函数及其表示.ppt

12n,1 n 24
Cn 11n, 25 n 48，这里的n∈N*表示购书的数量，C(n)
10n, n 49
是订购n本书所付的钱数(单位：元).若一本书的成本价是
5元，现有甲、乙两人来买书，每人至少买1本，两人共买60
本，问出版公司最少能赚多少钱？最多能赚多少钱？
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【审题指导】分析题意知，先弄清分段点是解题的关键；列
y=2x(x∈N)的图象是一条射线上的一群孤立的点，所以命
题③不正确；因为函数
y x2x的2 图象xx是＜ 0由0 函数y=x2图象
的对称轴的右侧部分与函数y=-x2图象的对称轴的左侧部分
组成的，并不是一条抛物线.所以命题④不正确.故选A.
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2.映射f:{1,2,3}→{1,2,3,4}满足f(x)=x，则这样的映射f 共有( ) (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 【解析】选A.由映射的定义知，集合{1,2,3}的每一个元素在 f的作用下都有惟一的元素与之对应，且f(x)=x，因此只有 f(1)=1,f(2)=2,f(3)=3一个映射符合条件.
际问题本身的要求.
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补充题 函数与映射的概念 1.下列对应关系是集合P上的函数的是________． (1)P＝Z，Q＝N*，对应关系f：对集合P中的元素取绝对值 与集合Q中的元素相对应； (2)P＝{－1,1，－2,2}，Q＝{1,4}，对应关系：f：x→y＝x2， x∈P，y∈Q； (3)P＝{三角形}，Q＝{x|x>0}，对应关系f：对P中三角形求 面积与集合Q中元素对应．
解析：由于(1)中集合P中元素0在集合Q中没有对应元素，
并且(3)中集合P不是数集，从而知只有(2)正确．
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补充题 函数与映射的概念
2.如图所示，可表示函数y＝f(x)的图象的只可能是 ( ) 答案：D
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补充题 函数与映射的概念
3．给出下列式子： ①y＝x；②y＝± x2；③f(x)＝1；④y＝2x，x∈{0,1,2}； ⑤y＝± 1－x2. 其中 y 是 x 的函数的是 ________．
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(4)∵f(x)=|3-x|+1=
x 2, x 3, x 4, x< 3.
∴f(x)与g(x)的定义域相同，且对应关系也相同,
因此f(x)与g(x)是相同函数.
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【规律方法】判断两函数y=f(x)与y=g(x)是否为相同函数 的依据为定义域、对应关系是否完全相同，若一方面不同， 则它们不是相同函数.
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求函数的解析式
【例2】(1)已知f(x+
1 x
)=x2
1 x2
，求f(x)的解析式；
(2)已知f( 2 1 )=lgx，求f(x)的解析式；
x
(3)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17，
求f(x)的解析式； (4)已知f(x)满足2f(x)+f( 1 )=3x，求f(x)的解析式.
解析：由函数的定义可知，①③④表示y是x的函数． 答案： ①③④
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求函数的定义域
【例1】(1)函数 y x2 3x 4 的定义域为( )
x
(A)［-4,1］
(B)［-4,0)
(C)(0,1］
(D)［-4,0)∪(0,1］
(2)已知函数f(2x+1)的定义域为(0,1)，求f(x)的定义域.
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第一节 函数及其表示
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8
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任何一个函数都可以用三种方法表示吗？ 提示:不一定，有些函数不能用解析法表示，只能用列表 法或图象法表示.
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1.下列四个命题中正确的有( )
①函数是由其定义域到值域的映射；
x
x 0 x2 3x
4
0
，
解得：-4≤x＜0或0＜x≤1.
所以所求函数的定义域为［-4，0)∪(0，1］.
(2)∵函数f(2x+1)的定义域为(0,1)，
∴1＜2x+1＜3,
∴f(x)的定义域为(1,3).
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【规律方法】求函数定义域的方法 (1)求具体函数y=f(x)的定义域：
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件中已知两函数的解析式，所以，在求解方法上，可以考虑
函数的定义域、解析式是否相同，如果两者分别相同，则是
相同函数，否则不是相同函数.
