北师大版七年级数学上类比归纳专题：有理数加、减、乘、除中的简便运算

类比归纳专题：有理数加、减、乘、除中的简便运算——灵活变形，举一反三◆类型一 加减混合运算的技巧一、相反数相结合或同号结合1．计算：【方法2】(1)114－(＋6)－358＋(－1.25)－⎝⎛⎭⎫－358；(2)2.3＋(－1.7)＋6.2＋(－2.2)－1.1.二、同分母或凑整结合2．计算：【方法2】(1)(－6.82)＋3.78＋(－3.18)－3.78；(2)1918＋⎝⎛⎭⎫－534＋⎝⎛⎭⎫－918－1.25.*三、计算结果成规律的数相结合3．计算1＋2－3－4＋5＋6－7－8＋…＋2013＋2014－2015－2016的结果是( )A ．0B ．－1C ．2016D ．－20164．★阅读：因为一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，所以，当a ≥0时，|a|＝a ；当a<0时，|a|＝－a.根据以上阅读完成下列问题：(1)|3.14－π|＝________；(2)计算：⎪⎪⎪⎪12－1＋⎪⎪⎪⎪13－12＋⎪⎪⎪⎪14－13＋…＋⎪⎪⎪⎪19－18＋⎪⎪⎪⎪110－19.◆类型二 运用分配律解题的技巧一、正用分配律5．计算．(1)⎝⎛⎭⎫12－34＋18×(－24)；(2)391314×(－14)．二、逆用分配律6．计算：4×⎝⎛⎭⎫－367－3×⎝⎛⎭⎫－367－6×367.三、除法变乘法，再利用分配律7．计算：⎝⎛⎭⎫16－27＋23÷⎝⎛⎭⎫－542.参考答案与解析1．解：(1)原式＝114＋(－1.25)－6＋⎝⎛⎭⎫358－358＝－6.(2)原式＝2.3＋6.2－(1.7＋2.2＋1.1)＝8.5－5＝3.5.2．解：(1)原式＝[(－6.82)＋(－3.18)]＋(3.78－3.78)＝－10.(2)原式＝1918＋⎝⎛⎭⎫－918＋⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－534－1.25＝10－7＝3. 3．D4．解：(1)π－3.14(2)原式＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋18－19＋19－110＝1－110＝910. 5．解：(1)原式＝－12＋18－3＝3.(2)原式＝⎝⎛⎭⎫40－114×(－14)＝40×(－14)－114×(－14)＝－560＋1＝－559. 6．解：原式＝－367×(4－3＋6)＝－27. 7．解：原式＝⎝⎛⎭⎫16－27＋23×⎝⎛⎭⎫－425＝－75＋125－285＝－235. 易错专题：有理数中的易错题——易错归纳、逐个击破◆类型一 遗漏“0”及对“0”的认识不够1.下列说法正确的是（ ）A .符号相反的数互为相反数B .当a ≠0时，|a|总大于0C .一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上越靠右D .一个有理数不是正数就是负数2.绝对值小于2.5的所有非负整数的积为 .◆类型二 与运算相关的符号的判断不准确3.在－32，－|－2.5|，－（－2.5），－（－3）2，（－3）2016，（－3）3中，负数的个数是（ ）A .1个B .2个C .3个D .4个4.下列式子中成立的是（ ）A .－|－5|>4B .－3<|－3|C .－|－4|＝4D .|－5.5|<55.－|－23|的相反数是 . 6.若a 是有理数，则下列各式：①|－a|＝a ；②－（－a ）＝a ；③a ≤－a ；④a>－a.其中正确的是 （填序号）.7.计算：（－1）2016＋（－1）2015＝ .◆类型三 运算法则、运算顺序及符号错误8.化简：|π－4|＋|3－π|＝ .9.计算下列各题：（1）（－3.1）－（－4.5）＋（＋4.4）－（＋1.3）；（2）－24×⎝⎛⎭⎫－23＋34＋112；（3）－14－15×[|－2|－（－3）3]－（－4）2.◆类型四 精确度理解不透10.下列说法错误的是【易错4】（ ）A .3.14×103精确到十位B .4.609万精确到万位C .近似数0.8和0.80表示的意义不同D .用科学记数法表示的数2.5×104，其原数是25000◆类型五 多种情况时漏解11.