高中数学抽象函数(教师版)

抽象函数1概念我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数，题目中往往只给出函数的特殊条件或特征.2 常见抽象函数模型【题型一】求值问题【典题1】已知函数f(x)是定义在(0 ,+∞)上的函数，且对任意x ,y∈(0 ,+∞)，都有f(xy)=f(x)+f(y)，f(2)=1，求f(4) ,f(8).【解析】∵对任意x，y∈(0 ,+∞)，都有f(xy)=f(x)+f(y)，f(2)=1，∴f(4)=f(2×2)=f(2)+f(2)=2，f(8)=f(2×4)=f(2)+f(4)=3．【点拨】①对于抽象函数求值问题，可大胆取特殊值求解；②抽象函数f(xy)=f(x)+f(y)是对数函数f(x)=log a x型，由f(2)=1可知f(x)=log2x，则易得f(4)=2，f(8)=3，作选填题可取.又如f(x+y)=f(x)f(y)且f(1)=2，求f(3)；由f(x+y)= f(x)f(y)可令f(x)=a x，又因f(1)=2，得f(x)=2x，故易得f(3)=8.故要对常见抽象函数对应的函数模型比较熟悉.【典题2】对任意实数x ,y，均满足f(x+y2)=f(x)+2[f(y)]2且f(1)≠0，则f(2001)=_______.【解析】令x =y =0，得f(0)=0，令x =n ,y =1，得f (n +1)=f (n )+2[f (1)]2令n =1，得f (1)=f (0)+2f [(1)]2=2f [(1)]2，∴f (1)=12，∴f (n +1)−f (n )=12， ∴f (n )=n 2，即f (2001)=20012.【点拨】 ① 常常需要赋予一些特殊值(如取x =0等)或特殊关系(如取y =x ， y =−x 等)，要观察等式方程的特点寻找目标，也要大胆下笔多些尝试找些规律；② 比如本题中所求的f(2001)中自变量的取值2001较大，往往要从周期性或者函数的解析式的方向入手.【题型二】单调性问题设函数y =f(x)是定义在R +上的函数，并且满足下面三个条件①对任意正数x ,y ，都有f(xy)=f(x)+f(y)；②当x >1时，f(x)<0；③f (3)=−1．(1)求f(1) ,f(19)的值；(2)证明f(x)在R +是减函数；(3)如果不等式f(x)+f(2−x)<2成立，求x 的取值范围．【解析】(1)令x =y =1，∴f (1)=f (1)+f (1)，∴f (1)=0，令x =y =3，∴f (9)=f (3)+f (3)=−1−1=−2，且f(9)+f(19)=f(1)=0 ,得f(19)=2．(2) (利用函数单调性的定义证明)取x 2>x 1>0，则x 2x 1>1 ∴由②得 f(x2x 1)<0 ∵f(xy)=f(x)+f(y)∴f (x 2)−f(x 1)=f(x2x 1)<0∴f(x)在R +上为减函数．(3)由条件①得f[x(2−x)]<2 , (凑项f (m )=2，再利用单调性求解)由f (19)=2得f [x (2−x )]<f (19)，又∵f(x)在R +上为减函数，∴x(2−x)>19又∵x >0，2−x >0，(注意函数定义域)解得x 的范围是(1−2√23 ,1+2√23)．【点拨】① 抽象函数的单调性常用单调性定义证明◆ 任取x 1 ,x 2∈D ，且x 1<x 2；◆ 作差f(x 1)－f(x 2)(根据题目给出的抽象函数特征来“构造”出f(x 1)－f(x 2))此步有时也会用作商法：判断f (x 1)f (x 2)与1的大小； ◆ 变形；◆ 定号(即判断差f (x 1)−f(x 2)的正负)；◆ 下结论(指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性)．② 在解不等式时，往往需要利用函数的单调性求解.③ 抽象函数f (xy )=f (x )+f (y )符合对数函数f (x )=log a x 型，由f (3)=−1可知f (x )=log 13x ，作选填题可用.【题型三】奇偶性问题定义在R 上的增函数y =f(x)对任意x ,y ∈R 都有f(x +y)=f(x)+f(y)，则(1)求f(0)；(2)证明：f(x)为奇函数；(3)若f(k ∙3x )+f(3x −9x −2)<0对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围．【解析】(1)在f(x +y)=f(x)+f(y)中，令x =y =0可得，f(0)=f(0)+f(0)，则f(0)=0，(2) (定义法证明函数奇偶性)令y =−x ，得f(0)=f(x)+f(−x)，又f(0)=0，则有0=f(x)+f(−x)，即可证得f(x)为奇函数；(3)因为f(x)在R上是增函数，又由(2)知f(x)是奇函数，f(k∙3x)<−f(3x−9x−2)=f(−3x+9x+2)，即有k∙3x<−3x+9x+2，得k<3x+23x−1，(分离参数法)又有3x+23x−1≥2√2−1(当x=log3√2时取到等号)，即3x+23x−1有最小值2√2−1，所以要使f(k∙3x)+f(3x−9x－2)<0恒成立，只要使k<2√2−1即可，故k的取值范围是(−∞ ,2√2−1)．【点拨】②判断或证明抽象函数的奇偶性，从奇偶性的定义入手，判断f(−x)与f(x) 的关系.②抽象函数f(x+y)=f(x)+f(y)是正比例函数f(x)=kx(x≠0)型，由f(x)是增函数，可知k>0，选填题可用.【题型四】周期性问题奇函数f (x)定义在R上，且对常数T>0，恒有f (x + T )= f (x)，则在区间[0 ,2T]上，方程f (x)= 0根的个数最小值为.【解析】∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，故f(0)=0，又∵f(x+T)=f(x)，即周期为T，∴f(2T)=f(T)=f(0)=0，又由f(−T2)=f(−T2+T)=f(T2)，且f(−T2)=−f(T2)∴f(T2)=0，∴f(3T2)=f(T2)=0，故在区间[0 ,2T]，方程f(x)=0根有x=0，T2，T，3T2，2T，个数最小值是5个，【点拨】抽象函数的周期性常与奇偶性，对称性放在一起，记住有关周期性和对称性的结论，做题时常画图像更容易找到思路.巩固练习1 (★★) f(x)的定义域为(0 ,+∞)，对任意正实数x ,y 都有f(xy)=f(x)+f(y) 且f(4)=2，则f(√2)= .【答案】 12【解析】取x =y =2，得f(4)=f(2)+f(2)⇔ f(2)=1；取x =y =√2，得f(2)=f(√2)+f(√2) ⇔ f(√2)=12；2(★★★)已知f(x)是定义在R 上的偶函数，对任意x ∈R 都有(f (x +2)−1)2=2f(x)−f 2(x)，则f(2019)= ．【答案】 1±√22【解析】根据题意，f(x)为偶函数且f(x)满足(f (x +2)−1)2=2f(x)−f 2(x)，变形可得[f (x +2)−1]2+[f 2(x)−2f(x)+1]=1，即[f (x +2)−1]2+[f (x )−1]2=1，令x =−1可得[f (−1)−1]2+[f (1)−1]2=1，即2[f (1)−1]2=1，解可得：f(1)=f(−1)=1±√22，又由f(x)满足[f (x +2)−1]2+[f (x )−1]2=1，则有[f (x +4)−1]2+[f (x +2)−1]2=1，联立可得：[f (x +4)−1]2=[f (x )−1]2，变形可得：f(x +4)=f(x)或f(x +4)+f(x)=2，若f(x +4)=f(x)，则有f(2019)=f(−1+505×4)=f(−1)=1±√22，此时有f(2019)=1±√22， 若f(x +4)+f(x)=2，即f(x +4)=2−f(x)，则有f(x +8)=2−f(x +4)=f(x)，则有f(2019)=f(3+2016)=f(3)，则f(3)=2−f(−1)=1±√22， 综合可得：f(2019)=1±√22， 故答案为：1±√22．