湖南省长沙一中2016届高三第六次月考(理)数学试题Word版

炎德·英才大联考长沙市一中2019届高三月考试卷(六)数 学(理科)长沙市一中高三理科数学备课组组稿(考试范围：集合与逻辑、算法、函数、导数、三角函数、平面向量、复数、数列、推理与证明、不等式、计数原理、二项式定理、概率与统计、直线、平面、简单几何体、空间向量)本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共8页。

时量120分钟。

满分150分。

得分：一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若M ＝{x ||x －1|<2}，N ＝{x |x (x －3)<0}，则M ∩N ＝ A.{x |0<x <3} B.{x |－1<x <2} C.{x |－1<x <3} D.{x |－1<x <0}2.已知函数f (x )＝sin(2x －π4)，若存在α∈(0，π)，使得f (x ＋α)＝f (x ＋3α)恒成立，则α的值是A.π6B.π3C.π4D.π23.已知α，β是两个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，又知α∩β＝m ，且n ⊄α，n ⊄β，则“n ∥m ”是“n ∥α且n ∥β”的A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.6名同学安排到3个宿舍，每个宿舍两人，其中甲必须在一号宿舍，乙和丙均不能到三号宿舍，则不同的安排方法种数为A.6B.9C.12D.185.若f (x )＝f 1(x )＝x1＋x ，f n(x )＝f n －1[f (x )](n ≥2，n ∈N *)，则f (1)＋f (2)＋…＋f (n )＋f 1(1)＋f 2(1)＋…＋f n (1)＝A.nB.9n ＋1C.nn ＋1D.16.已知m 是一个给定的正整数，如果两个整数a ，b 被m 除得的余数相同，则称a 与b 对模m 同余，记作a ≡b (mod m )，例如：5≡13(mod4).若22019≡r (mod7)，则r 可以为A.2019B.2019C.2019D.20197.在△ABC 所在的平面内有一点P ，满足P A ＋PB ＋PC ＝AB ，则△PBC 与△ABC 的面积之比是A.13B.12C.23D.348.若函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x ＋2)＝f (x )，且x ∈(－1,1]时，f (x )＝1－x 2，函数g (x )＝{ lg|x |(x ≠0)1(x ＝0)，则函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5,10]内零点的个数为A.12B.14C.13D.8选择题答题卡二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.9.已知a 是实数，(a －i)(1－i)i是纯虚数，则a 的值是 .10.若x 1，x 2，x 3，…，x 2019，x 2019的方差是2，则3(x 1－1),3(x 2－1)，…，3(x 2019－1),3(x 2019－1)的方差是 .11.已知某一几何体的正视图与侧视图如图所示，则在下列图形中，可以是该几何体的俯视图的图形为 (填你认为正确的图序号)12.已知函数f (x )＝－x 2＋ax －2b .若a ，b 都是区间[0,4]内的数，则使f (1)>0成立的概率是 .13.某机构对小学生作业负担的情况进行调查，设每个学生平均每天作业的时间为x (单位：分钟)，且x ～N (60,100)，已知P (x ≤50)＝0.159.现有1000名小学生接受了此项调查，下图是此次调查中某一项的流程图，则输出的结果大约是 .14.已知关于x 的方程9x －(4＋a )·3x ＋4＝0有两个实数解x 1，x 2，则x 21＋x 22x 1x 2的最小值是 .15.对有10个元素的总体{1,2,3，…，10}进行抽样，先将总体分成两个子总体A ＝{1,2,3,4}和B ＝{5,6,7,8,9,10}，再从A 和B 中分别随机抽取2个元素和3个元素组成样本，用P ij 表示元素i 和j 同时出现在样本中的概率，则P 15＝ ，所有P ij (1≤i <j ≤10)的和等于 .三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分12分)已知向量m ＝(3sin x 4，1)，n ＝(cos x 4，cos 2x4)，f (x )＝m ·n .(1)若f (x )＝1，求cos(2π3－x )的值；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c 且满足a cos C ＋12c ＝b ，求函数f (B )的取值范围.在高三年级某班组织的欢庆元旦活动中，有一项游戏规则如下：参与者最多有5次抽题并答题的机会.如果累计答对2道题，立即结束游戏，并获得纪念品；如果5次机会用完仍未累计答对2道题，也结束游戏，并不能获得纪念品.已知某参与者答对每道题答对的概率都是23，且每道题答对与否互不影响.(1)求该参与者获得纪念品的概率；(2)记该参与者游戏时答题的个数为ξ，求ξ的分布列及期望.如图，在体积为1的三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，AB ⊥AC ，AC ＝AA 1＝1，P 为线段AB 上的动点.(1)求证：CA 1⊥C 1P ；(2)当AP 为何值时，二面角C 1－PB 1－A 1的大小为π6已知函数f (x )＝－x 2＋ax －ln x (a ∈R ).(1)求函数f (x )既有极大值又有极小值的充要条件；(2)当函数f (x )在[12，2]上单调时，求a 的取值范围.某旅游景区的观景台P 位于高(山顶到山脚水平面M 的垂直高度PO )为2km 的山峰上，山脚下有一段位于水平线上笔直的公路AB ，山坡面可近似地看作平面P AB ，且△P AB 为等腰三角形.山坡面与山脚所在水平面M 所成的二面角为α(0°＜α＜90°)，且sin α＝25.现从山脚的水平公路AB 某处C 0开始修建一条盘山公路，该公路的第一段、第二段、第三段…，第n －1段依次为C 0C 1，C 1C 2，C 2C 3，…，C n －1C n (如图所示)，且C 0C 1，C 1C 2，C 2C 3，…，C n －1C n 与AB 所成的角均为β，其中0＜β＜90°，sin β＝14.试问：(1)每修建盘山公路多少米，垂直高度就能升高100米.若修建盘山公路至半山腰(高度为山高的一半)，在半山腰的中心Q 处修建上山缆车索道站，索道PQ 依山而建(与山坡面平行，离坡面高度忽略不计)，问盘山公路的长度和索道的长度各是多少？(2)若修建x km 盘山公路，其造价为x 2＋100 a 万元.修建索道的造价为22a 万元/km.问修建盘山公路至多高时，再修建上山索道至观景台，总造价最少.已知正项数列{a n}的首项a1＝12，函数f(x)＝x1＋x，g(x)＝2x＋1x＋2.(1)若正项数列{a n}满足a n＋1＝f(a n)(n∈N*)，证明：{1a n}是等差数列，并求数列{a n}的通项公式；(2)若正项数列{a n}满足a n＋1≤f(a n)(n∈N*)，数列{b n}满足b n＝a nn＋1，证明：b1＋b2＋…＋b n<1；(3)若正项数列{a n}满足a n＋1＝g(a n)，求证：|a n＋1－a n|≤3 10·(37)n－1.炎德·英才大联考长沙市一中2019届高三月考试卷(六)数学(理科)参考答案一、选择题1.A2.D3.C4.B5.A6.C7.C 解：由P A ＋PB ＋PC ＝AB 得P A ＋PB ＋BA ＋PC ＝0，即PC ＝2AP ，所以点P 是CA 边上的三等分点，故S △PBC ∶S △ABC ＝2∶3.8.B 解：如图，当x ∈[0,5]时，结合图象知f (x )与g (x )共有5个交点，故在区间[－5,0]上共有5个交点；当x ∈(0,10]时，结合图象知共有9个交点，故函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5,10]上共有14个零点.二、填空题9.－1 10.18 11.