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湘钢二中2008年春期高一数学试卷(模块4结业考试)时量:120分钟 满分:100分 命题人:陈树才 审核人:陈迎新一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。
每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1、ο210sin 的值是 （ ） A. 21-B. 21C. 23-D. 232、函数12sin()26y x π=-的周期是（ ）A ．12π B ．π C ．2π D. 4π3、化简式子cos72cos12sin 72sin12+oooo的值是（ ）A ．12B ．32C ．33D ．34、如果点)cos ,(tan θθP 位于第三象限，那么角θ所在象限是（ ）A ． 第一象限B ． 第二象限C ． 第三象限D ． 第四象限5、已知平面向量)1,1(=→a ，)1,1(-=→b ，则向量→→-b a 2321的坐标是（ ）Ａ．(21)--，B ．(21)-， Ｃ．(10)-，Ｄ．(12)-， 6、将函数sin()3y x π=-图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的函数图象向左平移3π个单位，最后所得到的图象对应的解析式是（ ）Ａ 1sin 2y x = B 1sin()22y x π=-C 1sin()26y x π=-D sin(2)6y x π=- 7、已知向量()1,3=→a ，()3,-=→x b ，且→→⊥b a ，则实数x 的值为（ ） A. 3- B. 3 C. 1- D. 18、如图，四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，则OA BC AB ++u u u v u u u v u u u v等于( )A ．−→−CDB ．−→−OC C ．−→−DAD ．−→−CO 9、已知5||=→a ，)2,1(=→b ，且→→b a //，则→a 的坐标为．（ ） A ．(1,2) 或(－1,－2) B ．(－1,－2) C ．(2,1) D ．(1,2)10、已知图1是函数π2sin()2y x ωϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象上的一段，则（ ）Ａ．10π116ωϕ==， Ｂ．10π116ωϕ==-， Ｃ．π26ωϕ==， Ｄ．π26ωϕ==-， 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分，把答案填在题中横线上。
模块综合测试时间：120分钟 分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．已知角α的终边过点P (sin(－30°)，cos(－30°))，则角α的一个值为( D )A ．30°B ．－30°C ．－60°D ．120°解析：P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，点P 在第二象限，sin α＝32，cos α＝－12，∴120°为角α的一个值．2．已知sin α＝23，则cos(π－2α)等于( B ) A ．－53 B ．－19 C ．19D ．53解析：cos(π－2α)＝－cos2α＝－(1－2sin 2α)＝2sin 2α－1＝2×49－1＝－19.3．对于函数f (x )＝2sin x cos x ，下列选项中正确的是( B )A ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2上是递增的B ．f (x )的图象关于原点对称C ．f (x )的最小正周期为2πD ．f (x )的最大值为2解析：f (x )＝2sin x cos x ＝sin2x ，它在(π4，π2)上是单调递减的，图象关于原点对称，最小正周期是π，最大值为1，故B 是正确的．4．已知▱ABCD 中，AD →＝(－3,7)，AB →＝(4,3)，对角线AC 、BD 交于点O ，则CO→的坐标为( C ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，5 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－5D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－5解析：由AD→＋AB →＝(－3,7)＋(4,3)＝(1,10)． ∵AD→＋AB →＝AC →.∴AC →＝(1,10)． ∴CO →＝－12AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－5.故应选C ．5．已知e 1，e 2是夹角为60°的两个单位向量，若a ＝e 1＋e 2，b ＝－4e 1＋2e 2，则a 与b 的夹角为( C )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：依据题意a ·b ＝－3，|a |·|b |＝3×23＝6， cos 〈a ，b 〉＝－12，故a 与b 的夹角为120°.6．设α∈(0，π)，sin α＋cos α＝13，则cos2α的值是( C ) A ．179 B ．－223 C ．－179D ．179或－179解析：∵sin α＋cos α＝13，∴1＋2sin αcos α＝19，即2sin αcos α＝－89.∵α∈(0，π)，∴sin α>0，cos α<0，∴cos α－sin α<0，∴cos α－sin α＝－(cos α－sin α)2＝－1－2sin αcos α＝－173，∴cos2α＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝－179.7．将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( B )A ．3π4B ．π4C ．0D ．－π4解析：y ＝sin(2x ＋φ)――→向左平移π8个单位y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋φ ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋φ.当φ＝3π4时，y ＝sin(2x ＋π)＝－sin2x ，为奇函数； 当φ＝π4时，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos2x ，为偶函数；当φ＝0时，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，为非奇非偶函数； 当φ＝－π4时，y ＝sin2x ，为奇函数．故选B ．8．已知sin(α－β)＝35，cos(α＋β)＝－35，且α－β∈(π2，π)，α＋β∈(π2，π)，则cos2β的值为( C )A ．1B ．－1C ．2425D ．－45解析：由题意知cos(α－β)＝－45，sin(α＋β)＝45， 所以cos2β＝cos[α＋β－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β) ＝(－35)×(－45)＋45×35＝2425.9．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝12，且－π2<α<0，则2sin 2α＋sin2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4等于( A ) A ．－255 B ．－3510 C ．－31010D ．255解析：由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝12，得tan α＝－13. 又－π2<α<0，∴sin α＝－1010. 故2sin 2α＋sin2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝2sin α(sin α＋cos α)22(sin α＋cos α) ＝22sin α＝－255.10．已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos x ，22sin x ，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin x ，2cos x ，f (x )＝a ·b ，要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，只需将f (x )的图象( C )A ．向左平移π3个单位 B ．向右平移π3个单位 C ．向左平移π6个单位 D ．向右平移π6个单位解析：f (x )＝a ·b ＝sin x cos x ＋sin x cos x ＝sin2x .而y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6， 于是只需将f (x )的图象向左平移π6个单位．故选C ．11．将函数y ＝sin ωx (ω>0)的图象向左平移π6个单位，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应的函数解析式是( C )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π－π6 C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3解析：将函数y ＝sin ωx (ω>0)的图象向左平移π6个单位，平移后的图象所对应的解析式为y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6.由题图象知，⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12＋π6ω＝3π2，所以ω＝2.所以平移后的图象所对应的函数解析式是y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 12．点O 在△ABC 所在平面内，给出下列关系式： ①OA→＋OB →＋OC →＝0； ②OA →·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AC →|AC →|－AB →|AB →|＝OB →·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫BC →|BC →|－BA →|BA →|＝0； ③(OA →＋OB →)·AB →＝(OB →＋OC →)·BC →＝0. 则点O 依次为△ABC 的( C ) A ．内心、重心、垂心 B ．重心、内心、垂心 C ．重心、内心、外心D ．