为BC 上一点，DE 平分∠AEC ，则CE 的长为 A ．1B．2C ．3D ．4.6. 如图，△ABC 的顶点坐标分别为A(4，4)、B(2，1)、C(5，2)，沿某一直线作△ABC 的对称图形，得到△''A B C ，若点A的对应点'A 的坐标是(3，5)，那么点B 的对应点'B 的坐标是 A ．(0，3) B ．(1，2) C ．(0，2) D ．(4，1)二、填空题(每题3分，共30分) 7. 函数5xy x =+中，自变量x 的取值范围是 ． 8. 在一个不透明的口袋中，装有若干个除颜色不同其余都相同的球，若口袋中有4个红球且摸到红球的概率为21，则袋中球的总数为________ 9. 正n 边形的一个内角比一个外角大100°，则n 为__________.10. 如图是甲、乙两射击运动员的10次射击训练成绩(环数)的折线统计图，观察图形，甲、乙这10次射击成绩的方差甲2S，乙2S 之间的大小关系是 ．第10题 第15题11. 二次函数y ＝2(x ＋1)(x －3)图象的顶点坐标为_________________.12. 一个底面半径为3cm ，高为4cm 的圆锥模型，则此圆锥的侧面积是 cm 2. 13. 已知点A (－1，y 1)、B (2，y 2)都在双曲线y ＝3＋2mx上，且y 1＞y 2，则m 的取值范围是 ___________.14. 已知2x =-是一元二次方程20x ax b ++=的一个根，则代数式2244a b ab +-的值是 .15. 如图，在矩形ABCD 中，AD =D 为圆心，DC 为半径的圆弧交AB 于点E ，交DA的延长线于点F ，∠ECD ＝60°，则图中阴影部分的面积为_____，(结果保留π)。

最新2014年全国高考理科数学二模试题及答案-理科数学（必修+选修Ⅱ）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至2页，第Ⅱ卷第3至第4页。

考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷注意事项：全卷满分150分，考试时间120分钟。

考生注意事项：1.答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。

请认真核准该条形码上的准考证号、姓名和科目。

2.没小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。

3.第I 卷共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

一、选择题 （1）复数131ii-+=+ （A ）2i + （B ）2i - （C ）12i + （D ）12i - （2）已知集合{A =，{1,}B m =，A B A = ，则m =（A ）0（B ）0或3 （C ）1（D ）1或3 （3）椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为4x =-，则该椭圆的方程为（A ）2211612x y += （B ）221128x y += （C ）22184x y += （D ）221124x y +=（4）已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中 ，2AB =，1CC =E 为1CC 的中点，则直线1AC 与平面BED 的距离为（A ）2 （B（C（D ）1 （5）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，55a =，515S =，则数列11{}n n a a +的前100项和为 （A ）100101 （B ）99101（C ）99100 （D ）101100（6）ABC ∆中，AB 边的高为CD ，若CB a = ，CA b = ，0a b ⋅= ，||1a = ，||2b = ，则AD =（A ）1133a b - （B ）2233a b - （C ）3355a b - （D ）4455a b -（7）已知α为第二象限角，sin cos αα+=，则cos2α=（A ）3-（B ）9- （C ）9 （D ）3（8）已知1F 、2F 为双曲线22:2C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，12||2||PF PF =，则12cos F PF ∠=（A ）14 （B ）35 （C ）34 （D ）45（9）已知ln x π=，5log 2y =，12z e-=，则（A ）x y z << （B ）z x y << （C ）z y x << （D ）y z x << （10）已知函数33y x x c =-+的图像与x 恰有两个公共点，则c =（A ）2-或2 （B ）9-或3 （C ）1-或1 （D ）3-或1（11）将字母,,,,,a a b b c c 排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（A ）12种 （B ）18种 （C ）24种 （D ）36种 （12）正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，37AE BF ==。

2014年九年级中考模拟考试数学试题参考答案及评分建议说明：本评分标准每题给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准的精神酌情给分．一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）9．1x ≠- 10．66.34410⨯ 11．2 12．20<<y 13．乙14．2m a - 15 16．245 17．3218．注：12题写y<2扣1分三、解答题（本大题共有10小题，共96分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（1）（1）原式= 23 —4 …………………………………………4分（2）移项配方得：2(2)5x -= ………………………………………2分解之得：1222x x ==………………………………4分20.原式=122122+--÷--x x x x x ……………………………………………………2分 =1+-x ……………………………………………………4分解不等式组得 12x -<≤， …………………………………………6分 符合不等式解集的整数是0，1，2. ……………………7分 当0x =时，原式2= ……………………………………………………8分21．解：（1）列表或画树状图正确（略） …………………………………………4分 ∴P （两次都是红色）＝1/9 . …………………………………………………6分（2）两次都是白色或两次一红一白。