3(★★) f(x)是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且f(2)=0，则方程f(x)=0在区间[−6 ,6]内解的个数的最小值是.【答案】13【解析】∵f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，∴f(x+3)=f(x)，且f(－x)=－f(x)，则f(0)=0，则f(3)=f(6)=f(−6)=f(0)=0，f(−3)=−f(3)=0，∵f(2)=0，∴f(5)=f(−1)=f(−4)=0，f(−5)=0，f(1)=0，f(4)=0，f(－2)=0，方程的解可能为0，3，6，－6，－3，2，5，−5，−2，－1，1，4，−4共13个，故选：D．4 (★★★)已知定义在(−∞ ,0)∪(0 ,+∞)上的函数f(x)满足①对任意x ,y∈(−∞ ,0)∪(0 ,+∞)，都有f(xy)=f(x)+f(y)；②当x>1时，f(x)>0且f(2)=1；(1)试判断函数f(x)的奇偶性；(2)判断函数f(x)在区间[−4 ,0)∪(0 ,−4]上的最大值；(3)求不等式f(3x−2)+f(x)≥4的解集．【答案】(1)偶函数(2)2(3)x≤−2或x≥8 3【解析】(1)∵f(xy)=f(x)+f(y)；令x=y=a，则f(a2)=f(a)+f(a)=2f(a)，令x=y=−a，则f(a2)=f(−a)+f(−a)=2f(−a)，即f(a)=f(−a)，故函数f(x)是偶函数，(2)任取0<x1<x2，则x2－x1>0，∵f(xy)=f(x)+f(y)；∴f(xy)－f(x)=f(y)；∴f(x2)－f(x1)=f(x2x1)∵x2x1>1，x>1时，f(x)>0，∴f(x2)－f(x1)=f(x2x1)>0，得到f(x1)<f(x2)，故函数f(x)在区间(0，－4]上的最大值为f(4)=f(2)+f(2)=2，又由函数f(x)是偶函数，∴函数f(x)在区间[－4，0)上的最大值也为2，故函数f(x)在区间[－4，0)∪(0，－4]上的最大值为2；(3)由(2)得f(4)=2，则f(16)=f(6)+f(6)=4，故不等式f(3x －2)+f(x)≥4可化为：f[(3x －2)x]≥f(16)，由(2)中结论可得：|(3x －2)x|≥16，即(3x －2)x ≥16或(3x －2)x ≤－16，解得x ≤－2或x ≥835 (★★★) 已知定义在(0 ,+∞)的函数f(x)，对任意的x 、y ∈(0 ,+∞)，都有f(xy)=f(x)+f(y)，且当0<x <1时，f(x)>0．(1)证明：当x >1时，f(x)<0；(2)判断函数f(x)的单调性并加以证明；(3)如果对任意的x 、y ∈(0 ,+∞)，f(x 2+y 2)≤f(a)+f(xy)恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】(1) 略 (2)减函数，函数单调性定义证明 (3) (0 ,2]【解析】(1)∵f(xy)=f(x)+f(y)，令x =y =1，则f(1)=f(1)+f(1)，所以f(1)=0，再令y =1x ，则f(1)=f(x)+f(1x )=0，当x >1时，0<1x <1．∵f(1x )>0．∴f(x)=－f(1x )<0(2)任取x 1，x 2∈(0，+∞)，且x 1<x 2，则f(x 2)－f(x 1)=f(x2x 1) ∵x 1<x 2，所以x 2x 1>1，则f(x2x 1)<0，f(x 2)<f(x 1)， ∴f(x)在(0，+∞)上是减函数，(3)f(x 2+y 2)≤f(a)+f(xy)恒成立，∴f(x 2+y 2)≤f(axy)恒成立，∴x 2+y 2≥axy ，∴0<a ≤x 2+y 2xy =y x +x y ≥2，当且仅当x =y 取等号，∴实数a 的取值范围(0，2]6 (★★★) 定义在R 上的单调增函数f(x)满足：对任意x ,y ∈R 都有f(x +y)=f(x)+f(y)成立(1)求f(0)的值；(2)求证：f(x)为奇函数；(3)若f(1+2x )+f(t ∙3x )>0对x ∈(−∞ ,1]恒成立，求t 的取值范围．【答案】 (1) 0 (2)略，定义证明 (3) t >−1【解析】 (1)令x =y =0，则f(0)=f(0)+f(0)，∴f(0)=0．(2)令y =－x ，则f(0)=f(x)+f(－x)，∵f(0)=0，∴f(－x)=－f(x)，∴f(x)为奇函数．(3)∵f(t •3x )>－f(1+2x )，∴f(t •3x )>f(－1－2x )，∴t •3x >－1－2x∴t >−(13)x −(23)x 恒成立，而−(13)x −(23)x 单调递增，∴−(13)x −(23)x ≤−1从而t >－1．挑战学霸已知f (x )是定义在R 上不恒为0的函数，满足对任意x ,y ∈R ，f (x +y )=f (x )+f (y )， f(xy)=f(x)f(y)．(1)求f(x)的零点；(2)判断f(x)的奇偶性和单调性，并说明理由；(3)①当x ∈Z 时，求f(x)的解析式；②当x ∈R 时，求f(x)的解析式.【解析】(1)记f(x +y)=f(x)+f(y) ①，f(xy)=f(x)f(y) ②在①中取y =0得f(0)=0.若存在x ≠0，使得f(x)=0，则对任意y ∈R ，f(y)=f(x ⋅y x )=f(x)f(y x )=0，与f(x)不恒为0矛盾．所以x ≠0时，f(x)≠0，所以函数的零点是0.(2)在①中取y =−x 得f(x)+f(−x)=f(0)=0，即f (−x )=−f(x)， 所以f(x)是奇函数．x ,y ∈R ， y >x 时，f(y)−f(x)=f(y)+f(−x)=f(y −x)=(f(√y −x))2>0， 可得f (y )>f(x)．所以函数f(x)在R 上递增．(3)①由f(xy)=f(x)f(y)中取x ,y =1得f (1)=f 2(1)．因为f(1)≠0，所以f(1)=1，对任意正整数n ，由①得f(n)=f(1)+⋯+f(1)⏟ n 个=n ×1=n ，f (−n )=−f (n )=−n ，又因为f(0)=0，所以x ∈N 时，f(x)=x ；对任意有理数m n (m ∈N ∗，n ∈N ∗)，由①， f(m)=f(n ⋅m n )=f(m n )+⋯+f(m n )=nf(m n)⏟ n 个， 所以f(m n )=f(m)n =m n，即对一切x ∈Z ,f(x)=x ． ②若存在x ∈R ，使得f(x)≠x ，不妨设f(x)>x (否则以−f(−x)代替f(x)，−x 代替x 即可)， 则存在有理数α，使得x <α<f(x)(例如可取n =[1f(x)−x ]+1，m =[nx]+1，α=m n)． x <α但f(x)>α=f(α)，与f(x)的递增性矛盾．所以x ∈R 时，f(x)=x ．。

