随机变量及其分布列与独立性检验练习题附答案

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晋城市选修三第二单元《随机变量及其分布》检测(包含答案解析)

一、选择题1．已知随机变量ξ的分布列如下表，若()2E ξ=，则()D ξ的最小值等于（）A ．0B ．2C ．1D ．122．近几年新能源汽车产业正持续快速发展，动力蓄电池技术是新能源汽车的核心技术.已知某品牌新能源汽车的车载动力蓄电池充放电次数达到800次的概率为90%，充放电次数达到1000次的概率为36%.若某用户的该品牌新能源汽车已经经过了800次的充放电，那么他的车能够达到充放电100次的概率为（） A ．0.324B ．0.36C ．0.4D ．0.543．随机变量ξ的分布列如表所示，若1()3E X =-，则(31)D X +=（）A ．4B ．5C ．6D ．74．设103p <<，随机变量ξ的分布列如下：当p 在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭内增大时，下列结论正确的是（） A ．()D ξ减小 B ．()D ξ增大 C ．()D ξ先减小后增大 D ．()D ξ先增大后减小5．已知随机变量X 的分布列：Xa 2P12p - 12p若()1E X =，(21)2D X +=，则p =（） A ．13B ．14C ．15D ．166．在一次期中考试中，数学不及格的人数占20%，语文不及格占10%，两门都不及格占5%，若一名学生语文及格，则该生数学不及格的概率为（） A ．16B ．14C ．29D ．9507．已知随机变量()2,1XN ，其正态分布密度曲线如图所示，若向长方形OABC 中随机投掷1点，则该点恰好落在阴影部分的概率为（）附：若随机变量()2,N ξμσ，则()0.6826P μσξμσ-≤≤+=，()220.9544P μσξμσ-≤≤+=.A ．0.1359B ．0.7282C ．0.6587D ．0.86418．条件:p 将1，2，3，4四个数字随机填入如图四个方格中，每个方格填一个数字，但数字可以重复使用.记方格A 中的数字为1x ，方格B 中的数字为2x ；命题1若p ，则()()1122E x E x =，且()()()1212E x x E x E x +=+；命题2若P ，则()()1124D x D x =，且()()()1212D x x D x D x +=+( )A ．命题1是真命题，命题2是假命题B ．命题1和命题2都是假命题C ．命题1是假命题，命题2是真命题D ．命题1和命题2都是真命题9．某校从6名学生干部（其中女生4人，男生2人）中选3人参加学校的汇演活动，在女生甲被选中的情况下，男生乙也被选中的概率为（）A ．12B ．25C ．35D ．4510．下列四个结论中正确的个数是（1）对于命题0:p x R ∃∈使得2010x -≤，则:p x R ⌝∃∈都有210x ->；（2）已知2(2,)XN σ，则 (2)0.5P X >=（3）已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），则回归直线方程为ˆ23yx =-；（4）“1≥x ”是“12x x+≥”的充分不必要条件. A ．1B ．2C ．3D ．411．已知一组数据12,,,n x x x 的平均数3x =，方差24s =，则数据1232,32,,32n x x x +++的平均数、方差分别为（）A ．9,12B ．9,36C ．11,12D ．11,3612．若随机变量X 的分布列为（）且()1E X =，则随机变量X 的方差()D X 等于（） A ．13B ．0C ．1D ．23二、填空题13．已知随机变量ξ和η，其中η＝4ξ－2，且E (η)＝7，若ξ的分布列如下表，则n 的值为__.14．一个家庭有两个小孩，假设生男生女是等可能的，已知这个家庭有一个是女孩的条件下，这时另一个也是女孩的概率是________.15．在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回地依次抽取2道题，在第一次抽到理科题的条件下，第2次也抽到理科题的概率为_____.16．某工厂在试验阶段大量．．生产一种零件，这种零件有A 、B 两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响，若有且仅有一项技术指标达标的概率为12，至少一项技术指标达标的概率为34.按质量检验规定：两项技术指标都达标的零件为合格品，任意依次抽取该种零件4个，设ξ表示其中合格品的个数，则E ξ=______.17．袋中装有10个形状大小均相同的小球，其中有6个红球和4个白球.从中不放回地依次摸出2个球，记事件A =“第一次摸出的是红球”，事件B =“第二次摸出的是白球”，则()|P B A =______.18．从编号为1,2,…,10的10个大小相同的球中任取4个,在选出4号球的条件下,选出球的最大号码为6的概率为_____.三、解答题19．已知某射手射中固定靶的概率为34，射中移动靶的概率为23，每次射中固定靶､移动靶分别得1分､2分，脱靶均得0分，每次射击的结果相互独立，该射手进行3次打靶射击：向固定靶射击1次，向移动靶射击2次.（1）求“该射手射中固定靶且恰好射中移动靶1次”的概率；（2）求该射手的总得分X 的分布列和数学期望.20．2020年某市教育主管部门为了解近期举行的数学竞赛的情况，随机抽取500名参赛考生的数学竞赛成绩进行分析，并制成如下的频率分布直方图：（1）求这500名考生的本次数学竞赛的平均成绩x (精确到整数)；（2）由频率分布直方图可认为：这次竞赛成绩X 服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似等于样本的平均数x ，σ近似等于样本的标准差s ，并已求得18s ≈.用该样本的频率估计总体的概率，现从该市所有考生中随机抽取10名学生，记这次数学竞赛成绩在(86,140]之外的人数为Y ，求(2)P Y =的值(精确到0.001). 附：（1）当()2,XN μσ时，()0.6827,(22)0.9545P X P X μσμσμσμσ-<+=-<+=；（2）820.81860.18140.0066⨯≈.21．黑龙江省哈尔滨市为了打好疫情防控阻击战、歼灭战，在全民核酸检测期间，倡议全体市民:不聚餐、不聚集、居家抗疫．哈尔滨市市民小李为了增加居家抗疫的趣味性，在家里进行套圈游戏，游戏规则如下:向甲、乙两个物体进行套圈，先向甲物体套圈一次，再向乙物体套圈两次，一共套圈三次，向甲物体套圈时命中得2分，没有命中得0分;向乙物体套圈时，如果连续命中两次得3分，只命中一次得1分，一次也没有命中得0分．小李同志目前的水平是:向甲物体套圈时，命中的概率是34;向乙物体套圈时，命中的概率为23．假设小李同志每次套圈的结果相互独立.（1）求小李同志恰好命中三次的概率;（2）求小李同志获得总分X 的分布列及数学期望.22．为了解果园某种水果产量情况，随机抽取100个水果测量质量，样本数据分组为[)100,150，[)150,200，[)200,250，[)250,300，[)300,350，[]350,400（单位：克），其频率分布直方图如图所示：（1）用分层抽样的方法从样本里质量在[)250,300，[)300,350的水果中抽取6个，求质量在[)250,300的水果数量；（2）从（1）中得到的6个水果中随机抽取3个，记X 为质量在[)300,350的水果数量，求X 的分布列和数学期望；（3）果园现有该种水果越20000个，其等级规则及销售价格如下表所示：质量m （单位：克） 200m <200300m ≤<300m ≥等级规格二等一等特等价格（元/个） 4 7 1023．某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随即抽取该流水线上40件产品作为样本算出他们的重量(单位：克)重量的分组区间为(490495]，，(495500]，，…，(510515]，，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示.（1）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量.（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设X 为重量超过505克的产品数量，求X 的分布列及期望.（3）在上述抽取的40件产品中任取5件产品，求恰有2件产品的重量超过505克的概率. 24．玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0,1,2只残次品的概率分别为0.8,0.1,0.1，一顾客欲购一箱玻璃杯，售货员随意取一箱，顾客开箱随意地察看四只，若无残次品，则买下该箱，否则退回．试求：（1）顾客买下该箱的概率α；（2）在顾客买下的一箱中，求无残次品的概率β.25．某单位招聘员工时，要求参加笔试的考生从5道A 类题和3道B 类题共8道题中任选3道作答.（1）求考生甲至少抽到2道B 类题的概率；（2）若答对A 类题每道计1分，答对B 类题每道计2分，若不答或答错，则该题计0分.考生乙抽取的是1道A 类题，2道B 类题，且他答对每道A 类题的概率为23，答对每道B 类题的概率是12，各题答对与否相互独立，用X 表示考生乙的得分，求X 的分布列和数学期望.26．近年来，我国肥胖人群的规模不断扩大，肥胖人群有很大的心血管安全隐患，目前，国际上常用身体质量指数(Bodv Mass Index ，缩写BMI )来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是BMI ＝体重（单位：千克）身高2（单位：2m ），中国成人的BMI 数值标准为：BMI ＜18.5为偏瘦；18.5≤BMI ＜24为正常；24≤BMI ＜28为偏胖；BMI ≥28为肥胖.某单位随机调查了100名员工，测量身高、体重并计算出BMI 值.（1）根据调查结果制作了如下2×2列联表，请将2×2列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为肥胖与不经常运动有关；人中“经常运动且不肥胖”的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望.附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】根据分布列的性质可得23a =，由()2E ξ=可得出62m n =-，再由二次函数的基本性质可求得()D ξ的最小值. 【详解】由分布列的性质可得23a =，()12233E m n ξ=+=，所以，26m n +=，则62m n =-，()()()()()()222221212224222203333D m n n n n ξ=-+-=-+-=-≥，因此，()D ξ的最小值为0. 故选：A.本题考查利用随机分布列的性质解题，同时也考查了方差最值的计算，考查计算能力，属于中等题.2．C解析：C 【分析】事件A 表示“充放电次数达到800次”，事件B 表示“充放电次数达到1000次”，则()0.9=P A ，()0.36P AB =，结合条件概率的计算公式，即可求解.【详解】设事件A 表示“充放电次数达到800次”，事件B 表示“充放电次数达到1000次”，则()90%0.9,()36%0.36P A P AB ====，所以某用户的该品牌新能源汽车已经经过了800次的充放电，那么他的车能够达到充放电1000次的概率为：()0.36(|)0.4()0.9P AB P B A P A ===. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了条件概率的计算，其中解答中熟记条件概率的计算公式，正确理解题意是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.3．B解析：B 【分析】由于()13E X =-，利用随机变量的分布列列式，求出a 和b ，由此可求出()D X ，再由()(319)X D D X +=，即可求出结果.【详解】根据题意，可知：112a b ++=，则12a b +=， ()13E X =-，即：1123b -+=-，解得：16b =，13a ∴=，()22211111151013233369X D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+⨯++⨯++⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则()59959(31)D D X X ==⨯+=， ∴5(31)D X +=.【点睛】本题考查离散型随机变量的方差的求法，以及离散型随机变量的分布列､数学期望等知识，考查运算求解能力.4．A解析：A 【分析】根据方差公式得出211()64D p ξ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，结合二次函数的性质，即可得出答案. 【详解】122()01333E p p p ξ⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 222122()013333D p p p p ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--++-⨯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⨯2212113964p p p ⎛⎫=--+=-++ ⎪⎝⎭当p 在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭内增大时，()D ξ∴减小故选：A 【点睛】本题主要考查了求离散型随机变量的方差，涉及了二次函数性质的应用，属于中档题.5．B解析：B 【分析】由(21)4()D X D X +=，可得1()2D X =，由随机变量分布列的期望、方差公式，联立即得解. 【详解】由题意，11()0()2121222aE X p a p p =⨯-+⨯+⨯=∴+= 且(21)2D X +=，又1(21)4()()2D X D X D X +=∴=22211()(01)()(1)(21)222D X p a p ∴=-⨯-+-⨯+-⨯=联立可得：11,4a p == 故选：B 【点睛】本题考查了随机变量分布列的期望和方差，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于中档题.6．A解析：A 【分析】记“一名学生语文及格”为事件A ，“该生数学不及格”为事件B ，所求即为(|)P B A ，根据条件概率的计算公式，和题设数据，即得解. 【详解】记“一名学生语文及格”为事件A ，“该生数学不及格”为事件B ，所求即为：()20%5%151(|)()110%906P A B P B A P A -====-故选：A 【点睛】本题考查了条件概率的计算，考查了学生概念理解，实际应用，数学运算的能力，属于基础题.7．D解析：D 【分析】根据正态分布密度曲线的对称性和性质，再利用面积比的几何概型求解概率，即得解. 【详解】由题意，根据正态分布密度曲线的对称性，可得：()()1(01)(22)0.13592P X P P μσξμσμσξμσ≤≤=-≤≤+--≤≤+=故所求的概率为10.13590.86411P -==，故选：D 【点睛】本题考查了正态分布的图像及其应用，考查了学生概念理解，转化与划归的能力，属于基础题.8．D解析：D 【分析】方格A 中的数字为1x ，方格B 中的数字为2x ；由题意可知：所填入的数字1x 与2x 相互独立．再利用数学期望的性质及其方差的性质即可得出．【详解】方格A 中的数字为1x ，方格B 中的数字为2x ；由题意可知：所填入的数字1x 与2x 相互独立.命题1若p ，则由数学期望的性质可得：()()1122E x E x =，且()()()1212E x x E x E x +=+；命题2若P ，则由方差的性质可得：()()1124D x D x =，且()()()1212D x x D x D x +=+.因此命题1，2都正确. 故选：D. 【点睛】本题考查数学期望的性质及其方差的性质，考查逻辑推理能力和运算求解能力.9．B解析：B 【分析】先求出女生甲被选中的情况下的基本事件总数1215C C n =，再求出在女生甲被选中的情况下，男生乙也被选中包含的基本事件个数为2124C C m =，结合条件概率的计算方法，可得m P n=. 【详解】女生甲被选中的情况下，基本事件总数1215C C 10n ==，在女生甲被选中的情况下，男生乙也被选中包含的基本事件个数为2124C C 4m ==，则在女生甲被选中的情况下，男生乙也被选中的概率为42105m P n ===. 故选B. 【点睛】本题考查了条件概率的求法，考查了学生的计算求解能力，属于基础题.10．C解析：C 【分析】由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，即可判定是正确的；（2）中，根据正态分布曲线的性质，即可判定是正确的；（3）中，由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程，即可判定是正确；（4）中，基本不等式和充要条件的判定方法，即可判定．【详解】由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，可知命题0:p x R ∃∈使得2010x -≤，则:p x R ⌝∀∈都有210x ->，是错误的；（2）中，已知()22,X N σ~，正态分布曲线的性质，可知其对称轴的方程为2x =，所以 (2)0.5P X >=是正确的；（3）中，回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程，可得回归直线方程为ˆ23yx =-是正确；（4）中，当1x ≥时，可得12x x +≥=成立，当12x x +≥时，只需满足0x >，所以“1x ≥”是“12x x+≥”成立的充分不必要条件．【点睛】本题主要考查了命题的真假判定及应用，其中解答中熟记含有量词的否定、正态分布曲线的性质、回归直线方程的性质，以及基本不等式的应用等知识点的应用，逐项判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．11．D解析：D 【解析】分析：由题意结合平均数，方程的性质即可求得新数据的平均数和方差. 详解：由题意结合平均数，方程的性质可知：数据1232,32,,32n x x x +++的平均数为：3211x +=，方差为22336s ⨯=.本题选择D 选项.点睛：本题主要考查平均数的性质，方差的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12．D解析：D 【解析】分析：先根据已知求出a,b 的值，再利用方差公式求随机变量X 的方差()D X .详解：由题得1113,,130213a b a b a b ⎧++=⎪⎪∴==⎨⎪⨯++=⎪⎩ 所以2221112()(01)(11)(21).3333D X =-⋅+-⋅+-⋅= 故答案为D.点睛：（1）本题主要考查分布列的性质和方差的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是1x ，2x ，…，n x ，…，且取这些值的概率分别是1p ，2p ，…，n p ，那么D ξ＝211()x E p ξ-⋅＋222()x E p ξ-⋅＋…＋2()n n x E p ξ-⋅,称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的E ξ是随机变量ξ的期望．二、填空题13．【解析】所以且概率和解得解析：13【解析】42ηξ=-，()()9427,4E E E ηξξ=-==，所以()11912344124E m n ξ=⨯+++⨯=，且概率和111412m n +++=，解得13n =.14．【分析】利用列举法求出已知这个家庭有一个是女孩的条件下基本事件总数n=3这时另一个也是女孩包含的基本事件个数m=1由此能求出已知这个家庭有一个是女孩的条件下这时另一个也是女孩的概率【详解】一个家庭有解析：13【分析】利用列举法求出已知这个家庭有一个是女孩的条件下，基本事件总数n =3，这时另一个也是女孩包含的基本事件个数m =1，由此能求出已知这个家庭有一个是女孩的条件下，这时另一个也是女孩的概率. 【详解】一个家庭有两个小孩，假设生男生女是等可能的，基本事件有: {男，男}，{男，女}，{女,男}，{女,女}, 已知这个家庭有一个女孩的条件下，基本事件总数n =3 , 这时另一个也是女孩包含的基本事件个数m =1，∴已知这个家庭有一个女孩的条件下，这时另一个也是女孩的概率是13m p n ==，故答案为：13【点睛】本题主要考查了条件概率，可以列举在某条件发生的情况下，所有事件的个数及所研究事件的个数，利用古典概型求解，属于中档题.15．【分析】由已知中5道题中如果不放回地依次抽取2道题在第一次抽到理科题的条件下剩余4道题中有2道理科题代入古典概型公式得到概率【详解】∵5道题中有3道理科题和2道文科题则第一次抽到理科题的前提下第2次解析：12【分析】由已知中5道题中如果不放回地依次抽取2道题.在第一次抽到理科题的条件下，剩余4道题中，有2道理科题，代入古典概型公式，得到概率. 【详解】∵5道题中有3道理科题和2道文科题，则第一次抽到理科题的前提下，第2次抽到理科题的概率P 2142==. 故答案为：12. 【点睛】本题考查的知识点是条件概率，分析出基本事件总数和满足条件的事件个数是解答的关键，但本题易受到第一次抽到理科题的影响而出错.16．1【分析】设两项技术指标达标的概率分别为得到求得的值进而得到可得分布列和的值得到答案【详解】由题意设两项技术指标达标的概率分别为由题意得解得所以即一个零件经过检测为合格品的概率为依题意知所以故答案为解析：1 【分析】设,A B 两项技术指标达标的概率分别为12,P P ，得到()()()()122112111231114P p P P P P ⎧-+-=⎪⎪⎨⎪---=⎪⎩，求得12,P P 的值，进而得到1(4,)4B ξ，可得分布列和E ξ的值，得到答案．【详解】由题意，设,A B 两项技术指标达标的概率分别为12,P P ，由题意，得()()()()122112111231114P p P P P P ⎧-+-=⎪⎪⎨⎪---=⎪⎩，解得1211,22P P ==，所以1214P PP ==，即一个零件经过检测为合格品的概率为14，依题意知1(4,)4B ξ，所以1414E ξ=⨯=．故答案为1．【点睛】本题主要考查了随机变量的分布列及其数学期望的计算，其中解答中根据概率的计算公式，求得12,P P 的值，得到随机变量1(4,)4B ξ是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．17．【分析】首先第一次摸出红球为事件第二次摸出白球为事件分别求出利用条件概率公式即可求解【详解】由题意事件A 第一次摸到红球的概率为：又由第一次摸到红球且第二次摸到白球的概率为根据条件概率公式可得故答案为解析：49【分析】首先第一次摸出红球为事件A ，第二次摸出白球为事件B ，分别求出(),()P A P B ，利用条件概率公式，即可求解．【详解】由题意，事件A“第一次摸到红球”的概率为：6()10P A =，又由“第一次摸到红球且第二次摸到白球”的概率为6424()10990P A B =⨯=，根据条件概率公式，可得()()24104|()9069P A B P B A P A ==⨯=，故答案为49．【点睛】本题主要考查了概率的计算方法，主要是考查了条件概率与独立事件的理解，属于中档题．看准确事件之间的联系，正确运用公式，是解决本题的关键，着重考查了推理与运算能力．18．【分析】令事件求出即可求出选出4号球的条件下选出球的最大号码为6的概率【详解】令事件依题意知∴故答案为【点睛】本题考查古典概型理解古典概型的特征：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性掌握列解析：114【分析】令事件{}44A =选出的个球中含号球，{}46B =选出的个球中最大号码为，求出()39n A C =，()6n AB =，即可求出选出4号球的条件下，选出球的最大号码为6的概率．【详解】令事件{}44A =选出的个球中含号球，{}46B =选出的个球中最大号码为，依题意知()39=84n A C =，()246n AB C ==， ∴()61|8414P B A ==，故答案为114. 【点睛】本题考查古典概型，理解古典概型的特征：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性，掌握列举法，还要应用排列组合公式熟练，学会运用数形结合、分类讨论的思想解决概率的计算问题，属于中档题.三、解答题19．（1）13；（2）分布列答案见解析，数学期望：4112. 【分析】（1）记“该射手射中固定靶且恰好射中移动靶1次”为事件D ，得到D ABC BC A =+，结合互斥事件和相互独立事件的概率计算公式，即可求解；（2）随机变量X 的可能取值为0，1，2，3，4，5，根据互斥事件和相互独立事件的概率计算公式，求得相应的概率，得出分布列，利用期望的公式，即可求解. 【详解】（1）记“该射手射中固定靶且恰好射中移动靶1次”为事件D ，则()34P A =，()()23P B P C ==， D ABC BC A =+，其中ABC C AB +互斥，,,,,A B C B C 相互独立，从而()()()()322114336P ABC P A P B P C ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭，则()()()()13P D P ABC ABC P ABC P ABC =+=+=，所以该射手射中固定靶且恰好射中移动靶1次的概率为13. （2）随机变量X 的可能取值为0，1，2，3，4，5，则()()()()()3221011143336P X P ABC P A P B P C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫====---=⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()()()()()3111143312P X P ABC P A P B P C ====⨯⨯=，1211121(2)()()()()()()()4334339P X P ABC ABC P A P B P C P A P B P C ==+=+=⨯⨯+⨯⨯=，()()()()()()()()321312134334333P X P ABC ABC P A P B P C P A P B P C ==+=+=⨯⨯+⨯⨯=()()()()()122144339P X P ABC P A P B P C ====⨯⨯=,3221(5)()()()()4333P X P ABC P A P B P C ====⨯⨯=,该射手的总得分X 的分布列为随机变量X 的数学期望()012345.3612939312E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 【点睛】求随机变量X 的期望与方差的方法及步骤：理解随机变量X 的意义，写出X 可能的全部值；求X 取每个值对应的概率，写出随机变量的分布列；由期望和方差的计算公式，求得数学期望()(),E X D X ；若随机变量X 的分布列为特殊分布列（如：两点分布、二项分布、超几何分布），可利用特殊分布列的期望和方差的公式求解. 20．（1）104(分)；（2）0.298. 【分析】（1）根据频率分布直方图，利用平均数公式求解.（2）由104,18μσ==，求得(86140)(2)P X P X μσμσ<=-<+，进而得到(P X μσ-或2)X μσ>+，然后由()10,0.1814Y B ~求解.【详解】（1）10(650.0028750.01850.01950.0181050.02x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯，1150.0181250.0121350.008+⨯+⨯+⨯1450.0012)+⨯1010.416104.16104(=⨯=≈分).（2）由题意知()2,,X Nμσ~且104,18μσ==，所以8610418,1401041822μσμσ=-=-=+⨯=+，所以0.68270.9545(86140)(2)0.81862P X P X μσμσ+<=-<+==，所以(P X μσ-或2)10.81860.1814X μσ>+=-=，所以()10,0.1814Y B ~，所以()228102C 0.18140.8186450.006630.298P Y ==⨯⨯≈⨯≈.【点睛】结论点睛：（1）若X 服从正态分布，即X ～N (μ，σ2)，要充分利用正态曲线的关于直线X ＝μ对称和曲线与x 轴之间的面积为1.（2）二项分布是概率论中最重要的几种分布之一，在实际应用和理论分析中都有重要的地位．①判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有二：其一是独立性，即一次试验中，事件发生与不发生二者必居其一；其二是重复性，即试验是独立重复地进行了n 次． ②对于二项分布，如果在一次试验中某事件发生的概率是p ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是P (X ＝k )＝kk n kn p q C -.其中k ＝0，1，…，n ，q ＝1－p .21．（1）13；（2）分布列见解析，()5918E X =. 【分析】（1）直接根据相互独立事件的概率公式计算即可；（2）X 的可能取值为0，1，2，3，5，根据独立事件、互斥事件的概率公式分别计算X 的各种取值对应的概率，得出分布列，再计算数学期望．【详解】设小李同志第i 次套圈命中为事件i A ，1,2,3i =，则123,,A A A 为独立事件， (1)设恰好命中三次为事件A .()()()()()12312332214333P A P A A A P A P A P A ===⨯⨯=(2)X 的可能取值为0，1，2，3，5则()1231111043336P X P A A A ---⎛⎫===⨯⨯= ⎪⎝⎭()123123121112114334339P X P A A A P A A A ----⎛⎫⎛⎫==+=⨯⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()1233111243312P X P A A A --⎛⎫===⨯⨯= ⎪⎝⎭()1231231233P X P A A A P A A A P A A A ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫==++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭12231232111144334334339669=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++= ()()123322154333P X P A A A ===⨯⨯=X 的分布列为则()01235369129318E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】方法点睛：求解数学期望问题，首先要正确理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关. 22．（1）4个；（2）分布列见解析；期望为1；（3）143000（元）．【分析】（1）根据频率分布直方图得到质量在[)250,300，[)300,350的该水果的频率，按照比例抽取即可.（2）由（1）知，6个水果中由2个质量在[)300,350，得到X 的所有可能取值为0，1，2，再分别求得其相应的概率，列出分布列，再求期望.（3）根据频率分布直方图，得到质量在[)100,150，[)150,200，[)200,250，[)250,300，[)300,350，[]350,400的该种水果的频率，然后估计20000个水果中，哥等级的个数求解. 【详解】（1）质量在[)250,300，[)300,350的该水果的频率分别为0.008500.4⨯=，0.004500.2⨯=，其比为2:1，所以按分层抽样从质量在[)250,300，[)300,350的这种水果中随机抽取6个，质量在[)250,300的该种水果有4个．（2）由（1）可知，6个水果中由2个质量在[)300,350，所以X 的所有可能取值为0，1，2．()3436C 10C 5P X ===，()214236C C 31C 5P X ===，()124236C C 12C 5P X ===．所以X 的分布列为故X 的数学期望()0121555E X =⨯+⨯+⨯=．（3）由频率分布直方图可知，质量在[)100,150，[)150,200，[)200,250，[)250,300，[)300,350，[]350,400的该种水果的频率分别为0.1，0.1，0.15，0.4，0.2，0.05．所以估计20000个水果中，二等品有()200000.10.14000⨯+=个；一等品有()200000.150.411000⨯+=个；特等品有()200000.20.055000⨯+=个．果园该种水果的销售收入为40004110007500010143000⨯+⨯+⨯=（元）．【点睛】方法点睛：求解离散型随机变量X 的分布列的步骤：①理解X 的意义，写出X 可能取的全部值；②求X 取每个值的概率；③写出X 的分布列．(2)求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识． 23．（1）12件；（2）分布列见解析；期望为3965；（3）231703. 【分析】（1）求出重量超过505克的产品的频率，再计算数量即可；（2）X 的所有可能取值为0、1、2，求出对应的概率即可列出分布列，求出数学期望；（3）求出恰有2件产品的重量超过505克包含的基本事件的个数，除以总的基本事件的个数即可求解. 【详解】（1）重量超过505克的产品频率为0.0550.0150.3⨯+⨯=，重量超过505克的产品数量是400.312⨯=件；（2）X 的所有可能取值为0、1、2，021228240142763(0)780130C C P X C ⋅⨯====， 1228241011228(15)7801306C C P X C ⋅⨯====， 20122824061111(2)780130C C P X C ⋅⨯====， X 的分布列为：X 的期望561139()01213013013065E X =⨯+⨯+⨯=；（3）设在上述抽取的40件产品中任取5件产品，恰有2件产品的重量超过505克为事件A ，则322812540231 ()703C CP AC⋅==.【点睛】思路点睛：求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤：（1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；（3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）.24．（1）0.94；（2）0.85.【分析】（1）先求出一箱中有i件残次品的概率，再求查看的有i件残次品的概率，进而由条件概率求出顾客买下该箱玻璃杯的概率；（2）由（1）可得顾客买下该箱玻璃杯的条件下没有残次品的概率．【详解】设A＝‘顾客买下该箱’，B＝‘箱中恰有i件残次品’，i＝0,1,2，(1)α＝P(A)＝P(B0)P(A|B0)＋P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＝0.8＋0.1×419420CC＋0.1×418420CC≈0.94.(2)β＝P(B0|A)＝()()0.80.94P ABP A=≈0.85.【点睛】结论点睛：应用条件概率时弄清概率P(B|A)和P (AB) 的区别与联系:(1)联系:事件A和B都发生了;(2)区别: a、P(B| A)中，事件A和B发生有时间差异，A先B后;在P (AB)中，事件A、B同时发生.b、样本空间不同，在P(B|A)中，样本空间为A,事件P (AB)中,样本空间仍为Ω.25．（1）27；（2）分布列见解析；期望为83.【分析】（1）利用组合数计算考生甲至少抽到2道B类题的种数，利用古典概型的概率计算公式可求概率.（2）X的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，分别计算出各自的概率后可得分布列，再利用公式计算期望即可.【详解】解：（1）设“考生甲至少抽到2道B类题”为事件A，则213353382 ()7C C CP AC+==（2）X的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，。