外心、垂心、重心解析：①由于OA →＝－(OB →＋OC →)＝－2OD →，其中D 为BC 的中点，可知O 为BC 边上中线的三等分点(靠近线段BC )，所以O 为△ABC 的重心；②向量AC →|AC →|，AB →|AB →|分别表示在AC 和AB 上的单位向量AC ′→和AB ′→，它们的差是向量B ′C ′→，当OA →·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AC →|AC →|－AB →|AB →|＝0，即OA ⊥B ′C ′时，则点O 在∠BAC 的平分线上，同理由OB →·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫BC →|BC →|－BA →|BA →|＝0，知点O 在∠ABC 的平分线上，故O 为△ABC 的内心；③OA →＋OB →是以OA →，OB →为边的平行四边形的一条对角线，而AB →是该四边形的另一条对角线，AB →·(OA →＋OB →)＝0表示这个平行四边形是菱形，即|OA→|＝|OB →|，同理有|OB →|＝|OC →|，于是O 为△ABC 的外心． 第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把★★答案★★填在题中横线上)13．在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝43.解析：设BC→＝b ，BA →＝a ， 则AF →＝12b －a ，AE →＝b －12a ，AC →＝b －A ． 代入条件得λ＝μ＝23，∴λ＋μ＝43.14．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝12，则sin α＋cos αsin α－cos α的值为2 .解析：由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝12，解得tan α＝3，所以sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝42＝2.15．已知函数f (x )＝A cos 2(ωx ＋φ)＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，0<φ<π2的最大值为3，f (x )的图象与y 轴交点坐标为(0,2)，其相邻的两条对称轴的距离为2，则f (1)＋f (2)＋…＋f (2 015)＝4 030 .解析：由最大值为3知A ＝2，f (x )＝2cos 2(ωx ＋φ)＋1＝cos(2ωx ＋2φ)＋2，由交点(0,2)及0<φ<π2知φ＝π4. ∴f (x )＝2－sin2ωx . 又周期为4，∴ω＝π4.∴f (x )＝2－sin π2x ，f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝8.∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 015)＝503[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝503×8＋6＝4 030.16．给出下列四个命题：①函数y ＝tan x 的图象关于点(k π＋π2，0)(k ∈Z )对称；②函数f (x )＝sin|x |是最小正周期为π的周期函数；③设θ为第二象限的角，则tan θ2>cos θ2，且sin θ2>cos θ2；④函数y ＝cos 2x ＋sin x 的最小值为－1.其中正确的命题是①④.解析：①由正切曲线，知点(k π，0)，(k π＋π2，0)是正切函数图象的对称中心，∴①对；②f (x )＝sin|x |不是周期函数，②错； ③∵θ∈(2k π＋π2，2k π＋π)，k ∈Z ， ∴θ2∈(k π＋π4，k π＋π2)，k ∈Z .当k ＝2n ＋1，n ∈Z 时，sin θ2<cos θ2.∴③错； ④y ＝1－sin 2x ＋sin x ＝－(sin x －12)2＋54， ∴当sin x ＝－1时，y min ＝1－(－1)2＋(－1)＝－1. ∴④对．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)计算：(1)cos π5＋cos 2π5＋cos 3π5＋cos 4π5； (2)tan10°＋tan170°＋sin1 866°－sin(－606°)． 解：(1)原式＝⎝⎛⎭⎪⎫cos π5＋cos 4π5＋⎝⎛⎭⎪⎫cos 2π5＋cos 3π5＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos π5＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π5＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 2π5＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－2π5 ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos π5－cos π5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π5－cos 2π5＝0. (2)原式＝tan10°＋tan(180°－10°)＋sin(5×360°＋66°)－sin[(－2)×360°＋114°]＝tan10°－tan10°＋sin66°－sin(180°－66°)＝sin66°－sin66°＝0.18．(12分)已知|a |＝2|b |＝2，且向量a 在向量b 的方向上的投影为－1，求：(1)a 与b 的夹角θ； (2)(a －2b )·B ．解：(1)由题意知，|a |＝2，|b |＝1，|a |cos θ＝－1， ∴a ·b ＝|a ||b |cos θ＝－|b |＝－1， ∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－12.由于θ∈[0，π]， ∴θ＝2π3即为所求．(2)(a －2b )·b ＝a ·b －2b 2＝－1－2＝－3.19．(12分)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)的一段图象如图所示．(1)求函数的解析式；(2)求这个函数的单调递增区间．解：(1)由题图象可知A ＝2，T 2＝3π8－(－π8)＝π2， ∴T ＝π，ω＝2， ∴y ＝2sin(2x ＋φ)，将点(－π8，2)代入得－π4＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )， ∵|φ|<π，∴φ＝34π.∴函数的解析式为y ＝2sin(2x ＋3π4)． (2)由2k π－π2≤2x ＋3π4≤2k π＋π2(k ∈Z )， 得k π－5π8≤x ≤k π－π8(k ∈Z )．∴函数y ＝2sin(2x ＋3π4)的单调递增区间为 [k π－5π8，k π－π8](k ∈Z )．20．(12分)已知函数f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)为奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0，其中a ∈R ，θ∈(0，π)．(1)求a ，θ的值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＝－25，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3的值． 解：(1)因为f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)是奇函数，而y 1＝a ＋2cos 2x 为偶函数，所以y 2＝cos(2x ＋θ)为奇函数， 又θ∈(0，π)，得θ＝π2， 所以f (x )＝－sin2x ·(a ＋2cos 2x )，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0得－(a ＋1)＝0.即a ＝－1.(2)由(1)得，f (x )＝－12sin4x ，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＝－12sin α＝－25.即sin α＝45，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，从而cos α＝－35. 所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝sin αcos π3＋cos αsin π3＝4－3310.21．(12分)如图，在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝6，∠BAC ＝60°，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且AB→＝2AD →，AC →＝5AE →，(1)若BF →＝－34AB →＋110AC →，求证：点F 为DE 的中点． (2)在(1)的条件下，求BA →·EF →的值． 解：(1)证明：因为BF →＝－34AB →＋110AC →， 所以AF →＝BF →－BA →＝14AB →＋110AC →， 又AB→＝2AD →，AC →＝5AE →， 所以AF →＝12AD →＋12A E →，所以F 为DE 的中点．(2)由(1)可得EF →＝12ED →＝12(AD →－AE →)，因为AB→＝2AD →，AC →＝5AE →， 所以EF →＝14AB →－110AC →， 所以BA →·EF →＝－AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫14AB →－110AC → ＝－14AB →2＋110AB →·AC →＝－14×4＋110×2×6×cos60°＝－25.22.(12分)已知向量a ＝(cos ωx －sin ωx ，sin ωx )，b ＝(－cos ωx －sin ωx,23cos ωx )，设函数f (x )＝a ·b ＋λ(x ∈R )的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈(12，1)．(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若y ＝f (x )的图象经过点(π4，0)，求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π5上的取值范围．解：(1)因为f (x )＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx ＋λ＝－cos2ωx ＋3sin2ωx ＋λ＝2sin(2ωx －π6)＋λ.由直线x ＝π是y ＝f (x )图象的一条对称轴，可得sin(2ωπ－π6)＝±1，所以2ωπ－π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即ω＝k 2＋13(k ∈Z )．又ω∈(12，1)，k ∈Z ，所以k ＝1，故ω＝56.所以f (x )的最小正周期是6π5.(2)由y ＝f (x )的图象过点(π4，0)，得f (π4)＝0，即λ＝－2sin(56×π2－π6)＝－2sin π4＝－2，即λ＝－ 2.故f (x )＝2sin(53x －π6)－2，由0≤x ≤3π5，有－π6≤53x －π6≤5π6， 所以－12≤sin(53x －π6)≤1， 得－1－2≤2sin(53x －π6)－2≤2－2，故函数f (x )在[0，3π5]上的取值范围为[－1－2，2－2]．感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！。
