高中数学抽象函数专题含答案,教师版

抽象函数周期性的探究(教师版)抽象函数是指没有给出具体的函数解析式,只给出它的一些特征、性质或一些特殊关系式的函数，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力.而在教学中我发现同学们对于抽象函数周期性的判定和运用比较困难 ,所以特探究一下抽象函数的周期性问题.利用周期函数的周期求解函数问题是基本的方法 .此类问题的解决应注意到周期函数定义、紧扣函数图象特征，寻找函数的周期，从而解决问题.以下给出几个命题：命题1：若a是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x) 是周期函数.(1)函数y=f(x)满足f(x+a)=－f(x)，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期.(2)函数y=f(x)满足f(x+a)=1f(x)，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期.(3)函数y=f(x)满足f(x+a)+f(x)=1，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期.命题2：若a、b(a b )是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x)是周期函数.(1) 函数y=f(x)满足f(x+a)=f(x+b)，则f(x)是周期函数，且|a-b|是它的一个周期.(2)函数图象关于两条直线x=a，x=b对称，则函数y=f(x)是周期函数，且2|a-b|是它的一个周期.(3) 函数图象关于点M(a,0)和点N(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且2|a-b|是它的一个周期.(4)函数图象关于直线x=a，及点M(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且4|a-b|是它的一个周期.命题3：若a是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x) 是周期函数.(1)若f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=a对称，则f(x)是周期函数，且2a 是它的一个周期.(2)若f(x)是定义在R上的奇函数，其图象关于直线x=a对称，则f(x)是周期函数，且4a 是它的一个周期.我们也可以把命题3看成命题2的特例,命题3中函数奇偶性、对称性与周期性中已知其中的任两个条件可推出剩余一个.下面证明命题3 (1)，其他命题的证明基本类似.设条件A: 定义在R上的函数f(x)是一个偶函数.条件B: f(x)关于x=a对称条件C: f(x)是周期函数,且2a是其一个周期.结论: 已知其中的任两个条件可推出剩余一个.证明: ①已知A、B→ C (2001年全国高考第22题第二问)∵f(x)是R上的偶函数∴f(-x)=f(x)又∵f(x)关于x=a对称∴f(-x)=f(x+2a)∴f(x)=f(x+2a)∴f(x)是周期函数,且2a是它的一个周期②已知A、C→B∵定义在R上的函数f(x)是一个偶函数∴f(-x)=f(x)又∵2a是f(x)一个周期∴f(x)=f(x+2a)∴f(-x)=f(x+2a) ∴ f(x)关于x=a对称③已知C、B→A∵f(x)关于x=a对称∴f(-x)=f(x+2a)又∵2a是f(x)一个周期∴f(x)=f(x+2a)∴f(-x)=f(x) ∴f(x)是R上的偶函数T由命题3(2)，我们还可以得到结论:f(x)是周期为T的奇函数，则f( )=02基于上述命题阐述，可以发现，抽象函数具有某些关系.根据上述命题，我们易得函数周期，从而解决问题，以下探究上述命题在解决抽象函数问题中的运用.1.求函数值例1：f(x) 是R上的奇函数f(x)=－ f(x+4) ，x∈[0，2]时f(x)=x，求f(2007) 的值解：方法一∵f(x)=－f(x+4) ∴f(x+8) =－f(x+4) =f(x)∴8是f(x)的一个周期∴f(2007)= f(251×8-1)=f(-1)=－f(1)=－1方法二∵f(x)=－f(x+4)，f(x)是奇函数∴f(-x)=f(x+4) ∴f(x)关于x=2对称又∵f(x)是奇函数∴8是f(x)的一个周期，以下与方法一相同.例2：已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x+2)[1－f(x)]=1+f(x)，f(1)=2，求f(2009) 的值解：由条件知f(x)1，故f (x + 2) =：f (x + 4) = = 1f(x)类比命题1可知，函数f(x)的周期为8，故f(2009)= f(251×8+1)=f(1)=22. 求函数解析式例3：已知f(x)是定义在R上的偶函数， f(x)= f(4-x)，且当x[2,0]时， f(x)=－2x+1，则当x [4,6]时求f(x)的解析式解：当x [0,2]时x [2,0] ∴f(－x)=2x+1∵f(x)是偶函数∴f(－x)=f(x) ∴f(x)=2x+1当x [4,6]时 4 + x [0,2] ∴f(－4+x)=2(－4+x)+1=2x－7又函数f(x)是定义在R上的偶函数， f(x)= f(4-x)，类比命题3 (1)知函数f(x)的周期为4故f(-4+x)=f(x)∴当x [4,6]时求f(x)=2x－73.判断函数的奇偶性例4：已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x+999)=1f(x)，f(999+x)=f(999－x)，试刘云汉判断函数f(x)的奇偶性.解：由f(x+999)=一1f(x)，类比命题1可知，函数f(x)的周期为1998即f(x+1998)=f(x)；由f(999+x)=f(999－x)知f(x)关于x=999对称，即f(－x)=f(1998+x)故f(x)=f(－x) ：f(x)是偶函数 4.判断函数的单调性例5：已知f(x)是定义在R 上的偶函数， f(x)= f(4-x)，且当x =[一2,0]时， f(x)是减函数， 求证当x =[4,6]时f(x)为增函数解：设4 共 x < x 共 6 则一2 共 一x + 4 < 一x + 4 共 01 2 2 1∵ f(x)在[-2，0]上是减函数∴ f (一x + 4) > f (一x + 4)2 1又函数f(x)是定义在R 上的偶函数， f(x)= f(4-x)，类比命题3 (1)知函数f(x)的周期为 4故f(x+4)=f(x ) ∴ f (一x ) > f (一x ) ∵ f(-x)=f(x) ∴ f (x ) > f (x )2 1 2 1故当 x =[4,6]时f(x)为增函数例6：f(x)满足f(x) =-f(6-x)，f(x)= f(2-x)，若f(a) =-f(2000)，a ∈ [5，9]且f(x) 在[5，9]上单调.求a 的值.解：∵ f(x)=-f(6-x ) ∴f(x)关于(3，0)对称∵ f(x)= f(2-x ) ∴ f(x)关于x=1对称∴根据命题2 (4)得8是f(x)的一个周期 ∴f(2000)= f(0) 又∵f(a) =-f (2000) ∴f(a)=-f(0)又∵f(x) =-f(6-x) ∴f(0)=-f(6) ∴f(a)=f(6)∵a∈[5，9]且f(x)在[5，9]上单调∴a =6 5.确定方程根的个数例7：已知f(x)是定义在R 上的函数， f(x)= f(4－x)，f(7+x)= f(7－x),f(0)=0， 求在区间[－1000，1000]上f(x)=0至少有几个根？解：依题意f(x)关于x=2，x=7对称，类比命题2 (2)可知f(x)的一个周期是10故f(x+10)=f(x ) ∴f(10)=f(0)=0 又f(4)=f(0)=0即在区间(0，10]上，方程f(x)=0至少两个根又f(x)是周期为10的函数，每个周期上至少有两个根，因此方程f(x)=0在区间[－1000，1000]上至少有1+2人200010=401个根.两类易混淆的函数问题：对称性与周期性已知函数 y = f (x ) (x ∈R)满足 f (5+x ) = f (5－x )，问： y = f (x )是周期函数吗它的图像是不是轴对称图形已知函数 y = f (x ) (x ∈R)满足 f (5+x ) = f (5－x )，问： y = f (x )是周期函数吗它的图像是不是轴对称图形这两个问题的已知条件形似而质异。

高一数学之抽象函数专题集锦一、选择题（本大题共14小题，共70.0分）1. 设f(x)为定义在R 上的偶函数，且f(x)在[0,+∞)上为增函数，则f(−2)，f(−π)，f(3)的大小顺序是( )A.B. C. D.2. 函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，且f(x +2)关于x =−2对称，若f(−2)=1，则f(x −2)≤1的x 的取值范围是( )A. [−2,2]B. (−∞,−2]∪[2,+∞)C. (−∞,0]∪[4,+∞)D. [0,4]3. 已知函数y =f(x)定义域是[−2,3]，则y =f(2x −1)的定义域是( )A. [0,52]B. [−1,4]C. [−12,2]D. [−5,5]4. 函数f(x)在(−∞,+∞)上单调递减，且为奇函数．若f(1)=−1，则满足−1≤f(x −2)≤1的x 的取值范围是( )A. B. C. [0,4] D. [1,3]5. 若定义在R 上的奇函数f(x)在(−∞,0)单调递减，且f(2)=0，则满足xf(x −1)⩾0的x 的取值范围是( )A. [−1,1]∪[3,+∞)B. [−3,−1]∪[0,1]C. [−1,0]∪[1,+∞)D. [−1,0]∪[1,3] 6. 已知f(x)={x 2+4x x ≥0 , 4x −x 2 , x <0若f(2−a 2)>f(a)，则实数a 的取值范围是( ) A. (−2 , 1)B. (−1 , 2)C. (−∞ , −1)⋃(2 , +∞)D. (−∞ , −2)⋃(1 , +∞)7. 已知定义在R 上的函数f(x)满足f(2−x)=f(x)，且在[1,+∞)上为增函数，则下列关系式正确的是A. f(−1)<f(0)=f(2)B. f(0)<f(−1)<f(2)C. f(0)=f(2)<f(−1)D. f(−1)<f(0)<f(2)8. 设函数f(x)={x 2−6x +6,x ⩾03x +4,x <0，若互不相等的实数x 1,x 2,x 3满足f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)，则x 1+x 2+x 3的取值范围是( )A. (113,6]B. (203,263)C. (203,263]D. (113,6) 9. f(x)是定义域在(−2,2)上单调递减的奇函数，当f(2−a)+f(2a −3)<0时，a 的取值范围是( )A. (0,4)B. (0,52)C. (12,52)D. (1,52) 10. 设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，若x 1+ x 2>0，则f (x 1)+ f (x 2)的值( )A. 恒为负值B. 恒等于零C. 恒为正值D. 无法确定正负11. 已知偶函数f(x)在区间(0,+∞)上单调增加，则f(2x −1)<f(13)的x 取值范围是( ) A. (13,23). B. [13,23) C. (12,23) D. (12,23] 12. 已知函数y =f(x)定义域是[−2,3]，则y =f(2x −1)的定义域是( )A. [0,52]B. [−1,4]C. [−12,2]D. [−5,5] 13. 若函数f(x)的定义域是[0,1]，则函数f(2x)+f(x +13)的定义域为( )A. [−13,23]B. [−13,12]C. [0,12]D. [0,13] 14. 已知函数f(x)={x 2+4x(x ⩾0)4x −x 2(x <0)，若f (2−a 2)>f(a)，则实数a 的取值范围是( ) A. (−∞,−1)∪(2,+∞)B. (−1,2)C. (−2,1)D. (−∞,−2)∪(1,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 15. 设偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增，则满足f(2x −1)≤f(1)的x 的取值范围是_____．16. 已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增，则满足f(2x −1)<f(13)的x 的取值范围是 ．17. 奇函数f(x)的定义域为[−5,5]，当x ∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集是______________．18. 已知f(x)是定义在R 上的偶函数，且f(x +4)=f(x −2).若当x ∈[−3,0]时，f(x)=6−x ，则f(919)=______．三、解答题（本大题共15小题，共180.0分）19. 设函数f(x)是增函数，对于任意x ，y ∈R 都有f(x +y)=f(x)+f(y)．(1)求f(0)；(2)证明f(x)奇函数；(3)解不等式．20.函数f(x)的定义域为D={x|x≠0}，且满足对于任意x1∈D,x2∈D，有f(x1⋅x2)=f(x1)+f(x2)．(Ⅰ)求f(1 )的值；(Ⅱ)判断f(x)的奇偶性并证明；(Ⅲ)如果f(4)=1，f(3x+1)+f(2x−6)≤3，且f(x)在(0,+∞)上是增函数，求x的取值范围．21.已知函数f(x)=ax2+bx ，且f(1)=2，f(2)=52．(Ⅰ)确定函数f(x)的解析式，并判断奇偶性；(Ⅱ)用定义证明函数f(x)在区间(−∞,−1)上单调递增；(Ⅲ)求满足f(1+2t2)−f(3+t2)<0的实数t的取值范围．22.定义域为R的单调函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)(x,y∈R)，且f(3)=6，(1)求f(0)，f(1)；(2)判断函数f(x)的奇偶性，并证明；(3)若对于任意x∈[12,3]都有f(kx2)+f(2x−1)<0成立，求实数k的取值范围．23.已知y=f(x)是定义域为R的奇函数，当x∈[0,+∞)时，f(x)=x2−2x．(1)写出函数y=f(x)的解析式；(2)若方程f(x)=a恰有3个不同的解，求实数a的取值范围．24.已知函数y=f(x)的定义域为R，对任意a,b∈R，都有f(a+b)=f(a)+f(b)，且当x>0时，f(x)<0恒成立，证明：(Ⅰ)函数y=f(x)是R上的减函数；(Ⅱ)函数y=f(x)是奇函数.25.已知f(x)是定义在[−1,1]上的奇函数，且f(1)=1，若a,b∈[−1,1]，且a+b≠0时，有f(a)+f(b)>0恒成立．a+b(1)用定义证明函数f(x)在[−1,1]上是增函数;)<f(1−x);(2)解不等式：f(x+12(3)若f(x)≤m2−2m+1对所有x∈[−1,1]恒成立，求实数m的取值范围．26.定义域为R的函数f(x)满足，对任意的m，n∈R有f(m+n)=f(m)f(n)，且当x>0时，有0<f(x)<1，f(4)=1．16(1)求f(0)；(2)证明：f(x)在R上是减函数；f(x2)恒成立，求实数a的取值范围．(3)若x>0时，不等式f(x)f(ax)>14)=1，如果对于0<x<y，都有f(x)> 27.已知函数f(x)的定义域是(0,+∞)，且满足f(xy)=f(x)+f(y)，f(12f(y)，(1)求f(1)；(2)解不等式f(−x)+f(3−x)≥−2。

