新人教版八年级下数学第十七章勾股定理提高练习与常考难题和培优题压轴题(含解析)-

，在ABC 中，BAC ∠(1)求证：ABE CAD ∠=∠；(2)过点C 作CF BE ∥交AD 的延长线于点F ，试探索AE 与CF (3)如图2，若6AD BD AB ==，，求CE 的长．2．【阅读材料】如图①，四边形ABCD 中，AB AD B =∠+∠，3．【知识感知】我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．Rt ACB的直角边，，，BG GE，在ABC中，在整个运动过程中，当BCP是等腰三角形时，求，在平面直角坐标系中，点AQ CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，(1)如图1，连接,（填“会”或“不会”）；(2)如图1，当PBQ是直角三角形时，求点P的坐标；在ABC中，．在等腰直角ABC中，，延长BC∠=∠；(1)求证：MQB PAC(2)若22，，求DQ DH==(3)用等式表示线段MB与CP．在ABC中，(2)如图2，若点D在线段AB上，取．在ABC 中，(1)如图1，当ABC 为锐角三角形时，①依题意补全图形，猜想BAE ∠与BCD ∠之间的数量关系并证明；②用等式表示线段AE ，CE ，DE 的数量关系，并证明．(2)如图2，当ABC ∠为钝角时，直接写出线段问题解决：(1)先考虑特殊情况：①如果点E刚好和点A重合，或者点B刚好和点F重合时，AE “>”，“<”或“=”）；形ABC和△⊥BC AD正方形的三个顶点，可得ABC ，则，在ABC 中，是BC ．如图，ABC 是等腰直角三角形，上一点．时，求DEF 的面．和CDE 中，AC 上，连接(1)如图1，若30EDC ∠=︒，6EF =，求AEF △的面积；(2)如图2，若BD AE =，求AF 、AE 、BC 之间的数量关系；(3)如图3，移动点D ，使得点F 是线段AB 的中点时，3DB =，4AB =别是线段AC ，BC 上的动点，且AP CQ =，连接DP ，FQ ，求DP FQ +(1)如图1，若45CBD ∠=︒①求BCG ∠的度数；②求证：CE DG =；(2)如图2，若60CBD ∠=︒，当6AC DE −=时，求CE 的值(2)如图2，ABC ∆中，2B C ∠=∠，线段AC 的垂直平分线交AC 于点E ，交BC 于点D ．求证：AD 是ABC ∆的一条双腰分割线；(3)如图3，已知ABC ∆中，AD 是三角形ABC 的双腰分割线，且AB AD =．①若64B ∠=︒，求C ∠的度数；②若3AB =，5AC =，求BC 的长．参考答案：1．(1)见解析(2)AE CF =【分析】（1）利用三角形外角的性质以及角的和差定义解决问题即可．（2）如图1中，在AF 上截取AJ ，使得AJ BE =．证明SAS ABE CAJ ≌（），推出AE CJ =，再证明CF CJ =即可解决问题．（3）如图2中，过点B 作BK AD ⊥于K ，作CF BE ∥交AD 的延长线于F ，过点C 作CQ DF⊥于Q ．首先证明BE BD =， CD DF =，再证明EK DK =，DQ FQ =，2DK DQ =，2BK CQ =，AE DE CD CF ===，利用参数构建方程解决问题即可．【解析】（1）证明：∵BED ABE BAE BAC BAE CAD ∠=∠+∠∠=∠+∠，，又∵BED BAC ∠=∠，∴ABE BAE BAE CAD ∠+∠=∠+∠，∴ABE CAD ∠=∠．（2）解：结论：AE CF =．理由：如图1中，在AF 上截取AJ ，使得AJ BE =．∵BA AC ABE CAJ BE AJ =∠=∠=，，，∴SAS ABE CAJ ≌（），∴AE CJ AEB AJC =∠=∠，，∴BED CJF ∠=∠，∵BE CF ∥，∴BEJ F ∠=∠，∴CJF F ∠=∠，∴CJ CF =，∴AE CF =．（3）如图2中，过点B 作BK AD ⊥于K ，作CF BE ∥交AD 的延长线于F ，过点C 作CQ DF ⊥于Q ．设ABE CAD x CBE y ∠=∠=∠=，，∵AB AC DB DA ==，，∴DBA DAB ACB x y ∠=∠=∠=+，∴22BED ABE DAB x y BDE ACB CAD x y ∠=∠+∠=+∠=∠+∠=+，，∴BED BDE ∠=∠，∴BE BD =，∵AB CA ABE CAD =∠=∠，，∴AAS ABE CAD ≌（），∴AE CD BE AD ==，，∵CF BE ∥，∴F BED ∠=∠，∴F CDF ∠=∠，∴CD CF =，∵BE BD BK DE CD CF CQ DF =⊥=⊥，，，，∴EK KD DQ QF ==，，∵CQ BK ∥，∴:::1:2DQ DK CD BD CQ BK ===，∴可以假设2DQ m DK m ==，，∵222BD BE AD CD CF AE =====，∴48AE DE m AD BD m ====，，∴BK ==，∴CQ =，在Rt ABK △中，∵222AB AK BK=+，∴()()22266m =+，∴m， ∴DQ =，CQ ，5EQ m ==，∵90CQE ∠=︒，∴CE =．【点评】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．2．阅读材料：见解析；解决问题：少370m【分析】阅读材料：延长CB 到点M ，使BM DF =，连接AM ，如图，利用已知条件可得D ABM ∠=∠，进而可证明ABM ADF ≅，可得,AM AF MAB DAF =∠=∠，再证明AEM AEF ≅，可得=ME EF ，进而可得结论；解决问题：如图，作辅助线，构建阅读材料的图形，先根据四边形的内角和定理证明90G ∠=︒ ，分别计算,,,CG DG AD AG 的长，由线段的和与差可得,AM AN 的长，最后由阅读材料的结论可得MN 的长，计算AM AN MN +−可得答案．【解析】阅读材料：证明：延长CB 到点M ，使BM DF =，连接AM ，如图，∵180ABC D ∠+∠=︒，180ABC ABM ∠+∠=︒，∴D ABM ∠=∠，∵,,AB AD ABM D BM DF =∠=∠=，∴ABM ADF ≅，∴,AM AF MAB DAF =∠=∠，∵2BAD EAF ∠∠=，∴BAE DAF BAE BAM EAM EAF ∠+∠=∠+∠=∠=∠，又∵,AM AF AE AE ==，∴AEM AEF ≅，∴=ME EF ，∴EF MB BE BE DF =+=+；解决问题：解：如图，延长DC AB ，交于点G ，连接CN CM ，，∵60120150D ABC BCD ∠=︒∠=︒∠=︒，，，∴3606012015030A ∠=︒−︒−︒−︒=︒，∴90G ∠=︒，∴2AD DG =，在Rt CGB △中，18015030BCG ∠=︒−︒=︒，∴1502BG BC CG ===，∴100DG CD CG =+=+∴2200150AD DG AG ==+==+∵100DM =，∴200100100AM AD DM =−=+=+∵)50501BG BN ==，，∴)150********AN AG BG BN =−−=+−=+GN BG BN =+= ∵60CD DM D =∠=︒，，∴DCM △ 是等边三角形，∴60DCM ∠=︒，∵GC GN ==∴CGN 是等腰直角三角形，∴45GCN ∠=︒，∴453015BCN ∠=︒−︒=︒， ∴11506015752MCN BCD ∠=︒−︒−︒=︒=∠，由【阅读材料】的结论得：)10050150MN DM BN =+=+=+∵()10015050200370AM AN MN +−=++=+≈（m ）． ∴路线M→N 的长比路线M→A→N 的长少370m ．