三角形与不等式

三角形不等式的应用根据两点之间线段最短导出了三角形任意两边之和大于第三边，我们把这个关系叫做三角形不等式.这一定理在证明一些结构特别的不等式中有广泛应用.下面我们举几个例子来说明这个定理的应用.类型一：证明形如a b c +>型的不等式例1、已知x y z 、、证明:作角∠120AOB =，∠120BOC =，则∠120AOC =，设x y z OA OB OC ===、、，由余弦定理：==又OA OB OC,+>所以原不等式成立.例2、已知x y z 、、证明:在空间直角坐标系中，取A(,0,0)B 0,0)C 00)x y z 、(,、(,,，则BC C A ==又AB BC C,A +>所以原不等式成立.类型二：证明形如a b c d ++>型的不等式例3、已知x y z 、、y z).++证明：以x y z ++为边作正方形，).BC CD AB x y z =++≥++DAx yzx y z类型三：证明形如a b c d e +++>型的不等式例4、设01,01x y <<<<求证：≥证明：左边即表示动点(,)P x y 到四个定点(0,0),(1,0),(1,1),(0,1)O A B C 的距离之和. 另由题设知，P 在边长为1的正方形OABC 的内部.由()()OP BP CP AP OB AC +++≥+=.应当注意，有些不等式从表面上看很难用三角形不等式来证明，似乎只能用代数方法证明，但是如果仔细分析，也可能用上三角形不等式，一般说来，用三角形不等式证明要比代数方法简单的多，但是其构造的难度也很大，需要一些很技巧的变形，例如配方变形法，凑两点间距离公式等.例5、已知正数x y 、满足1x y +＝， 2.≥分析：用代数法可以使用分析法，并随时利用1x y +＝这个条件进行化简.证明：2,只要证22224,x y y ++++≥x即证22224,x y y ++++x即证22224,x y y ++++≥x即证22[()2]x y xy x y +-+++注意到1x y +＝，即证2[12]14,xy -++即证14,xy +即证224(4()52)1816(),xy xy xy xy -+≥++即证287,xy -≥-1,4xy ≤而21(),24x y xy +≤=故14xy ≤成立. 所以原不等式成立.如果用几何法，开始要用消元法，中间利用两点间距离公式配凑，最后也用到了三角形不等式：证明：左边===设(,0)P x ，1(,)44A ，3(,44B ，则|||)PA PB =+左边，1(4A 关于x 轴的对称点为11(,4A ， 由对称及三角形不等式知1||||||PA PB A B +≥，当P 为1A B 与x 轴交点时取等号.1A B ==2.≥左边即原不等式成立比较两种解法，可以看出利用三角形不等式证明运算量较小，但是思考的难度是很大的. 但是，我们仔细思考可以发现，编拟这些题目时，命题者大都是从几何的角度入手.因此，我们在这里研究一下几何的证明方法，对于走进命题人的思维是很有好处的，希望同学们在解题过程中多进行一些数形结合方面的思考.下面的练习可以利用三角形不等式来证明或求解：1、求y =.（答案：5）2、已知a b ≠，求证：||.a b <-3、 求证：01≤<.4、已知x y z 、、为正数，求证：（1>（2）|<。

三角形中的不等式【知识点】若a、b为实数，则有-|a±b| ≤|a|-|b| ≤ |a ±b| ≤|a|+|b|。

1，绝对值不等式，一般指的是绝对值符号中含有未知数的不等式。

解绝对值不等式的基本方法是去绝对值符号，最常用的方法是分类讨论（“零点分区间法”），还有两边平方或者利用绝对值的定义等方法。

2，三角不等式，可以通过绝对值的性质对不等式进行缩放，以确定含绝对值的代数式（函数式）的取值范围、最大/小值问题，以及不等式的证明等综合运用。

这里省略绝对值的意义、以及三角不等式的证明过程一万字......【例①】求函数 y = |x－3|－|x＋1| 的最小值和最大值。

【解析】利用三角不等式的性质，选择合适的不等号方向求得最大/小值。

求最大值时，选择不等号方向为≤；求最小值时，选择不等号的方向为≥。

因为|x－3|－|x＋1| ≤|(x－3)－(x＋1)| = 4，所以，y 的最大值为 4；又因为|x－3|－|x＋1| ≥－|(x－3)－(x＋1)| = - 4，所以，y 的最小值为- 4。

【例②】若关于x 的不等式|x－4|－|x＋3| ≤ a 对一切x∈R 恒成立，求实数 a 的取值范围。

【解析】对不等式解集的“转义（等价于）”理解，利用三角不等式求得最值。

令 y = |x－4|－|x＋3| ，则原不等式y ≤ a 对一切x ∈R 恒成立⟺ a 大于等于 y 的最大值。

因为|x－4|－|x ＋3| ≤|(x－4)－(x＋3)| = 7，即 y 的最大值为 7，所以，实数 a 的取值范围为 a ≥ 7。

【例③】若关于x 的不等式|x＋1| ＋|2－x| ≤ a 的解集不是空集，求实数 a 的取值范围。

【解析】对不等式解集的“转义（等价于）”理解，利用三角不等式求得最值。

令 y = |x＋1| ＋|2－x| ，则原不等式y ≤ a 的解集不是空集⟺ a 大于等于 y 的最小值。

因为|x＋1| ＋|2－x| ≥|(x＋1)＋(2－x)| = 3，即 y 的最小值为 3，所以，实数 a 的取值范围为 a ≥ 3。

三角形和不等式复习温故而知新(一)三角形知识梳理1、等腰三角形的性质：①等腰三角形的两底角相等（等边对等角）②等腰三角形“三线合一”的性质：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

③等腰三角形两底角的平分线相等，两腰上的高、中线也相等等腰三角形的判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角边对等边）2、等边三角形是特殊的等腰三角形，作一条等边三角形的三线合一线，将等边三角形分成两个全等的直角三角形，其中一个锐角等于30º，这它所对的直角边必然等于斜边的一半。