抽象函数的定义域类型一. 已知函数y =f (x )的定义域是（a ，b ），求f [g (x )]的定义域.1. 已知函数y =f （x ）定义域是[-2，3]，则y =f （2x -1）的定义域是（ ）.A. [0,52]B. [−1,4]C. [−12,2]D. [−5,5]2. 如果函数f(x)的定义域为，那么函数f(2x +3)的定义域为( )A. [−2,0]B. [1,9]C. [−1,3]D. [−2,9]3. 函数f （x ）的定义域为[0，2]，则函数f （x 2）的定义域是 （ ）A. [−2,2]B. [−√2,√2]C. [0,2]D. [0,4]4. 已知函数f （x ）的定义域为（0，2]，函数f （√x +1）的定义域为（ ）A. [−1,+∞)B. (−1,3]C. [√5,3)D. (0,√5)类型二. 已知函数y =f [g (x )]的定义域是（a ，b ），求f(x )的定义域.1.若函数f （2x -1）的定义域为[-3，3]，则函数f （x ）的定义域为______ ．2.已知f (2x ＋5)的定义域为[－1，4]，求函数f (x )的定义域．3.若(2)y f x =+的定义域是(1,3]，求()y f x =的定义域．4.已知的定义域为，则的定义域是 .5.已知函数32f x 的定义域为1,2，求函数f x 的定义域.)2(2-x f []2,3-)(x f类型三、 已知函数y =f (h (x ))的定义域是（a ，b ），求f [g (x )]的定义域.1. 已知函数(21)f x -的定义域为[0,1]，求函数(13)f x -的定义域.2.已知函数(1)y f x =+定义域是[2,3]-，则(21)y f x =-的定义域是（ ）A ．5[0]2， B ．[14]-，C ．[55]-，D ．[37]-，3.已知f （x 2-1）定义域为[0，3]，则f （2x -1）的定义域为（ ）A. (0,92)B. [0,92]C. (−∞,92)D. (−∞,92]4.若函数f （x 2-1）的定义域为[-1，2]，则函数f （x +1）的定义域为______．类型四、运算型的抽象函数1.若函数)(x f y =的定义域为[-1，1]，求函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域2.若函数y =f （x ）的定义域是（0，4]，则函数g （x ）=f （x ）+f （x 2）的定义域是（ ）A. (0,2]B. (0,4]C. (0,16]D. [−16,0)∪(0,16]3.若函数f （x ）的定义域是[0，1]，则函数f （2x ）+f （x +13）的定义域为（ ）A. [−13,23]B. [−13,12]C. [0,12]D. [0,13]4.若函数y=f（x）的定义域[0，3]，则函数g（x）=f(3x)x−1的定义域是______ ．5.若函数y=f（x）的定义域是[0，3]，则函数g（x）=f(x+1)x−2的定义域是（）A. [−1,2)B. [0,2)C. [−1,2]D. [0,2)∪(2,3]6.已知函数y=f（x）的定义域[-8，1]，则函数g（x）=f(2x+1)x+2的定义域是（）A. (−∞,−2)∪(−2,3]B. [−8,−2)∪(−2,1]C. [−92,−2)∪(−2,0] D. [−92,−2]参考答案:类型一答案1.【答案】C【解析】本题考查复合函数定义域的求解,是基础题.根据复合函数定义域之间的关系得-2≤2x-1≤3,计算得结论．【解答】解：因为函数y=f（x）定义域是[-2，3]，所以-2≤2x-1≤3，解得-≤x≤2，因此函数y=f（2x-1）的定义域为[-，2].故选C．2.【答案】A【解析】本题考查的知识点是函数的定义域及其求法，其中熟练掌握抽象函数定义域求解时“一不变（括号里整体的取值范围不变），应万变”的原则是解答此类问题的关键．根据函数f（x）的定义域为[-1，3]，进而求出函数f（2x+3）的定义域即可．【解答】解：∵-1≤x≤3，∴-1≤2x+3≤3，∴-2≤x≤0，故选：A．3.【答案】B【解析】解：∵f（x）的定义域为[0，2]，∴在f（x2）中0≤x2≤2，∴故选：B．要求函数的定义域，就是求函数式中x的取值范围．本题考查函数的定义域并且是抽象函数的定义域，本题解题的关键是不管所给的是函数是什么形式只要使得括号中的部分范围一致即可．4.【答案】B【解析】定义域是自变量x的取值范围所组成的集合，所以，我们要求出中x的取值范围．首先考虑要满足的条件即x+1≥0．其次x和的范围一致，即，进而求出x 的范围.复合函数的定义域是经常被考查的，所以要理解其解题时要注意的问题． 【解答】解：由函数的定义域得， 又∵要满足x+1≥0 综合得-1＜x≤3 故选B ．类型二答案1.【答案】[-7，5] 【解析】解：∵-3≤x≤3， ∴-7≤2x -1≤5，故答案为：[-7，5]．函数f （2x-1）的定义域为[-3，3]，从而求出2x-1的范围，进而得出答案． 本题考查了函数的定义域问题，是一道基础题．2.解:∵函数f （2x +5）的定义域为[-1，4]， ∴x ∈[-1，4]， ∴2x +5∈[3，13]，故函数f （x ）的定义域为：[3，13]． 【解析】由x ∈[-1，4]，可得2x+5∈[3，13]，可得答案．本题考查了函数的定义域的求法，求复合函数的定义域时，注意自变量的范围的变化，本题属于基础题3.解:(2)y f x =+的定义域是(1,3]，即13x <≤，故325x <+≤，从而()y f x =的定义域为(3,5]．4.解：∵≤≤，∴≤≤，从而≤≤，故的定义域是。

抽象函数及其应用（北京习题集）（教师版）一．选择题（共5小题）1．（2018秋•海淀区校级月考）已知定义在R 上函数()f x 是奇函数，且()f x 在(,0)-∞上是减函数，f （3）0=，()(3)g x f x =+，则不等式()0xg x 的解集是( )A ．(-∞，3][3-，)+∞B ．[6-，3][0-，)+∞C ．(6][3,)-∞--+∞D ．(-∞，6][0-，)+∞2．（2017秋•通州区期末）下列函数中，对于任意x R ∈，同时满足条件()()f x f x =--和()()f x f x π+=的函数是()A ．f ( )x f π+= ( )xB ．f ( )cos x = xC ．f ( )sin x = cos x xD ．f ( 22)cos sin x x x =-3．（2017秋•海淀区校级期末）定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=，且在[1，2]上是减函数，若α，β是锐角三角形的两个内角，则( ) A ．f (sin )f α> (cos )β B ．f (sin )f α< (cos )β C ．f (sin )f α> (sin )βD ．f (cos )f α< (cos )β4．（2017•海淀区模拟）已知函数()f x 满足如下条件：①任意x R ∈，有()()0f x f x +-=成立；②当0x 时，2221()(|||2|3)2f x x m x m m =-+--；③任意x R ∈，有()(1)f x f x -成立．则实数m 的取值范围( )A ．[B ．11[,]66-C ．[D ．11[,]33-5．（2017秋•西城区校级月考）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()4f x x x =-，则不等式()0xf x >的解集为( )A ．(-∞，4)(4⋃，)+∞B ．(4-，0)(4⋃，)+∞C ．(-∞，4)(0⋃，4)D ．(4,4)-二．填空题（共4小题）6．（2018•北京模拟）已知函数()g x 对任意的x R ∈，有2()()g x g x x -+=．设函数2()()2x f x g x =-，且()f x 在区间[0，)+∞上单调递增．若f （a ）(2)0f a +-，则实数a 的取值范围为 ．7．（2017秋•大兴区期末）如果函数()f x 对任意的正实数a ，b ，都有()f ab f =（a ）f +（b ），则这样的函数()f x 可以是 （写出一个即可）8．（2017秋•崇文区校级期中）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在区间[0，)+∞单调递增，则满足不等式(21)f x f -<（3）的x 的取值范围是 ．9．（2015秋•海淀区期末）已知函数()y f x =，若对于任意x R ∈，(2)2()f x f x =恒成立，则称函数()y f x =具有性质P ，（1）若函数()f x 具有性质P ，且f （4）8=，则f （1）= ；（2）若函数()f x 具有性质P ，且在(1，2]上的解析式为cos y x =，那么()y f x =在(1，8]上有且仅有 个零点． 三．解答题（共4小题）10．（2018秋•海淀区校级期中）已知函数()f x 对一切实数x ，y 都有()()(21)f x y f y x x y +-=++成立，且f （1）0=．（1）求(0)f 的值． （2）求()f x 的解析式． （3）当102x <<时，不等式()32f x x a +<+恒成立，求a 的取值范围． 11．（2017秋•通州区期末）已知定义在R 上的奇函数()f x ，对x R ∈满足f (2)x f ++ (2)0x -=． ()I 试判断()f x 是否为周期函数，若是，证明你的结论；若不是，请说明理由； ()II 当[2x ∈-，0]时，2()2f x x x =+． ()i 当[4x ∈，6]时，求函数()f x 的解析式； ()ii 求：f (0)f + （1）f ++ (2018)的值．12．（2017秋•西城区期末）若函数()f x 满足：对于s ，[0t ∈，)+∞，都有()0f s ，()0f t ，且()()()f s f t f s t ++，则称函数()f x 为“T 函数”．（Ⅰ）试判断函数21()f x x =与2()(1)f x lg x =+是否是“T 函数”，并说明理由；（Ⅱ）设()f x 为“T 函数”，且存在0[0x ∈，)+∞，使00(())f f x x =，求证：00()f x x =；（Ⅲ）试写出一个“T 函数” ()f x ，满足f （1）1=，且使集合{|()y y f x =，01}x 中元素的个数最少．（只需写出结论）13．（2018春•海淀区校级期中）已知定义在(-∞，0)(0⋃，)+∞上的函数()f x 满足： ①对于任意的x ，(y ∈-∞，0)(0⋃，)+∞，都有()()()f xy f x f y =+； ②当1x >时，()0f x >，且f （2）1=．（1）求f （1），(1)f -的值，并判断函数()f x 的奇偶性； （2）判断函数()f x 在(0,)+∞上的单调性；（3）求函数()f x 在区间[4-，0)(0⋃，4]上的最大值．抽象函数及其应用（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．（2018秋•海淀区校级月考）已知定义在R 上函数()f x 是奇函数，且()f x 在(,0)-∞上是减函数，f （3）0=，()(3)g x f x =+，则不等式()0xg x 的解集是( )A ．(-∞，3][3-，)+∞B ．[6-，3][0-，)+∞C ．(6][3,)-∞--+∞D ．(-∞，6][0-，)+∞【分析】根据题意，由函数的奇偶性与单调性分析可得在(,3)-∞-和(0,3)上，()0f x >；在(3,0)-和(3,)+∞上，()0f x <，进而可得0()0(3)0(3)0x xg x xf x f x ⎧⇒+⇒⎨+⎩或0(3)0x f x ⎧⎨+⎩，解可得x 的取值范围，即可得答案． 【解答】解：根据题意，()f x 是奇函数且在(,0)-∞上是减函数，则(3)f f -=-（3）0=，且在(,3)-∞-上，()0f x >，在(3,0)-上，()0f x <； 又由函数为奇函数，则在(0,3)上，()0f x >，在(3,)+∞上，()0f x <； 即在(,3)-∞-和(0,3)上，()0f x >；在(3,0)-和(3,)+∞上，()0f x <； 0()0(3)0(3)0x xg x xf x f x ⎧⇒+⇒⎨+⎩或0(3)0x f x ⎧⎨+⎩，解可得：6x -或3x -；即不等式的解集为(-∞，6][3--，)+∞； 故选：C ．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意转化不等式的形式，属于基础题．2．（2017秋•通州区期末）下列函数中，对于任意x R ∈，同时满足条件()()f x f x =--和()()f x f x π+=的函数是()A ．f ( )x f π+= ( )xB ．f ( )cos x = xC ．f ( )sin x = cos x xD ．f ( 22)cos sin x x x =-【分析】由题意可得()f x 为奇函数，且周期为π，运用二倍角公式和正弦函数、余弦函数的奇偶性和周期性，即可得到所求结论．【解答】解：由()()f x f x =--和()()f x f x π+=，可得()f x 为奇函数，且周期为π， 显然()cos f x x =为偶函数；1()sin cos sin 22f x x x x ==为奇函数，周期为π；22()cos sin cos 2f x x x x =-=为偶函数， 综上可得选项C 符合题意． 故选：C ．【点评】本题考查函数的奇偶性和周期性的判断和运用，考查三角函数的恒等变换，以及三角函数的性质，属于基础题．3．（2017秋•海淀区校级期末）定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=，且在[1，2]上是减函数，若α，β是锐角三角形的两个内角，则( ) A ．f (sin )f α> (cos )β B ．f (sin )f α< (cos )β C ．f (sin )f α> (sin )βD ．f (cos )f α< (cos )β【分析】根据题意，分析可得()(2)f x f x -=+，即函数()f x 的图象关于直线1x =对称，据此分析可得()f x 在区间[0，1]上是增函数，由α，β是锐角三角形的两个内角便可得出sin cos αβ>，从而根据()f x 在(0,1)上是增函数即可得出(sin )(cos )f f αβ>，即可得答案．【解答】解：根据题意，定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=， 则有()(2)f x f x -=+，即函数()f x 的图象关于直线1x =对称， 又由函数()f x 在[1，2]上是减函数，则其在[0，1]上是增函数， 若α，β是锐角三角形的两个内角， 则2παβ+>，则有2παβ>-，则有sin sin()cos 2παββ>-=，又由函数()f x 在[0，1]上是增函数， 则(sin )(cos )f f αβ>； 故选：A ．【点评】本题考查函数的奇偶性、周期性与周期性的综合应用，注意分析函数在(0,1)上的单调性．4．（2017•海淀区模拟）已知函数()f x 满足如下条件：①任意x R ∈，有()()0f x f x +-=成立；②当0x 时，2221()(|||2|3)2f x x m x m m =-+--；③任意x R ∈，有()(1)f x f x -成立．则实数m 的取值范围( )A．[ B ．11[,]66-C．[ D ．11[,]33-【分析】化简()f x 在[0，)+∞上的解析式，根据()f x 的奇偶性做出函数图象，根据条件③得出不等式解出． 【解答】解：()()0f x f x +-=，()f x ∴是奇函数．当0m =时，()f x x =，显然符合题意．当0m ≠时，()f x 在[0，)+∞上的解析式为：222222,0(),23,2x x m f x m m x m x m x m ⎧-⎪=-<<⎨⎪-⎩，做出()f x 的函数图象如图所示：任意x R ∈，有()(1)f x f x -成立， 261m ∴，解得666m ． 故选：A ．【点评】本题考查了奇函数的判断与性质，函数图象的应用，属于中档题．5．（2017秋•西城区校级月考）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()4f x x x =-，则不等式()0xf x >的解集为( )A ．(-∞，4)(4⋃，)+∞B ．(4-，0)(4⋃，)+∞C ．(-∞，4)(0⋃，4)D ．