陕西省榆林市2017届高考模拟第二次测试数学理试题

陕西省榆林市2017年高考数学一模试卷（理科）（解析版）一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．复数在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．集合P={x|x2﹣9＜0}，Q={x∈Z|﹣1≤x≤3}，则P∩Q=（）A．{x|﹣3＜x≤3}B．{x|﹣1≤x＜3}C．{﹣1，0，1，2，3}D．{﹣1，0，1，2}3．已知cosα=﹣，且α∈（，π），则tan（α+）等于（）A．﹣ B．﹣7 C．D．74．若命题p：对任意的x∈R，都有x3﹣x2+1＜0，则￢p为（）A．不存在x∈R，使得x3﹣x2+1＜0B．存在x∈R，使得x3﹣x2+1＜0C．对任意的x∈R，都有x3﹣x2+1≥0D．存在x∈R，使得x3﹣x2+1≥05．在等比数列{a n}中，a1=4，公比为q，前n项和为S n，若数列{S n+2}也是等比数列，则q等于（）A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣36．已知向量=（1，1），2+=（4，2），则向量，的夹角的余弦值为（）A．B．C．D．7．函数f（x）=sin（2x+φ）+cos（2x+φ）的图象关于原点对称的充要条件是（）A．φ=2kπ﹣，k∈Z B．φ=kπ﹣，k∈Z C．φ=2kπ﹣，k∈ZD．φ=kπ﹣，k∈Z8．执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的结果是（）A．9 B．121 C．130 D．170219．双曲线的离心率为2，则的最小值为（）A．B．C．2 D．110．5的展开式中，x5y2的系数为（）A．﹣90 B．﹣30 C．30 D．9011．已知不等式组表示平面区域D，现在往抛物线y=﹣x2+x+2与x 轴围成的封闭区域内随机地抛掷一小颗粒，则该颗粒落到区域D中的概率为（）A．B．C．D．12．定义在R上的函数f（x）满足（x﹣1）f′（x）≤0，且y=f（x+1）为偶函数，当|x1﹣1|＜|x2﹣1|时，有（）A．f（2﹣x1）≥f（2﹣x2）B．f（2﹣x1）=f（2﹣x2）C．f（2﹣x1）＜f（2﹣x2）D．f（2﹣x1）≤f（2﹣x2）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知a2=3，a6=11，则S7=．14．直线y=x与函数的图象恰有三个公共点，则实数m 的取值范围是．15．设F为抛物线的焦点，与抛物线相切于点P（﹣4，﹣4）的直线l 与x轴的交点为Q，则∠PQF的值是．16．如图，在小正方形边长为1的网格中画出了某多面体的三视图，则该多面体的外接球表面积为．三、解答题（本大题共5小题，共70分）17．（12分）如图，在△ABC中，已知点D，E分别在边AB，BC上，且AB=3AD，BC=2BE．（Ⅰ）用向量，表示．（Ⅱ）设AB=6，AC=4，A=60°，求线段DE的长．18．（12分）某校为提高学生身体素质，决定对毕业班的学生进行身体素质测试，每个同学共有4次测试机会，若某次测试合格就不用进行后面的测试，已知某同学每次参加测试合格的概率组成一个以为公差的等差数列，若他参加第一次测试就通过的概率不足，恰好参加两次测试通过的概率为．（Ⅰ）求该同学第一次参加测试就能通过的概率；（Ⅱ）求该同学参加测试的次数的分布列和期望．19．（12分）如图，AC是圆O的直径，点B在圆O上，∠BAC=30°，BM⊥AC 交AC于点M，EA⊥平面ABC，FC∥EA，AC=4，EA=3，FC=1．（1）证明：EM⊥BF；（2）求平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值．20．（12分）已知点P（﹣1，）是椭圆E： +=1（a＞b＞0）上一点，F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，O是坐标原点，PF1⊥x轴．（1）求椭圆E的方程；（2）设A，B是椭圆E上两个动点，满足： +=λ（0＜λ＜4，且λ≠2），求直线AB的斜率．（3）在（2）的条件下，当△PAB面积取得最大值时，求λ的值．21．（12分）已知函数f（x）=x2﹣ax+ln（x+1）（a∈R）．（1）当a=2时，求函数f（x）的极值点；（2）若函数f（x）在区间（0，1）上恒有f′（x）＞x，求实数a的取值范围；=f′（c n）（n=1，2，…），在（2）的条件下，证明数列（3）已知c1＞0，且c n+1{c n}是单调递增数列．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：（φ为参数，实数a＞0），曲线C2：（φ为参数，实数b＞0）．在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ=α（ρ≥0，0≤α≤）与C1交于O、A两点，与C2交于O、B两点．当α=0时，|OA|=1；当α=时，|OB|=2．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求2|OA|2+|OA|•|OB|的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|2x+a|+|x﹣|（x∈R，实数a＜0）．（Ⅰ）若f（0）＞，求实数a的取值范围；（Ⅱ）求证：f（x）≥．2017年陕西省榆林市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．复数在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数，求出复数在复平面上对应的点的坐标，则答案可求．【解答】解：=，则复数在复平面上对应的点的坐标为：（，），位于第一象限．故选：A．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2．集合P={x|x2﹣9＜0}，Q={x∈Z|﹣1≤x≤3}，则P∩Q=（）A．{x|﹣3＜x≤3}B．{x|﹣1≤x＜3}C．{﹣1，0，1，2，3}D．{﹣1，0，1，2}【考点】交集及其运算．【分析】求出集合P中一元二次不等式的解集确定出集合P，取集合Q中解集的整数解确定出集合Q，然后找出既属于P又属于Q的元素即可确定出两集合的交集．【解答】解：由集合P中的不等式x2﹣9＜0，解得：﹣3＜x＜3，∴集合P={x|﹣3＜x＜3}；由集合Q中的解集﹣1≤x≤3，取整数为﹣1，0，1，2，3，∴集合Q={﹣1，0，1，2，3}，则P∩Q={﹣1，0，1，2}．故选D【点评】此题属于以不等式解集为平台，考查了交集的元素，是一道基础题，也是高考中常考的题型．3．已知cosα=﹣，且α∈（，π），则tan（α+）等于（）A．﹣ B．﹣7 C．D．7【考点】两角和与差的正切函数；弦切互化．【分析】先根据cosα的值求出tanα的值，再由两角和与差的正切公式确定答案．【解答】解析：由cosα=﹣且α∈（）得tanα=﹣，∴tan（α+）==，故选C．【点评】本题主要考查两角和与差的正切公式．属基础题．4．若命题p：对任意的x∈R，都有x3﹣x2+1＜0，则￢p为（）A．不存在x∈R，使得x3﹣x2+1＜0B．存在x∈R，使得x3﹣x2+1＜0C．对任意的x∈R，都有x3﹣x2+1≥0D．存在x∈R，使得x3﹣x2+1≥0【考点】命题的否定．【分析】利用全称命题的否定是特称命题，去判断．【解答】解：因为命题是全称命题，根据全称命题的否定是特称命题，所以命题的否定￢p为：存在x∈R，使得x3﹣x2+1≥0故选：D【点评】本题主要考查全称命题的否定，要求掌握全称命题的否定是特称命题．5．在等比数列{a n}中，a1=4，公比为q，前n项和为S n，若数列{S n+2}也是等比数列，则q等于（）A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3【考点】等比关系的确定．【分析】由数列{S n+2}也是等比数列可得s1+2，s2+2，s3+2成等比数列，即（s2+2）2=（S+2）（S3+2）1代入等比数列的前n项和公式整理可得（6+4q）2=24（1+q+q2）+12解方程即可求解【解答】解：由题意可得q≠1由数列{S n+2}也是等比数列可得s1+2，s2+2，s3+2成等比数列则（s2+2）2=（S1+2）（S3+2）代入等比数列的前n项和公式整理可得（6+4q）2=24（1+q+q2）+12解可得q=3故选C．【点评】等比数列得前n项和公式的应用需要注意公式的选择，解题时要注意对公比q=1，q≠1的分类讨论，体现了公式应用的全面性．6．已知向量=（1，1），2+=（4，2），则向量，的夹角的余弦值为（）A．B．C．D．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】利用向量的坐标运算求出；利用向量的数量积公式求出两个向量的数量积；利用向量模的坐标公式求出两个向量的模；利用向量的数量积公式求出两个向量的夹角余弦．【解答】解：∵∴∴∵∴两个向量的夹角余弦为故选C【点评】本题考查向量的数量积公式，利用向量的数量积公式求向量的夹角余弦、考查向量模的坐标公式．7．函数f（x）=sin（2x+φ）+cos（2x+φ）的图象关于原点对称的充要条件是（）A．φ=2kπ﹣，k∈Z B．φ=kπ﹣，k∈Z C．φ=2kπ﹣，k∈ZD．φ=kπ﹣，k∈Z【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】先利用辅助角公式对函数化简可得，f（x）=sin（2x+φ）+cos（2x+φ）=2sin（2x+φ+），由函数的图象关于原点对称可知函数f（x）为奇函数，由奇函数的性质可得，f（0）=0代入可得sin（φ）=0，从而可求答案．【解答】解：∵f（x）=sin（2x+φ）+cos（2x+φ）=2sin（2x+φ+）的图象关于原点对称∴函数f（x）为奇函数，由奇函数的性质可得，f（0）=0∴sin（φ）=0∴φ=kπ∴φ=故选：D【点评】本题主要考查了利用辅助角公式把不同名的三角函数化为y=Asin（x+）的形式，进而研究函数的性质；还考查了奇函数的性质（若奇函数的定义域内有0，则f（0）=0）的应用，灵活应用性质可以简化运算，减少运算量．8．执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的结果是（）A．9 B．121 C．130 D．17021【考点】程序框图．【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，b，c的值，当c=16900时，不满足条件c＜2016，退出循环，输出a的值为121．【解答】解：模拟执行程序，可得a=1，b=2，c=3满足条件c＜2016，a=2，b=9，c=11满足条件c＜2016，a=9，b=121，c=130满足条件c＜2016，a=121，b=16900，c=17021不满足条件c＜2016，退出循环，输出a的值为121．故选：B．【点评】本题主要考察了程序框图和算法，正确理解循环结构的功能是解题的关键，属于基本知识的考查．9．双曲线的离心率为2，则的最小值为（）A．B．C．2 D．1【考点】双曲线的简单性质；基本不等式．【分析】根据基本不等式，只要根据双曲线的离心率是2，求出的值即可．【解答】解：由于已知双曲线的离心率是2，故，解得，所以的最小值是．故选A．【点评】本题考查双曲线的性质及其方程．双曲线的离心率e和渐近线的斜率之间有关系，从这个关系可以得出双曲线的离心率越大，双曲线的开口越大．10．（x2+3x﹣y）5的展开式中，x5y2的系数为（）A．﹣90 B．﹣30 C．30 D．90【考点】二项式系数的性质．=（﹣y）5﹣r（x2+3x）r，令5【分析】（x2+3x﹣y）5的展开式中通项公式：T r+1﹣r=2，解得r=3．展开（x2+3x）3，进而得出．=（﹣y）5﹣r（x2+3x）r，【解答】解：（x2+3x﹣y）5的展开式中通项公式：T r+1令5﹣r=2，解得r=3．∴（x2+3x）3=x6+3（x2）2•3x+3（x2）×（3x）2+（3x）3，∴x5y2的系数=×9=90．故选：D．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．已知不等式组表示平面区域D，现在往抛物线y=﹣x2+x+2与x轴围成的封闭区域内随机地抛掷一小颗粒，则该颗粒落到区域D中的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】根据积分的知识可得先求y=﹣x2+x+2与x轴围成的封闭区域为曲面MEN，的面积，然后根据线性规划的知识作出平面区域D，并求面积，最后代入几何概率的计算公式可求．【解答】解：根据积分的知识可得，y=﹣x2+x+2与x轴围成的封闭区域为曲面MEN，面积=等式组表示平面区域D即为△AOB，其面积为根据几何概率的计算公式可得P=故选：C【点评】本题主要考查了利用积分求解曲面的面积，还考查了几何概率的计算公式的应用，属于基础试题．12．定义在R上的函数f（x）满足（x﹣1）f′（x）≤0，且y=f（x+1）为偶函数，当|x1﹣1|＜|x2﹣1|时，有（）A．f（2﹣x1）≥f（2﹣x2）B．f（2﹣x1）=f（2﹣x2）C．f（2﹣x1）＜f（2﹣x2）D．f（2﹣x1）≤f（2﹣x2）【考点】函数的单调性与导数的关系．【分析】①若函数f（x）为常数，可得当|x1﹣1|＜|x2﹣1|时，恒有f（2﹣x1）=f（2﹣x2）．②若f（x）不是常数，可得y=f（x）关于x=1对称．当x1≥1，x2≥1，则由|x1﹣1|＜|x2﹣1|可得f（x1）＞f（x2）．当x1＜1，x2＜1时，同理可得f（x1）＞f（x2）．综合①②得出结论．【解答】解：①若f（x）=c，则f'（x）=0，此时（x﹣1）f'（x）≤0和y=f（x+1）为偶函数都成立，此时当|x1﹣1|＜|x2﹣1|时，恒有f（2﹣x1）=f（2﹣x2）．②若f（x）不是常数，因为函数y=f（x+1）为偶函数，所以y=f（x+1）=f（﹣x+1），即函数y=f（x）关于x=1对称，所以f（2﹣x1）=f（x1），f（2﹣x2）=f（x2）．当x＞1时，f'（x）≤0，此时函数y=f（x）单调递减，当x＜1时，f'（x）≥0，此时函数y=f（x）单调递增．若x1≥1，x2≥1，则由|x1﹣1|＜|x2﹣1|，得x1﹣1＜x2﹣1，即1≤x1＜x2，所以f（x1）＞f（x2）．同理若x1＜1，x2＜1，由|x1﹣1|＜|x2﹣1|，得﹣（x1﹣1）＜﹣（x2﹣1），即x2＜x1＜1，所以f（x1）＞f（x2）．若x1，x2中一个大于1，一个小于1，不妨设x1＜1，x2≥1，则﹣（x1﹣1）＜x2﹣1，可得1＜2﹣x1＜x2，所以f（2﹣x1）＞f（x2），即f（x1）＞f（x2）．综上有f（x1）＞f（x2），即f（2﹣x1）＞f（2﹣x2），故选A．【点评】本题主要考查函数的导数与函数的单调性的关系，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知a2=3，a6=11，则S7=49．【考点】等差数列的前n项和；等差数列的性质．【分析】由等差数列的性质求得a1+a7，再用前n项和公式求得．【解答】解：∵a2+a6=a1+a7∴故答案是49【点评】本题考查等差数列的性质和等差数列前n项和公式．14．直线y=x与函数的图象恰有三个公共点，则实数m 的取值范围是﹣1≤m＜2．【考点】函数的零点与方程根的关系．【分析】根据题意，求出直线y=x与射线y=2（x＞m）、抛物线y=x2+4x+2在（﹣∞，m]上的部分的三个交点A、B、C，且三个交点必须都在y=f（x）图象上，由此不难得到实数m的取值范围．【解答】解：根据题意，直线y=x与射线y=2（x＞m）有一个交点A（2，2），并且与抛物线y=x2+4x+2在（﹣∞，m]上的部分有两个交点B、C由，联解得B（﹣1，﹣1），C（﹣2，﹣2）∵抛物线y=x2+4x+2在（﹣∞，m]上的部分必须包含B、C两点，且点A（2，2）一定在射线y=2（x＞m）上，才能使y=f（x）图象与y=x有3个交点∴实数m的取值范围是﹣1≤m＜2故答案为：﹣1≤m＜2【点评】本题给出分段函数的图象与直线y=x有3个交点，求参数m的取值范围，着重考查了直线与抛物线位置关系和分段函数的图象与性质等知识，属于中档题．15．设F为抛物线的焦点，与抛物线相切于点P（﹣4，﹣4）的直线l与x轴的交点为Q，则∠PQF的值是．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先求切线方程，从而可得Q的坐标，计算，可得，从而可得结论．【解答】解：由题意，焦点坐标为F（0，﹣1）先求导函数为：x，则p点处切线斜率是2，∴与抛物线相切于点P（﹣4，﹣4）的直线l的方程为y=2x+4，交x轴于Q（﹣2，0），∴∴∴故答案为【点评】本题以抛物线的标准方程为载体，考查抛物线的性质，解题的关键是求切线方程，利用向量的数量积求解垂直问题．16．如图，在小正方形边长为1的网格中画出了某多面体的三视图，则该多面体的外接球表面积为34π．【考点】简单空间图形的三视图；球的体积和表面积．【分析】由三视图知，该几何体是一个侧面与底面垂直的三棱锥，画出直观图，再建立空间直角坐标系，求出三棱锥外接球的球心与半径，从而求出外接球的表面积．