【点评】此题主要考查了含30︒的直角三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定和性质，二次根式的混合运算等知识与方法，解题的关键是作出所需要的辅助线，构造含30︒的直角三角形，再利用线段的和与差进行计算．3．(1)是，见解析(2)2222AD BC AB CD ++＝，见解析【分析】（1）根据垂直平分线的判定定理证明即可；（2）根据垂直的定义和勾股定理解答即可；（3）根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算．【解析】（1）如图2，四边形ABCD 是垂美四边形．证明：连接AC BD 、交于点E ，∵AB AD =，∴点A 在线段BD 的垂直平分线上，∵CB CD =，∴点C 在线段BD 的垂直平分线上，∴直线AC 是线段BD 的垂直平分线，∴AC BD ⊥，即四边形ABCD 是垂美四边形；（2）猜想结论2222AD BC AB CD ++＝．如图1，已知四边形ABCD 中，∵AC BD ⊥，∴90AOD AOB BOC COD ∠=∠=∠=∠=︒，由勾股定理得，222222AD BC AO DO BO CO +=+++，222222AB CD AO BO DO CO +=+++，∴2222AD BC AB CD ++＝；（3）如图3，连接CG BE 、，∵90CAG BAE ∠=∠=︒，∴CAG BAC BAE BAC ∠+∠=∠+∠，即GAB CAE ∠∠＝，在GA B 和CAE V 中，AG AC GAB CAEAB AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()SAS GAB CAE V V ≌， ∴ABG AEC ∠=∠，又90AEC AME ∠+∠=︒，∴90ABG BMN ∠+∠=︒，∴90BNC ∠=︒，即CE BG ⊥，∴四边形CGEB 是垂美四边形，由（2）得，2222CG BE CB GE +=+，∵810AC AB ==，，∴6BC CG ==，BE =∴((22222226292GE CG BE CB =+−=+−=，∴GE ==【点评】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．4．(1)4,4t − (2)52t = (3)1或535或9.5或10【分析】（1）利用勾股定理求出AC ，利用CP AC AP =−，求出CP ；（2）过点P 作PD AB ⊥，交AB 于点D ，利用勾股定理列式求解即可；（3）分,,BC CP BP CP BC BP ===，三种情况进行讨论求解即可．【解析】（1）解：∵90,5,3ACB AB BC ∠=︒==，∴4AC =；∵点P 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿路线A C B A →→→运动，∴当点P 在AC 上时，AP t =，∴4CP AC AP t =−=−；故答案为：4,4t −；（2）解：点P 作PD AB ⊥，交AB 于点D ，则：90PDA PDB ∠=∠=︒，∵点P 在ABC ∠的角平分线上，90ACB ∠=︒，∴90ACB PDB ∠=∠=︒，PD PC =，又∵BP BP =，∴()HL PBD PBC ≌，∴3BD BC ==，∴2AD AB BD =−=，由（1）知,4AP t CP t ==−，∴4PD PC t ==−，在Rt ADP 中，222AP PD AD =+，即：()22242t t =−+， 解得：52t =； （3）解：P 点运动的总时间为：()543112++÷=秒，当BCP 是等腰三角形时： ①当BC CP =，点P 在AC 上时：如图，此时：43t −=，解得：1t =；当BC CP =，点P 在AB 上时：如图，过点C 作CE AB ⊥，交AB 于点E ，则：72BP t AC BC t BE =−−=−=， ∵1122ABC S AC BC AB CE =⋅=⋅，即：435CE ⨯=， ∴125CE =，∴95BE ==， ∴1875BP t =−=， ∴535t =； ②当BP CP =时，如图：由①可知：912,7,55BE BP t CE ==−=， ∴97,75PE t CP t =−−=−，在Rt PEC 中，222CP PE CE =+，即：()2224412755t t ⎛⎫⎛⎫−=−+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 解得：9.5t =；③当BC BP =时，如图：此时：73BP t =−=，解得10t =；综上：当BCP 是等腰三角形时，t 的值为：1或535或9.5或10．【点评】本题考查三角形上的动点问题．熟练掌握勾股定理，以及等腰三角形的定义是解题的关键．注意，分类讨论．5．(1)不会(2)当PBQ 是直角三角形时，点P的坐标为43⎛ ⎝⎭或23⎛ ⎝⎭(3)(1,P −，120CMQ ∠=︒【分析】(1)先利用SAS 证明ABQ CAP ≌，得BAQ ACP ∠=∠，利用外角的性质并进行等量代换可得60CMQ ACP CAM BAQ CAM BAC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒(2)分90,90PQB BPQ ︒∠=︒∠=两种情况， 利用直角三角形中30度角所对直角边等于斜边的一半列式求解（3）作PM x ⊥轴，先根据30度角的性质和勾股定理求出1MB =cm和MP =cm ，进而求出(1,P −，再根据SAS 证明ACQ CBP ≌，最后根据外角的性质并进行等量代换作答即可【解析】（1）解：在等边三角形ABC 中,60AB AC CBA CAP ︒=∠=∠=且点A 、点Q 同时出发，且它们的速度都为1cm/s AP =BQ ∴(SAS)ABQ CAP ∴≌BAQ ACP ∴∠=∠60CMQ ACP CAM BAQ CAM BAC ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒故答案为：不会（2）解：设运动时间为t 秒，则,4AP BQ t PB t ===−①当90PQB ∠=︒时60ABC ∠=︒30BPQ ∠=︒∴12BQ PB ∴=，即1(4)2t t =− 解得43t = 即48433BP =−= 60ABC ∠=︒∴43P ⎛ ⎝⎭ ②当90BPQ ∠=︒时60ABC ∠=︒30PQB ∴∠=︒12PB BQ ∴=，即142t t −= 解得83t = 即84433BP =−=60ABC ∠=︒∴23P ⎛ ⎝⎭ ∴当PBQ 是直角三角形时，点P的坐标为43⎛ ⎝⎭或23⎛ ⎝⎭ （3）∵12BP BC =∴2BP =cm作PM x ⊥轴∵60ABC ∠=︒∴60PBM ∠=︒∴60PBM ∠=︒∴30MPB ∠=︒∴1MB =cm由勾股定理得MP =cm∴(1,P −在等边三角形ABC 中,60BC AC ABC ACB ︒=∠=∠=∵点A 、点Q 同时出发，且它们的速度都为1cm/sBP CQ ∴=，120PBC ACQ ∠=∠=︒(SAS)ACQ CBP ∴≌CMQ APM PAM APM PAC CAQ AQB PAC CAQ ∴∠=∠+∠=∠+∠+∠=∠+∠+∠180AQB PAC CAQ ABC ∠+∠+∠+∠=︒，60ABC ∠=︒18060120CMQ ∴∠=︒−︒=︒【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，外角的性质，直角三角形30度角的性质，勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键．