勾股定理期末复习

期末复习- 《勾股定理》常考题与易错题精选（35题）一．勾股定理（共11小题）1．如图，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（ ）A．10B．13C．15D．262．如图，长方形ABCD的顶点A，B在数轴上，点A表示﹣1，AB＝3，AD＝1．若以点A为圆心，对角线AC长为半径作弧，交数轴正半轴于点M，则点M所表示的数为（ ）A．B．C．D．3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，若AC＝5，BC＝12，则S△ACD ：S△ABD为（ ）A．12：5B．12：13C．5：1 3D．13：54．图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC．若AB＝BC＝2，且∠AOB＝30°，则OC的长度为（ ）A．B．C．4D．5．在△ABC中，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，AD＝6，CD＝1，则BC的长为（ ）A．5B．7C．5或7D．6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，则点C到直线AB的距离是（ ）A．B．3C．D．27．已知△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b．（1）如果a＝7，b＝24，求c；（2）如果a＝12，c＝13，求b．8．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°（1）若AB＝，AC＝，求BC2（2）若AB＝4，AC＝1，求AB边上高．9．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，∠BCA＝60°，AC＝2，DA＝1，CD＝3．求四边形ABCD 的面积．10．如图，每个小正方形的边长都为1．求出四边形ABCD的周长和面积．11．如图，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，DE⊥AB，DE＝7，△ABE的面积为35．（1）求AB的长；（2）求△ACB的面积．二．勾股定理的证明（共3小题）12．如图，直角三角形ACB，直角顶点C在直线l上，分别过点A、B作直线l的垂线，垂足分别为点D和点E．（1）求证：∠DAC＝∠BCE；（2）如果AC＝BC．①求证：CD＝BE；②若设△ADC的三边分别为a、b、c，试用此图证明勾股定理．13．【阅读理解】我国古人运用各种方法证明勾股定理，如图①，用四个直角三角形拼成正方形，通过证明可得中间也是一个正方形．其中四个直角三角形直角边长分别为a、b，斜边长为c．图中大正方形的面积可表示为（a+b）2，也可表示为c2+4×ab，即（a+b）2＝c2+4×ab，所以a2+b2＝c2．【尝试探究】美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”如图②所示，用两个全等的直角三角形拼成一个直角梯形BCDE，其中△BCA≌△ADE，∠C＝∠D＝90°，根据拼图证明勾股定理．【定理应用】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a、b、c．求证：a2c2+a2b2＝c4﹣b4．14．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，当两个全等的直角三角形如图摆放时，也可以用面积法来证明勾股定理，请完成证明过程．（提示：BD和AC都可以分割四边形ABCD）三．勾股定理的逆定理（共8小题）15．下列各组中的三条线段，能构成直角三角形的是（ ）A．7，20，24B．，，C．3，4，5D．4，5，616．三角形的三边长分别为a、b、c，则下面四种情况中，不能判断此三角形为直角三角形的是（ ）A．a＝3，b＝4，c＝5B．a＝8，b＝15，c＝17C．a＝5，b＝12，c＝13D．a＝12，b＝15，c＝1817．如图，四边形ABCD中，AB＝20，BC＝15，CD＝7，AD＝24，∠B＝90°．（1）判断∠D是否是直角，并说明理由．（2）求四边形ABCD的面积．18．如图，小明爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算这块土地的面积，以便估算产量．小明测得AB＝3m，AD＝4m，CD＝12m，BC＝13m，又已知∠A＝90°．求这块土地的面积．19．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，CD＝3，DA＝1．