辽宁省沈阳市高三数学上学期第二次模拟考试试题 文

沈阳二中22届第二次模拟考试 数学试题说明：1.测试时间：120分钟2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题卡的相应位置上。

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1．设集合{}60A x x =−≤，{}2B x x =<，则()R A B ⋂=（ ） A ．(]2,6B ．(],2−∞C ． []2,6D ．[)6,+∞2．若复数()()12i 2i z =+−，则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．己知随机变量ξ服从正态分布()20,N σ，且(1)0.6P ξ<=，则(1)P ξ>−=（ ）A ．0.6B ．0.4C ．0.3D ．0.24．已知a ，b 为正实数，且22a b +=，则4aa b +的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．65．设0.33a =， 1.212b −⎛⎫= ⎪⎝⎭，6log 0.8c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．c a b << C ．c b a <<D ． b a c <<6．若3sin cos 0αα+=，则21cos sin 2αα=+（ ）A ．103 B ．53C ．23D ．2−7．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为221x y +≤，若将军从点()3,0A 处出发，河岸线所在直线方程为4x y +=，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）A ．1B ．2C D 18．已知实数x ，y ，z 满足ln y x e x ye =且1lnzx e ze x=，若1y >，则（ ） A ．x y z >> B ．x z y >> C ．y z x >> D ．y x z >>二、多选题（本大题共4小题，共20.0分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．对任意实数a ，b ，c ，给出下列命题，其中假命题是（ ）． A ．“a b =”是“ac bc =”的充要条件 B ．“a b >”是“22a b >”的充分条件 C ．“5a <”是“3a <”的必要条件D ．“5a +是无理数”是“a 是无理数”的充分不必要条件10．为得到函数cos 3y x π⎛⎫=− ⎪⎝⎭的图象，只需将cos 2y x =的图象（ ）A ．先将横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移6π个单位长度 B ．先将横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移3π个单位长度C ．先向右平移6π个单位长度，再将横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变) D ．先向右平移3π个单位长度，再将横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)11．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )=f (-x )，f (x +1)=f (1-x )，且当x ∈[0，1]时， f (x )=-x 2+2x ，则下列结论正确的是（ ） A ．f (x )的图象关于直线x =1对称 B ．当[2,3]x ∈时，2()66f x x x =−+− C ．当[2,3]x ∈时，f (x )单调递增D ．(2022)0f =12．如图，若正方体的棱长为1，点M 是正方体1111ABCD A B C D −的侧面11ADD A 上的一个动点（含边界），P 是棱1CC 的中点，则下列结论正确的是（ ）A ．沿正方体的表面从点A 到点PB ．若保持||PM =M 在侧面内运动路径的长度为3πC ．三棱锥1B C MD −的体积最大值为16D ．若M 在平面11ADD A 内运动，且111MD B B D B ∠=∠，点M 的轨迹为线段。

一、单选题二、多选题1.已知数列的前项和为，，，则（ ）A ．12B．C．D．2.在等差数列中，，则（ ）A ．6B ．7C ．8D ．93. 已知数列为等差数列，为等比数列的前n 项和，且，，，，则（ ）A．B．C．D．4. 函数的图象如图，则A．B．C．D．5. 已知P (x 0，y 0)是椭圆C ：上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若，则x 0的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．6. 如图，一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为5 cm ，如果不计容器的厚度，则球的表面积为（）A．B．C．D．7. 设是方程的解，则属于区间（ ）A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（2，3）D ．（3，4）8. 设的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若240，则展开式中x 的系数为A ．300B ．150C ．－150D ．－300辽宁省沈阳市东北育才学校2022届高三上学期联合考试（二模）数学试题 (2)辽宁省沈阳市东北育才学校2022届高三上学期联合考试（二模）数学试题 (2)三、填空题四、解答题9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）A ．为奇函数B ．为减函数C．有且只有一个零点D．的值域为10. 如图是国家统计局公布的2021年5月至2021年12月的规模以上工业日均发电量的月度走势情况，则（）．A ．2021年7月至2021年10月，规模以上工业月度日均发电量呈现下降趋势B ．2021年5月至2021年12月，规模以上工业月度日均发电量的中位数为228C ．2021年11月，规模以上工业发电总量约为6758亿千瓦时D ．从2021年5月至2021年12月中随机抽取2个月份，规模以上工业月度日均发电量都超过230亿千瓦时的概率为11.已知数列的前项和为，若，，则下列说法正确的是（ ）A ．是递增数列B ．是数列中的项C．数列中的最小项为D ．数列是等差数列12. 过平面内一点P作曲线两条互相垂直的切线，切点为P 1、P 2(P 1、P 2不重合），设直线分别与y 轴交于点A ，B ，则下列结论正确的是（ ）A ．P 1、P 2两点的横坐标之积为定值B ．直线P 1P 2的斜率为定值C ．线段AB 的长度为定值D ．三角形ABP 面积的取值范围为(0，1]13. 已知是和的等差中项，是和的等比中项，则___________.14. 如图，棱长为3的正方体中，P 为棱上一点，且，M 为平面内一动点，则MC +MP 的最小值为___________.15.已知函数在R 上单调递减，且关于x的方程恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是___________.16.在中，，，分别是角，，的对边，且.(1)求；(2)若，求的中线长度的最小值.17. 如图，在梯形中，，.，且平面，，点为上任意一点.(1)求证：；(2)点在线段上运动（包括两端点），若平面与平面所成的锐二面角为60°，试确定点的位置．18. 设函数的图象关于y轴对称，函数（b为实数，c为正整数）有两个不同的极值点A、B，且A、B与坐标原点O共线：（1）求的表达式；（2）试求b的值；（3）若时，函数的图象恒在函数图象的下方，求正整数c的值.19.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．从下列①②这两个条件中选择一个补充在横线处，并作答．①O为的内心；②O为的外心．注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．(1)求A；(2)若，________，求的面积．20. 已知函数，其中.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）若函数的最小值为-1，求实数的值.21. 已知集合，.求.。

辽宁省沈阳市数学高三理数第二次模拟考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共27分)1. （2分）(2018高二下·辽宁期末) 设集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分）复数（i为虚数单位）的共轭复数在复平面上的对应点位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限3. （2分） (2017高一下·安平期末) 已知m和2n的等差中项是4，2m和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是（）A . 2B . 3C . 6D . 94. （2分）(2017·孝义模拟) 已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P（1，﹣2），则sin2α=（）B .C .D .5. （2分） (2016高二上·重庆期中) 已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的两个焦点为F1（﹣5，0），F2（5，0），P为双曲线C的右支上一点，且满足|PF1|﹣|PF2|=2 ，则双曲线C的方程为（）A .B .C .D .6. （5分）已知有解，，则下列选项中是假命题的是（）A .B .C .D .7. （2分）将函数f（x）＝的图象向左平移m个单位（m＞0），若所得的图象关于直线x＝对称，则m的最小值为（）A .C .D .8. （2分）若曲线f（x）=xsinx+1在x=处的切线与直线2x﹣ay+1=0互相垂直，则实数a等于（）A . ﹣2B . ﹣1C . 1D . 29. （2分）(2018·安徽模拟) 某多面体的三视图如图所示，则该多面体的外接球的表面积是（）A .B .C .D .10. （2分）记集合和集合表示的平面区域分别为若在区域内任取一点，则点M落在区域的概率为（）A .B .D .11. （2分） (2018高二下·孝感期中) 已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线交抛物线于两点，则线段的中点到轴的距离为（）A .B .C .D .12. （2分）(2018·榆林模拟) 设，则的大小关系为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）在锐角三角形ABC中，tanA=， D为边BC上的点，△ABD与△ACD的面积分别为2和4．过D 作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则= ________ ．14. （1分）(2017·万载模拟) 设x，y满足约束条件，向量 =（y2+x2 ， m）， =（1，1），且，则m的最小值为________．15. （1分） (2017高二下·友谊开学考) 从6人中选出4人分别到巴黎，伦敦，悉尼，莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲，乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有________．（用数字作答）16. （1分） (2018高二下·长春期末) 观察如图中各多边形图案，每个图案均由若干个全等的正六边形组成，记第个图案中正六边形的个数是 .由，，，…，可推出 ________．三、解答题 (共7题；共70分)17. （10分）(2017·榆林模拟) 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．（1）求角B的大小；（2）若b= ，a+c=3，求△ABC的面积．18. （10分） (2016高二上·金华期中) 如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，且直线PA⊥平面ABCD，又棱PA=AB=2，E为CD的中点，∠ABC=60°．（Ⅰ）求证：直线EA⊥平面PAB；（Ⅱ）求直线AE与平面PCD所成角的正切值．19. （10分） (2018高二上·汕头期末) 某险种的基本保费为（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数01234保费a 1.25a 1.5a 1.75a2a 随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：出险次数01234频数605030302010（Ⅰ）记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”.求的估计值；（Ⅱ）记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160％”.求的估计值；（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费估计值.20. （10分）(2014·江西理) 如图，已知双曲线C：﹣y2=1（a＞0）的右焦点为F，点A，B分别在C 的两条渐近线AF⊥x轴，AB⊥OB，BF∥OA（O为坐标原点）．（1）求双曲线C的方程；（2）过C上一点P（x0，y0）（y0≠0）的直线l：﹣y0y=1与直线AF相交于点M，与直线x= 相交于点N．证明：当点P在C上移动时，恒为定值，并求此定值．21. （10分） (2019高二下·六安月考) 已知函数 .（1）当时，求函数的最小值；（2）若在区间上有两个极值点 .（）求实数的取值范围；（）求证： .22. （10分）在平面直角坐标系xOy中，圆P：（x﹣1）2+y2=4，圆Q：（x+1）2+y2=4．（1）以O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，求圆P和圆Q的极坐标方程，并求出这两圆的交点M，N的极坐标；（2）求这两圆的公共弦MN的参数方程．23. （10分） (2015高二下·会宁期中) 设f（x）=|x﹣3|+|x﹣4|．（Ⅰ）解不等式f（x）≤2；（Ⅱ）若对任意实数x∈[5，9]，f（x）≤ax﹣1恒成立，求实数a的取值范围．参考答案一、单选题 (共12题；共27分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共70分) 17-1、17-2、18-1、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、。