6．(1)见解析(2)(1）是，证明见解析；(2）存在，66013CP =.【分析】（1）根据阅读材料给出的定义结合已经学过的三角形的知识点，推到即可得出结论；（2）根据已知条件利用相似三角形即可得出①中的作法是符合条件的；第②小题根据已知条件画出图形，再根据图形得出结论．【解析】（1）解：①∵BD 为△ABC 的角平分线，∠ABC ＝2∠C∴∠=∠DBC C∴BD CD =∴图中相等的线段有BD CD =∵A A ∠=∠，2ADB ABC C ∠=∠=∠∴ADB ABC ∽∴图中相似的三角形有：ADB 和ABC②∵AC 的中垂线交边BC 于点E∴AE EC =∴AEC △是等腰三角形∵2AEB C ∠=∠，2ABC C ∠∠＝∴AB AE =∴ABE 是等腰三角形（2）解：①符合要求，延长EF 交AD 于N ，则四边形ABEN 为矩形∴48AB EN ==，1662AN BE EC BC ====∵33EF =∴483315NF EN EF =−=−=∵PN BC ∥∴PFN CFE ∽ ∴PN NF PF EC EF FC == ∴153366PN = ∴1553311PF FC == ∴663036AP AN PN =−=−=∵90A ∠=︒∴60BP = ∴60513211BP FC == ∴BP PF BC FC = 作FK BP ⊥于K ∴BPF BCF SPF S FC =∴1212FK BP PF FCEF BC ⋅=⋅∴FK EF =∵FK BP ⊥，FE BC ⊥ ∴BF 平分PBC ∠∴1FBE PBC 2∠=∠∵F 在BC 的垂直平分线上∴FB FC =∴FBC FCB ∠=∠∴2PBC PCB ∠=∠∴符合要求②存在， 66013CP =.I.若P 在AD 上时，连接BD ，如图所示，∴PBC DBC ∠>∠，PCB DCB ∠<∠取BD 的中垂线交BC 与G ，作DH BC ⊥于H∴四边形ABHD 为矩形∴48HD AB ==，68BH AD ==，DG GB =，1326864CH BC BH =−=−=，∴80DC =，设GH x =，则68BG DG x ==−∵90DHG ∠=︒∴由勾股定理222GH DH DG +=∴()2226848x x −=+∴22136684811620x =−=⨯ ∴2906417x =<在CH 上取点M ，使29017HM GH ==，连接DM∴DMB DCB PCB ∠>∠>∠∵DG BG =∴DBC GDB ∠=∠∴22DGC GDB DBC DBC PBC ∠=∠+∠=∠<∠∴HM GH =，DH MG ⊥∴DG DM =∴DMB DGC ∠=∠∴2PBC PCB ∠>∠∴在AD 上所有点都满足2PBC PCB ∠>∠∴不存在；II. 若P 在AB 上时，如图所示，∵BP AB BC <<，∴45BCP ∠<︒，∴2PBC BCP ∠≠∠，∴在AB 上不存在其它满足要求的△BCP ；III. 若P 在AB 上时，如图所示，作BC 的垂直平分线交AD 于点L 、交BC 于点R ，作BCD ∠的平分线交RL 于点O ，连结BO 并延长交DC 于点P ，此时有22BCD BCO PBC ∠=∠=∠， ∴△BCP 是以BC 为底边的倍角三角形，作OU DC ⊥于点U ，连结OA 、OD ，∵CO 平分BCD ∠，OR BC ⊥，OU DC ⊥，∴OR OU =，设OR x =，则OU x =，48OL x =−，由AOB BOC COD AOD ABCD S S S S S =+++梯形得11111(68132)4848661328068(48)22222x x x ⨯+⨯=⨯⨯+⨯+⨯+⨯⨯−，解得：22x =在Rt BOR 中，OB =∴OC OB ==∵OCP OCB PBC ∠=∠=∠，2POC PBC OCB PBC PCB ∠=∠+∠=∠=∠，∴PBC PCO ~，∴CP BP BC OP CP OC ==∴OP =，BP =， 由BP OP OB −=得= 解得，66013CP =【点评】本题考查了角的倍数关系，角平分线的性质，相似三角形的判定等相关知识，明确题意根据已知条件画出图形是解题的关键．7．(1)45，=(2)(3)【分析】（1）根据等腰直角三角形的三线合一即可得到90,ADC AD CD BD ∠=︒==，由此推出,45BC BA AD D C ⊥∠=︒=∠，证明ADE CDF △△≌，得到,DE DF ADE CDF =∠=∠，求出DEF 是等腰直角三角形，勾股定理得到EF =DE ；（2）证明(SAS)ADE CDF ≌V V ，得到DE DF =，ADE CDF ∠=∠，推出DE DF ⊥，再由勾股定理得到答案；（3）分两种情况，①当H 在线段AC 上时，②当H 在线段AC 的延长线上时，连接MC ，过点M 作MF AC ⊥于F ，由等腰三角形的性质及等腰直角三角形的性质可得出答案．【解析】（1）解：在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，45B BCA ∠=∠=︒，D 是BC 的中点，∴,45BC BA AD D C ⊥∠=︒=∠，∴90,ADC AD CD BD ∠=︒==，∵AE CF =，∴ADE CDF △△≌（SAS ），∴,DE DF ADE CDF =∠=∠，∵90CDF ADF ADC ∠+∠=∠=︒，∴90ADE ADF ∠+∠=︒，∴DEF 是等腰直角三角形，∴EF ==，故答案为：45，=（2）解：∵AB AC =，90BAC ∠=︒，∴45B ACD ∠=∠=︒，∵AB AC =，点D 是BC 的中点，∴AD BC ⊥，45BAD CAD ∠=∠=︒∴AD CD =，90ADC ∠=︒，∴BAD ACD ∠=∠，∴180180BAD ACD ︒−∠=︒−∠，即EAD FCD ∠=∠，∵45ACD CAD ∠=∠=︒，∴AD CD =，在ADE V 和CDF 中，AD CD EAD FCD AE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴(SAS)ADE CDF ≌V V ，∴DE DF =，ADE CDF ∠=∠，∴90EDF CDF EDC ADE EDC ADC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒，∴DE DF ⊥，在Rt EDF 中，DE DF =，4EF =，∴DE EF ==（3）解：①当H 在线段AC 上时，如图，连接MC ，过点M 作MF AC ⊥于F ，∵,AD BC BD CD ⊥=，∴AM 是线段BC 的中垂线，∴MB MC =，∴MBC MCB ∠=∠，∵AB AC =，∴A ABC CB =∠∠，∴ABM ACM ∠=∠，又∵90BAC BMH ∠=∠=︒，360BAH ABM BMH AHM ∠+∠+∠+∠=︒，∴180ABM AHM ∠+∠=︒，∵180AHM MHC ∠+∠=︒，∴ABM MHC ∠=∠，∴MCH MHC ∠=∠，∴MH MC =，∵2CH =， ∴112HF CF CH ===， ∵6AC =，∴615AF AC CF =−=−=，∵45DAC ∠=︒，∴5AF MF ==，∴AM =∵6AB AC ==，90BAC ∠=︒，D 是BC 的中点，∴12AD BC ==∴DM AM AD =−=②当H 在线段AC 的延长线上时，如图，连接MC ，过点M 作MF AC ⊥于F ， 同理可得1CF HF ==，∴617AF AC CF =+=+=，∴AM =∴DM AM AD =−=综上，DM 的长为【点评】此题是三角形的综合题，主要考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质及等腰直角三角形的判定和性质，根据已知得出ADE CDF V V ≌是解题的关键．