小学数学奥林匹克ABC试卷 14抽屉原则

七、抽屉原则抽屉原则，又叫狄利克雷原则，它是一个重要而又基本的数学原理，应用它可以解决很多有趣的问题，并且常常能够起到令人惊奇的作用，许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问题，在利用抽屉原则后，能很快使问题得到解决.那么，什么是抽屉原则呢？我们通过一个简单的例子来认识它。

一个小朋友养了三只小鸟，他有两只鸟笼子.要将三只小鸟放到笼子里，会有什么情况出现呢？我们不难发现，要么一只笼子里放进两只小鸟，而另一只笼子里放进一只小鸟；要么一只笼子里放进三只小鸟，而另一只笼子空着.上述两种情况我们可以用一句话加以概括：一定有一只笼子放进了两只或两只以上的小鸟.虽然具体哪一只笼子里放进了至少两只小鸟我们无法确定，但这是无关紧要的，重要的是有这样一只笼子里放进了两只或两只以上的小鸟。

如果将上述问题中的小鸟换成苹果，书本或数，同时将笼子换成抽屉、学生或数的集合仍然可以得到相同的结论.由此可以看出，上面的推理的正确性与具体的事物是没有关系的.如果我们把一切可以与小鸟互换的事物称为元素，而把一切可以与鸟笼互换的事物叫做集合（或抽屉），那么上面的结论就可以叙述为：三个元素以任意方式分到两个集合（抽屉）中，一定有一个集合（抽屉）中至少有两个元素。

同样，小鸟与鸟笼的具体数目也是无关紧要的，只要小鸟的数量比笼子的数量多，推理依然成立。

通过上面的分析，我们可以将上述问题中包含的基本原理写成下面的一般形式。

抽屉原理一把多于n个的元素，按任一确定的方式分成n个集合，那么一定至少有一个集合中，含有至少两个元素.将原理一作更一般的推广可以得到：抽屉原理二把多于m×n个元素放入n个抽屉中，那么，一定有一个抽屉里有m+1个或者m+1个以上的元素。

应用抽屉原理来解题，首先要审题，即要分清什么作为“元素”，什么做为“抽屉”；其次要根据题目的条件和结论，结合有关的数学知识，恰当地设计抽屉.这是应用抽屉原理解题的关键。

例1 求证1997年1月出生的任意32个孩子中，至少有两个人是同一天出生的。

小学奥数之抽屉原理在小学奥数中，抽屉原理是一个非常重要的概念。

它是数学中的一种思维方法，能够帮助我们解决一些看似很难的问题。

抽屉原理也被称为鸽巢原理，它的具体含义是：如果有n+1个物体放进n个抽屉，那么必定有一个抽屉里会放至少两个物体。

抽屉原理常常在解决一些排列组合和概率问题中应用。

下面我们一起来了解一下抽屉原理在小学奥数中的具体应用吧。

首先，我们来看一个经典的例子。

假设有10个苹果放在9个抽屉里，那么根据抽屉原理，必定有一个抽屉里会放至少两个苹果。

为什么会这样呢？我们可以这样来理解，假设每个抽屉最多只放一个苹果，那么最多只能放9个苹果，而实际上有10个苹果，所以必定会有一个抽屉里放至少两个苹果。

接下来，我们来看一个稍微复杂一些的例子。

假设有5个红球和4个蓝球，需要将它们放进4个抽屉里。

根据抽屉原理，必定有一个抽屉里会放至少两个球。

为什么会这样呢？我们可以这样来理解，在最坏的情况下，每个抽屉最多只能放一个球，那么最多只能放4个球，而实际上有9个球，所以必定会有一个抽屉里放至少两个球。

抽屉原理的应用并不仅限于上面两个例子，它在解决一些看似很难的问题时往往能起到关键的作用。

比如，我们可以用抽屉原理解决下面的问题：假设有9个整数，它们的和是10，那么必定存在至少一对数的和是2、我们可以将这个问题转化成将9个整数放进8个抽屉的问题，根据抽屉原理，必定会有一个抽屉里放至少两个整数，它们的和就是2除了上述的应用外，抽屉原理还可以帮助我们解决一些类似的问题。

比如，假设有12个整数，它们的和是31，那么必定存在至少一对数的和是7、我们可以将这个问题转化成将12个整数放进11个抽屉的问题，根据抽屉原理，必定会有一个抽屉里放至少两个整数，它们的和就是7从以上的例子可以看出，抽屉原理在解决一些看似很难的问题时可以起到非常关键的作用。

