函数及其表示习题课公开课课件

第一节 函数及其表示
(1)C (2)[－1,2]
1
2
3
4
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 核心素养 课后限时集训
[(1)由题意得－1＜2x＜1 －1＜x－1＜1，
即－ 0＜2＜x＜x＜2，2
解得0＜x＜2，
即函数g(x)的定义域为(0,2)，故选C. (2)由题意知－ 3≤x≤ 3，则－1≤x2－1≤2，
数函数的图象与性质，分段函数的求值，函数奇偶性的判断，函数
奇偶性、单调性及周期性的综合应用，函数的零点等内容.
第一节 函数及其表示
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走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 核心素养 课后限时集训
第一节 函数及其表示
第一节 函数及其表示
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走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 核心素养 课后限时集训
第一节 函数及其表示
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走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 核心素养 课后限时集训
2．抽象函数的定义域的求法 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义 域由a≤g(x)≤b求出． (2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在 x∈[a，b]时的值域． 提醒：明确定义域是自变量“x”的取值范围．
－(ax2＋bx＋3)＝4ax＋4a＋2b＝4x＋2，所以44aa＝＋42，b＝2， 所以
a＝1， b＝－1，
所以所求函数的解析式为f(x)＝x2－x＋3.
求抽象函数的定义域
[典例1－2]
(1)已知函数f(x)的定义域为(－1,1)，则函数g(x)＝f

1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调 性，会求函数的单调区间(对多项式函数一般不超过三次)． 2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数 求函数的极大值、极小值(对多项式函数一般不超过三次)；会 求闭区间上函数的最大值、最小值(对多项式函数一般不超过 三次)． 3.会利用导数解决某些实际问题．
求下列函数的定义域：
(1)y＝ x＋1＋lgx－2－1x0；
(2)已知函数f(2x＋1)的定义域为(0,1)，求f(x)的定义域． 解析： (1)要使函数y＝ x＋1＋lgx－2－1x0有意义，
x＋1≥0， 应有2x－－1x＞≠00，，
2－x≠1.
即xx≠≥1－，1， x＜2，
有－x≠11≤. x＜2，
答案： A
工具
第二章 函数、导数及其应用
3．下列各组函数中表示同一函数的是( ) A．f(x)＝x与g(x)＝( x)2 B．f(x)＝|x|与g(x)＝3 x3
x2 x＞0 C．f(x)＝x|x|与g(x)＝－x2 x＜0 D．f(x)＝xx2－－11与g(t)＝t＋1(t≠1)
解析： A中定义域不同，B中解析式不同，C中定义域不同． 答案： D
叫做函数的值域． 3．函数的构成要素为： 定义域 、 对应关系 和 值域 ． 由 于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的 定义域 相 同，并且 对应关系 完全一致，我们就称这两个函数 相等 ．
工具
第二章 函数、导数及其应用
【思考探究】 2.若两个函数的定义域与值域相同，是否为相等函 数？
答案： [－5，＋∞)
工具
第二章 函数、导数及其应用
工具
第二章 函数、导数及其应用
1．求函数定义域的步骤 对于给出具体解析式的函数而言，函数的定义域就是使函数解析式