模块综合质量评估一、单项选择题(每小题5分，共40分)1．在△ABC 中，若a ＝18，b ＝24，∠A ＝44°，则此三角形解的情况为( B )A ．无解B ．两解C ．一解D ．解的个数不确定解析：∵a ＝18，b ＝24，∠A ＝44°，∴b sin A ＜a ＜b ，∴此三角形有两解．2．复数1－2＋i ＋11－2i 的虚部是( B )A.15iB.15 C ．－15iD ．－15 解析：1－2＋i ＋11－2i ＝－2－i 5＋1＋2i 5＝－15＋15i.故选B.3．设i 是虚数单位，若复数1－i2－a i 为实数，则实数a 为( A )A ．2B ．－2C ．－12 D.12解析：1－i 2－a i ＝(2＋a )＋(a －2)i4＋a 2为实数，即a ＝2.4．如图，α∩β＝l ，A ∈α，B ∈α，AB ∩l ＝D ，C ∈β，C ∉l ，则平面ABC 与平面β的交线是( C )A ．直线ACB ．直线ABC ．直线CDD ．直线BC解析：D ∈l ，l ⊂β，∴D ∈β，又C ∈β，∴CD ⊂β；同理，CD ⊂平面ABC ，∴平面ABC ∩平面β＝CD .故选C.5．设i是虚数单位.z是复数z的共轭复数．若z·z i＋2＝2z，则z等于(A)A．1＋i B．1－iC．－1＋i D．－1－i解析：设z＝a＋b i，a，b∈R，代入z·z i＋2＝2z，整理得(a2＋b2)i＋2＝2a＋2b i，则⎩⎪⎨⎪⎧2a＝2，a2＋b2＝2b，解得⎩⎪⎨⎪⎧a＝1，b＝1，因此z＝1＋i.6．圆台上，下底面的面积之比为1∶4，则截得这个圆台的圆锥体积和圆台体积之比是(D)A．2∶1 B．4∶1C．8∶1 D．8∶7解析：如图，设大，小圆锥的底面半径分别为R，r，高分别为H，h，由题意得rR＝12，hH＝12，∴V小圆锥V大圆锥＝13πr2h13πR2H＝⎝⎛⎭⎪⎫rR2·hH＝14×12＝18，∴V大圆锥V圆台＝87，故选D.7．在△ABC中，内角∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c.已知a sin B cos C＋c sin B cos A＝12b，且a>b，则∠B＝(A) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6解析：∵a sin B·cos C＋c·sin B·cos A＝12b，由正弦定理得sin A·sin B·cos C＋sin C·sin B·cos A＝12sin B.∵sin B≠0，∴sin A·cos C＋sin C·cos A＝12.∴sin(A＋C)＝12.∴sin B＝1 2，又∵∠B∈(0，π)，且a>b，∴∠B为锐角，∴∠B＝π6，选A.8．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱(其底面是正方形，且侧棱垂直于底面)高为4，体积为16，则这个球的表面积是(C) A．16πB．20πC．24πD．32π解析：由题意知正四棱柱的底面积为4，得正四棱柱的底面边长为2，正四棱柱的底面对角线长为22，正四棱柱的对角线为2 6.而球的直径等于正四棱柱的对角线，即2R＝26，∴R＝6，∴S球＝4πR2＝24π.二、多项选择题(每小题5分，共20分，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．已知复数z＝2－i，下面说法正确的是(BD)A．|z|＝5 B．z2＝3－4iC.z＝－2＋i D．z的虚部为－1解析：∵z＝2－i，∴|z|＝22＋(－1)2＝5，z2＝(2－i)2＝4－4i＋i2＝4－4i－1＝3－4i，z＝2＋i，z的虚部为－1，故选BD.10．在△ABC中，若b＝3，c＝3，∠B＝30°，则a的值可以为(AB)A. 3 B．2 3C．3 D．4解析：由正弦定理得bsin B＝csin C，即3sin30°＝3sin C，∴sin C ＝32.又c ＞b ，∴∠C ＝60°或120°.∴∠A ＝90°或30°， 当∠A ＝90°时，a 2＝32＋(3)2，a ＝2 3. 当∠A ＝30°时，a ＝b ＝3，故选AB.11．设m 为直线，α，β，γ为三个不同的平面，下列命题不正确的是( ACD )A ．若m ∥α，α⊥β，则m ⊥βB ．若m ⊂α，α∥β，则m ∥βC ．若m ⊥α，α⊥β，则m ∥βD ．若α⊥β，α⊥γ，则β∥γ解析：A 中m 也可能在平面β内或者m ∥β；C 中m 可能在平面β内；D 中β与γ可能相交．12．设i 为虚数单位，则下列命题不成立的是( ABD ) A ．∀a ∈R ，复数a －3－i 是纯虚数 B ．在复平面内i(2－i)对应的点位于第三象限 C ．若复数z ＝－1－2i ，则存在复数z 1，使得z ·z 1∈R D ．x ∈R ，方程x 2＋i x ＝0无解解析：A.只有当a ＝3时，复数a －3－i 是纯虚数；B.i(2－i)＝2i ＋1对应的点(1,2)位于第一象限；C.若复数z ＝－1－2i ，则存在复数z 1＝－1＋2i ，使得z ·z 1＝5∈R ；D.当x ＝0时，方程x 2＋i x ＝0成立．三、填空题(每小题5分，共20分)13．复平面内点A ，B ，C 对应的复数分别为i,1,4＋2i ，由A →B →C →D 按逆时针顺序作平行四边形ABCD ，则|B D →|等于 13 .解析：z D ＝z A ＋z C －z B ＝3＋3i ，BD →对应复数为2＋3i ， ∴|BD →|＝13.14．若一个正四面体(各个面都是等边三角形)的体积为9 cm 3，则其表面积为 18 3 cm 2 .解析：设正四面体的棱长为a cm，则底面积为34a2 cm2，易求得高为63a cm，则体积为13×34a2×63a＝212a3(cm3)，所以212a3＝9，解得a＝32，所以其表面积为4×34a2＝183(cm2)．15．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若m＝(b－c，a－b)，n＝(sin C，sin A＋sin B)，且m⊥n，则A＝π3；若△ABC的面积为3，则△ABC的周长的最小值为__6__.(本题第一空2分，第二空3分)解析：∵m⊥n，∴(b－c)sin C＋(a－b)(sin A＋sin B)＝0，∴(b－c)c＋(a－b)(a＋b)＝0，∴b2＋c2－a2＝bc，∴cos A＝12，又0＜A＜π，∴A＝π3，由S＝12bc sin A＝3，得bc＝4, 又b2＋c2－bc＝a2，∴a2＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc＝4，∴a≥2，又b＋c≥2bc＝4，∴a＋b＋c≥6，当且仅当a＝b＝c时取等号．16．如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，且底面各边都相等，M 是PC 上的一动点，当点M 满足__DM ⊥PC (或BM ⊥PC )__时，平面MBD ⊥平面PCD (只要填写一个你认为是正确的条件即可)．解析：连接AC ，则BD ⊥AC ，由P A ⊥平面ABCD ，可知BD ⊥P A ，∴BD ⊥平面P AC ，∴BD ⊥PC .故当DM ⊥PC (或BM ⊥PC )时，平面MBD ⊥平面PCD .四、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)设复数z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i ，若z 2＋a ·z ＋b ＝1＋i ，求实数a ，b 的值．解：z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i ＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i2＋i ＝(3－i )(2－i )5＝1－i. 因为z 2＋a ·z ＋b ＝1＋i ， 所以(1－i)2＋a (1－i)＋b ＝1＋i. 所以(a ＋b )－(a ＋2)i ＝1＋i.所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝1，－(a ＋2)＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝4.即实数a ，b 的值分别是－3,4.18．(12分)在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c .已知∠A ＝π4，b sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C －c sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B ＝a . (1)求证：∠B －∠C ＝π2；(2)若a ＝2，求△ABC 的面积．解：(1)证明：由b sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋C －c sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋B ＝a ，应用正弦定理得sin B sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C －sin C sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B ＝sin A ， sin B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin C ＋22cos C －sin C ⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin B ＋22cos B ＝22， 整理得sin B cos C －cos B sin C ＝1，sin(B －C )＝1， 由于0<∠B ＜34π，0＜∠C <34π，从而∠B －∠C ＝π2. (2)∠B ＋∠C ＝π－∠A ＝3π4，因此∠B ＝5π8，∠C ＝π8.由a ＝2，∠A ＝π4，得b ＝a sin B sin A ＝2sin 5π8，c ＝a sin C sin A ＝2sin π8，所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝2sin 5π8sin π8＝2cos π8sin π8＝12.19．(12分)如图所示，AB 是圆O 的直径，P A 垂直圆O 所在的平面，C 是圆O 上的点．(1)求证：BC ⊥平面P AC ；(2)设Q 为P A 的中点，G 为△AOC 的重心．求证：QG ∥平面PBC . 证明：(1)由AB 是圆O 的直径，得AC ⊥BC . 由P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，得P A ⊥BC . 又因为P A ∩AC ＝A ，P A ⊂平面P AC ，AC ⊂平面P AC ， 所以BC ⊥平面P AC .