下载文档原格式
第七章图形与变换第二十四讲平移、旋转与对称【基础知识回顾】一、轴对称与轴对称图形：1、轴对称：把一个图形沿着某一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形那么就说这两个图形成轴对称，这条直线叫2、轴对称图形：如果把一个图形沿着某条直线对折，直线两旁的部分能够互相那么这个图形叫做轴对称图形3、轴对称性质：⑴关于某条直线对称的两个图形⑵对应点连接被对称轴【名师提醒：1、轴对称是指个图形的位置关系，而轴对称图形是指个具有特殊形状的图形；2、对称轴是而不是线段，轴对称图形的对称轴不一定只有一条】二、图形的平移与旋转：1、平移：⑴定义：在平面内，把某个图形沿着某个移动一定的这样的图形运动称为平移⑵性质：Ⅰ、平移不改变图形的与，即平移前后的图形Ⅱ、平移前后的图形对应点所连的线段平行且【名师提醒：平移作图的关键是确定平移的和】2、旋转：⑴定义：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向旋转一个，这样的图形运动称为旋转，这个点称为转动的称为旋转角⑵旋转的性质：Ⅰ、旋转前后的图形Ⅱ、旋转前后的两个圆形中，对应点到旋转中心的距离都，每对对应点与旋转中心的连线所成的角度都是旋转角都【名师提醒：1、旋转作用的关键是确定、和，2、一个图形旋转一定角度后如果能与自身重合，那么这个图形就是旋转对称图形】三、中心对称与中心对称图形：1、中心对称：在平面内，一个图形绕某一点旋转1800能与另一个图形就说这两个图形关于这个点成中心对称，这个点叫做2、中心对称图形：一个图形绕着某点旋转后能与自身重合，这种图形叫中心对称图形，这个点叫做3、性质：在中心对称的两个图形中，对称点的连线都经过且被平分【名师提醒：1、中心对称是指个图形的位置关系，而中心对称图形是指个具有特殊形状的图形2、常见的轴对称图形有、、、、、等，常见的中心对称图形有、、、、、等3、所有的正n边形都是对称图形，且有条对称轴，边数为偶数的正多边形，又是对称图形，4、注意圆形的各种变换在平面直角坐标系中的运用】【典型例题解析】1.已知点P（3，-1）关于y轴的对称点Q的坐标是（a+b，1-b），则a b的值为．2．点P（2，-1）关于x轴对称的点P′的坐标是．3．在图示的方格纸中（1）作出△ABC关于MN对称的图形△A1B1C1；（2）说明△A2B2C2是由△A1B1C1经过怎样的平移得到的？4.已知点P（3，2），则点P关于y轴的对称点P1的坐标是，点P关于原点O的对称点P2的坐标是5.下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．6.点（3，2）关于x轴的对称点为（）A．（3，-2）B．（-3，2）C．（-3，-2）D．（2，-3）7.在平面直角坐标系中，将点A（-2，3）向右平移3个单位长度后，那么平移后对应的点A′的坐标是（）A．（-2，-3）B．（-2，6）C．（1，3）D．（-2，1）8.如图，将Rt△ABC（其中∠B=35°，∠C=90°）绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角等于（）A．55°B．70°C．125°D．145°9．P是∠AOB内一点，分别作点P关于直线OA、OB的对称点P1、P2，连接OP1、OP2，则下列结论正确的是（）A．OP1⊥OP B．OP1=OP2C．OP1⊥OP2且OP1=OP2D．OP1≠OP2 10.已知点M（3，-2），将它先向左平移4个单位，再向上平移3个单位后得到点N，则点N的坐标是．11.夏季荷花盛开，为了便于游客领略“人从桥上过，如在河中行”的美好意境，某景点拟在如图所示的矩形荷塘上架设小桥．若荷塘周长为280m，且桥宽忽略不计，则小桥总长为m．12.如图，在直角△OAB中，∠AOB=30°，将△OAB绕点O逆时针旋转100°得到△OA1B1，则∠A1OB= °．13.如图，正方形ABCD的边长为4，点P在DC边上且DP=1，点Q是AC上一动点，则DQ+PQ的最小值为．14.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=12，BC=5，点E在AB上，将△DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD上的点A′处，则AE的长为．15.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，4），请解答下列问题：（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标．