下载文档原格式
5、万有引力理论的成就一、教学目标1．知识与技能：(1)了解地球表面物体的万有引力两个分力的大小关系，计算地球质量；(2)行星绕恒星运动、卫星的运动的共同点：万有引力作为行星、卫星圆周运动的向心力，会用万有引力定律计算天体的质量；(3)了解万有引力定律在天文学上有重要应用。
2．过程与方法：(1)培养学生根据数据分析找到事物的主要因素和次要因素的一般过程和方法；(2)培养学生根据事件的之间相似性采取类比方法分析新问题的能力与方法；(3)培养学生归纳总结建立模型的能力与方法。
3．情感态度与价值观：(1)培养学生认真严禁的科学态度和大胆探究的心理品质；(2)体会物理学规律的简洁性和普适性，领略物理学的优美。
二、教学重点、难点1．教学重点及其教学策略：重点：地球质量的计算、太阳等中心天体质量的计算教学策略：通过数据分析、类比思维、归纳总结建立模型来加深理解。
2．教学难点及其教学策略：难点：根据已有条件求中心天体的质量教学策略：通过类比思维、归纳总结建立模型来加深理解。
三、设计思路通过数据分析找到地球表面物体万有引力与两个分力——重力和物体随地球自转的向心力的大小关系，得到结论向心力远小于重力，万有引力大小近似等于重力，从而推导地球质量的计算表达式。
通过对太阳系九大行星围绕太阳运动的分析，根据万有引力作为行星圆周运动的向心力，计算太阳的质量；进一步类比联想推理到月亮、人造卫星围绕地球圆周运动求地球质量等，最后归纳总结建立模型——中心天体质量的计算。
四、教学资源1．视频与课件《月球、人造卫星围绕地球运动》、《太阳系九大行星围绕太阳运动》、投影片；2．多媒体教学设备一套：可供实物投影、放像、课件播放等。
五、教学设计六课后反思《万有引力理论的成就》内容以理论推导为主，学生的兴趣调动主要是一些出乎学生意料之外的结果，新模型的建立过程，另外从万有引力理论的重大成就也可以激发学生学习物理的兴趣。
授课年级高一课题万有引力理论的成就课程类型新授课学习目标目标解读1.了解万有引力定律在天文学上的重要应用。
2.会用万有引力定律计算天体质量,了解“称量地球质量”“计算太阳质量”的基本思路。
3.认识万有引力定律的科学成就,体会科学思想方法。
课程分析重点难点掌握根据万有引力定律及相关知识求中心天体质量的方法。
教学设想本节属于应用性知识的教学内容,使万有引力定律在应用中得到进一步检验;通过教学使学生的思维能力得到进一步训练;教材的立意是使学生感受用物理理论探索未知世界的科学魅力,激发探究未知世界的兴趣。
教师在授课过程中应引导学生自觉养成科学探究的良好习惯,学习科学家们坚韧不拔的精神。
可以放手给学生,让学生互相帮助探究课本中的问题,学习教材内容后解答问题,真正以学生为学习主体。
课前准备研读教材，预计学生自主学习过程中可能出现的问题和疑难点。
导学过程设计程序设计学习内容学生行为教师行为教学手段新课导入创设情境地球很大很大,以至于我们人类怎样折腾地球,地球也不会因此动一下。
但再大的物体也有质量,地球的质量有多大?太阳的质量又有多大?我们怎么才能求出来?今天我们就来试着解决这些问题。
PPT展示视频第一层级学案导学课前完成学案导学部分教师课前认真批改学生学案，了解学生课前预习情况掌握学情基础交流学习小组抢答：1.通过计算天体的质量,说说开普勒第三定律中的常量k与哪些因素有关。
2.重力和万有引力是同一个力吗?。
3.行星围绕太阳做匀速圆周运动,太阳的引力提供行星做匀速圆周运动的向心力,请写出行星做匀速圆周运动的几个向心力公式。
教师总结并记分解答1:常量k与太阳(中心天体)的质量有关。
解答2:不是解答3:答:G=m=mω2r=m()2r=m(2πf)2r。
PPT展示交流的问题学生抢答教师总结并记分第二层级(小组讨论小组展示补充质疑教师点评)主题1：实验室中“称量”地球质量学生思考并讨论展示：导学案主题一教师点评：1.不考虑地球自转的影响,地面上物体受到的重力等于地球对物体的引力。
《万有引力理论的成就》教学设计【教材分析】教材首先通过“科学真是迷人”，在不考虑地球自转影响的情况下，认为地面上的物体所受重力和引力相等，进而得到只要知道了地球表面的重力加速度v和引力常量G，即可计算出地球的质量。
这种设计思路既给出了应用万有引力定律解决问题的一种思路，也展示了万有引力理论的魅力——“称量地球的质量”。
教材随后作为示范，以计算太阳质量为例，给出了运用万有引力定律计算天体质量的方法，思路清晰，表述规范。
最后从科学史的角度，简要介绍了亚当斯和勒维耶发现海王星的过程，都显示了万有引力理论的巨大成就。
因此，通过这一节课的学习，一方面要使学生了解运用万有引力定律解决问题的思路和方法，另一方面还要能体会到科学定律对人类探索未知世界的作用，激发学习兴趣和对科学的热爱之情。
【学情分析】学生在学习本节内容之前，已经学习了匀速圆周运动的相关知识，知道匀速圆周运动的向心力由合外力提供，初步掌握了利用牛顿第二定律和向心力表达式处理匀速圆周运动的方法。
在前一节又学习了万有引力定律，但不熟悉运用万有引力定律解决实际问题的思路和方法。
学生对天文学的研究方法相对比较陌生，不了解万有引力理论所取得的成就。
【教学设计思想】在本节课两条主线：一是引导和启发学生通过“称量地球的质量”，“计算天体的质量”的学习，明晰万有引力定律运用的思路和方法。
这是学生需要掌握的最基本的知识与技能。
二是通过“发现未知天体”、“成功预测彗星的回归”和“我国天文观测的成就”等史实材料的展示，提供给学生丰富的感性认识，让他们体会在科学技术高速发展的现时代，前辈科学家所做的巨大贡献和已经取得的成就的奠基作用，也让他们感觉到科学的美妙与科学定律发现的意义和价值，培养学生对科学的热爱。
这也是本教学设计的亮点所在，即最大限度地关注学生科学情感态度的培养和树立正确的科学价值观。
整体而言，教学着眼于学生的发展，注重三维目标的达成。
【三维目标】一、知识与技能1）会用万有引力定律计算天体的质量。
高中物理万有引力理论的成就教案 新课标 人教版 必修2知识与技能1．了解万有引力定律在天文学上的重要应用。
2． 会用万有引力定律计算天体质量。
3．理解并运用万有引力定律处理天体问题的思路和方法。
过程与方法1．通过万有引力定律推导出计算天体质量的公式。
2．了解天体中的知识。
情感态度与价值观1．通过推导，巩固前面所学的知识，使自己更好地了解天体中的物理。
2．体会万有引力定律在人类认识自然界奥秘中的巨大作用，让学生懂得理论来源于实践，反过来又可以指导实践的辩证唯物主义观点。
教学重点1． 万有引力定律在天文学上的应用，要掌握利用万有引力定律计算天体质量、天体密度的基本方法。
学好本节有利于对天体运行规律的认识，更有利于我们在今后学习人造卫星。
教学难点1．熟知并掌握计算天体质量的不同表达式，由于题目所给条各不相同，因此从多种表达式中挑选合适的形式较难，主要是对表达式的形式和含义不够熟悉，应理解并记住各种表达式。
教学过程新课教学一、由地面可测量求地球的质量1、思考：地面上物体的重力与地球对物体的引力是什么关系？分析：地球对物体的引力指向地心，一部分提供物体随地球自转所需向心力，另一部分为物体的重力。
只有在赤道和两极处物体的重力方向才指向地心，且赤道处物体的重力最小，两极处物体的重力最大；物体随地球自转的向心力很小，在计算时可近似认为物体的重力就等于地球对它的引力。
2、若不考虑地球自转的影响，地面上的物体的重力等于地球对它的引力。
mg ＝G 2Mm R g ＝G 2M R M ＝2gR G ρ＝M V ＝34g RG 例1、离地面某一高度h 处的重力加速度是地球表面重力加速度的 ,则高度h 是地球半径的 倍。
例2、假设火星和地球都是球体，火星的质量M火和地球的质量M 地之比M 火/M 地=p ，火星的半径R 火和地球的半径R 地之比R火/R 地=q ，那么火星表面处的重力加速度g 火和地球表面处的重力的加速度g 地之比等于[ ]A.p/q 2B.pq 2C.p/qD.pq二、由行星或卫星运动量求中心天体的质量行星或卫星绕中心天体做圆周运动的向心力由中心天体对它的引力提供，由此可列出方程。
人教版普通高中课程标准试验教科书物理必修2第六章第4节《万有引力理论的成就》教学设计一、教学分析1.教材分析本节课是《万有引力定律》之后的一节，内容是万有引力在天文学上的应用。
教材主要安排了“科学真是迷人”、“计算天体质量”和“发现未知天体”三个标题性内容。