高三第二轮专题复习专题（9）——构造法解决抽象函数问题在导数及其应用的客观题中，有一个热点考查点，即不给出具体的函数解析式，而是给出函数()f x 及其导数满足的条件，需要就此条件构造抽象函数，再根据条件得出构造的函数的单调性，应用单调性解决问题的题目。

一、典例探究类型1、只含()f x 型例1、定义在R 上的函数()f x 满足(1)1f =，且对任意x R ∈都有1()2f x '<，则不等式221()2x f x +>的解集为（ ）.A.(1,2)B.(0,1)C.(1,)+∞D.(1,1)-答案：D.说明：利用[()]()f x kx b f x k ''++=+，构造函数()()g x f x kx b =++，利用导数，判断函数()g x 的单调性，在利用单调性比较函数值的大小，解抽象函数的不等式.类型2、含()()f x f x λ'±（λ为常数）型例2、定义在R 上的函数()f x 满足()2()0f x f x '+>恒成立，且1(2)f e=，则不等式2()0x x e f x e ->的解集为_______________.答案：(2,)+∞.x λ变式：已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，且对任意x R ∈，均有()()f x f x '>，则有（ ）.A.20152015(2015)(0),(2015)(0)e f f f e f -<>B. 20152015(2015)(0),(2015)(0)e f f f e f -<<C. 20152015(2015)(0),(2015)(0)e f f f e f ->>D. 20152015(2015)(0),(2015)(0)e f f f e f -><答案：D.说明：由于0xe >所以[()][()()]x x ef x f x f x e ''=+，其符号由()()f x f x '+的符号确定； ()()()[]x xf x f x f x e e '-'=，其符号由()()f x f x '-的符号确定.含有()()f x f x '±类的问题可以考虑构造以上两个函数.类型3、含()()xf x nf x '±型例3、设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，且(2)0f -=.当0x >时，()()0xf x f x '-<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ）.A.(,2)(0,2)-∞- B.(2,0)(2,)-+∞ C.(,2)(2,0)-∞-- D.(0,2)(2,)+∞说明：由于2()()()[()]()(),[]f x xf x f x xf x f x xf x x x'-'''=+=，在含有()()xf x f x '±类的问题中，可以考虑构造以上函数. 变式：设函数()f x 在R 上的导函数为()f x '，且22()()f x x f x x '+>.下面的不等式在R 上恒成立的是（ ）.A.()0f x >B. ()0f x <C. ()f x x >D. ()f x x <答案：A.说明：对于()()0(0)xf x nf x x '->≠型，构造函数()()n f x F x x =，则1()()()n xf x nf x F x x +'-'=，需要注意对1n x +的符号进行讨论.特别地，当1n =时，()()0xf x f x '->，构造()()f x F x x =，那么2()()()0xf x f x F x x '-'=>. 类型4、含()()tan f x f x x '±型例4、已知函数()f x 的导函数为()f x '，当(0,)2x π∈时，()sin2()(1cos2)f x x f x x '<+成立，下列不等式一定成立的是（ ）.()()43ππ<()()43ππ>()()46ππ<()()46ππ>说明：由于当(0,)2x π∈时，[sin ()]cos ()sin ()x f x x f x x f x ''=+，其符号与()()tan f x f x x '+相同，2()()sin ()cos []sin sin f x f x x f x x x x'-'=，其符号与()tan ()f x x f x '-相同.在含有()()tan f x f x x '±的问题中，可以考虑构造函数()()()sin ,()cos ,,sin cos f x f x f x x f x x x x . 类型5、利用单调性构造函数例5、已知函数21()ln ,()2f x xg x x ==，若120x x >>，试问：(,1)m m Z m ∈≤取何值时，总有 121122[()()]()()m g x g x x f x x f x ->-恒成立.答案：1m =.二、课后巩固1、已知定义在R 上的奇函数()f x ，满足(1)0f -=.当0x >时，2(1)()2()0x f x xf x '+-<，则不等式()0f x >的解集为_____________.2、已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为()f x '，满足()()f x f x '<且(1)y f x =+为偶函数，(2)1f =，则不等式()x f x e <的解集为_____________.答案：(0,)+∞.3、已知偶函数()f x 是定义在{|0}x R x ∈≠上的可导函数，其导函数为()f x '.当0x <时，()()f x f x x '>恒成立.设1m >，记4(1)4,2(2(1)()11mf m m a b c m f m m +===+++，则,,a b c 的大小关系为（ ）. A.a b c << B.a b c >> C.b a c << D.b a c >>答案：A.。