(2)如图，连接OG 并延长交AC 于M ， 连接QM ，QO ，由G为△AOC的重心，得M为AC的中点．由Q为P A的中点，得QM∥PC.又O为AB的中点，得OM∥BC.因为QM∩MO＝M，QM⊂平面QMO，MO⊂平面QMO，BC∩PC＝C，BC⊂平面PBC，PC⊂平面PBC，所以平面QMO∥平面PBC.因为QG⊂平面QMO，所以QG∥平面PBC.20．(12分)在复平面内，复数z1在连接1＋i和1－i的线段上移动，设复数z2在以原点为圆心，半径为1的圆周上移动，求复数z1＋z2在复平面上移动范围的面积．解：设ω＝z1＋z2，z2＝ω－z1，|z2|＝|ω－z1|，∵|z2|＝1，∴|ω－z1|＝1.上式说明对于给定的z1，ω在以z1为圆心，1为半径的圆上运动，又z1在连接1＋i和1－i的线段上移动，∴ω的移动范围的面积为：S＝2×2＋π×12＝4＋π.21．(12分)如图，在平面四边形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC ＝7.(1)求cos∠CAD的值；(2)若cos∠BAD＝－714，sin∠CBA＝216，求BC的长．解：(1)在△ADC中，由余弦定理得cos∠CAD＝AC2＋AD2－CD22AC·AD，则由题设知cos∠CAD＝7＋1－427＝277.(2)设∠BAC＝α，则α＝∠BAD－∠CAD，因为cos∠CAD＝277，cos∠BAD＝－714，所以sin∠CAD＝1－cos2∠CAD＝1－(277)2＝217，sin∠BAD＝1－cos2∠BAD＝1－(－714)2＝32114.于是sinα＝sin(∠BAD－∠CAD)＝sin∠BAD cos∠CAD－cos∠BAD sin∠CAD＝32114×277－(－714)×217＝32.在△ABC中，由正弦定理得BCsinα＝ACsin∠CBA，故BC＝AC·sinαsin∠CBA＝7×32216＝3.22．(12分)如图，在三棱锥P-ABC中，AB＝BC＝22，P A＝PB ＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．(1)证明：PO⊥平面ABC；(2)若点M在棱BC上，且MC＝2MB，求点C到平面POM的距离．解：(1)证明：因为AP＝CP＝AC＝4，O为AC的中点，所以OP ⊥AC，且OP＝2 3.如图，连接OB .因为AB ＝BC ＝22AC ，所以△ABC 为等腰直角三角形， 且OB ⊥AC ，OB ＝12AC ＝2. 由OP 2＋OB 2＝PB 2知，OP ⊥OB .由OP ⊥OB ，OP ⊥AC 知，PO ⊥平面ABC .(2)如图，作CH ⊥OM ，垂足为H ，又由(1)可得OP ⊥CH ， 所以CH ⊥平面POM .故CH 的长为点C 到平面POM 的距离．由题设可知OC ＝12AC ＝2，CM ＝23BC ＝423，∠ACB ＝45°，所以OM ＝253，CH ＝OC ·MC ·sin ∠ACB OM＝455. 所以点C 到平面POM 的距离为455.。
『高中数学』教学课件‖课时训练‖讲义测试‖A 级：“四基”巩固训练一、选择题1．在对数式log (x －1)(3－x )中，实数x 的取值范围应该是( ) A ．1<x <3 B ．x >1且x ≠2 C ．x >3 D ．1<x <3且x ≠2答案 D解析 要使对数式log (x －1)(3－x )有意义，需⎩⎨⎧3－x ＞0，x －1＞0，x －1≠1，解得1＜x ＜3且x ≠2.2．函数f (x )＝1－xlg (x ＋1)的定义域是( )A ．(－1，＋∞)B ．[－1，＋∞)C ．(－1,0)∪(0，＋∞)D ．[－1,1)∪(1，＋∞)答案 C解析 由题意，得⎩⎨⎧x ＋1＞0，x ＋1≠1⇒x ＞－1，且x ≠0.故选C.3．函数f (x )＝(a 2＋a －5)log a x 为对数函数，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18等于( )A ．3B ．－3C ．－log 36D ．－log 38 答案 B解析 ∵函数f (x )＝(a 2＋a －5)log a x 为对数函数，∴⎩⎨⎧a 2＋a －5＝1，a ＞0，a ≠1，解得a ＝2，∴f (x )＝log 2x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＝log 218＝－3.故选B.4．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量y (只)与引入时间x (年)的关系为y ＝a log 2(x ＋1)，若该动物在引入一年后的数量为100只，则第7年它们发展到( )A ．300只B ．400只C ．600只D ．700只 答案 A解析 将x ＝1，y ＝100代入y ＝a log 2(x ＋1)得， 100＝a log 2(1＋1)，解得a ＝100， 所以x ＝7时，y ＝100log 2(7＋1)＝300.5．若函数y ＝log 2(kx 2＋4kx ＋5)的定义域为R ，则k 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，54 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，54 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，54 D ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫54，＋∞答案 B解析 由题意得，kx 2＋4kx ＋5＞0在R 上恒成立． k ＝0时，成立；k ≠0时，⎩⎨⎧k ＞0，Δ＝16k 2－20k ＜0，解得0＜k ＜54，综上，k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，54，故选B.二、填空题 6．函数f (x )＝lg (4－x )x －3的定义域为________． 答案 {x |x ＜4且x ≠3}解析 由题意，得⎩⎨⎧4－x ＞0，x －3≠0⇒{x |x ＜4，且x ≠3}．7．已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)，若f (α)＝1，则α＝________. 答案 1解析 依题意知log 2(α＋1)＝1，则α＋1＝2，故α＝1. 8．集合A ＝{1，log 2x }中的实数x 的取值范围为________． 答案 (0,2)∪(2，＋∞) 解析 ∵集合A ＝{1，log 2x }，∴⎩⎨⎧log 2x ≠1，x ＞0，解得x ∈(0,2)∪(2，＋∞)． 三、解答题9．我们知道，燕子每年秋天都要从北方飞到南方过冬．研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v ＝5log 2O10(单位：m/s)，其中O 表示燕子的耗氧量．。
模块综合评估时间：120分钟满分：150分一、选择题（每小题5分，共60分）1 •下列命题中的真命题是（B ）A.三角形的内角必是第一象限或第二象限的角B.角a的终边在兀轴上时，角a的正弦线、正切线分别变成一个占I 八、、C.终边相同的角必相等D.终边在第二象限的角是钝角解析：三角形的內角可以等于90°,而90。
角既不是第一象限角也不是第二象限角，A错；由正弦线、正切线的定义可知B正确；终边相同的角可以相差360。
的整数倍，C错；终边在第二象限且小于180。
的正角才是钝角，D错.2.点P从（1,0）出发，沿单位圆F+y2=］逆时针方向运动丁弧长到达点Q,则点Q的坐标为（AA/3 1B.(-为，巧) A/3 1D. (—*, 2)解析：本题主要考查三角函数定义的应用.a= ZPOQ=~r, 由三角函数的定义，可知点0的坐标（兀，y）满足x=cosa=1- 2 y=^a=%故选A.兀53. 已知 a^(-, 7i), tana=—才，贝!j sin(a+71) = ( B ) 3 3 44A -5B - _5C 5D ・-5 解析：本题主要考查诱导公式和同角三角函数关系.由题意可得3 3 sina=§, .•.sin(a+7i)= — sina= — 故选 B.4. 已知宓BCD 中，AZ>=(-3,7),皿=(4,3),对角线 AC. BD交于点0,则苗的坐标为（C ）解析：Q+励=(一3,7) + (4,3) = (1,10), '：Ab+A^=A^, :.A^5. 已知O, A, B 是同一平面内的三个点，直线AB 上有一点C满足2范+(^=0,则况=(A )_ _ — — 21 12 — A. 20A —OB B. —O4+2OB C.^OA —qOB D. —解析：依题意，得况=筋+貳=筋+2范=商+2（况一功）, 所以况=2功一商，故选A.6. 设D 为△4BC 所在平面内一点，BC=3Cb,贝lj （ A ）A.A&=B.A&=|A ^— C .A Z>=|A ^+*忆 D .A D=|A ^—解析：由就=3筋得,范一皿=3（訪一范），即3訪=3范+必= (1,10),一5）故选C.—A^）,所以命=JT7. 已知函数 »=Asin （ft ）x+0）（A>O, co>Q, \（p\<^）的图象如图所 示，则函数沧）的解析式为（C ）B. f(jc) = sin(2x + ■?-) o D. /(^) = sin(4^ +v-) o解析： 本題主要考查由图象确定三角函数表达式的方法.由图象可知A = 1,孑=务一寻=手，丁=兀.即空=X.所以3=2,所以/（x ）= 4 1Z o 4 3 sin （2«r + 卩）,/（备）=sin （2 X 誇 + 卩）=sir.<y+^>） =-1.即 sin （* +卩）=1,所以令+ 卩=号* + 2 虹” 6 Z ）・即卩=j + 2kit^k 6 Z ）,又| （p IV 今，所以华=专■，所以/X H ） = sin （2;r +晋），故选C.8.在AABC 中，A, B, C 为内角,且 sinAcosA=sinBcosB,则AABC 是(D )A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形 解析：本题考查利用三角函数知识判断三角形形状的思维方法.由 sinAcosA = sinBcosB,得 sin2A=sin2B=sin （7i —2B ）,所以 2A7T=2B 或2A=n~2B,即A=B 或A+B=^,所以△ABC 为等腰三角 形或直角三角形，故选D.9. 在ZVIBC 中，M 为边BC 上任意一点，2V 为AM 的中点，尿=倔+则久+〃的值为（A ）1 1 1A ，2 B.^ C.才 D. 1C. /(x) = sin(2x + 奇) sin(2«r —解析：TM是BC上任意一点，可设曲/=価+应(x+y=l).TN为AM的中点，.•.初=¥初=*価+芬就=倔+“荒，.•.— 1 , 1久十〃=空(兀十)0=㊁.10.已知点O为△ABC外接圆的圆心，且芮+葩+cd=o,则AABC的内角A等于(A )A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°解析：由芮+葩+况＞=0,得弘+葩=0乙由O为AABC外接圆的圆心，结合向量加法的几何意义知，四边形OACB为菱形，且ZCAO=6Q°,故A=30°.JT11.函数Xx) = sin(cox+°)(cv〉0, |卩|＜刁的最小正周期为71,若将其图象向左平移扌个单位长度后，得到函数g(x)的图象，且g(x)为奇函数，则函数尢)的图象(C )A.