①② 12.96413.15914.2 解：原方程可化为(3x )2－(4＋a )·3x ＋4＝0，∴3x 1·3x 2＝4，∴x 1＋x 2＝2log 32，∴x 1x 2≤(log 32)2.∴x 21＋x 22x 1x 2＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2x 1x 2＝4(log 32)2x 1x 2－2≥2. 15.1410 解：(1)由题意有：P 15＝C 13·C 25C 24·C 36＝14.(2)当1≤i <j ≤4时，P ij ＝1C 24＝16，这样的P ij 共有C 24个，故所有P ij (1≤i <j ≤4)的和为16·6＝1；当5≤i <j ≤10时，P ij ＝C 14·C 22C 36＝15.这样的P ij 共有C 26＝15个，故所有P ij (5≤i <j ≤10)的和为15·15＝3； 当1≤i ≤4,5≤j ≤10时，P ij ＝14，这样的P ij 共有4·6＝24，所有P ij (1≤i ≤4,5≤j ≤10)的和为24·14＝6，综上所述，所有P ij (1≤i <j ≤10)的和等于1＋3＋6＝10. 三、解答题16.解：(1)∵f (x )＝m ·n ＝3sin x 4cos x 4＋cos 2x 4＝32sin x 2＋12cos x 2＋12＝sin(x 2＋π6)＋12，而f (x )＝1，∴sin(x 2＋π6)＝12.(4分)又∵2π3－x ＝π－2(x 2＋π6)，∴cos(2π3－x )＝－cos2(x 2＋π6)＝－1＋2sin 2(x 2＋π6)＝－12.(6分)(2)∵a cos C ＋12c ＝b ，∴a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋12c ＝b ，即b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝12.又∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3.(10分)又∵0<B <2π3，∴π6<B 2＋π6<π2，∴f (B )∈(1，32).(12分)17.解：(1)设“参与者获得纪念品”为事件A ，则P (A )＝1－P (A )＝1－[(13)5＋C 15(13)4(23)]＝232243.(4分) 故该参与者获得纪念品的概率为232243.(5分)(2)ξ的可能取值为2,3,4,5，P (ξ＝2)＝(23)2＝49；P (ξ＝3)＝C 1223·13·23＝827； P (ξ＝4)＝C 1323(13)223＝427；P (ξ＝5)＝C 14(23)(13)3＋C 04(13)4＝19.(8分) 故ξ(10分)Eξ＝2×49＋3×827＋4×427＋5×19＝7927.(12分)18.解：(1)证明：∵AA 1⊥底面ABC ，∴AA 1⊥AC ，AA 1⊥AB . 又∵AB ⊥AC ，∴以A 为原点，AC ，AB ，AA 1所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立直角坐标系.又∵VABC －A 1B 1C 1＝12AB ×AC ×AA 1＝1，∴AB ＝2.(2分)设AP ＝m ，则P (0，m,0)，而C 1(1,0,1)，C (1,0,0)，A 1(0,0,1)， ∴CA 1＝(－1,0,1)，C 1P ＝(－1，m ，－1)， ∴CA 1·C 1P ＝(－1)×(－1)＋0×m ＋1×(－1)＝0， ∴CA 1⊥C 1P .(6分)(2)设平面C 1PB 1的一个法向量n ＝(x ，y ，z )，则{n ·B 1C1＝0n ·C 1P ＝0，即{ x －2y ＝0－x ＋my －z ＝0.令y ＝1，则n ＝(2,1，m －2)，(9分) 而平面A 1B 1P 的一个法向量AC ＝(1,0,0)， 依题意可知cos π6＝|n ·AC ||n ||AC |＝2(m －2)2＋5＝32，∴m ＝2＋33(舍去)或m ＝2－33. ∴当AP ＝2－33时，二面角C 1－PB 1－A 1的大小为π6.(12分)19.解：(1)∵f ′(x )＝－2x ＋a －1x ＝－2x 2＋ax －1x(x >0)，∴f (x )既有极大值又有极小值⇔方程2x 2－ax ＋1＝0有两个不等的正实数根x 1，x 2. (3分)∴⎩⎨⎧Δ＝a 2－8>0x 1＋x 2＝a 2>0x 1·x 2＝12>0，∴a >22， ∴函数f (x )既有极大值又有极小值的充要条件是a >2 2.(6分)(2)f ′(x )＝－2x ＋a －1x ，令g (x )＝2x ＋1x ，则g ′(x )＝2－1x 2，g (x )在[12，22)上递减，在(22，2]上递增.(8分)又g (12)＝3，g (2)＝92，g (22)＝22，∴g (x )max ＝92，g (x )min ＝2 2.(10分)若f (x )在[12，2]单调递增，则f ′(x )≥0即a ≥g (x )，∴a ≥92.若f (x )在[12，2]单调递减，则f ′(x )≤0，即a ≤g (x )，∴a ≤2 2.所以f (x )在[12，2]上单调时，则a ≤22或a ≥92.(13分)20.解：(1)在盘山公路C 0C 1上任选一点D ，作DE ⊥平面M 交平面M 于E ，过E 作EF ⊥AB 交AB 于F ，连结DF ，易知DF ⊥C 0F .sin∠DFE ＝25，sin ∠DC 0F ＝14.∵DF ＝14C 0D ，DE ＝25DF ，∴DE ＝110C 0D ，所以盘山公路长度是山高的10倍，索道长是山高的52倍，所以每修建盘山公路1000米，垂直高度升高100米.从山脚至半山腰，盘山公路为10km.从半山腰至山顶，索道长2.5km.(6分)(2)设盘山公路修至山高x (0＜x ＜2)km ，则盘山公路长为10x km ，索道长52(2－x )km.设总造价为y 万元，则y ＝(10x )2＋100a ＋52(2－x )·22a ＝(10x 2＋1－52x )a ＋102a .令y ′＝10axx 2＋1－52a ＝0，则x ＝1.当x ∈(0,1)时，y ′＜0，函数y 单调递减；当x ∈(1,2)时，y ′>0，函数y 单调递增，∴x ＝1，y 有最小值，即修建盘山公路至山高1km 时，总造价最小，最小值为152a 万元.(13分)21.证明：(1)∵a n ＋1＝f (a n )＝a n 1＋a n ，∴1a n ＋1＝1＋a n a n ＝1a n ＋1，即1a n ＋1－1a n＝1，∴{1a n }是以2为首项，1为公差的等差数列. ∴1a n ＝2＋(n －1)，即a n ＝1n ＋1.(3分) (2)证明：∵a n ＋1≤a n 1＋a n ，a n >0，∴1a n ＋1≥1＋a n a n ，即1a n ＋1－1a n≥1.当n ≥2时，1a n －1a 1＝(1a 2－1a 1)＋(1a 3－1a 2)＋…＋(1a n －1a n －1)≥n －1，∴1a n ≥n ＋1，∴a n ≤1n ＋1. 当n ＝1时，上式也成立，∴a n ≤1n ＋1(n ∈N *)，∴b n ＝a n n ＋1≤1(n ＋1)2<1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1， ∴b 1＋b 2＋…＋b n <(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1)＝1－1n ＋1<1.(8分)(3)∵a 1＝12，a 2＝g (a 1)＝45，a 2－a 1＝45－12＝310>0.又∵a n ＋1－a n ＝2a n ＋12＋a n －2a n －1＋12＋a n －1＝3(a n －a n －1)(a n ＋2)(a n －1＋2)，由迭代关系可知，a n ＋1－a n >0，∴a n ≥a 1＝12. 又∵(2＋a n )(2＋a n －1)＝(2＋2a n －1＋12＋a n －1)(2＋a n －1)＝5＋4a n －1≥7， ∴3(2＋a n )(2＋a n －1)≤37， ∴|a n ＋1－a n |＝3(2＋a n )(2＋a n －1)|a n －a n －1|≤37|a n －a n －1|， ∴|a n ＋1－a n |≤37|a n －a n －1|≤(37)2|a n －1－a n －2|≤…≤(37)n －1|a 2－a 1|＝310(37)n －1.(13分)。

