2009年广州市高二数学竞赛试题

2009年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）2009.4本卷共4页，21小题，满分150分。

考试用时120分钟。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如果复数22(3)(56)m m m m i -+-+是纯虚数，则实数m 的值为（ ）A . 0B . 2C . 0或3D .2或32．已知函数{(4),0(4),0()x x x x x x f x +<-≥= 则函数()f x 的零点个数为（ ）A . 1B . 2C . 3D . 43．已知全集U R =，集合{}37A x x =≤<，{}27100B x x x =-+<， 则()R C A B =I （ ）A .(,3)(5,)-∞+∞UB .(,3)[5,)-∞+∞UC .(,3][5,)-∞+∞UD .(,3](5,)-∞+∞U4．命题“2,210x R x x ∃∈-+<”的否定是（ ）A .2,210x R x x ∃∈-+≥B .2,210x R x x ∃∈-+>C .2,210x R x x ∀∈-+≥D .2,210x R x x ∀∈-+<5．已知点(1,0)A ，直线:24l y x =-，点R 是直线l 上的一点。

若RA AP =uu r uu u r，则点P 的轨迹方程为（ ）A . 2y x =-B .2y x =C .28y x =-D .24y x =+6．函数()cos f x x x =的导函数()f x '在区间[,]ππ-上的图像大致是（ ）ABC D .7．现有4种不同颜色要对如图1所示的四个部分进行着色， 要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有（ ）A .24种B .30种C .36种D .48种8．设直线l 与球O 有且只有一个公共点P ，从直线l 出发的两个半平面,αβ截球O 的两个截面圆的半径分别为1l αβ--的平面角为150o，则球O 的表面积为（ ）A .4πB .16πC .28πD .112π二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。

高二数学竞赛试题及答案广东高二数学竞赛试题及答案（广东）试题一：函数与方程1. 已知函数\( f(x) = 2x^2 - 3x + 1 \)，求\( f(x) \)在区间[-1,2]上的最大值和最小值。

2. 解方程\( x^2 - 5x + 6 = 0 \)。

答案：1. 函数\( f(x) = 2x^2 - 3x + 1 \)的导数为\( f'(x) = 4x - 3 \)。

令\( f'(x) = 0 \)得\( x = \frac{3}{4} \)。

在区间[-1, 2]上，\( f(x) \)在\( x = \frac{3}{4} \)处取得最小值\( f\left(\frac{3}{4}\right) = -\frac{1}{8} \)，在区间端点\( x = -1 \)和\( x = 2 \)处分别取得最大值\( f(-1) = 4 \)和\( f(2) = 5 \)。

2. 方程\( x^2 - 5x + 6 = 0 \)可以分解为\( (x - 2)(x - 3) = 0 \)，解得\( x = 2 \)或\( x = 3 \)。

试题二：不等式1. 证明不等式\( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 4 \)在\( a, b > 0 \)时成立。

2. 解不等式\( |x - 1| + |x - 3| \geq 4 \)。

答案：1. 由于\( a, b > 0 \)，根据调和平均数与几何平均数的关系，有\( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 2\sqrt{\frac{1}{ab}} =2\sqrt{\frac{1}{ab}} \cdot 2 \geq 4 \)。