【规范解答】(1)∵f(x)=x2+2x-1的定义域为R，
g(t)=t2+2t-1的定义域为R，
∴f(x)与g(t)的定义域相同.
又∵它们的对应关系也相同,
∴f(x)与g(t)为相同函数；
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(2)∵f(x)=|x|，g(t)= =t2|t|， ∴f(x)与g(t)的定义域都为R，且对应关系也相同， 因此f(x)与g(t)是相同函数； (3)∵f(x)= x g 的x 定1义域为{x|x≥0}， g(x)= x2 的x 定义域为{x|x≥0或x≤-1}, ∴f(x)与g(x)的定义域不相同, 因此f(x)与g(x)不是相同函数；
(1)f(x)=x2+2x-1,g(t)=t2+2t-1；
(2)f(x)=|x|,g(t)= t2 ； (3)f(x)= x g x 1，g(x)= x2 x ；
(4)f(x)=|3-x|+1,g(x)=x x2,4x,
3, x＜3.
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【审题指导】本题是判断两函数是否为相同函数，由于在条
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分段函数及其应用
【例3】我国是水资源相对匮乏的国家，为鼓励节约用水，某
市打算制定一项水费措施，规定每季度每人用水不超过5吨时，
每吨水费的价格(基本消费价)为1.3元，若超过5吨而不超过6
吨时，超过部分的水费加收200%，若超过6吨而不超过7吨时，
超过部分的水费加收400%，如果某人本季度实际用水量为
x
【审题指导】求f(x)的解析式是寻找函数的自变量x与f(x)之
间的关系，一般采用凑配法、换元法、待定系数法、方程思
想等.
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【自主解答】(1)∵f(x+
且x+1 ≥2或x+ 1≤-2，
x
x
1)=x2+
x
∴f(x)=x2-2(x≥2或x≤-2)；
1=(x+
x2
)12-2，
x
(2)∵f( +21)=lgx，∴x＞0.
6.5x 28.6, 6< x 7
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【规律方法】1.对于实际应用题，应据已知条件确定分段点， 先在每一段上求出解析式，然后再写成分段函数； 2.解决分段函数问题的基本原则是分段进行，即自变量的取 值属于哪一段范围，就用这一段的解析式来解决.
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【例】某出版公司为一本畅销书定价如下：
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(4)方程思想：已知关于f(x)与f( )1或f(-x)的表达式，可根据
x
已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组 求出f(x). 提醒：因为函数的解析式相同，定义域不同，则为不相同函 数，因此求函数的解析式时，如果定义域不是使表达式有意 义的x的取值，一定要注明函数的定义域，否则会导致错误.
②f(x)= x 3 2 x 是一个函数；
③函数y=2x(x∈N)的图象是一条直线；
④函数
y
x 2 x
2
x 0 的图象是抛物线.
x＜0
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
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【解析】选A.由函数的定义知：命题①正确；因为使f(x)=
x 3 有2 意x义的x不存在，所以命题②不正确；因为函数
x(x≤7)吨，试计算本季度他应缴纳的水费.
【审题指导】计算本季度他应缴纳的水费，应看他的用水量x
在何范围内，不同的范围，缴纳的水费不同；可采用分段函数
来表示.
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【自主解答】设y表示本季度应缴纳的水费(元)，
当0＜x≤5时，y=1.3x；
当5＜x≤6时，应将x分成两部分：5与(x-5)分别计算，第一
x
设 2+1=t(t＞1)，则x= 2，
x
t 1
∴f(t)=lg (2t＞1)，
t 1
即f(x)=lg 2(x＞1)；
x 1
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(3)∵f(x)是一次函数，∴设f(x)=ax+b(a≠0)，
又∵3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17，
∴3(ax+a+b)-2(ax-a+b)=2x+17，
【审题指导】(1)本题是判断函数的定义域，实际上是求使函
数解析式有意义的x的集合，先列出不等式(组)，然后再解不
等式(组)，求出解集；(2)注意在对应关系f下，函数f(2x+1)
中2x+1的范围与函数f(x)中x的范围相同.
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【自主解答】(1)选D.
要使 y x2 有3x意 义4 ，则有：
即ax+5a+b=2x+17，
∴a=2，b=7，∴f(x)=2x+7.
(4)∵2f(x)+f( )1=3x