5.4 第2课时 用逼近法求一元二次方程的近似根
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典案一教学设计(续表)【课堂引入】[师]上节课我们学习了二次函数的图象与一元二次方程的关系,请思考(出示 画板课件):[生]一元二次方程X 2+X -2 = 0的根是二次函数y=x?+x —2的图象与x 轴 交点的横坐标.[师]很好,我们还可以根据二次函数的图象与x 轴的交点情况,判断一元二 次方程根的情况.这样,我们在不解方程的情况下,只要知道二次函数图彖与X 轴交点的横坐 标即可.但是在图彖上我们很难准确地求出方程的解,所以要进行估算.本 节课我们将学习利用二次函数的图象求-元二次方程的近似根.【探究1】上节课我们学习了二次函数y=ax2+bx+c (aH0)的图象与x 轴的交点坐标和一元二次方程ax2+bx+c=0(aH0)的根的关系,懂得了二次 函数图象与x 轴交点的横坐标,就是y=0时的一元二次方程的根.于是, 我们在不解方程的情况下,只要知道二次函数与x 轴交点的横坐标即可.但 是在图象上我们很难准确地求出方程的解,所以耍进行估算.你能利用二次函数的图象估计一元二次方程X 2+2X -10=0的根吗?(耕确 到0」)图 2-5-28X-4.1-4.2 -4.3 -4.4 y -1.39-0.76-0.110.56活动 ■ ■ 创设 情境 导入通过一道简单的题 目,让学生进一步理解体会二次函数与一 元二次方程的关系, 同时又训练了学生形 数结合的能力,渗透 了数学中"数形结 合”的思想,符合新课标要求.活动 二: 实践 探究 交流 新知本环节是本节新课的 重点内容,题目的设 计意图:一、让学生 巩固对二次函数图象 物线的形成的 认识,二、主要是让 学生运用二次函数图 象与x 轴交点的横坐 标就是方程ax' + bx + c = 0的根的原理, 经历一元二次方程根 的近似值探索过程, 进一步体会二次函数 与方程之间的联系.X 2」 2.22.3 2.4y-1.39—0.76 -0.11 0.56处理方式:引导学生回顾画二次函数y=ax2+bx+c (aH0)图彖的 步骤方法,观察估计二次函数y=x?+2x —10的图象与x 轴的交 点的横处标,由图彖町知,图彖与x 轴有两个交点,其横坐标一 个在一5与一4之间,另一个在2与3之间.所以方程X 2+2X -10 =0的两个根一个在一5与一4之间,另-•个在2与3之间.既然 一个根在一5与一4 Z 间,那这个根一定是负4点几,所以个位数 就确定下来了,接着确定十分位上的数,这吋可以用试一试的方 法,即分别把只=-4.1, -4.2,…,一4.9代入方程进行计算,哪一个值能使等式成立(或哪一个值能使等式近似成立),则这个 值就是方程的根(或近似根).从上表町知,当x 取一4.4或一4.3 时,对应y 的值由正变负,叫见在一4.4和一4.3之J'日J 一定有一个 x 值使得y=0,即有方程X 2+2X -10=0的一个根.由于当x=- 4.3 时,y=—0.11 比y=0.56(x=—4.4)更接近 0,所以选 x=—4.3. 因此,方程X 2+2X -10=0在一5和一4之间精确到0.1的根为x= -4.3. 【探究2】⑴利用二次函数的图彖(如图2 — 5—29)求一元二次方 程X 2+2X -13 = 0的近似根.(续表)活动■ ■ 实践 探究 交流 新知X-4.5 一 4.6-4.7 -4.8 -4.9 y -1.75 -1.04 -0.31 0.44 1.21X2.52.62.72.82.9y-1.75 一 1.04 —0.31 0.44 1.21让学生理解一元 二次方程ax 2 + bx+ c = h 的根就是二次函数y = ax 2 +bx + c 与直线y =h (h 是实数)图象交点的横坐标 这一代数原理,培 养学生熟练画函 数图象的能力,提 高运算的准确性 和熟练使用计算 器的能力.由于要 列表、取值计算、 描点,工作量较 大,教学中可以组 织学生在学习小 组内合作、分工来 完成,借此培养学 生的合作意识.