（1）求∠DAB的度数；（2）求四边形ABCD的面积．20．如图，在△ABC中，AD、BE分别为边BC、AC的中线，分别交BC、AC于点D、E．（1）若CD＝4，CE＝3，AB＝10，求证：∠C＝90°；（2）若∠C＝90°，AD＝6，BE＝8，求AB的长．21．如图，在△ABC中，AD为BC边上的高，若BD＝4，DC＝5，AD＝2，判断△ABC的形状，并说明理由．22．如图，每个小正方形的边长都为1．（1）求△ABC的周长；（2）求∠ACB的度数．四．勾股数（共3小题）23．下列四组数中不是勾股数的是（ ）A．3，4，5B．2，3，4C．5，12，13D．8，15，1724．下列各组数中，是勾股数的为（ ）A．，2，B．8，15，17C．，D．32，42，5225．观察下列各组勾股数有哪些规律：3，4，5；9，40，41；5，12，13；……；7，24，25；a，b，c．请解答：（1）当a＝11时，求b，c的值；（2）判断21，220，221是否为一组勾股数？若是，请说明理由．五．勾股定理的应用（共10小题）26．我市某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，为了绿化环境，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠B＝90°，AB＝6m，BC＝8m，CD＝24m，AD＝26m．（1）求出空地ABCD的面积；（2）若每种植1平方米草皮需要350元，问总共需投入多少元？27．由四条线段AB、BC、CD、DA所构成的图形，是某公园的一块空地，经测量∠ADC＝90°，CD＝3m、AD＝4m、BC＝12m、AB＝13m．现计划在该空地上种植草皮，若每平方米草皮需200元，则在该空地上种植草皮共需多少元？28．如图，某校攀岩墙AB的顶部A处安装了一根安全绳AC，让它垂到地面时比墙高多出了2米，教练把绳子的下端C拉开8米后，发现其下端刚好接触地面（即BC＝8米），AB⊥BC，求攀岩墙AB的高度．29．如图，甲、乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时的速度向北偏东42°方向航行，乙船向南偏东48°方向航行，0.5小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若C，B两岛相距17海里，问乙船的航速是多少？30．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE（如图），他们进行了如下操作：①测得水平距离BD的长为8米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为17米；③牵线放风筝的小明的身高为1.5米．（1）求风筝的垂直高度CE；（2）如果小明想风筝沿CD方向下降9米，则他应该往回收线多少米？31．森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，有一台救火飞机沿东西方向AB，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为600m和800m，又AB＝1000m，飞机中心周围500m以内可以受到洒水影响．（1）着火点C受洒水影响吗？为什么？（2）若飞机的速度为10m/s，要想扑灭着火点C估计需要13秒，请你通过计算判断着火点C能否被扑灭？32．一架云梯长25m，如图所示斜靠在一面墙上，梯子底端C离墙7m．（1）这个梯子的顶端A距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4m，那么梯子的底部在水平方向滑动了多少米？33．在一条东西走向的河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原由C 到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝1.5千米，CH＝1.2千米，HB＝0.9千米．（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明；（2）求原来的路线AC的长．34．如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距大厦9米处（车尾到大厦墙面），升起云梯到火灾窗口，已知云梯长15米，云梯底部距地面3米，问：发生火灾的住户窗口距离地面BD有多高？35．如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的）。