8．(1)见解析(2)HM =(3)MB ，证明见解析【分析】（1）由直角三角形两个锐角互余即可得出90APC PAC ∠+∠=︒，90MQB APC ∠+∠=︒，从而得出MQB PAC ∠=∠；（2）连接AQ ，DP ．由题意易得出AC 为线段QP 的垂直平分线，即得出2DP DQ ==，QAC PAC ∠=∠，AP AQ =，从而由勾股定理可求出PH DH ．进而易证(AAS)DAH PQH ≌，得出2AH QH DQ DH ==+=，再根据勾股定理可求出2AQ ==．又易证QAM QMA ∠=∠，即得出2QM QA ==，从而由HM QM DH =−求解即可；（3）作ME QB ⊥于点E ，易证(AAS)APC QME ≌，即得出PC ME =．再根据MEB 是等腰直角三角形，即得出MB =，从而得出MB ．【解析】（1）∵90ACB ∠=︒，QH AP ⊥，∴90APC PAC ∠+∠=︒，90MQB APC ∠+∠=︒，∴MQB PAC ∠=∠；（2）如图，连接AQ ，DP ．∵CQ CP =，90ACB ∠=︒，∴AC 为线段QP 的垂直平分线，∴2DP DQ ==，QAC PAC ∠=∠，AP AQ =，∴PH DH =．又∵DAH PQH ∠=∠，90AHD QHP ∠=∠=︒，∴(AAS)DAH PQH ≌，∴2AH QH DQ DH ==+=∴2AQ ==．∵45QAM QAC CAB QAC ∠=∠+∠=∠+︒，45QMA MQB B BQM ∠=∠+∠=∠+︒， ∴QAM QMA ∠=∠，∴2QM QA ==，∴2(2HM QM DH =−=−=（3）MB ．证明如下，如图，作ME QB ⊥于点E ，由（2）可知AP AQ QM ==，又∵90MQE PAC ACP QEM ∠=∠∠=∠=︒，，∴(AAS)APC QME ≌，∴PC ME =．∵MEB 是等腰直角三角形，∴BE ME =．∵222BE ME MB +=，∴MB ，∴MB =．【点评】本题考查等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理．正确作出辅助线是解题的关键．9．(1)见解析(2)①见解析；②2AE CF =；证明见解析【分析】（1）根据“SAS ”证明≌ACD BCE V V ，得出AD BE =，DAC CBE ∠=∠，证明ABE为直角三角形，根据勾股定理得出222AB BE AE +=，即可得出答案；（2）①根据题意补全图形即可；②延长CF ，截取FG CF =，连接BG ，证明CFD GFB ≌，得出CD BG =，GBF CDF ∠=∠，证明()SAS ACE CBG ≌即可得出结论．【解析】（1）证明：∵90ACB ∠=︒，AC BC =，∴190452CAB CBA ∠=∠=⨯︒=︒，∵90DCE ∠=︒，∴90DCA ACE ACE ECB ∠+∠=∠+∠=︒，∴DCA ECB ∠=∠，∵AC BC =，CE CD =，∴()SAS ACD BCE △≌△，∴AD BE =，DAC CBE ∠=∠，∵180135DAC CAB ∠=︒−∠=︒，∴135CBE ∠=︒，∴90ABE CBE CBA ∠=∠−∠=︒，∴ABE 为直角三角形，∴222AB BE AE +=，∴222AB AD AE +=．（2）解：①依题意补全图2如图所示：②2AE CF =；理由如下：如图，延长CF ，截取FG CF =，连接BG ，∵F 为BD 的中点，∴BF DF =，∵CFD GFB ∠=∠，CF FG =，∴()SAS CFD GFB ≌，∴CD BG =，GBF CDF ∠=∠，∵CD CE =，∴BG CE =，∵45CDF DCA CAD DCA ∠=∠+∠=∠+︒，∴45GBF CDF DCA ∠=∠=∠+︒，∴454590CBG FBG CBA DCA DCA ∠=∠+∠=∠+︒+︒=∠+︒，∵90ACE DCA DCE DCA ∠=∠+∠=∠+︒，∴ACE CBG ∠=∠，∵AC BC =，CE BG =，∴()SAS ACE CBG ≌，∴2AE CG CF FG CF ==+=．【点评】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，余角的性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形．10．(1)见解析(2)见解析(3)22AD =，20AB =【分析】（1）由“SAS ”可证AOB ≌COD △，可得OB OD =；（2）由AOB ≌COD △得OAB OCD ∠=∠，AOB COD ∠=∠，从而得出AOC BOD ∠=∠，AOC APC ∠=∠，根据180APC APD ∠+∠=︒和1902APD COB ∠=︒+∠进一步得出结论；（3）作BF OD ⊥于F ，作CG OA ⊥于G ，设2BD OE a ==，根据1122BOD S OD BF BD OE =⋅=⋅，BF =，从而45BF OB ，设4BF k =，5OD OB k ==，则3OF k =，根据B F O C G O ，表示各边，并求出OG 和CG ，根据AB CD =列出方程，从而求得k ，进一步求得结果．【解析】（1）证明：在AOB 和COD △中，OA OC BAO DCOAB CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴AOB ≌COD △，∴OB OD =；（2）证明：由（1）知：AOB ≌COD △，∴OAB OCD ∠=∠，AOB COD ∠=∠，∴AOB BOC COD BOC ∠−∠=∠−∠，即：AOC BOD ∠=∠.∵180A P C O C D C E P ∠=︒−∠−∠，180A O C B A O A E O ∠=︒−∠−∠，∴AOC APC ∠=∠.∵180APC APD ∠+∠=︒，∴180A O C A P D ∠+∠=︒. ∵1902APD COB ∠=︒+∠， ∴1(90)1802AOC COB ∠+︒+∠=︒，∴2180A O C B O C ∠+∠=︒，∴180A O C B O D B O C ∠+∠+∠=︒，∴A ，O ，D 三点共线；（3）解：如图，作BF OD ⊥于F ，作CG OA ⊥于G ，设2BD OE a ==，∵OB OD =，∴BE DE a ==.∵90BEO ∠=︒，∴OD OB ===. ∵1122BOD S OD BF BD OE =⋅=⋅，22BF a a ⋅=⋅，∴BF =，∴45BF OB=， ∴设4BF k =，5OD OB k ==，则3OF k =，∵AOC BOD ∠=∠，90B F O C G O ∠=∠=︒，∴B F O C G O ，∴::::3:4:5O G C G O C O F B F O B ==，设3OG x =，4CG x =，5OC x =，∴57x =， 解得75x =， ∴2135OG x ==，2845CG x ==，在Rt CDG △和Rt AFB 中，由勾股定理得，222D C C G D G =+，222AB AF BF =+，且AB CD =， ∴22222821()(5)(37)(4)55k k k ++=++，解得3k =，∴412BF k ==，15OB OD ==，39OF k ==，33716A F =⨯+=，∴71522AD OA OD =+=+=.∵222221216400A B B F A F =+=+=，∴20AB =．