图 2-5-29⑵你还能利用图2-5-30求一元二次方程X 2+2X -10 = 3的近似 根吗?(续表)【当堂检测】1. 课木P55随堂练习2. 课本 P57 习题 2.11 中 Tl 、T2、T3【板书设计】【教学反思】 ① [授课流程反思]通过情景引入,让学生能够建立二次函数与一元二次方程之间的 联系,渗透数形结合的思想,而不仅仅是利用函数的图彖求一元 二次方程的近似解. ② [讲授效果反思]在教学时,着重让学生动手画图、计算、估值、讨论,让他们有 学习数学成功的体验.教学中要相信学生,并为不同层次学生设 计、提供展示自己的机会,多给予肯定的评价. ③ 师生互动反思④ [习题反思] 好题题巧 错题题号活动 —■ 开放 训练 体现 应用A. 6<x<6.17B. 6.17<x<6.18C.6.18<x<6」9D. 6.19<x<6.20例2利用二次两数y=/+x —3的图象求一元二次方程x 2-Fx —3=0的近似根.【拓展提升】例3借助二次函数y=2x 2-3x-l 的图象,可求出下面哪个方 程的近似根()A.x 24-5x —1 =0B. X 2+3X — 1 =0C.2X 2-3X + 5=6D. X 2+5X =0例4 一元二次方程X 2+7X +9 = 1的根与二次函数y=x?+7x+9的图彖冇什么关系?试把方程的根在图彖上表示出來.考査同学们是否理解了用图象法 求方程根的方法,能否快速准确的利用图象探求方程根的近似 值,观察他们是否能自觉利用化 归思想把复杂问题转化成简单情况进行解决.通过这两个题的解决,让学生找 寻不同的解题方法,培养学生的 分析能力,深刻体会数学思想的 多样性和灵活性.在一题多解的 过程中,贯彻分层教学的理念, 让学生在思维最活跃的时候,最 大化地提高学习能力.当堂检测,及时反馈学习效果.提纲挈领,重点突出.活动 四: 课堂 总结 反思反思,更进一步提升.【应用举例】例1根据下列农格中二次函数y=ax?+bx + c 的自变量x 与函 数值y 的对应值,判断方程ax?+bx + c=O (aHO, a, b, c 为常 数)的一个解x 的范围是()。
课题:利用图像求一元二次方程的近似根【教学目标】1、会利用二次函数的图像求一元二次方程的近似根;2、经历由图像求方程近似根的探索活动,感受数学中“无限逼近”的重要思想方法,进一步利用计算器进行估算的能力;3、通过独立思考、合作探究,体会数形结合的数学思想.【教学重点】利用二次函数y=ax2+bx+c的图像求一元二次方程ax2+bx+c=0的近似根.【教学难点】如何逐步缩小根的范围求方程的近似根.【教学方法与教学手段】本节课通过“预学单”引导学生课前自主学习,课堂先根据“预学单”反馈的情况开展教学活动,经历“个人思考---组内讨论---教师引导---学生归纳---教师总结”的过程,利用二次函数y=x2-2的图像求出方程x2-2=0介于1~2之间的近似根,然后让学生自主探究“如何利用函数y=x2+2x-5的图像求方程x2+2x-5=0介于1~2之间的近似根”,再运用所积累的经验在教师的引导下提出问题并解决问题。
本节课主要通过小组交流讨论及师生对话的互动方式开展活动,在探索的过程中体验数学中“无限逼近”的重要思想和方法,进一步提高“数形结合”探讨问题的研究能力和借助计算器进行估算的方法与能力。
【教学流程】一、预学导入1、我们曾经求过2的近似值,你还记得是怎么求的吗?【设计意图】回顾逼近法求近似值的过程,为本节课的学习做好准备.2、观察二次函数y=x2-1的图像,你可以得到哪些结论?【设计意图】回顾已学知识,重点关注函数与方程的关系,本题利用函数图像能直接看出对应方程的根,为引出下面一个不能直接看出方程根的问题作准备.二、探索活动活动一、利用二次函数y=x2-2的图像求方程x2-2=0介于1~2之间的根的近似值(精确到0.1).【设计意图】本题利用函数图像不能直接看出对应方程的根,但可以看出根的范围,那么能否进一步缩小根的范围,使得结果更为精确呢?借此引入课题.然后引导学生利用二次函数y=x2-2的图像求方程x2-2=0介于1~2之间的根的近似值.