【解答】解：由三视图知，该几何体是三棱锥S﹣ABC，且三棱锥的一个侧面SAC 与底面ABC垂直，其直观图如图所示；由三视图的数据可得OA=OC=2，OB=OS=4，建立空间直角坐标系O﹣xyz，如图所示；则A（0，﹣2，0），B（4，0，0），C（0，2，0），S（0，0，4），则三棱锥外接球的球心I在平面xOz上，设I（x，0，z）；由得，，解得x=z=；∴外接球的半径R=|BI|==，∴该三棱锥外接球的表面积S=4πR2=4π×=34π．故答案为：34π．【点评】本题考查了由三视图求几何体外接球的表面积，解题的关键是判断几何体的形状及外接球的半径，是综合性题目．三、解答题（本大题共5小题，共70分）17．（12分）（2017•榆林一模）如图，在△ABC中，已知点D，E分别在边AB，BC上，且AB=3AD，BC=2BE．（Ⅰ）用向量，表示．（Ⅱ）设AB=6，AC=4，A=60°，求线段DE的长．【考点】平面向量的基本定理及其意义；平面向量数量积的运算．【分析】（Ⅰ）根据平面向量的线性表示与运算法则，用，表示出即可；（Ⅱ）根据平面向量的数量积与模长公式，求出||即可．【解答】解：（Ⅰ）△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，且AB=3AD，BC=2BE；∴=，==（﹣），∴=+=+（﹣）=+；（Ⅱ）设AB=6，AC=4，A=60°，则=+2×ו+=×62+×6×4×cos60°+×42=7，∴||=，即线段DE的长为．【点评】本题考查了平面向量的线性运算以及数量积运算的应用问题，是基础题目．18．（12分）（2017•榆林一模）某校为提高学生身体素质，决定对毕业班的学生进行身体素质测试，每个同学共有4次测试机会，若某次测试合格就不用进行后面的测试，已知某同学每次参加测试合格的概率组成一个以为公差的等差数列，若他参加第一次测试就通过的概率不足，恰好参加两次测试通过的概率为．（Ⅰ）求该同学第一次参加测试就能通过的概率；（Ⅱ）求该同学参加测试的次数的分布列和期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）设出该同学第一次测试合格的概率为a，根据题意列方程求出a 的值；（Ⅱ）该同学参加测试的次数ξ的可能取值是1、2、3、4，计算对应的概率值，写出分布列，计算数学期望即可．【解答】解：（Ⅰ）设该同学四次测试合格的概率依次为：a，a+，a+，a+（a≤），则（1﹣a）（a+）=，即a2﹣a+=0，解得a=或a=（＞舍去），所以小李第一次参加测试就合格的概率为；（Ⅱ）因为P（ξ=1）=，P（ξ=2）=×=，P（ξ=3）=××=，P（ξ=4）=1﹣P（ξ=1）﹣P（ξ=2）﹣P（ξ=3）=，所以ξ的分布列为：所以ξ的数学期望为Eξ=1×+2×+3×+4×=．【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列和期望以及相互独立事件同时发生的概率计算问题，是基础题目．19．（12分）（2017•榆林一模）如图，AC是圆O的直径，点B在圆O上，∠BAC=30°，BM⊥AC交AC于点M，EA⊥平面ABC，FC∥EA，AC=4，EA=3，FC=1．（1）证明：EM⊥BF；（2）求平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值．【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的性质；二面角的平面角及求法．【分析】（1）根据线面垂直得到线与线垂直，根据直径所对的圆周角是直角，得到两个三角形是等腰直角三角形，有线面垂直得到结果．（2）做出辅助线，延长EF交AC于G，连BG，过C作CH⊥BG，连接FH．，做出∠FHC为平面BEF与平面ABC所成的二面角的平面角，求出平面角．【解答】解：（1）证明：∵EA⊥平面ABC，BM⊂平面ABC，∴EA⊥BM．又∵BM⊥AC，EA∩AC=A，∴BM⊥平面ACFE，而EM⊂平面ACFE，∴BM⊥EM．∵AC是圆O的直径，∴∠ABC=90°．又∵∠BAC=30°，AC=4，∴，AM=3，CM=1．∵EA⊥平面ABC，FC∥EA，∴FC⊥平面ABC．∴△EAM与△FCM都是等腰直角三角形．∴∠EMA=∠FMC=45°．∴∠EMF=90°，即EM⊥MF（也可由勾股定理证得）．∵MF∩BM=M，∴EM⊥平面MBF．而BF⊂平面MBF，∴EM⊥BF．（2）延长EF交AC于G，连BG，过C作CH⊥BG，连接FH．由（1）知FC⊥平面ABC，BG⊂平面ABC，∴FC⊥BG．而FC∩CH=C，∴BG⊥平面FCH．∵FH⊂平面FCH，∴FH⊥BG，∴∠FHC为平面BEF与平面ABC所成的二面角的平面角．在Rt△ABC中，∵∠BAC=30°，AC=4，∴，由，得GC=2．∵，又∵△GCH∽△GBM，∴，则．∴△FCH是等腰直角三角形，∠FHC=45°，∴平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为．【点评】本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，考查应用向量知识解决数学问题的能力，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．20．（12分）（2017•榆林一模）已知点P（﹣1，）是椭圆E： +=1（a ＞b＞0）上一点，F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，O是坐标原点，PF1⊥x轴．（1）求椭圆E的方程；（2）设A，B是椭圆E上两个动点，满足： +=λ（0＜λ＜4，且λ≠2），求直线AB的斜率．（3）在（2）的条件下，当△PAB面积取得最大值时，求λ的值．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）由PF1⊥x轴，求出2a=|PF1|+|PF2|=4，由此能求出椭圆E的方程．（2）设A（x1，y1）、B（x2，y2），由+=λ（0＜λ＜4，且λ≠2），得x1+x2=λ﹣2，y1+y2=（2﹣λ），再由3（x1+x2）（x1﹣x2）+4（y1+y2）（y1﹣y2）=0，由此能求出AB的斜率．（3）设直线AB的方程为y=x+t，与3x2+4y2=12联立得x2+tx+t2﹣3=0，由此利用根的判别式、弦长公式、点到直线距离公式、三角形面积公式，求出△PAB的面积为S=×|t﹣2|，设f（t）=S2=﹣（t4﹣4t3+16t﹣16）（﹣2＜t＜2），求出f′（t）=﹣3（t+1）（t﹣2）2，由f′（t）=0及﹣2＜t＜2得t=﹣1．由此能求出结果．【解答】解：（Ⅰ）∵PF1⊥x轴，∴F1（﹣1，0），c=1，F2（1，0），∴|PF2|==，∴2a=|PF1|+|PF2|=4，∴a=2，∴b2=3，∴椭圆E的方程为：=1．…（3分）（2）证明：设A（x1，y1）、B（x2，y2），由+=λ（0＜λ＜4，且λ≠2），得（x1+1，y1﹣）+（x2+1，y2﹣）=λ（1，﹣），∴x1+x2=λ﹣2，y1+y2=（2﹣λ）…①…又，两式相减得3（x1+x2）（x1﹣x2）+4（y1+y2）（y1﹣y2）=0…．．②以①式代入可得AB的斜率k==．…（8分）（3）设直线AB的方程为y=x+t，与3x2+4y2=12联立消去y并整理得x2+tx+t2﹣3=0，△=3（4﹣t2），|AB|=|x1﹣x2|=×=，点P到直线AB的距离为d=，△PAB的面积为S=|AB|×d=×|t﹣2|，…（10分）设f（t）=S2=﹣（t4﹣4t3+16t﹣16）（﹣2＜t＜2），f′（t）=﹣3（t3﹣3t2+4）=﹣3（t+1）（t﹣2）2，由f′（t）=0及﹣2＜t＜2得t=﹣1．当t∈（﹣2，﹣1）时，f′（t）＞0，当t∈（﹣1，2）时，f′（t）＜0，f（t）=﹣1时取得最大值，所以S的最大值为．此时x1+x2=﹣t=1=λ﹣2，λ=3．…（12分）【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线的斜率的求法，考查三角形面积的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆、直线、导数等知识点的合理运用．21．（12分）（2017•榆林一模）已知函数f（x）=x2﹣ax+ln（x+1）（a∈R）．（1）当a=2时，求函数f（x）的极值点；（2）若函数f（x）在区间（0，1）上恒有f′（x）＞x，求实数a的取值范围；=f′（c n）（n=1，2，…），在（2）的条件下，证明数列（3）已知c1＞0，且c n+1{c n}是单调递增数列．【考点】数列与函数的综合；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）先求出导函数，找到导数为0的根，在检验导数为0的根两侧导数的符号即可得出结论．（2）因f′（x ）=2x ﹣a +，由f′x ）＞x ，分参数得到：a ＜x +，再利用函数y=x +的最小值即可得出求实数a 的取值范围．（3）本题考查的知识点是数学归纳法，要证明当n=1时，c 2＞c 1成立，再假设n=k 时c k +1＞c k ，c k ＞0成立，进而证明出n=k +1时c k +2＞c k +1，也成立，即可得到对于任意正整数n 数列{c n }是单调递增数列．【解答】解：（1）a=2时，fx ）=x 2﹣2x +ln （x +1），则f′（x ）=2x ﹣2+=， f′x ）=0，x=±，且x ＞﹣1，当x ∈（﹣1，﹣）∪（，+∞）时f′x ）＞0，当x ∈（﹣，）时，f′x ）＜0，所以，函f （x ）的极大值点x=﹣，极小值点x=．（2）因f′（x ）=2x ﹣a +，f′x ）＞x ，2x ﹣a +＞x ，即a ＜x +， y=x +=x +1+﹣1≥1（当且仅x=0时等号成立）， ∴y min =1．∴a ≤1（3）①当n=1时，c 2=f′（x ）=2c 1﹣a +，又∵函y=2x +当x ＞1时单调递增，c 2﹣c 1=c 1﹣a +=c 1+1+﹣（a +1）＞2﹣（a +1）=1﹣a ≥0，∴c 2＞c 1，即n=1时结论成立．②假设n=k 时，c k +1＞c k ，c k ＞0则n=k +1时，c k +1=f′（c k ）=2c k ﹣a +，c k +2﹣c k +1=c k +1﹣a +=c k +1+1+﹣（a +1）＞2﹣（a +1）=1﹣a ≥0， c k +2＞c k +1，即n=k +1时结论成立．由①，②知数{c n }是单调递增数列．【点评】本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究函数的极值、数列与函数的综合、数学归纳法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）（2017•榆林一模）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：（φ为参数，实数a＞0），曲线C2：（φ为参数，实数b＞0）．在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ=α（ρ≥0，0≤α≤）与C1交于O、A两点，与C2交于O、B两点．当α=0时，|OA|=1；当α=时，|OB|=2．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求2|OA|2+|OA|•|OB|的最大值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（I）由曲线C1：（φ为参数，实数a＞0），利用cos2φ+sin2φ=1即可化为普通方程，再利用极坐标与直角坐标互化公式即可得出极坐标方程，进而得出a的值．同理可得b的值．（II）由（I）可得C1，C2的方程分别为ρ=cosθ，ρ=2sinθ．可得2|OA|2+|OA|•|OB|=2cos2θ+2sinθcosθ=+1，利用三角函数的单调性与值域即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由曲线C1：（φ为参数，实数a＞0），化为普通方程为（x﹣a）2+y2=a2，展开为：x2+y2﹣2ax=0，其极坐标方程为ρ2=2aρcosθ，即ρ=2acosθ，由题意可得当θ=0时，|OA|=ρ=1，∴a=．曲线C2：（φ为参数，实数b＞0），化为普通方程为x2+（y﹣b）2=b2，展开可得极坐标方程为ρ=2bsinθ，由题意可得当时，|OB|=ρ=2，∴b=1．（Ⅱ）由（I）可得C1，C2的方程分别为ρ=cosθ，ρ=2sinθ．∴2|OA|2+|OA|•|OB|=2cos2θ+2sinθcosθ=sin2θ+cos2θ+1=+1，∵2θ+∈，∴+1的最大值为+1，当2θ+=时，θ=时取到最大值．【点评】本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化、参数方程化为普通方程、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．（2017•榆林一模）设函数f（x）=|2x+a|+|x﹣|（x∈R，实数a＜0）．（Ⅰ）若f（0）＞，求实数a的取值范围；（Ⅱ）求证：f（x）≥．【考点】绝对值不等式的解法；分段函数的应用．【分析】（Ⅰ）去掉绝对值号，解关于a的不等式组，求出a的范围即可；（Ⅱ）通过讨论x的范围，结合基本不等式的性质求出求出f（x）的最小值即可．【解答】（Ⅰ）解：∵a＜0，∴f（0）=|a|+|﹣|=﹣a﹣＞，即a2+a+1＞0，解得a＜﹣2或﹣＜a＜0；（Ⅱ）证明：f（x）=|2x+a|+|x﹣|=，当x≥﹣时，f（x）≥﹣﹣；当＜x＜﹣时，f（x）＞﹣﹣；当x≤时，f（x）≥﹣a﹣，∴f（x）min=﹣﹣≥2=，当且仅当﹣=﹣即a=﹣时取等号，∴f（x）≥．【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查解绝对值不等式问题，是一道中档题．。

榆林市2017~2018年第四次模拟考试试卷高三数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}22265A x x x x =--≥-，{}2B x x =>-，则A B =U （ ） A ．()2,1-- B ．(]2,1-- C ．()5,-+∞ D ．[)5,-+∞ 2．若复数15i32iz +=+，则z =（ ） A ．1 B 2 C 3．23．已知R 上的奇函数()f x 满足：当0x <时，()()2log 1f x x =-，则()()7f f =（ ）A ．1B ．-1C ．2D ．-24．某中学有高中生3000人，初中生2000人，男、女生所占的比例如下图所示.为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取女生21人，则从初中生中抽取的男生人数是（ ）A ．12B ．15C ．20D ．21 5．已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，10sin α=，则tan 24πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．17 B ．17- C ．7 D ．-7 6．已知实数,x y 满足42047020x y x y x y ++≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≥⎩，则5z x y =-+的最大值与最小值之和为（ ）A ．-21B ．-2C ．-1D ．1 7．将函数()1cos 22f x x =-的图象向右平移6π个单位长度后，再将图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数()y g x =的图象，则34g π⎛⎫=⎪⎝⎭（ ）A ．．12- D ．128．已知三棱锥P ABC -中，AB ⊥平面APC ，42AB =2PA PC ==2AC =，则三棱锥P ABC-外接球的表面积为（ ）A ．28πB ．36πC ．48πD ．72π9．下图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《数书九章》中的“中国剩余定理”.已知正整数n 被3除余2，被7除余4，被8除余5，求n 的最小值.执行该程序框图，则输出的n =（ ）A ．50B ．53C ．59D ．6210．某几何体的三视图如图所示，其中圆的半径均为1，则该几何体的体积为（ ）A ．42083π+B ．42163π+C ．322083π+D ．322163π+11．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的离心率e =O ，右焦点为F ，点A 是双曲线C 的一条渐近线上位于第一象限内的点，AOF OAF ∠=∠，OAF ∆的面积为C 的方程为（ ）A ．2213612x y -= B ．2213x y -= C ．22193x y -= D ．221124x y -= 12．设实数0m >，若对任意的e x ≥，不等式2ln e 0mxx x m -≥恒成立，则m 的最大值是（ ） A ．1e B ．e3C ．2eD ．e 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知向量(),0a t =r ，()1,3b =-r，若4a b ⋅=r r ，则2a b -=r r ．