图1
图2
即对于任意的v0∈（－∞，0），
按照对应关系①有两个值与之对应，
所以u＝g（v）不是函数．
新知探究
追问3 根据方程u2＋2v＝0，写出一个对应关系h使它成为u关于v的函 数．
u＝－ 2v 或u＝ 2v ．
新知探究
2．求函数的解析式
新知探究
例4 （1）已知f（x）是二次函数，且满足f（0）＝1， f（x＋1）－f（x）＝2x，求f（x）的解析式；
（2）f（x）＝x2，g（x）＝（ x ）4；
解：第（2）组中，f（x）＝x2的定义域为R， g（x）＝（ x）4的定义域为{x|x≥0}，定义域不同， 所以不是同一个函数．
新知探究
例2 下列哪一组中的函数f（x）与g（x）是同一个函数？
（3）f（x）＝x2，g（x）＝ 3 x6 ．
解：第（3）组中，二者的定义域均为R， 且 3 x6 ＝x2，因此解析式也相同， 所以f（x）＝x2与g（x）＝ 3 x6 是同一个函数．
–1 O
1
2
3x
0，x 3
新知探究
追问2 求函数f（x）与g（x）的值域．
函数f（x）的值域为{－3，－2，－1，0，1，2，3}， 函数g（x）的值域为[0，1）．
新知探究
追问3 求方程g（x）＝0.5的解集．
当－2.5＜x＜－2时，令g（x）＝0.5，则x＋3＝0.5， 解得x＝－2.5，－2.5∉（－2.5，－2），此时方程无解； 当－2＜x＜－1时，令g（x）＝0.5，则x＋2＝0.5， 解得x＝－1.5，－1.5∈[－2，－1），此时方程的解为x＝－1.5； 同理可以求得其他区间内的解． 综上，方程g（x）＝0.5的解集为{－1.5，－0.5，0.5，1.5，2.5}．

栏目 导引
第三章 函 数
2．下表表示函数 y＝f(x)，则 f(x)>x 的整数解的集合是________．
x
0<x<5 5≤x<10 10≤x<15 15≤x<20
y＝f(x)
4
6
8
10
解析：当 0<x<5 时，f(x)>x 的整数解为{1，2，3}． 当 5≤x<10 时，f(x)>x 的整数解为{5}． 当 10≤x<15 时，f(x)>x 的整数解为∅. 当 15≤x<20 时，f(x)>x 的整数解为∅. 综上所述，f(x)>x 的整数解的集合是{1，2，3，5}． 答案：{1，2，3，5}
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第三章 函 数
1．某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路 程．下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间， 则较符合该学生走法的是( )
解析：选 D.由题意可知，一开始速度较快，后来速度变慢，所 以开始曲线比较陡峭，后来曲线比较平缓，又纵轴表示离校的 距离，所以开始时距离最大，最后距离为 0.
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栏目 导引
第三章 函 数
函数 f(x)的图像如图所示，则 f(x)的定义域是________，值 域是________．
答案：[－1，0)∪(0，2] [－1，1)
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第三章 函 数
函数的三种表示方法 某商场新进了 10 台彩电，每台售价 3 000 元，试求售 出台数 x(x 为正整数)与收款数 y 之间的函数关系，分别用列表 法、图像法、解析法表示出来．
栏目 导引
第三章 函 数
函数图像的作法及应用 作出下列函数的图像并求出其值域． (1)y＝2x＋1，x∈[0，2]； (2)y＝2x，x∈[2，＋∞)； (3)y＝x2＋2x，x∈[－2，2]．

4．(2020·山东省济宁第一中学高三考前冲刺测试)函数 f(x)＝xl－n x1的定
义域为( ) A．[0,1)∪(1，＋∞) C．[0，＋∞)
B．(0,1)∪(1，＋∞) D．(0，＋∞)
解析 由xx＞ －01， ≠0， 解得 x＞0 且 x≠1，∴f(x)的定义域为(0,1)∪(1， ＋∞)．故选 B．
②当 a≠0 时，要使不等式恒成立，则
a>0， Δ＝－4a2－4·a·2<0，
即aa>20a，－1<0，
解得 0<a<12.由①②得 0≤a<12.故选 D．
解析
2a－x (2)已知集合 A＝{x|(x－2)(x－3a－1)＜0}，y＝lg x－a2＋1的定义域为
集合 B．若 A＝B，则实数 a＝________.
值范围是________.
答案 [0,12)
解析
mx－1 ∵y＝mx2＋mx＋3的定义域为
R，∴mx2＋mx＋3≠0，若
m＝0，
则 3≠0 成立，若 m≠0，则等价为判别式 Δ＝m2－12m＜0，解得 0＜m＜12.
综上，0≤m＜12.
解析 答案
8．若函数 f(x)＝ 2x2＋2ax－a－1的定义域为 R，则 a 的取值范围为 ________.
1．下列对应是否是从集合 A 到集合 B 的函数？ (1)A＝N，B＝Q，f：x→y＝x－1 1； (2)A＝{衡中高三·一班的同学}，B＝[0,150]，f：每个同学与其高考数学 的分数相对应． 解 (1)当 x＝1 时，y 值不存在，故不是集合 A 到集合 B 的函数． (2)不是集合 A 到集合 B 的函数，因为集合 A 不是数集．
3．(2020·安徽省合肥市高三联考)函数 f(x)＝ 1－2x＋