2. 根据绝对值的性质，\( |x - 1| + |x - 3| \)表示数轴上\( x \)到1和3两点的距离之和。

当\( x \)在区间[1, 3]之外时，距离之和大于4。

2011年广州市高二数学竞赛试题2011．5．15 考生注意：⒈用钢笔、签字笔或圆珠笔作答，答案写在答卷上； ⒉不准使用计算器；⒊考试用时120分钟，全卷满分150分．一、选择题：本大题共4小题，每小题6分，满分24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知函数()3sin 1f x x x =++()x ∈R ，若()2f a =，则()f a -的值为( )． A ．2- B ．1- C ．0 D ．12．已知数列{}n a 的通项公式2log 1n na n =+()*n ∈N ,设其前n 项和为n S ，则使4n S <-成立的自然数n 有（ ）． A ．最大值15 B ．最小值15 C ．最大值16 D ．最小值163．如图所示的程序框图，若输入5n =，则输出的n 值为（ ）．A ．3B ．1C ．1-D ．3-4．设o o o sin(sin 2011),sin(cos2011),cos(sin 2011)a b c ===，则,,a b c 的大小关系是 ( )． A ．a b c << B ．b a c << C ．c b a << D ．c a b <<二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，满分36分．5．若过定点()1,0M -且斜率为k 的直线与圆05422=-++y x x 在第一象限内的部分有交点，则k 的取值范围是* ．6．在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -内任取一点P ，则点P 到点A 的距离不大于1的概率为 * ．7．在ABC ∆中，M 是BC 的中点，1AM =，点P 在AM 上且满足PM AP 2=，则()PC PB PA +⋅等于 * ．8．在△ABC 中，若tan tan 1A B =，则sin 12C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭* ．9．在R 上定义运算).1(:y x y x -=⊗⊗若不等式1)()(<+⊗-a x a x 对任意实数x 成立，则a 的取值范围是 * ．10．面积为S 的平面凸四边形的第i 条边的边长记为()1,2,3,4i a i =，此四边形内任一点P 到第i 条边的距离记为(1,2,3,4)i h i =，若31241234a a a a k ====，则412()i i Sih k ==∑． 类比以上性质，体积为V 三棱锥的第i 个面的面积记为(1,2,3,4)i S i =，此三棱锥内任一点Q 到第i 个面的距离记为(1,2,3,4)i H i =，若31241234S S S S K ====，则41()i i iH ==∑ * ．三、解答题：本大题共5小题，满分90分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．（本小题满分15分）已知向量()sin ,cos x x =a ，()6sin cos ,7sin 2cos x x x x =+-b ，设函数()2f x =⋅-a b ． （1）求函数()f x 的最大值，并求取得最大值时x 的值；（2）在A 为锐角的ABC ∆中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若()4f A =且ABC ∆的面积为3，2b c +=+求a 的值．12．（本小题满分15分）如图，已知多面体ABCDE 中，AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACDAC ＝AD ＝CD ＝DE ＝2a ，AB ＝a ，F 为CE 的中点． （1）求证BF ⊥平面CDE ； （2）求多面体ABCDE 的体积；（3）求平面BCE 和平面ACD 所成的锐二面角的大小．13．（本小题满分20分）已知椭圆12222=+by a x （0>>b a ）的右焦点为2(3,0)F ，离心率为e ．（1）若2e =（2）设直线y kx =与椭圆相交于A ，B 两点，,M N 分别为线段22,AF BF 的中点． 若坐标原点O 在以MN 为直径的圆上，且2322≤<e ，求k 的取值范围．14．（本小题满分20分）设无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，求所有的无穷等差数列{}n a ，使得对于一切正整数k 都有()33k k S S =成立．15．（本小题满分20分）定义在R 上的函数2()1x bf x ax +=+(,a b ∈R 且0a ≠） 是奇函数，当1x =时，)(x f 取得最大值．（1）求a b 、的值；（2）设曲线)(x f y =在点00(,())x f x 处的切线l 与y 轴的交点为(0,)t ，求实数t 的取值范围．2011年广州市高二数学竞赛试题参考答案与评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：每小题6分，满分24分．1．C 2．D 3．C 4．B二、填空题：每小题6分，满分36分．5．()50， 6．6π 7．49- 8 9．⎪⎭⎫ ⎝⎛-2321， 10．3V K简答与提示：4．因为o o o o 2011536018031=⨯++，所以o o sin(sin31)sin(sin31)0a =-=-<，o o sin(cos31)sin(cos31)0b =-=-<，o o cos(sin31)cos(sin31)0c =-=>，又因为o o 0sin31cos311<<<，所以b a c <<，选（B ）．三、解答题：满分90分．11．解：（1）()()()2sin 6sin cos cos 7sin 2cos 2f x x x x x x x =⋅-=++--a b 226sin 8sin cos 2cos 2x x x x =+--…()1cos 264sin 21cos 22xx x -=+-+ 4sin 24cos 2x x =-24x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．∴当2242x k πππ-=+，即38x k ππ=+（k ∈Z ）时，()f x 有最大值为（2）()4f A = ，244A π⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭．可得：sin 24A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，32,444A πππ⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭，244A ππ∴-=，解得4A π=．1sin 324ABC S bc A ∆===，可得bc =2b c +=+2222cos a b c bc A =+-()222cos b c bc bc A =+--(2222cos104π=+-⨯⨯=，a ∴=12．（1）证明：取CD 的中点G ，连AG ，FG ，则有12FG AB DE ∥∥＝＝．∴AG ∥＝BF ． 又△ACD 为正三形，∴AG ⊥CD ． 又DE ⊥平面ACD ， ∴FG ⊥平面ACD ， ∴FG ⊥AG ．∴AG ⊥平面CDE ． ∴BF ⊥平面CED ． （2）解：ABCDE B ACD B CDE V V V --=+2111332CD AB DE CD BF =⋅+⋅⋅⋅⋅()()()2111222332a a a a =⋅+⋅⋅⋅333=． （3）解：由（1）知12AB DE ∥＝， 延长DA ，EB 交于点P ，连PC ，则可证得A ，B 分别为PD ，PE 的中点， ∴PC ∥BF ∥AG ， ∴PC ⊥平面CDE ．∴∠DCE 为平面BCE 和平面ACD 所成二面角的平面角． 又∠DCE ＝45°，所以平面BCE 和平面ACD 所成的锐二面角为45°．13．解：（1）由题意得3c c a=⎧⎪⎨=⎪⎩a =结合222a b c =+，解得212a =，23b =．所以，椭圆的方程为131222=+y x ． （2）由22221,,x y a b y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩得222222()0b a k x a b +-=．设1122(,),(,)A x y B x y ，所以2212122220,a b x x x x b a k +==-+，进而22221212222k a b y y k x x b a k==-+． 因为点M 、N 的坐标分别为113,22x y M +⎛⎫ ⎪⎝⎭、223,22x y N +⎛⎫⎪⎝⎭， 依题意OM ON ⊥， 所以1OM ON k k ⋅=-，即1212133y yx x ⋅=-++． 即121290y y x x ++=，即222222(1)90a b k a k b +-+=+， 因为22229b a c a =-=-，所以 222222(9)(1)90(9)a a k a k a -+-+=+-． 将其整理为()42224242218818181111818981a a k a a a a a -+==--=---+---． 因为2322≤<e，所以a ≤<21218a ≤<． 所以218k ≥，即,44k ⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎦⎣⎭．14．解：设无穷等差数列{}n a 的公差为d ，则11(1)222k k k d d S ka d k k a -⎡⎤⎛⎫=+=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 所以333122k d d S k k a ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，且()333122k d d S k k a ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 233233211133842222d d d d d d k k a k a k a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯-+⨯-+-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦．因为()33k k S S =对于一切正整数k 都成立，所以32121311,823()0,423()0,22().22d dd d a d d a d d a a ⎧=⎪⎪⎪-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎪⎪-=-⎪⎩①②③④由①，可得0d =或2d =±．当0d =时，由④得10a =，或11a =±，且同时满足②③．当2d =时，由②得112da ==，且同时满足③④． 当2d =-时，由②得112da ==-，且同时满足③④．综上所述，共有5个满足条件的无穷等差数列： ①{}n a ：0,0,0,⋅⋅⋅； ②{}n a ：1,1,1,⋅⋅⋅； ③{}n a ：1,1,1,---⋅⋅⋅； ④{}n a ：1,3,5,⋅⋅⋅； ⑤{}n a ：1,3,5,---⋅⋅⋅．15．解：（1）∵函数)(x f y =是奇函数，∴()()f x f x =--， 即221()1x b x bax a x +-+=-+-+， 化简得2211x b x bax ax +-=++对于任意x ∈R 都成立．∴0b =．∴2()1xf x ax =+．若0a <， 则函数2()1xf x ax =+的定义域不可能是R ， 故0a >．当0x ≤时，()0f x ≤； 当0x >时，()2111x f x ax ax x==≤=++，当且仅当1ax x =即x =时，()f x1=， 即1a =． （2）依题意得2()1xf x x =+……①， 2221'()(1)x f x x -=+……② 又∵曲线2()1xf x x =+在00(,())x f x 处切线方程为 000()'()()y f x f x x x -=-，切线与y 轴交于点(0,)t ，∴000()'()(0)t f x f x x -=-，化简得000'()()t x f x f x =-+，①②代入化简得3002202,(1)x t x x =∈+R ．又∵2223200000222006(1)22(1)2'[(1)]x x x x x t x +-+==+ 令'0t =，解得0x =，列表如下当00x ≥时，302202(1)x tx =+0≥．∴0x 时，函数302202,(1)x t x x =∈+R 取得唯一的极大值，也是最大值．3max22281t ⨯==⎡⎤+⎢⎥⎣⎦．、 当00x ≤时，302202(1)x t x =+0≤ ∴0x =时，函数3002202,(1)x t x x =∈+R 取得唯一的极小值，也是最小值． ((3min22281t ⨯==-⎡⎤+⎢⎥⎣⎦． ∴t 的取值范围是88⎡-⎢⎣⎦．。