…………………………8分22.（1）5 8 图略 …………………………………………………3分（2）95（1分） 95 （2分） …………………………………………………6分（3）54 …………………8分23．证明：（1）∵ BC = CD ，∴ ∠CDB =∠CBD ．∵ AD // BC ，∴ ∠ADB =∠CBD ．∴ ∠ADB =∠CDB ．……………1分又∵ AB ⊥AD ，BE ⊥CD ，∴ ∠BAD =∠BED = 90°． ………2分在△ABD 和△EBD 中，∵ ∠ADB =∠CDB ，∠BAD =∠BED ，BD = BD ，∴ △ABD ≌△EBD ． ………………………………………………4分∴ AD = ED ． ………………………………………………………5分（2）∵AF // CD ，∴ ∠AFD =∠EDF ． ∴∠AFD =∠ADF ，即得 AF = AD ．又∵ AD = ED ，∴ AF = DE ． …………………………………7分于是，由 AF // DE ，AF = DE ，得四边形ADEF 是平行四边形． ……9分又∵ AD = ED ，∴ 四边形ADEF 是菱形． ………………………10分24.（1）在Rt △BOP 中 ，∠BOP =90°，∠BPO =45°，OP =100，∴OB=OP =100．…………………………………………………………………2分在Rt △AOP 中， ∠AOP =90°，∠APO =60°，tan AO OP APO ∴=⋅∠． AO ∴=． …………………………………4分∴1031)AB =(米)． ………………………………………………6分（2）v 此车速度1)=250.7318.25≈⨯=(米/秒) ． ………8分 18.25米/秒 =65.7千米/小时． ……………………………………9分65.770<， ∴此车没有超过限制速度． ………………………………………………10分25．（1）设乙队在2≤x ≤6的时段内y 与x 之间的函数关系式为y =kx +b ， ……1分由图可知，函数图象过点（2，30）、（6，50），∴⎩⎨⎧=+=+506302b k b k 解得⎩⎨⎧==205b k ……………………………………………4分 ∴y =5x ＋20． ……………………………………………………………………5分（2）由图可知，甲队速度是：60÷6=10（米/时）． ……………………………6分设甲队从开始到完工所铺设彩色道砖的长度为z 米，依题意，得6050.1012z z --= ……………………………………………………8分解得 z =110． ………………………………………………………9分答：甲队从开始到完工所铺设彩色道砖的长度为110米． …………10分26．（1）证明：连接AE ………………………………………………………1分∵AB 为⊙O 的直径，∴∠AEB =90°∴∠BAE +∠ABE =90° …………………2分∵AB =AC ，AE ⊥BC ∴AE 平分∠BAC ∴CBF BAC BAE ∠=∠=∠21 ………3分 ∴︒=∠+∠90ABE CBF ∴AB ⊥BF∴BF 为⊙O 的切线 ………………………………………………………5分（2）过点C 作CG ⊥BF ， ………………………………………………………6分在Rt △ABF 中1022=+=BF AB AF∵AC =6 ∴CF =4 ………………7分∵CG ⊥BF ，AB ⊥BF ∴CG ∥AB∴△CFG ∽△AFB ………………8分 ∴ABCG BF GF AF CF == G∴512516==CG CF ， ∴5245168=-=-=GF BF BG ………………………………9分 在Rt △BCG 中21tan ==∠BG CG CBF ………………………………………………10分27．(1)等腰三角形 …………………………………3分(2)因为抛物线y=-x2+bx （b ＞0）过原点，设抛物线顶点为B 点，抛物线与X 轴的另一交点为A 点，若“抛物线三角形”是等腰直角三角形，△OAB 中，∠OBA=90°，抛物线的对称轴是x=b/2，B 点坐标为（b/2，b/2）代入函数表达式，算出b=2 …………3分(3)存在，（略） …………4分（4）m=2 …………………………………2分28.解：（1）由题意可知 44m =，1m =．(1分)∴ 二次函数的解析式为24y x =-+．∴ 点A 的坐标为（- 2, 0）． …………………………………3分（2）①∵ 点E （0,1），由题意可知， 241x -+=．解得 x = AA …………………………………5分②如图，连接EE ′．由题设知AA ′=n （0＜n ＜2），则A ′O = 2 - n ．在Rt △A ′BO 中，由A ′B 2 = A ′O 2 + BO 2，得A ′B 2 =(2–n )2 + 42 = n 2 - 4n + 20． …6分∵△A ′E ′O ′是△AEO 沿x 轴向右平移得到的，∴EE ′∥AA ′，且EE ′=AA ′．∴∠BEE ′=90°，EE ′=n ．又BE =OB - OE =3.∴在Rt △BE ′E 中，BE ′2 = E ′E 2 + BE 2 = n 2 + 9， ……………………7分∴A ′B 2 + BE ′2 = 2n 2 - 4n + 29 = 2(n –1)2 + 27． ……………………8分当n = 1时，A ′B 2 + BE ′2可以取得最小值，此时点E ′的坐标是（1，1）． ………9分③如图，过点A 作AB ′⊥x 轴，并使AB ′ = BE = 3．易证△AB ′A ′≌△EBE ′，∴B ′A ′ = BE ′，∴A ′B + BE ′ = A ′B + B ′A ′．………………10分当点B ，A ′，B ′在同一条直线上时，A ′B + B ′A ′最小，即此时A ′B +BE ′取得最小值．易证△AB ′A ′∽△OBA ′， ∴34AA AB A O OB ''=='，∴AA ′=36277⨯=，∴EE ′=AA ′=67， …………………11分 ∴点E ′的坐标是（67，1）． ……………………………………12分。

2014年小学毕业模拟测试数学试卷（二）一、认真思考，准确填空。

（每空1分，共22分）1、一个数亿位上是最小的合数，百万位上是最小的一位数，万位上是最小的质数，千位上是最大的一位数，十位上是最小的奇数，其余各位上都是0，则这个数写作（），四舍五入省略万位后面的尾数约是（）。