∙x 5活动二、利用二次函数y=x 2+2x -5的图像,借助计算器,探索方程x 2+2x -5=0介于1~2之间的根的近似值(精确到0.1). 【设计意图】独立思考,再小组交流讨论的方式解决问题,进一步加深对求方程近似根的过程和方法的理解.活动三、组内成员合作写出一个“陌生”方程,并探讨如何利用函数图像求它的近似根.【设计意图】本节课内容的升华,学生自己设计方程,自己思考如何利用函数图像求方程的近似根,一方面检测学生是否掌握了前面的方法,另一方面寻求同一方程的不同解法,进一步理解函数与方程的关系以及逼近法求方程近似根的过程.三、小结思考【设计意图】让学生谈谈本节课的学习内容,教师再对学生的观点进行总结和提升,同时启发学生反思.四、课后练习利用二次函数图像,借助计算器求方程x 2+x -3=0的根的近似值(精确到0.1).【设计意图】课后练习巩固.。
第二章二次函数5 二次函数与一元二次方程第2课时利用二次函数的图象估计一元二次方程的近似根教学目标教学反思1.经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程,获得用图象法求方程近似根的体验.2.利用图象法求一元二次方程的近似根,重要的是让学生懂得这种求解方法的思路,体验数形结合思想.教学重难点重点:能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根.难点:用图象法求解一元二次方程的近似根并估算.教学过程知识回顾1.二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标与一元二次让学生独立回答.设计意图:让学生再次感知一元二次方程的根与二次函数图象与x轴交点之间的关系,为新知识的探究打下了良好的基础.导入新课师:上节课我们学习了二次函数的图象与一元二次方程的关系,请思考一元二次方程x2+x-2=0的根与二次函数y=x2+x-2的图象与x轴交点的横坐标有什么关系?生:一元二次方程x2+x-2=0的根是二次函数y=x2+x-2的图象与x轴交点的横坐标.师:很好,我们还可以根据二次函数的图象与x轴的交点情况,判断一元二次方程根的情况.这样,我们在不解方程的情况下,只要知道二次函数图象与x轴交点的横坐标即可,但是根据图象我们很难准确地求出方程的解,所以要进行估算,本节课我们将学习利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根.探究新知一、预习新知上册我们已经学习了一元二次方程的各种解法,今天我们尝试另外的一种解法——图象法.你能利用二次函数的图象估计一元二次方程x2+2x-10=0的根吗?多媒体展示函数y=x2+2x-10的图象.教师引导学生观察并估计二次函数y=x2+2x-10的图象与x轴的交点的横坐标,确定出二次函数y=x2+2x-10的图象与x轴的交点的横坐标的大致范围.学生观察后得出:函数图象与x轴有两个交点,其横坐标一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间,所以方程x2+2x-10=0的两个根一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间.议一议:这只是大概范围,究竟更接近于哪一个数呢?请大家继续讨论.经过讨论学生发现:既然一个根在-5与-4之间,那这个根一定是负4点几,所以个位数就确定下来了.教师继续提出问题:如何确定它的十分位呢?学生再分组讨论,小组代表发言:十分位上的数可以用试一试的方法确定,即分别把x=-4.1,-4.2,…,-4.9代入方程进行计算,哪一个值能使等式成立(或哪一个值能使等式近似成立),则这个值就是方程的根(或近似根).教师先肯定这种方法可行,但是计算比较烦琐,同学们可以借助计算器进行计算.学生合作,完成下表师:现在你能确定十分位上的数了吗?教师总结:由表格可知,当x取-4.3或-4.4时,对应y的值由负变正,可见在-4.4和-4.3之间一定有一个x值使y=0,即有方程x2+2x-10=0的一个根.