大题专练训练50：随机变量的分布列(独立性检验)-2021届高三数学二轮复习

二轮大题专练50—随机变量的分布列（独立性检验）1．近年来，我国肥胖人群的规模急速增长，肥胖人群有着很大的健康隐患．目前，国际上常用身体质量指数（英文为BodyMassIndex，简称BMI）来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是BMI＝，中国成人的BMI数值标准为：BMI＜18.5为偏瘦；18.5≤BMI＜23.9为正常；24≤BMI＜27.9为偏胖；BMI≥28为肥胖．某地区随机调查了100名35岁以上成人的身体健康状况，测量身高、体重并计算BMI数值．（1）根据调查结果制作下面的2×2列联表，并判断能否有99%的把握认为35岁以上成人肥胖与不经常运动有关？肥胖不肥胖总计经常运动员工4060不经常运动员工2440总计100参考公式：，其中n＝a+b+c+d．参考数据：P（K2≥k）0.250.100.0500.0100.0050.001k 1.323 2.706 3.841 6.6357.87910.828（2）如果视样本的频率视为概率，现随机地从这个地区抽取经常运动人群中的3人，不经常运动人群中的1人座谈，记这4人中肥胖人数为X，求X的分布列和数学期望．解：（1）填表如下：肥胖不肥胖总计经常运动员工204060不经常运动员工241640总计4456100所以K2＝≈6.926，因为6.926＞6.635，所以有99%的把握认为肥胖与不经常运动有关．（2）“经常运动且肥胖”的概率为＝，“经常运动且不肥胖”的概率为＝，“不经常运动且肥胖”的概率为＝，“不经常运动且不肥胖”的概率为＝，X的所有可能取值为0，1，2，3，4，P（X＝0）＝（）3×＝，P（X＝1）＝××（）2×+（）3×＝，P（X＝2）＝×（）2××+××（）2×＝，P（X＝3）＝（）3×+×（）2××＝，P（X＝4）＝（）3×＝，所以随机变量X的分布列为X01234P则数学期望为E（X）＝0×+1×+2×+3×+4×＝．2．随着人们生活水平的提高和对健康生活的重视，越来越多的人加入到了健身运动中．某健身房从参与健身的会员中随机抽取了100人，对其每周参与健身的天数和2020年在该健身房的消费金额（单位：元）进行统计，得到以下统计表和统计图：平均每周健身天数不大于23或4不小于5男性会员人数203510女性会员人数10205若某人平均每周健身天数不小于5，则称其为“健身达人”．该健身房规定年消费金额不超过1600元的为普通会员，超过1600元但不超过3200元的为银牌会员，超过3200元的为金牌会员．（1）已知金牌会员都是“健身达人”，现从这100位会员里的“健身达人”中随机抽取2人，求他们都是金牌会员的概率；（2）根据所给数据，完成下面的2×2列联表：男性会员女性会员是“健身达人”不是“健身达人”并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为是否为“健身达人”和性别有关？（3）该健身机构在2020年年底针对这100位会员举办一次消费返利活动，每位会员均可参与摸奖游戏，游戏规则如下：摸奖箱中装有5张形状大小完全一样的卡片，其中3张印跑步机图案、2张印动感单车图案，有放回地摸三次卡片，每次只能摸一张．若摸到动感单车的总次数为1，则获得50元奖励；若摸到动感单车的总次数为2，则获得100元奖励；若摸到动感单车的总次数为3，则获得200元奖励，其他情况不予奖励．规定每个普通会员只能参加1次摸奖游戏，每个银牌会员可参加2次摸奖游戏，每个金牌会员可参加3次摸奖游戏（每次摸奖结果相互独立）．试估计在此次消费返利活动中该健身机构的总支出．附：，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.5000.2500.1000.0500.0100.005 k00.455 1.323 2.706 3.841 6.6367.879解：（1）设事件A表示从这100位会员里的“健身达人”中随机抽取2人都是金牌会员，则．（2）根据题意：男性会员女性会员是“健身达人”105不是“健身达人”5530＝，故不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为是否为“健身达人”和性别有关系．（3）设一次摸奖所获得的奖励额为X，则X的所有可能取值为0，50，100，200，且，，，，故一次摸奖获得的奖励额的期望值为，故总支出约为（28+60×2+12×3）×63.2＝184×63.2＝11628.8元．3．为了解成年人的交通安全意识情况，某中学组织学生进行了一次全市成年人安全知识抽样调查．随机地抽取了200名成年人，然后对这200人进行问卷调查，其中拥有驾驶证的占25．这200人所得的分数都分布在[30，100]范围内，规定分数在80以上（含80)的为“具有很强安全意识”，所得分数的频率分布直方图如图．（1）补全下面的22⨯列联表，并判断能否有95%的把握认为“具有很强安全意识”与“拥有驾驶证”有关？拥有驾驶证没有驾驶证总计具有很强安全意识 22 不具有很强安全意识总计200（2）将上述调查所得的频率视为概率，现从全市成年人中随机抽取3人，记“具有很强安全意识”的人数为X ，求X 的分布列及数学期望．附临界值表：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．2()P K0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0012.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828解：（1）200人中拥有驾驶证的占25，有80人，没有驾驶证的有120人，由题意知(0.0040.0080.0200.0280.0200.004)101a++++++⨯=，解得0.016a=．所以具有很强安全意识的人有200(0.0160.004)1040⨯+⨯=人，不具有很强安全意识的有160人．补全22⨯列联表如下：拥有驾驶证没有驾驶证总计具有很强安全意识221840不具有很强安全意识58102160总计80120200计算得2200(221021858)754.688 3.841408016012016K⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，∴有95%的把握认为“具有很强安全意识”与“拥有驾驶证”有关．（2）由频率分布直方图中数据可知，抽到的每个成年人“具有很强安全意识”的概率为15，所以X的所有可能取值为0，1，2，3．则3464(0)()5125P X ===，1231448(1)()55125P X C ==⨯⨯=， 2231412(2)()55125P X C ==⨯⨯=， 311(3)()5125P X ===．所以X 的分布列为：X 0 1 2 3 P6412548125121251125故64481213()01231251251251255E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． 4．为了解使用手机是否对学生的学习有影响，某校随机抽取50名学生，对学习成绩和使用手机情况进行了调查，统计数据如表所示（不完整）:使用手机不使用手机总计学习成绩优秀 5 20 学习成绩一般总计3050（1）补充完整所给表格，并根据表格数据计算是否有99.9%的把握认为学生的学习成绩与使用手机有关；（2）现从如表不使用手机的学生中按学习成绩是否优秀分层抽样选出9人，再从这9人中随机抽取3人，记这3人中“学习成绩优秀”的人数为X ，试求X 的分布列与数学期望．参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d=+++．参考数据：2)解：（1）完成列联表如下：∴2()50(5102015)0.053310.828()()()()20302525n ad bc K a b c d a c b d -⨯-⨯==≈<++++⨯⨯⨯，∴没有99.9%的把握认为学生的学习成绩与使用手机有关；（2）现从如表不使用手机的学生中按学习成绩是否优秀分层抽样选出9人，则从学习成绩优秀中抽取209630⨯=人，从学习成绩一般中抽取109330⨯=人，再从这9人中随机抽取3人，记这3人中“学习成绩优秀”的人数为X ，则X 的可能取值为0，1，2，3，33391(0)84C P X C ===，12633918(1)84C C P X C ===， 21633945(2)84C C P X C ===，363920(3)84C P X C ===，X ∴的分布列为：数学期望1184520()0123284848484E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． 5．教育部官方数据显示，2020届大学毕业生达到844万，根据相关调查，位于大城市的应届毕业生毕业后，有30%会留在该城市进行就业，于是租房便成为这些毕业生的首选．为了了解应届毕业生房租支出的费用，研究人员对部分毕业生进行相关调查，所得数据如图所示．（2）为了了解应届生选择租房时考虑的主要因素，研究人员作出调查，所得数据如表所示，判断是否有99.9%的把握认为性别与选择租房时考虑的主要因素具有相关性．（3）由频率分布直方图，可近似地认为A 城市应届毕业生房租支出服从正态分布(N μ，23.2)，若2020年该市区的应急毕业生共有100万人，试根据本题信息估计毕业后留在该市且房租支出介于8.6百元到21.4百元之间的毕业生人数．参考数据：2()P K0.100 0.050 0.010 0.0012.7063.841 6.635 10.828()0.6827P X μσμσ-<<+≈，(22)0.9544P X μσμσ-<<+≈，(33)0.9973P X μσμσ-<<+≈．解：（1）依题意，(0.01250.050.03750.0125)41m ++++⨯=，解得0.1375m =；故(0.012540.0580.1375120.0375160.012520)411.8x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=；（2）在本次实验中，2K 的观测值21500(500400300300)57.87610.828800800700700⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，故有99.9%的把握认为性别与选择租房时考虑的主要因素具有相关性；（3）依题意，毕业后留在该市的应届毕业生人数为10000000.3300000⨯=人， 0.68270.9973(8602140)(3)0.842P x P x μσμσ+<<=-<<+==，故所求人数为3000000.84252000⨯=．6．智慧课堂是指一种打破传统教育课堂模式，以信息化科学技术为媒介实现师生之间、生生之间的多维度互动，能有效提升教师教学效果、学生学习成果的新型教学模式．为了进一步推动智慧课堂的普及和应用，A 市现对全市中小学智慧课堂的应用情况进行抽样调查，统计数据如表：（1）补全22⨯列联表，判断能否有99.5%的把握认为智慧课堂的应用与区域有关，并说明理由；（2）在偶尔应用或者不应用智慧课堂的学校中，按照农村和城市的比例抽取6个学校进行分析，然后再从这6个学校中随机抽取2个学校所在的地域进行核实，记其中农村学校有X 个，求X的分布列和数学期望．2)解：（1）22⨯列联表，（2分）222()160(20404060)3210.6677.879()()()()1006080803n ad bc K a b c d a c b d -⨯-⨯====>++++⨯⨯⨯．（4分）所以有99.5%的把握认为认为智慧课堂的应用与区域有关．（6分）（2）在偶尔应用或者不应用智慧课堂的学校中，农村和城市的比例是2:1，所以抽取的6个样本有4个是农村学校，2个是城市学校，从中抽取2个，则X 的可能取值为0，1，2．（7分）0242261(0)15C C P X C ===，1142268(1)15C C P X C ===，2426022(2)5C CP X C ===．所以X 的分布列为：（10分）X 的数学期望1824()012151553E X =⨯+⨯+⨯=．（12分） 7．某学校共有1000名学生，其中男生400人，为了解该校学生在学校的月消费情况，采取分层抽样随机抽取了100名学生进行调查，月消费金额分布在450～950之间．根据调查的结果绘制的学生在校月消费金额的频率分布直方图如图所示：将月消费金额不低于750元的学生称为“高消费群”．（Ⅰ）求a 的值，并估计该校学生月消费金额的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）现采用分层抽样的方式从月消费金额落在[550，650），[750，850）内的两组学生中抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记被抽取的3名学生中属于“高消费群”的学生人数为随机变量X ，求X 的分布列及数学期望；（Ⅲ）若样本中属于“高消费群”的女生有10人，完成下列2×2列联表，并判断是否有97.5%的把握认为该校学生属于“高消费群”与“性别”有关？属于“高消费群”不属于“高消费群”合计男女合计（参考公式：，其中n＝a+b+c+d）P（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828解：（Ⅰ）由题意知100×（0.0015+a+0.0025+0.0015+0.001）＝1，解得a＝0.0035，样本平均数为＝500×0.15+600×0.35+700×0.25+800×0.15+900×0.10＝670元．（Ⅱ）由题意，从[550，650）中抽取7人，从[750，850）中抽取3人，随机变量X的所有可能取值有0，1，2，3．P（X＝k）＝（k＝0，1，2，3）所以随机变量X的分布列为：X0123P随机变量X的数学期望E（X）＝+2×+3×＝．（Ⅲ）由题可知，样本中男生40人，女生60人属于“高消费群”的25人，其中女生10人；得出以下2×2列联表：属于“高消费群”不属于“高消费群”合计男生152540女生105060合计2575100＝＝＞5.024，所以有97.5%的把握认为概型学生属于“高消费群”与性别有关．。

随机变量及其分布列习题(含解析)

一．解答题（共8小题）1．（1）100件产品中有10件次品，从中有放回地任取5件，求其中次品数ξ的分布列；（2）某批数量较大的商品的次品率为10%，从中任意地连续抽取5件，求其中次品数η的分布列．2．为创建国家级文明城市，某城市号召出租车司机在高考期间至少进行一次“爱心送考”，该城市某出租车公司共200名司机，他们进行“爱心送考”的次数统计如图所示．（1）求该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数；（2）从这200名司机中任选2人，设这2人进行送考次数之差的绝对值为随机变量X，求X的概率分布．3．从6名男生和4名女生中随机选出3名同学参加一项竞技测试．（1）求选出的3名同学中至少有1名女生的概率；（2）设ξ表示选出的3名同学中男生的人数，求ξ的分布列．4．甲袋中有2个黑球，4个白球，乙袋中有3个黑球，3个白球，从两袋中各取一球．（Ⅰ）求“两球颜色相同”的概率；（Ⅱ）设ξ表示所取白球的个数，求ξ的概率分布列．5．设X是一个离散型随机变量，其分布列为：X−101P1﹣2q q2（1）求q的值；（2）求P（X＜0），P（X＜1）．6．某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为，且每次射击的结果互不影响．（1）求射手在3次射击中，至少有两次连续击中目标的概率（用数字作答）；（2）求射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率（用数字作答）；（3）设随机变量ξ表示射手第3次击中目标时已射击的次数，求ξ的分布列．7．袋中有3个红球，4个黑球，从袋中任取4个球．（1）求红球个数X的分布列；（2）若取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，求得分不小于6分的概率．8．从5名男生和3名女生中任选2人去参加学校组织的“低碳杯”知识抢答赛，用ξ表示选出的女生的人数．（1）求随机变量ξ的分布列；（2）求事件“选出的2学生至少有一女生”的概率．参考答案与试题解析一．解答题（共8小题）1．（1）100件产品中有10件次品，从中有放回地任取5件，求其中次品数ξ的分布列；（2）某批数量较大的商品的次品率为10%，从中任意地连续抽取5件，求其中次品数η的分布列．【解答】解：（1）由题意知ξ的可能取值为0，1，2，3，4，5，每次取出次品的概率为：，相当于5次独立重复实验，ξ～B（5，），P（ξ＝0）＝＝0.59059，P（ξ＝1）＝＝0.32805，P（ξ＝2）＝＝0.07329，P（ξ＝3）＝＝0.0081，P（ξ＝4）＝＝0.00045，P（ξ＝5）＝＝0.00001，∴ξ的分布列为：ξ012345P0.590590.328050.07290.00810.000450.00001（2）由题意知η的可能取值为0，1，2，3，4，5，且η～B（5，0.1），∴η的分布列为：η012345P0.590590.328050.07290.00810.000450.000012．为创建国家级文明城市，某城市号召出租车司机在高考期间至少进行一次“爱心送考”，该城市某出租车公司共200名司机，他们进行“爱心送考”的次数统计如图所示．（1）求该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数；（2）从这200名司机中任选2人，设这2人进行送考次数之差的绝对值为随机变量X，求X的概率分布．【解答】解：（1）由统计图得200名司机中送考1次的有20人，送考2次的有100人，送考3次的有80人，∴该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数为；（2）从该公司任选两名司机，记“这两人中﹣人送考1次，另一人送考2次”为事件A，“这两人中一人送考2次，另一人送考3次“为事件B，“这两人中﹣人送考1次，另一人送考3次”为事件C，“这两人送考次数相同”为事件D，由题意知X的所有可能取值为0，1，2，，，，所以X的分布列为：X012P3．从6名男生和4名女生中随机选出3名同学参加一项竞技测试．（1）求选出的3名同学中至少有1名女生的概率；（2）设ξ表示选出的3名同学中男生的人数，求ξ的分布列．【解答】解：（1）由意可知，选出的3名同学全是男生的概率为＝，∴选出的3名同学中至少有1名女生的概率为P＝1﹣＝．（2）根据题意，ξ的可能取值为0，1，2，3，P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝，P（ξ＝3）＝＝，∴ξ的分布列为：ξ0123P4．甲袋中有2个黑球，4个白球，乙袋中有3个黑球，3个白球，从两袋中各取一球．（Ⅰ）求“两球颜色相同”的概率；（Ⅱ）设ξ表示所取白球的个数，求ξ的概率分布列．【解答】解：（I）从甲中取出黑球的概率为，取出白球的概率为，从乙中取出黑球的概率为，取出白球的概率为，故“两球颜色相同”的概率P＝．（II）由题意可得，ξ所有可能取值为0，1，2，P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝，P（ξ＝2）＝，故ξ的分布列为：ξ012P5．设X是一个离散型随机变量，其分布列为：X−101P1﹣2q q2（1）求q的值；（2）求P（X＜0），P（X＜1）．【解答】解：（1）依题意，得，解得或（舍去），所以．（2）由（1）得，，所以，．6．某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为，且每次射击的结果互不影响．（1）求射手在3次射击中，至少有两次连续击中目标的概率（用数字作答）；（2）求射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率（用数字作答）；（3）设随机变量ξ表示射手第3次击中目标时已射击的次数，求ξ的分布列．【解答】解：（1）设事件该射手第i次射击，击中目标为A i，i＝1，2，3，则，所以，事件射手在3次射击中，至少有两次连续击中目标可表示为，因为事件，，A1A2A3互斥，所以又事件A1，A2，A3相互独立，所以＝＝；（2）事件射手第3次击中目标时，恰好射击了4次等于事件前3次中恰好击中两次目标且第四次击中目标，又各次击中目标的概率为，所以前3次中恰有两次击中目标的概率为，第四次击中目标的概率为，所以事件射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率；（3）由已知ξ的取值有3，4，5，⋅⋅⋅，n，⋅⋅⋅，又，，，⋅⋅⋅，，所以随机变量ξ的分布列为：ξ345…n…P……7．袋中有3个红球，4个黑球，从袋中任取4个球．（1）求红球个数X的分布列；（2）若取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，求得分不小于6分的概率．【解答】解：（1）由题意可得，X可能取值为0，1，2，3，P（X＝0）＝，P（X＝1）＝，P（X＝2）＝，P（X＝3）＝，故X的分布列为：X0123P（2）设得分为Y，则得分Y可以取4，5，6，7，分别对应4个黑球，3黑1红，2黑2红，1黑3红四种情况，P（Y≥6）＝P（Y＝6）+P（Y＝7）＝，故得分不小于6分的概率为．8．从5名男生和3名女生中任选2人去参加学校组织的“低碳杯”知识抢答赛，用ξ表示选出的女生的人数．（1）求随机变量ξ的分布列；（2）求事件“选出的2学生至少有一女生”的概率．【解答】解：（1）由题意得ξ的可能取值为0，1，2，P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝，∴随机变量ξ的分布列为：ξ012P（2）事件“选出的2学生至少有一女生”的概率为：P＝P（ξ＝1）+P（ξ＝2）＝＝．。