图12010年广州市高二数学竞赛试题2010.5.9 考生注意：⒈用钢笔、签字笔或圆珠笔作答，答案写在答卷上； ⒉不准使用计算器；⒊考试用时120分钟，全卷满分150分．一、选择题：本大题共4小题，每小题6分，满分24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 直线10(x ay a +-=∈R )与圆2240x y x +-=的交点个数是( )A. 0B. 1C. 2D.无数个2. 今年春，我国西南部分地区遭受了罕见的旱灾，苍天无情人有情，某中学组织学生在社区开展 募捐活动，第一天只有10人捐款，人均捐款10元，之后通过积极宣传，从第二天起，每天的捐款人数是前一天的2倍，且人均捐款数比前一天多5元．则截止第5天（包括第5天）捐款总数是( ). A ．4800元 B ．8000元 C ．9600元 D ．11200元3. 函数()cos2sin (f x x x x =+∈R )的最大值和最小值分别为 A.7,08 B. 7,28- C. 9,08 D. 9,28- 4. 若点(),a b 是圆()2211x y ++=内的动点,则函数()2f x x ax b =++的一个零点在()1,0-内, 另一个零点在()0,1内的概率为 A.14 B.1π C.12 D.2π二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，满分36分． 5. 已知大于1的实数,x y 满足()lg 2lg lg x y x y +=+, 则lg lg x y +的最小值为 .6. 将一边长为4的正方形纸片按照图1中的虚线所示的方法剪开后拼接为一正四棱锥,则该正四棱锥的体积为 .7. 设a 、b 、c 都是单位向量，且⋅a b ＝0， 则()()+⋅+a b b c 的最大值为 .8. 对于两个正整数,m n ，定义某种运算“”如下，当,m n 都为正偶数或正奇数时，m n m n =+；当,m n 中一个为正偶数，另一个为正奇数时，mn mn =，则在此定义下， 集合lβαBAM(){,10,M p q pq p ==∈N *,q ∈N }*中元素的个数是 .9. 设n S 是数列{}n a 的前n 项和，若1113,2nn n a a a +⎛⎫== ⎪⎝⎭(n ∈N *)，则2010S =____________.10. 在Rt △ABC 中,1AB AC ==,如果椭圆经过,A B 两点,它的一个焦点为C ,另一个焦 点在AB 上,则这个椭圆的离心率为 .三、解答题：本大题共5小题，满分90分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 11．（本小题满分15分）在△ABC 中,,,a b c 分别是内角,,A B C 的对边,已知3272,cos ,42===C A A BA BC . (1) 求cos B 的值； （2）求b 的值.12．（本小题满分15分）如图，已知二面角l --αβ的平面角为45︒, 在半平面α内有一个半圆O , 其直径AB 在l 上, M 是这个半圆O 上任一点(除A 、B 外), 直线AM 、BM 与另一个半平面β所成的角分别为1θ、2θ. 试证明2212cos cos θθ+为定值.13. (本小题满分20分）如图, 矩形ABCD 中, 10AB =, 6BC =, 现以矩形ABCD 的AB 边为x 轴, AB 的中点为原点建立直角坐标系, P 是x 轴上方一点, 使得PC 、PD 与线段AB 分别交于点1C 、1D , 且1111,,AD DC C B 成等比数列. (1) 求动点P 的轨迹方程；(2) 求动点P 到直线:l 60x y ++=距离 的最大值及取得最大值时点P 的坐标．14．（本小题满分20分）设0>a ，函数|1ln |)(2-+=x a x x f . (1)当1=a 时，求曲线)(x f y =在点()()1,1f 处的切线方程；(2)当),1[+∞∈x 时，求函数)(x f 的最小值.15．（本小题满分20分）已知定义在R 上的函数()f x 满足：5(1)2f =，且对于任意实数x y 、， 总有()()()()f x f y f x y f x y =++-成立. （1）求(0)f 的值，并证明()f x 为偶函数； （2）若数列{}n a 满足2(1)()(1,2,3,)n a f n f n n =+-=，求数列{}n a 的通项公式；（3）若对于任意非零实数y ，总有()2f y >.设有理数12,x x 满足12||||x x <，判断1()f x 和2()f x 的大小关系，并证明你的结论.2010年广州市高二数学竞赛试题参考答案与评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：每小题6分，满分24分.1．C 2．B 3．D 4．A二、填空题：每小题6分，满分36分.5. 3lg 26. 37. 18. 13 9. 1005191132⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦10.-三、解答题：满分90分． 11. （本小题满分15分） 解: (1)∵ 32,cos 0,4C A A ==> ∴ 2cos cos 22cos 1C A A ==-23121048⎛⎫=⨯-=> ⎪⎝⎭.∵ 0,0A C <<π<<π,∴ 0,022A C ππ<<<<.∴sin A ==sin C == ∴ ()cos cos B A C =π-+⎡⎤⎣⎦()cos A C =-+()cos cos sin sin A C A C =--=916. (2) ∵ 272BA BC =, ∴ 27cos 2ac B =.∴ 24ac =. ∵ sin sin sin 22sin cos a c c cA C A A A===, ∴22cos 3c a c A ==. 由2,324.a c ac ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 解得4,6.a c =⎧⎨=⎩ ∴ 2222cos b a c ac B =+-229462242516=+-⨯⨯=.∴ 5b =.12. （本小题满分15分）证明：过M 作MH ⊥β，H 为垂足，在α内，作MK AB ⊥，K 为垂足， 连接,,KH AH BH ，则12,MAH MBH ∠=∠=θθ.