（2）画出△A1B1C1绕原点O旋转180°后得到的△A2B2C2，并写出点A2的坐标．第二十五讲相似图形（一）：【知识梳理】1.比例基本性质及运用（1）线段比的含义：如果选用同一长度单位得两条线段a、b的长度分别为m、n，那么就说这两条线段的比是a：b=m：n，或写成a m=b n，和数的一样，两条线段的比a、b中，a叫做比的前项 b叫做比的后项．注意：①针对两条线段；②两条线段的长度单位相同，但与所采用的单位无关；③其比值为一个不带单位的正数．（2）线段成比例及有关概念的意义：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，已知四条线段a、b、c、d，如果a c=b d或a：b=c：d，那么a、b、c、d叫做成比例的项，线段a、d叫做比例外项，线段b、d叫做比例内项，线段d叫做a、b、c的第四比例项，当比例内项相同时，即a bb c=或a：b=b：c，那么线段b叫做线段a和c的比例中项．（3）比例的性质，①基本性质：如果a：b=c：d，那么ad=bc；反之亦成立。
图15-2AD OBC 21 MN图15-1AD BMN1 2图15-3AD OBC 21MNO 河北中考图形变换专题1、在图15-1至图15-3中，直线MN 与线段AB 相交 于点O ，∠1 = ∠2 = 45°．（1）如图15-1，若AO = OB ，请写出AO 与BD的数量关系和位置关系；（2）将图15-1中的MN 绕点O 顺时针旋转得到图15-2，其中AO = OB ． 求证：AC = BD ，AC ⊥ BD ；（3）将图15-2中的OB 拉长为AO 的k 倍得到图15-3，求ACBD的值．2、在图14-1—14-5中，正方形ABCD 的边长为a ，等腰直角三角形F AE 的斜边AE ＝2b ，且边AD 和AE 在同一直线上．操作示例当2b ＜a 时，如图14-1，在BA 上选取点G ，使BG ＝b ，连结FG 和CG ，裁掉△FAG 和△CGB 并分别拼接到△FEH 和△CHD 的位置构成四边形FGCH ． 思考发现小明在操作后发现：该剪拼方法就是先将△F AG 绕点F 逆时针旋转90°到△FEH 的位置，易知EH 与AD 在同一直线上．连结CH ，由剪拼方法可得DH =BG ，故△CHD ≌△CGB ，从而又可将△CGB 绕点C 顺时针旋转90°到△CHD 的位置．这样，对于剪拼得到的四边形FGCH （如图14-1），过点F 作FM ⊥AE 于点M （图略），利用SAS公理可判断△HFM ≌△CHD ，易得FH =HC =GC =FG ，∠FHC =90°．进而根据正方形的判定方法，可以判断出四边形FGCH 是正方形．实践探究（1）正方形FGCH 的面积是 ；（用含a ，b 的式子表示）（2）类比图14-1的剪拼方法，请你就图14-2—图14-4的三种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图．联想拓展小明通过探究后发现：当b ≤a 时，此类图形都能剪拼成正方形，且所选取的点G 的位置在BA 方向上随着b 的增大不断上移．当b ＞a 时，如图14-5的图形能否剪拼成一个正方形？若能，请你在图中画出剪拼的示意图；若不能，简要说明理由．图14-3图14-4图14-2（2b ＝a ）（a ＜2b ＜2a ） （b ＝a ）图14-1H（2b ＜a ）图14-5 （b ＞a ）3、如图13-1至图13-5，⊙O 均作无滑动滚动，⊙O 1、⊙O 2、⊙O 3、⊙O 4均表示⊙O 与线段AB 或BC 相切于端点时刻的位置，⊙O 的周长为c ．阅读理解：（1）如图13-1，⊙O 从⊙O 1的位置出发，沿AB 滚动到 ⊙O 2的位置，当AB = c 时，⊙O 恰好自转1周． （2）如图13-2，∠ABC 相邻的补角是n °，⊙O 在∠ABC 外部沿A -B -C 滚动，在点B 处，必须由⊙O 1的位置旋转到⊙O 2的位置，⊙O 绕点B 旋转的角∠O 1BO 2 = n °，⊙O 在点B 处自转360n周．实践应用：（1）在阅读理解的（1）中，若AB = 2c ，则⊙O 自转 周；若AB = l ，则⊙O 自转 周．在 阅读理解的（2）中，若∠ABC = 120°，则⊙O 在点B 处自转 周；若∠ABC = 60°，则⊙O 在点B 处自转 周． （2）如图13-3，∠ABC=90°，AB=BC=12c ．⊙O 从 ⊙O 1的位置出发，在∠ABC 外部沿A -B -C 滚动 到⊙O 4的位置，⊙O 自转 周．