三角形不等式(含练习题)

初中数学--《不等式》测试题（含答案）姓名：__________ 班级：__________考号：__________一、选择题（共40题）1、已知方程组的解x、y满足2x+y≥0，则m的取值范围是（）A. B. C. D.2、已知且，则的取值范围为Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．3、关于不等式的解集如图所示，的值是（）A．0 B．2 C．－2 D．－4 4、若，则下列式子错误的是（）A． B．C． D．5、如果 x>y，那么下列各式一定成立的是（）A．ax>ay B．a2x>a2y C．x2>y2 D．a2+x>a2+y6、方程，当时，m的取值范围是（）A、 B、 C、 D、7、不等式的负整数解有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个8、若方程组的解，满足，则的取值范围是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．9、不等式的解集是（）．A. B. C. D.10、若方程的解是负数，则的取值范围是（）A． B． C． D．11、在数学表达式① -3<0 ② 4x+3y>0 ③ x=3 ④ x 2 +xy+y 2 ⑤x ≠ 5⑥x+2>y+3 中，是不等式的有 ( ) 个 .A ． 1B ． 2C ． 3D ． 412、不等式的解集在数轴上表示为（）13、下列说法不一定成立的是（）A ．若，则B ．若，则C ．若，则D ．若，则14、已知四个实数 a ， b ， c ， d ，若 a>b ， c>d ，则（）A ． a+c>b+dB ． a-c>b-dC ． ac>bdD ．15、二次函数的图象过四个点，下列说法一定正确的是（）A ．若，则B ．若，则C ．若，则D ．若，则16、下列式子：（ 1）4＞0；（2）2x+3y＜0；（3）x=3；（4）x≠y；（5）x+y；（6）x+3≤7 中，不等式的个数有（）A ． 2 个B ． 3 个C ． 4 个D ． 5 个17、若三角形的三边长分别为3，4，x-1，则x的取值范围是（）A．0＜x＜8 B．2＜x＜8 C．0＜x＜6 D．2＜x＜6 18、 x 与 3 的和的一半是负数，用不等式表示为 ( )A ．x ＋ 3 ＞ 0B ．x ＋ 3 ＜ 0C ．( x ＋ 3 )＜ 0D ．( x ＋ 3 )＞ 019、下面列出的不等式中，正确的是（）A ．“m 不是正数” 表示为 m＜0B ．“m 不大于3” 表示为 m＜3C ．“n 与 4 的差是负数” 表示为 n﹣4＜0D ．“n 不等于6” 表示为 n＞620、下列说法错误的是 ( )．A ．不等式 x－3＞2 的解集是 x＞5B ．不等式 x＜3 的整数解有无数个C ． x＝0 是不等式 2x＜3 的一个解D ．不等式 x＋3＜3 的整数解是 021、若 m＞n ，则下列不等式正确的是（）A ． m﹣2＜n﹣2B ．C ． 6m＜6nD ．﹣8m＞﹣8n22、如果，那么下列不等式成立的是（）A ．B ．C ．D ．23、不等式（ 2a-1）x＜2（2a-1 ）的解集是 x＞2 ，则 a 的取值范围是（）A ． a＜0B ． a＜C ． a＜D ． a＞24、实数 a 、 b 、 c 满足 a ＞ b 且 ac ＜ bc ，它们在数轴上的对应点的位置可以是（）A． B ．C ．D ．25、以下所给的数值中，为不等式－2x + 3＜0的解的是（）．A．－2 B．－1 C． D．226、如果a＜0，ab＜0，则|b－a＋4|－|a－b－6|化简的结果为…………………………（）（A）2 （B）－10 （C）－2 （D）2b－2a－227、若关于 x 的不等式的解集为，则 a 的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．28、下列说法正确的是（）A ． x ＝﹣ 3 是不等式 x ＞﹣ 2 的一个解B ． x ＝﹣ 1 是不等式 x ＞﹣ 2 的一个解C ．不等式 x ＞﹣ 2 的解是 x ＝﹣ 3D ．不等式 x ＞﹣ 2 的解是 x ＝﹣ 129、已知 a＞b ，则下列不等式中，正确的是 ( )A ． -3a＞-3bB ．＞C ． 3-a＞3-bD ． a-3＞b-330、下面说法正确的是 ( )A ． x=3 是不等式 2x＞3 的一个解B ． x=3 是不等式 2x＞3 的解集C ． x=3 是不等式 2x＞3 的唯一解D ． x=3 不是不等式 2x＞3 的解31、不等式 x＜－2的解集在数轴上表示为( )A ．B ．C ．D ．32、如果a ＞b ，下列各式中正确的是（）A ．﹣2021 a ＞﹣ 2021 bB ．2021 a ＜ 2021 bC ．a ﹣ 2021 ＞b ﹣ 2021D ．2021 ﹣a ＞ 2021 ﹣b33、已知三角形的三边长分别为 1，2，x ，则 x 的取值范围在数轴上表示为 ( )A ．B ．C ．D ．34、下列变形中，错误的是 ( )A ．若 3a ＞ 6 ，则 a ＞ 2B ．若－x ＞ 1 ，则 x ＜－C ．若－ x ＜ 5 ，则 x ＞－ 5D ．若x ＜ 1 ，则 x ＜ 335、下列说法中，错误的是 ( )A ．不等式 x ＜ 5 的整数解有无数多个B ．不等式 x ＞－ 5 的负整数解集有有限个C ．不等式－ 2x ＜ 8 的解集是 x ＜－ 4D ．－ 40 是不等式 2x ＜－ 8 的一个解36、以下说法中正确的是（）A ．若 a＞|b| ，则 a 2 ＞ b 2B ．若 a＞b ，则＜C ．若 a＞b ，则 ac 2 ＞bc 2D ．若 a＞b，c＞d ，则 a﹣c＞b﹣d37、已知，则下列不等式变形正确的是A ．B ．C ．D ．38、已知, 则下列不等式成立的是（）A ．B ．C ．D ．39、若，且，则应满足的条件是（）A． B． C． D．40、若 m － n ＜ 0 ，则下列各式中正确的是 ( )A ． m ＋ p ＞ n ＋ pB ． m － p ＞ n － pC ． p － m ＜ p － nD ． p － m ＞－ n ＋ p============参考答案============一、选择题1、 A2、 D3、 A4、 B5、 D6、 C7、 A8、Ａ9、 A；10、 A11、 D【解析】根据不等式的定义，用“＞”、“≥”、“＜”、“≤”、“≠” 等不等号表示不相等关系的式子是不等式，依次判断 6 个式子即可．【详解】根据不等式的定义 , 依次分析可得：−3＜0，4x＋3y＞0，x≠5，x＋2＞y＋3，4 个式子符合定义，是不等式，而 x＝3 是等式，x 2 ＋xy＋y 2 是代数式 .故答案为： D.【点睛】本题考查了不等式的定义，熟练掌握该知识点是本题解题的关键 .12、 C13、 C【详解】A ．在不等式的两边同时加上 c ，不等式仍成立，即，故本选项错误；B ．在不等式的两边同时减去 c ，不等式仍成立，即，故本选项错误；C ．当c=0 时，若，则不等式不成立，故本选项正确；D ．在不等式的两边同时除以不为 0 的，该不等式仍成立，即，故本选项错误．故选 C ．14、 A【解析】根据不等式的性质及反例的应用逐项分析即可 .【详解】A. ∵ a>b ， c>d ，∴ a+c>b+d ，正确；B. 如 a=3,b=1,c=2 ， d=-5 时， a-c=1 ， b-d =6 ，此时 a-c<b-d ，故不正确；C. 如 a=3,b=1,c=-2 ， d=-5 时， ac=-6 ， bd =-5 ，此时 ac<bd ，故不正确；D. 如 a=4,b=2,c=-1 ， d=-2 时，，，此时，故不正确；故选 A.【点睛】本题考查了不等式的性质及举反例的应用，举反例是解选择题常用的一种方法，要熟练掌握 .15、 C【分析】求出抛物线的对称轴，根据抛物线的开口方向和增减性，根据横坐标的值，可判断出各点纵坐标值的大小关系，从而可以求解．【详解】解：二次函数的对称轴为：，且开口向上，距离对称轴越近，函数值越小，，A ，若，则不一定成立，故选项错误，不符合题意；B, 若，则不一定成立，故选项错误，不符合题意；C ，若，所以，则一定成立，故选项正确，符合题意；D ，若，则不一定成立，故选项错误，不符合题意；故选： C ．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质及不等式，解题的关键是：根据二次函数的对称轴及开口方向，确定各点纵坐标值的大小关系，再进行分论讨论判断即可．16、 C【解析】根据不等式的定义，只要有不等符号的式子就是不等式，所以①②④⑥为不等式，共有 4 个，故选 C．17、 B18、 C【解析】“ 与 3 的和的一半是负数”用不等式表示为：.故选 C.19、 C【解析】根据各个选项的表示列出不等式，与选项中所表示的不等式对比即可 .【详解】A. “m 不是正数” 表示为故错误 .B. “m 不大于3” 表示为故错误 .C. “n 与 4 的差是负数” 表示为 n﹣4＜0, 正确 .D. “n 不等于6” 表示为, 故错误 .故选 :C.【点睛】考查列不等式，解决本题的关键是理解负数是小于 0 的数，非负数是大于或等于 0 的数，不大于用数学符号表示是“≤”．20、 D【解析】解：A．不等式 x－3＞2 的解集是 x＞5 ，正确；B．不等式 x＜3 的整数解有无数个，正确；C． x＝0 是不等式 2x＜3 的一个解，正确；D．不等式 x＋3＜3 的解集是 x＜0 ，故 D 选项错误．故选 D．21、 B【分析】将原不等式两边分别都减 2 、都除以 4 、都乘以 6 、都乘以﹣ 8 ，根据不等式得基本性质逐一判断即可得．【详解】A 、将 m＞n 两边都减 2 得： m﹣2＞n﹣2 ，此选项错误；B 、将 m＞n 两边都除以 4 得：，此选项正确；C 、将 m＞n 两边都乘以 6 得： 6m＞6n ，此选项错误；D 、将 m＞n 两边都乘以﹣ 8 ，得：﹣ 8m＜﹣8n ，此选项错误，故选 B．【点睛】本题考查了不等式的性质，解题的关键是熟练掌握握不等式的基本性质，尤其是性质不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．22、 D根据不等式的性质即可求出答案．【详解】解：∵ ，∴ ，∵ ，∴ ，故选 D ．【点睛】本题考查不等式的性质，解题的关键是熟练运用不等式的性质，本题属于中等题型．23、 B【解析】仔细观察，（ 2a-1）x＜2（2a-1 ），要想求得解集，需把（ 2a-1 ）这个整体看作 x 的系数，然后运用不等式的性质求出，给出的解集是 x＞2 ，不等号的方向已改变，说明运用的是不等式的性质 3 ，运用性质 3 的前提是两边都乘以（ • 或除以）同一个负数，从而求出 a 的范围．【详解】∵不等式（ 2a-1）x＜2（2a-1 ）的解集是 x＞2，∴不等式的方向改变了，∴ 2a-1＜0，∴ a＜，故选 B．【点睛】本题考查了利用不等式的性质解含有字母系数的不等式，解题的关键是根据原不等式和给出的解集的情况确定字母系数的取值范围，为此需熟练掌握不等式的基本性质，也是正确解一元一次不等式的基础．24、 A根据不等式的性质，先判断 c 的正负．再确定符合条件的对应点的大致位置．【详解】解：因为 a ＞ b 且 ac ＜ bc ，所以 c ＜ 0 ．选项 A 符合 a ＞ b ， c ＜ 0 条件，故满足条件的对应点位置可以是 A ．选项 B 不满足 a ＞ b ，选项 C 、 D 不满足 c ＜ 0 ，故满足条件的对应点位置不可以是 B 、 C 、 D ．故选 A ．【点睛】本题考查了数轴上点的位置和不等式的性质．解决本题的关键是根据不等式的性质判断 c 的正负．25、 D26、由a＜0，ab＜0，得b＞0，∴b－a＋4＞0，a－b－6＜0，∴原式＝（b－a＋4）－（6＋b－a）＝－2．【答案】C．27、 B【解析】根据不等式的性质，不等式两边都除以同一个负数，不等号方向改变，得出 a － 3＜0，求出即可 .【详解】∵ (a － 3 )x ＞ 2的解集为 x ＜,∴不等式两边同时除以 (a － 3 ) 时，不等号的方向改变，∴ a － 3＜0，∴ a ＜ 3 . 故答案选 B.【点睛】本题主要考查了不等式的性质，要逆向思维，从不等式的变号推出 (a － 3 ) ＜ 0是本题的解题关键 .28、 B【分析】根据不等式解集和解的概念求解可得【详解】解： A ． x ＝﹣ 3 不是不等式 x ＞﹣ 2 的一个解，此选项错误；B ． x ＝﹣ 1 是不等式 x ＞﹣ 2 的一个解，此选项正确；C ．不等式 x ＞﹣ 2 的解有无数个，此选项错误；D ．不等式 x ＞﹣ 2 的解有无数个，此选项错误；故选： B ．【点睛】本题主要考查不等式的解集，不等式的解是一些具体的值，有无数个，用符号表示；不等式的解集是一个范围，用不等号表示，不等式的每一个解都在它的解集的范围内 .29、 D【解析】由题意可知，根据不等式的性质，看各不等式是加（减）什么数或乘（除）以哪个数得到的，用不用变号即可求解 .【详解】A.a＞b，－3a＜－3b ，故 A 错误；B.a＞b，＜，故 B 错误；C.a＞b，3－a＜3－b ，故 C 错误；D. a＞b，a－3＞b－3 ，故 D 正确；故答案为： D.【点睛】本题考查了不等式的性质，熟练掌握该知识点是本题解题的关键 .30、 A【解析】先解出不等式的解集，判断各个选项是否在解集内就可以进行判断．【详解】解不等式 2x＞3 的解集是 x＞，A. x＝3 是不等式 2x＞3 的一个解正确；B. x＝3 不是不等式 2x＞3 的全部解，因此不是不等式的解集，故错误；C. 错误；不等式的解有无数个；D. 错误 .故答案为 A.【点睛】本题考查了不等式的解集，熟练掌握该知识点是本题解题的关键 .31、 D【解析】A 选项中，数轴上表达的解集是：，所以不能选 A；B 选项中，数轴上表达的解集是：，所以不能选 B；C 选项中，数轴上表达的解集是：，所以不能选 C；D 选项中，数轴上表达的解集是：，所以可以选 D.故选 D.32、 C根据不等式的性质即可求出答案．【详解】解：A 、∵ a ＞b ，∴−2021 a ＜−2021 b ，故A 错误；B 、∵ a ＞b ，∴2021 a ＞ 2021 b ，故B 错误；C 、∵ a ＞b ，∴ a ﹣ 2021 ＞b ﹣ 2021 ，故C 正确；D 、∵ a ＞b ，∴2021 ﹣a ＜ 2021 ﹣b ，故D 错误；故选： D ．【点睛】本题考查不等式，解题的关键是熟练运用不等式的性质，本题属于基础题型．33、 A【解析】根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边可得： 1<x<3 ，然后在数轴上表示出来即可．【详解】∵ 三角形的三边长分别是 1，2，x，∴x 的取值范围是 1<x<3.故选 A.【点睛】本题考查三角形三边关系，在数轴上表示不等式的解集 , 解题的关键是熟练掌握三角形三边关系34、 B根据不等式的性质即可判断 .【详解】若 3a ＞ 6 ，则 a ＞ 2 ，故正确；若－x ＞ 1 ，则 x ＜－，故错误；若－ x ＜ 5 ，则 x ＞－ 5 ，故正确；若x ＜ 1 ，则 x ＜ 3 ，故正确，故选 B.【点睛】此题主要考查不等式的性质，解题的关键是熟知不等式的性质 .35、 C【解析】对于 A 、 B 选项，可分别写出满足题意的不等式的解，从而判断 A 、 B 的正误；对于 C 、 D ，首先分别求出不等式的解集，再与给出的解集或解进行比较，从而判断 C 、D 的正误 .【详解】A. 由 x ＜ 5 ，可知该不等式的整数解有 4 ， 3 ， 2 ， 1 ， -1 ， -2 ， -3 ， -4 等，有无数个，所以 A 选项正确，不符合题意；B. 不等式 x>−5 的负整数解集有−4 ，−3 ，−2 ，−1. 故正确 , 不符合题意；C. 不等式−2x<8 的解集是 x>−4, 故错误 .D. 不等式 2x<−8 的解集是 x<−4 包括−40 ，故正确 , 不符合题意；故选 :C.【点睛】本题是一道关于不等式的题目，需结合不等式的解集的知识求解；【解析】分析：根据实数的特点，可确定 a、|b|、a 2 、 b 2 均为非负数，然后根据不等式的基本性质或特例解答即可 .详解： A、若a＞|b|，则a 2 ＞ b 2 ，正确；B、若a＞b，当a=1，b=﹣2时，则＞，错误；C、若a＞b，当c 2 =0时，则ac 2 =bc 2 ，错误；D、若a＞b，c＞d，如果a=1，b=﹣1，c=﹣2，d=﹣4，则a﹣c=b﹣d，错误；故选 A．点睛：此题主要考查了不等式的性质，利用数的特点，结合不等式的性质进行判断即可，关键是注意不等式性质应用时乘以或除以的是否为负数或 0.37、 D【分析】根据不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，可得答案．【详解】解： A 、已知如果 c>0, 则，如果 c=0, 则，如果 c ＜ 0, 则，故 A 错误；B 、已知，不等式的两边都乘以 -2 ，不等号的方向改变，故 B 错误；C 、已知，不等式的两边都乘以 -1 ，不等号的方向改变，故 C 错误；D 、已知，不等式的两边都减去 2 ，不等号的方向不改变，故 D 正确；故选 D ．【点睛】本题考查了不等式的基本性质，能在变换得时，把握不等式符号方向的变换，是解答此题的关键．【分析】根据不等式的性质逐项分析 .【详解】A 在不等式的两边同时减去 1 ，不等号的方向不变，故 A 错误；B 在不等式的两边同时乘以 3 ，不等号的方向不变，故 B 错误；C 在不等式的两边同时乘以 -1 ，不等号的方向改变，故 C 正确；D 在不等式的两边同时乘以，不等号的方向不变，故 D 错误 .【点睛】本题主要考查不等式的性质，（ 1 ）在不等式的两边同时加上或减去同一个数，不等号的方向不变；（ 2 ）在不等式的两边同时乘以或除以（不为零的数）同一个正数，不等号的方向不变；（ 3 ）在不等式的两边同时乘以或除以（不为零的数）同一个负数，不等号的方向改变 .39、 C40、 D【解析】根据不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，可得答案．【详解】A. 两边都加 (n+p) ，不等号的方向不变，故 A 错误；B. 两边都加 (n−p) ，不等号的方向不变，故 B 错误；C. 两边都加 (n−p) ，都乘以−1 ，不等号的方向改变，故 C 错误；D. 两边都加 (n−p) ，都乘以−1 ，不等号的方向改变，故 D 正确；故选： D.【点睛】考查不等式的基本性质，熟练掌握不等式的 3 个基本性质是解题的关键 .。