在数轴上，与表示数－1的点的距离是2的点表示的数是【易错3】（ ）A .1B .3C .±2D .1或－312.若|a|＝3，|b|＝1，且a ，b 同号，则a ＋b 的值为（ ）A .4B .－4C .2或－2D .4或－413.（2016－2017·太原期中）若|a|＝6，则1－a ＝ .14.（2016－2017·高阳县期末）已知数轴上两点A ，B 到原点的距离是2和7，则A ，B 两点间的距离是 .【易错3】15.若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，|x|＝3，则式子2（a ＋b ）－（－cd ）2016＋x 的值为 .16.已知abc |abc|＝1，求|a|a ＋|b|b ＋|c|c的值.参考答案与解析1．B 2.0 3.D 4.B 5.236.②7.08.1 9．解：(1)原式＝4.5.(2)原式＝－4.(3)原式＝－2245. 10．B 11.D 12.D 13.7或－5 14.5或915．2或－4 解析：∵a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，|x |＝3，∴a ＋b ＝0，cd ＝1，x ＝±3.∴2(a ＋b )－(－cd )2016＋x ＝0－(－1)2016＋x ＝－1＋x .当x ＝3时，－1＋x ＝－1＋3＝2.当x ＝－3时，－1＋x ＝－1＋(－3)＝－4.16．解：由abc |abc |＝1，可得a 、b 、c 都为正数或a 、b 、c 中只有一个正数．分两种情况讨论：①当a 、b 、c 都为正数时，则|a |a 、|b |b 、|c |c 三个都为1，故|a |a ＋|b |b ＋|c |c＝3；②当a 、b 、c 中只有一个正数时，则|a |a 、|b |b 、|c |c 中有一个为1，其余两个为－1，故|a |a ＋|b |b ＋|c |c＝－1.综上所述，|a |a ＋|b |b ＋|c |c的值为3或－1.。

有理数的加减、乘除及乘方运算有理数的加减混合运算一、基础知识知识点1 有理数加减法统一成加法的意义1. 有理数加减混合运算，可以通过有理数减法法则将减法转化为加法，统一成只有加法运算的和式.如：(－11)－(+7)+(－4)－(－3)=(－11)+(－7)+(－4)+(3)2. 在和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写，写成省略加号的和的形式：如：(－11)+(－7)+(－4)+(+3)=－11－7－4+33. 和式的读法：一是按这个式子表示的意义，读作“－11，－7，－4，+3的和”二是按运算意义读作“负11，减7，减4，加3”.例1 把下列各式写成省略加号的和的形式.(1)(－26)－(－7)+(－10)－(－3)；(2)(－30)－(－8)+(－12)－(－5).分析：先统一成加法，再省略括号和加号.小结：在把加减混合运算的式子写成省略加号的和的形式时，符号容易变错，做这样的题目时，一定要注意符号的变化.知识点2 有理数的加减混合运算的加法和步骤1.运用减法法则将有理数的混合运算中的加减法变化为加法，写成省略加号，括号的代数和.2.利用加法的交换律、结合律简化运算，这里应注意的是：通常把同号(指同正、同负)的结合，整数与整数结合，同分母分数或容易通分的分数结合，互为相反数的结合，几个加数能凑整的结合在一起相加；对于特殊结构的计算题要灵活运用运算律.例2 计算：(－47111)－(－5)+(－4)－(+3)分析：加减混合运算应注意有条理按步骤进行，把同号的数相结合相加，这样可以使计算简便.二、典型题解析(一)基本概念题例1 把下列各式写成省略加号的和的形式，并说出它们的两种读法.(1)－2－(+3)－(－5)+(－4)；(2)(+8)－(－9)+(－12)+(+5).分析：先把加减法统一成加法；再省略括号和加号.小结：（1）和式中第一个加数若是正数，正号也可省略不写；（2）第一种读法中“的和”两字不要漏掉.(二)知识应用题例2 从－50起逐次加2，得到一连串数－48，－46，－41，－44，－40，…，问：(1)第50个整数是什么？(2)你能巧妙地运用规律计算这50个整数的和吗？