14．若()52132x a x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为80，则a = ．15．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且ABC ∆的外接圆半径为1，若6abc =，则ABC ∆的面积为 ．16．已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，O 为坐标原点，点4,2p M ⎛⎫-⎪⎝⎭，1,2p N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，射线,MO NO 分别交抛物线C 于异于点O 的点,A B ，若,,A B F 三点共线，则p = ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17． 已知正项数列3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为2的等差数列，且12,9,a a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S .18． 2018年2月22日，在韩国平昌冬奥会短道速滑男子500米比赛中，中国选手武大靖以连续打破世界纪录的优异表现，为中国代表队夺得了本届冬奥会的首枚金牌，也创造中国男子冰上竞速项目在冬奥会金牌零的突破.根据短道速滑男子500米的比赛规则，运动员自出发点出发进入滑行阶段后，每滑行一圈都要依次经过4个直道与弯道的交接口()1,2,3,4k A k =.已知某男子速滑运动员顺利通过每个交接口的概率均为34，摔倒的概率均为14.假定运动员只有在摔倒或到达终点时才停止滑行，现在用X 表示一名顺利进入最后一圈的运动员在滑行结束后，在最后一圈顺利通过的交接口数.（1）求该运动员停止滑行时恰好已顺利通过3个交接口的概率； （2）求X 的分布列及数学期望()E X .19． 如图，在三棱锥P ABC -中，D 为棱PA 上的任意一点，,,F G H 分别为所在棱的中点. （1）证明：BD ∥平面FGH ；（2）若CF ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，2AB =，45BAC ∠=︒，当二面角C GF H --的平面角为3π时，求棱PC 的长.20． 已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的焦距为2c ，且3b c =，圆()222:0O x y r r +=>与x 轴交于点,,M N P 为椭圆E 上的动点，2PM PN a +=，PMN ∆3（1）求圆O 与椭圆E 的方程；（2）设圆O 的切线l 交椭圆E 于点,A B ，求AB 的取值范围.21． 已知函数()()326,f x x x ax b a b =-++∈R 的图象在与x 轴的交点处的切线方程为918y x =-.（1）求()f x 的解析式； （2）若()()212910kx x f x x k -<<+对()2,5x ∈恒成立，求k 的取值范围. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为3cos ρθ=.（1）求圆C 的参数方程；（2）设P 为圆C 上一动点，()5,0A ，若点P 到直线sin 3πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭的距离为4，求ACP ∠的大小.23．选修4-5：不等式选讲已知函数()3121f x x x a =--++. （1）求不等式()f x a >的解集；（2）若恰好存在4个不同的整数n ，使得()0f n <，求a 的取值范围.榆林市2017~2018年第四次模拟考试试卷高三数学参考答案（理科）一、选择题1-5:DBCAC 6-10:CABBA 11、12：CD二、填空题13．()2,6-- 14．-2 15．3216．2 三、解答题17．解：（1）因为数列3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为2的等差数列，所以212233a a -=， 则21318a a =+，又12,9,a a 成等比数列，所以()212113189a a a a =+=，解得13a =或19a =-，因为数列3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为正项数列，所以13a =. 所以()3212133n n a n n =+-=-， 故()213nn a n =-⋅.（2）由（1）得()21333213nn S n =⨯+⨯++-⋅L ，所以()23131333213n n S n +=⨯+⨯++-⋅L ，所以()231332333213n n n n S S n +⎡⎤-=+⨯+++--⋅⎣⎦L ，即()2133323221313n n n S n +-⨯-=+⨯--⋅-()1136123n n n ++=-+-⋅()12236n n +=-⋅-， 故()1133n n S n +=-⋅+.18．解：（1）由题意可知：3312744256P ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭.（2）X 的所有可能值为0,1,2,3,4.则()()31,2,3,44k P A k ==，且1234,,,A A A A 相互独立. 故()()1104P X P A ===，()()121P X P A A ==⋅=3134416⨯=，()()1232P X P A A A ==⋅⋅=23194464⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭，()()12343P X P A A A A ==⋅⋅⋅=3312744256⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭，()()12344P X P A A A A ==⋅⋅⋅=43814256⎛⎫=⎪⎝⎭. 从而X 的分布列为所以()139********E X =⨯+⨯+⨯+278152534256256256⨯+⨯=. 19．（1）证明：因为,G H 分别为,AC BC 的中点， 所以AB GH ∥，且GH ⊂平面FGH ，AB ⊄平面FGH ，所以AB ∥平面FGH .又因为,F G 分别为,PC AC 的中点，所以有GF AP ∥，FG ⊂平面FGH ， 且AP ⊄平面FGH ，所以AP ∥平面FGH . 又因为AP AB A =I ，所以平面ABP ∥平面FGH . 因为BD ⊂平面ABP ，所以BD ∥平面FGH .（2）解：在平面ABC 内过点C 作CM AB ∥，如图所示，以C 为原点，,,CB CM CF 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系C xyz -.由ABC ∆为等腰直角三角形知BG AC ⊥，又BG CF ⊥，AC CF C =I ，所以有BG ⊥平面PAC . 设CF a =，则()2,0,0B ，()1,1,0G -，所以()1,1,0BG =--uu u r为平面PAC 的一个法向量.又()0,0,F a ，()1,0,0H ，所以()1,0,FH a =-uuu r ，()1,1,FG a =--uu u r，设(),,m x y z =u r 为平面FGH 的一个法向量，则有0m FH m FG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r uuu r u r uu u r， 即有0x az x y az -=⎧⎨--=⎩，所以可取(),0,1m a =u r .由21cos ,221a m BG a -==⋅+u r uu u r，得1a =，从而22a =. 所以棱PC 的长为2.20．解：（1）因为b =，所以2a c =.①因为2PM PN a +=，所以点,M N 为椭圆的焦点，所以，22214r c a ==.设()00,P x y ，则0b x b -≤≤，所以0012PMN S r y a y ∆=⋅=， 当0y b =时，()max 12PMN S ab ∆== 由①，②解得2a =，所以b =1c =，所以圆O 的方程为221x y +=，椭圆E 的方程为22143x y +=. （2）①当直线l 的斜率不存在时，不妨取直线l 的方程为1x =，解得31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，31,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，3AB =.②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx m =+，()11,A x kx m +，()22,B x kx m +. 因为直线l 211m k =+，即221m k =+，联立22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 可得()2224384120k x kmx m +++-=， ()224843k m ∆=+-=()248320k +>，122843kmx x k +=-+，212241243m x x k -=+. ()212124AB x x x x =+-=22224343143k m k k +-++==22231313344444k k k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⋅+++- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦+=令2134t k =+，则2140334t k <=≤+，所以21133162AB t t =-++，403t <≤，所以AB =3AB <≤综上，AB 的取值范围是3,3⎛⎝⎦.21．解：（1）由9180x -=得2x =，∴切点为()2,0. ∵()2312f x x x a '=-+，∴()2129f a '=-=，∴21a =，又()282420f a b =-++=，∴26b =-，()3262126f x x x x =-+-.（2）由()9f x x k <+得()9k f x x >-=3262126x x x -+-，设()3261226g x x x x =-+-，()()2344g x x x '=-+=()2320x ->对()2,5x ∈恒成立，∴()g x 在()2,5上单调递增，∴()59k g ≥=.∵()()32612892f x x x x x =-+-+-=()()3292x x -+-，∴由()()21210kx x f x -<对()2,5x ∈恒成立得()129102x k x x x -<+-213212x x x -=+-对()2,5x ∈恒成立， 设()()21321252xh x x x x -=+<<-，()()22213132x x h x x x -+'=-， 当25x <<时，213130x x -+<，∴()0h x '<， ∴()h x 单调递减，∴()165105k h ≤=，即12k ≤. 综上，k 的取值范围为[]9,12.22．解：（1）∵3cos ρθ=，∴23cos ρρθ=，∴223x y x +=，即223924x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，∴圆C 的参数方程为33cos ,223sin 2x y αα⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（α为参数）.（2）由（1）可设333cos ,sin 222P θθ⎛⎫+⎪⎝⎭，[)0,2θπ∈，sin 33πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭3230x y -+=， 则P 到直线sin 33πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭=3sin 234πθ⎛⎫--=⎪⎝⎭，∴sin 03πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∵[)0,2θπ∈，∴3πθ=或43π， 故3ACP π∠=或23ACP π∠=. 23．解：（1）由()f x a >，得3121x x ->+， 不等式两边同时平方得，22961441x x x x -+>++， 即2510x x >，解得0x <或2x >.所以不等式()f x a >的解集为()(),02,-∞+∞U .（2）设()3121g x x x =--+=12,2115,2312,3x x x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎪--<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩，作出()g x 的图象，如图所示，因为()()020g g ==，()()()34213g g g <=<-=， 又恰好存在4个不同的整数n ，使得()0f n <，所以()()30,40,f f <⎧⎪⎨≥⎪⎩即1020a a +<⎧⎨+≥⎩，故a 的取值范围为[)2,1--.。

1陕西省2017年高考理科数学试题及答案（Word 版）（考试时间：（考试时间：120120分钟分钟 试卷满分：试卷满分：试卷满分：150150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 31i i+=+（ ））A ．12i +B B．．12i -C C．．2i +D D．．2i -2. 2. 设集合设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=．若{}1AB =，则B =（ ）） A ．{}1,3- B B．．{}1,0 C C．．{}1,3 D D．．{}1,5 3. 3. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（倍，则塔的顶层共有灯（ ）） A ．1盏 B B．．3盏 C C．．5盏 D D．．9盏 4. 4. 如图，网格纸上小正方形的边长为如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部 分所得，则该几何体的体积为（分所得，则该几何体的体积为（ ）） A ．90p B B．．63p C ．42p D D．．36p5. 5. 设设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-£ìï-+³íï+³î，则2z x y =+的最小值是（的最小值是（ ））A ．15-B B．．9-C C．．1D D．．96. 6. 安排安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（有（ ））A ．12种B B．．18种C C．．24种D D．．36种7. 7. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（ ））A ．乙可以知道四人的成绩．乙可以知道四人的成绩B ．丁可以知道四人的成绩．丁可以知道四人的成绩中C ．乙、丁可以知道对方的成绩．乙、丁可以知道对方的成绩D D．乙、丁可以知道自己的成绩．乙、丁可以知道自己的成绩8. 8. 执行右面的程序框图，如果输入的执行右面的程序框图，如果输入的1a =-，则输出的S =（ ））A ．2 B 2 B．．3 C 3 C．．4 D 4 D．．59. 9. 若双曲线若双曲线C:22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的 离心率为（离心率为（ ））A ．2B 2 B．．3C C．．2D D．．23310. 10. 已知直三棱柱已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120ÐAB =，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB与1C B 所成角的余弦值为（所成角的余弦值为（ ））A ．32 B B．．155 C C．．105D D．．33 11. 11. 若若2x =-是函数21`()(1)x f x x ax e-=+-的极值点，则()f x 的极小值为（的极小值为（ ））A.1-B.32e -- C.35e - D.112. 12. 已知已知ABC D 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ×+的最小值是（ ））A.2-B.32- $$来C. 43- D.1-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