由于当x=-4.3时,y=-0.11比y=0.56(x=-4.4)更接近0,所以x=-4.3更接近方程的根.因此,方程x2+2x-10=0在-5和-4之间精确到0.1的根为x=-4.3.用同样的方法让学生找到2和3之间的近似根为x=2.3.教师点评:用图象法求一元二次方程的近似根时,结果只取到十分位.师:我们得出的结论是否正确?你能用我们学过的知识进行验证吗?生:可以利用一元二次方程的求根公式进行验证.学生独立完成验证过程.教学反思教师多媒体展示,供学生参考.教学反思设计意图:本环节是本节新课的重点内容,一是让学生巩固对二次函数图象的形成的认识,二是让他们运用二次函数图象与x轴交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0的根的原理,经历一元二次方程根的近似值的探索过程,进一步体会二次函数与方程之间的联系.二、合作探究多媒体展示课本做一做师:请利用课本图2-17求一元二次方程x2+2x-10=3的近似根.教师提示学生对比方程x2+2x-10=3和方程x2+2x-10=0的形式的不同之处,思考解决问题的方法.学生观察后得出:通过转化可以把原方程变形为x2+2x-13=0,然后按照上面探究的方法进行求解.师:你还能利用课本图2-18求一元二次方程x2+2x-10=3的近似根吗?教师引导学生对比方程x2+2x-10=3和方程x2+2x-10=0相应的函数表达式的y的值,讨论y=3时对应的x值的确定方法.然后学生分组讨论,小组代表阐述本小组的观点:只需要找到二次函数y=x2+2x-10图象和直线y=3的交点的横坐标即可.学生在课本的图2-18上作出直线y=3,确定交点.根据图象得到近似根.设计意图:通过探究,既巩固了所学知识,又让学生明白了一元二次方程ax2+bx+c=k的根就是二次函数y=ax2+bx+c的图象与直线y=k(k是实数)交点的横坐标这一数学原理,培养学生观察图象、分析图象的能力.典型例题【例】利用二次函数的图象估计一元二次方程x2-2x-1=0的近似根(结果精确到0.1).【问题探索】根据图象法估计一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的近似值的一般步骤解决问题.【解】方程x2-2x-1=0的根是函数y=x2-2x-1的图象与x轴交点的横坐标.作出二次函数y=x2-2x-1的图象,如图所示.由图象可知方程有两个根,一个在-1和0之间,另一个在2和3之间.先求-1和0之间的根,当x=-0.4时,y=-0.04;当x=-0.5时,y=0.25.因此,x≈-0.4是方程的一个近似根,同理,x≈2.4是方程的另一个近似根.即方程x2-2x-1=0的近似根为x1≈-0.4,x2≈2.4.【总结】利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根的一般步骤:(1)画出二次函数的图象;(2)确定抛物线与x轴的交点的横坐标在哪两个数之间;(3)列表或直接取值代入方程计算,哪一个值能使方程近似成立,则这个值就是方程的近似根.课堂练习1.2A.1B.1.1C.1.2D.1.32.下表是满足二次函数y =ax 2+bx +c 的五组数据,x 1是方程ax 2+bx +c =011C.2.0<x 1<2.2D.2.2<x 1<2.4则一元二次方程x -2x -2=0在精确到0.1时的一个近似根是,利用抛物线的对称性,可推知该方程的另一个近似根是 .参考答案1.C2.C3.2.7 -0.7课堂小结(学生总结,老师点评)利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根的一般步骤.板书设计第二章 二次函数 5 二次函数与一元二次方程第2课时 利用二次函数的图象估计一元二次方程的近似根利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根的一般步骤: (1)画出二次函数的图象;(2)确定抛物线与x 轴的交点的横坐标在哪两个数之间; (3)列表,在(2)中的两数之间取值,进行估计. 在列表求近似根时,近似根就出现在对应y 值正负交换的区间,也就是对x 取一系列值,看y 对应于哪两个值由负变成正,或由正变成负,此时x 的两个对应值之间必有一个近似根.教学反思。