小结：在求和时，找出互为相反数的数，再计算出其余的数的和，能用简便算法的尽量用简便算法.(三)学科综合题例3 小彬和小丽在一起玩游戏，游戏规则是：(1)每人每次抽取4张卡片，如果抽取到白色卡片，那么加上卡片上的数字；如果抽到红色卡片，那么减去卡片上的数字.(2)比较两人所抽4张卡片的计算结果，结果小的为胜者，小彬抽到了下面的4张卡片：红－13，白7，红－5，白4，小丽抽到了下面的4张卡片：白3.2，白－2.7，红－6，白－2问：获胜的是谁？(四)拓展创新题例4 埃及同中国一样，也是世界上著名的文明古国，古代埃及人处理分数与众不同，他们一般只使用分子为190个埃及分数：你能从中挑出10个，加上正负号，使他们的和等于－1吗?分析：这是一道阅读理解题，要从90个埃及分数中挑出10个，使它们的和等于－1，不能被题目所举的例子束缚了思维，必须要运用有理数的加减混合运算.(三)培优练习1.下列化简正确的是( )A.(－7)－(－3)+(－2)=－7－3－2B.(－7)－(－3)+(－2)=－7+3－2C.(－7)－(－3)+(－2)=－7－3+2D.(－7)－(－3)+(－2)=－7+3+22.下列各式中与a－b－c的值不相等的是( )A.a－(b－c)B.a－(b+c)C.(a－b)+(－c)D.(－b)+(a－c)3.负数a减去它的相反数的差的绝对值是( )A.0B.2aC.－2aD.以上都可能4.使等式|－7+x|=|－7|+|x|成立的有理数x是( )A.任意一个正数B.任意一个非正数C.小于1的有理数D.任意一个有理数5.在数轴上，点x表示到原点的距离小于3的那些点，那么|x－3|+|x+3|等于( )A.6B.－2xC.－6 D2x6.填空题(1)小于5而大于－4的所有偶数之和是________；(2)－14的绝对值的相反数与5的相反数的差是________；(3)若|x－3|+|y－2|=0，则x+y=________，x－y=________.7计算①(－1.5)+1.4－(－3.6)－4.3+(－5.2) ②(－1)－1+(－2)－(－3)－(－1)③－12－[10+(－8)－3] ④(－4)－(－2)－{(－5)－[(－7)+(－3)－(－8)]}⑤|－0.1|－|－0.2|+|－0.4|－|－0.2|－|+0.1|+0.48、在数1，2，3，4，……，2003，2004前添加“+”或“－”，然后求代数和，使求得的结果为最小的非负数；9.定义新运算a*b=a+b-1,如3*(-2)=3+(-2)-1=0.请你计算(-1)*(-3)*2=_________.10．定义一种运算☆，其规则为a ☆b =b a 11+，根据这个规则，计算-2☆3的值 .11.已知有理数x 、y 满足|x －2y|=－2|x －4|，求4x 2－3y 的值.12.已知|a|=6，|b|=3，|c|=5，且c ＜0，a+c ＞0，求a+b+c 的值.有理数的乘除及乘方运算一、基础知识点1.有理数的乘法法则：2.有理数的除法法则：3.乘方：4.处理好符号仍然是有理数乘法、除法及乘方运算的关键。

类比归纳专题：有理数加、减、乘、除中的简便运算 ——灵活变形，举一反三◆类型一 加减混合运算的技巧一、相反数相结合1．计算：10－24－28＋18＋24.二、同分母相结合2．计算：1918＋⎝⎛⎭⎫－534＋⎝⎛⎭⎫－918－1.25.三、计算结果成规律的数相结合3．计算：1＋2－3－4＋5＋6－7－8＋…＋2013＋2014－2015－2016的结果是( )A ．0B ．－1C ．2016D ．－20164．★阅读：因为一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，所以，当a ≥0时，|a |＝a ；当a <0时，|a |＝－a .根据以上阅读完成：(1)|3.14－π|＝________；(2)计算：⎪⎪⎪⎪12－1＋⎪⎪⎪⎪13－12＋⎪⎪⎪⎪14－13＋…＋⎪⎪⎪⎪19－18＋⎪⎪⎪⎪110－19.◆类型二 乘法分配律的解题技巧一、正用分配律5．计算⎝⎛⎭⎫－56－14×(－12)的结果为( ) A ．－7 B ．7 C ．－13 D ．136．利用分配律计算⎝⎛⎭⎫－1009899×99时，较简便的方法是( ) A ．－⎝⎛⎭⎫100＋9899×99 B ．