学生通过这一节课的学习，一方面对万有引力的应用有所熟悉，另一方面通过卡文迪许“称量地球的质量”和海王星的发现，促进学生对物理学史的学习，并借此对学生进行情感、态度、价值观的学习。
2．教学过程概述本节课从宇宙中具有共同特点的几幅图片入手，对万有引力提供天体圆周运动的向心力进行了复习引入万有引力在天体运动中有什么应用呢？接下来，通过“假设你成为了一名宇航员，驾驶宇宙飞船……发现前方未知天体”，围绕“你有什么办法可以测出该天体的质量吗”全面展开教学。
密度的计算以及海王星的发现自然过渡和涉及。
在教材的处理上，既立足于教材，但不被教科书所限制，除了介绍教科书中重要的基本内容外，关注科技新进展和我国天文观测技术的发展，时代气息浓厚，反映课改精神，着力于培养学生的科学素养。
二、教学目标1.知识与技能（1）通过“计算天体质量”的学习，学会估算中数据的近似处理办法，学会运用万有引力定律计算天体的质量；（2）通过“发现未知天体”，“成功预测彗星的回归”等内容的学习，了解万有引力定律在天文学上的重要应用。
2.过程与方法运用万有引力定律计算天体质量，体验运用万有引力解决问题的基本思路和方法。
3.情感、态度、价值观（1）通过“发现未知天体”、“成功预测彗星的回归”的学习，体会科学定律在人类探索未知世界的作用；（2）通过了解我国天文观测技术的发展，激发学习的兴趣，养成热爱科学的情感。
三、教学重点1.中心天体质量的计算；2. “称量地球的质量”和海王星的发现，加强物理学史的教学。
四、教学准备实验器材、PPT课件等多媒体教学设备五、教学过程（一）、图片欣赏复习引入问题一：已知地球的质量M =6.0×1024kg,地球半径R =6.4×103km.请根据以上数据计算:(1)在赤道表面上质量为60 kg 的物体所受的重力及万有引力(2)该物体随地球自转所需的向心力.根据以上计算结果，在忽略地球自转的影响的情况下，你能得出什么结论？设计思想:学生通过计算比较既巩固了已学的知识,又理解了为什么可以忽略地球自转的影响。
第4节 万有引力理论的成就1．了解万有引力定律在天文学上的重要应用．2．了解“称量地球质量”“计算太阳质量”的基本思路，会用万有引力定律计算天体的质量．(重点)3．理解运用万有引力定律处理天体运动问题的思路和方法．(重点、难点)一、“科学真是迷人”1．依据：地球表面的物体，若不考虑地球自转，物体的重力等于地球对物体的万有引力，即mg ＝G Mm R2．2．结论：M ＝gR 2G ，只要知道g 、R 的值，就可计算出地球的质量．二、计算天体的质量 1．太阳质量的计算(1)依据：质量为m 的行星绕太阳做匀速圆周运动时，行星与太阳间的万有引力充当向心力，即G Mm r 2＝4π2mr T2．(2)结论：M ＝4π2r 3GT 2，只要知道行星绕太阳运动的周期T 和半径r 就可以计算出太阳的质量．2．行星质量的计算：同理，若已知卫星绕行星运动的周期T 和卫星与行星之间的距离r ，可计算行星的质量M ，公式是M ＝4π2r 3GT2．三、发现未知天体1．“笔尖下发现的行星”是指海王星．2．海王星的发现和哈雷彗星的“按时回归”确立了万有引力定律的地位．判一判 (1)天王星是人们直接应用万有引力定律计算出轨道而发现的．( ) (2)海王星是人们直接应用万有引力定律计算出轨道而发现的．( ) (3)哈雷彗星的“按时回归”证明了万有引力定律的正确性．( ) (4)牛顿被称作第一个称出地球质量的人．( )(5)若只知道某行星绕太阳做圆周运动的半径，则可以求出太阳的质量．( )(6)若知道某行星绕太阳做圆周运动的线速度和角速度，则可以求出太阳的质量．( ) 提示：(1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)× (6)√做一做 科学家们推测，太阳系有颗行星和地球在同一轨道上．从地球上看，它永远在太阳的背面，人类一直未能发现它，可以说是“隐居”着的地球的“孪生兄弟”．由以上信息我们可以推知( )A ．这颗行星的质量等于地球的质量B ．这颗行星的密度等于地球的密度C ．这颗行星的公转周期与地球公转周期相等D ．这颗行星的自转周期与地球自转周期相等提示：选C ．由题意知，该行星和地球一样绕太阳运行，且该行星、太阳、地球在同一直线上，说明该行星与地球有相同的公转周期，选项C 正确；但根据所给条件，无法进一步判断这颗行星与地球的自转周期、质量、密度是否相同．想一想 知道行星绕太阳运动的周期T 和轨道半径r 能计算出行星的质量吗？ 提示：不能，由G Mm r 2＝m 4π2T 2r 可得G M r 2＝4π2T 2r ，可见公式无法推导m ，行星绕太阳运动的周期T 和半径r 与行星质量无关．天体质量和密度的计算1．计算天体的质量以地球质量的计算为例，介绍两种计算天体质量的方法：(1)若已知地球的半径R 和地球表面的重力加速度g ，根据物体的重力近似等于地球对物体的引力．即mg ＝G M 地·m R 2，解得地球质量为M 地＝gR 2G ．(2)万有引力提供卫星绕地球做圆周运动的向心力．G Mm r 2＝⎩⎪⎨⎪⎧m ⎝⎛⎭⎫2πT 2r ⇒M ＝4π2r3GT 2，已知r 和T 可以求M ；m v 2r ⇒M ＝r v2G，已知r 和v 可以求M ；mω2r ⇒M ＝r 3ω2G，已知r 和ω可以求M ．2．计算天体的密度若天体的半径为R ，则天体的密度ρ＝M43πR 3将M ＝gR 2G 代入上式得：ρ＝3g4πGR将M ＝4π2r 3GT 2代入上式得：ρ＝3πr 3GT 2R3当卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r 等于天体半径R ，则ρ＝3πGT2．(1)计算天体的质量的方法不仅适用于地球，也适用于其他任何星体．明确计算出的是中心天体的质量．(2)要注意区分R 、r ．R 指中心天体的半径，r 指行星或卫星的轨道半径．若绕近地轨道运行，则有R ＝r ．命题视角1 “环绕法”求中心天体的质量和密度设“嫦娥三号”卫星距月球表面的高度为h ，做匀速圆周运动的周期为T ．已知月球半径为R ，引力常量为G ．求：(1)月球的质量M ；(2)月球表面的重力加速度g ； (3)月球的密度ρ．[解析] (1)万有引力提供“嫦娥三号”做圆周运动的向心力，则有G Mm （R ＋h ）2＝m 4π2T 2(R＋h )，得M ＝4π2（R ＋h ）3GT 2.(2)在月球表面，万有引力等于重力，则有G Mm 1R 2＝m 1g ，得g ＝4π2（R ＋h ）3R 2T 2.(3)由ρ＝M V ，V ＝43πR 3，得ρ＝3π（R ＋h ）3GT 2R 3.[答案] (1)4π2（R ＋h ）3GT 2 (2)4π2（R ＋h ）3R 2T 2 (3)3π（R ＋h ）3GT 2R 3命题视角2 “代换法”求天体的质量和密度为了研究太阳演化进程，需知道目前太阳的质量M ．已知地球半径R ＝6．4×106m ，地球质量m ＝6×1024 kg ，日地中心的距离r ＝1．5×1011 m ，地球表面处的重力加速度g 取10 m/s 2，1年约为3．2×107 s ，试估算目前太阳的质量M ．(结果保留一位有效数字，引力常量未知)[思路点拨] 根据太阳对地球的引力提供地球绕太阳做圆周运动(近似处理)的向心力列出相关方程，再根据地球表面物体的重力等于引力推出Gm ＝gR 2，联立求解．本题中引力常量未知，需利用地球表面上的物体找关系．[解析] 设T 为地球绕太阳运动的周期，根据万有引力提供向心力，即G Mm r 2＝m ⎝⎛⎭⎫2πT 2r ①对地球表面的物体m ′，有m ′g ＝G mm ′R2②联立①②两式，解得M ＝4π2mr 3gR 2T 2，代入已知数据得M ≈2×1030 kg.[答案] 2×1030 kg求天体的密度，关键在于求天体的质量，而求天体质量时主要利用万有引力定律处理天体运动的两条思路，同时要注意对题目隐含条件的挖掘，如绕星体表面运行时有r ＝R 星以及地球的公转周期、自转周期等．【通关练习】1．已知万有引力常量G ，那么在下列给出的各种情景中，能根据测量的数据求出月球密度的是( )A ．在月球表面使一个小球做自由落体运动，测出落下的高度H 和时间tB ．发射一颗贴近月球表面绕月球做圆周运动的飞船，测出飞船运行的周期TC ．观察月球绕地球的圆周运动，测出月球的直径D 和月球绕地球运行的周期T D ．