函数周期常用求法

三角函数周期的常用求法一、 公式法对于函数B x A y ++=)sin(ϕω或B x A y ++=)cos(ϕω的周期公式是||2ωπ=T ， 对于函数B x A y ++=)tan(ϕω或B x y ++=)cot(ϕω的周期公式是||ωπ=T ． 例1 函数)23sin(x y -=π的最小正周期是 （ ） Ａ．π Ｂ．２π Ｃ．－４π Ｄ．４π 解：由公式，得ππ4212=-=T ，故选Ｄ． 评注：对于函数)sin(ϕω+=x A y 或)cos(ϕω+=x A y 可直接利用公式ωπ2=T 求得；对于)tan(ϕω+=x A y 或)cot(ϕω+=x A y 可直接利用公式ωπ=T 求得。

二、图像法例２ 求下列函数的最小正周期① x y sin = ②x y sin解：分别作出两个函数的图像知图二、 定法 解：∵ 2cos()2sin(ππk x k x +++＝x x cos sin + （Z k ∈） ∴2πk 是函数x x y cos sin +=的周期．显然2πk 中最小者是2π 下面证明2π是最小正周期假设2π不是x x y cos sin +=的最小正周期，则存在<<T 02π，使得： =+)(T x f )cos()sin(T x T x +++＝x x cos sin +对R x ∈恒成立，令0=x ，则=+)0(T f T T cos sin +＝10cos 0sin cos sin =+=+T T ①但<<T 02π，∴1cos sin >+T T ② ∴ ①与②矛盾， ∴ 假设不成立，∴2π是x x y cos sin +=最小正周期． 评注：这种方法依据周期函数的定义，从式子)()(x f T x f =+出发，设法找出周期T 中的最小正数（须用反证法证明）．四、转化法1、把三角函数表达式化为一角一函数的形式，再利用公式求周期例４求函数x x x y 2sin 2cos sin 32-=的周期 解：12cos 2sin 3sin 2cos sin 322-+=-=x x x x x y∴ ππ==22T ． 变式 求函数x x y 66cos sin +=的最小正周期解：∵ y ＝)cos sin 3cos sin 3()cos (sin 4224322x x x x x x +-+＝)4cos 1(831)cos (sin )cos (sin 31222x x x x x --=+- ＝x 4cos 8385+ ∴ 函数x x y 66cos sin +=的最小正周期是242ππ==T 评注：就是先根据三角公式已知式转化为一个脚的一个三角函数的形式，再利用公式去求．这是最常见的求周期题型，也是高考考察的热点．2、遇到绝对值时，可利用公式 2||a a =, 化去绝对值符号再求周期例5求函数 |cos |x y =的周期解：∵ 22cos 1cos |cos |2x x x y +=== ∴ ππ==22T ． 例6求函数|cos ||sin |x x y +=的周期解：∵()x x x x x x y 2sin 1|2sin |1|cos ||sin ||cos ||sin |22+=+=+=+=∴ 函数|cos ||sin |x x y +=的最小正周期 242ππ==T ． 五、最小公倍数法例7 求函数y sin3x cos5x =+的最小整周期 解：设sin3x 、cos5x 的最小整周期分别为1T 、2T ，则12T 3π=，22T 5π=，2T 1π=＝2π ∴y sin3x cos5x =+的最小整周期为2π评注：设()f x 与()g x 是定义在公共集合上的两个三角周期函数，1T 、2T 分别是它们的周期，且1T ≠2T ，则()f x ±()g x 的最小整周期是1T 、2T 的最小公倍数．分数的最小公倍数＝分子的最小公倍数分母的最小公倍数抽象函数的周期的求法象函数指解析式没有明确给出的一类函数，对于此类函数性质的研究，须充分运用题目条件，寻找问题的切入点，本文谈谈确定抽象函数周期的几种方法.重点谈以下几类问题：对于函数)(x f ，如果对于定义域中的任意x ，⑴若满足0)()(=+++b x f a x f （b a ≠），则周期)(2a b T -=；⑵若满足)()(),()(x b f b x f x a f a x f -=+-=+（b a ≠），即函数图象有b x a x ==,两条对称轴，则周期)(2a b T -=；⑶若满足1)()(=+⋅+b x f a x f （b a ≠），则周期)(2a b T -=；若满足1)()(-=+⋅+b x f a x f （b a ≠），则周期)(2a b T -=；⑷若满足)(1)(1)(b x f b x f a x f +-++=+（b a ≠），则周期)(4a b T -=. 一、函数值之和等于零型，即函数)(x f 满足0)()(=+++b x f a x f （b a ≠） 对于任意x 满足0)()(=+++b x f a x f （b a ≠），即)()(b x f a x f +-=+，则])[(])[(])[(])[()2(b b x f a b x f b a x f a a x f a x f ++=++-=++-=++=+，即]22)2[()2()2(a b a x f b x f a x f -++=+=+，等价于)()22(x f a b x f =-+，故函数)(x f 的周期)(2a b T -=.例1（05年天津卷16）设函数)(x f 是R 上的奇函数，且)(x f y =的图象关于直线21=x 对称，则)5()4()3()2()1()0(f f f f f f +++++等于 . 解析 )(x f y =的图象关于直线21=x 对称，则)21()21(x f x f -=+（*），函数)(x f 是R 上的奇函数，则)21()21(x f x f +--=-，（*）式即0)21()21(=+-++x f x f ，21,21-==a b ，)(x f 的周期2)(2=-=a b T .在（*）式中令21=x 可得0)0()1(==f f ，利用函数的周期为2，则)5()3()1(0)4()2()0(f f f f f f ======，因此，0)5()4()3()2()1()0(=+++++f f f f f f .