2、把78米长的绳子平均分成4份，每份占全长的（），每份长（）米。

3、有一个挂钟，分针长20厘米，分针走一圈，针尖经过的路程是（）厘米，分针转一周扫过的面积是（）平方厘米。

4、0.4吨:80千克的比值是( )，化成最简的整数比是（）。

5、张明家在李丽家的东偏北50o方向1千米处，则李丽家在张明家南偏西（）o方向1千米处。

6、口袋里有8个红球和4个白球，它们除颜色外完全相同，现在从中摸出一个球，是白球的可能性是（）。

7、在下面（）填上合适的计量单位。

新学期，李阳向同学们做自我介绍：我叫李阳，今年11岁，身高145（），体重39（）；我家距学校1350（），步行来校大约需要18（）。

8、一个平行四边形相邻两条边分别是10厘米、7厘米，量得一条边上的高为8厘米。

这个平行四边形的面积是（）平方厘米。

9、栽一种树苗，成活率为75% ~ 85%，为确保栽活1500棵树苗成活，至少要栽树苗（）棵。

如果栽3000棵树苗，最多有（）棵成活。

10、△◇◇☆〇〇△◇◇☆〇〇△◇◇☆〇〇△◇┅┅按照这样排列下去，第263个图形是（）。

11、新华小学为每个学生编号。

设定末尾1表示男生，2表示女生。

200813341表示“2008年入学的一（3）班34号，该同学是男生。

”那么“201015192”表示的是（）年入学一（5）班（）号同学，性别是（）。

12、一根3米长的圆柱体木材，锯成3段后，它们的表面积总和比原来增加了12.56平方分米，原来这根木材的体积是（）立方分米。

二、仔细推敲，认真判断。

（对的在括号里画“√”，错的画“×”）（每题1 分，共5 分）1、4x —y = 0，x和y不成比例关系。

2014年山东省聊城市高考数学二模试卷（理科）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1. 若集合A ={x||x|≤1, x ∈R}，B ={x|y =√x}，则A ∩B =( ) A {x|−1≤x ≤1} B {x|x ≥0} C {x|0≤x ≤1} D ⌀2. 设i 是虚数单位，复数1+ai 2−i为纯虚数，则实数a 为（ ）A 2B −2C −12 D 123. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A 8π3 B 3π C 10π3 D 6π4. 设函数f(x)={(12)x−1，x ≤11+log 2x ，x >1，则满足f(x)≤2的x 的取值范围是（ ）A [−1, 2]B [0, 2]C [1, +∞)D [0, +∞)5. 设x ，y ∈R ，向量a →=(x, 1)，b →=(1, y)，c →=(2, −4)且a →⊥c →，b → // c →，则|a →+b →|= ( )A √5B √10C 2√5D 106. 执行如图所示的程序框图，输出的结果是（ ）A 2B 3C 6D 97. (x 2+2)(1x 3−1)3的展开式中的常数项是（ ） A 2 B 3 C −3 D −28. 若M(x, y)为由不等式组{0≤x ≤√2y ≤2x −√2y ≤0确定的平面区域D 上的动点，点A 的坐标为(√2, 1)，则z =OM →⋅OA →的最大值为（ ）A 3B 4C 3√2D 4√29. 函数f(x)＝(1−cosx)sinx在[−π, π]的图象大致为（）A B C D10. 设f(x)与g(x)是定义在R上的两个函数，若对任意x∈[a, b]，都有|f(x)−g(x)|≤1成立，则称f(x)和g(x)在[a, b]上是“密切函数”．若f(x)=x2−3x+4与g(x)=2x+t在[2, 3]上时“密切函数”，则实数t的取值范围是（）A [−3, −1]B [−234, −54] C [−54, −1] D [−3, −54]二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分)11. 某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分为6组：[40, 50),[50, 60),[60, 70),[70, 80),[80, 90),[90, 100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图，已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为________．12. 等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，若双曲线C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，|AB|=4√3，则双曲线C的实轴长为________．13. 在△ABC中，角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，若a2+b2=2c2，则cosC的最小值等于________．14. 已知f(x, y)=2x−y+2，某公司的QQ在线等级计算方法如下：设等级为n级需要的天数为a n(n∈N∗)，a1=5，a2=12，a3=f(a2, a1)=21，a4=f(a3, a2)=32，a5=f(a4, a3)=45，…，根据以上事实，由归纳推理可得，当n≥3时，a n=f(a n−1, a n−2)=________．