2．求函数的解析式主要掌握如下两种方法： (1)给出函数的特征，求函数的解析式，可用待定系数 法，如函数是二次函数，可设函数为 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 其中 a，b，c 是待定系数，根据题设条件，列出方程组，解 出 a，b，c 即可． (2)换元法求解析式，已知 f[h(x)]＝g(x)，求 f(x)的问题， 往往可设 h(x)＝t，从中解出 x，代入 g(x)进行换元求解．但 用换元法时，要注意新元的范围．
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2．函数的表示 列表法：用___表__格____的形式表示两个变量之间函数 关系的方法，称为列表法． 图象法：用____图_象____把两个变量间的函数关系表示 出来的方法，称为图象法． 解析法：一个函数的对应关系可以用自变量的 ___解_析__式___表示出来，这种方法称为解析法．
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点评：求函数解析式的常用方法： (1)待定系数法：若已知函数类型(如一次函数、二次函 数、反比例函数及其他所有形式已知的函数)，可用待定系 数法； (2)换元法：已知复合函数 f[g(x)]的解析式，可用换元 法，此时要注意新元的取值范围．
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【变式探究】
2. (1)已知 f( x＋1)＝x＋2 x，则 f(x＋1)＝
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解： (1)先利用函数解析式将 f(x)－f(a)＝(x－b)(x－a)2 的 左边表示出来,再化简右边,然后利用多项式相等的条件求解 即可.
因为 f(x)＝x3＋3x2＋1,则 f(a)＝a3＋3a2＋1, 所以 f(x)－f(a)＝(x－b)(x－a)2＝(x－b)(x2－2ax＋a2) ＝x3－(2a＋b)x2＋(a2＋2ab)x－a2b ＝x3＋3x2－a3－3a2.
答案：A,B,C

解 (1)A 中的元素 0 在 B 中没有对应元素，故不是 A 到 B 的函数； (2)对于集合 A 中的任意一个整数 x，按照对应关系 f：x→y＝x2， 在集合 B 中都有唯一一个确定的整数 x2 与其对应，故是集合 A 到 集合 B 的函数； (3)A 中为负数的元素没有平方根，故在 B 中没有对应的元素且 x 不一定为整数，故此对应关系不是 A 到 B 的函数； (4)对于集合 A 中任意一个实数 x，按照对应关系 f：x→y＝0，在 集合 B 中都有唯一一个确定的数 0 与它对应，故是集合 A 到集合 B 的函数．
题型三 求函数的定义域
【例 3】 (12 分)求下列函数的定义域： (1)y＝xx＋＋112－ 1－x；
(2)y＝
5－x |x|－3 .
审题指导 列出不等式组 → 解不等式组 → 得定义域
[规范解答] (1)要使函数有意义，自变量 x 的取值必须满足
x＋1≠0， 1－x≥0，
(3 分)
解得 x≤1 且 x≠－1，
题型一 函数概念的应用 【例 1】 下列对应关系是否为 A 到 B 的函数． (1)A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|； (2)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2； (3)A＝R，B＝Z，f：x→y＝ x； (4)A＝[－1,1]，B＝{0}，f：x→y＝0. [思路探索] 可根据函数的定义直接判断．
②关于对应关系 f，它是函数的本质特征，它好比是计算机中的 某个“程序”，当 f( )中括号内输入一个值时，在此“程序” 作用下便可输出某个数据，即函数值．如 f(x)＝3x＋5，f 表示 “自变量的 3 倍加上 5”，如 f(4)＝3×4＋5＝17. 提醒 f(x)与 f(a)，a∈A 的区别与联系：f(a)表示当 x＝a 时的函 数值，是常量，而 f(x)表示自变量为 x 的函数，表示的是变量．