通过运用抽屉原理，我们能够将一个复杂的问题简化为一个更简单的问题，从而更好地解决问题。

抽屉原理（一）第六讲知识点回顾一，抽屉原理Ⅰ：把一些苹果随意放入若干个抽屉，如果苹果个数多于抽屉个数，那么一定能找到一个抽屉，里面至少有2个苹果二，抽屉原理Ⅱ：把m个苹果放入n个抽屉（m大于n），结果有两种可能：（1）如果m÷n没有余数，那么就一定有抽屉至少放了“m÷n”个苹果；（2）如果m÷n有余数，那么就一定有抽屉至少放了“m÷n的商再加1”个苹果知识点回顾三、在抽屉原理问题中常常会用到“最不利原则”的思想。

四、需要自己构造抽屉的问题。

【1】红领巾小学今年入学的一年级新生中有370人是在同一年出生的. 试说明：他们中一定有两个人是在同一天出生的.【2】某公司决定派95名员工去8个不同的城市进行市场调查，是不是一定有12个人会去同一城市？“一定有13个人去同一城市”这个说法正确吗？【3】任意40个人中，至少有几个人属于同一生肖？【4】一个盒子内有四个格子，现在我们闭着眼睛，把棋子往格子里“瞎放”（没有放到格子外的），那么至少要放多少枚棋子，才能保证一定有两枚棋子放在同一格内？【5】一个鱼缸里有很多条鱼，共有5个品种，至少要捞出多少条鱼，才能保证其中有5条相同品种的鱼？【6】小高把一副围棋子混装在一个盒子中，然后每次从盒子中摸出4枚棋子，那么他至少要摸几次，才能保证其中有三次摸出棋子的颜色情况是相同的？（围棋子有黑、白两种颜色）【7】在一个盒子里装着形状相同的3种口味的果冻，分别是苹果口味的、草莓口味的和牛奶口味的，每种果冻都有20个，现在闭着眼睛从盒子里拿果冻. 请问：（1）至少要从中拿出多少个，才能保证拿出的果冻中有牛奶口味的？（2）至少要从中拿出多少个，才能保证拿出的果冻中至少有两种口味？【8】一个布袋里有大小相同颜色不同的一些木球，其中红色的有10个，黄色的有8个，蓝色的有3个，绿色的有1个，请问：（1）一次至少要取出多少个球，才能保证取出的球至少有三种颜色？（2）一次至少要取出多少个球，才能保证其中必有红球和黄球？【9】一副扑克牌共54张，其中有2张王牌，还有黑桃、红心、草花和方块4种花色的牌各13张，现在要从中随意取出一些牌，如果要保证在取出来的牌中至少包含三种花色，并且这三种花色的牌至少都有3张，那么最少要取出多少张牌？【10】黑色、白色、黄色、红色的筷子各有8根，混杂放在一起，在黑暗中取出一些筷子. 要使得这些筷子能够搭配出两双筷子（两根筷子颜色相同即为一双），那么最少要取多少根才能保证达到要求？【11】将1只白袜子、2只黑袜子、3只红袜子、8只黄袜子和9只绿袜子放入一个布袋里，请问：（1）一次至少要摸出多少只袜子才能保证一定有颜色相同的两双袜子？（2）一次至少要摸出多少只袜子才能保证一定有颜色不同的两双袜子？（两只袜子颜色相同即为一双）【12】把40块巧克力放入A、B、C、D四个盒子内，如图8-1，A盒中放的最多，放了13块，且四个盒子内装的巧克力的数量依次减少，那么：（1）D盒最少可以装几块？（2）D盒最多可以装几块？【13】31个同学围成一个圆圈，坐好后发现任何两个男生之间至少有两个女生，那么男生最多有多少人？【14】现有10 把钥匙分别能开10把锁，但是不知道哪把钥匙能开哪把锁. 最少要试验多少次才能保证使全部的钥匙和锁相匹配？下节课见！。