（用n表示）15. 若式子σ(a, b, c)对任意a，b，c∈R，都有σ(a, b, c)=σ(c, a, b)，则称σ(a, b, c)为轮换对称式，给出如下三个式子：①σ(a, b, c)=abc；②σ(a, b, c)=a2−b2+c2；③σ(A, B, C)=cosC⋅cos(A−B)−cos2C（A，B，C是△ABC的内角）．则其中所有轮换对称式的序号是________．三、解答题（本大题共6小题，共75分）16. 已知向量a →=(cosωx −sinωx, sinωx)，b →=(−cosωx −sinωx, 2√3cosωx)(ω>0)，函数f(x)=a →⋅b →的最小正周期为2π． （1）求ω的值；（2）将函数y =f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y =g(x)的图象，求函数y =g(x)在区间[0, π2]上的取值范围．17. 等比数列{a n }的各项均为正数，且2a 1+3a 2=1，a 32=9a 2a 6，设b n =log 13a n ，n ∈N ∗．（1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（2）设{b n }的前n 项和为S n ，求数列{1S n }(n ∈N ∗)的前n 项和T n ．18. 在如图所示的几何体中，PO ⊥平面ABCD ，点O 在AB 上，EA // PO ，四边形ABCD 为直角梯形，BC ⊥AB ，PO =OB =BC =CD ，EA =AO =12CD ．（1）求证：PE ⊥平面PBC ；（2）求二面角E −BD −A 的余弦值．19. “辽宁舰”是中国第一艘航母，为保证航母的动力安全性，拟增加运用某项新技术，该项新技术要进入试用阶段前必须对其中的三项不同指标甲、乙、丙进行量化检测，已知各项指标检测结果互不影响，且指标甲、乙、丙检测合格的概率分别为34、23、12．记指标甲、乙、丙合格分别得4分、2分、4分，某项指标不合格，则该项指标得0分． （1）求该项新技术量化得分不低于8分的概率；（2）记该项新技术的三项指标甲、乙、丙量化检测得分之和为随机变量X ，求X 的分布列与数学期望E(X)．20. 已知椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(−1, 0)，F 2(1, 0)，点(1, e)在椭圆上，其中e 为椭圆的离心率． （1）求椭圆C 的方程；（2）设A 、B 是椭圆上位于x 轴上方的两点，且直线AF 1与直线BF 2平行，AF 2与BF 1交于点P ．试用|AF 1|，|BF 2|表示|PF 1|+|PF 2|，并证明|PF 1|+|PF 2|是定值． 21. 已知函数f(x)=e x （e =2.71828…是自然对数的底数），x ∈R ． （1）求函数y =f(x)的图象过原点的切线方程；（2）设x >0，讨论曲线y =f(x)与曲线y =mx 2(m >0)公共点的个数； （3）设a <b ，证明f(a)+f(b)2>f(b)−f(a)b−a．2014年山东省聊城市高考数学二模试卷（理科）答案1. C2. A3. A4. B5. B6. D7. D8. B9. C 10. D 11. 480 12. 4 13. 1214. n(n +4) 15. ①③16. 解：（1）函数f(x)=a →⋅b →=(cosωx −sinωx)⋅(−cosωx −sinωx)+sinωx ⋅2√3cosωx =sin 2ωx −cos 2ωx +√3sin2ωx =−cos2ωx +√3sin2ωx =2sin(2ωx −π6)，再根据f(x)的周期为2π，可得2π2ω=2π，∴ ω=12，故f(x)=2sin(x −π6)．（2）将f(x)=2sin(x −π6)图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y =g(x)=2sin(2x −π6)的图象， ∵ 0≤x ≤π2，∴ −π6≤2x −π6≤5π6，∴ sin(2x −π6)∈[−12, 1]，∴ g(x)∈[−1, 2]．17. 解：（1）设数列{a n }的公比为q ，由a 32=9a 2a 6得a 32=9a 42，所以q 2=19，由条件可知各项均为正数，所以q =13， 由2a 1+3a 2=1得2a 1+3a 1q =1，所以a 1=13 所以数列{a n }的通项式为a n =13⋅13n−1=13n ，则b n =log 13a n =n ；（2）由（1）得，S n =1+2+3+...+n =n(1+n)2，所以1S n=2n(n+1)=2(1n −1n+1)，所以T n =2[(1−12)+(12−13)+(13−14)+...+(1n−1n+1)]=2(1−1n+1)=2nn+1．18. （1）证明：EA // OP ，AO ⊂平面ABP ， ∴ 点A ，B ，P ，E 共面，∵ PO ⊥平面ABCD ，PO ⊂平面PEAB ，∴ 平面PEAB ∩平面ABCD =AB ， ∴ BC ⊥平面PEAB ，∴ PE ⊥BC ， 取OP 中点F ，连接EF ，∵ EA =AO =12CD ，OP =CD ，∴ EA =OF ，∴ EFOA 是平行四边形， ∵ PO ⊥平面ABCD ， ∴ OP ⊥AB ，∴ EFOA 是正方形， ∴ EF ⊥PF ， ∵ EF =PF ， ∴ ∠EPF =45∘，∵ PO =OB ，OP ⊥AB ， ∴ ∠OPB =45∘， ∴ ∠EPB =90∘， ∴ PE ⊥PB∴ PE ⊥平面PBC ．