高一抽象函数五大模型总结模型一：正比例函数模型y =kx已知函数f x 对一切x ,y ∈R ,都有f x +y =f x +f y ,当x >0时，f x <01证明：f 0=0; 2证明：函数f x 为奇函数； 3证明：函数f x 在R 上为减函数.证明： 1令x =y =0⇒f 0=f 0+f 0⇒f 0=0 2令y =-x ⇒f 0=f x +f -x ,由于f 0=0⇒f -x =-f x ⇒函数f x 为奇函数3任取x 1<x 2,则f x 2=f x 1+ x 2-x 1=f x 1+f x 2-x 1由于x 2-x 1>0,所以f x 2-x 1<0,从而f x 1>f x 2即函数f x 在R 上为减函数。

证毕！模型二：一次函数模型y =kx -c已知函数f x 对一切x ,y ∈R ,都有f x +y =f x +f y +c ,且当x >0时，f x >-c1证明：f 0=-c ; 2证明：函数g x =f x +c 为奇函数； 3证明：函数f x 在R 上为增函数.证明： 1令x =y =0⇒f 0=f 0+f 0+c ⇒f 0=-c 2令y =-x ⇒f 0=f x +f -x +c⇒f -x +c =- f x +c ⇒g -x =-g x ⇒函数g x =f x +c 为奇函数3任取x 1<x 2,则f x 2=f x 1+ x 2-x 1=f x 1+f x 2-x 1+c 由于x 2-x 1>0,所以f x 2-x 1>-c ,从而f x 2>f x 1即函数f x 在R 上为增函数.证毕！模型三：指数函数模型y =a x已知定义域为R 的函数f x 对任意的实数x ,y ∈R 均有 f x +y =f x f y ,且当x <0时，f x >11证明：f 0=1; 2证明：当x >0时，有0<f x <1; 3证明：函数f x 在R 上单调递减证明： 1令x =0,y =-1⇒f -1=f 0f -1,又f -1>1则f 0=12令y =-x ⇒f 0=f x f -x ⇒f -x = 1fx 当x >0时，f -x >1,f x =f - -x = 1f-x ∈ 0,1 3任取x 1<x 2,f x 2=f x 1+ x 2-x 1=f x 1f x 2-x 1易知f x 1>0,f x 2-x 1∈ 0,1,所以f x 2<f x 1即函数f x 在R 上单调递减.证毕！模型四：对数函数模型y =log a x已知定义在 0,+∞上的函数f x 对任意的x ,y ∈ 0,+∞均有f xy =f x +f y ,且当x >1时，f x >01证明：f 1=0; 2证明：当0<x <1时，f x <0; 3证明：函数f x 在 0,+∞上为增函数.证明： 1令x =y =1⇒f 1=f 1+f 1⇒f 1=02令y = 1x ⇒f 1=f x +f 1x ⇒f 1x=-f x ⇒当0<x <1时，f 1x >0⇒f x =f1 1x =-f 1x <0 3任取0<x 1<x 2, x 2x 1>1⇒f x 2x 1>0则f x 2=f x 1⋅ x 2x 1=f x 1+fx 2x 1>f x 1即函数f x 在 0,+∞上为增函数.证毕！模型五：幂函数模型y =x α已知定义在 0,+∞上的函数f x 对任意x ,y ∈R ∈均有f xy =f x f y ,且当x >1时，f x >11证明：f 0=0; 2证明：函数f x 在 0,+∞上单调递增.证明： 1令x =0,y =1⇒f 0=f 0f 1,又f 1>1故f 0=02令x =1,y =2⇒f 2=f 1f 2，又f 2>1⇒f 1=1令y = 1x ⇒f 1=f x f 1x ⇒f 1x = 1fx ⇒当x ∈ 0,1时，f 1x>1则f x =f1 1x = 1f 1x ∈ 0,1任取0<x 1<x 2,则f x 1>0,f x 2x 1>1f x 2=f x 1⋅ x 2x 1=f x 1fx 2x 1>f x 1即函数f x 在 0,+∞上单调递增.证毕！。

抽象函数的证明一、定义域问题例1. 已知函数)(2x f 的定义域是［1，2］，求f （x ）的定义域。

解：)(2x f 的定义域是［1，2］，是指21≤≤x ，所以)(2x f 中的2x 满足412≤≤x从而函数f （x ）的定义域是［1，4］评析：一般地，已知函数))((x f ϕ的定义域是A ，求f （x ）的定义域问题，相当于已知))((x f ϕ中x 的取值范围为A ，据此求)(x ϕ的值域问题。