第十四讲抽屉原则（一）一、什么是抽屉原则我们先看下面一副妙趣横生的漫画。

这幅画出于一位数学家之手，它曾刊登在一种著名数学杂志的封面上，画里表示三只鸽子要进两个鸽巢。

想一想，可能会产生什么样的结果呢？要么两只鸽子进了一个巢，而另外一只鸽子进了另一个巢；要么三只鸽子都进了一个巢。

这两种情况可用一句话表示：一定有一个巢里有两只或两只以上的鸽子。

虽然哪个巢里至少有两只鸽子我们无法断定，但这是无关紧要的，重要的是有这样一个巢，其中进来了两只或两只以上的鸽子。

如果我们把上面问题中的数字作一下改变，例如不是三只鸽子进两个巢，而是十只鸽子进九个巢，那么结果怎样呢？我们不难理解，这十只鸽子不管以怎样的方式进巢（假定每一个巢都相当大，可以容纳全部鸽子），仍然是一定有一个巢里至少有两只鸽子。

上面推理的正确性是显而易见的，就连小学生也是完全能够接受的。

怎样把这一问题推广到更一般的形式，从而得出某种基本原理来呢？我们先看以下两点：（1）如果将鸽子换成苹果、糖果、书本或数，同时将鸽巢相应地换成抽屉、小孩、学生或数的集合，仍然可以得到相同的结论。

这就是说，上面推理的正确性与具体事物没有关系。

如果我们把一切可以与鸽子互换的事物叫作元素，而把一切与鸽巢互换的事物叫作集合，那么上述结论就可以这样叙述：十个元素以任意的方式分到九个集合之中，一定有一个集合中至少有两个元素。

（2）鸽子与鸽巢的数目也是无关紧要的，只要鸽子数比鸽巢数多，推理照样成立。

通过这两点分析，我们可以把上面问题中所包含的基本原理写成下面的一般形式：原则1 如果把多于 n 个的元素按任一确定的方式分成 n 个集合，那么一定有一个集合中至少含有两个元素。

也许是由于上面那幅漫画的缘故，有人把这一原则称作鸽巢原则。

又有人把鸽子进入鸽巢比作苹果放进抽屉里，所以通常也称作抽屉原则。

以下我们采用抽屉原则这一称呼。

初看起来，有人会觉得这一原则太简单了，简直平淡无奇。

然而正是这样一些平凡朴素的原则，在初等数学乃至高等数学中，有着许多应用。

小学五年级奥数题答案:抽屉原理
平面上有A、B、C、D、E、F六个点，其中没有三点共线，每两点之间任意选用红线或蓝线连接，求证：不管怎样连接，至少存在一个三边同色的三角形。

答案与解析：
连彩线的方式很多，如果一一画图验证结论，显然是不可取的.这个问题如果利用抽屉原理去解决，就不是难事了。

我们用虚线表示红色，用实线表示蓝色.从任意一点比如点A出发，要向B.C、D、E、F连5条线段.因为只有两种颜色，所以根据抽屉原理，至少有3条线段同色.不妨设AB、AD、AE三线同红色(如右图).如果B、D、E这三点之间所连的三条线段中有一条是红色的，则出现一个三边为红色的三角形.如果这三点之间所连线段都不是红色，那么就都是蓝色的.这样，三角形BDE就是一个蓝色的三角形.因此，不管如何连彩线，总可以找到一个三边同色的三角形。