【点评】本题主要考查了等腰三角形性质，勾股定理，全等三角形判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，根据面积法求得线段间关系．11．(1)①图形见解析；猜想：BAE BCD ∠=∠， 理由见解析；②见解析；(2)线段AE ，CE ，DE 的数量关系：CE AE =．【分析】(1)①依题意补全图形，由直角三角形的性质得出90BAE B ∠+∠=︒，90BCD B ∠+∠=︒，即可得出BAE BCD ∠=∠；②在AE 上截取AF CE =，可证出ACD 是等腰直角三角形，得出AD CD =，可证明()ADF CDE SAS ≌△△，得出DF DE =，ADF CDE ∠=∠，可推出90CDE FDC EDF ∠︒+∠=∠=，证出EDF 是等腰直角三角形，即可得出结论CE AE =；(2) 在CE 上截取CF AE =，连接DF ，由CD AD ⊥，AE BC ⊥，可得EAD DCF ∠=∠，由45BAC ∠=︒可得AD CD =，可证()ADE CDF SAS △≌△，可得ED DF =，ADE CDF ∠=∠，可推出90EDF ∠=︒，可得EDF 是等腰直角三角形故EF ，即可得线段AE ，CE ，DE 的数量关系．【解析】（1）解：①依题意，补全图形，如图1所示．猜想：BAE BCD ∠=∠，理由如下：∵CD AB ⊥，AE BC ⊥，∴90BAE B ∠+∠=︒，90BCD B ∠+∠=︒，∴BAE BCD ∠=∠，②证明：如图2，在AE 上截取AF CE =，连接DF∵45BAC ∠=︒，CD AB ⊥，∴ACD 是等腰直角三角形，∴AD CD =，在ADF △和CDE 中，DA CD BAE BCDAF CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()ADF CDE SAS ≌△△，∴DF DE =，ADF CDE ∠=∠，∵AB CD ⊥，∴90ADF FDC ∠+∠=︒，∴90CDE FDC EDF ∠︒+∠=∠=，∴EDF 是等腰直角三角形，∴EF =，∵AF EF AE +=，∴CE AE =．（2）解：依题意补全图形，如图3所示，在CE 上截取CF AE =，连接DF ，∵CD AD ⊥，AE BC ⊥，∴90ADC AEC ∠=∠=︒，∴90EAB ABE ∠+∠=︒，90DBC DCF ∠+∠=︒，ABE CBD ∠=∠，∴EAD DCF ∠=∠，∵45BAC ∠=︒，∴45DCA ∠=︒，∴AD CD =，在ADE V 和CDF 中，AD CD EAD DCFCF AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()ADE CDF SAS △≌△，∴ED DF =，ADE CDF ∠=∠，∵90CDF ADF ∠+∠=︒，∴90ADE ADF ∠+∠=︒，∴90EDF ∠=︒，∴EDF 是等腰直角三角形，∴EF =，∵CE CF EF =+，∴CE AE =，∴线段AE ，CE ，DE 的数量关系：CE AE =．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知，证明三角形全等是解题的关键．12．(1)①=，②＞(2)＞(3)【分析】（1）①连接BD ，先证明CDB △是等边三角形，即60ACB CBD BDC ∠=︒=∠=∠，当F 点与B 点重合时，即0BF =，根据“三线合一”可得AE EF =，即有AE BF EF +=，同理：如果点E 刚好和点A 重合，同样有AE BF EF +=；问题得解；②先证明DEF 是等边三角形，根据等腰三角形的性质可得AE EF =，再结合含30︒角的直角三角形的性质可以求出BF AC =，即问题得解； （2）将DF 绕D 点逆时针旋转120°至DM ，连接AM ME ，，先证明DEM DEF ≌V V ，再证明ADM BDF ≌△△，问题即可得解；（3）将DF 绕D 点逆时针旋转120︒至DN ，连接AN NE ，，根据（2）中的方法，同理可证明：DEN DEF ≌V V ，ADN BDF ≌V V ，再证明ANE 是直角三角形，90ANE ∠=︒，结合含30︒角的直角三角形的性质即可求解．【解析】（1）①如图，连接BD ，根据题意有90ABC ∠=︒，60ACB ∠=︒，即30CAB ∠=︒，∵点D 为AC 中点， ∴12AD DC BD AC ===，∴CDB △是等边三角形，（此结论也适用于第（2）和（3）问）∴60ACB CBD BDC ∠=︒=∠=∠，∵30CAB ∠=︒，∴在Rt ABC △中，12BC AC =，∴AB AC ，当F 点与B 点重合时，如上图左图，即0BF =，∵60EDF DBC ∠=︒=∠，∴DE BC ∥，∴90AED ABC ∠=∠=︒，∴DE AF ⊥，∵AD BD =，∴AE EF =，∵0BF =，∴AE BF EF +=，同理：如果点E 刚好和点A 重合，同样有AE BF EF +=，故答案为：=；②当30ADE ∠=︒时，如图，∵30ADE ∠=︒，30DAE ∠=︒，∴60DEF ∠=︒，AE DE =，∵60EDF ∠=︒，∴DEF 是等边三角形，90ADF Ð=°，∴DE EF =，∴AE EF =，∵90ADF Ð=°，30DAE ∠=︒，∴在Rt ADF 中，12DF AF =，∴AF AB =，∴AF AC =，∴BF AB AF AC AC AC =−==，∵AE EF =，BF AC ，∴AE BF EF +＞，故答案为：＞；（2）AE BF EF +＞，理由如下：将DF 绕D 点逆时针旋转120︒至DM ，连接AM ME ，，如图，根据旋转的性质有：120MDF ∠=︒，DF DM =，∵60FDE ∠=︒，∴60MDE ∠=︒，∵DE DE =，∴DEM DEF ≌V V ，∴EM EF =，∵60CDB ∠=︒，∴120ADB ∠=︒，即：ADB MDF ∠=∠，∵ADB ADF FDB ∠=∠+∠，MDF ADF ADM ∠=∠+∠，∴BDF ADM ∠=∠，∵AD BD =，MD DF =，∴ADM BDF ≌△△， ∴AM BF =，∴在AME △中，AM AE ME +＞，∴BF AE EF +＞，故答案为：＞；（3）将DF 绕D 点逆时针旋转120︒至DN ，连接AN NE ，，如图，根据（2）中的方法，同理可证明：DEN DEF ≌V V ，ADN BDF ≌V V ，∴AN BF =，NE EF =，DBF DAN ∠=∠，∵222BF EF AE +=，∴222AN NE AE +=，∴ANE 是直角三角形，90ANE ∠=︒，∵在（1）中已证明60CBD ∠=︒，∴30DAN DBF ∠=∠=︒，∴60NAE DAN CAB ∠=∠+∠=︒，∴30AEN ∠=︒， ∴12AN AE =，∴NE AE ，∴EF NE AE AE=． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，含30︒角直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理等知识，合理构筑辅助线，证明三角形全等是解答本题的关键．13．