发射一颗绕月球做圆周运动的卫星，测出卫星离月球表面的高度H 和卫星的周期T 解析：选B.根据选项A 的条件，可求出月球上的重力加速度g ，由g ＝GMR 2可以求出月球质量和月球半径的二次方比，M R 2＝gG ，无法求出密度，选项A 不正确；根据选项B 的条件，由GMm R 2＝m ⎝⎛⎭⎫2πT 2R ，可求出月球质量和月球半径的三次方比，M R 3＝4π2GT 2，而月球密度为ρ＝M 43πR 3＝3M 4πR 3＝3πGT 2，选项B 正确；根据选项C 的条件，无法求月球的质量，因而求不出月球的密度，选项C 不正确；根据选项D 的条件，由GMm （R ＋H ）2＝m ⎝⎛⎭⎫2πT 2(R ＋H )，可求出M （R ＋H ）3＝4π2GT 2，虽然知道H 的大小，但仍然无法求出月球质量和密度． 2．2018年2月，我国500 m 口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T ＝5．19 ms ，假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6．67×10－11N ·m 2/kg 2．以周期T 稳定自转的星体的密度最小值约为( ) A ．5×109 kg/m 3 B ．5×1012 kg/m 3 C ．5×1015 kg/m 3D ．5×1018 kg/m 3解析：选C.毫秒脉冲星稳定自转时由万有引力提供其表面物体做圆周运动的向心力，根据G Mm R 2＝m 4π2R T 2，M ＝ρ·43πR 3，得ρ＝3πGT2，代入数据解得ρ≈5×1015 kg/m 3，C 正确．解决天体运动问题的基本思路1．解决天体运动问题的两条思路 (1)万有引力提供向心力G Mm r 2＝ma 向＝m v 2r ＝mω2r ＝mωv ＝m 4π2T 2r ． (2)黄金代换在天体表面上，天体对物体的万有引力近似等于物体的重力，即GMmR 2＝mg ，从而得出GM ＝R 2g ．2．常用的几个关系式设质量为m 的天体绕另一质量为M 的中心天体做半径为r 的匀速圆周运动 G Mm r 2＝m v 2r ＝mrω2＝m 4π2T2r ＝ma n ，可推导出：⎭⎪⎬⎪⎫v ＝GMrω＝ GM r3T ＝2π r 3GM a n＝G Mr2⇒当r 增大时⎩⎪⎨⎪⎧v 减小ω减小T 增大a n减小即：对于r 、v 、ω、T 、a n 五个量“一定四定”，“一变四变”．应用万有引力定律求解时还要注意挖掘题目中的隐含条件，如地球公转一周时间是365天，自转一周是24小时，其表面的重力加速度约为9．8 m/s 2等．3．双星模型 如图所示，宇宙中有相距较近、质量可以相比的两个星球，它们离其他星球都较远，因此其他星球对它们的万有引力可以忽略不计．在这种情况下，它们将围绕它们连线上的某一固定点做周期相同的匀速圆周运动，这种结构叫做“双星”．4．双星模型的特点(1)两星的运行轨道为同心圆，圆心是它们之间连线上的某一点． (2)两星的向心力大小相等，由它们间的万有引力提供． (3)两星的运动周期、角速度都相同．(4)两星的运动轨道半径之和等于它们之间的距离，即r 1＋r 2＝L ． 命题视角1 运行天体的物理量的规律如图所示，在火星与木星轨道之间有一小行星带．假设该小行星带中的小行星只受到太阳的引力，并绕太阳做匀速圆周运动．下列说法正确的是( )A ．太阳对各小行星的引力相同B ．各小行星绕太阳运动的周期均小于一年C ．小行星带内侧小行星的向心加速度值大于外侧小行星的向心加速度值D ．小行星带内各小行星圆周运动的线速度值大于地球公转的线速度值[思路点拨] 解答本题的关键是能够根据太阳对行星的万有引力提供行星运动的向心力，列出相关动力学方程．[解析] 由于各小行星的质量和轨道半径不同，根据万有引力定律可知太阳对各小行星的引力不同，选项A 错误；太阳对小行星的万有引力提供小行星做圆周运动的向心力，由G Mm r2＝m ⎝⎛⎭⎫2πT 2r 可得T ＝4π2r 3GM，又小行星的轨道半径大于地球的轨道半径，可知各小行星绕太阳运动的周期均大于一年，选项B 错误；由G Mm r 2＝ma 可得a ＝GMr 2，可知小行星带内侧小行星的向心加速度值大于外侧小行星的向心加速度值，选项C 正确；由G Mmr 2＝m v 2r 可得v＝GMr，可知小行星带内各小行星做圆周运动的线速度值小于地球公转的线速度值，选项D 错误．[答案] C命题视角2 宇宙中的双星系统宇宙中两个相距较近的天体称为“双星”，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，但两者不会因万有引力的作用而吸引到一起．设两者的质量分别为m 1和m 2，两者相距为L ．求：(1)双星的轨道半径之比； (2)双星的线速度之比；(3)双星的角速度．[解析] 这两颗星必须各自以一定的速度绕某一中心转动才不至于因万有引力作用而吸引在一起，从而保持两星间距离L 不变，且两者做匀速圆周运动的角速度ω必须相同．如图所示，两者轨迹圆的圆心为O ，圆半径分别为R 1和R 2.由万有引力提供向心力，有：G m 1m 2L 2＝m 1ω2R 1①G m 1m 2L2＝m 2ω2R 2② (1)由①②两式相除，得：R 1R 2＝m 2m 1.(2)因为v ＝ωR ， 所以v 1v 2＝R 1R 2＝m 2m 1.(3)由几何关系知R 1＋R 2＝L ③ 联立①②③式解得ω＝G （m 1＋m 2）L 3.[答案] (1)m 2∶m 1 (2)m 2∶m 1 (3)G （m 1＋m 2）L 3命题视角3 万有引力定律在宇宙探测中的应用如图为宇宙中一个恒星系的示意图，A 为该星系的一颗行星，它绕中央恒星O 运行轨道近似为圆，天文学家观测到A 行星运动的轨道半径为R 0，周期为T 0．长期观测发现，A 行星实际运动的轨道与圆轨道总存在一些偏离，且周期性地每隔t 0时间发生一次最大的偏离，天文学家认为形成这种现象的原因可能是A 行星外侧还存在着一颗未知的行星B (假设其运行轨道与A 在同一平面内，且与A 的绕行方向相同)，它对A 行星的万有引力引起A 轨道的偏离．根据上述现象及假设，你能对未知行星B 的运动得到哪些定量的预测．[解析] 设中央恒星质量为M ，A 行星质量为m ，则有G Mm R 20＝m ⎝⎛⎭⎫2πT 02R 0. ①由题意可知：A 、B 相距最近时，B 对A 的影响最大，且每隔t 0时间相距最近，设B 行星周期为T B ，则有ωA t 0－ωB t 0＝2π，即t 0T 0－t 0T B ＝1，所以T B ＝t 0T 0t 0－T 0②设B 行星的质量为m 1，运动的轨道半径为R B ，则有 G Mm 1R 2B ＝m 1⎝⎛⎭⎫2πT B 2R B③由①②③可得：R B ＝R 0·3⎝ ⎛⎭⎪⎫t 0t 0－T 02由圆周运动的运动学知识： 行星B 的角速度ωB ＝2πT B ＝2π（t 0－T 0）T 0t 0，行星B 的线速度v B ＝ωB R B ＝2πR 0（t 0－T 0）T 0t 0·3⎝ ⎛⎭⎪⎫t 0t 0－T 02. [答案] 预测行星B 的轨道半径、运行周期以及运行线速度和角速度【通关练习】1．假设地球和火星都绕太阳做匀速圆周运动，已知地球到太阳的距离小于火星到太阳的距离，那么( )A ．地球公转的周期大于火星公转的周期B ．地球公转的线速度小于火星公转的线速度C ．地球公转的加速度小于火星公转的加速度D ．地球公转的角速度大于火星公转的角速度解析：选D.根据G Mm r 2＝m ⎝⎛⎭⎫2πT 2r ＝m v 2r ＝ma n ＝mω2r 得，公转周期T ＝2πr 3GM，故地球公转的周期较小，选项A 错误；公转线速度v ＝GMr，故地球公转的线速度较大，选项B 错误；公转加速度a n ＝GMr 2，故地球公转的加速度较大，选项C 错误；公转角速度ω＝GMr 3，故地球公转的角速度较大，选项D 正确． 2．为了探测引力波，“天琴计划”预计发射地球卫星P ，其轨道半径约为地球半径的16倍；另一地球卫星Q 的轨道半径约为地球半径的4倍．P 与Q 的周期之比约为( )A ．2∶1B ．4∶1C ．8∶1D ．16∶1解析：选C.由开普勒第三定律得r 3T 2＝k ，故T PT Q＝⎝⎛⎭⎫R P R Q 3＝⎝⎛⎭⎫1643＝81，C 正确．