绝密★启用前榆林市2017届高考模拟第一次测试数学（理科）试题参考答案及评分标准一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.二、 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分12分）（Ⅰ）由题意可得：2132DE DB BE AB BC =+=+21()32AB AC AB =+-1162AB AC =+……………………………………4分 （Ⅱ）由1162DE AB AC =+可得：2222211111||()623664DE DE AB AC AB AB AC AC ==+=+⋅+………………8分22111664cos 60473664=⨯+⨯⨯⨯︒+⨯=.故DE =. …………………………………………………………………12分18．（本小题满分12分）（Ⅰ）设该同学第一次参加测试能通过的概率为1p ， 根据题意，得 1119(1)()832p p -+=，解得114p =或158p =.∵P 1≤12，∴P 1=14.即该同学第一次参加测试就通过的概率为14. ……………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论知，该同学四次考核每次通过的概率依次为1315,,,4828设该同学参加测试的次数为ξ，则ξ的可能取值为1,2,3,4. ……………6分由题意可得：1(1)4P ξ==，9(2)32P ξ==，13115(3)(1)(1)48264P ξ==-⋅-⋅=， 13115(4)(1)(1)(1)148264P ξ==-⋅-⋅-⋅=． ……………………………………8分∴ξ的分布列为：……10分∴该同学测试的次数ξ的数学期望为1915151571234432646464E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.…12分 19.（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：⊥EA 平面ABC ，⊂BM 平面ABC ，BM EA ⊥∴．又AC ，BM ⊥ A AC EA =⋂，⊥∴BM 平面ACFE ，而⊂EM 平面ACFE ，EM BM ⊥∴． ……………………………………3分AC 是圆O 的直径，90ABC ∴∠= ．又，BAC ︒=∠30 4=AC ，，，BC AB 232==∴1,3==CM AM ．⊥EA 平面ABC ，EA FC //，1=FC ，⊥∴FC 平面ABCD ．∴EAM ∆与FCM ∆都是等腰直角三角形．︒=∠=∠∴45FMC EMA ．︒=∠∴90EMF ，即MF EM ⊥（也可由勾股定理证得）．M BM MF =⋂ ，⊥∴EM 平面MBF ．而⊂BF 平面MBF ，⊥∴EM BF ． ……………………………………6分（Ⅱ）如图,以A 为坐标原点,,AC AE 所在的直线分别为y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.由已知条件得：(0,0,0),(0,3,0),(0,0,3),3,0),(0,4,1)A M E B F ,∴(3,3),(,1)BE BF =-=．设平面BEF 的法向量为),,(z y x =，由0,0,n BE n BF ⋅=⋅=得3300y z y z ⎧-+=⎪⎨++=⎪⎩，令3=x 得1,2y z ==，)2n ∴=. …………9分由已知⊥EA 平面ABC ，所以取面ABC 的法向量为 (0,0,3)AE =. 设平面BEF 与平面ABC 所成的锐二面角为θ，则cos cos ,n AE θ→=<>==平面BEF 与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为2． ……………………12分 20．（本小题满分12分）（Ⅰ）∵1PF x ⊥轴，∴121,(1,0),(1,0)c F F =-.∴25||2PF ==，∴122||||4a PF PF =+=，∴2,a b =.∴椭圆E 的方程为：13422=+y x ． …………………………………………3分（Ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y ，由PA PB PO λ+=得:1122333(1,)(1,)(1,)222x y x y λ+-++-=-，所以121232,(2)2x x y y λλ+=-+=-. ………①又12432121=+y x ，12432222=+y x ，两式相减得121212123()()4()()0x x x x y y y y +-++-=.………② 以①式代入可得AB 的斜率121212y y k x x -==-． ………………………………6分（Ⅲ）设直线AB 的方程为12y x t =+， 与124322=+y x 联立消去y 并整理得2230x tx t ++-=, 由23(4)0t ∆=->得22t -<<.12|||AB x x =-== …………8分点P 到直线AB的距离为d =∴PAB ∆的面积为1||2|2S AB d t =⨯⨯=-, …………10分设2433()(41616)(22)4f t S t t t t ==--+--<<， 322()3(34)3(1)(2)f t t t t t '=--+=-+-，由()0f t '=及22t -<<得1t =-．当(2,1)t ∈--时，()0f t '>，当(1,2)t ∈-时，()0f t '<， 所以当1t =-时()f t 取得最大值481. 所以S 的最大值为29． 此时1212x x t λ+=-==-，所以3λ=． ………………………………12分21．（本小题满分12分）（Ⅰ）当2=a 时，)1ln(2)(2++-=x x x x f ，1()221f x x x '=-++2211x x -=+，令()0f x '=得:22±=x . …………………2分又 1->x ，且),22()22,1(+∞--∈ x 时，()0f x '>;)22,22(-∈x 时，0)(/<x f . 所以，函数)(x f 的极大值点为22-=x ，极小值点为22=x . ……………4分（Ⅱ）因为112)(/++-=x a x x f ，由x x f >)(/，得x x a x >++-112， 即11++<x x a ，(01)x <<. ………………………………………………6分又1111111y x x x x =+=++->++（∵11x +>）, ∴1a ≤. ………………………………………………8分 （Ⅲ）①当1=n 时，21111()21c f c c a c '==-++,又 01>c , ∴111>+c ，且1a <， ∴111112++-=-c a c c c )1(11111+-+++=a c c 2(1)10a a >-+=->. ∴12c c >，即当1=n 时结论成立． ……………………………………………10分②假设当)(+∈=N k k n 时，有k k c c >+1，且0>k c ，则当1+=k n 时，111112++-=-++++k k k k c a c c c )1(11111+-+++=++a c c k k 2(1)10a a >-+=->．∴12++>k k c c ， 即当1+=k n 时结论成立．由①，②知数列{}n c 是单调递增数列． ……………………………………12分 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程（Ⅰ）将1C 化为普通方程为222()x a y a -+=，其极坐标方程为2cos a ρθ=， 由题可得当0θ=时，||1OA ρ==，∴12a =. …………………………………2分将2C 化为普通方程为222()x y b b +-=，其极坐标方程为2sin b ρθ=, 由题可得当2πθ=时，||2OB ρ==，∴1b =. …………………………………4分（Ⅱ）由,a b 的值可得1C ，2C 的方程分别为cos ρθ=，2sin ρθ=, ∴222||||||2cos 2sin cos sin 2cos21OA OA OB θθθθθ+⋅=+=++)14πθ=++. ……………………………6分52[,],444πππθ+∈)14πθ++1，当2,428πππθθ+==即时取到. ……10分23.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲（Ⅰ）∵0<a ，∴115(0)||||2f a a a a =+-=-->，即25102a a ++>， 解得2a <-或102a -<<. ……………………………………4分 （Ⅱ）13,2111()|2|||,2113,a x a x a af x x a x x a x a a a x a x a a ⎧+-≥-⎪⎪⎪=++-=---<<-⎨⎪⎪--+≤⎪⎩, ………………6分当2a x ≥-时，1()2a f x a ≥--；当12a x a <<-时，1()2a f x a>--；11 当1x a ≤时，2()f x a a≥--. ……………………………………8分∴min 1()2a f x a =--≥=，当且仅当12a a -=-即a =取等号， ∴2)(≥x f . …………………………………………………………10分。

2016年陕西省高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1．设集合M={x||x﹣1|≤1}，N={x|y=lg（x2﹣1）}，则M∩∁R N=（）A．[1，2]B．[0，1]C．（﹣1，0）D．（0，2）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】化简集合M、N，求出∁R N，再计算M∩∁R N．【解答】解：集合M={x||x﹣1|≤1}={x|﹣1≤x﹣1≤1}={x|0≤x≤2}=[0，2]，N={x|y=lg（x2﹣1）}={x|x2﹣1＞0}={x|x＜﹣1或x＞1}=（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）；∴∁R N=[﹣1，1]；∴M∩∁R N=[0，1]．故选：B．2．复数（i是虚数单位）的虚部是（）A．﹣1 B．2 C．﹣2 D．1【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数，则答案可求．【解答】解：=，则复数（i是虚数单位）的虚部是：1．故选：D．3．设α为锐角，若cos=，则sin的值为（）A．B．C．﹣D．﹣【考点】二倍角的正弦；三角函数的化简求值．【分析】利用同角三角函数基本关系式、倍角公式即可得出．【解答】解：∵α为锐角，cos=，∴∈，∴==．则sin===．故选：B．4．在区间[0，1]上随机取两个数x，y，记P为事件“x+y≤”的概率，则P=（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】由题意可得总的基本事件为{（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤1}，事件P包含的基本事件为{（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤1，x+y≤}，数形结合可得．【解答】解：由题意可得总的基本事件为{（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤1}，事件P包含的基本事件为{（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤1，x+y≤}，它们所对应的区域分别为图中的正方形和阴影三角形，故所求概率P==，故选：D．5．设S n是等差数列{a n}的前n项和，若a2+a3+a4=3，则S5=（）A．5 B．7 C．9 D．11【考点】等差数列的前n项和．【分析】由题意和等差数列的性质可得a3，再由求和公式和等差数列的性质可得S5=5a3，代值计算可得．【解答】解：∵S n是等差数列{a n}的前n项和，a2+a3+a4=3，∴3a3=a2+a3+a4=3，即a3=1，∴S5===5a3=5，故选：A．6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．64﹣πB．64﹣2πC．64﹣4πD．64﹣8π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体是由一个正方体在中间挖去一个圆柱得到的．即可得出．【解答】解：由三视图可知：该几何体是由一个正方体在中间挖去一个圆柱得到的．∴该几何体的体积=43﹣π×12×2=64﹣2π．故选：B7．执行右面的程序框图，如果输入的N=3，那么输出的S=（）A．1 B．C．D．【考点】程序框图．【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到满足条件K＞3，跳出循环，计算输出S的值．【解答】解：由程序框图知：输入N=3时，K=1，S=0，T=1第一次循环T=1，S=1，K=2；第二次循环T=，S=1+，K=3；第三次循环T=，S=1++，K=4；满足条件K＞3，跳出循环，输出S=1++=．故选：C．8．已知向量=（1，2），=（2，﹣3）．若向量满足⊥（+），且∥（﹣），则=（）A．B．C．D．【考点】平面向量的坐标运算．【分析】设出=（x，y），根据平面向量的坐标运算以及向量垂直与共线的坐标表示，列出方程组求出x、y的值即可．【解答】解：设=（x，y），向量=（1，2），=（2，﹣3），∴+=（3，﹣1），﹣=（1﹣x，2﹣y）；又⊥（+），∴•（+）=3x﹣y=0①；又∥（﹣），2（2﹣y）﹣（﹣3）•（1﹣x）=0②；由①、②组成方程组，解得x=，y=；∴=（，）．故选：A．9．设函数f（x）=则f[f（﹣8）]=（）A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣2【考点】函数的值．【分析】利用分段函数由已知先求出f（﹣8），由此能求出f[f（﹣8）]．【解答】解：∵f（x）=，∴f（﹣8）=﹣（﹣8）=2，f[f（﹣8）]=2+﹣7=﹣4．故选：B．10．若圆C：（x﹣3）2+（y﹣2）2=1（a＞0）与直线y=x相交于P、Q两点，则|PQ|=（）A．B．C．D．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】求出圆C圆心C（3，2），半径r=1，再求出圆心C（3，2）到直线y=x的距离d，由此利用勾股定理能求出|PQ|的长．【解答】解：∵圆C：（x﹣3）2+（y﹣2）2=1的圆心C（3，2），半径r=1，圆心C （3，2）到直线y=x 的距离d==，∵圆C ：（x ﹣3）2+（y ﹣2）2=1（a ＞0）与直线y=x 相交于P 、Q 两点，∴|PQ |=2=2=．故选：C ．11．设m ＞1，在约束条件下，目标函数z=x +my 的最大值小于2，则m 的取值范围为（ ）A ．（1，）B ．（，+∞）C ．（1，3）D ．（3，+∞）【考点】简单线性规划的应用．【分析】根据m ＞1，我们可以判断直线y=mx 的倾斜角位于区间（，）上，由此我们不难判断出满足约束条件的平面区域的形状，再根据目标函数Z=X +my 对应的直线与直线y=mx 垂直，且在直线y=mx 与直线x +y=1交点处取得最大值，由此构造出关于m 的不等式组，解不等式组即可求出m 的取值范围．【解答】解：∵m ＞1故直线y=mx 与直线x +y=1交于点，目标函数Z=X +my 对应的直线与直线y=mx 垂直，且在点，取得最大值 其关系如下图所示：即，解得1﹣＜m ＜又∵m ＞1 解得m ∈（1，） 故选：A ．12．对于函数f （x ）=e ax ﹣lnx （a 是实常数），下列结论正确的一个是（ ）A．a=1时，f（x）有极大值，且极大值点x0∈（，1）B．a=2时，f（x）有极小值，且极小值点x0∈（0，）C．a=时，f（x）有极小值，且极小值点x0∈（1，2）D．a＜0时，f（x）有极大值，且极大值点x0∈（﹣∞，0）【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求出函数的导数，根据函数极值存在的条件，以及函数零点的判断条件，判断f′（x）=0根的区间即可得到结论．【解答】解：∵f（x）=e ax﹣lnx，∴函数的定义域为（0，+∞），函数的导数为f′（x）=ae ax﹣，若a=，f（x）=﹣lnx，则f′（x）=﹣在（0，+∞）上单调递增，f′（1）=，f′（2）═，∴函数f（x）存在极小值，且f′（x）=0的根在区间（1，2）内，故选：C二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．【理】如果的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是21．【考点】二项式系数的性质．【分析】先通过给x赋值1得到展开式的各项系数和；再利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为﹣3得到展开式中的系数．【解答】解：令x=1得展开式的各项系数和为2n∴2n=128解得n=7∴展开式的通项为T r+1=令7﹣=﹣3，解得r=6∴展开式中的系数为3C76=21故答案为：21．【文】设抛物线y2=2px的焦点在直线2x+3y﹣8=0上，则该抛物线的准线方程为．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出直线与x轴的交点坐标，即抛物线的焦点坐标，从而得出准线方程．