第2课时用逼近法求一元二次方程的近似根知识点1用图像求一元二次方程的近似根1.抛物线y=x2-2x+0.5如图5-4-5所示,利用图像可得方程x2-2x+0.5=0的近似根(精确到0.1)为()图5-4-5A.1.7或0.3B.1.6或0.4C.1.5或0.5D.1.8或0.22.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像的顶点坐标为(-1,-3.2),部分图像如图5-4-6,由图像可知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1≈1.3和x2≈()图5-4-6A.-1.3B.-2.3C.-0.3D.-3.33.图5-4-7是二次函数y=ax2+bx-c的部分图像,由图像可知关于x的一元二次方程ax2+bx=c 的两个根可能是.(精确到0.1)图5-4-7知识点2用表格求一元二次方程的近似根4.下表是一组二次函数y=x2+3x-5的自变量x与函数值y的对应值:那么方程x2+3x-5=0的一个近似根是()A.1B.1.1C.1.2D.1.35.下面的表格列出了函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,且a≠0)的部分x与y的对应值,那么方程ax2+bx+c=0的一个根x的取值范围是()A.6<x<6.17B.6.17<x<6.18C.6.18<x<6.19D.6.19<x<6.206.二次函数y=ax2+bx+c中,自变量x与函数y的部分对应值如下表:则一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c是常数,且a≠0)的两个根x1,x2(x1<x2)的取值范围是下列序号中的.①-<x1<0,<x2<2;②-1<x1<-,2<x2<;③-<x1<0,2<x2<.7.已知二次函数y=-x2-2x+2.(1)填写下表,并在如图5-4-8所示的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图像;(2)结合函数图像,直接写出方程-x2-2x+2=0的近似根(指出在哪两个连续整数之间即可).图5-4-88.已知二次函数y=ax2+bx+c与自变量x的部分对应值如下表:现给出下列说法:①该函数图像开口向下;②该函数图像的对称轴为过点(1,0)且平行于y轴的直线;③当x=2时,y=3;④方程ax2+bx+c=-2的正根在3与4之间.其中正确的说法为.(只需写出序号)9.已知二次函数y=x2+x的图像如图5-4-9所示.(1)根据方程的根与函数图像之间的关系,将方程x2+x=1的根在图上近似地表示出来,并根据图像,写出方程x2+x=1的根(精确到0.1);(2)在同一平面直角坐标系中画出一次函数y=x+的图像,观察图像写出自变量x的取值在什么范围内时,一次函数的值小于..二次函数的值.图5-4-910.某小区有一块长100 m、宽80 m的空地,现将其建成花园广场,设计图案如图5-4-10,阴影区域为绿化区(四块绿化区是全等矩形),空白区域为活动区,且四周出口一样宽,宽度不小于50 m,不大于60 m.预计活动区每平方米造价60元,绿化区每平方米造价50元.(1)设一块绿化区的长为x m,写出工程造价y与长边x之间的函数表达式.(写出x的取值范围)(2)若小区投资46.9万元,则能否完成工程任务?若能,请写出x为整数的所有工程方案;若不能,请说明理由.(参考数据:≈1.732)图5-4-1011.图5-4-11是二次函数y=(x+h)2+k的图像,其顶点坐标为M(1,-4).(1)求图像与x轴的交点A,B的坐标.(2)在二次函数的图像上是否存在点P,使S△P AB=S△MAB?