小学五年级奥数题答案:抽屉原理.到电脑，方便收藏和打印：。

2024最新小学奥数抽屉原理小学生奥数中的抽屉原理是指一种将物品分配到有限的空间中的方法。

这个原理是由数学家所提出的，因为它的应用广泛，并且在解决问题中非常有用。

抽屉原理简单来说就是：如果你有独立的n个抽屉，并且有n+1个物品要放入这些抽屉中，那么必然存在一个抽屉里至少放了两个物品。

这个原理的证明也很简单。

假设每个抽屉里最多只能放一个物品，那么最多只能放n个物品，因为有n个抽屉。

但是题目中说有n+1个物品要放入这些抽屉，所以最少会有一个抽屉里放了两个物品。

抽屉原理的应用非常广泛，包括组合数学、概率论等领域。

在小学奥数中，它通常用于解决物品分配、排列组合等问题。

以下是一些抽屉原理在小学奥数中的具体应用举例：1.分配问题：假设有10个苹果要分给5个人吃，那么必然有至少一个人吃到的苹果数量大于等于2个。

这是因为10个苹果无法平均分给5个人，所以必然有人会多吃一些。

2.字母出现次数问题：假设一个字符串中有11个字母，那么至少有两个字母出现的次数相同。

这是因为只有26个字母，无论如何排列，最多只能给每个字母分配到一个位置，所以肯定有至少两个字母分配到了同一个位置。

3.图形排列问题：假设有10个正方形图案要排列在5个位置上，那么必然有至少一个位置上排列了两个图案。

这是因为10个图案无法完全填满5个位置，所以必然会有至少一个位置上放置了两个图案。

总结起来，抽屉原理告诉我们，在一些有限的情况下，物品的分配不可能完全均匀，必然会有一些位置或者人会多分配到一些物品。

这个原理在解决问题时可以帮助我们快速找到可能的解答，避免不必要的计算和尝试。

所以，在小学奥数中，掌握抽屉原理可以帮助学生更好地理解和解决各种问题，提高问题解决能力和思维逻辑能力。

希望以上内容对您有所帮助。

六年级奥数：抽屉原理（附答案详解）一、填空题1.一个联欢会有100人参加,每个人在这个会上至少有一个朋友.那么这100人中至少有个人的朋友数目相同.2.在明年(即1999年)出生的1000个孩子中,请你预测：(1)同在某月某日生的孩子至少有个.(2)至少有个孩子将来不单独过生日.3.一个口袋里有四种不同颜色的小球.每次摸出2个,要保证有10次所摸的结果是一样的,至少要摸次.4.有红、黄、蓝三种颜色的小珠子各4颗混放在口袋里,为了保证一次能取到2颗颜色相同的珠子,一次至少要取颗.如果要保证一次取到两种不同颜色的珠子各2颗,那么一定至少要取出颗.5.从1,2,3…,12这十二个数字中,任意取出7个数,其中两个数之差是6的至少有对.6.某省有4千万人口,每个人的头发根数不超过15万根,那么该省中至少有人的头发根数一样多.7.在一行九个方格的图中,把每个小方格涂上黑、白两种颜色中的一种,那么涂色相同的小方格至少有个.8.一付扑克牌共有54张(包括大王、小王),至少从中取张牌,才能保证其中必有3种花色.9.五个同学在一起练习投蓝,共投进了41个球,那么至少有一个人投进了个球.10.某班有37名小学生,他们都订阅了《小朋友》、《儿童时代》、《少年报》中的一种或几种,那么其中至少有名学生订的报刊种类完全相同.二、解答题11.任给7个不同的整数,求证其中必有两个整数,它们的和或差是10的倍数.12.在边长为1的正方形内任取51个点,求证：一定可以从中找出3点,以它们为顶点的三角形的面积不大于1/50.13.某幼儿园有50个小朋友,现在拿出420本连环画分给他们,试证明：至少有4个小朋友分到连环画一样多(每个小朋友都要分到连环画).14.能否在88的棋盘上的每一个空格中分别填入数字1,或2,或3,要使每行、每列及两条对角线上的各个数字之和互不相同?请说明理由.1.2因为每个人至少有1个朋友,至多有99个朋友,将有1个朋友的人,2个朋友的人,…,99个朋友的人分成99类，在100个人中,总有两个人属于同一类,他们的朋友个数相同.2.(1)3；(2)636因为1999年有365天,故在1999年出生的孩子至少有(个)孩子的生日相同；又因为1000-(365-1)=363,即至少有363个孩子将来不单独过生日.3.91当摸出的2个球颜色相同时,可以有4种不同的结果；当摸出的2个球颜色不同时,最多可以有3+2+1=6(种)不同结果.一共有10种不同结果.将这10种不同结果看作10个抽屉,因为要求10次摸出结果相同,故至少要摸910+1=91(次).4.4；7将三种不同颜色看作3个抽屉,对于第一问中为保证一次取到2颗相同颜色的珠子,一次至少要取13+1=4(颗)珠子.对于第二问为了保证一次取到两种不同颜色珠子各2颗,一次至少要取4+(12+1)=7(颗)珠子.5.1将1~12这十二个数组成这六对两数差为6的数组.任取7个数,必定有两个数差在同一组中,这一对数的差为6.6.267将4千万人按头发的根数进行分类：0根,1根,2根…,150000根共150001类.因为40000000=(266150001)+99743 266150001,故至少有一类中的人数不少于266+1=267(个),即该省至少有267个人的头发根数一样多.7.7将每10块颜色相同的木块算作一类,共3类.把这三类看作三个抽屉,而现在要保证至少有三块同色木块在同一抽屉中,那么至少要有23+1=7(块).8.29将4种花色看作4个抽屉,为了保证取出3张同色花,那么应取尽2个抽屉由的213张牌及大、小王与一张另一种花色牌.计共取213+2+1=29(张)才行.9.9将5个同学投进的球作为抽屉,将41个球放入抽屉中,至少有一个抽屉中放了9个球,(否则最多只能进58=40个球).10.6订阅报刊的种类共有7种：单订一份3种,订二份3种,订三分1种.将37名学生依他们订的报刊分成7类,至少有6人属于同一类,否则最多只有66=36(人).11.将整数的末位数字(0~9)分成6类：在所给的7个整数中,若存在两个数,其末位数字相同,则其差是10的倍数；若此7数末位数字不同,则它们中必有两个属于上述6类中的某一类,其和是10的倍数.A BC EF GH 12.将边长为1的正方形分成25个边条为的正方形,在51个点中,一定有(个)点属于同一个小正方形.不妨设A、B、C三点边长为的小正方形EFGH内,由于三角形ABC 的面积不大于小正方形面积EFGH的,又EFGH的面积为.故三角形ABC 的面积不大于.13.考虑最极端的情况,有3个小朋友分到1本,有3个小朋友分到2本,…,有3个小朋友分到16本,最后两个小朋友分到17本,那么一共至少要3(1+2+3+…+16)+217=442(本),而442 420,故一定有4个小朋友分了同样多的书.14.注意到8行、8列及两对角线共有18条"线",每条线上有8个数字,要使每条线上的数字和不同,也就是需要每条线上的数字和有18种以上的可能.但我们填入的数只有1、2、3三种,因此在每条线上的8个数字中,其和最小是8,最大是24,只有24-8+1=17(种).故不可能使得每行,每列及两条对角线上的各个数字之和互不相等.。