拓展联想：（1）如图13-4，△ABC 的周长为l ，⊙O 从与AB 相切于点D的位置出发，在△ABC 外部，按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB 相切于点D 的位置，⊙O 自转了多少周？请说明理由．（2）如图13-5，多边形的周长为l ，⊙O 从与某边相切于点D 的位置出发，在多边形外部，按顺时针方向沿多 边形滚动，又回到与该边相切于点D 的位置，直接．．写 出⊙O 自转的周数．图13-4图13-5图13-1A图13-2图13-34、（本小题满分10分）在一平直河岸l 同侧有A B ，两个村庄，A B ，到l 的距离分别是3km 和2km ，km AB a =(1)a >．现计划在河岸l 上建一抽水站P ，用输水管向两个村庄供水．方案设计某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：图13-1是方案一的示意图，设该方案中管道长度为1d ，且1(km)d PB BA =+（其中BP l ⊥于点P ）；图13-2是方案二的示意图，设该方案中管道长度为2d ，且2(k m )d P A P B =+（其中点A '与点A 关于l 对称，A B '与l 交于点P ）．观察计算（1）在方案一中，1d = km （用含a 的式子表示）；（2）在方案二中，组长小宇为了计算2d 的长，作了如图13-3所示的辅助线，请你按小宇同学的思路计算，2d = km （用含a 的式子表示）． 探索归纳（1）①当4a =时，比较大小：12_______d d （填“＞”、“＝”或“＜”）； ②当6a =时，比较大小：12_______d d （填“＞”、“＝”或“＜”）；（2）请你参考右边方框中的方法指导， 就a （当1a >时）的所有取值情况进 行分析，要使铺设的管道长度较短， 应选择方案一还是方案二？图13-1 图13-2图13-35．（本小题满分12分）探索在图12—1至图12—3中，已知△ABC 的面积为a ．（1）如图12—1，延长△ABC 的边BC 到点D ，使CD =BC ，连结DA ．若△ACD 的面积为S 1，则S 1=______（用含a 的代数式 表示）；（2）如图12—2，延长△ABC 的边BC 到点D ，延长边CA 到点E ，使CD =BC ，AE =CA ，连结DE ．若△DEC 的面积为S 2，则 S 2=__________（用含a 的代数式表示）；（3）在图12—2的基础上延长AB 到点F ，使BF =AB ，连结FD ，FE ，得到△DEF （如图12—3）．若阴影部分的面积为S 3，则 S 3=__________（用含a 的代数式表示），并运用上述（2）的 结论写出理由．发现像上面那样，将△ABC 各边均顺次延长一倍，连结所得端点，得到△DEF （如图12—3），此时，我们称△ABC 向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的△DEF 的面积是原来△ABC 面积的 倍．应用要在一块足够大的空地上栽种花卉，工程人员进行了如下的图案设计：首先在△ABC 的空地上种红花，然后将△ABC 向外扩展三次（图12—4已给出了前两次扩展的图案）．在第一次扩展区域内种黄花，第二次扩展区域内种紫花，第三次扩展区域内种蓝花．如果种红花的区域（即△ABC ）的面积是10平方米，请你运用上述结论求出：（1）种紫花的区域的面积； （2）种蓝花的区域的面积．图12—2图12—1F 图12—36、操作示例对于边长为a 的两个正方形ABCD 和EFGH ，按图11－1所示的方式摆放，在沿虚线BD ，EG 剪开后，可以按图中所示的移动方式拼接为图11－1中的四边形BNED 。
方法技巧训练(三) 几何中线段的最值问题(含圆及旋转)1．(xx·长春) 如图，在▱ABCD 中，AD ＝7，AB ＝2 3 ，∠B＝60°.E 是边BC 上任意一点，沿AE 剪开，将△ABE 沿BC 方向平移到△DCF 的位置，得到四边形AEFD ，则四边形AEFD 周长的最小值为20．2．(xx·安徽)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝3，动点P 满足S △PAB ＝13S 矩形ABCD ，则点P 到A ，B 两点距离之和PA ＋PB 的最小值为(D )A .29B .34C ．5 2D .413．(xx·十堰)如图，在Rt △ABC 中，∠BAC＝90°，AB ＝3，AC ＝62，点D ，E 分别是边BC ，AC 上的动点，则DA ＋DE 的最小值为16．