[随堂检测]1．(多选)1798年，英国物理学家卡文迪许测出引力常量G ，因此卡文迪许被人们称为“能称出地球质量的人”．若已知引力常量G ，地球表面处的重力加速度g ，地球半径R ，地球上一昼夜的时间T 1(地球自转周期)，一年的时间T 2(地球公转周期)，地球中心到月球中心的距离L 1，地球中心到太阳中心的距离L 2，能计算出( )A ．地球的质量M 地＝gR 2GB ．太阳的质量M 太＝4π2L 32GT 22 C ．月球的质量M 月＝4π2L 31GT 21 D ．月球、地球及太阳的密度解析：选AB.由G M 地m R 2＝mg 解得地球的质量M 地＝gR 2G ，选项A 正确；根据地球绕太阳运动的万有引力等于向心力G M 太M 地L 22＝M 地4π2T 22L 2，可得出太阳的质量M 太＝4π2L 32GT 22，选项B 正确；不能求出月球的质量和月球、太阳的密度，选项C 、D 错误．2．过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51 peg b ”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕．“51 peg b ”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的120．该中心恒星与太阳的质量比约为( )A ．110B ．1C ．5D ．10解析：选B.行星绕恒星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，由G Mm r 2＝mr ⎝⎛⎭⎫2πT 2可得M ＝4π2r 3GT 2，该中心恒星的质量与太阳的质量之比M M 日＝R 3R 3日·T 2日T2＝⎝⎛⎭⎫1203×365242≈1，故B 项正确．3．假设地球可视为质量均匀分布的球体．已知地球表面重力加速度在两极的大小为g 0，在赤道的大小为g ；地球自转的周期为T ，引力常量为G ．地球的密度为( )A ．3πGT 2g 0－g g 0B ．3πGT 2g 0g 0－gC ．3πGT 2D ．3πGT 2g 0g解析：选B.物体在地球的两极时，mg 0＝G Mm R 2，物体在赤道上时，mg ＋m ⎝⎛⎭⎫2πT 2R ＝G Mm R 2，地球质量M ＝43πR 3·ρ，以上三式联立解得地球的密度ρ＝3πg 0GT 2（g 0－g ）.故选项B 正确，选项A 、C 、D 错误．4．神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律．天文学家观测河外星系大麦哲伦星云时，发现了LMCX －3双星系统．它由可见星A 和不可见的暗星B 构成．两星视为质点，不考虑其他天体的影响，A 、B 围绕两者连线上的O 点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图所示．引力常量为G ，由观测能够得到可见星A 的速率v 和运行周期T ．(1)可见星A 所受暗星B 的引力F A 可等效为位于O 点处质量为m ′的星体(视为质点)对它的引力，试求m ′．设A 和B 的质量分别为m 1、m 2，试求m ′(用m 1、m 2表示)；(2)求暗星B 的质量m 2与可见星A 的速率v 、运行周期T 和质量m 1之间的关系式． 解析：(1)设A 、B 的圆轨道半径分别为r 1、r 2，由题意可知，A 、B 做匀速圆周运动的角速度相同，设其为ω.由牛顿运动定律，有F A ＝m 1ω2r 1，F B ＝m 2ω2r 2，F A ＝F B ．设A 、B 之间的距离为r ，又r ＝r 1＋r 2，由上述各式得 r ＝m 1＋m 2m 2r 1①由万有引力定律，有F A ＝G m 1m 2r 2，将①式代入得F A ＝G m 1m 32（m 1＋m 2）2r 21．令F A ＝G m 1m ′r 21，比较可得m ′＝m 32（m 1＋m 2）2．② (2)由牛顿第二定律，有 G m 1m ′r 21＝m 1v 2r 1③ 又因可见星A 的轨道半径r 1＝v T 2π④ 由②③④式解得m 32（m 1＋m 2）2＝v 3T 2πG ．答案：见解析[课时作业]一、单项选择题1．天文学家发现某恒星有一颗行星在圆形轨道上绕其运动，并测出了行星的轨道半径和运动周期，若知道比例系数G ，由此可推算出( )A ．行星的质量B ．行星的半径C ．恒星的质量D ．恒星的半径解析：选C.恒星对行星的引力为行星绕恒星运动提供向心力，即G Mm r 2＝mr 4π2T 2，故M ＝4π2r 3GT 2，恒星的质量M 可求出，选项C 正确，其他的几个物理量无法根据行星的轨道半径和运动周期求出，A 、B 、D 错误．2．若地球绕太阳的公转周期及公转轨道半径分别为T 和R ，月球绕地球的公转周期和公转轨道半径分别为t 和r ，则太阳质量与地球质量之比M 日M 地为( ) A ．R 3t 2r 3T 2B ．R 3T 2r 3t 2C ．R 3t 2r 2T3D ．R 2T 3r 2t3解析：选 A.无论地球绕太阳公转还是月球绕地球公转，统一表示为GMm r 2＝m 4π2T 2r ，即M ∝r 3T 2，所以M 日M 地＝R 3t 2r 3T2，选项A 正确．3．我国高分系列卫星的高分辨对地观察能力不断提高．2018年5月9日发射的“高分五号”轨道高度约为705 km ，之前已运行的“高分四号”轨道高度约为36 000 km ，它们都绕地球做圆周运动．与“高分四号”相比，下列物理量中“高分五号”较小的是( )A ．周期B ．角速度C ．线速度D ．向心加速度解析：选A.由万有引力定律有G Mm R 2＝mRω2＝m 4π2T 2R ＝m v 2R ＝ma ，可得T ＝2πR 3GM，ω＝GMR 3，v ＝GM R ，a ＝GMR2，又由题意可知，“高分四号”的轨道半径R 1大于“高分五号”的轨道半径R 2，故可知“高分五号”的周期较小，选项A 正确．4．通常我们把太阳系中行星自转一周的时间称为“1天”，绕太阳公转一周的时间称为“1年”．与地球相比较，金星“1天”的时间约是地球“1天”时间的243倍．由此可知( )A ．金星的半径约是地球半径的243倍B ．金星的质量约是地球质量的243倍C ．地球的自转角速度约是金星自转角速度的243倍D ．地球表面的重力加速度约是金星表面重力加速度的243倍解析：选C.金星自转一周的时间为“243天”，由ω＝2πT ，则地球的自转角速度约是金星自转角速度的243倍，选项C 正确；星球的半径、质量、表面重力加速度等根据所给数据无法计算，选项A 、B 、D 错误．5．天文学家如果观察到一个星球独自做圆周运动，那么就想到在这个星球附近存在着一个看不见的黑洞．星球与黑洞由万有引力的作用组成双星，以两者连线上某点为圆心做匀速圆周运动，那么( )A ．它们做圆周运动的角速度与其质量成反比B ．它们做圆周运动的周期与其质量成反比C ．它们做圆周运动的半径与其质量成反比D ．它们所受的向心力与其质量成反比解析：选C.由于该双星和它们的轨道中心总保持三点共线，所以在相同时间内转过的角度必相等，即它们做匀速圆周运动的角速度必相等，因此周期也必然相同，选项A 、B 错误；因为它们所受的向心力都是由它们之间的相互作用力来提供，所以大小必然相等，选项D 错误；由F ＝mω2r 可得r ∝1m，选项C 正确．6．“嫦娥三号”的环月轨道可近似看成是圆轨道．观察“嫦娥三号”在环月轨道上的运动，发现每经过时间t 通过的弧长为l ，该弧长对应的圆心角为θ(弧度)，如图所示．已知引力常量为G ，由此可推导出月球的质量为( )A ．l 3G θt 2B ．l 3θGt 2C ．l Gθt 2D ．l 2G θt2解析：选A.根据弧长及对应的圆心角，可得“嫦娥三号”的轨道半径r ＝lθ，根据转过的角度和时间，可得ω＝θt，由于月球对“嫦娥三号”的万有引力提供“嫦娥三号”做圆周运动的向心力，可得G Mm r 2＝mω2r ，由以上三式可得M ＝l 3G θt2.7．如图所示，若两颗人造卫星a 和b 均绕地球做匀速圆周运动，a 、b 到地心O 的距离分别为r 1、r 2，线速度大小分别为v 1、v 2，则( )A ．v 1v 2＝r 2r 1B ．v 1v 2＝r 1r 2C ．v 1v 2＝⎝⎛⎭⎫r 2r 12D ．