4.4.1 对数函数的概念 4.4.2 对数函数的图象和性质

4.4.2对数函数的图象和性质(人教A版普通高中教科书数学必修第一册第四章)一、教学目标1.能借助描点法、计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点等性质；2.利用反函数的概念，引导学生类比指数函数的图象探究对数函数的图象及性质，进一步完善对数函数的性质。

3.体会对数函数的性质在具体的生活和数学情境中的作用，能利用对数函数的性质解决一些简单的应用问题，感受数形结合、分类讨论的数学思想和方法，渗透逻辑推理、数学建模、数学运算的核心素养.二、教学重难点1.重点：对数函数的图象和性质。

2.难点：对数函数性质的探究和归纳，对数函数与指数函数的联系。

三、教学过程1.对数函数的图象与性质探究1.1创设情境，引发思考【实际情境】在化学中，溶液酸碱度是通过pH计量的. pH的计算公式为pH= -lg[H+]，其中[H+]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升。

例如，在我国规定纯净水ph值只要在6.5-8.5之间即是合格产品。

如果水的ph值过低则会有腐蚀作用，而ph值过高就会影响味觉，有肥皂味，因此饮用纯净水的ph值都是控制在6.5-8.5之间。

又如，人体的胃酸中氢离子的浓度大约为[H+]=2.5×10-2摩尔/升。

问题1：（1）已知某品牌的纯净水中氢离子的浓度为[H+]=10-7摩尔/升，则它的pH是多少？它是合格产品吗？人体的胃酸pH又是多少（可用计算器）？【预设的答案】7；是；1.60（2）请同学们猜想：随着溶液中氢离子的浓度越大，溶液的酸性是越强还是越弱呢？想要知道溶液的酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间有什么样的变化关系，需要研究什么呢？（提示：若记溶液酸碱度为y，氢离子浓度为x，写出y关于x的函数解析式）【预设的答案】越强；变化关系为y= —lgx，则需要研究对数函数y=lgx的单调性.【设计意图】将对数函数性质的学习与生活实际和学生的生活经验、化学学习经验结合起来，同时也复习对数运算和对数函数的概念，充分调动学生学习的积极性，从而自然地引入对数函数的图象与性质的研究问题。

【新教材】4.4.1 对数函数的概念（人教A版）对数函数与指数函数是相通的，本节在已经学习指数函数的基础上通过实例总结归纳对数函数的概念，通过函数的形式与特征解决一些与对数函数有关的问题.课程目标1、通过实际问题了解对数函数的实际背景；2、掌握对数函数的概念,并会判断一些函数是否是对数函数.数学学科素养1.数学抽象：对数函数的概念；2.逻辑推理：用待定系数法求函数解析式及解析值；3.数学运算：利用对数函数的概念求参数；4.数学建模：通过由抽象到具体，由具体到一般的思想总结对数函数概念.重点：理解对数函数的概念和意义；难点：理解对数函数的概念．教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