(在直线l 1，l 2上分别求作点M ，N ，,使△PMN 的周长最小分别作点P 关于直线l 1，l 2的,对称点P′和P″，连接P′P″，与,直线l 1，l 2的交点即为M ，N.(在直线l 1，l 2上分别求点M ，N ，,使四边形PQMN 的周长最小．分别作点Q，P关于直线l1，l2的,对称点Q′和P′，连接Q′P′，与直,线l1，l2的交点即为M，N.) 4．(xx·滨州)如图，∠AOB＝60°，点P是∠AOB内的定点且OP＝ 3.若点M，N分别是射线OA，OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是(D)A .362B .332C ．6D ．3直线m ∥n ，在m ，n 上分别 求点M ，N ，使MN ⊥m ，且 AM ＋MN ＋BN 的值最小．将点A 向下平移至点A ′，使AA ′ ＝MN ，连接A ′B ，交直线n 于点N ， 过点N 作MN ⊥m 于点M ，点M ， N 即为所求．在直线l 上求两点M ，N (M 在左)，使MN ＝a ，并使AM ＋MN ＋NB 的值最小．将点A 向右平移至点A ′，使AA ′＝a ，作点A ′关于直线l 的对称点A ″，连接A ″B ，交直线l 于点N ，在直线l 上截取MN ＝a (M 在N 的左边)，则点M ，N 即为所求．5．(xx·内江)如图，已知直线l 1∥l 2，l 1，l 2之间的距离为8，点P 到直线l 1的距离为6，点Q 到直线l 2的距离为4，PQ ＝430，在直线l 1上有一动点A ，直线l 2上有一动点B ，满足AB ⊥l 2，且PA ＋AB ＋BQ 最小，此时PA ＋BQ ＝16．,(在直线l 上求一点P ，,使|PA －PB |的值最大．) (作直线AB ，与直线l 的,交点即为点P .))6．(xx·东营)在平面直角坐标系内有两点A ，B ，其坐标为A(－1，－1)，B(2，7)，点M 为x 轴上的一个动点，若要使MB －MA 的值最大，则点M 的坐标为(－32，0)__．错误!7. (xx·泰安)如图，⊙M 的半径为2，圆心M 的坐标为(3，4)，点P 是⊙M 上的任意一点，PA⊥PB，且PA ，PB与x 轴分别交于A ，B 两点．若点A ，点B 关于原点O 对称，则AB 的最小值为(C )A . 3B . 4C . 6D . 8图1 图2将△ABC 绕点C 旋转，得到 △A′B′C，点E 是BC 中点， 点F 为AB 上动点，△A′B′C 在旋转过程中，点F 对应点为 F′，求线段EF′长度的最大值 与最小值．如图1，A′B′的运动轨迹是圆环， 外圆半径为BC ，内圆半径为AB上的高，F′是A′B′上任意一点， 所以EF′的最大值为EF 1，最小 值为EF 2.8．(xx·贵港)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB＝90°，将△ABC 绕顶点C 逆时针旋转得到△A′B′C，M 是BC 的中点，P 是A′B′的中点，连接PM.若BC ＝2，∠BAC＝30°，则线段PM 的最大值是(B )A ．4B ．3C ．2D ．1【其他类型】 构建二次函数模型求几何最值 9. (xx·贵阳)如图，在 △ABC 中， BC ＝6, BC 边上的高为 4，在△ABC 的内部作一个矩形EFGH ，使 EF 在 BC 边上，另外两个顶点分别在 AB ，AC 边上，则对角线 EG 长的最小值为121313．10．(xx·苏州)如图，已知AB ＝8，P 为线段AB 上的一个动点，分别以AP ，PB 为边在AB 的同侧作菱形APCD 和菱形PBFE ，点P ，C ，E 在一条直线上，∠DAP＝60°，M ，N 分别为对角线AC ，BE 的中点，当点P 在线段AB 上移动时，点M ，N 之间的距离最短为23(结果保留根号)．如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。
课时训练 ( 三十 )尺规作图(限时:30 分钟)| 夯实基础 |1.在以下三个图形中, 依据尺规作图的印迹, 能判断射线AD均分∠ BAC的是()图 K30- 1A.②B.①和②C.①和③ D .②和③2.如图 K30- 2, 在△ABC中, ∠C=90°, ∠CAB=50°, 按以下步骤作图:①以点 A 为圆心,小于 AC长为半径画弧,分别交 AB, AC于点 E, F;②分别以点 E, F 为圆心,大于 EF的长为半径画弧, 两弧订交于点G;③作射线 AG,交 BC边于点 D.则∠ ADC的度数为()图 K30- 2A. 40°B. 55°C. 65°D. 75°3.