(必考题)高中数学选修三第二单元《随机变量及其分布》测试(有答案解析)

一、选择题1．现有一条零件生产线，每个零件达到优等品的概率都为p .某检验员从该生产线上随机抽检50个零件，设其中优等品零件的个数为X .若()8D X =，(20)P X =(30)P X <=，则p =（） A ．0.16B ．0.2C ．0.8D ．0.842．已知随机变量X 的分布列则对于任意01a b c <<<<，()E X 的取值范围是（）A ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()0,1D ．1,3⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭3．假定男女出生率相等，某个家庭有两个小孩，已知该家庭至少有一个女孩，则两个小孩都是女孩的概率是（） A ．12B ．13C ．14D ．164．随机变量ξ的分布列如表所示，若1()3E X =-，则(31)D X +=（）A ．4B ．5C ．6D ．75．设01p <<，随机变量ξ的分布列是则当p 在()0,1内增大时（）A ．()E ξ减小，()D ξ减小B ．()E ξ减小，()D ξ增大C ．()E ξ增大，()D ξ减小D ．()E ξ增大，()D ξ增大6．从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件A 为“第一次取到的是奇数”，B 为“第二次取到的是3的整数倍”，则(|)P B A =（） A ．38B ．1340C ．1345D ．347．已知随机变量~X N ()22,σ，(0)0.84P X=，则(04)P X <<=（）A ．0.16B ．0.32C ．0.66D ．0.688．袋中有大小完全相同的2个红球和2个黑球，不放回地依次摸出两球，设“第一次摸得黑球”为事件A ，“摸得的两球不同色”为事件B ，则概率()|P B A 为( ) A ．14B ．23C ．13D ．129．随机变量X 服从正态分布()()()210,12810X N P X m P X n σ->==，，≤≤，则12m n+的最小值为（）A ．3+B ．6+C ．3+D ．6+10．甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动,社区服务活动共有关怀老人、环境监测、教育咨询、交通宣传等四个项目,每人限报其中一项,记事件A 为4名同学所报项目各不相同”,事件B 为“只有甲同学一人报关怀老人项目”,则(|)P B A =（） A ．14B ．34C ．29D ．5911．某班组织由甲、乙、丙等5名同学参加的演讲比赛，现采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为（） A ．313B ．413C ．14D ．1512．10张奖券中有3张是有奖的，某人从中依次抽取两张.则在第一次抽到中奖券的条件下，第二次也抽到中奖券的概率是( ) A ．27B ．29C ．310D ．15二、填空题13．游乐场某游戏设备是一个圆盘，圆盘被分成红色和绿色两个区域，圆盘上有一个可以绕中心旋转的指针，且指针受电子程序控制，前后两次停在相同区域的概率为14，停在不同区域的概率为34，某游客连续转动指针三次，记指针停在绿色区域的次数为X ，若开始时指针停在红色区域，则()E X =______.14．由“0，1，2”组成的三位数密码中，若用A 表示“第二位数字是2”的事件，用B 表示“第一位数字是2”的事件，则(|)P A B =__________.15．一个家庭有两个小孩，假设生男生女是等可能的，已知这个家庭有一个是女孩的条件下，这时另一个也是女孩的概率是________. 16．下列说法中，正确的有_______．①回归直线ˆˆˆy bx a =+恒过点(),x y ，且至少过一个样本点；②根据22⨯列列联表中的数据计算得出2 6.635K ≥，而()26.6350.01P K ≥≈，则有99%的把握认为两个分类变量有关系；③2K 是用来判断两个分类变量是否相关的随机变量，当2K 的值很小时可以推断两个变量不相关；④某项测量结果ξ服从正态分布()21,N a，则(5)0.81P ξ≤=，则(3)0.19P ξ≤-=．17．已知某随机变量X 的分布列如下（,p q R ∈）：且X 的数学期望()12E X =，那么X 的方差()D X =__________． 18．（1）10件产品，其中3件是次品，任取2件，若ξ表示取到次品的个数，则()E ξ=_______；（2）设随机变量ξ的分布列为()P k ξ==21C ()()33k k n kn -，k =0，1，2，…，n ，且()24E ξ=，则()D ξ= _______；（3）设袋中有两个红球一个黑球，除颜色不同，其他均相同，现有放回地抽取，每次抽取一个，记下颜色后放回袋中，连续摸三次，X 表示三次中红球被摸中的次数（每个小球被抽取的概率相同，每次抽取相互独立），则方差()D X =______．三、解答题19．已知某射手射中固定靶的概率为34，射中移动靶的概率为23，每次射中固定靶､移动靶分别得1分､2分，脱靶均得0分，每次射击的结果相互独立，该射手进行3次打靶射击：向固定靶射击1次，向移动靶射击2次.（1）求“该射手射中固定靶且恰好射中移动靶1次”的概率；（2）求该射手的总得分X 的分布列和数学期望.20．某校拟举办“成语大赛”，高一（1）班的甲、乙两名同学在本班参加“成语大赛”选拔测试，在相同的测试条件下，两人5次测试的成绩（单位：分）的茎叶图如图所示.（1）你认为选派谁参赛更好？并说明理由；（2）若从甲、乙两人5次的成绩中各随机抽取1次进行分析，设抽到的2次成绩中，90分以上的次数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望()E X .21．在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩ξ近似服从正态分布()70,100N ．已知成绩在90分以上（含90分）的学生有12名．（1）此次参赛的学生总数约为多少人?（2）若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生，则设奖的分数线约为多少分? 说明：对任何一个正态分布()2~,X Nμσ来说，通过1X Z μσ-=转化为标准正态分布()~0,1Z N ，从而查标准正态分布表得到()()1P X X Z <=Φ．参考数据：可供查阅的（部分）标准正态分布表()Z Φ Z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 1.2 0.8849 0.869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.9015 1.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177 1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.9319 1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9762 0.9767 2.0 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817 2.10.98210.98260.98300.98340.98380.98420.98460.98500.98540.985722．为了解学生寒假期间学习情况，学校对某班男、女学生学习时间进行调查，学习时间按整小时统计，调查结果绘制成折线图如下:(1)已知该校有400名学生，试估计全校学生中，每天学习不足4小时的人数； (2)若从学习时间不少于4小时的学生中选取4人，设选取的男生人数为X ，求随机变量X 的分布列及均值E (X );(3)试比较男生学习时间的方差21s 与女生学习时间的方差22s 的大小.(只需写出结论) 23．为检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，某药物研究所科研人员随机选取100只小白鼠，并将该疫苗首次注射到这些小白鼠体内．独立环境下试验一段时间后检测这些小白鼠的某项医学指标值并制成如下的频率分布直方图（以小白鼠医学指标值在各个区间上的频率代替其概率）：（1）根据频率分布直方图，估计100只小白鼠该项医学指标平均值x （同一组数据用该组数据区间的中点值表示）；（2）若认为小白鼠的该项医学指标值X 服从正态分布()2,N μσ，且首次注射疫苗的小白鼠该项医学指标值不低于14.77时，则认定其体内已经产生抗体；进一步研究还发现，对第一次注射疫苗的100只小白鼠中没有产生抗体的那一部分群体进行第二次注射疫苗，约有10只小白鼠又产生了抗体．这里μ近似为小白鼠医学指标平均值x ，2σ近似为样本方差2s ．经计算得2 6.92s =，假设两次注射疫苗相互独立，求一只小白鼠注射疫苗后产生抗体的概率p （精确到0.01）．附：参考数据与公式6.92 2.63≈，若()2~,X N μσ，则①()0.6827P X μσμσ-<≤+=；②()220.9545P X μσμσ-<≤+=；③()330.9973P X μσμσ-<≤+=． 24．甲､乙两人进行乒乓球比赛，规定比赛进行到有一人比对方多赢2局或打满6局时比赛结束.设甲､乙在每局比赛中获胜的概率均为12，各局比赛相互独立，用X 表示比赛结束时的比赛局数（1）求比赛结束时甲只获胜一局的概率；（2）求X 的分布列和数学期望.25．现有编号为1，2，3的三只小球和编号为1，2，3的三个盒子，将三只小球逐个随机地放入三个盒子中，每只球的放置相互独立. （1）求恰有一个空盒的概率；（2）求三只小球在三个不同盒子中，且每只球编号与所在盒子编号不同的概率；（3）记录所有至少有一只球的盒子，以X 表示这些盒子编号的最小值，求()E X . 26．某学校为了了解学生暑假期间学习数学的情况，抽取了人数相等的甲、乙两班进行调查，甲班同学每天学习数学的平均时间的频率分布直方图（将时间分成[0,1),[1,2),[2,3),[3,4),[4,5),[5,6]共6组）和乙班同学每天学习数学的平均时间的频数分布表如图所示（单位：小时）.（1）从甲班每天学习数学的平均时间在[0,2)的人中随机选出3人，求3人中恰有1人学习数学的平均时间在[0,1)范围内的概率；（2）从甲、乙两个班每天学习数学平均时间不小于5个小时的学生中随机抽取4人进一步了解其他情况，设4人中乙班学生的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由(20)(30)p X P X =<=求出的范围，再由方差公式求出值．【详解】∵(20)(30)p X P X =<=，∴2020303030205050(1)(1)C p p C p p -<-，化简得1p p -<，即12p >，又()850(1)D X p p ==-，解得0.2p =或0.8p =，∴0.8p =，故选C ．【点睛】本题考查概率公式与方差公式，掌握这两个公式是解题的关键，本题属于基础题．2．B解析：B 【分析】由题易得222()E X a b c =++，结合题中条件再由基本不等式可得2222()133a b c a b c ++++>=，即1()3E X >；再由2222()2()12()1a b c a b c ab bc ca ab bc ca ++=++-++=-++<，即()1E X <，最后得出()E X 的取值范围. 【详解】由随机变量的期望定义可得出222()E X a b c =++，因为01a b c <<<<，且1a b c ++=，所以222222222a b aba c acbc bc ⎧+>⎪+>⎨⎪+>⎩，三式相加并化简可得222a b c ab bc ac ++>++，故2222222222()2222()3()a b c a b c ac bc ab a b c ac bc ab a b c ++=+++++=+++++<++，即2222()133a b c a b c ++++>=，所以2()1()33a b c E X ++>=，又因为2()()2()12()1E X a b c ab bc ca ab bc ca =++-++=-++<，所以1()13E X <<. 故选：B . 【点睛】本题考查随机变量的期望，考查基本不等式的应用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.3．B解析：B 【分析】记事件A 为“至少有一个女孩”，事件B 为“另一个也是女孩”，分别求出A 、B 的结果个数，问题是求在事件A 发生的情况下，事件B 发生的概率，即求(|)P B A ，由条件概率公式求解即可. 【详解】解：一个家庭中有两个小孩只有4种可能：{男，男}，{男，女}，{女，男}，{女，女}．记事件A 为“至少有一个女孩”，事件B 为“另一个也是女孩”，则{A =（男，女），（女，男），（女，女）}，{B =（男，女），（女，男），（女，女）}，{AB =（女，女）}．于是可知3()4P A =，1()4P AB =．问题是求在事件A 发生的情况下，事件B 发生的概率，即求(|)P B A ，由条件概率公式，得()114334P B A ==．故选：B ．【点睛】本题的考点是条件概率与独立事件，主要考查条件概率的计算公式：()()()P AB P B A P A =，等可能事件的概率的求解公式：()mP M n=（其中n 为试验的所有结果，m 为基本事件的结果）.4．B解析：B 【分析】由于()13E X =-，利用随机变量的分布列列式，求出a 和b ，由此可求出()D X ，再由()(319)X D D X +=，即可求出结果.根据题意，可知：112a b ++=，则12a b +=， ()13E X =-，即：1123b -+=-，解得：16b =，13a ∴=，()22211111151013233369X D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+⨯++⨯++⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则()59959(31)D D X X ==⨯+=， ∴5(31)D X +=.故选：B. 【点睛】本题考查离散型随机变量的方差的求法，以及离散型随机变量的分布列､数学期望等知识，考查运算求解能力.5．B解析：B 【分析】根据题意计算随机变量ξ的分布列和方差，再判断p 在(0,1)内增大时，()E ξ、()D ξ的单调性即可．【详解】解：设01p <<，随机变量ξ的分布列是1131()01222222p p E p ξ-=⨯+⨯+⨯=-，方差是22231311311()(0)(1)(2)222222222p p D p p p ξ-=-+⨯+-+⨯+-+⨯ 21144p p =-++ 215(2)44p =--+，当p 在(0,1)内增大时，()E ξ减小，()D ξ增大．故选：B ．【点睛】本题考查了离散型随机变量的数学期望与方差的计算问题，也考查了运算求解能力．6．B【分析】由条件概率的定义()(|)()P A B P B A P A =，分别计算(),()P A B P A 即得解.【详解】由题意5()9P A = 事件AB 为“第一次取到的是奇数且第二次取到的是3的整数倍”：若第一次取到的为3或9，第二次有2种情况；若第一次取到的为1，5，7，第二次有3种情况，故共有223313⨯+⨯=个事件1313()9872P A B ==⨯由条件概率的定义：()13(|)()40P A B P B A P A ==故选：B 【点睛】本题考查了条件概率的计算，考查了学生概念理解，分类讨论，数学运算的能力，属于中档题.7．D解析：D 【分析】先由对称性求出(X 4)P ≥，再利用(04)12(4)P X P X <<=-≥即得解. 【详解】由于随机变量~X N ()22,σ，关于2X =对称，故(4)(0)1(0)10.840.16P X P X P X ≥=≤=-≥=-= (04)12(4)10.320.68P X P X ∴<<=-≥=-=故选：D 【点睛】本题考查了正态分布在给定区间的概率，考查了学生概念理解，数形结合，数学运算的能力，属于基础题.8．B解析：B 【分析】根据题目可知，求出事件A 的概率，事件AB 同时发生的概率，利用条件概率公式求得()|P B A ，即可求解出答案．【详解】依题意，()1214C 1C 2P A ==，()11221143C C 1C C 3P AB ==，则条件概率()()()123|132P AB P B A P A ===．故答案选B ．【点睛】本题主要考查了利用条件概率的公式计算事件的概率，解题时要理清思路，注意()P AB 的求解．9．D解析：D 【分析】利用正态密度曲线的对称性得出12m n +=，再将代数式22m n +与12m n +相乘，展开后可利用基本不等式求出12m n+的最小值．【详解】由于()210,XN σ，由正态密度曲线的对称性可知，()()128P X P X m >=<=，所以，()()188102P X P X <+≤≤=，即12m n +=，221m n ∴+=，由基本不等式可得()1212422266m n m n m n m n n m ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭6=，当且仅当()420,0m n m n n m=>>，即当n =时，等号成立，因此，12m n +的最小值为6+，故选D. 【点睛】本题考查正态密度概率以及利用基本不等式求最值，解题关键在于利用正态密度曲线的对称性得出定值，以及对所求代数式进行配凑，以便利用基本不等式求最值，考查计算能力，属于中等题．10．A解析：A 【分析】确定事件AB ，利用古典概型的概率公式计算出()P AB 和()P A ，再利用条件概型的概率公式可计算出()P B A 的值. 【详解】事件AB 为“4名同学所报项目各不相同且只有甲同学一人报关怀老人项目”，则()3344A P AB =，()4444A P A =，()()()3434444144P AB A P B A P A A ∴==⋅=，故选A. 【点睛】本题考查条件概型概率的计算，考查条件概率公式的理解和应用，考查运算能力，属于中等题．11．A解析：A 【分析】根据条件概率的计算公式，分别求解公式各个部分的概率，从而求得结果. 【详解】设事件A 为“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”；事件B 为“学生丙第一个出场”则()41134333555578A C C A P A A A +==，()1333555518C A P AB A A == 则()()()1837813P AB P B A P A === 本题正确选项：A 【点睛】本题考查条件概率的求解，关键是能够利用排列组合的知识求解出公式各个构成部分的概率.12．B解析：B 【分析】根据第一次抽完的情况下重新计算总共样本数和满足条件样本数，再由古典概型求得概率．【详解】在第一次抽中奖后，剩下9张奖券，且只有2张是有奖的，所以根据古典概型可知，第二次中奖的概率为29P =．选B. 【点睛】事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率称为“事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率”，记为(|)P B A ；条件概率常有两种处理方法：（1）条件概率公式：()(|)()P AB P B A P A =．（2）缩小样本空间，即在事件A 发生后的己知事实情况下，用新的样本空间的样本总数和满足特征的样本总数来计算事件B 发生的概率．二、填空题13．【分析】依题意画出数形图即可求出的分布列即可求出数学期望；【详解】解：该游客转动指针三次的结果的树形图如下：则的分布列如下：0 1 2 3 故故答案为：【点睛】本题考查概率的计算随机解析：27 16【分析】依题意画出数形图，即可求出X的分布列，即可求出数学期望；【详解】解：该游客转动指针三次的结果的树形图如下：则X的分布列如下：X0123P 16421643964364故()01236464646416 E X=⨯+⨯+⨯+⨯=.故答案为：27 16【点睛】本题考查概率的计算，随机变量的分布列和数学期望，解答的关键是画出树形图. 14．【分析】利用古典摡型的概率计算公式分别求得结合条件概率的计算公式即可求解【详解】由012组成的三位数密码共有个基本事件又由用A表示第二位数字是2的事件用B表示第一位数字是2的事件可得所以故答案为：【解析：1 3【分析】利用古典摡型的概率计算公式，分别求得(),()P B P A B，结合条件概率的计算公式，即【详解】由“0，1，2”组成的三位数密码，共有33327⨯⨯=个基本事件，又由用A表示“第二位数字是2”的事件，用B表示“第一位数字是2”的事件，可得33131 (),()273279P B P A B⨯====，所以1()19 (|)1()33P A BP A BP B===.故答案为：1 3 .【点睛】本题主要考查了条件概率的计算与求解，其中解答中熟记条件概率的计算公式，准确运算时解答得关键，属于基础题.15．【分析】利用列举法求出已知这个家庭有一个是女孩的条件下基本事件总数n=3这时另一个也是女孩包含的基本事件个数m=1由此能求出已知这个家庭有一个是女孩的条件下这时另一个也是女孩的概率【详解】一个家庭有解析：1 3【分析】利用列举法求出已知这个家庭有一个是女孩的条件下，基本事件总数n=3，这时另一个也是女孩包含的基本事件个数m=1，由此能求出已知这个家庭有一个是女孩的条件下，这时另一个也是女孩的概率.【详解】一个家庭有两个小孩，假设生男生女是等可能的，基本事件有: {男，男}，{男，女}，{女,男}，{女,女},已知这个家庭有一个女孩的条件下，基本事件总数n=3 ,这时另一个也是女孩包含的基本事件个数m=1，∴已知这个家庭有一个女孩的条件下，这时另一个也是女孩的概率是13mpn==，故答案为：1 3【点睛】本题主要考查了条件概率，可以列举在某条件发生的情况下，所有事件的个数及所研究事件的个数，利用古典概型求解，属于中档题.16．②④【分析】由回归直线的性质判断①；由独立性检验的性质判断②③；由正态分布的特点判断④【详解】回归直线恒过点但不一定要过样本点故①错误；由得有99的把握认为两个分类变量有关系故②正确；的值很小解析：②④ 【分析】由回归直线的性质判断①；由独立性检验的性质判断②③；由正态分布的特点判断④. 【详解】回归直线ˆˆˆybx a =+恒过点(),x y ，但不一定要过样本点，故①错误；由2 6.635K ≥，得有99%的把握认为两个分类变量有关系，故②正确；2K 的值很小时，只能说两个变量的相关程度低，不能说明两个变量不相关，故③错误；(5)0.81P ξ≤=,(5)(3)10.810.19P P ξξ∴>=<-=-=，故④正确；故答案为：②④ 【点睛】本题主要考查了正态分布求指定区间的概率等，属于中等题.17．【解析】根据题意可得解得故的方差解析：34【解析】根据题意可得112p q p q +=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得34p =，14q =，故X 的方差()22131131124244D X ⎛⎫⎛⎫=-⨯+--⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．18．8【解析】（1）由题意得随机变量的可能取值为012所以（2）由题意可知所以解得所以（3）每次取球时取到红球的概率为黑球的概率为所以服从二项分布即所以解析：358 23 【解析】（1）由题意得，随机变量ξ的可能取值为0，1，2，()27210C 70C 15P ξ===，()1P ξ=1173210C C 7C 15==， ()23210C 12C 15P ξ===，所以()77130121515155E ξ=⨯+⨯+⨯=．（2）由题意可知2,3B n ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭～，所以()2243n E ξ==，解得36n =，所以()D ξ= 22361833⎛⎫⨯⨯-= ⎪⎝⎭．（3）每次取球时，取到红球的概率为23、黑球的概率为13，所以X 服从二项分布，即23,3X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，所以()22231333D X ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭．三、解答题19．（1）13；（2）分布列答案见解析，数学期望：4112. 【分析】（1）记“该射手射中固定靶且恰好射中移动靶1次”为事件D ，得到D ABC BC A =+，结合互斥事件和相互独立事件的概率计算公式，即可求解；（2）随机变量X 的可能取值为0，1，2，3，4，5，根据互斥事件和相互独立事件的概率计算公式，求得相应的概率，得出分布列，利用期望的公式，即可求解. 【详解】（1）记“该射手射中固定靶且恰好射中移动靶1次”为事件D ，则()34P A =，()()23P B P C ==， D ABC BC A =+，其中ABC C AB +互斥，,,,,A B C B C 相互独立，从而()()()()322114336P ABC P A P B P C ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭，则()()()()13P D P ABC ABC P ABC P ABC =+=+=，所以该射手射中固定靶且恰好射中移动靶1次的概率为13. （2）随机变量X 的可能取值为0，1，2，3，4，5，则()()()()()3221011143336P X P ABC P A P B P C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫====---=⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()()()()()3111143312P X P ABC P A P B P C ====⨯⨯=，1211121(2)()()()()()()()4334339P X P ABC ABC P A P B P C P A P B P C ==+=+=⨯⨯+⨯⨯=，()()()()()()()()321312134334333P X P ABC ABC P A P B P C P A P B P C ==+=+=⨯⨯+⨯⨯=()()()()()122144339P X P ABC P A P B P C ====⨯⨯=,3221(5)()()()()4333P X P ABC P A P B P C ====⨯⨯=,该射手的总得分X 的分布列为随机变量X 的数学期望()012345.3612939312E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 【点睛】求随机变量X 的期望与方差的方法及步骤：理解随机变量X 的意义，写出X 可能的全部值；求X 取每个值对应的概率，写出随机变量的分布列；由期望和方差的计算公式，求得数学期望()(),E X D X ；若随机变量X 的分布列为特殊分布列（如：两点分布、二项分布、超几何分布），可利用特殊分布列的期望和方差的公式求解.20．（1）选派乙参赛更好，理由见解析；（2）分布列见解析，()25E X =. 【分析】（1）计算出甲、乙两人5次测试的成绩的平均分与方差，由此可得出结论；（2）由题意可知，随机变量X 的取值有0、1、2，计算出随机变量X 在不同取值下的概率，可得出随机变量X 的分布列，进而可计算得出()E X . 【详解】（1）甲5次测试成绩的平均分为555876889236955x ++++==甲，方差为22222213693693693693695704555876889255555525s ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-+-=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦甲，乙5次测试成绩的平均分为658287859541455x ++++==乙，方差为22222214144144144144142444658285879555555525s ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-+-=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦乙，所以，x x <甲乙，22s s >甲乙，因此，选派乙参赛更好；（2）由题意可知，随机变量X 的可能取值有0、1、2，()24160525P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()148125525P X ==⨯⨯=，()2112525P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，所以，随机变量X 的分布列如下表所示：因此，()0122525255E X =⨯+⨯+⨯=. 【点睛】思路点睛：求解随机变量分布列的基本步骤如下：（1）明确随机变量的可能取值，并确定随机变量服从何种概率分布；（2）求出每一个随机变量取值的概率；（3）列成表格，对于抽样问题，要特别注意放回与不放回的区别，一般地，不放回抽样由排列、组合数公式求随机变量在不同取值下的概率，放回抽样由分步乘法计数原理求随机变量在不同取值下的概率. 21．（1）526（人）；（2）83分. 【分析】（1）由题意知9070(90)(2)10P ξ-⎛⎫<=Φ=Φ ⎪⎝⎭，则(90)1(90)P P ξξ=-<可求，结合对应人数可得总人数；（2）假定设奖的分数线为x 分，由题意知7050()10.095110526x P x ξ-⎛⎫=-Φ== ⎪⎝⎭，查表得x 值.【详解】（1）由题意知9070(90)1(90)11(2)10.97720.022810P P ξξ-⎛⎫=-<=-Φ=-Φ=-= ⎪⎝⎭，故此次参赛的学生总数约为125260.0228≈（人）．（2）假定设奖的分数线为x 分，由题意知7050()1()10.095110526x P x P x ξξ-⎛⎫=-<=-Φ== ⎪⎝⎭，即700.904910x -⎛⎫Φ=⎪⎝⎭，查表得70 1.3110x -=，解得83.1x =，故设奖的分数线约为83分．【点睛】本题关键在于正确理解正态分布概率计算公式及运用. 22．（1）240人；（2）分布列见解析，2；（3）2212s s >. 【分析】（1）由折线图分析可得20名学生中有12名学生每天学习不足4小时，把频率当概率可以估计校400名学生中天学习不足4小时的人数；（2）学习时间不少于4本的学生共8人，其中男学生人数为4人，故X 的取值为0，1，2，3，4；利用组合知识，由古典概型公式计算可得X =0，1，2，3，4的概率，进而可得随机变量X 的分布列；（3）根据折线图，看出男生、女生的学习时间的集中与分散程度，根据方差的实际意义可得答案．【详解】(1)由折线图可得共抽取了20人，其中男生中学习时间不足4小时的有8人，女生中学习时间不足4小时的有4人.故可估计全校学生中每天学习时间不足4小时的人数为400×1220=240. (2)学习时间不少于4小时的学生共8人，其中男生人数为4，故X 的所有可能取值为0，1，2，3，4. 由题意可得P (X=0)=4448170C C =，P (X=1)=1344481687035C C C ==， P (X=2)=22444836187035C C C ==， P (X=3)=3144481687035C C C ==， P (X=4)=4448170C C =.∴均值E (X )=0×170+1×835+2×1835+3×835+4×170=2.(3)由折线图可得2212s s >. 【点睛】方法点睛：本题考查了折线统计图和超几何分布，考查了离散型随机变量分布列和数学期望的计算，求解离散型随机变量分布列的步骤是：首先确定随机变量X 的所有可能取值；计算X 取得每一个值的概率，可通过所有概率和为1来检验是否正确；进行列表，画出分布列的表格；最后扣题，根据题意求数学期望或者其它． 23．（1）17.4；（2）0.94. 【分析】（1）利用每一个小矩形的面积乘以对应的底边中点的横坐标之和即为x ；（2）先计算第一次注射疫苗后产生抗体的概率()()14.77P x P x μσ≥=≥-，即可计算第一次注射疫苗后100只小白鼠中产生抗体的数量，加上第二次注射疫苗10只小白鼠又产生了抗体，可以得出两次注射疫苗产生抗体的总数，即可求概率. 【详解】（1）0.021220.061420.141620.181820.05202x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯0.032220.0224217.4+⨯⨯+⨯⨯= （2）17.40 2.6314.77μσ-=-=∴()10.68270.68270.84142P x μσ-≥-=+= 记事件A 表示首先注射疫苗后产生抗体，则()()()14.770.8414P A P x P x μσ=≥=≥-=，因此100只小鼠首先注射疫苗后有1000.841484⨯≈只产生抗体，有1008416-=只没有产生抗体．故注射疫苗后产生抗体的概率84100.94100P +==. 【点睛】结论点睛：频率分布直方图的相关公式以及数字特征的计算， ①直方图中各个小长方形的面积之和为1； ②直方图中每组样本的频数为频率乘以总数； ③最高的小矩形底边中点横坐标即是众数； ④中位数的左边和右边小长方形面积之和相等；⑤平均数是频率分布直方图的重心，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和. 24．（1）18；（2）分布列见解析，()72E X =.【分析】（1）先分析出甲只获胜一局的所有情况，然后根据对应的情况去计算概率；（2）先分析X 的可能取值，然后根据取值列出对应的比赛获胜情况，由此计算出对应的概率，可得X 的分布列，根据分布列可计算出数学期望.【详解】（1）因为比赛结束时甲只获胜一局，所以一共比赛了4局，且甲在第1局或第2局赢了，当甲在第1局赢了，则乙在后面3局都赢了，此事件的概率为：31112216⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭，当甲在第2局赢了，则乙在第1,3,4局赢了，此事件的概率为：2111122216⎛⎫⋅⋅= ⎪⎝⎭，记“比赛结束时甲只获胜一局”为事件A ，则()112168P A =⨯=；（2）根据条件可知：X 可取2,4,6，当2X =时，包含甲或乙前2局连胜，此时2种情况：{甲，甲}，{乙，乙}；当4X =时，包含甲或乙前2局赢了1局，后2局都没赢，此时4种情况：{甲，乙，乙，乙}，{乙，甲，乙，乙}，{乙，甲，甲，甲}，{甲，乙，甲，甲}（大括号中，按顺序为各局的获胜者）；()2112222P X ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭，()4114424P X ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭，()()()161244P X P X P X ==-=-==，所以X 的分布列为：所以()2462442E X =⨯+⨯+⨯=. 【点睛】思路点睛：求离散型随机变量X 的数学期望的一般步骤：（1）先分析X 的可取值，根据可取值求解出对应的概率；（2）根据（1）中概率值，得到X 的分布列；（3）结合（2）中分布列，根据期望的计算公式求解出X 的数学期望. 25．（1）23；（2）227；（3）43. 【分析】（1）方法一：将三个小球放在盒子的基本事件全部写出来，写出满足条件的基本事件，用满足条件的个数除以总的个数计算其概率；方法二：用排列组合数表示；（2）方法一：将三个小球放在盒子的基本事件全部写出来，写出满足条件的基本事件，用满足条件的个数除以总的个数计算其概率；方法二：用排列组合数表示；（3）方法一：将三个小球放在盒子的基本事件全部写出来，写出满足条件的基本事件，用满足条件的个数除以总的个数计算其概率；方法二：用排列组合数表示；【详解】解：方法一：记三个球分别为①，②，③，试验的全部基本事件如下表：共27种.根据古典概型公式()182 273P A==.（2）记“三只小球在三个不同盒子中，且每只球的编号与所在盒子编号不同”为事件B，事件B包含的基本事件数有2种.根据古典概型公式2 ()27 P B=.（3）X的可能取值为1，2，3.。