例2. 已知函数)(x f 的定义域是]21[，-，求函数)]3([log 21x f -的定义域。

解：)(x f 的定义域是]21[，-，意思是凡被f 作用的对象都在]21[，-中，由此可得4111)21(3)21(2)3(log 11221≤≤⇒≤-≤⇒≤-≤--x x x所以函数)]3([log 21x f -的定义域是]4111[，评析：这类问题的一般形式是：已知函数f （x ）的定义域是A ，求函数))((x f ϕ的定义域。

正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键。

这类问题实质上相当于已知)(x ϕ的值域B ，且A B ⊆，据此求x 的取值范围。

例2和例1形式上正相反。

二、求值问题例3. 已知定义域为+R 的函数f （x ），同时满足下列条件：①51)6(1)2(==f f ，；②)()()(y f x f y x f +=⋅，求f （3），f （9）的值。

解：取32==y x ，，得)3()2()6(f f f +=因为51)6(1)2(==f f ，，所以54)3(-=f 又取3==y x得58)3()3()9(-=+=f f f 评析：通过观察已知与未知的联系，巧妙地赋值，取32==y x ，，这样便把已知条件51)6(1)2(==f f ，与欲求的f （3）沟通了起来。

赋值法是解此类问题的常用技巧。

三、解析式问题例4. 设对满足10≠≠x x ，的所有实数x ，函数)(x f 满足x x x f x f +=-+1)1()(，求f （x ）的解析式。

教学内容概要教学内容【知识精讲】一、函数的概念1、函数的定义：设A B 、是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么就称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数。

记作：(),y f x x A =∈。

其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合(){}f x x A ∈叫做函数的值域。

2、函数的三要素分别指函数的定义域、值域、对应法则；当两个函数的定义域、对应法则分别相同时，那么这两个函数是同一函数。

3、函数的表示方法一般有解析法、列表法、图像法当图像满足和,x a a R =∈的图像最多只有一个交点时才可作为函数图像。

分段函数：在用解析法表示函数的时候，往往在其定义域的不同子集上，因对应法则不同而用几个式子来表示的函数即分段函数。

分段函数是一个函数，而不是几个函数。

在解决问题过程中，要处理好整体与局部的关系。

4、函数的运算：对于两个函数()()1D x x f y ∈=，()()2D x x g y ∈=，设φ≠⋂=21D D D 把函数()()()D x x g x f ∈+叫做函数()()1D x x f y ∈=与()()2D x x g y ∈=的和函数 把函数()()()D x x g x f ∈叫做函数()()1D x x f y ∈=与()()2D x x g y ∈=的积函数 6、复合函数：对于两个函数()()1D x x f y ∈=，()()2D x x g y ∈=，若满足()1D x g ∈的x 的取值范围为E ，设φ≠⋂=2D E D ，把函数()()x g f y =叫做函数()()1D x x f y ∈=，()()2D x x g y ∈=的复合函数，x 是复合函数()()x g f y =的自变量，定义域为D ，()x g 叫做内函数，()x f 叫做外函数。

抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊关系式的函数，它是中学数学中的一个难点，因为抽象，学生解题时思维常常受阻，思路难以展开.研究抽象函数首先要注意函数的定义域,尤其是在解答抽象函数对应的不等式时,通过抽象函数的单调性转变为自变量的大小关系式,不能忽视自变量的取值范围;其次抽象函数都是依据一类具体函数的性质抽象出来的,如()()()f x y f x f y +=+就是从正比例函数抽象出来的; ()()()f xy f x f y =+根据对数函数的性质抽象出来的;()()()f x y f x f y +=根据指数函数的性质抽象出来的.因此在解决此类问题可以先类比具体函数的性质研究我们要解答的抽象函数的性质,解答抽象函数问题要注意赋值法的应用,通过赋值可以找到函数的不变性质,这个不变性质往往是解决问题的突破口.抽象函数性质的证明是一种代数推理,要注意推理的严谨性,每一步推理都要有充分的条件,不可以漏掉条件,更不要臆造条件,推理过程层次分明.一、抽象函数的概念抽象函数就是没有给出具体函数解析式的函数。