二、函数图象有b x a x ==,（b a ≠）两条对称轴型函数图象有b x a x ==,两条对称轴，即)()(),()(x b f b x f x a f a x f -=+-=+，改写为)2()]([)]([)()(a b x f b a x b f b a x b f x a f a x f -+=+-+=+--=-=+，即]22)[()(a b a x f a x f -++=+，等价于)()22(x f a b x f =-+，周期)(2a b T -=.例2（05年广东卷19）函数)(x f 在),(+∞-∞上满足关系式)2()2(x f x f -=+，)7()7(x f x f -=+，且在闭区间]7,0[上，只有0)3()1(==f f .（1）判断函数)(x f y =的奇偶性；（2）求方程0)(=x f 在闭区间]2005,2005[-上根的个数，并证明你的结论.解析 函数)(x f 满足)7()7(),2()2(x f x f x f x f -=+-=+（*），则)(x f 的图象有7,2==x x 两条对称轴，)(x f 在闭区间]7,0[上，只有0)3()1(==f f ，而0)0(≠f ，0)7(≠f ，故函数)(x f 不是奇函数；由对称性和0)3()1(==f f 得0)13()11(==f f ，且0)9()7(=-=-f f ，由0)7(=-f 而0)7(≠f 可得函数)(x f 不是偶函数；因此函数)(x f y =是非奇非偶函数.由（*）式还可以表示为)14()(),4()(x f x f x f x f -=-=，由)14()4(x f x f -=-可知函数)(x f 的周期10=T （或直接利用上面的结论7,2==b a ，10)(2=-=a b T ）.)(x f 在闭区间]7,0[上，只有0)3()1(==f f ，0)13()11(==f f ，0)9()7(=-=-f f ，且周期10=T ，故方程0)(=x f 在闭区间]10,0[和]0,10[-上都有两个解（分别为3,1和9,7--），从而方程0)(=x f 在闭区间]2005,0[上有402个解，在闭区间]0,2005[-上有400个解，从而方程0)(=x f 在闭区间]2005,2005[-上根的个数为802个.三、两个函数值之积等于1±，即函数值互为倒数或负倒数型若1)()(=+⋅+b x f a x f ，显然0)(,0)(≠+≠+b x f a x f ，则)(1)(b x f a x f +=+，即])[(1])[(1])[(a b x f b a x f a a x f ++=++=++，而])[(1])[(b b x f a b x f ++=++，因此]22)2[(])[(])[(1])[(a b a x f b b x f a b x f a a x f -++=++=++=++，即]22)2[()2(a b a x f a x f -++=+，函数)(x f 的周期)(2a b T -=；同理可证，若函数)(x f 满足1)()(-=+⋅+b x f a x f （b a ≠），则周期)(2a b T -=. 例3 已知函数)(x f 是R 上的偶函数，且1)()2(=⋅+x f x f ，0)(>x f 恒成立，则)119(f 的值等于 .解析 由1)()2(=⋅+x f x f 可知)()2(1)4(x f x f x f =+=+，函数)(x f 的周期为4，)1()1120()119(-=-=f f f ，函数)(x f 是R 上的偶函数且0)(>x f ，则)1()1(f f =-，在1)()2(=⋅+x f x f 中，令1-=x 得1)1()1()1(2=-=⋅-f f f ，1)1(=-f ，1)119(=f .四、分式型，即函数)(x f 满足)(1)(1)(b x f b x f a x f +-++=+（b a ≠） 由)(1)(1)(b x f b x f a x f +-++=+（b a ≠），则)(1)(1)(b a x f b a x f a a x f ++-+++=++（*），])[(1])[(1])[()(b b x f b b x f a b x f b a x f ++-+++=++=++，代入（*）式得)2(1)2(b x f a x f +-=+，即1)2()2(-=+⋅+b x f a x f ，由上面的类型三，求出周期)(4a b T -=.例4．已知函数)(x f 在),(+∞-∞上满足关系式)(1)(1)2(x f x f x f -+=+.若32)1(+=f ，则)2005(f 等于 .解析 由题意)2(1)2(1)22(+-++=++x f x f x f （*），将)(1)(1)2(x f x f x f -+=+代入（*）式整理得)(1)4(x f x f -=+，所以)()4(1)8(x f x f x f =+-=+，函数)(x f 的周期为8，)5()58250()2005(f f f =+⨯=，23321)1(1)41()5(-=+-=-=+=f f f ，23)2005(-=f .设计抽象函数周期问题，要注意严密，下面的“函数”就是一个流传十分广的典型错例： 例5 已知定义在),(+∞-∞上的奇函数)(x f 满足关系式)(1)(1)1(x f x f x f +-=+.当10<<x 时，x x f 2)(=，则)5.5(f 的值等于（）A ．1B ．1-C ．21D ．21- 不少资料选入此题，并给出答案为1)5.5(-=f ，提示思路是：)(1)(1)1(x f x f x f +-=+，则)1(1)1(1)2(+++-=+x f x f x f ，将)(1)(1)1(x f x f x f +-=+代入可得)()2(x f x f =+，周期为2，则1)5.0()5.0()5.5(-=-=-=f f f .显然，如果原函数的周期为2，则周期也可为4，则0)5.0(1)5.0(1)5.1()5.5(=+-==f f f f .这样，1)5.5(-=f 与0)5.5(=f 都成立，就不是单值函数了，即)(x f 根本不是函数！该“函数”的问题还可以这样来得出：函数)(x f 是),(+∞-∞上的奇函数，则0)0(=f ，根据)(1)(1)1(x f x f x f +-=+，令0=x 则1)1(=f ，1)1(-=-f ，但)(x f 的周期为2，必定满足)1()1()1(f f f -=-=，则0)1()1(=-=f f ，也能得出互相矛盾的结论来.本题还可以从函数图象推出矛盾.。