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人教版数学九年级上册21.2.2 公式法 课件(共20张PPT)

人教版数学九年级上册21.2.2 公式法 课件(共20张PPT)

（1）x2-2x-1=0；
（2）2x2+7x-15=0.
自主探究
1.阅读课本9-12页.
请同学们回忆并说出利用配方法解一元二次方程的步骤.
（一移，把含有未知数的项移到等号左边，常数项移到
等号右边；二化，将二次项系数化为1；三配，等号两
边同时加上一次项系数一半的平方；四开，利用平方根
的定义把方程降次；五解，解一元一次方程）
程最多有两个实数根.
教师讲评
知识点3：用公式法解一元二次方程的一般步骤（重点）
1. 把方程化成一般形式，并写出a, b, c的值.
2. 求出b2－4ac的值.
特别注意：当b2－4ac<0时，方程无实数解；
当b2－4ac≥0时，一元二次方程才有实数根.
3. 代入求根公式 ： =
−± −
小的一个根是 ≠ ,则 + − = _________.(用含m
的代数式表示)
点拨：由题意，得
−− −

= ,
整理，得 + − = −.
【题型三】已知方程根的情况求字母系数的值或范围
例3 关于x的一元二次方程( − ) + + = 有实
(2)找出系数a，b，c，注意各项的系数包括符号.
(3)计算b2-4ac，若结果为负数，方程无解.
(4)若结果为非负数，代入求根公式，算出结果.
【教材习题】完成课本12页练习.
【实践性作业】你去文具店买笔，想知道价格，老板告诉你笔
的价格是方程2x2-3x=5的正解.你知道笔的价格是多少吗？
2.回忆用配方法解方程的一般步骤.
(1)移常数项，二次项系数化为1；(2)配方， 两边都加上一次项系数

人教版九年级上册数学 21.2解一元二次方程——21.2.2公式法 课件(共31张PPT)

人教版九年级上册数学 21.2解一元二次方程——21.2.2公式法 课件(共31张PPT)

三、合作探究，形成知识
一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，
当b2-4ac≥0时，它的根是 x b b2 4ac 2a
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式． 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法．
四、例题分析，综合应用
例：用公式法解下列方程： （1）x2-4x-7=0； 解：（1）a =1，b=-4，c=-7．
方程有两个相等的实数根
x b
2
2
2．
2a 2 2 2
即
x1 x2
2． 2
当b2－4ac=0时，x1 = x2，即 方程的两根相等．
四、例题分析，综合应用
（3）5x2 3x x 1 ；
解：方程可化为 5x2－4x－1=0． a =5，b =－4，c =－1． b2－4ac = (－4) 2－4×5×(－1) = 36＞0．
判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ=b2-4ac．
三、合作探究，形成知识
三、合作探究，形成知识
归纳： 一元二次方程的根与判别式的关系： 当 Δ＞0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根； 当 Δ=0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根； 当 Δ＜0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根．
三、合作探究，形成知识
x
b 2a
只有当
2
b2
b2 4ac （Ⅱ） 4a2
当
b
2
4ac 4a2
＜0
时，
方程有实数根吗
4ac 4a2
≥0，
即
b2-4ac≥0且a≠0
时，

人教版数学九年级上册《21.2.2 公式法》课件(共27张PPT)

人教版数学九年级上册《21.2.2 公式法》课件(共27张PPT)

∴该方程有两个实数根
巩固练习
2. 选一选.
（1）下列方程中，没有实数根的方程是（ D ）
A.x²=9
B.4x²=3(4x-1)
C.x(x+1)=1
D.2y²+6y+7=0
（2）方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根，那么总成立的式
子是（ D ）
A. b²-4ac＞0
B. b²-4ac＜0
C. b²-4ac≤0
A. k>-1 C. k<1
B. k>-1 且k≠ 0 D. k<1 且k≠0
3. 已知x2＋2x＝m－1没有实数根，求证：x2＋mx ＝1－2m必有两个不相等的实数根.
证明：∵ x2 2x m 1 0没有实数根 4-4(1-m)<0, ∴m<0
对于方程 x2＋mx＝1-2m ，即 x2 mx 2m 1 0
考点探究1 公式法解方程
例1 用公式法解方程：
（1）x2-4x-7=0；
解：∵a=1，b=-4，c=-7, ∴b2-4ac=(-4)2-4×1×(-7)=44＞0.
x 4 44 2
x1 2 11
x2 2 11
（2）2x2-2 2 x+1=0；
【思考】这里的a、b、c的值分别是什么？
解： a 2, b 2 2, c 1
人教版数学九年级上册
21.2 解一元二次方程 21.2.2 公式法
学习目标
1.理解一元二次方程求根公式的推导过程， 了解公式法的概念.
2.灵活应用△ =b²－4ac 的值识别一元
二次方程根的情况. 3.会熟练应用公式法解一元二次
方程.
探究新知
公式法的概念

