随机变量及其分布列与独
立性检验练习题附答案 It was last revised on January 2, 2021
数学学科自习卷（二）
一、选择题
1．将三颗骰子各掷一次，记事件A ＝“三个点数都不同”，B ＝“至少出现一个６点”，则条件概率()P A B ，()P B A 分别是（ ） A.
6091，12 B.12，6091 C.518，6091 D.91216，12
2．设随机变量ξ服从正态分布()3,4N ，若()()232P a P a ξξ<-=>+，则a 的值为
A ．73
B ．5
3
C ．5
D ．3
3．已知随机变量ξ～)2,3(2N ，若23ξη=+,则D η= A ． 0 B ． 1
C ． 2
D ． 4
4．同时抛掷5枚均匀的硬币80次，设5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的次数为ξ，则ξ的数学期望是（ ）
A ．20
B ．25 C. 30 D ．40
5． 甲乙两人进行乒乓球比赛, 约定每局胜者得1分, 负者得0分, 比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止, 设甲在每局中获胜的概率为
2
3
,乙在每局中获胜的概率为1
3,且各局胜负相互独立, 则比赛停止时已打局数ξ的期望()E ξ为（ ）
A ．24181
B ．26681
C ．27481
D ．670243
6．现在有10张奖券，8张2元的，2张5元的，某人从中随机无放回地抽取3张奖券,则此人得奖金额的数学期望为（ ） A ．6 B ．
395 C ．41
5
D ．9
7．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c ，,,(0,1)a b c ∈，且无其它得分情况，已知他投篮一次得分的数学期望为1，则ab 的最大值为
（ ）
A ．
148
B ．
124
C ．
112 D ．16
8．位于数轴原点的一只电子兔沿着数轴按下列规则移动：电子兔每次移动一个单位，移动的方向向左或向右，并且向左移动的概率为23，向右移动的概率为1
3
，则电子兔移动五次后位于点(1,0)-的概率是 （ ）
A ．
4243 B ．8243 C ．40
243
D ．
80
243
二、填空题
9．已知55104)1()1()1)(2(++???+++=-+x a x a a x x ，则=++531a a a ______.
10．乒乓球比赛采用7局4胜制，若甲、乙两人实力相当，获胜的概率各占一半，则打完5局后仍不能结束比赛的概率等于_____________________.
11．设ξ是离散型随机变量，
21
(),()33P a P b ξξ====
，且a b <，又42
,39E D ξξ==
，则a b +的值为______ _．
12．某车站每天8:009:00,9:0010:00--都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间是相互独立的，其规律为
到站的时刻 8：10 9：10 8：30 9：30 8：50
9：50
概率
一旅客8：20到站，则它候车时间的数学期望为＿＿＿＿＿＿＿。（精确到分） 三、解答题
13．我校社团联即将举行一届象棋比赛，规则如下：两名选手比赛时，每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时结束.假设选手甲与选
手乙比赛时，甲每局获胜的概率皆为2
3
，且各局比赛胜负互不影响.
（Ⅰ）求比赛进行4局结束，且乙比甲多得2分的概率；
（Ⅱ）设ξ表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量ξ的分布列和数学期望．14．2016年国家已全面放开“二胎”政策，但考虑到经济问题，很多家庭不打算生育二孩，为了解家庭收入与生育二孩的意愿是否有关，现随机抽查了某四线城市50个一孩家庭，它们中有二孩计划的家庭频数分布如下表:
（1）由以上统计数据完成如下22
?列联表，并判断是否有00
95的把握认为是否有二孩计划与家庭收入有关？说明你的理由．
（2）若二孩的性别与一孩性别相反，则称该家庭为“好字”家庭，设每个有二孩计划的
家庭为“好字”家庭的概率为1
2
,且每个家庭是否为“好字”家庭互不影响，设收入在8
千～1万的3个有二孩计划家庭中“好字”家庭有x个，求x的分布列及数学期望．
下面的临界值表供参考：
参考答案
1．A 【解析】
试题分析：由题意得事件A 的个数为654120??=，事件B 的个数为
336591-=，在B 发生的条件下A 发生的个数为12
3
560C A =，在A 发生的条件下B 发生的个数为12
3
560C A =，所以()6091p A B =，()601
1202
P B A =
=.故正确答案为A.
考点：1.计数原理；2.条件概率. 2．A 【解析】略 3．B 【解析】 4．B 【解析】
试题分析：5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的概率为
2235115()()2216C =,由题意可知ξ服从5
(80,)16的二项分布,所以数学期望为
5
802516
?=,故本题选B.
考点：二项分布与数学期望. 5．B 【解析】
试题分析：由已知，ξ的可能取值是2,4,6.
设每局比赛为一轮，则该轮比赛停止的概率为22215
+=.339
（）（）
若该轮结束时比赛还要继续，则甲，乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下一轮比赛是否停止没有影响.