∵,MH AB ⊥⊂ββ, ∴MH AB ⊥. ∵,MKMH M MK =⊂平面MHK ，MH ⊂平面MHK ，∴AB ⊥平面MHK . ∵HK ⊂平面MHK ， ∴AB HK ⊥.∴MKH ∠是二面角l --αβ的平面角. ∴MKH ∠45︒=.∴2MH MK =. 在Rt AMB ∆中，222,,AM AK AB BM BK AB MK AK BK ===.在Rt MHA ∆和Rt MHB ∆中，12sin ,sin MH MHAM MBθθ==. ∴2212sin sin +θθ2222MH MH AM MB =+2222MK MK AK AB BK AB=+ 22AK BK AK BKAK AB BK AB =+2BK AKAB +=122AB AB ==.∴2212cos cos 2(θθ+=-22123sin sin )2θθ+=13. （本小题满分20分）解：（1）设点P 的坐标为(),x y ()0y >，过P 作//PE CD 交DA 的延长线于E ，交CB 的延长线于F .在DPE ∆中, 1D A DA PE DE=, 得1656D A x y =-+，得()1656x D A y-=+.在PCD ∆中, 111C D PD EACD PD ED ==6y y=+,得11106yC D y=+.11C B.)(56566xy y-++.)0.得223450252250x kx k++-=，①由()222500340090k k=--=∆，解得234k=，由0k<，得k=.故点P到直线l==.把k=代入①式，可解得点P的坐标为3434⎛⎝⎭.14. （本小题满分20分）解:（1）当1=a时，|1ln|)(2-+=xxxf，当x e≤时，21()ln1,()2f x x x f x xx'=-+=-令1=x，得,1)1(,2)1(='=ff所以切点为（1，2），切线的斜率为1，所以曲线)(xfy=在1=x处的切线方程为：01=+-yx.（2）①当ex≥时，axaxxf-+=ln)(2，xaxxf+='2)()(ex≥.>a，0)(>∴xf恒成立. )(xf∴在),[+∞e上为增函数.故当ex=时，2min)(eefy==.②当ex<≤1时，2()lnf x x a x a=-+，)2)(2(22)(axaxxxaxxf-+=-='（ex<≤1）(ⅰ)当,12≤a即20≤<a 时，若),1(e x ∈时，()0f x '>，所以)(x f 在区间),1[e 上为增函数.故当1=x 时，a y +=1min，且此时)()1(e f f <.(ⅱ)当e a <<21，即222e a <<时，若)2,1(a x ∈时，()0f x '<;若)x e ∈时,()0f x '>, 所以)(x f 在区间)2,1[a 上为减函数，在],2(e a上为增函数， 故当2a x =时，2ln 223min aa a y -=，且此时)()2(e f a f <. (ⅲ)当e a≥2；即22e a ≥时，若),1(e x ∈时，()0f x '<,所以)(x f 在区间[1,e ]上为减 函数，故当e x =时，2min )(e e f y ==.综上所述，当22e a ≥时，)(x f 在),[+∞e 和[1,)e 上的最小值都是2e , 所以)(x f 在[)1,+∞上的最小值为2)(e e f =；当222e a <<时，)(x f 在[1,)e 时的最小值为2ln 223)2(a a a a f -=，而)()2(e f a f <， 所以)(x f 在[)1,+∞上的最小值为2ln 223)2(a a a a f -=. 当20≤<a 时，)(x f 在),[+∞e 时最小值为2e ，在[1,)e 时的最小值为a f +=1)1(，而)()1(e f f <, 所以)(x f 在[)1,+∞上的最小值为a f +=1)1(.所以函数)(x f y =的最小值为2min221,02,3ln ,22,222,2.a a a a a y a e e a e +<≤⎧⎪⎪=-<≤⎨⎪>⎪⎩15.（本小题满分20分）解:（1）令1,0x y ==，()()()()1011f f f f ∴⋅=+，又5(1)2f =，()02f ∴=. 令0x =，得 (0)()()()f f y f y f y =+-，即2()()()f y f y f y =+-∴()()f y f y =-对任意的实数y 总成立， ()f x ∴为偶函数. （2）令1x y ==，得 ()()()()1120f f f f =+，∴25(2)24f =+，∴17(2)4f =. ∴11752(2)(1)622a f f =-=-=. 令1,1x n y =+=，得(1)(1)(2)()f n f f n f n +=++，∴5(2)(1)()2f n f n f n +=+-.()()()()()()()152212114122n a f n f n f n f n f n f n f n +⎡⎤∴=+-+=+--+=+-⎢⎥⎣⎦2[2(1)()]2(1).nf n f n a n =+-=…∴{}n a 是以6为首项，以2为公比的等比数列. ∴162n n a -=⨯.（3）结论：12()()f x f x <.证明：∵0y ≠时，()2f y >,∴()()()()2()f x y f x y f x f y f x ++-=>，即()()()()f x y f x f x f x y +->--. ∴令x k y =（k ∈+N ），故k ∀∈+N ，总有[(1)]()()[(f k y f k y f k y f k y +->--成立. 则[(1)]()()[(1)][(1)][(2)]()(0)0f k y f ky f ky f k y f k y f k y f y f +->-->--->>->∴对于k ∈+N ，总有[(1)]()f k y f ky +>成立.∴对于,m n ∈+N ，若n m <，则有()()1()f ny f n y f my <-<<⎡⎤⎣⎦成立.∵12,x x ∈Q ，所以可设121212||,||q qx x p p ==，其中12,q q 是非负整数，12,p p 都是正整数， 则1212121212||,||q p p q x x p p p p ==，令121y p p =，1212,t q p s p q ==，则,t s ∈+N . ∵12||||x x <，∴t s <，∴()()f ty f sy <，即12(||)(||)f x f x <. ∵函数()f x 为偶函数，∴1122(||)(),(||)()f x f x f x f x ==.∴12()()f x f x <.。

