走向成功——高考数学模拟测试7

高考数学模拟试题含答案详解一、选择题1. 已知函数 $ f(x) = x^2 4x + 3 $，求 $ f(2) $ 的值。

答案：将 $ x = 2 $ 代入函数 $ f(x) $，得 $ f(2) = 2^2 4\times 2 + 3 = 1 $。

2. 已知等差数列 $\{a_n\}$ 的首项为 $a_1 = 3$，公差为 $d = 2$，求第 $n$ 项 $a_n$ 的表达式。

答案：等差数列的通项公式为 $a_n = a_1 + (n 1)d$，代入$a_1 = 3$ 和 $d = 2$，得 $a_n = 3 + (n 1) \times 2 = 2n + 1$。

3. 已知等比数列 $\{b_n\}$ 的首项为 $b_1 = 2$，公比为 $q = 3$，求第 $n$ 项 $b_n$ 的表达式。

答案：等比数列的通项公式为 $b_n = b_1 \times q^{n1}$，代入 $b_1 = 2$ 和 $q = 3$，得 $b_n = 2 \times 3^{n1}$。

4. 已知三角形的两边长分别为 $a = 5$ 和 $b = 8$，夹角为$60^\circ$，求第三边长 $c$。

答案：利用余弦定理 $c^2 = a^2 + b^2 2ab \cos C$，代入 $a = 5$，$b = 8$，$C = 60^\circ$，得 $c^2 = 5^2 + 8^2 2 \times5 \times 8 \times \cos 60^\circ = 49$，所以 $c = 7$。

5. 已知函数 $ g(x) = \frac{1}{x} $，求 $ g(x) $ 的定义域。

答案：由于 $x$ 不能为 $0$，所以 $g(x)$ 的定义域为 $x \neq 0$。

二、填空题1. 已知函数 $ h(x) = \sqrt{4 x^2} $，求 $ h(x) $ 的定义域。

答案：由于根号内的值不能为负，所以 $4 x^2 \geq 0$，解得$2 \leq x \leq 2$。

2020高考仿真模拟卷(七)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2019·湖北荆门四校六月考前模拟)已知集合M ＝{x |x 2<1|，N ＝{y |y ＝log 2x ，x >2}，则下列结论正确的是( )A ．M ∩N ＝NB ．M ∩(∁R N )＝∅C ．M ∩N ＝UD ．M ⊆(∁R N )答案 D解析 由题意得M ＝{x |－1<x <1}，N ＝{y |y >1}，因为M ∩N ＝∅≠N ，所以A 错误；因为∁R N ＝{y |y ≤1}，M ∩(∁R N )＝{x |－1<x <1}≠∅，所以B 错误；因为M ∩N ＝∅≠U ，所以C 错误；因为M ＝{x |－1<x <1}，∁R N ＝{y |y ≤1}，M ⊆(∁R N )，所以D 正确．故选D.2．已知复数z 1＝6－8i ，z 2＝－i ，则z 1z 2＝( )A ．8－6iB ．8＋6iC ．－8＋6iD ．－8－6i答案 B解析 z 1z 2＝6－8i －i＝(6－8i)i ＝8＋6i.3．(2019·四川宜宾第三次诊断)设a ，b 是空间两条直线，则“a ，b 不平行”是“a ，b 是异面直线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 由a ，b 是异面直线⇒a ，b 不平行．反之，若直线a ，b 不平行，也可能相交，所以“a ，b 不平行”是“a ，b 是异面直线”的必要不充分条件．故选B.4．设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则下列不等式恒成立的是( )A ．x ≥1B ．y ≤1C ．x －y ＋2≥0D ．x －3y －6≤0答案 C解析 作出约束条件所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，易知A (3，－1)，B (0,2)，C (0，－3)．这样易判断x ≥1，y ≤1都不恒成立，可排除A ，B ；又直线x －3y －6＝0过点(0，－2)，这样x －3y －6≤0不恒成立，可排除D.故选C.5．在△ABC 中，CA ⊥CB ，CA ＝CB ＝1，D 为AB 的中点，将向量CD →绕点C 按逆时针方向旋转90°得向量CM→，则向量CM →在向量CA →方向上的投影为( )A ．－1B ．1C ．－12 D ．12答案 C解析 如图，以CA ，CB 为x ，y 轴建立平面直角坐标系，则CA→＝(1,0)，CD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，且CM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，所以向量CM →在向量CA →方向上的投影为CA →·CM →|CA →|＝－12＋01＝－12.6．(2019·湖南长郡中学考前冲刺)从某企业生产的某种产品中随机抽取10件，测量这些产品的一项质量指标值，其频率分布表如下：A ．140B ．142C ．143D ．144答案 D解析 x －＝20×0.1＋40×0.6＋60×0.3＝44，所以方差为110×[(20－44)2×1＋(40－44)2×6＋(60－44)2×3]＝144.7．已知(2x －1)4＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋a 4(x －1)4，则a 2＝( ) A ．32 B ．24 C ．12 D ．6答案 B解析 因为(2x －1)4＝[1＋2(x －1)]4＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋a 4(x －1)4，所以a 2＝C 24·22＝24. 8．意大利数学家列昂纳多·斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列被誉为是最美的数列，数列的通项以及求和由如图所示的框图给出，则最后输出的结果等于( )A ．a N ＋1B ．a N ＋2C ．a N ＋1－1D ．a N ＋2－1答案 D解析 第一次循环：i ＝1，a 3＝2，s ＝s 3＝4；第二次循环：i ＝2，a 4＝3，s ＝s 4＝7；第三次循环：i ＝3，a 5＝5，s ＝s 5＝12；第四次循环：i ＝4，a 6＝8，s ＝s 6＝20；第五次循环：i ＝5，a 7＝13，s ＝s 7＝33；…；第N －1次循环：此时i ＋2＝N ＋1>N ，退出循环，故输出s ＝s N ，归纳可得s N ＝a N ＋2－1.故选D.9．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的图象如图所示，则下列说法正确的是( )A ．函数f (x )的周期为πB ．函数y ＝f (x －π)为奇函数C ．函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3，π6上单调递增D ．函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0对称答案 C解析 观察图象可得，函数的最小值为－2，所以A ＝2， 又由图象可知函数过点(0，3)，⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，－2，即⎩⎨⎧3＝2sin φ，－2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω×5π4＋φ，结合12×2πω<5π4<34×2πω和0<φ<π.可得ω＝1415，φ＝π3，则f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫1415x ＋π3，显然A 错误；对于B ，f (x －π)＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1415(x －π)＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫1415x －3π5，不是奇函数；对于D ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫1415×3π4＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π10＋π3≠0，故D 错误，由此可知选C.10．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．2B ．53C ．4D ．83答案 D解析 如图，该几何体可由棱长为2的正方体截得，其直观图如图所示，则该几何体的体积V ＝V ABE －DCF －V F －ADC ＝12×2×2×2－13×12×2×2×2＝83.11. 如图，已知直线l ：y ＝k (x ＋1)(k >0)与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A ，B 两点，且A ，B 两点在抛物线准线上的投影分别是M ，N ，若|AM |＝2|BN |，则k 的值是( )A ．13B ．23C ．223D ．2 2答案 C解析 设抛物线C ：y 2＝4x 的准线为l 1：x ＝－1. 直线y ＝k (x ＋1)(k >0)恒过点P (－1，0)， 过点A ，B 分别作AM ⊥l 1于点M ，BN ⊥l 1于点N ， 由|AM |＝2|BN |，所以点B 为|AP |的中点．连接OB ，则|OB |＝12|AF |，所以|OB |＝|BF |， 点B 的横坐标为12，所以点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2.把⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2代入直线l ：y ＝k (x ＋1)(k >0)， 解得k ＝223.12．已知函数f (x )＝－8cos π⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ，则函数f (x )在x ∈(0，＋∞)上的所有零点之和为( )A ．6B ．7C ．9D ．12答案 A解析 设函数h (x )＝，则h (x )＝＝的图象关于x ＝32对称，设函数g (x )＝8cosπ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ，由π⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ＝k π，k ∈Z ，可得x ＝12－k ，k ∈Z ，令k ＝－1 可得x＝32，所以函数g (x )＝8cosπ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ，也关于x ＝32对称，由图可知函数h (x )＝＝的图象与函数g (x )＝8cosπ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 的图象有4个交点，所以函数f (x )＝－8cosπ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 在x ∈(0，＋∞)上的所有零点个数为4，所以函数f (x )＝－8cosπ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 在x ∈(0，＋∞)上的所有零点之和为4×32＝6.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在△ABC 中，若4cos 2A 2－cos2(B ＋C )＝72，则角A ＝________. 答案 π3解析 ∵A ＋B ＋C ＝π，即B ＋C ＝π－A ， ∴4cos 2A2－cos2(B ＋C )＝2(1＋cos A )－cos2A ＝－2cos 2A ＋2cos A ＋3＝72， ∴2cos 2A －2cos A ＋12＝0，∴cos A ＝12， 又0<A <π，∴A ＝π3.14．欧阳修在《卖油翁》中写道：“(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．”可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为b ＝⎠⎛0π2sin x d x cm 的圆面，中间有边长为a ＝4π⎠⎛011－x 2d x cm 的正方形孔，油滴是直径0.2 cm 的球，随机向铜钱上滴一滴油，则油滴整体正好落入孔中的概率是________．答案 425π解析 因为直径为b ＝⎠⎛0π2sin x d x ＝(－2cos x )| π0＝4 cm 的圆中有边长为a ＝4π⎠⎛011－x 2d x ＝4π×π4＝1 cm 的正方形，由几何概型的概率公式，得“正好落入孔中”的概率为P ＝S 正方形S 圆＝(1－0.2)2π×22＝425π. 15．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的实轴长为16，左焦点为F ，M 是双曲线C 的一条渐近线上的点，且OM ⊥MF ，O 为坐标原点，若S △OMF ＝16，则双曲线C 的离心率为________．答案 52解析 因为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的实轴长为16，所以2a ＝16，a ＝8， 设F (－c,0)，双曲线C 的一条渐近线方程为y ＝ba x ， 可得|MF |＝bc a 2＋b2＝b ，即有|OM |＝c 2－b 2＝a ，由S △OMF ＝16，可得12ab ＝16，所以b ＝4. 又c ＝a 2＋b 2＝64＋16＝45，所以a ＝8，b ＝4，c ＝45， 所以双曲线C 的离心率为c a ＝52.16．(2019·贵州凯里一中模拟)已知函数f (x )＝e x 在点P (x 1，f (x 1))处的切线为l 1，g (x )＝ln x 在点Q (x 2，g (x 2))处的切线为l 2，且l 1与l 2的斜率之积为1，则|PQ |的最小值为________．答案2解析 对f (x )，g (x )分别求导，得到f ′(x )＝e x，g ′(x )＝1x ，所以kl 1＝e x 1，kl 2＝1x 2，则e x 1 ·1x2＝1，即e x 1 ＝x 2，x 1＝ln x 2，又因为P (x 1，e x 1 )，Q (x 2，ln x 2)，所以由两点间距离公式可得|PQ |2＝(x 1－x 2)2＋(e x 1 －ln x 2)2＝2(x 2－ln x 2)2，设h (x )＝x －ln x (x >0)，则h ′(x )＝1－1x ，当x ∈(0,1)时，h ′(x )<0，h (x )单调递减， 当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )>0，h (x )单调递增．所以x ＝1时，h (x )取极小值，也是最小值，最小值为h (1)＝1， 所以|PQ |2的最小值为2，即|PQ |的最小值为 2.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．(本小题满分12分)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n .若3S 3＝2S 2＋S 4，且a 5＝32. (1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)设b n ＝1log 2a n ·log 2a n ＋2，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)由3S 3＝2S 2＋S 4，可得2S 3－2S 2＝S 4－S 3. 所以公比q ＝2，又a 5＝32，故a n ＝2n .4分(2)因为b n ＝1log 2a n ·log 2a n ＋2＝12⎝⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2，6分 所以T n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n－1n ＋29分 ＝12⎝⎛⎭⎪⎫32－1n ＋1－1n ＋2＝34－12n ＋2－12n ＋4.12分18．(2019·安徽马鞍山一模)(本小题满分12分)已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，A 1B ⊥AC 1，AC ＝AA 1＝4，BC ＝2.(1)求证：平面A 1ACC 1⊥平面ABC ；(2)若∠A 1AC ＝60°，在线段AC 上是否存在一点P ，使二面角B －A 1P －C 的平面角的余弦值为34？若存在，确定点P 的位置；若不存在，说明理由．解 (1)证明：∵AC ＝AA 1，∴四边形AA 1C 1C 为菱形，连接A 1C ，则A 1C ⊥AC 1，又A 1B ⊥AC 1，且A 1C ∩A 1B ＝A 1，∴AC 1⊥平面A 1CB ，2分则AC 1⊥BC ，又∠ACB ＝90°，即BC ⊥AC ， ∴BC ⊥平面A 1ACC 1，而BC ⊂平面ABC ， ∴平面A 1ACC 1⊥平面ABC .4分(2)以C 为坐标原点，分别以CA ，CB 所在直线为x ，y 轴建立如图所示的空间直角坐标系，∵AC ＝AA 1＝4，BC ＝2，∠A 1AC ＝60°，∴C (0,0,0)，B (0,2,0)，A (4，0,0)，A 1(2,0,23)．设线段AC 上存在一点P ，满足AP →＝λAC →(0≤λ≤1)，使得二面角B －A 1P －C 的平面角的余弦值为34，则AP →＝(－4λ，0,0)，BP →＝BA →＋AP →＝(4，－2,0)＋(－4λ，0,0)＝(4－4λ，－2,0)，A 1P →＝A 1A →＋AP →＝(2,0，－23)＋(－4λ，0,0)＝(2－4λ，0，－23)，CA 1→＝(2,0,23)，6分 设平面BA 1P 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)， 由⎩⎨⎧m ·BP →＝(4－4λ)x 1－2y 1＝0，m ·A 1P →＝(2－4λ)x 1－23z 1＝0，取x 1＝1，得m ＝⎝⎛⎭⎪⎫1，2－2λ，1－2λ3，8分 又平面A 1PC 的一个法向量为n ＝(0,1,0)， 由|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m ||n | ＝|2－2λ|1＋(2－2λ)2＋(1－2λ)23×1＝34， 解得λ＝43或λ＝34，因为0≤λ≤1，所以λ＝34. 故在线段AC 上存在一点P ，满足AP→＝34AC →，使二面角B －A 1P －C 的平面角的余弦值为34.12分19．(2019·山东威海二模)(本小题满分12分)某蔬菜批发商分别在甲、乙两市场销售某种蔬菜(两个市场的销售互不影响)，已知该蔬菜每售出1吨获利500元，未售出的蔬菜低价处理，每吨亏损100元．现统计甲、乙两市场以往100个销售周期该蔬菜的市场需求量的频数分布，如下表：甲市场n 吨该蔬菜，在甲、乙两市场同时销售，以X (单位：吨)表示下个销售周期两市场的需求量，T (单位：元)表示下个销售周期两市场的销售总利润．(1)当n ＝19时，求T 与X 的函数解析式，并估计销售利润不少于8900元的概率； (2)以销售利润的期望为决策依据，判断n ＝17与n ＝18应选用哪—个． 解 (1)由题意可知，当X ≥19时，T ＝500×19＝9500； 当X <19时，T ＝500×X －(19－X )×100＝600X －1900， 所以T 与X 的函数解析式为T ＝⎩⎪⎨⎪⎧9500，X ≥19，600X －1900，X <19.3分由题意可知，一个销售周期内甲市场的需求量为8,9,10的概率分别为0.3,0.4,0.3；乙市场的需求量为8,9,10的概率分别为0.2,0.5,0.3.设销售的利润不少于8900元的事件记为A ， 当X ≥19时，T ＝500×19＝9500>8900， 当X <19时，600X －1900≥8900， 解得X ≥18，所以P (A )＝P (X ≥18)． 由题意可知，P (X ＝16)＝0.3×0.2＝0.06； P (X ＝17)＝0.3×0.5＋0.4×0.2＝0.23； 所以P (A )＝P (X ≥18)＝1－0.06－0.23＝0.71. 所以销售利润不少于8900元的概率为0.71.6分 (2)由题意得P (X ＝16)＝0.06， P (X ＝17)＝0.23，P (X ＝18)＝0.4×0.5＋0.3×0.3＋0.3×0.2＝0.35， P (X ＝19)＝0.4×0.3＋0.3×0.5＝0.27， P (X ＝20)＝0.3×0.3＝0.09.8分①当n ＝17时，E (T )＝(500×16－1×100)×0.06＋500×17×0.94＝8464；10分 ②当n ＝18时，E (T )＝(500×16－2×100)×0.06＋(500×17－1×100)×0.23＋18×500×0.71＝8790.因为8464<8790，所以应选n ＝18.12分20．(2019·山东聊城二模)(本小题满分12分)已知以椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点和短轴端点为顶点的四边形恰好是面积为4的正方形．(1)求椭圆E 的方程；(2)直线l ：y ＝kx ＋m (km ≠0)与椭圆E 交于异于椭圆顶点的A ，B 两点，O 为坐标原点，直线AO 与椭圆E 的另一个交点为C 点，直线l 和直线AO 的斜率之积为1，直线BC 与x 轴交于点M .若直线BC ，AM 的斜率分别为k 1，k 2，试判断k 1＋2k 2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．解(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝c ，a 2＝4，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝2.所以椭圆E 的方程为x 24＋y 22＝1.4分(2)设A (x 1，y 1)(x 1y 1≠0)，B (x 2，y 2)(x 2y 2≠0)， 则C (－x 1，－y 1)，k AO ＝y 1x 1，因为k AO ·k ＝1，所以k ＝x 1y 1，联立⎩⎨⎧x 24＋y 22＝1，y ＝kx ＋m ，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－4＝0，所以x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2， y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝2m 1＋2k2，6分所以k 1＝y 1＋y 2x 1＋x 2＝－12k ＝－y 12x 1，因为直线BC 的方程为y ＋y 1＝－y 12x 1(x ＋x 1)，令y ＝0，由y 1≠0，得x ＝－3x 1，9分 所以M (－3x 1,0)，k 2＝y 1x 1＋3x 1＝y 14x 1，所以k 1＋2k 2＝－y 12x 1＋2×y 14x 1＝0.所以k 1＋2k 2为定值0.12分21．(2019·辽宁沈阳一模)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝(x －1)2＋m ln x ，m ∈R . (1)当m ＝2时，求函数f (x )的图象在点(1,0)处的切线方程； (2)若函数f (x )有两个极值点x 1，x 2，且x 1<x 2，求f (x 2)x 1的取值范围．解 (1)当m ＝2时，f (x )＝(x －1)2＋2ln x ， 其导数f ′(x )＝2(x －1)＋2x ，所以f ′(1)＝2，即切线斜率为2，又切点为(1,0)， 所以切线的方程为2x －y －2＝0.4分 (2)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2(x －1)＋m x ＝2x 2－2x ＋mx，因为x 1，x 2为函数f (x )的两个极值点，所以x 1，x 2是方程2x 2－2x ＋m ＝0的两个不等实根，由根与系数的关系知x 1＋x 2＝1，x 1x 2＝m2，(*)又已知x 1<x 2，所以0<x 1<12<x 2<1，f (x 2)x 1＝(x 2－1)2＋m ln x 2x 1，将(*)式代入得f (x 2)x 1＝(x 2－1)2＋2x 2(1－x 2)ln x 21－x 2＝1－x 2＋2x 2ln x 2，8分令g (t )＝1－t ＋2t ln t ，t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，则g ′(t )＝2ln t ＋1，令g ′(t )＝0，解得t ＝1e， 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1e 时，g ′(t )<0，g (t )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1e 上单调递减；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1时，g ′(t )>0，g (t )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1上单调递增；所以g (t )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝1－2e＝1－2e e ，因为g (t )<max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，g (1)，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12－ln 2<0＝g (1)，所以g (t )<0. 所以f (x 2)x 1的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫1－2e e ，0.12分 (二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θsin 2θ，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝1＋t sin α(t 为参数，0≤α＜π)．(1)求曲线C 的直角坐标方程，并说明曲线C 的形状； (2)若直线l 经过点M (1,0)且与曲线C 交于A ，B 两点，求|AB |. 解 (1)对于曲线C ：ρ＝4cos θsin 2θ，可化为ρsin θ＝4ρcos θρsin θ.把互化公式代入，得y ＝4xy ，即y 2＝4x ，为抛物线．(可验证原点也在曲线上)5分(2)根据已知条件可知直线l 经过两定点(1,0)和(0,1)，所以其方程为x ＋y ＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＋y ＝1，消去x 并整理得y 2＋4y －4＝0，7分 令A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝－4，y 1y 2＝－4. 所以|AB |＝1＋1k 2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝1＋1×(－4)2－4×(－4)＝8.10分23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f (x )＝|2x －1|.(1)解关于x 的不等式f (x )－f (x ＋1)≤1；(2)若关于x 的不等式f (x )<m －f (x ＋1)的解集不是空集，求m 的取值范围． 解 (1)由f (x )－f (x ＋1)≤1可得 |2x －1|－|2x ＋1|≤1.所以⎩⎨⎧ x ≥12，2x －1－2x －1≤1或⎩⎨⎧－12<x <12，1－2x －2x －1≤1或⎩⎨⎧x ≤－12，1－2x ＋2x ＋1≤1，2分于是x ≥12或－14≤x <12，即x ≥－14.4分 所以原不等式的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，＋∞.5分(2)由条件知，不等式|2x －1|＋|2x ＋1|<m 有解，则m >(|2x －1|＋|2x ＋1|)min 即可． 由于|2x －1|＋|2x ＋1|＝|1－2x |＋|2x ＋1|≥|1－2x ＋2x ＋1|＝2，8分 当且仅当(1－2x )(2x ＋1)≥0， 即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12时等号成立，故m >2.所以m的取值范围是(2，＋∞).10分。

