力学动态平衡问题
所谓动态平衡问题是指通过控制某些物理量，使物体的状态发生缓慢的变化，而在这个过程中物体又始终处于一系列的平衡状态中。
解决动态平衡问题的思路是，①明确研究对象。②对物体进行正确的受力分析。③观察物体受力情况，认清哪些力是保持不变的，哪些力是改变的。④选取恰当的方法解决问题。
根据受力分析的结果，我们归纳出解决动态平衡问题的三种常用方法，分别是“图解法”，“相似三角形法”和“正交分解法”。
1、图解法
在同一图中做出物体在不同平衡状态下的力的矢量图，画出力的平行四边形或平移成矢量三角形，由动态力的平行四边形（或三角形）的各边长度的变化确定力的大小及方向的变化情况。
适用题型：
（1）物体受三个力（或可等效为三个力）作用，三个力方向都不变，其中一个力大小改变。
例1、重G的光滑小球静止在固定斜面和竖直挡板之间，若对小球施加一通过球心竖直向下的力F作用，且F缓慢增大，问在该过程中，斜面和挡板对小球的弹力的大小F1、F2如何变化？
图1-1
图1-2 图1-3 图1-4 图1-5 解析：选取小球为研究对象，小球受自身重力G，斜面对小球的支持力F1，挡板对小球的弹力F2和竖直向下的压力F四个力作用，画出受力示意图如图1-2所示。因为力F和重力G方向同为竖直向下，所以可以将它们等效为一个力，设为F，这样小球就等效为三个力作用，力的示意图如图1-3所示。画出以F1和F2为邻边的力的平行四边形，因为三力平衡，所以F1和F2的合力F合与F 等大反向（如图1-4所示）。各力的方向不变,当F增大，F合应随之增大，对应平行四边形的对角线变长，画出另一个状态的力的矢量图（如图1-5所示），由图中平行四边形边长的变化可知F1和F2都在增大。
根据物体在三个力的作用下平衡时，这三个力一定能构成一个封闭的矢量三角
形。这样也可以将上述三个力F、F1、F2平移成矢量三角形（如图1-6所示），由F
增大，可画出另一个状态下的矢量三角形，通过图像中三角形边长的变化容易看出
F1和F2都在增大。
图1-6
（2）物体受三个力（或可等效为三个力）作用，一个力是恒力（通常是重力），其余两个力中一个方向不变，另一个方向改变。
例2、如图2-1所示，OB 绳水平，OA 绳与竖直墙面夹角为θ。现保持θ不变，将B 点缓慢上移，则OA 绳和OB 绳中的张力大小如何变化？
解析：OA 绳和OB 绳中张力就是两根绳对O 点的拉力，所以选取O 点为研究对象，分析O 点受力如图2-2所示，其中F 为重物通过绳子对O 点的拉力（其大小等于物重）。当B 点缓慢上移时，O 点一直处于三力平衡状态。其中F 的大小、方向均不变，是恒力。F1的方向不变，F2的方向改变。 画出若干状态下以F1和F2为邻边的平行四边形，如图2-3所示。F 不变，则平行四边形的对角线不变；拉力F1方向不变，则平行四边形的一组邻边OA 方向不变。故由图可以看出F1逐渐减小，F2先减小后增大。
如果利用矢量三角形分析，如图2-4所示，拉力F 、F1、F2构成一封闭矢量三角形，可以看出因F 不变，所以三角形边长oa 不变；因为边长ab 变短，所以F1变小；因为边长ob 先变短后又变长，所以F2先变小后变大。当F2与F1方向垂直时，F2最小。
所以OA 绳中张力变小，OB 绳中张力先变小后变大。
例3、如图3-1所示，一个重为30N 的重物，用绳悬于O 点，现用力拉重物，要使重物静止在悬线偏离竖直方向30°角的位置，所用拉力F 的最小值为 （ ）
A 15N
B 30N
C N 310
D N 315
θ 图2-1 图2-2 图2-3 图2-4 图3-1 图3-2 图3-3 图3-4
解析：选取重物为研究对象，受力图如图3-2所示，其中G 为物体重力，T 为绳子对物体的拉力。因为重物静止，所以物体处于三力平衡状态。T 和F 的合力G ’应与物重G 等大反向。当拉力F 的方向改变时，重力G 为一个恒力不变，拉力T 方向始终不变，因此画出不同状态下以T 和F 为邻边的平行四边形，如图3-3所示。在F 方向改变的过程中，平行四边形的对角线不变，拉力T 对应的邻边的方向不变，要使拉力F 最小，就要使其对应的边长最短，可以发现，当F 与T 垂直时，F 最小。由三角函数知识可知，此时F=Gsin30°=30N ×0.5=15N 。