➢气温随海拔的升高而降低，每上升1000米，气 温降低约6℃。
气温对生物的影响:
⒈许多动物的行为和气温变化有关. ⒉气温对人类生活和生产的影响也很 大.
⒈夏天来临时，家里常用哪些方法来抗高 温？冬天来临时，家里常用哪些方法来 御寒？
⒉高温和严寒有哪些危害？可以采取什么 防范措施？
气温与生活
海滩：炎热夏季的好去所
f(a)=-1,f(b)=0,f(c)=-1; f(a)=0,f(b)=-1,f(c)=-1;
f(a)=-1,f(b)=1,f(c)=0; f(a)=1,f(b)=-1,f(c)=0; f(a)=f(b)=f(c)=0;
f(a)=1,f(b)=0,f(c)=1; f(a)=0,f(b)=1,f(c)=1.
2
2
的值.
b=3
例4 如图,将一块半径为1的半圆形钢
板,切割成等腰梯形ABCD,其下底边AB是
圆O的直径,上底边CD的端点在圆周上,设
梯形的一条腰长为Biblioteka ,周长为f(x),求函数f(x)的值域.
D
C
f (x) x2 2x 4 AE
B
x (0, 2)
f (x) (4,5]
例5 已知集合A=(a,b,c},B={-1,0,1}, 映射f:A→B满足f(a)+f(b)=f(c),求这样 的映射共有多少个?
作业： P44 复习参考题A组：6，7，8.
B组：4，5.
气温、湿度和降水
1、气温和气温的测定
气温是指什么的冷热程度？ 空气
测定气温的工具是？ 温度计
气温的单位是？ 怎样观测气温？
摄氏度 0C 百叶箱
思考探究题：
1、根据平时的观察一天中的气温最高值 和最低值大概出现在什么时候？

y＝cos x，定义域均为_R__.
(5)y＝tan x 的定义域为
__x_|x_∈__R__且__x_≠__k_π_＋__π2_，__k_∈__Z_____.
(6)函数 f(x)＝xa的定义域为{x|x∈
R 且 x≠0}．
3.函数的定义域
(1)解决函数问题，函数的定义域 必须优先考虑； (2)求复合函数 y＝f(t)，t＝q(x) 的定义域的方法： ①若 y＝f(t)的定义域为(a，b)， 则解不等式得 a<q(x)<b 即可求 出 y＝f(q(x))的定义域； ②若 y＝f(g(x))的定义域为(a， b)，则求出 g(x)的值域即为 f(t) 的定义域．
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
根底知识·自主学习
根底自测
题号
答案
解析
1
-1
2
①②
3 [－3,0]∪[2,3] [1,5] [1,2)∪(4,5]
4
D
5
B
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度分析
题型一
函数的概念
【例 1】 有以下判断： (1)f(x)＝|xx|与 g(x)＝1－1
x≥0 x<0
表示同一函数； (2)函数 y＝f(x)的图象与直线 x＝1
＝1－1
x≥0 x<0 的定义域是 R，
所以二者不是同一函数；
的交点最多有 1 个；
对于(2)，若 x＝1 不是 y＝f(x)定义
(3)f(x)＝x2－2x＋1 与 g(t)＝t2－2t＋ 域的值，则直线 x＝1 与 y＝f(x)
1 是同一函数；
【例 2】 (1)已知 f2x＋1＝lg x， 思想启迪