如图 K30- 3, 在平行四边形ABCD中, AB=4, BC=6,分别以 A, C为圆心,以大于 AC的长为半径作弧, 两弧订交1作直线 MN交 AD于点 E,交 BC于点 F,则△ CDE的周长是()图 K30- 3A.7B.10C.11D.124. [ 0 7 ·襄阳 ]如图K30-4,在△ ABC中,∠ ACB=90°,∠ A=30°,BC=4,以点C为圆心,CB长为半径作弧,交AB于点D;再分别以点 B 和点 D为圆心,大于 BD的长为半径作弧, 两弧订交于点E;作射线 CE交 AB于点 F. 则 AF的长为()图 K30- 4A 5 B.6C.7D.8.5.随意一条线段EF,其垂直均分线的尺规作图印迹如图K30- 5 所示.若连结EH, HF, FG, GE,则以下结论中,不必定正确的是()图 K30- 5A.△EGH为等腰三角形B.△EGF为等边三角形C.四边形EGFH为菱形D.△EHF为等腰三角形6. [ 0 8 ·山西 ]如图K30-6,直线MN∥ PQ.直线AB分别与MN,PQ订交于点A,B.小宇同学利用尺规按以下步骤作图: ①以2内交于点 E;③作射线 AE交 PQ于点 F. 若 AB=2,∠ ABP=60°,则线段AF的长为.图 K30- 67. [ 0 8 ·孝感 ]如图K30-7,△ ABC中,AB=AC,小聪同学利用直尺和圆规达成了以下操作:①作∠ BAC的均分线 AM交 BC于点 D;②作边 AB的垂直均分线EF, EF与 AM订交于点 P;③连结 PB, PC.图 K30- 7请你察看图形解答以下问题:(1) 线段PA, PB, PC之间的数目关系是;(2) 若∠ABC=70°, 求∠BPC的度数.8. [ 0 8 ·常州 ] (1)如图K30-8①,已知EK垂直均分B C,垂足为 D, AB与 EK订交于点 F,连结 CF.求证:∠ AFE=∠ CFD.(2)如图②, 在 Rt△GMN中, ∠M=90°,P为MN的中点.①用直尺和圆规在GN边上求作点Q,使得∠ GQM=∠ PQN(保存作图印迹,不要求写作法) .②在①的条件下 , 假如∠G=60°, 那么Q是GN的中点吗 ?为何 ?图 K30- 8| 拓展提高 |9. [ 0 8 ·河南 ] 如图 K30- 9, 已知 ?AOBC的极点O(0,0),A( - 1,2),点 B 在 x 轴正半轴上,按以下步骤作图:①以点 O为圆心 , 适合长度为半径作弧 , 分别交边OA, OB于点D, E; ②分别以点D, E为圆心 , 大于DE的长为半径作弧 , 两弧在∠AOB内交于点 F;③作射线 OF,交边 AC于点 G.则点 G的坐标为()图 K30- 9A (5-1,2)B.( 5,2).C. (3 -5,2) D . (5- 2,2)10.在数学课上 , 老师提出一个问题“用直尺和圆规作一个矩形”.小华的作法以下:(1)如图 K30- 10①, 任取一点O, 过点O作直线l1, l2;(2)如图②, 以O为圆心 , 随意长为半径作圆 , 与直线l1, l2分别订交于点A, C, B, D;(3)如图③, 连结AB, BC, CD, DA.四边形ABCD即为所求作的矩形.图 K30- 10老师说 : “小华的作法正确”.请回答 : 小华的作图依照是.11. [ 0 8 ·青岛 ]已知:如图K30-11,∠ ABC,射线BC上一点 D.求作 : 等腰三角形PBD,使线段 BD为等腰三角形PBD的底边,点 P 在∠ ABC内部,且点 P 到∠ ABC两边的距离相等.图 K30- 11参照答案1. C [ 分析 ]依据基本作图可判断图①中AD为∠BAC的均分线,图② 中AD为BC边上的中线,图③中AD为∠BAC的均分线. 应选C.2. C [ 分析 ]依据作图方法可得AG 是∠ CAB的均分线, ∵∠CAB=50°,∴∠CAD=∠CAB=5 °,∵∠C=90°,∴∠CDA=90° - 5° =65°,应选C.3. B [ 分析 ]利用作图得MN垂直均分 AC,∴EA=EC,∴△ CDE的周长 =CE+CD+ED=AE+ED+CD=AD+CD,∵四边形 ABCD为平行四边形,∴ AD=BC=6, CD=AB=4,∴△ CDE的周长=6+4=10.应选 B.4. B[ 解析 ]在△ABC中,∠ ACB=90°,∠ A=30°,BC=4,∴AC== 43 =4 3 .由作图可知 , CF⊥AB, ∴3AF=AC·cos30° =4 3×3=6.5. B6. 2 3 [ 分析 ]过点A作AG⊥PQ交PQ于点G,由作图可知 , AF均分∠NAB.∵MN∥PQ, AF均分∠ NAB,∠ ABP=60°,∴∠ AFG=30°,在 Rt△ABG中 , ∠ABP=60°,AB=2, ∴AG=3.