勾股定理知识点复习 一、知识点：1.勾股定理（1）内容：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么________，即直角三角形两直角边的_________等于斜边的________. 温馨提示：勾股定理只适用直角三角形，而不适用于锐角三角形和钝角三角形.（2）应用：已知直角三角形的任意两边，能求出第三边.基本勾股:2.勾股定理的逆定理（1）内容：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足________，那么这个三角形是直角三角形.（2）应用：判断某三角形是否为直角三角形或说明两条线段垂直.3. 如果两个命题的题设、结论正好相反，我们把像这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的_______.一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，它也是一个定理，称这两个定理互为_________.练习：1、若△ABC 的三边a 、b 、c ，满足（a －b ）（a 2＋b 2－c 2）=0，则△ABC 是2、分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）3、4、5（2）5、12、13（3）8、15、17（4）4、5、6，其中能够成直角三角形的有__________________. 二、典型考点：考点一：利用勾股定理求面积求：（1） 阴影部分是正方形； （2） 阴影部分是长方 （3） 阴影部分是半圆．考点二：在直角三角形中，已知两边求第三边.例：如图，在△ABC 中，∠ACB=90º， CD ⊥AB ，D 为垂足，AC=6cm,BC=8cm 。

C B A a c b AD求①△ABC的面积；②斜边AB的长；③斜边AB上的高CD的长。

练习：1．在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm，2cm ，则斜边长为．2.已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长的平方是_____________.1、等腰三角形的，腰长为25，底边长14，则底边上的高是________，面积是_________。

初中数学期末复习勾股定理重点题型分类+解析初中数学期末复习勾股定理重点题型分类+解析！_梯子_正方形_的底部题型一：利用勾股定理进行线段计算如果单独考查勾股定理，通常是给我们送分的，非常简单，我们只有熟记勾股定理的公式、常见的勾股数，以及常见的特殊rt△的三边比例，即可以轻松解出题目。

【例1】一驾2.5米长的梯子靠在一座建筑物上，梯子的底部离建筑物0.7米，如果梯子的顶部滑下0.4米，梯子的底部向外滑出多远（其中梯子从ab位置滑到cd位置）？【分析】本题是常见的梯子滑动问题，是勾股定理结合实际问题产生的题型。

英对实际问题，我们需要实际问题抽象成简单的几何图形，再利用勾股定理解答。

题目要求梯子的底部滑出多远，就要求梯子原先顶部的高度ao，且三角形aob，三角形cod均为直角三角形．可以运用勾股定理求解．解：在直角三角形aob中，根据勾股定理ab 2=ao 2+ob 2，可以求得：oa= =2.4米，现梯子的顶部滑下0.4米，即oc=2.4-0.4=2米，且cd=ab=2.5米，所以在直角三角形cod中，即do= =1.5米，所以梯子的底部向外滑出的距离为1.5米-0.7米=0.8米．答：梯子的底部向外滑出的距离为0.8米．题型二：勾股定理的证明过程勾股定理的证明过程同样是勾股定理的一个常考点。

因此我们同样要熟知勾股定的常见证明过程。

这个需要同学们查看课本，回忆整个证明过程。

下面给出常见的考题类型。

【例2】《勾股圆方图》是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图（1））．设每个直角三角形中较短直角边为a，较长直角边为b，斜边为c。

（1）利用图（1）面积的不同表示方法验证勾股定理．（2）实际上还有很多代数恒等式也可用这种方法说明其正确性．试写出图（2）所表示的代数恒等式：（）；（3）如果图（1）大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，求（a+b）2的值．【分析】（1）如图（1），根据四个全等的直角三角形的面积+阴影部分小正方形的面积=大正方形的面积，代入数值，即可证明；（2）5个矩形，长宽分别为x，y；两个边长分别为y的正方形和两个边长为x的正方形，可以看成一个长宽为x+2y，2x+y的矩形；（3）利用（1）的结论进行解答．解：（1）图（1）中的大正方形的面积可以表示为c 2，也可表示为（b-a）2+4× ab∴（b-a）2+4× ab=c 2化简得b 2-2ab+b 2+2ab=c 2∴当∠c=90°时，a 2+b 2=c 2；（2）（x+y）（x+2y）=x 2+3xy+2y 2（3）依题意得 a2+ b2＝ c2＝13 ( b− a) 2＝1 则2ab=12∴（a+b） 2=a 2+b 2+2ab=13+12=25，即（a+b） 2=25．中考数学答题要点归纳，考前看这一篇就够了！中考数学复习9种题型答题模板+易错题练习，含答案！初中数学7-9年级，21个逢考必出的知识点，初中三年都适用！初中数学7-9年级，必考应用题分类+数量关系大全！初中数学复习，整式运算的几何背景与应用，常考题型解析！。

第十八章 勾股定理 复习 定理：经过证明被确认为正确的命题叫做定理。

1、勾股定理： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，也就是说在Rt △ABC 中，设∠C =90°，∠C 、∠A 、∠B 所对的边分别为c 、a 、b ，则c 、a 、b 满足关系a²+b²=c²。