等边三角形的判定：有一个角等于60º的等腰三角形是等边三角形。

3、如果知道一个三角形为直角三角形首先要想的定理有：①勾股定理：222+=（注意区分斜边与直角边）a b c②在直角三角形中，如有一个内角等于30º，那么它所对的直角边等于斜边的一半③在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半4、线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点距离相等。

线段垂直平分线逆定理：到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

三角形的三边的垂直平分线交于一点，并且这个点到三个顶点的距离相等。

5、角平分线上的点到角两边的距离相等。

角平分线逆定理：在角内部的，如果一点到角两边的距离相等，则它在该角的平分线上。

三角形三条角平分线交于一点，并且交点到三边距离相等，交点即为三角形的内心。

6、互逆命题和互逆定理7、全等三角形课堂复习等腰三角形1、已知，等腰三角形的一条边长等于6，另一条边长等于，则此等腰三角形的周长是（）A．9 B．12 C．15 D．12或152. 等腰三角形的底角为15°,腰上的高为16,那么腰长为______ ____3、等腰三角形的一个角是80度，则它的另两个角是4、等腰三角形的顶角为120°，腰长为4，则底边长为__________C EA D B等边三角形1、如图：等边三角形ABC 中，D 为AC 的中点，E 为BC 延长线上一点，且DB=DE,若△ABC 的周长为12，则△DCE 的周长为___________. 垂直平分线1、如图1，在△ABC 中，已知AC=27，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，△BCE 的周长等于50，求BC 的长.2、如图：△ABC 中，AB=AC,∠BAC=1200,EF 垂直平分AB, EF=2,求AB 与BC 的长。

关于三角形内角一个不等式及其应用
三角形内角，是武汉高等教育数学中的重要知识点，它的不等式性质推广到几何领域，并有广泛的应用。

马尔可夫不等式又称欧拉不等式，通常表示一个三角形的内角总和不大于180°。

它的证明是基于欧几里得基本定理的：拓扑空间内，任意点都存在一个向外边界分布的等长曲线，可以把它抻成一个三角形，这样三角形的内角就不能大于曲线等长投影的对象，即180°。

由此，三角形内角总和不大于180°，将其表示为数学不等式：
$α+β+γ≤180°$
三角形内角的不等式的实际应用是十分广泛的。

在利用不等式衍生出的几何定理，可以解决各种潜在的解决问题。

比如，根据三角形内角和不等式求未知角、判断三角形周长问题、判定三角形性质及其构成，如是否存在一条对角、是否平行等等，得到的结论是完全正确的。

另外，马尔可夫不等式可以使数学应用发挥出更高的作用，比如可以判断构图定理-两条平行线在给定条件下被另一条横穿的时候，所形成的四边形的角的总和
的关系，得出的结论是完全正确的，便于我们继续深入研究这个结定数学定理。

总之，三角形内角一个不等式推广到几何领域，具有广泛的应用，且不仅可以应用到几何知识，而且可以应用到进一步推导的定理。

由此可以看出，三角形内角一个不等式的重要性及其应用的潜力。

三角形的三边关系与不等式在初中数学中，我们学习了很多关于三角形的知识，其中包括三边关系与不等式。

三角形是由三条边所围成的多边形，它具有很多特点和性质，其中三边关系与不等式是我们研究三角形特性的重要内容。

1. 三边关系在一个三角形中，任意两边之和大于第三边。

这是三角形的基本性质之一。

假设一个三角形的边长分别为a、b、c，那么有以下三边关系：a +b > ca + c > bb +c > a这个不等式告诉我们，如果三个数满足三边关系，那么它们可能构成一个三角形。

