高中数学【配套Word版文档】四.4.4函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用

§4.4 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及应用2014高考会这样考 1.考查函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象变换；2.结合三角恒等变换考查y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质和应用；3.考查给出图象的解析式．复习备考要这样做 1.掌握“五点法”作图，抓住函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的特征；2.理解三种图象变换，从整体思想和数形结合思想确定函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质．1． 用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点．如下表所示.3． 图象的对称性函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的图象是轴对称也是中心对称图形，具体如下： (1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于直线x ＝x k (其中ωx k ＋φ＝k π＋π2，k ∈Z )成轴对称图形．(2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于点(x k,0)(其中ωx k ＋φ＝k π，k ∈Z )成中心对称图形． [难点正本 疑点清源] 1． 作图时应注意的两点(1)作函数的图象时，首先要确定函数的定义域．(2)对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图象时只要作出一个周期的图象，就可根据周期性作出整个函数的图象．2． 图象变换的两种方法的区别由y ＝sin x 的图象，利用图象变换作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0) (x ∈R )的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象沿x 轴的伸缩量的区别．先平移变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位，而先周期变换(伸缩变换)再平移变换，平移的量是|φ|ω个单位．1． 已知简谐运动f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋φ (|φ|<π2)的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为__________． 答案 6，π6解析 由题意知1＝2sin φ，得sin φ＝12，又|φ|<π2，得φ＝π6；而此函数的最小正周期为T ＝2π÷⎝⎛⎭⎫π3＝6. 2． (2012·浙江改编)把函数y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是______．(填序号)答案 ①解析 y ＝cos 2x ＋1――――――――→横坐标伸长2倍纵坐标不变y ＝cos x ＋1――――――――→向左平移1个单位长度y ＝cos(x ＋1)＋1――――――――→向下平移1个单位长度y ＝cos(x ＋1)． 由此可知图象为①.3． (2011·大纲全国)设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于________． 答案 6解析 由题意可知，nT ＝π3 (n ∈N *)，∴n ·2πω＝π3 (n ∈N *)，∴ω＝6n (n ∈N *)，∴当n ＝1时，ω取得最小值6.4． 把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫5x －π2的图象向右平移π4个单位，再把所得函数图象上各点的横坐标缩短为原来的12，所得的函数解析式为__________________．答案 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫10x －7π4 解析 将原函数的图象向右平移π4个单位，得到函数y ＝sin ⎣⎡⎦⎤5⎝⎛⎭⎫x －π4－π2＝sin ⎝⎛⎭⎫5x －7π4的图象；再把所得函数图象上各点的横坐标缩短为原来的12，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫10x －7π4的图象．5. 已知简谐运动f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (|φ|<π2)的部分图象如图所示，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为__________． 答案 6，π6解析 由图象易知A ＝2，T ＝6，∴ω＝π3，又图象过(1,2)点，∴sin ⎝⎛⎭⎫π3×1＋φ＝1， ∴φ＋π3＝2k π＋π2，k ∈Z ，又|φ|<π2，∴φ＝π6.题型一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换 例1 已知函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. (1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；(3)说明y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到． 思维启迪：(1)由振幅、周期、初相的定义即可解决．(2)五点法作图，关键是找出与x 相对应的五个点． (3)只要看清由谁变换得到谁即可．解 (1)y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的振幅A ＝2，周期T ＝2π2＝π， 初相φ＝π3.(2)令X ＝2x ＋π3，则y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝2sin X . 列表，并描点画出图象：(3)方法一 把y ＝sin x 的图象上所有的点向左平移π3个单位，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象，再把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象上的点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，最后把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象． 方法二 将y ＝sin x 的图象上每一点的横坐标x 缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到y＝sin 2x 的图象；再将y ＝sin 2x 的图象向左平移π6个单位，得到y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象；再将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象． 