(4,4)-【分析】根据题意，由函数的解析式以及奇偶性分析可得函数()f x 的解析式，按x 的符号分2种情况讨论，求出不等式的解集，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，设0x <，则0x ->，则22()()4()4f x x x x x -=---=+， 又由()f x 是定义在R 上的奇函数，则2()()4f x f x x x =--=-， 则224,0()4,0x x x f x x x x ⎧-=⎨--<⎩，且当0x >时，22()(4)(4)xf x x x x x x =-=-，()0xf x >即2(4)0x x ->，解可得4x >， 故当0x <时，22()(4)(4)xf x x x x x x =--=-+，()0xf x >即2(4)0x x -->，解可得4x <-， 故不等式的解集为(-∞，4)(4-⋃，)+∞， 故选：A ．【点评】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及不等式的解法，关键是求出函数的解析式． 二．填空题（共4小题）6．（2018•北京模拟）已知函数()g x 对任意的x R ∈，有2()()g x g x x -+=．设函数2()()2x f x g x =-，且()f x 在区间[0，)+∞上单调递增．若f （a ）(2)0f a +-，则实数a 的取值范围为 (-∞，1] ．【分析】判断()f x 的奇偶性和单调性，根据单调性求出a 的范围．【解答】解：由2()()2x f x g x =-得：2()()2x f x g x -=--，2()()()()0f x f x g x g x x ∴+-=+--=，()f x ∴在R 上是奇函数，又()f x 在区间[0，)+∞上单调递增， ()f x ∴在R 上单调递增， f （a ）(2)0f a +-，f ∴（a ）(2)(2)f a f a --=-，2a a ∴-，即1a ．故答案为：(-∞，1]．【点评】本题考查了函数奇偶性、单调性的判断与应用，属于中档题．7．（2017秋•大兴区期末）如果函数()f x 对任意的正实数a ，b ，都有()f ab f =（a ）f +（b ），则这样的函数()f x 可以是 ()f x lgx = （写出一个即可）【分析】由条件，即乘积的函数值为函数值的和，考虑对数函数，即可得到结论． 【解答】解：函数()f x 对任意的正实数a ，b ，都有()f ab f =（a ）f +（b ）， 考虑对数函数()f x lgx =，满足()()f ab lg ab lga lgb f ==+=（a ）f +（b ）， 故答案为：()f x lgx =．【点评】本题考查抽象函数的解析式和性质，注意条件的特点，即乘积的函数值为函数值的和，考查推理能力，属于基础题．8．（2017秋•崇文区校级期中）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在区间[0，)+∞单调递增，则满足不等式(21)f x f -<（3）的x 的取值范围是 (1,2)- ．【分析】根据题意，由函数的奇偶性与单调性分析：(21)f x f -<（3）可以转化为|21|3x -<，解可得x 的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在区间[0，)+∞单调递增， 则(21)f x f -<（3）(|21|)f x f ⇒-<（3）|21|3x ⇒-<， 即3213x -<-<， 解可得：12x -<<， 即x 的取值范围为(1,2)-； 故答案为：(1,2)-．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及抽象函数构造不等式的问题，属于基础题．9．（2015秋•海淀区期末）已知函数()y f x =，若对于任意x R ∈，(2)2()f x f x =恒成立，则称函数()y f x =具有性质P ，（1）若函数()f x 具有性质P ，且f （4）8=，则f （1）= 2 ；（2）若函数()f x 具有性质P ，且在(1，2]上的解析式为cos y x =，那么()y f x =在(1，8]上有且仅有 个零点． 【分析】（1）根据性质P 的条件，利用方程关系进行递推即可．（2）根据性质P 的条件，分别求出函数的解析式，利用函数零点的定义解方程即可． 【解答】解：（1）因为函数()y f x =，具有性质P ， 所以对于任意x R ∈，(2)2()f x f x =恒成立，所以f （4）(22)2f f =⨯=（2）2(21)4f f =⨯=（1）8=， 所以f （1）2=．（2）若函数()y f x =具有性质P ，且在(1，2]上的解析式为cos y x =， 由cos 0y x ==，则2x π=，由(2)2()f x f x =得()2()2x f x f =，若24x <，则122x <，则()2()2cos 22x x f x f ==， 则函数()f x 在(2，4]上的解析式为2cos 2xy =，由2cos 02x=，得x π=，若48x <，则242x <，则()2()4cos 24x x f x f ==， 在(4，8]上的解析式为4cos 4xy =，由4cos 04xy ==得2x π=，所以()y f x =在(1，8]上有且仅有3个零点，分别是2π，π，2π． 故()y f x =在(1，8]上有且仅有3个零点， 故答案为：2，3【点评】本题主要考查抽象函数的应用，利用定义进行递推以及求出函数的解析式是解决本题的关键．考查学生的运算和推理能力． 三．解答题（共4小题）10．（2018秋•海淀区校级期中）已知函数()f x 对一切实数x ，y 都有()()(21)f x y f y x x y +-=++成立，且f （1）0=．（1）求(0)f 的值． （2）求()f x 的解析式． （3）当102x <<时，不等式()32f x x a +<+恒成立，求a 的取值范围．【分析】（1）令1x =，0y =可得(0)f ；（2）令y x =-得出()f x -解析式，从而得出()f x 的解析式； （3）分离参数，求出函数的最大值即可得出a 的范围． 【解答】解：（1）令1x =，0y =得f （1）(0)2f -=， (0)f f ∴=（1）22-=-．（2）令y x =-可得2(0)()(1)f f x x x x x --=-+=-+，2()2f x x x ∴-=--， 2()2f x x x ∴=+-．（2）由()32f x x a +<+得21a x x >-+， 令22131()1()(0)242g x x x x x =-+=-+<<，()(0)1g x g ∴<=， 21a x x ∴>-+恒成立，1a ∴．【点评】本题考查了抽象函数的性质，函数最值的计算，属于中档题．11．（2017秋•通州区期末）已知定义在R 上的奇函数()f x ，对x R ∈满足f (2)x f ++ (2)0x -=． ()I 试判断()f x 是否为周期函数，若是，证明你的结论；若不是，请说明理由； ()II 当[2x ∈-，0]时，2()2f x x x =+． ()i 当[4x ∈，6]时，求函数()f x 的解析式； ()ii 求：f (0)f + （1）f ++ (2018)的值．【分析】（Ⅰ）根据题意，由f (2)x f ++(2)0x -=可得(4)()f x f x +=-，进而可得(8)()f x f x +=，即可得结论； （Ⅱ）()i 根据题意，设[4x ∈，6]，则4[0x -∈，2]，则4[2x -∈-，0]；结合函数的奇偶性与周期性分析可得结论；()ii 根据题意，由函数的解析式以及奇偶性可得(0)f 、f （1）、f （2）的值，进而结合(4)()f x f x +=-分析可得(0)f f +（4）0=，f （1）f +（5）0=，f （2）f +（6）0=，f （3）f +（7）0=，则有f (0)f + （1）f ++（7）0=，又由(8)()f x f x +=，则有f (0)f + （1）f ++(2018)252[f =⨯(0)f + （1）f ++（7）](2016)(2017)(2018)f f f +++，计算可得答案．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，函数()f x 是周期为8的周期函数； 证明如下：()f x 满足f (2)x f ++(2)0x -=，则有(4)()f x f x +=-， 又由函数为奇函数，则()()f x f x -=-，则有(4)()f x f x +=-，变形可得(8)()f x f x +=，即函数()f x 是周期为8的周期函数；（Ⅱ）()i 根据题意，设[4x ∈，6]，则4[0x -∈，2]，则4[2x -∈-，0]； 又由[2x ∈-，0]时，2()2f x x x =+，则22(4)(4)2(4)1024f x x x x x -=-+-=-+， 又由函数()f x 为奇函数且(4)()f x f x +=-， 则2()(4)(4)1024f x f x f x x x =--=-=-+，()ii 根据题意，函数()f x 为定义在R 上的奇函数，则(0)0f =，f （1）(1)1f =--=，f （2）(2)0f =--=，又由(4)()f x f x +=-，则(0)f f +（4）0=，f （1）f +（5）0=，f （2）f +（6）0=，f （3）f +（7）0=， 则f (0)f + （1）f ++（7）0=， 又由(8)()f x f x +=，则f (0)f + （1）f ++(2018)252[f =⨯(0)f + （1）f ++（7）](2016)(2017)(2018)(0)f f f f f +++=+（1）f +（2）1=；故f (0)f + （1）f ++(2018)0=．【点评】本题考查函数的奇偶性与周期性的判断以及应用，涉及函数解析式的计算，关键是分析函数的周期，属于基础题．12．（2017秋•西城区期末）若函数()f x 满足：对于s ，[0t ∈，)+∞，都有()0f s ，()0f t ，且()()()f s f t f s t ++，则称函数()f x 为“T 函数”．（Ⅰ）试判断函数21()f x x =与2()(1)f x lg x =+是否是“T 函数”，并说明理由；（Ⅱ）设()f x 为“T 函数”，且存在0[0x ∈，)+∞，使00(())f f x x =，求证：00()f x x =；（Ⅲ）试写出一个“T 函数” ()f x ，满足f （1）1=，且使集合{|()y y f x =，01}x 中元素的个数最少．（只需写出结论）【分析】（Ⅰ）直接利用定义判断函数21()f x x =与2()(1)f x lg x =+即可（Ⅱ）设1x ，2[0x ∈，)+∞，21x x >，21x x =+△x ，△0x >．则211()()(f x f x f x -=+△11)()(x f x f x -+△1)(x x f -=△)0x ，所以，对于1x ，2[0x ∈，)+∞，12x x <，一定有12()()f x f x ．即可证明（Ⅲ）根据f （1）1=，且使集合{|()y y f x =，01}x 中元素的个数最少，以及新定义即可确定． 【解答】解：（Ⅰ）对于函数21()f x x =，当s ，[0t ∈，)+∞时，都有1()0f s ，1()0f t ， 又222111()()()()20f s f t f s t s t s t st +-+=+-+=-，所以111()()()f s f t f s t ++． 所以21()f x x =是“T 函数”．对于函数2()(1)f x lg x =+，当2s t ==时，22()()9f s f t lg +=，2()5f s t lg +=，因为95lg lg >，所以222()()()f s f t f s t +>+． 所以2()(1)f x lg x =+不是“T 函数”．（Ⅱ）设1x ，2[0x ∈，)+∞，21x x >，21x x =+△x ，△0x >． 则211()()(f x f x f x -=+△11)()(x f x f x -+△1)(x x f -=△)0x 所以，对于1x ，2[0x ∈，)+∞，12x x <，一定有12()()f x f x ． 因为()f x 是“T 函数”， 0[0x ∈，)+∞，所以0()0f x ． 若00()f x x >，则000(())()f f x f x x >，不符合题意． 若00()f x x <，则000(())()f f x f x x <，不符合题意． 所以00()f x x =．⋯（8分）（Ⅲ）20,[0,1)(),[1,).x f x x x ∈⎧=⎨∈+∞⎩（注:答案不唯一）【点评】本题考查了函数的性质的应用及不等式的求解，新定义的理解和应用，属于中档题． 13．（2018春•海淀区校级期中）已知定义在(-∞，0)(0⋃，)+∞上的函数()f x 满足： ①对于任意的x ，(y ∈-∞，0)(0⋃，)+∞，都有()()()f xy f x f y =+； ②当1x >时，()0f x >，且f （2）1=．（1）求f （1），(1)f -的值，并判断函数()f x 的奇偶性； （2）判断函数()f x 在(0,)+∞上的单调性；（3）求函数()f x 在区间[4-，0)(0⋃，4]上的最大值．【分析】（1）先求(1)f -的值，令1y =-，推出()()(1)f x f x f -=+-，()()f x f x -=．结合函数奇偶性的定义，判断函数()f x 的奇偶性；（2）利用函数单调性的定义，直接判断函数()f x 在(0,)+∞上的单调性；（3）通过（1），（2）奇偶性，单调性，直接求函数()f x 在区间[4-，0)(0⋃，4]上的最大值； 【解答】解：（1）令1x y ==，则(11)f f ⨯=（1）f +（1），得f （1）0=； 再令1x y ==-，则[(1)(1)](1)(1)f f f -⨯-=-+-，得(1)0f -=． 对于条件()()()f x y f x f y =+，令1y =-， 则()()(1)f x f x f -=+-，所以()()f x f x -=．又函数()f x 的定义域关于原点对称，所以函数()f x 为偶函数． （2）任取1x ，2(0,)x ∈+∞，且12x x <，则有211x x >．第11页（共11页）又当1x >时，()0f x >，21()0x f x ∴> 而22211111()()()()()x x f x f x f x f f x x x ==+>， 所以函数()f x 在(0,)+∞上是增函数．（3）f （4）(22)f f =⨯=（2）f +（2），又f （2）1=， f ∴（4）2=．又由（1）知函数()f x 在区间[4-，0)(0⋃，4]上是偶函数且在(0，4]上是增函数，∴函数()f x 在区间[4-，0)(0⋃，4]上的最大值为f （4）(4)2f =-=．【点评】本题考查函数奇偶性的判断，函数单调性的判断与证明，函数的最值及其几何意义，抽象函数及其应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．。