但是如果三个数不满足其中任意一个不等式，那么它们就无法构成一个三角形。

2. 三边长度的不等式在三角形中，三边的长度也存在一些特定的不等式关系。

最常见的是三角形的最大边长与其他两边之和的关系。

假设一个三角形的三边长度分别为a、b、c，其中c为最大边长，那么有以下不等式关系：c < a + b这个不等式表明，三角形的最大边长小于其他两边的和。

如果一个三角形的最大边长大于等于其他两边之和，那么这个三角形就无法存在。

3. 三边长度的应用三边关系与不等式是我们在解三角形问题时的重要依据。

通过这些关系，我们可以判断一个给定的三边长度是否能够构成一个三角形，并且可以进一步确定三角形的类型。

根据三边关系与不等式，我们可以得出以下结论：- 当三边长度满足 a + b > c，a + c > b，b + c > a时，可以构成一个三角形。

- 当三边长度满足 a = b = c 时，这个三角形是等边三角形，即三边相等。

- 当三边长度满足 a = b 或 a = c 或 b = c 时，这个三角形是等腰三角形，即两边相等。

- 当三边长度满足 a² + b² = c²或 a² + c² = b²或 b² + c² = a²时，这个三角形是直角三角形。

三角形不等式的应用举例根据两点之间线段最短导出了三角形任意两边之和大于第三边，我们把这个关系叫做三角形不等式.这一定理在证明一些结构特别的不等式中有广泛应用.下面我们举几个例子来说明这个定理的应用.类型一：证明形如a b c +>型的不等式例1、已知x y z 、、> 证明:作角∠120AOB = ，∠120BOC = ，则∠120AOC = ， 设x y z OA OB OC ===、、，由余弦定理：==又OA OB OC,+>所以原不等式成立.例2、已知x y z 、、> 证明:在空间直角坐标系中，取A(,0,0)B 0,0)C 00)x y z 、(,、(,,，则BC C A ==又AB BC C,A +>所以原不等式成立.类型二：证明形如a b c d ++>型的不等式例3、已知x y z 、、y z).>++ 证明：以x y z ++为边作正方形，).BC CD AB x y z =++≥++ DAx yzx y z类型三：证明形如a b c d e +++>型的不等式例4、设01,01x y <<<<求证：≥证明：左边即表示动点(,)P x y 到四个定点(0,0),(1,0),(1,1),(0,1)O A B C 的距离之和.另由题设知，P 在边长为1的正方形OABC 的内部.由()()OP BP CP AP OB AC +++≥+=知原不等式成立.应当注意，有些不等式从表面上看很难用三角形不等式来证明，似乎只能用代数方法证明，但是如果仔细分析，也可能用上三角形不等式，一般说来，用三角形不等式证明要比代数方法简单的多，但是其构造的难度也很大，需要一些很技巧的变形，例如配方变形法，凑两点间距离公式等.例5、已知正数x y 、满足1x y +＝， 2.≥分析：用代数法可以使用分析法，并随时利用1x y +＝这个条件进行化简.证明：2,只要证22224,x y y ++++≥x即证22224,x y y ++++≥x即证22224,x y y ++++x即证22[()2]x y xy x y +-+++注意到1x y +＝，即证2[12]14,xy -++即证14,xy ≥+即证224(4()52)1816(),xy xy xy xy -+≥++即证287,xy -≥-1,4xy ≤ 而21(),24x y xy +≤=故14xy ≤成立. 所以原不等式成立.如果用几何法，开始要用消元法，中间利用两点间距离公式配凑，最后也用到了三角形不等式：证明：左边===设(,0)P x ，1(,44A ，3(,)44B ，则|||)PA PB =+左边，1(4A 关于x 轴的对称点为11(,4A ， 由对称及三角形不等式知1||||||PA PB A B +≥，当P 为1A B 与x 轴交点时取等号.1A B ==2.≥左边即原不等式成立比较两种解法，可以看出利用三角形不等式证明运算量较小，但是思考的难度是很大的.但是，我们仔细思考可以发现，编拟这些题目时，命题者大都是从几何的角度入手.因此，我们在这里研究一下几何的证明方法，对于走进命题人的思维是很有好处的，希望同学们在解题过程中多进行一些数形结合方面的思考.下面的练习可以利用三角形不等式来证明或求解：1、求y =.（答案：5）2、已知a b ≠，求证：||.a b <-3、 求证：01≤.4、已知x y z 、、为正数，求证：（1>（2）|<。

三角不等式定理三角不等式定理是初中数学中重要的一条定理，它是我们学习三角函数和三角恒等式的基础。

本文将从三角不等式定理的定义、性质和应用三个方面进行阐述。

一、三角不等式定理的定义三角不等式定理是指对于任意三角形ABC，其任意两边之和大于第三边，即AB + BC > AC，AC + BC > AB，AB + AC > BC。

这个定理表明了三个边之间的关系，即任意两边之和大于第三边。

1. 三角不等式定理是三角形的基本性质，它适用于任意三角形，无论是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形。

2. 三角不等式定理可以推广到多边形，对于任意多边形，任意两边之和大于第三边。

3. 三角不等式定理的逆定理也成立，即如果三边中任意两边之和大于第三边，那么这三条边可以构成一个三角形。

三、三角不等式定理的应用三角不等式定理在几何学和代数学中有着广泛的应用。

1. 在几何学中，三角不等式定理可以用来判断三角形是否存在。

通过对三边长度进行比较，如果满足任意两边之和大于第三边的条件，则可以构成一个三角形。

2. 在代数学中，三角不等式定理可以用来证明三角函数的性质。

通过使用三角不等式定理，可以得到诸如sin(x) ≤ x ≤ tan(x)等不等式，从而推导出三角函数的性质。

3. 三角不等式定理还可以用来解决实际问题。

例如，在测量三角形边长时，可以利用三角不等式定理判断测量结果的合理性，避免测量误差。

三角不等式定理是初中数学中重要的一条定理，它可以帮助我们判断三角形的存在性，证明三角函数的性质，解决实际问题等。

掌握三角不等式定理对于深入理解三角函数和几何学有着重要的作用。

希望通过本文的介绍，读者能够对三角不等式定理有更加清晰的认识。

三角形不等式公式大全三角形是几何学中的基本图形之一，它具有丰富的性质和特点。

而三角形不等式则是研究三角形性质的重要内容之一。

在本文中，我们将详细介绍三角形不等式的相关公式，包括三角形的边长不等式、角度不等式以及面积不等式等内容。

一、三角形的边长不等式1. 任意两边之和大于第三边对于任意三边长分别为a、b、c的三角形来说，有下列不等式成立：a +b > ca + c > bb +c > a2. 两边之差小于第三边对于任意三边长分别为a、b、c的三角形来说，有下列不等式成立：|a - b| < c|a - c| < b|b - c| < a3. 两边之和大于两边之差对于任意三边长分别为a、b、c的三角形来说，有下列不等式成立：a +b > |a - b|a + c > |a - c|b +c > |b - c|二、三角形的角度不等式1. 三个内角之和为180度对于任意三角形来说，其三个内角A、B、C的和等于180度，即：A +B +C = 180°2. 任意内角的大小对于任意三角形来说，其任意内角A所对的边长为a、B所对的边长为b、C所对的边长为c，有下列不等式成立：sinA/a = sinB/b = sinC/c其中，sin为正弦函数。

三、三角形的面积不等式1. 海伦公式对于任意三角形来说，其面积S可以由三边长a、b、c计算得出，公式如下：S = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]其中，s为半周长，即s = (a + b + c)/2。

2. 三角形面积与边长关系对于任意三角形来说，其面积S与任意两边之积的正弦函数成正比，公式如下：S = (1/2)ab·sinCS = (1/2)ac·sinBS = (1/2)bc·sinA以上便是关于三角形不等式的一些常用公式。