探究提高 (1)作三角函数图象的基本方法就是五点法，此法注意在作出一个周期上的简图后，应向两端伸展一下，以示整个定义域上的图象；(2)变换法作图象的关键是看x 轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用ωx ＋φ＝ω⎝⎛⎭⎫x ＋φω来确定平移单位．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4，x ∈R .(1)画出函数f (x )在长度为一个周期的闭区间上的简图； (2)将函数y ＝sin x 的图象作怎样的变换可得到f (x )的图象？ 解 (1)列表取值：(2)先把y ＝sin x 的图象向右平移π4个单位，然后把所有的点的横坐标扩大为原来的2倍，再把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到f (x )的图象． 题型二 求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式例2 (1)(2011·江苏)已知f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0)的部分图象如图所示，则f (0)的值是______．(2)(2011·辽宁)已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)，y ＝f (x )的部分图象如图所示，则f (π24)＝__________.思维启迪：(1)由平衡点和相邻最低点间的相对位置确定周期；根据待定系数法求φ.(2)将“ωx ＋φ”看作一个整体放在一个单调区间内求解． 答案 (1)62(2) 3 解析 (1)由题图知A ＝2，T 4＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π，ω＝2ππ＝2.∴2×π3＋φ＝2k π＋π，k ∈Z ，∴φ＝2k π＋π3(k ∈Z )．令k ＝0，得φ＝π3.∴函数解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， ∴f (0)＝2sin π3＝62.(2)由图形知，T ＝πω＝2(38π－π8)＝π2，∴ω＝2.由2×38π＋φ＝k π，k ∈Z ，得φ＝k π－34π，k ∈Z .又∵|φ|＜π2，∴φ＝π4.由A tan(2×0＋π4)＝1，知A ＝1，∴f (x )＝tan(2x ＋π4)，∴f (π24)＝tan(2×π24＋π4)＝tan π3＝ 3.探究提高 根据y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑：①A 的确定：根据图象的最高点和最低点，即A ＝最高点－最低点2；②k 的确定：根据图象的最高点和最低点，即k ＝最高点＋最低点2；③ω的确定：结合图象，先求出周期T ，然后由T ＝2πω(ω>0)来确定ω；④φ的确定：由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 最开始与x 轴的交点(最靠近原点)的横坐标为－φω(即令ωx ＋φ＝0，x ＝－φω)确定φ.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，|φ|<π2，ω>0)的图象的一部分如图所示，则该函数的解析式为____________． 答案 f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 解析 观察图象可知：A ＝2且点(0,1)在图象上，∴1＝2sin(ω·0＋φ)，即sin φ＝12.∵|φ|<π2，∴φ＝π6.又∵1112π是函数的一个零点，且是图象递增穿过x 轴形成的零点，∴11π12ω＋π6＝2π，∴ω＝2.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 题型三 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象和性质的综合应用例3 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中A >0，ω>0,0<φ<π2)的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上一个最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2. (1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2时，求f (x )的值域． 解 (1)由最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2得A ＝2. 由x 轴上相邻两个交点之间的距离为π2，得T 2＝π2，即T ＝π，∴ω＝2πT ＝2ππ＝2.由点M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2在图象上得2sin ⎝⎛⎭⎫2×2π3＋φ＝－2， 即sin ⎝⎛⎭⎫4π3＋φ＝－1，故4π3＋φ＝2k π－π2(k ∈Z )， ∴φ＝2k π－11π6(k ∈Z )．又φ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴φ＝π6， 故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. (2)∵x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π3，7π6， 当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2；当2x ＋π6＝7π6，即x ＝π2时，f (x )取得最小值－1，故f (x )的值域为[－1,2]．探究提高 本题属三角函数模型的应用，通常的解决方法：转化为y ＝sin x ，y ＝cos x 等函数解决图象、最值、单调性等问题，体现了化归的思想方法；用三角函数模型解决实际问题主要有两种：一种是用已知的模型去分析解决实际问题，另一种是需要建立精确的或者数据拟合的模型去解决问题，尤其是利用数据建立拟合函数解决实际问题，充分体现了新课标中“数学建模”的本质．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π6－2cos 2π8x ＋1. (1)求f (x )的最小正周期；(2)若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，求当x ∈⎣⎡⎦⎤0，43时，y ＝g (x )的最大值．解 (1)f (x )＝sin π4x cos π6－cos π4x sin π6－cos π4x＝32sin π4x －32cos π4x ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π3，故f (x )的最小正周期为T ＝2ππ4＝8.(2)方法一 在y ＝g (x )的图象上任取一点(x ，g (x ))，它关于x ＝1的对称点为(2－x ，g (x ))． 