最新新人教版九年级数学上册21.2.2《公式法》ppt课件学习资料

最新新人教版九年级数学上册21.2.2《公式法》ppt课件学习资料

跟踪训练 1、解方程：x2 32 3x
【解析】化简为一般式
x22 3x30
这里 a=1, b= 2 3, c= 3. ∵b2 - 4ac=( 2 )23- 4×1×3=0,
x22310223 3,
即：x1= x2= 3
中小学课件
2、解方程：（x-2)(1-3x)=6． 【解析】去括号：x-2-3x2+6x=6
化简为一般式：-3x2+7x-8=0 3x2-7x+8=0
这里 a=3, b=-7, c=8. ∵b2-4ac=(-7)2-4×3×8=49-96=-47<0, ∴原方程没有实数根.
中小学课件
归纳 用公式法解一元二次方程的一般步骤：
1、把方程化成一般形式，并写出a，b，c的值. 2、求出b2-4ac的值. 3、若b2-4ac≥0代入求根公式:
ax2+bx+c=0 (a≠0)
解析:把方程两边都除以a,
移项，得 x2 + b x= - c
a
a
配方，得 x2 + b x+( b )2=- c +( b )2
a 2a
a 2a
即 (x+
)b2 = 2a
b 2 4 ac 4a 2
中小学课件
∵4a2＞0
∴当b2-4ac≥0时, x + b =± 2a
门的高和宽各是多少?
【解析】设门的高为 x 尺，根据题意得
x2x6.82120 .
10
x
即，2x2-13.6x-53.76＝0.
解这个方程,得 x1＝9.6; x2＝-2.8(不合题意,舍去).
x-6.8
∴x-6.8=2.8． 答:门的高是9.6尺,宽是2.8尺.

初中数学人教版九年级上册《21.2.2公式法》课件

初中数学人教版九年级上册《21.2.2公式法》课件

所以 k≠0且Δ＞0，即 (-4)2-4×k×2＞0，
解得 k＜2且 k≠0，
所以k的取值范畴为 k＜2且 k≠0．
若关于 x 的一元二次方程 x2 －4x＋5＝a 有实数根，则 a 的取值范畴是D
(A． a＜1
)
B． a＞1
C． a≤1
D． a≥1
解：由于关于 x 的一元二次方程 x2－4x＋5＝a有实数根，
人教版 九年级数学上
21.2.2
公式法
用配方法解一元二次方程的一样步骤：
一移 → 二化 → 三配→ 四开．
1．了解一元二次方程根的判别式．
2．会用一元二次方程根的判别式判定根的情形．
3．能根据根的情形，肯定方程中字母系数的取值范畴．
你能用配方法解方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 吗?
移项，得
1
为 > − 4 且 ≠ 0 ．
解：由于a=m 2 ，b=2m+1，c=1，方程有两个不相等的实数根
，
所以Δ=b2-4ac=(2m+1)2-4m2=1+4m＞0，
1
所以m＞− ．
4
又由于二次项系数不为0，
所以m≠0，
1
即m＞−
4
且m≠0．
一元二次方程 ax2＋bx＋c=0(a≠0) 根的判别式 Δ＝b2－4ac．
方程转化为（x-2) 2+1= a ，要使方程成立，即a-1≥0，
解得a≥1 ，所以a的取值范畴为 a≥1 ．
一元二次方程 x2−5x＋7＝0 的根的情形是( A
A． 没有实数根
C． 有两个不相等的实数根
)
B． 有两个相等的实数根
D． 有两个实数根

人教版九年级数学上册2122公式法课件共27张

人教版九年级数学上册2122公式法课件共27张

a
a
配方
x2
?
b a
x?
?b ?? 2a
2
? ??
?
?
c a
?
?b ?? 2a
2
? ??
,
即
? ??
x
?
b 2a
2
? ? ?
?
b2 ? 4ac 4a 2
.
②
因为a≠0,4a2>0,当b2－4ac≥0时，
b2 ? 4ac 4a 2
?
0,
由②式得
x ? b ? ? b2 ? 4ac .
2a
2a
x ? ? b ? b2 ? 4ac . 2a
例2.解下列方程.
(2)2x2 ? 2 2x ? 1 ? 0;
解： a ? 2,b ? ? 2 2 ,c ? 1
Δ ? b2 ? 4ac ? (? 2 2)2 ? 4 ? 2 ? 1 ? 0
x ? ? (?2 2) ? 0 2? 2
2
x1 ? x2 ?
. 2
例2.解下列方程.
(3)5x2 ? 3x ? x ? 1; 解： 5x2 ? 4x ? 1 ? 0
由上可知，一元二次方程
ax2 ? bx ? c ? 0 （a ? 0）.
的根由方程的系数a，b，c确定．因此，解一元二次方程
时，可以先将方程化为一般形式 ax2 ? bx ? c ? 0 ，当 b2 ? 4ac ? 0 时，将a，b，c代入式子
x ? ? b ? b2 ? 4ac 2a
就得到方程的根，这个式子叫做一元二次方程的求根公 式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法，由求根 公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．
? 通过用已学的配方法解 ax2＋bx＋c = 0 （a≠0）导出解一元二次方程的求根公式，