五年级奥数竞赛试题第十二讲抽屉原理的一般表述我们知道，把3个苹果随意放进两个抽屉里，至少有一个抽屉里有两上或两个以上的苹果.如果把5个苹果放进两个抽屉里，上述结果当然还能成立.能不能有更强一点的结果呢？我们发现把5个苹果往两个抽屉里放，即使每个抽屉都放2个还剩1个苹果，这个苹果无论放到哪个抽屉里都会出现有一个抽屉里有3个苹果.同样，如果苹果个数变为7个，那么就可以保证有一个抽屉里至少有4个苹果了。

这里有什么规律呢？先将苹果平均分到各个抽屉里，如果至少还余1个苹果，那么多余的苹果无论再放入哪个抽屉中都可以保证至少有一个抽屉里有（商+1）个（或更多的）苹果。

这样，可得到下述加强的抽屉原理：把多于m×n个苹果随意放进n个抽屉里，那么至少有一个抽屉里有（m+1）个或（m＋1）个以上的苹果。

例1 ①求证：任意25个人中，至少有3个人的属相相同.②要想保证至少有5个人的属相相同，但不能保证有6个人属相相同，那么人的总数应在什么范围内？分析与解答①把12种属相看作12个抽屉。

因为25÷12=2…1，所以，根据抽屉原理，至少有3个人的属相相同。

②要保证有5个人的属相相同，总人数最少为：4×12+1=49（人）。

不能保证有6个人属相相同的最多人数为：5×12=60（人）。

所以，总人数应在49人到60人的范围内。

例2 放体育用品的仓库里有许多足球、排球和篮球.有66名同学来仓库拿球，要求每人至少拿1个球，至多拿2个球.问：至少有多少名同学所拿的球种类是完全一样的？分析与解答拿球的配组方式有以下9种：｛足｝，｛排｝，｛篮｝，｛足，足｝，｛排，排｝，｛篮，篮｝，｛足，排｝，｛足，篮｝，｛排，篮｝。