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.(3)将二次函数的图像在x轴下方的部分沿x轴翻折,图像的其余部分保持不变,得到一个新的图像,请你结合这个新的图像回答:当直线y=x+b(b<1)与此图像有两个公共点时,b的取值范围是多少?图5-4-11教师详解详析1.A[解析] ∵抛物线y=x2-2x+0.5与x轴的两个交点坐标分别近似是(0.3,0),(1.7,0),∴方程x2-2x+0.5=0的近似根是1.7或0.3.2.D[解析] 因为抛物线的对称轴为直线x=-1,关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根是x1≈1.3,所以另一根x2≈-3.3.故选D.3.x1≈0.8,x2≈3.2(合理即可)4.C5.C6.③7.解:(1)填表如下:所画图像如图:(2)由图像可知,方程-x2-2x+2=0的两个近似根在-3与-2之间和0与1之间.8.①③④[解析] ∵二次函数值先由小变大,再由大变小,∴抛物线的开口向下,故①正确;∵抛物线过点(0,1)和(3,1),∴抛物线的对称轴为直线x=,故②错误;∵抛物线的对称轴为直线x=,∴当x=2时的函数值与当x=1时的函数值相等,为3,故③正确;∵当x=-1时,y=-3,∴当x=4时,y=-3,∴二次函数y=ax2+bx+c的函数值为-2时,-1<x<0或3<x<4,即方程ax2+bx+c=-2的负根在-1与0之间,正根在3与4之间,故④正确.9.解:(1)如图,作出直线y=1与抛物线交于点A,B,过点A,B分别作x轴的垂线,垂足分别为C,D,点C,D在x轴上表示的数就是方程x2+x=1的根.由图像知方程x2+x=1的根为x1≈-1.6,x2≈0.6(合理即可).(2)画直线y=x+如图.由图像可知当x<-1.5或x>1时,一次函数的值小于二次函数的值.10.解:(1)由题意,得出口宽为(100-2x)m,∴一块绿化区的宽为[80-(100-2x)]=(x-10)m,∴y=50×4×x(x-10)+60×[8000-4×x(x-10)]=200x2-2000x+480000-240x2+2400x,即y=-40x2+400x+480000(20≤x≤25).(2)能.令-40x2+400x+480000≤469000,∴x2-10x-275≥0,解得x≤5-10(舍去)或x≥5+10≈22.32,∴投资46.9万元,能完成工程任务.方案一:每块矩形绿地长为23 m,宽为13 m;方案二:每块矩形绿地长为24 m,宽为14 m;方案三:每块矩形绿地长为25 m,宽为15 m.11.[解析] (1)依据题目条件可直接求出二次函数的表达式,求图像与x轴的交点A,B的坐标,也就是计算当y=0时x的值;(2)可先求出S△MAB,根据S△P AB=S△MAB求出△P AB的底边AB上的高(即点P纵坐标的绝对值),求得点P的纵坐标,进而计算点P的横坐标;(3)分别计算出直线y=x+b(b<1)经过点A,B时b的值,即可求出b的取值范围.解:(1)∵(1,-4)是二次函数y=(x+h)2+k的顶点坐标,∴y=(x-1)2-4=x2-2x-3.令x2-2x-3=0,解得x1=-1,x2=3,∴A,B两点的坐标分别为(-1,0),(3,0).(2)在二次函数的图像上存在点P,使S△P AB=S△MAB.设P(x,y),则S△P AB=|AB|×|y|=2|y|.又∵S△MAB=|AB|×|-4|=8,∴2|y|=×8,即y=±5.∵二次函数的最小值为-4,∴y=5.当y=5时,x=-2或x=4.故存在符合题意的点P,点P的坐标为(-2,5)或(4,5).(3)如图,当直线y=x+b(b<1)经过点A时,可得b=1;当直线y=x+b(b<1)经过点B时,可得b=-3.由此可知符合题意的b的取值范围为-3<b<1.。
第2课时用逼近法求一元二次方程的近似根
知识点1用图像求一元二次方程的近似根
1.抛物线y=x2-2x+0.5如图5-4-5所示,利用图像可得方程x2-2x+0.5=0的近似根(精确到0.1)为