人教版九年级上册数学课件 21.2.2 公式法(共20张PPT)


课后巩固
5．用公式法解一元二次方程3x2－2x＋3＝0时，首
先要确定a、b、c的值，下列叙述正确的是( D )
A．a＝3，b＝2，c＝3
B．a＝－3，b＝2，c＝3
C．a＝3，b＝2，c＝－3
D．a＝3，b＝－2，c＝3
6．用公式法解－x2＋3x＝1时，先求出a、b、c的值，
则a、b、c依次为( A )
____________________．
2．已知一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)． (1)当b2－4ac＞0时，方程有_两___个__不___相__等___实数根； (2)当b2－4ac＝0时，方程有___两__个___相__等____实数根； (3)当b2－4ac＜0时，方程____没__有____实数根．
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．无实数根
课后巩固
10．方程x2－6x＋10＝0的根的情况是( C )
A．两个实根和为6 B．两个实根之积为10 C．没有实数根 D．有两个相等的实数根
11．关于x的一元二次方程x2＋bx＋1＝0中，有两个 相等的实数根，则b的值是____±__2____．
8．
能力培优
15．已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－ c)＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长． (1)如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，
并说明理由；
(1)△ABC是等腰三角形， 理由：由题意，得(a＋c)×(－1)2－2b＋(a－c) ＝0，得a＝b， ∴△ABC是等腰三角形．
相等实数根
(1)求k的取值范围；
解：
(1)∵关于x的方程x2－2(k－1)x＋k2＝0有两个不

2122_一元二次方程的解法_公式法40张课件


（5） 2x2 x 3 0 （6）2x2 x 3 0
有两个实数根的方程的序号是（ （1） （4） （6））
没有实数根的方程的序号是（ （2）（3）（5））
应用1. 不解方程判断方程根的情况：
(3) x2-2kx+4(k-1)=0 (k为常数) 解：△=4 k2-16k+16
=4( k2-4k+4) =4( k-2) 2
当△>0，即
a<
5 4
时，
x
5
25 20a
2a
；
5
当△=0，即 a= 4 时，x=2；
当△<0，即
a>
5 4
时，方程无解。
这是收获的 时刻，让我 们共享学习 的成果
一、由配方法解一般的一元二
次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)
若 b2-4ac≥0 得
求根公式 : X=
这是收获的 时刻，让我 们共享学习 的成果
用配方法解 ax2 bx c （0 a 0）.
对于方程 ax2 bx c （0 a 0）.
（1）将常数项移到方程的左边，得 ax2 bx c .
（2）方程两边同除以a，得
x2 b x c
a
a
.
（3）方程两边同时加上__(_2b_a_)2__，得
x2 b x ( b )2 c ( b )2.
特别提醒 推导时必须
写
∴
x1 b
b2 2a
4ac
,
x2
b
b2 4ac . 2a
根的判别式
一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0)
解的情况由 b2 4ac 决定:
(1) 当 b2 4ac 0 时，方程有两个

21.2.2 公式法(15张ppt)


的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公
式法，由求根公式可知，一元二次方程最多有两个
实数根.
注意
三 一元二次方程根的判别式
我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根 的判别式，通常用符号“ ”表示，即 = b2-4ac.
判别式的情况
>0 =0 <0 ≥0
根的情况 两个不相等实数根 两个相等实数根 没有实数根 两个实数根
情境引入
不解方程，判断下列方程的根的情况？
5x2-4x-12=0 x2 3 2 3 x 4x2-3x+2=0
讲授新课
一 求根公式的推导
合作探究
任何一个一元二次方程都可以写成一般形式 ax2+bx+c=0 （a≠0）
能否也用配方法得出它的解呢？
用配方法解一般形式的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0).
相等的实数根，则k的取值范围是( B )
A.k>-1
B.k>-1且k≠0
C.k<1
D.k<1且k≠0
解析：由根的判别式知，方程有两个不相等的实数 根，则b2-4ac>0，同时要求二次项系数不为0， 即 (2)2 4k 0 ，k≠0.解得k>-1且k≠0，故选B.
1.不解方程，判别关于x的方程 x2 2 2kx k 2 0 的根的情况.
解： 2 2k 2 4 1 k2
8k 2 4k 2 4k 2 k2 0 4k 2 0 0
所以方程有两个实数根．
课堂小结
公式法
求根 公式
b b2 4ac x
2a