不等式与不等式方程练习题(含答案)本文档包含了一系列关于不等式和不等式方程的练题和答案，旨在帮助读者巩固对这些概念的理解和应用。

不等式练题1. 求解不等式：$2x + 5 > 10$。

答案：$x > 2.5$2. 将不等式$3x - 4 < 7$化为标准不等式形式。

答案：$3x < 11$3. 求解不等式组：$\begin{cases} x - 2 > 5 \\ 2x + 3 < 10\end{cases}$。

答案：$x > 7$，$x < 3.5$4. 求解绝对值不等式：$|2x - 3| \leq 7$。

答案：$-2 \leq x \leq 5$5. 求解复合不等式：$-3 < 2x + 1 < 5$。

答案：$-2 < x < 2$不等式方程练题1. 求解不等式方程：$5x - 7 = 3x + 5$。

答案：$x = 6$2. 求解二次不等式方程：$x^2 + 5x - 6 < 0$。

答案：$-6 < x < 1$3. 求解分式不等式方程：$\frac{2x + 1}{x - 3} \geq 2$。

答案：$x \geq 4$4. 求解绝对值不等式方程：$|2x - 5| = 10$。

答案：$x = -2.5$，$x = 7.5$5. 求解复合不等式方程组：$\begin{cases} 3x - 2 \geq 4 \\ 2x + 5 \leq 9 \end{cases}$。