把这9种配组方式看作9个抽屉。

因为66÷9=7…3，所以至少有7＋1＝8（名）同学所拿的球的种类是完全一样的。

例3 一副扑克牌，共54张，问：至少从中摸出多少张牌才能保证①至少有5张牌的花色相同；②四种花色的牌都有；③至少有3张牌是红桃。

组合-组合原理和构造-抽屉原理-0星题课程目标知识提要抽屉原理•概述抽屉原理有时也被称为鸽巢原理．它是组合数学中一个重要的原理．抽屉原理又细分为第一抽屉原理和第二抽屉原理．•抽屉原理1.第一抽屉原理第一抽屉原理又分以下两种不同的表述方式：表述1：多于n+1个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里的物体不少于2件．表述2：把多于mn+1（n不为0）个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有不少于(m+1)的物体．2.第二抽屉原理把(mn－1)个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有(m—1)个物体（例如，将4×5−1=19个物体放入5个抽屉中，则必定有一个抽屉中的物体数少于等于4−1=3）．•构造抽屉原理的方法运用抽屉原理的核心是分析清楚问题中，哪个是物件，哪个是抽屉．精选例题抽屉原理1. 现有211名同学和四种不同的巧克力，每种巧克力的数量都超过633颗．规定每名同学最多拿三颗巧克力，也可以不拿．若按照所拿巧克力的种类和数量都是否相同分组，则人数最多的一组至少有名同学．【答案】7【分析】根据题意分析可得：一个同学所取的不同种类：不拿有1种，拿1个有4种，拿2个有10种，拿3个有20种，共有1+4+10+20=35(种);这35种情况可以看做抽屉，211÷35=6⋯⋯1,所以6+1=7(人).2. 一次测验共有10道题，每道题完全答对可以得5分，答对一半可以得3分，答错或不答不得分，至少有人参加比赛才能保证有3人的得分相同．【答案】91【分析】最低得分为0分，最高得分为50分，其中1,2,4,7,47,49分得不到，一共可以得到50−0+1−6=45(种)分数，45×2+1=91．3. 班里有48名同学，运动会过后，为了奖励同学们的优异表现，老师要给同学们发巧克力，老师去超市买了一些巧克力之后，发现无论怎么发给同学们（每人至少一块巧克力），总能找到3个同学分到的巧克力一样多，则老师最多买了块巧克力．【答案】598【分析】先让每个抽屉有2个同学，那么48÷2=24,所以有23个抽屉，则总能找到3个同学在一个抽屉里，那么共有(1+2+3+4+5+6+⋯+23)×2+23+23=598.4. 有61只乒乓球，将它们放在20个盒子里，不允许有空盒子，每个盒子里最多放5只乒乓球，那么最少有个盒子里的乒乓球数量相同．【答案】5【分析】1+2+3+4+5=15,61÷15=4⋯⋯1,4+1=5．5. 某超级市场有128箱苹果．每箱至少有120个，至多有144个，装苹果个数相同的箱子称为一组，其中数量最多一组的箱子个数为n．那么n的最小值是．【答案】6【分析】144−120+1=25种情况，128÷25=5⋯⋯3，n的最小值为5+1=6．6. 图书馆中有科技书、故事书、美术书．让五（1）班同学去借书，不能不借，最多借3本．要确保有3个同学借书的类型和数量完全一样，那么五（1）班至少有名学生．【答案】39【分析】借1本书有3种情况；借2本书有6种情况；借3本书有3+2+2+2+1=10(种)情况；共有3+6+10=19(种)情况，根据抽屉原理，为确保3个同学借书的类型和数量都一样，至少有19×2+1=39(名)同学．7. 从1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11和12中至多选出个数，使得在选出的数中，每一个数都不是另一个数的2倍．【答案】8【分析】把这12个数分成6个组：第1组：{1,2,4,8}；第2组：{3,6,12}；第3组：{5,10}；第4组：{7}；第5组：{9}；第6组：{11}．每组中相邻两数都是2倍关系，不同组中没有2倍关系．选没有2倍关系的数，第1组最多2个（1，4或2，8或1，8），第2组最多2个（3，12），第3组只有1个，第4，5，6组都可以取，一共2+2+1+1+1+1=8(个)．