通过掌握和应用这些公式，可以更好地理解和分析三角形的性质，解决与三角形相关的问题。

三角形的不等式性质总结三角形是几何学中的一个基本形状，具有多种特性和性质。

其中，三角形的不等式性质在解决三角形问题时起着重要的作用。

本文将总结三角形的不等式性质，帮助读者认识和理解三角形的性质以及在相关问题中的应用。

1. 三角形边长不等式三角形的任意两边之和必须大于第三边。

假设三角形的三边长度分别为a、b、c，根据三角形边长不等式，我们可以得到以下三个不等式：a +b > cb +c > aa + c > b例如，如果一个三角形的两边分别为3cm和4cm，那么剩余一边的长度必须大于1cm，才能构成一个三角形。

三角形边长不等式的应用使得我们可以判断给定三边长度是否能够构成一个三角形。

2. 三角形角度不等式三角形的三个内角之和等于180度。

根据三角形的角度不等式，我们可以得到以下三个不等式：∠A + ∠B + ∠C = 180°∠A < 180°∠B < 180°∠C < 180°其中，∠A、∠B和∠C分别表示三角形的三个内角。

这些不等式告诉我们三角形的角度之和是一个固定值，并且每个角度必须小于180度。

3. 三角形边长与角度之间的关系不等式三角形的边长和对应角度之间存在一定的关系。

根据三角形的正弦定理和余弦定理，我们可以得到以下不等式：a/sin∠A = b/sin∠B = c/sin∠Cc^2 = a^2 + b^2 - 2abcos∠Cb^2 = a^2 + c^2 - 2accos∠Ba^2 = b^2 + c^2 - 2bccos∠A其中，a、b、c分别表示三角形的三边长度，∠A、∠B和∠C分别表示对应的内角。

这些不等式描述了三角形的边长与角度之间的关系，可以用于求解未知的边长或角度。

4. 三角形面积的不等式三角形的面积可以通过海伦公式或三角形的高和底边长度计算得到。

根据三角形面积的不等式，我们可以得到以下不等式：面积S = 1/2 * a * b * sin∠C面积S = 1/2 * b * c * sin∠A面积S = 1/2 * c * a * sin∠B这些不等式告诉我们三角形的面积与边长和对应角度的正弦值之间存在一定的关系，可以通过这些关系计算三角形的面积。

1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)；2、三角形三边关系：a+b>c; a-b<c3、三角形中的基本关系：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-sincos ,cos sin ,tan cot 222222A B C A B C A B C+++===4、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ∆AB 的外接圆的半径，则有2sin sin sin a b cR C===A B ． 5、正弦定理的变形公式：①化角为边：2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =；②化边为角：sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R=； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ；④sin sin sin sin sin sin a b c a b cC C++===A +B +A B ．6、两类正弦定理解三角形的问题：①已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. ②已知两角和其中一边的对角，求其他边角.(对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况（一解、两解、三解）)7、余弦定理：在C ∆AB 中，有2222cos a b c bc =+-A 等，变形： 222cos 2b c a bc+-A =等，8、余弦定理主要解决的问题：①已知两边和夹角，求其余的量。

②已知三边求角） 9、三角形面积公式：111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆AB =A ==B ．=2R 2sinAsinBsinC=R abc 4=2)(c b a r ++=))()((c p b p a p p ---10、如何判断三角形的形状：判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则：①若222a b c +=，则90C =；②若222a b c +>，则90C <；③若222a b c +<，则90C >． 11、三角形的四心：垂心——三角形的三边上的高相交于一点重心——三角形三条中线的相交于一点（重心到顶点距离与到对边距离之比为2:1） 外心——三角形三边垂直平分线相交于一点（外心到三顶点距离相等） 内心——三角形三内角的平分线相交于一点（内心到三边距离相等） 12 、三角函数中 诱导公式及辅助角公式（和差角、倍角等） 。