(1)见解析(2) (3)94x =【分析】（1）表示出三个图形的面积进行加减计算可证222+=a b c ；（2）计算出ABC 的面积，再根据三角形的面积公式即可求得AB 边上的高；（3）运用勾股定理在Rt ABD 和Rt ADC 中求出2AD ，列出方程求解即可；【解析】（1）证明：∵2 12ABCD S c =四边形，() 12AEDC S b a b =+梯形，()12BED S a b a =−△， BED ABCD AEDC S S S =+△四边形梯形 ∴()()2111222c b a b a b a =++− ∴2221111122222c b ab a ab =++− ∴222+=a b c（2）111442424226222ABC S =⨯−⨯⨯−⨯⨯−⨯⨯=，AB =11622ABC S AB h =⨯=⨯=， 655h =即AB 边上的高是（3）解：在Rt △ABD 中，由勾股定理得222222416AD AB BD x x =-=-=-∵6BD CD BC +==，∴6CD BC BD x =−=−在Rt ACD △中，由勾股定理得()222222561112AD AC CD x x x =−=−−=−+−∴22161112x x x -=-+-， ∴94x =【点评】此题主要考查了梯形，证明勾股定理，勾股定理的应用，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，是解本题的关键．构造出直角三角形DEF 是解本题的难点．14．(1)见解析(2)(3)【分析】（1）证明ACE BCF △△≌，即可解决问题； （2）先由全等三角形的性质和三角形的外角性质，证出90ACD DFB ∠=∠=︒，再由勾股定理即可解决问题；（3）作FH BC ⊥于H ．先证明BCF △是底角为30°的等腰三角形，再求出CF FB FH ，，的长，然后根据DEF ECD CDF ECF S S S S =+−计算即可．【解析】（1）证明：∵ABC ECF ，都是等腰直角三角形，∴90CA CB CE CF ACB ECF ==∠=∠=︒，，，∴ACE BCF ∠=∠，∴()SAS ACE BCF ≌，∴CAE CBF ∠=∠；（2）解：∵90AC BC ACB ==∠=︒，∴AB ==由（1）得：CAD DBF ∠=∠，∵ADB CAD ACD DBF DFB ∠=∠+∠=∠+∠，∴90DFB ACD ∠=∠=︒，∴AF == （3）解：过点F 作FH BC ⊥于H ，如图3所示：∵ABC 是等腰直角三角形，90ACB AC BC ∠=︒=，，∴45BAC ABC ∠=∠=︒，∵15BAD ∠=︒，∴451530CAE ∠=︒−︒=︒，∴30ACE CAE ∠=∠=︒，∴==AE CE CF ，同（1）得：()SAS ACE BCF ≌，∴30BF AE ACE BCF =∠=∠=︒，，∴CF BF =，∴30BCF CBF ∠=∠=︒，∵FC FB FH BC =⊥，，∴12CH BH BC ===，32FH ==，23CF BF FH ===，∵60903060CED CAE ACE ECD ∠=∠+∠=︒∠=︒−︒=︒，，∴ECD 是等边三角形，∴3EC CF CD ===，∴DEF ECD CDF ECF S S S S =+−21313333222=+⨯⨯−⨯⨯=．【点评】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．15．(1)AEFS =；AC BD =+，证明见解析；(3)DP FQ +【分析】（1）过点F 作FG AC ^于点G ，在Rt EFG △中利用勾股定理求得GF 的长，在等腰直角三角形AFG 中即可求得AG 的长，从而可得答案；（2）过点E 作EH AC ⊥交AB 于点H ，过点H 作HM BC ⊥于点M ，通过证明HEF DBF ≌，利用全等三角形的性质与等腰直角三角形的性质即可得出结论；（3）过点F 作FM AC ⊥于点M ，延长FM 至F '使F M FM '=，则F '与F 关于AC 对称，过点F '作F N BC '⊥，交BC 的延长线于点N ，证明APF CQF ≌，利用轴对称解决路径最短问题即可求得结论．【解析】（1）解：过点F 作FG AC ^于点G ，如图，∵90,ACB AC BC ∠=︒=，∴45A ABC ∠=∠=︒，∵90,30ECD EDC ∠=︒∠=︒，∴60DEG ∠=︒．∵,6FG AC EF ⊥=， ∴132EG EF ==，∴FG ==∵,45FG AC A ⊥∠=︒，∴AG FG ==∴3AE AG EG =−=．∴)11322AEF S AE FG ==⨯=． （2）解：过点E 作EH AC ⊥交AB 于点H ，过点H 作HM BC ⊥于点M ，如图，∵,45EH AC A ⊥∠=︒，∴,AE EH AH ==．∵BD AE =，∴EH BD =．∵,EH AC DC AC ⊥⊥，∴HE CD ∥，∴HEF D ∠=∠．在HEF 和DBF 中，HEF D HFE BFD EH DB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()AAS HEF DBF ≌． ∴12HF BF BH ==．∵90HEC ACB HMC ∠=∠=∠=︒，则90EHM ∠=︒，∴HM AC ∥，而HE CD ∥，∴由平行线间的距离处处相等可得：,CM HE HM CE ==，∵,45HM BC ABC ⊥∠=︒，∴EC HM ==，∴12AF AH HF BH =++． ∴2AE BH =，即：AE AE CE AE AC =++=+． ∴AC BD =+．（3）解：∵AB = F 是线段AB 的中点，90ACB ∠=︒，∴4,45,AF FB FC AC BC A ABC CF AB =====∠=∠=︒⊥．∴45FCQ A ∠=∠=︒．在APF 和CQF △中，AP CQ A FCQ AF FC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴APF CQF ≌．∴PF FQ =． ∴DP FQ DP PF +=+．过点F 作FN AC ⊥于点M ，延长FM 至F '使F M FM '=，则F '与F 关于AC 对称， 连接DF '交AC 于点P ，如图，则此时DP FP DF '+=，取得最小值， 过点F '作F N BC '⊥，交BC 的延长线于点N ，∵90,,45AFC FM AC A ∠=︒⊥∠=︒， ∴112,222AM MC AC FM AC =====． ∴2F M FM '==．。

2021-2022学年人教版八年级数学下册《第17章勾股定理》解答题优生辅导训练（附答案）1．某游乐场部分平面图如图所示，点C、E、A在同一直线上，点D、E、B在同一直线上，DB⊥AB．测得A处与E处的距离为80m，C处与E处的距离为40m，∠C＝90°，∠BAE ＝30°．（1）请求出旋转木马E处到出口B处的距离；（2）请求出海洋球D处到出口B处的距离；（3）判断入口A到出口B处的距离与海洋球D到过山车C处的距离是否相等？若相等，请证明；若不相等，请说明理由．2．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，若AB＝5，BD＝3，AD＝4，AC＝8．（1）求△ABD的面积．（2）求BC的长（结果保留根号）．3．伊通河，是长春平原上的千年古流，是松花江的二级支流，它发源于吉林省伊通县境内哈达岭山脉青顶山北麓，如图，在伊通河笔直的河流一侧有一旅游地C，河边有两个景点A、B．其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，为方便游客决定在河边新建一个景点H（A、H、B三点在同一直线上），并新修一条路CH，测得BC＝5千米，CH＝4千米，BH＝3千米．（1）判断△BCH的形状，并说明理由；（2）求原路线AC的长．4．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝6，AC的中垂线DE交AC于点D，交BC于点E．