数字信号处理-性能函数及最陡下降法

第二章2．1已知x 是一平稳随机信号，取1、0、-1三个值的概率相等。

用x 对载波)(n c 进行调制后在噪声信道中传输。

接受信号为M n n v n xc n y ,,1,0 ),()()( =+=式中)(n v 是方差为σ2v的零均值白色高斯噪声，与x 相互独立。

上式用矢量表示为v c x y +=（1） 求条件概率函数)/()/(x y f y x f和。

（2） 由y求x 的四种估计：最大后验概率估计x MAP ˆ，最大似然估计x ML ˆ，最小均方误差估计x MS ˆ，最小线性均方误差估计xLMSˆ。

并用图形对它们进行比较。

解：（1）先求)/(x y f ，显然在这种情况下，y是一个1+M 的正态随机矢量，,][/c x v c x E mxy =+=I m m M v T T Txy x y xy v v E c x v c x c x v c x E y y E 12///][ ]))([( ]))([(+==-+-+=--=∑σ)]()(1exp[)2( )](1)(21exp[][)2(1)/(222/)1(21221)1(221c x y c x y c x y c x y vx y f T vM v M vT M M I---=---=+-+++σσσσππ求)/(y x f。

)/(y x P =)()()/()(),(y f x P x y f y f y x f= 已知)1(31)(31)1(31)(-+++=x x x x P δδδ简记)/()/(a y f a x y f ==根据全概率公式，得：)]1/()0/()1/([31 )1()1/( )0()0/()1()1/()()(=≤+=≤+-=≤===≤+==≤+-=-=≤=≤=∴x y Y P x y Y P x y Y P x P x y Y P x P x y Y P x P x y Y P y Y P y F)]1/()0/()1/([31)()(-++==y f y f y f y d y dF y f记)1/()0/()1/(ˆ-++=y f y f y f A，则 Ay f y x P A y f y x P Ay f A y f y x P )1/()/1(,)0/()/0()1/(31)1/(31)/1(====-=-=-=同理： 由)/(y x P 的分布律，我们可以容易得到)/(y x fA x y f x y f x y f y x f /)]1()1/()()0/()1()1/([)/(-+++-=δδδ（2） 求最大似然估计xMLˆ已知：0ˆ)/(ln(=∂∂=x x x y f M Lxy cc yc c c x y c c c x y c x y c xc x y c x y xc x y c x y T T ML T T vT T v T vT vM vx ===-=-----=∂---∂=∂---∂∴+-ˆ0)(1])()([21)]()(21[)]}()(21exp[)2ln{(ˆ2222212解得：σσσσσπ求最小均方误差估计xMSˆ)2(2)2(2]2exp[]2exp[]exp[]2exp[]2exp[2,2, ]exp[]exp[]exp[]exp[]exp[ ]21exp[ )]2(21exp[)]2(21exp[)]2(21exp[)]2(21exp[ )]2(21exp[1 )]2(21exp[1)]1/()1/([1 )]1()1/()()0/()1()1/([)/(22222222222222y a ch y a sh y a y a a y a y a y a yc c c a c c y c y c c y c y c y c y c y y y c c c y y y c c c y y y c c c y y y c c c y y A y c c c y y A y c c c y y A y f y f A A x y f x y f x y f x dx y x xf exav T vT T T vT vT vT vT vT T v TT T v T T T v T T T vTT T v T T T vT T T vML +=-++--====++-=-+++-+-+-++---+-++---+-=--=-+++-==⎰⎰∞∞=∞∞=则原式则令代入将σσσσσσσσσσσσσσδδδ求线性均方误差最小估计xLMSˆ已知)]([)])[var(,cov()(1ˆy E y y y x x E xLMS-+=-① 0)(=x E ， ②Tx T T T T T cv x c x x E y E x E y x E y E y x E x E y x σ2)]([ )()()(]))())(([(),cov(=+=-=--= ③I M v T x T T T T c c v c x v c x E y y E y E y y E y E y 122)])([( )(]))())(([()var(++=++==--=σσ 将I IM =+ˆ1σσσσσσσσσσσ212221121][ ])1[()][var(vT x x vT x x vvT x x vI c I c I c c IIc I c I y----+-=+=利用矩阵反演公式④ y y E y=-)(∴yc c cc c c y c c c c y c c c c c c y c c c c c c y c c cc c y E y y y x x E xvT T TvTxv vxTvTxvTxvTx xTTvTxvvxvTxvT x vTvx vT x LMSxσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσ22222222224222222222222242221 )( )(][ ][ ]1[ )]([)])[var(,cov()(ˆ+=+=+-+=+-=+-=-+=-题2。