常见的解题方法有赋值法、换元法、具体化法等。

若()x f 的定义域是[]b a ,，则对()[]x g f 来说，必有()[]b a x g ,∈，从而可以得到函数()[]x g f 的定义域。

若()[]x g f 的定义域是[]b a ,，则[]b a ,应作为函数()x g 的定义域，进而求出()x g 的值域，从而得到函数()x f 的定义域。

总而言之，外层函数的定义域就是内层函数在复合函数的定义域上的值域。

抽象函数的值域和最值问题，一般先根据条件确定函数的单调性，然后再求其值域或最值。

对于选择、填空题也可以利用奇函数在对称区间上具有相同的单调性、偶函数在对称区间上具有相反的单调性等结论来求解。

【例1】函数()x f 对任意实数x 、y ，均满足()()()[]222y f x f y x f +=+，且()01≠f ，则()=2016f 【难度】★★ 【答案】1008【解析】令1=y ，则()()()[]2121f x f x f +=+，即()()()[]2121f x f x f =-+，再令0=x ，1=y ，得()()()[]21201f f f +=，令0==y x ，得()00=f ，故()211=f ，则()()211=-+x f x f ，累加可得()10082016=f【例2】函数y f x =()的定义域为(]-∞，1，则函数y f x =-[log ()]222的定义域是___. 【难度】★★【答案】[2,⋃-【解析】因为log ()22x 2-相当于f x ()中的x ，所以log ()2221x -≤，解得22<≤x 或-≤<-22x .【例3】已知()211xf x x =++,求()f x . 【难度】★ 【答案】1()1xf x x+=- 【解析】设1x u x =+,则1u x u =-∴1()2111u u f u u u +=+=--∴1()1x f x x+=-【例4】如果奇函数()x f 在[]7,3上是增函数且有最小值为5，那么()x f 在[]3,7--上是（）A .增函数且有最小值为5-B .增函数且有最大值为5-C .减函数且有最小值为5-D .减函数且有最大值为5-【难度】★★ 【答案】B【例5】设)(x f 是R 上的奇函数，)(x g 是R 上的偶函数，若函数)()(x g x f +的值域为)3,1[，则)()(x g x f -的值域为 ．【难度】★★ 【答案】]1,3(--【解析】在()()f x g x -代入x -，因为)(x f 是R 上的奇函数，)(x g 是R 上的偶函数，()()[()()]f x g x f x g x ---=-+，所以值域为]1,3(--，因为定义域为关于原点对称，所以值域是一样的，)()(x g x f -值域为]1,3(--【巩固训练】1.定义在R 上的函数()x f 满足()()()xy y f x f y x f 2++=+，()21=f ，则()=-3f 【难度】★★ 【答案】62.已知函数)1(-x f 的定义域为[2，4],求函数)2(x f 的定义域.【难度】★【答案】⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,213.若函数)1(+=x f y 的值域为]1,1[-，求函数)23(+=x f y 的值域. 【难度】★ 【答案】]1,1[-.【解析】函数)23(+=x f y 中定义域与对应法则与函数)1(+=x f y 的定义域与对应法则完全相同，故函数)23(+=x f y 的值域也为]1,1[-.4.已知()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，且有()f x +1()1g x x =-， 求()f x ,()g x . 【难度】★★ 【答案】21()1f x x =-.2()1xg x x =- 【解析】∵()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，∴()()f x f x -=,()()g x g x -=-,不妨用-x 代换()f x +()g x =11x - ………①中的x , ∴1()()1f x g x x -+-=--即()f x －1()1g x x =-+……②显见①+②即可消去()g x ,求出函数21()1f x x =-再代入①求出2()1xg x x =-5.已知函数f x ()对任意实数x y ，都有f x y f x f y ()()()+=+，且当x >0时，f x f ()()>-=-012，，求f x ()在[]-21，上的值域.【难度】★★ 【答案】[]-42，【解析】设x x 12<且x x R 12，∈，则x x 210->， 由条件当x >0时，f x ()>0∴->f x x ()210又f x f x x x ()[()]2211=-+=-+>f x x f x f x ()()()2111∴f x ()为增函数，令y x =-，则f f x f x ()()()0=+- 又令x y ==0得f ()00= ∴-=-f x f x ()()，故f x ()为奇函数，∴=-=f f ()()112，f f ()()-=-=-2214∴-f x ()[]在，21上的值域为[]-42，二、抽象函数的性质1、抽象函数的单调性抽象函数单调性的求解与证明一般按照单调性的定义来解决，但由于解析式的缺乏，往往只能对题设条件中的等量关系进行适当的拼与凑，来处理()()21x f x f -与0的大小比较，如将1x 变形成()221x x x +-、221x x x ⋅等。