（2）解：由已知知四边形BCDO 是正方形，OD 、OB 、OP 两两垂直， 如图建立空间直角坐标系，设DC =1， 则B(0, 1, 0)，D(1, 0, 0)，E(0, −0.5, 0.5)， 设平面BDE 的一个法向量为n 1→=(x, y, z)，BD →=(1, −1, 0)，BE →=(0, −1.5, 0.5)，∴ {x −y =0−1.5y +0.5z =0，取y =1，则x =1，z =3，从而n 1→=(1, 1, 3)． 取平面ABD 的一个法向量为n 2→=(0, 0, 1)． cos <n 1→，n 2→>=3√1111， 故二面角E −BD −A 的余弦值为3√1111． 19. 解：（1）记该项新技术的三项指标甲、乙、丙检测合格分别为A ，B ，C ， 则事件“得分不低于8分”表示为ABC +AB ¯C ， ∵ ABC 与AB ¯C 为互斥事件，且A ，B ，C 彼此独立， ∴ 该项新技术量化得分不低于8分的概率为： P(ABC +AB ¯C)=34×23×12+34×13×12=38．（2）该项新技术的三项指标甲、乙、丙量化检测得分之和为随机变量X ，由题意知X =0，2，4，6，8，10， P(X =0)=P(A ¯B ¯C ¯)=14×13×12=124， P(X =2)=P(A ¯BC ¯)=14×23×12=112，P(X =4)=P(AB ¯C ¯)+P(A ¯B ¯C)=34×13×12+14×13×12=16，P(X =6)=P(ABC ¯)=+P(A ¯BC)=34×23×12+14×23×12=13，P(X =8)=38，P(X =10)=14EX =0×124+2×112+4×16+6×13+8×18+10×14=193．20. 解：（1）由题设知c =1，由点(1, e)在椭圆上，得1a 2+e 2b 2=1，∴ b =1，a =√2．∴ 椭圆的方程为x 22+y 2=1．（2）∵ 直线AF 1与直线BF 2平行，∴ 设AF 1与BF 2的方程分别为x +1=my ，x −1=my ． 设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，y 1>0，y 2>0，∴ 由{x 122+y 12=1x 1+1=my 1，可得(m 2+2)y 12−2my 1−1=0． ∴ y 1=m+√2m 2+2m 2+2，∴ |AF 1|=√m 2+1×|0−y 1|=√2(m 2+1)+m√m 2+1m 2+2① 同理|BF 2|=√2(m 2+1)−m√m 2+1m 2+2②∵ 直线AF 1与直线BF 2平行，∴ PB PF 1=BF 2AF 1，即PF 1=AF1AF 1+BF 2×BF 1．由点B 在椭圆上知，BF 1+BF 2=2√2，∴ PF 1=AF 1AF 1+BF 2×(2√2−BF 2)．同理PF 2=BF 2AF 1+BF 2×(2√2−AF 1)．∴ |PF 1|+|PF 2|=AF 1AF 1+BF 2×(2√2−BF 2)+BF 2AF 1+BF 2×(2√2−AF 1)=2√2−2AF 1×BF 2AF 1+BF 2．由①②得，|AF 1|+|BF 2|=2√2(m 2+1)m 2+2，|AF 1||BF 2|=m 2+1m 2+2，∴ |PF 1|+|PF 2|=3√22． ∴ PF 1+PF 2是定值．21. （1）解：设切线方程为y =kx ，切点为(x 0, y 0)，则{kx 0=e x 0k =e x 0∴ x 0=1，k =e ，∴ 函数y =f(x)的图象过原点的切线方程为y =ex ； （2）解：当x >0，m >0时，令f(x)=mx 2，化为m =e x x 2，令ℎ(x)=e x x 2(x >0)，则ℎ′(x)=e x (x−2)x 3，则x ∈(0, 2)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减；x ∈(2, +∞)时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增． ∴ 当x =2时，ℎ(x)取得极小值即最小值，ℎ(2)=e 24．∴ 当m ∈(0, e 24)时，曲线y =f (x) 与曲线y =mx 2(m >0)公共点的个数为0； 当m =e 24时，曲线y =f (x) 与曲线y =mx 2(m >0)公共点的个数为1； 当m >e 24时，曲线y =f (x) 与曲线y =mx 2(m >0)公共点个数为2．（3）证明：f(a)+f(b)2>f(b)−f(a)b−a=(b−a+2)+(b−a−2)e b−a2(b−a)e a ，令g(x)=x +2+(x −2)e x (x >0)，则g′(x)=1+(x −1)e x ． g ′′(x)=xe x >0，∴ g′(x)在(0, +∞)上单调递增，且g′(0)=0， ∴ g′(x)>0，∴ g(x)在(0, +∞)上单调递增，而g(0)=0，∴ 在(0, +∞)上，有g(x)>g(0)=0．∵ 当x>0时，g(x)=x+2+(x−2)⋅e x>0，且a<b，∴ (b−a+2)+(b−a−2)e b−a2(b−a)e a>0，即当a<b时，f(a)+f(b)2>f(b)−f(a)b−a．。