【解答】解：把y=0代入2x+3y﹣8=0得：2x﹣8=0，解得x=4，∴抛物线的焦点坐标为（4，0），∴抛物线的准线方程为x=﹣4．故选：A ．14．已知数列1、a 、b 成等差数列，而1、b 、a 成等比数列．若a ≠b ，则7alog a （﹣b ）= ． 【考点】等比数列的通项公式；等差数列的通项公式． 【分析】数列1、a 、b 成等差数列，而1、b 、a 成等比数列．可得2a=1+b ，b 2=a ，解得b ，a ，再利用对数的运算性质即可得出．【解答】解：∵数列1、a 、b 成等差数列，而1、b 、a 成等比数列．∴2a=1+b ，b 2=a ，可得2b 2﹣b ﹣1=0，解得b=1或﹣．∵a ≠b ，∴b ≠1．∴b=﹣，a=．则7alog a （﹣b ）==．故答案为：．15．已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB=90°，C 为该球面上的动点．若三棱锥O ﹣ABC 体积的最大值为3，则球O 的体积为 24π ．【考点】球的体积和表面积．【分析】当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O ﹣ABC 的体积最大，利用三棱锥O ﹣ABC 体积的最大值为3，求出半径，即可求出球O 的表面积．【解答】解：如图所示，当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O ﹣ABC 的体积最大，设球O 的半径为R ，此时V O ﹣ABC =V C ﹣AOB ===3∴R 3=18，则球O 的体积为πR 3=24π．故答案为：24π．16．已知曲线y=x +lnx 在点（1，1）处的切线与曲线y=ax 2+（a +2）x +1相切，则a= 8 ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出y=x +lnx 的导数，求得切线的斜率，可得切线方程，再由于切线与曲线y=ax 2+（a +2）x +1相切，有且只有一切点，进而可联立切线与曲线方程，根据△=0得到a 的值．【解答】解：y=x +lnx 的导数为y ′=1+，曲线y=x+lnx在x=1处的切线斜率为k=2，则曲线y=x+lnx在x=1处的切线方程为y﹣1=2x﹣2，即y=2x﹣1．由于切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，故y=ax2+（a+2）x+1可联立y=2x﹣1，得ax2+ax+2=0，又a≠0，两线相切有一切点，所以有△=a2﹣8a=0，解得a=8．故答案为：8．三、解答题（共5小题，每小题12分，共60分）17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=3，b=4，B=+A．（I）求tanB的值；（Ⅱ）求c的值．【考点】正弦定理．【分析】（I）由正弦定理，诱导公式可得3cosA=4sinA，可得tanA的值，由已知及诱导公式即可求tanB的值．（Ⅱ）由tanB=﹣，利用同角三角函数基本关系式可求cosB，sinB，sinA，cosA，由两角和的余弦函数公式可求cosC的值，利用余弦定理即可求c的值．【解答】解：（I）∵a=3，b=4，B=+A．∴由正弦定理可得：=，∴3cosA=4sinA，可得：tanA==，∴tanB=tan（+A）=﹣=﹣．（Ⅱ）∵tanB=﹣．∴cosB=﹣=﹣，sinB==，sinA=sin（B﹣）=﹣cosB=，cosA=，∴cosC=﹣cos（A+B）=sinAsinB﹣cosAcosB=×﹣×（﹣）=，∴c===．18．【理】某中学利用周末组织教职员工进行了一次秋季登山健身的活动，有N人参加，现将所有参加者按年龄情况分为[20，25），[25，30），[30，35），[35，40），[40，45），[45，50），[50，55）等七组，其频率分布直方图如下所示．已知[35，40）这组的参加者是8人．（1）求N和[30，35）这组的参加者人数N1；（2）已知[30，35）和[35，40）这两组各有2名数学教师，现从这两个组中各选取2人担任接待工作，设两组的选择互不影响，求两组选出的人中都至少有1名数学老师的概率；（3）组织者从[45，55）这组的参加者（其中共有4名女教师，其余全为男教师）中随机选取3名担任后勤保障工作，其中女教师的人数为x，求x的分布列和均值．【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）先求出年龄在[35，40）内的频率，由此能求出总人数和[30，35）这组的参加者人数N1．（2）记事件B为“从年龄在[30，35]之间选出的人中至少有1名数学教师”，记事件C为“从年龄在[35，40）之间选出的人中至少有1名数学教师”，分别求出P（B），P（C），由此能求出两组选出的人中都至少有1名数学老师的概率．（3）年龄在[45，55）之间的人数为6人，其中女教师4人，ξ的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．【解答】解：（1）∵年龄在[35，40）内的频率为0.04×5=0.2，∴总人数N==40人．∵[30，35）这组的频率为：1﹣（0.01×2+0.02+0.03×2+0.04）×5=0.3，[30，35）这组的参加者人数N1为：40×0.3=12人．（2）记事件B为“从年龄在[30，35]之间选出的人中至少有2名数学教师”，∵年龄在[30，35）之间的人数为12，∴P（B）=1﹣=，记事件C为“从年龄在[35，40）之间选出的人中至少有1名数学教师”，∵年龄在[35，40）之间的人数为8，∴P（C）=1﹣=，∴两组选出的人中都至少有1名数学老师的概率P（BC）==．（3）年龄在[45，55）之间的人数为6人，其中女教师4人，∴ξ的可能取值为1，2，3，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，ξEξ==2．100（2）估计这种产品质量指标的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？【考点】极差、方差与标准差；频率分布直方图．【分析】（1）根据频率分布直方图做法画出即可；（2）用样本平均数和方差来估计总体的平均数和方差，代入公式计算即可．（3）求出质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值，再和0.8比较即可．【解答】解：（1）频率分布直方图如图所示：（2）质量指标的样本平均数为=80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08=100，质量指标的样本的方差为S2=（﹣20）2×0.06+（﹣10）2×0.26+0×0.38+102×0.22+202×0.08=104，这种产品质量指标的平均数的估计值为100，方差的估计值为104．（3）质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.38+0.22+0.08=0.68，由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定．19．【理】如图，在四棱柱P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，△PCD为等边三角形，，点M为BC 中点，平面PCD⊥平面ABCD．（1）求证：PD⊥BC；（2）求二面角P﹣AM﹣D的大小．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）根据线面垂直的性质定理即可得到结论．（2）过点O垂直CD的直线为x轴，OC为y轴，OP为z轴，分别求出平面ADM的法向量和平面PAM的法向量，利用向量法能求出二面角P﹣AM﹣D的大小．【解答】解：（1）取CD的中点O，连接OP，∵△PCD为等边三角形，∴OP⊥CD，又平面PCD⊥平面ABCD，∴OP⊥平面ABCD，∵CD⊥BC，∴BC⊥平面PCD，∴PD⊥BC…（2）以O为原点，过点O垂直CD的直线为x轴，OC为y轴，OP为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz．∵，不妨设AB=2，则BC=2，依题意得：A（2，﹣1，0），D（0，﹣1，0），P（0，0，），M（，1，0），∵OP⊥平面ABCD，∴是平面ADM的法向量，设平面PAM的法向量为，又，由，令y=1，得=（），∴cos＜＞==，∴二面角P﹣AM﹣D的大小为45°．【文】如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=4，BC=CD=2，AA1=2，E，E1分别是棱AD，AA1的中点．（1）设F是棱AB的中点，证明：直线EE1∥平面FCC1；（2）证明：平面D1AC⊥平面BB1C1C．【考点】平面与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）取A1B1的中点为F1，连接FF1，C1F1，要证明直线EE1∥平面FCC1，只需证明EE1∥F1C，就证明了EE1∥平面FCC1内的直线，即可推得结论；（2）要证明平面D1AC⊥平面BB1C1C，只需证明AC⊥BC，AC⊥CC1，即可．【解答】证明：（1）方法一：取A1B1的中点为F1，连接FF1，C1F1，由于FF1∥BB1∥CC1，所以F1∈平面FCC1，因此平面FCC1即为平面C1CFF1．连接A1D，F1C，由于A1F1D1C1CD，所以四边形A1DCF1为平行四边形，因此A1D∥F1C．又EE1∥A1D，得EE1∥F1C，而EE1⊄平面FCC1，F1C⊂平面FCC1，故EE1∥平面FCC1．方法二：因为F为AB的中点，CD=2，AB=4，AB∥CD，所以CD綊AF，因此四边形AFCD为平行四边形，所以AD∥FC．又CC1∥DD1，FC∩CC1=C，FC⊂平面FCC1，CC1⊂平面FCC1，所以平面ADD1A1∥平面FCC1，又EE1⊂平面ADD1A1，所以EE1∥平面FCC1．（2）连接AC，取F为AB的中点，在△FBC中，FC=BC=FB=2，又F为AB的中点，所以AF=FC=FB=2，因此∠ACB=90°，即AC⊥BC．又AC⊥CC1，且CC1∩BC=C，所以AC⊥平面BB1C1C，而AC⊂平面D1AC，故平面D1AC⊥平面BB1C1C．20．已知椭圆L： +=1（a＞b＞0）的一个焦点于抛物线y2=8x的焦点重合，点（2，）在L 上．（Ⅰ）求L 的方程；（Ⅱ）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与L有两个交点A，B，线段AB的中点为M，证明：OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）求得抛物线的焦点，可得c=2，再由点满足椭圆方程，结合a，b，c的关系，解方程可得椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+b（k，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式可得M的坐标，可得直线OM的斜率，进而得到证明．【解答】解：（Ⅰ）抛物线y2=8x的焦点为（2，0），由题意可得c=2，即a2﹣b2=4，又点（2，）在L上，可得+=1，解得a=2，b=2，即有椭圆L： +=1；（Ⅱ）证明：设直线l的方程为y=kx+b（k，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），将直线y=kx+b代入椭圆方程+=1，可得（1+2k2）x2+4kbx+2b2﹣8=0，x1+x2=﹣，即有AB的中点M的横坐标为﹣，纵坐标为﹣k•+b=，直线OM的斜率为k OM==﹣•，即有k OM•k=﹣．则OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．21．已知函数f（x）=e x，g（x）=mx+n．（1）设h（x）=f（x）﹣g（x）．当n=0时，若函数h（x）在（﹣1，+∞）上没有零点，求m的取值范围；（2）设函数r（x）=，且n=4m（m＞0），求证：x≥0时，r（x）≥1．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义即可得到结论．（2）求出r（x）的表达式，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性即可．【解答】解：（1）当n=0时，h（x）=f（x）﹣g（x）=e x﹣mx．若函数h（x）在（﹣1，+∞）上没有零点，即e x﹣mx=0在（﹣1，+∞）上无解，若x=0，则方程无解，满足条件，若x≠0，则方程等价为m=，设g（x）=，则函数的导数g′（x）=，若﹣1＜x＜0，则g′（x）＜0，此时函数单调递减，则g（x）＜g（﹣1）=﹣e﹣1，若x＞0，由g′（x）＞0得x＞1，由g′（x）＜0，得0＜x＜1，即当x=1时，函数取得极小值，同时也是最小值，此时g（x）≥g（1）=e，综上g（x）≥e或g（x）＜﹣e﹣1，若方程m=无解，则﹣e﹣1≤m＜e．（2）∵n=4m（m＞0），∴函数r（x）==+=+，则函数的导数r′（x）=，设h（x）=16e x﹣（x+4）2，则h′（x）=16e x﹣2（x+4）=16e x﹣2x﹣8，[h′（x）]′=16e x﹣2，当x≥0时，[h′（x）]′=16e x﹣2＞0，则h′（x）为增函数，即h′（x）＞h′（0）=16﹣8=8＞0，即h（x）为增函数，∴h（x）≥h（0）=16﹣16=0，即r′（x）≥0，即函数r（x）在[0，+∞）上单调递增，故r（x）≥r（0）=+0=1，故当x≥0时，r（x）≥1成立．[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分0分）22．在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t≠0），其中0≤α≤π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ，C3：ρ=2cosθ．（1）求C2与C3交点的直角坐标；（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（I）由曲线C2：ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ，把代入可得直角坐标方程．同理由C3：ρ=2cosθ．可得直角坐标方程，联立解出可得C2与C3交点的直角坐标．（2）由曲线C1的参数方程，消去参数t，化为普通方程：y=xtanα，其中0≤α≤π，其极坐标方程为：θ=α（ρ∈R，ρ≠0），利用|AB|=即可得出．【解答】解：（I）由曲线C2：ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ，∴x2+y2=2y．同理由C3：ρ=2cosθ．可得直角坐标方程：，联立，解得，，∴C2与C3交点的直角坐标为（0，0），．（2）曲线C1：（t为参数，t≠0），化为普通方程：y=xtanα，其中0≤α≤π，其极坐标方程为：θ=α（ρ∈R，ρ≠0），∵A，B都在C1上，∴A（2sinα，α），B．∴|AB|==4，当时，|AB|取得最大值4．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）23．设a，b，c，d均为正数，且a﹣c=d﹣b，证明：（Ⅰ）若ab＞cd，则+＞+；（Ⅱ）+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．【考点】不等式的证明；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】（Ⅰ）运用两边平方，结合条件和不等式的性质，即可得证；（Ⅱ）先证若|a﹣b|＜|c﹣d|，则（a﹣b）2＜（c﹣d）2，可得ab＞cd，由（Ⅰ）可得+＞+；再证若+＞+，两边平方，由条件结合不等式的性质，可得|a﹣b|＜|c﹣d|，即可得证．【解答】证明：（Ⅰ）由（+）2=a+b+2，（+）2=c+d+2，由a﹣c=d﹣b，可得a+b=c+d，由ab＞cd，可得（+）2＞（+）2，即为+＞+；（Ⅱ）若|a﹣b|＜|c﹣d|，则（a﹣b）2＜（c﹣d）2，即（a+b）2﹣4ab＜（c+d）2﹣4cd，由a+b=c+d，可得ab＞cd，由（Ⅰ）可得+＞+；若+＞+，则（+）2＞（+）2，即有a+b+2＞c+d+2，由a﹣c=d﹣b，可得a+b=c+d，即有ab＞cd，（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab＜（c+d）2﹣4cd=（c﹣d）2，可得|a﹣b|＜|c﹣d|．即有+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．。