关于点(令，0)对称B.关于点(普，0)对称C.关于直线兀=普对称D.关于直线兀=令对称解析：本题考查三角函数图象的变换和奇函数的性质.由已知得2兀71T=~=n,贝U (o = 2,所以/(x) = sin(2x+o),所以g(x) = sin[2(x+g) 兀71+ °] = sin(2x+亍+卩)，又g(x)为奇函数，贝吃+卩=刼(胆乙)，贝U (p = 兀7171 5TC 5 JT—賓训＜亍)，即_/(x) = sin(2x—亍).把兀=迈代入得sin(2X—71—^)=1, 所以直线兀=令"为/U)图象的对称轴，故选C.12. 若在用[0,刽上有两个不同的实数满足方程cos2x+V3sin2x =k+l,则k 的取值范围是（D ）A. [-2,1]B. [-2,1）C. [0,1]D. [0,1）解析：本题考查三角函数图象的具体应用，考查数形结合思想.原-1~ ] >rr >jr frr方程即 2sin （2x+g ） = k+l, sin （2x+g ）= ?.由 OWxW ㊁，得gW2才+石 7 TC 7T 7T 1 ' J 1 ] 冬石，y=sin （2x+g ）在兀丘[0,寸上的图象如图所示，故当㊁Wp —<1, 即0W 衣1时，方程有两个不同的根，故选D.二、填空题（每小题5分，共20分）13. 设向量a,万不平行，向量加+万与a+2万平行，则实数久 解析:由于^a~\~b 与a~\~2b 平行，所以存在〃丘R,使得加+方=〃（a+2方），即（久一〃）a + （l — 2〃）方=0, 因为向量a,万不平行，所以久一“=0,1—2〃=0,解得久=“=£.tana —1 1 心 ~ sina+cosaIT 巫T 刁解倚tamz=3•所以5讪—cosa tana+1解析：/(x)= l+cos2x+sin2x= 1+迈sin 〔2x+刖，的最小值 为1_承.16. 关于函数Xx) = sin2x —cos2x,有下列命题：①函数_/(x)的最 小14. … .sina+cosa 的值为2. 解析：由tan71 «_4 已知tan1 r正周期为71；②直线X二中是函数几力的一条对称轴；③点(£, 0)是7T 函数沧)的图象的一个对称中心；④将函数几力的图象向左平移才个单位长度，可得到函数y=血sinlx的图象.其中正确的命题为①③•(填序号)解析：本题考查三角函数的图象和性质的应用.Xx) = sin2x— cos2x=迈sin(2x—中)，所以最小正周期T=n,①正确；当x=中时，局) =^sin(2xf—彳)=^sin扌，不是最值，所以②错误;/(£)=也sin(2x£TT TT-^)=0,所以③正确；将几力的图象向左平移扌个单位长度，得到y =^sin[2(x+f)—f]=^sin(2x+》)的图象，所以④错误.综上，正确的命题为①③.三、解答题(共70分)17.(本小题10分)已知严・=—1,求下列各式的值：tana—1sina—3cosa⑴ sina+cosa '(2)sin2a+sinacosa+2.解：由已知得tana=g.(2)sin 2a + sinacosa + 2 = 3sin 2a + sinacosa + 2cos 2a = 3sin2a+sinacosa+2cos2(z 3tan2a+tana+2 sin 2a+cos% tan 2a +1 18. (本小题12分)已知\a\=2\b\=2,且向量a 在向量万的方向上 的投影为一1.(1) 求a 与万的夹角&；(2) 求(a —2万)•力解：(1)由题意知，|a|=2, |方| = 1, |a|cos0= —1, .\a-b=\a\\b\cos0 = -\b\ = ~l, •••cos&=储±由于 0W [0,兀],0= 2 ・(2)(a —2b)・b = a ・b — 2b 2 = — 1—2= —3.19. (本小题 12 分)已知函数 y=Asin(cox +°)(A 〉0, co>0, |^|<TI ) 的一段图象如图所示.2_\、 -(1) 求函数的解析式； (2) 求这个函数的单调递增区间.T 3 7T ( 71、 71解：(1)由图象可知 A =2, 2=~8~—[ —gj = 2? T =TI , 69 = 2，•*. y=2sin(2x+^),I JI ］ ( JI］ 兀 JT 将点I —g, 2丿代入得 2sinl — 1=2.—才+卩=2加+㊁(RWZ).sina -3cosa⑴ sina+cosatana+1 2+1 5 3' 3X(|)2+|+2 M+l 13 y-tana -3V |^|<7I, ：.(p=-^.函数的解析式为y=2sin〔2x+才J.71 3兀71571 71(2)由2£兀一㊁02%+丁£2加+㊁伙WZ).得kit—飞WxWkit—g伙EZ).函数y=2sin(2x+¥|的单调递增区间为［刼一普，刼一£］伙UZ).JT20.(本小题12 分)已知函数J(x)=Acos(cox+°)(A>0, co>0,0<(p<-^) 的图象过点(0,》，最小正周期为¥，且最小值为一1.(1)求函数尢)的解析式；(2)若用［自m］,»的值域是［―1,—当，求加的取值范围.解：⑴由函数沧)的最小值为一1,可得A=l.2兀因为函数拒)的最小正周期为丁，所以co=3.可得/(x) = cos(3x+0),1 1 兀因为函数/(兀)的图象过点(0,㊁)，所以cos(p=q,又因为0<(p<^,JI兀所以爭=3，故/(x) = cos(3_¥+g).(2)由彳0弓"，可知普W3x+賽3加+彳，7? 7兀又结合函数y=cosx的图象，只需TI W3加石，所以加的取值范围为［普，器］.21.（本小题12分）已知在锐角三角形ABC 中，sin （A+sin （A(2)设AB=3,求AB 边上的高.3i解：(1) J sin(A + B) = § , sin(A 一 B) = § ,sinAcosB+cos4sinB=§,VsinAcosB —cosAsinB=g, n , 3 , 3 m tanA+tanfi(2)： 2<A+B<TI , sm(A+B)=§, .•.tan(A+B)=—才，即]乜仙玄迪 34,CD CD 3CD tanA tanB -2+^/6J\'AB=3, :.CD=2+\[6, 边上的高为 2+^6.本小题 12 分)已知向量 a=(cosc9%—sincvx,sincox),b=(— costvx —sincux,2-\/3coscvx),设函数f^x)=a-b +/l(xGR)的图象关于直线 X = Tl 对称，其中ft),久为常数，且tuwg, J.（1）求函数/U ）的最小正周期；⑵若y=fi.x ）的图象经过点o ］求函数张）在区间0,普上的tanAtanB ;sinAcosB=g, V cosAsinB=§, 又 tanA = 2tanB, 2tan 25—4tanB —1=0, 解得 ta.nB=^±^,2+yj6tanB=~2_ 设AB 边上的高为CD,则AB=AD+DB值域.角军：(l)/(x) = sin2&zx —cos2ftzx+2羽sin&n>coscyx+%= — cos2(yx+ •\/3sin2(wx+7l=2sin^2cox —^+>1.由直线x=n 是y=/U)的图象的一条对称轴，可得sin (2c97i —打= ±1.兀 兀 k 1所以2(071—&=刼+㊁伙UZ).即69=空+3伙WZ).又 69丘(*, 1),胆Z.所以 k=l,故 C9=|.所以 f(x) = 2sin|jx —+ 久，所以几力的最小正周期是丁.(2)由尸幷)的图象过点仔,0),得閱=0,即久=—2sin[|x 扌一划» 一- 3兀 丿灯 7T 一- 5 兀 一,5兀 * > 1 — . (5 7L )一,由OWxW 亍 侍一石£罗—石£石・所以一2smlI< 1.上的值域为[—1 一书,2—^/2].tana — 115. 函数»=2COS 2X +sin2x 的最小值是1—迈. 所以一1 —7^W2sin|71 一返W2—迈，故函数沧)在[0, y]。
模块质量评估(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知α是第二象限角，sin α＝513，则cos α＝( )A ．－1213B ．－513C.513D.1213解析： ∵α为第二象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－1213.答案： A2．已知扇形的周长为8 cm ，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为( ) A ．4 cm 2 B ．6 cm 2 C ．8 cm 2D ．16 cm 2解析： 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝8，l ＝2r .解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2，l ＝4.所以S ＝12lr ＝4(cm 2)．答案： A3．已知sin(π＋α)＝45，且α是第四象限角，则cos(α－2π)的值是( )A ．－35B.35 C ．±35D.45解析： 由已知sin α＝－45，而α为第四象限角，所以cos α＝1－⎝⎛⎭⎫－452＝35， 所以cos(α－2π)＝cos α＝35.答案： B4．已知α是锐角，a ＝⎝⎛⎭⎫34，sin α，b ＝⎝⎛⎭⎫cos α，13，且a ∥b ，则α为( ) A ．15° B ．45° C ．75°D ．15°或75°解析： ∵a ∥b ，∴sin α·cos α＝34×13，即sin 2α＝12.又∵α为锐角，∴0°＜2α＜180°. ∴2α＝30°或2α＝150°. 即α＝15°或α＝75°. 答案： D5．已知e 1，e 2是夹角为60°的两个单位向量，若a ＝e 1＋e 2，b ＝－4e 1＋2e 2, 则a 与b 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析： 依据题意a ·b ＝－3，|a |·|b |＝3×23＝6，cos 〈a ，b 〉＝－12，故a 与b 的夹角为120°.答案： C6．已知cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝－35，且x 是第三象限角，则1＋tan x 1－tan x 的值为( )A ．－34B ．－43C.34D.43解析： 因为x 是第三象限角，所以π＋2k π＜x ＜3π2＋2k π，k ∈Z ，所以5π4＋2k π＜x ＋π4＜7π4＋2k π，k ∈Z ，所以sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＜0，而cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝－35，所以sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝－1－cos 2⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝－45，故1＋tan x 1－tan x ＝tanπ4＋tan x1－tan π4·tan x＝tan ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝43，选D.答案： D7．将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )A.3π4B.