湖南省长沙市一中2008届高三第六次月考数学试题（文科）命题：长沙市一中高三数学备课组 时量：120分钟 满分：150分得分：一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．︒︒165cos 15sin 的值等于（ ）A ．41B ．41-C ．21D ．21-2．下列函数中既是奇函数，又在区间（0，1）上单调递增的是（ ）A ．xy )21(=B ．x y 21log =C ．y=sinxD ．y=x1 3．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若173a a +=10，则S 19的值为（ ）A ．95B ．100C ．115D ．1254．若点P 分有向线段AB 所成的比为1：3，则点B 分有向线段AP 所成的比为（ ）A ．43 B ．34C ．43-D ．34-5．已知a ),2,1(=b )2,3(-=，若ka+b 与a －3b 共线，则k 的值为（ ）A ．31B ．31-C ．－3D ．36．函数331)(x x x f -+=有（ ）A ．极小值－2，极大值2B ．极小值－2，极大值3C ．极小值－1，极大值1D ．极小值－1，极大值37．下列命题中，m,n 表示两条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面.①若n;m ,//,⊥⊥则ααn m ②若γβγ⊥⊥,a ，则βα//；③若α//,//n a m ，则n m //；④若γαγββα⊥⊥m ,,//,//则m .正确的命题是（ ）A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④8．从a 、b 、c 、d 、e 五人中选1名组长，1名副组长，但a 不能当组长，b 不能当副组长，不同选法总数为（ ）A ．12B ．13C ．16D ．209．已知n n x b x b b x x x x n +++=++++++++ 1032)1()1()1()1(且+++321b b b …57=+n b ，则自然数n 等于（ ）A ．3B ．4C ．5D ．610．已知A 、B 是两个定点，|AB|=4，点P 到A 、B 两点的距离之比为2，则点P 的轨迹是（ ）A ．半径为23的圆 B ．半径为2的圆 C ．半径为25的圆D ．半径为38的圆 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。

长沙市一中2025届高三月考试卷(三)英语时量：120分钟满分：150分第一部分听力(共两节，满分30分)做题时，先将答案标在试卷上。

录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。

第一节(共5小题;每小题1.5分，满分7.5分)听下面5段对话。

每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C 三个选项中选出最佳选项。

听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

例：How much is the shirtA. 19.15.B. 9.18.C. 9.15.答案是C。

1. What is the woman concerned aboutA. Getting punished.B. Causing an accident.C. Walking a long distance.2. What is the boy doingA. Having dinner.B. Playing games.C. Doing his homework.3. What is the probable relationship between the speakersA. Friends.B. Strangers.C. Boss and employee.4. When will the woman visit LeonA. This Tuesday.B. This Thursday.C. This Friday.5. What did the woman speaker plan to doA. Do some fitness training.B. Meet friends.C. Attend a show.第二节(共15小题;每小题1.5分，满分22.5分)听下面5段对话或独白。

每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。

听每段对话或独白前，你将有时间阅读各个小题，每小题5秒钟;听完后，各小题将给出5秒钟的作答时间。

长沙市一中2025 届高三月考试卷(二)思想政治得分:本试题卷分选择题和非选择题两部分, 共8 页。

时量75 分钟, 满分100 分。

第I 卷选择题(共48 分)一、选择题(本大题共16小题,每小题3分,共48分。

每小题列出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1 . 江河万里总有源, 树高千尺也有根。

习近平总书记反复告诫全党, 中国特色社会主义是在改革开放新时期开创的, 也是建立在我们党长期奋斗基础上的, 而其思想、理论和实践的源头, 则可追溯到更远。

在新时代继续推进党的理论创新, 要①立足中国具体国情, 把握中国式现代化实践要求②把中国特色社会主义理论体系作为立党立国的根本③挖掘历史文化沃土, 与中华优秀传统文化相结合④以海纳百川的开放胸襟, 学习借鉴人类一切文明成果A. ①②B. ①③C. ②④D. ③④2. 进入新时代, 以习近平同志为主要代表的中国共产党人, 坚持把马克思主义基本原理同中国具体实际相结合、同中华优秀传统文化相结合。

在文化传承发展座谈会上, 习近平总书记强调"第二个结合"是又一次的思想解放。

这一次思想解放①推动了中华优秀传统文化创造性转化和创新性发展②成功实现了马克思主义中国化时代化的第三次飞跃③拓展和深化了我们党对马克思主义中国化时代化的规律性认识④为推进马克思主义中国化和传统化注入了蓬勃生机和内生动力A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④3 . 传承红色基因, 走好新时代长征路。