延长DE交AB的延长线于点F，连接CF．（1）求出CD的长；（2）求出CF的长．5．若直角三角形的三边的长都是正整数，则三边的长为“勾股数”．构造勾股数，就是要寻找3个正整数，使它们满足“其中两个数的平方和（或平方差）等于第三个数的平方”，即满足以下关系：（ㅤㅤ）2+（ㅤㅤ）2＝（ㅤㅤ）2；①或（ㅤㅤ）2﹣（ㅤㅤ）2＝（ㅤㅤ）2；②要满足以上①、②的关系，可以从乘法公式入手，我们知道：（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy．③如果等式③的右边也能写成“（ㅤㅤ）2”的形式，那么它就符合②的关系．因此，只要设x＝m2，y＝n2，③式就可化成：（m2+n2）2﹣（m2﹣n2）2＝（2mn）2．于是，当m，n为任意正整数，且m＞n时，“m2+n2，m2﹣n2和2mn”就是勾股数，根据勾股数的这种关系式，就可以找出勾股数．（1）当m＝2，n＝1时，该组勾股数是；（2）若一组勾股数中最大的数与最小的数的和为72，且m﹣n＝1，求m，n的值；（3）若一组勾股数中最大的数是2p2+6p+5（p是任意正整数），则另外两个数分别为，（分别用含p的代数式表示）．6．如图，斜靠墙上的一根竹竿AB长为13m，端点B离墙角的水平距离BC长为5m．（1）若A端沿垂直于地面的方向AC下移1m，则B端将沿CB方向移动多少米？（2）若A端下移的距离等于B端沿CB方向移动的距离，求下移的距离．（3）在竹竿滑动的过程中，△ABC面积有最值（填“大”或“小”）为（两个空直接写出答案不需要解答过程）．7．如图，点A是网红打卡地诗博园，市民可在云龙湖边的游客观光车站B或C处乘车前往，且AB＝BC，因市政建设，点C到点A段现暂时封闭施工，为方便出行，在湖边的H处修建了一临时车站（点H在线段BC上），由H处亦可直达A处，若AC＝1km，AH＝0.8km，CH＝0.6km．（1）判断△ACH的形状，并说明理由；（2）求路线AB的长．8．如图，某港口A位于东西海岸线上，甲乙两船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲船每小时航行45海里，乙船每小时航行60海里，它们离开港口1.2小时后分别位于点B、C处，且相距90海里．若甲船沿南偏西25度方向航行，问乙船沿哪个方向航行？9．如图，△ABC中，AC＝b，BC＝a，CD⊥AB于D．（1）若a＝b＝13，AB＝10，求CD的长；（2）若∠ACB＝90°，CD＝4，求AD×DB的值；（3）若CD2＝AD×DB，判断△ABC的形状，并说明理由．10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝30cm，AC＝40cm，点D在线段AB上从点B出发，以2cm/s的速度向终点A运动，设点D的运动时间为t0．（1）AB＝cm，AB边上的高为cm；（2）点D在运动过程中，当△BCD为等腰三角形时，求t的值．11．如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向320km的B处，以每小时40km的速度向北偏东60°的BF方向移动，距离台风中心200km的范围内是受台风影响的区域．（1）A城是否受到这次台风的影响？为什么？（2）若A城受到这次台风影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？12．大家在学完勾股定理的证明后发现运用“同一图形的面积不同表示方式相同”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为面积法．学有所用：在等腰三角形ABC中，AB＝AC，其一腰上的高为h，M是底边BC上的任意一点，M到腰AB、AC 的距离分别为h1、h2．（1）请你结合图形来证明：h1+h2＝h；（2）当点M在BC延长线上时，h1、h2、h之间又有什么样的结论．请你画出图形，并直接写出结论不必证明；（3）利用以上结论解答，如图在平面直角坐标系中有两条直线l1：y＝x+3，l2：y＝﹣3x+3，若l2上的一点M到l1的距离是．求点M的坐标．13．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，D是AC上的一点，CD ＝3，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．连接AP．（1）当t＝3秒时，求AP的长度（结果保留根号）；（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值；（3）过点D作DE⊥AP于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使DE＝CD？14．课堂上学习了勾股定理后，知道“勾三、股四、弦五”．王老师给出一组数让学生观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，学生发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，于是王老师提出以下问题让学生解决．（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：11、、；（2）若第一个数用字母a（a为奇数，且a≥3）表示，那么后两个数用含a的代数式分别怎么表示？聪明的小明发现每组第二个数有这样的规律4＝，12＝，24＝…，于是他很快表示了第二数为，则用含a的代数式表示第三个数为；（3）用所学知识加以说明．15．数学实验室：制作4张全等的直角三角形纸片（如图1），把这4张纸片拼成以弦长c 为边长的正方形构成“弦图”（如图2），古代数学家利用“弦图”验证了勾股定理．探索研究：（1）小明将“弦图”中的2个三角形进行了旋转，得到图3，请利用图3证明勾股定理；数学思考：（2）小芳认为用其它的方法改变“弦图”中某些三角形的位置，也可以证明勾股定理．请你想一种方法支持她的观点（先在备用图中补全图形，再予以证明）．16．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1个单位．（1）请你在图1中画一个以格点为顶点，面积为6个平方单位的等腰三角形；（2）请你在图2中画一条以格点为端点，长度为的线段；（3）请你在图3中画一个以格点为顶点，为直角边的直角三角形．17．如图是俱乐部新打造的一款儿童游戏项目，工作人员告诉小敏，该项目AB段和BC段均由不锈钢管材打造，总长度为26米，长方形ADCG和长方形DEFC均为木质平台的横截面，点G在AB上，点C在GF上，点D在AE上，经过现场测量得知：CD＝1米，AD＝15米．（1）小敏猜想立柱AB段的长为10米，请判断小敏的猜想是否正确？如果正确，请写出理由，如果错误，请求出立柱AB段的正确长度；（2）为加强游戏安全性，俱乐部打算再焊接一段钢索BF，经测量DE＝3米，请你求出要焊接的钢索BF的长．（结果不必化简成最简二次根式）18．如图，地面上放着一个小凳子（AB与地面平行），点A到墙面（墙面与地面垂直）的距离为40cm．在图①中，一木杆的一端与墙角O重合，另一端靠在点A处，OA＝50cm．（1）求小凳子的高度；（2）在图②中另一木杆的一端与点B重合，另一端靠在墙上的点C处．若OC＝90cm，木杆BC比凳宽AB长60cm，求小凳子宽AB和木杆BC的长度．19．如图，在△ABD中，AC⊥BD于C，点E为AC上一点，连接BE、DE，DE的延长线交AB于F，已知DE＝AB，∠CAD＝45°．