一、单选题二、多选题1. 已知，，是三个平面，，，，且，则下列结论正确的是（ ）A ．直线b 与直线c 可能是异面直线B ．直线a 与直线c 可能平行C ．直线a ，b ，c 必然交于一点（即三线共点）D ．直线c 与平面可能平行2.过双曲线的右焦点，作直线交的两条渐近线于，两点，，均位于轴右侧，且满足，为坐标原点，若，则双曲线的离心率为（ ）A．B．C．D．3.已知,, 若,则( )A．B．C．或D．或或4. 已知满足：为平面内一点，两点在直线的不同侧，．若，则（ ）A．B．C．D．5. 已知，，，，，则的取值范围是（ ）A．B．C．D．6. 大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其部分项如下：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，由此规律得到以下结论正确的是（ ）A．B．C ．当为偶数时，D ．当为奇数时，7.的展开式中的系数为（ ）A ．15B．C ．5D．8. 已知函数，，，，则，，的大小关系 为（ ）A．B．C．D．9. 下列等式中正确的是（ ）A．B．C．D．10. 若非零实数，满足，则下列结论正确的是（ ）A．B．C．D．11. 截止5月6日，全球不明原因儿童肝炎超300例.在对前期169例病例的研究发现，74例腺病毒检测阳性.其中20例新冠病毒检测阳性，19例腺病毒和新冠病毒均呈阳性，现从前期病例中随机抽取2例，记事件为“恰有1例新冠病毒阳性”，事件为“恰有1例腺病毒和新冠病毒均呈阳海南省2023届高三全真模拟（七）数学试题(1)海南省2023届高三全真模拟（七）数学试题(1)三、填空题四、解答题性”，下列说法的有：（ ）A ．事件的对立事件为“至多有1例新冠病毒阳性”B．C ．事件与事件为互斥事件D ．事件与事件为独立事件错误12.已知复数，则下列说法正确的是（ ）A ．的共轭复数是B ．的虚部是C．D ．若复数满足，则的最大值是13. 双曲线C ：与抛物线y 2=8x 有共同的焦点，双曲线左焦点为，点P 是双曲线右支一点，过向的角平分线作垂线，垂足为N ，1，则双曲线的离心率是___________.14. 圆的圆心的坐标是_________，设直线与圆交于两点，若，则_________.15. 如图，双曲线E ：的左、右焦点分别为，，过作以为圆心、为半径的圆的切线，切点为T .延长交E 的左支于P 点，若M 为线段的中点，且，则E 的离心率为______.16. 设等差数列的公差为d ，d 为整数，前n 项和为，等比数列的公比为q，已知，，，，（1）求数列与的通项公式；（2）设，求数列的前n 项和为.17. 我市为了解学生体育运动的时间长度是否与性别因素有关，从某几所学校中随机调查了男､女生各100名的平均每天体育运动时间，得到如下数据：分钟性别（0，40]（40，60]（60，90]（90，120]女生10404010男生5254030根据学生课余体育运动要求，平均每天体育运动时间在（60，120]内认定为“合格”，否则被认定为“不合格”，其中，平均每天体育运动时间在（90，120]内认定为“良好”.(1)完成下列22列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析学生体育运动时间与性别因素有无关联；不合格合格合计女生男生合计(2)从女生平均每天体育运动时间在的100人中用分层抽样的方法抽取20人，再从这20人中随机抽取2人，记为2人中平均每天体育运动时间为“良好”的人数，求的分布列及数学期望；(3)从全市学生中随机抽取100人，其中平均每天体育运动时间为“良好”的人数设为，记“平均每天体育运动时间为'良好'的人数为”的概率为，视频率为概率，用样本估计总体，求的表达式，并求取最大值时对应的值.附：，其中.0.0100.0050.0016.6357.87910.82818. 已知数列{a n}满足a1＝1，a2＝3，数列{b n}为等比数列，且满足b n（a n＋1－a n）＝b n＋1.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)数列{b n}的前n项和为S n，若b2，2a3， b4成等差数列，记数列{c n}满足c n＝求数列{c n}的前2n项和T2n．19. 已知函数.（1）求的最小正周期和图象的对称轴方程；（2）当时，求的最小值和最大值.20. 在某市举行的一次市质检考试中，为了调查考试试题的有效性以及试卷的区分度，该市教研室随机抽取了参加本次质检考试的100名学生的数学考试成绩，并将其统计如下表所示.成绩人数62442208(1)试估计本次质检中数学测试成绩样本的平均数（以各组区间的中点值作为代表）；(2)现按分层抽样的方法从成绩在及之间的学生中随机抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行试卷分析，求这2人的成绩都在之间的概率.21. 将函数图象上所有点向右平移个单位长度，然后横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，得到函数的图象.（1）求函数的解析式及单调递增区间；（2）在中，内角的对边分别为，若，，求的面积.。