π4 C ．0D ．－π4解析： y ＝sin(2x ＋φ)――――――→向左平移π8个单位 y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π8＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋φ.当φ＝3π4时，y ＝sin(2x ＋π)＝－sin 2x ，为奇函数；当φ＝π4时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝cos 2x ，为偶函数；当φ＝0时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，为非奇非偶函数；当φ＝－π4时，y ＝sin 2x ，为奇函数．故选B.答案： B8．函数y ＝x cos x ＋sin x 的图象大致为( )解析： 当x ＝π2时，y ＝1＞0，排除C.当x ＝－π2时，y ＝－1，排除B ；或利用y ＝x cos x ＋sin x 为奇函数，图象关于原点对称，排除B.当x ＝π时，y ＝－π＜0，排除A.故选D. 答案： D9．已知|p |＝22，|q |＝3，p ，q 的夹角为π4，如图所示，若AB →＝5p ＋2q ，AC →＝p －3q ，D 为BC 的中点，则|AD →|为( )A.152B.152C ．7D ．18解析： ∵AD →＝12(AC →＋AB →)＝12(5p ＋2q ＋p －3q )＝12(6p －q )，∴|AD →|＝|AD →|2＝12（6p －q ）2＝1236p 2－12p ·q ＋q 2 ＝1236×（22）2－12×22×3×cosπ4＋32＝152. 答案： A10．给出以下命题：①若α、β均为第一象限角，且α＞β，则sin α＞sin β； ②若函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫ax －π3的最小正周期是4π，则a ＝12；③函数y ＝sin 2x －sin xsin x －1是奇函数；④函数y ＝|sin x －12|的周期是π；⑤函数y ＝sin x ＋sin|x |的值域是[0，2]． 其中正确命题的个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1D ．0解析： 对于①来说，取α＝390°，β＝60°，均为第一象限角，而sin 60°＝32，sin 390°＝sin 30°＝12，故sin α＜sin β，故①错误；对于②，由三角函数的最小正周期公式T ＝2π|a |＝4π，得a ＝±12，故②错误；对于③，该函数的定义域为{x |sin x －1≠0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠π2＋2k π，k ∈Z ，因定义域不关于原点对称，故没有奇偶性，故③错误；对于④，记f (x )＝|sin x －12|.若T ＝π，则有f ⎝⎛⎭⎫－π2＝f ⎝⎛⎭⎫π2，而f ⎝⎛⎭⎫－π2＝⎪⎪⎪⎪－1－12＝1.5，f ⎝⎛⎭⎫π2＝⎪⎪⎪⎪1－12＝0.5，显然不相等，故④错误；对于⑤，y ＝sin x ＋sin |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧0 （x ＜0）2sin x （x ≥0），而当f (x )＝2sinx (x ≥0)时，－2≤2sin x ≤2，故函数y ＝sin x ＋sin |x |的值域为[－2，2]，故⑤错误；综上可知选D.答案： D11．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，x ≥0)的部分图象如图所示，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (11)的值等于( )A ．2B ．2＋ 2C ．2＋2 2D ．－2－2 2解析： 由图象可知，函数的振幅为2，初相为0，周期为8，则A ＝2，φ＝0，2πω＝8，从而f (x )＝2sinπ4x . ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (11)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＝2sin π4＋2sin π2＋2sin 3π4＝2＋2 2. 答案： C12．已知3a ＋4b ＋5c ＝0，且|a |＝|b |＝|c |＝1，则a ·(b ＋c )＝( ) A ．0 B ．－35C.35D ．－45解析： 由3a ＋4b ＋5c ＝0，得向量3a ，4b ，5c 能组成三角形，又|a |＝|b |＝|c |＝1，所以三角形的三边长分别是3，4，5，故三角形为直角三角形，且a ⊥b ，所以a ·(b ＋c )＝a ·c ＝－35.答案： B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上) 13．在平面直角坐标系xOy 中，已知OA →＝(－1，t )，OB →＝(2，2)．若∠ABO ＝90°，则实数t 的值为________．解析： ∵∠ABO ＝90°，∴AB →⊥OB →，∴OB →·AB →＝0. 又AB →＝OB →－OA →＝(2，2)－(－1，t )＝(3，2－t )， ∴(2，2)·(3，2－t )＝6＋2(2－t )＝0. ∴t ＝5. 答案： 514．已知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，若cos α＝35(0＜α＜π2)，则f (α＋π12)＝________．解析： 因为cos α＝35⎝⎛⎭⎫0＜α＜π2，所以sin α＝45； f ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝22(sin α＋cos α)＝7210.答案：721015．函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x 在区间⎣⎡⎦⎤π4，π2上的最大值是________．解析： 由f (x )＝1－cos 2x 2＋32sin 2x＝12＋sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. ∵π4≤x ≤π2⇒π3≤2x －π6≤5π6， ∴f (x )max ＝12＋1＝32.答案： 3216．有下列四个命题：①若α、β均为第一象限角，且α＞β，则sin α＞sin β； ②若函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫ax －π3的最小正周期是4π，则a ＝12；③函数y ＝sin 2x －sin xsin x －1是奇函数；④函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2在[0，π]上是增函数．其中正确命题的序号为________．解析： α＝390°＞30°＝β，但sin α＝sin β，所以①不正确； 函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫ax －π3的最小正周期为T ＝2π|a |＝4π，所以|a |＝12，a ＝±12，因此②不正确；③中函数定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠2k π＋π2，k ∈Z ，显然不关于原点对称，所以③不正确；由于函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝－cos x ，它在(0，π)上单调递增，因此④正确． 答案： ④三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为θ. (1)若a ∥b ，求a ·b ； (2)若a －b 与a 垂直，求θ.解析： (1)∵a ∥b ，∴θ＝0°或180°， ∴a ·b ＝|a ||b |cos θ＝±2.(2)∵a －b 与a 垂直，∴(a －b )·a ＝0， 即|a |2－a ·b ＝1－2cos θ＝0， ∴cos θ＝22. 又0°≤θ≤180°，∴θ＝45°.18．(本小题满分12分)已知tan α＝12，求1＋2sin （π－α）cos （－2π－α）sin 2（－α）－sin2⎝⎛⎭⎫5π2－α的值．解析： 原式＝1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝（sin α＋cos α）2（sin α－cos α）（sin α＋cos α） ＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1，又∵tan α＝12，∴原式＝12＋112－1＝－3.19．(本小题满分12分)已知a ＝(cos 2α，sin α)，b ＝(1，2sin α－1)，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，a ·b ＝25，求52sin 2α－4cos ⎝⎛⎭⎫α＋π42cos2α2.解析： ∵a ·b ＝cos 2α＋sin α(2sin α－1) ＝cos 2α＋2sin 2α－sin α ＝1－sin α＝25，∴sin α＝35.∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴cos α＝－45，∴sin 2α＝2sin αcos α＝－2425，∴52sin 2α－4cos ⎝⎛⎭⎫α＋π42cos 2α2＝52sin 2α－22（cos α－sin α）1＋cos α＝52×⎝⎛⎭⎫－2425－22⎝⎛⎭⎫－45－351－45＝－10 2.20．(本小题满分12分)已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0＜β＜α＜π. (1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0，1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值． 解析： (1)证明：由题意得|a －b |2＝2， 即(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝2. 又∵a 2＝b 2＝|a |2＝|b |2＝1， ∴2－2a ·b ＝2，即a ·b ＝0，故a ⊥b .(2)∵a ＋b ＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0，1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋cos β＝0，sin α＋sin β＝1， 由此得，cos α＝cos(π－β)，由0＜β＜π，得0＜π－β＜π. 又∵0＜α＜π，∴α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1， 得sin α＝sin β＝12，而α＞β，∴α＝5π6，β＝π6.21．(本小题满分13分)已知函数f (x )＝2cos x ·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－3sin 2x ＋sin x ·cos x .