高二数学随机变量的分布列试题答案及解析

高二数学随机变量的分布列试题答案及解析1.设随机变量ξ的概率分布列为（k＝0，1，2，3），则．【答案】【解析】随机变量ξ的概率分布列为（k＝0，1，2，3），且，，即.【考点】随机变量的分布列.2.若随机变量X～B(n,0.6)，且E(X)＝3，则P(X＝1)的值是________．【答案】3×0.44【解析】E(X)＝n×0.6＝3，∴n＝5，∴P(X＝1)＝C1(0.6)1×0.44＝3×0.44.53.为了解某校高三毕业班报考体育专业学生的体重（单位：千克）情况，将从该市某学校抽取的样本数据整理后得到如下频率分布直方图．已知图中从左至右前3个小组的频率之比为1:2:3，其中第2小组的频数为12．（Ⅰ）求该校报考体育专业学生的总人数n;（Ⅱ）若用这所学校的样本数据来估计该市的总体情况，现从该市报考体育专业的学生中任选3人，设表示体重超过60千克的学生人数，求的分布列和数学期望．【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）0123（或）.【解析】（Ⅰ）设从左至右前3小组的频率分别为由题意得 3分∴ 5分∴ 6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得一个报考体育专业学生的体重超过60公斤的概率为8分由题意可知∴， 10分即∴（或） 12分【考点】频率分布直方图，随机变量的分布列及数学期望。

点评：中档题，作为数学应用问题，实际背景学生熟悉，易于理解题意，关键是细心计算。

4.甲、乙两人玩猜数字游戏,规则如下:①连续竞猜次,每次相互独立；②每次竟猜时,先由甲写出一个数字,记为,再由乙猜测甲写的数字,记为,已知,若,则本次竞猜成功；③在次竞猜中,至少有次竞猜成功,则两人获奖.(Ⅰ) 求甲乙两人玩此游戏获奖的概率；(Ⅱ）现从人组成的代表队中选人参加此游戏,这人中有且仅有对双胞胎，记选出的人中含有双胞胎的对数为,求的分布列和期望.【答案】（1）（2）分布列为∴【解析】解：（Ⅰ）记事件为甲乙两人一次竞猜成功，则则甲乙两人获奖的概率为（Ⅱ）由题意可知6人中选取4人，双胞胎的对数取值为0,1,2则，∴分布列为∴【考点】古典概型概率和分布列点评：主要是考查了古典概型概率和分布列的求解，属于基础题。

第2章_随机变量及其分布练习题及答案

第2章随机变量及其分布（练习、复习题及答案）一、填空题：1.随机变量ξ的分布列为P(ξ=k )=a /N ，(k =1,2,…,N)，则a = 1 .2.射手每次射击击中目标的概率为p ,连续向同一目标射击，直到某一次击中目标为止,则射击次数ξ的分布列为 P(ξ=k )=p (1-p )k -1,k =1,2,….3.随机变量ξ服从参数为(2,p )的二项分布,随机变量η服从参数为(4,p )的二项分布,若P(ξ<1)=4/9,则P(η≥1)=_ 65/81_.4.离散型随机变量ξ的概率分布P(ξ=0)=0.2，P(ξ=1)=0.3，P(ξ=2)=0.5，则P(ξ≤1.5)=__0.5__.5.随机变量ξ的分布列为P(ξ=k )=!k Ckλ,k =0,1,2,…(λ>0)，则C ＝ e -λ. *λλλλe =++++!3!2!11326.随机变量ξ的分布列为P(ξ=k )=k a -λ,k =1,2,…，其中λ>1，则a ＝ λ-1 .7.一实习生用同一台机器接连独立地制造三个同种零件，第i 个零件是不合格品的概率3,2,1,11=+=i i p i ，以ξ表示三个零件中合格品的个数，则P{ξ=2}＝ 11/24 .8.随机变量ξ的分布函数为F(x ),则概率P(ξ≥a )用F(x )表示为__ 1-F(a )__. 9.随机变量ξ的分布函数为F(x )=⎪⎩⎪⎨⎧<≥+--0 0 0)1(1x x ex x ,,,则P(ξ≤1)=_1-2e -1_. 10.随机变量ξ的概率密度函数为f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧<-其他,), 0 2A(2x x ,则A=__1/4__.11.连续型随机变量ξ的分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<=1, 110,0,0)(F 2x x x x x ,则ξ的概率密度f (x )=⎩⎨⎧<<其他, 1 10,2x x .12.连续型随机变量ξ的分布函数为)0(00,0B A )(F >⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=-λλx x ex x ,, ，则常数A =_1 ,B =_-1;P{-1<ξ<1}= 1-e -λ.13.随机变量ξ的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧<≥+-=-0, 00,)1(1)(x x ex x F x ,则相应的概率密度是⎪⎩⎪⎨⎧<≥=-0, 00,)(x x xex f x .14.随机变量ξ在[1,4]上服从均匀分布,现在对进行3次独立试验,则至少有2次观察值大于2的概率为_20/27_.15.随机变量ξ ~N(70,102)，则P(60<ξ<80)=_0.6826_.(已知Φ(1)=0.8413)16.随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),且P(2<ξ<4)=0.3,则P(ξ<0)=_0.2_.17.随机变量服从正态分布N(μ,σ2)，已知P(ξ<9)=0.975，P(ξ<2)=0.062，则P(ξ>6)=_0.3228_. 18.若ξ~N(0,1)，则η=ξ3的密度函数为+∞<<-∞--y e yy,231322132π.19.统考成绩服从正态分布N(70,102),在参加统考的人中,及格者100人(及格分数为60分),则不及格人数约为_19_.二、选择题1.在下列结果中，构成概率分布的是( D ).{}{}{}{}),,(D.P ),,,(C.P ),,(B.P ),,,(A.P 2 132 2 1 032 2 131 2 1 031============k k ξk k ξk k ξk k ξkkkk2.随机变量ξ的概率分布为P(ξ=k )=b λk (k =1,2,…), b >0，则( C ). A.λ为任意正实数 B.λ=b +1 C.b+=11λ D.11-=b λ3.常数b =( B )时，),,( 2 1)1(=+=k k k b p k 为离散型随机变量的概率分布.A.2B.1C.0.5D.34.设ξ是一个离散型随机变量，则( D )可以成为ξ的分布列.{}{}, , , n n en ξn n en ξx x x x x R p p p nn210!32 1!30.22.0 .303.0 .10 ,1 0 1 3354321======⎪⎪⎭⎫⎝⎛∈⎪⎪⎭⎫⎝⎛---.D.P,,.C.P B.A.5.随机变量ξ~N(0,1)，ξ的分布函数为Φ(x )，则P(⎢ξ⎪<1)的值为( B ).A.2[1-Φ(1)]B.2Φ(1)-1C.1-Φ(1)D.1-2Φ(1)6.随机变量ξ~N(0,1)，ξ的分布函数为Φ(x )，则P(⎢ξ⎪>2)的值为( A ). A.2[1-Φ(2)] B.2Φ(2)-1 C.2-Φ(2) D.1-2Φ(2)7.设随机变量ξ的分布函数为F (x )，在下列概率中可表示为F (a +0) - F (a )的是( C ). A.P{ξ≤a } B. P{ξ>a } C. P{ξ=a } D. P{ξ≥a }8.下列函数可以作为某一随机变量ξ的密度函数的是( D ).⎪⎩⎪⎨⎧∈=⎪⎩⎪⎨⎧-∈=⎪⎩⎪⎨⎧∈=⎩⎨⎧∈=其他D. 其他C. 其他B.其他A., 0 ]2,0[,sin )(, 0 ]2,2[,sin )(, 0 ]23,0[,sin )( , 0 ],0[,sin )(πππππx x x f x x x f x x x f x x x f9.设ξ的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=0 0 0)(1A )(4x x x x x f ,,，则A=( B ).A.3B.6C.2.5D.4 10.设随机变量ξ的密度函数为f (x )=)(21+∞<<-∞-x ex，则其分布函数的是( B ).⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤-<=⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<=⎪⎩⎪⎨⎧≥<=---1, 1 10,2110, 21 )(0, 1 0,211)(0,2110, 21 )( 0, 0 0,21)(x x e x e x F x x e x F x e x e x F x x e x F x xx x xx D. C. B.A.11.设f (x )是一连续型随机变量ξ的密度函数，其表达式为分段函数，则当x ∈( A )时，f (x )=cos x ，其余f (x )=0.]47,23[],0[],2[]2,0[ππππππ D. C. B.A.12.设随机变量ξ服从[0，5]上的均匀分布，则关于t 的方程4t 2+4ξt+ξ+2=0有实根的概率是( B ).A.0.4B.0.6C.1D.1/313.设随机变量ξ~N(μ, 62)，η~ N(μ, 82)，记p 1=P{ξ≤μ-6}，p 2=P{η≥μ+8}，则( A ).A. p 1=p 2B. p 1>p 2C. p 1<p 2D. p 1≤p 2 三、解答题：1.下列表格是概率分布吗？为什么？(1) ξ 1 2 3 4 不是 (2) ξ -1 0 1 4 是 P 0.2 0.3 0.3 0.4 P 0.1 0.2 0.3 0.4 2.求常数C ,使下列函数成为概率分布:P(ξ=k )=Ck ,k =1,2,…, n ； )1(2+=n n C3.随机变量ξ~b (n , p )，已知P(ξ=1)=P(ξ=n -1)，试求 p 与P(ξ=2)的值.p =0.5，P(ξ=2)=122)1(21+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛n nnn n C4.随机试验中事件A 发生的概率为p ，把这个试验独立重复地做两次。

新人教版高中数学选修三第二单元《随机变量及其分布》检测题(包含答案解析)(1)