2014年江西省重点中学协作体高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集U =R ，集合A ={x|y =log 2(1−x)}，B ={x||x|<a, a ∈R}，(∁U A)∩B =⌀，则实数a 的取值范围是（ ）A (−∞, 1)B (−∞, 1]C (0, 1)D (0, 1] 2. 函数y =√x+11x的定义域是（ ）A [−1, 0)∪(0, 1)B [−1, 0)∪(0, 1]C (−1, 0)∪(0, 1]D (−1, 0)∪(0, 1) 3. 已知i 为虚数单位，若复数z 满足z(i −2)=1+2i ，则z 的共轭复数是（ ） A i B −i C 35i D −35i4. 关于统计数据的分析，有以下几个结论，其中正确的个数为（ ） ①将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，期望与方差均没有变化； ②在线性回归分析中，相关系数r 越小，表明两个变量相关性越弱；③已知随机变量ξ服从正态分布N(5, 1)，且P(4≤ξ≤6)=0.6826，则P(ξ>6)=0.1587； ④某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人．为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中的青年职工为7人，则样本容量为15人．A 1B 2C 3D 45. 已知锐角α，β满足：sinα−cosα=16，tanα+tanβ+√3tanα⋅tanβ=√3，则α，β的大小关系是（ ）A α<βB α>βC π4<α<β D π4<β<α 6. 程序框图如图所示，该程序运行后输出的S 的值是（ ）A 3B 12C −13D −27. 等比数列{a n }是递减数列，其前n 项积为T n ，若T 12=4T 8，则a 8⋅a 13=( ) A ±1 B ±2 C 1 D 2 8. 已知在二项式(√x 3−√x)n的展开式中，仅有第9项的二项式系数最大，则展开式中，有理项的项数是( )A 1B 2C 3D 49. 已知函数f(x)=√2x −x 2，Q(1, 0)，过点P(−1, 0)的直线l 与f(x)的图象交于A ，B 两点，则S △QAB 的最大值为（ ） A 1 B 12 C 13 D √2210. 如图，过原点的直线l 与圆x 2+y 2＝1交于P ，Q 两点，点P 在第一象限，将x 轴下方的图形沿x 轴折起，使之与x 轴上方的图形成直二面角，设点P 的横坐标为x ，线段PQ 的长度记为f(x)，则函数y＝f(x)的图象大致是（）A B C D二、选做题：请考生在下列两题中任选一题作答.若两题都做，则按所做的第一题评阅记分，本题共5分.（坐标系与参数方程选做题）11. 在极坐标系中，过点(2, π6)且垂直于极轴的直线的极坐标方程是（）A ρ=√3sinθB ρ=√3cosθC ρsinθ=√3D ρcosθ=√3（不等式选讲选做题）12. 若存在x∈R，使|2x−a|+2|3−x|≤1成立，则实数a的取值范围是（）A [2, 4]B (5, 7)C [5, 7]D (−∞, 5]∪[7, +∞)三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上.13. 已知|a→|=2，e→为单位向量，当a→，e→的夹角为2π3时，a→+e→在a→−e→上的投影为________．14. 若一组数据1，2，0，a，8，7，6，5的中位数为4，则直线y=ax与曲线y=x2围成图形的面积为________．15. 已知双曲线C1:x2a2−y2b2=1和双曲线C2:y2a2−x2b2=1，其中b>a>0，且双曲线C1与C2的交点在两坐标轴上的射影恰好是两双曲线的焦点，则双曲线C1的离心率是________．16. 对于定义在D上的函数f(x)，若存在距离为d的两条直线y＝kx+m1和y＝kx+m2，使得对任意x∈D都有kx+m1≤f(x)≤kx+m2恒成立，则称函数f(x)(x∈D)有一个宽度为d的通道．给出下列函数：①f(x)=1x；②f(x)＝sinx；③f(x)=√x2−1；④f(x)=lnxx其中在区间[1, +∞)上通道宽度可以为1的函数有________．四、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 如图，设P1，P2，…，P6为单位圆上逆时针均匀分布的六个点．现从这六个点中任选其中三个不同点构成一个三角形，记该三角形的面积为随机变量S．（1）求S=√32的概率；（2）求S的分布列及数学期望E(S)．18. 在△ABC中，2sin2AcosA−sin3A+√3cosA=√3．（1）求角A的大小；（2）已知a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若a=1且sinA+sin(B−C)=2sin2C，求△ABC的面积．19. 若数列{a n}的前n项和为S n，对任意正整数n都有6S n=1−2a n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若c1=0，且对任意正整数n都有c n+1−c n=log12a n，求证：对任意n≥2，n∈N∗都有1c2+1c3+...+1c n<34．20. 如图，四棱锥P−ABCD的底面ABCD是平行四边形，AD=2，AB=1，∠ABC=60∘，PA⊥面ABCD，设E为PC中点，点F在线段PD上且PF=2FD．（1）求证：BE // 平面ACF；（2）设二面角A−CF−D的大小为θ，若|cosθ|=√4214，求PA的长．21. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点F与抛物线y2=−4x的焦点重合，直线x−y+√22=0与以原点O为圆心，以椭圆的离心率e为半径的圆相切．（1）求该椭圆C的方程；（2）过点F的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的中点为G，AB的中垂线与x轴和y轴分别交于D，E两点．记△GFD的面积为S1，△OED的面积为S2．试问：是否存在直线AB，使得S1=S2？说明理由．22. 已知函数f(x)=(x−a)2lnx（其中a 为常数）．（1）当a ＝0时，求函数的单调区间；（2）当a ＝1时，对于任意大于1的实数x ，恒有f(x)≥k 成立，求实数k 的取值范围； （3）当0<a <1时，设函数f(x)的3个极值点为x 1，x 2，x 3，且x 1<x 2<x 3，求证：x 1+x 3>√e．2014年江西省重点中学协作体高考数学二模试卷（理科）答案1. B2. D3. A4. A5. B6. C7. D8. C9. B 10. B 11. D 12. C 13.3√77 14. 92 15.√5+1216. ①③④17. 解：（1）从这六个点中任选其中三个不同点构成一个三角形，共有C 63种不同的选法， 其中S =√32的为有一个角是30∘的三角形，共6×2=12种所以，P(S =√32)=12C 63=35．（2）S 的所有可能取值为√34，√32，3√34． S =√34的为顶角是120∘的等腰三角形（如△P 1P 2P 3），共6种，所以，P(S =√34)=6C 63=310．S =3√34的为等边三角形（如△P 1P 3P 5），共2种，所以，P(S =3√34)=2C 63=110，（ 8分）P(S =√32)=35，所以S 的分布列为ES =√34×310+√32×35+3√34×110=9√320．