v 1v 2＝⎝⎛⎭⎫r 1r 22解析：选A.由万有引力提供向心力可得G Mmr 2＝m v 2r ，即v ＝GMr ，所以有v 1v 2＝r 2r 1，故选项A 正确，B 、C 、D 错误．二、多项选择题8．要计算地球的质量，除已知的一些常识性数据外还需知道某些数据，下列给出的各组数据中，可以计算出地球质量的是( )A ．已知地球半径RB ．已知卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径r 和线速度vC ．已知卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度v 和周期TD ．已知地球公转的周期T ′及运转半径r ′解析：选ABC.设相对于地面静止的某一物体质量为m ，地球的质量为M ，根据地面上的物体所受万有引力和重力近似相等的关系得mg ＝G Mm R 2，解得地球质量为M ＝R 2gG ，所以选项A 正确．设卫星的质量为m ′，根据万有引力提供卫星运转的向心力，可得G Mm ′r 2＝m ′v 2r ，解得M ＝r v 2G ，故选项B 正确．再根据G Mm ′r 2＝m ′r ⎝⎛⎭⎫2πT 2，G Mm ′r 2＝m ′v 2r ，以上两式消去r 解得M ＝v 3T2πG ，故选项C 正确．若已知地球公转的周期T ′及运转半径r ′，只能求出地球所围绕的中心天体——太阳的质量，不能求出地球的质量，所以选项D 错误．9．2018年2月2日，我国成功将电磁监测试验卫星“张衡一号”发射升空，标志我国成为世界上少数拥有在轨运行高精度地球物理场探测卫星的国家之一．通过观测可以得到卫星绕地球运动的周期，并已知地球的半径和地球表面处的重力加速度．若将卫星绕地球的运动看做是匀速圆周运动，且不考虑地球自转的影响，根据以上数据可以计算出卫星的( )A ．密度B ．向心力的大小C ．离地高度D ．线速度的大小解析：选CD.卫星做圆周运动的向心力由万有引力提供，则有G Mm （R ＋h ）2＝m (2πT )2(R ＋h )，无法计算得到卫星的质量，更无法确定其密度及向心力大小，A 、B 项错误；又G Mm 0R 2＝m 0g ，联立两式可得h ＝3gR 2T 24π2－R ，C 项正确；由v ＝2πT (R ＋h )，可计算出卫星的线速度的大小，D 项正确．10．如图所示，a 、b 、c 是地球大气层外圈圆形轨道上运动的三颗卫星，a 和b 质量相等，且小于c 的质量，则( )A ．b 所需向心力最小B ．b 、c 的周期相同且大于a 的周期C ．b 、c 的向心加速度大小相等，且大于a 的向心加速度D ．b 、c 的线速度大小相等，且小于a 的线速度解析：选ABD.因卫星运动的向心力是由它们所受的万有引力提供，由F 向＝GMmr 2知b 所受的引力最小，故A 对．由GMm r2＝mrω2＝mr ⎝⎛⎭⎫2πT 2得T ＝2πr 3GM，即人造地球卫星运动的周期与其轨道半径三次方的平方根成正比，所以b 、c 的周期相等且大于a 的周期，B 对．由GMm r 2＝ma ，得a ＝GMr 2，即卫星的向心加速度与轨道半径的平方成反比，所以b 、c 的向心加速度大小相等且小于a 的向心加速度，C 错．由GMm r 2＝m v 2r，得v ＝GMr.即地球卫星的线速度与其轨道半径的平方根成反比，所以b 、c 的线速度大小相等且小于a 的线速度，D 对．三、非选择题11．如果在一个星球上，宇航员为了估测星球的平均密度，设计了一个简单的实验：他先利用手表记下了一昼夜的时间T ，然后用弹簧测力计测一个砝码的重力，发现在赤道上的重力为两极的90%．试写出星球平均密度的估算表达式．解析：设星球的质量为M ，半径为R ，两极表面重力加速度为g ′，平均密度为ρ，砝码的质量为m .砝码在赤道上失重ΔF ＝(1－90%)mg ′＝0．1mg ′表明在赤道上随星球自转做圆周运动的向心力 F n ＝ΔF ＝0．1mg ′而一昼夜的时间T 就是星球的自转周期．根据牛顿第二定律可得0．1mg ′＝m ⎝⎛⎭⎫2πT 2R ① 根据万有引力定律，星球两极表面的重力加速度为 g ′＝G M R 2＝43G πρR ②联立①②得，星球平均密度的估算式为ρ＝30πGT 2．答案：30πGT 212．一宇航员站在某质量分布均匀的星球表面上沿水平方向以速度v 0从高h 处抛出一个小球，测得小球落地时的水平位移为x ，已知该星球半径为R ，引力常量为G ．求：(1)该星球表面的重力加速度； (2)该星球的质量； (3)该星球的密度．解析：(1)在星球上小球做平抛运动 x ＝v 0t h ＝12gt 2 联立解得g ＝2h v 20x2．(2)因为星球表面的重力等于万有引力： mg ＝G MmR2则星球的质量为：M ＝gR 2G ＝2h v 20R2x 2G．(3)星球的密度为：ρ＝M43πR 3＝3h v 202x 2GR π． 答案：见解析。
6. 4万有引力理论的成就教课目的一、知识与技术1．认识万有引力定律在天文学上的重要应用。
2．会用万有引力定律计算天体质量。
3．理解并运用万有引力定律办理天体问题的思路和方法。
二、过程与方法1．经过万有引力定律推导出计算天体质量的公式。
2．认识天体中的知识。
三、感情、态度与价值观领会万有引力定律在人类认识自然界神秘中的巨大作用，让学生懂得理论根源于实践，反过来又能够指导实践的辩证唯心主义看法。
教课要点1．行星绕太阳的运动的向心力是由万有引力供给的。
2．会用已知条件求中心天体的质量。
教课难点依据中心天体对环绕它运动的行星的万有引力供给向心力计算中心天体的质量时，熟知并掌握计算天体质量的不一样表达式，在详细问题中能够从多种表达式中精选适合的形式进行计算。
教课过程一、导入新课发问：阿基米德以前说过一句名言“给我一个支点，我能够撬动地球” 。
给你一架天平，能否能够丈量地球的质量？我们如何能够获得地球的质量，经过本节课的学习就能解决这个问题。
二、新课教课（一）“科学真是迷人”教师活动：指引学生阅读教材“科学真切迷人”部分的内容，思虑以下问题：1.地面上的物体遇到几个力的作用？2.若忽视地球自转的影响，这几个力有什么关系？3.写出地球质量的表达式并说出式中各量的意义。
4.这类丈量地球质量的方法所利用的物理规律是什么？学生活动：阅读教材并小组议论，初步获得上边问题的答案。
教师活动：找小组同学代表回答以下问题，其余组同学对答案进行评论并增补。
教师经过总结，让学生领会科学定律对人类研究未知世界的作用，激发学生的好奇心和求知欲。
教师总结：① 科学的确特别迷人。
它把看似不行能的问题变成可能。
② 物理是一门应用科学，学习物理学的目的就是研究研究未知世界客观规律，从而更好的开发利用大自然。
教师提出问题：依据测地球质量的思路和方法以及前方所学知识，同学们可否想一下方法计算太阳的质量呢？（二）计算天体的质量教师活动：指引学生阅读教材“天体质量的计算”部分的内容，同时考虑以下问题：1.行星绕太阳做什么运动？中学阶段如何办理？2.行星的向心力是由什么力供给的？3. 已知行星的质量m、公转的轨道半径r 和公转的角速度ω，写出太阳质量的表达式。
64 万有引力理论的成就〖精讲精练〗 〖知识精讲〗知识点1、万有引力和重力（1）重力是由于地球的吸引而使物体受到的力，但重力不就是万有引力. （2）在地球两极上的物体所受重力等于地球对它的万有引力，mg=2R GMm; （3）在地球赤道上随地球自转的物体所受的重力为mg= 2R GMm -224T m R π;上式中224Tm Rπ是物体随地球自转做匀速圆周运动所需的向心力，由地球对物体m 的万有引力的一个分力来提供。
（4）若不考虑地球自转的影响，地面上质量为m 的物体所受重力mg 等于地球对物体的引力，即：mg= 2R GMm 式中M 为地球质量，R 为地球半径。
则：M=GgR 2.若地球平均密度为ρ，则： ρ=334R M π =GRgπ4. 若物体在离地高度为h 处，设该处重力加速度为g 1，则： m g 1=2)(h R GMm + ， g 1= 2)(h R GM+. 〖例1〗已知地球表面重力加速度为g ，地球半径为R ，万有引力常量为G ，用以上各量表示地球质量M= 。
〖思路分析〗本题考查的是地面上的物体重力mg 近似等于地球对它的万有引力，即：mg= 2R GMm 所以M=GgR 2〖答案〗M=GgR 2〖总结〗在中学中能与地球质量或密度相联系的应先想到万有引力定律。