特别地，已知三角形两边及某边对角，求余下元素（如已知,,a b A ；求,,c B C ），有以下几种情况：A 为锐角A 为直角或钝角当a bsinA <时，无解；当a bsinA =时，有唯一解且为直角三角形；当bsinA a b <<时，有二解；当a b ≥时，有唯一解.当a b ≤时，无解；当a b >时，有唯一解.三、三角恒等式在ABC ∆中，（1）sin sin()A B C =+；cos cos()A B C =-+；tan tan()A B C =-+.（2）sincos 22A B C +=；cos sin 22A B C +=；tan cot 22A B C +=.（3）sin sin sin 4cos cos cos 222A B C A B C ++=；sin sin sin 4sin sin cos 222A B C A B C +-=；cos cos cos 14sin sin sin 222A B C A B C ++=+；cos cos cos 4cos cos sin 1222A B C A B C +-=-；tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=；cot cot cot csc csc csc cot cot cot A B C A B C A B C ++=+.（4）sin sin sin 14sin sin sin 222444A B C A B B C C A +++++=+；cos cos cos 4cos cos cos 222444A B C A B B C C A +++++=；cotcot cot cot cot cot 222222A B C A B C ++=；tan tan tan tan tan tan 1222222A B B C C A ++=.（5）cot cot cot cot cot cot 1A B B C C A ++=；tan tan tan tan tan tan sec sec sec 1A B C B C A A B C ++=+.（6）sin 2sin 2sin 24sin sin sin A B C A B C ++=；sin 2sin 2sin 24cos cos sin A B C A B C +-=；158cos 2cos 2cos 214cos cos cos A B C A B C ++=--；cos 2cos 2cos 214sin sin cos A B C A B C +-=-.（7）222sin sin sin 2(1cos cos cos )A B C A B C ++=+；222sin sin sin 2sin sin cos A B C A B C +-=；222cos cos cos 12cos cos cos A B C A B C ++=-；222cos cos cos 12sin sin cos A B C A B C +-=-.（8）333sin 3sin 3sin 34cos cos cos 222A B C A B C ++=-；333sin 3sin 3sin 34sin sin cos 222A B C A B C +-=-；333cos3cos3cos314sin sin sin 222A B C A B C ++=-；333cos3cos3cos314coscos sin 222A B C A B C +-=--.（9）333333sin sin sin 3cos cos cos cos cos cos 222222A B C A B C A B C ++=+；333333sin sin sin 3sin sin cos sin sin cos 222222A B C A B C A B C +-=+；333333cos cos cos 13sin sin sin sin sin sin 222222A B C A B C A B C ++=+-；333333cos cos cos 13coscos sin cos cos sin 222222A B C A B C A B C +-=-+-.（10）sin cos cos sin cos cos sin cos cos sin sin sin A B C B C A C A B A B C ++=；cos sin sin cos sin sin cos sin sin 1cos cos cos A B C B C A C A B A B C ++=+.（11）sin sin cos sin sin cos sin sin cos cos cos cos 222222222222A B C B C A C A B A B C ++=；sin cos cos sin cos cos sin cos cos 1sin sin sin 222222222222A B C B C A C A B A B C ++=+.159四、三角不等式由琴生不等式可以证得下面一些结论.一般来说，在三角形中当且仅当60A B C ===︒取等号.（1）33sin sin sin 2A B C ++≤；加强为23sin sin sin 34n n n nA B C ++≤⋅，其中n N *∈.（2）3sin sin sin 2222A B C ++≤；加强为3sinsin sin 2222n n n n A B C ++≤，其中n N *∈.（3）2223sin sin sin 2224A B C ++≥；加强为22223sin sin sin 2222n n n n A B C ++≥，其中n N *∈.（4）33sin sin sin 8A B C ≤.（5）1sin sin sin 2228A B C ≤.（6）3sin 2sin 2sin 22A B C ++≥.（7）锐角三角形中，3cos cos cos 2A B C ++≤；加强为3cos cos cos 2n n n n A B C ++≤，其中n N *∈.（8）33cos cos cos 2222A B C ++≤；加强为23coscos cos 32224n n n n A B C ++≤⋅，其中n N *∈.（9）33cos cos cos 2222A B C ++≤.160（10）1cos cos cos 8A B C ≤.（11）33cos cos cos 2228AB C ≤.（12）3cos 2cos 2cos 22A B C ++≥-.（13）2223cos cos cos 4A B C ++≥即2229sin sin sin 4A B C ++≤；加强为22223cos cos cos 2n n n n A B C ++≥，其中n N *∈.（14）3sin sin sin sin sin sin 2222224A B B C C A ++≤；加强为3sin sin sin sin sin sin 2222224n n n n A B B C C A ++≤，其中n N *∈.（15）锐角三角形中，3cos cos cos cos cos cos 4A B B C C A ++≤；加强为3cos cos cos cos cos cos 4n n n n A B B C C A ++≤，其中n N *∈.（16）锐角三角形中，tan tan tan 33A B C ++≥；加强为tan tan tan 3(3)n n n n A B C ++≥，其中n N *∈.（17）tan tan tan 3222ABC++≥；加强为3tan tan tan 3()2223n n n n A BC++≥，其中n N *∈.（18）3tan tan tan 2229AB C ≤.（19）锐角三角形中，cot cot cot 3A B C ++≥；加强为3cot cot cot 3()3n n n n A B C ++≥，其中n N *∈.161（20）cot cot cot 33222A B C ++≥；加强为cot cot cot 3(3)222n n n n A B C ++≥，其中n N *∈.（21）锐角三角形中，sec sec sec 6A B C ++≥；加强为sec sec sec 32n n n n A B C ++≥⋅，其中n N *∈.（22）csc csc csc 23A B C ++≥；加强为23csc csc csc 3()3n n n n A B C ++≥，其中n N *∈.另外还有一些结论，请参见不等式中的三角不等式有关结论.162。

例说三角形不等式在解题中的应用例说三角形不等式在解题中的应用一、引言三角形是平面几何中的基本图形之一，而三角形不等式则是三角形理论中的重要内容。

在解题的过程中，我们经常会用到三角形不等式，因此了解和掌握三角形不等式在解题中的应用是非常重要的。

本文将从深度和广度两个方面，探讨三角形不等式在解题中的应用，希望能帮助读者全面理解和掌握这一重要的数学知识。

二、基本概念在讨论三角形不等式在解题中的应用之前，我们首先需要了解和掌握三角形不等式的基本概念。

三角形不等式是指三角形中三条边的关系，它规定了任意三角形中任意两边之和大于第三边。

具体来说，对于三角形ABC，有以下三角形不等式成立：1. AB + BC > AC2. AB + AC > BC3. BC + AC > AB三角形不等式是三角形理论的基础，它描述了三角形边长之间的基本关系，对于解决与三角形有关的问题具有重要的指导作用。

三、实际案例分析接下来，我们将通过实际案例来分析三角形不等式在解题中的应用。

假设有一个题目如下：【案例一】已知三角形ABC中，AB=5，BC=7，AC=9，求证：三角形ABC是一个锐角三角形。

在这个题目中，我们需要利用三角形不等式来证明三角形ABC是一个锐角三角形。

根据三角形不等式可知，对于任意三角形ABC，有AB + BC > AC，AB + AC > BC，BC + AC > AB。

现在我们来检验一下这些不等式：1. AB + BC = 5 + 7 = 12 > 9 = AC2. AB + AC = 5 + 9 = 14 > 7 = BC3. BC + AC = 7 + 9 = 16 > 5 = AB由上面的计算可知，三个两两边长之和均大于第三边，因此满足了三角形不等式的要求。

根据三角形不等式的性质，我们可以得出结论：三角形ABC是一个锐角三角形。

通过这个案例，我们可以看到三角形不等式在解题中的应用是非常直观和重要的。

第七講 三角恒等式和三角不等式 知識、方法、技能三角恒等變形，既要遵循代數式恒等變形的一般法則，又有三角所特有的規律. 三角恒等式包括絕對恒等式和條件恒等式兩類。

證明三角恒等式時，首先要觀察已知與求證或所證恒等式等號兩邊三角式的繁簡程度，以決定恒等變形的方向；其次要觀察已知與求證或所證恒等式等號兩邊三角式的角、函數名稱、次數以及結構的差別與聯繫，抓住其主要差異，選擇恰當的公式對其進行恒等變形，從而逐步消除差異，統一形式，完成證明.“和差化積”、“積化和差”、“切割化弦”、“降次”等是我們常用的變形技巧。