近年来, 某地组织广大青少年深入开展阅读红色书信、聆听红色故事、演唱红色歌曲、观看红色影片、开展红色演讲等"五红"系列活动, 不断增强红色文化的吸引力、感染力。

在广大青少年中开展"五红"系列活动有利于①用思想伟力感召广大青少年②使广大青少年坚定理想信念③提高广大青少年的专业技能④激发广大青少年的爱国热情A. ①③B. ②③C. ①④D. ②④4. 整体上看, 中小企业数字化转型仍面临很多实质性障碍, 在实践中也明显落后于大型企业, 甚至在过去的10 年中, 中小企业与大型企业在数字化方面的差距正在扩大。

长沙市一中2025届高三月考试卷（二）语文得分：_____________ 本试卷共10页，时量150分钟，满分150分。

一、现代文阅读（35分）（一）现代文阅读Ⅰ（本题共5小题，19分）阅读下面的文字，完成1~5题。

材料一中国诗词讲究含蓄，以淡为美。

而英美诗歌则比较奔放，以感情激越为胜。

另外，中国诗词多以歌颂为主，而英美现代诗歌多以揭露为主。

中国诗人或托物言志，或借景抒情，永远把自己的情感埋藏于诗词之中，我们只有通过“感悟”才可能感觉出其美，最突出的例子莫过于马致远的《天净沙·秋思》。

他几乎没有用一个表达感情的词语，只是把“枯藤”“老树”“昏鸦”简单地排列在一起，寥寥几笔便勾勒出一幅凄凉寂寥的景象，后面两句把几种事物列在一处，却恰如其分地渲染了寂寞、惨淡的气氛，“夕阳西下”更是给整幅画面涂上了一层昏黄的颜色，最后一笔带出“断肠人在天涯”，感觉上前后好像并无直接联系，但感情是连贯的，思路也是连贯的。

一口气读下来，仿佛自己就是诗人所描绘的画中的游子，引起强烈的共鸣。

然而几种事物的并列，虽然没有任何的主观感情，却比再多的语言都要强烈地表达了一种孤寂凄清的感情，这正是中国古典诗歌的魅力所在。

相比之下，英美现代诗歌强调写资本主义社会中畸零人的心理，比较直率地把诗人的所要表达的意思表现出来，直抒胸臆而毫无造作，言尽而意亦尽，回味的空间相对缩小了，但这样比较符合西方人的心理特征、思维特征。