广东高二高中数学竞赛测试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.A．B．C．D．2.若A．1B．1或C．D．1或3.在等差数列中,若,则A．14B．15C．16D．174.已知椭圆,若成等差数列,则椭圆的离心率为( )A．B．C．D．5.如图,三棱柱的所有棱长均为2,且点在面上的射影为BC中点O,则异面直线AB与CC所成角的余弦值为( )1A．B．C．D．6.已知函数,则要得到其导函数的图象,只需将函数的图象( )A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位7.已知定义域为的函数,满足;当时,单调递增.如果,对于的值,下列判断正确的是( )A．恒小于0B．恒大于0C．可能为0D．可正可负二、其他如图:向量,点为圆心的圆弧上运动,设,则的最大值为( )A．1B．C．2D．三、填空题1.已知 ;2.不等式的解集为3.把4名大学毕业生分配到A、B、C三个单位实习,每个单位至少一人,已知学生甲只去A 单位,则不同的分配方案有种(用数字作答)4.已知点为抛物线上的一个动点,为圆上的动点,设点到抛物线的准线距离为,则的最小值为5.已知数列,利用如右图所示的程序框图计算的值,则判断框中应填6.下列命题中:①在频率分布直方图中估计平均数,可以用每个小矩形的高乘以底边中点的横坐标之和;②线性相关系数r的的绝对值越接近1,表示两变量的相关性越强③回归直线一定过样本中心;④已知随机变量,则其中正确命题的序号是四、解答题1.、(本小题满分12分)已知函数为偶函数,且其图象两相邻对称轴间的距离为(1)求的解析式;(2)若把图象按向量平移,得到函数的图象,求的单调增区间.2.(本小题满分12分)高二级某次数学测试中,随机从该年级所有学生中抽取了100名同学的数学成绩(满分150分),经统计成绩在的有6人,在的有4人.在,各区间分布情况如右图所示的频率分布直方图,若直方图中,和对应小矩形高度相等,且对应小矩形高度又恰为对应小矩形高度的一半.(1)确定图中的值;(2)设得分在110分以上(含110分)为优秀,则这次测试的优秀率是多少?(3)某班共有学生50人,若以该次统计结果为依据,现随机从该班学生中抽出3人, 则至少抽到一名数学成绩优秀学生的概率是多少?3.(1)、据此说明四棱锥P-ABCD具有的特征及已知条件;(2)、由你给出的特征及条件证明:面PAD⊥面PCD(3)、若PC中点为E,求直线AE与面PCD所成角的余弦值.4.(本小题满分14分)已知为坐标原点,点F、T、M、P分别满足.(1) 当t变化时,求点P的轨迹方程;(2) 若的顶点在点P的轨迹上,且点A的纵坐标,的重心恰好为点F,求直线BC的方程.5.(本小题满分14分)已知函数()(1) 判断函数的单调性;(2) 是否存在实数使得函数在区间上有最小值恰为? 若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.6.(本小题满分14分)下表给出的是由n×n(n≥3,n∈N*)个正数排成的n行n列数表,表示第i行第j列的数,表中第一列的数从上到下依次成等差数列,其公差为d ,表中各行中每一行的数从左到右依次都成等比数列,且所有公比相等,公比为,若已知(1)求的值;(2)求用表示的代数式;=+++……+求使不等式(3)设表中对角线上的数,,,……,组成一列数列,设Tn成立的最小正整数n.广东高二高中数学竞赛测试答案及解析一、选择题1.A．B．C．D．【答案】 D【解析】略2.若A．1B．1或C．D．1或【答案】B【解析】略3.在等差数列中,若,则A．14B．15C．16D．17【答案】C【解析】略4.已知椭圆,若成等差数列,则椭圆的离心率为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】略5.如图,三棱柱的所有棱长均为2,且点在面上的射影为BC中点O,则异面直线AB与CC所成角的余弦值为( )1A．B．C．D．【答案】 D【解析】略6.已知函数,则要得到其导函数的图象,只需将函数的图象( )A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【答案】 C【解析】略7.已知定义域为的函数,满足;当时,单调递增.如果,对于的值,下列判断正确的是( )A．恒小于0B．恒大于0C．可能为0D．可正可负【答案】A【解析】略二、其他如图:向量,点为圆心的圆弧上运动,设,则的最大值为( )A．1B．C．2D．【答案】C【解析】略三、填空题1.已知 ;【答案】【解析】略2.不等式的解集为【答案】（0,2）【解析】略3.把4名大学毕业生分配到A、B、C三个单位实习,每个单位至少一人,已知学生甲只去A 单位,则不同的分配方案有种(用数字作答)【答案】12【解析】略4.已知点为抛物线上的一个动点,为圆上的动点,设点到抛物线的准线距离为,则的最小值为【答案】【解析】略5.已知数列,利用如右图所示的程序框图计算的值,则判断框中应填【答案】【解析】略6.下列命题中:①在频率分布直方图中估计平均数,可以用每个小矩形的高乘以底边中点的横坐标之和;②线性相关系数r的的绝对值越接近1,表示两变量的相关性越强③回归直线一定过样本中心;④已知随机变量,则其中正确命题的序号是【答案】②③④【解析】略四、解答题1.、(本小题满分12分)已知函数为偶函数,且其图象两相邻对称轴间的距离为(1)求的解析式;(2)若把图象按向量平移,得到函数的图象,求的单调增区间.【答案】 y=2cos2x，的单调递增区间为【解析】∴又…………………………………………………7分(或由恒成立) ∴…………………………………………8分(2)由(1)得…………………………………10分令得的单调递增区间为…………………………………12分2.(本小题满分12分)高二级某次数学测试中,随机从该年级所有学生中抽取了100名同学的数学成绩(满分150分),经统计成绩在的有6人,在的有4人.在,各区间分布情况如右图所示的频率分布直方图,若直方图中,和对应小矩形高度相等,且对应小矩形高度又恰为对应小矩形高度的一半.(1)确定图中的值;(2)设得分在110分以上(含110分)为优秀,则这次测试的优秀率是多少?(3)某班共有学生50人,若以该次统计结果为依据,现随机从该班学生中抽出3人, 则至少抽到一名数学成绩优秀学生的概率是多少?【答案】0.024，，0.4，【解析】(1)由题意知,成绩分布在间的频率为0.9,3.(1)、据此说明四棱锥P-ABCD具有的特征及已知条件;(2)、由你给出的特征及条件证明:面PAD⊥面PCD(3)、若PC中点为E,求直线AE与面PCD所成角的余弦值.【答案】①ABCD为直角梯形,其中AB∥CD,AD⊥AB,(AB⊥CD)②PA⊥面ABCD,③PA="AD=CD=2, " AB="1 "【解析】(1)由图可知四棱锥P-ABCD中有①ABCD为直角梯形,其中AB∥CD,AD⊥AB,(AB⊥CD)②PA⊥面ABCD,③PA="AD=CD=2, " AB="1 " ………………………5分⑵由(1)知PA⊥面ABCD ∴PA⊥CD又在直角梯形ABCD中,AD⊥CD而PA,AD面PAD中, ∴CD⊥面PADCD面PCD∴面PAD⊥面PCD ……………………9分⑶取PD中点F,连结EF;则EF在,PA=AD,PA AD∴AF⊥PD且又由(2)知面PAD⊥面PCD∴AF⊥面PCD∴∠AEF为AE与面PCD所成的角…………………………………12分在△AEF中, ∠AFE=900,,EF=1∴即AE与面PCD所成角的余弦值为…………………………………14分(3)由E为PC中点∴E由(2)知面PCD的一个法向量为设AE与面PCD所成角为即AE与面PCD所成角的余弦值为4.(本小题满分14分)已知为坐标原点,点F、T、M、P分别满足.(1) 当t变化时,求点P的轨迹方程;(2) 若的顶点在点P的轨迹上,且点A的纵坐标,的重心恰好为点F, 求直线BC的方程.【答案】，2x+2y+5=0【解析】18、解:(1)设又由…………………………2分由①②消去t得点P的轨迹方程为:……………………………7分5.(本小题满分14分)已知函数()(1) 判断函数的单调性;(2) 是否存在实数使得函数在区间上有最小值恰为? 若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.【答案】见详解答案【解析】当,在上为增函数,此时, …………9分当,在上为减函数,在上为增函数;此时, …………11分当,在上为减函数,此时, ……13分综上,存在满足题意. …………………14分6.(本小题满分14分)下表给出的是由n×n(n≥3,n∈N*)个正数排成的n行n列数表,表示第i行第j列的数,表中第一列的数从上到下依次成等差数列,其公差为d ,表中各行中每一行的数从左到右依次都成等比数列,且所有公比相等,公比为,若已知(1)求的值;(2)求用表示的代数式;=+++……+求使不等式(3)设表中对角线上的数,,,……,组成一列数列,设Tn成立的最小正整数n.【答案】，，4【解析】20、解:⑴由题意有:又由…………………………………4分⑶由(2)知故使原不等式成立的最小正整数为4. …………………………………14分。