实验一 信号、系统及系统响应一、实验目的1、熟悉理想采样的性质，了解信号采样前后的频谱变化，加深对时域采样定理的理解。

2、熟悉离散信号和系统的时域特性。

3、熟悉线性卷积的计算编程方法：利用卷积的方法，观察、分析系统响应的时域特性。

4、掌握序列傅里叶变换的计算机实现方法，利用序列的傅里叶变换对离散信号、系统及其系统响应进行频域分析。

二、 实验原理1.理想采样序列：对信号x a (t)=A e −αt sin(Ω0t )u(t)进行理想采样，可以得到一个理想的采样信号序列x a (t)=A e −αt sin(Ω0nT ),0≤n ≤50，其中A 为幅度因子，α是衰减因子，Ω0是频率，T 是采样周期。

2.对一个连续时间信号x a (t)进行理想采样可以表示为该信号与一个周期冲激脉冲的乘积，即x ̂a (t)= x a (t)M(t),其中x ̂a (t)是连续信号x a (t)的理想采样；M(t)是周期冲激M(t)=∑δ+∞−∞(t-nT)=1T ∑e jm Ωs t +∞−∞,其中T 为采样周期，Ωs =2π/T 是采样角频率。

信号理想采样的傅里叶变换为X ̂a (j Ω)=1T ∑X a +∞−∞[j(Ω−k Ωs )],由此式可知：信号理想采样后的频谱是原信号频谱的周期延拓，其延拓周期为Ωs =2π/T 。

根据时域采样定理，如果原信号是带限信号，且采样频率高于原信号最高频率分量的2倍，则采样以后不会发生频率混叠现象。

三、简明步骤产生理想采样信号序列x a (n),使A=444.128，α=50√2π，Ω0=50√2π。

（1） 首先选用采样频率为1000HZ ，T=1/1000，观察所得理想采样信号的幅频特性，在折叠频率以内和给定的理想幅频特性无明显差异，并做记录；（2） 改变采样频率为300HZ ，T=1/300，观察所得到的频谱特性曲线的变化，并做记录；（3） 进一步减小采样频率为200HZ ，T=1/200，观察频谱混淆现象是否明显存在，说明原因，并记录这时候的幅频特性曲线。