一、单选题二、多选题1. 设是定义在上的函数，其图像关于原点对称，且当时，，则（ ）A ．1B．C．D．2. 某厂近几年陆续购买了几台 A 型机床，该型机床已投入生产的时间x (单位：年)与当年所需要支出的维修费用y (单位：万元)有如下统计资料：x 23456y2.23.85.56.57根据表中的数据可得到线性回归方程为则该型机床已投入生产的时间为10年时，当年所需要支出的维修费用估计为（ ）A ．12.9万元B ．12.36万元C ．13.1万元D ．12.38 万元3. 已知，，则下列不等式一定成立的是（ ）A．B．C．D．4. 如图，已知圆柱，在圆上，，，、在圆上，且满足，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围是（）A．B．C．D．5. 已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（ ）A ．-3B ．2C ．-3或2D．6. 已知为虚数单位，且复数满足，则（ ）A ．1B ．2C．D．7.函数的定义域是A．B．C．D．8. 已知集合,则A．B．C．D．9. 第31届世界大学生夏季运动会在四川成都举行，大运会吉祥物“蓉宝”备受人们欢迎．某大型超市举行抽奖活动，推出“单次消费满1000元可参加抽奖”的活动，奖品为若干个大运会吉祥物“蓉宝”．抽奖结果分为五个等级，等级与获得“蓉宝”的个数的关系式为辽宁省沈阳市东北育才学校2022届高三上学期联合考试（二模）数学试题(1)辽宁省沈阳市东北育才学校2022届高三上学期联合考试（二模）数学试题(1)三、填空题四、解答题，已知三等奖比四等奖获得的“蓉宝”多2个，比五等奖获得的“蓉宝”多3个，且三等奖获得的“蓉宝”数是五等奖的2倍，则（ ）A．B．C．D ．二等奖获得的“蓉宝”数为1010. 下列说法错误的有（ ）A ．若a ，b ，c 成等差数列，则成等差数列B ．若a ，b ，c 成等差数列，则成等差数列C ．若a ，b ，c 成等差数列，则成等差数列D ．若a ，b ，c 成等差数列，则成等差数列11.是两条不同的直线，是空间两个不同的平面，如下有四个命题，其中正确的命题是（ ）A．B．C．D．12. 已知，，动点P 满足．设点P 的轨迹为曲线C ，直线l ：与曲线C 交于D ，E 两点，则下列结论正确的是（ ）A ．曲线C的方程为B ．的取值范围为C ．当最小时，D ．当最大时，13. 已知平面向量，，满足，当取到最小值sh，对任意实数，的最小值是___________．14. 若关于的不等式的解集为，则的取值范围是__________．15. 已知，则________．16.已知数列的前项和．(1)求数列的通项公式；(2)在，与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，若，求数列的前项和．17.国庆期间，一位游客来到某旅游城市，这里有甲、乙、丙三个著名的旅游景点，若这位游客游览这三个景点的概率分别是，且客人是否游览哪个景点互不影响，设表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值.(1)求的分布列和数学期望；(2)记“时，不等式恒成立”为事件，求事件发生的概率.18.已知数列的前项和为，且，，当时，，数列是正项等比数列，且，.(1)求和的通项公式；(2)把和中的所有项从小到大排列，组成新数列，例如的前7项为2，2，2，3，4，4，5，求数列的前1000项和.19. 为了缓解日益拥堵的交通状况，不少城市实施车牌竞价策略，以控制车辆数量某地车牌竞价的基本规则是：①“盲拍”，即所有参与竞拍的人都是网络报价，每个人不知晓其他人的报价，也不知道参与当期竞拍的总人数；②竞价时间截止后，系统根据当期车牌配额，按照竞拍人的出价从高到低分配名额.某人拟参加2022年5月份的车牌竞拍，他为了预测最低成交价，根据竞拍网站的公告.统计了最近5个月参与竞拍的人数（见表）：月份2021.122022.012022.022022.032022.04月份编号t12345竞拍人数y（万人） 1.7 2.1 2.5 2.8 3.4(1)由收集数据的散点图发现可用线性回归模型拟合竞拍人数y（万人）与月份编号t之间的相关关系.请用最小二乘法求y关于t的线性回归方程：，并预测2022年5月份参与竞拍的人数.(2)某市场调研机构对200位拟参加2022年5月份车牌竞拍人员的报价进行了一个抽样调查，得到如下的一份频数表：报价区间（万元）频数206060302010（i）求这200位竞拍人员报价X的平均数和样本方差（同一区间的报价可用该价格区间的中点值代替）；（ii）假设所有参与竞价人员的报价X可视为服从正态分布，且与可分别由（i）中所求的样本平均数及估值.若2022年5月份实际发放车牌数量是5000，请你合理预测（需说明理由）竞拍的最低成交价.参考公式及数据：①回归方程，其中，；②；③若，令，则，且；④方差.20. 教育是阻断贫困代际传递的根本之策.补齐贫困地区义务教育发展的短板，让贫困家庭子女都能接受公平而有质量的教育，是夯实脱贫攻坚根基之所在.治贫先治愚﹐扶贫先扶智.为了解决某贫困地区教师资源匮乏的问题，郑州市教育局拟从名优秀教师中抽选人员分批次参与支教活动.支教活动共分批次进行，每次支教需要同时派送名教师，且每次派送人员均从人中随机抽选.已知这名优秀教师中，人有支教经验，人没有支教经验.（1）求名优秀教师中的“甲”，在这批次活动中有且只有一次被抽选到的概率﹔（2）求第二次抽选时，选到没有支教经验的教师的人数最有可能是几人﹖请说明理由；（3）现在需要名支教教师完成某项特殊教学任务，每次只能派一个人，且每个人只派一次，如果前一位教师一定时间内不能完成教学任务，则再派另一位教师.若有两个教师可派，他们各自完成任务的概率分别为，假设，且假定各人能否完成任务的事件相互独立.若按某种指定顺序派人，这两个人各自能完成任务的概率依次为，其中是的一个排列，试分析以怎样的顺序派出教师，可使所需派出教师的人员数目的数学期望达到最小.21. 已知函数，.（1）求函数的最小正周期；（2）若存在，使不等式成立，求实数的取值范围.。