當然有時也可以利用萬能公式“弦化切割”，將題目轉化為一個關於2tan x t =的代數恒等式的證明問題. 要快捷地完成三角恒等式的證明，必須選擇恰當的三角公式. 為此，同學們要熟練掌握各公式及各公式的來龍去脈和上圖為三角公式脈絡圖，由圖可見兩角和差的三角函數的公式是所有三角公式的核心和基礎. 此外，三角是代數與幾何聯繫的“橋樑”，與複數也有緊密的聯繫，因而許多三角問題往往可以從幾何或複數角度獲得巧妙的解法.三角不等式首先是不等式，因此，要掌握證明不等式的常用方法：配方法、比較法、放縮法、基本不等式法、數學歸納法等. 其次，三角不等式又有自己的特點——含有三角式，因而三角函數的單調性、有界性以及圖像特徵等都是處理三角不等式的銳利武器.三角形中有關問題也是數學競賽和高考的常見題型. 解決這類問題，要充分利用好三角形內角和等於180°這一結論及其變形形式. 如果問題中同時涉及邊和角，則應儘量利用正弦定理、余弦定理、面積公式等進行轉化，實現邊角統一. 求三角形面積的海倫公式)](21[))()((c b a p c p b p a p p S ++=---=其中，大家往往不甚熟悉，但十分有用.賽題精講例1：已知.cos sin )tan(:,1||),sin(sin AA A -=+>+=βββαβαα求证 【思路分析】條件涉及到角α、βα+，而結論涉及到角βα+，β.故可利用αβαβββαα-+=-+=)()(或消除條件與結論間角的差異，當然亦可從式中的“A ”入手.【證法1】 ),sin(sin βαα+=A),sin()sin(βαββα+=-+∴A),cos(sin ))(cos sin(),sin(sin )cos(cos )sin(βαβββαβαββαββα+=-++=+-+A A .c o s s i n )t a n (,0)c o s (,0c o s ,1||AA A -=+≠+≠-∴>βββαβαβ从而【證法2】αβαβββαβααββββsin )sin(cos sin )sin()sin(sin cos sin sin sin -++=+-=-A ).tan(sin )cos(sin )sin(])sin[()sin(cos sin )sin(βαββαββαββαβαβββα+=++=-+-++=例2：證明：.cos 64cos 353215cos 77cos 7x x x ocs x x =+++【思路分析】等號左邊涉及角7x 、5x 、3x 、x 右邊僅涉及角x ，可將左邊各項逐步轉化為x sin 、x cos 的運算式，但相對較繁. 觀察到右邊的次數較高，可嘗試降次.【證明】因為,cos 33cos cos 4,cos 3cos 43cos 33x x x x x x +=-=所以從而有x x x x x 226cos 9cos 3cos 63cos cos 16++==)2c o s 1(29)2c o s 4(c o s 326c o s 1x x x x +++++ x x x x x x x x x x x x x cos 20cos 2cos 30cos 4cos 12cos 6cos 2cos 64,2cos 992cos 64cos 66cos 1cos 3276+++=+++++= .c o s 353cos 215cos 77cos cos 20cos 153cos 153cos 65cos 65cos 7cos x x x x x x x x x x x +++=++++++= 【評述】本題看似“化簡為繁”，實質上抓住了降次這一關鍵，很是簡捷. 另本題也可利用複數求解. 令77)1(cos 128,,1cos 2,sin cos zz z z i z +=+=+=αααα从而则，展開即可. 例3：求證：.112tan 312tan 18tan 18tan 3=++【思路分析】等式左邊同時出現 12tan 18tan 、 12tan 18tan +，聯想到公式βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+.【證明】 12tan 312tan 18tan 18tan 3++ 112tan 18tan )12tan 18tan 1)(1218tan(312tan 18tan )12tan 18(tan 3=+-+⨯=++=【評述】本題方法具有一定的普遍性. 仿此可證)43tan 1()2tan 1)(1tan 1( +++222)44tan 1(=+ 等.例4：已知.20012tan 2sec :,2001tan 1tan 1=+=-+αααα求证 【證明】)4tan()22sin()22cos(12cos 2sin 12tan 2sec απαπαπαααα+=++-=+=+ .2001tan 1tan 1=-+=αα例5：證 明：.3sin )60sin()60sin(sin 4θθθθ=+-【證明】θθθ3sin 4sin 33sin -=)60sin()60sin(sin 4)sin 60cos cos 60)(sin sin 60cos cos 60(sin sin 4])sin 21()cos 23[(sin 4)sin 41cos 43(sin 4)sin 43(sin 422222θθθθθθθθθθθθθθθθ-+=-+=-=-=-=【評述】這是三倍角的正弦的又一表示. 類似地，有)60cos()60cos(cos 43cos θθθθ+-=)60tan()60tan(tan 3tan θθθθ+-+= . 利用這幾個公式可解下例.例6：求證：①16178cos 66cos 42cos 6cos = ②sin1°sin2°sin3°…sin89°=.106)41(45⨯ 【證明】①cos6°cos42°cos66°cos78°=cos6°cos54°cos66°54cos 78cos 42cos ⨯.16154cos 4)183cos(4154cos 478cos 42cos 18cos =⨯==②sin1°sin2°sin3°…sin89°=(sin1°sin59°sin61°)(sin2°sin58°sin62°)…(sin29°sin31°sin89°)sin30°sin60° =4387sin 6sin 3sin )41(29⨯60sin 30sin )87sin 33sin 27(sin )66sin 54sin 6)(sin 63sin 57sin 3(sin 3)41(30=45sin )54sin 36)(sin 63sin 27)(sin 72sin 18)(sin 18sin 9(sin 3)41(81sin 18sin 9sin 3)41(4040⋅⨯⨯=⋅⨯=36sin 18cos 223)41(54cos 72sin 223)41(54cos 18sin 36cos 18cos 223)41(54cos 72cos 36cos 18cos 223)41(18cos 36cos 54cos 72cos 223)41(72sin 54sin 36sin 18sin 223)41(434342424242⨯=⨯=⨯=⨯=⨯=⋅= 又)72cos 1)(36cos 1(41)36sin 18(cos 2 -+= 165)72cos 36cos 1(41)72cos 36cos 72cos 36cos 1(41=+=--+=即 .4536sin 18cos = 所以 .106)41(89sin 2sin 1sin 45⨯=例7：證明：對任一自然數n 及任意實數m n k m x k ,,,2,1,0(2 =≠π為任一整數），有 .2cot cot 2sin 14sin 12sin 1x x xx x n n -=+++ 【思路分析】本題左邊為n 項的和，右邊為2項之差，故嘗試將左邊各項“裂”成兩項之差，並希冀能消去其中許多中間項. 【證明】,2cot cot 2sin 2cos cos sin 2cos 22sin 2cos cos 22sin 122x x xx x x x x x x x -=-=-= 同理x x x4cot 2cot 4sin 1-= ……x x xn n n 2cot 2cot 2sin 11-=- 【評述】①本題裂項技巧也可通過數學歸納法獲得.②“裂項相消”在解題中具有一定的普遍性，類似可證下列各題：n n n n -=-+++ααααααααtan tan tan )1tan(3tan 2tan 2tan tan .1cot 1cos 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1.2cot 2cot 2tan 22tan 22tan 2tan 1122=+++-=++++++ααααααn n n n例8：證明：.2sin 21sin )2sin()sin()2sin()sin(sin βββαβαβαβαα++=+++++++n n n 【證明】)],2cos()2[cos(212sin sin βαβαβα--+-= )]sin()2sin()sin([sin 2sin ,,)]212cos()212[cos(212sin )sin(,)]23cos()25[cos(212sin )2sin()],2cos()23[cos(212sin)sin(βαβαβααββαβαββαβαβαββαβαβαββαn n n n +++++++-+-++-=++-+-=++-+-=+各项相加得类似地.21s i n )2s i n ()]2cos()212[cos(21ββαβαβα++=--++-=n n n 所以，.2sin 21sin )2sin()sin()sin(sin βββαβαβαα++=+++++n n n【評述】①本題也可借助複數獲證.②類似地，有.2sin )2cos(21sin )cos()cos(cos ββαββαβααn n n ++=+++++利用上述公式可快速證明下列各式：2sin 21cos 2sin cos 3cos 2cos cos θθθθθθθ+=++++n n n .2197cos 95cos 93cos 9cos .2175cos 73cos 9cos 等=+++=++πππππππ針對性訓練題1．證明：sin47°+sin61°－sin11°－sin25°=cos7°.2．證明：.sin sin )cos(2sin )2sin(αββααβα=+-+3．已知：sin A +sin B +sin C =0，cos A +cos B +cos C =0.求證：sin2A +sin2B +sin2C =0，cos2A +cos2B +cos2C =0.4．已知.03sin 312sin 21sin :),,0(=++∈θθθπθ求证5．已知αβαβπβα-=<<<求且,tan 3tan ,20的最大值.6．已知α、β、γ、θθγβαπθγβαπsin sin sin sin .),2,0(==+++∈y 求且的最大值.7．△ABC 中，C = 2B 的充要條件是.22ab b c =-8．△ABC 中，已知A 2sin 、B 2sin 、C 2sin 成等差數列，求證：A cot 、B cot 、C cot 也成等差數列.9．△ABC 中，角A 、B 、C 所對的邊分別為a 、b 、c ，已知c a b +=2，求B 的最大值.10．若α、),2,0(πβ∈能否以αsin 、βsin 、)sin(βα+的值為邊長構成一個三角形.11．求函數x x y 382-++=的值域.12．求函數22122++++=x x x y 的值域.。