四川省南充高级中学2023届高考模拟检测七文科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设{}23A x x =∈-<<Z ，{}40B x x a =-≥，且{}12A B = ，，则a 的取值范围为（）A ．(]0,1B ．()0,1C ．(]0,4D ．()0,42．在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(),1a ，且满足()1i 2z -⋅=，则=a （）A ．1B ．1-C ．2D ．2-3．如图是甲、乙两人高考前10次数学模拟成绩的折线图，则下列说法错误的是（）A ．甲的数学成绩最后3次逐渐升高B ．甲的数学成绩在130分以上的次数多于乙的数学成绩在130分以上的次数C ．甲有5次考试成绩比乙高D ．甲数学成绩的极差小于乙数学成绩的极差4．已知直线20l kx y k ---=：和圆222410C x x y y -++-=：，则直线l 与圆C 的位置关系是（）A ．相切B ．相交C ．相离D ．相交或相切5．若对任意非零实数,a b ，定义a b *的运算规则如图的程序框图所示，则(3*2)*4的值是（）A ．12B ．1312C ．32D ．96．已知实数x y 、满足0x y xy +-=，且0xy >，若不等式490x y t +-≥恒成立，则实数t 的最大值为（）A ．9B ．12C ．16D ．257．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11S =且241424S S +=，则5S =（）A ．25B ．45C ．55D ．658．若函数()()1π0,22f x x ωϕωϕ⎛⎫=++>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，且212f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，()2π3f x f ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，则函数()()sin g x x ωϕ=+的单调递减区间为（）A ．()π5ππ,π1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z B ．()π2ππ,π63k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z C ．()5π11ππ,π1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z D ．()π2ππ,π63k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z 9．我国南北朝时期的著名数学家祖暅原提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异.”意思是，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等.运用祖暅原理计算球的体积时，构造一个底面半径和高都与球的半径相等的圆柱，与半球（如图①）放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体（如图②），用任何一个平行于底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个截面面积相等，由此可证明新几何体与半球体积相等，即2311122323V R R R R R ππ=⋅-=球.现将椭圆22149x y +=绕y 轴旋转一周后得一橄榄状的几何体（如图③），类比上述方法，运用祖暅原理可求得其体积等于（）A ．32πB ．24πC ．18πD ．16π10．已知数列{}n a 满足：138a=，23n n n a a +-≤，6913nn n a a +-≥⋅，则2023a =（）A ．20233322+B ．20233382+C ．202338D ．20233211．已知P 为双曲线22221(00)x y a b a b -=>>，，左支上的一点，双曲线的左右顶点分别为,A B ，直线BP 交双曲线的一条渐近线于点Q ，直线AP AQ 、的斜率为12k k ，，若以AB 为直径的圆经过点Q ，且1220k k +=，则双曲线的离心率为（）A ．32B ．2CD．212．已知实数,,(0,1)m n p ∈，且ln 2,ln 3,ln 3223=+=+=+m n pm n p ，则（）A ．p n m <<B ．n m p <<C ．m p n<<D ．n p m<<二、填空题13．已知a = ()1c a b λλ=-+ ，若01a b a c ⋅=⋅= ，，则λ=__________14．已知实数x y ，满足约束条件6020270x y x y x y -+≥⎧⎪+≤⎨⎪-+≤⎩则23z x y =+的最大值为__________15．设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点是F ，直线l 与抛物线C 相交于P 、Q 两点，且2π3PFQ∠=，线段PQ的中点A到抛物线C的准线的距离为d，则2PQd⎛⎫⎪⎝⎭的最小值为_____________16．传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等．“圆柱容球”是阿基米德最为得意的发现；如图是一个圆柱容球，1O、2O为圆柱上、下底面的圆心，O为球心，EF为底面圆1O的一条直径，若球的半径2r=，有以下三个命题：①平面DEF截得球的截面面积最小值为16π5；②球的表面积是圆柱的表面积的3 4；③若P为球面和圆柱侧面的交线上一点，则PE PF+的取值范围为2⎡+⎣．其中所有正确的命题序号为___________.三、解答题17．某电子产品生产商经理从众多平板电脑中随机抽取6台，检测它们充满电后的工作时长(单位：分钟)，相关数据如下表所示．平板电脑序号123456工作时长/分220180210220200230(1)若从被抽中的6台平板电脑中随机抽出2台，则抽出的2台平板电脑充满电后工作时长都不小于210分钟的概率；(2)下表是一台平板电脑的使用次数与当次充满电后工作时长的相关数据．求该平板电脑工作时长y与使用次数x之间的回归直线方程，并估计该平板电脑使用第200次时充满电后的工作时长．使用次数x /次20406080100120140工作时长/分210206202196191188186附：ˆˆˆybx a =+，()()()121ˆni ii n ii x x yy b x x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-．18．在①)cos sin a b C c B -=，②22cos a c b C -=，③()()()a b a b a cc -+=-这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．在ABC 中，内角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，且满足_______，b =(1)若4a c +=，求ABC 的面积;(2)求ABC 周长l 的取值范围．19．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，N E F ，，分别是111AA AB C D ，，的中点，侧面11DCC D ⊥平面116048120ABCD ABB AD AB DD DAB ∠====∠=，，，，．(1)求证：//NF 平面1C CE ;(2)试求三棱锥1N C EC -体积．20．若函数()323f x ax bx x c =+-+为奇函数，且在(),1-∞-上单调递增，在()1,1-上单调递减．(1)求函数()f x 的解析式；(2)若过点()()1,2A m m ≠-可作曲线()y f x =的三条切线，求实数m 的取值范围．21．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点为,F P 在椭圆C 上，PF 的最大值与最小值分别是6和2.(1)求椭圆C 的标准方程.(2)若椭圆C 的左顶点为A ，过点F 的直线l 与椭圆C 交于,B D （异于点A ）两点，直线,AB AD 分别与直线8x =交于,M N 两点，试问MFN ∠是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由.22．在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为222121x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩(t 为参数)，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为()sin cos ρθαα-=(α为直线l 的倾斜角)．(1)求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程;(2)设()0,1P ，直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，求AB PA PB⋅的最大值．23．设()11f x x x =-++．(1)求()2f x x ≤+的解集;(2)若()f x 的最小值为m ，且0022a b a b m >>+=，，，求313213a b b+++的最小值．参考答案：1．C【分析】求出集合A 和集合B ，由{}12A B = ，确定a 的取值范围即可.【详解】由已知，{}{}231,0,1,2A x x =∈-<<=-Z ，{}404a B x x a x x ⎧⎫=-≥=≥⎨⎬⎩⎭，∵{}12A B = ，，∴014a<≤，即04a <≤，∴a 的取值范围是(]0,4.故选：C.2．A【分析】根据复数的除法运算求得1i z =+，结合复数的几何意义可得i z a =+，由此求得答案.【详解】由()1i 2z -⋅=得22(1i)1i 1i 2z +===+-，又复数z 对应的点的坐标是(),1a ，即i 1+i,1z a a =+=∴=，故选：A 3．C【分析】根据折线图看甲最后三次的成绩变化可判断A;看甲的数学成绩在130分以上的次数以及乙的数学成绩在130分以上的次数，判断B;看甲成绩比乙高的次数可判断C;观察甲乙两人的最高成绩和最低成绩即可判断D.【详解】对于A ，由折线图可知最后三次数学成绩逐渐升高，故A 说法正确；对于B ，甲的数学成绩在130分以上的次数为6次，乙的数学成绩在130分以上的次数为5次，故B 说法正确；对于C,甲有7次考试成绩比乙高,故C 的说法错误；对于D ，由折线图可知，甲乙两人的数学成绩的最高成绩相同，甲的最低成绩为120分，乙的最低成绩为110分，因此甲数学成绩的极差小于乙数学成绩的极差，D 说法正确，故选：C 4．B【分析】由题意可求出直线所过定点，即为圆心，即可判断出答案.【详解】圆C 的标准方程为()()22126x y -++=，圆心()1,2C -，直线20l kx y k ---=：可化为()21y k x +=-，则直线l 过定点(1,2)-，因此直线l 经过圆心C ，所以直线l 与圆C 相交．故选：B ．5．C【分析】根据程序框图得到分段函数解析式，再由解析式计算可得结果.【详解】根据程序框图可知，1,*1,b a b aa b a a b b-⎧≤⎪⎪=⎨+⎪>⎪⎩，所以313*222+==，所以4132*422-==，即(3*2)*432=.故选：C 6．D【分析】由0x y xy +-=得到111x y+=，从而利用基本不等式“1”的妙用求出49x y +的最小值，从而得到25t ≤.【详解】因为0x y xy +-=，所以111x y+=，()11944949131325y x x y x y x y x y ⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当94y x x y =，即5523x y ==，时，等号成立．因不等式490x y t +-≥恒成立，只需()min 49x y t +≥，因此25t ≤，故实数t 的最大值为25．故选：D 7．D【分析】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则n S n ⎧⎫⎨⎩⎭为等差数列，结合等差中项根据基本量法计算可得.【详解】由等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，设其公差为d '，由241424S S +=，知331721273331S S S d d d ''==+=+=∴'=，，所以()()11113321n S S n d n n n =+-=+-⨯=-'，所以232n S n n =-，所以565S =，故选：D ．8．C【分析】由图像求出函数解析式，即求出ω，ϕ的值，再根据余弦函数的性质求出函数的单调递减区间.【详解】解：因为点π,212⎛⎫ ⎪⎝⎭在函数()f x π12122ωϕ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，即πcos 122ωϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，结合图像可得6ππ12ωϕ+=-①，又()2π3f x f ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，则直线2π3x =为函数()f x 图像的一条对称轴，结合图像可得2ππ3ωϕ+=②，由①、②解得2ω=，π3ϕ=-，所以()23πg x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．令()3ππ3π2π22π22k x k k +≤-≤+∈Z ，得()5π11πππ1212k x k k +≤≤+∈Z ，所以()g x 的单调递减区间为()5π11ππ,π1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z .故选：C ．9．D【解析】构造一个底面半径为2，高为3的圆柱，通过计算可得高相等时截面面积相等，根据祖暅原理可得橄榄球形几何体的体积的一半等于圆柱的体积减去圆锥的体积.【详解】解：构造一个底面半径为2，高为3的圆柱，在圆柱中挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点的圆锥，则当截面与顶点距离为()03h h ≤≤时，小圆锥底面半径为r ，则32h r=，23r h ∴=，故截面面积为：2449h ππ-，把y h =代入22149x y+=，即22149x h +=，解得：x =∴橄榄球形几何体的截面面积为22449x h πππ=-，由祖暅原理可得橄榄球形几何体的体积为：(2V V =圆柱V-圆锥1)24343163πππ⎛⎫=⨯⨯-⨯⨯= ⎪⎝⎭.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是读懂题意，构建圆柱，通过计算得到高相等时截面面积相等，根据祖暅原理得到橄榄球形几何体的体积.10．C【分析】由23n n n a a +-≤得到6913n n n a a +≤-⋅，结合6913n n n a a +-≥⋅，得到6913nn n a a +-=⋅，从而得到23n n n a a +-=，再利用累加法得到35212113333n n a a -+=+++++ ，结合等比数列求和公式求出2023a 的值.【详解】138a =，23nn n a a +-≤，∴2423n n n a a +++-≤，4643n n n a a +++-≤，∴()()()()64426422243333331139n n n n nn n n n n n n n a a a a a a a a ++++++++----=++++=++⋅≤=，又6913n n n a a +-≥⋅，故6913nn n a a +-=⋅，所以2424264333n n n n n n n n n a a a a a a +++++++-=-=-=，，，所以3315323,3,3n n n a a a a a a +-=-=⋯-=，，138a =故211212121235331n n n n n a a a a a a a a a a ++----=-+-++-+- 35213333n -=+++⋯+，则35212113333n n a a -+=+++++ ，所以3520212023333338a =++++⋯+()10112023319338198-=+=-.故选：C ．11．D【分析】()(),0,0A a B a -，，点(),P m n 在双曲线上，有22222n b m a a=-，由题意有21PB k k ⋅=-，又1220k k +=，可得22212n m a =-，可求出22b a 的值，即可计算双曲线的离心率.【详解】设点(),P m n ，则22221m n a b -=，即有22222n b m a a =-，①以AB 为直径的圆经过点Q 可知AQ PB ⊥，所以21PB k k ⋅=-，即21PB k k =-，由()(),0,,0A a B a -，则1PB n nk k m a m a==+-，，可得21PB n k m a k ==--，由1220k k +=，则1212k k -=，所以2122212k n n n k m a m a m a -=⨯==-+-，②由①和②得2212b a =，由222232c a b a =+=，得双曲线的离心率c e a==．故选：D ．12．D【分析】通过构造函数法，结合导数判断出所构造函数的单调性，由此确定正确答案.【详解】构造函数()ln (0)f x x x x =->，则()111x f x x x-'=-=，当1x >时，()0f x ¢>，当01x <<时，()0f x '<，故()f x 在01x <<上单调递减，在1x >上单调递增，由ln22mm =+，ln 2ln2m m -=-，即()()2f m f =，同理()()3f p f =，因为()32,f x >在1x >上单调递增，所以()()32f f >，故()()f p f m >，因为()f x 在01x <<上单调递减，(),0,1m p ∈，故p m <．因为ln ln23ln ln33n n n =-+>-+，故ln 3ln3n n ->-，即()()()3f n f f p >=，因为()f x 在01x <<上单调递减，(),0,1n p ∈，故n p <，从而n p m <<.故选：D【点睛】本题的求解巧妙的利用了构造函数法，通过构造函数，利用导数判断出函数的单调性后，可以将要比较大小的三个数用函数的单调性确定大小关系.13．12##0.5【分析】根据题干条件，计算出()211c a λ⋅=-=，求出λ的值.【详解】()1a c a b λλ==-+ ，且01a b a c ⋅=⋅=，，∴()()()()22111||211c a a b a a b a a λλλλλλ⎡⎤∴⋅=-+⋅=-+⋅=-=-=⎣⎦，故12λ=故答案为：1214．8【分析】根据不等式组作出可行域如图中阴影部分所示，由目标函数的几何意义求解即可.【详解】首先画出不等式组所表示的可行域，画出直线0230l x y +=：，由23z x y =+得2133y x z =-+，要使z 取得最大值，即直线2133y x z =-+在y 轴上的纵截距最大，因此平移直线0l ，当直线过点C 时纵截距最大，z 取得最大值，由2060x y x y +=⎧⎨-+=⎩得点C ()24-，，因此()max 22348z =⨯-+⨯=．故答案为：8．15．3【分析】设PF m =，QF n =，过点P 、Q 分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为P '、Q '，则A 到抛物线C 的准线的距离为2m n d +=，利用余弦定理求出2PQ ，则()22141d PQ mn m n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎡⎤⎝⎭-⎢⎥+⎢⎥⎣⎦，利用基本不等式得到()214mn m n ≤+，从而求出2PQ d ⎛⎫ ⎪⎝⎭的最小值.【详解】解：设PF m =，QF n =，过点P 、Q 分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为P '、Q '，则PP m '=，QQ n '=，因为点A 为线段PQ 的中点，由中位线定理可得，A 到抛物线C 的准线的距离为2PP QQ m nd '++='=，因为2π3PFQ ∠=，在PFQ △中，由余弦定理可得，222222π2cos3PQ m n mn m n mn =+-=++，所以()()()())()222222214441m n m n d PQ m n mn m n mn mn m n ⎛⎫++=== ⎪ ⎪⎡⎤⎡+++-⎝⎭⎣-⎢⎥+⎢⎥⎣⎦，因为()24m n mn +≥，则()214mnm n ≤+，当且仅当m n =时取等号，所以21113414d PQ ⎛⎫≤=⎪ ⎪⎡⎤⎝⎭-⎢⎥⎣⎦，即23PQ d ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，故2PQ d ⎛⎫ ⎪⎝⎭的最小值为3．故答案为：316．①③【分析】过点O 在平面ABCD 内作1OG DO ⊥，垂足为点G ，分析可知当OG ⊥平面DEF 时，截面圆的半径最小，求出截面圆的半径，结合圆的面积公式可判断①；利用球体和圆柱的表面积公式可判断②；P 在底面的射影为P '，设令28P F t '=-，则28P E t '=+，其中88t -≤≤，可得出PE PF +PE PF +的取值范围，可判断③.【详解】对于①，过点O 在平面ABCD 内作1OG DO ⊥，垂足为点G，如下图所示：易知12O O CD ⊥，124O O =，22O D =，由勾股定理可得1O D =则由题可得12211122O O O D OG O D ⋅=⨯=⨯，设O 到平面DEF 的距离为1d ，平面DEF 截得球的截面圆的半径为1r ，因为1O D ⊂平面DEF ，当OG ⊥平面DEF 时，1d 取最大值OG，即15d OG ≤=，所以，15r ==，所以平面DEF截得球的截面面积最小值为216ππ55⎛⨯= ⎝⎭，①对；对于②，因为球的半径为r ，可知圆柱的底面半径为r ，圆柱的高为2r ，球的表面积为24πr ，圆柱的表面积为222π2π26πr r r r +⨯=，所以球与圆柱的表面积之比为224π26π3r r =，②错；对于③，由题可知点P 在过球心与圆柱的底面平行的截面圆上，设P 在底面的射影为P '，则2PP '=，PE ==PF ==由勾股定理可得2216P E P F ''+=，令28P F t '=-，则28P E t '=+，其中88t -≤≤，所以，PE PF +所以，()222424PE PF ⎡⎤+==++⎣⎦，因此，2,PE PF ⎡+∈⎣，③对.故答案为：①③.17．(1)25(2)17ˆ21480yx =-+；171.5分钟.【分析】（1）使用古典概型概率公式进行求解即可；（2）使用表格中的数据，根据题目所附公式进行计算，并将200x =代入回归直线方程进行估计即可.【详解】（1）用(),x y 表示从被抽中的6台平板电脑中随机抽出2台的序号分别为x 和y ，则基本事件有()1,2，()1,3，()1,4，()1,5，()1,6，()2,3，()2,4，()2,5，()2,6，()3,4，()3,5，()3,6，()4,5，()4,6，()5,6共15个，将“抽出的2台平板电脑充满电后工作时长都不小于210分钟”记为事件A ，由已知，序号为1，3，4，6的平板电脑充满电后工作时长都不小于210分钟，∴事件A 中基本事件有()1,3，()1,4，()1,6，()3,4，()3,6，()4,6共6个，∴()62155P A ==.∴若从被抽中的6台平板电脑中随机抽出2台，则抽出的2台平板电脑充满电后工作时长都不小于210分钟的概率为25.（2）由已知，20406080100120140807x ++++++==，2102062021961911881861977y ++++++==，()()71iii x x yy =--∑()()()()()()()60134092050120640960112380=-⨯+-⨯+-⨯+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-=-，()()()()7222222221604020020406011200ii x x =-=-+-+-++++=∑，∴()()()77121ˆ238017112008iii ii x x y y bx x ==---===--∑∑，∴171978021480ˆˆa y bx ⎛⎫=-=--⨯= ⎪⎝⎭，∴线性回归直线方程为17ˆ21480yx =-+，当200x =时，17200214171.580ˆy=-⨯+=，∴估计该平板电脑使用第200次时充满电后的工作时长为171.5分钟．18．(1)任选一条件，面积皆为3(2)(【分析】（1）三个条件，分别利用正余弦定理，两角和与差的正弦公式和三角形内角和公式化简，都能得到π3B =，再由余弦定理求得ac ，即可计算ABC 的面积.（2）π3b B ==，由正弦定理边化角再化简得π6a c A ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，再由2π03A <<求得a c +的取值范围，即可得周长的取值范围.【详解】（1）若选条件①，由)cos sin a b C c B -=及正弦定理，得)sin sin cos sin sin A B C C B-=即()sin sin cos sin sin B C B C C B +-=⎤⎦，sin sin sin B C C B =，因为0πC <<，所以sin 0C ≠，所以tan B =0πB <<，所以π3B =．若选条件②，由22cos a c bC -=及正弦定理，得2sin sin 2sin cos A C B C -=，即()2sin sin 2sin cos B C C B C +-=，化简得2cos sin sin B C C =,因为0πC <<，所以sin 0C ≠，所以1cos 2B =，因为0πB <<，所以π3B =．若选条件③，由()()()a b a b a c c +-=-化简得，222a c b ac +-=，由余弦定理得222cos 2a c b B ac+-=，即1cos 2B =，因为0πB <<，所以π3B =，所以三个条件，都能得到π3B =.由余弦定理得()22222cos 22cos b a c ac B a c ac ac B=+-=+--，即21124222ac ac =--⨯，解得43ac =，所以ABC的面积114πsin sin 2233S ac B ==⨯⨯=.（2）因为π3b B ==，由正弦定理得4sin sin sin a c b A C B ===，因为2ππ3A CB +=-=，所以()2π1π4sin sin 4sin sin 4cos 4326a c A C A AA A A ⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+=+-=+=+⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎭，因为2π03A <<，所以ππ5ππ1sin 166662A A ⎛⎫⎛⎤<+<+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，，，所以(a c +∈，即(a b c ++∈，所以ABC 周长l的取值范围为(.19．(1)答案见解析；(2)答案见解析；【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明即可；（2）根面面垂直的性质定理结合等体积计算即可.【详解】（1）取1CC 的中点为G ，连接11EG GF NE CD A B ，，，，．在11C D C 和1AA B 中，因为F G N E ，，，分别是1111AA CC AB C D ，，，的中点，所以11////FG D C NE A B ，，且111122FG D C NE A B ==，，又在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1111//A B D C A B D C =，，所以/FG NE FG NE =，，因此四边形NEGF 为平行四边形，所以//NF EG ，又因NF ⊄平面1C CE EG ⊂，平面1C CE ，所以//NF 平面1C CE ．（2）由（1）知//NF 平面1C CE 知，点N F 、到平面1C EC 的距离相等，所以111N C EC F C EC E C FC V V V ---==，在三角形1CC F 中，11184120CC C F CC F ==∠=，，1111sin1202C FC S C F C C ∴=⋅⋅= 过点A 作AM CD ⊥于M ，因侧面11DCC D ⊥平面ABCD ，所以AM ⊥平面11DCC D ，因//AB DC ，所以//AB 平面11C CD D ，因此点AE 、到平面1C EC 的距离相等，则AM 的长为点E 到平面1C EC 的距离，sin60AM AD =⨯=所以111111633N C EC E C FC C CF V V S AM --==⋅⋅=⨯= .20．(1)()33f x x x=-(2)()3,2m ∈--【分析】（1）根据函数的奇偶性求出0b =，0c =，由函数单调性，利用导函数求出1a =，确定函数解析式；（2）点()1,A m 不在曲线上，设切点为()00,M x y ，根据导函数的几何意义与斜率公式列出方程，得到32002330-++=x x m ，设()32000233g x x x m =-++，通过研究其单调性，极值情况，求出m 的取值范围.【详解】（1）因为函数为奇函数，则()()323233f x ax bx x c f x ax bx x c -=-+++=-=--+-，故0b =，0c =，又因为函数()f x 在(),1-∞-上单调递增，在()1,1-上单调递减，所以()f x 在=1x -处取得极大值，因为()233f x ax '=-，所以()10f '-=，即330a -=，解得：1a =，经检验符合题意，所以()33f x x x =-．（2）2()333(1)(1)f x x x x '=-=+-，因为曲线方程为33y x x =-，2m ≠-，点()1,A m 不在曲线上，设切点为()00,M x y ，则点M 的坐标满足30003y x x =-，因为()()20031f x x '=-，故切线的斜率为()3200003311x x mx x ---=-，整理得：32002330-++=x x m ，因为过点()1,A m 可作曲线的三条切线，所以关于0x 的方程有三个实根．设()32000233g x x x m =-++，则()200066g x x x '=-，由()00g x '<，得001x <<，()00g x '>，得00x <或01x >，所以()0g x 在(),0∞-，()1,+∞上单调递增，在()0,1上单调递减，所以函数的极值点为00x =，01x =，所以关于0x 的方程有三个实根的必要条件是()()0010g g ⎧>⎪⎨<⎪⎩，解得：32m -<<-，又当01x =-时，()15340g m -=-++<-<，当02x =时，()24340g m =++>>，所以32m -<<-时，必有三个实根，故所求的实数m 的取值范围是()3,2m ∈--．【点睛】过函数上某一点的切线条数，转化为函数零点个数问题，构造函数，通过求导研究函数单调性，极值和最值情况，从而解决问题.21．(1)2211612x y +=(2)是定值，定值为π2【分析】（1）根据椭圆的标准方程列方程组求解即可；（2）当直线l 斜率不存在时，易得π2MFN ∠=，当直线l 斜率存在时，设直线l ：2x my =+，()11,B x y ，()22,D x y ，将直线与椭圆成联立，利用韦达定理结合向量数量积的坐标公式求解即可.【详解】（1）设椭圆C 的焦距为2c ，由题意可得22262a c a c a b c+=⎧⎪-=⎨⎪=+⎩，解得221612a b ⎧=⎨=⎩，故椭圆C 的标准方程为2211612x y +=.（2）由（1）得(4,0)A -，当直线l 垂直于x 轴时，:2l x =，代入椭圆方程2211612x y+=，解得()2,3B ，()2,3D -.所以直线AB 的方程为()142y x =+，令8x =，得6y =，则()8,6M ，直线AD 的方程为1(4)2y x =-+，令8x =，得y =-6，则()8,6N -，所以1FM k =，1FN k =-，则1FM FN k k ⋅=-，即π2MFN ∠=，若MFN ∠为定值，则必为π2，当直线l 的斜率存在时，设直线:2l x my =+，()11,B x y ，()22,D x y ，联立222,1,1612x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得()223412360m y my ++-=，()()()222(12)4343657610m m m ∆=-+⨯-=+>，则1221234m y y m +=-+，2123634y y m =-+，直线AB 的方程为()1144y y x x =++，令8x =，得11124y y x =+，则11128,4y M x ⎛⎫⎪+⎝⎭，直线AD 的方程为()2244y y x x =++，令8x =，得22124y y x =+，则22128,4y N x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，因为()2,0F ，所以11126,4y FM x ⎛⎫= ⎪+⎝⎭ ，22126,4y FN x ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，则()21212121212121212363644416y y y y FM FN x x x x x x ⋅=+⨯=++++++ ()212221212223614414434363636126366363434y y m m m y y m y y m m m m ⎛⎫⨯- ⎪+⎝⎭=+++++⎛⎫⎛⎫⨯-+⨯-+ ⎪++⎝⎭⎝⎭()2221443636363603672363364m m m ⨯-=+=-=--+⨯+⨯，故FM FN ⊥ ，即π2MFN ∠=.综上，MFN ∠为定值π2.22．(1)sin cos cos 0x y ααα-+=；()()22110x y x -+=≠；(2)2【分析】（1）利用cos ,sin x y ρθρθ==与正弦的和差公式可求得直线l 的直角坐标方程；利用消参法可求得曲线C 的普通方程；（2）法一：先由条件得到直线l 的参数方程，再联立直线l 与曲线C 的方程，利用参数的几何意义得到AB PA PB =⋅，从而得解；法二：利用圆的切割线定理得到2||1PA PB PO ⋅==，从而得到ABAB PA PB =⋅，由此得解.【详解】（1）由()sin cos ρθαα-=，得()sin cos cos sin cos ρθαθαα-=，由cos ,sin x y ρθρθ==，得直线l 的直角坐标方程为sin cos cos 0x y ααα-+=，由222121x t ty t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩(t 为参数)，两式相除得()0y t x x =≠，所以221x y x =⎛⎫+ ⎪⎝⎭，整理得曲线C 的普通方程为()()22110x y x -+=≠.（2）法一：因为直线l 经过点()0,1P ，所以直线l 的参数方程为cos 1sin x m y m αα=⎧⎨=+⎩(m 为参数)，代入()2211x y -+=中，得()22sin cos 10m m αα+-+=，由()2sin c 4os 40αα=-∆->，得sin 20α<，又[)0,πα∈，故π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()12122cos sin ,1m m m m αα+=-=，所以121212AB m m PA PB m m -=⋅⋅因为π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()2π,2πα∈，故1sin 20α-≤<，则04sin 24α<-≤，所以2AB PA PB =≤⋅，当且仅当3π4α=时，等号成立，故AB PA PB ⋅的最大值为2.法二：直线l 经过点()0,1,1P PO =，曲线C ()()22110x y x -+=≠为除()0,0点外，以()1,0C 为圆心半径为1r =的圆，易得圆心C 到直线:0PO x =的距离为1，所以直线PO 与圆C 相切，且O 为切点，所以由圆的切割线定理得2||1PA PB PO ⋅==，所以2ABAB PA PB=≤⋅，当且仅当AB 为圆C 的直径时，等号成立，故ABPA PB ⋅的最大值为2．23．(1)[]02，(2)85【分析】（1）将函数写成分段函数，再分段求解，最后取并集即可；（2）由绝对值三角不等式可得2m =，于是有1a b +=，再利用基本不等式求解即可.【详解】（1）2,1()112,112,1x x f x x x x x x -<-⎧⎪=-++=-≤≤⎨⎪>⎩，当()2f x x ≤+时，122x x x <-⎧⎨-≤+⎩或1122x x -≤≤⎧⎨≤+⎩或122x x x >⎧⎨≤+⎩,解得x ∈∅或01x ≤≤或12x <≤，所以02x ≤≤，故()2f x x ≤+解集为[]02，；（2）()11112f x x x x x =-++≥---=，当且仅当(1)(1)0x x -⨯+≤即11x -≤≤时，等号成立，∴2m =，∴1a b +=，∵a ，b 为正实数，∴31319132133139313a b b b b b b +=+=+++-+-+191([(93)(13)]109313b b b b=⨯+⨯-++-+19(13)931168[10[1010931310105b b b b +-=⨯++≥⨯+==-+，当且仅当9(13)939313b b b b +-=-+，即12a b ==时，等号成立．故313213a b b +++的最小值为85．。