辽宁省沈阳市数学高三文数高考二模试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）与的图像关于（）A . x轴对称B . y轴对称C . 原点对称D . 对称2. （2分） (2020高一下·丽水期末) 已知向量，，若与平行，则实数m的值是（）A .B .C . 6D . -63. （2分）已知直线，则“a=-1”是“的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件4. （2分）(2019·揭阳模拟) 通过随机询问50名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表，由得参照附表，得到的正确结论是（）爱好不爱好合计男生20525女生101525合计302050p（K2≥k）0.0100.0050.001k 6.6357.87910.828A . 有99.5％以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B . 有99.5％以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C . 在犯错误的概率不超过0．1％的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D . 在犯错误的概率不超过0．1％的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”5. （2分）(2019·揭阳模拟) 某公司2018年在各个项目中总投资500万元，下图是几类项目的投资占比情况，已知在1万元以上的项目投资中，少于3万元的项目投资占，那么不少于3万元的项目投资共有（）A . 56万元B . 万元C . 万元D . 万元6. （2分）(2019·揭阳模拟) 已知，若是第二象限角，则的值为（）A .B .C .D .7. （2分）(2019·揭阳模拟) 已知是平面，是直线，则下列命题中不正确的是（）A . 若∥ ，则B . 若∥ ，则∥C . 若，则∥D . 若，则8. （2分）(2019·揭阳模拟) 已知函数则的是（）A .B .C .D .9. （2分）(2019·揭阳模拟) 我国古代数学专著《九章算术》中有一个“两鼠穿墙题”，其内容为：“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半。

优秀文档2016—2017 学年度上学期高中学段高三联合考试高三年级数学科试卷（文）答题时间:120 分钟满分:150 分命题人: 牟欣校订人：佟国荣一、选择题：本大题共12 小题，每题 5 分，在每题给出的四个选项中，只有一项是吻合题目要求的。

2 2x y1、设会集A={x| 1-} ，B={y|y=x4 32} ，则A∩B=( )A． B ． C ．时，试问，函数f(x) 在可否存在极大值或极小值，说明原由.2 2x y21、（本小题12 分）已知椭圆1（a b 0 ）的离心率为2 2a b22，且短轴长为2．（1）求椭圆的方程；（2）若与两坐标轴都不垂直的直线l 与椭圆交于A, B 两点，O 为坐标原点，且2S ，求直线l 的方程．AOB32 OA OB ，3优秀文档优秀文档22、（本小题12 分）已知函数 f (x) 满足满足( ) (1) 1 (0) 1 2xf x f e f x x ；2（1）求 f (x) 的剖析式及单调区间；（2）若12f ( x) x ax b，求(a 1 )b 的最大值.2优秀文档优秀文档2016—2017 学年度上学期高中学段高三联合考试高三年级数学试卷（文）答案时间： 120 分钟 满分： 150 分 命题人：牟欣 校订人：佟国荣一．选择题： CBADB BCCDB DA二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分。

（13） 6（14） 27（15） 22 （16）( 1 ,0)(0, 1)22三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（17）（本小题 10 分）解：若是对于一的确数x ， f x0 2，那么( 1)4 0.a⋯⋯⋯⋯ 2 分解得 1 a 3,即 a 的取值范围为 ( 1,3)⋯⋯⋯⋯ 3 分若是对于一的确数 x ，g x 02m ，那么有 m0,且（2 ) 4 m0 a4⋯⋯5 分。

22m a得4a ( ，即 的取值范围为m 2 , m 2 )。

辽宁省沈阳市东北育才学校 2017届高三上学期第二次模拟考试数学（文）试题答题时间:120分钟 满分:150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。

1、设集合A={x|}，B={y|y=x 2}，则A∩B=( )A ．B ．C ．时，试问，函数f(x)在是否存在极大值或极小值，说明理由. 21、（本小题12分）已知椭圆（）的离心率为，且短轴长为2． （1）求椭圆的方程；（2）若与两坐标轴都不垂直的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，且，，求直线的方程．22、（本小题12分）已知函数()f x 满足满足121()(1)(0)2x f x f e f x x -'=-+； （1）求的解析式及单调区间； （2）若，求的最大值.参考答案时间： 120分钟 满分：150分 命题人：牟欣 校对人：佟国荣 一．选择题：CBADB BCCDB DA 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

（13） 6 （14） 27 （15） （16）三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17）（本小题10分）解：如果对于一切实数，，那么 …………2分解得即的取值范围为…………3分如果对于一切实数x ，()0g x >，那么有044)2,02<**->mm a m 且（。

……5分得，即的取值范围为。

…………6分因为对于对一切实数，是“对于一切实数，”的充分条件， 所以且， …………8分则有6,32,12≥≥-≤-m mm 解得。

即的取值范围是。

…………10分 18. （本小题12分）（1）证明：⎪⎭⎫ ⎝⎛==+21-a 323-a 321-a n n 1n 3b b 121-a b n1n 11=∴==+ 所以数列是以1为首项，以3为公比的等比数列；………………………….6分（Ⅱ）解：由（1）知，，由得，即，…………9分设，所以数列为减数列，， …………………………. 12分（19）（本小题12分）(Ⅰ)由余弦定理得2221=cos 42b c a S bc A +-=，又因为， 所以，所以，因为，所以， 由正弦定理得，因为所以， 因为，所以； ………6分 (Ⅱ) 由(Ⅰ)知,42A C ππ==所以4B AC A ππ=--==，所以设PAC θ∠=，因为,AP AC =，所以,2ACP APC πθ-∠=∠=因为2C π=，所以,22BCP ACP πθ∠=-∠=因为在APC ∆中,AP AC = 所以2sin2sin2sin222PC AC b a θθθ===，因为在中所以2cos 2cos 2BC PC PCB PC a θ=∠==，即2cos2a PC θ=，所以2sin22cos2a a θθ=，即，即因为，所以…………12分20． 解：(I) f′(x)＝e x ＋(x －1)e x －2kx ＝xe x －2kx ＝x(e x －2k)，………………1分/(1)2,(1)f e k f k ，………………2分设切线方程为(2)(1)y ke k x ，把代入得，………………4分(II)令f′(x)＝0，得x 1＝0，x 2＝ln(2k)．令g(k)＝ln(2k)－k ，k ∈(12，1]，………………5分则g′(k)＝1k －1＝1－k k≥0，所以g(k)在(12，1]上单调递增．………………7分所以g(k)≤g(1)=ln2－1＝ln2－lne<0.从而ln(2k)<k ，所以ln(2k)∈（0，k)．………………9分 所以当x ∈(0，ln(2k))时，f ′(x)<0；f(x)单调递减；当x ∈(ln(2k)，＋∞)时，f′(x)>0.f(x)单调递增，………………10分 所以函数f(x)在存在极小值，无极大值。

2016-2017学年度上学期高中学段高三联合考试数学理科试卷 使用时间：2016.10.20命题人：刘新风校对人：来洪臣本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），满分150分，考试时间120分钟． 第Ⅰ卷(选择题共60分）一、选择题：本大题12小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}R x x x y y A ∈--==,122，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠∈+==0,1x R x x x y y B 且，则=⋂A B C R )(（）A ．]2,2(--B ．[)2,2-C ．),2[+∞-D ．)2,2(-2.若复数z 满足71i i z+=（i 为虚数单位），则复数z 的虚部为 ( ) A ．1B ．1-C ．iD ．i -3. 指数函数,0()(>=a a x f x 且)1≠a 在R 上是减函数，则函数3)2()(x a x g -=在R 上的单调性为（）A.单调递增B.单调递减C.在),0(+∞上递增，在)0,(-∞上递减 D .在),0(+∞上递减，在)0,(-∞上递增4.已知命题p:(,0),34x xx ∃∈-∞<;命题q ：(0,)x ∀∈+∞，x x sin ＞则下列命题中的真命题是 ( )A.p q ∧B.()p q ∨⌝C.()p q ∧⌝D.p q ⌝∧5．在下列区间中，函数()=+43xf x e x -的零点所在的区间为（）A.（1-4，0） B.（0，14） C.（14，12） D.（12，34）6.设2018log ,2016log ,2014log 100910081007===c b a ，则（）A ．a b c ＞＞B ．a c b ＞＞C ．b c a ＞＞D ．c b a ＞＞7.已知函数x a x y cos sin +=的图像关于3π=x 对称，则函数x x a y cos sin +=的图像的一条对称轴是( )A ．65π=x B ．32π=x C ．3π=xD ．6π=x8．函数1ln ||x x y e e -=-的部分图象大致为（）9．函数1222)21()(--+-=m mx x x f 的单调增区间与值域相同，则实数m 的取值为 ( )A ．2-B ．2C ．1-D ．110.在整数集Z 中，被7除所得余数为r 的所有整数组成的一个“类”，记作][r ，即{}Z k r k r ∈+=7][，其中6,...2,1,0=r .给出如下五个结论：①]1[2016∈；②]4[3∈-；③=⋂]6[]3[φ； ④]6[]5[]4[]3[]2[]1[]0[⋃⋃⋃⋃⋃⋃=Z ；⑤“整数b a ,属于同一“类””的充要条件是“]0[∈-b a ”。