在 Rt△AFG中 , ∠AFG=30°,AG= 3,∴A F=2 3.7.解 :(1) 线段PA, PB, PC之间的数目关系是: PA=PB=PC(或相等 ) .(2)∵AM均分∠ BAC, AB=AC,∠ ABC=70°,∴AD⊥BC,∠ BAD=∠ CAD=90° - ∠ ABC=0° .6∴PA=PB,∴∠ PBA=∠ PAB=0° .∵∠ BPD是△ PAB的外角,∴∠ BPD=∠ PAB+∠ PBA=40° .∴∠ BPD=∠ CPD=40° .∴∠ BPC=∠ BPD+∠ CPD=80° .8.解 :(1) 证明 : ∵EK垂直均分BC, 点F在EK上 ,∴FC=FB,且∠ CFD=∠ BFD,∵∠ AFE=∠ BFD,∴∠ AFE=∠ CFD.(2)①以下图 , 点Q为所求作的点.②Q是 GN的中点 . 原因:∵∠ G=60°,∠ GMN=90°,∴∠ GNM=30° .连结 HN, HP,由①作图可知, PN=HN,∠ HNG=∠GNP=30°,可得△ HPN为等边三角形 .又∵P为 MN的中点,∴HP=PN=PM,∴∠ QMN=30° =∠ QNM,∴ MQ=QN,∠GQM=60°,∠GMQ=60°,∴△ GMQ为等边三角形,因此 MQ=GQ,∴GQ=QN,即 Q为 GN的中点 .9. A [ 分析 ]如图,作AM⊥ x轴于点M,GN⊥ x轴于点N,设AC交y轴于点H.由题意知 OF均分∠ AOB,即∠ AOF=∠ BOF.∵四边形 AOBC是平行四边形,河北省中考数学总复习第七单元图形的变换课时训练30尺规作图练习∴AC∥OB,∴AM=GN,∠ AGO=∠ GOE,∴∠ AGO=∠ AOG,∴AO=AG.∵A( - 1,2),∴AM=2, AH=MO=1,∴AO= 5,∴AG=AO=5, GN=AM=2,∴HG=AG-AH=5- 1,∴G(5- 1,2),故答案为A.10.过圆心的弦为直径, 直径所对的圆周角为直角; 三个内角都为直角的四边形为矩形.11.解 : 作图以下 :8。
专题三图形变换的相关计算类型一图形平移的相关计算如图，△ABC和△DBC是两个具有公共边的全等的等腰三角形，AB＝AC＝3 cm，BC＝2 cm，将△DBC沿射线BC平移一定的距离得到△D1B1C1，连接AC1，BD1，如果四边形ABD1C1是矩形，则平移的距离为( )A．2 cm B．5 cm C．7 cm D．9 cm【分析】要求平移的距离，可结合平移性质得到CC1即为平移的距离，结合四边形ABD1C1是矩形从而得到∠BAC1＝90°，而AB＝AC＝3 cm，BC＝2 cm，可过点A 作AE⊥BC于E，从而得到BE，再证明△ABE∽△C1BA即可利用对应边成比例求平移距离．【自主解答】对于图形的平移问题，掌握平移的性质：1.平移前后，对应线段相等、对应角相等；2.对应点所连接的线段平行(或在同一条直线上)且相等；3.对应点连线相等，都等于平移距离．因为将图形平移后出现平行线，从而易得到相似(A 字型)，故在平移有关的计算问题中，常会运用相似计算有关线段的长；而计算四边形面积时，常需要借助分割法，将图形分割成容易计算的几个部分来解．1．(2018·株洲改编)如图，已知△OAB是等腰直角三角形，∠OAB＝90°，OB＝22，将该三角形向右平移22个单位得到Rt△O′A′B′，则线段OA在平移过程中扫过部分的图形面积为( )A．4 B．4 2 C．2 D．2 22．(2019·保定竞秀区一模)如图，两张完全相同的正六边形纸片(边长为2a)重合在一起，下面一张保持不动，将上面一张纸片沿水平方向向左平移a个单位长度，则空白部分与阴影部分面积之比是( ) A．5∶2 B．3∶1 C．3∶2 D．2∶13．(2019·孝感改编)如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，AD上，BE与CF交于点G.BC＝4，DE＝AF＝1.将△BCG沿射线BE方向平移，使得点G与点E重合，得到△EB′C′，连接FB′，则此时FB′的长为( )A.2185B.2285C.109 D．21094．如图①，两个等边△ABD和△CBD的边长均为1，将△ABD沿AC方向向下平移到△A′B′D′的位置，得到图②，则阴影部分的周长为．类型二图形旋转的相关计算(2019·河北)对于题目：“如图①，平面上，正方形内有一长为12、宽为6的矩形，它可以在正方形的内部及边界通过移转(即平移或旋转)的方式，自由地从横放移转到竖放，求正方形边长的最小整数n.”甲、乙、丙作了自认为边长最小的正方形，先求出该边长x，再取最小整数n.