人教版数学2122《公式法解一元二次方程》(共15张PPT)

解:(1)∵a＝9，b＝－6，c＝1，∴Δ＝(－6)2－4×9×1＝0， ∴此方程有两个相等的实数根
(2)化为一般形式为8x2＋4x＋3＝0，∵a＝8，b＝4，c＝3， ∴Δ＝42－4×8×3＝－80＜0，∴此方程没有实数根
(3)化为一般形式为2x2＋5x－2＝0，∵a＝2，b＝5，c＝－2， ∴Δ＝52－4×2×(－2)＝41＞0， ∴此方程有两个不相等的实数根
值.
第10页，共15页。
知识梳理 课堂小结
1．一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实数根的条件
是 它的b求2－根4a公c≥式0 是，x＝－b±
b2－4ac 2a
.
2(1．)将用方公程式化法成解一元二一次般方形程式的；思路应是 (2)写出相应a，b，c的值，并计算Δ的值； (3)当Δ ≥0时，可直接套用公式得出方程的解．
((13))当9x2当－6xb＋2－1＝40a；c=0时时，，没有b实2－4数a4根2 a．c=0
ax2+bx+c=0（a≠0）有两个 相等 的实数根。
当
b2-4ac＜0，则
b2 4ac 4a2
＜0，此时（x+
b 2a
）2
＜0，而
x
取任何实数都不能使（x+
b 2a
）2
＜0，
因此方程 没有 实数根。
温故知新
用配方法解下列方程.
(1)6x2-7x+1=0; (2)4x2-3x+16=0.
解:(1)移项,得6x2-7x=-1,
二次项系数化为1,得 x2 7 x 1 66
配方,得 x27x49149
6 1446 144
即x
7
2
25
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0，当 b2－4ac≥0 时，将 a，b，c 代入式子 x＝－b± 2ba2－4ac就得到方 程的根．
(2)这个式子叫做一元二次方程的求根公式． (3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法． 公式的理解 (4)由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．
例 1 用公式法解下列方程： (1)2x2－x－1＝0 (2)x2＋1.5＝－3x (3)x2－ 2x＋12＝0 (4)4x2－3x＋2＝0 分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式， 然后代入公式即可． 补：(5)(x－2)(3x－5)＝0
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把 a，b，c 也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．
解：移项，得：ax2＋bx＝－c 二次项系数化为 1，得 x2＋bax＝－ca
配方，得：x2＋bax＋(2ba)2＝－ca＋(2ba)2
即(x＋2ba)2＝b2－4a42 ac
∵4a2>0，当 b2－4ac≥0 时，b2－4a42ac≥0 ∴(x＋2ba)2＝( b22－a 4ac)2
直接开平方，得：x＋2ba＝±
b2－4ac 2a
即
x＝－b±
b2－4ac 2a
∴x1＝－b＋
2ba2－4ac，x2＝－b－
b2－4ac 2a
由上可知，一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根由方程的系数 a，b，c 而定，因此：
(1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式 ax2＋bx＋c＝
21.2 解一元二次方程
21.2.2
理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会 熟练应用公式法解一元二次方程．
复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2＋bx ＋c＝0(a≠0)的求根公式的推导，并应用公式法解一元二次方程．
重点 求根公式的推导和公式法的应用． 难点 2x2＋3＝7x (老师点评)略 总结用配方法解一元二次方程的步骤(学生总结，老师点评)． (1)先将已知方程化为一般形式； (2)化二次项系数为 1； (3)常数项移到右边； (4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完 全平方式； (5)变形为(x＋p)2＝q 的形式，如果 q≥0，方程的根是 x＝－p± q； 如果 q＜0，方程无实根．
写在最后
成功的基础在于好的学习习惯
The foundation of success lies in good habits
11
结束语
当你尽了自己的最大努力时，失败也是伟大的， 所以不要放弃，坚持就是正确的。
When You Do Your Best, Failure Is Great, So Don'T Give Up, Stick To The End
一、复习引入 1．前面我们学习过解一元二次方程的“直接开平方法”，比如， 方程 (1)x2＝4 (2)(x－2)2＝7 提问1 这种解法的(理论)依据是什么？ 提问2 这种解法的局限性是什么？(只对那种“平方式等于非负 数”的特殊二次方程有效，不能实施于一般形式的二次方程．) 2．面对这种局限性，怎么办？(使用配方法，把一般形式的二次 方程配方成能够“直接开平方”的形式．)
二、探索新知 用配方法解方程： (1)ax2－7x＋3＝0 (2)ax2＋bx＋3＝0 如果这个一元二次方程是一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，你能否用 上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．
问题：已知 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，试推导它的两个根 x1＝ －b＋ 2ba2－4ac，x2＝－b－ 2ba2－4ac(这个方程一定有解吗？什么情 况下有解？)