答案：$x \geq 2$，$x \leq 2$以上是一些关于不等式和不等式方程的练习题和答案。

阅读者可以利用这些题目来巩固学习并提高解题能力。

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专题集训·作业(九)一、选择题1．平行六面体的各棱长均为4，在其顶点P 所在的三条棱上分别取P A ＝1，PB ＝2，PC ＝3，则棱锥P －ABC 的体积是平行六面体的体积的( )A.164 B.364 C.132 D.332答案 A解析 由已知可将平行六面体模型化为正方体，则有V 正方体＝64，V P －ABC ＝13×12×1×2×3＝1，故选A.2．(2014·合肥一中模拟)e ，π分别是自然对数的底数和圆周率，则下列不等式不成立的是( )A ．log πe ＋(log e π)2>2B ．log πe ＋log e π>1C ．e e －e>e π－πD ．(e ＋π)3<4(e 3＋π3)答案 C解析 设f (x )＝e x －x (x >0)，则f ′(x )＝e x －1，当x >0时，f ′(x )>0，即f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以f (π)>f (e)，即e π－π>e e －e.3．(2014·鄂西示范性学校联考)命题“∀x ∈R ，x 2－3x ＋2≥0”的否定是( )A ．∃x 0∈R ，x 20－3x 0＋2<0B ．∃x 0∈R ，x 20－3x 0＋2>0C ．∃x 0∈R ，x 20－3x 0＋2≤0D ．∃x 0∈R ，x 20－3x 0＋2≥0 答案 A解析 求全称命题的否定时，需要先把全称量词改写为存在量词，再对结论进行否定，所以原命题的否定为“∃x 0∈R ，x 20－3x 0＋2<0”．4．(2014·襄阳五校联考)已知双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，离心率为2，F 1，F 2分别是它的左、右焦点，A 是它的右顶点，过F 1作一条斜率为k (k ≠0)的直线与双曲线交于两个点M ，N ，则∠MAN ＝( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°答案 D解析 由离心率为2，可得c ＝2a ，b 2＝3a 2，则双曲线方程为3x 2－y 2＝3a 2.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，因直线MN 的斜率不为零，则可设其方程为x ＝my －2a ，与双曲线方程联立得(3m 2－1)y 2－12amy ＋9a 2＝0，从而有3m 2－1≠0，y 1＋y 2＝12am 3m 2－1，且y 1y 2＝9a 23m 2－1.则AM →·AN→＝(x 1－a )(x 2－a )＋y 1y 2＝(my 1－3a )(my 2－3a )＋y 1y 2＝(m 2＋1)y 1y 2－3am (y 1＋y 2)＋9a 2＝9a 2(m 2＋1)3m －1－36a 2m23m －1＋9a 2＝0，故选D. 5．某几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图均是腰长为1的等腰直角三角形，则该几何体的外接球体积为( )A.32π B.3π C ．23π D ．33π答案 A解析 由正视图和侧视图均是腰长为1的等腰直角三角形，可得该几体体是一个四棱锥(如图所示)，底面BCDE 是边长为1的正方形，侧棱AE ⊥底面BCDE ，所以根据球与四棱锥的对称性知，外接球的直径是AC .根据勾股定理知AC＝1＋1＋1＝3，所以外接球半径为32，于是该几何体的外接球体积V ＝43π×(32)3＝32π.故选A.6．已知对于任意的a ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于0，则x 的取值范围是( )A ．1<x <3B ．x <1或x >3C ．1<x <2D ．x <2或x >2答案 B解析 将f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 看作是a 的一次函数，记为g (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4.当a ∈[－1,1]时恒有g (a )>0，只需满足条件⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)>0，g (－1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＋2>0，x 2－5x ＋6>0，解之得x <1或x >3. 7．已知在正三棱锥S －ABC 中，E 是侧棱SC 的中点，且SA ⊥BE ，则SB 与底面ABC 所成角的余弦值为( )A.12B.23C.23D.63答案 D解析 如图所示，在正三棱锥S －ABC 中，作SO ⊥平面ABC ，连接AO ，则O 是△ABC 的中心，所以SO ⊥BC ，AO ⊥BC .由此可得BC ⊥平面SAO ，所以SA ⊥BC .又SA ⊥BE ，所以SA ⊥平面SBC ，故正三棱锥S －ABC 的各侧面全等且均是等腰直角三角形．连接OB ，则∠SBO 为SB 与底面ABC 所成的角．设SA ＝a ，则AB ＝2a ，BO ＝63a ，所以cos ∠SBO ＝63.8．定义在R 上的可导函数f (x )，当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＋f ′(x )<xf ′(x )恒成立，若a ＝f (2)，b ＝12f (3)，c ＝(2＋1)f (2)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c <a <bB ．b <c <aC ．a <c <bD ．c <b <a答案 A解析 设g (x )＝f (x )x －1，则g ′(x )＝f ′(x )(x －1)－f (x )(x －1)2.由于f (x )＋f ′(x )<xf ′(x )，即f ′(x )(x －1)－f (x )>0，因此g (x )＝f (x )x －1在(1，＋∞)上为增函数，故c <a <b .9．过正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点A 作直线l ，使l 与直线AB ，AD ，AA 1所成的角都相等，这样的直线l 可以作( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条答案 D解析 本题考查了空间直线与直线所成角问题，考查空间想象能力．显然正方体的对角线AC 1与棱AB ，AD ，AA 1所成的角都相等，将该正方体以A 为坐标原点，AB ，AD ，AA 1分别为坐标轴建立空间直角坐标系，则可以得到8个象限，其中在平面ABCD 上方的四个象限内的每一个象限内均有一条与AC 1相似的对角线与此三条棱成等角，即这样的直线l 有4条，故应选D.10．(2014·芜湖三校一模)已知f (x )是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的a ，b ∈R ，满足f (ab )＝af (b )＋bf (a )，f (2)＝2.若b n ＝f (2n )2n (n ∈N *)，则数列{b n }的通项公式为( )A ．nB ．n －1C ．2nD ．2n －1答案 A解析 ∵f (ab )＝af (b )＋bf (a )，f (2)＝2，∴f (2n ＋1)＝2f (2n )＋2n f (2)＝2f (2n )＋2n ＋1.∵b n ＝f (2n )2n (n ∈N *)，又f (2n ＋1)2n ＋1＝f (2n)2n ＋1，即b n ＋1－b n ＝1，∴{b n }成等差数列，且b 1＝f (2)2＝1，∴b n ＝b 1＋(n －1)×1＝1＋n －1＝n ，n ∈N *.11．(2014·孝感市质检)若函数f (x )＝x －1＋1e x (a ∈R ，e 为自然对数的底数)的图像与直线l ：y ＝kx －1没有公共点，则实数k 的最大值为( )A ．0B ．1C ．－1 D.1e答案 B解析 令g (x )＝f (x )－(kx －1)＝(1－k )x ＋1e x ，则直线l ：y ＝kx －1与曲线y ＝f (x )没有公共点，等价于方程g (x )＝0在R 上没有实数解．假设k >1，此时g (0)＝1>0.g (1k －1)＝－1＋1e 1k －1<0.又函数g (x )的图像是连续的，由零点存在性定理，可知g (x )＝0在R 上至少有一个解，与方程g (x )＝0在R 上没有实数解矛盾，故k ≤1.又k ＝1时，g (x )＝1e x >0，易知方程g (x )＝0在R 上没有实数解．所以实数k 的最大值为1.12．(2014·武汉部分学校调研)椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为A 1，A 2，若点P 在C 上且直线P A 2斜率的取值范围是[－2，－1]，则直线P A 1斜率的取值范围是( )A ．[12，34] B ．[38，34] C ．[12，1] D ．[34，1]答案 B解析 椭圆的左顶点为A 1(－2,0)，右顶点为A 2(2,0)，设点P (x 0，y 0)，则x 204＋y 203＝1，得y 20x 20－4＝－34.而kP A 2＝y 0x 0－2，kP A 1＝y 0x 0＋2，所以kP A 2·kP A 1＝y 20x 20－4＝－34.又kP A 2∈[－2，－1]，所以kP A 1∈[38，34]．二、填空题13．已知函数f (x )＝3x ＋sin x ＋1，若f (t )＝2，则f (－t )＝________. 答案 0解析 由于g (x )＝3x ＋sin x 为奇函数，且f (t )＝3t ＋sin t ＋1＝2，所以3t ＋sin t ＝1，则f (－t )＝g (－t )＋1＝－1＋1＝0.14．(2014·皖西四校联考)若正数x ，y 满足2x ＋3y －3＝0，则x ＋2yxy 的最小值为________．答案 7＋433解析 由2x ＋3y －3＝0，得1＝2x ＋3y 3.于是x ＋2y xy ＝1y ＋2x ＝(1y ＋2x )·2x ＋3y 3＝13(7＋2x y ＋6y x )≥13×(7＋43)＝7＋433，当且仅当⎩⎨⎧2x y ＝6y x，2x ＋3y －3＝0，即x ＝6－33，y ＝23－3时，等号成立．故最小值为7＋433.15．已知函数g (x )是R 上的奇函数，且当x <0时，g (x )＝－ln(1－x )，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，g (x )，x >0，若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是________．答案 (－2,1)解析 方法一 由题意可知，当x ≥0时，g (x )＝－g (－x )＝－[－ln(1＋x )]＝ln(1＋x )，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，ln (1＋x )，x >0.当x ≤－2时，由f (2－x 2)>f (x )，得(2－x 2)3>x 3，因为f (x )＝x 3在R 上为增函数，所以有2－x 2>x ，解得－2<x <1，即－2<x ≤－ 2.当－2<x ≤0时，由f (2－x 2)>f (x )，得ln(1＋2－x 2)>x 3，即－2<x ≤0.当0<x <2时，由f (2－x 2)>f (x )，得ln(1＋2－x 2)>ln(1＋x )，所以有2－x 2>x ，解得－2<x <1，即0<x <1.当x ≥2时，由f (2－x 2)>f (x )，得(2－x 2)3>ln(1＋x )，无解．综上得－2<x <1.方法二 同上得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，ln (1＋x )，x >0.易知f (x )在R 上是增函数，由f (2－x 2)>f (x )，得2－x 2>x ，即x 2＋x －2<0，∴－2<x <1.16．已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为双曲线左支上一点，若|PF 2|2|PF 1|的最小值为8a ，则该双曲线的离心率e 的取值范围是________．答案 (1,3]解析 ∵P 为双曲线左支上一点，∴|PF 2|－|PF 1|＝2a .∴|PF 2|＝|PF 1|＋2a .∴|PF 2|2|PF 1|＝(|PF 1|＋2a )2|PF 1|＝|PF 1|＋4a 2|PF 1|＋4a ≥8a ，当且仅当4a 2|PF 1|＝|PF 1|，即|PF 1|＝2a 时取等号，故|PF 2|＝4a .当点P 在x 轴上时，|PF 1|＋|PF 2|＝|F 1F 2|，即2a ＋4a ＝2c ，此时e ＝3；当点P 不在x 轴上时，在△PF 1F 2中，|PF 1|＋|PF 2|>|F 1F 2|，即2a ＋4a >2c ，此时e <3，∴e ≤3.又e >1，于是1<e ≤3.。

一、解三角形一、知识点 1、正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C=== （边角灵活转化） 2、余弦定理：2222cos a b c bc A =+-;2222cos b c a ca B =+-;2222cos c a b ab C =+-.（灵活变形） 3、大边对大角，小边对小角（灵活取舍单解、多解）4、内角和：在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=⇔=-+222C A B π+⇔=-222()C A B π⇔=-+. 5、三角形五心内心：内切圆圆心，3内角平分线交点，内心到3边距离相等； 外心：外接圆圆心，3垂直平分线交点，外心到3顶点距离相等； 重心：3中线交点，每条中线被分成2:1，△ABC 的重心的坐标是123123(,)33x x x y y y G ++++； 垂心：3高交点，垂心及顶点四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心；旁心：1内角平分线与其他2角的外角平分线交点。

每个三角形都有3个旁心，旁心到三边等距。

【不做要求】 二、题型：（1）求未知边角：梳理已知条件，选择用什么定理；（2）判断三角形形状【思路一：等式化成角（正弦定理+内角和+诱导公式）；思路二：等式化成边（两定理联合）】 （3）求三角形面积：111222a b c S ah bh ch ===；111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===；S 二、数列一、知识点： (一)、求通项公式n a 1、已知n s 求n a ：⎩⎨⎧∈≥-==-),2()1(*11N n n S S n S a n n n 注意验证n=1。

2、已知递推公式求n a （已知首项1a ）（1）c a a n n +=+1型【构造等差数列】 （2）c ka a n n +=+1型【构造等比数列*1-k c】 （3）)(1n f a a n n +=+型【累加法】 （4）)(1n f a a n n =+型【累乘法】 (二)、n a 、n S 的最大最小问题： [不等式法]n a 最大⎩⎨⎧≥≥⇔+-11n n n n a a a a ；n a 最小⎩⎨⎧≤≤⇔+-11n n n n a a a a ；n S 最大⎩⎨⎧≤≥⇔+001n n a a ；n S 最小⎩⎨⎧≥≤⇔+01n n a a ；[函数法]：数列是特殊的函数（特别注意定义域：*N n ∈）(三)、等差等比数列必备知识点：(四)、重点题型混合型【等差等比混合--分清主次】(五)数列求和【弄清共有多少项？整理完剩余什么项？】 1、公式法【借助常用结论、公式、构造等差等比】2)1(321+=++++n n n ；6)12)(1(3212222++=++++n n n n ；4)1(2)1(3212223333+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=++++n n n n n 2、错位相减法【每项为等差等比项之积/2式同乘公比，再1式减2式】 3、裂项相消法【通项可拆成两项差】111)1(1+-=+n n n n ； ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+k n n k t k n n t 11)(； n n n n -+=++111三、不等式㈠ 一元二次不等式1、解法：二次项系数化正→∆>0，解对应方程两根，大时取两边小时取中间；0≤∆时结合对应函数图像写出解集；2、注意事项：(1)解集是集合，要用描述法或区间表示。