所以()()()255420416
24699981981P P P ξξξ====?====，，（），
所以()52016266
=2+4+6=.9818181
E ξ???故选B.
考点：1.相互独立事件的概率；2.数学期望.
【名师点睛】解答本题，关键在于准确理解题意，利用独立事件的概率计算公式，计算出随机变量的概率.能否理解数学期望个概念与计算公式，也是对考生的考验. 6．B 【解析】
试题分析：当取三张都是两元的得奖金额是632=?元；当取两张两元一张五元得奖金额是9522=+?元； 当取一张两元两张五元得奖金额是
125212=?+?元.故得奖金额为12,9,6=ξ,对应的概率分别是310
2
218310122831038,,C C
C C C C C C ,
故其数学期望是5
39
151171511215791576)(=
=?+?+?
=ξE ,应选B. 考点：概率和数学期望的计算. 7．B 【解析】略 8．D 【解析】 考点：． 专题：．
分析：根据题意，分析可得质点P 移动五次后位于点（-1，0），其中向左移动3次，向右移动2次，进而借助排列、组合分析左右平移的顺序情况，由相互独立事件的概率公式，计算可得答案．
解答：解：根据题意，质点P 移动五次后位于点（-1，0），其中向左移动3次，向右移动2次；
其中向左平移的3次有C 53种情况，剩下的2次向右平移； 则其概率为C 53×（ 13
）2×（23）3=80243，
故选D ．
点评：本题考查相互独立事件的概率的计算，其难点在于分析质点P 移动五次后位于点（-1，0）的实际平移的情况，这里要借助排列组合的知识． 9．1 【解析】
试题分析：由题意得，令0x =，得0123452a a a a a a +++++=，令2x =-，得
0123450a a a a a a -+-+-=，两式相减，得1352()2a a a ++=，所以1351a a a ++=.
考点：赋值法的应用.
10．8
5
【解析】（方法一）打完5局后仍不能结束比赛的情况是甲、乙两人中任意某
个人任意胜3局，另一个人胜2局，其概率为8
52112123
35
12=-?）（）（C C . （方法二）打完5局后能结束比赛的情况是：甲、乙两人中任意某个人任意胜
4局或5局全胜，其概率等于83])21()211()21([5
5544512=+-?C C C ，所以，打完5局
后仍不能结束比赛的概率等于8
5
831=-.
11． 3 【解析】略 12．27
【解析】11111
103050709027.23361218?+?+?+?+?≈
13．（Ⅰ）4
81
；（Ⅱ）随机变量ξ的分布列为
【解析】
试题分析：（Ⅰ）这是一个独立重复试验，比赛进行4局结束，且乙比甲多得2分，只能是前两局乙胜一局，3,4局乙连胜，根据独立重复试验从而求出，值得注意的是，做这一类题，一定分析清楚，否则容易出错；（Ⅱ）设ξ表示比赛停止时已比赛的局数，ξ只能取值2,4,6，不能为3,5，分别求出ξ的取值为
2,4,6的概率，列分布列，从而求出数学期望，易错点为ξ的取值不正确，导致
分布列错误。
试题解析：（Ⅰ）由题意知，乙每局获胜的概率皆为21
133
-
=.比赛进行4局结束，且乙比甲多得2分即头两局乙胜一局，3,4局连胜，则
12212114333381
P C =???=.
（Ⅱ）由题意知，ξ的取值为2,4,6.则22215
(2)()()339
P ξ==+=
12122212212120(4)()()33333381P C C ξ==+=， 12
21216(6)()3381
P C ξ===，所以随机变
量ξ的分布列为
则52016266
2469818181
E ξ=?+?+?=
考点：本题考查独立重复事件的概率计算、离散型随机变量的分布列、期望，考查学生的逻辑推理能力以及基本运算能力.
14．（1）列联表见解析，有0095的把握认为是否有二孩计划与家庭收入有关；（2）分布列见解析，3
2
【解析】
试题分析：（1）根据题意填写好表格后，计算
()2
2
501261814225 4.327 3.8413020262452
K ?-?==≈>???.因此有0095的把握认为是否有二
孩计划与家庭收入有关；（2）由题意知,13,,2X
B X ??
???
的可能取值为0,1,2,3,根据二项分布的知识点求得分布列和数学期望. 试题解析：
（1）依题意得12,18,14,6a b c d ====,
因此有0095的把握认为是否有二孩计划与家庭收入有关. （2）由题意知,13,,2X
B X ??
???
的可能取值为0,1,2,3()()3
2
1311130,12228P X P X C ??????===== ? ? ?
??????, ()()2
3
23
11311
2,,322828
P X C P X ????====== ? ?????.
X的分布列为:
()3
E X=?=.
22
考点：1.独立性检验；2.二项分布.