光的干涉和衍射
一、实验目的
①学习用用模拟实验方法探究光的干涉和衍射问题.
②进一步熟悉MA TLAB编程.
二、实验内容和要求
1. 双缝干涉模拟实验
杨氏双缝干涉实验是利用分波前法获得相干光束的典型例子. 如图2.24所示，单色光通过两个窄缝s1，s2射向屏幕，相当于位置不同的两个同频率同相位光源向屏幕照射的叠合，由于到达屏幕各点的距离（光程）不同引起相位差，叠合的结果是在有的点加强，在有的点抵消，造成干涉现象.
P
O
图2.24 双缝干涉示意图
考虑两个相干光源到屏幕上任意点P的距离差为
1
2
21
r
r
r r r
=
∆=-
（2.19）引起的相位差为
2π
r
ϕ
λ
∆
=
设两束相干光在屏幕上P点产生的幅度相同，均为A0，则夹角为φ的两个矢量A0的合成矢量的幅度为
A=2A0 cos(φ/2)
第二章 数理探究试验 135
光强B 正比于振幅的平方，故P 点光强为
B =4B 0cos 2(φ/2) （2.20）
运行sy211.m 程序得到干涉条纹如图2.27所示.
clear all %sy211.m
lam=500e-9; %输入波长
a=2e-3; D=1;
ym=5*lam*D/a; xs=ym; %设定光屏的范围
n=101;ys=linspace(-ym,ym,n); % 把光屏的y 方向分成101点
for i=1:n
r1=sqrt((ys(i)-a/2).^2+D^2);
r2=sqrt((ys(i)+a/2).^2+D^2);
phi=2*pi*(r2-r1)/lam;
B(i,:)=4*cos(phi/2).^2;
end
N=255; % 确定用的灰度等级为255级
Br=(B/4.0)*N; %使最大光强对应于最大灰度级（白色）
subplot(1,2,1)
image(xs,ys,Br); %画干涉条纹
colormap(gray(N));
subplot(1,2,2)
plot(B,ys) %画出光强变化曲线
图2.25中左图是光屏上的干涉条纹，右图是光屏上沿y 轴方向光强的变化曲线. 从图中也不难看出，干涉条纹是以点o 所对应的水平线为对称，沿上下两侧交替，等距离
排列，相邻亮条纹中心间距为2.5×10－4m. -0.4-0.200.20.4-1.5
-1-0.500.511.5x 10图2.25 单色光的干涉条纹
这与理论推导和实验结果基本一致.
下面我们从理论上加以推导，由上面的式（2.19）可得
22212121()()2d r r r r r r y -=+-=
-1.5 -1 -0.5 x10 0 0.5 1 1.5 -0.4 -0.2 0 0.4 0.2
基于MA TLAB 的数学实验
136 考虑到a ，y 很小，（r 1+r 2）=2D ，所以
21D r r y a
-= 这样就得到点P 处于亮条纹中心的条件为
20122
D y k k a λ==±±，，，， （2.21） 因此，亮条纹是等间距的，相邻条纹间距为94150010 2.510m 0.002
D a λ--=⨯=⨯. 问题2.39：推导出点P 处于暗条纹中心的条件并与模拟结果相比较，看是否一致？ 考虑到纯粹的单色光不易获得，通常都有一定的光谱宽度，这种光的非单色性对光的干涉会产生何种效应，下面我们用MA TLAB 计算并仿真这一问题.
非单色光的波长不是常数，必须对不同波长的光分别处理再叠加起来. 我们假定光源的光谱宽度为中心波长的±10%，并且在该区域均匀分布. 近似取11根谱线，相位差的计算表达式求出的将是不同谱线的11个不同相位. 计算光强时应把这11根谱线产生的光强叠加并取平均值，即
21101
2π4cos ()211k k
k k r B B ϕλϕ=∆==∑ 将程序sy211.m 中的9，10两句换成以下4句，由此构成的程序就可仿真非单色光的干涉问题.
N1=11;dL=linspace(-0.1,0.1,N1);
%设光谱相对宽度±10%， lam1=lam*(1+dL');
%分11根谱线，波长为一个数组 Phi1=2*pi*(r2-r1)./ lam1;
%从距离差计算各波长的相位差 B(i, :)=sum(4*cos(Phi1/2).^2)/N1; %叠加各波长并影响计算光强
运行修改后的程序得到的干涉条纹如图2.26所示. 可以看出，光的非单色性导致干涉现象的减弱，光谱很宽的光将不能形成干涉.
第二章 数理探究试验 137
-0.4-0.200.20.4-1.5-1-0.500.511.5x 10
图2.26 非单色光的干涉条纹 2. 单缝衍射的模拟实验
一束单色平行光通过宽度可调的狭缝，射到其后的光屏上. 当缝宽足够小时，光屏上形成一系列亮暗相间的条纹，这是由于从同一个波前上发出的子波产生干涉的结果. 当光源到衍射屏的距离和光屏到衍射屏的距离都是无穷大时，即满足远场条件时，我们称这种衍射为夫琅禾费衍射. 所以夫琅禾费衍射中入射光和衍射光都是平行光. 为了模拟单缝衍射现象，我们把单缝看成一排等间隔光源，共NP 个光源分布在A ～B 区间内，离A 点间距为yp ，则屏幕上任一点S 处的光强为NP 个光源照射结果的合成.
如图2.27所示，子波射线与入射方向的夹角ϕ称为衍射角，0=ϕ时，子波射线通过透镜后，必汇聚到O 点，这个亮条纹对应的光强称为主极大. NP 个光源在其他方向的射线到达S 点的光程差，应等于它们到达平面AC 的光程差，即sin yp ϕ∆=，其中
sin ys D
ϕ≈ ys 为S 点的纵坐标，则与A 点光源位相差为
2π2πyP ys D
αλλ=∆=
s O