一、选择题1．已知随机变量ξ的分布列如下表，若()2E ξ=，则()D ξ的最小值等于（）A ．0B ．2C ．1D ．122．某种疾病的患病率为0.5%，已知在患该种疾病的条件下血检呈阳性的概率为99%，则患该种疾病且血检呈阳性的概率为（） A ．0.495%B ．0.940 5%C ．0.999 5%D ．0.99%3．已知随机变量X 的取值为1,2,3，若()136P X ==，()53E X =，则()D X =（） A ．19B ．39C ．59D ．794．已知随机变量ξ的取值为()0,1,2i i =.若()105P ξ==，()1E ξ=，则( ) A ．()()1P D ξξ=< B ．()()1P D ξξ== C ．()()1P D ξξ=>D ．()()115P D ξξ==5．高三毕业时，甲，乙，丙等五位同学站成一排合影留念，在甲和乙相邻的条件下，丙和乙也相邻的概率为（） A ．110B ．14C ．310D ．256．随机变量X 服从正态分布()()()210,12810X N P X m P X n σ->==，，≤≤，则12m n+的最小值为（）A ．3+B ．6+C ．3+D ．6+7．甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动,社区服务活动共有关怀老人、环境监测、教育咨询、交通宣传等四个项目,每人限报其中一项,记事件A 为4名同学所报项目各不相同”,事件B 为“只有甲同学一人报关怀老人项目”,则(|)P B A =（） A ．14B ．34C ．29D ．598．若某校研究性学习小组共6人，计划同时参观科普展，该科普展共有甲，乙，丙三个展厅，6人各自随机地确定参观顺序，在每个展厅参观一小时后去其他展厅，所有展厅参观结束后集合返回，设事件A为：在参观的第一小时时间内，甲，乙，丙三个展厅恰好分别有该小组的2个人；事件B为：在参观的第二个小时时间内，该小组在甲展厅人数恰好为2人，则(|)P B A=（）．A．38B ．18C．316D．1169．已知三个正态分布密度函数()()2221e2iixiixμσϕπσ--=（, 1,2,3i=）的图象如图所示则（）A．123123==μμμσσσ<>，B．123123==μμμσσσ><，C．123123μμμσσσ=<<=，D．123123==μμμσσσ<<，10．已知随机变量X的分布列如下表所示则(25)E X-的值等于A．1 B．2 C．3 D．411．随机变量()~1,4X N，若()20.2p x≥=，则()01p x≤≤为（）A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.612．甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，其命中率分别为0.8,0.5，现已知目标被击中，则它是被甲击中的概率是（）A．0.8B．0.9C．58D．89二、填空题13．一个口袋中有7个大小相同的球，其中红球3个，黄球2个，绿球2个.现从该口袋中任取3个球，设取出红球的个数为ξ，则()E ξ=______.14．一个盒子里有1个红1个绿2个黄四个相同的球，每次拿一个，不放回，拿出红球即停，设拿出黄球的个数为ξ，则(0)ξ==P _______；()E ξ=______． 15．记A,B 为两个事件,若事件A 和B 同时发生的概率为310,在事件A 发生的条件下,事件B 发生的概率为12,则事件A 发生的概率为_____. 16．已知随机变量2(1,)XN σ，若(01)0.3P X <<=，则(2)P X >=__________．17．已知随机变量X 的分布列如下,若E(X)=3,则D(X)=____.18．有10张纸币，其中有4张假币，从中取出两张，已知其中一张是假币，则另一张也是假币的概率为____．三、解答题19．2020年某市教育主管部门为了解近期举行的数学竞赛的情况，随机抽取500名参赛考生的数学竞赛成绩进行分析，并制成如下的频率分布直方图：（1）求这500名考生的本次数学竞赛的平均成绩x (精确到整数)；（2）由频率分布直方图可认为：这次竞赛成绩X 服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似等于样本的平均数x ，σ近似等于样本的标准差s ，并已求得18s ≈.用该样本的频率估计总体的概率，现从该市所有考生中随机抽取10名学生，记这次数学竞赛成绩在(86,140]之外的人数为Y ，求(2)P Y =的值(精确到0.001). 附：（1）当()2,XN μσ时，()0.6827,(22)0.9545P X P X μσμσμσμσ-<+=-<+=；（2）820.81860.18140.0066⨯≈.20．甲､乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪80元，每单抽成4元；乙公司无底薪，40单以内(含40单)的部分每单抽成6元，超出40单的部分每单抽成7元，假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数表：甲公司送餐员送餐单数频数表：送餐单数 38 39 40 41 42 天数101510105送餐单数 38 39 40 41 42 天数51010205（1）记乙公司送餐员日工资为X (单位：元)，求X 的分布列和数学期望；（2）小王打算到甲､乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由.21．教育是阻断贫困代际传递的根本之策.补齐贫困地区义务教育发展的短板，让贫困家庭子女都能接受公平而有质量的教育，是夯实脱贫攻坚根基之所在.治贫先治愚﹐扶贫先扶智.为了解决某贫困地区教师资源匮乏的问题，郑州市教育局拟从5名优秀教师中抽选人员分批次参与支教活动.支教活动共3分批次进行，每次支教需要同时派送2名教师，且每次派送人员均从5人中随机抽选.已知这5名优秀教师中，2人有支教经验，3人没有支教经验. （1）求5名优秀教师中的“甲”，在这3批次活动中有且只有一次被抽选到的概率﹔ （2）求第二次抽选时，选到没有支教经验的教师的人数最有可能是几人﹖请说明理由；（3）现在需要2名支教教师完成某项特殊教学任务，每次只能派一个人，且每个人只派一次，如果前一位教师一定时间内不能完成教学任务，则再派另一位教师.若有A B 、两个教师可派，他们各自完成任务的概率分别为12p p 、，假设121p p >>，且假定各人能否完成任务的事件相互独立.若按某种指定顺序派人，这两个人各自能完成任务的概率依次为12,q q ，其中12,q q 是12p p 、的一个排列，试分析以怎样的顺序派出教师，可使所需派出教师的人员数目的数学期望达到最小.22．某高三毕业班甲、乙两名同学在连续的8次数学周练中，统计解答题失分的茎叶图如图：（1）比较这两名同学8次周练解答题失分的平均数和方差的大小，并判断哪位同学做解答题相对稳定些；（2）以上述数据统计甲、乙两名同学失分超过15分的频率作为概率，假设甲、乙两名同学在同一次周练中失分多少互不影响，预测在接下来的2次周练中，甲、乙两名同学失分均超过15分的次数X 的分布列和均值．23．时值金秋十月，秋高气爽，我校一年一度的运动会拉开了序幕.为了增加运动会的趣味性，大会组委会决定增加一项射击比赛，比赛规则如下：向甲､乙两个靶进行射击，先向甲靶射击一次，命中得2分，没有命中得0分；再向乙靶射击两次，如果连续命中两次得3分，只命中一次得1分，一次也没有命中得0分.小华同学准备参赛，目前的水平是：向甲靶射击，命中的概率是35；向乙靶射击，命中的概率为23.假设小华同学每次射击的结果相互独立.（1）求小华同学恰好命中两次的概率；（2）求小华同学获得总分X的分布列及数学期望.24．近年来，我国肥胖人群的规模不断扩大，肥胖人群有很大的心血管安全隐患，目前，国际上常用身体质量指数(Bodv Mass Index，缩写BMI)来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是BMI＝体重（单位：千克）÷身高2（单位：2m），中国成人的BMI数值标准为：BMI＜18.5为偏瘦；18.5≤BMI＜24为正常；24≤BMI＜28为偏胖；BMI≥28为肥胖.某单位随机调查了100名员工，测量身高、体重并计算出BMI值.（1）根据调查结果制作了如下2×2列联表，请将2×2列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为肥胖与不经常运动有关；人中“经常运动且不肥胖”的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望.附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，n a b c d=+++.25．A口袋中有大小相同编号不同的4个黄色乒乓球和2个白色乒乓球，B口袋中有大小相同编号不同的3个黄色乒乓球和3个白色乒乓球，现从A、B两个口袋中各摸出2个球（1）求摸出的4个球中有3个黄色兵乓球和1个白色乒乓球的概率；（2）求摸出的4个球中黄球个数ξ的数学期望．26．出于“健康､养生”的生活理念.某地的M炊具有限公司的传统手工泥模工艺铸造的平底铁锅一直受到全国各地消费者的青睐.M炊具有限公司下辖甲､乙两个车间，甲车间利用传统手工泥模工艺铸造T型双耳平底锅，乙车间利用传统手工泥模工艺铸造L型双耳平底锅，每一口双耳平底锅按照综合质量指标值(取值范围为[50,100])划分为：综合质量指标值不低于70为合格品，低于70为不合格品.质检部门随机抽取这两种平底锅各100口，对它们的综合质量指标值进行测量，由测量结果得到如下的频率分布直方图：将此样本的频率估计为总体的概率.生产一口T 型双耳平底锅，若是合格品可盈利40元，若是不合格品则亏损10元；生产一口L 型双耳平底锅，若是合格品可盈利50元，若是不合格品则亏损20元.（1）记X 为生产一口T 型双耳平底锅和一口L 型双耳平底锅所得的总利润，求随机变量X 的数学期望；（2）M 炊具有限公司生产的T 和L 型双耳平底锅共计1000口，并且两种型号获得的利润相等，若将两种型号的合格品再按质量综合指标值分成3个等级，其中[70,80)为三级品，[80,90)为二级品，[90,100]为一级品，试判断生产的这1000口两种型号的双耳平底锅中哪种型号的一级品多？请说明理由.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】根据分布列的性质可得23a =，由()2E ξ=可得出62m n =-，再由二次函数的基本性质可求得()D ξ的最小值. 【详解】由分布列的性质可得23a =，()12233E m n ξ=+=，所以，26m n +=，则62m n =-，()()()()()()222221212224222203333D m n n n n ξ=-+-=-+-=-≥，因此，()D ξ的最小值为0. 故选：A.本题考查利用随机分布列的性质解题，同时也考查了方差最值的计算，考查计算能力，属于中等题.2．A解析：A 【分析】设事件A ＝“血检呈阳性”，B ＝“患该种疾病”,由题得P （B ）＝0.005，P (A |B )＝0.99，由条件概率得P (AB )＝P （B ）P (A |B )，计算即得解. 【详解】设事件A ＝“血检呈阳性”，B ＝“患该种疾病”．依题意知P （B ）＝0.005，P (A |B )＝0.99，由条件概率公式P (A |B )＝()()P AB P B ，得P (AB )＝P （B ）P (A |B )＝0.005×0.99=0.00495，故选：A. 【点睛】本题主要考查条件概率的计算和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3．C解析：C 【分析】设(1)P X p ==，(2)P X q ==，则由1(3)6P X ==，5()3E X =，列出方程组，求出p ，q ，即可求得()D X ．【详解】设(1)P X p ==，(2)P X q ==，1563()23E X p q =++⨯=——①，又161p q ++=——② 由①②得，12p =，13q =，222111()(1)(25555333(9))2336D X ∴=-+-+-=故选：C. 【点睛】本题考查离散型随机变量的方差的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．4．C【分析】设()1P x ξ==，根据()f x ，()1E ξ=列方程求出x ，进而求出()D ξ，即可比较大小. 【详解】设()1P x ξ==，则()425P x ξ==-，则()1480121555x x E x ξ⎛⎫=⨯+⨯+-⨯=-= ⎪⎝⎭，解得()315P ξ==，()125P ξ==，则()()()()22213120111215555D ξ=⨯-+⨯-+⨯-=，故()()1P D ξξ=>，故选：C. 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.5．B解析：B 【分析】记事件:A 甲乙相邻，事件:B 乙丙相邻，利用排列组合思想以及古典概型的概率公式计算出()P A 和()P AB ，再利用条件概率公式可计算出所求事件的概率．【详解】记事件:A 甲乙相邻，事件:B 乙丙相邻，则事件:AB 乙和甲丙都相邻，所求事件为B A ，甲乙相邻，则将甲乙两人捆绑，与其他三位同学形成四个元素，排法种数为424248A A =，由古典概型的概率公式可得()554825P A A ==. 乙和甲丙都相邻，则将甲乙丙三人捆绑，且乙位置正中间，与其他两位同学形成三个元素，排法种数为323212A A =，由古典概型的概率公式可得()5512110P AB A ==，由条件概率公式可得()()()1511024P AB P B A P A ==⨯=，故选B. 【点睛】本题考查条件概率的计算，解这类问题时，要弄清各事件事件的关系，利用排列组合思想以及古典概型的概率公式计算相应事件的概率，并灵活利用条件概率公式计算出所求事件的概率，考查计算能力，属于中等题．6．D【分析】利用正态密度曲线的对称性得出12m n +=，再将代数式22m n +与12m n +相乘，展开后可利用基本不等式求出12m n+的最小值．【详解】由于()210,XN σ，由正态密度曲线的对称性可知，()()128P X P X m >=<=，所以，()()188102P X P X <+≤≤=，即12m n +=，221m n ∴+=，由基本不等式可得()1212422266m n m n m n m n n m ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭6=，当且仅当()420,0m n m n n m=>>，即当n =时，等号成立，因此，12m n +的最小值为6+，故选D. 【点睛】本题考查正态密度概率以及利用基本不等式求最值，解题关键在于利用正态密度曲线的对称性得出定值，以及对所求代数式进行配凑，以便利用基本不等式求最值，考查计算能力，属于中等题．7．A解析：A 【分析】确定事件AB ，利用古典概型的概率公式计算出()P AB 和()P A ，再利用条件概型的概率公式可计算出()P B A 的值. 【详解】事件AB 为“4名同学所报项目各不相同且只有甲同学一人报关怀老人项目”，则()3344A P AB =，()4444A P A =，()()()3434444144P AB A P B A P A A ∴==⋅=，故选A. 【点睛】本题考查条件概型概率的计算，考查条件概率公式的理解和应用，考查运算能力，属于中等题．8．A解析：A 【分析】先求事件A 包含的基本事件，再求事件AB 包含的基本事件，利用公式可得.由于6人各自随机地确定参观顺序，在参观的第一小时时间内，总的基本事件有63个；事件A 包含的基本事件有222642C C C 个；在事件A 发生的条件下，在参观的第二个小时时间内，该小组在甲展厅人数恰好为2人的基本事件为244C ⨯个，而总的基本事件为62，故所求概率为24643(/)28C P B A ⨯==,故选A. 【点睛】本题主要考查条件概率的求解，注意使用缩小事件空间的方法求解.9．D解析：D 【分析】正态曲线关于x ＝μ对称，且μ越大图象越靠近右边，第一个曲线的均值比第二和第三和图象的均值小，且二，三两个的均值相等，又有σ越小图象越瘦长，得到正确的结果．【详解】根据课本中对正太分布密度函数的介绍知道：当正态分布密度函数为()()2221ei i x i ix μσϕ--=，则对应的函数的图像的对称轴为：i μ，∵正态曲线关于x ＝μ对称，且μ越大图象越靠近右边，∴第一个曲线的均值比第二和第三和图象的均值小，且二，三两个的均值相等，只能从A ，D 两个答案中选一个， ∵σ越小图象越瘦长，得到第二个图象的σ比第三个的σ要小，第一个和第二个的σ相等故选D ．【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查密度函数中两个特征数均值和标准差对曲线的位置和形状的影响，是一个基础题．10．A解析：A 【分析】先求出b 的值，再利用期望公式求出E(X)，再利用公式求出()25E X -. 【详解】由题得0.1+0.2+0,20.11,0.4,b b ++=∴=，所以()10.120.230.440.250.13E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 所以(25)2()52351E X E X -=-=⨯-=. 故答案为A 【点睛】(1)本题主要考查分布列的性质和期望的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 若a b ηξ=+(a 、b 是常数)，ξ是随机变量，则η也是随机变量，E η=()E a b aE b ξξ+=+，2()D a b a D ξξ+=.11．B解析：B 【解析】分析：根据正态分布的整体对称性计算即可得结果. 详解：(0)(2)0.2,P X P X ≤=≥=10.22(01)0.3,2P X -⨯∴≤≤== 故选B.点睛：该题考查的是有关正态分布的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有正态分布曲线的对称性，从而求得结果.12．D解析：D 【解析】分析：根据题意，记甲击中目标为事件A ，乙击中目标为事件B ，目标被击中为事件C ，由相互独立事件的概率公式，计算可得目标被击中的概率，进而由条件概率的公式，计算可得答案．详解：根据题意，记甲击中目标为事件A ，乙击中目标为事件B ，目标被击中为事件C ，则P （C ）=1﹣P （A ）P （B ）=1﹣（1﹣0.8）（1﹣0.5）=0.9；则目标是被甲击中的概率为P=0.880.99=. 故答案为D.点睛：（1）本题主要考查独立事件的概率和条件概率，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 条件概率的公式:()(|)()P AB P B A P A =，(|)P B A =()()n AB n A .条件概率一般有“在A 已发生的条件下”这样的关键词，表明这个条件已经发生，发生了才能称为条件概率.但是有时也没有，要靠自己利用条件概率的定义识别.二、填空题13．【分析】先确定随机变量的取值再分别计算对应的概率最后利用期望的计算公式即得结果【详解】依题意设取出红球的个数为则而口袋中有红球3个其他球4个故故故答案为：【点睛】方法点睛：求离散型随机变量的期望的步解析：97【分析】先确定随机变量的取值0,1,2,3ξ=，再分别计算对应的概率，最后利用期望的计算公式即得结果. 【详解】依题意，设取出红球的个数为ξ，则0,1,2,3ξ=，而口袋中有红球3个，其他球4个，故()34374035C P C ξ===，()12343718135C C P C ξ===，()21343712235C C P C ξ===，()33375313C C P ξ===，故()418121459012335353535357E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯==. 故答案为：97. 【点睛】方法点睛：求离散型随机变量的期望的步骤：（1）先确定随机变量的取值12,,...,n x x x ξ=；（2）再计算每个变量所对应的概率(),1,2,3,...,i i P x p i n ξ===；（3）利用公式()112233...n n E x p x p x p x p ξ=++++，计算得到期望即可.14．1【分析】先计算出的分布列再利用公式可求【详解】随机变量对应事件为第一次拿红球或第一次拿绿球第二次拿红球所以对应事件为第一次拿黄球第二次拿红球或第一次拿黄球第二次拿绿球第三次拿红球或第一次拿绿球第二解析：131 【分析】先计算出ξ的分布列，再利用公式可求()E ξ.【详解】随机变量0,1,2ξ=，0ξ=对应事件为第一次拿红球或第一次拿绿球，第二次拿红球，所以1111(0)4433P ξ==+⨯=， 1ξ=对应事件为第一次拿黄球，第二次拿红球，或第一次拿黄球，第二次拿绿球，第三次拿红球，或第一次拿绿球，第二次拿黄球，第三次拿红球，故212111211(1)434324323P ξ==⨯+⨯⨯+⨯⨯=，故111(2)1333P ξ==--=，所以111()0121333E ξ=⨯+⨯+⨯=. 故答案为：1;13. 【点睛】关键点点睛：计算离散型随机变量的分布列，注意随机变量取值时对应的含义，从而正确计算对应的概率，另外注意利用对立事件计算概率.15．【分析】由题意可得且由此求得事件发生的概率的值【详解】设事件发生的概率为事件发生的概率为则由题意可得且解得故答案为【点睛】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式条件概率公式属于中档题解析：35【分析】由题意可得()()()310P AB P A P B ==，且()1/2P B A =，由此求得事件A 发生的概率()P A 的值．【详解】设事件A 发生的概率为()P A ，事件B 发生的概率为()P B ，则由题意可得()()()310P AB P A P B ==，且()()()()3110/=2P AB P B A P A P A ==，解得()35P A =，故答案为35. 【点睛】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式、条件概率公式，属于中档题．16．02【分析】随机变量得到曲线关于称根据曲线的对称性得到根据概率的性质得到结果【详解】随机变量∴曲线关于对称∴故答案为02【点睛】本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义函数图象对称性的应用等解析：0.2 【分析】随机变量()21,X N σ~，得到曲线关于1x =称，根据曲线的对称性得到200.501P X P X P X >=<=-<<（）（）（），根据概率的性质得到结果．【详解】随机变量()21,X N σ~，∴曲线关于1x =对称，∴200.5010.2P X P X P X >=<=-<<=（）（）（），故答案为0.2. 【点睛】本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义、函数图象对称性的应用等基础知识，属于基础题17．1【分析】由题意根据和分布列的性质求得的值再利用方差的公式即可求解【详解】根据题意得解得∴D(X)=(1-3)2×01+(2-3)2×02+(3-3)2×03+(4-3)2×04=1【点睛】本题主要解析：1 【分析】由题意，根据()3E X =和分布列的性质，求得,m n 的值，再利用方差的公式，即可求解. 【详解】根据题意,得解得∴D(X)=(1-3)2×0.1+(2-3)2×0.2+(3-3)2×0.3+(4-3)2×0.4=1. 【点睛】本题主要考查了分布列的性质和期望与方差的计算，其中明确分布列的性质和相应的数学期望和方差的计算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.18．【解析】分析：记抽出的两张有一张是假币为事件A 抽出的两张都是假币为事件B 利用条件概率计算公式能求出其中1张放到验钞机上检验发现是假钞则另一张也是假钞的概率详解：记抽出的两张有一张是假币为事件A 抽出的解析：15【解析】分析：记“抽出的两张有一张是假币”为事件A ，“抽出的两张都是假币”为事件B ，利用条件概率计算公式能求出其中1张放到验钞机上检验发现是假钞，则另一张也是假钞的概率．详解：记“抽出的两张有一张是假币”为事件A ，“抽出的两张都是假币”为事件B ，则将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞，则另一张也是假钞的概率为：24210211446210()1(|)()5C C P AB P B A C C C P A C ===+. 点睛：本题主要考查了条件的求解以及组合数的应用，正确理解条件概率的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，以及转化与化归思想的应用，试题比较基础，属于基础题．三、解答题19．（1）104(分)；（2）0.298. 【分析】（1）根据频率分布直方图，利用平均数公式求解.（2）由104,18μσ==，求得(86140)(2)P X P X μσμσ<=-<+，进而得到(P X μσ-或2)X μσ>+，然后由()10,0.1814Y B ~求解.【详解】（1）10(650.0028750.01850.01950.0181050.02x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯，1150.0181250.0121350.008+⨯+⨯+⨯1450.0012)+⨯1010.416104.16104(=⨯=≈分).（2）由题意知()2,,X Nμσ~且104,18μσ==，所以8610418,1401041822μσμσ=-=-=+⨯=+，所以0.68270.9545(86140)(2)0.81862P X P X μσμσ+<=-<+==，所以(P X μσ-或2)10.81860.1814X μσ>+=-=，所以()10,0.1814Y B ~，所以()228102C 0.18140.8186450.006630.298P Y ==⨯⨯≈⨯≈.【点睛】结论点睛：（1）若X 服从正态分布，即X ～N (μ，σ2)，要充分利用正态曲线的关于直线X ＝μ对称和曲线与x 轴之间的面积为1.（2）二项分布是概率论中最重要的几种分布之一，在实际应用和理论分析中都有重要的地位．①判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有二：其一是独立性，即一次试验中，事件发生与不发生二者必居其一；其二是重复性，即试验是独立重复地进行了n 次． ②对于二项分布，如果在一次试验中某事件发生的概率是p ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是P (X ＝k )＝kk n kn p q C -.其中k ＝0，1，…，n ，q ＝1－p .20．（1）详见解析；（2）推荐小王去乙公司应聘，理由见解析. 【分析】（1）本题首先可以设乙公司送餐员送餐单数为a ，然后依次求出38a =、39a =、40a =、41a =、42a =时的工资X 以及概率p ，即可列出X 的分布列并求出数学期望；（2）本题可求出甲公司送餐员日平均工资，然后与乙公司送餐员日平均工资进行对比，即可得出结果. 【详解】（1）设乙公司送餐员送餐单数为a ，当38a =时，386228X =⨯=，515010p ；当39a =时，396234X =⨯=，101505p ；当40a =时，406240X =⨯=，101505p；当41a =时，40617247X =⨯+⨯=，202505p ；当42a=时，40627254X =⨯+⨯=，515010p，故X 的所有可能取值为228、234、240、247、254，故X 的分布列为：故()228234240247254241.81055510E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. （2）甲公司送餐员日平均送餐单数为：380.2390.3400.2410.2420.139.7⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，则甲公司送餐员日平均工资为80439.7238.8+⨯=元，因为乙公司送餐员日平均工资为241.8元，238.8241.8<，所以推荐小王去乙公司应聘. 【点睛】关键点点睛：（1）求分布列的关键是根据题意确定随机变量的所有可能取值和取每一个值时的概率，然后列成表格的形式后即可，（2）根据统计数据做出决策时，可根据实际情况从平均数、方差等的大小关系作出比较后得到结论.21．（1）54125；（2）第二次抽取到的无支教经验的教师人数最有可能是1人，理由见解析；（3）按照先A 后B 的顺序所需人数期望最小. 【分析】（1）在每轮抽取中，甲被抽中的概率为25，则三次抽取中，“甲”恰有一次被抽取到的概率为2132355P C ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）设ξ表示第二次抽取到的无支教经验的教师人数，可能的取值有0,1,2，分别求出各种情况的概率，从而得出答案.（3）设X 表示先A 后B 完成任务所需人员数目，求出的X 期望，设Y 表示B 先后A 完成任务所需人员数目，求出的Y 期望，从而得出结论. 【详解】（1）5名优秀教师中的“甲”在每轮抽取中，被抽取到概率为142525C C =，则三次抽取中，“甲”恰有一次被抽取到的概率为2132********P C ⎛⎫== ⎪⎝⎭ (2)第二次抽取到的没有支教经验的教师人数最有可能是1人.设ξ表示第二次抽取到的无支教经验的教师人数，可能的取值有0,1,2，则有:()11222222332222222222555555370,100C C C C C C C P C C C C C C ξ==⋅+⋅+⋅=()11111122112323233241222222555555541,100C C C C C C C C C C P C C C C C C ξ==⋅+⋅+⋅=()2112223233322222255555920,100C C C C C C P C C C C C ξ==⋅+⋅+⋅=因为()()()102P P P ξξξ=>=>=，故第二次抽取到的无支教经验的教师人数最有可能是1人. （3）按照先A 后B 的顺序所需人数期望最小. 设X 表示先A 后B 完成任务所需人员数目，则111212E X p p p =+-=-设Y 表示B 先后A 完成任务所需人员数目，则22212212,0()E Y p p p E Y E X p p =+-=-=->-.故按照先A 后B 的顺序所需人数期望最小. 【点睛】关键点睛：本题考查求概率和求离散型随机变量的数学期望，解答本题的关键是设X 表示先A 后B 完成任务所需人员数目，得出()()111212E X p p p =+-=-，设Y 表示B 先后A 完成任务所需人员数目，则()()111212E X p p p =+-=-，相减得出大小，属于中档题.22．（1）甲、乙两名同学解答题失分的平均数相等；甲同学解答题失分的方差比乙同学解答题失分的方差大，乙同学做解答题相对稳定些；（2）分布列见解析，38.【分析】（1）根据平均数公式和方差公式计算结果，并根据平均数和方差的意义，得到结论；（2）甲和乙失分超过15分的概率分别为P 1＝38，P 2＝12，并计算123138216PP =⨯=,由条件可知32,16X B ⎛⎫⎪⎝⎭，根据二项分布计算分布列和均值. 【详解】（1） 1=8x 甲(7＋9＋11＋13＋13＋16＋23＋28)＝15， 1=8x 乙(7＋8＋10＋15＋17＋19＋21＋23)＝15，21=8s 甲 [(－8)2＋(－6)2＋(－4)2＋(－2)2＋(－2)2＋12＋82＋132]＝44.75，21=8s 乙[(－8)2＋(－7)2＋(－5)2＋02＋22＋42＋62＋82]＝32.25.甲、乙两名同学解答题失分的平均数相等；甲同学解答题失分的方差比乙同学解答题失分的方差大．所以乙同学做解答题相对稳定些．（2）根据统计结果，在一次周练中，甲和乙失分超过15分的概率分别为P 1＝38，P 2＝12，两人失分均超过15分的概率为P 1P 2＝316， X 的所有可能取值为0，1，2.依题意，32,16XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ()22313,0,1,21616k kk P X k C k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则X 的分布列为X 的均值E (X )＝2168⨯=.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是判断X 服从二项分布，并计算在每次周练两人失分均超过15分的概率，这样就容易写错分布列. 23．（1）49；（2）分布列答案见解析，数学期望：13445. 【分析】（1）记：“小华恰好命中两次”为事件A ，“小华射击甲靶命中”为事件B ， “小华第一次射击乙靶命中”为事件C ，“小华第二次射击乙靶命中”为事件D ，则有A BCD BCD BCD =++，由互斥事件与独立事件的概率公式可得；（2）随机变量X 的取值可能为0,1,2,3,5，求出它们的概率可得分布列，由期望公式可计算出期望．【详解】解：（1）记：“小华恰好命中两次”为事件A ，“小华射击甲靶命中”为事件B ， “小华第一次射击乙靶命中”为事件C ，“小华第二次射击乙靶命中”为事件D ，由题意可知3()5P B =，2()()3P C P D ==，由于A BCD BCD BCD =++， ∴3213122224()()5335335339P A P BCD BCD BCD =++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，故甲同学恰好命中一次的概率为49. （2）X =0，1，2，3，5．2212(0)5345P X ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭，122218(1)53345P X C ==⨯⨯⨯=， 2311(2)5315P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，123212224(3)5335339P X C ==⨯⨯⨯+⨯⨯=，2324(5)5315P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，()0123545451591545E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查互斥事件与相互独立事件的概率公式，考查随机变量的概率分布列和数学期望，解题关键是把事件“小华恰好命中两次”拆成一些互斥事件的和，确定随机变量的可能值并计算出概率．。

高中试卷-专题8.3 列联表与独立性检验(含答案)

专题8.3 列联表与独立性检验姓名：班级：重点分类变量与列联表难点独立性检验例1-1．在一次独立性检验中，其把握性超过了%99，则随机变量2K 的可能值为（）。

A 、841.3B 、024.5C 、635.6D 、897.7【答案】D【解析】∵在一次独立性检验中，其把握性超过了%99，对应的临界值表中数值为小于01.0，查表可得01.0)635.6(2=≥K P ，故635.62>K ，故选D 。

例1-2．把两个分类变量的频数列出，称为（）。

A 、三维柱形图B 、二维条形图C 、列联表D 、独立性检验【答案】C【解析】选项A 、B 是粗略地判断两个分类变量是否相关的方法，错，选项C 用两个分类变量的频数列表，对，选项D 是通过列联表计算得到两变量是否相关的方法，错，故选C 。

例1-3．通过随机询问200名性别不同的大学生是否爱好踢毽子运动，计算得到统计量2K 的观测值892.4≈k ，参照附表，得到的正确结论是（）。

)(02k K P ≥100.0050.0025.00k 706.2841.3024.5A 、有%5.97以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B 、有%5.97以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C 、在犯错误的概率不超过%5的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D 、在犯错误的概率不超过%5的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”【答案】C【解析】∵计算得到统计量值2K 的观测值841.3892.4>≈k ，参照题目中的数值表，得到正确的结论是：在犯错误的概率不超过%5的前提下，认为“爱好该运动与性别有关”，故选C 。

例1-4．某22⨯列联表：1y 2y 总计1x 431622052x 13121134总计56283339则随机变量2K 的值为。

【答案】469.7【解析】469.728356134205)1621312143(33922=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=K 。

高中数学选修2-3随机变量及其分布(分布列)精选题目(附答案)