（摘编自吕洋《中西方诗歌比较》）材料二①与中国古典诗歌弱化主体的倾向不同，西方诗歌中的主体差不多总是在场的。

以十四行诗为例，主体总是堂而皇之地出现在诗中，站出来讲话。

这样，西方诗歌就形成了与中国诗歌迥然不同的风格。

②诗歌的风格离不开其文化土壤。

在中国，流行的思想是人与自然的和谐，这种观念的形成与中国人的生活方式和生活环境有关。

早在新石器时代，农业经济就已经建立起来。

几千年来，自给自足的经济稳定繁荣，因此，人们非常依赖自然环境，对自然世界的任何微妙变化都很敏感，他们渴望与自然亲密接触。

长沙市一中2025届高三月考试卷（一）语文本试卷共10页，时量150分钟，满分150分。

一、现代文阅读（34分）（一）现代文阅读Ⅰ（本题共5小题，18分）阅读下面的文字，完成1～5题。

（一）①因为儒家政治构想的最高目标是旨在修身齐家治国平天下的“人”，人与人之间伦理认同即是根本和逻辑起点。

这种伦理的内涵，有着更为普遍和更为基础的对天下之“人”的论述。

先秦时期的中国，以最为根本性的孝、仁来建构人与人的认同，来建构自己与“他者”共在的联系，即天下。

②周朝的天下，以宗法制为联结，宗法制的伦理根基是“孝”。

家庭共同体有了孝的概念，孝的延伸就是天下共同体之“仁”。

仁不是与他者的对立，而是与他者的共生共通。

“仁”即是处理人与人关系的概念，处理人与人之间关系，逻辑上首先要处理与亲人的关系。

只有实现家庭内部的“亲亲”，才能实现向外的“爱人”。

人与家庭共生，通过“仁”的概念转向了人与天下共生。

因此理想的天下就是“不独亲其亲，不独子其子”。

天下大同，是仁孝概念的逻辑必然，也是伦理化天下的根本内涵。

换句话说，天下其实就是人类的伦理共同体，因此在这个共同体之内，就不可能有民族歧视。

③天下为一家，意味着“他者”的取消，即不以政体或民族区分敌我，而是在伦理关系中确证对方的独立性，并与对方共生共在。

天下一家的秩序展现在现实中，就是以伦理关系为核心的礼制。

凡天下之人，皆需仁孝，而仁孝就要服从礼制，服从礼制就要服从天子。

因此，家与天下就在政治秩序层面实现了同构。

随着大一统的实现，天下之内没有了其他的国，国家秩序也就成了天下秩序。

这种伦理化的天下秩序不断将边缘的地域和人民纳入天下中来，荀子说：“四海之内若一家，通达之属莫不从服。

”④后世的中国人，往往不是以民族或者国家来定义中国，而是以文化或文明定义中国。

正是因为中国概念的文明内涵，才导致中国可以消弭地理边界，逐渐与天下趋同。

⑤这种伦理的、文化的天下观念在宋朝受到了某种程度的挑战。

炎德∙英才大联考长沙市一中201届高三月考试卷（六）数学（文科） 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合{}022>-=x x x A ，{}0,2>==x y y B x，R 是实数集，则B A C R )(等于（）A.]2,1[B.),1(+∞C.]2,1(D.),0[+∞2.如果复数i a z 2+=满足条件5<z ，那么实数a 的取值范围是（） A.)22,22(- B.)2,2(- C.)1,1(- D.)3,3(-3.下列说法中，正确的是（）A.“10≤≤m ”是“函数1cos )(-+=m x x f 有零点”的充分不必要条件B.命题“若22bm am <，则b a <”的逆命题是真命题C.命题“q p ∨”为真命题，则“命题p ”和“命题q ”均为真命题D.命题“0,2≥+∈∀x x R x “的否定是”0,2000≥+∈∃x x R x 4.若按如图的算法流程图运行，输入的N 的值为5，则输出S 值为（）A.4B.65 C.54D.5 5.焦点为)5,0(F ，渐进线方程为034=±y x 的双曲线的方程是（）A.116922=-y xB. 191622=-x yC.1643622=-x yD.1366422=-y x6.已知不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-≤+011y y x y x ，所表示的平面区域为D ，若直线2-=kx y 与平面区域D 有公共点，则k 的取值范围是（）A.),21[]21,(+∞--∞B.]2,2[-C.]21,21[-D.),2[]2,(+∞--∞ 7.一个体积为316的正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的侧（左）视图的面积为（） A.36 B.8 C.38 D.128.设向量，均为非零向量，⊥-)2(，⊥-)2(，则与的夹角为（） A.6π B.3π C.32π D.65π9.在ABC ∆中，三内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，面积为S ，若22)(c b a S +=+，则Aco s 等于（）A.54 B.54- C.1715 D.1715- 10.已知数列{}n a 的通项公式)(1log 2*∈+=N n n na n ，设其前n 项和为n S ，则使4->n S 成立的自然数n 有（）A.最大值14B.最小值14C.最大值15D.最小值1511.已知关于y x 、的方程组⎩⎨⎧=-=+ky kx k y x 22222仅有一组实验解，则符合条件的实数k 的个数是（）A.1B.2C.3D.412.设{}R y x y x y x S ∈-=，是奇数，22),(，{}R y x y x y x y x T ∈-=-=,),2cos()2cos()2sin()2sin(),(2222ππππ，则T S ,的关系是（）A.T S ≠⊂ B.S T ≠⊂ C.T S = D.φ=T S第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在区间]2,2[-上任取一个实数，则该数是不等式12<x 的解的概率为_______.15.三棱锥ABC O -中，OC OB OA ,,两两互相垂直，y OB x OA OC ===,,1，若4=+y x ，则三棱锥ABC O -外接球的球面积的最小值是______.16.设实数b a ,满足8,0≤≤b a ，且2216a b +=，则a b -的最大值与最小值之和为_______. 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）某高校在2015年的自主招生考试成绩中随机抽取40名学生的笔试成绩，按成绩共分成五组：第1组)80,75[，第2组)85,80[，第3组)90,85[，第4组)95,90[，第5组]100,95[，得到的频率分布直方图如图所示，同时规定成绩在85分以上（含85分）的学生为“优秀”，成绩小于85分的学生为“良好”，且只有成绩为“优秀”的学生才能获得面试资格.（1）求出第4组的频率，并补全频率分布直方图； （2）根据样本频率分布直方图估计样本的众数；（3）如果用分层抽样的方法从“优秀”和“良好”的学生中选出5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“优秀”的概率是多少？18.（本小题满分12分）在四棱锥ABCD F -中，底面ABCD 是平行四边形，4=AB ，8=AD ， 60=∠BAD ，⊥FA 平面ABCD 且12=FA ，点E 在FA 上，∥FC 平面BED ， （1）求AEFE的值； （2）求A 到平面BED 的距离.19.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且20,10204==a S . （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设1+=n nm a a b ，是否存在),,(*∈>N m k m k k m 、，使得k m b b b 、、1成等差数列. 20.已知函数4)(23-+-=ax x x f . （1）若)(x f 在34=x 处取得极值，求实数a 的值； （2）在（1）的条件下，若关于x 的方程m x f =)(在]1,1[-上恰有两个不同的实数根，求实数m 的取值范围；（3）若存在),0(0+∞∈x ，使得不等式0)(0>x f 成立，求实数a 的取值范围. 21.（本小题满分12分）已知动圆P 与定圆0352:22=-++x y x B 内切，且动圆经过一定点)0,1(A . （1）求动圆圆心P 的轨迹方程；（2）过点B （圆心）的直线与点P 的轨迹交于N M ,两点，求AMN ∆面积的最大值. 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，已知点C 是以AB 为直径的圆O 上一点，CG 垂直于AB ，垂足为G ，过B 点做圆O 的切线，交直线AC 于点D ，点E 是CG 的中点，连接并延长AE 交BD 于点F ，求证： （1）AF CE DF AE ⋅=⋅； （2）CF 是圆O 的切线.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标xOy 中，t t y tx C (5:1⎩⎨⎧+==为参数)，在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线03sin 2:2222=-+θρρC . （1）求1C 的普通方程与2C 的参数方程；（2）根据（1）中你得到的方程，求曲线2C 上任意一点P 到1C 的最短距离，并确定取得最短距离时P 点的直角坐标.