在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股，斜边叫做弦。

注意：由于直角三角形的斜边最长，故运用勾股定理时，一定要抓住直角三角形最长边(即斜边)的平方等于两短边(两直角边)的平方和，避免出现这样的错误：在△ABC 中，∠B =90°，则a²+b²=c²。

2、勾股定理的证明：勾股定理的证明方法很多，可以用测量计算，可以用代数式的变形，可以用几何证明，也可以用面积(拼图)证明——对图形进行割、补、拼、接后利用图形面积不变来证明，这是最常见的一种方法。

验证如下：现有四块直角边长为a 、b ，斜边长为c 的直角三角形纸板，请从中取出若干块拼图，证明勾股定理。

证法1：∵S 大正方形＝4S 三角形＋S 小正方形∴c ²＝4×12ab ＋(b −a)²∴c ²＝a ²＋b ²证法2：∵S 梯形＝2S 小三角形＋S 大三角形∴12(a +b )2=2×12ab +12c²∴a²+b²=c²证法3：∵S 大正方形＝4S 三角形＋S 小正方形∴(a +b )2=4×12ab +c²∴a²+b²=c²3、勾股定理的作用：勾股定理揭示了直角三角形的三边关系，其作用有：(1)已知直角三角形的任两边，求第三边问题；(2)证明三角形中的某些线段的平方关系； ａ ａ ｂ ｂｃ ｃ(3)作长为无理数的线段.注意：若已知直角三角形的两边求第三边时，先确定是直角边还是斜边。