一、情景导入我们已经研究了死亡生物体内碳14的含量y随死亡时间x的变化而衰减的规律.反过来，已知死亡生物体内碳14的含量，如何得知死亡了多长时间呢？进一步地，死亡时间t是碳14的含量y 的函数吗？要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本130-131页，思考并完成以下问题1. 对数函数的概念是什么？2. 对数函数解析式的特征？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究1．对数函数的概念函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．[点睛] 形如y＝2log2x，y＝log2x3都不是对数函数，可称其为对数型函数．四、典例分析、举一反三题型一对数函数的概念例1指出下列函数哪些是对数函数？(1)y＝3log2x；(2)y＝log6x；(3)y＝log x5; (4)log2x＋1.【答案】（1）（3）（4）不是对数函数，（2）是对数函数．【解析】 (1)log2x的系数是3，不是1，不是对数函数．(2)符合对数函数的结构形式，是对数函数．(3)自变量在底数位置上，不是对数函数．(4)对数式log2x后又加上1，不是对数函数．例2已知对数函数f(x)=(m2-3m+3)·log m x,则m= .【答案】2【解析】由对数函数的定义可得m2-3m+3=1,即m2-3m+2=0,也就是(m-1)(m-2)=0,解得m=1或m=2.又因为m>0,且m≠1,所以m=2.解题技巧：（判断一个函数是对数函数的方法）跟踪训练一1.若函数f(x)=log(a+1)x+(a2-2a-8)是对数函数,则a= .【答案】4【解析】由题意可知解得a=4.题型二 对数函数的解析式 例3 已知对数函数f (x )的图象过点.①求f(x)的解析式; ②解方程f(x)=2.【答案】①f (x )=log 16x ②x=256【解析】①由题意设f (x )=log a x (a>0,且a ≠1),由函数图象过点可得f (4)=,即log a 4=,所以4=,解得a=16,故f (x )=log 16x.②方程f (x )=2,即log 16x=2,所以x=162=256.解题技巧：（对数函数的解析式）对数函数解析式中只有一个参数a,用待定系数法求对数函数解析式时只须一个条件即可求出. 跟踪训练二1.点A(8,-3)和B(n,2)在同一个对数函数图象上,则n=____________. 【答案】14【解析】设对数函数为f (x )=log a x (a>0,且a ≠1).则由题意可得f (8)=-3,即log a 8=-3,所以a -3=8,即a=8-13=12.所以f (x )=lo g 12x ,故由B (n ,2)在函数图象上可得f (n )=lo g 12n=2,所以n=(12)2=14.题型三 对数函数型的定义域 例4 求下列函数的定义域：（1)y ＝log 5(1－x ); (2)y ＝log (1－x )5；(3)y ＝ln (4－x )x －3； (4)y ＝log 0.5(4x －3).【答案】（1）{x |x <1} （2）{x |x <1，且x ≠0}（3）{x |x <4，且x ≠3}（4）3|14x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭. 【解析】(1)要使函数式有意义，需1－x >0，解得x <1，所以函数y ＝log 5(1－x )的定义域是{x |x <1}．(2)要使函数式有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，1－x ≠1，解得x <1，且x ≠0，所以函数y ＝log 1－x 5的定义域是{x |x <1，且x ≠0}．(3)要使函数式有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧4－x >0，x －3≠0，解得x <4，且x ≠3，所以函数y ＝ln (4－x )x －3的定义域是{x |x <4，且x ≠3}．(4)要使函数式有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧4x －3>0，log 0.5(4x －3)≥0，解得34＜x ≤1，所以函数y ＝log 0.5(4x －3)的定义域是3|14x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭. 解题技巧：（求对数型函数定义域的原则） (1)分母不能为0.(2)根指数为偶数时，被开方数非负． (3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1. 跟踪训练三1.求下列函数的定义域： (1)y ＝lg(x ＋1)＋3 x21－x；(2)y ＝log x －2(5－x )．【答案】（1）(－1,1) （2）(2,3)∪(3,5).【解析】(1)要使函数式有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＞0，1－x ＞0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＞－1，x ＜1，∴－1＜x ＜1.∴该函数的定义域为(－1,1)． (2)要使函数式有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧ 5－x ＞0，x －2＞0，x －2≠1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＜5，x ＞2，x ≠3，∴2＜x ＜5，且x ≠3.∴该函数的定义域为(2,3)∪(3,5).四、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本140页习题4.4中 1题5题8题本节主要学习了一类新的函数：对数函数。