由题设条件，点(2－x ，g (x ))在y ＝f (x )的图象上，从而g (x )＝f (2－x )＝3sin ⎣⎡⎦⎤π4(2－x )－π3 ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π2－π4x －π3 ＝3cos ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π3.当0≤x ≤43时，π3≤π4x ＋π3≤2π3，因此y ＝g (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，43上的最大值为 g (x )max ＝g (0)＝3cos π3＝32.方法二 因区间⎣⎡⎦⎤0，43关于x ＝1对称区间为⎣⎡⎦⎤23，2，且y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称，故y ＝g (x )在⎣⎡⎦⎤0，43上的最大值即为y ＝f (x )在⎣⎡⎦⎤23，2上的最大值． 由(1)知f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π3， 当23≤x ≤2时，－π6≤π4x －π3≤π6. 所以f (x )max ＝f (2)＝32. 因此y ＝g (x )在⎣⎡⎤0，43上的最大值为32.利用三角函数的性质求解析式典例：(14分)如图为y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的一段．(1)求其解析式；(2)若将y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象向左平移π6个单位后得y ＝f (x )，求f (x )的对称轴方程．审题视角 (1)图象是y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象．(2)根据“五点法”作图的原则，M 可以看作第一个零点；⎝⎛⎭⎫5π6，0可以看作第二个零点． 规范解答解 (1)由图象知A ＝3，以M ⎝⎛⎭⎫π3，0为第一个零点，N ⎝⎛⎭⎫5π6，0为第二个零点．[2分] 列方程组⎩⎨⎧ω·π3＋φ＝0，ω·5π6＋φ＝π，解之得⎩⎪⎨⎪⎧ω＝2，φ＝－2π3.[5分]∴所求解析式为y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3.[7分] (2)f (x )＝3sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6－2π3 ＝3sin ⎝⎛⎫2x －π3，[9分] 令2x －π3＝π2＋k π(k ∈Z )，则x ＝512π＋k π2 (k ∈Z )，[13分]∴f (x )的对称轴方程为x ＝512π＋k π2(k ∈Z )．[14分]第一步：根据图象确定第一个平衡点、第二个平衡点或 最高点、最低点．第二步：将“ωx ＋φ”作为一个整体，找到对应的值． 第三步：列方程组求解． 第四步：写出所求的函数解析式．第五步：反思回顾，查看关键点、易错点及答题规范．温馨提醒 (1)求函数解析式要找准图象中的“五点”，利用方程求解ω，φ；(2)讨论性质时将ωx ＋φ视为一个整体.方法与技巧1． 五点法作函数图象及函数图象变换问题(1)当明确了函数图象基本特征后，“描点法”是作函数图象的快捷方式．运用“五点法”作正、余弦型函数图象时，应取好五个特殊点，并注意曲线的凹凸方向． (2)在进行三角函数图象变换时，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角”变化多少．2． 由图象确定函数解析式由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象确定A 、ω、φ的题型，常常以“五点法”中的第一个零点⎝⎛⎭⎫－φω，0作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个零点的位置．要善于抓住特殊量和特殊点． 3． 对称问题函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与x 轴的每一个交点均为其对称中心，经过该图象上坐标为(x ，±A )的点与x 轴垂直的每一条直线均为其图象的对称轴，这样的最近两点间横坐标的差的绝对值是半个周期(或两个相邻平衡点间的距离)． 失误与防范1．由函数y ＝sin x (x ∈R )的图象经过变换得到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，在具体问题中，可先平移变换后伸缩变换，也可以先伸缩变换后平移变换，但要注意：先伸缩，后平移时要把x 前面的系数提取出来．2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象和性质是本节考查的重点，也是高考热点，复习时尽可能使用数形结合的思想方法，如求解对称轴、对称中心和单调区间等．3．注意复合形式的三角函数的单调区间的求法．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的单调区间的确定，基本思想是把ωx ＋φ看做一个整体．在单调性应用方面，比较大小是一类常见的题目，依据是同一区间内函数的单调性．A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：62分)一、填空题(每小题5分，共35分)1． 将函数y ＝sin x 的图象向左平移φ (0≤φ<2π)个单位后，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6的图象，则φ＝________. 答案116π 解析 将函数y ＝sin x 向左平移φ(0≤φ<2π)个单位得到函数y ＝sin(x ＋φ)．只有φ＝116π时有y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋116π＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6. 2． 把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍(纵坐标不变)，再将图象向右平移π3个单位，那么所得图象的对称轴方程为____________．答案 x ＝k π2(k ∈Z 解析 由题意得，把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，再将图象向右平移π3个单位， 得y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π3＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝－cos 2x ，所以对称轴为x ＝k π2(k ∈Z . 3． 将函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫x 3＋π6的图象向左平移π4个单位，再向下平移1个单位，得到函数g (x )的图象，则g (x )的解析式为____________．