2009年全国高中数学联合竞赛一试一、填空题：本大题共8个小题，每小题7分，共56分。

2009*1、函数21)(x x x f +=，且fn n x f f f f x f个)]]([[)()(=，则=)1()99(f◆答案：101★解析：由题意得2)1(1)()(xxx f x f+==，2)2(21)]([)(xx x f f x f+==，······2)99(991)(x x x f +=.故 101)1()99(=f .2009*2、已知直线09:=-+y x L 和圆018822:22=---+y x y x M ，点A 在直线L 上，点C B ,为圆M 上两点，在ABC ∆中，045=∠BAC ，直线AB 过圆心M ，则点A 横坐标的取值范围为 ◆答案：[]6,3★解析：设A （a ，9-a ），则圆心M 到直线AC 的距离d =AM sin ︒45，由直线AC 与圆M 相交，得 234≤d .解得 63≤≤a .2009*3、在坐标平面上有两个区域M 和N ，M 为⎪⎩⎪⎨⎧-≤≤≥x y x y y 20，N 是随t 变化的区域，它由不等式1+≤≤t x t 所确定，t 的取值范围是10≤≤t ，则M 和N 的公共面积是函数=)(t f◆答案：212++-t t ★解析：由题意知阴影部分面积s t f =)( =BEF OCD AOB S S S ∆∆∆--=212++-t t2009*4、若不等式3120071212111<++++++n n n 对一切正整数n 都成立，则最小正整数a 的值为 ◆答案：2009 ★解析：设121...2111)(++++++=n n n n f .显然)(n f 单调递减.则由)(n f 的最大值312007)1(-<a f ，可得2009=a .2009*5、椭圆12222=+by a x （0>>b a ）上任意两点Q P ,，若OQ OP ⊥，则OQ OP ⋅的最小值为◆答案：.22222ba b a + ★解析：设)sin ,cos (θθOP OP P ，)).2sin(),2cos((πθπθ±±OQ OQ Q由Q P 、在椭圆上，有22222sin cos 1b a OP θθ+=（1）， 22222cos sin 1b a OQθθ+=（2） （1）+（2）得.11112222b a OQOP+=+于是当 22222ba b a OQ OP +==时，OQ OP 达到最小值.22222b a b a +2009*6、若关于x 的方程)1lg(2lg +=x kx 仅有一个实根，则实数k 的取值范围为 ◆答案：0<k 或4=k★解析：由题意，方程等价于⎪⎩⎪⎨⎧+=>+>2)1(010x kx x kx ，当且仅当 0>kx （1）；01>+x （2）；01)2(2=+-+x k x （3） 对（3）由求根公式得]42[21,221k k k x x -±-= （4）又0042≤⇒≥-=∆k k k 或4≥k)(i 当0<k 时，由（3）得⎩⎨⎧>=<-=+01022121x x k x x ，所以21x x 同为负根。