2022届高三上半期第二次模拟考试数学试卷（辽宁省沈阳市东北育才学校）解答题已知函数.（1）求函数的最小正周期及其图像对称轴的方程；（2）在锐角三角形中，、、的对边分别为.已知，求的面积.【答案】（1），对称轴；（2）【解析】试题分析：（1）由正弦、余弦的二倍角公式和两角和的正弦公式化简解析式可得，根据余弦函数的性质即可求最小正周期及对称轴方程；（2）由，又A为锐角，可得，由根据正弦定理可得，从而可得的面积.试题解析：（1），的最小正周期为，的图像对称轴的方程为:（2）由（1）知：，又A为锐角，，由正弦定理即：，.函数的一条对称轴方程为，则（）A. 1B.C. 2D. 3【答案】B【解析】试题分析：的对称轴是化简得填空题函数的值域为____________.【答案】【解析】由于当时，有最大值当时，有最小值故函数的值域为现有个命题函数有个零点.若则中至少有个为负数.那么,这个命题中,真命题的个数是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】画出与的图像，如图显然有两个交点，所以正确；，当，成立，所以正确；若则中至少有个为负数.假设全部为非负，则由得：，即，这与矛盾，所以假设不正确，故中至少有个为负数，所以正确，故选D.解答题某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示．圆的圆心与矩形对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切(为上切点)，与左右两边相交(，为其中两个交点)，图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域．已知圆的半径为1m，且．设，透光区域的面积为．（1）求关于的函数关系式，并求出定义域；（2）根据设计要求，透光区域与矩形窗面的面积比值越大越好．当该比值最大时，求边的长度．【答案】（1）（2）【解析】试题分析: 根据题意表示出所需的线段长度，再分别求三角形和扇形面积，从而表示出总面积，再根据题意要求求出函数的定义域；根据题意表示出“透光比”函数，借助求导，研究函数单调性求出最大值.试题解析:（1）过点作于点，则，所以，．所以，因为，所以，所以定义域为．（2）矩形窗面的面积为．则透光区域与矩形窗面的面积比值为．…10分设，．则，因为，所以，所以，故，所以函数在上单调减．所以当时，有最大值，此时(m)．答：（1）关于的函数关系式为，定义域为；（2）透光区域与矩形窗面的面积比值最大时，的长度为1m．填空题若正实数满足，则的最小值为_______.【答案】2【解析】因为，所以，即，所以，故，应填答案。