绝密★启用前高考模拟试题（七）数学时间：120 分钟 分值：150 分注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。

2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试卷上无效。

3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。

4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数)23(i i z -=(i 是虚数单位)，则z 的虚部是()2.-A3.-B 2.C 3.D 2.一个容量为20的样本数据，已知分组与频数分布如下：[10,20)，2个；[20,30)，3个；[30,40)，4个；[40,50)，5个；[50,60)，4个；[60,70)，2个.则样本在[10,50)上的频率为()203.A 103.B 207.C 107.D 3.已知直线012:1=++-a y ax l 和02)1(2:2=+--y a x l ，则21l l ⊥的充要条件是=a ()2.A 21.B 3.-C 31.D 4.将函数)6sin(2)(π+=x x f 的图像向右平移ϕ个单位，所得图像恰好关于原点对称，则ϕ的最小值为()6.πA 4.πB 3.πC 2.πD 5.执行下面的程序框图，当输入x 为2006时，输出的=y ()2.A 4.B 10.C 28.D6.已知向量a )2,(m =，b )0(),1(>-=n n ，且a ·b 0=，点),(n m P 在圆522=+y x 上，则|2a +b |=()34.A 37.B 102.C 8.D 7.已知三棱柱ABC O -中，OC OB OA ，，两两垂直，且12===OC OB OA ，，P 是ABC △上任意一点，设OP 与平面ABC 所成角为x ，y OP =，则y 关于x 的函数关系图像为()8.某中学在高二开设了4门选修课，每个学生必须且只需选修1门选修课，对于该年级的甲、乙、丙3名学生.则恰有2门选修课没有被这3名学生选择的概率为()43.A 83.B 169.C 329.D 9.已知)(x f 是定义在R 上的函数，若函数)2016(+x f 为偶函数，且对任意)(),2016[2121x x x x ≠+∞∈，，都有0)()(1212<--x x x f x f ，则())2017()2014()2019(.f f f A <<)2019()2014()2017(.f f f B <<)2019()2017()2014(.f f f C <<)2014()2017()2019(.f f f D <<10.已知)2,0(21cos sin πθθθ∈=-，，则=-)4sin(2cos πθθ()214.-A 47.-B 42.C 27.D 11.设点F 是抛物线x y 22=的焦点，过抛物线上一点P ，沿x 轴正向作射线x PQ ∥轴，若FPQ ∠的平分线PR 所在直线的斜率为2-，则点P 的坐标为())2,21(.--A )2,21(.-B )2,2(.-C )2,2(.D 12.已知函数c bx ax x x f +++=231)(23有两个极值点21x x ，，且21121<<<<-x x ，则直线03)1(=+--y a bx 的斜率的取值范围是())32,52(.-A )23,52(.-B )21,52(.-C ),32()52,(.+∞--∞ A第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：把答案填在相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题5分，共20分）．13.已知集合}21|{<<-=x x M ，}121|{2M x x y y N ∈-==，，则N M ______.14.海军某舰队在一未知海域向正西方向行驶（如图），在A 处测得北侧一岛屿的顶端D 的底部C 偏北的。