广东高二高中数学竞赛测试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知集合,则（）A．B．C．D．2.已知＝b－i, (a，b∈R)，其中i为虚数单位，则a＋b＝（）A.－1 B．1 C．2 D．33.已知a、b是实数，则“a>1，b>2”是“a+b>3且ab>2”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分且必要条件D．既不充分也不必要条4.函数是（）A．周期为的奇函数B．周期为的奇函数C．周期为的偶函数D．非奇非偶函数5.已知平面向量, , 且, 则m=( )A． 4B．-1C． 2D． -46.某几何体的三视图及尺寸如图示，则该几何体的表面积为A. B. C. D.7.已知向量，且，若变量x,y满足约束条，则z的最大值为A．1B．2C．3D．48.等差数列中，，且成等比数列，则A．B．C．D．9.以轴为对称轴，以坐标原点为顶点，准线的抛物线的方程是A．B．C．D．10.起点到终点的最短距离为A．16B．17C．18D．19二、填空题1.的定义域--__________2.校高中部有三个年级，其中高三有学生人，现采用分层抽样法抽取一个容量为的样本，已知在高一年级抽取了人，高二年级抽取了人，则高中部共有学生__ _人.3.在中，,且,则的面积是_____4.（几何证明选讲选做题）如图，已知的两条直角边,的长分别为，，以为直径的圆与交于点，则＝.5.（坐标系与参数方程选做题）直线截曲线（为参数）的弦长为_ _三、解答题1.（本小题共12分）已知函数（1）求的最小正周期；（2）若,, 求的值2.（本题满分14分）有甲乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的列联表.已知在全部105人中抽到随机抽取1人为优秀的概率为(1)请完成上面的列联表；(2)根据列联表的数据，若按的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系” .(3)若按下面的方法从甲班优秀的学生抽取一人：把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号.试求抽到6或10号的概率.3.（本题12分）如图所示,在直四棱柱中, ,点是棱上一点.（1）求证：面；（2）求证：；4.（本题满分14分）为赢得2010年广州亚运会的商机，某商家最近进行了新科技产品的市场分析，调查显示，新产品每件成本9万元，售价为30万元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值（单位：万元，）的平方成正比，已知商品单价降低2万元时，一星期多卖出24件．（1）将一个星期的商品销售利润表示成的函数；（2）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？5.（本小题满分14分）已知椭圆的左焦点为F，左右顶点分别为A,C上顶点为B，过F,B,C三点作，其中圆心P的坐标为．(1) 若FC是的直径，求椭圆的离心率；（2）若的圆心在直线上，求椭圆的方程．6.（本小题满分14分）设不等式组所表示的平面区域为，记内的格点（格点即横坐标和纵坐标均为整数的点）个数为（1）求的值及的表达式；（2）记，试比较的大小；若对于一切的正整数，总有成立，求实数的取值范围；（3）设为数列的前项的和，其中，问是否存在正整数，使成立？若存在，求出正整数；若不存在，说明理由.广东高二高中数学竞赛测试答案及解析一、选择题1.已知集合,则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】.2.已知＝b－i, (a，b∈R)，其中i为虚数单位，则a＋b＝（）A.－1 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】,所以b=2,a=1,a+b=3.3.已知a、b是实数，则“a>1，b>2”是“a+b>3且ab>2”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分且必要条件D．既不充分也不必要条【答案】A【解析】若a>1,b>2,则a+b>3且ab>2.反之不成立.所以“a>1，b>2”是“a+b>3且ab>2”的充分而不必要条件.4.函数是（）A．周期为的奇函数B．周期为的奇函数C．周期为的偶函数D．非奇非偶函数【答案】C【解析】,所以f(x)是周期为的偶函数.5.已知平面向量, , 且, 则m=( )A． 4B．-1C． 2D． -4【答案】D【解析】因为,所以.6.某几何体的三视图及尺寸如图示，则该几何体的表面积为A. B. C. D.【答案】B【解析】.7.已知向量，且，若变量x,y满足约束条，则z的最大值为A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】因为,所以,当直线经过直线和直线的交点A（1,1）时，z取得最大值，最大值为3.8.等差数列中，，且成等比数列，则A．B．C．D．【答案】B【解析】因为成等比数列,所以.9.以轴为对称轴，以坐标原点为顶点，准线的抛物线的方程是A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意可知抛物线的开口方向向左，并且p=2,所以应选A.10.起点到终点的最短距离为A．16B．17C．18D．19【答案】B【解析】最短距离应为,长度为4+2+4+7=17.二、填空题1.的定义域--__________【答案】【解析】由,所以定义域为.2.校高中部有三个年级，其中高三有学生人，现采用分层抽样法抽取一个容量为的样本，已知在高一年级抽取了人，高二年级抽取了人，则高中部共有学生__ _人.【答案】3700【解析】由题意知高三抽取了185-75-60=50.所以高中部共有学生.3.在中，,且,则的面积是_____【答案】6【解析】因为,所以,又因为，所以.4.（几何证明选讲选做题）如图，已知的两条直角边,的长分别为，，以为直径的圆与交于点，则＝.【答案】【解析】因为AC=3,BC=4,所以AB=5，设BD=x,因为BC为圆O的切线，根据切割线定理可知.5.（坐标系与参数方程选做题）直线截曲线（为参数）的弦长为_ _【答案】【解析】曲线消参后得到普通方程为,由圆心（0，1）到直线3x+4y-7=0的距离,所以弦长.三、解答题1.（本小题共12分）已知函数（1）求的最小正周期；（2）若,, 求的值【答案】（Ⅰ）函数的最小正周期为. （Ⅱ）。

广州市数学竞赛高二试题广州市数学竞赛高二试题涵盖了高中数学的多个领域，包括但不限于代数、几何、概率统计和微积分。

以下是一套模拟试题，供参赛者练习。

一、选择题（每题3分，共15分）1. 若\( a \)和\( b \)是方程\( x^2 + 4x + 5 = 0 \)的根，那么\( a^2 + 4a \)的值等于：A. -5B. 5C. 0D. 不确定2. 在直角坐标系中，点\( P(x, y) \)关于直线\( y = x \)的对称点的坐标是：A. \( (y, x) \)B. \( (-x, -y) \)C. \( (-y, -x) \)D. \( (x, -y) \)3. 若函数\( f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 5x - 7 \)的导数是\( f'(x) \)，那么\( f'(1) \)的值等于：A. 3B. 2C. -3D. -24. 已知正方体的体积为8，那么其表面积为：A. 16B. 24C. 32D. 645. 抛物线\( y^2 = 4x \)的焦点坐标是：A. \( (1, 0) \)B. \( (0, 1) \)C. \( (2, 0) \)D. \( (0, 2) \)二、填空题（每题4分，共20分）6. 若\( \sin \theta = \frac{3}{5} \)，且\( \theta \)为锐角，则\( \cos \theta \)的值为______。