第一章 全等三角形 1．1全等三角形教学目标：1了解全等形及全等三角形的的概念； 2 理解全等三角形的性质；3 在图形变换以及实际操作的过程中发展学生的空间观念，培养学生的几何直觉；4 学生通过观察、发现生活中的全等形和实际操作中获得全等三角形的体验在探索和运用全等三角形性质的过程中感受到数学的乐趣。

重点：探究全等三角形的性质难点：掌握两个全等三角形的对应边，对应角能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 引导学生完成课本P 3思考： 归纳:一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。

“全等”用“≌”表示，读作“全等于”两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，如⊿ABC 和⊿DEF 全等时，点A 和点D ，点B 和点E ，点C 和点F 是对应顶点，记作⊿ABC ≌⊿DEF 。

把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角思考：如果⊿ABC ≌⊿DEF ，对应边有什么关系？对应角呢？ 归纳:全等三角形性质：全等三角形的对应边相等； 全等三角形的对应角相等。

思考：（1）下面是两个全等的三角形，按下列图形的位置摆放，指出它们的对应顶点、对应边、对应角DDD（2）将⊿ABC 沿直线BC 平移，得到⊿DEF ，说出你得到的结论，说明理由？B- 2 -（3）如图，⊿ABE ≌⊿ACD, AB 与AC ，AD 与AE 是对应边，已知：∠A=43°，∠B=30°，求∠ADC 的大小。