2023年上海高考数学名师模拟卷（7）一．填空题（共12小题）1．设全集{1U =-，0，1，2，3}，若集合{1A =-，0，2}，则A = ． 2．函数()1f x x =-的定义域为 ．3．153lim 43n nn +→∞+=+ ．4．若复数cos (sin 2i z i iαα=+为虚数单位），若复数z 的模等于2，则tan2α= ．5．5(1)ax +展开式中含2x 项的系数为40，则a = ．6．设1()f x -为函数2()log (41)x f x =-的反函数，则当1()2()f x f x -=时，x 的值为 ． 7．某几何体的三视图如图所示（单位：)cm ，则该几何体的表面积（单位：2)cm 为 ．8．一个三位数，个位、十位、百位上的数字依次为x ，y ，z ，当且仅当y x >且y z >时，称这样的数为“凸数”（如341)，则从集合{1，2，3，4，5}中取出三个不相同的数组成的“凸数”个数为 ．9．已知椭圆C 的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线AB 过1F 与椭圆交于A ，B 两点，当△2F AB 为正三角形时，该椭圆的离心率为 ．10．在正方形ABCD 中，O 为对角线的交点，E 为边BC 上的动点，若(,0)AE AC DO λμλμ=+>，则21λμ+的最小值为 ．11．已知点(,)P x y 是直线:40(0)l kx y k -+=>上的动点，过点P 作圆22:20C x y y ++=的切线PA ，A 为切点，若||PA 最小为2时，圆22:0M x y my +-=与圆C 外切，且与直线l 相切，则m 的值为 ．12．若实数a 、b 满足22430a b b +-+=，函数()sin 2cos21f x a x b x =⋅+⋅+的最大值为(,)a b ϕ，则(,)a b ϕ的最小值为 ．二．选择题（共4小题）13．已知23i -是关于x 的方程260()x x q q R ++=∈的一个根，则该方程的另一个根为()A ．23i +B ．23i --C ．23i -D ．23i -+14．已知直线a ，b 与平面α，β，γ，能使αβ⊥的充分条件是( ) A ．αγ⊥，βγ⊥ B ．a αβ=，b a ⊥，b β⊂C ．//a α，//a βD ．//a α，a β⊥15．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，圆2222x y a b +=+与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为A ，B ，四边形21AF BF 的周长P 与面积p =( )A B C D 16．设函数22,0()||,0x bx x f x a x x ⎧++=⎨->⎩．若两条平行直线680x y a ++=与3110x by ++=之间的距离为a ，则函数()()(2)g x f x ln x =-+的零点个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4三．解答题（共5小题） 17．已知函数3()(21xf x a a =-+为实常数）． （1）讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）当()f x 为奇函数时，对任意[1x ∈，6]，不等式()2xuf x 恒成立，求实数u 的最大值．18．已知如图①，在菱形ABCD 中，60A ∠=︒且2AB =，E 为AD 的中点，将ABE ∆沿BE折起使2AD =，得到如图②所示的四棱锥A BCDE -，在四棱锥A BCDE -中求解下列问题：（1）求证：BC ⊥平面ABE ；（2）若P 为AC 的中点，求直线PB 与平面ABD 所成的角.19．如图，某城市设立以城中心O 为圆心、r 公里为半径的圆形保护区，从保护区边缘起，在城中心O正东方向上有一条高速公路PB、西南方向上有一条一级公路QC，现要在保护区边缘PQ弧上选择一点A作为出口，建一条连接两条公路且与圆O相切的直道BC．已知通往一级公路的道路AC每公里造价为a万元，通往高速公路的道路AB每公里造价是2m a 万元，其中a，r，m为常数，设POAθ∠=，总造价为y万元．（1）把y表示成θ的函数()y fθ=，并求出定义域；（2）当622m+=时，如何确定A点的位置才能使得总造价最低？20．已知抛物线2:2(0)C y px p=>的焦点为F，原点O关于点F的对称点为Q，点(0,1)P关于点Q 的对称点1P 也在抛物线C 上． （1）求p 的值；（2）设直线l 交抛物线C 于不同两点A 、B ，直线PA 、PB 与抛物线C 的另一个交点分别为M 、N ，PM PA λ=，PN PB μ=，且112λμ+=，求直线l 的横截距的最大值．21．已知集合1{(n A x =，2x ，)n x ⋯，{0i x ∈，1}(1i =，2，)}(2)n n ⋯，若x ，n y A ∈，记1(x x =，2x ，)n x ⋯，1(y y =，2y ，)n y ⋯，定义1122()()()n n x y x y x y x y =++⋯+⊗．（Ⅰ）若(1x =，1，1，1)且4x y =⊗，写出n A 中所有满足条件的元素y ；（Ⅱ）令{|B x y x =⊗，}n y A ∈，若m card =（B ），求证：m n +为偶数；(card （B ）表示集合B 中元素的个数）．（Ⅲ）若集合n A A ⊆，且A 中的每一个元素均含有4个0和4个1，对任意x ，y A ∈，都有4x y =⊗，求A 中最多有多少个元素？并说明理由．2023年上海高考数学名师模拟卷（7）一．填空题（共12小题）1．设全集，0，1，2，，若集合，0，，则 ， ． 【解答】解：全集，0，1，2，，集合，0，， ，．故答案为：，．2．函数的定义域为 ， ． 【解答】解：由，得． 函数，．故答案为：，．3． 3 ． 【解答】解：， 故答案为：3． 4．若复数为虚数单位），若复数1 ．【解答】解：根据题意可得， 因为所以， 所以， 故答案为：1．5．展开式中含项的系数为40，则 或2 ．【解答】解：展开式的通项公式为，令，求得，{1U =-3}{1A =-2}A ={13}{1U =-3}{1A =-2}∴{1A =3}{13}()f x =[1)+∞10x -1x ∴()f x =[1)+∞[1)+∞153lim43n nn +→∞+=+153533limlim 344313n n n n n n+→∞→∞++==++cos (sin i z i iαα=z tan2α=)cos sin (cos sin )z i i i ααααα=-=+-||z =cos2sin2αα=sin 2tan 21cos2ααα==5(1)ax +2x a =2-5(1)ax +5515r r r r T C a x --+=⋅⋅52r -=3r =可得展开式中含项的系数为，， 故答案为：或2．6．设为函数的反函数，则当时，的值为 1 ． 【解答】解：为函数的反函数， 设，函数过，反函数过，所以同时过，，，代入，得，所以， 故答案为：17．某几何体的三视图如图所示（单位：，则该几何体的表面积（单位：为 32 ．【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为三棱锥； 如图所示：所以．故答案为：32．8．一个三位数，个位、十位、百位上的数字依次为，，，当且仅当且时，称这样的数为“凸数”（如，则从集合，2，3，4，中取出三个不相同的数组成的“凸数”个数为 20 ．【解答】解：从，2，3，4，的5个整数中任取3个不同的数，将最大的放在十位上，2x 32540C a ⋅=2a ∴=±2-1()f x -2()log (41)x f x =-1()2()f x f x -=x 1()f x -2()log (41)x f x =-1()2()y f x f x -==(,)x y (,)2yx ()f x (,)x y (2y)x 2122(41)(4)x y y log x log -⎧=-⎪⎨⎪=⎩241221y x x y ⎧=-⎨=-⎩1x =)cm 2)cm A BCD -111134344545322222S =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=表x y z y x >y z >341){15}{15}剩余的2个数字分别放在百、个位上就构成一个“凸数”，故“凸数”有种情况． 故答案为：20．9．已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线过与椭圆交于，两点，当△为正三角形时，该椭圆的离心率为． 【解答】解：不妨设椭圆的方程为，根据椭圆定义，，，△为正三角形，， 所以，即为线段的中点， 根据椭圆的对称性知垂直于轴． 设，则，．因为，即， 所以．． 10．在正方形中，为对角线的交点，为边上的动点，若，则的最小值为． 【解答】解：如图所示，以点为原点，以，分别为，轴建立平面直角坐标系， 设正方形的边长为2，则，，，，， 因为点是边上的动点，所以设点的坐标为， 则由可得：，，，， 所以，即，所以， 当且仅当时取等号，此时的最小值为，故答案为：． 35220C ⨯=C 1F 2F AB 1F A B 2F AB22221(0)x y a b a b +=>>12||2||AF a AF =-12||2||BF a BF =-2F AB 22||||AF BF =11||||AF BF =1F AB AB x 12||2F F c =1||2tan30AF c =︒22||cos30c AF ==︒12||||2AF AF a +=2a =c e a ==ABCD O E BC (,0)AE AC DO λμλμ=+>21λμ+92A AB AD x y ABCD (0,0)A (2,0)B (2,2)C (0,2)D (1,1)OE BC E (2,)y AE AC DO λμ=+(2)(2y λ=2)(1μ+1)-22λμ+=12μλ+=21211559()()22222222μλμλλλμλμμλμ+=++=+++++=λμμλ=21λμ+929211．已知点是直线上的动点，过点作圆的切线，为切点，若最小为2时，圆与圆外切，且与直线相切，则的值为【解答】解：易知，当与直线垂直时，切线长最短， 而圆，圆心，半径，由， 则．，解得．故此时直线的方程为：．又圆，圆心，半径，由圆，圆外切可得：，化简得，故．圆与直线， 即，解得（舍． 故答案为：．12．若实数、满足，函数的最大值为，则的最小值为 2 ．【解答】解：因为实数，满足， 所以，表示以为圆心，以1为半径的圆， 因为的最大值为，则，它表示原点到点的距离再加上1， 由点在圆上，(,)P x y :40(0)l kx y k -+=>P 22:20C x y y ++=PA A ||PA 22:0M x y my +-=C l m 2-+PC l ||PA 22:(1)1C x y ++=(0,1)C -1R =||2PA =||PC ==0)k >2k =l 240x y -+=222:()24m m M x y +-=(0,)2m M ||2m r =M C |||1|122m m +=+||m m =0m >M l |204|||2mm ⨯-+=24160m m +-=2m =-+2--)2-+a b 22430a b b +-+=()sin 2cos21f x a x b x =⋅+⋅+(,)a b ϕ(,)a b ϕa b 22430a b b +-+=22(2)1a b +-=(0,2)()sin 2cos21f x a x b x =⋅+⋅+(,)a b ϕ(,)1a b ϕ=(,)a b (,)a b 22(2)1a b +-=所以原点到圆心的距离为2， 故圆上的点到原点的距离的最小值为1， 所以的最小值为2． 故答案为：2．二．选择题（共4小题）13．已知是关于的方程的一个根，则该方程的另一个根为A ．B ．C ．D ．【解答】解：是关于的方程的一个根，设该方程的另一个根为，可得， 解得， 故选：．14．已知直线，与平面，，，能使的充分条件是 A ．， B ．，，C ．，D ．，【解答】解：：由，，得 与可能平行，错误，：当与相交但不垂直时，也会有，，错误，：当，时， 与可能平行，错误，：当，时，过直线做平面与平面交于直线，，又，，又，，正确， 故选：．15．已知双曲线的左、右焦点分别为、，圆与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为，，四边形的周长与面积ABCD【解答】解：由题知，，四边形的是平行四边形，， (0,2)(,)a b ϕ23i -x 260()x x q q R ++=∈()23i +23i --23i -23i -+23i -x 260()x x q q R ++=∈0x 0(23)6x i +-=-032x i =--B a b αβγαβ⊥()αγ⊥βγ⊥a αβ=b a ⊥b β⊂//a α//a β//a αa β⊥A αγ⊥βγ⊥αβA ∴B αβb a ⊥b β⊂B ∴C //a α//a βαβC ∴D //a αa β⊥a αb //a b ∴a β⊥b β∴⊥b α⊂αβ∴⊥D ∴D 22221(0,0)x y a b a b-=>>1F 2F 2222x y a b +=+A B 21AF BF P p =()12||||2AF AF a -=21AF BF 12||||2P AF AF +=联立解得，，，又线段为圆的直径， 所以由双曲线的对称性可知四边形为矩形，所以， 因为面积，即，解得，由，得，即，可得． 故选：．16．设函数．若两条平行直线与之间的距离为，则函数的零点个数为 A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：由题意两条平行直线与之间的距离为，可得， 解得：．函数．函数的零点个数就是函数，图象交点个数， 如图：图象有4个交点． 故选：．三．解答题（共5小题） 17．已知函数为实常数）． 1||4p AF a =+2||4pAF a =-12F F 21AF BF 2212||||16p S AF AF a ==-p =232p S=22232()16p p a =-2232p a =2221212||||||AF AF F F +=222248p a c +=2232a c =e =C 22,0()||,0x bx x f x a x x ⎧++=⎨->⎩680x y a ++=3110x by ++=a ()()(2)g x f x ln x =-+()680x y a ++=3110x by ++=a 4b =|11|a a -=2a =222,042,0()||,0|2|,0x bx x x x x f x a x x x x ⎧⎧++++==⎨⎨->->⎩⎩()()(2)g x f x ln x =-+()y f x =(2)y ln x =+D 3()(21xf x a a =-+（1）讨论函数的奇偶性，并说明理由；（2）当为奇函数时，对任意，，不等式恒成立，求实数的最大值． 【解答】解：（1）当时，（1），，（1），且（1），于是此时函数既不是偶函数，也不是奇函数． 当时，，即， 故此时函数是奇函数． （2）是奇函数，故由（1）知，从而，由不等式恒成立，得， 令，（因为，，故， 由于函数在，单调递增，（3），因此，当不等式在，上恒成立时，实数的最大值为1． 18．已知如图①，在菱形中，且，为的中点，将沿折起使，得到如图②所示的四棱锥，在四棱锥中求解下列问题：（1）求证：平面；（2）若为的中点，求直线与平面所成的角【解答】（1）证明：在图①中，连结，如图所示，因为四边形为菱形，，所以是等边三角形， 因为为的中点，所以，， 又，所以，在图②中，，所以，即， 又因为，所以，，又，，平面，所以平面，()f x ()f x [1x ∈6]()2xuf x u 32a ≠f 1a =-(1)2f a -=-f (1)f ≠-(1)f f -≠-()f x 32a =33()()22302121x x f x f x a a -+-=---=-=++()()f x f x -=-()f x ()f x 32a =33()221x f x =-+()2x uf x 3322221xx x u ⋅⋅-+21[3x t +=∈65][1x ∈6])33(1)329(1)()222t ut t t t ---=+-329()()22t t t ϕ=+-[365]()min t ϕϕ∴=1=()2xuf x [1x ∈6]u ABCD 60A ∠=︒2AB =E AD ABE ∆BE AD =A BCDE -A BCDE -BC ⊥ABE P AC PB ABD .BD ABCD 60A ∠=︒ABD ∆E AD BE AE ⊥BE DE ⊥2AD AB ==1AE DE ==AD 222AE ED AD +=AE ED ⊥//BC DE BC BE ⊥BC AE ⊥BEAE E =AE BE ⊂ABE BC ⊥ABE（2）解：由（1）可知，，， 因为，，平面，所以平面，以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示， 则， 所以， 设平面的法向量为，则，则，令，则，故， 设直线与平面所成的角为， 则，故故直线与平面所成的角19．如图，某城市设立以城中心为圆心、公里为半径的圆形保护区，从保护区边缘起，在城中心正东方向上有一条高速公路、西南方向上有一条一级公路，现要在保护区边缘弧上选择一点作为出口，建一条连接两条公路且与圆相切的直道．已知通往一级公路的道路每公里造价为万元，通往高速公路的道路每公里造价是万元，其中，，为常数，设，总造价为万元． （1）把表示成的函数，并求出定义域； （2）当时，如何确定点的位置才能使得总造价最低？ AE DE ⊥AE BE ⊥BEDE E =BE DE ⊂BCDE AE ⊥BCDE E (0,0,0),(0,0,1),(0,1,0)E A B D 31(3,0,1),(0,1,1),(,1,)22BA AD PB =-=-=--BDA (,,)n x y z =00n BA n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩00z y z ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩1x =y z ==(1,3,n =PB ABD θ||42sin |cos ,|14||||PB n PB n PB n θ⋅=<>==θ=PB ABD O r O PB QC PQ A O BC AC a AB 2m a a r m POA θ∠=y y θ()y f θ=m =A【解答】解：（1）BC 与圆O 相切于A ，OA BC ∴⊥，在OAB ∆中，tan AB r θ=，⋯（2分）同理，可得3tan()4AC r πθ=-⋯（4分） ∴223tan tan()4y m aAB aAC m ar ar πθθ=+=+-， ∴23[tan tan()]4y ar m πθθ=+-，⋯（6分） 可得函数的定义域为：(,)42ππ⋯（8分）（2）由（1）可得23[tan tan()]4y ar m πθθ=+- 21tan [tan ]1tan ar m θθθ--=+-222[(tan 1)1]tan 1ar m m θθ=-+++-(,)42ππθ∈，tan 10θ∴->，∴22(tan 1)22tan 1m m θθ-+-， 当且仅当22(tan 1)tan 1mθθ-=-，即tan 1θ=+时取等号，又m =tan θ=60θ∴=︒ 故当θ取60︒，即A 点在O 东偏南60︒的方向上，总造价最低．⋯（16分）20．已知抛物线的焦点为，原点关于点的对称点为，点关于点的对称点也在抛物线上． （1）求的值；（2）设直线交抛物线于不同两点、，直线、与抛物线的另一个交点分别为、，，，且，求直线的横截距的最大值．【解答】解：（1）由题知，，2:2(0)C y px p =>F O F Q (0,1)P Q 1P C p l C A B PA PB C M N PM PA λ=PN PB μ=112λμ+=l (,0)2p F (,0)Q p，代入的方程得， ； （2）设直线的方程为，与抛物线联立得， 由题知△，可设方程两根为，，则，，， 由得， ，，又点在抛物线上，，化简得，由题知，为不同两点，故， ，即，同理可得，，将式代入得，即，将其代入，解得，，在时取得最大值，即直线的最大横截距为．21．已知集合，，，，，2，，若，，记，，，，，，定义．（Ⅰ）若，1，1，且，写出中所有满足条件的元素；（Ⅱ）令，，若（B ），求证：为偶数；（B ）表示集合中元素的个数）．（Ⅲ）若集合，且中的每一个元素均含有4个0和4个1，对任意，，都有，求中最多有多少个元素？并说明理由．1(2,1)P p ∴-C 214p =∴12p =l x my t =+2:C y x =20y my t --=240m t =+>1y 2y 12y y m +=12y y t =-(*)PM PA λ=211(,1)(,1)M M x y y y λ-=-∴21M x y λ=11M y y λλ=+-M C ∴2211(1)y y λλλ+-=21(1)[(1)1]0y λλ---=M A 1λ≠∴21(1)1y λ-=211(1)y λ=-221(1)y μ=-∴22212121212(1)(1)()2()222y y y y y y y y -+-=+-+-+=(*)2220m m t -+=22m t m =-240m t +>04m <<∴2211(1)222m t m m =-=--+1m =12l 121{(n A x =2x )n x ⋯{0i x ∈1}(1i =)}(2)n n ⋯x n y A ∈1(x x =2x )n x ⋯1(y y =2y )n y ⋯1122()()()n n x y x y x y x y =++⋯+⊗(1x =1)4x y =⊗n A y {|B x y x =⊗}n y A ∈m card =m n +(card B n A A ⊆A x y A ∈4x y =⊗A【解答】解：（Ⅰ）由（不考虑顺序），而只可能为0或1或2，则，只可能为2个为0，2个为1，，1，0，或，0，1，或，0，0，或，0，1，或，1，0，或，1，1，；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得只可能为0或1或2， 的结果只能为0，1，2，，，，（B ），为偶数；（Ⅲ），也就是取时，与中为1的位置恰好只有2个重合也为1，中0的位置中为1，则此时中1的元素为个，与4个0和4个1不符，无法找出这样的元素．411141122=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯i i x y +4x y =⊗i y i y (1y ∴=0)(10)(11)(01)(01)(00)i i x y +x y ∴⊗22⋯2n m card ∴=2n =+222(1)m n n n ∴+=+=+411111122=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯y x x y y 426+=。