7. 一个等差数列的首项为2，公差为3，第10项的值为______。

8. 已知函数\( y = \ln(x) \)的定义域为______。

9. 若\( a \)，\( b \)，\( c \)为实数，且\( a^2 + b^2 + c^2 =1 \)，则\( ab + bc + ca \)的最大值为______。

10. 一个圆的半径为5，圆心到直线\( x - y + 5 = 0 \)的距离为4，则直线与圆的位置关系是______。

2009年广州市高二数学竞赛试题2009.5.10 考生注意：⒈用钢笔、签字笔或圆珠笔作答，答案写在答卷上；⒉不准使用计算器；⒊考试用时120分钟，全卷满分150分．一、选择题：本大题共4小题，每小题6分，满分24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数满足＝3，则复数的实部与虚部之和为A ．B ．C ．D ．2．已知，且，则的值为A．2 B．1 C ．D ．3．已知定义在上的函数为奇函数，且函数的周期为5，若，则的值为A．5 B．1 C．0 D ．4．已知表示不超过的最大整数，则的值为A．18054 B．18044 C．17954 D．17944二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，满分36分．5．关于的不等式的解集是．6．在区间上随机任取两个数，则满足的概率等于．7．设，则的值为．8．计算机执行以下程序：①初始值，；②；③；④若，则进行⑤，否则从②继续执行；⑤打印；⑥结束．那么由语句⑤打印出的数值为．9．在中，已知，，若最长边的长为，则最短边的长为．10．已知定点，点的坐标满足当（为坐标原点）的最小值是时，实数的值是．三、解答题：本大题共5小题，满分90分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．11．（本小题满分15分）已知向量，其中．（1）试判断向量与能否平行，并说明理由？（2）求函数的最小值．如图1所示的等边△ABC 的边长为2a ，CD 是AB 边上的高，E 、F 分别是AC 、BC 边的中点．现将△ABC 沿CD 折叠成如图2所示的直二面角A —DC —B ． （1）试判断折叠后直线AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由； （2）求四面体A -DBC 的外接球体积与四棱锥D -ABFE 的体积之比．13．（本小题满分20分）已知直线与椭圆相交于A 、B 两点，且（其中O 为坐标原点）． （1）若椭圆的离心率为，求椭圆的方程；（2）求证：不论如何变化，椭圆恒过第一象限内的一个定点P ，并求点P 的坐标．AB CDEF 图1 图2 ABCDEF定义一种新运算，满足（为非零常数）．（1）对于任意给定的，设，证明：数列是等差数列；（2）对于任意给定的，设，证明：数列是等比数列；（3）设，试求数列的前项和．15．（本小题满分20分）定义函数．（1）令函数的图象为曲线，求与直线垂直的曲线的切线方程；（2）令函数的图象为曲线，若存在实数b使得曲线在处有斜率为的切线，求实数a的取值范围；（3）当，且时，证明．2009年广州市高二数学竞赛试题参考答案与评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：每小题6分，满分24分。

2011年广东省广州市高二数学竞赛试卷一、选择题：1．（2008•福建）函数f（x）=x3+sinx+1（x∈R），若f（a）=2，则f（﹣a）的值为（）A．3 B．0 C．﹣1 D．﹣22．已知数列{a n}的通项公式，设其前n项和为S n，则使S n＜﹣4成立的自然数n有（）A．最大值15 B．最小值15 C．最大值16 D．最小值163．（2011•广州）如图所示的程序框图，若输入n=5，则输出的n值为（）A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣34．（2011•广州）设a=sin（sin2011°），b=sin（cos2011°），c=cos（sin2011°），则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b二、填空题：5．（2011•广州）若过定点M（﹣1，0）且斜率为k的直线与圆x2+4x+y2﹣5=0在第一象限内的部分有交点，则k 的取值范围是_________．6．（2011•广州）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1内任取一点P，则点P到点A的距离不大于1的概率为_________．7．在△ABC中，M是BC的中点，AM=1，点P在AM上且满足=2，则•（+）=_________．8．在△ABC中，若tanAtanB=1，则=_________．9．在R上定义运算△：x△y=x（1﹣y）若不等式（x﹣a）△（x+a）＜1，对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是_________．10．设面积为S的平面四边形的第i条边的边长为a i（i=1，2，3，4），P是该四边形内一点，点P到第i条边的距离记为，类比上述结论，体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为S i（i=1，2，3，4），Q是该三棱锥内的一点，点Q到第i个面的距离记为d i，若等于_________．三、解答题：11．（2011•广州）已知向量=（sinx，cosx），=（6sinx+cosx，7sinx﹣2cosx），设函数f（x）=•﹣2．（1）求函数f（x）的最大值，并求取得最大值时x的值；（2）在A为锐角的△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，若f（A）=4且△ABC的面积为3，，求a的值．12．已知多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2a，AB=a，F为CD的中点．（Ⅰ）求证：AF⊥平面CDE；（Ⅱ）求异面直线AC，BE所成角余弦值；（Ⅲ）求面ACD和面BCE所成二面角的大小．13．已知椭圆（a＞b＞0）的右焦点为F2（3，0），离心率为e．（Ⅰ）若，求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线y=kx与椭圆相交于A，B两点，M，N分别为线段AF2，BF2的中点．若坐标原点O在以MN为直径的圆上，且，求k的取值范围．14．（2011•广州）设无穷等差数列{a n}的前n项和为S n，求所有的无穷等差数列{a n}，使得对于一切正整数k都有成立．15．（2011•广州）定义在R上的函数（a，b∈R且a≠0）是奇函数，当x=1时，f（x）取得最大值．（1）求a、b的值；（2）设曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线l与y轴的交点为（0，t），求实数t的取值范围．2011年广东省广州市高二数学竞赛试卷参考答案与试题解析一、选择题：1．（2008•福建）函数f（x）=x3+sinx+1（x∈R），若f（a）=2，则f（﹣a）的值为（）A．3 B．0 C．﹣1 D．﹣2考点：函数奇偶性的性质。