BC作业：课题：1．2 三角形全等的判定(1) SSS教学目标①经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程． ②掌握三角形全等的“边边边”条件，了解三角形的稳定性． ③通过对问题的共同探讨，培养学生的协作精神． 教学难点三角形全等条件的探索过程．给出例l ，如下图△ABC 是一个钢架，AB ＝AC ，AD 是连接点A 与BC 中点D 的支架，求证△ABD ≌△ACD ．ABD让学生独立思考后口头表达理由，由教师板演推理过程．例2 如图是用圆规和直尺画已知角的平分线的示意图，作法如下：①以A 为圆心画弧，分别交角的两边于点B 和点C ；②分别以点B 、C 为圆心，相同长度为半径画两条弧，两弧交于点D ； ③画射线AD ．AD 就是∠BAC 的平分线．你能说明该画法正确的理由吗?例3 如图四边形ABCD 中，AB ＝CD ，AD ＝BC ，你能把四边形ABCD 分成两个相互全班级：初二（上） 任教者：Jay song 二O 一四年- 3 -等的三角形吗?你有几种方法?你能证明你的方法吗?试一试．A BCD五、巩固练习： 六、反思小结回顾反思本节课对知识的研究探索过程、小结方法及结论，提炼数学思想，掌握数学规律． 七、布置作业：课题：1.2 三角形全等的判定(2) SAS教学目标①经历探索三角形全等条件的过程，培养学生观察分析图形能力、动手能力． ②在探索三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理．③通过对问题的共同探讨，培养学生的协作精神． 教学难点指导学生分析问题，寻找判定三角形全等的条件． 知识重点应用“边角边”证明两个三角形全等，进而得出线段或角相等． 总结规律：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．(SAS)补充强调：角必须是两条相等的对应边的夹角，边必须是夹相等角的两对边．三、应用新知，体验成功出示例1，如图，有—池塘，要测池塘两端A 、B 的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A 和B 的点C ，连接AC 并延长到D ，使CD ＝CA ，连接BC 并延长到E ，使CE ＝CB ．连接DE ，那么量出DE 的长就是A 、B 的距离，为什么?让学生充分思考后，书写推理过程，并说明每一步的依据．- 4 -A B C DE AB CDEFM (若学生不能顺利得到证明思路，教师也可作如下分析： 要想证AB ＝DE ， 只需证△ABC ≌△DEC△ABC 与△DEC 全等的条件现有……还需要……)明确证明分别属于两个三角形的线段相等或者角相等的问题，常常通过证明这两个三角形全等来解决． 补充例题：2、已知：如图AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE求证： △ABD ≌△ACE 证明:∵∠BAC=∠DAE （已知）∠ BAC+ ∠ CAD= ∠DAE+ ∠ CAD ∴∠BAD=∠CAE 在△ABD 与△ACEAB=AC （已知） ∠BAD= ∠CAE （已证） AD=AE （已知）∴△ABD ≌△ACE （SAS) 思考：求证：1.BD=CE 2. ∠B= ∠C 3. ∠ADB= ∠AEC 变式1：已知：如图，AB ⊥AC,AD ⊥AE,AB=AC,AD=AE. 求证： △DAC ≌△EABBE=DC ∠B= ∠ C ∠ D= ∠ E BE ⊥CD四、再次探究，释解疑惑 出示探究4，我们知道，两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．由“两边及其中一边的对角对应相等”的条件能判定两个三角形全等吗?为什么?让学生模仿前面的探究方法，得出结论：两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等．五、巩固练习六、小结提高1．判定三角形全等的方法；2．证明线段、角相等常见的方法有哪些?让学生自由表述，其他学生补充，让学生自己将知识系统化，以自己的方式进行建构． 七、布置作业班级：初二（上）任教者：Jay song 二O一四年- 5 -C课题： 1.2 三角形全等的判定(3) “ASA”“AAS”．教学目标①探索并掌握两个三角形全等的条件：“ASA”“AAS”，并能应用它们判别两个三角形是否全等．②经历作图、比较、证明等探究过程，提高分析、作图、归纳、表达、逻辑推理等能力；并通过对知识方法的总结，培养反思的习惯，培养理性思维．③敢于面对教学活动中的困难，能通过合作交流解决遇到的困难．教学重点理解，掌握三角形全等的条件：“ASA”“AAS”．教学难点探究出“ASA”“AAS”以及它们的应用．教学过程（师生活动）创设情境复习：师：我们已经知道，三角形全等的判定条件有哪些?生：“SSS”“SAS”师：那除了这两个条件，满足另一些条件的两个三角形是否也可能全等呢?今天我们就来探究三角形全等的另一些条件。

三角形三边关系--三边未知建立不等式关系确定字母取值【知识点】三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.（只需保证较小的两边和大于第三边）①利用三边关系，边和周长的条件，列不等式②解不等式得字母取值范围【练习题】1.如果三角形的三边长分别为3m+（m为正数），则m的取值范m+，8m+，4围是2.如果三角形的三边长分别为9x-，1x+（x为正数），则x的取值范围x-，8是3.如果三角形的三边长分别为1m+（m为正数），则m的取值范围m-，m，1是4.如果三角形的三边长分别为31x+（x为正数），则x的取值范围x-，2x，45是5.如果三角形的三边长分别为21m+，24m+（m为正数），则m的取值m-，23范围是6.如果三角形的三边长分别为3x+(x为正数），它的周长至少为x+，4x+，830 cm，则x的取值范围是7.一个三角形的三边长分别是21m+(m为正数），它的周长不超过m-，2m，2112 cm，则m的取值范围是8.如果三角形的三边长分别为31m+(m为正数），它的周长不超过m-，2m，4576 cm，则m的取值范围是9.如果三角形的三边长分别为9m+(m为正数），它的周长少于44m-，1m-，8cm，则m的取值范围是10.把一根29 cm的木棍截成3段后围成一个三角形，已知第一段长为x cm，第二段比第一段的3倍少1 cm．若第一段最短，则x的取值范围是11.已知有一个三角形，第一条边长为x cm，第二条边长比第一条边长的2倍少3 cm，第三条边比第一条边长多4 cm，则x的取值范围是答案1. 348m m m +++>+，1m >2. 981x x x -+->+，18x >3. 11m m m -+>+，2m >4. 31245x x x -+>+，6x >5. 212324m m m -++>+，1m >6. 5x ≥7. 12m <≤8. 68m <≤9. 1820m << 10.313186x << 11. 72x >。