本题若利用矢量三角形解则更为方便，如图3-4所示，重力G ，绳拉力T ，拉力F 构成一封闭矢量三角形。因T 的方向不变，要使拉力F 最小，显然应当是F 与T 垂直时。
所以选项A 正确。
（3）物体受三个力（或可等效为三个力）作用，一个力是恒力，其余两个力方向都改变。 例4、一个相框用轻绳对称的悬挂在一个固定在竖直墙面的钉子上（如图4-1所示），不计绳与钉子间摩擦。如果换用一根较短的轻绳以同样的方式悬挂，问绳子中的张力将怎样变化？
解析：选取相框为研究
对象，相框受重力G 和绳的拉力F 作用，由于是同一根绳子，所以两个拉力大小相等。虽然三个力的作用点不在同一点，但是它们的作用线交于同一点O ，所以三个力是共点力。其受力图如图4-3所示，由对称性可知，以两个拉力F 为邻边的平行四边形是菱形。若换用较短绳子，则两个拉力间的夹角变大（如图4-3所示），画出此状态下的受力图，如图4-4所示，由于G 不变，所以菱形的对角线不变，当两拉力F 夹角变大时，菱形两个邻边变长，所以拉力F 变大。所以绳中的张力变大。
2、相似三角形法
画出力的矢量三角形，找力学三角形与几何三角形相似，利用各对应边成比例的关系，确定力的大小变化情况。
适用题型：
图4-1 图4-2 图4-3 图4-3 图4-4
物体受三个力（或可等效为三个力）作用，一个力是恒力，其余两个力方向都改变。（通常问题较复杂）
例5、如图所示，在半径为R 的光滑半球面上高为 h 处悬挂一定滑轮，重力为G 的小球被站在地面上的人用绕过定滑轮的绳子拉住，人拉动绳子，小球在与球面相切的某点缓慢运动到接近顶点的过程中，求小球对半球的压力和绳子的拉力大小将如何变化 ？
解析：选取小球为研究对象，小球受竖直向下的重力G ，沿绳子的拉力F 和沿半径向外的支持力N 三个力作用。将N 和G 合成，其合力与F 等大反向（如图5-2所示）。当小球沿球面向上运动过程中，拉力F 和支持力N 的方向都在改变，通过矢量三角形难以判断N 和F 的变化。所以寻找相似三角形，容易证明图中力学三角形（阴影部分）与几何三角形OAB 相似，根据对应边成比例可得到以下关系：L
F R N R h
G ==+ ，因为h+R 不变，所以G 不变；因为R 的长度不变，所以N 的大小不变；因为L 逐渐减小，所以F 逐渐减小。由牛顿第三定律，N 大小不变，则小球对半球的压力大小也不变。
所以小球对半球的压力大小不变，绳子的拉力逐渐变小。
例6、如图所示，某人执行一项特殊任务，需从半球形屋顶B 点向上缓慢爬行到A 点，他在爬行过程中（ ）
A 屋顶对他的支持力变小
B 屋顶对他的支持力变大
C 屋顶对他的摩擦力变小
D 屋顶对他的摩擦力变大
解析：选取人为研究对象，人受到重力G ，沿半径向外的支持力
N 和沿球面切线方向向上的摩擦力f 三个力作用。将N 与f 合成，其
合力与G 等大反向（如图6-2所示）。当人向上爬行时，N 与f 的方向
都在改变，而N 与f 之间一直是垂直的，所以可以寻找相似三角形。
过B 点做底面垂线BC 交底面于C 点，容易证明图中力学三角形（阴
影部分）与几何三角形OBC 相似。所以有：OC f BC N OB G == ，因为OB 、G 不变，而BC 变长，OC 变短，所以N 变大，f 变小。所以选项B 、C 正确。
3、正交分解法
利用正交分解建立坐标系，将变力按选定的方向进行分解，则有ΣF x =0，ΣF y =0。要抓住不变量，通过角度变化导致三角函数变化，从而进行判断。注意选择合适的坐标系，一般应遵循的原则是：不在坐标轴上的力越少越好，各力与坐标轴的夹角是特殊角为好。
图5-1 图5-2 图6-1
图6-2