4.4.1对数函数的概念~4.4.2对数函数的图象和性质(一)最新课程标准：(1)通过具体实例，了解对数函数的概念．能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点．(2)知道对数函数y＝log a x与指数函数y＝a x互为反函数(a＞0，且a≠1)．(3)收集、阅读对数概念的形成与发展的历史资料，撰写小论文，论述对数发明的过程以及对数对简化运算的作用.新知初探知识点一对数函数的概念函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是．状元随笔形如y＝2log2x，y＝log2x3都不是对数函数，可称其为对数型函数．知识点二对数函数的图象与性质a＞10＜a＜1图象性质定义域值域R过点，即当x＝1时，y＝0在(0，＋∞)上是在(0，＋∞)上是状元随笔底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图象“下降”．知识点三反函数一般地，指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换．基础自测1．下列函数中是对数函数的是()A．y＝log14x B．y＝log14(x＋1)C．y＝2log14x D．y＝log14x＋12．函数y＝x ln(1－x)的定义域为()A．(0,1) B．[0,1) C．(0,1] D．[0,1] 3．函数y＝log a(x－1)(0＜a＜1)的图象大致是()4．若f(x)＝log2x，x∈[2,3]，则函数f(x)的值域为________．课堂探究题型一对数函数的概念例1下列函数中，哪些是对数函数？(1)y＝log a x(a＞0，且a≠1)；(2)y＝log2x＋2；(3)y＝8log2(x＋1)；(4)y＝log x6(x＞0，且x≠1)；(5)y＝log6x.方法归纳判断一个函数是对数函数的方法跟踪训练1若函数f(x)＝(a2－a＋1)log(a＋1)x是对数函数，则实数a＝________.题型二求函数的定义域例2求下列函数的定义域：(1)y＝log3x2；(2)y＝log a(4－x)(a＞0，且a≠1)．教材反思求定义域有两种题型，一种是已知函数解析式求定义域，常规为：分母不为0；0的零次幂与负指数次幂无意义；偶次根式被开方式(数)非负；对数的真数大于0，底数大于0且不等于1.另一种是抽象函数的定义域问题．同时应注意求函数定义域的解题步骤．跟踪训练2求下列函数的定义域：(1)y＝lg(x＋1)＋3x21－x；(2)y＝log(x－2)(5－x)．题型三对数函数的图象问题例3 (1)函数y ＝x ＋a 与y ＝log a x 的图象只可能是下图中的( )(2)已知函数y ＝log a (x ＋3)－1(a ＞0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 也在函数f (x )＝3x ＋b 的图象上，则f (log 32)＝________.(3)如图所示的曲线是对数函数y ＝log a x ，y ＝log b x ，y ＝log c x ，y ＝log d x 的图象，则a ，b ，c ，d 与1的大小关系为________．状元随笔 (1)由函数y ＝x ＋a 的图象判断出a 的范围． (2)依据log a 1＝0，a 0＝1，求定点坐标．(3)沿直线y ＝1自左向右看，对数函数的底数由小变大． 方法归纳解决对数函数图象的问题时要注意(1)明确对数函数图象的分布区域．对数函数的图象在第一、四象限．当x 趋近于0时，函数图象会越来越靠近y 轴，但永远不会与y 轴相交．(2)建立分类讨论的思想．在画对数函数图象之前要先判断对数的底数a 的取值范围是a ＞1，还是0＜a ＜1.(3)牢记特殊点．对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象经过点：(1,0)，(a,1)和⎝⎛⎭⎫1a ，－1. 跟踪训练3(1)如图所示，曲线是对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象，已知a 取3，43，35，110，则相应于C 1，C 2，C 3，C 4的a 值依次为( )A.3，43，35，110B.3，43，110，35C.43，3，35，110D.43，3，110，35(2)函数y ＝log a |x |＋1(0＜a ＜1)的图象大致为( )课时训练一、选择题1．下列函数是对数函数的是( ) A ．y ＝2＋log 3xB ．y ＝log a (2a )(a ＞0，且a ≠1)C ．y ＝log a x 2(a ＞0，且a ≠1)D ．y ＝ln x2．若某对数函数的图象过点(4,2)，则该对数函数的解析式为( ) A ．y ＝log 2x B ．y ＝2log 4x C ．y ＝log 2x 或y ＝2log 4xD ．不确定3．设函数y ＝4－x 2的定义域为A ，函数y ＝ln(1－x )的定义域为B ，则A ∩B ＝( ) A ．(1,2)B ．(1,2]C ．(－2,1)D ．[－2,1)4．已知a ＞0，且a ≠1，函数y ＝a x 与y ＝log a (－x )的图象只能是下图中的( )二、填空题5．若f (x )＝log a x ＋(a 2－4a －5)是对数函数，则a ＝________. 6．已知函数f (x )＝log 3x ，则f ⎝⎛⎭⎫95＋f (15)＝________.7．函数f (x )＝log a (2x －3)(a ＞0且a ≠1)的图象恒过定点P ，则P 点的坐标是________． 三、解答题8．求下列函数的定义域： (1)y ＝log 3(1－x )； (2)y ＝1log 2x ；(3)y ＝log 711－3x .9．已知f (x )＝log 3x . (1)作出这个函数的图象；(2)若f (a )＜f (2)，利用图象求a 的取值范围．10．已知函数y ＝log 2x 的图象，如何得到y ＝log 2(x ＋1)的图象？y ＝log 2(x ＋1)的定义域与值域是多少？与x 轴的交点是什么？参考答案新知初探知识点一 对数函数的概念y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1) x (0，＋∞) 知识点二 对数函数的图象与性质 (0，＋∞) (1,0) 增函数 减函数 基础自测 1．【答案】A【解析】形如y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的函数才是对数函数，只有A 是对数函数． 