辽宁省八市八校2024届高三第二次联合模拟考试数学试卷（本卷满分150分，考试时间120分钟．）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上，写在本试卷上无效，请用0.5mm 黑色水性笔书写2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个选项符合要求）1. 集合8|1,3A x x x ⎧⎫=-≤≤∈⎨⎬⎩⎭N ，集合{|03}B x x =<<，则A B = （ ） A. {|02}x x <≤ B. {|12}x x ≤≤ C. {1,2}D. {0,1,2}2. 在概率论和统计学中用协方差来衡量两个变量的总体误差，对于离散型随机变量X ，Y ，定义协方差为()()()()Cov ,X Y E XY E X E Y =-，已知X ，Y 的分布列如下表所示，其中01p <<，则()Cov ,X Y 的值为（ ）X 12Pp 1p -Y12P 1p - pA. 0B. 1C. 2D. 43. 已知函数()sin (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭相邻两个对称轴之间的距离为2π，若f （x ）在（-m ，m ）上是增函数，则m 的取值范围是（ ） A. （0，4π] B. （0，2π] C. （0，34π] D. （0，32π] 4. 已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ，若m n ≠，当212m n a a m +=时，有212n ma a n+=，则m nS +=（ ） A. 2()m n +B. 2()m n -+C. 22m n -D. 22n m -5. 英国著名数学家布鲁克·泰勒（Taylor Brook ）以微积分学中将函数展开成无穷级数的定理著称于世泰勒提出了适用于所有函数的泰勒级数，泰勒级数用无限连加式来表示一个函数，如：357sin 3!5!7!x x x x x =-+-+⋯，其中!123n n =⨯⨯⨯⨯ ．根据该展开式可知，与35722223!5!7!-+-+ 的值最接近的是（ ） A. sin 2︒ B. sin 24.6︒ C. cos24.6︒D. cos65.4︒6. 已知二面角l αβ--的平面角为π0,,,,,2A B C l D l AB l θθαβ⎛⎫<<∈∈∈∈⊥ ⎪⎝⎭，AB 与平面β所成角为π3．记ACD 的面积为1S ，BCD △的面积为2S ，则12S S 的取值范围为（ ）A. 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. 12⎡⎢⎣C.D. ⎫⎪⎪⎭7. 已知函数()f x 的定义域为R ，对任意x ∈R ，有()()0f x f x '->，则“2x <”是“()()4e 1e 23xf f x x >-+”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 既不充分又不必要条件D. 充要条件8. 已知点()00,A x y 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>上位于第一象限内的一点，12,F F 分别为C 的左､的右焦点，C 的离心率和实轴长都为2，过点A 的直线l 交x 轴于点01,0M x ⎛⎫⎪⎝⎭，交y 轴于点N ，过1F 作直线AM 的垂线，垂足为H ，则下列说法错误的是（ ）A. C 的方程为2213y x -=B. 点N 的坐标为010,y ⎛⎫- ⎪⎝⎭C. OH 长度为1，其中O 为坐标原点D. 四边形12AF NF面积的最小值为二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分）9. 在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M 为BC 边的中点，下列结论正确的有（ ） A. AM 与11D BB. 过三点A 、M 、1D 的截面面积为112C. 四面体11A C BD 的内切球的表面积为π3D. E 是1CC 边的中点，F 是AB 边的中点，过E 、M 、F 三点的截面是六边形．10. 定义：若数列{}n a 满足，存在实数M ，对任意n *∈N ，都有n a M ≤，则称M 是数列{}n a 的一个上界．现已知{}n a 为正项递增数列，()12n n na b n a -=≥，下列说法正确的是（ ） A. 若{}n a 有上界，则{}n a 一定存在最小的上界 B. 若{}n a 有上界，则{}n a 可能不存在最小的上界C. 若{}n a 无上界，则对于任意的n *∈N ，均存在k *∈N ，使得12023n n k a a +< D. 若{}n a 无上界，则存在k *∈N ，当n k >时，恒有232023n b b b n +++<-L 11. 已知函数()()1ln f x x x =-，下列选项正确的是（ ）的A ()f x 有最大值B. 31e e f f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. 若e x ≥时，()()e 0f x a x --≤恒成立，则1a ≤D. 设12,x x 为两个不相等正数，且121221ln ln 11x x x x x x -=-，则12112x x +>第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）12. 2023年10月18日，第三届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行．在“一带一路”欢迎晚宴上，我国拿出特有的美食、美酒款待大家，让国际贵宾们感受中国饮食文化、茶文化、酒文化．这次晚宴菜单中有“全家福”“沙葱牛肉”“北京烤鸭”“什锦鲜蔬”“冰花锅贴”“蟹黄烧麦”“天鹅酥”“象形枇杷”．假设在上菜的过程中服务员随机上这八道菜（每次只上一道菜），则“沙葱牛肉”“北京烤鸭”相邻的概率为______．13. 《海岛算经》是魏晋时期数学家刘徽所著的测量学著作，书中有一道测量山上松树高度的题目，受此题启发，小李同学打算用学到的解三角形知识测量某建筑物上面一座信号塔的高度.如图，把塔底与塔顶分别看作点C ，D ，CD 与地面垂直，小李先在地面上选取点A ，B （点,A B 在建筑物的同一侧，且点,,,A B C D 位于同一个平面内），测得AB =，在点A 处测得点,C D 的仰角分别为30,67 ，在点B 处测得点D 的仰角为33.5 ，则塔高CD 为__________m .（参考数据：3sin375≈）14. 已知球O 的表面积为12π，正四面体ABCD 的顶点B ，C ，D 均在球O 的表面上，球心O 为BCD △的外心，棱AB 与球面交于点P ．若A ∈平面1α，B ∈平面2α，C ∈平面3α，D ∈平面4α，1//(1,2,3)i i i αα+=且i α与1(1,2,3)i i α+=之间的距离为同一定值，棱AC ，AD 分别与2α交于点Q ，R ，则PQR 的周长为______.四、解答题（本题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）.的15. 已知在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，其中4,sin a C c A ==-.（1）求A ；（2）已知直线AM 为BAC ∠的平分线，且与BC 交于点M，若AM =求ABC 的周长. 16. 如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，底而ABCD 为平行四边形，侧棱1DD ⊥平面ABCD ，114DA A B ==，8AB =，120ADC ∠=︒.（1）证明：1BD A A ⊥；（2）若四棱台1111ABCD A B C D -，求平面11ADD A 与平面11BCC B 所成的锐二面角的余弦值.17. 某制药公司研制了一款针对某种病毒的新疫苗.该病毒一般通过病鼠与白鼠之间的接触传染，现有n 只白鼠，每只白鼠在接触病鼠后被感染的概率为12，被感染的白鼠数用随机变量X 表示，假设每只白鼠是否被感染之间相互独立（1）若()()595P X P X ===，求数学期望()E X ；（2）接种疫苗后的白鼠被病鼠感染的概率为p ，现有两个不同的研究团队理论研究发现概率p 与参数()01θθ<<的取值有关.团队A 提出函数模型为()22ln 13p θθ=+-，团队B 提出函数模型为()11e 2p θ-=-.现将100只接种疫苗后的白鼠分成10组，每组10只，进行实验，随机变量()1,2,,10i X i =⋅⋅⋅表示第i 组被感染的白鼠数，将随机变量()1,2,,10i X i =⋅⋅⋅的实验结果()1,2,,10i x i =⋅⋅⋅绘制成频数分布图，如图所示.的（i ）试写出事件“11221010,,,X x X x X x ==⋅⋅⋅=”发生的概率表达式（用p 表示，组合数不必计算）； （ⅱ）在统计学中，若参数0θθ=时使得概率()11221010,,,P X x X x X x ==⋅⋅⋅=最大，称0θ是θ的最大似然估计.根据这一原理和团队A ，B 提出的函数模型，判断哪个团队的函数模型可以求出θ的最大似然估计，并求出最大似然估计.参考数据：3ln 0.40552≈. 18. 已知平面上一动点P 到定点1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭的距离比到定直线2023x =-的距离小40452，记动点P 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程； （2）点()2,1,,AM N 为C 上的两个动点，若,,M N B 恰好为平行四边形MANB 的其中三个顶点，且该平行四边形对角线的交点在第一､三象限的角平分线上，记平行四边形MANB 的面积为S ，求证：S ≤19. 大数据环境下数据量积累巨大并且结构复杂，要想分析出海量数据所蕴含的价值，数据筛选在整个数据处理流程中处于至关重要的地位，合适的算法就会起到事半功倍的效果．现有一个“数据漏斗”软件，其功能为；通过操作(),L M N 删去一个无穷非减正整数数列中除以M 余数为N 的项，并将剩下的项按原来的位置排好形成一个新的无穷非减正整数数列．设数列{}n a 的通项公式13n na -=，n +∈N ，通过“数据漏斗”软件对数列{}n a 进行()3,1L 操作后得到{}n b ，设{}n n a b +前n 项和为n S ． （1）求n S ；（2）是否存在不同的实数,,p q r +∈N ，使得p S ，q S ，r S 成等差数列？若存在，求出所有的(),,p q r ；若不存在，说明理由；（3）若2(31)nn nnS e =-，n +∈N ，对数列{}n e 进行()3,0L 操作得到{}n k ，将数列{}n k 中下标除以4余数为0，1的项删掉，剩下的项按从小到大排列后得到{}n p ，再将{}n p 的每一项都加上自身项数，最终得到{}n c ，证明：每个大于1的奇平方数都是{}n c 中相邻两项的和．参考答案一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个选项符合要求）1. 集合8|1,3A x x x ⎧⎫=-≤≤∈⎨⎬⎩⎭N ，集合{|03}B x x =<<，则A B = （ ） A. {|02}x x <≤ B. {|12}x x ≤≤ C. {1,2} D. {0,1,2}【答案】C 【解析】【分析】列举法表示出集合A ，进而根据交集的概念即可求出结果. 【详解】因为{}8|1,0,1,23A x x x ⎧⎫=-≤≤∈=⎨⎬⎩⎭N ，所以{}1,2A B = ， 故选：C2. 在概率论和统计学中用协方差来衡量两个变量的总体误差，对于离散型随机变量X ，Y ，定义协方差为()()()()Cov ,X Y E XY E X E Y =-，已知X ，Y 的分布列如下表所示，其中01p <<，则()Cov ,X Y 的值为（ ）X 12Pp 1p -Y12P 1p - pA. 0B. 1C. 2D. 4【答案】A【解析】【分析】根据题意可得XY 的分布列，()E XY ，()E X 和()E Y 的值，再根据()Cov ,X Y 的公式计算即可.