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.
考点3
分段函数及其应用
高频考点 通 关
【考情】分段函数作为考查函数知识的最佳载体,以其考查知 识容量大而成为高考命题的亮点,常以选择题、填空题的形式 出现,考查求值、解方程、解不等式、图象及函数的性质等问 题.
x 2, x 0， 【典例3】(1)(2014·南京模拟)设函数f(x)= f x 3 2, x 0，
的定义域是(
)
B.［-1,+∞)
C.(-1,1)∪(1,+∞) D.［-1,1)∪(1,+∞) 【解析】选C.解不等式x+1>0,x-1≠0可得x>-1,x≠1是定义域 满足的条件.
4.函数y=x2-2x的定义域为{0,1,2,3},则其值域为 【解析】列表如下: x y 0 0 1 -1 2 0 3 3
【解题视点】(1)根据解析式,构建使其有意义的不等式组求解. (2)根据f(2x)中2x的含义及使ln(x-1)有意义构建不等式组求 解.
1 －2x 0， 【规范解答】(1)选A.由题意得 解得-3<x≤0. x 3 0，
(2)选B.由已知函数y=f(x)的定义域为［0，4］.
2 2
答案：1
2
6.f(x)是一次函数，且2f(1)+3f(2)=3,2f(-1)-f(0)=-1，则 f(x)= .
【解析】设f(x)=kx+b(k≠0),由已知得
4 k ， 2 k b 3 2k b 3 ， 9 解得 2 k b b 1， b 1 ， 9
第二章 函数、导数及其应用
第一节 函数及其表示
知识要求 内容 考试 说明 了解 理解 掌握 (A) (B) (C)
函数的概念与表示
映射 简单的分段函数及其应用 √
√
√
13年(11考)：辽宁T7 陕西T10 安徽T11 安徽T14 广东T2 山东T5 浙江T11 重庆T3 北京T13 福建T16 福建T13
3.分段函数 对应关系 不同而分别 (1)若函数在其定义域的不同子集上,因_________ 用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数. 并集 其值域 (2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的_____, 并集 分段函数虽由几个部分组成,但 等于各段函数的值域的_____,
它表示的是一个函数.
， 2a 1 1 3 解得a , b . ， 2 2 a b 1 1 3 所以f(x)= x 2 x 2. 2 2 1 3 答案： x 2 x 2 2 2
所以
【易错警示】利用换元法时要关注新元的取值范围 本例第(1)题利用换元法求解析式,要注意换元后t的取值范围, 否则会造成求出的函数解析式定义域扩大而致误 .
.
由表知,函数的值域为{-1,0,3}.
答案:{-1,0,3}
4 x , x 1, 5.已知函数f(x)= 若f(x)=2,则x= . x, x 1, 4 x , x 1, 【解析】因为f(x)= 所以由f(x)=2,得当x≤1时， x, x 1,
4x=2,x= 1 或当x>1时，-x=2，得x=-2(舍),综上知x= 1 .
3.题型主要以选择题、填空题为主,属中低档题
【知识梳理】
1.函数与映射的概念
类别 集合 A,B 条 件 函数 数集 A,B是两个非空的_____ 对于集合A中的_____ 任意 一 个数x,在集合B中都有 _________ 唯一确定 的数f(x)和它 对应 映射 A,B是两个非空的 集合 _____ 对于集合A中的_____ 任意 一个元素x,在集合B 中都有_________ 唯一确定 的 元素y与之对应
它们的对应关系不同,不是相等函数.
2.(2014·岳阳模拟)下列对应关系: ①A={1,4,9},B={-3,-2,-1,1,2,3},f:x→x的平方根; ②A=R,B=R,f:x→x的倒数; ③A=R,B=R,f:x→x2-2; ④A={-1,0,1},B={-1,0,1},f:A中的数平方.
【考点自测】 1.(思考)给出下列命题: ①函数是建立在其定义域到值域的映射; ②函数y=f(x)的图象与直线x=a最多有2个交点; ③函数f(x)=x2-2x与g(t)=t2-2t是同一函数; ④若两个函数的定义域与值域相同,则这两个函数是相等函数. 其中正确的是( )
A.①②
B.①③
C.②③
D.③④
0 2x 4 则使函数y1=f(2x)-ln(x-1)有意义，需 , x 1 0
解得1<x≤2,所以定义域为(1，2］.