2017年陕西省高考数学试卷（理科）（全国新课标Ⅱ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）=（）A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i2．（5分）设集合A={1，2，4}，B={x|x2﹣4x+m=0}．若A∩B={1}，则B=（）A．{1，﹣3}B．{1，0}C．{1，3}D．{1，5}3．（5分）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏4．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（）A．90πB．63πC．42πD．36π5．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x+y的最小值是（）6．（5分）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）A．12种B．18种C．24种D．36种7．（5分）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩8．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的a=﹣1，则输出的S=（）A．2 B．3 C．4 D．59．（5分）若双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2=4所截得的弦长为2，则C的离心率为（）A．2 B．C．D．10．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．11．（5分）若x=﹣2是函数f（x）=（x2+ax﹣1）e x﹣1的极值点，则f（x）的极小值为（）A．﹣1 B．﹣2e﹣3C．5e﹣3 D．112．（5分）已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则•（+）的最小值是（）A．﹣2 B．﹣ C．﹣ D．﹣1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

-1012}012}01}-101}-1012} 23B．5A．4C．D．3[+高三年级第二次教学质量检测试题理科数学注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

写在本试卷上无效。

3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一.选择题：本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={-2，，，，，B={x|-2<x≤2}，则A B=A．{-1，，，B．{-1，，C．{-2，，，D．{-2，，，，2.复数2-i1+i对应的点在A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3.已知向量a=(2,-1),b=(3,x)，若a⋅b=3，则x=A．3B．4C．5D．64.已知双曲线x2y2-a b23=1的一条渐近线方程为y=x，则此双曲线的离心率为457445.已知条件p：x-4≤6；条件q：x≤1+m，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是A．(-∞,-1]B．(-∞,9]C．1,9]D．[9，∞)6.运行如图所示的程序框图，输出的结果S=A．14B．30C．62D．1268.已知α,β是两个不同的平面，l,m,n是不同的直线，下列命题不正确的是A．πA．332D．27.(x-1)n的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中含x2项的系数是xA．56B．35C．－56D．－35．．．A．若l⊥m,l⊥n,m⊂α,n⊂α,则l⊥αB．若l//m,l⊂/α,m⊂α,则l//αC．若α⊥β,αβ=l,m⊂α,m⊥l,则m⊥βD．若α⊥β,m⊥α,n⊥β,，则m⊥n9.已知f(x)=sin x+3cos x(x∈R)，函数y=f(x+ϕ)的图象关于直线x=0对称，则ϕ的值可以是πππB．C．D．263410.男女生共8人，从中任选3人，出现2个男生，1个女生的概率为1528，则其中女生人数是A．2人B．3人C．2人或3人D．4人11.已知抛物线y2=4x，过焦点F作直线与抛物线交于点A，B(点A在x轴下方)，点A与1点A关于x轴对称，若直线AB斜率为1，则直线A B的斜率为12B．3C．12.下列结论中，正确的有①不存在实数k,使得方程x ln x-1x2+k=0有两个不等实根；2②已知△ABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，且a2+b2=2c2，则角C的最大值为π6；③函数y=ln与y=ln tan x2是同一函数；④在椭圆x2y2+a2b2=1(a>b>0)，左右顶点分别为A，B，若P为椭圆上任意一点（不同于A,B），则直线PA与直线PB斜率之积为定值．A．①④B．①③C．①②D．②④13.已知等比数列{a}的前n项和为S，且a+a=5n2414.已知实数x、y满足约束条件⎨y≥2,则z=2x+4y的最大值为______．⎪x+y≤6②若a∈(0,1)，则a<a1+11-x是奇函数(第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题、第23题为选考题，考生根据要求做答.二.填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分.5,a+a=，则S=__________．n13246⎧x≥2⎪⎩15.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的外接球的半径为__________．16.下列命题正确是．(写出所有正确命题的序号)①若奇函数f(x)的周期为4，则函数f(x)的图象关于(2,0)对称；③函数f(x)=ln；三.解答题：本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a=3，b=4，B=A+高三理科数学试题和答案第3页共6页π2．， 20 40 60 80 ，（1）求 cos B 的值；（2）求 sin 2 A + sin C 的值．18.（本小题满分 12 分）如图，三棱柱 ABC - A B C 中，侧棱 AA ⊥ 平面 ABC ， ∆ABC 为等腰直角三角形，1 1 1 1∠BAC = 90 ，且 AA = AB ， E , F 分别是 C C , BC 的中点．1 1（1）求证：平面 AB F ⊥ 平面 AEF ；1（2）求二面角 B - AE - F 的余弦值．119.（本小题满分 12 分）某市随机抽取部分企业调查年上缴税收情况（单位：万元），将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），年上缴税收范围是[0 100]，样本数据分组为第一组[0， )，第二组[20， )，第 三组 [40， )，第四组 [60， )，第五组 [80 100]．（1）求直方图中 x 的值；（2）如果年上缴税收不少于 60 万元的企业可申请政策优惠，若共抽取企业 1200 家，试估计有多少企业可以申请政策优惠；（3）从所抽取的企业中任选 4 家，这 4 家企业年上缴税收少于 20 万元的家数记为 X ，求 X 的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）= 1(a > b > 0) 经过点 P (2, 2) ，离心率 e = ，直线 l 的方程为 220．（本小题满分 12 分）已知椭圆 C ： x 2 y 2+ a 2 b 22 2x = 4 ．（1）求椭圆 C 的方程；（2）经过椭圆右焦点 F 的任一直线（不经过点 P ）与椭圆交于两点 A ， B ，设直线 AB 与l 相交于点 M ，记 P A , PB , PM 的斜率分别为 k , k , k ，问：是否存在常数 λ ，使得1 2 3k + k = λ k ？若存在，求出 λ 的值，若不存在，说明理由．12321.（本小题满分 12 分）已知函数 f ( x ) = ax + ln x ，其中 a 为常数，设 e 为自然对数的底数．（1）当 a = -1 时，求 f ( x ) 的最大值；（2）若 f ( x ) 在区间 (0, e ] 上的最大值为 -3 ，求 a 的值；（3）设 g ( x ) = xf ( x ), 若 a > 0, 对于任意的两个正实数 x , x ( x ≠ x ) ，1 2 1 2证明： 2 g ( x 1 + x 2) < g ( x ) + g ( x ) ．1 2请考生在第 22、23 二题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时，用⎪⎪ 5⎩17．解：（1）∵ B = A + ， ∴ A = B -， ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 1 分 ==2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.22.（本小题满分 10 分）选修 4－4：坐标系与参数方程⎧3 x =- t + 2 在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 ⎨ ( t 为参数)，以原点 O 为极点， x⎪ y = 4 t ⎪5轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为 ρ = a sin θ ．（1）若 a = 2 ，求圆 C 的直角坐标方程与直线 l 的普通方程；（2）设直线 l 截圆 C 的弦长等于圆 C 的半径长的 3 倍，求 a 的值．23.（本小题满分 10 分）选修 4－5：不等式选讲已知函数 f ( x ) = 2x -1 + 2x + 5 ，且 f ( x ) ≥ m 恒成立．（1）求 m 的取值范围；（2）当 m 取最大值时，解关于 x 的不等式： x - 3 - 2x ≤ 2m - 8 ．高三第二次质量检测理科数学答案一．ADABD CCABC CA二．13．631614．20 15． 61 16．①③ππ2 23 4 又 a = 3, b = 4 ，所以由正弦定理得 ，sin Asin B34所以， ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅3 分- cos B sin B所以 -3sin B = 4cos B ，两边平方得 9sin 2 B = 16cos 2 B ，3又 sin 2 B + cos 2 B = 1 ，所以 cos B = ± ， ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 5 分5π 3而 B > ，所以 cos B = - ． ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 6 分2 53 4（2）∵ cos B = - ，∴ sin B = ， ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 7 分5 5∴面 ABC ⊥ 面 BB C C..........2 分+ = 则 F (0,0,0) ， A ( 22 2 2 2 2 1 ∵ B = A +π2，∴ 2 A = 2 B - π ，∴ sin 2 A = sin(2 B - π ) = - sin 2 B ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 8 分4 3 24= -2sin B cos B = -2 ⨯ ⨯ (- ) = ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 10 分5 5 25又 A + B + C = π ，∴ C = 3π 2- 2 B ，7 24 7 31∴ sin C = - cos 2 B = 1 - cos 2 B = ．∴ sin 2 A + sin C = ． (12)25 25 25 25分18．解答： （1）证明：∵ F 是等腰直角三角形 ∆ABC 斜边 BC 的中点，∴ AF ⊥ BC ．又∵侧棱 AA ⊥ 平面ABC ，11 1∴ AF ⊥ 面 BB 1C 1C ， AF ⊥ B 1F ．…3 分设 AB = AA = 1 ，则1，EF= ， ．∴ B F 2 + EF 2 = B E 2 ，∴ B F ⊥ EF ．.......... 4 分1 11又 AF ⋂ EF = F ，∴ B F ⊥平面 AEF ．…1而 B F ⊂ 面 AB F ，故：平面 AB F ⊥ 平面 AEF ． ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅5 分1 11（2）解：以 F 为坐标原点， FA ， FB 分别为 x ， y 轴建立空间直角坐标系如图，设 AB = AA = 1 ，12 2 1,0,0) ， B (0, - ,1) ， E (0, - , ) ，12 2 1 2 2AE = (- , - , ) , AB = (- , ,1) ．… ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 6 分2 2 2 2 2由（1）知， B F ⊥平面 AEF ，取平面 AEF 的法向量：12m = FB = (0, ,1) ． ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 7 分14 4 256 4 4 4 644 4 64 4 4 64设平面 B AE 的法向量为 n = ( x , y , z ) ，1由取 x = 3 ，得 n = (3, -1,2 2) (10),分设二面角 B - AE - F 的大小为θ ，1则 cos θ=|cos ＜＞|=| |= ．由图可知θ 为锐角，∴所求二面角 B - AE - F 的余弦值为．… ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 12 分119．解答： 解：（I ）由直方图可得： 20 ⨯ (x + 0.025 + 0.0065 + 0.003 ⨯ 2) = 1解得 x = 0.0125 ．⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 2 分（II ）企业缴税收不少于 60 万元的频率 = 0.003 ⨯ 2 ⨯ 20 = 0.12 ， ∴1200 ⨯ 0.12 = 144 ．∴1200 个企业中有144 个企业可以申请政策优惠．⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 4 分（III ） X 的可能取值为 0,1,2,3,4 ．由（I ）可得：某个企业缴税少于 20 万元的概率 = 0.0125 ⨯ 20 = 0.25 =分1 3 81 1 3 27P ( X = 0) = C 0 ( )0 ( )4 = P ( X = 1) = C 1 ( )1 ( )3 = 41 3 27 1 3 3P ( X = 2) = C 2 ( )2 ( )2 = P ( X = 3) = C 3 ( )3 ( )1 =4 4 14 (5)X0 1 2 3 44 4 256∴ E ( X ) = 0 ⨯ 81+ = 1 ① 又e = , 所以 = = 4, a = 8,b 1 + 2k 2 1 + 2k 2, x x = x - 2 x - 22, k = k = 2k - 2 4 - 2 2P8125627 64 27 64 3 64 1 2561 3 1P ( X = 4) = C 4 ( )4 ( )0 =4...................................... 10 分............. 11 分27 27 3 1+ 1⨯ + 2 ⨯ + 3 ⨯ + 4 ⨯= 1． ....12 分25664 64 64 25620．解：（1）由点 P (2, 2) 在椭圆上得， 4 2 2 c 2 a 2 b 2 2 a 2②由 ①②得 c 2 2 2 = 4 ，故椭圆 C 的方程为 x 2 y 2+ = 1 ……………………..4 分 8 4（2）假设存在常数 λ ，使得 k + k = λ k .1 23由题意可设 AB 的斜率为k , 则直线AB 的方程为 y = k ( x - 2) ③代入椭圆方程x 2 y 2+ = 1 并整理得 (1+ 2k 2 ) x 2 - 8k 2 x + 8k 2 - 8 = 0 8 48k 2 8k 2 - 8设 A ( x , y ), B ( x , y ) ，则有 x + x = ④ ……………6 分 1 1 2 2 1 2 1 2在方程③中，令 x = 4 得， M (4,2 k ) ，从而 k = y 1 - 2 y 2 - 21 2 1,3 2= k - .