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知0,0>>b a ，且1822=+b a . （1）若m b a ≤+恒成立，求m 的最小值；（2）若b a x x +≥+-12对任意的b a ,恒成立，求实数x 的取值范围.文科参考答案1-5DCABB 6-10DCBDA 11-12CA 13.2114.8 15.π9 16.3412- 17.【解析】（1）其它组的频率和为8.05)02.006.007.001.0(=⨯+++， 所以第四组的频率为2.0，频率分布直方图如图：..........................4分（2）样本的众数为5.82. . ....................................................7分（3）依题意良好的人数为164.040=⨯人，优秀的人数为246.040=⨯人.优秀与良好的人数比为2:3，所以采用分层抽样抽取的5人中有优秀3人，良好2人， 记从这5人中选2人至少有1人是优秀为事件M ，将考试成绩优秀的三名学生记为C B A ,,，考试成绩良好的两名学生记为b a ,，18.【解析】（1）∵∥FC 平面BED ，平面 FCA 平面AC EO BED (=与BD 交于点O )，EO FC ∥∴，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴O 是AC 的中点，∴E 是FA 的中点，1=AEFE. .............6分 （2）∵4=AB ，8=AD ，60=∠BAD ，由余弦定理有34=BD ， ..................8分且AB BD ⊥，又因为A AB FA FA BD =⊥ ,，所以⊥BD 平面FAB ，所以BE BD ⊥，记A 到平面BED 的距离为h ，132,621,3860sin 842122=+====⨯⨯⨯=∴∆AB AE BE AF AE S ABD ，由ABD E BED A V V --=得AE S h S ABD BED ⋅=⋅∆∆3131，即613831132342131⨯⨯=⨯⨯⨯⨯h ，解得131312=h . .......................12分 19.【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则d n n na S n 2)1(1-+=. 由已知，得⎪⎩⎪⎨⎧=+=⨯+201910234411d a d a ，解得⎩⎨⎧==.1,11d a .........................3分 所以)()1(1*∈=-+=N n n d n a a n . .....................................6分 （2）假设存在),,(*∈>N m k m k k m 、，使得k m b b b 、、1成等差数列， 则k m b b b +=12，因为11+==+n na ab n n m ，所以211=b ，1+=m m b m ，1+=k k b k . 所以12112++=+k km m . ....................8分 整理，得mm k --=313，因为0>k ，所以03>-m .解得31<≤m .因为若1,1==k m 舍去，所以2=m ，此时5=k .故存在5,2==k m ，使得k m b b b 、、1成等差数列. ..........................12分20.【解析】（1）ax x x f 23)(2+-='，由题意得0)34(='f ，解得2=a ，经检验满足条件. ........4分（2）由（1）知42)(23-+-=x x x f ，x x x f 43)(2+-='， ......................5分令0)(='x f ，则34,021==x x （舍去）.)(),(x f x f '的变化情况如下表：∴)(x f 在)0,1(-上单调递减，在)1,0(上单调递增，∴4)0()(-==f x f 极小值，函数)(x f 在]1,1[-上的简图，如图所示.又关于x 的方程m x f =)(在]1,1[-上恰有两个不同的实数根，则34-≤<-m ，即m 的取值范围是]3,4(--. ....................8分 （3）解法一：因存在),0(0+∞∈x ，使得不等式0)(0>x f 成立， 故只需要)(x f 的最大值0)(max >x f 即可， ∵)32(323)(,4)(223a x x ax x x f ax x x f --=+-='∴-+-=. .......................9分①若0≤a ，则当0>x 时，0)(<'x f ，∴)(x f 在),0(+∞单调递减. ∵04)0(<-=f ，∴当0>x 时，04)(<-<x f ，∴当0≤a 时，不存在),0(0+∞∈x ，使得不等式0)(0>x f 成立. ②当0>a 时，)(),(x f x f '随x 的变化情况如下表：∴当),0(+∞∈x 时，4274)32()(2max -==a a f x f ，由042742>-a 得3>a . 综上得3>a ，即a 的取值范围是),3(+∞. ...........................12分 解法二：根据题意，只需要不等式0)(>x f 在),0(+∞上有解即可，即0423>-+-ax x 在),0(+∞上有解，即不等式24x x a +>在),0(+∞上有解即可. ...............9分 令24)(xx x g +=，只需要min )(x g a >， 而342234224)(3222=⋅⋅≥++=+=xx x x x x x x x g ，当且仅当242x x =，即2=x 时“=”成立. 故3>a ，即a 的取值范围是),3(+∞. .................12分21.【解析】（1）定圆B 的圆心为)0,1(-B ，半径6=r ，因为动圆P 与定圆B 内切，且动圆P 过定点)0,1(A ，所以6=+PB PA .所以动圆圆心P 的轨迹是以B 、A 为焦点，长轴长为6的椭圆.∴所求椭圆的方程为18922=+y x . ....................5分 （2）由题设直线l 的方程为1+=x my ，与点P 的轨迹方程为18922=+y x ，联立得06416)98(22=--+my y m ， .............7分设),(),,(2211y x N y x M ，则,9864,9816221221+-=+=+m y y m m y y 222221221221)98()1(484)()(++=-+=-∴m m y y y y y y ， .....................9分 981482212221++=-⋅⋅=∴∆m m y y c S AMN，令112≥=+t m ，则122-=t m ， tt t t S AMN 184818482+=+=∴∆， ∵tt 18+在),1[+∞上是单调递增的，∴918≥+tt （当且仅当1=t 时取“=”）316≤∴∆AMN S （当直线l 与x 轴垂直时取“=”），所以AMN ∆面积的最大值为316. ..........12分 22.【解析】（1）由题知ADF ~ACE DB CG AB CG AB DB ∆∆∴⊥⊥，∥,,，有DFCEAF AE =，即AF CE DF AE ⋅=⋅. ........................5分 （2）连接OC 和CB ，由（1）知FBEGDF CE AF AE ==，又EG CE =，所以FB DF =， ................7分在DCB RT ∆中，F 为BD 中点，FB FC =， 所以FBC FCB ∠=∠，又 90,=∠+∠∠=∠OBC FBC OBC OCB ，所以90=∠+∠OCB FCB ， 即CF 是圆O 的切线. ..................... 10分23.【解析】（1）05:1=+-y x C ， .................2分ααα(sin cos 3:2⎩⎨⎧==y x C 为参数). ......................5分（2）设))2,0[)(sin ,cos 3(πααα∈P ，点P 到直线05=+-y x 的距离2232325)6cos(225sin cos 3=≥++=+-=παααd ， ..................8分当65,1)6cos(παπα=-=+时，即)21,23(-P 时，最短距离为223. ....................10分 24.【解析】（1）)(2)(222b a b a +≤+，即有6≤+b a ， .................3分 当且仅当3==b a 时等号成立，又要求m b a ≤+恒成立，6≥∴m ， 故m 的最小值为6. ....................6分（2）要使b a x x +≥+-12恒成立，只需612≥+-x x . ..................8分⎩⎨⎧≥+->⎩⎨⎧≥++-≤<⎩⎨⎧≥-+-≤∴6221622106220x x x x x x x x x 或或，解得3834≥-≤x x 或. .....................10分。