〖变式训练1〗若取地球表面处的重力加速度g=9。
8m/s 2，地球半径取R=6。
4×106m ，根据万有引力定律计算地球的平均密度ρ。
〖答案〗ρ=5。
48×103kg/m 3 知识点2、计算中心天体的质量解决天体运动问题，通常把一个天体绕另一个天体的运动看作匀速圆周运动，处在圆心的天体称作中心天体，绕中心天体运动的天体称作运动天体，运动天体做匀速圆周运动所需的向心力由中心天体对运动天体的万有引力来提供。
ma T mr mr r mv r GMm ====2222)2(πω式中M 为中心天体的质量,Sm 为运动天体的质量,a为运动天体的向心加速度,ω为运动天体的角速度,T 为运动天体的周期,r 为运动天体的轨道半径.(1)天体质量的估算通过测量天体或卫星运行的周期T 及轨道半径r,把天体或卫星的运动看作匀速圆周运动.根据万有引力提供向心力,有22)2(T mr r GMm π=,得2324GTr M π= 注意:用万有引力定律计算求得的质量M 是位于圆心的天体质量(一般是质量相对较大的天体),而不是绕它做圆周运动的行星或卫星的m,二者不能混淆.用上述方法求得了天体的质量M 后,如果知道天体的半径R,利用天体的体积334R V π=,进而还可求得天体的密度.3233R GT r V M πρ== 如果卫星在天体表面运行,则r=R,则上式可简化为23GTπρ= 规律总结:① 掌握测天体质量的原理,行星(或卫星)绕天体做匀速圆周运动的向心力是由万有引力来提供的.② 物体在天体表面受到的重力也等于万有引力.③ 注意挖掘题中的隐含条件:飞船靠近星球表面运行,运行半径等于星球半径. (2)行星运行的速度、周期随轨道半径的变化规律研究行星（或卫星）运动的一般方法为：把行星（或卫星）运动当做匀速圆周运动，向心力来源于万有引力，即：2222)2(T mr mr r mv rGMm πω=== 根据问题的实际情况选用恰当的公式进行计算，必要时还须考虑物体在天体表面所受的万有引力等于重力，即mg RGMm=2（3）利用万有引力定律发现海王星和冥王星〖例2〗已知月球绕地球运动周期T 和轨道半径r ，地球半径为R 求（1）地球的质量？（2）地球的平均密度？ 〖思路分析〗（1） 设月球质量为m ，月球绕地球做匀速圆周运动，则：22)2(T mr r GMm π= ，2324GT r M π=（2）地球平均密度为3233334RGT r R M ππρ==答案：2324GT r M π= ； 3233RGT r πρ= 总结：①已知运动天体周期T 和轨道半径r ，利用万有引力定律求中心天体的质量。
4 万有引力理论的成就整体设计卡文迪许在实验室测出了引力常量，表明了万有引力定律同样适用于地面上的任意两个物体，用实验方法进一步证明了万有引力定律的普适性.同时,引力常量的测出,使得包括计算星体质量在内的关于万有引力定律的计算成为可能,使得万有引力定律有了真正的实用价值.因此万有引力理论的成就是本章的重点.万有引力定律在天文学上应用广泛,它与牛顿第二定律、圆周运动的知识相结合，可用来求解天体的质量和密度，分析天体的运动规律.万有引力定律与实际问题、现代科技相联系,可以用来发现新问题,开拓新领域.把万有引力定律应用在天文学上的基本方法是:将天体的运动近似看作匀速圆周运动处理,运动天体所需要的向心力来自于天体间的万有引力.因此,处理本节问题时要注意把万有引力公式与匀速圆周运动的一系列向心力公式相结合,就可推导出适用于天体问题的公式,并且在应用这些公式时,一定要正确认识公式中各物理量的意义.具体应用时根据题目中所给的实际情况,选择适当公式进行分析和求解.通过本节课的学习我们要掌握计算中心天体的质量的两种方法:一是利用中心天体表面物体所受的重力mg 等于中心天体对物体的引力,即mg=2R Mm G ,由此解出M=GgR 2;一是利用围绕中心天体运动的天体来求解,即r v m r GMm 22==mω2r=r Tm 224π来求解.天体的质量算出后,还可以利用ρ=VM 来求天体的密度. 教学重点运用万有引力定律计算天体的质量.教学难点在具体的天体运动中应用万有引力定律解决问题.课时安排1课时三维目标知识与技能1.了解万有引力定律在天文学上的重要应用.2.会用万有引力定律计算天体的质量.过程与方法1.理解运用万有引力定律处理天体问题的思路、方法,体会科学定律的意义.2.了解万有引力定律在天文学上的重要应用,理解并运用万有引力定律处理天体问题的思路方法.情感态度与价值观1.通过测量天体的质量、预测未知天体的学习活动,体会科学研究方法对人类认识自然的重要作用,体会万有引力定律对人类探索和认识未知世界的作用.2.通过对天体运动规律的认识,了解科学发展的曲折性,感悟科学是人类进步不竭的动力.教学过程导入新课故事导入在1781年3月13日,这是一个很平常的日子,晴朗而略带寒意的夜晚,英国天文学家威廉·赫歇尔（1738—1822）跟往常一样，在其妹妹加罗琳（1750—1848）的陪同下，用自己制造的口径为16厘米、焦距为213厘米的反射望远镜，对着夜空热心地进行巡天观测.当他把望远镜指向双子座时,他发现有一颗很奇妙的星星,乍一看像是一颗恒星,一闪一闪地发光,引起了他的怀疑.经过一段时间的观测和计算这后,这颗一直被看作是“彗星”的新天体,实际上是一颗在土星轨道外面的大行星——天王星.天王星被发现以后,天文学家们都想目睹这颗大行星的真面目.在人们观测和计算中,发现天王星理论计算位置与实际观测位置总有误差,就是这一误差,引起了人们对“天外星”的探究，并于1846年9月23日发现了太阳系的第八颗行星——海王星.海王星被称为“从笔尖上发现的行星”，原因就是计算出来的轨道和预测的位置跟实际观测的结果非常接近.你知道科学家在推测海王星的轨道时,应用的物理规律主要有哪些吗?情景导入“9·11”恐怖事件发生后，美国为了找到本·拉登的藏身地点，使用了先进的侦察卫星．据报道：美国将多颗最先进的KH11、KH12“锁眼”系列照相侦察卫星调集到中亚地区上空，“锁眼”系列照相侦察卫星绕地球沿椭圆轨道运动，近地点265 km（指卫星离地的最近距离）、远地点650km（指卫 星离地面的最远距离），质量13.6 t—18.2 t，这些照相侦察卫星上装有先进的CCD数字照相机，能够分辨出地面上0.1 m大小的目标，并自动地将照片转给地面接收站及指挥中心．由开普勒定律知道：如果卫星绕地球做圆周运动的圆轨道半径跟椭圆轨道的半长轴相等，那么，卫星沿圆轨道运动的周期跟卫星沿 椭圆轨道运动的周期相同．学习本节内容后,我们就可由上述数据估算这些“锁眼”系列侦察卫星绕地球运动的周期. 推进新课万有引力定律的发现,给天文学的研究开辟了一条新的道路.可以应用万有引力定律“称量”地球的质量，计算天体的质量，发现未知天体，这些累累硕果体现了万有引力定律的巨大理论价值.一、“科学真是迷人”教师：引导学生阅读教材“科学真是迷人”部分的内容，思考问题.课件展示问题:1.著名文学家马克·吐温曾满怀激情地说：“科学真是迷人，根据零星的事实，增添一点猜想，竟能获得那么多收获!”对此，你是怎样理解的？2.卡文迪许在实验室里测量几个铅球之间的作用力，测出了引力常量G 的值，从而“称量”出了地球的质量.测出G 后,是怎样“称量”地球的质量的呢？3.设地面附近的重力加速度g=9.8 m/s 2,地球半径R=6.4×106 m ，引力常量G=6.67×10-11N·m 2/kg 2,试估算地球的质量.学生活动：阅读课文，推导出地球质量的表达式，在练习本上进行定量计算.教师活动：让学生回答上述三个问题,投影学生的推导、计算过程,归纳、总结问题的答案,对学生进行情感态度教育.总结：1.自然界中万物是有规律可循的,我们要敢于探索,大胆猜想,一旦发现一个规律,我们将有意想不到的收获.2.在地球表面,mg=G gR M RGMm 22=⇒,只要测出G 来，便可“称量”地球的质量. 3.M=112621067.6)104.6(8.9-⨯⨯⨯=G gR kg=6.0×1024 kg. 通过用万有引力定律“称”出地球的质量，让学生体会到科学研究方法对人类认识自然的重要作用，体会万有引力定律对人类探索和认识未知世界的作用.我们知道了地球的质量,自然也想知道其他天体的质量,下面我们探究太阳的质量.二、计算天体的质量引导学生阅读教材“天体质量的计算”部分的内容，同时考虑下列问题.