高中数学选修2-3随机变量及其分布（分布列）精选题目（附答案）一、条件概率1．在区间(0,1)内随机取一个数x ，若A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 0<x <12，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 14<x <34，则P (B |A )等于( )A.12B.14 C.13 D.34解析：选A P (A )＝121＝12，∵A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 14<x <12， ∴P (AB )＝141＝14， ∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1412＝12.2.有20件产品，其中5件是次品，其余都是合格品，现不放回地从中依次抽取2件，求：(1)第一次抽到次品的概率；(2)第一次和第二次都抽到次品的概率；(3)在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率．解：记第一次抽到次品为事件A，第二次抽到次品为事件B.(1)第一次抽到次品的概率为P(A)＝520＝14.(2)第一次和第二次都抽到次品的概率为P(AB)＝P(A)P(B)＝1 19.(3)在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率为P(B|A)＝119÷14＝419.3．抛掷5枚硬币，在已知至少出现了2枚正面朝上的情况下，问：正面朝上数恰好是3枚的条件概率是多少？解：法一：记至少出现2枚正面朝上为事件A，恰好出现3枚正面朝上为事件B，所求概率为P(B|A)，事件A包含的基本事件的个数为n(A)＝C25＋C35＋C45＋C55＝26，事件B包含的基本事件的个数为n(B)＝C35＝10，P(B|A)＝n(AB)n(A)＝n(B)n(A)＝1026＝5 13.法二：事件A，B同上，则P(A)＝C25＋C35＋C45＋C5525＝2632，P(AB)＝P(B)＝C3525＝1032，所以P(B|A)＝P(AB)P(A)＝P(B)P(A)＝513.4．已知甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，其命中率分别为0.6,0.5，若目标被击中，则它是被甲击中的概率是________．解析：令事件A，B分别表示甲、乙两人各射击一次击中目标，由题意可知P(A)＝0.6，P(B)＝0.5，令事件C表示目标被击中，则C＝A∪B，则P(C)＝1－P(A)P(B)＝1－0.4×0.5＝0.8，所以P(A|C)＝P(AC)P(C)＝0.60.8＝0.75.答案：0.755．一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列结论： ①从中任取3球，恰有一个白球的概率是35；②从中有放回地取球6次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为43； ③现从中不放回地取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为25；④从中有放回地取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为2627.其中所有正确结论的序号是________．解析：①恰有一个白球的概率P ＝C 12C 24C 36＝35，故①正确；②每次任取一球，取到红球次数X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，23，其方差为6×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝43，故②正确；③设A ＝{第一次取到红球}，B ＝{第二次取到红球}，则P (A )＝23，P (AB )＝4×36×5＝25，所以P (B |A )＝P (AB )P (A )＝35，故③错；④每次取到红球的概率P ＝23，所以至少有一次取到红球的概率为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－233＝2627，故④正确．答案：①②④二、相互独立事件的概率1.A ，B ，C 三名乒乓球选手间的胜负情况如下：A 胜B 的概率为0.4，B 胜C 的概率为0.5，C 胜A 的概率为0.6，本次竞赛按以下顺序进行：第一轮：A 与B ；第二轮：第一轮的胜者与C ；第三轮：第二轮的胜者与第一轮的败者；第四轮：第三轮的胜者与第二轮的败者．求：(1)B 连胜四轮的概率；(2)C 连胜三轮的概率．解：(1)要B 连胜四轮，以下这些相互独立事件须发生：第一轮B 胜A ，第二轮B 胜C ，第三轮B 再胜A ，第四轮B 再胜C .根据相互独立事件同时发生的概率公式，得所求概率为P ＝(1－0.4)×0.5×(1－0.4)×0.5＝0.09.故B连胜四轮的概率为0.09.(2)C连胜三轮应分两种情况：①第一轮A胜B，则第二轮C胜A，第三轮C 胜B，第四轮C胜A，得C连胜三轮的概率为P1＝0.4×0.6×(1－0.5)×0.6＝0.072;②第一轮B胜A，则第二轮C胜B，第三轮C胜A，第四轮C胜B，得C 连胜三轮的概率为P2＝(1－0.4)×(1－0.5)×0.6×(1－0.5)＝0.09.由于①②两种情况是两个互斥事件，所以所求概率为P＝P1＋P2＝0.072＋0.09＝0.162.故C连胜三轮的概率为0.162.2．红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A，B，C进行围棋比赛，甲对A、乙对B、丙对C各一盘．已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立．(1)求红队至少两名队员获胜的概率；(2)用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求P(ξ≤1)．解：(1)设“甲胜A”为事件D，“乙胜B”为事件E，“丙胜C”为事件F，则D，E，F分别表示甲不胜A、乙不胜B、丙不胜C的事件．因为P(D)＝0.6，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5，由对立事件的概率公式，知P(D)＝0.4，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5.红队至少两人获胜的事件有DE F，D E F，D EF，DEF.由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为P＝P(DE F)＋P(D E F)＋P(D EF)＋P(DEF)＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55.(2)由题意，知ξ的可能取值为0,1,2,3.P(ξ＝0)＝P(D E F)＝0.4×0.5×0.5＝0.1，P(ξ＝1)＝P(D E F)＋P(D E F)＋P(D E F)＝0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.35，所以P(ξ≤1)＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＝0.45.三、离散型随机变量的分布列及均值、方差求离散型随机变量X的均值与方差的步骤：(1)理解X的意义，写出X可能的全部取值；(2)求X取每个值的概率或求出函数P(X＝k)；(3)写出X的分布列；(4)由分布列和均值的定义求出E(X);(5)由方差的定义，求D(X)．1．设离散型随机变量ξ的概率分布列如下：则p的值为()A.12 B.16C.13 D.14解析：选A因为15＋15＋110＋p＝1，所以p＝12，故选A.2．10张奖劵中只有3张有奖，若5个人购买，每人1张，则至少有1个人中奖的概率为()A.310 B.112C.12 D.1112解析：选D设事件A为“无人中奖”，则P(A)＝C57C510＝112，则至少有1个人中奖的概率P＝1－P(A)＝1－112＝1112.3．设随机变量X等可能地取值1,2,3，…，10.又设随机变量Y＝2X－1，则P(Y<6)的值为()A．0.3 B．0.5C．0.1 D．0.2解析：选A由Y＝2X－1<6，得X<3.5，∴P(Y<6)＝P(X<3.5)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝0.3.4．若离散型随机变量X的分布列为则X 的数学期望E (X )＝( ) A.32 B ．2 C.52 D ．3解析：选A 由数学期望的公式可得：E (X )＝1×35＋2×310＋3×110＝32.5．甲、乙两歼击机的飞行员向同一架敌机射击，设击中的概率分别为0.4,0.5，且两人是否击中相互不受影响，则恰有一人击中敌机的概率为( )A ．0.9B ．0.2C ．0.7D ．0.5解析：选D 设事件A ，B 分别表示甲、乙飞行员击中敌机，则P (A )＝0.4，P (B )＝0.5，且A 与B 互相独立，则事件恰有一人击中敌机的概率为P (A B ＋A B )＝P (A )[1－P (B )]＋[1－P (A )]P (B )＝0.5，故选D.6.甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束，除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是23，假设各局比赛结果相互独立．(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率；(2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方是2分，对方得1分．求乙队得分X 的分布列及均值．解：(1)记“甲队以3∶0胜利”为事件A 1，“甲队以3∶1胜利”为事件A 2，“甲队以3∶2胜利”为事件A 3，由题意知各局比赛结果相互独立，故P (A 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827，P (A 2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝⎛⎭⎪⎫1－23×23＝827，P (A 3)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝⎛⎭⎪⎫1－232×12＝427. 所以，甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率分别是827，827，427.(2)设“乙队以3∶2胜利”为事件A 4，由题意知各局比赛结果相互独立，所以P (A 4)＝C 24⎝⎛⎭⎪⎫1－232⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝427. 由题意知随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3，根据事件的互斥性得 P (X ＝0)＝P (A 1∪A 2)＝P (A 1)＋P (A 2)＝1627， P (X ＝1)＝P (A 3)＝427， P (X ＝2)＝P (A 4)＝427，P (X ＝3)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1)－P (X ＝2)＝327. 故X 的分布列为所以E (X )＝0×1627＋1×427＋2×427＋3×327＝79.7．小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队．游戏规则为：以O 为起点，再从A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6，A 7，A 8(如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X .若X ＝0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．(1)求小波参加学校合唱团的概率； (2)求X 的分布列、均值及方差．解：(1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有C 28＝28种，当X ＝0时，两向量夹角为直角，共有8种情形，所以小波参加学校合唱团的概率为P (X ＝0)＝828＝27.(2)两向量数量积X 的所有可能取值为－2，－1,0,1.X ＝－2时，有2种情形；X ＝1时，有8种情形；X ＝－1时，有10种情形．所以X 的分布列为E (X )＝(－2)×114＋(－1)×514＋0×27＋1×27＝－314.D (X )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋3142×114＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋3142×514＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3142×27＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3142×27≈0.88. 8．一台机器生产某种产品，如果生产出一件甲等品可获得50元，生产出一件乙等品可获得30元，生产出一件次品，要赔20元．已知这台机器生产出甲等品、乙等品和次等品的概率分别为0.6,0.3和0.1，则这台机器每生产一件产品平均预期可获利________元．解析：设生产一件该产品可获利X 元，则随机变量X 的取值可以是－20,30,50.依题意，得X 的分布列为故E (X )＝－20×0.1＋30×0.3＋50×0.6＝37.9．(本小题满分10分)某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门．首次到达此门，系统会随机(即等可能)为你打开一个通道．若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门，再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止．令X 表示走出迷宫所需的时间．(1)求X 的分布列； (2)求X 的均值．解：(1)X 的所有可能取值为1,3,4,6.P (X ＝1)＝13，P (X ＝3)＝16，P (X ＝4)＝16，P (X ＝6)＝13，所以X 的分布列为(2)E (X )＝1×13＋3×16＋4×16＋6×13＝72.10．(本小题满分12分)已知某高中共派出足球、排球、篮球三个球队参加市学校运动会，他们获得冠军的概率分别为12，13，23.(1)求该高中获得冠军个数X 的分布列；(2)若球队获得冠军，则给其所在学校加5分，否则加2分，求该高中得分Y 的分布列．解：(1)∵X 的可能取值为0,1,2,3，取相应值的概率分别为 P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝19， P (X ＝1)＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×23＝718，P (X ＝2)＝12×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×13×23＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×23＝718，P (X ＝3)＝12×13×23＝19， ∴随机变量X 的分布列为(2)根据题意知得分Y ＝5X ＋2(3－X )＝6＋3X ， ∵X 的可能取值为0,1,2,3.∴Y 的可能取值为6,9,12,15，取相应值的概率分别为 P (Y ＝6)＝P (X ＝0)＝19，P (Y ＝9)＝P (X ＝1)＝718， P (Y ＝12)＝P (X ＝2)＝718，P (Y ＝15)＝P (X ＝3)＝19. ∴随机变量Y 的分布列为11．(本小题满分12分)北京市政府为做好APEC 会议接待服务工作，对可能遭受污染的某海产品在进入餐饮区前必须进行两轮检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售．已知该海产品第一轮检测不合格的概率为16，第二轮检测不合格的概率为110，两轮检测是否合格相互没有影响．(1)求该海产品不能销售的概率；(2)如果该海产品可以销售，则每件产品可获利40元；如果该海产品不能销售，则每件产品亏损80元(即获利—80元)．已知一箱中有该海产品4件，记一箱该海产品获利ξ元，求ξ的分布列，并求出均值E (ξ)．解：(1)设“该海产品不能销售”为事件A ，则P (A )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－16×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－110＝14.所以，该海产品不能销售的概率为14.(2)由已知，可知ξ的可能取值为－320，－200，－80,40,160. P (ξ＝－320)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫144＝1256，P (ξ＝－200)＝C 14×⎝ ⎛⎭⎪⎫143×34＝364，P (ξ＝－80)＝C 24×⎝ ⎛⎭⎪⎫142×⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝27128，P (ξ＝40)＝C 34×14×⎝ ⎛⎭⎪⎫343＝2764，P (ξ＝160)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫344＝81256.所以ξ的分布列为E (ξ)＝－320×1256－200×364－80×27128＋40×2764＋160×81256＝40.四、二项分布在n 次独立重复试验中，事件A 发生的次数为X ，在每次试验中事件A 发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k ，k ＝0,1,2，…，n .这时称X 服从二项分布，记为X ～B (n ，p )．当X ～B (n ，p )时，E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p )．1. 某单位选派甲、乙、丙三人组队参加知识竞赛，甲、乙、丙三人在同时回答一道问题时，已知甲答对的概率是34，甲、丙两人都答错的概率是112，乙、丙两人都答对的概率是14，规定每队只要有一人答对此题则该队答对此题．(1)求该单位代表队答对此题的概率；(2)此次竞赛规定每队都要回答10道必答题，每道题答对得20分，答错得－10分．若该单位代表队答对每道题的概率相等且回答任一道题的对错对回答其他题没有影响，求该单位代表队必答题得分的均值(精确到1分)．解：(1)记甲、乙、丙分别答对此题为事件A ，B ，C ，由已知，得P (A )＝34，[1－P (A )][1－P (C )]＝112，∴P (C )＝23.又P (B )P (C )＝14，∴P (B )＝38. ∴该单位代表队答对此题的概率 P ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－38×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝9196. (2)记X 为该单位代表队必答题答对的道数，Y 为必答题的得分，则X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫10，9196， ∴E (X )＝10×9196＝45548.而Y ＝20X －10×(10－X )＝30X －100， ∴E (Y )＝30E (X )－100＝1 4758≈184. 2．某运动员投篮命中率为p ＝0.6. (1)求投篮1次时命中次数X 的均值； (2)求重复5次投篮时，命中次数Y 的均值．解：(1)投篮1次，命中次数X 的分布列如表：则E (X )＝p ＝0.6.(2)由题意，重复5次投篮，命中的次数Y 服从二项分布，即Y ～B (5,0.6)．则E (Y )＝np ＝5×0.6＝3.3．(本小题满分12分)某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为23，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为25，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X ，求X ≤3的概率；(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的均值较大？解：法一：(1)由已知得，小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为25，且两人中奖与否互不影响．记“这两人的累计得分X ≤3”的事件为A ，则事件A 的对立事件为“X ＝5”．因为P (X ＝5)＝23×25＝415，所以P (A )＝1－P (X ＝5)＝1－415＝1115，即这两人的累计得分X ≤3的概率为1115.(2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X 1，都选择方案乙抽奖中奖次数为X 2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的均值为E (2X 1)，选择方案乙抽奖累计得分的均值E (3X 2)．由已知可得，X 1～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，23，X 2～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，25，所以E (X 1)＝2×23＝43，E (X 2)＝2×25＝45，从而E (2X 1)＝2E (X 1)＝83，E (3X 2)＝3E (X 2)＝125. 因为E (2X 1)>E (3X 2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的均值较大．法二：(1)由已知得，小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为25，且两人中奖与否互不影响．记“这两人的累计得分X ≤3”的事件为A ，则事件A 包含“X ＝0”“X ＝2”“X ＝3”三个两两互斥的事件．因为P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－25＝15，P (X ＝2)＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－25＝25，P (X ＝3)＝⎝⎛⎭⎪⎫1－23×25＝215，所以P (A )＝P (X ＝0)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝1115，即这两人的累计得分X ≤3的概率为1115.(2)设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X1，都选择方案乙所获得的累计得分为X2，则X1，X2的分布列如下：所以E(X1)＝0×19＋2×49＋4×49＝83，E(X2)＝0×925＋3×1225＋6×425＝125.因为E(X1)>E(X2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的均值较大．五、正态分布1．正态分布N1(μ1，σ21)，N2(μ2，σ22)，N3(μ3，σ23)(其中σ1，σ2，σ3均大于0)所对应的密度函数图象如图所示，则下列说法正确的是()A．μ1最大，σ1最大B．μ3最大，σ3最大C．μ1最大，σ3最大D．μ3最大，σ1最大解析：选D在正态曲线N(μ，σ2)中，x＝μ为正态曲线的对称轴，结合图象可知，μ3最大；又参数σ确定了曲线的形式：σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”．故由图象知σ1最大．故选D.2. (1)已知随机变量X 服从正态分布N (2，σ2)，P (0<X <4)＝0.8，则P (X >4)的值为( )A ．0.1B ．0.2C ．0.4D ．0.6(2)2018年1月某校高三年级1 600名学生参加了教育局组织的期末统考，已知数学考试成绩X ～N (100，σ2)(试卷满分为150分)．统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的34，则此次统考中数学成绩不低于120分的学生人数约为( )A ．80B ．100C ．120D ．200(3)若随机变量ξ～N (2，σ2)，且P (ξ>3)＝0.158 7，则P (ξ>1)＝________. 解析：(1)∵随机变量X 服从正态分布N (2，σ2)，∴正态曲线的对称轴是x ＝2，∵P (0<X <4)＝0.8，∴P (X >4)＝12×(1－0.8)＝0.1，故选A.(2)∵X ～N (100，σ2)，∴其正态曲线关于直线x ＝100对称，又∵数学成绩在80分到120分之间的人数约占总人数的34，∴由对称性知，数学成绩不低于120分的学生人数约为总人数的12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34＝18，∴此次考试中数学成绩不低于120分的学生人数约为18×1 600＝200.故选D.(3)∵随机变量ξ～N (2，σ2)，∴正态曲线关于x ＝2对称，∵P (ξ>3)＝0.158 7，∴P (ξ>1)＝P (ξ<3)＝1－0.158 7＝0.841 3.答案：(1)A (2)D (3)0.841 33．某市去年高考考生成绩服从正态分布N (500,502)，现有25 000名考生，试确定考生成绩在550～600分的人数．解：因为考生成绩X ～N (500,502)，所以μ＝500，σ＝50，所以P＝(550<x≤600)＝12[P(500－2×50<x≤500＋2×50)－P(500－50<x≤500＋50)]＝12(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9.故考生成绩在550～600分的人数为25 000×0.135 9≈3 398人．4．(本小题满分12分)在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似地服从正态分布N(70,100)，已知成绩在90分以上(含90分)的学生有12人．(1)试问此次参赛学生的总数约为多少人？(2)若成绩在80分以上(含80分)为优，试问此次竞赛成绩为优的学生约为多少人？解：(1)设参赛学生的成绩为X，因为X～N(70,100)，所以μ＝70，σ＝10.则P(X≥90)＝P(X≤50)＝12[1－P(50<X<90)]＝12[1－P(μ－2σ<X<μ＋2σ)]＝12×(1－0.954 4)＝0.022 8，120.022 8≈526.因此，此次参赛学生的总数约为526人．(2)由P(X≥80)＝P(X≤60)＝12[1－P(60<X<80)]＝12[1－P(μ－σ<X<μ＋σ)]＝12×(1－0.682 6)＝0.158 7，得526×0.158 7≈83.因此，此次竞赛成绩为优的学生约为83人．六、茎叶图为了搞好世界大学生夏季运动会的接待工作，组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者，将这30名志愿者的身高绘成如图所示的茎叶图(单位：cm)．若身高在175 cm 以上(包括175 cm)定义为“高个子”，身高在175 cm 以下定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才能担任“礼仪小姐”．(1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5人中选2人，那么至少有1人是“高个子”的概率是多少？(2)若从所有“高个子”中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出ξ的分布列．解： (1)根据茎叶图知，“高个子”有12人，“非高个子”有18人．用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是530＝16，所以选中的“高个子”有12×16＝2(人)，“非高个子”有18×16＝3(人)．用事件A 表示“至少有1名‘高个子’被选中”，则它的对立事件A －表示“没有‘高个子’被选中”，则P (A )＝1－C 23C 25＝1－310＝710.因此，至少有1人是“高个子”的概率是710.(2)由茎叶图知，“女高个子”有4人，“男高个子”有8人．依题意，ξ的可能取值为0,1,2,3，则P (ξ＝0)＝C 38C 312＝1455，P (ξ＝1)＝C 14C 28C 312＝2855，p (ξ＝2)＝C 24C 18C 312＝1255，P (ξ＝3)＝C 34C 312＝155.因此，ξ的分布列为。

专题19 独立性检验(解析版)