【知识要点】一、抽象函数的考查常常表现在求函数的定义域、值域、单调性、奇偶性和周期性等方面.二、抽象函数虽然不是具体函数，但是它的图像和性质的研究方法和具体函数仍然是一样的，只不过是函数没有解析式，比较抽象. 【方法点评】【例1】已知函数)(x f 的定义域是]21[，-，求函数)]3([log 21x f -的定义域.【点评】这类问题的一般形式是：已知原函数()f x 的定义域为(,)a b ，求复合函数[()]f g x 的定义域：只需解不等式()a g x b <<，不等式的解集即为所求函数的定义域.【反馈检测1】若函数)1(+=x f y 的定义域为)3,2[-，求函数)21(+=xf y 的定义域.【例2】 设函数()f x 定义于实数集上，对于任意实数x y 、，)()()(y f x f y x f =+总成立，且存在21x x ≠，使得)()(21x f x f ≠，求函数)(x f 的值域.【点评】在处理抽象函数的问题时，往往需要对某些变量进行适当的赋值，这是一般向特殊转化的必要手段.【反馈检测2】已知函数()f x 的定义域为[]0,1，且同时满足：(1)对任意[]0,1x ∈，总有()2f x ≥；(2)(1)3f =(3)若120,0x x ≥≥且121x x +≤，则有1212()()()2f x x f x f x +≥+-.(I)求(0)f 的值；(II)求()f x 的最大值.【例3】已知函数)0)((≠∈x R x x f ，对任意不等于零的实数21x x 、都有)()()(2121x f x f x x f +=⋅，试判断函数()f x 的奇偶性.【点评】（1）抽象函数奇偶性的判断证明和具体函数是一致的，首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数；如果函数的定义域关于原点对称，则继续求()f x -；最后比较()f x -和()f x 的关系，如果有()f x -=()f x ，则函数是偶函数，如果有()f x -=-()f x ，则函数是奇函数，否则是非奇非偶函数. （2）要判断抽象函数的奇偶性，多用赋值法，给已知的等式中的变量取恰当的值，如,,0,1,1x x --等，有时需要多次赋值，才能达到解题目标. 学科.网【反馈检测3】定义域为R 的函数)(x f 满足：对于任意的实数,x y 都有()()()f x y f x f y +=+成立，且当0x >时)0f x <（恒成立.(1)判断函数)(x f 的奇偶性，并证明你的结论；(2)证明)(x f 为减函数；若函数)(x f 在[3,3)-上总有)6f x ≤（成立，试确定(1)f 应满足的条件.【例4】 设)(x f 定义于实数集上，当0>x 时，1)(>x f ，且对于任意实数,x y ，有)()()(y f x f y x f ⋅=+，求证：)(x f 在R 上为增函数.设+∞<<<∞-21x x ，则1)(01212>->-x x f x x ，所以1211211121()f(x )()[()]()()()f x f x f x x x f x f x f x x -=-+-=--121()(1())f x f x x =--因为121()01()0f x f x x >--< 所以12()()f x f x < 所以)(x f y =在R 上为增函数.【点评】（1）抽象函数虽然没有解析式，但是在判断证明函数的单调性的方法上是一致的，同样利用函数的单调性的定义.（2）利用单调性的定义时，关键在于分解化简，1211211121121()f(x )()[()]()()()()(1())f x f x f x x x f x f x f x x f x f x x -=-+-=--=--这是解答的关键，想方设法把变量1x 或2x ，按照已知条件拆开，并严格说明它的符号.【反馈检测4】已知函数()f x 的定义域为R,对任意实数,m n 都有()()()f m n f m f n +=∙,且当0x >时,0()1f x <<.(1)证明:(0)1,0f x =<且时,f(x)>1； (2)证明: ()f x 在R 上单调递减.【反馈检测5】函数()f x 对于0x >有意义，且满足条件(2)1,f =()()(),()f xy f x f y f x =+是减函数.（1）证明：(1)0f =；（2）若()(3)2f x f x +-≥成立，求x 的取值范围.【例5】设()f x 是定义在(0,)+∞上的增函数，且()()()xf x f f y y=+，若(2)1f =，则(8)f = .【点评】（1）抽象函数的性质往往是从常见的正比例函数、指数函数、对数函数和幂函数中抽象出来的，所以在解答抽象函数的客观题时，可以根据抽象函数的性质寻找对应的函数模型，再利用具体函数来解答.(2)常见的模型有：()()()()(0)f x y f x f y f x kx k ±=±⇒=≠正比例函数，()()()f x y f x f y +=⇒()(0,1)x f x a a a =>≠指数函数且，(xy)fa f =⇒（x)f(y)幂函数f(x)=x ，(xy)f f =（x)+f(y)()log (0,1)a f x x a a ⇒=>≠对数函数且.【反馈检测6】已知函数()f x 满足(1)2f =，且对任意,x y R ∈都有()()()f x f x y f y -=，记 101211,(6)nin i i aa a a f i ===⋅⋅-=∏∏则 .【例6】已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数,且它的图象关于直线1x =对称. (1)求(0)f 的值； (2)证明: 函数()f x 是周期函数；(3)若()(01),f x x x =<≤求当x R ∈时,函数()f x 的解析式,并画出满足条件的函数()f x 至少一个周期的图象.(3)当[)1,3x ∈-时，(11)()2(13)x x f x x x -≤≤⎧=⎨-+<<⎩当4141k x k -≤≤+时，()4f x x k =-，k Z ∈ 当4143k x k +<<+时，()24f x x k =-+-，k Z ∈∴4(4141)(),24(4143)x k k x k f x z R x k k x k --≤≤+⎧=∈⎨-+-+<<+⎩图象如下：【点评】对于抽象函数的周期性，一般如果1不是它的周期，就猜想2是它的周期，如果2不是它的周期，就猜4是它的周期（偶数倍），再证明. 学科.网【反馈检测7】已知函数()f x 满足1()(1)1()f x f x f x ++=-，若(0)2004f =，试求(2005)f .高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第14讲： 抽象函数的图像和性质问题的处理方法参考答案【反馈检测1答案】),21(]31,(+∞--∞【反馈检测1详细解析】由)1(+=x f y 的定义域为)3,2[-，知1+x 中的)3,2[-∈x ，从而411<+≤-x ，对函数)21(+=xf y 而言，有1124x-≤+<，解之得：),21(]31,(+∞--∞∈ x .所以函数)21(+=x f y 的定义域为),21(]31,(+∞--∞【反馈检测2答案】（1）(0)=2f ；（2）max ()(1)3f x f ==【反馈检测2详细解析】（I ）令120x x ==，由(3),则(0)2(0)2,(0)2f f f ≥-∴≤ 由对任意[]0,1x ∈，总有()2,(0)2f x f ≥∴= （II ）任意[]12,0,1x x ∈且12x x <，则212101,()2x x f x x <-≤∴-≥22112111()()()()2()f x f x x x f x x f x f x ∴=-+≥-+-≥ max ()(1)3f x f ∴==【反馈检测3答案】（1）奇函数；（2）(1)2f ≥-.【反馈检测4答案】（1）见解析；（2）见解析.【反馈检测5答案】（1）见解析；（2）13x -≤≤.【反馈检测5详细解析】(1)证明：令1x y ==，则(11)(1)(1)f f f ⨯=+，故(1)0f = （2）∵(2)1f =，令2x y ==，则(22)(2)(2)2f f f ⨯=+=， ∴(4)2f =()(3)2f x f x +-≥⇒22[(3)](4)(3)(4)3414f x x f f x x f x x x -≥⇒-≥⇒-≤⇒-≤≤∴()(3)2f x f x +-≥成立的x 的取值范围是13x -≤≤. 【反馈检测6答案】32【反馈检测6详细解析】设1()(0,1)(1)22()2xx f x a a a f a a f x =>≠=∴==∴=且所以1054454341(6)222232i f i -++++-=-=⋅⋅==∏，故填32.【反馈检测7答案】(2005)f =-20052003【反馈检测7详细解析】()f x 为周期函数且周期为4×1=4∵1(1)(2)[(1)1]1(1)f x f x f x f x +++=++=-+=)(1)(11)(1)(11x f x f x f x f -+--++=-)(1x f∴1(4)[(2)2]()(2)f x f x f x f x +=++==+⇒f (x +4)=()f x∴()f x 是以4为周期的周期函数 又∵(2)2004f =∴1(2004)(2005)(20041)1(2004)f f f f +=+=-=1(0)1(0)f f +-=1200412004+-=-20052003 ∴(2005)f =-20052003。

专题7 抽象函数的单调性和奇偶性-高一数学必修一专题复习训练含答案一、选择题1．设()f x 是定义在(),-∞+∞上的单调递减函数，且()f x 为奇函数.若()11f =-，则不等式()121f x -≤-≤的解集为A . []1,1-B ． []0,4C ． []2,2-D ． []1,3【答案】D2．若函数()f x 的定义域为()32,1a a -+，且函数()1f x -为奇函数，则实数a 的值为（ ）A . 2B . 4C . 6D . 8【答案】C【解析】函数()f x 的定义域为()32,1a a -+，且函数()1f x -为奇函数，则函数()f x 的图象关于点()1,0对称，故有()132{3212a a a a +>--++＝，求得2a =，故选A .3．已知()f x 是偶函数，它在[)0,+∞上是减函数，若()()lg 1f x f > ，则x 的取值范围是（ ） A . 1,110⎛⎫⎪⎝⎭ B . 1,1010⎛⎫ ⎪⎝⎭ C . ()10,1,10⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭D . ()()0,110,⋃+∞ 【答案】B【解析】试题分析：偶函数()f x 在[)0,+∞上是减函数，则在(],0-∞上为增函数，由()()lg 1f x f >可知，得，故选项B 正确．考点：偶函数的单调性及其运用．【易错点睛】解答本题时考生容易错误的理解为：偶函数在整个定义域上的单调性是一致的，而列出不等式，解得，没有正确的选项可选．偶函数的图象关于y 轴对称，则其在原点两侧对称区间的单调性也是不同的，即一侧为单调增函数，则对称的另一侧为单调减函数．只有清楚了函数的单调性，才能正确的列出不等式，进而求出正确的解．4．已知函数()y f x =是R 上的偶函数，且在[)0+∞，上单调递增，则下列各式成立的是（ ）A . ()()()201f f f ->>B . ()()()102f f f >>-C . ()()()210f f f ->>D . ()()()120f f f >->【答案】A【解析】因为函数()y f x =是R 上的偶函数，所以()()22f f -= ，又因为()f x 在[)0+∞，上单调递增，所以()()()201f f f >>，故()()()201f f f ->>. 本题选择A 选项. 5．已知定义域为R 的偶函数在上是减函数，且，则不等式的解集为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】6．已知偶函数f （x ）在[0，+∞）单调递增，若f （2）=﹣2，则满足f （x ﹣1）≥﹣2的x 的取值范围是 （ ） A ． （﹣∞，﹣1）∪（3，+∞） B ． （﹣∞，﹣1]∪[3，+∞） C ． [﹣1，﹣3] D ． （﹣∞，﹣2]∪[2，+∞） 【答案】B 【解析】根据题意，偶函数在单调递增，且，可得，若，即有， 可得，解可得： 即的取值范围是；故选：B ．7．若偶函数()f x 在(],0-∞上单调递减, ()()3224log 3,log 5,2a f b f c f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭,则满足( )A . a b c <<B . b a c <<C . c a b <<D . c b a <<【答案】B8．已知函数()f x 为定义在[]2,1b b -上的偶函数，且在[]0,1b -上单调递增，则()()1f x f ≤的解集为（ ）A . []1,2B . []3,5C . []1,1-D . 13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】由函数奇偶性的定义可知2101b b b +-=⇒=-，所以函数()f x 在[]0,2单调递增，则不等式可化为1{1102x x x ≤⇒-≤≤≤≤，应选答案C .9．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，在(],0-∞上有单调性，且()()21f f -<，则下列不等式成立的是 （ ）A . ()()()123f f f -<<B . ()()()234f f f <<-C . ()()1202f f f ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭D . ()()()531f f f <-<-【答案】D【解析】根据函数为偶函数，有()()()221f f f -=<，故函数在[)0,+∞上递减，所以()()()()()()10123452f f f f f f f ⎛⎫>>>>>> ⎪⎝⎭，故选D .10.若是奇函数，且在内是增函数，又，则的解集是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】11.定义在的函数，已知是奇函数，当时，单调递增，若且，且值（ ）．A ． 恒大于B ． 恒小于C ． 可正可负D ． 可能为【答案】A【解析】由是奇函数，所以图像关于点对称，当时，单调递增，所以当时单调递增，由，可得，，由可知，结合函数对称性可知12.已知是定义在上的奇函数，对任意的，均有.当时，，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】f（）=f（）=14，∵＜＜，二、填空题13．设f（x）是R上的偶函数，且在[0，+∞）上单调递增，则f（–2），f（–π），f（3）的大小顺序是__________．【答案】f（–π）>f（3）>（–2）【解析】由已知是上的偶函数，所以有，，又由在上单调增，且，所以有，所以π），故答案为：.14.已知偶函数在区间上单调增加，则满足的的取值范围是__________．【答案】【解析】∵是偶函数，15.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数, 在区间(),0-∞上单调递减，且()10f =. 若实数a 满足()515log log f a f a ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭, 则实数a 的取值范围是____________．【答案】][10,1,55⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦【解析】因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数, 在区间(),0-∞上单调递减， 根据对称性，所以函数()f x 在区间()0,+∞上也单调递减．又易推出()()()1100f f f -===．从而根据函数()f x 的性质作出图象, 即可求得()0f x ≥的解集为][(,10,1⎤-∞-⋃⎦．()515log log f a f a ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭等价于()5log 0f a ≥，故5log 1a ≤-或50log 1a ≤≤，解得105a <≤或15a ≤≤． 16.定义在区间[]2,2-上的偶函数()g x ,当0x ≥时()g x 单调递减,若()()1g m g m -<，则实数m 的取值范围是____________．【答案】1 1,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【解析】不等式等价于：212 {221mmm m-≤-≤-≤≤->，求解关于实数m的不等式组可得实数m的取值范围是1 1,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭.17．设偶函数在上为减函数，且，则不等式的解集为_________；【答案】【解析】18．已知函数是定义在区间上的偶函数，它在区间上的图像是如图所示的一条线段，则不等式的解集为__________.【答案】【解析】 由题意，函数过点，，∴，又因为是偶函数，关于轴对称，所以，即，又作出函数在上的图像，当的时候，的图像恒在的上方，当的时候，令，，即当的时候，满足，即.故答案为：. 19．定义在上的奇函数是增函数，且，则的取值范围为__________．【答案】【解析】20.