课件展示问题：1.应用万有引力定律求解天体的质量基本思路是什么?2.求解天体质量的方程依据是什么?学生阅读课文,从课文中找出相应的答案.1.应用万有引力求解天体质量的基本思路是：根据环绕天体的运动情况，求出向心加速度，然后根据万有引力充当心力，进而列方程求解.2.从前面的学习知道,天体之间存在着相互作用的万有引力,而行星(或卫星)都在绕恒星(或行星)做近似圆周的运动,而物体做圆周运动时合力充当向心力,这也是求解中心天体质量时列方程的根源所在.教师引导学生深入探究,结合课文知识以及前面所学匀速圆周运动的知识,加以讨论、综合,然后思考下列问题.问题探究1.天体实际做什么运动？而我们通常可以认为做什么运动？2.描述匀速圆周运动的物理量有哪些？3.根据环绕天体的运动情况求解其向心加速度有几种求法？4.应用天体运动的动力学方程——万有引力充当向心力，求出的天体质量有几种表达式？各是什么？各有什么特点？5.应用此方法能否求出环绕天体的质量？学生活动：分组讨论，得出答案.学生代表发言.1.天体实际是沿椭圆轨道运动的，而我们通常情况下可以把它的运动近似处理为圆形轨道，即认为天体在做匀速圆周运动.2.在研究匀速圆周运动时，为了描述其运动特征，我们引进了线速度v 、角速度ω、周期T三个物理量.3.根据环绕天体的运动状况，求解向心加速度有三种求法，即（1）a=r v 2 (2)a=ω2r (3)a=224Tπ·r 4.应用天体运动的动力学方程——万有引力充当向心力，结合圆周运动向心加速度的三种表达方式可得三种形式的方程，即（以月球绕地球运行为例）（1）若已知月球绕地球做匀速圆周运动的周期为T ，半径为r,根据万有引力等于向心力，即22)2(T r m r m GM π月月地=∙,可求得地球质量M 地=2324GT r π. （2）若已知月球绕地球做匀速圆周运动的半径r 和月球运行的线速度v ，由于地球对月球的引力等于月球做匀速圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律，得rv m r m M G 22月月地=∙. 解得地球的质量为M 地=rv 2/G .（3）若已知月球运行的线速度v 和运行周期T ，由于地球对月球的引力等于月球做匀速圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律，得2r m M G 月地∙=m 月·v·T π2. 2r m M G 月地∙=m 月v 2/r.以上两式消去r,解得M 地=v 3T/(2πG).5.从以上各式的推导过程可知，利用此法只能求出中心天体的质量，而不能求环绕天体的质量，因为环绕天体的质量同时出现在方程的两边，已被约掉.师生互动：听取学生代表发言，一起点评.综上所述，应用万有引力计算某个天体的质量，有两种方法：一种是知道这个天体的表面的重力加速度，根据公式M=GgR 2求解；另一种方法必须知道这个天体的一颗行星（或卫星）运动的周期T 和半径r.利用公式M=2324GTr π求解. 知识拓展天体的质量求出来了，能否求天体的平均密度？如何求？写出其计算表达式.展示学生的求解过程，作出点评、总结：1.利用天体表面的重力加速度来求天体的自身密度由mg=2R Mm G 和M=334R π·ρ 得：ρ=GR g π43 其中g 为天体表面重力加速度，R 为天体半径.2.利用天体的卫星来求天体的密度.设卫星绕天体运动的轨道半径为r ，周期为T ，天体半径为R ，则可列出方程：r Tm r Mm G 2224π= M=ρ·334R π 得ρ=32332323334/434R GT r R GT r R Mππππ== 当天体的卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r 等于天体半径R ，则天体密度为：ρ=23GT π. 例1 地球绕太阳公转的轨道半径为1.49×1011 m ，公转的周期是3.16×107 s ，太阳的质量是多少？解析：根据牛顿第二定律，可知：F 向=ma 向=m·(Tπ2)2r ① 又因为F 向是由万有引力提供的所以F 向=F 万=G·2r Mm ② 所以由①②式联立可得 M=kg GT r 27113112232)1016.3(1067.6)1049.1(14.344⨯⨯⨯⨯⨯⨯=-π=1.96×1030 kg. 答案：1.96×1030 kg说明：（1）同理，根据月球绕地球运行的轨道半径和周期，可以算出地球的质量是5.98×1024kg ，其他行星的质量也可以用此法计算.（2）有时题干不给出地球绕太阳的运动周期、月球绕地球运转的周期，但日常生活常识告诉我们：地球绕太阳一周为365天，月球绕地球一周为27.3天.课堂训练1.一颗行星上一昼夜时间T=6小时，用弹簧秤称一物体，发现在其赤道上的视重比在其两极的视重小10%，据此，求此行星的平均密度.解析：本题主要考查万有引力和重力的联系，物体放在两极称，重力即为万有引力,故2r Mm G =mg′，行星质量M=Gr g 2'.设该行星的半径为r,则该行星体积为334r π,该行星密度ρ=V M 所以ρ=r G g r G r g ππ4'334'32= ①在赤道称物体，视重小10%，即mg′×10%=mω2r 即r g '=10ω2=222240410TT ππ= ②将②式代入①得ρ=2112222)36006(1067.614.330304403⨯⨯⨯⨯==⨯-GT G T πππkg/m 3=3.03×103 kg/m 3. 答案：3.03×103 kg/m 32.经过用天文望远镜长期观测，人们在宇宙中已经发现了许多双星系统，双星系统由两个星体构成，其中每个星体的线度都远小于它们之间的距离，一般双星系统距离其他星体很远，可以当作孤立系统处理.现观察到一对双星A 、B 绕它们连线上的一点做匀速圆周运动，其周期为T ，A 、B 之间的距离为L ，它们的线速度之比v 1/v 2=2，试求这两个星体的质量. 解析：由题意知，彼此之间的万有引力对两者的运动有显著影响，提供它们做匀速圆周运动的向心力，因此可直接应用万有引力定律公式解题.双星A 、B 绕它们连线上的一点做匀速圆周运动，距离L 保持不变，故它们的角速度必定相等（设为ω），周期必相同，设为T ，其轨道半径不同，分别设为r 1、r 2，则有r 1+r 2=L ①ωω2121r r v v ==2 ②所以r 1=2r 2=L 32 ③ r 2=L r 31211= ④ 设它们的质量分别为M 1、M 2，则根据牛顿第二定律有：211221)2(T r M LM M G π= ⑤ 222221)2(T r M L M M Gπ= ⑥ 由④⑥式得A 星质量：M 1=23234GT L π ⑦ 由③⑤式得B 星质量：M 2=23238GTL π. ⑧ 答案：23234GT L π 23238GT L π 三、发现未知天体让学生阅读课文“发现未知天体”部分的内容，考虑以下问题：课件展示问题：1.应用万有引力定律除可计算天体的质量外，在天文学上还有何应用？2.应用万有引力定律发现了哪个行星？学生阅读课文，从课文中找出相应的答案.1.应用万有引力定律还可以用来发现未知天体.2.海王星就是应用万有引力定律发现的.阅读材料：1781年发现天王星后，许多国家的天文学家都对它进行不断的观察，结果发现，根据不同时间的资料算出来的天王星轨道各不相同，根本无法根据以前的观察资料预报天王星未来的位置.亚当斯天王星的“出轨”现象，引起了许多天文学家的思考：是星表有错？是牛顿力学的理论有误？还是有另外的未知行星在干扰？……天王星的“出轨”现象，也激发了法国青年天文爱好者勒维耶和英国剑桥大学学生亚当斯的浓厚兴趣，勒维耶经常到巴黎天文台去查阅天王星观察资料，并把这些资料跟自己理论计算的结果对比.亚当斯也不断到剑桥大学天文台去，他还得到一份英国皇家格林尼治天文台的资料，这使他的理论计算能及时跟观察资料比较.他们两人根据自己的计算结果，各自独立地得出结论：在天王星的附近，还有一颗新的行星！勒维耶笔尖下发现的行星——海王星1846年9月23日晚，德国的天文学家伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星，人们称其为“笔尖下发现的行星”，这就是海王星.凭借着万有引力定律，通过计算，在笔尖下发现了新的天体，这充分显示了科学理论的威力.