如果任意取9个数，因为第3，4，5，6组一共5个数中，最多能取4个数，剩下9−4=5(个)数在2个组中，根据抽屉原理，至少有3个数是同一组的，必有2个数是同组相邻的数，是2倍关系．8. 某校六年级有3个班，在一次数学竞赛中至少有人获奖才能保证在获奖的同学中一定有4名学生同班．【答案】10【分析】根据抽屉原理，3×3+1=10．9. 新年晚会上，老师让每位同学从一个装有许多玻璃球的口袋中摸两个球，这些球给人的手感相同，只有红、黄、白、蓝、绿五色之分（摸时，看不到颜色），结果发现总有两个人取的球相同，由此可知，参加取球的至少有人．【答案】16【分析】分两球同色和异色两种情况，共有C52+C51=15（种）情况，15+1=16．10. 袋中有外形完全一样的红、黄、蓝三种颜色的小球各15个，每个小朋友从中摸出2个小球，至少有个小朋友摸球，才能保证一定有两个人摸的球一样．【答案】7【分析】摸球的不同情况共有红红、黄黄、蓝蓝、红黄、红蓝、黄蓝6种，所以至少需要7个人，才能保证有两人摸的球一样．11. 有足够多的苹果、橘子、香蕉三种水果，最少要分成堆（每堆都有苹果、橘子和香蕉三种水果），才能保证找得到这样的两堆；把这两堆合并后这三种水果的个数都是偶数．【答案】9【分析】两堆合并后三种水果的个数都是偶数，则合并前，这两堆水果同种水果的个数奇偶性相同，对于一堆水果，按每种水果的奇偶性分类，共有2×2×2=8（种）情况，8+1= 9．12. 有红、黄、蓝、白、黑五种形状大小完全一样的小球若干，每人必须从中选3只小球．要使有两人得到球的颜色完全一样，至少有人参加选球．【答案】36【分析】分所选3个球同色、两种颜色、三种颜色三种情况，共有C51+2C52+C53=35（种）情况，35+1=36．13. 有红黄蓝三种颜色的上衣和裤子．同学们任意选择一种颜色的上衣和裤子穿，问：①上衣和裤子的搭配方式有种．②至少要名学生，才能保证有两人穿的上衣和裤子的颜色都相同．【答案】①9；②10【分析】①利用乘法原理，3×3=9（种），所以有9种搭配方式．②利用抽屉原理，9+1=10（个），当有10个人时，就可以保证一定有两个人穿的上衣和裤子颜色都相同．14. 从1到20中，最多能取个数，使任意两个数不是3倍关系．【答案】16【分析】按照3倍关系分组．(1、3、9),(2、6、18),(4、12),(5、15),(7),(8),(10),(11),(13),(14),(16),(17),(19),(20)共14组，从第一组和第二组中最多可以取两个数，剩下每组中最多取一个数，所以最多可以取2+2+12=16（个）数使得任意两个数没有3倍关系．15. 一个盒子里面装有标号为1到100的100张卡片，某人从盒子里随意抽卡片，如果要求取出的卡片中至少有两张标号之差为5，那么此人至少需要抽出张卡片．【答案】51【分析】考虑最不利情况，取(1,2,3,4,5),(11,12,13,14,15),(21,22,23,24,25),⋯,(91,92,93,94,95)共50个数，然后再随便取一个，就会出现标号之差为5的情况．50+1=51．16. “六一”儿童节，很多小朋友到公园游玩，在公园里他们各自遇到了许多熟人．试说明：在游园的小朋友中，至少有两个小朋友遇到的熟人数目相等．【答案】见解析．【分析】假设共有n个小朋友到公园游玩，我们把他们看作n个“苹果”，再把每个小朋友遇到的熟人数目看作“抽屉”，那么，n个小朋友每人遇到的熟人数目共有以下n种可能：0,1,2,⋯,n−1其中0的意思是指这位小朋友没有遇到熟人；而每位小朋友最多遇见n−1个熟人，所以共有n个“抽屉”．下面分两种情况来讨论：⑴如果在这n个小朋友中，有一些小朋友没有遇到任何熟人，这时其他小朋友最多只能遇上n−2个熟人，这样熟人数目只有n−1种可能：0,1,2,⋯,n−2这样，“苹果”数（n个小朋友）超过“抽屉”数（n−1种熟人数目），根据抽屉原理，至少有两个小朋友，他们遇到的熟人数目相等．⑵如果在这n个小朋友中，每位小朋友都至少遇到一个熟人，这样熟人数目只有n−1种可能：1,2,3,⋯,n−1这时，“苹果”数（n个小朋友）仍然超过“抽屉”数（n−1种熟人数目），根据抽屉原理，至少有两个小朋友，他们遇到的熟人数目相等．总之，不管这n个小朋友各遇到多少熟人（包括没遇到熟人），必有两个小朋友遇到的熟人数目相等．