综合算式专项练习题三角函数与不等式组在数学中，三角函数与不等式组是高中阶段的重要知识点，它们广泛应用于几何、代数和数学分析等领域。

通过综合算式专项练习题，我们能够更好地理解和掌握三角函数与不等式组的概念和解题方法。

本文将为大家带来一些综合算式专项练习题，帮助读者加深对此类题型的理解。

练习题一：求解三角函数的值1. 若角A的终边经过点（3，4），则sinA、cosA、tanA的值分别为多少？解析：根据勾股定理可知，当一个角A的终边经过点（3，4）时，其对应的直角三角形的斜边为5（3²+4²=5²）。

因此，sinA=4/5，cosA=3/5，tanA=4/3。

练习题二：解三角方程2. 解方程sinx+cosx=1的解集。

解析：将方程sinx+cosx=1转化为tan(x/2)的方程，有tan(x/2+π/4)=1。

根据解三角方程的一般步骤，解得x=2nπ+π/2和x=2nπ+7π/4，其中n为整数。

练习题三：求解不等式组3. 求解不等式组{sinx>0, cosx≤0}的解集。

解析：首先求解sinx>0的解集，得到x∈(2kπ, (2k+1)π)，其中k为整数。

其次求解cosx≤0的解集，得到x∈[(2k+1)π/2, 2kπ+(3π/2)]，其中k 为整数。

最后求解不等式组的解集，即求解两个不等式的交集，得到x∈(2kπ, (2k+1)π/2]，其中k为整数。

练习题四：变量替换求解4. 求解不等式组{sin^2x+2cos^2x≤1, sinx≥0}的解集。

解析：首先，将sin^2x+2cos^2x≤1转化为2cos^2x≤1-sin^2x，再将其化简为cos^2x+sin^2x≥1/2。

由于cos^2x+sin^2x=1，所以不等式组化简为1≥1/2，因此该不等式组的解集为全体实数。

练习题五：综合运用三角函数与不等式组5. 求解不等式组{tanx<1, cosx>0}的解集。

同步练习1.在△ABC 中，内角A 、B 的对边分别是a 、b ，若，则△ABC 为（ ） A ． 等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形2.已知ABC ∆中，三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若ABC ∆的面积为S ，且()222S a b c =+-，则tan C 等于 （ ）A.34 B. 43 C. 34- D. 43- 3.在ABC ∆中,80,100,45a b A ︒===,则此三角形解的情况是 （ ） A.一解 B.两解 C.一解或两解 D.无解4.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若sin sin sin a A b B c C +<，则ABC ∆的形状是（ ）A.锐角三角B.直角三角形C.钝角三角形D.正三角形5.两灯塔A 、B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在C 北偏东300，B 在C 南偏东600，则A 、B 之间相距：A 、a kmB 、3a kmC 、2a kmD 、2a km6.如图，甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则乙楼的高是 （ ）A ．3340 B ．320 C ．40 D ．210 7.已知,a b ∈R ，且b a >,则 A ．22b a > B ．1ab > C ．lg()0a b -> D ．11()()22a b < 8.设d c b a R d c b a >>∈,.,,,且，下列结论中正确的是 （ ）A ．d b c a +>+B ．d b c a ->-C ．bd ac >D ．cbd a > 9.已知a ＞b ，则下列不等式成立的是 ( )A ．a2－b2≥0B ．ac ＞bcC ．ac2＞b c2D ．2a ＞2b10.如果0,0a b <>，那么下列不等式中正确的是（ ）A ．11a b< B <．22a b < D ．a b > 11.已知函数⎩⎨⎧≤->-=)0(1)0(log )(22x x x x x f ，则不等式0)(>x f 的解集为（ ） A.}10|{<<x x B }01|{≤<-x x C. }1|{->x x D. }11|{<<-x x 12.不等式22x x ≥的解集是（ ）A.{}2x x ≥ {}.2B x x ≤ {}.02C x x ≤≤ {}.02D x x x ≤≥或 13.已知集合{|(1)(2)0}A x x x =+-≤，集合B 为整数集，则AB =（ ）A 、{1,0}-B 、{0,1}C 、{2,1,0,1}--D 、{1,0,1,2}-14.若关于x 的不等式4104822<<>---x a x x 在内有解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．4-<a B ．4->a C ．12->a D ．12-<a 15.已知集合{230}A x x =∈-≥R ，集合2{320}B x x x =∈-+<R ，则A B =( )（A ）32x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭ （B ）322x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭（C ）{}12x x << （D ）322x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭16.已知集合{}|ln(1)0A x x =-<，集合{}2|20B x x =-<，则AB =（ ）A.(B.(-C.D.（本小题满分12分）在∆ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知cos A ＝23，sin B C ． (Ⅰ)求tan C 的值；(Ⅱ)若a ∆ABC 的面积．20.（本题满分12分）已知ΔABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量()b a m ,=→,()()2,2,sin ,sin --==→→a b p A B n ,(1) 若→m //→n ，求证：ΔABC 为等腰三角形；(2)若→m ⊥→p ，边长c = 2，角ΔABC 的面积 . 21.锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()2cos 2sin .2C B A -= （Ⅰ）求sin sin A B 的值；（Ⅱ）若3,2a b ==，求ABC ∆的面积.22.（本题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足cos2A =，3AB AC ⋅=．（I ）求ABC ∆的面积； （II ）若1c =，求a 的值．试卷答案1.C2.D 略3.B4.C5.C 略6.A7.【知识点】不等式的概念与性质E1【答案解析】D 由0>a>b 排除A 和B,当0<a-b<1时排除C ，故选D. 【思路点拨】利用排除法找出反例求结果。

三角形边角不等式关系练习题一、边的不等关系证明1、如图1，在△ABC 的边AB 上截取AD=AC ，连结CD ， （1）说明2AD ＞CD 的理由（填空）；解：∵AD+AC ＞CD （ ） 又∵AD=AC （ ） ∴AD+AD＞CD（ ） ∴2AD ＞CD（2）说明BD ＜BC 的理由。

解：∵_______＜BC （ ）又∵AD=AC （ ）∴AB –AD ＜BC （ ） 而AB –AD=BD∴BD ＜BC （ ）2、如图2，△ABC 中，AB=BC ，D 是AB 延长线上的点，说明AD ＞DC 的理由。

2、如图3，已知P 是△ABC 内任意一点，则有AB+AC ＞PB+PC.3. 如图所示，在△ABC 中，D 是BA 上一点，则AB+2CD>AC+BC 成立吗？•说明你的理由．4.如图，已知△ABC 中，AB ＝AC ，D 在AC 的延长线上．求证：BD －BC ＜AD －AB ．AB CDAB C D图3 图2图15．如图，△ABC 中，D 是AB 上一点．求证：（1）AB ＋BC ＋CA ＞2CD ；（2）AB ＋2CD ＞AC ＋BC ．6.在右图中，已知AD 是△ABC 的BC 边上的高，AE 是BC 边上的中线，求证：AB+AE+12BC>AD+AC 证明：∵AD ⊥BC( )∴AB ＞AD( ) 在△AEC 中，AE+EC>AC( )又∵AE 为中线( )∴EC=12BC( )即AE+12BC>AC( ) ∴AB+AE+12BC ＞AD+AC7.已知如图：D 、E 为△ABC 内两点,求证:AB ＋AC ＞BD ＋DE ＋CE. 参考答案2.解：延长BP 交AC 于E ，在△PEC 中，PE+EC ＞PC∴BP+EP+EC ＞BP+PC 即BE+EC ＞BP+PC.在△ABE 中，AE+AB ＞BE ∴AE+EC+AB ＞BE+EC ， 即AC+AB ＞BE+EC ，∴AB+AC ＞PB+PC4.AD －AB ＝AC ＋CD －AB ＝CD ，∵ BD －BC ＜CD ，∴ BD －BC ＜AD －AB ．5.（1）AC ＋AD ＞CD ，BC ＋BD ＞CD ，两式相加：AB ＋BC ＋CA ＞2CD ．ACEP B（2）AD＋CD＞AC，BD＋CD＞BC，两式相加：AB＋2CD＞AC＋BC．7.（法一）将DE两边延长分别交AB、AC 于M、N，在△AMN中，AM＋AN ＞MD＋DE＋NE;（1）在△BDM中，MB＋MD＞BD；（2）在△CEN中，CN＋NE＞CE；（3）由（1）＋（2）＋（3）得：AM＋AN＋MB＋MD＋CN＋NE＞MD＋DE＋NE＋BD＋CE∴AB＋AC＞BD＋DE＋EC。

1.4绝对值三角不等式 ☆教学目标： 1. 理解绝对值的定义，理解不等式基本性质的推导过程；2. 掌握定理1的两种证明思路及其几何意义；3.4. ☆教学重点： ☆教学难点： ☆教学过程：一、引入：理解绝对值三角不等式打会用绝对值不等式解决一些简单冋题。

定理1的证明及几何意义。

换兀思想的渗透。

证明一个含有绝对值的不等式成立，除了要应用一般不等式的基本性质之 外，经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质：（1） a+b 纠 a+b（ 2） a_b 兰 a + b （3）|a b =a b（4）罰書甘0） 请同学们思考一下，是否可以用绝对值的几何意义说明上述性质存在的道理？实际上，性质a ・b = ab 和鸟= £（b ^0）可以从正负数和零的乘法、除法 |b| b 法则直接推出；而绝对值的差的性质可以利用和的性质导出。

因此，只要能够证 明a + b 3|a +b 对于任意实数都成立即可。

我们将在下面的例题中研究它的证 明。

现在请同学们讨论一个问题：设a 为实数，a 和a 哪个大?显然a -a ，当且仅当a — 0时等号成立（即在a — 0时，等号成立。

在a ：：： 0时，等号不成立）。

同样，a 】：：-a.当且仅当a_0时，等号成立。

含有绝对值的不等式的证明中，常常利用 a 一 £、a 一 -a 及绝对值的和的 性质。

二、典型例题：例 1、证明（1）a +|b K a +b ，证明(1)如果 a + b K0,那么 a + b = a + b.所以 a +|b ^a + b= |a + b.女口 果 a + bc0, 那 么 a + b = —(a + b). 所 以a 十b 启一a + (—b) = -(a + b) = a 十 b（2）根据（1）的结果，有 a+b+| —bAa+b —b ,就是，a + b + b 斗a所以，a +b z a — b 。

例2、证明 a - b 勻a —b 勻a + b 。

高考数学解三角形中的不等问题基础知识与练习题（含答案解析）一、基础知识： 1、正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===，其中R 为ABC 外接圆的半径 正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化。