又因为 A 、F 、B 共线，则有 k = k AF = k BF ，即有y当 a = -1 时， f ( x ) = - x + ln x ， f ' ( x ) = -1 + 1①若 a ≥ - ，则 f ' ( x ) ≥ 0 ，从而 f ( x ) 在 (0, e ] 上是增函数，y1=2= k ……………8 分x - 2x - 21 2所以 k + k = 1 2 y - 2 y - 2 1 + 2 x - 2 x - 21 2= y y 1 11 +2 - 2( + )x - 2 x - 2 x - 2 x - 2 1 2 1 2= 2k - 2x 1 + x 2 - 4x x - 2( x + x ) + 41 212⑤ ……………10 分将④代入⑤得 k + k = 2k - 2 1 2 8k 2- 41 + 2k2 8k 2 - 8 8k 2- 2 + 41 + 2k2 1 + 2k 2= 2k - 2 ，又 k = k - 32 2 ，所以 k + k = 2k 1 2 3 . 故存在常数 λ = 2 符合题意…………12 分21.【解答】解：（1）易知 f ( x ) 定义域为 (0, +∞) ，1 - x= ，x x令 f ' ( x ) = 0 ，得 x = 1 ．当 0 < x < 1 时， f ' ( x ) > 0 ；当 x > 1 时， f ' ( x ) < 0 ． (2)分∴ f ( x ) 在 (0,1) 上是增函数，在 (1,+∞) 上是减函数．f ( x )max= f (1) = -1．∴函数 f ( x ) 在 (0, +∞) 上的最大值为 -1 ． ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 4 分（2）∵ f '( x ) = a + 1 1 1, x ∈ (0, e ], ∈ [ , +∞) ．x x e1e∴ f ( x )max= f (e ) = ae + 1 ≥ 0 ，不合题意． ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 5 分11② 若 a < - ，则由 f ' ( x ) > 0 ⇒ a +ex> 0 ，即 0 < x < -1a11由 f ' ( x ) < 0 ⇒ a +< 0 ，即 - < x ≤ e ． ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 6 分xa从而 f ( x ) 在 (0, - ) 上增函数，在 (- （3）法一：即证 2a ( x + x 2) + 2( 12 )ln( 222 2 x 2 x21 1a a, e ) 为减函数∴ f ( x ) max 1 1 = f (- ) = -1 + ln(- ) a a1 1令 -1 + ln(- ) = -3 ，则 ln(- ) = -2a a∴- 11= e -2 -e 2 < -a ，即 a = -e 2．∵ e ，∴ a = -e 2 为所求 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 8 分1 1 x + x x + x2 2 22 ) ≤ ax 2 + ax 2 + x ln x + x ln x 1 2 1 1 222a ( x + x ( x + x )21 2 )2 - ax 2 - ax 2 = a ⋅[ 1 21 2- x 2 - x 2 ]1 2( x - x )2= -a 1 2 2< 0 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 9 分另一方面，不妨设 x < x ，构造函数1 2k ( x ) = ( x + x )ln(1x + x12) - x ln x - x ln x ( x > x )1 1 1x + xx + x则 k ( x ) = 0 ，而 k ' ( x ) = ln 1 - ln x = ln 1 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 10 分1x + x由 0 < x < x 易知 0 < 11< 1 , 即 k ' ( x ) < 0 ， k ( x ) 在 ( x , +∞) 上为单调递减且连续， 1x + x故 k ( x ) < 0 ，即 ( x + x )ln( 11) < x ln x + x ln x 1 1相加即得证⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 12 分1法二： g ' ( x ) = 2ax + 1 + ln x , g '' ( x ) = 2a + > 0.........9 分x故 g ' ( x ) 为增函数，不妨令 x > x 21令 h ( x ) = g ( x ) + g ( x ) - 2 g (1x + x12)( x > x )1h ' ( x ) = g '(x ) - g ' (x + x12) ......... 10 分易知 x > x + x x + x1 ， 故h ' ( x ) = g '(x ) - g ' ( 12 2) > 0 (11)分而 h ( x ) = 0 ， 知 x > x 时， h ( x ) > 0112(2)圆 C ： x 2 + y - a ⎫2∴圆心 C 到直线的距离 d = 2- 8 得 a = 32 或 a = 32 ⎪ -4 x - 4, x < - 523.解 (1) f (x) = ⎨6, - 5⎩ 4 x + 4, x > 22 ≤ x ≤ ⎩3 - x - 2 x ≤4 ⎧ 3 ≤ x < 3 .所以，原不等式的解集为 ⎨⎧x x ≥ - ⎬ .故 h ( x ) > 0 ， 即 2 g ( x 1 + x 2) < g ( x ) + g ( x )21 2 (12)分22.解 (1) a = 2 时，圆 C 的直角坐标方程为 x 2 + (y -1)2 = 1 ；直线 l 的普通方程为 4 x + 3 y - 8 = 0 . ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 4 分⎛⎪ = ⎝ 2 ⎭a 2 4 ，直线 l : 4 x + 3 y - 8 = 0 ，∵直线 l 截圆 C 的弦长等于圆 C 的半径长的 3 倍，3a1 a5 = 2 ⨯ 2 ，11 .⎧2 ⎪1 ⎪2 ≤ x ≤ 2 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 2 分⎪1 ⎪ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 7 分⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 10 分当 - 5 12 时，函数有最小值 6 ，所以 m ≤ 6 . ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 5 分另解：∵ 2x -1 + 2x + 5 ≥ (2x -1) - (2x + 5) = -6 = 6 .∴ m ≤ 6 .(2)当 m 取最大值 6 时，原不等式等价于 x - 3 - 2x ≤ 4 ，⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 6 分等价于 ⎨ x ≥ 3 ⎩ x - 3 - 2x ≤ 4 ⎧ x < 3 ，或 ⎨，⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 8 分可得 x ≥ 3 或 - 11 ⎫ ⎩ 3 ⎭⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 10 分。

2017年陕西省榆林市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）设全集为R，集合A={x|x2﹣16＜0}，B={x|﹣2＜x≤6}，则A∩（∁R B）等于（）A．（﹣4，0）B．（﹣4，﹣2]C．（﹣4，4）D．（﹣4，﹣2）2．（5分）设复数z=﹣2+i（i是虚数单位），z的共轭复数为，则|（1+z）•|等于（）A．B．2 C．5 D．3．（5分）已知向量，满足•=8，||=3，||=4，则|2﹣|等于（）A．5 B．C．2 D．64．（5分）设函数f（x）=在区间[0，e]上随机取一个实数x，则f（x）的值不小于常数e的概率是（）A．B．1﹣C． D．5．（5分）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚疼减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起脚疼每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了？”根据此规律，求后3天一共走多少里（）A．156里B．84里C．66里D．42里6．（5分）设a=60.4，b=log0.40.5，c=log80.4，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜c＜a7．（5分）执行如图所示的程序框图，输出S的值为（）A．﹣B．﹣ C．﹣D．﹣8．（5分）设ω＞0，函数y=2cos（ωx+）﹣1的图象向右平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是（）A．B．C．D．9．（5分）如图所示是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A．3 B．4 C．6 D．910．（5分）点P在双曲线（a＞0，b＞0）的右支上，其左、右焦点分别为F1、F2，直线PF1与以坐标原点O为圆心、a为半径的圆相切于点A，线段PF1的垂直平分线恰好过点F2，则该双曲线的渐近线的斜率为（）A．± B．± C．± D．±11．（5分）体积为的球有一个内接正三棱锥P﹣ABC，PQ是球的直径，∠APQ=60°，则三棱锥P﹣ABC的体积为（）A．B．C．D．12．（5分）设正数x，y满足log x+log 3y=m（m∈[﹣1，1]），若不等式3ax2﹣18xy+（2a+3）y2≥（x﹣y）2有解，则实数a的取值范围是（）A．（1，]B．（1，]C．[，+∞） D．[，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知（1+x）（1﹣2x）6=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a7（x﹣1）7，则a3=．14．（5分）设各项均为正数的等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1a2=35，a1a3=45，则S10=．15．（5分）已知点A（1，y1），B（9，y2）是抛物线y2=2px（p＞0）上的两点，y2＞y1＞0，点F是它的焦点，若|BF|=5|AF|，则y12+y2的值为．16．（5分）若实数x，y满足，且z=mx﹣y（m＜2）的最小值为﹣，则m=．三、解答题（本大题共5小题，共70分）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．（1）求角B的大小；（2）若b=，a+c=3，求△ABC的面积．18．（12分）据统计，截至2016年底全国微信注册用户数量已经突破9.27亿，为调查大学生这个微信用户群体中每人拥有微信群的数量，现从某市大学生中随机抽取100位同学进行了抽样调查，结果如下：（Ⅰ）求a，b，c的值及样本中微信群个数超过12的概率；（Ⅱ）若从这100位同学中随机抽取2人，求这2人中恰有1人微信群个数超过12的概率；（Ⅲ）以（1）中的频率作为概率，若从全市大学生中随机抽取3人，记X表示抽到的是微信群个数超过12的人数，求X的分布列和数学期望E（X）．19．（12分）如图，已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为4的正三角形，B，E，F分别是AA1，CC1的中点，且BE⊥B1F．（1）求证：B1F⊥EC1；（2）求二面角C1﹣BE﹣C的余弦值．20．（12分）设椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，上顶点为A，过A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于Q点，且F1恰好是线段QF2的中点．（1）若过A、Q、F2三点的圆恰好与直线3x﹣4y﹣7=0相切，求椭圆C的方程；（2）在（1）的条件下，B是椭圆C的左顶点，过点R（，0）作与x轴不重合的直线l交椭圆C于E、F两点，直线BE、BF分别交直线x=于M、N两点，若直线MR、NR的斜率分别为k1，k2，试问：k1k2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=e x+be﹣x﹣2asinx（a，b∈R）．（1）当a=0时，讨论函数f（x）的单调区间；（2）当b=﹣1时，若f（x）＞0对任意x∈（0，π）恒成立，求a的取值范围．[选修题4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位，已知直线l的参数方程为（t为参数，0＜φ＜π），曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=8sinθ．（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于A、B两点，当φ变化时，求|AB|的最小值．[选修题4-5：不等式选讲]23．（10分）已知函数f（x）=|x﹣2|．（1）求不等式f（x）+x2﹣4＞0的解集；（2）设g（x）=﹣|x+7|+3m，若关于x的不等式f（x）＜g（x）的解集非空，求实数m的取值范围．2017年陕西省榆林市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）（2017•榆林二模）设全集为R，集合A={x|x2﹣16＜0}，B={x|﹣2＜x ≤6}，则A∩（∁R B）等于（）A．（﹣4，0）B．（﹣4，﹣2]C．（﹣4，4）D．（﹣4，﹣2）【解答】解：∵全集为R，集合A={x|x2﹣16＜0}={x|﹣4＜x＜4}，B={x|﹣2＜x≤6}，∴C R B={x|x≤﹣2或x＞6}，A∩（∁R B）={x|﹣4＜x≤﹣2}=（﹣4，﹣2]．故选：B．2．（5分）（2017•榆林二模）设复数z=﹣2+i（i是虚数单位），z的共轭复数为，则|（1+z）•|等于（）A．B．2 C．5 D．【解答】解：∵z=﹣2+i，∴=﹣2﹣i，∴|（1+z）•|=|（1﹣2+i）•（2﹣i）|=|﹣1+3i|==，故选：D．3．（5分）（2017•榆林二模）已知向量，满足•=8，||=3，||=4，则|2﹣|等于（）A．5 B．C．2 D．6【解答】解：∵|2﹣|2=4﹣4+=36﹣32+16=20，∴|2|=2，故选C．4．（5分）（2017•榆林二模）设函数f（x）=在区间[0，e]上随机取一个实数x，则f（x）的值不小于常数e的概率是（）A．B．1﹣C． D．【解答】解：由题意，0≤x＜1，f（x）＜e，1≤x≤e，e≤f（x）≤1+e，∵f（x）的值不小于常数e，∴1≤x≤e，∴所求概率为=1﹣，故选B．5．（5分）（2017•榆林二模）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚疼减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起脚疼每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了？”根据此规律，求后3天一共走多少里（）A．156里B．84里C．66里D．42里【解答】解：由题意可得：此人每天所走的路形成等比数列{a n}，其中q=，S6=378．则=378，解得a1=192．后3天一共走了a4+a5+a6==192××=42．故选：D．6．（5分）（2017•榆林二模）设a=60.4，b=log0.40.5，c=log80.4，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜c＜a【解答】解：∵a=60.4＞1，b=log0.40.5∈（0，1），c=log80.4＜0，∴a＞b＞c．故选：B．7．（5分）（2017•榆林二模）执行如图所示的程序框图，输出S的值为（）A．﹣B．﹣ C．﹣D．﹣【解答】解：模拟程序的运行，可得i=0，S=1满足条件i＜4，执行循环体，i=1，S=满足条件i＜4，执行循环体，i=2，S=﹣满足条件i＜4，执行循环体，i=3，S=﹣满足条件i＜4，执行循环体，i=4，S=﹣不满足条件i＜4，退出循环，输出S的值为﹣．故选：C．8．（5分）（2017•榆林二模）设ω＞0，函数y=2cos（ωx+）﹣1的图象向右平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是（）A．B．C．D．【解答】解：∵ω＞0，函数y=2cos（ωx+）﹣1的图象向右平移个单位后，可得y=2cos（ωx﹣π+）﹣1的图象，再根据所得图象与原图象重合，可得﹣π=2kπ，k∈Z，即ω=﹣k，则ω的最小值为，故选：A．9．（5分）（2017•榆林二模）如图所示是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A．3 B．4 C．6 D．9【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图中大三角形为底面的三棱柱，切去三个以俯视图中小三角形为底面的三棱锥得到的组合体，故组合体的体积：V=×4×2×3﹣3×××2××3=9，故选：D．