1、复合函数的性质：对于单调性，有“同步增，异步减”．对于奇偶性，若每层函数均有奇偶性，则有“全奇才奇，有偶则偶”． 对于周期性，内层函数为周期函数的复合函数仍为周期函数．2、抽象函数往往有它所对应的具体函数模型，常见的抽象函数模型有： ⑴ 正比例函数：()()()f x y f x f y +=+； ⑵ 指数函数：()()()f x y f x f y +=； ⑶ 对数函数：()()()f xy f x f y =+； ⑷ 幂函数：()()()f xy f x f y =．3、函数的零点⑴ 满足()0f a =的a 叫做函数()f x 的零点，即方程()0f x =的实数根，也即函数()y f x =的图象与x 轴的交点的横坐标．⑵ 零点定理：若函数()y f x =在闭区间[],a b 上的图象是连续不断的曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即()()0f a f b ⋅<．则在区间(),a b 内，函数()y f x =至少有一个零点．特别的，如果函数在此区间上单调，则函数()y f x =在此区间上有且只有一个零点．⑶ 零点个数的判断通常借助函数图象，零点问题和交点问题往往需要通过互相转化解决． 知识梳理知识结构图第4讲 复合函数、 抽象函数、函数零1、 （2007北京理）对于函数①()()lg 21f x x =-+，②()()22f x x =-，③()()cos 2f x x =+，判断如下三个命题的真假： 命题甲：()2f x +是偶函数；命题乙：()f x 在(),2-∞上是减函数，在()2,+∞上是增函数； 命题丙：()()2f x f x +-在(),-∞+∞上是增函数．能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是 ．A ．①③B ．①②C ．③D ．②【解析】 D2、 （2011北京理13）已知函数()()32212x x f x x x ⎧⎪=⎨⎪-<⎩，≥，，若关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是 ．【解析】 ()0,1；1、()213log 54y x x =-+的单调递增区间为（ ）A ．(),1-∞B ．5,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．5,42⎛⎫⎪⎝⎭D ．()4,+∞ 2、设函数()xf x a -=（0a >且1a ≠），()24f =，则（ ）A ．()()21f f ->-B ．()()12f f ->-C ．()()12f f >D ．()()22f f ->3、已知()()log 2a f x ax =-是[]0,1上的减函数，则a 的值可能为（ ） A ．12 B ．32C ．2D ．3 4、已知函数()2x f x x =+，()2log g x x x =+，()2log 2h x x =-的零点分别为a 、b 、c ，则（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．c a b <<5、已知函数()()()2f x x a x b =---（a b <），并且α、β是方程()0f x =的两个根（αβ<），则实数a 、b 、α、β的大小关系是（ ）A ．a b αβ<<<B ．a b αβ<<<C ．a b αβ<<<D ．a b αβ<<<6、已知函数()22f x x x c =-+，()()1f x f x =，()()()1n n f x f f x -=（2n ≥，n *∈N ），若函数()n f x x -不存在零点，则c 的取值范围是（ ） A ．14c <B ．34c ≥C ．94c >D ．94c ≤ 7、下列关于函数()()log 1x a f x a =-（0a >且1a ≠）的命题：小题热身真题再现① 无论a 取何值，()f x 均为R 上的增函数； ② 无论a 取何值，()f x 的值域均为R ； ③ 无论a 取何值，()f x 一定有零点； ④ 存在某个a ，使得()f x 恰好有两个零点．其中正确的命题个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．38、若单调函数()f x （x ∈R ）满足()()()f x y f x f y +=⋅，则()f x 的值域为（ ） A ．R B ．()(),00,-∞+∞ C ．()0,+∞ D ．不能确定9、已知函数()2243f x x x -=-+-，设()()()()F x p f f x f x =⋅+，其中p 为负实数．若()F x 在区间(),3-∞-上是减函数，在区间()3,0-上是增函数，则p 的值为（ ）A ．1-B ．18- C ．116- D ．12-10、已知函数()2f x ax bx c =++（0a ≠），则关于x 的方程()()20m f x nf x p ++=⎡⎤⎣⎦（实数,,,,,0a b c m n p ≠）的解集不可能是（ ）A ．{}1,2B ．{}1,4C ．{}1,2,3,4D ．{}1,4,16,64考点：复合函数的定义域与值域 【例1】⑴函数()12f x ⎛= ⎪⎝⎭的定义域为 ，值域为 ．⑵函数1()2f x ⎛= ⎪⎝⎭的定义域为 ，值域为 ．⑶函数y =_________，值域为____________． 【解析】 ⑴ [)0,+∞，(]0,1；⑵ [11]-，，1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦；⑶ [)1042⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦，，，[0)+∞，；【例2】 ⑴已知函数()()2lg 21f x ax x =++的定义域为R ，求实数a 的取值范围．⑵已知函数()()2lg 21f x axx =++的值域为R ，求实数a 的取值范围．4.1复合函数经典精讲【解析】 ⑴ ()1,+∞；⑵[]0,1；【拓1】 ⑴ 已知()32log f x x =+，[]1,9x ∈，求函数()()22y f x f x =+⎡⎤⎣⎦的值域．⑵ 设2,1(),1x x f x x x ⎧⎪=⎨<⎪⎩≥，()g x 是二次函数，若()f g x ⎡⎤⎣⎦的值域是[)0,+∞，求函数()g x 的值域．⑶ 设[]2,8x ∈，函数()()21()log log 2a a f x ax a x =⋅的最大值是1，最小值是18-，求a 的值．【解析】 ⑴ []6,13⑵ [)0,+∞． ⑶ 12a =．考点：复合函数的性质初步【例3】 ⑴函数()212log 56y x x =-+的单调增区间为（ ）A ．52⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，B ．(3)+∞，C ．52⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭， D ．(2)-∞，⑵函数12y ⎛= ⎪⎝⎭的单调递增区间是（ ）A ．11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．(],1-∞-C ．[)2,+∞D ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦⑶函数421x x y =-+的值域为_______，单调递减区间为________．【解析】 ⑴ D ；⑵ D ；⑶ 3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；(),1-∞-．考点：复合函数的性质综合【例4】⑴函数()()212log 23f x x ax =-+，若()f x 在(],1-∞内是增函数，则a 的取值范围为________；若()f x 的单调递增区间是(],1-∞，则a 的取值范围为________． ⑵已知函数())1f x a =≠，若()f x 在区间(]0,1上是减函数，则实数a 的取值范围是 ． ⑶若函数()()2log 2a f x x x =+（0a >且1a ≠）在区间10,2⎛⎫⎪⎝⎭内恒有()0f x >，则()f x 的单调增区间是 ．【解析】 ⑴ [12)，；{1}．⑵()(],01,3-∞；⑶1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭考点：抽象函数的函数值问题 【例5】 ⑴若奇函数()f x （x ∈R ）满足()21f =，()()()22f x f x f +=+，则()1f = ； ⑵定义在实数R 上的函数()y f x =具有如下性质： ①对任意x ∈R ，都有()()33f x f x =⎡⎤⎣⎦；②对任意12x x ∈R ，，且12x x ≠，都有()()12f x f x ≠． 则()()()101f f f -++=________． ⑶已知函数()f x （x ∈R ）满足()12f =，()()()2f x y f x f y xy +=++，则 ()2f = ，()3f = ，()3f -= ．⑷()f x 是定义在(0)+∞，上的增函数，对正实数x 、y 都有()()()f xy f x f y =+成立．则不等式()2log 0f x <的解集为_ ______．