－⎝⎛⎭⎫100－9899×99 C.⎝⎛⎭⎫100－9899×99 D.⎝⎛⎭⎫－101－199×99 二、逆用分配律7．－1317×19－1317×15＝________． 8．计算：4×⎝⎛⎭⎫－367－3×⎝⎛⎭⎫－367－6×367.三、除法变乘法，再利用分配律【方法7】9．计算：⎝⎛⎭⎫16－27＋23÷⎝⎛⎭⎫－542.【变式题】⎝⎛⎭⎫－130÷⎝⎛⎭⎫23－110＋16－25.参考答案与解析1．解：原式＝(10＋18－28)＋(24－24)＝0.2．解：原式＝⎝⎛⎭⎫1918－918－⎝⎛⎭⎫534＋114＝10－7＝3. 3．D 解析：原式＝(1－3)＋(2－4)＋(5－7)＋…＋(2013－2015)＋(2014－2016)＝－2×1008＝－2016.4．解：(1)π－3.14(2)原式＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋18－19＋19－110＝1－110＝910. 5．D 6.A 7.－268．解：原式＝－367×(4－3＋6)＝－277×7＝－27.9．解：原式＝⎝⎛⎭⎫16－27＋23×⎝⎛⎭⎫－425＝－16×425＋27×425－23×425＝－75＋125－285＝－235. 【变式题】解：原式的倒数为⎝⎛⎭⎫23－110＋16－25÷⎝⎛⎭⎫－130＝⎝⎛⎭⎫23－110＋16－25×(－30)＝－20＋3－5＋12＝－10，故原式＝－110.。

类比归纳专题：有理数加、减、乘、除中的简便运算 ——灵活变形，举一反三◆类型一 加减混合运算的技巧一、相反数相结合1．计算：10－24－28＋18＋24.二、同分母相结合2．计算：1918＋⎝⎛⎭⎫－534＋⎝⎛⎭⎫－918－1.25.三、计算结果成规律的数相结合3．计算：1＋2－3－4＋5＋6－7－8＋…＋2013＋2014－2015－2016的结果是( )A ．0B ．－1C ．2016D ．－20164．★阅读：因为一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，所以，当a ≥0时，|a |＝a ；当a <0时，|a |＝－a .根据以上阅读完成：(1)|3.14－π|＝________；(2)计算：⎪⎪⎪⎪12－1＋⎪⎪⎪⎪13－12＋⎪⎪⎪⎪14－13＋…＋⎪⎪⎪⎪19－18＋⎪⎪⎪⎪110－19.◆类型二 乘法分配律的解题技巧一、正用分配律5．计算⎝⎛⎭⎫－56－14×(－12)的结果为( ) A ．－7 B ．7 C ．－13 D ．136．利用分配律计算⎝⎛⎭⎫－1009899×99时，较简便的方法是( ) A ．－⎝⎛⎭⎫100＋9899×99 B ．－⎝⎛⎭⎫100－9899×99 C.⎝⎛⎭⎫100－9899×99 D.⎝⎛⎭⎫－101－199×99 二、逆用分配律7．－1317×19－1317×15＝________． 8．计算：4×⎝⎛⎭⎫－367－3×⎝⎛⎭⎫－367－6×367.三、除法变乘法，再利用分配律【方法7】9．计算：⎝⎛⎭⎫16－27＋23÷⎝⎛⎭⎫－542.【变式题】⎝⎛⎭⎫－130÷⎝⎛⎭⎫23－110＋16－25.参考答案与解析1．解：原式＝(10＋18－28)＋(24－24)＝0.2．解：原式＝⎝⎛⎭⎫1918－918－⎝⎛⎭⎫534＋114＝10－7＝3. 3．D 解析：原式＝(1－3)＋(2－4)＋(5－7)＋…＋(2013－2015)＋(2014－2016)＝－2×1008＝－2016.4．解：(1)π－3.14(2)原式＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋18－19＋19－110＝1－110＝910. 5．D 6.A 7.－268．解：原式＝－367×(4－3＋6)＝－277×7＝－27.9．解：原式＝⎝⎛⎭⎫16－27＋23×⎝⎛⎭⎫－425＝－16×425＋27×425－23×425＝－75＋125－285＝－235. 【变式题】解：原式的倒数为⎝⎛⎭⎫23－110＋16－25÷⎝⎛⎭⎫－130＝⎝⎛⎭⎫23－110＋16－25×(－30)＝－20＋3－5＋12＝－10，故原式＝－110.良好的学习态度能够更好的提高学习能力。