()
图5-4-5
A.1.7或0.3
B.1.6或0.4
C.1.5或0.5
D.1.8或0.2
2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像的顶点坐标为(-1,-
3.2),部分图像如图5-4-6,由图像可知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1≈1.3和x2≈()
图5-4-6
A.-1.3
B.-2.3
C.-0.3
D.-3.3
3.图5-4-7是二次函数y=ax2+bx-c的部分图像,由图像可知关于x的一元二次方程ax2+bx=c 的两个根可能是.(精确到0.1)
图5-4-7
知识点2用表格求一元二次方程的近似根
4.下表是一组二次函数y=x2+3x-5的自变量x与函数值y的对应值:
那么方程x2+3x-5=0的一个近似根是()
A.1
B.1.1
C.1.2
D.1.3
5.下面的表格列出了函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,且a≠0)的部分x与y的对应值,那么方程ax2+bx+c=0的一个根x的取值范围是()
A.6<x<6.17
B.6.17<x<6.18
C.6.18<x<6.19
D.6.19<x<6.20
6.二次函数y=ax2+bx+c中,自变量x与函数y的部分对应值如下表:
则一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c是常数,且a≠0)的两个根x1,x2(x1<x2)的取值范围是下列序号中的.
①-<x1<0,<x2<2;②-1<x1<-,2<x2<;③-<x1<0,2<x2<.
7.已知二次函数y=-x2-2x+2.
(1)填写下表,并在如图5-4-8所示的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图像;
(2)结合函数图像,直接写出方程-x2-2x+2=0的近似根(指出在哪两个连续整数之间即可).
图5-4-8
8.已知二次函数y=ax2+bx+c与自变量x的部分对应值如下表:
现给出下列说法:
①该函数图像开口向下;
②该函数图像的对称轴为过点(1,0)且平行于y轴的直线;
③当x=2时,y=3;
④方程ax2+bx+c=-2的正根在3与4之间.
其中正确的说法为.(只需写出序号)
9.已知二次函数y=x2+x的图像如图5-4-9所示.
(1)根据方程的根与函数图像之间的关系,将方程x2+x=1的根在图上近似地表示出来,并根据图像,写出方程x2+x=1的根(精确到0.1);
(2)在同一平面直角坐标系中画出一次函数y=x+的图像,观察图像写出自变量x的取值在什
么范围内时,一次函数的值小于
..二次函数的值.
图5-4-9
10.某小区有一块长100 m、宽80 m的空地,现将其建成花园广场,设计图案如图5-4-10,阴影区域为绿化区(四块绿化区是全等矩形),空白区域为活动区,且四周出口一样宽,宽度不小于50 m,不大于60 m.预计活动区每平方米造价60元,绿化区每平方米造价50元.
(1)设一块绿化区的长为x m,写出工程造价y与长边x之间的函数表达式.(写出x的取值范围)
(2)若小区投资46.9万元,则能否完成工程任务?若能,请写出x为整数的所有工程方案;若不能,请说明理由.(参考数据:≈1.732)
图5-4-10
11.图5-4-11是二次函数y=(x+h)2+k的图像,其顶点坐标为M(1,-4).
(1)求图像与x轴的交点A,B的坐标.
(2)在二次函数的图像上是否存在点P,使S△P AB=S△MAB?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)将二次函数的图像在x轴下方的部分沿x轴翻折,图像的其余部分保持不变,得到一个新的图像,请你结合这个新的图像回答:当直线y=x+b(b<1)与此图像有两个公共点时,b的取值范围是多少?