专题19 独立性检验一、解答题 1．（2022·全国·高考真题）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：(2)从该地的人群中任选一人，A 表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B 表示事件“选到的人患有该疾病”．(|)(|)P B A P B A 与(|)(|)P B A P B A 的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R ．（ⅰ）证明：(|)(|)(|)(|)P A B P A B R P A B P A B =⋅；（ⅰ）利用该调查数据，给出(|),(|)P A B P A B 的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R 的估计值．附22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，(2)（i ）证明见解析；(ii)6R =；【解析】【分析】(1)由所给数据结合公式求出2K 的值，将其与临界值比较大小，由此确定是否有99%的把握认为患该疾病群体与未黄该疾病群体的卫生习惯有差异；(2)(i) 根据定义结合条件概率公式即可完成证明；(ii)根据（i ）结合已知数据求R . (1)由已知222()200(40906010)=24()()()()50150100100n ad bc K a b c d a c b d -⨯-⨯==++++⨯⨯⨯，又2( 6.635)=0.01P K ≥，24 6.635>，所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异. (2) (i)因为(|)(|)()()()()=(|)(|)()()()()P B A P B A P AB P A P AB P A R P B A P B A P A P AB P A P AB =⋅⋅⋅⋅，所以()()()()()()()()P AB P B P AB P B RP B P AB P B P AB =⋅⋅⋅所以(|)(|)(|)(|)P A B P A BRP A B P A B=⋅，(ii)由已知40(|)100P A B=，10(|)100P A B=，又60(|)100P A B=，90(|)100P A B=，所以(|)(|)=6 (|)(|)P A B P A BRP A B P A B=⋅2．（2022·全国·高考真题（文））甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：(2)能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，()2P K k0.1000.0500.010 k 2.706 3.841 6.635【答案】(1)A，B两家公司长途客车准点的概率分别为1213，78(2)有【解析】【分析】（1）根据表格中数据以及古典概型的概率公式可求得结果；（2）根据表格中数据及公式计算2K，再利用临界值表比较即可得结论.(1)根据表中数据，A共有班次260次，准点班次有240次，设A家公司长途客车准点事件为M，则24012 ()26013==P M；B共有班次240次，准点班次有210次，设B 家公司长途客车准点事件为N ，则210()27840==P N . A 家公司长途客车准点的概率为1213； B 家公司长途客车准点的概率为78.(2) 列联表2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++=2500(2403021020) 3.205 2.70626024045050⨯⨯-⨯≈>⨯⨯⨯，根据临界值表可知，有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关. 3．（2021·全国·高考真题（文））甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：?（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++（2）能. 【解析】根据给出公式计算即可【详解】（1）甲机床生产的产品中的一级品的频率为15075%200=, 乙机床生产的产品中的一级品的频率为12060%200=. （2）()22400150801205040010 6.63527013020020039K ⨯-⨯==>>⨯⨯⨯, 故能有99%的把握认为甲机床的产品与乙机床的产品质量有差异.4．（2022·四川省内江市第六中学模拟预测（理））国内某大学有男生6000人，女生4000人，该校想了解本校学生的运动状况，根据性别采取分层抽样的方法从全校学生中抽取100人，调查他们平均每天运动的时间（单位：小时），统计表明该校学生平均每天运动的时间范围是[]0,3，若规定平均每天运动的时间不少于2小时的学生为“运动达人”，低于2小时的学生为“非运动达人”.根据调查的数据按性别与“是否为‘运动达人’”进行统计，得到如下2×2列联表：前提下认为性别与“是否为‘运动达人’”有关；(2)将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查该校的3名男生，设调查的3人中运动达人的人数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望()E X 及方差()D X . 附表及公式：2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.【答案】(1)列联表答案见解析，在犯错误概率不超过0.025的前提下，可以认为性别与“是否为‘运动达人’”有关(2)分布列答案见解析，9()5E X =，18()25D X =【分析】(1)根据题意完善2×2列联表，根据卡方公式计算出2K ，结合临界表即可得出结论；(2)根据题意可知随机变量X 满足二项分布，求出对应事件的概率，列出随机变量的分布列，结合二项分别的数学期望和方差公式直接计算即可. (1)由题意，该校根据性别采取分层抽样的方法抽取的100人中，有60人为男生， 40人为女生，据此2×2列联表中的数据补充如下.所以2650506040K ==⨯⨯⨯，又6 5.024>，所以在犯错误概率不超过0.025的前提下，可以认为性别与“是否为‘运动达人’”有关. (2)由题意可知，该校每个男生是运动达人的概率为363605=，故35~3,X B ⎛⎫⎪⎝⎭，X 可取的值为0，1，2，3，所以30003238(0)C 55125P X -⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，311132336(1)C 55125P X -⎛⎫⎛⎫===⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 322232354(2)C 55125P X -⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，333332327(3)C 55125P X -⎛⎫⎛⎫===⎪⎪⎝⎭⎝⎭. X 的分布列为：∴()355E X =⨯=，3218()35525D X =⨯⨯=. 5．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））某公司为了解用户对公司生产的产品的满意度做了一次随机调查，共随机选取了100位用户对其产品进行评分．用户对产品评分情况如表所示（已知满分100分，选取的100名用户的评分分值在区间[)70,100上）．选取的100名用户中男性用户评分情况：(1)分别估计用户对产品评分分值在70,80，80,90，的概率；(2)若用户评分分值不低于80分，则定位用户对产品满意．填写下面的22⨯列联表，并分析有没有95%以上的把握认为用户对产品满意与否与性别有关？参考公式与数据：22()()()()()n ad -bc K a+b c+d a+c b+d =，n a b c d =+++．【答案】(1)1025，， (2)表格见解析，没有95%以上的把握认为用户对产品满意与否与性别有关．【解析】【分析】（1）利用古典概型分别去求用户对产品评分分值在[)70,80，[)80,90，[)90,100的概率；（2）先按要求填写22⨯列联表，再计算出2K 并与3.841进行大小比较，进而判断是否有95%以上的把握认为用户对产品满意与否与性别有关． (1)由统计数据得，用户对产品评分分值在[)70,80的概率为71139303=10010010+++=，用户对产品评分分值在[)80,90的概率为18121285011001002+++==，用户对产品评分分值在[)90,100的概率为88222011001005+++==．(2)男性用户有64人，女性用户有36人，根据统计数据得到22⨯列联表：2100(46122418)0.298 3.84164367030K ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯．所以没有95%以上的把握认为用户对产品满意与否与性别有关．6．（2022·全国·模拟预测）某社区为庆祝中国共产党成立100周年，举办一系列活动，通过调查得知其中参加文艺活动与体育活动的居民人数如下表：0.5%的前提下认为参加活动的类型与性别有关？ (2)在参加活动的男性居民中，用分层抽样方法抽取7人，再从这7人中随机抽取3人接受采访，记抽到参加文艺活动的人数为X ，求X 的分布列与期望．附：()()()()2()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．【答案】(1)填表见解析；在犯错的概率不超过0.5%的前提下，可以认为参加活动的类型与性别有关(2)分布列见解析；期望为97【解析】【分析】（1）先直接补齐联列表，然后计算2K ，即可求解；（2）先求出参加文艺活动的应抽取3人，参加体育活动的有4人，则X 的可能取值为0，1，2，3，再求出每个值所对应的概率即可求解 (1)依题意，22⨯列联表如下：275(15103020)2258.0367.8794530354028K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，故在犯错的概率不超过0.5%的前提下，可以认为参加活动的类型与性别有关．(2)因为男性居民中参加文艺活动的有15名，参加体育活动的有20名，用分层抽样方法抽取7人，则参加文艺活动的应抽取3人，参加体育活动的有4人，则X 的可能取值为0，1，2，3，所以()()031234343377C C C C 4180,1C 35C 35P X P X ⋅======，()()2133433377C C C 1212,3C 35C 35P X P X ⋅======．所以X 的分布列为所以()12190123353535357E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． 7．（2022·山西大附中三模（文））甲、乙两所学校高三年级分别有1000人，1100人，为了了解两所学校全体高三年级学生高中某学科基础知识测试情况，采用分层抽样方法从两个学校一共抽取了105名学生的该学科成绩，并作出了如下的频数分布统计表，规定考试成绩在[120，150]内为优秀．甲校：(2)由以上统计数据填写下面2×2列联表，若按是否优秀来判断，是否有97.5%的把握认为两个学校的数学成绩有差异？(2)有97.5%的把握认为两个学校的数学成绩有差异【解析】【分析】（1）由分层抽样计算甲乙两校分别抽取的人数，结合表格即可求解；（2）补充列联表，计算卡方，根据独立性检验的性质判断. (1)由题可知，采用分层抽样共抽取105人，1000:110010:11=，所以甲校抽取101055021⨯=人，乙校抽取111055521⨯=人，故12981010350x +++++++=，解得7x =，231015153155y +++++++=，解得6y =；(2)由频数分布表可得22⨯列联表为所以()210520453010 6.109 5.024********K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯ 故有97.5%的把握认为两个学校的数学成绩有差异.8．（2022·全国·模拟预测（文））在一次数学考试中，将某班所有学生的成绩按照性别绘制成如下茎叶图，规定；分数不低于125分为优秀．(1)求本次成绩的众数、中位数；(2)从该班中任意抽取一位学生，求该学生成绩优秀的概率；(3)完成下列22⨯列联表，并判断是否有90%的把握认为学生数学成绩是否优秀与性别有关？附：()()()()2n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．(2)1425(3)答案见解析【解析】【分析】（1）根据茎叶图可得答案；（2）由图可知，该班有50名学生，成绩优秀的有28名，根据古典概型概率计算公式可得答案；（3）根据茎叶图完成22⨯列联表，代入2K 可得答案. (1)本次成绩的众数为124，中位数为127128127.52+=. (2)由图可知，该班有50名学生，成绩优秀的有28名，所以从该班中任意抽取一名学生，该学生成绩优秀的概率为28145025P ==. (3)22⨯列联表如下，25016131291001.2992822252577⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯K，因为1.299 2.705<，所以没有90%的把握认为学生数学成绩是否优秀与性别有关.9．（2022·青海西宁·二模（文））第24届冬季奥运会于2022年2月4日在北京开幕，本次冬季奥运会共设7个大项，15个分项，109个小项．为调查学生对冬季奥运会项目的了解情况，某大学进行了一次抽样调查，若被调查的男女生人数均为10m（*m∈N），统计得到以下22⨯列联表，经过计算可得2 4.040K≈．(2)为弄清学生不了解冬季奥运会项目的原因，采用分层抽样的方法从抽取的不了解冬季奥运会项目的学生中随机抽取9人，再从这9人中抽取2人进行面对面交流，求“至少抽到一名女生”的概率．附：独立性检验临界值表（参考公式：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++）【答案】(1)20m=，有95%的把握认为该校学生对冬季奥运会项目的了解情况与性别有关(2)5 6【解析】【分析】(1)根据题意完成表格，再根据公式计算即可;(2) 抽取的9人中男生的人数为4，设为a，b，c，d，女生的人数为5，设为1，2，3，4，5，用列举法求解即可.(1)解：列联表如下表所示：则()()()()()()2220654520 4.0401010119911n ad bc m m m m m mK a b c d a c b d m m m m-⨯-⨯===≈++++⨯⨯⨯⨯ 因为*m ∈N ，可得20m =，而4.040 3.841>，且4.040 5.024<因此，有95%的把握认为该校学生对冬季奥运会项目的了解情况与性别有关． (2)采用分层抽样的方法从抽取的不了解冬季奥运会项目的学生中随机抽取9人，这9人中男生的人数为4，设为a ，b ，c ，d ，女生的人数为5，设为1，2，3，4，5，则从这9人中抽取2人的情况有：ab ，ac ，ad ，1a ，2a ，3a ，4a ，5a ，bc ，bd ，1b ，2b ，3b ，4b ，5b ，cd ，1c ，2c ，3c ，4c ，5c ，1d ，2d ，3d ，4d ，5d ，12，13，14，15，23，24，25，34，35，45，共36种；其中这2人中至少抽到一名女生的有1a ，2a ，3a ，4a ，5a ，1b ，2b ，3b ，4b ，5b ，1c ，2c ，3c ，4c ，5c ，1d ，2d ，3d ，4d ，5d ，12，13，14，15，23，24，25，34，35，45，共30种．所以这9人中抽取2人进行面对面交流，“至少抽到一名女生”的概率为305366P ==． 10．（2022·吉林·洮南市第一中学模拟预测（文））某高校为调查学生喜欢“应用统计”课程是否与性别有关，随机抽取了选修课程的55名学生，得到数据如表：(2)用分层抽样的方法从喜欢统计课程的学生中抽取6名学生做进一步调查，将这6名学生作为一个样本，从中任选2人，求恰有1个男生和1个女生的概率．附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++，【答案】(1)见解析 (2)815【解析】【分析】（1）由公式计算出2K 值，与题中所给的值进行比较可得答案；（2）根据分层抽样的定义可知样本中有4个男生，2个女生，然后利用古典概型的概率公式求解可得答案. (1)由公式可得()2255202010511.9787.87930252530K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有99.5%的把握认为喜欢“应用统计”课程与性别有关．(2)设所抽样本中有m 个男生，则63020m=，得4m =，所以样本中有4个男生，2个女生，分别记作1B ，2B ，3B ，4B ，1G ，2G ，从中任选2人的基本事件有()12,B B ，()13,B B ，()14,B B ，()11,B G ，()12,B G ，()23,B B ，()24,B B ，()21,B G ，()22,B G ，()34,B B ，()31,B G ，()32,B G ，()41,B G ，()42,B G ，()12,G G ，共15个，其中恰有1个男生和1个女生的事件有()11,B G ，()12,B G ，()21,B G ，()22,B G ，()31,B G ，()32,B G ，()41,B G ，()42,B G ，共8个，所以恰有1个男生和1个女生的概率为815． 11．（2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测（文））2021年10月1日是中华人民共和国第72个国庆日，很多人通过短视频APP 或微信､微博表达了对祖国的祝福.某调查机构为了解通过短视频APP 或微信､微博表达对祖国祝福的人们是否存在年龄差异，将年龄不低于45岁的人称为中老年，低于45岁的人称为青少年.通过不同途径调查了数千个通过短视频APP 或微信､微博表达对祖国祝福的人，并从参与者中随机选出400人.经统计这400人中通过微信､微博表达对祖国祝福的有320人，其中中老年占25，这400人中通过短视频APP 表达对祖国祝福的青少年有28人.(1)完成下列22⨯列联表，并判断是否有99.9%的把握认为通过短视频APP 或微信､微博表达对祖国的祝福与年龄有关？5人，再从这5人中随机抽取2人，求这2人中恰好有一个是青少年的概率. 附：()()()()2n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.【答案】(1)列联表答案见解析，有99.9%的把握认为通过短视频APP 或微信､微博表达对祖国的祝福与年龄有关(2)35【解析】【分析】（1）首先完成22⨯列联表，再计算2K 即可得到答案. （2）根据古典概型公式求解即可. (1)由题意得22⨯列联表：()2400281285219216.16210.82880320220180K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有99.9%的把握认为通过短视频APP 或微信､微博表达对祖国的祝福与年龄有关. (2)抽取的5人中，青少年：51923320⨯=人，记为a ，b ，c ；中老年：51282320⨯=人，记为d ，e . 从这5人中随机抽取2人有（a ，b ），（a ，c ），（a ，d ），（a ，e ），（b ，c ），（b ，d ），（b ，e ），（c ，d ），（c ，e ），（d ，e ），共10种情况.其中恰好有一个是青少年的有（a ，d ），（a ，e ），（b ，d ），（b ，e ），（c ，d ），（c ，e ），共6种情况.所以这2人中恰好有一个是青少年的概率63105P ==. 12．（2022·河南开封·模拟预测（理））大豆是我国重要的农作物，种植历史悠久．某种子实验基地培育出某大豆新品种，为检验其最佳播种日期，在A ，B 两块试验田上进行实验（两地块的土质等情况一致）.6月25日在A 试验田播种该品种大豆，7月10日在B 试验田播种该品种大豆．收获大豆时，从中各随机抽取20份（每份1千粒），并测量出每份的质量（单位：克），按照[)100,150，[)150,200，[]200,250进行分组，得到如下表格：把千粒质量不低于200克的大豆视为籽粒饱满，否则视为籽粒不饱满． (1)判断是否有97.5%的把握认为大豆籽粒饱满与播种日期有关？(2)从A ，B 两块实验田中各抽取一份大豆，求抽取的大豆中至少有一份籽粒饱满的概率；(3)用样本估计总体，从A 试验田随机抽取100份（每份千粒）大豆，记籽粒饱满的份数为X ，求X 的数学期望和方差．参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．(2)1625(3)()55E X =，99()4=D X 【解析】【分析】（1）根据完成列联表，然后根据公式()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++计算2K ，再与临界值表比较可得结论，（2）A ，B 两块实验田中各抽取一份大豆中，籽粒饱满的概率分别为111,,205两份大豆都籽粒不饱满的概率为94920525⨯=，再结合对立事件概率和为1求解即可；（3）根据已知条件，结合二项分布的期望与方差公式，即可求解. (1)22⨯列联表为()()()()()()22240111649 5.227 5.024********n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈>++++⨯⨯⨯，所以有97.5%的把握认为大豆籽粒饱满与播种日期有关． (2)A ，B 两块实验田中各抽取一份大豆，抽取的大豆中有一份籽粒饱满的概率分别为1120，15，两份大豆籽粒都不饱满的概率为111911,20525⎛⎫⎛⎫-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故抽取的大豆中至少有一份籽粒饱满的概率为91251625-=. (3)从A 试验田的样本中随机抽取1份小麦，抽到饱满的概率为1120，则11~(100,)20X B ，故11()1005520=⨯=E X ， 111199()100(1)20204=⨯⨯-=D X . 13．（2022·山东·德州市教育科学研究院三模）某学校对男女学生是否喜欢长跑进行了调查，调查男女生人数均为()*10n n ∈N ，统计得到以下2×2列联表，经过计算可得2 4.040K ≈.(2)①为弄清学生不喜欢长跑的原因，采用分层抽样的方法从调查的不喜欢长跑的学生中随机抽取9人，再从这9人中抽取3人进行面对面交流，求“至少抽到一名女生”的概率；②将频率视为概率，用样本估计总体，从该校全体学生中随机抽取10人，记其中对长跑喜欢的人数为X ，求X 的数学期望. 附表：附：()()()()2n ad bc K a b c d a c b d -=++++. 【答案】(1)列联表答案见解析，20n =，有95%的把握认为该校学生对长跑喜欢情况与性别有关； (2)①2021；②112. 【解析】【分析】（1）利用给定数据完善2×2列联表，计算2K 的观测值即可求出n ，再与临界值表比对作答.（2）①利用分层抽样求出抽取的9人中男女生人数，再利用古典概型结合对立事件概率求解作答；②利用二项分布的期望公式计算作答. (1)2×2列联表如下表所示：220(6545)20 4.040101011999n n n n n n K n n n n ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯，而*n ∈N ，于是得20n =，又2 4.040 3.841K ≈>，所以有95%的把握认为该校学生对长跑喜欢情况与性别有关. (2)①采用分层抽样的方法从调查的不喜欢长跑的学生中随机抽取9人，这9人中男生的人数为4，女生的人数为5，再从这9人中抽取3人进行面对面交流，“至少抽到一名女生”的概率为3439C 42011C 8421P =-=-=； ②由（1）知，任抽1人喜欢长跑的概率1120p =，依题意，11~(10,)20X B ，所以X 的数学期望是1111()10202E X =⨯=. 14．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（理））中国探月工程自2004年立项以来，聚焦“自主创新、重点跨越、支撑发展、引领未来”的目标，创造了许多项中国首次．2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带“月壤”着陆地球，又首次实现了我国地外天体无人采样返回．为了了解某中学高三学生对此新闻事件的关注程度，从该校高三学生中随机抽取了50名学生进行调查，调查样本中有20名女生．如图是根据样本的调查结果绘制的等高条形图（阴影区域表示关注“嫦娥五号”的部分）．“嫦娥五号”的关注程度与性别有关”？(2)若将频率视为概率，现从该中学高三的女生中随机抽取3人．记被抽取的3名女生中对“嫦娥五号”新闻关注的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++．”关注程度与性别有关(2)分布列见解析，数学期望为9 10【解析】【分析】(1)根据题意中的等高条形图完善22⨯列联表，结合卡方公式计算出2K，比较临界值，利用独立性检验的思想即可得出结论；(2)根据二项分布求出随机变量对应的概率，结合求二项分布数学期望公式计算即可. (1)22⨯列联表如下：所以()()()()()2n ad bc K a b c d a c b d -=++++ ()250151415612001.970 3.84121293020609⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯，所以没有95%的把握认为对“嫦娥五号”关注程度与性别有关． (2)因为随机选一个高三的女生，对此事关注的概率为1234010P ==，由题意可知随机变量X 满足二项分布，即33,10XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以有()3333C 11010kkk P X k -⎛⎫⎛⎫==- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．所以随机变量X 的分布列为：故()31010E X np ==⨯=． 15．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室三模（文））如今大家对运动越来越重视，讨论也越来越多，时常听到有人说“有氧运动”和“无氧运动”，有氧运动主要的作用是健身，而无氧运动主要的作用是塑形，一般的健身计划都是有氧运动配合无氧运动以达到强身健体的目的.某健身机构对其60位会员的健身运动进行了一次调查，统计发现有氧运动为主的有42人，30岁以下无氧运动为主的有12人，占30岁以下调查人数的25.(1)根据以上数据完成如下22⨯列联表；附：参考公式：()()()()()2n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.【答案】(1)答案见解析(2)没有99%的把握认为运动方式与年龄有关【解析】【分析】（1）根据题干所给数据完善列联表；（2）由（1）中列联表计算出卡方，即可判断；(1)解：依题意可得30岁以下的有212305÷=人，则30岁以上的有603030-=人，所以22⨯列联表如下表所示：(2)由题意，()26024121862.857 6.63542183030K⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，所以没有99%的把握认为运动方式与年龄有关.16．（2022·四川省宜宾市第四中学校模拟预测（文））为了助力北京2022年冬奥会、冬残奥会，某校组织全校学生参与了奥运会项目知识竞赛.为了解学生的竞赛成绩(竞赛成绩都在区间[50,100]内)的情况，随机抽取n名学生的成绩，并将这些成绩按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图.其中[50,60)，[60,70)，[70,80)三组的频率成等比数列，且成绩在[90,100]的有16人.(1)求n 的值；(2)在这n 名学生中，将成绩在[80,100]的学生定义为“冬奥达人”，成绩在[50,80)的学生定义为“非冬奥达人”.请将下面的列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“是否是冬奥达人与性别有关”？并说明你的理由.参考公式：2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++. 临界值表：(2)列联表见解析，有，理由见解析【解析】【分析】（1）根据题意列出相应的方程，求得公比，即可求得答案;（2）根据题意结合频率分布直方图可得列联表，计算2K 的观测值k ，和临界值表比较,可得答案.(1)由题意知[50,60)，[60,70)，[70,80)三组的频率成等比数列，设公比为(1)q q >，则20.080.080.080.280.081q q q ++++=，解得2q 或4q =-（舍去），则[90,100]这一组的频率为0.0820.16⨯=，由题意知160.16n=，解得100n =.(2)成绩在[50,80)的人数为(0.080.160.32)10056++⨯=，成绩在[80,100]的人数为44.补充完整的列联表如下：计算得2K 的观测值10.390 6.6355050564477k ==≈>⨯⨯⨯，故有99%的把握认为“是否是冬奥达人与性别有关”.17．（2022·福建漳州·三模）漳州布袋木偶戏是传统民俗艺术，2006年被列入首批国家非物质文化产保护，据《漳州府志》记载，漳州地区在宋代就已经有布袋木偶戏了，清朝中叶后，布袋木偶戏开始进入兴盛时期，一直到抗日战争前，漳州的龙溪、漳浦、海澄、长泰等县，几乎乡乡都有布袋木偶戏，在传承的基础上，不断创新和发展壮大，走向更广阔的世界，为了了解民众对布袋木偶戏的了解程度，某单位随机抽取了漳州地区男女各100名市民，进行问卷调查根据调查结果绘制出得分条形图，如图所示形图，完成22⨯联表，并根据列联表，判断能否有90%的把握认为对布袋木偶戏的了解程度与性别有关？(2)恰逢三八妇女节，该单位对参与调查问卷的女市民制定如下抽奖方案；得分低于60分的可以获得1次抽奖机会，得分不低于60分的可以获得2次抽奖机会，每次抽奖结果相互独立，在一次抽奖中，获得一个木偶纪念品的概率为13，获得两个木偶纪念品的概率为16，不获得木偶纪念品的概率为12，在这100名女市民中任选一人．记X 为她获得木偶纪念品的个数，求X 的分布列和数学期望．参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ 参考数据．(2)分布列见解析；期望为76【解析】【分析】（1）直接根据题意即可完成表格，计算出2K 的值即可得结果；（2）求出得分低于60分的概率，列出X 的可能取值，分别求出对应的概率，即可得分布列和数学期望.(1)2×2列联表如下：假设0H ：对布袋木偶戏的了解程度与性别无关，根据列联表的数据，可以求得 ()222003575256550 2.381 2.7061001006014021K ⨯⨯-⨯===<⨯⨯⨯，故没有90%的把握认为对布袋木偶戏的了解程度与性别有关，．(2)在这100名女市民中任选一人，得分低于60分的概率为2511004=，得分不低于60分的概率为7531004=，X 的所有取值为0，1，2，3，4，．()1131113504242281616P X ==⨯+⨯⨯=+= ()11311131124343212123P X ==⨯+⨯⨯⨯=+= ()11311311122464334624P X ==⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=()31113246312 P X==⨯⨯⨯= ()3111446648 P X==⨯⨯=所以X的分布列为故()5111111117 0123416341248324126E X=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=+++=．18．（2022·陕西·宝鸡中学模拟预测（理））2020年至今，因为新冠病毒的肆虐，各地不停地按下暂停键，居家隔离期间，人们对社会的依赖，对政府部门的期待也达到了前所未有的高度.某机构对封管区居民对政府部门的态度进行了一项网络调查，并随机抽取了100份问卷进行了成绩统计，得到下表，规定成绩在[]70,100为满意.状相同的4个白球，4个红球的口袋中，一次摸4个球，如果摸到2个红球获得20元话费，摸到3个红球获得50元话费，4个都是红球获得100元话费，某人参加了问卷调查，他获得的话费为X元，求X的分布列及数学期望.附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++(2)分布列见解析；数学期望()1627E X =【解析】【分析】（1）由表格数据补全列联表即可；由列联表计算可得2 3.683 2.706K ≈>，由此可得结论；（2）首先确定X 所有可能的取值，并计算得到每个取值对应的概率，由此可得分布列；利用数学期望公式计算可得期望.(1)由表格数据可得22⨯列联表如下：由列联表计算得：)2210020202535 3.683 2.70655454555K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯， ∴有90%的把握认为满意度与年龄有关.(2)由题意知：X 所有可能的取值为0，20，50，100；()13444448C C C 170C 70P X +===；()224448C C 361820C 7035P X ====；()314448C C 16850C 7035P X ====；()4448C 1100C 70P X ===； X ∴的分布列为：则数学期望()02050100703535707E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 19．（2022·湖南·长沙县第一中学模拟预测）2021年9月，教育部印发《关于全面加强和改进新时代学校卫生与健康教育工作的意见》中指出：中小学生各项身体素质有所改善，大学生整体下降．某高校为提高学生身体素质，号召全校学生参加体育锻炼运，结合“微信运动”APP 每日统计运动情况，对每日平均运动10000步或以上的学生授予“运动达人”称号，低于10000步称为“参与者”，统计了200名学生在某月的运动数据，结果如下：0.1的前提下认为获得“运动达人”称号与性别有关？(2)从全校运动“参与者”中按性别分层抽取8人，再从8人中选取3人参加特训，将男生人数记为X ，求X 的分布列与期望EX ．参考公式：()()()()()22n ad bc X a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++．(2)分布列见解析；期望为158 【解析】【分析】（1）先完善列联表，通过卡方检验中计算2X 与2.706比较大小从而判断在犯错误概率不超过0.1的前提下认为获得“运动达人”称号与性别的相关性；（2）判断X 服从超几何分布概型，得到X 的分布列与期望E （X ）．(1)由题意完善23⨯列联表：运动达人参与者合计男生7050[20此时：()2220070305050250.35 2.706120801208072X ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯．所以：在犯错误概率不超过0．1的前提下不能认为获得“运动达人”称号与性别有关；(2)由题意知：选取的8人运动参与者中男生5人，女生3人则X 服从超几何分布，X 的所有可能情况为：0、1、2、3且()05381056C P X C ===，()31258315156C C P X C ⋅===。

随机变量分布列(有答案)