航天高级中学2021届高三数学上学期第七次模拟试题理〔扫描版〕制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日七模理科数学参考答案第一卷〔选择题，一共60分〕一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分〕 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B ABBBDCBDBCB【解析】7．1011=0+11p S =+==，，k=2，2<5？是；14123133p S =+==+=，，k=3，3<5？是； 413336+362p S =+===，，k=4，4<5？是；31864102105p S =+==+=，，k=5，5<5？否，∴85S =，应选C ．8．求得交点()A k k ，，(2)B k k -，，(00)C ，，∴2A z k =，B z k =-，0C z =，∵0k ＞， ∴max 212z k ==，∴6k =，∴min 6z k =-=-，应选B ．9．在空间四边形ABCD 中，取AC 的中点为O ，连接OB ，OD ，那么60BOD ∠=︒，R=OA=OB=OC=OD=2，V=323π，应选D ．10．F(1，0)，准线为x =-1，设准线与x 轴的交点为H ，在△AHF 中，HF=2，AFH PAF ∠=∠ 60=︒，又AP=PF ，那么△PAF 为等边三角形，PF=AF=4，应选B ．11．ln 1=0ln =1x ax x ax -+⇔-，令12ln 1y x y ax ==-，，直线21y ax =-过定点(01)-，， 设直线21y ax =-与1y 的切点为00(ln )x x ，，由于11y x '=，所以切线斜率0000ln 1111x a x a x x +====，∴，，当(01)a ∈，时，直线21y ax =-与1y 的图象有2个交点，应选C ．12．由()()()()f x g x f x g x ''<得2()()()()()0()()f x f x g x f x g x g x g x '''⎡⎤-=<⎢⎥⎣⎦，即()()x f x y a g x ==为R 上的减函数，所以01a <<，由(1)(1)5(1)(1)2f f g g -+=-，得152a a -+=，即22520a a -+=，解得2a =或者12a =，又01a <<，所以12a =，故()1()2x f x g x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，数列()()()f n n g n ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭*N 即1()2nn ⎧⎫⎪⎪⎛⎫∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭*N ，其前n 项和为111221631126412nn ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-= ⎪⎝⎭-，整理得11264n⎛⎫=⎪⎝⎭，解得6n =，应选B ． 第二卷〔非选择题，一共90分〕二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分〕【解析】13．由17n +=，得n=6，应用二项式定理，得展开式的常数项为4422561C ()15T x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭．14．由，得1111212222f ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，于是511122222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．15．由2y x =，得(0)y x x =≥，那么面积为1312320212111()d 33333A S S x x x x x Ω⎛⎫==-=-=-= ⎪⎝⎭⎰，，于是概率为13A S S Ω=．16．由函数32115()33212f x x x x =-+-，得2()3f x x x '=-+，那么()21f x x ''=-，令()0f x ''=，得12x =，代回原函数，得112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故对称中心为112⎛⎫ ⎪⎝⎭，．三、解答题〔一共70分．解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤〕18．〔本小题满分是12分〕 〔Ⅰ〕证明：连接AC ，∵四边形ABCD 为平行四边形，且E 为BD 的中点，∴AC∩BD=E ，∴E 为AC 的中点． 又∵F 为PC 的中点，∴EF 是△PAC 的中位线，∴EF ∥PA ． 又∵PA ⊂平面ADP ，EF ⊄平面ADP ，∴EF ∥平面ADP ．…………………………………〔4分〕 〔Ⅱ〕解：如图1，连接AM 和DM ，∵PD ⊥平面ABCD ， ∴PD ⊥AD ，且PD ⊥BD ，又∵AD ⊥BD ，PD BD D =，图1∴AD ⊥平面PDB ， 又∵MD ⊂平面PDB ， ∴AD ⊥MD ， 又∵AD ⊥BD ，∴∠MDB 是二面角M AD B --的平面角，∴∠MDB=45°．…………………………〔8分〕 在△PDB 中，∵PD ⊥BD ，PD=BD ，∠MDB=45°∴M 是PB 的中点，∴2λ=．…………………………………………………………〔12分〕 19．〔本小题满分是12分〕解：〔Ⅰ〕甲、乙两班数学样本成绩的中位数分别是72分、70分．………………〔2分〕〔Ⅱ〕901+804+70660650240190==7120x ⨯⨯⨯+⨯+⨯+⨯+甲，902+803+705605503402100==7020x ⨯⨯⨯+⨯+⨯+⨯+乙，∴甲、乙两班数学样本成绩的平均值分别是71分、70分．…………………………〔6分〕 〔III 〕ξ的可能取值为0、1、2、3、4，甲、乙两班各有5个优秀成绩，故从甲班中抽取一个成绩是优秀成绩的概率为14，从乙班中抽取一个成绩是优秀成绩的概率也为14，4381(0)4256P ξ⎛⎫===⎪⎝⎭， 3121327(1)2C 4464P ξ⎛⎫⎛⎫===⎪⎪⎝⎭⎝⎭，22221122131327(2)2+C C 4444128P ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 221221133(3)2C C 44464P ξ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭， 411(4)4256P ξ⎛⎫===⎪⎝⎭， ∴ξ的分布列为：……………………………………………………………………………………〔11分〕 8110854121()012341256256256256256E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．……………………………〔12分〕20．〔本小题满分是12分〕解：〔Ⅰ〕在12AF F △中，由1260F AF ∠=︒，12AF AF a==，得12AF F △是等边三角形，那么2a c =，于是椭圆C 的离心率12c e a ==．………………………………………………………〔4分〕〔Ⅱ〕由12c e a ==，得2a c =，那么b =，于是椭圆C ：2222143x y c c +=．又由右焦点2(0)F c ，及斜率tan 451k =︒=，得直线l y x c =-：． 联立，得2223412y x c x y c =-⎧⎨+=⎩，，消去y ，得227880x cx c --=． 运用韦达定理，得212128877x x c x x c +==-，．…………………………………………〔8分〕 设1122()()M x y N x y ，，，，且1(0)F c -，， 那么111122()()MF NF c x y c x y ⋅=------，，21212121212()()()()()()22c x c x y y c x c x x c x c x x c =+++=+++--=+ 222162277c c c =-+=-，而112MF NF ⋅=-，即2227c -=-，于是27c c ==，．所求椭圆C 的方程为2212821x y +=．……………………………………………………〔12分〕21．〔本小题满分是12分〕〔Ⅰ〕解：函数()f x 的单调递减区间为(1)-∞-，，单调递增区间为[10)-，，(0)+∞，． ……………………………………………………………………………………〔2分〕〔Ⅱ〕证明：由()g x 有意义知12x ≥，所以()ln f x x =，令()()()h x g x f x =-，1()h x x '=-，因为22121(1)0x x x x x ⇔⇔-⇔-≥≥成立，所1x 成立，所以()0h x '≥，即()()()h x g x f x =-在12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，上是增函数．所以min 11111()ln ln 2022222h x h ⎛⎫==--=->-= ⎪⎝⎭，所以()()g x f x >，即曲线()f x 与()g x12没有公一共点．…………………………………………〔6分〕〔Ⅲ〕解：当120x x <<或者210x x >>时，12()()f x f x ''≠，故120x x <<．当10x <时，函数()f x 的图象在点11(,())x f x 处的切线方程为211(2)y x x a -++= 11(22)()x x x +-，即211(22)y x x x a =+-+．当20x >时，函数()f x 的图象在点22(,())x f x 处的切线方程为2221ln ()y x x x x -=-，即221ln 1y x x x =⋅+-，两切线重合的充要条件是12221122ln 1x x x x a ⎧=+⎪⎨⎪-=-+⎩，①，②由①及120x x <<，知110x -<<．由①②得，2111ln122a x x =+-+211ln(22)1x x =-+-． 设21111()ln(22)1(10)h x x x x =-+--<<，那么1111()201h x x x '=-<+．所以，1()h x 在(10)-，上是减函数，那么1()(0)ln 21h x h >=--，所以ln 21a >--． 又当1(10)x ∈-，且趋近于1-时，1()h x 无限增大，所以a 的取值范围是(ln 21)--+∞，． 故当函数()f x 的图象在点A 、B 处的切线重合时，a 的取值范围是(ln 21)--+∞，． ……………………………………………………………………………………〔12分〕 22．〔本小题满分是10分〕【选修4−1：几何证明选讲】证明：〔Ⅰ〕如图2，∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC〔两直线平行内错角相等〕，又∵∠ADB=∠ACB〔同弧所对圆周角相等〕，∴∠DBC=∠ACB．在△ABC和△DCB中，∵∠BAC=∠CDB〔同弧所对圆周角相等〕，BC= BC，∠DBC=∠ACB〔已证〕，∴△ABC≌△DCB．………………………………………………………………………〔5分〕〔Ⅱ〕在△AED和△BAC中，∵AC∥ED〔〕，AD∥BC〔〕，∴∠ADE=∠BCA，∠EAD=∠ABC，∴△AED∽△BAC，∴AE DE AB AC=，∴AE AC AB DE⋅=⋅．又由〔Ⅰ〕知△ABC≌△DCB，∴AB=DC，AC=BD，∴DE·DC＝AE·BD．……………………………………………………………………〔10分〕23．〔本小题满分是10分〕【选修4−4：坐标系与参数方程】解：〔Ⅰ〕依题意可得直线l的直角坐标方程为3120x--=，曲线C的普通方程为221273x y+=．………………………………………………………〔4分〕图2〔Ⅱ〕设)P θθ，那么点P 到直线l 的间隔d cos 16θπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，min 3d =． ……………………………………………………………………………………〔10分〕24．〔本小题满分是10分〕【选修4−5：不等式选讲】 〔Ⅰ〕解：因为(3)f x k x +=-，所以(3)0f x +≥等价于x k ≤， 由x k ≤有解，得0k ≥，且其解集为{}x k x k -≤≤．又(3)0f x +≥的解集为[11]-，，故k=1．……………………………………………〔5分〕 〔Ⅱ〕证明：由〔Ⅰ〕知1a +12b +13c =1，又a ，b ，c ∈R ＋，由柯西不等式得211123(23)923a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++= ⎪⎝⎭≥． ………………………………………………………………………………………〔10分〕 制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日。