大联考长沙市一中2025届高三月考试卷(一)地 理得分 本试题卷分选择题和非选择题两部分，共8页。

时量75分钟，满分100分。

第Ⅰ卷 选择题(共48分)一 选择题：本大题共16小题，每小题3分，共48分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

区域人口迁移通常经历单核心向多核心演化的过程。

下图为我国长三角不同时期人口迁移的空间演化过程示意图。

据此完成1~2题。

1.与单核心阶段相比，多核心阶段人口迁移的特点是A.人口迁移的通道较少B.人口迁移的规模更小C.人口仅在小城镇阿流动D.人口迁移的频次更高2.在多核心阶段，若次级城市吸引力增强，可能带来的影响有①疏导核心城市的人口压力 ②加剧核心城市的逆城市化③降低核心城市的行政级别 ④促进区域经济一体化发展A.①②B.②③C.①④D.③④甘肃西接阿尔金山和祁连山，是我国西北地区重要的生态安全屏障。

为规范国土空间开发，实现区域的协调发展，甘肃将全省划分为3个主体功能区：城镇化发展区、农产品主产区、重点生态功能区(图1)。

图2示意2021年县域碳排放网络空间关联关系图(节点的大小表示在网络关系中的重要程度，节点间线的长度和粗细表示联系的频繁程度)。

据此完成3~5题。

3.甲、乙、丙分别表示A.城镇化发展区、农产品主产区、重点生态功能区B.城镇化发展区、重点生态功能区、农产品主产区C.农产品主产区、重点生态功能区、城镇化发展区D 重点生态功能区、城镇化发展区、农产品主产区关于甘肃省碳排放的说法，正确的是①陇中地区的碳排放强度最小②陇东南地区碳中和压力最大③河西地区因受地形的影响县域间碳排放网络空间联系弱④县域碳排放网络空间紧密度由中小县．域向周边县域递减A.①②B.①④C.②③D.③④5.关于城关区的发展方向，下列规划合理的是A.积极推进农创产业及新型农业发展B.积极创新推动低碳试点，发挥低碳引领导向C.积极发展生态经济和文化旅游经济D.积极优化产业结构，停止高耗能产业的发展风和水是干旱地区的两种主要作用力。