随机变量分布列：26．设0a b <≤，随机变量X 的分布列是则()EX 的取值范围是（）A ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．51,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．31,2⎛⎫⎪⎝⎭D ．53,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭27．已知实数a ，b ，c 成等差数列，随机变量X 的分布列是：当a 增大时（） A ．()E X 增大 B ．()E X 减小C ．()E X 先增大后减小D ．()E X 先减小后增大28．随机变量ξ的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，则D ξ的最大值为（）A ．23 B ．59C ．29D ．3429．下表是离散型随机变量X 的分布列，则常数a 的值是（）A ．6B ．12 C ．9D ．1230．已知随机变量X 的分布列是则()2E X a +=（） A ．53B ．73C ．72D ．23631．设随机变量X 的概率分布列为则()31P X -==（）A ．712B ．16C ．14D ．51232．设a ，b ，()0,1c ∈.随机变量ξ的分布列如图所示.则（）A ．()()E E ξξ<，()()D D ξξ<B ．()()E E ξξ<，()()D D ξξ>C ．()()E E ξξ>，()()D D ξξ<D ．()()E Eξξ>，()()D D ξξ>33．设10a <<，则随机变量ξ的分布列为：设()y E ξξ=-，则当10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内增大时：（）A ．()E ξ递减，()2E y 递增B ．()E ξ递减，()2E y递减C ．()E ξ递增，()2E y先递减再递增D ．()E ξ递减，()2E y先递增再递减34．已知离散型随机变量X 的分布列为：若()2E X =，则()31D X -=（）． A ．3B ．9C ．12D ．3635．随机变量X 的分布列如下表，已知()122P x ≤=，则当b 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭内增大时（）A ．()E X 递减，()D X 递减B ．()E X 递增，()D X 递减C ．()E X 递减，()D X 递增 D ．()E X 递增，()D X 递增26．C【来源】浙江省“数海漫游”2020-2021学年高三上学期8月线上模拟考试数学试题27．B【来源】专题16 离散型随机变量及其分布列、均值与方差-2020年高考数学母题题源全揭秘（浙江专版）28．A【来源】2020届浙江省杭州市第二中学高三下学期3月月考数学试题29．C【来源】专题10.5 离散型随机变量及其分布列（讲）-浙江版《2020年高考一轮复习讲练测》30．C【来源】2019届浙江省高三下学期4月高考模拟测试数学试题31．D【来源】专题10.5 离散型随机变量及其分布列（讲）-浙江版《2020年高考一轮复习讲练测》32．A【来源】专题16 离散型随机变量及其分布列、均值与方差-2020年高考数学母题题源全揭秘（浙江专版）33．B【来源】浙江省超级全能生2020届高三下学期3月联考数学试题（C卷）34．D【来源】浙江省超级全能生2019-2020学年高三上学期9月联考数学试题（B卷）35．B【来源】浙江省“山水联盟”2020届高三下学期高考模拟数学试题。

随机变量及其分布方法总结经典习题及解答

随机变量及其分布方法总结经典习题及解答一、离散型随机变量及其分布列1、离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量。

常用大写英文字母X、Y等或希腊字母ξ、η等表示。

2、分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为：x1，x2，…，x3，…，ξ取每一个值xi（i=1，2，…）的概率为，则称表ξx1x2…xi…PP1P2…Pi…为随机变量ξ的分布列3、分布列的两个性质：⑴Pi≥0，i＝1，2，… ⑵P1+P2+…=1、常用性质来判断所求随机变量的分布列是否正确！二、热点考点题型考点一: 离散型随机变量分布列的性质1、随机变量ξ的概率分布规律为P(ξ＝n)＝(n＝1，2，3，4)，其中a是常数，则P(＜ξ＜)的值为A、B、C、D、答案：D考点二：离散型随机变量及其分布列的计算2、有六节电池，其中有2只没电，4只有电，每次随机抽取一个测试，不放回，直至分清楚有电没电为止，所要测试的次数为随机变量，求的分布列。

解：由题知2，3，4，5∵ 表示前2只测试均为没电，∴ ∵ 表示前两次中一好一坏，第三次为坏，∴ ∵ 表示前四只均为好，或前三只中一坏二好，第四个为坏，∴ ∵ 表示前四只三好一坏，第五只为坏或前四只三好一坏第五只为好∴ ∴ 分布列为2345P三、条件概率、事件的独立性、独立重复试验、二项分布与超几何分布1、条件概率：称为在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。

2、相互独立事件：如果事件A（或B）是否发生对事件B （或A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。

①如果事件A、B是相互独立事件，那么，A与、与B、与都是相互独立事件②两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。

我们把两个事件A、B同时发生记作AB，则有P（AB）= P（A）P（B）推广：如果事件A1，A2，…An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。

概率随机变量均值方差独立性正态分布章节综合检测专题练习(一)带答案人教版新高考分类汇编

高中数学专题复习《概率随机变量均值方差独立性正态分布》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分一、选择题1．(汇编重庆理)已知随机变量ζ服从正态分布N(3,a2),则P(3)ζ<＝(A)15(B)14(C)13 (D)122．(汇编江西理)将7个人（含甲、乙）分成三个组，一组3人，另两组2人，不同的分组数为a，甲、乙分到同一组的概率为p，则a、p的值分别为（ A）A．a=105 p=521B.a=105 p=421C.a=210 p=521D.a=210p=4 213．(汇编江苏)（10）右图中有一个信号源和五个接收器。

接收器与信号源在同一个串联线路中时，就能接收到信号，否则就不能接收到信号。

若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组，将右端的六个接线点也随机地平均分成三组，再把所有六组中每组的两个接线点用导线连接，则这五个接收器能同时接收到信号的概率是（A ）454 （B ）361（C ）154 （D ）158 4．（汇编广东理数）7.已知随机变量X 服从正态分布N(3.1)，且(24)P X ≤≤=0.6826，则p （X>4）=（）A 、0.1588B 、0.1587C 、0.1586 D0.1585 7．B ．1(34)(24)2P X P X ≤≤=≤≤=0.3413， (4)0.5(24)P X P X >=-≤≤=0.5-0.3413=0.1587．5．假如每次射击命中目标的概率为p ，现在完全相同的条件下，接连进行n 次射击，则命中目标的概率为---------------------------------------------------------------------------------------------（） (A)np(B)(1)n p - (C)1np -(D)1(1)np -- 6．1．事件A B 、互斥，则下列等式成立的是----------------------------------------------------------（）(A)()1()P A P B =- (B)()1P A B += (C)()1P A B += (D )()1P A B += 7．袋中装有白球3个，黑球4个，从中任取3个球， ①恰有1个白球和全是白球；②至少有1个白球和全是黑球；③至少有1个白球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个黑球。

二、随机变量及其分布(答案)

概率论与数理统计练习题系第二章专业班姓名随机变量及其分布（一）学号一．选择题：1 ．设X是失散型随机变量，以下可以作为X的概率分布是[B]X x1x2x3x4X x1x2x3x4（ A）1111（B）1111 p p248162488X x1x2x3x4（D）X x1x2x3x4（ C）1111p1111 p23412234122 ．设随机变量ξ的分布列为X0123C ] p0.10.30.4F ( x) 为其分布函数，则 F ( 2) = [0.2（ A）（B）（ C）（D）1二、填空题：1 ．设随机变量X的概率分布为X012，则 a = p a0.20.52 ．某产品 15 件，其中有次品 2 件。

现从中任取3 件，则抽得次品数X 的概率分布为P(X 0)C13366， P( x1)C21 C13236， P( xC22 C1313 C153105C1531052)105C1533 ．设射手每次击中目标的概率为, 连续射击10 次，则击中目标次数X 的概率分布为P( X k ) C10k(0.7)k (0.3)10 k(k0,1, 2,L ,10)三、计算题：1 ．同时掷两颗骰子，设随机变量X为“两颗骰子点数之和”求：（ 1）X的概率分布；（2）P( X3) ；（3）P( X12)解：（1）P( X2)1P( X3)2P( X4)3P(X 5)4，，，，36363636P( X6)5，P( X7) 6 ， P( X5 436 8)， P(X 9)363636P( X10)3 ，P( X11)2 ，P( X 1363612)36所以 X 的概率分布列：X 2 34 5 6 7 89 10 11 12P12 34 5 6 5 4 3 2 1363636363636 3636363636（2） P(X3) 336（ 3） P(X>12)=02 ．产品有一、二、三等品及废品四种，其中一、二、三等品及废品率分别为 60%，10%，20%及 10%，任取一个产品检查其质量，试用随机变量X 描述检查结果。

随机变量及其分布练习试卷1(题后含答案及解析)

随机变量及其分布练习试卷1(题后含答案及解析) 题型有：1. 单项选择题 2. 多项选择题 3. 综合分析题单项选择题每题1分。

每题的备选项中，只有1个符合题意。

1．一个样本由n个观测值组成，已知样本均值的样本标准差S皆为正数，如果每个观测值扩大到2倍，则下列说法正确的是()。

A．和S都扩大2倍B．和S都不变C．扩大2倍，S扩大4倍D．扩大4倍，S扩大2倍正确答案：C解析：由E(aX+b)＝aE(X)+b var(ax+b)＝a2var(X)可知。

知识模块：随机变量及其分布2．以下分别用来表示分布的中心位置和散布的大小的特征值是()。

A．均值、方差B．方差、均值C．标准差、均值D．方差、标准差正确答案：A解析：均值表示了分布的中心位置，方差和标准差表示分布的散布的大小。

知识模块：随机变量及其分布设随机变量Z的分布列为：X：0 1 2 3 4 P：0.50.20.10.15 0.05则3．E(X)为()。

A．0.105B．2.0C．1.6D．1.0正确答案：A解析：(1)E(X)=0×0.5+1×0.2+2×0.1+3×0.15+4×0.05＝0.105知识模块：随机变量及其分布4．P(0≤X＜3)为()。

A．0.9C．0.4D．0.7正确答案：B解析：(2)P(0≤X＜3)＝0.5+0.2+0.1＝0.8知识模块：随机变量及其分布5．设X为[a、b)上的连续型随机变量，已知a＜c＜d＜b，且c-a＝d-c＝b-d，则下列结论成立的是()。

A．P(a＜X≤d)＝2P(a＜X≤c)B．P(c＜X≤d)＝P(d＜X≤b)C．P(a≤X＜b)＝1/3D．P(X＝a)＝P(X＝b)正确答案：D解析：对于连续型随机变量，在给定区间上取值的概率P是以在取值区间上，概率密度分布曲线与X轴所夹的曲边梯形的面积。

对于连续随机变量X取一点的概率为0，所以选D。

知识模块：随机变量及其分布6．设X～N(1，4)，则P(0≤X＜2)可表示为()。

第二章随机变量及其分布练习题

第二章随机变量及其分布练习题1．甲、乙两人各进行一次射击，甲击中目标的概率是0.8，乙击中目标的概率是0.6，则两人都击中目标的概率是〔〕Ａ．1.4 Ｂ．0.9Ｃ．0.6 Ｄ．0.48 2．设随机变量1~62X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则(3)P X =等于〔〕Ａ．516 Ｂ．316 Ｃ．58 Ｄ．7163．设随机变量X 的概率分布列为X1 2 3 P 16 13 12则E (X ＋2)的值为 ( )．A.113 B ．9 C.133 D.734．两台相互独立工作的电脑，产生故障的概率分别为a ，b ，则产生故障的电脑台数的均值为〔〕Ａ．abＢ．a b + Ｃ．1ab - Ｄ．1a b --5．某一般高校招生体育专业测试合格分数线确定为60分．甲、乙、丙三名考生独立参加测试，他们能到达合格的概率分别是0.9,0.8,0.75，则三人中至少有一人达标的概率为( )A ．0.015B ．0.005 6．设随机变量~()X B n p ，，则22()()DX EX 等于〔〕Ａ．2p Ｂ．2(1)p - Ｃ．np Ｄ．2(1)p p -7．对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出2件．在第一次摸出正品的条件下，第二次也摸到正品的概率是()．A.35 B.25 C.110 D.598．从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数〞，事件B＝“取到的2个数均为偶数〞，则P(B|A)＝()．A.18 B.14 C.25 D.129．设随机变量ξ服从正态分布N(0，1)，P(ξ＞1)＝p，则P(－1＜ξ＜0)等于()．A.12p B．1－p C．1－2p D.12－p10．已知随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，且P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝0.954 4，P(μ－σ<X<μ＋σ)＝0.682 6.假设μ＝4，σ＝1，则P(5<X<6)＝( ) A．0.135 9 B．0.135 8C．0.271 8 D．0.271 611．甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜〞，即以先赢2局者为胜．依据经验，每局比赛中甲获胜的概率为0.6，则本次比赛甲获胜的概率是()．A．0.216 B．0.36 C．0.432 D．0.648 12．马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表：处字迹模糊，但能断定这两个“？〞处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E(ξ)＝________．13．如图，EFGH是以O为圆心、半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内〞，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影局部)内〞，则(1)P(A)＝________；(2)P(B|A)＝________．14．某灯泡厂生产大批灯泡，其次品率为1.5%，从中任意地陆续取出100个，则其中正品数X的均值为个，方差为．15．某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18、19、20层停靠，假设该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为1 3，用X表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，则P(X＝4)＝________．16．在口袋中有不同编号的3个白球和2个黑球．如果不放回地依次取两个球，求在第1次取到白球的条件下，第2次也取到白球的概率．17．某商场为刺激消费，拟按以下方案进行促销：顾客每消费500元便得到奖券一张，每张奖券的中奖概率为12，假设中奖，商场返回忆客现金100元．某顾客现购置价格为2 300元的台式电脑一台，得到奖券4张．(1)设该顾客中奖的奖券张数为X，求X的分布列；(2)设该顾客购置台式电脑的实际支出为Y元，用X表示Y，并求Y的数学期望．18．某公司“咨询热线〞共有8路外线，经长期统计发觉，在8点到10点这段时间内，外线同时打入情况如下表所示：同时0 1 2 3 4 5 6 7 8打入个数x概率p 0．13 0．35 0．27 0．14 0．08 0．02 0．01 0 0〔1〕假设这段时间内，公司只安排了2位接线员〔一个接线员一次只能接一个〕①求至少一路不能一次接通的概率；②在一周五个工作日中，如果有三个工作日的这段时间〔8点至10点〕内至少一路不能一次接通，那么公司的形象将受到损害，现用至少一路不能一次接通的概率表示公司形象的“损害度〞，求上述情况下公司形象的“损害度〞．〔2〕求一周五个工作日的这段时间〔8点至10点〕内，同时打入数X的均值．19．某仪表厂从供给商处购置元器件20件，双方协商的验货规则是：从中任取3件进行质量检测，假设3件中无不合格品，则这批元器件被接受，否则就要重新对这批元器件逐个检查．(1)假设该批元器件的不合格率为10%，求需对这批元器件逐个检查的概率；(2)假设该批元器件的不合格率为20%，求3件中不合格元器件个数的分布列与期望．20．某商店试销某种商品20天，获得如下数据：日销售量(件)012 3频数159 5该商品3件，当天营业结束后检查存货．假设发觉存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货．将频率视为概率．(1)求当天商店不进货的概率；(2)记X为第二天开始营业时该商品的件数．求X的分布列和数学期望．21.设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4,各人是否需使用设备相互独立.(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率;(2)X表示同一工作日需使用设备的人数,求X的数学期望.。

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随机变量及其分布列与独立性检验练习题附答案 It was last revised on January 2, 2021数学学科自习卷（二）一、选择题1．将三颗骰子各掷一次，记事件A ＝“三个点数都不同”，B ＝“至少出现一个６点”，则条件概率()P A B ，()P B A 分别是（） A.6091，12 B.12，6091 C.518，6091 D.91216，122．设随机变量ξ服从正态分布()3,4N ，若()()232P a P a ξξ<-=>+，则a 的值为A ．73B ．53C ．5D ．33．已知随机变量ξ～)2,3(2N ，若23ξη=+,则D η= A ． 0 B ． 1C ． 2D ． 44．同时抛掷5枚均匀的硬币80次，设5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的次数为ξ，则ξ的数学期望是（）A ．20B ．25 C. 30 D ．405．甲乙两人进行乒乓球比赛, 约定每局胜者得1分, 负者得0分, 比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止, 设甲在每局中获胜的概率为23,乙在每局中获胜的概率为13,且各局胜负相互独立, 则比赛停止时已打局数ξ的期望()E ξ为（）A ．24181B ．26681C ．27481D ．6702436．现在有10张奖券，8张2元的，2张5元的，某人从中随机无放回地抽取3张奖券,则此人得奖金额的数学期望为（） A ．6 B ．395 C ．415D ．97．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c ，,,(0,1)a b c ∈，且无其它得分情况，已知他投篮一次得分的数学期望为1，则ab 的最大值为（）A ．148B ．124C ．112 D ．168．位于数轴原点的一只电子兔沿着数轴按下列规则移动：电子兔每次移动一个单位，移动的方向向左或向右，并且向左移动的概率为23，向右移动的概率为13，则电子兔移动五次后位于点(1,0)-的概率是（）A ．4243 B ．8243 C ．40243D ．80243二、填空题9．已知55104)1()1()1)(2(++⋅⋅⋅+++=-+x a x a a x x ，则=++531a a a ______.10．乒乓球比赛采用7局4胜制，若甲、乙两人实力相当，获胜的概率各占一半，则打完5局后仍不能结束比赛的概率等于_____________________.11．设ξ是离散型随机变量，21(),()33P a P b ξξ====，且a b <，又42,39E D ξξ==，则a b +的值为______ _．12．某车站每天8:009:00,9:0010:00--都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间是相互独立的，其规律为到站的时刻 8：10 9：10 8：30 9：30 8：509：50概率一旅客8：20到站，则它候车时间的数学期望为＿＿＿＿＿＿＿。

（精确到分）三、解答题13．我校社团联即将举行一届象棋比赛，规则如下：两名选手比赛时，每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时结束.假设选手甲与选手乙比赛时，甲每局获胜的概率皆为23，且各局比赛胜负互不影响.（Ⅰ）求比赛进行4局结束，且乙比甲多得2分的概率；（Ⅱ）设ξ表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量ξ的分布列和数学期望．14．2016年国家已全面放开“二胎”政策，但考虑到经济问题，很多家庭不打算生育二孩，为了解家庭收入与生育二孩的意愿是否有关，现随机抽查了某四线城市50个一孩家庭，它们中有二孩计划的家庭频数分布如下表:（1）由以上统计数据完成如下22⨯列联表，并判断是否有0095的把握认为是否有二孩计划与家庭收入有关？说明你的理由．（2）若二孩的性别与一孩性别相反，则称该家庭为“好字”家庭，设每个有二孩计划的家庭为“好字”家庭的概率为12,且每个家庭是否为“好字”家庭互不影响，设收入在8千～1万的3个有二孩计划家庭中“好字”家庭有x个，求x的分布列及数学期望．下面的临界值表供参考：参考答案1．A 【解析】试题分析：由题意得事件A 的个数为654120⨯⨯=，事件B 的个数为336591-=，在B 发生的条件下A 发生的个数为123560C A =，在A 发生的条件下B 发生的个数为123560C A =，所以()6091p A B =，()6011202P B A ==.故正确答案为A.考点：1.计数原理；2.条件概率. 2．A 【解析】略 3．B 【解析】 4．B 【解析】试题分析：5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的概率为2235115()()2216C =,由题意可知ξ服从5(80,)16的二项分布,所以数学期望为5802516⨯=,故本题选B.考点：二项分布与数学期望. 5．B 【解析】试题分析：由已知，ξ的可能取值是2,4,6.设每局比赛为一轮，则该轮比赛停止的概率为22215+=.339（）（）若该轮结束时比赛还要继续，则甲，乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下一轮比赛是否停止没有影响.所以()()()25542041624699981981P P P ξξξ====⨯====，，（），所以()52016266=2+4+6=.9818181E ξ⨯⨯⨯故选B.考点：1.相互独立事件的概率；2.数学期望.【名师点睛】解答本题，关键在于准确理解题意，利用独立事件的概率计算公式，计算出随机变量的概率.能否理解数学期望个概念与计算公式，也是对考生的考验. 6．B 【解析】试题分析：当取三张都是两元的得奖金额是632=⨯元；当取两张两元一张五元得奖金额是9522=+⨯元；当取一张两元两张五元得奖金额是125212=⨯+⨯元.故得奖金额为12,9,6=ξ,对应的概率分别是3102218310122831038,,C CC C C C C C ,故其数学期望是539151171511215791576)(==⨯+⨯+⨯=ξE ,应选B. 考点：概率和数学期望的计算. 7．B 【解析】略 8．D 【解析】考点：．专题：．分析：根据题意，分析可得质点P 移动五次后位于点（-1，0），其中向左移动3次，向右移动2次，进而借助排列、组合分析左右平移的顺序情况，由相互独立事件的概率公式，计算可得答案．解答：解：根据题意，质点P 移动五次后位于点（-1，0），其中向左移动3次，向右移动2次；其中向左平移的3次有C 53种情况，剩下的2次向右平移；则其概率为C 53×（ 13）2×（23）3=80243，故选D ．点评：本题考查相互独立事件的概率的计算，其难点在于分析质点P 移动五次后位于点（-1，0）的实际平移的情况，这里要借助排列组合的知识． 9．1 【解析】试题分析：由题意得，令0x =，得0123452a a a a a a +++++=，令2x =-，得0123450a a a a a a -+-+-=，两式相减，得1352()2a a a ++=，所以1351a a a ++=.考点：赋值法的应用.10．85【解析】（方法一）打完5局后仍不能结束比赛的情况是甲、乙两人中任意某个人任意胜3局，另一个人胜2局，其概率为8521121233512=-⋅）（）（C C . （方法二）打完5局后能结束比赛的情况是：甲、乙两人中任意某个人任意胜4局或5局全胜，其概率等于83])21()211()21([55544512=+-⋅C C C ，所以，打完5局后仍不能结束比赛的概率等于85831=-.11． 3 【解析】略 12．27【解析】11111103050709027.23361218⨯+⨯+⨯+⨯+⨯≈13．（Ⅰ）481；（Ⅱ）随机变量ξ的分布列为【解析】试题分析：（Ⅰ）这是一个独立重复试验，比赛进行4局结束，且乙比甲多得2分，只能是前两局乙胜一局，3,4局乙连胜，根据独立重复试验从而求出，值得注意的是，做这一类题，一定分析清楚，否则容易出错；（Ⅱ）设ξ表示比赛停止时已比赛的局数，ξ只能取值2,4,6，不能为3,5，分别求出ξ的取值为2,4,6的概率，列分布列，从而求出数学期望，易错点为ξ的取值不正确，导致分布列错误。

试题解析：（Ⅰ）由题意知，乙每局获胜的概率皆为21133-=.比赛进行4局结束，且乙比甲多得2分即头两局乙胜一局，3,4局连胜，则12212114333381P C =⋅⋅⋅=.（Ⅱ）由题意知，ξ的取值为2,4,6.则22215(2)()()339P ξ==+=12122212212120(4)()()33333381P C C ξ==+=， 1221216(6)()3381P C ξ===，所以随机变量ξ的分布列为则520162662469818181E ξ=⨯+⨯+⨯=考点：本题考查独立重复事件的概率计算、离散型随机变量的分布列、期望，考查学生的逻辑推理能力以及基本运算能力.14．（1）列联表见解析，有0095的把握认为是否有二孩计划与家庭收入有关；（2）分布列见解析，32【解析】试题分析：（1）根据题意填写好表格后，计算()22501261814225 4.327 3.8413020262452K ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯.因此有0095的把握认为是否有二孩计划与家庭收入有关；（2）由题意知,13,,2XB X ⎛⎫⎪⎝⎭的可能取值为0,1,2,3,根据二项分布的知识点求得分布列和数学期望. 试题解析：（1）依题意得12,18,14,6a b c d ====,因此有0095的把握认为是否有二孩计划与家庭收入有关. （2）由题意知,13,,2XB X ⎛⎫⎪⎝⎭的可能取值为0,1,2,3()()321311130,12228P X P X C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, ()()2323113112,,322828P X C P X ⎛⎫⎛⎫====== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.X的分布列为:()3E X=⨯=.22考点：1.独立性检验；2.二项分布.。