答案 g (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫x 3＋π4－1解析 g (x )＝2cos ⎣⎡⎦⎤13⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋π6－1 ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x 3＋π4－1.4． 若函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中ω>0，|φ|<π2)的最小正周期是π，且f (0)＝3，则ω＝______，φ＝______.答案 2 π3解析 ∵T ＝π，∴ω＝2.又2sin φ＝3，|φ|<π2，∴φ＝π3. 5． 函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω＝________.答案 3解析 由图象可以看出32T ＝π，∴T ＝23π＝2πω，因此ω＝3. 6． 已知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3 (ω>0)，f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π3，且f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝_________________.答案 143解析 依题意，x ＝π6＋π32＝π4时，y 有最小值， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π4·ω＋π3＝－1，∴π4ω＋π3＝2k π＋3π2(k ∈Z )． ∴ω＝8k ＋143 (k ∈Z )，∵f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3上有最小值，无最大值，∴π3－π4<πω，即ω<12.∴令k ＝0，得ω＝143. 7． 设函数f (x )＝sin x －cos x ，若0≤x ≤2 011π，则函数f (x )的各极值之和为________．答案 2解析 f ′(x )＝cos x ＋sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，令f ′(x )＝0，得x ＝－π4＋k π (k ∈Z )，∵f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4， ∴f ⎝⎛⎭⎫－π4＋k π＝2sin ⎝⎛⎭⎫－π4＋k π－π4 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫k π－π2＝－2·cos k π， 当k 为奇数时，函数取得极大值2；当k 为偶数时，函数取得极小值－2，∵0≤x ≤2 011π，∴14≤k ≤8 0454， ∴此函数在此区间上各极值的和为 2.二、解答题(共27分)8． (13分)(2012·陕西)函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋1(A >0，ω>0)的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2. (1)求函数f (x )的解析式；(2)设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f ⎝⎛⎭⎫α2＝2，求α的值． 解 (1)∵函数f (x )的最大值为3，∴A ＋1＝3，即A ＝2.∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2， ∴最小正周期T ＝π，∴ω＝2，∴函数f (x )的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋1. (2)∵f ⎝⎛⎭⎫α2＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＋1＝2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝12.∵0<α<π2， ∴－π6<α－π6<π3，∴α－π6＝π6，∴α＝π3. 9． (14分)已知函数f (x )＝23sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4cos ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4－sin(x ＋π)．(1)求f (x )的最小正周期；(2)若将f (x )的图象向右平移π6个单位，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π]上的最大值和最小值．解 (1)因为f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋sin x ＝3cos x ＋sin x ＝2⎝⎛⎭⎫32cos x ＋12sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3， 所以f (x )的最小正周期为2π.(2)∵将f (x )的图象向右平移π6个单位，得到函数g (x )的图象， ∴g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x －π6＝2sin[⎝⎛⎭⎫x －π6＋π3] ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. ∵x ∈[0，π]，∴x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6， ∴当x ＋π6＝π2，即x ＝π3时，sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝1，g (x )取得最大值2. 当x ＋π6＝7π6，即x ＝π时，sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝－12，g (x )取得最小值－1.B 组 专项能力提升(时间：35分钟，满分：58分)一、填空题(每小题5分，共30分)1． 若将函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4 (ω>0)的图象向右平移π6个单位长度后，与函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6的图象重合，则ω的最小值为________．答案 12解析 y ＝tan ⎝⎛⎫ωx ＋π4 y ＝tan ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x －π6＋π4＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6， ∴π4－π6ω＋k π＝π6 (k ∈Z )，∴ω＝6k ＋12(k ∈Z )． 又∵ω>0，∴ωmin ＝12.2. 若函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图象 如图所示，M ，N 分别是这段图象的最高点和最低点，且OM →·ON →＝0，则A ·ω＝________.