其原则为关于边，或是角的正弦值是否具备齐次的特征。

如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行 例如：（1）222222sin sin sin sin sin A B A B C a b ab c +−=⇔+−= （2）cos cos sin cos sin cos sin b C c B a B C C B A +=⇒+=（恒等式） （3）22sin sin sin bc B Ca A= 2、余弦定理：2222cos a b c bc A =+−变式：()()2221cos a b c bc A =+−+ 此公式在已知,a A 的情况下，配合均值不等式可得到b c +和bc 的最值3、三角形面积公式：（1）12S a h =⋅ （a 为三角形的底，h 为对应的高） （2）111sin sin sin 222S ab C bc A ac B ===（3）211sin 2sin 2sin sin 2sin sin sin 22S ab C R A R B C R A B C ==⋅⋅=（其中R 为外接圆半径）4、三角形内角和：A B C π++=，从而可得到：（1）正余弦关系式：()()sin sin sin A B C B C π=−+=+⎡⎤⎣⎦ ()()cos cos cos A B C B C π=−+=−+⎡⎤⎣⎦ （2）在已知一角的情况下，可用另一个角表示第三个角，达到消元的目的 5、两角和差的正余弦公式：()sin sin cos sin cos A B A B B A ±=± ()cos cos cos sin sin A B A B A B ±=6、辅助角公式：()sin cos a A b B A ϕ+=+，其中tan b aϕ=7、三角形中的不等关系（1）任意两边之和大于第三边：在判定是否构成三角形时，只需验证较小的两边之和是否比第三边大即可。