图5-4-11
教师详解详析
1.A[解析] ∵抛物线y=x2-2x+0.5与x轴的两个交点坐标分别近似是(0.3,0),(1.7,0),
∴方程x2-2x+0.5=0的近似根是1.7或0.3.
2.D[解析] 因为抛物线的对称轴为直线x=-1,关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根是x1≈1.3,所以另一根x2≈-
3.3.故选D.
3.x1≈0.8,x2≈3.2(合理即可)
4.C
5.C
6.③
7.解:(1)填表如下:
所画图像如图:
(2)由图像可知,方程-x2-2x+2=0的两个近似根在-3与-2之间和0与1之间.
8.①③④[解析] ∵二次函数值先由小变大,再由大变小,∴抛物线的开口向下,故①正确;
∵抛物线过点(0,1)和(3,1),∴抛物线的对称轴为直线x=,故②错误;
∵抛物线的对称轴为直线x=,
∴当x=2时的函数值与当x=1时的函数值相等,为3,故③正确;
∵当x=-1时,y=-3,∴当x=4时,y=-3,
∴二次函数y=ax2+bx+c的函数值为-2时,-1<x<0或3<x<4,
即方程ax2+bx+c=-2的负根在-1与0之间,正根在3与4之间,故④正确.
9.解:(1)如图,作出直线y=1与抛物线交于点A,B,过点A,B分别作x轴的垂线,垂足分别为C,D,点C,D在x轴上表示的数就是方程x2+x=1的根.
由图像知方程x2+x=1的根为x1≈-1.6,x2≈0.6(合理即可).
(2)画直线y=x+如图.
由图像可知当x<-1.5或x>1时,一次函数的值小于二次函数的值.
10.解:(1)由题意,得出口宽为(100-2x)m,
∴一块绿化区的宽为[80-(100-2x)]=(x-10)m,
∴y=50×4×x(x-10)+60×[8000-4×x(x-10)]=200x2-2000x+480000-240x2+2400x,
即y=-40x2+400x+480000(20≤x≤25).
(2)能.令-40x2+400x+480000≤469000,
∴x2-10x-275≥0,
解得x≤5-10(舍去)或x≥5+10≈22.32,
∴投资46.9万元,能完成工程任务.
方案一:每块矩形绿地长为23 m,宽为13 m;
方案二:每块矩形绿地长为24 m,宽为14 m;
方案三:每块矩形绿地长为25 m,宽为15 m.
11.[解析] (1)依据题目条件可直接求出二次函数的表达式,求图像与x轴的交点A,B的坐标,也就是计算当y=0时x的值;(2)可先求出S△MAB,根据S△P AB=S△MAB求出△P AB的底边AB上的高(即点P纵坐标的绝对值),求得点P的纵坐标,进而计算点P的横坐标;(3)分别计算出直线y=x+b(b<1)经过点A,B时b的值,即可求出b的取值范围.
解:(1)∵(1,-4)是二次函数y=(x+h)2+k的顶点坐标,
∴y=(x-1)2-4=x2-2x-3.
令x2-2x-3=0,解得x1=-1,x2=3,
∴A,B两点的坐标分别为(-1,0),(3,0).
(2)在二次函数的图像上存在点P,使S△P AB=S△MAB.
设P(x,y),则S△P AB=|AB|×|y|=2|y|.
又∵S△MAB=|AB|×|-4|=8,
∴2|y|=×8,即y=±5.
∵二次函数的最小值为-4,
∴y=5.
当y=5时,x=-2或x=4.
故存在符合题意的点P,点P的坐标为(-2,5)或(4,5).
(3)如图,当直线y=x+b(b<1)经过点A时,
可得b=1;
当直线y=x+b(b<1)经过点B时,
可得b=-3.
由此可知符合题意的b的取值范围为-3<b<1.。