【详解】解：XY 的分布列为XY 12 4P()1p p -()221p p +-()1p p -()()()()2221121412E XY p p p p p p p p ⎡⎤=⨯-+⨯+-+⨯-=-++⎣⎦，()2E X p =-，()1E Y p =+，()()()2Cov ,2210X Y p p p p =-++--+=.故选：A.3. 已知函数()sin (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭相邻两个对称轴之间的距离为2π，若f （x ）在（-m ，m ）上是增函数，则m 的取值范围是（ ） A （0，4π] B. （0，2π] C. （0，34π] D. （0，32π] 【答案】B 【解析】【分析】根据题意可得周期，进而求出ω，再求出()f x 的单调区间，即可求出. 【详解】因为()sin (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭相邻两个对称轴之间的距离2π， 则122T π=，即4T π=，则2142ωπ==π，则1()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由1222242k x k πππππ-≤+≤+，得344()22k x k k Z ππππ-≤≤+∈， 所以()f x 在3,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，由3(,),22m m ππ⎡⎤-⊆-⎢⎥⎣⎦得02m π<≤.故选：B..4. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若m n ≠，当212m n a a m +=时，有212n ma a n+=，则m nS +=（ ） A 2()m n +B. 2()m n -+C. 22m n -D. 22n m -【答案】B 【解析】【分析】根据等差数列通项及前n 项和公式计算化简即可求解.【详解】212m n a a m += ，212n m a a n+=，则()3322222m nn m n m a a m n nm--=-=， ()()()222m n m n nmm n d nm--++∴-=，则()222mn nm d nm-++=，所以()()()()()2112222m n m m nn m n nd m n a a m n a a nd m S ++⎛⎫++ ⎪+++++⎝⎭===()()()()()2222222222n m nm n m n n m mn n m nm n m n m n m m ⎛⎫++ ⎪+-⋅ ⎪⎛⎫++⎝⎭ ⎪==+-=-+⎪⎝⎭.故选：B.5. 英国著名数学家布鲁克·泰勒（Taylor Brook ）以微积分学中将函数展开成无穷级数的定理著称于世泰勒提出了适用于所有函数的泰勒级数，泰勒级数用无限连加式来表示一个函数，如：357sin 3!5!7!x x x x x =-+-+⋯，其中!123n n =⨯⨯⨯⨯ ．根据该展开式可知，与35722223!5!7!-+-+ 的值最接近的是（ ） A. sin 2︒ B. sin 24.6︒ C. cos24.6︒ D. cos65.4︒【答案】C 【解析】.【分析】观察题目将其转化为三角函数值，再将弧度制与角度制互化，结合诱导公式判断即可. 【详解】原式()()sin 2sin 257.3sin 9024.6cos 24.6=≈⨯=+=，故选：C .6. 已知二面角l αβ--的平面角为π0,,,,,2A B C l D l AB l θθαβ⎛⎫<<∈∈∈∈⊥ ⎪⎝⎭，AB 与平面β所成角为π3．记ACD 的面积为1S ，BCD △的面积为2S ，则12S S 的取值范围为（ ）A. 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. 12⎡⎢⎣C.D. ⎫⎪⎪⎭【答案】C 【解析】【分析】作出二面角的平面角以及AB 与平面β所成角，并表示出2π3BAE θ∠=-，结合三角形面积公式以及正弦定理表示出121sin S AE S BE BAE==∠，结合θ范围确定sin BAE ∠范围，即可求得答案. 【详解】作AE CD ⊥，垂足为E ，连接BE ，因为AB l ⊥，即AB CD ⊥，,,AE AB A AE AB =⊂ 平面AEB ， 故CD ⊥平面AEB ，BE ⊂平面AEB ，故CD BE ⊥， 又CD β⊂，故平面AEB β⊥，平面AEB BE β= ，则AB 在β内的射影在BE 上，则ABE ∠为AB 与平面β所成角，即π3ABE ∠=， 由于AE CD ⊥，CD BE ⊥，故AEB ∠为二面角l αβ--的平面角，即π02AEB θθ⎛⎫∠=<<⎪⎝⎭，121212AE CD S AE S BEBE CD ⨯==⨯， 在ABE 中，sin sin sin AE BE AB ABE BAE AEB==∠∠∠，则sin 1sin sin AE ABE BE BAE BAE∠==∠∠， 而π02θ<<，则π2ππ33BAE θθ∠=--=-， 则π2π1,,sin (,1]632BAE BAE ⎛⎫∠∈∴∠∈ ⎪⎝⎭，故sin 1sin sin AE ABE BE BAE BAE ∠==∈∠∠， 故选：C7. 已知函数()f x 的定义域为R ，对任意x ∈R ，有()()0f x f x '->，则“2x <”是“()()4e 1e 23xf f x x >-+”的（ ） A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 既不充分又不必要条件D. 充要条件 【答案】A【解析】【分析】根据题意，构造函数()()x f x g x =e，可得函数()g x 在R 上单调递增，再根据函数单调性解得4x >，由充分性必要性的定义，即可得到结果.【详解】因为()()0f x f x '->，则()()0e x f x f x '->， 令()()x f x g x =e，则()0g x '>，所以()g x 在R 上单调递增. ()()()()()()4123123e 1e 23123e e x x x f x f x f x f x g x g x +-+-+>-⇔>⇔+>- 1234x x x ⇔+>-⇔<，所以“2x <”是“()()e 1e 23x xf x f x +>-”的充分不必要条件， 故选：A.8. 已知点()00,A x y 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>上位于第一象限内的一点，12,F F 分别为C 的左､右焦点，C 的离心率和实轴长都为2，过点A 的直线l 交x 轴于点01,0M x ⎛⎫⎪⎝⎭，交y 轴于点N ，过1F 作直线AM 的垂线，垂足为H ，则下列说法错误的是（ ） A. C 的方程为2213y x -= B. 点N 的坐标为010,y ⎛⎫- ⎪⎝⎭ C. OH 的长度为1，其中O 为坐标原点D. 四边形12AF NF面积的最小值为【答案】B【解析】【分析】对A ，根据条件列式计算可得解；对B ，求出直线AM 的方程，令0x =，求得其与y 轴的交点可判断；对C ，求出直线1F H 的方程与直线AM 的方程联立解得点H 的坐标，并求出OH 可判断；对D ，四边形12AF NF 的面积()12120011322A N F F y y F F y y ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭利用基本不等式求解判断. 【详解】对于A，因为222e a ⎧⎪==⎨⎪=⎩，解得1,a b ==2213y x -=，故A 正确； 对于B ，000020000311AM y x y x k x y x x ===--，所以AM 的方程为00031x y x y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 所以令0x =得直线l 交y 轴于点030,y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故B 错误； 对于C ，直线1F H 的方程为()0023y y x x -=+，与直线AM 的方程联立解得00002,2121x y H x x ⎛⎫-- ⎪--⎝⎭，所以1OH ==，故C 正确；对于D ，四边形12AF NF的面积为12000013322F F y y y y ⎛⎫⎛⎫+=+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0y =立，故D 正确.故选：B.二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分）9. 在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M 为BC 边的中点，下列结论正确的有（ ）A. AM 与11D BB. 过三点A 、M 、1D 的截面面积为112C. 四面体11A C BD 的内切球的表面积为π3 D. E 是1CC 边的中点，F 是AB 边的中点，过E 、M 、F 三点的截面是六边形．【答案】AD【解析】【分析】对于A ，建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角公式求解；对于B ，作出过三点A 、M 、1D 的截面，即可求其面积；对于C ，利用等体积法求出内切球的半径，即可求解；对于D ，利用几何作图，作出过E 、M 、F 三点的截面，即可判断.【详解】对于A ，以1A 坐标原点，以11111,,A D A B A A 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，为11(0,0,2),(1,2,2),(0,2,0),(2,0,0)A M B D ，则()()11120220,,,,,B A D M ==- ,则111111cos ,||||D B D B AM D B AM AM ⋅〈〉=== AM 与11D B 所成角的范围为π(0,]2，故AM 与11D B，A 正确； 对于B ，设N 为1CC 的中点，连接MN ，则11MN BC AD ∥∥，且111122MN BC AD ==， 则梯形1AMND 即为过三点A 、M 、1D 的截面，11MN AD AM D N =====， 故梯形面积为为1922S=⨯=，B 错误； 对于C ，如图，四面体11A C BD 的体积等于正方体体积减去四个角上的直三棱锥的体积，即33118242323V =-⨯⨯⨯=，该四面体的棱长为，其表面积为1π4sin 23S =⨯⨯= 设四面体内球球半径为r，则18,33r r ⨯=∴= 故四面体11A C BD 的内切球的表面积为24π4π3r =，C 错误； 对于D ，如图，延长ME 和11B C 的延长线交于J ，则MCE △≌1JC E ，则1JC MC =，设H 为11A D 的中点，则11JC D H =，连接HJ ，则1JC G ≌1HD G ，则11C G D G =，故G 为11D C 的中点，故11HG A C AC FM ∥∥∥，同理延长,MF DA 交于L ，连接LH ，交1AA 于K ，K 即为1AA 的中点，则K ，E 在,FM HG 确定的平面内，则六边形FMEGHK 即过E 、M 、F 三点的截面，是六边形，D 正确，故选：AD【点睛】难点点睛：本题综合考查了空间几何中的线线角、截面、以及内切球问题，难度较大，解答时要发挥空间想象能力，明确空间的位置关系，结合空间向量以及等体积法和几何作图解决问题.10. 定义：若数列{}n a 满足，存在实数M ，对任意n *∈N ，都有n a M ≤，则称M 是数列{}n a 的一个上界．现已知{}n a 为正项递增数列，()12n n na b n a -=≥，下列说法正确的是（ ） A. 若{}n a 有上界，则{}n a 一定存在最小的上界B. 若{}n a 有上界，则{}n a 可能不存在最小的上界C. 若{}n a 无上界，则对于任意的n *∈N ，均存在k *∈N ，使得12023n n k a a +< D. 若{}n a 无上界，则存在k *∈N ，当n k >时，恒有232023n b b b n +++<-L【答案】ACD【解析】【分析】AB 选项，由{}n a 有上界判断；C.