2023年高考数学模拟试题(七)参考答案 一㊁选择题1.A 2.C 3.A 4.B 5.C 6.C图17.B 提示:对于A :如图1,连接D C 1,交D 1C 于点O ,连接B 1O ,O N ,显然O 为D C 1的中点,又M ,N 分别为B B 1,C D 的中点,所以O N ʊC C 1且O N =12C C 1,B 1M ʊC C 1且B 1M =12C C 1,所以O N B 1M ,所以四边形O NM B 1为平行四边形,所以O B 1ʊMN ,又MN ⊄平面C B 1D 1,O B 1⊂平面C B 1D 1,所以MN ʊ平面C B 1D 1,故A 正确;图2对于B :如图2,连接B N ,则四边形A B N D 为三棱锥A 1 MN D 1在平面A B C D 上的正投影,因为S 梯形A B N D =12ˑ1+2ˑ2=3,故B 错误;对图3于C :如图3,取B C 的中点E ,连接A E ,E B 1,A B 1,显然әA B E ɸәB C N ,所以øA E B =øB N C ,又øN B C +øB N C =90ʎ,所以øN B C +øA E B =90ʎ,所以A E ʅB N ,由正方体A BCD A 1B 1C 1D 1,可得B B 1ʅ平面A B C D ,AE ⊂平面A B C D ,所以B B 1ʅA E ,又B B 1,B N ⊂平面MN B ,B B 1ɘB N =B ,所以A E ʅ平面MN B ,又A E ⊂平面A E B 1,所以平面A E B 1ʅ平面MN B ,故C 正图4确;对于D :如图4,若F 为棱A B 的中点,则MN =12+22+12=6,F N =2,F M =12+12=2,所以MN2=F N2+F M 2,即øM F N =90ʎ,即әF MN ,әMN B 均为直角三角形,且MN 是公共斜边,由直角三角形的性质可知MN 为三棱锥M N F B 的外接球的直径,故外接球的半径为R =12MN =62,所以三棱锥M N F B 的外接球的表面积S =4πR 2=6π,故D 正确㊂8.C 9.D10.D 提示:将f (x )=c o s (ωx +φ)的图像向左平移π3个单位长度,得到函数g (x )=c o s ωx +ωπ3+φ的图像,又函数g (x )为奇函数,故g (x )=-g (-x ),又函数g (x )的图像关于x =-π4对称,所以g (x )=g -π2-x,所以g -π2-x=-g (x ),所以函数g (x )的周期为π,所以ω=2πT =2,又函数g (x )为奇函数,所以2π3+φ=k π+π2,所以φ=k π-π6,又φ<π2,所以φ=-π6,所以f x =c o s 2x -π6,令2k π-πɤ2x -π6ɤ2k π,得k π-5π12ɤx ɤk π+π12,k ɪZ ,所以函数f x =c o s 2x -π6的单调递增区间为k π-5π12,k π+π12(k ɪZ ),当k =0时,函数f x =c o s 2x -π6的单调递增区间为-5π12,π12,当k =1时,函数f x =c o s 2x -π6 的单调递增区间为7π12,13π12 ,因为2π3,π ⊆7π12,13π12,所以函数f x =c o s 2x -π6 在区间2π3,π上为增函数,故A 正确;因为函数f x=c o s 2x -π6关于直线x =π12对称,所以f 12 =f π6-12 ,又函数f (x )在区间-5π12,π12上是增函数,所以f π6-12 >f (0),即f 12 >f (0),故C 正确;f π2=c o s π-π6 =-c o s π6=-32,故B 正确;因为π3>1,所以-π3<-1,结合函数f x=c o s 2x -π6在区间-5π12,π12上是增函数,可得f-π3<f (-1),又f -π3=-f (0),所以-f (0)<f (-1),即f (-1)+f (0)>0,故D 错误㊂11.C 提示:因为O 为F 1F 2的中点,则S әO P F 1=S әO P F 2=2S әO P Q ,即S әO P Q S әO P F 1=P QP F 1=12,所以P Q =12P F 1,所以Q 为线段P F 1的中点,由题图可知,直线O P 的方程为y =ba x ,因为P F 2ʅO P ,所以直线P F 2的方程为y =-abx -c,联立y =b ax ,y =-ab x -c,解得x =a 2c,y =a bc,即P 的坐标为a 2c ,a b c,因为点F 1-c ,0,所以点Q 的坐标为-b 22c ,a b 2c,又点Q 在直线y =-b a x上,则有a b 2c =b a ㊃b22c ,即b =a ,因此该双曲线的渐近线方程为y =ʃx ㊂12.D 提示:由f (x )+g '(x )=1,f (x )-g'(4-x )=1,得g '(x )=-g '(4-x ),则g (x )+C 1=g (4-x )+C 2(C 1与C 2为常数),令x =2,则g (2)+C 1=g (2)+C 2,所以C 1=C 2,则g (x )=g (4-x ),故g (x )的图像关于直线x =2对称,故②正确;因为g (x )为偶函数,则g (x )=g (-x ),g'(x )=-g'(-x ),则g '(x )为奇函数,故g '(x )=-g'(4-x )=g '(x -4),即g '(x +4)=g'(x ),则g '(x )是以4为周期的周期函数,由g '(x )=-g'(4-x ),令x =2,则g '(2)=-g'(2),即g '(2)=0,故g '(2022)=g '(2)=0,故①正确;由g '(x )=-g '(4-x ),令x =1,则g '(1)=-g'(3),即g '(1)+g '(3)=0,令x =0,则g '(0)=-g '(4)=0,即g '(4)=0,故g '(1)+g '(2)+g '(3)+g'(4)=0,则g '(4k +1)+g '(4k +2)+g'(4k +3)+g'(4k +4)=0(k ɪN ),由f (x )+g '(x )=1,即f (x )=1-g '(x ),得ð2022k =1f (k )=ð2022k =11-g '(k ) =2022-ð2022k =1g'(k )=2022-g '(1)+g '(2) =2022-g '(1),由于无法得出g '(1)的值,故③错误;ð2023k =1f (k )=ð2023k =11-g '(k )=2023-ð2023k =1g '(k )=2023-[g '(1)+g '(2)+g'(3)]=2023,故④正确㊂二、填空题13.91014.x =0㊂答案不唯一,y =33x -1也满足㊂15.[1,3) 提示:由题意知可设P (-2,m ),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),易知点A 处的斜率不为0,设点A 处的切线方程为y -y 1=k (x -x 1),联立y -y 1=k x -x 1 ,y 2=4x ,消去x得y 2-4k y +4y 1k-4x 1=0,由Δ=0得k =2y 1,所以A 处的切线方程为2x -y 1y +2x 1=0,因为切线过点P -2,m ,所以-4-y 1m +2x 1=0,同理可得点B 处的切线方程为-4-y 2m +2x 2=0,所以直线A B 的方程为-4-y m +2x =0,则直线A B 过定点N (2,0),由题意MH ʅA B ,即MH ʅHN ,故点H 的轨迹是以MN 为直径的圆,又点H 与点M 不重合,故点H 的轨迹是以MN 为直径的圆去掉点M ,其方程为(x -3)2+y 2=1(x ʂ4),又点F (1,0)在圆外,故F H 的最小值为F N =1,F H 的最大值为F M =3,故F H 的取值范围为[1,3)㊂16.[4e ,+ɕ) 提示:由已知得a >0,(a x -4)l n x <2l n a -a x l n 2⇒a x l n (2x )<2(l n a +2l n x )⇒a x l n (2x )2<l n (a x 2)⇒l n (2x )2x <l n (a x 2)a x2㊂令f (x )=l n xx ,所以f (2x )<f (a x 2),求导得f '(x )=1-l n x x2,所以f (x )在(0,e )上单调递增,在(e ,+ɕ)上单调递减,且当0<x <1时f (x )<0;当x >1时,f (x )>0㊂因为x ɪ12е,12,所以2x ɪ1е,1,所以f (2x )<0,由f (2x )<f (a x 2)及f (x )=l n x x 的图像可知,2x <a x 2恒成立,即a >2x 成立,而2xɪ(4,4e ),所以a ȡ4е㊂三、解答题17.(1)由s i n A +s i n C2=s i n 2B +3s i n A s i n C ,得s i n 2A +2s i n A s i n C +s i n 2C=s i n 2B +3s i n A s i nC ,即s i n 2A +s i n 2C -s i n 2B =s i n A s i nC ,由正弦定理得a 2+c 2-b 2=a c ,由余弦定理得c o s B =a 2+c 2-b 22a c=a c 2a c =12,又因为B ɪ0,π,所以B =π3㊂(2)已知6a =2b +3c ,由正弦定理得6s i n A =2s i n B +3s i n C ,所以6s i n A =2s i n π3+3s i n π3+A,展开整理化简得s i n A -π6=13㊂又因为A ɪ0,2π3,所以A -π6ɪ-π6,π2㊂所以c o s A -π6 =1-132=223㊂所以s i n A =s i n A -π6+π6 =s i n A -π6 c o s π6+c o s A -π6 s i nπ6=13ˑ32+223ˑ12=22+36㊂18.(1)延长B A ,C D 相交于点E ,连接S E ,则S E 为平面S C D 与平面S B A 的交线l ㊂由平面S A B ʅ平面A B C D ,B A ʅA D ,A D ⊂平面ABCD ,且平面S A B ɘ平面A B C D =A B ,所以A D ʅ平面S A B ㊂又A DʊB C ,所以B C ʅ平面S A B ㊂因为S E ⊂平面S A B ,所以B C ʅS E ,所以B C ʅl ㊂(2)由(1)知S A ʅA B ,A D ʅA B ,SA ʅA D ,以A 为坐标原点,A D ,AB ,A S 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐图5标系A -x y z ,如图5所示,可得A (0,0,0),B (0,1,0),C (1,1,0),D 12,0,0,S (0,0,1),则B D ң=12,-1,0 ㊂设S Q ң=λS C (其中0<λ<1),则Q (λ,λ,1-λ),所以B Q ң=(λ,λ-1,1-λ)㊂设平面Q B D 的一个法向量为n =(x ,y ,z ),则n ㊃B D ң=12x -y =0,n ㊃B Q ң=λx +λ-1 y +1-λz =0,令x =2,得y =1,z =1-3λ1-λ,所以n =2,1,1-3λ1-λ ㊂因为S A ʅ平面B D C ,所以平面B D C 的一个法向量为m =0,0,1㊂所以c o s <m ,n >=m ㊃nm n=1-3λ1-λ5+1-3λ1-λ2㊃1=66,解得λ=12㊂所以存在Q 为S C 的中点时,使得二面角Q B D C 的余弦值为66㊂19.(1)根据表格数据可得, x =15(6+6.2+6.4+6.6+6.8)=6.4, y=15(50+45+45+40+35)=43,所以^b =ði =1nx i yi-n x yði =1nx2i-nx 2=1369-5ˑ6.4ˑ43205.2-5ˑ6.42=-17.5,^a = y -^b x=43-(-17.5)ˑ6.4=155,故经验回归方程为^y =-17.5x +155㊂(2)由题意知η的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,6,7,8,由于顾客人数很多,可近似认为η服从二项分布,即η~B 8,12,P (η=k )=C k812k128-k=C k828,其中k ɪ{0,1,2,3,4,5,6,7,8}㊂故P (η=0)=C 0828=1256;P (η=1)=C 1828=132;P (η=2)=C 2828=764;P (η=3)=C 3828=732;P (η=4)=C 4828=35128;P (η=5)=C 5828=732;P (η=6)=C 6828=764;P (η=7)=C 7828=132;P (η=8)=C 8828=1256㊂所以η的分布列为表1:表1η12345678P1256132764732351287327641321256故E (η)=8ˑ12=4㊂20.(1)由题知A -2,0 ,设C x 0,y 0,则Dx 0-22,y 02,所以k A C ㊃k O D =y 0x 0+2㊃y 0x 0-2=1-14x 2x 20-4=-14㊂因为A C =5,所以点C 在圆(x +2)2+y 2=5上,又点C 在椭圆x 24+y 2=1上,所以点C x 0,y 0满足(x +2)2+y 2=5,x 24+y 2=1,消去y 整理得34x 2+4x =0,解得x 0=0,或x 0=-163<-2(舍去),又点C 在x 轴上方,所以C 0,1,所以直线A C 的斜率为12,故直线O D 的斜率为-12,所以直线A C 与直线O D 关于y 轴对称㊂设直线A C 的倾斜角θ,则c o s øP O M =c o s 2π2-θ=-co s 2θ=s i n 2θ-c o s 2θ=s i n 2θ-c o s 2θs i n 2θ+c o s 2θ=t a n 2θ-1t a n 2θ+1=-35㊂(2)由题意知,直线MN 的斜率存在㊂设直线MN 的斜率为k ,k >0,则直线MN :y =k x ,直线P Q :y =-14kx ㊂设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),联立y =k x ,x 24+y 2=1,消去y 整理得x 2=44k 2+1,所以MN2=1+k 2164k 2+1㊂同理P Q2=1+116k2114k2+1=416k 2+14k 2+1㊂所以|MN |2㊃|P Q |2=16(4k 2+4)(16k 2+1)(4k 2+1)2ɤ164k 2+4+16k 2+1224k 2+12=100㊂所以MN ㊃P Q ɤ10,当且仅当4k 2+4=16k 2+1,即k =12时,等号成立,所以P Q ㊃MN 的最大值为10㊂21.(1)当a =1时,f'(x )=(x +1)㊃(e x-1),令f '(x )>0,解得x >0或x <-1;令f '(x )<0,解得-1<x <0㊂故f (x )在区间(-ɕ,-1),(0,+ɕ)上单调递增,在区间(-1,0)上单调递减㊂所以f (x )的极大值是f (-1)=e -22e,极小值是f (0)=0㊂(2)求导得f '(x )=(x +1)(e x-a ),当x ɪ[0,2]时,e xɪ[1,e 2],且f (2)=2e 2-4a ,f (0)=0,对任意的x 1,x 2ɪ[0,2],恒有f (x 1)-f (x 2)ɤa +2e 2等价于f (x )m a x-f (x )m i n ɤa +2e 2㊂若a ɤ1,则e x-a ȡ0,故f '(x )ȡ0,所以f(x)在区间[0,2]上单调递增,故f(x)m a x -f(x)m i n=f(2)-f(0)=2e2-4aɤa+ 2e2,解得0ɤaɤ1㊂若aȡe2,则e x-aɤ0,故f'(x)ɤ0,所以f(x)在区间[0,2]上单调递减,故f(x)m a x -f(x)m i n=f(0)-f(2)=4a-2e2ɤa+ 2e2,解得e2ɤaɤ43e2㊂若1<a<e2,由f'(x)=(x+1)㊃(e x-a)>0,解得l n a<xɤ2,故f(x)在区间(l n a,2]上单调递增;由f'(x)=(x+1)㊃(e x-a)<0,解得0ɤx<l n a,故f(x)在区间[0,l n a)上单调递减㊂所以f(x)m i n=f(l n a)= -12a(l n a)2,f(x)m a x=f(2)或f(0)㊂又f(2)-f(0)=2e2-4a,当1<aɤe22时,f(2)-f(0)ȡ0,故f(x)m a x-f(x)m i n= f(2)-f(l n a)=2e2-4a+12a(l n a)2ɤa+2e2,解得0<aɤe10,又1<aɤe22,故1<aɤe22㊂当e22<a<e2时,f(2)-f(0)<0,故f(x)m a x-f(x)m i n=f(0)-f(l n a)=12a㊃(l n a)2ɤa+2e2,令h(a)=12a(l n a)2-a -2e2,则h'(a)=12(l n a)2+l n a-1,又l n aɪ(2-l n2,2),故h'(a)>0,即h(a)在区间e22,e2上单调递增,又h(e2)=-e2< 0,则12a(l n a)2ɤa+2e2恒成立㊂综上可得,0ɤaɤ43e2㊂22.(1)由M的参数方程可得(x-1)2+ (y-1)2=5,即x2+y2-2x-2y=3,所以ρ2-2ρc o sθ-2ρs i nθ=3㊂由题设知,直线l1:y=t a nα㊃x,故直线l1的极坐标方程为θ=αρɪR㊂又l2ʅl1,所以直线l2的极坐标方程为θ=α+π2,ρɪR,αɪ0,π2㊂(2)记ρ1=O A,ρ2=O B,ρ3= O C,ρ4=O D,联立直线l1与曲线M的极坐标方程得ρ2-2ρc o sα+s i nα-3=0,所以ρ1+ρ3=2c o sα+s i nα,ρ1ρ3=-3㊂同理联立直线l2与曲线M的极坐标方程得ρ2+ρ4=2(c o sα-s i nα),ρ2ρ4=-3㊂所以|A B|2+|B C|2+|C D|2+|D A|2 =2(ρ21+ρ22+ρ23+ρ24)=2{[(ρ1+ρ3)2-2ρ1ρ3]+[(ρ2+ρ4)2-2ρ2ρ4]}=2ˑ20=40㊂23.(1)由f(1)=1得a+b+c=1,因为3(a+b+c)=[(a)2+(b)2+(c)2](12 +12+12)=3,由柯西不等式得3= (a)2+(b)2+(c)212+12+12ȡ(a+b+c)2,当且仅当a=b=c=13时,等号成立,所以a+b+cɤ3㊂(2)由f xȡ2a x+b得a x2+ b-2a x+c-bȡ0,由题意知, a>0,Δ=(b-2a)2-4a c-bɤ0,则b2ɤ4a c-4a2,所以b2a2+c2ɤ4a c-4a2a2+c2=4ca-41+c2a2=4c a-1ca-12+2ca-1+2㊂因为4a c-4a2=4a c-aȡb2ȡ0,又a >0,所以cȡa,则c a-1ȡ0㊂令t=c a-1,则tȡ0,设g t=4tt2+2t+2tȡ0,当t=0时,g t=0;当t>0时,g t=4t+2t+2ɤ42t㊃2t+2=22-2,当且仅当t=2时,等号成立,所以b2a2+c2的最大值为22-2㊂(责任编辑王福华)。