第四讲 三角不等式含有未知数的三角函数的不等式叫做三角不等式．三角不等式首先是不等式，因此，处理不等式的常用方法如配方法、比较法、放缩法、基本不等式法、反证法、数学归纳法等也是解决三角不等式的常用方法．其次，三角不等式又有自己的特点——含有三角式，因而三角函数的单调性、有界性以及图像特征、三角公式及三角恒等变形的方法等都是处理三角不等式的常用工具．A 类例题例1 已知α、β为锐角，且()02x παβ+->，求证对一切0x ≠，有(cos )(sin )x x αβ<分析 要证的不等式两边均为指数式，且指数相同，可考虑利用函数()f x x α=的单调性，因此首先应比较cos α与sin β的大小，而函数()f x x α=的单调性与α的符号有关，可分情况讨论．证明 （1）若x >0，则2παβ+>，则022ππβα>>->，由正弦函数的单调性，得0sin()sin 12παβ<-<<，即0cos sin 1αβ<<<，又x >0，故有(cos )(sin )x x αβ<．（2）若x <0，则2παβ+<，则022ππβα<<-<，由正弦函数的单调性，得0s i n s i n ()12πβα<<-<，即0s i n c o s 1βα<<<，又x <0，故有(cos )(sin )x x αβ<．说明 比较不同角的正弦与余弦的大小，可先化同名，再利用正余弦函数的单调性比较，而一组2πα±的诱导公式是实现正、余弦转化的有力工具．例2 已知0απ<<，试比较2sin2α和cot 2α的大小．分析 两个式子分别含有2α与2α的三角函数，故可考虑都化为α的三角函数，注意到两式均为正，可考虑作商来比较．解法一2sin 21cos 4sin cos tan4sin cos 2sin cot2ααααααααα-== =2214cos 4cos 4(cos )12ααα-=--+，∵0απ<<，所以当1cos 2α=，即3πα=时，上式有最大值1，当0απ<<且3πα≠时，上式总小于1．因此，当3πα=时，2sin2α=cot2α；当0απ<<且3πα≠时，2sin2α<cot2α．解法二 设tan2t α=，由0απ<<得022απ<<，故tan 02t α=>，则1cot 2tα=，2224(1)22sin 24sin cos (1)t t t ααα-⋅==+，于是有 cot 2α-2sin2α=2422222222214(1)2961(31)0(1)(1)(1)t t t t t t t t t t t -⋅-+--==≥+++ 因此，当3πα=时，2sin2α=cot 2α；当0απ<<且3πα≠时，2sin2α<cot2α．例3 已知[0,]x π∈，求证：cos(sin x )>sin(cos x )分析一 从比较两数大小的角度来看，可考虑找一个中间量，比cos(sin x )小，同时比sin(cos x )大，即可证明原不等式．证法一 （1）当0,,2x ππ=时，显然cos(sin x )>sin(cos x )成立．（2）当2x ππ<<时，0s i n 12x π<<<，cos 02x π-<<，则cos(sin x )>0>sin(cos x )． （3）当02x π<<时，有0<sin x <x <2π，而函数y =cos x 在(0,)2π上为减函数，从而有cos(sin x )>cos x ；而0c o s 2x π<<，则sin(cos x )<cos x ，因此cos(sin x ) >cos x >sin(cos x )，从而cos(sin x )>sin(cos x )．分析二 cos(sin x )可看作一个角sin x 的余弦，而sin(cos x )可看作一个角cos x 的正弦，因此可考虑先用诱导公式化为同名三角函数，再利用三角函数的单调性来证明．证法二 当02x π<<时，有0<sin x <1，0<cos x <1，且sin x +cos x )4x π+2π≤，即0<sin x <2π-cos x <2π，而函数y =cos x在(0,)2π上为减函数，所以cos(sin x )>cos(2π-cos x )=sin(cos x )，即cos(sin x )>sin(cos x )．x 在其他区域时，证明同证法1．说明 （1）本题的证明运用到结论：(0,)2x π∈时，sin tan x x x <<，这是实现角与三角函数值不等关系转化的重要工具，该结论可利用三角函数线知识来证明．（2）证法一通过中间量cos x 来比较，证法二利用有界性得sin x +cos x 2π<，再利用单调性证明，这是比较大小常用的两种方法；（3）本题结论可推广至x R ∈.情景再现1．在锐角△ABC 中，求证： sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++>++.2．已知,(0,)2x y π∈，tan 3tan x y =，求证：6x y π-≤.3．当[0,]2x π∈时，求证：coscos sinsin x x >.B 类例题例4 在ABC ∆中，证明： sin sin sin A B C ++≤分析一 本题中有三个变量A 、B 、C ，且满足A +B +C =180°，先固定其中一个如角C ，由于A +B =180°- C ,故对不等式的左边进行和差化积，将其转化为与A －B 有关的三角函数进行研究．证法一 我们先假定C 是常量，于是A +B =π-C 也是常量.sin sin sin 2sincos sin 22A B A B A B C C +-++=+2cos cos sin 22c A BC -=+，显然，对于同一个C 值，当A =B 时，上式达到最大值．同样，对同一个A 或B ，有类似结论；因此,只要A 、B 、C 中任意两个不等，表达式sin sin sin A B C ++就没有达到最大值，因而，当A =B =C =3π时，sin sin sin A B C ++，∴原不等式得证． 说明 不等式中含有多个变量时，我们往往固定其中部分变量，求其他变量变化时，相应表达式的最值，这种方法称为逐步调整法．分析二 即证sin sin sin 3A B C ++观察左边的形式，从而考虑用琴生不等式进行证明．证法二 函数sin y x =是区间（0，π）上的上凸函数，从而对任意的三个自变量123,,(0,)x x x π∈，总有123123sin sin sin sin()33x x x x x x ++++≥，等号当123x x x ==时成立．因此有sin sin sin sin()33A B C A B C++++≥，从而有sin sin sin 180sin 33A B C ++︒≤=，因此原不等式成立． 说明 本方法是利用凸函数性质解题，三角函数在一定区间内均为凸x )为上凸函数，不等号反向．例5 已知,,x y z R ∈,02x y z π<<<<．求证：2sin cos 2sin cos sin 2sin 2sin 22x y y z x y zπ++>++（90年国家集训队测试题）分析 将二倍角均化为单角的正余弦，联想单位圆中的三角函数线，两两正余弦的乘积联想到图形的面积．证明 即证sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos 4x y y z x x y y z z π++>++即证明sin (cos cos )sin (cos cos )sin cos 4x x y y y z z z π>-+-+注意到上式右边是如图所示单位圆中三个阴影矩形的面积之和，而4π为此单位圆在第一象限的面积，所以上式成立，综上所述，原不等式成立．例6 63)cos()2sin 24sin cos a πθθθθ+-+-+36a <+对于[0,]2πθ∈恒成立．求a 的取值范围．（2004年首届东南地区数学奥赛试题）分析 所给不等式中有两个变量，给出其中一个的范围，求另一个的范围，常采用分离变量的方法．注意到与角θ有关的几个三角函数式，cos()cos )4πθθθ-=+，sin22sin cos θθθ=，因此考虑令sin cos x θθ+=进行变量代换，以化简所给不等式，再寻求解题思路．解 设sin cos x θθ+=，则2cos(),sin 2142x x πθθ-==-，当[0,]2πθ∈时，x ⎡∈⎣．从而原不等式可化为：26(23)2(1)36a x x a x ++--<+，即26223340x ax x a x ---++>，222()3()0x x a x a x x +--+->，()2(23)0(1)x x a x x ⎛⎫⎡-+->∈ ⎪⎣⎝⎭∴原不等式等价于不等式（1），1,,230x x ⎡∈∴-<⎣（1）不等式恒成立等价于()20x a x x⎡+-<∈⎣恒成立．从而只要m a x 2()()a x x x ⎡>+∈⎣．又2()f x x x =+在⎡⎣上递减，m a x 2()3()x x x⎡∴+=∈⎣，所以3a >． 例7 三个数a ,b ,c ∈(0,)2π，且满足cos a a =，sincos b b =，cossin c c =，按从小到大的顺序排列这三个数．（第16届全苏竞赛题）分析 比较a ,b ,c 三数的大小，cos a a =，sincos cos b b b =<，cossin cos c c c =>，等式的两边变量均不相同，直接比较不易进行，故考虑分类讨论，先比较a 与b ，由cos sin cos a ab b==，对等号两边分别比较，即先假定一边的不等号方向，再验证另一侧的不等号方向是否一致．解 （1）若a b =，则cos si n cos a a =，但由c o s a (0,)2π∈，故有cos si n cos a a >矛盾，即a ≠b ．（2）若a b <，则由单调性可知cos cos a b >，又由a b <及题意可得cos sincos a b <，而sincos cos b b <，因此又可得cos cos a b <，从而产生矛盾．综上，a b >．类似地，若c a =，则由题意可得cos cossin a a =，从而可得sin a a =与sin a a >矛盾；若c a <，则s i n s i n c a a <<，即s i n c a <，cossin cos c a ∴>，即c a >矛盾．综上可得：b a c <<．说明 本题的实质是用排除法从两个实数的三种可能的大小关系排除掉两种，从而得第三种，体现了“正难则反”的解题策略．情景再现4．在三角形ABC 中，求证：（1）3sinsin sin 2222A B C ++≤；（2）sin sin sin A B C ． 5．设12x y z π≥≥≥，且2x y z π++=，求乘积cos sin cos x y z 的最值．（1997年全国高中数学联赛）6．求证：|sin cos tan cot sec csc |1x x x x x x +++++≥（2004年福建省数学竞赛题）C 类例题例8 已知当[0,1]x ∈时，不等式22cos (1)(1)sin 0x x x x θθ--+->恒成立，试求θ的取值范围．（1999年全国高中数学联赛题）分析一 不等式左边按一、三两项配方，求出左边式子的最小值，根据最小值应当为正求出θ的取值范围．解法一 设22()cos (1)(1)sin f x x x x x θθ=--+-， 则由[0,1]x ∈时()0f x >恒成立，有(0)sin 0f θ=>，(1)cos 0f θ=>，22()([(12(12(1f x x x x x x ∴=+----(1)x x --21[(12(1)(02x x x =--->，当x =(10x -=，令0x =，则001x <<，0001()2(1)02f x x x =->12>，即1sin 22θ>，且sin 0,cos 0θθ>>，所求范围是：522,1212k k k Z ππθππ+<<+∈，反之，当522,1212k k k Z ππθππ+<<+∈时，有1sin 22θ>，且s i n 0,c o s 0θθ>>，于是只要[0,1]x ∈必有()0f x >恒成立．分析二 不等式左边视为关于x 的二次函数，求出此二次函数的最小值，令其大于0，从而求出θ的取值范围．解法二 由条件知，cos 0,sin 0θθ>>，若对一切[0,1]x ∈时，恒有()f x =22cos (1)(1)sin 0x x x x θθ--+->，即2()(cos 1sin )(12sin )sin 0f x x x θθθθ=++-++>对[0,1]x ∈时恒成立，则必有cos (1)0,sin (0)0f f θθ=>=>，另一方面对称轴为12sin 2(cos sin 1)x θθθ+=++[0,1]∈，故必有24(cos sin 1)sin (12sin )04(cos sin 1)θθθθθθ++-+>++，即4cos sin 10θθ->，1sin 22θ>，又由于cos 0,sin 0θθ>>故522,1212k k k Z πππθπ+<<+∈． 分析三 原不等式看作关于x 与1-x 的二次齐次式，两边同除x (1-x )． 解法三 原不等式化为：x 2cos θ+(1-x )2sin θ>x (1-x )，①x =0得sin θ>0，x =1得cos θ>0；②当x ≠0且x ≠1时，上式可化为：1x x -cos θ+1x x-sin θ>1对x ∈(0,1)恒成立，由基本不等式得1x x -cos θ+1xx-sin θ≥，∴1x x -cos θ+1xx-sin θ的最小值为，等号当1x x -cos θ=1x x -sin θ即x =时取到，因此．∴1sin 22θ>，又由于cos 0,sin 0θθ>>故522,1212k k k Z πππθπ+<<+∈． 例9已知,,,a b A B 都是实数，若对于一切实数x ，都有()1cos sin cos2sin 20f x a x b x A x B x =----≥，求证：222a b +≤，221A B +≤．（1977第十九届IMO ） 分析 根据函数式的特征及所要证明的式子易知，应首先将不等式化成()1))0f x x x θϕ=++≥，其中x 为任意实数，注意到所要证的结论中不含未知数x ，故考虑用特殊值方法．证明 若220a b +=，220A B +=，则结论显然成立； 故下设220a b +≠，220A B +≠： 令sin θθϕϕ===()1))f x x x θϕ=++，即对于一切实数x ，都有()1))0f x x x θϕ=++≥（1）()1))02f x x x πθϕ+=++≥ （2）（1）+（2）得：2)cos()]0x x θθ+++≥，即sin()cos()x x θθ+++≤对于一切实数x ≥因此222a b +≤．()1))0f x x x πθϕ+=++≥ （3）（1）+（3）得：2)0x ϕ-+≥，即sin(2)x ϕ+1≥，∴ 221A B +≤．例10 设αβγπ++=，求证：对任意满足0x y z ++=的实数,,x y z 有222sin sin sin 0yz zx xy αβγ++≤分析 由0x y z ++=消去一个未知数z ，再整理成关于y 的二次不等式，对x 恒成立，即可得证．证明 由题意，则将()z x y =-+代入不等式左边得， 不等式左边=2222222[sin sin (sin sin sin )]y x xy αβαβγ-+++- （1）当sin 0α=，易证不等式左边0≤成立．；（2）当sin 0α≠，整理成y 的二次方程，证△≤0． 左边2222(sin sin sin )[sin ]2sin x y αβγαα+-=-+22222222[(sin sin sin )4sin sin ]4sin x αβγαβα+--+， 由222222(sin sin sin )4sin sin αβγαβ+--222222(sin sin sin 2sin sin )(sin sin sin 2sin sin )αβγαβαβγαβ=+-++--2sin sin [1cos()]2sin sin [1cos()]αβαβαβαβ=-+⋅--+2224sin sin [1cos ()]0αβαβ=--+≤，∴22222222[(sin sin sin )4sin sin ]4sin x αβγαβα+--0≤，∴不等式左边0≤成立．情景再现7．证明：对于任意△ABC ，不等式a cos A +b cos B +c cos C ≤p 成立，其中a 、b 、c 为三角形的三边，A 、B 、C 分别为它们的对角，p 为半周长．（第十六届全俄数学竞赛题）8．设,,αβγ是一个锐角三角形的三个内角，求证：sin sin sin tan tan tan 2αβγαβγπ+++++>习题1．求证：对所有实数,x y ，均有22cos cos cos 3x y xy +-<． 2．在锐角三角形ABC 中，求证： tan tan tan 1A B C > 3．在锐角三角形ABC 中．求证： sin sin sin 2A B C ++>4．求证：222sin (cos(sin )sin(cos )2sin (44x x ππ≤-≤5．已知,(0,)2παβ∈，能否以sin ,sin ,sin()αβαβ+的值为边长，构成一个三角形？6．已知,αβ为锐角，求证：2222119cos sin sin cos ααββ+≥ 7．已知A +B +C =π，求证：222tan tan tan 1222A B C ++≥ 8．在三角形ABC 中，角A 、B 、C 的对边为a 、b 、c ，求证：3π≥++++c b a cC bB aA ．9．设A 、B 、C 为锐角三角形之内角，n 为自然数，求证：12tan tan tan 3nnnnA B C +++≥．（93年第三届澳门数学奥林匹克赛题）10．已知02πθ<<，,0a b >，求证：223332()sin cos a b a b θθ+≥+11．设P 是三角形ABC 内任一点，求证：∠P AB ，∠PBC ，∠PCA 中至少有一个小于或等于30°．12．解方程coscoscoscos sinsinsinsin x x =（1995年全俄竞赛题）本节“情景再现”解答：1．证明：锐角三角形可知A+B 2π<，从而A 2π<-B ，从而sin cos A B >，同理sin cos ,sin cos B C C A >>，三式相加得证．2．证明：由已知得tan 3tan tan x y y =>及,(0,)2x y π∈知，x y >，从而(0,)2x y π-∈，要证6x y π-≤，只须证明tan()tan 6x y π-≤=，由于2tan tan 2tan tan()1tan tan 13tan x y yx y x y y--==++，于是问题归结为证22tan 13tan y y ≤+，即21)0y -≥，而上式显然成立，因此原不等式成立．3．证法一：当x ∈(0,2π)时，∵0<sin x <x <2π,∴sinsin x <sin x ,再比较sin x 与coscos x 的大小，由sin x =cos (2π-x )，即比较(2π-x )与cos x ，而cos x =sin (2π-x ),因此(2π-x )＞cos x ，从而cos (2π-x )<coscos x ，即sin x <coscos x ，从而得证．证法二： sin x +cos x 2π≤，即0<cos x <2π-sin x <2π， 所以cos(cos x )>cos(2π-sin x )=sin(sin x )． 4．证明：（1）由琴生不等式即得．（2sin sin sin sin 33A B C A B C ++++≤，从而得证． 5．解：由条件知，312x y z ππ≥≥≥≥，()222123x y z ππππ=-+≤-⨯=，sin()0y z -≥，于是cos sin cos x y z =1cos [sin()sin()]2x y z y z ++-1cos sin()2x y z ≥+22111cos cos 2238x π=≥=，当,312x y z ππ===时取等号，故最小值为18（y 与z 相等，且x 达到最大时，乘积有最小值）．又cos sin cos x y z =1cos [sin()sin()]2z x y x y +--211cos sin()cos 22z x y z ≤+=21cos 212π≤，且当5,1224z x y ππ===时等号成立，故cos sin cos x y z6．证明：设()|s i n c o s t a n c o t f x x x x x x x=+++++，sin cos t x x=+，则有21sin cos 2t x x -=，2222()||11t f x t t t =++--22|||11|11t t t t =+=-++-- 当1t >时，2()1111f x t t =-++≥-； 当1t <时，2()(1)111f x t t =--+-≥-因此|sin cos tan cot sec csc |1x x x x x x +++++≥．7．证明：因为cos x （x ∈（0，π））递减，所以a -b 与cos A -cos B 异号，从而（a -b ）（cos A -cos B ）≤0．即a cos A +b cos B ≤a cos B +b cos A =C （l ）当且仅当a =b 时等号成立．同理a cos A +c cos C ≤b （2） b cos B +c cos C ≤a （3），1[(1)(2)(3)]2⨯++即得所要证的不等式． 8．证明：2242tan2tan4tan222sin tan 4tan 21tan 1tan 1tan 222ααααααααα+=+=>+--， 0,tan,sin tan 4tan22222πααααααα<<∴>∴+>>，同理得另两个，命题得证．“习题”解答：1．证明：22cos cos cos 3x y xy +-≤显然成立，下面证明等号不能成立．用反证法．若等号成立，则22cos 1,cos 1,cos 1x y xy ===-，则222,2,,*x k y n k n N ππ==∈，则2224,,*x y nk k n N π=∈，则,,*xy k n N =∈，cos 1xy ≠-，因此等号不成立．2．证明：锐角三角形可知A+B 2π<，从而A 2π<-B ，从而sin cos A B >，同理sin cos ,sin cos B C C A >>，三式相乘得sin sin sin cos cos cos A B C A B C >．从而可得tan tan tan 1A B C >．3．解：22sin sin ,sin sin A A B B >>，sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+22cos cos cos cos cos cos B B A A B A >+=+，三式相加得证．4．证明：cos(sin )sin(cos )cos(sin )cos(cos )2x x x x π-=--cos sin cos sin 2sin()sin()4242x x x xππ+-=--又cos sin 2x x ±≤ cos sin 4424x x πππ±≤-≤，又04π>，4π2π<，由正弦函数在[0,]2π上的单调性可知，原不等式成立．5．证法一：sin sin 2sincos2sincossin()2222αβαβαβαβαβαβ+-+++=>=+ |sin sin |2cos|sin|2cossinsin()2222αβαβαβαβαβαβ+-++-=<=+，因此可以构成三角形．证法二：在直径为1的圆内作内接三角形ABC ，使,A B αβ∠=∠=，()C παβ∴∠=-+则sin ,sin ,sin()BC AC AB αβαβ===+，因此可构成三角形．6．解：左222222214145tan 4cot 9cos sin sin 2cos sin ααααβαα=+≥+=++≥． 7．证：左tantan tan tan tan tan 222222A B B C C A ≥++ tan tan tan (tan tan )22222A B C B A=++ tantan cot tan (1tan tan )1222222A B A B A B A B ++≥+-=8．分析：注意到π可写成A +B +C ，故即证：3(aA +bB +cC )≥(a +b +c )π,即证3(aA +bB +cC )≥(a +b +c )（A +B +C ），即证(a -b )(A -B )+(b -c )(B -C )+(c -a )(C -A )≥0，由大边对大角得上式成立．9．证明：设tan ,tan ,tan x A y B z C ===，则,,0x y z >，x y z xyz ++=，而x y z ++≥，代入得323xyz ≥，故123n n n nx y z +++≥≥．10．证明：要证原不等式，即证222333()()sin cos a b a b θθ+≥+，即2222222sin cos sin cos a b aba b θθθθ++≥++上式中将θ看作变量，,a b 看作常数，考虑从左边向右边转化即证222222sin cos cot tan 2sin cos a b abθθθθθθ+++≥即2222cot tan 2tan 2cot a b ab ab θθθθ+++≥因为22222c o t 2t a n c o t t a n t a a a b a a b a b b θθθθθ+=++，同理可得22tan 2cot b ab θθ+≥11．证明：如图，P A sin 1θ=PB sin θ5，PB sin θ2=PC sin θ6，PC sin θ3=P A sin θ4，三式相乘得sin 1θsin θ2 sin θ3= sin θ4 sin θ5 sin θ6，因此有(sin 1θsin θ2 sin θ3)2= sin 1θsin θ2 sin θ3 sin θ4 sin θ5 sin θ66123456sin sin sin sin sin sin 6θθθθθθ+++++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭661234561sin ()62θθθθθθ+++++⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，从而sin 1θsin θ2 sin θ331()2≤，因此sin 1θ、sin θ2 、sin θ3中至少有一个小于或等于12，不妨设sin 1θ12≤，则1θ≤30°或1θ≥150°，此时三个角中至少有一个角小于30°．12．解：考虑周期性，只要先解决[0,2)x π∈的解的情况，而当[,2)x ππ∈时，左边为正，右边非正，因此方程无解．由于[0,]2x π∈时有coscos sinsin x x >，将x 换成cos cos x 得（换成sinsin x也可以）：coscoscoscos sinsincoscos x x >，又由于sin sin y x =在[0,]2x π∈时为增函数，因此有sinsincoscos sinsinsinsin x x >，综上可得：coscoscoscos sinsinsinsin x x >，因此原方程无解． 当(,)2x ππ∈时，令2y x π=-，则(0,)2y π∈，在coscos sinsin x x >，[0,]2x π∈中，将x 换成cossin y 得，coscos(cossin )sinsin(cossin )sinsin(sin cos )y y y >>，将2y x π=-代入得，coscoscoscos sinsinsinsin x x >，原方程也无解．综上所述，对x R ∈，恒有coscoscoscos sinsinsinsin x x >，原方程无解．。