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且对于任意1x ， [)20,x ∈+∞， 12x x ≠，均有()()21120f x f x x x ->-.若1132f ⎛⎫-=⎪⎝⎭， 182log 1f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，则x 的取值范围为__________． 【答案】()10,2,2⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭【解析】定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且对于任意1x ， [)20,x ∈+∞， 12x x ≠，均有()()21120f x f x x x ->-， ()f x ∴ 在()0,+∞ 上递减，在(),0-∞ 上递增，12811112log ,log 2333f x f f x f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<=--<- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，因为()f x 是偶函数，所以2211log ,log 133x x ->->或2log 1x <- ，可得2x >或102x << ，故答案为()10,2,2⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭.三、解答题21.已知函数()y f x =是定义在()0,+∞上的增函数，对于任意的0,0x y >>，都有()()()f xy f x f y =+，且满足()21f =.（1）求()()14f f 、的值；（2）求满足()()32f x f x +->的x 的取值范围. 【答案】（1）()10f =， ()42f =；（2）4x >. 【解析】22.定义在R 上的函数()y f x =对任意的,x y R ∈，满足条件： ()()()1f x y f x f y +=+-，且当0x >时， ()1f x >. （1）求()0f 的值；（2）证明：函数()f x 是R 上的单调增函数；（3）解关于t 的不等式()221f t t -<.【答案】(Ⅰ) ()01f =；(Ⅱ)见解析；（Ⅲ） 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【解析】23.若()f x 是定义在()0,+∞上的增函数，且对一切x ， 0y >，满足()()x f f x f y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭． （1）求()1f 的值；（2）若()61f =，解不等式()1323f x f ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭． 【答案】（1）0；（2）()3,9- 【解析】24.已知()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数，且()11f =，若m ， []1,1n ∈-， 0m n +≠时，有()()0f m f n m n+>+.（1）证明()f x 在[]1,1-上是增函数； （2）解不等式1121f x f x ⎛⎫⎛⎫+< ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭； （3）若()221f x t at ≤-+对任意[]1,1x ∈-， []1,1a ∈-恒成立，求实数t 的取值范围. 【答案】（1）增函数；（2）3,12⎡⎫--⎪⎢⎣⎭；（3）0t =或2t ≥或2t ≤-． 【解析】∵()f x 在[]1,1-上是增函数∴()()max 11f x f == ∴2221120t at t at -+≥⇒-≥对任意[]1,1a ∈-恒成立． 令()22g a at t =-+，则0{00t =≥恒成立或()20{120t g t t >=-+≥或()20{120t g t t <-=+≥，∴0t =或2t ≥或2t ≤-∴实数t 的取值范围为0t =或2t ≥或2t ≤-．25.函数()f x 的定义域为{|0}D x x =≠，且满足对任意12,x x D ∈，有()()1212f x x f x x ⋅=+）（. （1）求()1f 的值；（2）判断()f x 的奇偶性并证明你的结论；（3）如果()41f =， ()12f x -<，且()f x 在()0,+∞上是增函数，求x 的取值范围. 【答案】（1）()10f =；（2）见解析：（3）()()15,11,17-⋃. 【解析】点睛：本题给出抽象函数，求特殊的函数值、讨论函数的奇偶性，并依此解关于x 的不等式．着重考查了函数的单调性、奇偶性和绝对值不等式的解法等知识，属于中档题．运用“赋值法”进行求值和化简，是解决抽象函数问题的一般方法.26.设函数()y f x =是定义在R 上的函数，并且满足下面三个条件：①对任意正数,x y ，都有()()()f xy f x f y =+；②当1x >时， ()0f x <；③()31f =-.（1）求()1f ， 19f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）证明()f x 在()0,+∞上是减函数；（3）如果不等式()()22f x f x +-<成立，求x 的取值范围.【答案】（Ⅰ）2;（Ⅱ）见解析; （Ⅲ）(1,133-+）. 【解析】点晴：本题属于对函数单调性的证明和单调性应用的考察，若函数()f x 在区间上单调递增，则()()1212,,x x D f x f x ∈>且时，有12x x >，事实上，若12x x ≤,则()()12f x f x ≤，这与()()12f x f x >矛盾，类似地，若()f x 在区间上单调递减，则当()()1212,,x x D f x f x ∈>且时有12x x <；据此可以解不等式，由函数值的大小，根据单调性就可以得自变量的大小关系. 27.已知函数的定义域为，若对于任意的实数，都有，且时，有.（1）判断并证明函数的奇偶性； （2）判断并证明函数的单调性；（3）设，若对所有，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）奇函数，（2）单调递增函数，（3）或.【解析】（1）奇函数，证明如下：由题意知，令，得，所以；点睛：抽象函数单调性的证明绝大多数情况下都是用“定义法”去证，其步骤是：（1）取值：在给定区间上任取，且；（2）作差：将变形整理为其结果为因式乘积的形式或能够判断的符号的形式；（3）判断的符号；（4）根据定义得出结论.28．已知函数是定义在上的不恒为零的函数，对于任意非零实数满足，且当时，有.（Ⅰ）判断并证明的奇偶性；（Ⅱ）求证：函数在上为增函数，并求不等式的解集.【答案】(1)见解析;(2).【解析】分析：⑴先求出，继而，令代入得⑵构造，然后利用已知代入证明详解：（Ⅰ）是偶函数。

2025高三一轮加强专题4：抽象函数一、单选题1．定义在R 上的函数()f x 满足对任意实数,x y 都有()()()1f x y f x f y +=+-，若0x >时，()1f x >，则()f x （）A ．先单调通淢后单调递增B ．在R 上单调递增C ．在R 上单调通减D ．单调性不确定2．已知函数()f x 的定义域为R ，()()()f a f b f a ab b -=-，则（）A ．()00f =B ．()12f =C ．()1f x -为偶函数D ．()1f x -为奇函数3．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()()2f x y f x y f x f y +-=+，且()00f ≠，则下列结论中错误的是（）A ．()01f =B ．()y f x =为奇函数C ．()y f x =不存在零点D ．()()2f x f x =4．已知函数()f x 的定义域为R ，且()()2222f f x y x y y f f x +-⎛⎫⎛⎫⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，122f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图像关于直线12x =对称，()11f =，()f x 在[]1,0-上单调递增，则下列说法中错误的是（）A ．()()240f f +=B ．()f x 的一条对称轴是直线32x =C ．()202342f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭D ．()202411k f k ==∑5．已知函数()f x 的定义域为R ，函数()()()11F x f x x =+-+为偶函数，函数()()231G x f x =+-为奇函数，则下列说法错误的是（）A ．函数()f x 的一个对称中心为()2,1B ．()01f =-C ．函数()f x 为周期函数，且一个周期为4D ．()()()()12346f f f f +++=6．已知函数()f x 定义域为R ，且()()()22yf x xf y xy y x -=-，下列结论成立的是（）A ．()f x 为偶函数B ．()22f =-C ．()f x 在[]1,2上单调递减D ．()f x 有最大值二、多选题7．已知定义在(,0)(0,)-∞+∞ 上的函数()f x 满足()()1()f x f y f xy y x xy--=++，则（）A ．()f x 是奇函数B ．()f x 在(,0)-∞上单调递减C ．()f x 是偶函数D ．()f x 在(0,)+∞在上单调递增8．定义在R 上的非常数函数()f x 的导函数为()f x '，若()2f x +为偶函数且()()23f x f x ++=.则下列说法中一定正确的是（）A ．()f x 的图象关于直线2x =对称B ．6是函数()f x 的一个周期C ．()312f =D ．()f x '的图象关于直线3x =对称9．已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域都是R ，若函数()f x 的图象关于点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，()f x '为偶函数，则（）A ．312f ⎛⎫= ⎪⎭'⎝B ．()()12123f x f x -++=C ．()f x '的图象关于直线1x =对称D ．()f x '的最小周期是110．已知函数()f x 的定义域为R ，且()10f =，若()()()2f x y f x f y +=++，则下列说法正确的是（）A ．()14f -=-B ．()f x 有最大值C ．()20244048f =D ．函数()2f x +是奇函数11．已知()f x ，()g x 都是定义在R 上的函数，对任意实数x ，y 满足()()()()2f x y f x y g x f y +--=，()()210f f +=且()()210f f ⋅≠，则下列结论正确的是A ．()00f =B ．()112g =-C ．()f x 为奇函数D ．()202412024n f n ==∑12．已知函数()f x （()f x 不恒为零），其中()f x '为()f x 的导函数，对于任意的,x y ∈R ，满足()()()()22f x y f x y f x f y +-=-，且()()11,20f f ==，则（）A ．()f x 是偶函数B ．()1f x '+关于直线1x =对称C ．()20,f n n =∈ND ．81()1k f k ==-∑13．已知函数()f x 的定义域为R ，()11f =，()()()()()f x y f x f y f x f y +=++，则（）A ．()01f =-B ．()()0f x f x -≤C ．()()2f x y f x =+为奇函数D ．115212122k k f =-⎛⎫< ⎪⎝⎭∑参考答案：1．B【分析】利用函数单调性的定义即可判断.【详解】任取12x x <，令211,x x x y x =-=，则()()()()212111f x f x f x x x f x -=-+-()()()()21112111f x x f x f x f x x =-+--=--，因为210x x ->，所以()211f x x ->，所以()()210f x f x ->，所以()f x 在R 上单调递增.故选：B.2．D【分析】对于A ，令0b =，可求出(0)f 进行判断，对于B ，令1a b ==，可求出(1)f 进行判断，对于CD ，令0,a b x ==，可求出()f x ，从而可求出()1f x -，进而可判断其奇偶性.【详解】对于A ，令0b =，则()()()00f a f f a -=，得()()010f a f -=⎡⎤⎣⎦，所以()0f a =或()01f =，当()0f a =时，()()()f a f b f a ab b -=-不恒成立，所以()01f =，所以A 错误，对于B ，令1a b ==，则()()()1110f f f -=，得(1)[(1)1]0f f -=，所以()10f =，或()11f =，由选项A 可知()10f ≠，所以()11f =，所以B 错误，对于CD ，令0,a b x ==，则()()()00f f x f x -=-，由选项A 可知()01f =，所以()1f x x =-，所以()111f x x x -=--=-，令()()1g x f x x =-=-，则()()g x x g x -==-，所以()g x 为奇函数，即()1f x -为奇函数，所以C 错误，D 正确，故选：D 3．B【分析】根据题意，结合抽象函数的赋值法，列出方程，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，由2()()()()f x y f x y f x f y +-=+，令0x y ==，可得22(0)2(0)f f =，因为(0)0f ≠，所以(0)1f =，所以A 不符合题意；对于B 中，函数()f x 的定义域为全体实数，由(0)1f =，显然不符合()()f x f x -=-，所以函数()f x 不是奇函数，所以B 符合题意；对于C 中，由2()()()()f x y f x y f x f y +-=+，令0y =，可得22()()(0)f x f x f =+，即22()()10f x f x --=，解得()1f x =或1()2f x =-，所以函数()y f x =没有零点，所以C 不符合题意；对于D 中，由2()()()()f x y f x y f x f y +-=+，令y x =，可得2(2)(0)()()f x f f x f x =+，所以2(2)2()f x f x =，即(2)()f x f x =，所以D 不符合题意.故选：B ．4．D【分析】令0x y ==，可求得()00f =，令x y =-，可得()()f x f x -=-，利用已知可得()f x 关于32x =对称，可判断B ；可求得函数的周期为6，()f x 关于()3,0对称，计算可判断AD ；由题意可得()f x 在[]2,4上单调递减，可判断C.