答案 76π 解析 由题图可知，T ＝π，所以ω＝2，易得sin ⎝⎛⎭⎫2×π12＋φ＝1，又|φ|<π2，所以φ＝π3， 因此y ＝A sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，又M ⎝⎛⎭⎫π12，A ，N ⎝⎛⎭⎫7π12，－A ， 若OM →·ON →＝0，则π12×7π12－A 2＝0，所以A ＝712π， 因此A ·ω＝2×712π＝76π.3. 电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π2)的图象如右图所示，则当t ＝1100秒时，电流强度是 ______________安．答案 －5解析 由图象知A ＝10，T 2＝4300－1300＝1100， ∴ω＝2πT＝100π.∴I ＝10sin(100πt ＋φ)． ⎝⎛⎭⎫1300，10为五点中的第二个点，∴100π×1300＋φ＝π2. ∴φ＝π6.∴I ＝10sin ⎝⎛⎭⎫100πt ＋π6， 当t ＝1100秒时，I ＝－5安． 4． 若f (x )＝2sin(ωx ＋φ)＋m 对任意实数t 都有f ⎝⎛⎭⎫π8＋t ＝f ⎝⎛⎭⎫π8－t ，且f ⎝⎛⎭⎫π8＝－3，则实数m 的值等于________．答案 －1或－5解析 依题意得，函数f (x )的图象关于直线x ＝π8对称，于是当x ＝π8时，函数f (x )取得最值，因此有±2＋m ＝－3，解得m ＝－5或m ＝－1.5． 已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) (ω>0，－π2≤φ≤π2)的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，且过点⎝⎛⎭⎫2，－12，则函数解析式f (x )＝____________________.答案 sin ⎝⎛⎭⎫πx 2＋π6解析 据已知两个相邻最高及最低点距离为22，可得⎝⎛⎭⎫T 22＋(1＋1)2＝22，解得T ＝4，故ω＝2πT ＝π2，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx 2＋φ，又函数图象过点⎝⎛⎭⎫2，－12，故f (2)＝sin(π＋φ)＝－sin φ＝－12，又－π2≤φ≤π2，解得φ＝π6，故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx 2＋π6. 6． 某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎡⎦⎤π6(x －6) (x ＝1,2,3，…，12，A >0)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值为________℃.答案 20.5解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋A ＝28，a －A ＝18， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，A ＝5， ∴y ＝23＋5cos ⎣⎡⎦⎤π6(x －6)，x ＝10时，y ＝23＋5×⎝⎛⎭⎫－12＝20.5. 二、解答题(共28分)7． (14分)(2012·湖南)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0,0<φ<π2)的部 分图象如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x －π12－f ⎝⎛⎭⎫x ＋π12的单调递增区间． 解 (1)由题设图象知，周期T ＝2⎝⎛⎭⎫11π12－5π12＝π，所以ω＝2πT＝2.因为点⎝⎛⎭⎫5π12，0在函数图象上， 所以A sin ⎝⎛⎭⎫2×5π12＋φ＝0，即sin ⎝⎛⎭⎫5π6＋φ＝0. 又因为0<φ<π2，所以5π6<5π6＋φ<4π3. 从而5π6＋φ＝π，即φ＝π6. 又点(0,1)在函数图象上，所以A sin π6＝1，解得A ＝2. 故函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.(2)g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12＋π6－2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π12＋π6 ＝2sin 2x －2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 ＝2sin 2x －2⎝⎛⎭⎫12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2， 得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z . 所以函数g (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z . 8． (14分)已知定义在R 上的函数f (x )＝a sin ωx ＋b cos ωx ＋1 (ω>0，a >0，b >0)的周期为π，f ⎝⎛⎭⎫π4＝3＋1，且f (x )的最大值为3.(1)写出f (x )的表达式；(2)写出函数f (x )的对称中心、对称轴方程；(3)说明f (x )的图象由函数y ＝2sin x 的图象经过怎样的变换得到．解 (1)f (x )＝a 2＋b 2sin(ωx ＋φ)＋1，∵周期为π，∴2πω＝π，∴ω＝2. ∴f (x )＝a sin 2x ＋b cos 2x ＋1.f ⎝⎛⎭⎫π4＝a ＋1＝3＋1，∴a ＝ 3.又a 2＋b 2＋1＝3，∴b ＝1.∴f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1. (2)由f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1， 令2x ＋π6＝k π(k ∈Z )，得x ＝k π2－π12(k ∈Z )， ∴对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2－π12，1 (k ∈Z )， 由2x ＋π6＝k π＋π2，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z )， ∴对称轴方程为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )．(3)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1的图象可先由函数y ＝2sin x 的图象向左平移π6个单位，得到函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象；再将y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6图象的横坐标缩小到原来的12，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象；再将y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向上平移一个单位，即得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1的图象．。