甲：如图②，思路是当x为矩形对角线长时就可移转过去；结果取n＝13. 乙：如图③，思路是当x为矩形外接圆直径长时就可移转过去；结果取n＝14.丙：如图④，思路是当x为矩形的长与宽之和的22倍时就可移转过去；结果取n＝13.下列正确的是( )A．甲的思路错，他的n值对B．乙的思路和他的n值都对C．甲和丙的n值都对D．甲、乙的思路都错，而丙的思路对【分析】要将平放的矩形通过平移或旋转的方式变成竖放，关键是看矩形边上任意两点之间的最大距离能否恰好小于等于正方形的边长，由此来判断甲、乙、丙三人的作法是否正确即可．【自主解答】对于图形的旋转问题，掌握旋转的性质：1.对应点到旋转中心的距离相等；2.对应点与旋转中心连线所成角等于旋转角；3.旋转前后对应角、对应线段相等．对于旋转求角度问题，常需要利用旋转对应点到旋转中心距离相等得到等腰三角形，结合等腰三角形内角关系求解；求旋转角的问题常应用对应点与旋转中心所成的角等于旋转角来求；对于旋转求点经过的路线长实质是求弧长、旋转求线段扫过的面积实质是求扇形的面积．同时，旋转是有方向的，当题设中没有明确说明旋转方向(顺时针或者逆时针)，则一定要分情况讨论．1．(2019·河北中考说明)如图，在等边△ABC中，AC＝9，点O在AC上，且AO ＝3，点P是AB上一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD，要使点D恰好落在BC上，则AP的长是( )A．4 B．5 C．6 D．82．(2020·原创)如图，在矩形ABCD 中，点E 是边AD 上一点，过点E 作EF⊥BC，垂足为点F ，将△BEF 绕着点E 逆时针旋转，使点B 落在边BC 上的点N 处，点F落在边DC 上的点M 处．若点M 恰好是边CD 的中点，那么AD AB的值是( ) A.233 B.433 C.534 D.5363．(2019·廊坊安次区二模)如图，在等边△ABC 内有一点D ，AD ＝5，BD ＝6，CD ＝4，将△ABD 绕A 点逆时针旋转，使AB 与AC 重合，点D 旋转至点E.(1)DE ＝ ；(2)∠CDE 的正切值为 ．4．(2019·金华改编)如图，在等腰Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AB ＝142，D 是AB 的中点，E 是BC 上一点，将线段ED 绕点E 按逆时针方向旋转90°得到线段EF.(1)如图①，当点E 与点C 重合时，设AF 交CD 于点O ，则OD 的长为 ；(2)如图②，当CE ＝2时，设点G 为AF 的中点，连接DG ，则DG 的长为 ．5．(2019·石家庄裕华区二模)如图，扇形AOB 中，半径OA 在直线l 上，∠AOB＝120°，OA ＝1，矩形EFGH 的边EF 也在直线l 上，且EH ＝2，OE ＝10π3＋20＋22，将扇形AOB 在直线l 上向右滚动．(1)滚动一周时得到扇形A′O′B′，这时OO′＝ ；(2)当扇形与矩形EFGH 有公共点时停止滚动，设公共点为D ，则DE ＝ ．类型三 图形折叠的相关计算(2019·河北结课卷)如图①，点E 是矩形ABCD 中AD 边上任意一点，连接BE ，把△ABE 沿BE 折叠，如图②所示，然后再过点A 作AF⊥CD 于点F ，如图③所示，当AB ＝8，BC ＝10，且∠BEA＝60°，则图③中AF 的长为( )A ．23＋2B ．8－4 3C ．23＋1D ．10－4 3【分析】先求∠ABC＝30°，再过A 作AG⊥BC 于G ，得四边形AGCF 是矩形，从而只需求CG 即可．【自主解答】忽略折叠前后的对应关系在利用折叠的性质解决问题时，易出错的是忽略折叠(翻折)前后两图形的关系，从而不能利用对应角相等，对应线段相等的性质解题．1．(2019·河北模拟)如图，在正方形ABCD 纸片中，EF 是BC 的垂直平分线，按以下四种方法折叠纸片，图中不能折出30°角的是( )2．如图，在Rt△ABC 中，AB ＝9，BC ＝6，∠B＝90°，将△ABC 折叠，使A 点与BC 的中点D 重合，折痕为MN ，则线段BN 的长为( )A.53B.52C ．4D ．5 3．(2019·辽阳)如图，直线EF 是矩形ABCD 的对称轴，点P 在CD 边上，将△BCP 沿BP 折叠，点C 恰好落在线段AP 与EF 的交点Q 处，BC ＝43，则线段AB 的长是( )A ．8B ．8 2C ．8 3D ．104．(2019·唐山路北区二模)将一个直角三角形纸片ABO 放置在平面直角坐标系中，点A(3，0)，点B(0，1)，点O(0，0)，过边OA 上的动点M(点M 不与点O ，A 重合)作MN⊥AB 于N ，沿着MN 折叠该纸片，得到△A′MN，顶点A 的对应点为A′，设OM ＝m ，折叠后的△A′MN 与四边形OMNB 重叠部分的面积为S.