(1)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，求f (x )的值域；(2)用五点法在下图中作出y ＝f (x )在闭区间⎣⎡⎦⎤－π6，5π6上的简图．解析： f (x )＝2cos x ·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－3sin 2x ＋sin x cos x＝2cos x ⎝⎛⎭⎫sin x cosπ3＋cos x sin π3－3·sin 2x ＋sin x cos x ＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.(1)∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴π3≤2x ＋π3≤4π3，∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤1，∴当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )的值域为[－3，2]． (2)由T ＝2π2，得T ＝π，列表：22．(本小题满分13分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0，|φ|<⎭⎫π2的最大值为22，最小值为－2，周期为π，且图象过⎝⎛⎭⎫0，－24. (1)求函数f (x )的解析式； (2)求函数f (x )的单调递增区间．解析： (1)∵f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的最大值为22，最小值为－2， ∴A ＝322，B ＝22.又∵f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的周期为π， ∴T ＝2πω＝π，即ω＝2.∴f (x )＝322sin(2x ＋φ)＋22.又∵函数f (x )过⎝⎛⎭⎫0，－24，∴－24＝322sin φ＋22，即sin φ＝－12.又∵|φ|<π2，∴φ＝－π6，∴f (x )＝322sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋22.(2)令t ＝2x －π6，则y ＝322sin t ＋22，其增区间为：⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2，k ∈Z . 即2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z .解得k π－π6≤x ≤k π＋π3.所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3，k ∈Z .。
学期综合测评对应学生用书Ｐ１01 本试卷分第Ⅰ卷（选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分150分,考试时间１20分钟.第Ⅰ卷 (选择题,共60分）一、选择题(本大题共12小题,每小题５分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)１.已知角α的终边经过点P(4，-3),则2si ｎα＋cos α的值等于( )A .－错误! Ｂ.错误! C ．错误!未定义书签。
Ｄ．-错误!未定义书签。
答案 D解析 据三角函数的定义可知sin α＝－错误!,co ｓα＝错误!,∴2s ｉn α＋co ｓα＝－错误!未定义书签。
+４5＝－错误!未定义书签。
.２．若一个圆的半径变为原来的一半,而弧长变为原来的错误!未定义书签。
倍，则该弧所对的圆心角是原来的( ) A .错误!未定义书签。
Ｂ.2倍 C ．13 D ．３倍答案 D解析 设圆弧的半径为r ，弧长为l,其弧度数为错误!，将半径变为原来的一半，弧长变为原来的32倍，则弧度数变为错误!=3·错误!,即弧度数变为原来的3倍,故选D ． 3．已知sin (π+α)＝错误!，则co ｓ2α=（ )ﻬA .79B .-错误!未定义书签。
C ．－错误!未定义书签。
D .错误! 答案 A解析 因为ｓin (π+α)＝错误!未定义书签。
,所以sin α＝－错误!未定义书签。
,所以cos 2α＝１-2sin ２α＝1－2×－132＝错误!未定义书签。
．4．若|a |＝2sin １5°，｜b ｜=4co ｓ15°,且a 与b 的夹角为3０°,则a ·b 的值为( )A ．＼f(１,2) Ｂ．错误! C.错误! D ．２错误!未定义书签。
答案 C解析 a·ｂ=|ａ|｜b |c ｏs3０°=2sin15°·4co ｓ１5°·c ｏs30°=2sin60°＝错误!未定义书签。
阶段质量检测(二)(A 卷 学业水平达标) (时间：90分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．在五边形ABCDE 中(如图)，AB ＋BC －DC ＝( )A ．ACB ．ADC ．BD D ．BE答案：B2．(全国大纲卷)已知向量m ＝(λ＋1,1), n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝( ) A ．－4 B ．－3 C ．－2 D ．－1 答案：B3．若|a |＝2，|b |＝2，且(a －b )⊥a ，则a 与b 的夹角是( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2 答案：B4．在△ABC 中，D 为BC 边的中点，已知AB ＝a ，AC ＝b ，则下列向量中与AD 同向的是( )A.a ＋b |a ＋b |B.a |a |＋b |b |C.a －b |a －b |D.a |a |－a|b |答案：A5．已知边长为1的正三角形ABC 中，BC ·CA ＋CA ·AB ＋AB ·BC 的值为( ) A.12 B ．－12C.32 D ．－32答案：D6．已知平面内不共线的四点O ，A ，B ，C 满足OB ＝13OA ＋23OC ，则|AB |∶|BC |＝( )A ．1∶3B ．3∶1C ．1∶2D ．2∶1答案：D7．P 是△ABC 所在平面上一点，若PA ·PB ＝PB ·PC ＝PC ·PA ，则P 是△ABC 的( )A ．内心B ．外心C ．垂心D ．重心 答案：C8．已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是( )A ．1B ．2 C. 2 D.22答案：C9．在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ⊥AB ，∠B ＝45°，AB ＝2CD ＝2，M 为腰BC 的中点，则MA ·MD ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案：B10.如图，半圆的直径AB ＝6，O 为圆心，C 为半圆上不同于A ，B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则(PA ＋PB )·PC 的最小值是( ) A.92 B ．9 C ．－92 D ．－9 答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．在直角坐标系xOy 中，AB ＝(2,1)，AC ＝(3，k )，若三角形ABC 是直角三角形，则k 的值为________．答案：－6或－112．在边长为2的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点，则AE ·BD ＝________. 答案：113．如图，OM ∥AB ，点P 在由射线OM ，线段OB 及AB 的延长线围成的区域(不含边界)内运动，且OP ＝x OA ＋y OB ，则x 的取值范围是______．当x ＝－12时，y 的取值范围是________．答案：(－∞，0) ⎝⎛⎭⎫12，3214．在平面直角坐标系中，若O 为坐标原点，则A ，B ，C 三点在同一直线上的等价条件为存在唯一实数λ，使得OC ＝λOA ＋(1－λ)OB 成立，此时称实数λ为“向量OC 关于OA 和OB 的终点共线分解系数”．若已知P 1(3,1)，P 2(－1,3)，且向量3OP 与向量a ＝(1,1)垂直，则“向量3OP 关于1OP 和2OP 的终点共线分解系数”为________．答案：－1三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分12分)已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )，x ∈R. (1)若a ⊥b ，求x 的值； (2)若a ∥b ，求|a －b |. 解：(1)若a ⊥b ，则a ·b ＝(1，x )·(2x ＋3，－x ) ＝1×(2x ＋3)＋x (－x )＝0.整理得x 2－2x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝3. (2)若a ∥b ，则有1×(－x )－x (2x ＋3)＝0， 即x (2x ＋4)＝0， 解得x ＝0或x ＝－2.当x ＝0时，a ＝(1,0)，b ＝(3,0)， ∴a －b ＝(－2,0)，|a －b |＝2；当x ＝－2时，a ＝(1，－2)，b ＝(－1,2)， ∴a －b ＝(2，－4)， ∴|a －b |＝4＋16＝2 5. 综上所述，|a －b |为2或2 5.16．(本小题满分12分)如图，平行四边形ABCD 中，AB ＝a ，AD ＝b ，H ，M 分别是AD ，DC 的中点，BF ＝13BC .(1)以a ，b 为基底表示向量AM 与HF ；(2)若|a |＝3，|b |＝4，a 与b 的夹角为120°，求AM ·HF . 解：(1)∵M 为DC 的中点， ∴DM ＝12DC ，又DC ＝AB ，∴AM ＝AD ＋DM ＝AD ＋12AB ＝12a ＋b ，∵H 为AD 的中点，BF ＝13BC ，BC ＝AD ，∴AH ＝12AD ，BF ＝13AD ，∴HF ＝HA ＋AB ＋BF ＝－12AD ＋AB ＋13AD＝AB －16AD ＝a －16b .(2)由已知得a ·b ＝3×4×cos 120°＝－6， AM ·HF ＝⎝⎛⎭⎫12a ＋b ·⎝⎛⎭⎫a －16b ＝12a 2＋⎝⎛⎭⎫1－112a ·b －16b 2 ＝12×32＋1112×(－6)－16×42 ＝－113.17．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2，－1)．(1)求以线段AB ，AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t 满足(AB －t OC )·OC ＝0，求t 的值． 解：(1)由题设知AB ＝(3,5)，AC ＝(－1,1)， 则AB ＋AC ＝(2,6)，AB －AC ＝(4,4)． 所以|AB ＋AC |＝210，|AB －AC |＝4 2. 故所求的两条对角线长分别为42，210. (2)由题设知OC ＝(－2，－1)，AB －t OC ＝(3＋2t,5＋t )． 