新知探究
表1 我国某居民恩格尔系数变化情况
（2）如果是，这个函数有解析式吗？如何描述这个函数？ 解答：这个函数没有解析式．从表格1可知，y的取值范围是数集A4 ＝{2006，2007，2008，2009，2010，2011，2012，2013，2014， 2015}，恩格尔系数r的取值范围是数集B4＝{r|0＜r≤1}．对于数集 A4中的任一个年份y，根据表1所给的对应关系，在数集B4中都有唯 一确定的恩格尔系数r与之对应．
（2）约9.33℃．
目标检测
3 集合A，B与对应关系f如图所示： f：A→B是否为从集合A到集合B的函数？如果 是，那么定义域、值域与对应关系各是什么？
答案：是函数， 定义域为{1，2，3，4，5}，值域为{2，3，4，5}， 对应关系f为问题中给出的图．
目标检测
4 构建一个问题情境，使其中的变量关系能用解析式y＝ x 来描述．
与初中的函数概念相比，要特别注意定义域必须符合题目要求．
目标检测
1 一枚炮弹发射后，经过26 s落到底面击中目标．炮弹的射高为845 m， 且炮弹距地面的高度h（单位：m）与时间t（单位：s）的关系为： h＝130t－5t2． ①
求①所表示的函数的定义域与值域，并用函数的定义描述．
答案： 定义域为A＝{t|0≤t≤26}，值域为B＝{h|0≤h≤845}． 对应关系h＝130t－5t2把集合A中的任意一个数t， 对应到集合B中唯一确定的数130t－5t2．
新知探究
追问 值域和集合B相等吗？它们的关系是什么？
值域与集合B不一定相等， 值域是集合B的子集， 具体例子见问题6．
新知探究
问题8 你能用新的定义描述一次函数y＝ax＋b（a≠0）、二次 函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）和反比例函数y＝ k（k≠0）吗？从哪

导数．
理清教材•巩固基础
知识点一 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数
在x＝1称x．0函处定数的义y导＝数f(x，)在记x作＝fx′0处(x的0)或瞬y时′变|x＝化x率0，_Δl_ix即m→_0_f_′f_x_(0x＋_0_)Δ＝_Δ_xxΔ_l－ix_m→_0f_xΔΔ_0＝xy＝Δli_xmΔ→l_ix0m_→_0 ΔΔ_f_xyx_为0_＋_函_Δ_Δ数x_x_－y_＝_f_fx(_0x.) 2．几何意义
角度Ⅱ.求导法则与复合函数求导
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
3．分别求下列函数的导数：
(1)y＝excos x；
(2)y＝xx2＋1x＋x13；
(3)y＝x－sin
x 2cos
2x；
(4)y＝ln 1＋x2.
[解] (1)y′＝(ex)′cos x＋ex(cos x)′＝excos x－exsin x＝ex(cos x－sin x)．
∴g′(1)＝2f(1)＋f′(1)＝0， 又f′(1)＝－34， ∴f(1)＝－12×－34＝38.
5．[2021湖北宜昌联考]已知f′(x)是函数f(x)的导数，f(x)＝f′(1)·2x＋x2，则
f′(2)＝( C )
A．112－－28llnn22
B．1－22ln 2
C．1－24ln 2
D．－2
题型 导数的几何意义及应用
角度Ⅰ.求在点P(x0，y0)处的切线方程 试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
1．[2020全国卷Ⅰ文]曲线y＝ln x＋x＋1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程 为___2_x_－__y_＝__0___．
[解析] 本题考查导数的几何意义及切线方程的求法．设切点为(x0，y0)，对y＝