【详解】()()2222x y x y f x f y f f +-⎛⎫⎛⎫⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令0x y ==，可得()()2200000022f f f f +-⎛⎫⎛⎫⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得()00f =；令x y =-，()()2222x x x x f x f x f f -+⎛⎫⎛⎫⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()()()2f x f x f x ⋅-=-，∴()()f x f x -=-，∴()f x 为奇函数；∵122f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图像关于12x =对称，()()11332121222222f x f x f x f x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=++⇒-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,∴()f x 关于32x =对称，故B 正确；∴3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()()3()f x f x f x -=+=-，∴()6(3)()f x f x f x +=-+=，即()f x 的周期为6，∵()f x 关于32x =对称，可得()f x 关于()3,0对称∴()()600f f ==，()()511f f =-=-，()()411f f =-=-，()30f =，()()211f f ==，所以()()240f f +=，2024()337[(1)(2)(3)(4)(5)(6)](1)(2)2f k f f f f f f f f =+++++++=∑小，故A 正确，D 错误；∵202377(1686)222f f f ⎛⎫⎛⎫=+⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，又()f x 在[]1,0-上单调递增∴()f x 在[]2,4上单调递减，所以7(4)2f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即()202342f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，故C 正确.故选：D.5．C【分析】对于A ，由()G x 为奇函数，则()()G x G x -=-，再将()()231G x f x =+-代入化简可求出对称中心；对于B ，由选项A 可得(2)1f =，再由()F x 为偶函数可得(1)(1)2f x f x x +--=，令1x =可求出(0)f ；对于C ，由()f x 的图象关于点(2,1)对称，结合(0)1f =-求出(4)f 进行判断；对于D ，利用赋值法求解判断.【详解】对于A ，因为()()231G x f x =+-为奇函数，所以()()G x G x -=-，即(23)1[(23)1]f x f x --=-+-，所以(23)(23)2f x f x -++=，所以(2)(2)2f x f x -++=，所以函数()f x 的图象关于点(2,1)对称，所以A 正确，对于B ，在(2)(2)2f x f x -++=中，令0x =，得2(2)2f =，得(2)1f =，因为函数()()()11F x f x x =+-+为偶函数，所以()()F x F x -=，所以()()()()1111f x x f x x ---=+-+，所以(1)(1)2f x f x x +--=，令1x =，则(2)(0)2f f -=，所以1(0)2f -=，得(0)1f =-，所以B 正确，对于C ，因为函数()f x 的图象关于点(2,1)对称，(0)1f =-，所以(4)3f =，所以(0)(4)f f ≠，所以4不是()f x 的周期，所以C 错误，对于D ，在(2)(2)2f x f x -++=中令1x =，则(1)(3)2f f +=，令2x =，则(0)(4)2f f +=，因为(0)1f =-，所以(4)3f =，因为(2)1f =，所以()()()()12346f f f f +++=，所以D 正确，故选：C【点睛】关键点点睛：此题考查抽象函数的奇偶性、对称性和周期性，解题的关键是由已知条件化简后利用赋值法分析判断，考查计算能力，属于较难题.6．D【分析】利用题设结合赋值法可得出()()2112221f x x f x ⎡⎤+⎢⎥⎣=⎦-+，进而结合二次函数性质一一判断各选项，即可得答案.【详解】由于函数()f x 的定义域为R ，且()()()22yf x xf y xy y x -=-，令2y =，则()()()24222f x xf x x -=-，得()()2112221f x x f x ⎡⎤+⎢⎥⎣=⎦-+，2x =时，()()2212222f f +⎡⎤⎣⎦=-⨯+恒成立，无法确定()22f =-，B 不一定成立；由于()22f =-不一定成立，故()()2112221f x x f x ⎡⎤+⎢⎥⎣=⎦-+不一定为偶函数，A 不确定；由于()()2112221f x x f x ⎡⎤+⎢⎥⎣=⎦-+的对称轴为()1212x f =⋅+⎡⎤⎣⎦与[]1,2的位置关系不确定，故()f x 在[]1,2上不一定单调递减，C 不确定，由于()()2112221f x x f x ⎡⎤+⎢⎥⎣=⎦-+表示开口向下的抛物线，故函数()f x 必有最大值，D 正确.故选：D【点睛】关键点睛：解答本题的关键是利用赋值法确定函数()()2112221f x x f x ⎡⎤+⎢⎥⎣=⎦-+，进而结合二次函数性质求解.7．AB【分析】令1x y ==-，求出()1f ，令1x y ==，求出()1f -，再分别令1y =-和1y =，即可求出函数()f x 的解析式，进而可得函数性质.【详解】定义在(,0)(0,)-∞+∞ 上的函数()f x 满足()()1()f x f y f xy y x xy--=++，令1x y ==-，则()()1211f f =-+，所以()113f =，令1x y ==，则()()1211f f =-+，所以()113f -=-，令1y =-，则()()()()()1111233f f x f x f x f x xx x x x-=--+-=--+-=---，所以()13f x x-=-，令1y =，则()()()111111333f f x f x xx x x x x-=-++=--+=，所以()13f x x =，因为()()13f x f x x-=-=-，且定义域关于原点对称，所以函数()f x 是奇函数，由反比例函数的单调性可得函数()13f x x=在(,0)-∞和(0,)+∞上单调递减.故选：AB.8．ACD【分析】根据偶函数的性质即可求解A ，根据4是函数()f x 的一个周期，利用反证法即可求解B ，由赋值法求解C ，求导，即可判断D.【详解】对于A ：因为()2f x +是偶函数，所以()()22f x f x -+=+，即()f x 的图象关于直线2x =对称，所以A 正确；对于B ：由()()23f x f x ++=得()()243f x f x +++=，所以()()4f x f x =+，即4是函数()f x 的一个周期，若6也为函数()f x 的一个周期，则2为函数()f x 的一个周期，那么()()()232f x f x f x ++==，即()32f x =为常数函数，不合题意，所以B 错误；对于C ：由A 可知()()13f f =，对于()()23f x f x ++=可令1x =得()()133f f +=，所以()312f =，所以C 正确；对于D ：由A 可得()()22f x f x -+=+，求导可得()()220f x f x ''++-=即()()40f x f x ''+-=，对于()()23f x f x ++=求导可得()()20f x f x '+'+=，所以()()42f x f x -='+'，即函数()f x '的图像关于直线3x =对称，所以D 正确；故选：ACD.9．BC【分析】用举反例的方法得选项A ，D 错误，再由对称性和对称性与周期性之间的关系对剩余选项逐一分析即可.【详解】因为()f x '为偶函数，函数()f x 的图象关于点31,2⎛⎫⎪⎝⎭对称，对于函数() 1.5f x x =，显然其图象关于点31,2⎛⎫⎪⎝⎭对称，且() 1.5f x '=，故() 1.5f x '=为偶函数，即() 1.5f x x =满足条件()f x '为偶函数，且其图象关于点31,2⎛⎫⎪⎝⎭对称，但33122f ⎛⎫=⎪⎭'≠ ⎝，故A 错误；()f x '的最小正周期不是1，D 错误；函数()f x 的图象关于点31,2⎛⎫⎪⎝⎭对称，()()113f t f t ∴-++=，令2t x =，得()()12123f x f x -++=，故B 正确；函数()f x 的图象关于点31,2⎛⎫⎪⎝⎭对称，()(2)3f x f x ∴=--+，两边求导得：()()2f x f x ''=-，()f x ∴'的图象关于直线1x =对称,故C 正确；故选：BC.10．AD【分析】根据题意，利用抽象函数的性质，及赋值法并结合选项，即可逐项判定，从而求解.【详解】对于A 中，令0x y ==，可得()02f =-，令1,1x y ==-，则()()()11112f f f -=-++，解得()14f -=-，所以A 正确；对于B 中，令121,x x y x x ==-，且12x x <，则()()()1211212f x x x f x f x x +-=+-+，可得()()()21212f x f x f x x -=-+，若0x >时，()2f x >-时，()()210f x f x ->，此时函数()f x 为单调递增函数；若0x <时，()2f x <-时，()()210f x f x -<，此时函数()f x 为单调递减函数，所以函数()f x 不一定有最大值，所以B 错误；对于C 中，令1y =，可得()()()()1122f x f x f f x +=++=+，即()()12f x f x +-=，所以()()()()()()()2024202420232023202232f f f f f f f ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-+-++-⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ()()()2112023204046f f f ⎡⎤+-+=⨯+=⎣⎦，所以C 错误；对于D 中，令y x =-，可得()()()02f f x f x =+-+，可得()()220f x f x ++-+=，即()()22f x f x +=--+⎡⎤⎣⎦，所以函数()2f x +是奇函数，所以D 正确；故选：AD.【点睛】关键点点睛：本题主要是对抽象函数利用赋值法，去求解出()14f -=-，及证明函数()2f x +是奇函数.11．ABC【分析】令0y =即可判断A ；令1x y ==即可判断B ；令1x =可得()(1)(1)f x f x f x =--+，结合奇函数的定义即可判断C ；由选项C ，令1x x =-可得(1)()(2)f x f x f x -=+-，求出()f x 的周期即可求解.【详解】()()2()()f x y f x y g x f y +--=.A ：令0y =，得()()2()(0)0f x f x g x f -==，则(0)0f =，故A 正确；B ：令1x y ==，得(2)(0)2(1)(1)f f g f -=，即(2)2(1)(1)f g f =，又(2)(1)0f f +=且(2)(1)0f f ≠，所以2(1)(1)(1)0g f f +=，解得1(1)2g =-，故B 正确；C ：令1x =，得(1)(1)2(1)()f y f y g f y +--=，即(1)(1)()f y f y f y +--=-，得()(1)(1)f y f y f y =--+，所以()(1)(1)f x f x f x =--+，得()(1)(1)f x f x f x -=+--，所以()()0f x f x +-=，则()f x 为奇函数，故C 正确；D ：由选项C 知()(1)(1)f x f x f x =--+，又(1)(1)f x f x -+=--，得()(1)(1)f x f x f x =-+--①，令x 替换成1x -，得(1)()(2)f x f x f x -=+-②，①②相加，得(1)(2)0f x f x --+-=，则(2)(1)(1)f x f x f x -=---=+，得()(3)f x f x =+，即()f x 的周期为3，所以(0)(3)0f f ==，因为(1)(2)(3)0,202467432f f f ++==⨯+，所以20241()(1)(2)(3)(2024)(1)(2)0n f n f f f f f f ==++++=+=∑ ，故D 错误.故选：ABC【点睛】思路点睛：对于含有,x y ，的抽象函数的一般解题思路是：观察函数关系，发现可利用的点，以及利用证明了的条件或者选项；抽象函数一般通过赋值法来确定、判断某些关系，特别是有,x y 双变量，需要双赋值，可以得到一个或多个关系式，进而得到所需的关系.此过程中的难点是赋予哪些合适的值，这就需要观察题设条件以及选项来决定.12．BCD【分析】对于A ：结合赋值法与函数奇偶性的定义计算；对于B ：结合复合函数导数公式与对称性可对于CD ：借助赋值法结合周期性分析求解.【详解】因为()f x 的定义域为R对于选项A ：令0x y ==，可得()()()()2200000f f f f =-=，即()00f =，令0x =，可得()()()()()2220f y f y f f y f y -=-=-，且()f y 不恒为零，则()()f y f y -=-，即()()f x f x -=-，所以()f x 是奇函数，故A 错误；对于选项B ：令11x ty t=+⎧⎨=-⎩，可得22(2)(2)(1)(1)0f f t f t f t =+--=，即22(1)(1)f x f x +=-，即22()(2)f x f x =-，可得()(2)f x f x =±-，令2x =，可得2(2)(2)()f y f y f y +-=-，即2(2)(2)()f x f x f x +-=-，当()(2)0f x f x =-≠时，有()()()2f x f x f x +=-=-，所以(2)(2)()()0f x f x f x f x ++-=-+=；当()(2)0f x f x =--≠，有(2)()f x f x +=，可得(2)(2)()()0f x f x f x f x ++-=-=，当()(2)0f x f x =-=，结合()()f x f x -=-，有()(2)f x f x -=--，可得()(2)0f x f x =-+=，所以(2)(2)0f x f x ++-=；综上所述：(2)(2)0f x f x ++-=，两边同时求导可得(2)(2)f x f x +=-''，可知()f x '关于直线2x =对称，所以(1)f x '+关于直线1x =对称，故B 正确；对于选项C ：由选项B 可知：()(2)f x f x =±-，若()()(2)2f x f x f x =-=--，即()(2)f x f x +=-，可得()()(4)2f x f x f x +=-+=，可知4为()f x 的周期；若()()(2)2f x f x f x =--=-，即()(2)f x f x +=，可得()()(4)2f x f x f x +=+=，可知4为()f x 的周期；综上所述：4为()f x 的周期.且()()200f f ==，所以()20,f n n =∈N ，故C 正确；对于选项D ：由选项B 可知：(2)(2)0f x f x ++-=，令1x =，可得(3)(1)0f f +=，可得()()()()12340f f f f +++=，结合周期性可得()()()81()1011k f k f f f =-=-+=-=-∑，故D 正确.故选：BCD.【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．13．BCD【分析】利用赋值法求得()0f 即可判断A ；利用赋值可得()2222x x f x f f ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，并且判断出()1f x ≠-，由不等式的性质可得()10f x +>，即可判断B ；利用函数的奇偶性以及()0g 的值即可判断C ；利用等比数列的判定可得()f n的通项公式，利用等比数列的求和公式可得1152121252k k f =-⎛⎫= ⎪⎝⎭∑，即可判断D ．【详解】令1x =，0y =，则()()()()()11010f f f f f =++，将()11f =代入得()200f =，即()00f =，故A 错误；由()00f =，令y x =-可得()()()()0f x f x f x f x =+-+-，若存在x 使得()1f x =-，则上式变为01=-，显然不成立，所以()1f x ≠-，又()2221122222x x x x x f x f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为()1f x ≠-，所以()1f x >-，将()()()()0f x f x f x f x =+-+-整理为()()()()1f x f x f x -+=-，因为()1f x >-，即()10f x +>，所以()()0f x f x -≤，故B 正确；令()()()()R 2f x g x x f x =∈+，则()()()()()()()()()()()()()()()202222f x f x f x f x f x f x g x g x f x f x f x f x +-+--+-=+==+-++-+，且()()()00002f g f ==+，所以()g x 为奇函数，故C 正确；当*n ∈N 时，()()()()()()11121f n f n f f n f f n +=++=+，()()1121f n f n ++=+，所以(){}1f x +是以2为首项，2为公比的等比数列，所以()12n f n +=，由()2112x f x f ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭可知2122n n f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为12n f ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，所以()*221N 2n n f n ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，所以)521111155222111221215252212k k k k f -==-⎛⎫-⎛⎫=-=-=-< ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭∑∑，故D 正确；故选：BCD ．【点睛】关键点点睛：关键是充分利用函数的奇偶性，等比数列的判定与证明以及等比数列的前n 项和进行分析，由此即可顺利得解．。