答：数字汇聚；远程会议系统；融合网络；数字图书馆；图像与文本合一的信息检索业务；多媒体通信；个 人信息终端 4、 数字信号处理器的实现方法？10’ 答：在通用的微型计算机上用软件实现；单片机实现；利用专门用于信号处理的可编程 DSP 芯片实现；利用 特殊用途的 DSP 芯片实现；用 FPGA 等可编程阵列产品实现；利用通用的计算机系统上加上加速卡来实现 5、数字信号处理器的结构特点？ 答：哈佛结构及改进的哈佛结构；乘加流水线为核心的数据通路；片内片外两级存储体系；指令系统的多级 流水线；特殊的 DSP 指令 6、数字信号处理如何实现，或其特点或为什么 DSP 处理器与通用微处理器的相比较指令的执行速度快？6 点 答：系统主时钟频率大大提高；采用 RISC 精简指令系统；采用流水线并行执行指令结构；采用专用的硬件结 构加速指令的执行；采用先进的多总线结构与多种寻址方式；多字节的数据长度 7、设计一个实际应用的 DSP 系统的步骤？ 答：首先，由性能一系列技术要求及应用要求选定芯片；其次，芯片选定后，系统硬件与软件的设计与调试 可同时进行；最后，利用硬件、软件的结果可以进行系统的集成，并进行系统的最后的试验与调试 8、哈佛结构与冯诺依曼结构相比有哪些优点？ 答：哈佛结构是将数据和程序分别存储在不同相互独立的存储器中，每个存储器单独编址，独立访问；系统 设置了程序和数据总线，因此数据吞吐率提高一倍；而冯诺依曼结构则是指令、数据、地址存储在同一存储 器中，统一编址，因而取指令与取数据都访问同一存储器成为影响速度的瓶颈，使得数据吞吐率低 9、哈佛结构与流水线结构？ 答：哈佛结构是并行运算，把程度和数据存储器分开，总线也分开，多组流水线并行工作； 流水线结构是指在流水线结构中，几条指令是并行执行，每条指令处于其执行过程中的不同状态 10、成为数字信号处理器的条件是什么？ 答：必须能在一个指令周期内并行完成乘和累加这两个操作； 在进行算术运算的同时，可并行地完成数据的移动存储，并能自动修改地址指针； 具有高效的逻辑运算能力和程序分支跳转指令 11、数字系统中有哪几种因有限字长影响而引起的误差？ 答：A/D 变换器将模拟输入信号变成一组离散电平时的量化效应；把系数用有限位二进制数表示时产生的量 化效应；在数字运算过程中，为限制位数而进行尾数处理以及防止溢出而压缩信号电平的有限字长效应，包 括低电平极限环振荡效应以及溢出振荡效应 12、研究有限长效应的目的？ 答：如果数字信号处理是在通用计算机上实现时，字长已经固定，做误差分析为了知道结果的可信度，否则 要采取改进措施，但是一般计算机字长较长，可不考虑字长的影响 用专用硬件实现数字信号处理时，一般采用定点实现，涉及到硬件采用的字长问题，因而必须了解为达 到所需精度所必须选用的最小字长，以便在设备价格和达到精度之间作合适的折衷 ？13、用窗函数设计 FIR 滤波器的步骤？课本 P342 答：根据技术要求确定待求滤波器的单位取样响应 根据过渡带及阴带衰减的要求，选择窗函数的形式，并且估计窗口长度 N ，设待求滤波器的过渡带用 示，它近似于窗函数主辨宽度 计算滤波器的单位取样响应 验算技术指标是否满足要求。设计出的滤波器频率响应用下式计算 14、IIR 和 FIR 数字滤波器的比较？ 答：1、在相同技术指标下，IIR 滤波器由于存在着输出对输入的反馈，所以可用比 FIR 滤波器较小的阶数满足指

第三章 自适应数字滤波器3.1 引言滤波器的设计都是符合准则的最佳滤波器。

维纳滤波器参数固定，适用于平稳随机信号的最佳滤波；自适应滤波器参数可以自动地按照某种准则调整到最佳。

本章主要涉及自适应横向滤波器．．．．．、自适应格型滤波器．．．．．．．．、最小二乘自适应滤波器．．．．．．．．．．。

3.2 自适应横向滤波器自适应．．．线性组合．．．．器．和自适应．．．．FIR ．．．滤波器．．．是自适应信号．．．．．．处理的基础．．．．．。

3.2.1 自适应线性组合器和自适应FIR 滤波器自适应滤波器的矩阵表示式 滤波器输出：()()()1N m y n w m x n m -==-∑n 用j 表示，自适应滤波器的矩阵形式为T T j jj y ==X W W X 式中1212,,,,,,,TTN N w w w x x x ⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎣⎦W X误差信号表示为T T j j j j jj j e d y d d =-=-=-X W W X 与维纳滤波相同，先考虑最小均方误差准则：()2222T T j j j j dx xx E e E d y E e ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-=-+⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦R W W R W2j E e ⎡⎤⎣⎦称为性能函数．．．．，将其对每个权系数求微分，形成一个与权系数相同的列向量： 2221222,,,Tj j jj xx dx N E e E e E e w w w ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤∂∂∂⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥∇==-∂∂∂⎢⎥⎣⎦R W R令梯度为零，可得最佳权系数此时最小均方误差为：22*min T j j dx E e E d ⎡⎤⎡⎤=-⎣⎦⎣⎦W R 要求2minj Ee ⎡⎤⎣⎦和最佳权系数*W ，先求自相关矩阵xx R 和互相关矩阵dx R 。

3.2.2 性能函数表示式及几何意义3.2.3 最陡下降法3.2.1给出了要求2minj Ee ⎡⎤⎣⎦和最佳权系数*W 的理论求解方法，但实际很难应用。