18. 解：（1）已知等式化简得：2sin2AcosA −sin3A +√3cosA =2sin2AcosA −sin(2A +A)+√3cosA=sin2AcosA −cos2AsinA +√3cosA =sinA +√3cosA=2sin(A +π3)=√3， ∴ sin(A +π3)=√32， ∵ A ∈(0, π)， ∴ A +π3∈(π3, 4π3)， ∴ A +π3=2π3，即A =π3；（2）∵ sinA +sin(B −C)=2sin2C ，∴ sin(B +C)+sin(B −C)=4sinCcosC ， ∴ 2sinBcosC =4sinCcosC ， ∴ cosC =0或sinB =2sinC ， ①当cosC =0时，C =π2，∴ B =π6，∴ b =atanB =√33， 则S △ABC =12ab =12×1×√33=√36； ②当sinB =2sinC 时，由正弦定理可得b =2c ，由余弦定理a 2=b 2+c 2−2bccosA ，即1=4c 2+c 2−2c 2，即c 2=13， 则S △ABC =12bcsinA =c 2sinA =13×√32=√36， 综上，△ABC 的面积为√36．19. 解：（1）当n =1时，6S 1=1−2a 1．解得a 1=18； 当n ≥2时，6S n =1−2a n ①，6S n−1=1−2a n−1②，①-②，化简得a na n−1=14，∴ {a n }是首项为18，公比为14的等比数列， ∴ a n =18⋅(14)n−1=(12)2n+1．（2）∵ c n+1−c n =log 12a n =2n +1，∴ 当n ≥2时，c n =(c n −c n−1)+(c n−1−c n−2)+...+(c 2−c 1)+c 1=(2n −1)+(2n −3)+...+3+0=n 2−1，∴ 1c n=1(n−1)(n+1)=12(1n−1−1n+1)，∴ 1c 2+1c 3+⋯+1c n=12(1−13+12−14+13−15+⋯+1n−2−1n +1n−1−1n+1)=12(1+12−1n −1n+1)=34−12(1n+1n+1)<34．20.（1）证明：∵ 由AD =2，AB =1，ABCD 是平行四边形，∠ABC =60∘，∴ AC =√4+1−2×2×1×cos60∘=√3， ∴ AB ⊥AC ．又∵ PA ⊥面ABCD ，∴ 以AB ，AC ，AP 分别为x ，y ，z 轴建立坐标系． 则A(0, 0, 0)，B(1, 0, 0)，C(0, √3, 0)，D(−1, √3, 0)， 设P(0, 0, c)，则E(0,√32，c 2)． 设F(x, y, z)，∵ PF =2FD ，∴ PF →=2FD →，即：(x,y,z −c)=2(−1−x,√3−y ，−z)． 解得：x =−23，y =2√33，z =c3，∴ F(−23，2√33，c3)．….. ∴ AF →=(−23,2√33,c3)，AC →=(0,√3,0)，BE →=(−1,√32,c2)． 设面ACF 的法向量为n →=(x,y,z)，则{−23x +2√33y +c3z =0y =0，取n →=(c,0,2)．因为n →⋅BE →=−c +c =0，且BE ⊄面ACF ， ∴ BE // 平面ACF ． …..（2）设面PCD 法向量为m →=(x,y,z)， ∵ PC →=(0,√3,−c)，PD →=(−1,√3,−c)， ∴ {√3y −cz =0−x +√3y −cz =0，取m →=(0,c,√3)． …..由|cosθ|=||n →||m →|˙|=√4214，得√3√c 2+4√c 2+3=√4214． 整理，得c 4+7c 2−44=0，解得c =2，∴ PA =2． …..21. 解：（1）依题意，得c =1，e =|0−0+√22|√2=12，即ca =12，∴ a =2，∴ b =1， ∴ 所求椭圆C 的方程为x 24+y 23=1．（2）假设存在直线AB ，使得S 1=S 2，由题意知直线AB 不能与x ，y 垂直， ∴ 直线AB 的斜率存在，设其方程为y =k(x +1)， 将其代入x 24+y 23=1，整整，得：(4k 2+3)x 2+8k 2x +4k 2−12=0，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则x 1+x 2=−8k 24k 2+3，y 1+y 2=6k4k 2+3， ∴ G(−4k 24k 2+3,3k4k 2+3)，∵ DG ⊥AB ， ∴3k 4k 2+3−4k 24k 2+3×k =−1，解得x D =−k 24k 2+3，即D(−k 24k 2+3, 0)，∵ △GFD ∽△OED ，∴ |GF||OE|=|DG||OD|，∴ |GF||OE|⋅|DG||OD|=(|DG||OD|)2， 即S 1S 2=(|DG||OD|)2，又∵ S 1=S 2，∴ |GD|=|OD|，∴ √(−k 24k 2+3−−4k 24k 2+3)2+(3k4k 2+3)2=|−k 24k 2+3|， 整理得8k 2+9=0，∵ 此方程无解， ∴ 不存在直线AB ，使得S 1=S 2．22. f′(x)=x(21nx−1)ln2x．令f′(x)0可得x=√e，∴ 函数在(0, 1)，(1, √e)上函数单调递减，在(√e, +∞)上函数单调递增，∴ 单调减区间为(0, 1)，(1, √e)；增区间为(√e, +∞)；x>1时，f(x)≥k，即(x−1)2−klnx≥0成立，令g(x)＝(x−1)2−klnx，则g′(x)=2x2−2x−kx，∵ x>1，∴ 2x2−2x＝2x(x−1)>0①k≤0，g′(x)>0，∴ g(x)在(1, +∞)上是增函数，∴ x>1时，g(x)>g(1)＝0，满足题意；②k>0时，令g′(x)＝0，解得x1=1−√1+2k2<0，x2=1+√1+2k2>1，∴ x∈(1, x2)，g′(x)<0，g(x)在(1, x2)上是减函数，∴ x∈(1, x2)，g(x)<g(1)＝0，不合题意，舍去，综上可得，k≤0；由题，f′(x)=(x−a)(21nx+ax−1)ln2x对于函数ℎ(x)＝2lnx+ax −1，有ℎ′(x)=2x−ax2∴ 函数ℎ(x)在(0, a2)上单调递减，在(a2, +∞)上单调递增∵ 函数f(x)有3个极值点x1<x2<x3，从而ℎmin(x)＝ℎ(a2)＝2ln a2+1<0，所以a<√e，当0<a<1时，ℎ(a)＝2lna<0，ℎ(1)＝a−1<0，∴ 函数f(x)的递增区间有(x1, a)和(x3, +∞)，递减区间有(0, x1)，(a, 1)，(1, x3)，此时，函数f(x)有3个极值点，且x2＝a；∴ 当0<a<1时，x1，x3是函数ℎ(x)=21nx+ax−1的两个零点；即有{21nx1+ax1−1=021nx3+ax3−1=0，消去a有2x1lnx1−x1＝2x3lnx3−x3令g(x)＝2xlnx−x，g′(x)＝2lnx+1有零点x=√e ，且x1<√e<x3∴ 函数g(x)＝2xlnx−x在√e )上递减，在(√e上递增证明x1+x3>√2e ⇔x3>√2e−x1⇔g(x3)>g(√2e−x1)∵ g(x1)＝g(x3)，∴ 即证g(x1)>g(√2e−x1)构造函数F(x)＝g(x)>g(√2e −x)，则F(√e)＝0只需要证明x∈(0, √e]单调递减即可．而F′(x)＝2lnx+2ln(√ex)+2，F″(x)>0，∴ F′(x)在√e ]上单调递增，∴ F′(x)<F(√e)=0∴ 当0<a<1时，x1+x3>√e．。