【解析】 ⑴12； ⑵ 0；⑶ 6，12，6； ⑷ ()1,2；【拓2】 定义在[]0,1上函数()f x 满足：① ()00f =；② ()()11f x f x +-=； ③ ()132x f f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭；④ 对任意12,x x []0,1∈，若12x x <，则()()12f x f x ≤． 则()1f = ，12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，18f ⎛⎫= ⎪⎝⎭． 【追问】12013f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．【解析】 ()11f =；1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭；1132f ⎛⎫= ⎪⎝⎭；1184f ⎛⎫= ⎪⎝⎭． 【追问】112013128f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．考点：抽象函数的性质4.2抽象函数【例6】 ⑴若函数()f x （x ∈R ，且0x ≠）对任意的非零实数,x y 满足()()()f xy f x f y =+．求证：()f x 为偶函数．⑵定义在R 上的函数()f x 同时满足下列条件：① 对任意x ，y ∈R ，恒有()()()f x y f x f y +=+； ② 当0x >时，()0f x <，且()12f =-．判断函数()f x 的奇偶性，并求函数()f x 在区间[]2,4-上的最大值和最小值．【解析】 ⑴ 令1,1x y ==-得(1)(1)(1)f f f -=+-，于是(1)0f =；再令1x y ==-得(1)2(1)0f f =-=，于是(1)0f -=．令1y =-得()()(1)()f x f x f f x -=+-=，又()f x 的定义域关于原点对称．故()f x 为偶函数． ⑵ ()f x 在区间[]2,4-上的最大值是(2)4f -=，最小值为(4)8f =-．【备注】本题可以通过函数原型快速得到答案或得到启发．对于⑴()ln f x x =（x ∈R ）是符合函数的函数原型； 对于⑵()2f x x =-（x ∈R ）是符合函数的函数原型．【拓3】 函数()f x 的定义域为R ，且()f x 的值不恒为0，又对于任意的实数m ，n ，总有()()22n m f m f n mf nf ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立．⑴ 求(0)f 的值；⑵ 求证：()0t f t ⋅≥对任意的t ∈R 成立； ⑶ 求所有满足条件的函数()f x ．【解析】 ⑴ (0)0f =；⑵ 对任意t ∈R ，令2m n t ==，得2(2)4()f t t f t =⋅，于是21()(2)04t f t f t ⋅=≥； ⑶ ()f x x =．考点：零点定理【例7】 ⑴函数()237x f x x =+-在区间[02]，上的零点必在下面的区间（ ）内．Ａ．102⎡⎤⎢⎥⎣⎦， Ｂ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，Ｃ．312⎡⎤⎢⎥⎣⎦， Ｄ．322⎡⎤⎢⎥⎣⎦， ⑵设函数()32log x f x a x+=-在区间()1,2内有零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()31,log 2-- B ．()30,log 2 C ．()3log 2,1 D ．()31,log 4 【解析】 ⑴ C ；⑵ C ；考点：函数图象与零点、交点问题【例8】 ⑴方程2log (3)2x x +=的解的情况是（ ）A ．仅有一根B ．有两个正根4.3函数零点C ．有一个正根和一个负根D ．有两个负根⑵已知()2881651x x f x x x x -⎧=⎨-+>⎩，≤，，()ln g x x =，则()f x 与()g x 的图象的交点个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 ⑶若函数()x f x a x a =--（0a >且1a ≠）有两个零点，则实数a 的取值范围是 ． ⑷若不等式2log 0a x x -<对102x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，恒成立，则实数a 的取值范围是_______．【解析】 ⑴ C ；⑵ C ；⑶ (1,)+∞；⑷ 1116⎡⎫⎪⎢⎣⎭，；考点：复合函数的零点问题【例9】 ⑴已知函数()y f x =和()y g x =在[]2,2-的图象如下所示：f xg x 给出下列四个命题：①方程()0f g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有6个根 ②方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有3个根 ③方程()0f f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有5个根 ④方程()0g g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有4个根 其中正确的命题是 ．（将所有正确的命题序号填在横线上）．⑵设1,11()1,1x x f x x ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩，若关于x 的方程()()20f x bf x c ++=⎡⎤⎣⎦有三个不同的实数解123,,x x x ，则222123x x x ++等于 ． 【解析】 ⑴ ①③④；⑵ 5；【拓4】 已知()2f x x px q =++，关于x 的方程()()0f f x =有且只有一个实数根，求证：p 与q 同时大于0或者p 与q 同时等于0．【解析】 关于x 的方程()()0f f x =有且只有一个实数根，()f x 的图象只有如图两种情形（分别对应0∆>和0∆=的情形）．进而容易证明命题成立．21一、选择题 1、设()()23132x x f x k =-+⋅+，当0x >时()f x 恒取正值，则k 的取值范围为（ ） A ．(),1-∞- B．(),1-∞ C．()1,1- D．()1,1-【解析】 B ；2、设函数3y x =与212x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象的交点为00()x y ，，则0x 所在的区间是（ ）A ．(01)，B ．(12)，C ．(23)，D ．(34)，【解析】 B ；3、关于x 的方程1log (0x aa x a =>且1)a ≠（ ）A ．仅当1a >时，有唯一解B ．仅当01a <<时，有唯一解C ．有唯一解D ．无解【解析】 C ．4、 设函数()f x x x bx c =++，给出下列四个命题：①当0c =时，()y f x =是奇函数；②当00b c =>，时，方程()0f x =只有一个实根； ③函数()y f x =的图象关于点(0)c ，对称； ④方程()0f x =至多有两个实根；其中正确命题的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】 C ；二、填空题 5、设函数22()log log (1)f x x x =+-，则()f x 的定义域是_______；()f x 的最大值是_____．【解析】 (0,1)；2-．6、函数22()log (3)log (1)f x x x =++-的值域是___________，单调递增区间为_______．【解析】 (,2]-∞，(3,1)--．课后习题7、 若log (2)a y ax =-在[]01，上是x 的减函数，则a 的取值范围是______． 【解析】 (12)a ∈，；三、解答题 8、已知定义域为R 的函数()f x 满足：()()()f x y f x f y +=，且()31f >． ⑴求()0f ；⑵求证：()41f -<．【解析】 ⑴ (0)1f =；⑵ 3(3)(2)(1)(1)1f f f f ==>，故(1)1f >，从而24(4)(2)(1)1f f f ==>．令4,4x y ==-得，(4)(4)(0)1f f f -==，故1(4)1(4)f f -=<．命题得证． 【备注】()()()f x y f x f y +=的函数原型是指数函数()x f x a =，由(3)1f >知，1a >． 9、函数()2x f x =和()3g x x =的图象的示意图如图所示．设两函数的图象交于点()11,A x y 、()22,B x y ，且12x x <．⑴ 请指出示意图中曲线1C 、2C 分别对应哪一个函数？⑵ 若[]1,1x a a ∈+，[]2,1x b b ∈+，且{},1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12a b ∈，指出a 、b 的值，并说明理由；⑶ 结合函数图象示意图，请把()πf 、()πg 、()2013f 、()2013g 四个数从小到大顺序排列．【解析】 ⑴ 1C 对应函数()3g x x =，2C 对应函数()2x f x =；⑵ 如下表，可得1a =，9b =．10、已知关于x 的二次方程22210x mx m +++=．⑴ 若方程有两根，其中一根在区间()1,0-内，另一根在区间()1,2内，求m 的范围． ⑵ 若方程两根均在区间()0,1内，求m 的范围．【解析】 ⑴5162m -<<-．⑵112m -<-≤。