根据{}n a 无上界，且为正项递增数列，可得0n n ka a +→判断；D.用反证法判断.【详解】A.若{}n a 有上界，则{}n a 一定存在最小的上界，故正确；B.若{}n a 有上界，则{}n a 一定存在最小的上界，故错误；C.若{}n a 无上界，又{}n a 为正项递增数列，则n →+∞时，n a →+∞，n k a +→+∞， 则0n n k a a +→，所以12023n n k a a +<，故正确； D.假设对任意n k >时，恒有232023n b b b n +++≥-L ，不妨设2n n a =，则2312n n b b b -+++=L ， 取4047k =，当4047k >时，23120232n n b b b n -+++=<-L ， 与假设矛盾，故假设不成立，所以若{}n a 无上界，则存在k *∈N ，当n k >时，恒有232023n b b b n +++<-L ，故正确； 故选：ACD11. 已知函数()()1ln f x x x =-，下列选项正确的是（ ）A. ()f x 有最大值B. 31e e f f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. 若e x ≥时，()()e 0f x a x --≤恒成立，则1a ≤D. 设12,x x 为两个不相等的正数，且121221ln ln 11x x x x x x -=-，则12112x x +>【答案】ACD【解析】【分析】对于A ：求导，利用导数判断原函数的单调性和最值；对于B ：利用作差法比较大小；对于C ：利用定点分析判断；对于D ：利用极值点偏离分析证明.【详解】对于选项A ：由题意可得：函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()1ln 1ln f x x x =--=-， 令()0f x ¢>，解得01x <<；令()0f x '<，解得1x >；则函数()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，所以()f x 有最大值()11f =，故A 正确；对于选项B ：因为()32ln 333311121ln ,1ln e e e e e e e e f f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 则()432ln 331243ln 31e ln 0e e e e e e 27f f --⎛⎫⎛⎫-=-==> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以31e e f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 错误；对于选项C ：构建()()()e F x f x a x =--，则()ln F x x a '=-+，因为()0e F =，且当e x ≥时，()0F x ≤恒成立，则()e 10F a '=-+≤，解得1a ≤，若1a ≤，则()ln 0F x x a '=-+≤当e x ≥时恒成立， 则()F x 在[)e +∞，上单调递减，则()()e 0F x F ≤=，符合题意 综上所述：1a ≤符合题意，故C 正确；对于选项D ：因为121221ln ln 11x x x x x x -=-， 整理得112211111ln 1ln x x x x ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1211f f x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由选项A 可知：函数()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，当x 趋近于0时，()f x 趋近于0，且令()0f x >，解得0e x <<，不妨设121101e x x <<<<， 构建()()()()11,0,1g x f x f x x =+--∈，因为()()()()()()211ln 1ln 1ln 10g x f x f x x x x '''=++-=-+--=-->在()0,1上恒成立， 则()g x 在()0,1上单调递增，可得()()00g x g >=，所以()()()11,0,1f x f x x +>-∈，即()()()2,0,1f x f x x ->∈， 可得2111112f f f x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=<- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 注意到()f x 在()1,+∞上单调递减，且1211122,1e x x <-<<<， 所以21112x x >-，即12112x x +>，故D 正确； 故选：ACD.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤（1）作差或变形；（2）构造新的函数()h x ；（3）利用导数研究()h x 的单调性或最值；（4）根据单调性及最值，得到所证不等式．特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）12. 2023年10月18日，第三届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行．在“一带一路”欢迎晚宴上，我国拿出特有的美食、美酒款待大家，让国际贵宾们感受中国饮食文化、茶文化、酒文化．这次晚宴菜单中有“全家福”“沙葱牛肉”“北京烤鸭”“什锦鲜蔬”“冰花锅贴”“蟹黄烧麦”“天鹅酥”“象形枇杷”．假设在上菜的过程中服务员随机上这八道菜（每次只上一道菜），则“沙葱牛肉”“北京烤鸭”相邻的概率为______． 【答案】14##0.25 【解析】【分析】根据元素相邻关系进行捆绑并结合排列问题得出结果.【详解】服务员随机上这八道菜有88A 种排法，“沙葱牛肉”，“北京烤鸭”相邻有2727A A ⋅种排法， 所以所求概率272788A A 1A 4P ⋅==． 故答案为：14. 13. 《海岛算经》是魏晋时期数学家刘徽所著的测量学著作，书中有一道测量山上松树高度的题目，受此题启发，小李同学打算用学到的解三角形知识测量某建筑物上面一座信号塔的高度.如图，把塔底与塔顶分别看作点C ，D ，CD 与地面垂直，小李先在地面上选取点A ，B （点,A B 在建筑物的同一侧，且点,,,A B C D 位于同一个平面内），测得AB =，在点A 处测得点,C D 的仰角分别为30,67 ，在点B 处测得点D 的仰角为33.5 ，则塔高CD 为__________m .（参考数据：3sin375≈ ）【答案】24【解析】【分析】在ACD中，求出AD =37,120CAD ACD ∠∠== ，利用正弦定理求解即可.【详解】如图，延长DC 与BA 的延长线交于点E ，则67,30,33.5DAE CAE DBA ∠∠∠=== ，所以6733.533.503060,9ADB CAE ∠∠-=-=== ，所以AD AB ==在ACD 中，673037,18060120CAD ACD ∠∠==-=-= ，由正弦定理，得sin3724m sin120AD CD =≈= （）.故答案为：24.14. 已知球O 表面积为12π，正四面体ABCD 的顶点B ，C ，D 均在球O 的表面上，球心O 为BCD △的外心，棱AB 与球面交于点P ．若A ∈平面1α，B ∈平面2α，C ∈平面3α，D ∈平面4α，1//(1,2,3)i i i αα+=且i α与1(1,2,3)i i α+=之间的距离为同一定值，棱AC ，AD 分别与2α交于点Q ，R ，则PQR 的周长为______.【答案】11【解析】【分析】结合球的表面积公式，根据正三角形外接圆的性质求得边长，利用三点共线及数量积的运算律求得113AP AB ==，然后利用平行平面的性质求得1AR =，32AQ =，再利用余弦定理求得PQ RQ ==PQR 的周长. 【详解】设i α与1(1,2,3)i i α+=之间的距离为d ，设球O 的半径为R ，则由题意得24π12πR =，解得R =所以OB OP ==3AB BC ===，所以OA ==，由A ，P ，B 三点共线，故存在实数λ使得()()101OP OA OB λλλ=+-<< ，的所以()()22222121OP OA OB OA OB λλλλ=+-+-⋅ ，所以()223631λλ=+-，即2320λλ-=，解得23λ=，所以2133OP OA OB =+ ，所以12AP PB =，所以113AP AB ==， 又1//(1,2,3)i i i αα+=且i α与1(1,2,3)i i α+=之间的距离为d ，则133AR d AD d ==，122AQ d AC d ==，所以1AR =，32AQ =，所以PQ RQ ===，又113PR BD ==，所以PQR 的周长为121+=+故答案为：1+【点睛】关键点点睛：本题考查学生的空间想象能力，解题关键是找到点,,P Q R 的位置．本题中应用正四面体的性质结合球的半径，求出边长，利用平行平面的距离，得到所求三角形的边长即可求解.四、解答题（本题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15. 已知在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中4,sin a C c A ==-.（1）求A ；（2）已知直线AM 为BAC ∠的平分线，且与BC 交于点M ，若AM =求ABC 的周长. 【答案】（1）π3A =（2）4+ 【解析】【分析】（1）利用正弦定理的边角变换，结合三角函数的和差公式即可得解； （2）利用三角形面积公式与余弦定理得到关于,b c 的方程组，结合整体法即可得解. 【小问1详解】cos sin C c A +=，cos sin sin A C A C B +=，()cos sin B A C A C A C =+=+，故sin sin sin A C A C =，又sin 0C ≠，所以sin A A =，则tan A =，因为(0,π)A ∈，所以π3A =. 【小问2详解】因为ABC ABM MCM S S S =+ ， 所以111sin sin sin 222bc BAC AM c BAM AM b CAM ∠=⋅⋅∠+⋅⋅∠，又AM 平分BAC ∠，所以1π26BAM CAM BAC ∠=∠=∠=，所以1111122222bc =⨯+⨯，)b c =+，即)bc b c =+ 由余弦定理得2222cos a b c bc BAC =+-∠，即2216b c bc =+-，所以()())22163b c bc b c b c =+-=++，解得b c +=（负值舍去），故ABC 的周长为4+.16. 如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，底而ABCD 为平行四边形，侧棱1DD ⊥平面ABCD ，114DA A B ==，8AB =，120ADC ∠=︒.（1）证明：1BD A A ⊥；（2）若四棱台1111ABCD A B C D -，求平面11ADD A 与平面11BCC B 所成的锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2 【解析】【分析】（1）利用余弦定理求出DB =，再利用线面垂直的判定与性质即可证明；（2）利用台体体积公式求出11DD =，再建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量法求出面面角余弦值即可.【小问1详解】底面ABCD 为平行四边形，120ADC ∠=︒ ，60DAB ∴∠=︒.4DA = ，8AB =，由余弦定理可得：2222cos 6048DB AB AD AB AD =+-⨯︒=，DB ∴= 则222DA DB AB +=，DA DB ∴⊥，侧棱1DD ⊥平面ABCD ，DB ⊂平面ABCD ，1DD DB ∴⊥， 又DA ⊂ 平面11ADD A ，1DD ⊂平面11ADD A ，且1DA DD D = ，DB ∴⊥平面11ADD A ，又1AA ⊂ 平面11ADD A ，1DB AA ∴⊥. 