2021届高考数学（新高考）仿真模拟卷（七）注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分) 1．设复数z 满足31z i z +=--，则下列说法正确的是 A ．z 为纯虚数 B ．在复平面内，z 对应的点位于第二象限 C ．z 的虚部为2iD．z =2．已知集合()(){}120M x x x =-+>，集合(){}2lg 2N x y x x ==-，则()RM N ⋂=A ．(]0,1B ．(]2,2-C ．[)0,+∞D ．()(),01,-∞⋃+∞3．已知函数()y f x =的图象如图所示，则此函数可能是A ．()cos ln f x x x =⋅B ．()cos ln ||f x x x =⋅C ．()cos ln ||f x x x =-⋅D ．()|cos ln |f x x x =4．设123a =，403b =，则 A ．42()3ab a b ab <+< B ．42()3ab a b ab >+> C ．62()5ab a b ab >+>D ．62()5ab a b ab <+<5．若3sin 5α=-，α是第三象限角，则1tan21tan 2αα-=+ A ．2-B ．2C ．83-D ．836．已知等比数列{}n a 中，11a =，132185k a a a ++++=，24242k a a a +++=，则k =A ．2B ．3C ．4D ．57．一个密码箱上有两个密码锁，只有两个密码锁的密码都对才能打开.两个密码锁都设有四个数位，每个数位的数字都可以是1，2，3，4中的任一个.现将左边密码锁的四个数字设成两个相同，另两个也相同；右边密码锁的四个数字设成互不相同.这样的密码设置的方法有（ ）种情况. A ．288B ．864C ．1436D ．17288．杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家.在他著的《详解九章算法》一书中，画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角形数阵（如图所示），称做“开方做法本源”，现在简称为“杨辉三角”，它是杨辉的一大重要研究成果.它比西方的“帕斯卡三角形”早了393年.若用i j a -表示三角形数阵的第i 行第j 个数，则1003a -=A ．5050B ．4851C ．4950D ．5000二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．甲罐中有4个红球，3个白球和3个黑球；乙罐中有5个红球，3个白球和2个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以1A ，2A 和3A 表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以M 表示由乙罐取出的球是红球的事件，下列的结论：其中正确结论的为 A ．()12P M =B ．()1611P M A =C ．事件M 与事件1A 不相互独立D ．1A ，2A ，3A 是两两互斥的事件10．已知双曲线1C ：()222210,0x y a b a b-=>>的实轴长是2，右焦点与抛物线2C ：28y x =的焦点F 重合，双曲线1C 与抛物线2C 交于A 、B 两点，则下列结论正确的是A ．双曲线1C 的离心率为B ．抛物线2C 的准线方程是2x =-C ．双曲线1C 的渐近线方程为y =D ．203AF BF +=11．某同学对函数()sin e e x xxf x -=-进行研究后，得出以下结论，其中正确的是A ．函数()y f x =的图象关于原点对称B ．对定义域中的任意实数x 的值，恒有()1f x <成立C ．函数()y f x =的图象与x 轴有无穷多个交点，且每相邻两交点的距离相等D ．对任意常数0m >，存在常数b a m >>，使函数()y f x =在[]a b ，上单调递减12．如图，线段AB 为圆O 的直径，点E ，F 在圆O 上，//EF AB ，矩形ABCD 所在平面和圆O 所在平面垂直，且2AB =，1EF AD ==，则下述正确的是A ．//OF 平面BCEB ．BF ⊥平面ADFC ．点A 到平面CDFE 的距离为7D ．三棱锥C BEF -三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知3(2)(1)++mx x 的展开式中3x 的系数为5，则它的展开式中各项系数和等于______.14．平面内，不共线的向量,a b 满足|||2|b a b a +-=，且||||2a a b -=，则,a b 的夹角的余弦值为________. 15．如图，在等腰直角ABC 中，D ，E 分别为斜边BC 的三等分点（D 靠近点B ），过E 作AD 的垂线，垂足为F ，若AF mAB nAC =+，则m n +=________．16．已知函数()3213f x x ex ax =-+，()ln x g x x=，若不等式()()316f x x xg x +<有且仅有一个整数解，则实数a 的取值范围为_________. 四、解答题(本大题共6小题，共70分)17．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足2cos cos cos b A a C c A -=. （1）求角A 的大小；（2）若2a =，求b c +的最大值.18．在①18n n a a n ++=，②12n a 为21n a +与28n n a a +的等差中项，1312a a +=，③n S 为数列{}n a 的前n 项和，184n n n a a S +=-这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答. 问题：已知数列{}n a 满足26a =，______. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足143b =，()1123n n b b +=+，求数列1n n a b ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的前n 项和n T .19．如图，四边形MABC 中，ABC 是等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，MAC △是边长为2的正三角形，以AC 为折痕，将MAC △向上折叠到DAC △的位置，使D 点在平面ABC 内的射影在AB 上，再将MAC △向下折叠到EAC 的位置，使平面EAC ⊥平面ABC ，形成几何体DABCE .（1）点F 在BC 上，若//DF 平面EAC ，求点F 的位置； （2）求二面角D BC E --的余弦值.20．某公司研发了一种帮助家长解决孩子早教问题的萌宠机器人.萌宠机器人语音功能让它就像孩子的小伙伴一样和孩子交流，记忆功能还可以记住宝宝的使用习惯，很快找到宝宝想听的内容.同时提供快乐儿歌、国学经典、启蒙英语等早期教育内容，且云端内容可以持续更新.萌宠机器人一投放市场就受到了很多家长欢迎.为了更好地服务广大家长，该公司研究部门从流水线上随机抽取100件萌宠机器人（以下简称产品），统计其性能指数并绘制频率分布直方图（如图1）：产品的性能指数在[)50,70的适合托班幼儿使用（简称A 类产品），在[)70,90的适合小班和中班幼儿使用（简称B 类产品），在[]90,110的适合大班幼儿使用（简称C 类产品），A ，B ，C ，三类产品的销售利润分别为每件1.5，3.5，5.5（单位：元）.以这100件产品的性能指数位于各区间的频率代替产品的性能指数位于该区间的概率.（1）求每件产品的平均销售利润；（2）该公司为了解年营销费用x （单位：万元）对年销售量y （单位：万件）的影响，对近5年的年营销费用i x ，和年销售量()1,2,3,4,5i y i =数据做了初步处理，得到的散点图（如图2）及一些统计量的值.表中ln i i u x =，ln i i y υ=，5115i i u u ==∑，5115i i υυ==∑.根据散点图判断，by a x =⋅可以作为年销售量y （万件）关于年营销费用x （万元）的回归方程.（i ）建立y 关于x 的回归方程；（ii ）用所求的回归方程估计该公司应投入多少营销费，才能使得该产品一年的收益达到最大？ （收益=销售利润-营销费用，取 4.15964e =）. 参考公式：对于一组数据()()()1122,,,,,,n n u u u υυυ，其回归直线u υαβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121ˆnii i nii uu uuυυβ==--=-∑∑，ˆˆu αυβ=-. 21．已知椭圆C ：22221x y a b +=（a b c >>）上的点M 到C 的两焦点的距离之和为6，C．（1）求C 的标准方程；（2）设坐标原点为O ，点N 在C 上，点P 满足OP OM ON =+，且直线OM ，ON 的斜率之积为19-，证明：22MN OP +为定值．22．已知函数()2xf x ax e =-+，其中0a ≠.（1）讨论()f x 的单调性.（2）是否存在a R ∈，对任意[]10,1x ∈，总存在[]20,1x ∈，使得()()124f x f x +=成立？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由.参考答案1．D 2．A 3．C 4．D 5．A 6．B 7．B 8．B 9．BCD 10．BC 11．BD 12．ABC 13．2414．215．4516．ln 29ln 322,3[)223e e -+-+ 17．（1）π3A =；（2）4. 【解析】（1）由正弦定理得2sin cos sin cos sin cos B A A C C A -=， 则()2sin cos sin cos cos sin sin sin B A A C A C A C B =+=+=，0B π<<，则sin 0B >，于是1cos 2A =，又0πA <<，故3A π=；（2）根据余弦定理222222cos a b c bc A b c bc =+-=+-，则()()2224332b c b c bc b c +⎛⎫=+-≥+- ⎪⎝⎭，即()216b c +≤，当且仅当b c =时等号成立. 所以b c +的最大值为4.18．选择条件①：（1）42n a n =-；（2）()12136n n +-⨯+；选择条件②：（1）42n a n =-；（2）()12136n n +-⨯+；选择条件③：（1）42n a n =-；（2）()12136n n +-⨯+.【解析】（1）选择条件①，由18n n a a n ++=，得1288n n a a n +++=+， 两式相减得28n n a a +-=， 当1n =时，128a a +=，又26a =，所以12a =.所以{}n a 中所有奇数项是以12a =为首项，8为公差的等差数列， 故当()21n k k *=-∈N时，218642nk aa k n -==-=-；{}n a 中所有偶数项是以26a =为首项，8为公差的等差数列，故当()2n k k *=∈N 时，()26818242n k a a k k n ==+-=-=-.综上，42n a n =-.选择条件②，由题意得22118n n n n a a a a ++=+， 整理得28n n a a +-=，则318a a -=， 又1312a a +=，所以12a =.所以{}n a 中所有奇数项是以12a =为首项，8为公差的等差数列， 故当()21n k k *=-∈N时，218642nk aa k n -==-=-；{}n a 中所有偶数项是以26a =为首项，8为公差的等差数列，故当()2n k k *=∈N 时，()26818242n k a a k k n ==+-=-=-.综上，42n a n =-.选择条件③，由184n n n a a S +=-，得12184n n n a a S +++=-， 两式相减得()1218n n n n a a a a +++-=， 又26a =，所以10n a +≠，28n n a a +-=， 当1n =时，12184a a a =-， 又26a =，所以12a =，所以{}n a 中所有奇数项是以12a =为首项，8为公差的等差数列， 故当()21n k k *=-∈N时，218642nk aa k n -==-=-；{}n a 中所有偶数项是以26a =为首项，8为公差的等差数列，故当()2n k k *=∈N 时，()26818242n k a a k k n ==+-=-=-.综上，42n a n =-.（2）因为()1123n n b b +=+，所以()11113n n b b +-=-， 所以数列{}1-n b 是首项1411133b -=-=，公比为13的等比数列，所以113n n b -=.所以()4231n nn a n b =--， 所以()()2312363103463423n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯， ()()234132363103463423n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯，两式相减得()()()2311223433342344312n n n n T n n ++-=⨯+⨯+++--⨯=-⨯-.所以()12136n n T n +=-⨯+19．（1）F 为BC 的中点；（2）6. 【解析】 （1）如图，设D 点在平面ABC 内的射影为O ，连接OD ，OC ， ∵AD CD =， ∴OA OC =，∴在Rt ABC △中，O 为AB 的中点. 取BC 的中点F ，连接OF ，DF ，则//OF AC ，又OF ⊄平面EAC ，AC ⊂平面EAC ，∴//OF 平面EAC .取AC 的中点H ，连接EH ，则易知EH AC ⊥，又平面EAC ⊥平面ABC ，平面EAC 平面ABC AC =，∴EH ⊥平面ABC ， 又DO ⊥平面ABC ，∴//DO EH ，又DO ⊄平面EAC ，EH ⊂平面EAC ， ∴//DO 平面EAC . 又DO OF O ⋂=， ∴平面//DOF 平面EAC . 又DF ⊂平面DOF ，∴//DF 平面EAC ，此时F 为BC 的中点.（2）连接OH ，由（1）可知OF ，OH ，OD 两两垂直，以O 为坐标原点，OF ，OH ，OD 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()1,1,0B -，(D，(0,1,E ，()1,1,0C ， 从而()0,2,0BC =，(BD =-，(1,2,BE =-. 设平面BDC 的一个法向量为(),,m x y z =，则0,0,BC n BD m ⎧⋅=⎨⋅=⎩即20,0,y x y =⎧⎪⎨-++=⎪⎩得0y =，取x =，则1z =，()2,0,1m =.设平面EBC 的一个法向量为(),,n a b c =，则0,0,BC n BE n ⎧⋅=⎨⋅=⎩即20,20,b a b =⎧⎪⎨-+=⎪⎩得0b =，取a =1c =-，()3,0,1n =-，从而6cos ,63m n m n m n⋅-===⨯⋅.易知二面角D BC E --为钝二面角， 所以二面角D BC E -- 20．（1）每件产品的平均销售利润为4元（2）（i ）1464y x =（ii ）该厂应投入256万元营销费. 【解析】（1）设每件产品的销售利润为ξ元，则ξ的所有可能取值为1.5，3.5，5.5， 由直方图可得，A ，B ，C 三类产品的频率分别为0.15、0.45、0.4， 所以，()1.50.15P ξ==，()3.50.45P ξ==，()5.50.4P ξ==， 所以随机变量ξ的分布列为：所以， 1.50.15 3.50.45 5.50.44E ξ=⨯+⨯+⨯=， 故每件产品的平均销售利润为4元；（2）（i ）由b y a x =⋅得，()ln ln ln ln by a xa b x =⋅=+，令ln u x =，ln y υ=，ln c a =，则c bu υ=+，由表中数据可得，()()()515210.41ˆ0.251.61ii i ii uu buuυυ==--===-∑∑， 则24.8716.30ˆˆ0.25 4.15955cbu υ=-=-⨯=， 所以，ˆ 4.1590.25u υ=+， 即14.1594ˆln 4.1590.25ln ln y x ex ⎛⎫=+=⋅ ⎪⎝⎭，因为 4.15964e=，所以14ˆ64y x =，故所求的回归方程为1464y x =；（ii ）设年收益为z 万元，则()14256z E y x x x ξ=⋅-=-， 设14t x =，()4256f t t t =-，则()()332564464f t t t'=-=-，当()0,4t ∈时，()0f t '>，f t 在()0,4单调递增， 当()4t ,∈+∞时，()0f t '<，ft 在()4,+∞单调递减，所以，当4t =，即256x =时，z 有最大值为768，即该厂应投入256万元营销费，能使得该产品一年的收益达到最大768万元.21．（1）2219x y +=；（2）证明见解析. 【解析】（1）因为椭圆C ：22221x y a b+=（a b c >>）上的点M 到C 的两焦点的距离之和为6，所以26a =，解得3a =，又C，所以c a =c =又222c a b =-，所以1b =，所以C 的标准方程为2219x y +=；（2）法一：设()11,M x y ，当直线MN 的斜率不存在时，()11,N x y -，因为直线OM ，ON 的斜率之积为19-，所以111119y y x x -⋅=-，即22119x y =， 又M ，N 在椭圆2219x y +=上，所以2192x =，2112y =．因为OP OM ON =+，所以()()2222MN OP ON OMON OM+=-++222222ON OM ON OM ON OM ON OM =+-⋅+++⋅()222OM ON=+()22114x y =+91422⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭20=；当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为y kx m =+（0m ≠），联立方程得22,1,9y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得()2221918990k x kxm m +++-=， ()()()2221841999km k m ∆=-+-()2236910k m =-+>，设()22,N x y ，则1221819km x x k -+=+，21229919m x x k-=+． 因为直线OM ，ON 的斜率之积为19-， 所以()()12121212kx m kx m y y x x x x ++⋅=()212212km x x m k x x ++=+19=-， 即22222221811999919k m m k k m k -+++=--+，得22291m k -=，满足0∆>． 因为OP OM ON =+， 所以()()2222MN OP ON OMON OM +=-++222222ON OM ON OM ON OM ON OM =+-⋅+++⋅()222OM ON=+()222211222x y x y =+++()22121649x x =++()2121216429x x x x ⎡⎤=++-⎣⎦ ()22222991618491919m km k k ⎡⎤--⎛⎫⎢⎥=+- ⎪++⎝⎭⎢⎥⎣⎦()222229916184922m km m m ⎡⎤--⎛⎫⎢⎥=+- ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦1649209=+⨯=． 综上，22MN OP +为定值．法二：设()11,M x y ，()22,N x y ，因为直线OM ，ON 的斜率之积为19-， 所以121219y y x x ⋅=-，即12129x x y y =-． 因为M ()11,M x y ，()22,N x y 在椭圆C ：2219x y +=上，所以221199x y +=，222299x y +=， 可得221199x y -=- ①， 222299x y -=- ②，由①⨯②得()()222212129981x xy y --=，所以()()2222121299x x x x --=，即22129x x +=． 由①+②得()22221212999x x y y -+-=-+，得22121y y +=．因为OP OM ON =+， 所以()()2222MN OP ON OMON OM+=-++222222ON OM ON OM ON OM ON OM =+-⋅+++⋅()222OM ON=+()222211222x y x y =+++()291=⨯+20=，因此22MN OP +为定值．22．（1）答案见解析；（2）存在，1e +. 【解析】（1）由()2xf x ax e =-+，得()x f x a e '=-，当0a <时，对任意(),x ∈-∞+∞，()0f x '<，所以()f x 单调递减； 当0a >时，令()0f x '=，得ln x a =，当(),ln x a ∈-∞时，()0f x '>，当()ln ,x a ∈+∞时()0f x '<， 所以()f x 在(),ln a -∞上单调递增，在()ln ,a +∞上单调递减， 综上所述，当0a <时，()f x 在(),-∞+∞上单调递减，当0a >时，()f x 在(),ln a -∞上单调递增，在()ln ,a +∞上单调递减； （2）存在满足条件的实数a ，且实数a 的值为1e +， 理由如下：①当1a ≤，且0a ≠时，由（1）知，()f x 在[]0,1上单调递减， 则[]0,1x ∈时，()()01max f x f ==， 则()()()122024f x f x f +≤=<， 所以此时不满足题意；②当1a e <<时，由（1）知，在[]0,ln a 上，()f x 单调递增， 在(]ln ,1a 上，()f x 单调递减，则当[]0,1x ∈时，()()ln ln 2max f x f a a a a ==-+， 当10x =时，对任意[]20,1x ∈，()()()()()120ln 1ln 2ln 133f x f x f f a a a a a a +≤+=+-+=-+<，所以此时不满足题意；③当a e ≥时，令()()4g x f x =-（[]0,1x ∈），由（1）知()f x 在[]0,1上单调递增，进而知()g x 在[]0,1上单调递减， 所以()()()040max g x g f ==-，()()()141min g x g f ==-， 若对任意的[]10,1x ∈，总存在[]20,1x ∈，使得()()124f x f x +=，则()()12f x g x =，()()()()0110f g f g ⎧≥⎪⎨≤⎪⎩，即()()()()014104f f f f ⎧+≥⎪⎨+≤⎪⎩，所以()()0134f f a e +=-+=，解得1a e =+， 综上，存在满足题意的实数a ，且实数a 的值为1e +.。