(1)当点A′与顶点B 重合时，点M 的坐标为 ；(2)当S ＝324时，点M 的坐标为 ．参考答案【例1】 设平移的距离为x cm ，由平移性质得BC 1＝BC ＋CC 1＝(2＋x) cm ，过点A 作AE⊥BC 于E ，∵AB＝AC ，∴BE＝CE ＝1，∵四边形ABD 1C 1是矩形，∴∠BAC 1＝90°，∴∠BAE＋∠EAC 1＝90°，∵∠ABE＋∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠AC 1E ，∵∠AEB＝∠C 1AB ＝90°，∴△ABE∽△C 1BA ，∴AB BE ＝C 1B AB ，即31＝2＋x 3，解得x ＝7 cm.故选C.跟踪训练1．A 【解析】 如解图，设AA′交OB 于E ，∵在△ABO 中，AB ＝AO ，∠OAB＝90°，△A′O′B′是由△AOB 向右平移22个单位得到的，∴OO′＝22，AA′⊥OB.∵O B ＝22，∴OE＝2，∴四边形AOO′A′的面积为OO ′·OE ＝22·2＝4.2．B3．A 【解析】∵四边形ABCD 是正方形，∴AD＝CD ＝BC ，∠D＝∠BCD＝90°.∵DE ＝AF ，∴DF＝CE ，∴△CDF≌△BCE，∴∠DCF＝∠CBE，∴∠DCF＋∠CEB＝∠CBE ＋∠BEC＝90°，∴∠FGB′＝90°.∵CE＝3，BC ＝4，∴BE＝5.∵CG⊥BE，∴GE ＝95，CG ＝125，∴BG＝BE －GE ＝165.∵将△BGC 沿BE 方向平移得到△EB′C′，∴BB′＝EG ＝95，∴B′G＝75.∵GF＝CF －CG ＝135，∴B′F＝FG 2＋B′G 2＝2185. 4．2【例2】 ∵要将正方形内平放的矩形通过移转的方式变成竖放，则正方形的边长应大于等于矩形对角线的长，∴矩形外接圆的直径是矩形的对角线的长，由此可知，甲、乙的思路正确，丙的思路错误；∴x ≥62＋122＝65>13 ，∵n 为整数，∴n＝14，故甲的结果错误，乙的思路和结果都正确．故选B. 跟踪训练1．C 【解析】 如解图，连接DP ，∵线段OD 是由线段OP 绕点O 逆时针旋转60°得到的，∴△ODP 是等边三角形，∴DP＝OP ，∠OPD＝60°.∵△ABC 是等边三角形，∴∠A＝∠B＝60°.∵∠OPD＝60°，∴∠OPA＋∠DPB＝120°.∵∠A＝60°，∴∠AOP＋∠OPA＝120°，∴∠AOP＋∠OPA＝∠OPA＋∠BPD，∴∠AOP＝∠BPD，∴△AOP≌△BPD(AAS)，∴BP＝AO ＝3.∵AB＝9，∴AP＝6.2．D 【解析】 ∵将△BEF 绕着点E 逆时针旋转得到△EMN, ∴BE＝EN ，EM ＝EF ，MN ＝BF. ∵EF⊥BC, ∴BF＝FN, ∴BF＝FN ＝NM.∵EF⊥BC, ∴四边形EFCD 是矩形， ∴EF＝CD, ∵点M 恰好是边DC 的中点，∴DM＝12CD ＝12EM ，∴∠DEM＝30°，∴∠DME＝60°，∵∠NME＝90°，∴∠CMN＝30°，设CN ＝x ，∴MN＝2x ，CM ＝3x ，∴BC＝5x ，∴AD AB ＝BC CD ＝5x 23x ＝536. 3．5；37 【解析】 (1)∵△ACE 是由△ABD 绕点A 逆时针旋转得到的，∴∠DAB ＝∠EAC，DA ＝EA ，∴∠BAD＋∠DAC＝∠EAC＋∠CAD＝∠BAC.∵△ABC 是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∴∠DAE＝60°，∴△DAE 是等边三角形，∴DE＝AD ＝5.(2)如解图，过点C 作CF⊥DE 于F ，设DF ＝x ，则EF ＝5－x ，在Rt△CDF 和Rt△CEF中，由勾股定理得42－x 2＝62－(5－x)2，解得x ＝12，则CF ＝CD 2－DF 2＝42－（12）2＝372，∴tan∠CDE＝CF FD＝37. 4.722；522 5.2π3＋2；22【例3】 如解图，过点A 作AG⊥BC 于点G.∵∠AEB＝60°，△ABE 是由△A′BE 折叠得到的，∴∠A′EB＝∠AEB＝60°，AB ＝A′B＝8.∵四边形A′BCD 是矩形，∴∠A′＝∠A′BC＝∠C＝90°，∴∠A′BE＝∠ABE ＝30°，∴∠ABC＝∠A′BC －∠A′BE－∠ABE＝30°，∴BG＝43，∵AF⊥CD，∴四边形AGCF 是矩形，∴AF ＝CG ＝BC －BG ＝10－4 3.故选D.跟踪训练1．B 2.C 3.A 4.(33，0)；(233，0)。