17. 有49个小孩，每人胸前有一个号码，号码从1到49各不相同．现在请你挑选若干个小孩，排成一个圆圈，使任何相邻两个小孩的号码数的乘积小于100，那么你最多能挑选出多少个孩子？【答案】18【分析】将1至49中相乘小于100的两个数，按被乘数分成9组，如下：(1×2)、(1×3)、(1×4)、⋯、(1×49)；(2×3)、(2×4)、(2×5)、⋯、(2×49)；⋯ ⋯ ⋯ ⋯ (8×9)、(8×10)、(8×11)、(8×12)；(9×10)、(9×11)．因为每个数只能与左右两个数相乘，也就是每个数作为被乘数或乘数最多两次，所以每一组中最多会有两对数出现在圆圈中，最多可以取出18个数对，共18×2=36次，但是每个数都出现两次，故出现了18个数．例如：(10×9)、(9×11)、(1×8)、(8×12)、(12×7)、(7×13)、(13×6)、(6×14)、(14×5)、(5×15)、(15×4)、(4×16)、(16X3)、(3×17)、(17×2)、(2×18)、(18×1)、(1×10).共出现1∼18号，共18个孩子．若随意选取出19个孩子，那么共有19个号码，由于每个号码数要与旁边两数分别相乘，则会形成19个相乘的数对．那么在9组中取出19个数时，有19=9×2+1，由抽屉原理知，必有三个数对落入同一组中，这样某个数字会在数对中出现三次（或三次以上），由分析知，这是不允许的．故最多挑出18个孩子．18. 从1至99这99个自然数中任意取出一些数，要保证其中一定有两个数的和是5的倍数，至少要取多少个？【答案】42个【分析】简答：1∼99这99个数中除以5余1的有20个，余2的有20个，余3的有20个，余4的有20个，余0的有19个，选出余1和余2的数，再选一个余0的数，再任选一个数一定符合题意20+20+1+1=42个．19. 在一个矩形内任意放五点，其中任意三点不在一条直线上．证明：在以这五点为顶点的三角形中，至少有一个的面积小于矩形面积的四分之一．【答案】见解析．【分析】如图，将长方形按中线分为两部分，则由抽屉原理知必然有3个点在同一个区域，那么由这3个点所构成的三角形的面积必然小于该区域的一半，即长方形面积的四分之一．20. 用五种颜色给正方体各面涂色（每面只涂一种色），请你说明：至少会有两个面涂色相同．【答案】见解析．【分析】可以把五种颜色作为5个“抽屉”，六个面作为六个物品，当把六个物品随意放入五个抽屉时，根据抽屉原理，一定有一个抽屉中有两个或两个以上的物品，也就是至少会有两个面涂色相同．21. 如图，在时钟的表盘上任意作9个120∘的扇形，使得每一个扇形都恰好覆盖4个数，且每两个扇形覆盖的数不全相同，求证：一定可以找到3个扇形，恰好覆盖整个表盘上的数．并举一个反例说明，作8个扇形将不能保证上述结论成立．【答案】见解析．【分析】在表盘上共可作出12个不同的扇形，且1∼12中的每个数恰好被4个扇形覆盖．将这12个扇形分为4组，使得每一组的3个扇形恰好盖住整个表盘．那么，根据抽屉原]+1=3个扇形属于同一组，那么这一组的3个扇形可以覆理，从中选择9个扇形，必有[94盖整个表盘．另一方面，作8个扇形相当于从全部的12个扇形中去掉4个，则可以去掉盖住同一个数的4个扇形，这样这个数就没有被剩下的8个扇形盖住，那么这8个扇形不能盖住整个表盘．22. 红、蓝两种颜色将一个2×5方格图中的小方格随意涂色（见下图），每个小方格涂一种颜色．是否存在两列，它们的小方格中涂的颜色完全相同？【答案】存在．【分析】用红、蓝两种颜色给每列中两个小方格随意涂色，只有下面四种情形：将上面的四种情形看成四个“抽屉”，把五列方格看成五个“苹果”，根据抽屉原理，将五个苹果放入四个抽屉，至少有一个抽屉中有不少于两个苹果，也就是至少有一种情形占据两列方格，即这两列的小方格中涂的颜色完全相同．23. 把十只小兔放进至多几个笼子里，才能保证至少有一个笼里有两只或两只以上的小兔？【答案】9【分析】要想保证至少有一个笼里有两只或两只以上的小兔，把小兔子当作“物品”，把“笼子”当作“抽屉”，根据抽屉原理，要把10只小兔放进10−1=9(个)笼里，才能保证至少有一个笼里有两只或两只以上的小兔．24. 从1、2、3、4、…、19、20这20个自然数中，至少任选几个数，就可以保证其中一定包括两个数，它们的差是12。