10．（5分）（2017•榆林二模）点P在双曲线（a＞0，b＞0）的右支上，其左、右焦点分别为F1、F2，直线PF1与以坐标原点O为圆心、a为半径的圆相切于点A，线段PF1的垂直平分线恰好过点F2，则该双曲线的渐近线的斜率为（）A．± B．± C．± D．±【解答】解：由线段PF1的垂直平分线恰好过点F2，可得|PF2|=|F1F2|=2c，由直线PF1与以坐标原点O为圆心、a为半径的圆相切于点A，可得|OA|=a，设PF1的中点为M，由中位线定理可得|MF2|=2a，在直角三角形PMF2中，可得|PM|==2b，即有|PF1|=4b，由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，即4b﹣2c=2a，即2b=a+c，即有4b2=（a+c）2，即4（c2﹣a2）=（a+c）2，可得a=c，b=c，即有双曲线的渐近线方程y=±x，该双曲线的渐近线的斜率为±．故选：A．11．（5分）（2017•榆林二模）体积为的球有一个内接正三棱锥P﹣ABC，PQ 是球的直径，∠APQ=60°，则三棱锥P﹣ABC的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可得球O的半径为2，如图，因为PQ是球的直径，所以∠PAQ=90°，∠APQ=60°，可得AP=2，△ABC所在小圆圆心为O′，可由射影定理AP2=PO′•PQ，所以PO′=1，AO′=，因为O′为△ABC的中心，所以可求出△ABC的边长为3，面积为，因此，三棱锥P﹣ABC的体积为V==．故选：C．12．（5分）（2017•榆林二模）设正数x，y满足log x+log 3y=m（m∈[﹣1，1]），若不等式3ax2﹣18xy+（2a+3）y2≥（x﹣y）2有解，则实数a的取值范围是（）A．（1，]B．（1，]C．[，+∞） D．[，+∞）【解答】解：∵log x+log 3y=m，即log3+log3y=log3=m，∴=3m，∵m∈[﹣1，1]，∴∈[，3]．∵3ax2﹣18xy+（2a+3）y2≥（x﹣y）2，∴3a﹣18+（2a+3）≥1﹣2+，令=t，则2（a+1）t2﹣16t+3a﹣1≥0，设f（t）=2（a+1）t2﹣16t+3a﹣1，∵不等式3ax2﹣18xy+（2a+3）y2≥（x﹣y）2有解，∴f（t）在[，3]上的最大值f max（x）≥0，（1）当a=﹣1时，f（t）=﹣16t﹣4，∴f max（t）=f（）=﹣﹣4＜0，不符合题意；（2）若a＜﹣1，则f（t）开口向下，对称轴为t=＜0，∴f（t）在[，3]上单调递减，∴f max（t）=f（）=﹣6＜0，不符合题意；（3）若a＞﹣1，则f（t）开口向上，对称轴为t=＞0，（i）若0＜≤，即a≥11时，f（t）在[，3]上单调递增，∴f max（t）=f（3）=21a﹣31＞0，符合题意；（ii）若，即﹣1＜a时，f（t）在[，3]上单调递减，∴f max（t）=f（）=﹣6≤﹣6＜0，不符合题意；（iii）若＜＜3，即＜a＜11时，f（t）在[，3]上先减后增，∴f max（t）=f（）或f max（t）=f（3），∴f（）=﹣6≥0或f（3）=21a﹣31＞0，解得a≥或a≥，又＜a＜11，∴≤a＜11，综上，a的取值范围是[，+∞）．故选C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）（2017•榆林二模）已知（1+x）（1﹣2x）6=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a（x﹣1）7，则a3=380．7【解答】解：∵（1+x）（1﹣2x）6=[（x﹣1）+2][2（x﹣1）+1]6，∴[（x﹣1）+2][2（x﹣1）+1]6=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a7（x﹣1）7，∴a3=C6222+2C6323=60+320=380，故答案为：380．14．（5分）（2017•榆林二模）设各项均为正数的等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1a2=35，a1a3=45，则S10=140．【解答】解：设各项均为正数的等差数列{a n}的公差为d＞0，∵a1a2=35，a1a3=45，∴a1（a1+d）=35，a1（a1+2d）=45，解得a1=5，d=2．则S10=10×5+=140．故答案为：140．15．（5分）（2017•榆林二模）已知点A（1，y1），B（9，y2）是抛物线y2=2px（p ＞0）上的两点，y2＞y1＞0，点F是它的焦点，若|BF|=5|AF|，则y12+y2的值为10．【解答】解：抛物线y2=2px（p＞0）焦点在x轴上，焦点（，0），由抛物线的定义可知：|BF|=9+，|AF|=1+，由|BF|=5|AF|，即9+=5（1+），解得：p=2，∴抛物线y2=4x，将A，B代入，解得：y1=2，y2=6，∴y12+y2=10，故答案为：10．16．（5分）（2017•榆林二模）若实数x，y满足，且z=mx﹣y（m ＜2）的最小值为﹣，则m=﹣1．【解答】解：实数x，y满足约束条件的可行域如图所示，z=mx﹣y（m＜2）的最小值为﹣，可知目标函数的最优解过点A，由，解得A（，3），∴﹣=a﹣3，解得m=1，故答案为：﹣1三、解答题（本大题共5小题，共70分）17．（12分）（2017•榆林二模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．（1）求角B的大小；（2）若b=，a+c=3，求△ABC的面积．【解答】解：（1）△ABC中，∵，∴=，∴ac+c2=b2﹣a2，∴c2+a2﹣b2=﹣ac，∴cosB==﹣=﹣，∴B=；（2）∵b=，a+c=3，∴b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣2accos=（a+c）2﹣ac=9﹣ac=8，∴ac=1；∴△ABC的面积为S=acsin=×1×=．18．（12分）（2017•榆林二模）据统计，截至2016年底全国微信注册用户数量已经突破9.27亿，为调查大学生这个微信用户群体中每人拥有微信群的数量，现从某市大学生中随机抽取100位同学进行了抽样调查，结果如下：（Ⅰ）求a，b，c的值及样本中微信群个数超过12的概率；（Ⅱ）若从这100位同学中随机抽取2人，求这2人中恰有1人微信群个数超过12的概率；（Ⅲ）以（1）中的频率作为概率，若从全市大学生中随机抽取3人，记X表示抽到的是微信群个数超过12的人数，求X的分布列和数学期望E（X）．【解答】解：（Ⅰ）在0至4这一段，对应的频数为15，由已知得：15+40+25+a+5=100，解得a=15，∴b==0.05，c=，c==0.15，样本中微信群个数超过12的概率p=．（Ⅱ）记“2人中恰有1人微信群个数超过12”为事件A，则P（A）==，∴2人中恰有1人微信群个数超过12的概率为．（Ⅲ）由题意知微信群个数超过12的概率为P=，X的所有可能取值为0，1，2，3，则P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，∴X的分布列为：E（X）==．19．（12分）（2017•榆林二模）如图，已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为4的正三角形，B，E，F分别是AA1，CC1的中点，且BE⊥B1F．（1）求证：B1F⊥EC1；（2）求二面角C1﹣BE﹣C的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：分别取BC1，BC中点D，G，连结ED，AG，∵ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，且底面是正三角形，∴AG⊥面BCC1B1，又∵E，D都是中点，∴ED∥AG，则ED⊥面BCC1B1，可得ED⊥B1F，已知BE⊥B1F，且BE∩ED=E，∴B1F⊥面BEC1，则B1F⊥EC1；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知B1F⊥面BEC1，∴B1F⊥BC1，则△B1C1F∽△BB1C1，∴，设BB1=a，则C1F=，代入得a=，以O为原点，OE为x轴，OC为y轴，过O作平面ABC的垂线为z轴，建立如图坐标系O﹣xyz，得C（0，2，0），B（，0，0），E（0，﹣2，），C1（0，2，4），B1（，0，），F（0，2，2）．∵B1F⊥面BEC1，∴平面BEC1的一个法向量为；设平面BEC的一个法向量为，则，取x=，得y=3，z=．∴．∴cos＜＞===．∴二面角C1﹣BE﹣C的余弦值为．20．（12分）（2017•榆林二模）设椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，上顶点为A，过A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于Q点，且F1恰好是线段QF2的中点．（1）若过A、Q、F2三点的圆恰好与直线3x﹣4y﹣7=0相切，求椭圆C的方程；（2）在（1）的条件下，B是椭圆C的左顶点，过点R（，0）作与x轴不重合的直线l交椭圆C于E、F两点，直线BE、BF分别交直线x=于M、N两点，若直线MR、NR的斜率分别为k1，k2，试问：k1k2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【解答】解：（1）由题意可知A（0，b），F1是线段QF1的中点，设F1（﹣c，0），F2（c，0），则Q（﹣3c，0），∵∠QAF1=90°，∴b2=3c2，由题意Rt△QAF1外接圆圆心为斜边的QF1中点F1（﹣c，0），半径等于2c，由A，Q，F2，三点恰好与直线3x﹣4y﹣7=0相切，∴F1（﹣c，0）到直线的距离等于半径2c，即=2c，解得：c=1，b2=3，a2=4，∴椭圆的标准方程：；（2）设E（x1，y1），F（x2，y2），直线PQ的方程为x=my+，代入椭圆方程，4（4+3m2）y2+36my﹣21=0，y1+y2=﹣，y1y2=﹣，由B，E，M，三点共线，可知：=，即y M=，同理可得：y N=，∴k1k2=×==，由4（x1+2）（x2+2）=（2my1+7）（2my2+7）=4m2y1y2+14m（y1+y2）+49，∴k1k2==﹣，∴k1k2是否为定值﹣．21．（12分）（2017•榆林二模）已知函数f（x）=e x+be﹣x﹣2asinx（a，b∈R）．（1）当a=0时，讨论函数f（x）的单调区间；（2）当b=﹣1时，若f（x）＞0对任意x∈（0，π）恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（1）当a=0时，f（x）=e x+be﹣x，f′（x）=e x﹣，当b≤0时，f′（x）＞0恒成立，即此时函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，+∞）；当b＞0时，令f′（x）=0，解得：x=lnb，当x＜lnb时f′（x）＜0恒成立，x＞lnb时f′（x）＞0，∴此时函数f（x）的单调递减区间为（﹣∞，lnb）；函数f（x）的单调递增区间为（lnb，+∞）；（2）当b=﹣1时，函数f（x）=e x﹣e﹣x﹣2asinx，又∵当x∈（0，π）时sinx＞0，∴f（x）＞0对任意x∈（0，π）恒成立等价于a＜恒成立，记g（x）=，其中0＜x＜π，则g′（x）=，令h（x）=e x（sinx﹣cosx）+e﹣x（sinx+cosx），则h′（x）=2（e x﹣e﹣x）sinx＞0，∴h（x）在（0，π）上单调递增，h（x）＞h（0）=0，∴g′（x）＞0恒成立，从而g（x）在（0，π）上单调递增，g（x）＞g（0），由洛必达法则可知，g（0）===1，∴a≤1，即a的取值范围是（﹣∞，1]．[选修题4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）（2017•榆林二模）以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位，已知直线l的参数方程为（t 为参数，0＜φ＜π），曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=8sinθ．（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于A、B两点，当φ变化时，求|AB|的最小值．【解答】解：（1）直线l的参数方程为消去参数可得：xcosφ﹣ysinφ+2sinφ=0；即直线l的普通方程为xcosφ﹣ysinφ+2sinφ=0；曲线C的极坐标方程为ρco s2θ=8sinθ．可得：ρ2cos2θ=8ρsinθ．那么：x2=8y．∴曲线C的直角坐标方程为x2=8y．（2）直线l的参数方程带入C的直角坐标方程，可得：t2cos2φ﹣8tsinφ﹣16=0；设A，B两点对应的参数为t1，t2，则，．∴|AB|=|t1﹣t2|==．当φ=时，|AB|取得最小值为8．[选修题4-5：不等式选讲]23．（10分）（2017•榆林二模）已知函数f（x）=|x﹣2|．（1）求不等式f（x）+x2﹣4＞0的解集；（2）设g（x）=﹣|x+7|+3m，若关于x的不等式f（x）＜g（x）的解集非空，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）由题意，x﹣2＞4﹣x2，或x﹣2＜x2﹣4，由x﹣2＞4﹣x2得x＞2或x＜﹣3；由x﹣2＜x2﹣4得x＞2或x＜﹣1，∴原不等式的解集为{x|x＞2或x＜﹣1}；（2）原不等式等价于|x﹣2|+|x+7|＜3m的解集非空，∵|x﹣2|+|x+7|≥|x﹣2﹣x﹣7|=9，∴3m＞9，∴m＞3．参与本试卷答题和审题的老师有：zlzhan；刘老师；zhczcb；lcb001；沂蒙松；w3239003；caoqz；豫汝王世崇；双曲线；whgcn；铭灏2016；742048；sxs123；cst；左杰（排名不分先后）huwen2017年4月20日。

【解析】（Ⅰ）当2=a 时，)1ln(2)(2++-=x x x x f ，2121()2211x f x x x x -'=-+=++. 令()0f x '=得：22±=x . 又1->x ，且22(1,)(,)22x ∈--+∞U 时，()0f x '>， )22,22(-∈x 时，()0f x '<. 所以，函数)(x f 的极大值点为22-=x ，极小值点为22=x .（Ⅱ）因为1()21f x x a x '=-++，由()f x x '>，得x x a x >++-112， 即11++<x x a ，(01)x <<. 又1111111y x x x x =+=++->++（∵11x +>），∴1a <.（Ⅲ）（理）①当1=n 时，21111()21c f c c a c '==-++，又Θ01>c ，∴111>+c ，且1a <， ∴111112++-=-c a c c c )1(11111+-+++=a c c 2(1)10a a >-+=->.陕西省2017年师大附中高三年级第二次模考试题数学（理科）试卷解析1．考点：1复数的运算；2复数与复平面内的点一一对应．２．【解析】因为，，所以；故选D.３．４．【解析】命题对任意的，都有的否定为；故选D.５．【解析】由题意，得，因为数列也是等比数列，所以，即，解得；故选C.点睛：本题若直接套用等比数列的求和公式进行求解，一是计算量较大，二是往往忽视“”的特殊情况，而采用数列的前三项进行求解，大大降低了计算量，也节省的时间，这是处理选择题或填空题常用的方法.６．【解析】因为向向向向所以，向向向向向向向向向向向；故选C.７．【解析】函数是偶函数，等价于，即；故选A.８．考点：程序框图.９．【解析】已知双曲线的离心率是2,故2===,解得=,所以==a+≥,当且仅当a2=时等号成立,故最小值是.故选A.１０．１１．【解析】因为函数为偶函数，所以，即函数的图象关于直线对称，即，又因为当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，因为，所以，即；故选D.点睛：本题的难点是由函数为偶函数得到函数的图象关于直线对称，也是学生易错点，特别要强调为偶函数.１２．点睛：在利用两角和与差公式或二倍角公式进行恒等变形时，记住一些常见变形可起到事半功倍的效果，如：；等.１３．【解析】１４．点睛：本题主要考查分段函数的图像与性质，其中分段函数的分段点是含有参数的，考查两个函数图像的交点，这是数形结合的数学思想，还考查了动态函数的观点.由于分段函数的分段点是含有参数的，所以需要将两个部分函数图像先行画出，并且画出的图像，然后平移，查看交点的个数，由此判断的取值范围.１５．略１６．考点：1、三棱锥的外接球；2、球面的表面积．１７．１８．【解析】试题分析:（1）现将转换为，然后利用题目给定的比例，将其转化为以为起点的向量的形式.（2）由（1）将向量两边平方，利用向量的数量积的概念，可求得.１９．２０．略２１．【解析】试题分析：（1）求导，利用导函数的零点，研究导函数的符号变化，进而确定函数的极值点；（2）求导、作差、分离常数，将问题转化为，，再转化为求函数的最值问题；（3）利用数学归纳法进行证明２２．考点：1.参数方程与普通方程互化；2.三角函数的最值.２３．11/ 11。