考试次数排 名 长沙市一中2012届高三月考试卷(六)数学(文科)分值:150分 时量:120分钟 考试日期:2012-4-21一、选择题:本大题共9个小题,每小题5分,共45分. 1.已知集合{|(2)0,}A x x x x R =->∈,集合{|B x y ==,则A B = ( )A ．{|2}x x >B ．{|02}x x <<C ．{|0}x x >D ．{|12}x x ≤< 2.已知b 是实数,i 是虚数单位.若复数(1)(2)bi i ++是实数,则b 等于( ) A ．12-B ．12C ．2-D ．23.已知数列{}n a 的通项7(1)212(2)n n a n n -=⎧=⎨-≥⎩,则5S =( )A ．27-B ．15-C ．20-D ．904.在ABC ∆中,已知,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边,且4,30a b A ==∠=,则B 等于( )A ．30B ．30 或150C ．60D ．60 或1205.如图,12,e e 为互相垂直的单位向量,向量a b -可表示为( )A ．213e e -B ． 1224e e --C ．123e e -D ．123e e -6.如图,是甲乙两同学高中以来十次考试成绩在班上排名情况,则甲乙两同学这十次的平均排名和排名的标准差,s s 乙甲的大小关系应为( )A ．,x x s s =<甲乙乙甲B ．,x x s s =>甲乙乙甲C ．,x x s s ><甲乙乙甲D ．,x x s s >>甲乙乙甲7.函数()f x 的部分图象如图右,则()f x 的解析式可能是( )A ．()sin f x x x =+B ．cos ()xf x x=C ．()cos f x x x =D ．3()()()22f x x x x ππ=--8.如图,四棱锥P ABC D -的体积为2的正方形,P O ⊥底面ABC D ,E 为侧棱P C 中点,则PA 与BE 所成的角为( )A ．π B ．π C ．π D ．π(二)必做题(12〜16题)12.若向量,a b 满足||1,||2==a b ,且a 与b 的夹角为3π,则||+=b a .13.已知点(,)x y 满足00,1x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩则u y x =-的取值范围是 .14.如图,正方体1111ABCD A B C D -,点P 是上底面1111A B C D 内一动点,则 三棱锥P ABC -的主视图与左视图的面积的比值为 .15.函数()cos ((,3))2f x x x π=∈π,若()f x m =有三个不同的实数根,且从小到大依次成等比数列,则m 的值为 .16.已知定义在*N 上的函数()()()()2n n f n n f n ⎧⎪=⎨⎪⎩奇偶为数为数,(1)(2)(3)(2)n n a f f f f =++++ ,则(1)4a 的值是 ; (2)n a = .PDEOBABCA 1B 1C 1D 1PD 主视左视三、解答题：本大题共6个小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）已知函数2()22sinf x x x=-.(Ⅰ)若点(1,P在角α的终边上(始边为x轴的正半轴),求()fα的值;(Ⅱ)若A是ABC∆的最小内角,求()f A的取值范围.18.(本小题满分12分)袋中有若干个大小与形状完全相同的小球,其中标号为0的小球1个,标号为1的小球1个,标号为2的小球n个.已知从中任意抽取1个小球,取到2号小球的概率为1 2 .(Ⅰ)求n的值;(Ⅱ)从袋中有放回．．．地随机抽取2个小球,记第一次取出的小球标号为a,第二次取出的小球标号为b.记“2a b+=”为事件A,求事件A的概率.19.(本小题满分12分)在如图所示的多面体中,下部ABC D A B C D''''-为正方体,点P在D D'的延长线上,且PD D D''=,,M N分别为P A B''∆和P B C''∆的重心.(Ⅰ)已知R为棱PD上任意一点,求证:M N 平面R A C; (Ⅱ)当R为棱D D'的中点时,求二面角R A C D--的平面角的正切值.'20.(本小题满分13分)2012年,国家为应对当前的经济危机,通过拉动内需,刺激经济增长.某品牌汽车集团公司计划投资20亿美元发展该品牌,据专家预测,2012年销售量为2万辆,并从2013年起,该公司汽车的销售量每年比上一年增加1万辆(假设2012年为第一年),销售利润按照每辆每年比上一年减少10%(2012年销售利润为2万美元/辆). (Ⅰ)第n 年的销售利润为多少?(Ⅱ)求到2016年年底,该公司能否实现盈利(即销售利润超过总投资,509059⋅≈⋅).21.(本小题满分13分)已知椭圆C 的焦点在x 轴上,短轴长离心率为2e =.(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程;(Ⅱ)若M 点坐标为,过M 点作直线,M A M B 交椭圆C 于,A B 两点,且直线,M A M B 斜率分别为12,k k ,123k k +=.求证:直线AB 过定点.22.(本小题满分13分) 已知函数1()ln sin g x x x θ=+在[1,)+∞上为增函数,且1(0,),()ln ,m f x m x x m R xθ-∈π=--∈.(Ⅰ)求θ的值;(Ⅱ)若函数()()y f x g x =-在[1,)+∞上为单调函数,求m 的取值范围. (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,设2()e h x x=,若在[1,]e 上至少存在一个0x ,使得000()()()f x g x h x ->成立,求m 的取值范围.长沙市一中2012届高三月考(六)参考答案一.选择题6.【解】由图知,243028242226272629242610x +++++++++==甲,242625262427282628262610x +++++++++==甲,故x x =甲乙,排除,C D,又由散点图可知,甲同学的成绩比乙同学的成绩更分散,故s s >乙甲,即选B. 7.【解】由于函数图象关于原点对称,可知()f x 为奇函数,排除D;又图象过原点,排除B;又()02f π=排除A.故选C.8.【解】如图右,连接O E ,则O E P A,所以BEO ∠为所求的角(或其补角), 在正方形ABC D 中,AB =易知2O B =,3ABC DS=正方形, 又2P A B C D V -=所以2PO =,PA ==所以2O E =,易证O B ⊥平面P A C ,所以R t B O E ∆中,tan 3O B BEO BEO O Eπ∠==∠=,故选C.9.【解】由题知2a ab S a b ba b≥⎧=⊕=⎨<⎩,所以当[2,2]x ∈-时,有3221212x x y x x --≤≤⎧=⎨-<≤⎩,不难求出最大值为6,故选C.二.填空题10. 6 11. 15+ 12. 13. [-1,1] 14. 1 15.1-16.(1) 86 ,(2)42n+10.至多做6次试验.〖二法〗或者按照教材的经验来看,7612021111F F +=-=-=-,所以用分数法安排试验时,最多只需做6次试验就能找到其中的最佳点.15.【解】如图右,作出函数()y f x =与直线y m =的图象,可知0m <,设三个交点,,A B C 的横坐标依次为123x x x <<,由图象对称可知,12232,4x x x x +=π⎧⎨+=π⎩ PDEOCB所以12322,4x x x x =π-=π-,又由于221322(2)(4)x x x x x ==π-π-,得243x π=,也所以有41cos32y m π===-,即求.16.【解】(1)由4(1)(2)(3)(16)a f f f f =++++所以4(13515)(2)(4)(6)(16)a f f f f =+++++++++ 又(16)(8)(4)(2)(1)1f f f f f =====;(14)(7)7,(12)(3)3,(10)(5)5,(6)(3)3f f f f f f f f ========所以4644735386a =+++++=. (2)特殊到一般法,由1(1)(2)1(1)2a f f f =+=+=,2(1)(2)(3)(4)11316a f f f f =+++=+++=,32(5)(6)(7)(8)6(5371)22a a f f f f =++++=++++=,又486a =,所以2132434,16,64a a a a a a -=-=-=,于是猜想114(2)n n n a a n ---=≥; 那么由累加法得11122114(14)42()()()2(2)143n nn n n n n a a a a a a a a n -----+=-+-++-+=+=≥-显然1n =时,12a =也适合,故423nn a +=.三.解答题17.【解】(Ⅰ)因为点(1,P 在角α的终边上,所以1sin cos 22αα==…………………2分所以221()cos 2sin (2(3222f αααα=-=⨯-⨯=-………………6分(Ⅱ)由于()2(1cos 2)2cos 212sin(2)16f x x x x x x π=--=+-=+-………………9分因为A 是ABC ∆的最小内角,所以(0,]3A π∈,…………………………………………………10分 所以52(,]666A πππ+∈,即1sin(2)[,1]62A π+∈……………………………………………………11分 所以2sin(2)1[0,1]6x π+-∈,故所求的()f A 的取值范围是[0,1]………………………………12分18. 【解】(Ⅰ)由题知,从袋子中任取一个小球的所有基本事件数为2n +个,其中取到2号小球的基本事件数为n 个,所以由古典概型知:122n n =+,得2n =……………………………………………………………………………4分(Ⅱ)有放回的抽取2个小球的基本事件如右表所示,共计有16种,…………………………………………8分其中事件A 发生包含了其中4种,如加方框的.…10分 所以5()16P A =……………………………………12分19.【解】(Ⅰ) 连接PM 并延长交A B ''于点E ,连接P N 并延长交B C ''于点F .则易知,,E F 分别为,A B B C ''''的中点, 连接EF .则由23PM PN PEPF==,知M N E F ,………2分而EF A C '' ,所以MN A C '' ………………………3分 且在正方体ABC D A B C D ''''-中,AA CC '' ,所以A C AC '' …4分 即有M N A C ,且M N ⊄平面,R A C A C ⊂平面R A C ,所以M N 平面R A C ;……………6分(Ⅱ)设正方体的棱长为2(0)a a >,所以R D a =,连接,BD BD AC O = ,正方体ABC D A B C D ''''-中,易知RD ⊥平面ABC D ,………7分 所以RD AC ⊥;又D O AC ⊥,且RD DO D = ,所以A C ⊥平面R D O ,………………………………………………………………………9分 故AC RO ⊥,RO D ∠为二面角R A C D --的平面角.…………………………………10分又12D O BD ==,所以tan 2RD RO D D O∠==,即二面角R A C D --2…………………………………………12分20.【解】(Ⅰ)依题意,汽车的销售量构成了首项为2万,公差为1的等差数列{}n a ,且1n a n =+………………………………………………………………………………………2分 又每辆汽车的销售利润构成了首项为2,公比为110%09-=⋅的等比数列{}n b ,1209n n b -=⨯⋅……………………………………………………………………………………4分若第n 年的销售利润记为n c ,则12(1)09n n n n c a b n -=⨯=+⋅(亿元)…………………………6分 (Ⅱ)设到2016年底该公司的总销售利润为S ,则12342(2309409509609)S =+⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅……①…………………………………8分23450.92(20.9309409509609)S =⨯+⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅……②①-②式得23450.12(20.90.90.90.960.9)S =++++-⨯A'即4550.9(10.9)0.142120.922320.910.9S -=+-⨯=-⨯-………………………………………11分所以10(22320.59)31.220S ≈-⨯=>所以到2016年该公司能实现盈利.……………………………………………………………13分 21.【解】(Ⅰ)由题设椭圆2222:1(0)x y C a b ab+=>>………………………………………………1分则2b =,b =3分又2e =,得222112b e a==-,所以24a =…………………………………………………5分即椭圆22:142xyC +=为所求.………………………………………………………………6分(Ⅱ)证明:如图,设1122(,),(,)A x y B x y ,则123k k +=得,12123y y x x --+=……………………7分①直线:AB y kx t =+(k 存在时),则上可化为,12122(3x x k t x x ++-=………(※)……8分又联立2224y kx t x y =+⎧⎨+=⎩,得222(21)42(2)0k x ktx t +++-=所以2222148(21)(2)0k t k t ∆=-+->,得2224t k <+212122242(2),0(2121kt t x x x x t k k --+==≠≠++,……………………………………………9分代入(※)式得,242(32kt k t t -+-=-,解得3t =-所以直线:(3A B y kx t k x =+=+-过定点(3N -.…………………10分②当A B x ⊥轴时,由12123y y x x --+=结合1212,0x x y y =+=得,123x x ==-,即直线:3A B x =也过定点(3N -.……………………………………………12分综上①②可知,直线AB过定点(3N .………………………………………………13分22.【解】(Ⅰ)2211sin 1()0sin sin x g x x x x θθθ-'=-+=≥对[1,)x ∈+∞恒成立,…………………………2分又因为(0,)θ∈π时,0sin θ<≤1,所以化简得1sin xθ≥,又101x<≤,所以sin 1θ≥比较得sin 1θ=,即2θπ=……………………………………………………………………4分(Ⅱ)由2ln (1)m y m x x x x =--≥ 所以22222(1)mm x x my x x xxx-+'=+-=≥,依题意0y '≥或0y '≤恒成立;…………………5分也即221xm x ≥+或221x m x ≤+对1x ≥恒成立又因为函数2221(111x y x x x x==≤==++时取等号),且0y >………………………7分所以(0,1]y ∈, 也所以m ax 22)11x m x ≥(=+或m in 22)1x m x ≤(+,得0m ≤所以m 的取值范围为1m ≥或0m ≤.…………………………………………………………8分 (Ⅲ)①当0m ≤时,由(Ⅱ)知函数()()y f x g x =-在[1,]x e ∈上单调递减,所以max (1)(1)0y f g =-= 而函数2()e h x x=在[1,]x e ∈上是减函数,所以min ()()2h x h e ==,所以不存在0[1,]x e ∈上满足题意;……………………………………………………………10分 ②当1m ≥时,由(Ⅱ)知函数()()y f x g x =-在[1,]x e ∈上单调递增, 所以()()()y f x g x h x =--也是[1,]x e ∈上增函数,依题意只须()()()0y f x g x h x =-->在[1,]x e ∈上有解,即max 0y >, 所以x e =时,220m m e e --->,解得241e m e >-综上①②可知24(,)1e m e ∈+∞-为所求取值范围.…………………………………………………13分。