【小问2详解】四棱台中1111ABCD A B C D -(111113ABCD A B C D V S S ∴=++，(1111113DD AD DB A D D B =⋅⋅⋅+⋅+，113DD =⋅⋅11DD =. 如图，以点D 为原点，DA ，DB ，1DD 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴， 建立如图的空间直角坐标系，则()4,0,0A，()0,B，()4,C -，()10,B ，()4,0,0BC ∴=-，()10,BB =- ，设平面11BCC B 的法向量为(),,n x y z =，则有140n BC x n BB z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，所以(0,1,n =平面11ADD A 的法向量为()0,1,0m =，设平面11ADD A 与平面11BCC B 所成锐二面角为θ，则cos cos ,m nm n m n θ⋅====17. 某制药公司研制了一款针对某种病毒的新疫苗.该病毒一般通过病鼠与白鼠之间的接触传染，现有n 只白鼠，每只白鼠在接触病鼠后被感染的概率为12，被感染的白鼠数用随机变量X 表示，假设每只白鼠是否被感染之间相互独立（1）若()()595P X P X ===，求数学期望()E X ；（2）接种疫苗后的白鼠被病鼠感染的概率为p ，现有两个不同的研究团队理论研究发现概率p 与参数()01θθ<<的取值有关.团队A 提出函数模型为()22ln 13p θθ=+-，团队B 提出函数模型为()11e 2p θ-=-.现将100只接种疫苗后的白鼠分成10组，每组10只，进行实验，随机变量()1,2,,10i X i =⋅⋅⋅表示第i 组被感染的白鼠数，将随机变量()1,2,,10i X i =⋅⋅⋅的实验结果()1,2,,10i x i =⋅⋅⋅绘制成频数分布图，如图所示.（i ）试写出事件“11221010,,,X x X x X x ==⋅⋅⋅=”发生的概率表达式（用p 表示，组合数不必计算）； （ⅱ）在统计学中，若参数0θθ=时使得概率()11221010,,,P X x X x X x ==⋅⋅⋅=最大，称0θ是θ的最大似然估计.根据这一原理和团队A ，B 提出的函数模型，判断哪个团队的函数模型可以求出θ的最大似然估计，并求出最大似然估计.参考数据：3ln 0.40552≈. 【答案】（1）50 （2）（i ）()()()()()33227512342510101010C C C C 1p p -；（ⅱ）团队B 可以求出θ的最大似然估计，0ln 2θ= 【解析】【分析】（1）由题意可得1~,2X B n ⎛⎫⎪⎝⎭，再根据()()595P X P X ===求解即可； （2）（i ）设11221010,,","A X x X x X x ==== ，依题意得()P A ()()()()()332987649223344661010101010C 1C 1C 1C 1C 1p p p p p p p p p p ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-----⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，化简即可； （ⅱ）记1323324210101010()ln()()()()25ln 75ln(1)g p C C C C p p =++-，求导分析单调性可得最大值，分别在团体A ，B 中提出函数模型即可得答案． 【小问1详解】由题知，随机变量X 服从二项分布，1~,2X B n ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 由()()595P X P X ===，即555595955595111111C 1C1C 1222222n n n n nnn ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得100n =，所以()50E X np ==； 【小问2详解】（i ）A =“11221010,,,X x X x X x ==⋅⋅⋅=”，()P A()()()()()332987649223344661010101010C 1C 1C 1C 1C 1p p p p p p p p p p ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-----⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 所以()()()()()()33227512342510101010C C C C 1P A p p =-；（ii ）记()()()()()()33221023410101010ln C C C C 25ln 75ln 1g p p p =++-，则()()25752510011p g p p p p p -'=-=--， 当104p <<时，()0g p '>，()g p 单调递增； 当114p <<时，()0g p '<，()g p 单调递减； 当14p =时，()g p 取得最大值，即P 取得最大值，在团队A 提出的函数模型()22ln 13p θθ=+-，()01θ<<中，记函数()()212ln 13f x x x =+-，()01x <<，()()21144431331x x f x x x x --+'=-=++， 当102x <<时，()10f x '>，()1f x 单调递增； 当112x <<时，()10f x '<，()1f x 单调递减， 当12x =时，()1f x 取得最大值3113ln ln 0.40552642⎛⎫-<≈ ⎪⎝⎭，则θ不可以估计，在团体B 提出的函数模型()11e 2p θ-=-中，记函数()()211e 2x x f -=-，()2f x 单调递增， 令()214f x =，解得ln 2x =， 则团队B 可以求出θ的最大似然估计，且0ln 2θ=是θ的最大似然估计. 【点睛】求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤： （1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列； （3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等， 可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）． 18. 已知平面上一动点P 到定点1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭的距离比到定直线2023x =-的距离小40452，记动点P 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程； （2）点()2,1,,AM N 为C 上的两个动点，若,,M N B 恰好为平行四边形MANB 的其中三个顶点，且该平行四边形对角线的交点在第一､三象限的角平分线上，记平行四边形MANB 的面积为S，求证：S ≤【答案】（1）22y x =；（2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）根据距离公式列等量关系即可求解，或者利用抛物线的定义求解，（2）根据点差法可得斜率关系，联立直线与抛物线方程得韦达定理，即可根据弦长公式求解长度，由点到直线的距离公式表达面积，即可利用导数求解函数的最值.小问1详解】解法一：设(),P x y ，易知2023x >-，404520232x =+-，化简得22y x =，【所以C 的方程为22y x =. 解法二：因为点P 到定点1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭的距离比到定直线2023x =-的距离小40452，所以点P 到定点1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭的距离与到定直线12x =-的距离相等，由抛物线的定义可知，点P 的轨迹是以定点1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭为焦点，定直线12x =-为准线的抛物线，所以C 的方程为22y x =. 【小问2详解】证明：设()()1122,,,M x y N x y ，直线MN 的斜率为()0k k ≠，线段MN 的中点为Q ，因为平行四边形MANB 对角线的交点在第一､三象限的角平分线上， 所以线段MN 的中点Q 在直线y x =上，设()(),0Q m m m ≠，所以2112222,2,y x y x ⎧=⎨=⎩ 所以()()()1212122y y y y x x -+=-， 又1212122,,y y y y m k x x -+==-所以1km =，即1k m=. 设直线MN 的方程为()1y m x m m-=-， 即20x my m m -+-=，联立220,2,x my m m y x ⎧-+-=⎨=⎩整理得222220y my m m -+-=，所以2Δ840m m =->，解得02m <<，212122,22y y m y y m m +==-，则2MN y =-===又点A 到直线MN的距离为d所以222AMN S S MN d m m ==⋅=+ ，记t =，因为02m <<，所以(]0,1t ∈， 所以()(]232224,0,1S t ttt t =-=-+∈.令()(]324,0,1f t t t t =-+∈，则()264f t t =-'+， 令()0f t '=，可得t =当t ⎛∈ ⎝时，()()0,f t f t '>在区间(0内单调递增，当t ⎤∈⎥⎦时，()f t '<()0,f t在区间⎤⎥⎦上单调递减，所以当t=1m =±时，()ft取得最大值，即max S f ==，所以S ≤【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的范围或最值问题，可根据题意构造关于参数的目标函数，然后根据题目中给出的范围或由判别式得到的范围求解，解题中注意函数单调性和基本不等式的作用．另外在解析几何中还要注意向量的应用，如本题中根据向量的共线得到点的坐标之间的关系，进而为消去变量起到了重要的作用19. 大数据环境下数据量积累巨大并且结构复杂，要想分析出海量数据所蕴含的价值，数据筛选在整个数据处理流程中处于至关重要的地位，合适的算法就会起到事半功倍的效果．现有一个“数据漏斗”软件，其功能为；通过操作(),L M N 删去一个无穷非减正整数数列中除以M 余数为N 的项，并将剩下的项按原来的位置排好形成一个新的无穷非减正整数数列．设数列{}n a 的通项公式13n na -=，n +∈N ，通过“数据漏斗”软件对数列{}n a 进行()3,1L 操作后得到{}n b ，设{}n n a b +前n 项和为n S ． （1）求n S ；（2）是否存在不同的实数,,p q r +∈N ，使得p S ，q S ，r S 成等差数列？若存在，求出所有的(),,p q r ；若不存在，说明理由； （3）若2(31)nn nnS e =-，n +∈N ，对数列{}n e 进行()3,0L 操作得到{}n k ，将数列{}n k 中下标除以4余数为0，1的项删掉，剩下的项按从小到大排列后得到{}n p ，再将{}n p 的每一项都加上自身项数，最终得到{}n c ，证明：每个大于1的奇平方数都是{}n c 中相邻两项的和． 【答案】（1）()231nn S =-（2）不存在，理由见解析（3）证明见解析 【解析】【分析】（1）结合题意可得n b ，借助等比数列前n 项和公式计算即可得n S ； （2）借助反证法，假设存在，结合等差数列的性质得到与假设矛盾之处即可得；（3）借助题意，计算出n e 后，可得21n k -，2n k ，即可得21n p +，22n p +，再得到21n c +，22n c +， 即可得n c ，设出()12k k k r +=，从而证明12(21)k k r r k c c -+=+，分4k m =、41k m =+、42k m =+、43k m =+逐个证明即可得.【小问1详解】 由13n na -=，n +∈N 知：当1n =时，11a =；。