【互动探究】若本例(2)中条件变为:“函数y=f(2x)的定义 域为[0,4]”,则结果如何? 【解析】选D.因为y=f(2x)的定义域为[0,4],即0≤x≤4,所 以1≤2x≤16,故f(x)的定义域为[1,16],则使函数y1=f(2x)1 2x 16 解得1<x≤8.所以定义域为 ln(x-1)有意义,需 ， x 1 0
则f(9)=
.
x 1, 1 x 0, (2)(2014·长沙模拟)函数f(x)= x 1,0 x 1,
则f(x)-f(-x)>-1的解集为
. .
， log 1 x, x 1 (3)(2013·北京高考)函数f(x)= 2 的值域为 x 2 ,x 1
在x∈[a,b]时的值域.
(3)实际问题:既要使构建的函数解析式有意义,又要考虑实际
问题的要求.
提醒:(1)如果所给解析式较复杂,切记不要化简后再求定义域.
(2)所求定义域须用集合或区间表示.
使函数解析式有意义的常见准则 (1)分式的分母不为0. (2)偶次根式的被开方数非负. (3)对数函数的真数须大于0. (4)指数、对数函数的底数大于0且不等于1.
所以f(x)= 答案：4 x 1
9 9
4 1 x . 9 9
考点1
求函数的定义域
1 －2x 1 的 x 3
【典例1】(1)(2013·山东高考)函数f(x)=
定义域为(
A.(-3，0］
)
B.(-3，1］ D.(-∞,-3)∪(-3,1］
C.(-∞,-3)∪(-3,0］
(2)(2014·北京模拟)已知函数y=f(x)的定义域为［0，4］， 则函数y1=f(2x)-ln(x-1)的定义域为( A.［1，2］ B.(1，2］ C.［1，8］ ) D.(1，8］
log2
2 ≤log2x≤log24,所以
2 ≤x≤4，故f(log2x)的定义域
为［ 2 ，4］.
答案：［ 2 ，4］
考点2
求函数的解析式 .
【典例2】(1)已知f( x +1)=x+2 x ,则f(x)=
(2)已知f(x)是二次函数且f(0)=2,f(x+1)-f(x)=x-1,则 f(x)= .
【解析】选B.①正确.函数是特殊的映射.②错误.若函数在x=a 处有意义,则其图象与直线x=a有1个交点;若函数在x=a处无意 义,则两者没有交点,所以,有可能没有交点,如果有交点,则仅 有1个,不会出现2个交点.③正确.f(x)与g(t)的定义域和对应 关系相同.④错误.函数y=x与y=2x+1的定义域和值域都是R,但
(5)零次幂的底数不能为零.
(6)正切函数y=tanx,x≠kπ+ (k∈Z).
2
【变式训练】(2013·大纲版全国卷)已知函数f(x)的定义域 为(-1,0)，则函数f(2x+1)的定义域为(
A.(－ 1,1) C.(1,0) 1 B.(－ 1,－ ) 2 1 D.( ,1) 2
)
【解析】选B.令u=2x+1，由f(x)的定义域为(-1,0)可知
x x 1 答案： 2
x x 1 2
.
【加固训练】2f(x)-f(-x)=lg(x+1),则f(x)= 【解析】因为2f(x)-f(-x)=lg(x+1), 所以2f(-x)-f(x)=lg(1-x).
2f x f x lg x 1， 解方程组 2f x f x lg 1 x ， 得f(x)= 2 lg(x+1)+ 1 lg(1-x)(-1<x<1). 3 3 1 2 答案： lg(x+1)+ lg(1-x)(-1<x<1) 3 3
其中是A到B的映射的是(
A.①③ B.②④
)
D.②③
C.③④
【解析】选C.对于①,A中1,4,9在B中均有两个元素与其对应, 不符合映射的定义,故错误;②错误,因A中元素0,其倒数不存在; ③④正确,符合映射的定义.
3.(2013·广东高考)函数f(x)= A.(-1,+∞)
lg x 1 x－ 1
-1<u<0，即-1<2x+1<0，得-1<·重庆高考)函数 y
1 的定义域为( log 2 (x 2)
)
A.(-∞，2)
B.(2，+∞)
C.(2，3)∪(3，+∞) D.(2，4)∪(4，+∞)
【解析】选C.要使函数有意义,需满足
解得x>2且x≠3,故选C.
(1,8].
【规律方法】求函数定义域的三种常考类型及求解策略
(1)已知函数的解析式:构建使解析式有意义的不等式(组)求解.
(2)抽象函数:
①若已知函数f(x)的定义域为[a,b],则复合函数f(g(x))的定
义域由a≤g(x)≤b求出.
②若已知函数f(g(x))的定义域为[a,b],则f(x)的定义域为g(x)
x－2 0， log 2 x－2 0，