问题探究1.地球表面上物体的重力和地球对物体的万有引力的关系是什么？2.地球表面物体的重力是否是恒定不变的？若变，怎么变？学生思考、交流、讨论，并尝试回答.教师活动：对学生的回答点评，引导学生准确地解决上述问题.明确：1.地球上物体的重力是由于地球的吸引而产生的，它并不等于万有引力.这是因为地球上的物体要随地球自转而做匀速圆周运动，设运动半径r是物体到地轴的距离，所需向心力大小为F需=mω2r,方向垂直指向地轴.物体随地球的自转所需的向心力是由地球对物体的引力的一个分力提供的，引力的另一个分力才是通常所说的物体受到的重力.2.地球上物体的重力会随纬度变化而变化.这里的原因有两个：一个是由于在不同纬度上物体随地球自转时的运动半径不同，因而所需的向心力有所不同；另一个是由于地球并不是一个理想的球体，从精确的测量可知，地球是一个极半径比赤道半径略小的椭球体，因而物体位于不同纬度上，地球对它的引力也就有所不同.所以随着纬度的增加，地球对物体的引力逐渐增大，物体随地球自转所需向心力逐渐减小，物体的重力逐渐增大.实际上，物体随地球自转所需的向心力最大也不过是地球对它引力的千分之几，所以在一般情况下，重力和重力加速度随纬度变化可忽略不计.在地球表面，物体重力mg 0=2R GMm ,g 0=2R GM ，但随高度增大，万有引力变为：2)(h R GMm + =mg′,g′=2)(h R GM +. 由此可看出物体随高度的增大其重力减小.例2 2003年10月15日9时，我国“神舟”五号宇宙飞船在酒泉卫星发射中心成功发射，把中国第一位航天员杨利伟送入太空.飞船绕地球14圈后，于10月16日6时23分安全降落在内蒙古主着陆场.这次成功的发射实现了中华民族千年的飞天梦想，标志着中国成为世界上第三个能够独立开展载人航天活动的国家，为进一步的空间科学研究奠定了坚实的基础.基于此问题情境，请完成下列问题.（1）飞船在升空过程中，要靠多级火箭加速推进.若飞船内悬挂一把弹簧秤，弹簧秤下悬吊0.5 kg 的物体，在火箭上升到某一高度时发现弹簧秤示数为9 N ，则此时火箭的加速度是多大？（g 取10 m/s 2)（2）遨游太空的杨利伟在航天飞船里可以见到多少次日落日出？（3）在太空微重力状态下，在太空舱内，下列测量仪器能否使用？请说明理由.A.液体温度计B.天平C.弹簧秤D.液体密度计解答：（1）飞船在升空过程中不断加速，产生超重现象.以物体为研究对象，物体在随火箭加速过程中，受到重力G 和弹簧秤对它的拉力T 两个力的作用，根据牛顿第二定律：F=ma 有T-G=ma 得到:a=(T-G)/m=8 m/s 2.（2）遨游太空的杨利伟随飞船绕地球运行14圈，所以他在航天飞船里可以见到14次日落日出.（3）在太空微重力状态下，在太空舱内，仪器能否使用，要看仪器的工作原理：A.因为液体温度计是根据液体的热胀冷缩的性质制成的，在太空舱内可以使用B.天平是根据杠杆原理制成的，在太空舱内，物体几乎处于完全失重状态，即微重力状态，所以杠杆在太空舱内不能工作，因此天平不能使用C.弹簧秤的工作原理是依据在弹簧的弹性限度内，弹力与弹簧长度的改变量成正比的规律制成的，在太空舱内，仍然可以使用它来测力.但是不能用它来测物体重力，正是因为这点，同学们有一个易犯的错误，误认为不能使用D.液体密度计是根据物体在液体中的浮力等于物体本身的重力的原理制成的，同B 的原因，故液体密度计不能使用课堂训练美国于2005年1月12日升空的“深度撞击”号探测器，在2005年7月4日与“坦普尔一号”彗星相撞，产生4.5吨TNT 当量爆炸威力.这是美国独自搞的科学实验，可谓前所未有. 我们国家也有自己的“深度撞击”计划，这一计划目前已经列入了“十一五”规划之中，在探月成功后，便将付诸实施.假设“坦普尔一号”彗星上用弹簧秤称得质量为m 的砝码重力为G 0，撞击器在靠近彗星表面运行时，其测得环绕周期是T 0.试根据上述数据求该“坦普尔一号”彗星的质量.解析：设“坦普尔一号”彗星表面的重力加速度为g ，“坦普尔一号”彗星质量为M ，在“坦普尔一号”彗星上由G 0=2RMm G 对于在“坦普尔一号”彗星表面的卫星由万有引力提供向心力，所以20224T mR R Mm G π= 由上两式可知：M=G 03T 04/16Gm 3π4.答案：G 03T 04/16Gm 3π4课堂小结1.本节学习了万有引力定律在天文学上的成就，计算天体质量的方法是F 引=F 向.2.解题思路：（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⇒=⇒===⇒=⇒=3222232323222243)(3344GR rv G r v M rv m R r GT R GT r GT r M T mr r GMm πρππρππ （2）GR g G gR M mg RGMm πρ4322=⇒=⇒=. 布置作业1.教材“问题与练习”第1、2、3、4题.2.查阅发现未知天体的有关资料.板书设计4 万有引力理论的成就⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧∝→=→∝→=→∝→=→=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+======∙=====发现未知天体近地卫星各物理量的关系得由处在离地得由在天体表面度求天体表面的重力加速有则若近地卫星得及由天体密度的计算得或由天体质量的计算用应律定332223322222202023233222222324411)(:)(':)(':::3,,,3:344::4:r T GM r T T m r r r GM m r r v r GM r v m m g r m M G h R GM g h R m M G m g h R GM g R m M G m g GT r R R GT r R M T m r r m M G G gR M R m M G m g GT r M ππωωωωπρπρπρππ活动与探究课题：“称”出地球的质量.内容：假如要你“称”出我们生活的地球的质量，请你通过查阅我国发射的某一颗人造卫星或飞船的有关数据，推算出地球的质量，写出相关活动报告.习题详解1.解答：由万有引力提供向心力，而万有引力近似等于重力，即月mg r GMm =2, 所以g 月=2622112)107.1(103.71067.6⨯⨯⨯⨯=-r GM m/s 2=1.68 m/s 2. g 月约为地球表面g 的1/6,在月球上人感觉很轻，习惯在地球表面行走的人，在月球表面是跳跃前进的.2.解答：设地球表面上有质量为m 的物体，地球质量为M ，地球半径为R ，则忽略地球自转，物体所受重力等于其受到的万有引力，则G′=2R GMm 根据牛顿第二定律：G′=mg所以g=G′/m=2RGM g 只与地球的质量、地球半径、万有引力常量有关，与物体的质量m 无关，即不同物体在地球表面的重力加速度相等.若物体在离地h 的高山上，根据万有引力定律G″=2)(h R GMm +此处重力加速度g′,由牛顿第二定律：G″=mg′故g′=22)(R GM g h R GM =<+. 3.解答：设地球质量为M ，卫星质量为m ，周期为T ，轨道半径为r.万有引力提供卫星做圆周运动的向心力，即2224Tmr r Mm G π= M=2324GT r π 即M=kg 2311362)106.5(1067.6)108.6(14.34⨯⨯⨯⨯⨯⨯-=5.93×1024 kg. 4.解答：需测量木星卫星的轨道半径r 和卫星的周期T.设木星质量为M 、卫星质量为m. 根据万有引力定律和牛顿第二定律得：2224Tmr r Mm G π= 所以M=2324GTr π. 设计点评在探究万有引力的成就中，教学设计要求教师放开手脚让学生大胆去想，怎样才能求出天体的质量？用两种方法得出来后教师再总结，在什么情况下用什么公式，学生掌握起来就容易得多.质量求出来了，如何求密度？这一点完全让学生自己处理.激发学生的探究动机.在探究发现未知天体过程中，教师通过展示发现未知天体的材料，让学生感知任何发现、发明离不开前人的经验和教训，激发学生的学习兴趣，要有所成就，必须学好现有知识.本教学设计始终以学生为主体精心设计探究活动.给学生主动探索、自主学习的空间，通过学生的思考、动手、观察、讨论，激发学生的学习热情，使学生由被动接受知识转化为主动获取知识.。