第4节抽象函数问题内容提要1．轴对称：如果函数()y f x =满足若122x x a +=，就有12()()f x f x =，则()f x 的图象关于直线x a =对称.记法：自变量关于a 对称，函数值相等，如图1.2．中心对称：若函数()y f x =满足若122x x a +=，就有12()()2f x f x b +=，则()f x 关于点(,)a b 对称.记法：自变量关于a 对称，函数值关于b 对称，如图2.3．函数图象的对称轴和对称中心距离（规律：x 系数相反是对称，x 系数相同是周期）()()f x a f a x +=-或(2)()f a x f x +=-()f x 关于直线x a =对称（当0a =时，()f x 即为偶函数，关于y 轴对称）()()f a x f b x +=-()f x 关于直线2a bx +=对称()()0f a x f a x ++-=()f x 关于(,0)a 对称（当0a =时，()f x 即为奇函数，关于原点对称）()()f a x b x c++-=()f x 关于点(,)22a b c+对称4．双对称的周期结论（可借助三角函数辅助理解）：（1）如果函数()f x 有两条对称轴，则()f x 一定是周期函数，周期为对称轴距离的2倍.（2）如果函数()f x 有一条对称轴，一个对称中心，则()f x 一定是周期函数，周期为对称中心与对称轴之间距离的4倍.（3）如果函数()f x 有在同一水平线上的两个对称中心，则()f x 一定是周期函数，周期为对称中心之间距离的2倍.5．原函数与导函数的对称结论：（无需死记结论，想象图象，能理解就行）（1）若()f x 存在导函数()f x '，且()f x 有对称中心(,)a b ，则()f x '必有对称轴x a =.特别地，若()f x 为奇函数，则()f x '为偶函数.（2）若()f x 存在导函数()f x '，且()f x 有对称轴x a =，则()f x '必有对称中心(,0)a .特别地，若()f x 为偶函数，则()f x '为奇函数.（3）若()f x '有对称中心(,)a b ，则()f x 不一定有对称轴x a =；但若0b =，则()f x 一定有对称轴x a =.特别地，若()f x '为奇函数，则()f x 必为偶函数.（4）若()f x '有对称轴x a =，则()f x 必有对称中心(,)a b .特别地，若()f x '是偶函数，则()f x 不一定是奇函数，只能()f x 关于(0,)b 对称，但b 不一定是0.典型例题【例1】已知函数()y f x =满足()(2)0()f x f x x --=∈R ，且在[1,)+∞上为增函数，则（）（A ）(1)(1)(2)f f f ->>（B ）(1)(2)(1)f f f >>-（C ）(1)(2)(1)f f f ->>（D ）(2)(1)(1)f f f >->答案：C解析：()(2)0()(2)()f x f x f x f x f x --=⇒=-⇒的图象关于直线1x =对称，所以(1)(3)f f -=，因为321>>，且()f x 在[1,)+∞上为增函数，所以(3)(2)(1)f f f >>，从而(1)(2)(1)f f f ->>.【反思】本题的关键是由()(2)0f x f x --=识别出()f x 的对称性.【变式1】已知函数()y f x =满足()(2)0()f x f x x +-=∈R ，且在[1,)+∞上为增函数，则（）（A ）(1)(1)(2)f f f ->>（B ）(1)(2)(1)f f f >>-（C ）(1)(2)(1)f f f ->>（D ）(2)(1)(1)f f f >>-答案：D解析：()(2)0()f x f x f x +-=⇒关于点(1,0)对称，又()f x 在[1,)+∞上 ，所以()f x 的草图如图，由图可知()f x 在R 上 ，所以(2)(1)(1)f f f >>-.【反思】本题只需由()(2)0f x f x +-=识别出()f x 的对称性，结合单调性想象图形就可以解题.【变式2】已知函数()f x 满足()(2)()f x f x x =-∈R ，若函数1()y x f x =--有3个不同的零点1x 、2x 、3x ，则123x x x ++=.答案：3解析：看到()(2)f x f x =-，马上想到()f x 的图象关于1x =对称，而要研究1()y x f x =--的零点，可以分离一下，再作图看交点，1()01()x f x x f x --=⇔-=，函数()f x 没给解析式，只能从对称的角度来看，由于()y f x =和1y x =-的图象也都于1x =对称，故它们的交点关于直线1x =对称，如图，设123x x x <<，则必有1312x x +=且21x =，故1233x x x ++=.【变式3】已知函数()f x 满足(2)2()()f x f x x -=-∈R ，若(1)(0)4f f -+=，则(2)(3)f f +=.答案：0解析：(2)2()(2)()2f x f x f x f x -=-⇒-+=，所以()f x 的图象关于点(1,1)对称，而(1)f -，(0)f ，(2)f ，(3)f 这几个函数值中，1-和3关于1对称，0和2关于1对称，所以(1)f -和(3)f 有关系，(0)f 和(2)f 有关系，抓住这点就可以求(2)(3)f f +了，在(2)()2f x f x -+=中取3x =可得(1)(3)2f f -+=，所以(3)2(1)f f =--，取2x =可得(0)(2)2f f +=，所以(2)2(0)f f =-，故(2)(3)4(1)(0)f f f f +=---，又(1)(0)4f f -+=，所以(2)(3)0f f +=.【例2】偶函数()y f x =的图象关于直线2x =对称，(3)3f =，则(1)f -=.答案：3解析：由题意，()f x 有对称轴0x =和2x =，所以()f x 的周期为4，故(1)(3)3f f -==.【反思】对称轴+对称轴=周期，周期为对称轴之间距离的2倍.【变式1】偶函数()f x 满足(2)()2f x f x -+=，且(4)1f =-，则(0)(1)f f +=.答案：0解析：由题意，(2)()2()f x f x f x -+=⇒关于点(1,1)对称，又()f x 为偶函数，所以()f x 关于y 轴对称，从而()f x 的周期为4，故(0)(4)1f f ==-，在(2)()2f x f x -+=取1x =可求得(1)1f =，所以(0)(1)0f f +=.【反思】对称轴+对称中心=周期，周期为二者之间距离的4倍.【变式2】（2018·新课标Ⅱ卷）若()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+，若(1)2f =，则(1)(2)(50)f f f ++⋅⋅⋅+=（）（A ）50-（B ）0（C ）2（D ）50答案：C解法1：首先由双对称，推出周期，下面给出结论的推导方法，因为()f x 是奇函数，且(1)(1)f x f x -=+，所以(1)(1)f x f x +=--，故(2)()f x f x +=-，所以(4)(2)()f x f x f x +=-+=，即()f x 是以4为周期的周期函数，故(3)(1)(1)2f f f =-=-=-，接下来还需计算(2)f 和(4)f ，不能只由周期来求，要结合奇函数满足(0)0f =这个隐含条件，在(1)(1)f x f x -=+中取1x =-知(2)(0)0f f ==，又(4)(0)0f f ==，所以(1)(2)(3)(4)20(2)00f f f f +++=++-+=，故(1)(2)(50)[(1)(4)][(5)(8)][(45)(48)](49)(50)f f f f f f f f f f f ++⋅⋅⋅+=+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++(49)(50)(1)(2)2f f f f =+=+=.解法2：也可以分析已知条件，举一个具体的函数来求解答案，()f x 为奇函数()f x ⇒有对称中心坐标原点，(1)(1)f x f x -=+⇒有对称轴1x =，既有对称轴又有对称中心，在三角函数中比较好找，结合(1)2f =，可取()2sin 2f x x π=，此时不难发现()f x 周期为4，(2)0f =，(3)2f =-，(4)0f =，所以(1)(2)(50)[(1)(4)][(5)(8)][(45)(48)](49)(50)f f f f f f f f f f f ++⋅⋅⋅+=+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++(49)(50)(1)(2)2f f f f =+=+=.【变式3】（2021·新高考Ⅱ卷）已知函数()f x 的定义域为R ，且(2)f x +是偶函数，(21)f x +是奇函数，则下列选项中值一定为0的是（）（A ）1()2f -（B ）(1)f -（C ）(2)f （D ）(4)f 答案：B解法1：先由题干的条件推导()f x 的对称性情况，(2)f x +是偶函数()f x ⇒关于直线2x =对称，题干给出(21)f x +是奇函数，这个条件怎么翻译？实际上，它和(1)f x +为奇函数效果一样，都能得出()f x 关于点(1,0)对称，理由如下，设()(21)v x f x =+，则()v x 是奇函数，所以()()v x v x -=-，即(2()1)(21)f x f x -+=-+，从而(21)(21)f x f x -+=-+，令2t x =，则(1)(1)f t f t -+=-+，故(1)(1)0f t f t -+++=，所以()f x 关于点(1,0)对称，从而()f x 周期为4，且(1)0f =，又()f x 的图象关于2x =对称，所以(3)0f =，故(1)(3)0f f -==，选B.解法2：也可以直接翻译已知条件，通过赋值来求解答案，但这种解法更抽象，由题意，(2)f x +是偶函数，所以(2)(2)f x f x -+=+①，又(21)f x +是奇函数，所以(21)(21)f x f x -+=-+②，在②中取0x =得(1)(1)f f =-，所以(1)0f =，已经得到一个等于0的函数值了，但没有这个选项，所以结合式①继续推理，为了在式①中构造出(1)f ，取1x =得(1)(3)f f =，故(3)0f =，选项中还是没有(3)f ，所以又结合式②继续推理，为了构造出(3)f ，在②中取1x =得(1)(3)0f f -=-=，所以选B.【反思】若()f x 的图象关于点(,)a b 对称，且()f x 在x a =处有定义，则必有()f a b =.【变式4】定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()0f x f x ++-=，当[1,0]x ∈-时，()f x x =，则9()2f =.答案：12解析：由题意，()f x 有对称中心(0,0)和(1,0)，故其周期为2，所以9111(()()2222f f f ==--=.【反思】若()f x 有位于同一水平线上的两个对称中心，则()f x 为周期函数，周期为二者之间距离的2倍.【例3】已知()f x '是函数()f x 的导函数，若(1)f x +为偶函数，且()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为2y x =+，则(2)(2)f f '+=.答案：1解析：(1)f x +为偶函数()f x ⇒的图象关于直线1x =对称，又()f x 在(0,(0))f 处的切线方程为2y x =+，所以(0)2f =，(0)1f '=，因为()f x 的图象关于直线1x =对称，所以(2)2f =，（关于2x =对称的位置函数值相等）且(2)1f '=-（关于2x =对称的位置的切线也关于2x =对称，斜率相反，如图），故(2)(2)1f f '+=.【变式1】已知()f x '是函数()f x 的导函数，(1)f x +为奇函数，设()()g x f x '=，(4)()0()g x g x x -+=∈R ，且(2)2f =，则(1)(2)(10)f f f ++⋅⋅⋅+=.答案：2解析：先利用已知条件推出()f x 的对称性、周期性，再画草图看函数值，(1)f x +为奇函数()f x ⇒关于点(1,0)对称，所以(1)0f =，又(2)2f =，所以(0)2f =-，如图，(4)()0()g x g x g x -+=⇒关于(2,0)对称()f x ⇒关于直线2x =对称，所以()f x 周期为4，且(3)(1)0f f ==，(4)(0)2f f ==-，从而(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=，故(1)(2)(10)[(1)(2)(3)(4)][(5)(6)(7)(8)](9)(10)f f f f f f f f f f f f f ++⋅⋅⋅+=+++++++++(9)(10)(1)(2)2f f f f =+=+=.