高考经典专题：三元基本不等式习题1．设0x >，则()2142f x x x =--的最大值为（ ） A．4B．4C ．不存在 D ．52 2．函数()230y x x x=+>的最小值是 ( ) A．33218 B ． C ． D ． 3．若2,3a b >>，则1(2)(3)a b a b ++--的最小值为________. 4．（1）已知,,x y z 均为正数，且1864xyz =，求证：(82)(82)(82)27x y z +++≥； （2）已知实数,m n 满足m 1≥，12n ≥，求证：222224142m n mn m n m n ++≤++. 5．已知正数x 、y 、z ，且1xyz =. （1）证明：222x y z y z x z y++≥； （2）证明：()()()22212x y y z z x +++++≥.6．已知,,a b c 为正数，且1abc =，求证333()()()24a b a c b c +++++≥．7．已知a ，b ，c 为一个三角形的三边长.证明：（1）3b c a a b c++≥； （2）22a b c >++.8．（选修4-5：不等式选讲）已知0,0,0x y z >>>，且1xyz =，求证：333x y z xy yz xz ++≥++参考答案1．D ()2211544422222x x f x x x x ⎛⎫=--=-++≤-= ⎪⎝⎭ 当21222x x x==即1x =时等号成立2．A 函数2233322y x x x x x =+=++≥=，当且仅当232x x =，即x＝2时取等号，故函数()230y x x x =+>． 3．8令2,3a t b m -=-=2,3a b >>，20,30a b ∴->->，即0,0t m >>， 所以3115358(2)(3)a b t m t m a b tm ++=+++⨯⨯=--， 当且仅当1t m tm==，即123(2)(3)a b a b -=-=--，即当3,4a b ==时等号成立. 4．（1）证明：因为0x >，由三个正数的基本不等式可得，82811x x +=++≥18x时取等号；同理可得82y +≥82z +≥，当且仅当11,88y z ==时取等号；故(82)(82)(82)x y z +++≥18x y z ===时取等号， 因为1864xyz =，所以(82)(82)(82)27x y z +++≥， 当且仅当18x y z ===时取等号. （2）证明：要证222224142m n mn m n m n ++≤++，即证2222442210m n mn n m n m -+-+-≥，即证24(1)(22)(1)10mn m mn n m m --+-+-≥， 即证()2(1)42210m mn mn n ---+≥，即证(1)[2(21)(21)]0m mn n n ----≥， 即证(1)(21)(21)0m n mn ---≥，因为m 1≥，12n ≥，所以10m -≥，210n -≥，210mn -≥， 所以(1)(21)(21)0m n mn ---≥，所以222224142m n mn m n m n ++≤++得证..5．（1）因为x 、y 、z 为正数，且1xyz =，所以222x y y z z+≥==，当且仅当32y zx =时等号成立，即4y x =时，等号成立；同理22y z z x +≥，22x z y x y +≥，所以22222x y z y z x ⎛⎫++≥+ ⎪⎝⎭⎝⎭，即222x y z y z x ++≥，当且仅当1x y z ===时等号成立； （2）因为()()()222x y y z z x +++++≥由二元均值不等式得x y +≥y z +≥，z x +≥，当且仅当x y z ==时，等号同时成立，所以()24x y xy +≥，()24y z yz +≥，()24z x xz +≥， ()()()()22226464x y y z z x xyz ∴+++≥=，因此，()()()22212x y y z z x +++≥=++，当且仅当1x y z ===时，等号同时成立.6．证明：已知,,a b c为正数，且1abc =，故有 333()()()a b a c b c +++++≥3()()()a b b cc a =+++3≥⨯⨯⨯24=.当1a b c ===时等号成立.故333()()()24a b a c b c +++++≥．7.（1）证明:由三项基本不等式可知3b c a a b c ++≥= （2）证明:由于a ,b,c 为一个三角形的三边长,则有：2b c a=++>,>a=>,b >c >,相加得：a b c >++,左右两边同加a b c ++得：()22a b c>++所以22a b c >++8．证明：因为0,0,0x y z >>>，所以3333x y z xyz ++≥， 3313x y xy ++≥，3313y z yz ++≥，3313x z xz ++≥，将以上各式相加，得33333333333x y z xyz xy yz xz +++≥+++，又因为1xyz =，从而333x y z xy yz xz ++≥++．。

不等式与三角形的组合练习本试卷总分100分，标准答题时间120分钟一选择题（本题共9小题，共计23分）1：根据不等式的性质，把x－3＜8，化成x＞a或x＜a的形式（）(2.0分)A. x＞11B. x＜11C. x＝11D. 无法确定2：如果a－b＞0，则a（）b(2.0分)A. ＞B. ＜C. ≥D. ≥3：若2a＜8，则a（）4(2.0分)A. ＞B. ＜C. ≥D. ≤4：在ΔABC中，∠A＋∠B＝100°，∠C＝2∠B，则∠A、∠B、∠C的度数为( )(2.0分)A. 20°、60°、100°B. 50°、50°、80°C. 60°、40°、80°D. 30°、60°、90°5：不等式2x＞4的解为（）(3.0分)A. x＝2B. x＝3C. x＞2D. x＞36：若a－b＜0，则下列各式中一定正确的是（）(3.0分)A. a＞bB. ab＞0C. a/b＜0D. －a＞－b7：当x( )时，代数式2－5x的值不小于零(3.0分)A. x≥2B. x≤5C.D.8：若方程组的解为x，y且2＜k＜4，则x-y的取值范围（）(3.0分)A. 0＜x-y＜B. -3＜x-y＜-1C. 0＜x-y＜1D. -1＜x-y＜19：下列各对不等式中，解集不相同的一对是（）(3.0分)A. （3－x）/2＜（4＋2x）/7与－7（x－3）＜2（4＋2x）B. （1－x）/2＜（x+9）/3与3(x－1)＜－2（x＋9）C. （2＋x）/2≥（2x－1）/3与3（2＋x）≥2（2x－1）D. x/2＋3/4＞1/4－x与3x＞－1二填空题（本题共10小题，共计20分）10：（1）已知x＜a的解集中的最大整数为3，则a的取值范围是＿＿＿；（2）已知x＞a的解集中最小整数为－2，则a的取值范围是＿＿＿；(2.0分) 注：2009年北京西城11：如图，直线a∥b，则∠A＝＿＿度。