期末复习(二)——勾股定理知识点1勾股定理及其相关计算1．在Rt△ABC中，BC＝1，AC＝2，∠B＝90°，则AB的长是()A．5B．2 C．1 D．32．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8 cm，AB＝10 cm，以BC为边向外作正方形BCDE，则正方形BCDE的面积为__________cm2.图13．如图2，在四边形ABCD中，AB＝BC＝22，AD＝2，∠B＝∠D＝90°，则CD＝__________.图24．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C所对的边．(1)若b＝2，c＝3，求a的值；(2)若a∶c＝3∶5，b＝16，求△ABC的面积．5．如图3，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB＝13，BD＝12，CD＝3.(1)求AD的长；(2)求△ABC的周长．图3知识点2勾股定理的实际应用6．为了迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室．大林搬来一架高为2.6米的木梯，准备把拉花挂到2.4米的墙上，开始梯脚与墙角的距离为1.5米，但高度不够．要想正好挂好拉花，梯脚应向墙角移动________米．(人的高度忽略不计)7．如图4，台风过后某中学的旗杆在B处断裂，旗杆顶部A落在离旗杆底部C点6米处，已知旗杆总长15米，则旗杆是在距底部__________米处断裂．图48．如图5，某人从点A处划船横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离目标点B 25 m，已知在河中实际划行65 m，求该河流的宽度．图59．如图6，某电信公司计划在A，B两乡镇间的E处修建一座5G信号塔，且使C，D 两个村庄到E处的距离相等．已知AD⊥AB于点A，BC⊥AB于点B，AB＝80 km，AD＝50 km，BC＝30 km，求5G信号塔E应该建在离A乡镇多远的地方．图6知识点3勾股定理的逆定理及其应用10．下列各组长度的线段中，能构成直角三角形的是()A．7，20，24 B．4，5，6 C．3，4，5D．3，4，511．如图7，在一次夏令营活动中，小明从营地点A出发，沿北偏西30°的方向走了5003米到达点B，然后再沿一定方向走了500米到达目的地点C，此时点A与点C之间的距离为1 000米，则点C在点B的()图7A．北偏东30°方向B．北偏东60°方向C．南偏西30°方向D．南偏西60°方向12．已知三角形的三边长分别为a，b，c，且满足(a＋b)2－c2＝2ab，则此三角形是______三角形．13．如图8，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，BC＝5，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，求DE的长．图814．某校数学兴趣小组参加社会实践活动，他们途中发现一块如图9所示的四边形草地ABCD，借助所带工具测得AB＝4米，BC＝12米，CD＝13米，AD＝3米，∠A＝90°.请求出四边形草地ABCD的面积．图9知识点4勾股定理及其逆定理的综合应用15．如图10，在Rt△OBC中，OC＝1，OB＝2，∠COB＝90°，以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交数轴于点A，若点A所表示的数为a，则a的值是()图10A．－5－2 B．－5C．5－2 D．－5＋216．如图11，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，则在△ABC中，边长为无理数的边有()图11A．3条B．2条C．1条D．0条17．若△ABC的三边a，b，c满足a－1＋|b－2|＋(c－3)2＝0，则△ABC是__________三角形．18．如图12，在△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，点E在AB上，把△ABC沿直线DE折叠，使点A与点B重合．(1)若∠A＝35°，求∠CBD的度数；(2)若AC＝8，BC＝6，求AD的长．图12常考训练基础题19．已知点A 的坐标为(2，－1)，则点A 到原点的距离为( )A ．3B ．3C ．5D ．1 20．如图13，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝9，AC ＝12，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，则CD 的长为( )图13A ．365B ．1225C ．94D ．3421．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 所对的边，若a ＋b ＝14，c ＝10，则△ABC 的面积是( )A ．24B ．36C ．48D ．6022．满足a 2＋b 2＝c 2的三个正整数a ，b ，c 称为勾股数，如3，4，5是一组勾股数．请写出一组勾股数(不是3，4，5的整数倍)：______________.23．如图14，在四边形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝3，CD ＝6，AD ＝25 .若AC ⊥BC ，求证：AD ∥BC .图14提升题24．由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是()A．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5B．∠A－∠B＝∠CC．a＝1，b＝2，c＝5D．(b＋c)(b－c)＝a225．如图15，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，A，B是格点，则网格中满足以A，B，C为顶点的三角形是等腰三角形的格点C有()图15A．2个B．3个C．4个D．5个26．