2014年数学二模答案（理科）1.B2.A3.A4.D5.D6. A7.C8.B9.A 10. A 11.C 12.B13. 2π14. -2 15. 3-6 16. ①②③17.解：（Ⅰ）由题意21=-+n n a a ，所以数列{}n a 为等差数列， 1 分n n na n n na S n -+=⨯-+=21122)1( 2 分729,306,124191614+=+=+=a S a S a S所以)729)(124()306(1121++=+a a a 解得11=a 4 分所以12-=n a n ， 2n S n = 6 分（Ⅱ）由题意)156(2121562n n n n b n +=+=，*N n ∈ 7 分 令x x x x x f 156221)156(21)(⋅⋅≥+=，当且仅当x x 156=时取等 8 分当12=n 时，225)1215612(2112=+=b当13=n 时，225)1315613(2113=+=b 10 分所以12=n 或13=n 时，数列{}n b 的最小项是225。

12 分18.（1）设代表队共有n 人，则n 50165=，160=∴n 则季军队的男运动员人数为()203020303030160=++++-. …………2分 （2）ξ可以取的值为0，1，2 …………3分()()1061,10302512132523======C C C P C C P ξξ，()10122522===C C P ξ. …………5分所以ξ的分布列为…………6分8.0101210611030=⨯+⨯+⨯=ξE …………7分（3）试验的全部结果所构成的区域为()}{40,40,≤≤≤≤=Ωy x y x ，面积为1644=⨯=ΩS ， …………8分 事件A 表示运动员获得奖品，所构成的区域为()⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤≥=40,40,41,2y x x y y x A ， …………9分 阴影面积为316341414342=⋅==⎰x dx x S 阴， …………11分所以()321631611=-=-=ΩS S A P 阴. …………12分19.（1）证明：取AD 中点O ，连接OG 、OE ，为等腰三角形ADE ∆ADOE ⊥∴……………1分ADE ，ABCD 平面平面又⊥AD ADE ABCD =平面平面 ， AED OE 平面且⊂ABCD OE 平面⊥∴ ……………..3分CD EF AB //// ， 且O 、G 分别是AD 、BC 的中点 EF OG EF ，OG ==∴3//且是平行四边形四边形OGFE ∴FG OE //∴ ……………..4分ABCD FG 平面⊥∴ . ……………..5分 （2）连接OB ,在602=∠==∆DAB ，AB ，AD ABD 中，是等边三角形ADB ∆∴，即AD OB ⊥.由（1）知，ABCD OE 平面⊥，分别以OA 、OB 、为轴轴轴、z 、y x 建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,1A ，()0,3,0B ，C()0,0,1-D ，()1,0,0E ，利用2==及()0,32,3-C 、⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1,233,23F ， …………….6分 设平面BDF 的法向量()z y x n ,,=，则2323=++-=⋅z y x BF n03=--=⋅y x BD n ，令1=y ，则3-=x ，32-=z ，即()32,1,3--=4 ……………8分同理可求平面的BDE 法向量为()3,1,3-= ……………10分147,cos -< ……………11分14189的正弦值为二面角E BD F --∴. ……………12分20.解：（Ⅰ）如图，设221122(2)(2)A x x B x x ，，，，把22+=x y 代入22y x =得012=--x x ． ……………1分由韦达定理得121=+x x ． ……………2分∴21=M x ， ……………3分N 点的坐标为)21,21(． ……………5分（Ⅱ）假设存在以为AB 直径的圆过点N ．则有0=⋅把2y kx =+代入22y x =得2220x kx --=．由韦达定理得121212kx x x x +==-， ． ……………6分∴1224N M x x k x x +===，∴N 点的坐标为248k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，． ……………7分22221122224848k k k k NA x x NB x x ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，则)82)(82()4)(4(22222121k x k x k x k x --+--=⋅222212124441616k k k k x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-- ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=)]4)(4(41)[4)(4(2121k x k x k x k x +++-- 22313164k k ⎛⎫⎛⎫=---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=0 ……………8分 21016k --<，23304k ∴-+=，解得2=k ． ……………9分则圆心M 点的坐标为（3,21） ……………10分 2122124)(1||x x x x k AB -++==555=⋅=R 2 ……………11分所以圆的方程为425)3()21(22=-+-y x ……………12分21. （1）=')(x h 211-++x e x ， ……………1分令=)(x p 211-++x e x ，因为0≥x ，所以0)1(1)1()1(1)(222≥+-+=+-='x e x x e x p x x， ……………2分所以)(x p （即)(x h '）在),0[+∞上递增，所以0)0()(='≥'h x h ，所以)(x h 在),0[+∞上递增， ……………4分 所以1)0()(min ==h x h ……………5分 （2）设)(x g 的切点),(11y x ，)(x f 的切点),(22y x ，⎪⎩⎪⎨⎧==='111111)(x x e y x y e x g 解得⎪⎩⎪⎨⎧===e k e y x 111， ......7分所以⎪⎩⎪⎨⎧--===-=')1(ln 11)(2222222x a x y x y e a x x f ，∴2222)1(ln 1x x a x a x --=-，∴a x -=1ln 2，∴ae x -=12代入e a x 112=-得01=--ae e a ，令1)(--=ae e a p a e e a p a -=')(，)(a p 在)1,(-∞递减，在),1(+∞上递增 ......9分当)1,(-∞∈a 时，因为0)0(=p ，所以0=a ......10分当),1(+∞∈a 时，01)1(<-=p ，012)2(2>--=e e p ，所以21<<a ， 综上0=a 或21<<a ......12分22.AC 是切线∴EACB ∠=∠又 DC 是ACB ∠的平分线，DCB ACD ∠=∠，AFD ADF ACD EAC DCB B ∠=∠∴∠+∠=∠+∠, ......3分BE 是圆O 的直径，︒=∠∴90BAE︒=∠45ADF ......5分（2）EAC ACB B AC AB ∠=∠=∠∴=,由（1）得︒=∠=∠+∠+∠=∠+∠∴︒=∠903,90B EAC ACE B AEB B BAE︒=∠∴30B......7分ACE ACB ACB EAC B ∆∴∠=∠∠=∠,,∽BCA ∆， ......9分3330tan =︒==AB AE BC AC ......10分23. （1）曲线C 的直角坐标方程为1422=+y x ......2分 所以参数方程为⎩⎨⎧==ααsin cos 2y x ，（α为参数） ......5分（2）2121ρρ=∆AOB S ，)cos 4sin )(sin 4cos (122222221θθθθρρ++= ......7分 4cos sin 16sin cos 174422θθθθ++=4sin cos 2)cos (sin 16sin cos 172222222θθθθθθ-++==]6425,41[41642sin 92∈+θ， ......9分当且仅当12sin =θ时即4πθ=时，54的最小值为AOB S ∆ ......10分24. 解：（Ⅰ）由题意0)3(416≥-+-a a43≤-+∴a a 1分当3≥a 时，43≤-+a a ，解得273≤≤a当30<<a 时，43≤-+a a ，解得30<<a当0≤a 时，43≤-+-a a ，解得021≤≤-a 4 分综上：}2721|{≤≤-=a a A 5 分（Ⅱ）由题意⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈27,21a令122)(2<-+-=t a t a g 恒成立 6 分)(a g 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈27,21a 单调递减)21(<-∴g 8 分 0122<-+∴t t33<<-∴t 10 分。