由(AB －t OC )·OC ＝0， 得(3＋2t,5＋t )·(－2，－1)＝0， 即(3＋2t )×(－2)＋(5＋t )×(－1)＝0， 从而5t ＝－11，所以t ＝－115.18．(本小题满分14分)已知e 1，e 2是平面内两个不共线的非零向量，AB ＝2e 1＋e 2，BE ＝－e 1＋λe 2，EC ＝－2e 1＋e 2，且A ，E ，C 三点共线．(1)求实数λ的值；(2)若e 1＝(2,1)，e 2＝(2，－2)，求BC 的坐标；(3)已知D (3,5)，在(2)的条件下，若A ，B ，C ，D 四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A 的坐标．解：(1)AE ＝AB ＋BE ＝(2e 1＋e 2)＋(－e 1＋λe 2)＝e 1＋(1＋λ)e 2. ∵A ，E ，C 三点共线，∴存在实数k ，使得AE ＝k EC ，即e 1＋(1＋λ)e 2＝k (－2e 1＋e 2)，得(1＋2k )e 1＝(k －1－λ)e 2. ∵e 1，e 2是平面内两个不共线的非零向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋2k ＝0，λ＝k －1，解得k ＝－12，λ＝－32.(2)BC ＝BE ＋EC ＝－3e 1－12e 2＝(－6，－3)＋(－1,1)＝(－7，－2)．(3)∵A ，B ，C ，D 四点按逆时针顺序构成平行四边形， ∴AD ＝BC .设A (x ，y )，则AD ＝(3－x,5－y )， ∵BC ＝(－7，－2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3－x ＝－7，5－y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10，y ＝7， 即点A 的坐标为(10,7)．(B 卷 能力素养提升)(时间：90分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．化简AC －BD ＋CD －AB 得( ) A ．ABB ．DAC ．BCD ．0解析：选D AC －BD ＋CD －AB ＝AC ＋CD －(AB ＋BD )＝AD －AD ＝0.2．已知向量a 与b 的夹角为π3，|a |＝2，则a 在b 方向上的投影为( )A. 3B. 2C.22 D.32解析：选C a 在b 方向上的投影为|a |·cos 〈a ，b 〉＝2cos π3＝22.选C.3．向量BA ＝(4，－3)，BC ＝(2，－4)，则△ABC 的形状为( ) A ．等腰非直角三角形 B ．等边三角形 C ．直角非等腰三角形 D ．等腰直角三角形解析：选C AC ＝BC －BA ＝(2，－4)－(4，－3)＝(－2，－1)，而AC ·BC ＝(－2，－1)·(2，－4)＝0，所以AC ⊥BC ，又|AC |≠|BC |，所以△ABC 是直角非等腰三角形．故选C.4．若OF 1＝(2,2)，OF 2＝(－2,3)分别表示F 1，F 2，则|F 1＋F 2|为( ) A ．(0,5) B ．25 C ．2 2D ．5解析：选D ∵F 1＋F 2＝(0,5)，∴|F 1＋F 2|＝02＋52＝5. 5．若向量a ，b ，c 满足a ∥b 且a ⊥c ，则c ·(a ＋2b )＝( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．0解析：选D 由a ∥b 及a ⊥c ，得b ⊥c ，则c ·(a ＋2b )＝c ·a ＋2c ·b ＝0.6．(广东高考)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ＝( ) A.14 B.12 C ．1D ．2解析：选C 可得a ＋λb ＝(1＋λ，2)，由(a ＋λb )∥c 得(1＋λ)×4－3×2＝0，∴λ＝12.7．平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |等于( ) A. 3 B ．2 3 C ．4D ．12解析：选B 因为|a |＝2，|b |＝1， ∴a ·b ＝2×1×cos 60°＝1.∴|a ＋2b |＝a 2＋4×a ·b ＋4b 2＝2 3.8．如图，非零向量OA ＝a ，|a |＝2，OB ＝b ，a ·b ＝1，且BC ⊥OA ，C 为垂足，若OC ＝λa ，则λ为( )A.12B.13C.14D ．2解析：选C 设a 与b 的夹角为θ.∵|OC |就是OB 在OA 上的投影|b |cos θ，∴|OC |＝|b | cos θ＝a ·b |a |＝λ|a |，即λ＝a ·b |a |2＝14，故选C. 9．若e 1，e 2是平面内夹角为60°的两个单位向量，则向量a ＝2e 1＋e 2与b ＝－3e 1＋2e 2的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°解析：选D e 1·e 2＝|e 1||e 2|cos 60°＝12，a ·b ＝(2e 1＋e 2)·(－3e 1＋2e 2)＝－72，|a |＝(2e 1＋e 2)2＝4＋4e 1·e 2＋1＝7，|b |＝(－3e 1＋2e 2)2＝9－12e 1·e 2＋4＝7，所以a ，b 的夹角的余弦值为cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－727×7＝－12，所以〈a ，b 〉＝120°.故选D.10．在△ABC 中，已知向量AB 与AC 满足AB |AB |＋AC |AC |·BC ＝0且AB |AB |·AC |AC |＝12，则△ABC 为( )A ．三边均不相等的三角形B ．直角三角形C ．等腰非等边三角形D ．等边三角形解析：选D 非零向量AB 与AC 满足⎝ ⎛⎭⎪⎫AB |AB |＋AC | AC |·BC ＝0，即∠A 的平分线垂直于BC ，∴AB ＝AC .又cos A＝AB|AB|·AC|AC|＝12，∴∠A＝π3，所以△ABC为等边三角形，选D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．若向量AB＝(3，－1)，n＝(2,1)，且n·AC＝7，那么n·BC＝________.解析：n·BC＝n·(AC－AB)＝n·AC－n·AB＝7－5＝2.答案：212．已知a，b的夹角为θ，|a|＝2，|b|＝1，则a·b的取值范围为________．解析：∵a·b＝|a||b|cos θ＝2cos θ，又∵θ∈[0，π]，∴cos θ∈[－1,1]，即a·b∈[－2,2]．答案：[－2,2]13．如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP＝3，则AP·AC＝________.解析：设AC∩BD＝O，则AC＝2(AB＋BO)，AP·AC＝AP·2(AB＋BO)＝2AP·AB＋2AP·BO＝2AP·AB＝2AP·(AP＋PB)＝2|AP|2＝18.答案：1814．关于平面向量a，b，c，有下列三个命题：①若a·b＝a·c，则b＝c；②若a＝(1，k)，b＝(－2,6)，a∥b，则k＝－3；③非零向量a和b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为60°，其中真命题的序号为________．(写出所有真命题的序号)解析：①a·b＝a·c⇔a·(b－c)＝0，表明a与b－c向量垂直，不一定有b＝c，所以①不正确；对于②，当a∥b时，1×6＋2k＝0，则k＝－3，所以②正确；结合平行四边形法则知，若|a|＝|b|＝|a－b|，则|a|，|b|，|a－b|可构成一正三角形，那么a＋b与a的夹角为30°，而非60°，所以③错误．答案：②三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)已知OA＝a，OB＝b，对于任意点M关于A点的对称点为S，S点关于B点的对称点为N.(1)用a，b表示向量MN；(2)设|a|＝1，|b|＝2，|MN|∈[23，27]，求a与b的夹角θ的取值范围．解：(1)依题意，知A 为MS 的中点，B 为NS 的中点． ∴SN ＝2SB ，SM ＝2SA .∴MN ＝SN －SM ＝2(SB －SA )＝2AB ＝2(OB －OA )＝2(b －a )． (2)∵|MN |∈[23，27]，∴MN 2∈[12,28]，∴12≤4(b －a )2≤28. ∴3≤4＋1－2a ·b ≤7，∴－1≤a ·b ≤1. ∵cos θ＝a ·b |a ||b |＝a ·b 2，∴－12≤cos θ≤12. ∵0≤θ≤π，∴π3≤θ≤2π3，即θ的取值范围为⎣⎡⎦⎤π3，2π3. 16．(本小题满分12分)已知在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠CDA ＝∠DAB ＝90°，CD ＝DA ＝12AB .求证：AC ⊥BC .证明：以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，如图，设AD ＝1，则A (0,0)，B (2,0)，C (1,1)，D (0,1)． ∴BC ＝(－1,1)，AC ＝(1,1)，BC ·AC ＝－1×1＋1×1＝0，∴BC ⊥AC ，∴BC ⊥AC .17．(本小题满分12分)设函数f (x )＝a ·b ，其中向量a ＝(m ，cos 2x )，b ＝(1＋sin 2x ，1)，x ∈R ，且y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫π4，2.求实数m 的值．解：f (x )＝a ·b ＝m (1＋sin 2x )＋cos 2x ， 由已知得f ⎝⎛⎭⎫π4＝m ⎝⎛⎭⎫1＋sin π2＋cos π2＝2， 解得m ＝1.18．(本小题满分14分)(1)已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61，求a 与b 的夹角； (2)设OA ＝(2,5)，OB ＝(3,1)，OC ＝(6,3)，在OC 上是否存在点M ，使MA ⊥MB ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)(2a －3b )·(2a ＋b )＝4a 2－4a ·b －3b 2＝61. ∵|a |＝4，|b |＝3， ∴a ·b ＝－6， ∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－64×3＝－12，∴θ＝120°.(2)假设存在点M ，且OM ＝λOC ＝(6λ，3λ)(0<λ≤1)， ∴MA ＝(2－6λ，5－3λ)，MB ＝(3－6λ，1－3λ)， ∴(2－6λ)×(3－6λ)＋(5－3λ)(1－3λ)＝0， ∴45λ2－48λ＋11＝0，得λ＝13或λ＝1115.∴OM ＝(2,1)或OM ＝⎝⎛⎭⎫225，115. ∴存在M (2,1)或M ⎝⎛⎭⎫225，115满足题意......................................使用本文档删除后面的即可 致力于打造全网一站式文档服务需求，为大家节约时间文档来源网络仅供参考欢迎您下载可以编辑的word文档谢谢你的下载本文档目的为企业和个人提供下载方便节省工作时间，提高工作效率，打造全网一站式精品需求!欢迎您的下载，资料仅供参考!（本文档收集于网络改编，由于文档太多，审核难免疏忽，如有侵权或雷同，告知本店马上删除）。