如图16，在一次测绘活动中，某同学站在点A的位置观测停放于B，C两处的小船，测得船B在点A北偏东75°方向900米处，船C在点A南偏东15°方向1 200米处，则船B与船C之间的距离为__________米．图1627．如图17(1)，在矩形纸片ABCD中，AB＝5，BC＝3，先按图(2)操作，将矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使点D落在边AB上的点E处，折痕为AF；再按图(3)操作，沿过点F的直线折叠，使点C落在EF上的点H处，折痕为FG，则A，H两点间的距离为__________.图1728．如图18，在平面直角坐标系中，网格中每个小正方形边长都为1，△ABC的顶点都在格点上．(1)直接写出点A，B，C的坐标；(2)试判断△ABC的形状，并说明理由．图1829．如图19，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON＝30°.公路PQ上点A处距点O处240米.如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN 上从点O处出发沿ON方向以72千米/时的速度行驶时，点A处受噪音影响的时间为多少秒？图191．D 2.36 3.234．解：(1)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，b ＝2，c ＝3， ∴a ＝c 2－b 2 ＝5 .(2)∵a ∶c ＝3∶5，∴设a ＝3x ，则c ＝5x . ∵a 2＋b 2＝c 2，b ＝16，∴9x 2＋162＝25x 2.解得x ＝4(负值已舍去)． ∴a ＝12.∴S △ABC ＝12 ab ＝12×12×16＝96.5．解：(1)在Rt △ABD 中，∠ADB ＝90°，AB ＝13，BD ＝12， ∴AD ＝AB 2－BD 2 ＝5.(2)在Rt △ADC 中，∠ADC ＝90°，AD ＝5，CD ＝3 ， ∴AC ＝AD 2＋CD 2 ＝27 .∴△ABC 的周长为AB ＋BC ＋AC ＝AB ＋BD ＋CD ＋AC＝13＋12＋3 ＋27 ＝25＋3 ＋27 .6．0.5 7.6.38．解：根据题意，得AC ＝65 m ，BC ＝25 m. 在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，由勾股定理，得AB ＝AC 2－BC 2 ＝652－252 ＝60(米). 答：该河流的宽度为60米．9．解：设AE ＝x km ，则BE ＝(80－x )km.∵AD ⊥AB ，BC ⊥AB ，∴△ADE 和△BCE 都是直角三角形． ∴DE 2＝AD 2＋AE 2，CE 2＝BE 2＋BC 2. ∵AD ＝50 km ，BC ＝30 km ，DE ＝CE ，∴AD 2＋AE 2＝BE 2＋BC 2，即502＋x 2＝(80－x )2＋302，解得x ＝30. 答：5G 信号塔E 应该建在离A 乡镇30 km 远的地方． 10．D 11.D 12.直角13．解：如图1，过点D 作DH ⊥AC 于点H .图1∵AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ， ∴DH ＝DE .∵AB ＝4，AC ＝3，BC ＝5， ∴AB 2＋AC 2＝BC 2.∴△ABC 为直角三角形． ∵S △ABC ＝S △ABD ＋S △ADC ， ∴12 AB ·AC ＝12 DE ·AB ＋12 DH ·AC . ∴12 ×4×3＝12 DE ×4＋12 DH ×3＝12×(4DE ＋3DH ). 又DE ＝DH ，∴DE ＝127.14．解：(1)如图2，连接BD .图2在Rt △ABD 中，∠A ＝90°，AB ＝4米，AD ＝3米，根据勾股定理，得BD ＝AB 2＋AD 2 ＝42＋32 ＝5(米). 在△BCD 中，BD ＝5米，BC ＝12米，CD ＝13米， ∴BD 2＋BC 2＝CD 2.∴△BCD 是直角三角形，∠CBD ＝90°. ∴S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD＝12 AD ·AB ＋12 BD ·BC ＝12 ×3×4＋12 ×5×12 ＝36(平方米).答：四边形草地ABCD 的面积是36平方米． 15．D 16.B 17.直角18．解：(1)由折叠的性质，得∠ABD ＝∠A ＝35°. ∵∠C ＝90°，∴∠ABC ＝180°－90°－35°＝55°.∴∠CBD ＝∠ABC －∠ABD ＝55°－35°＝20°. (2)由折叠的性质，得AD ＝BD . 设CD ＝x ，则AD ＝BD ＝8－x .在Rt △CDB 中，CD 2＋BC 2＝BD 2，即x 2＋62＝(8－x )2.解得x ＝74.∴AD ＝8－74 ＝254 .19．C 20.A 21.A 22.5，12，13(答案不唯一)23．证明：∵AC ⊥BC ，∴∠ACB ＝90°.在Rt △ABC 中，根据勾股定理，得AC 2＝AB 2－BC 2＝52－32＝16. 在△ACD 中，AC 2＋AD 2＝16＋(25 )2＝36，CD 2＝36， ∴AC 2＋AD 2＝CD 2.∴△ACD 为直角三角形，且∠CAD ＝90°. ∴AC ⊥CD . 又AC ⊥BC ， ∴AD ∥BC .24．A 25.B 26.1 500 27.1028．解：(1)A (－1，5)，B (－5，2)，C (－3，1). (2)△ABC 是直角三角形．理由：∵AB 2＝32＋42＝25，BC 2＝12＋22＝5，AC 2＝22＋42＝20， ∴AC 2＋BC 2＝20＋5＝25＝AB 2. ∴△ABC 是直角三角形．29．解：如图3，过点A 作AC ⊥ON 于点C .图3在Rt △AOC 中，∠AOC ＝30°，OA ＝240米，∴AC＝120米．设当火车到点B时对A处开始产生噪音影响，当火车到点D时对A处结束噪声影响，则AB＝AD＝200米．∴BC＝CD.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝200米，AC＝120米，∴BC＝AB2－AC2＝2002－1202＝160(米).∴CD＝BC＝160米．∴BD＝320米．∵72千米/小时＝20米/秒，∴影响时间为320÷20＝16(秒).答：点A处受噪音影响的时间为16秒．。