栏目 导引
求函数值和值域
第三章 函 数
已知 f(x)＝2－1 x(x∈R，x≠2)，g(x)＝x＋4(x∈R)． (1)求 f(1)，g(1)的值； (2)求 f(g(x))． 【解】 (1)f(1)＝2－1 1＝1，g(1)＝1＋4＝5. (2)f(g(x))＝f(x＋4)＝2－(1x＋4)＝－21－x＝－x＋1 2(x∈R，且 x≠ －2)．
栏目 导引
第三章 函 数
下列各组函数表示同一个函数的是( ) A．f(x)＝x－，xx，≥x0<，0 与 g(x)＝|x| B．f(x)＝1 与 g(x)＝(x＋1)0 C．f(x)＝ x2与 g(x)＝( x)2 D．f(x)＝x＋1 与 g(x)＝xx2－－11
栏目 导引
第三章 函 数
解析：选 A.A 项中两函数的定义域和对应关系相同，为同一个 函数；B 项中，f(x)的定义域为 R，g(x)的定义域为(－∞，－1)∪ (－1，＋∞)；C 项中 f(x)的定义域为 R，g(x)的定义域为[0， ＋∞)；D 项中，f(x)的定义域为 R，g(x)的定义域为(－∞，1)∪(1， ＋∞)．B，C，D 三项中两个函数的定义域都不相同，所以不 是同一个函数．故选 A.
栏目 导引
第三章 函 数
■名师点拨 对函数概念的 5 点说明
(1)当 A，B 为非空数集时，符号“f：A→B”表示 A 到 B 的一 个函数． (2)集合 A 中的数具有任意性，集合 B 中的数具有唯一性． (3)符号“f”表示对应关系，在不同的函数中 f 的具体含义不一 样． (4)函数的定义强调的是“对应关系”，对应关系也可用小写英 文字母如 g，h 表示． (5)在函数的表示中，自变量与因变量与用什么字母表示无关紧 要，如 f(x)＝2x＋1，x∈R 与 y＝2s＋1，s∈R 是同一个函数．

例4、某质点在30s内运动速度v是时间t的函数,它的图像如图, 用解析法表示出这个函数,并求出9s时质点的速度.
v/(cm/s)
解: 解析式为 t+10, (0 ≤ t<5), v (t)= 3t, (5 ≤ t＜10), 30, ( 10 ≤t ＜20), -3t+90,(20 ≤ t≤30).
设 v=kt+b
代入(0，10)，(5，15)得 b=10 5k+b=15 b=10 k=1
30 25 20 15
v/(cm/s)
v=t+10
代入(20，30)，(30，0)得 20k+b=30
10
5
0 5 10 15 20 25 30
k=－3 b=90 ppt课件
t/s
30k+b=0
v= － 3t+90
∵9 ∈[5,10)
t∈[0,5)，
30 25 20
t∈[5,10)，
t∈[10,20)， 15 t∈[20,30]. 10
5
0
∴当t=9s时,质点的速度 v(9)=3×9=27(cm/s).
5 10 15 20 25 30
t/s
求分段函数的值时， 首先应确定自变量在定义域中所在的范围 ; 15 ppt课件 再按相应的对应法则求值
对它应有以下两点基本认识： （1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数； （2）分段函数的定义域是各段定义域的并集， 值域是各段值域的并集。
函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、 线段、折线、离散的点等等。
ppt课件 13
例4、某质点在30s内运动速度v是时间t的函数,它的图像如图, 用解析法表示出这个函数,并求出9s时质点的速度.

关系是否相同,只有当两个函数定义域和对应关系完全相同时,它
们才表示同一函数.另外,函数自变量习惯上用x表示,但也能够用其
它字母表示,如:f(x)=2x-1,g(t)=2t-1,h(m)=2m-1均表示同一函数.
13/33
-14考点1
考点2
考点3
考点4
对点训练1(1)以下四个图象中,是函数图象是 (
4
5
3.已知f,g都是从A到A映射(其中A={1,2,3}),其对应关系以下表:
x
f
g
1
3
3
2
1
2
3
2
1
则f(g(3))等于(
)
A.1 B.2
C.3 D.不存在
关闭
由题中表格知g(3)=1,
故f(g(3))=f(1)=3.
关闭
C
解析
答案
9/33
-10知识梳理
1
考点自测
2
3
4
5
log 2, > 0,
所以
C f
1

4
关闭
=f(4)=2×(4-1)=6.
解析
答案
27/33
-28考点1
考点2
考点3
考点4
19/33
-20考点1
考点2
考点3
2

考点4
解: (1)令 +1=t.
2
∵x>0,∴t>1,且 x=-1.
2
∴f(t)=lg -1.
2
故 f(x)=lg -1(x>1).
(2)设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
由 f(0)=2,得 c=2.