三角函数练习题（含答案）1．在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．不能确定解析：选C.∵sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，由正弦定理可得a 2＋b 2＜c 2，所以cos C ＜0，得角C 为钝角，故选C.2．在△ ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a cos A ＝b sin B ，则sin A cos A ＋cos 2B ＝( ) A ．－12B.12 C ．－1D ．1解析：选D.由a cos A ＝b sin B 可得sin A cos A ＝sin 2B ， 所以sin A cos A ＋cos 2B ＝sin 2B ＋cos 2B ＝1.3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a >b ，则∠B ＝( ) A.π6 B.π3 C.2π3D.5π6解析：选A.∵a cos C ＋c cos A ＝b ， ∴原式可化为b sin B ＝12b ，sin B ≠0，∴sin B ＝12，a ＞b ，B 为锐角，∴B ＝π6.4．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若A ＝π3，b ＝1，△ABC 的面积为32，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C.32D. 3 解析：选D.∵A ＝π3，b ＝1，S △ABC ＝32， ∴12bc sin A ＝32，∴c ＝2.∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝3， ∴a ＝ 3.5．在△ABC 中，cos 2A 2＝b ＋c2c (a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形 解析：选B.∵cos 2A 2＝b ＋c2c，∴1＋cos A 2＝b ＋c 2c ，∴1＋b 2＋c 2－a 22bc ＝b ＋cc ，化简得a 2＋b 2＝c 2.故△ABC 是直角三角形．6．在△ABC 中，∠ABC ＝π4，AB ＝2，BC ＝3，则sin ∠BAC ＝( )A.1010 B.105C.31010D.55解析：选C.先利用余弦定理求出AC 边的长度，再利用正弦定理求出sin ∠BAC . 由余弦定理可得 AC ＝ BA 2＋BC 2－2BA ·BC cos ∠ABC ＝2＋9－2×2×3×22＝5， 于是由正弦定理可得BC sin ∠BAC ＝ACsin ∠ABC ，于是sin ∠BAC ＝3×225＝31010.7．(2016·广西南宁模拟)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且sin 2A ＋sin 2B ＋sin 2C ＝12，△ABC 的面积S ∈[1,2]，则下列不等式一定成立的是( )A ．ab (a ＋b )>16 2B ．bc (b ＋c )>8C ．6≤abc ≤12D ．12≤abc ≤24解析：选B.依题意得sin [(A ＋B )＋(A －B )]＋sin [(A ＋B )－(A －B )]＋sin 2C ＝12，展开并整理得2sin(A ＋B )·cos(A －B )＋2sin C cos C ＝12，又sin(A ＋B )＝sin C ，cos C ＝－cos(A ＋B )，所以2sinC cos(A －B )＋2sin C cos C ＝2sin C ·[cos(A －B )－cos(A ＋B )]＝12，所以4sin A sin B sin C ＝12，sinA sinB sinC ＝18.又S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ca sin B ，因此S 3＝18a 2b 2c 2·sin A ·sin B sin C ＝164a 2b 2c 2.由1≤S ≤2得1≤164a 2b 2c 2≤23，即8≤abc ≤162，因此选项C 、D 不一定成立．∵b＋c >a >0，∴bc (b ＋c )>bc ·a ≥8，即有bc (b ＋c )>8，∴选项B 一定成立．∵a ＋b >c >0，∴ab (a ＋b )>ab ·c ≥8，即有ab (a ＋b )>8，∴选项A 不一定成立．故选B. 8．在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( ) A.32 B.332C.3＋62D.3＋394解析：选B.设AB ＝c ，在△ABC 中，由余弦定理知AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ， 即7＝c 2＋4－2×2×c ×cos 60°， c 2－2c －3＝0，即(c －3)(c ＋1)＝0. 又c >0，∴c ＝3.设BC 边上的高等于h ，由三角形面积公式S △ABC ＝12AB ·BC ·sin B ＝12BC ·h ，知12×3×2×sin 60°＝12×2×h ，解得h ＝332. 9．(2014·高考新课标卷Ⅱ)钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( )A ．5 B. 5 C ．2D ．1解析：选B.利用三角形面积公式可求角B ，再利用余弦定理求得B 的对边AC . ∵S ＝12AB ·BC sin B ＝12×1×2sin B ＝12，∴sin B ＝22，∴B ＝π4或3π4. 当B ＝3π4时，根据余弦定理有AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝1＋2＋2＝5，∴AC ＝5，此时△ABC 为钝角三角形，符合题意；当B ＝π4时，根据余弦定理有AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝1＋2－2＝1，∴AC ＝1，此时AB 2＋AC 2＝BC 2，△ABC 为直角三角形，不符合题意．故AC ＝ 5.10．(2015·高考天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14，则a 的值为________．解析：利用三角形面积公式及余弦定理列式求解． 在△ABC 中，由cos A ＝－14可得sin A ＝154，所以有⎩⎨⎧12bc ×154＝315，b －c ＝2，a 2＝b 2＋c 2－2bc ×⎝⎛⎭⎫－14，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，b ＝6，c ＝4.答案：811．(2015·高考重庆卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝__________. 解析：先根据正弦定理得3a ＝2b ，进而结合条件a ＝2求出b 的值，然后由余弦定理求出c 的值．∵3sin A ＝2sin B ，∴3a ＝2b . 又a ＝2，∴b ＝3.由余弦定理可知c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴c 2＝22＋32－2×2×3×⎝⎛⎭⎫－14＝16， ∴c ＝4. 答案：412．(2015·高考北京卷)在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin 2Asin C ＝________.解析：利用二倍角的正弦公式结合正、余弦定理求解．由正弦定理得sin A sin C ＝ac ，由余弦定理得 cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc，∵a ＝4，b ＝5，c ＝6，∴sin 2A sin C ＝2sin A cos A sin C ＝2·sin A sin C ·cos A ＝2×46×52＋62－422×5×6＝1. 答案：113．(2016·洛阳市高三模拟)如图，在△ABC 中，sin∠ABC 2＝33，AB ＝2，点D 在线段AC 上，且AD ＝2DC ，BD ＝433，则cos ∠C ＝__________.解析：由条件得cos ∠ABC ＝13，sin ∠ABC ＝223.在△ABC 中，设BC ＝a ，AC ＝3b ，则9b 2＝a 2＋4－43a ①.因为∠ADB 与∠CDB 互补，所以cos ∠ADB ＝－cos ∠CDB ，所以4b 2＋163－41633b ＝－b 2＋163－a 2833b ，所以3b 2－a 2＝－6②，联合①②解得a ＝3，b ＝1，所以AC ＝3，BC ＝3.在△ABC 中，cos ∠C ＝BC 2＋AC 2－AB 22BC ·AC ＝32＋32－222×3×3＝79.答案：7914.△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，△ABD 面积是△ADC 面积的2倍． (1)求sin B sin C ；(2)若AD ＝1，DC ＝22，求BD 和AC 的长． 解：(1)S △ABD ＝12AB ·AD sin ∠BAD ，S △ADC ＝12AC ·AD sin ∠CAD .因为S △ABD ＝2S △ADC ，∠BAD ＝∠CAD ，所以AB ＝2AC . 由正弦定理，得sin B sin C ＝AC AB ＝12.(2)因为S △ABD ∶S △ADC ＝BD ∶DC ，所以BD ＝ 2. 在△ABD 和△ADC 中，由余弦定理，知 AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos ∠ADB ， AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos ∠ADC . 故AB 2＋2AC 2＝3AD 2＋BD 2＋2DC 2＝6. 由(1)，知AB ＝2AC ，所以AC ＝1.15．(2015·高考浙江卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知A ＝π4，b 2－a 2＝12c 2.(1)求tan C 的值；(2)若△ABC 的面积为3，求b 的值． 解：(1)由b 2－a 2＝12c 2及正弦定理得sin 2B －12＝12sin 2C ，所以－cos 2B ＝sin 2C .又由A ＝π4，即B ＋C ＝34π，得－cos 2B ＝sin 2C ＝2sin C cos C ， ∴2sin C ·cos C ＝sin 2 C 解得tan C ＝2.(2)由tan C ＝2，C ∈(0，π)，得 sin C ＝255，cos C ＝55.因为sin B ＝sin(A ＋C )＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C ， 所以sin B ＝31010.由正弦定理得c ＝22b3，又因为A ＝π4，12bc sin A ＝3，所以bc ＝62，故b ＝3.16．(2015·高考调研卷)已知在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且tan A ＝3cb c 2＋b 2－a 2.(1)求角A 的大小；(2)当a ＝3时，求c 2＋b 2的最大值，并判断此时△ABC 的形状． 解：(1)由已知及余弦定理，得sin A cos A ＝3cb2cb cos A ，sin A ＝32， 因为A 为锐角，所以A ＝60°.(2)法一 由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝332＝2，所以b ＝2sin B ，c ＝2sin C ＝2sin(120°－B )． c 2＋b 2＝4[sin 2B ＋sin 2(120°－B )] ＝4⎣⎡⎦⎤1－cos 2B 2＋1－cos (240°－2B )2＝4⎣⎡⎦⎤1－12cos 2B －12⎝⎛⎭⎫－12cos 2B －32sin 2B＝4－cos 2B ＋3sin 2B ＝4＋2sin(2B －30°)．由⎩⎪⎨⎪⎧0°<B <90°，0°<120°－B <90°，得30°<B <90°，所以30°<2B －30°<150°， 当sin(2B －30°)＝1，即B ＝60°时，(c 2＋b 2)max ＝6， 此时C ＝60°，△ABC 为等边三角形．。

三角形中的不等式【知识点】若a、b为实数，则有-|a±b| ≤|a|-|b| ≤ |a ±b| ≤|a|+|b|。

1，绝对值不等式，一般指的是绝对值符号中含有未知数的不等式。

解绝对值不等式的基本方法是去绝对值符号，最常用的方法是分类讨论（“零点分区间法”），还有两边平方或者利用绝对值的定义等方法。

2，三角不等式，可以通过绝对值的性质对不等式进行缩放，以确定含绝对值的代数式（函数式）的取值范围、最大/小值问题，以及不等式的证明等综合运用。

这里省略绝对值的意义、以及三角不等式的证明过程一万字......【例①】求函数 y = |x－3|－|x＋1| 的最小值和最大值。

【解析】利用三角不等式的性质，选择合适的不等号方向求得最大/小值。

求最大值时，选择不等号方向为≤；求最小值时，选择不等号的方向为≥。

因为|x－3|－|x＋1| ≤|(x－3)－(x＋1)| = 4，所以，y 的最大值为 4；又因为|x－3|－|x＋1| ≥－|(x－3)－(x＋1)| = - 4，所以，y 的最小值为- 4。

【例②】若关于x 的不等式|x－4|－|x＋3| ≤ a 对一切x∈R 恒成立，求实数 a 的取值范围。

【解析】对不等式解集的“转义（等价于）”理解，利用三角不等式求得最值。

令 y = |x－4|－|x＋3| ，则原不等式y ≤ a 对一切x ∈R 恒成立⟺ a 大于等于 y 的最大值。

因为|x－4|－|x ＋3| ≤|(x－4)－(x＋3)| = 7，即 y 的最大值为 7，所以，实数 a 的取值范围为 a ≥ 7。

【例③】若关于x 的不等式|x＋1| ＋|2－x| ≤ a 的解集不是空集，求实数 a 的取值范围。

【解析】对不等式解集的“转义（等价于）”理解，利用三角不等式求得最值。

令 y = |x＋1| ＋|2－x| ，则原不等式y ≤ a 的解集不是空集⟺ a 大于等于 y 的最小值。

因为|x＋1| ＋|2－x| ≥|(x＋1)＋(2－x)| = 3，即 y 的最小值为 3，所以，实数 a 的取值范围为 a ≥ 3。

不等式练习题一、选择题1、若a、b、c是三角形三边的长，则代数式a2 + b2 —c2 —2ab的值（）.A.大于0B.小于0C.大于或等于0D.小于或等于02、设a、b、c的平均数为M，a、b的平均数为N，N、c的平均数为P，若a>b>c，则M与P的大小关系是（）．A. M= PB. M > PC. M < PD. 不确定3、不等式组的解集为x＜4，则a满足的条件是（）A.a＜4B.a=4C.a≤4D.a≥4二、填空题1、已知x >0,y<0．且x + y <0,那么有理数x , y,- x ,- y的大小关系为 .2、若不等式的解集为，那么的值等于 .3、代数式|x-1|-|x+4|- 5 的最大值为 .4、不等式3（x+1）≥5 x -2，则|2x-5| ＝________.5、不等式|x|>3的解集为_______________.6、如果关于x的不等式（2a-b）x+a-5b＞0的解集为，则关于x的不等式ax＞b的解集为________．7、四个连续整数的和为S，S满足不等式15<<19，这四个数中最大数与最小数的平方差等于____________。

8、某人要到相距3.3千米的A地去办事，他行走的速度是每分钟90米，跑步的速度是每分钟210米，若他必须在30分钟之内到达A地，他跑步的时间不能少于________分钟。

9、关于x的方程的解是负数，则a的取值范围是_____________。

10、已知一次函数y=kx+b，当-3≤x≤1时，对应的y值为1≤y≤9，则kb的值为________。

11、关于x的不等式组只有4个整数解，则a的取值范围是______。

12、已知|3x+18|+（4x-y-2k）2=0，y的值是不小于-4的负数。

则k的取值范围为____________。

13、已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是________________。

解三角形，数列，不等式练习题一、选择题1、等差数列{}n a 中，12010=S ，那么29a a +的值是（ ）（A ） 12 （B ） 24 （C ） 16 （D ） 482、ABC ∆中，已知o A c a 30,10,25===则C=（ ）（A ）o 45 （B ）o 60 （C ）o 135 （D ）o 13545或o3．在△ABC 中，若0030,6,90===B a C ，则b c -等于（ ）A ．1B ．1-C ．32D ．32-4．在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（ ）A ．006030或B ．006045或C ．0060120或D ．0015030或5．在△ABC 中，若,3))((bc a c b c b a =-+++则A=( )A ．090B ．060C ．0135D ．01506．等比数列{}n a 中, ,243,952==a a 则{}n a 的前4项和为（ ）A ． 81B ．120C ．168D ．1927．已知一等比数列的前三项依次为33,22,++x x x ，那么2113-是此数列的第（）项 A ．2 B ．4 C ．6 D ．88.已知等差数列{}n a 的公差为2,若431,,a a a 成等比数列, 则2a =（ ）A ． – 4B ．－6C ．－8D ．－109．设a ＞1＞b ＞－1,则下列不等式中恒成立的是 ( )A ．b a 11< B ．b a 11> C ．a ＞b 2 D ．a 2＞2b10．一元二次不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是(－21,31)，则a ＋b 的值是_____。

A. 10B. －10C. 14D. －14二、填空题1.已知数列{}n a 的前n 项和为12+=n S n 则数列的通项公式=n a _____2．在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,222_________。