2．【答案】B【解析】由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，1－x ＞0，解得0≤x ＜1；故函数y ＝x ln(1－x )的定义域为[0,1)．3．【答案】A【解析】∵0＜a ＜1，∴y ＝log a x 在(0，＋∞)上单调递减，故A ，B 可能正确； 又函数y ＝log a (x －1)的图象是由y ＝log a x 的图象向右平移一个单位得到，故A 正确． 4．【答案】[1，log 23]【解析】因为f (x )＝log 2x 在[2,3]上是单调递增的， 所以log 22≤log 2x ≤log 23，即1≤log 2x ≤log 23.课堂探究题型一 对数函数的概念例1 解：(1)中真数不是自变量x ，不是对数函数．(2)中对数式后加2，所以不是对数函数．(3)中真数为x ＋1，不是x ，系数不为1，故不是对数函数．(4)中底数是自变量x ，而非常数，所以不是对数函数．(5)中底数是6，真数为x ，系数为1，符合对数函数的定义，故是对数函数.跟踪训练1 【答案】1【解析】由a 2－a ＋1＝1，解得a ＝0或a ＝1. 又底数a ＋1＞0，且a ＋1≠1，所以a ＝1. 题型二 求函数的定义域例2 解：(1)因为x 2＞0，即x ≠0，所以函数y ＝log 3x 2的定义域是{x |x ≠0}． (2)因为4－x ＞0，即x ＜4，所以函数y ＝log a (4－x )的定义域是{x |x ＜4}. 真数大于0.跟踪训练2 解：(1)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＞0，1－x ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＞－1，x ＜1.∴－1＜x ＜1，∴函数的定义域为(－1,1)． (2)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧ 5－x ＞0，x －2＞0，x －2≠1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＜5，x ＞2，x ≠3.∴定义域为(2,3)∪(3,5)．真数大于0，偶次根式被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式组求解． 题型三 对数函数的图象问题例3 【答案】 (1)C (2)89(3)b ＞a ＞1＞d ＞c【解析】 (1)A 中，由y ＝x ＋a 的图象知a ＞1，而y ＝log a x 为减函数，A 错；B 中，0＜a ＜1，而y ＝log a x 为增函数，B 错；C 中，0＜a ＜1，且y ＝log a x 为减函数，所以C 对；D 中，a ＜0，而y ＝log a x 无意义，也不对．(2)依题意可知定点A (－2，－1)，f (－2)＝3－2＋b ＝－1，b ＝－109，故f (x )＝3x －109，f (log 32)＝33log 2－109＝2－109＝89. (3)由题干图可知函数y ＝log a x ，y ＝log b x 的底数a ＞1，b ＞1，函数y ＝log c x ，y ＝log d x 的底数0＜c ＜1,0＜d ＜1.过点(0,1)作平行于x 轴的直线，则直线与四条曲线交点的横坐标从左向右依次为c ，d ，a ，b ，显然b ＞a ＞1＞d ＞c .跟踪训练3 【答案】(1)A (2)A【解析】(1)方法一 作直线y ＝1与四条曲线交于四点，由y ＝log a x ＝1，得x ＝a (即交点的横坐标等于底数)，所以横坐标小的底数小，所以C 1，C 2，C 3，C 4对应的a 值分别为3，43，35，110，故选A. 方法二 由对数函数的图象在第一象限内符合底大图右的规律，所以底数a 由大到小依次为C 1，C 2，C 3，C 4，即3，43，35，110.故选A.增函数底数a ＞1， 减函数底数0＜a ＜1.(2)函数为偶函数，在(0，＋∞)上为减函数，(－∞，0)上为增函数，故可排除选项B ，C ，又x ＝±1时y ＝1，故选A.先去绝对值，再利用单调性判断.课时训练一、选择题 1．【答案】D【解析】判断一个函数是否为对数函数，其关键是看其是否具有“y ＝log a x ”的形式，A ，B ，C 全错，D 正确． 2．【答案】A【解析】由对数函数的概念可设该函数的解析式为y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1，x ＞0)，则2＝log a 4即a 2＝4得a ＝2.故所求解析式为y ＝log 2x . 3．【答案】D【解析】由题意可知A ＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝{x |x ＜1}，故A ∩B ＝{x |－2≤x ＜1}． 4．【答案】B【解析】由函数y ＝log a (－x )有意义，知x ＜0，所以对数函数的图象应在y 轴左侧，可排除A ，C.又当a ＞1时，y ＝a x 为增函数，所以图象B 适合． 二、填空题 5．【答案】5【解析】由对数函数的定义可知⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4a －5＝0a ＞0a ≠1，∴a ＝5.6．【答案】3【解析】f ⎝⎛⎭⎫95＋f (15)＝log 395＋log 315＝log 327＝3. 7．【答案】(2,0)【解析】令2x －3＝1，解得x ＝2，且f (2)＝log a 1＝0恒成立，所以函数f (x )的图象恒过定点P (2,0)． 三、解答题8．解：(1)由1－x ＞0，得x ＜1，∴函数y ＝log 3(1－x )的定义域为(－∞，1)． (2)由log 2x ≠0，得x ＞0且x ≠1.∴函数y ＝1log 2x的定义域为{x |x ＞0且x ≠1}． (3)由11－3x＞0，得x ＜13. ∴函数y ＝log 711－3x 的定义域为⎝⎛⎭⎫－∞，13. 9．解：(1)作出函数y ＝log 3x 的图象如图所示：(2)令f (x )＝f (2)，即log 3x ＝log 32，解得x ＝2.由图象知，当0＜a ＜2时，恒有f (a )＜f (2)．∴所求a 的取值范围为0＜a ＜2.10．解：y ＝log 2x ――――――→左移1个单位y ＝log 2(x ＋1)，如图．定义域为(－1，＋∞)，值域为R ，与x 轴的交点是(0,0)．。