【变式2】（2022·新高考Ⅰ卷）（多选）已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，记()()g x f x '=，若3(2)2f x -，(2)g x +均为偶函数，则（）（A ）(0)0f =（B ）1()02g -=（C ）(1)(4)f f -=（D ）(1)(2)g g -=答案：BC解析：先把已知的3(2)2f x -，(2)g x +均为偶函数翻译一下，可以翻译成()f x 和()g x 的对称性，3(2)2f x -为偶函数33(2)(2)()22f x f x f x ⇒+=-⇒的图象关于直线32x =对称，(2)g x +为偶函数()g x ⇒的图象关于直线2x =对称()f x ⇒的图象关于点(2,(2))f 对称，（此处必须通过直观想象图形的样子，用()g x 的对称性反推()f x 的对称性，否则无法求解此题）所以()f x 是以2为周期的周期函数（双对称周期结论），故()g x 也是以2为周期的周期函数，A 项，(0)(2)f f =，而(2)f 的值无法确定，故A 项错误；B 项，()g x 周期为213()()22g g ⇒-=，因为()f x 的图象关于直线32x =对称，所以3()2f 必是()f x 的极值，从而3()02f '=，故3(02g =，所以1()02g -=，故B 项正确；C 项，()f x 的图象关于直线32x =对称(1)(4)f f ⇒-=，故C 项正确；D 项，()g x 周期为2(1)(1)g g ⇒-=，又()f x 的图象关于直线32x =对称，所以()f x 的图象在1x =和2x =处的切线斜率互为相反数，从而(1)(2)g g =-，所以(1)(2)g g -=-，故D 项错误.强化训练1．（2022·成都模拟·★★★）已知函数()y f x =满足(4)()0()f x f x x +--=∈R ，且()f x 在[2,)+∞上为减函数，则（）（A ）22(log 3)(log 5.1)(3)f f f >>（B ）22(log 5.1)(log 3)(3)f f f >>（C ）22(log 5.1)(3)(log 3)f f f >>（D ）22(log 3)(3)(log 5.1)f f f >>答案：B解析：(4)()0()f x f x f x +--=⇒的图象关于直线2x =对称，结合()f x 在[2,)+∞上为减函数可得当自变量与2的距离越大时，函数值越小，如图，而22234log 32log log 43-==，225.1log 5.12log 4-=，321-=，所以225.14log log 143<<，故22(3)(log 3)(log 5.1)f f f <<.2．（2022·甘肃模拟·★★★）定义在R 上的奇函数()f x 满足(8)(4)f x f x +=--，且当[0,2]x ∈时，()13x f x =-，则(2022)f =（）（A ）8-（B ）2-（C ）2（D ）8答案：D解析：(8)(4)()f x f x f x +=--⇒关于2x =对称，()f x 为奇函数()f x ⇒关于原点对称，所以周期为8，故2(2022)(25286)(6)(2)(2)(13)8f f f f f =⨯+==-=-=--=.3．（2021·湖北模拟·★★★）（多选）设()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R ，都有(2)(2)f x f x +=-，当[0,2]x ∈时，21()()2x f x -=，则（）（A ）()f x 是周期函数，且周期为2（B ）()f x 的最大值是1，最小值是14（C ）()f x 在[2,4]上单调递减，在[4,6]上单调递增（D ）当[2,4]x ∈时，21()()2x f x -=答案：BC解析：A 项，()f x 是偶函数()f x ⇒关于0x =对称，(2)(2)()f x f x f x +=-⇒关于2x =对称，所以()f x 是以4为周期的周期函数，故A 项错误；B 项，当[0,2]x ∈时，21()()2x f x -=，结合()f x 是周期为4的偶函数可作出()f x 的大致图象如图，由图可知min 1()(0)4f x f ==，max ()(2)1f x f ==，故B 项正确；C 项，由图可知C 项正确；D 项，由图可知()f x 在[2,4]上 ，而21()2x y -=在[2,4]上 ，故D 项错误.4．（★★★）若()f x 是定义域为R 的奇函数，(2)()f x f x +=-，若(1)1f =，则(1)(2)(2022)f f f ++⋅⋅⋅+=.答案：1解析：()f x 有对称中心(0,0)和对称轴1()x f x =⇒周期为4，在(2)()f x f x +=-中取0x =知(2)(0)0f f ==，又(3)(1)(1)1f f f =-=-=-，(4)(0)0f f ==，所以(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=，故(1)(2)(2022)(2021)(2022)(1)(2)1f f f f f f f ++⋅⋅⋅+=+=+=.5．（★★★）已知函数())1f x x =+，定义域为R 的函数()g x 满足()()2g x g x -+=，若函数()y f x =与()y g x =的图象的交点为11(,)x y ，22(,)x y ，…，55(,)x y ，则51()i i i x y =+=∑（）（A ）0（B ）5（C ）10（D ）15答案：B解析：()g x 没给解析式，给的是()()2g x g x -+=，只能得出对称性，所以也要研究()f x 的对称性，注意到)y x =为奇函数，其图象关于原点对称，所以()f x 的图象关于点(0,1)对称，又()()2g x g x -+=，所以()g x 的图象也关于点(0,1)对称，故()f x 与()g x 的交点关于点(0,1)对称，如图，由图可知，1250x x x ++⋅⋅⋅+=，1255y y y ++⋅⋅⋅+=，所以51()5i i i x y =+=∑.6．（2022·四川模拟·★★★）奇函数()f x 满足(2)()0()f x f x x ++-=∈R ，若当01x ≤≤时，2()44f x x x =-，则函数()lg y f x x =-的零点个数为.答案：9解析：(2)()0()f x f x f x ++-=⇒的图象关于点(1,0)对称，又()f x 为奇函数，所以()f x 的图象关于原点对称，所以()f x 的周期为2，如图，lg y x =与()y f x =的图象共有9个交点，所以函数()lg y f x x =-有9个零点.7．（2022·江苏模拟·★★★）偶函数()f x 满足()(2)()f x f x x =-∈R ，当[0,1]x ∈时，2()22f x x =-，则函数4()()2log 1g x f x x =--的所有零点之和为（）（A ）4（B ）6（C ）8（D ）10答案：B解析：()(2)()f x f x f x =-⇒的图象关于1x =对称，()f x 为偶函数()f x ⇒的图象关于y 轴对称，所以()f x 的周期为2，4()0()2log 1g x f x x =⇔=-，作出图象如图，由图可知两图象有6个交点，且它们两两关于直线1x =对称，故()g x 的零点之和为6.8．（★★★）已知()f x '是函数()f x 的导函数，若(1)f x -为奇函数，且()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为20x y ++=，则(2)(2)f f '-+-=.答案：1解析：(1)f x -为奇函数()f x ⇒的图象关于点(1,0)-对称，又()f x 在(0,(0))f 处的切线方程为20x y ++=，所以(0)2f =-，(0)1f '=-，因为()f x 的图象关于点(1,0)-对称，所以(2)2f -=，（点(2,(2))f --和(0,(0))f 关于(1,0)-对称）且(2)1f '-=-（关于(1,0)-对称的位置的切线斜率相等，如图），故(2)(2)1f f '-+-=.9．（★★★★）已知()f x '是函数()f x 的导函数，若(2)f x +和()f x '均为奇函数，且(0)2f =，则(2)(4)(2022)f f f ++⋅⋅⋅+=.答案：2-解析：先把已知条件翻译成()f x 的对称性，再利用对称性求函数值，最好画个图比较容易理解，(2)f x +为奇函数()f x ⇒的图象关于点(2,0)对称，所以(2)0f =，()f x '为奇函数()f x ⇒为偶函数()f x ⇒的图象关于y 轴对称，所以()f x 的周期为8，因为(0)2f =，且()f x 关于(2,0)对称，所以(4)2f =-，又()f x 为偶函数，且周期为8，所以(6)(2)(2)0f f f =-==，(8)(0)2f f ==，从而(2)(4)(6)(8)0(2)020f f f f +++=+-++=，故(2)(4)(2022)[(2)(4)(6)(8)][(10)(12)(14)(16)]f f f f f f f f f f f ++⋅⋅⋅+=++++++++⋅⋅⋅[(2010)(2012)(2014)(2016)](2018)(2020)(2022)f f f f f f f +++++++(2018)(2020)(2022)(2)(4)(6)2f f f f f f =++=++=-.10．（2021·新课标Ⅱ卷·★★★★）设函数()f x 的定义域为R ，(1)f x +为奇函数，(2)f x +为偶函数，当[1,2]x ∈时，2()f x ax b =+.若(0)(3)6f f +=，则9()2f =（）（A ）94-（B ）32-（C ）74（D ）52答案：D解析：(1)f x +为奇函数()f x ⇒的图象关于点(1,0)对称，所以(1)(1)f x f x +=--，(2)f x +为偶函数()f x ⇒的图象关于直线2x =对称，所以(2)(2)f x f x +=-，从而()f x 是以4为周期的周期函数，所以91()(22f f =，在(1)(1)f x f x +=--中取12x =可得13()(22f f =-，所以939(()224f f a b =-=--，还得把a 和b 求出来才能得出答案，在(1)(1)f x f x +=--中取1x =可得(0)(2)4f f a b =-=--，在(2)(2)f x f x +=-中取1x =得(3)(1)f f a b ==+，所以(0)(3)36f f a +=-=，故2a =-，在(1)(1)f x f x +=--中取0x =得(1)0f =，而(1)f a b =+，所以0a b +=，故2b =，所以995()242f a b =--=.11．（2022·全国乙卷·理·12·★★★★）已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，且()(2)5f x g x +-=，()(4)7g x f x --=.若()y g x =的图象关于直线2x =对称，(2)4g =，则221()k f k ==∑（）（A ）21-（B ）22-（C ）23-（D ）24-答案：D解析：要求221()k f k =∑，得研究()f x 的性质，先用已知的()(2)5()(4)7f xg x g x f x +-=⎧⎨--=⎩把()g x 有关的消掉，在()(4)7g x f x --=中将x 换成2x -可得(2)(2)7g x f x ----=，所以(2)(2)7g x f x -=--+，代入()(2)5f x g x +-=可得()(2)75f x f x +--+=，所以()(2)2f x f x +--=-，故()f x 关于(1,1)--对称，题干给出了()g x 关于2x =对称，而()g x 和()f x 显然是有关系的，可以由此条件再推导()f x 的对称性，由()(4)7g x f x --=可得(4)()7f x g x -=-，将x 换成4x +可得()(4)7f x g x =+-，从而()f x 可由()g x 左移4个单位，下移7个单位得到，故()f x 关于直线2x =-对称，所以()f x 是以4为周期的周期函数，接下来求一个周期的整点函数值，就可以算出221()k f k =∑，首先，()f x 关于(1,1)--对称，所以(1)1f -=-，故(3)1f =-，又()f x 关于2x =-对称，所以(3)(1)1f f -=-=-，结合周期为4可得(1)(3)1f f =-=-，只要求出(2)f 和(4)f ，就大功告成，条件中(2)4g =还没用，先在题干给的等式中将(2)g 构造出来，因为(2)4g =，在()(2)5f x g x +-=中取0x =可得(0)(2)5f g +=，所以(0)5(2)1f g =-=，故(4)1f =，由(0)1f =以及()f x 关于(1,1)--对称可得(2)3f -=-，结合周期为4可得(2)3f =-，所以221()5[(1)(2)(3)(4)](1)(2)5(1311)1324k f k f f f f f f ==⨯+++++=⨯---+--=-∑.12．（2022·新高考Ⅱ卷·★★★★）若函数()f x 的定义域为R ，且()()()()f x y f x y f x f y ++-=，(1)1f =，则221()k f k ==∑（）（A ）3-（B ）2-（C ）0（D ）1答案：A 解法1：本题要221()k f k =∑，应该要先求()f x 的周期，可以在()()()()f x y f x y f x f y ++-=中对y 赋值，在()()()()f x y f x y f x f y ++-=中令1y =可得(1)(1)()f x f x f x ++-=①，在①中将x 换成1x +可得(2)()(1)f x f x f x ++=+，结合式①可得(2)()()(1)f x f x f x f x ++=--，所以(2)(1)f x f x +=--，从而(3)()f x f x +=-，故(6)(3)()f x f x f x +=-+=，所以()f x 的周期为6；求出了周期，接下来需要计算一个周期内的整点函数值，问题就解决了，因为已知(1)f ，所以可以在()()()()f x y f x y f x f y ++-=通过赋值构造出(1)f 和其它的函数值，在()()()()f x y f x y f x f y ++-=中令1x =，0y =可得2(1)(1)(0)f f f =，又(1)1f =，所以(0)2f =，结合周期为6可得(6)2f =，令1x y ==可得2(2)(0)(1)f f f +=，所以2(2)(1)(0)1f f f =-=-，令2x =，1y =可得(3)(1)(2)(1)f f f f +=，所以(3)(2)(1)(1)2f f f f =-=-，在(3)()f x f x +=-中令1x =可得(4)(1)1f f =-=-，令2x =可得(5)(2)1f f =-=，所以(1)(2)(6)1121120f f f ++⋅⋅⋅+=---++=，故221()(1)(2)(3)(4)11213k f k f f f f ==+++=---=-∑.解法2：设()2cos 3f x x π=，不难验证满足题干所有条件，进一步可求得221()3k f k ==-∑.。

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高考抽象函数技巧总结由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号()f x 的问题感到困难,学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质,培养灵活性；提高解题能力,优化学生数学思维素质.现将常见解法及意义总结如下: 一、求表达式：1.换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式,从而求出()f x ,这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。

例1：已知 ()211xf x x =++,求()f x 。

解：设1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u u f u u u-=+=--∴2()1xf x x -=- 2.凑合法:在已知(())()fg xh x =的条件下，把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式，再利用代换即可求()f x 。

此解法简洁,还能进一步复习代换法。

例2：已知3311()f x x x x+=+，求()f x解：∵22211111()()(1)()(()3)f x x x x x x x x x x+=+-+=++-又∵11||||1||x x x x +=+≥ ∴23()(3)3f x x x x x =-=-，(｜x |≥1)3。

待定系数法：先确定函数类型,设定函数关系式，再由已知条件,定出关系式中的未知系数。