（1）求证：DF⊥AB；（2）利用图中阴影部分面积完成勾股定理的证明，已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，求证：a2+b2＝c2．20．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒．（1）求BC边的长；（2）当△ABP为直角三角形时，求t的值；（3）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．参考答案1．解：（1）在Rt△ABE中，∵∠BAE＝30°，∴BE＝（m），∴旋转木马E处到出口B处的距离为40m；（2）∵∠BAE＝30°，∠CED＝∠AEB，∠C＝∠ABE＝90°∴∠D＝∠BAE＝30°，∴DE＝2CE＝80（m），∴DE+BE＝80+40＝120（m），∴海洋球D处到出口B处的距离为：120m；（3）在Rt△CDE与Rt△ABE中，由勾股定理得：AB＝＝40（m），CD＝＝40（m），∴AB＝CD，∴入口A到出口B处的距离与海洋球D到过山车C处的距离相等．2．解：在△ABD中，AB＝5，BD＝3，AD＝4，∴BD2+AD2＝AB2，∴△ABD是直角三角形，且∠ADB＝90°，∴S△ABD＝AD•BD＝×4×3＝6；（2）由（1）可知，∠ADB＝90°，∴∠ADC＝180°﹣∠ADB＝90°，∴DC2＝AC2﹣AD2＝82﹣42＝48，∴DC＝4，∴BC＝BD+DC＝3+4．3．解：（1）△BCH是直角三角形，理由是：在△CHB中，∵CH2+BH2＝42+32＝25，BC2＝25，∴CH2+BH2＝BC2，∴△HBC是直角三角形且∠CHB＝90°；（2）设AC＝AB＝x千米，则AH＝AB﹣BH＝（x﹣3）千米，在Rt△ACH中，由已知得AC＝x，AH＝x﹣3，CH＝4，由勾股定理得：AC2＝AH2+CH2，∴x2＝（x﹣3）2+42解这个方程，得x＝，答：原来的路线AC的长为千米．4．解：（1）在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝6，则AC＝＝＝3，∵DE是AC的中垂线，∴CD＝AC＝；（2）∵DF是AC的中垂线，∴F A＝FC，∵AB＝3，∴FB＝F A﹣3＝CF﹣3，在Rt△FBC中，CF2＝BC2+FB2，即CF2＝62+（CF﹣3）2，解得：CF＝．5．解：（1）当m＝2，n＝1时，m2+n2＝5，m2﹣n2＝3，2mn＝4，∴该组勾股数是3，4，5，故答案为：3，4，5；（2）∵（m2+n2）﹣（m2﹣n2）＝2n2＞0，∴m2+n2＞m2﹣n2，∵m2+n2﹣2mn＝（m﹣n）2＞0，∴m2+n2＞2mn，∴最大的数为m2+n2，①当m2﹣n2最小时，（m2+n2）+（m2﹣n2）＝2m2＝72，解得m＝6或m＝﹣6（舍去），又∵m﹣n＝1，∴n＝5；②当2mn最小时，（m2+n2）+2mn＝（m+n）2＝72，解得m+n＝（舍去），综上所述，m＝6，n＝5；（3）2p2+6p+5＝（p2+2p+1）+（p2+4p+4）＝（p+1）2+（p+2）2，令m＝p+2，n＝p+1，则m2﹣n2＝（p+2）2﹣（p+1）2＝2p+3，2mn＝2（p+2）（p+1）＝2p2+6p+4，∴另外两个数分别为2p+3，2p2+6p+4，故答案为：2p+3，2p2+6p+4．6．解：（1）由题意可知△ABC是直角三角形，∵BC＝5米，AB＝13米，∴由勾股定理得：AC＝＝12（米），∴A1C＝AC﹣AA1＝12﹣1＝11（米），∴B1C＝＝4（米），∴BB1＝B1C﹣BC＝（4﹣5）（米），答：B端将沿CB方向移动（4﹣5）米．（2）设AA1＝BB1＝x米，则A1C＝（12﹣x）米，CB1＝（5+x）米，由勾股定理得：A1C2+CB12＝A1B12，即（12﹣x）2+（5+x）2＝132，解得：x＝7，即AA1＝7米．答：下移的距离为7米．（3）以A1B1为底，过C作A1B1的垂线CD，D为垂足，在竹竿下滑过程中，当CD为△A1CB1的中线时，△A1CB1的面积最大，最大值＝×13×＝平方米．故答案为：大，．7．解：（1）△ACH是直角三角形，理由如下：∵AC＝1km，AH＝0.8km，CH＝0.6km，∴AC2＝AH2+CH2，∴△ACH是直角三角形；解：（2）∵△ACH是直角三角形，∴AH⊥BC，设AB＝BC＝xkm，则BH＝BC﹣HC＝（x﹣0.6）km，由勾股定理得：AB2＝AH2+BH2，即x2＝0.82+（x﹣0.6）2，解得：x＝，∴AB＝km．8．解：由题意可得：AB＝45×1.2＝54（海里），AC＝60×1.2＝72（海里），BC＝90海里，则AB2+AC2＝BC2，故△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，∵甲船沿南偏西25度方向航行，∴乙船沿南偏东65方向航行．9．解：（1）∵AC＝BC，CD⊥AB，∴AD＝BD＝5，在Rt△ADC中，CD＝＝12．（2在Rt△ACD中，由勾股定理得，AC2﹣AD2＝CD2＝16①，在Rt△BCD中，由勾股定理得，BC2﹣BD2＝CD2＝16②，联立①和②得：AC2+BC2﹣（AD2+BD2）＝32，∵AC2+BC2＝AB2，AD2+BD2＝（AD+BD）2﹣2AD•BD，∴AB2﹣AB2+2AD•BD＝32，∴2AD•BD＝32，∴AD•BD＝16；（3）∵CD2＝AD•DB，∴AC2﹣AD2＝AD•BD，BC2﹣BD2＝AD•BD，∴AC2﹣AD2+BC2﹣BD2＝2AD•BD，∴AC2+BC2＝AD2+BD2+2AD•BD，∴AC2+BC2＝（AD+BD）2，即AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形．10．解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝30cm，AC＝40cm，∴AB＝＝＝50（cm）；作AB边上的高CE，如图1所示：∵Rt△ABC的面积＝AB•CE＝AC•BC，∴CE＝＝＝24（cm）；故答案为：50，24；（2）分三种情况：①当BD＝BC＝30cm时，2t＝30，∴t＝15（s）；②当CD＝CB＝30cm时，作CE⊥AB于E，如图2所示：则BE＝DE＝BD＝t，由（1）得：CE＝24，在Rt△BCE中，由勾股定理得：BE＝＝＝18（cm），∴t＝18s；③当DB＝DC时，∠BCD＝∠B，∵∠A＝90°﹣∠B，∠ACD＝90°﹣∠BCD，∴∠ACD＝∠A，∴DA＝DC，∴AD＝DB＝AB＝25（cm），∴2t＝25，∴t＝12.5（s）；综上所述：t的值为15s或18s或12.5s．11．解：（1）由A点向BF作垂线，垂足为C，在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝320km，则AC＝160km，因为160＜200，所以A城要受台风影响；（2）设BF上点D，G，使AD＝AG＝200千米，∴△ADG是等腰三角形，∵AC⊥BF，∴AC是DG的垂直平分线，∴CD＝GC，在Rt△ADC中，DA＝200千米，AC＝160千米，由勾股定理得，CD＝＝＝120千米，则DG＝2DC＝240千米，遭受台风影响的时间是：t＝240÷40＝6（小时）．12．（1）证明：连接AM，由题意得h1＝ME，h2＝MF，h＝BD，∵S△ABC＝S△ABM+S△AMC，S△ABM＝×AB×ME＝×AB×h1，S△AMC＝×AC×MF＝×AC×h2，又∵S△ABC＝×AC×BD＝×AC×h，AB＝AC，∴×AC×h＝×AB×h1+×AC×h2，∴h1+h2＝h．（2）解：如图所示：h1﹣h2＝h．（3）解：在y＝x+3中，令x＝0得y＝3；令y＝0得x＝﹣4，所以A（﹣4，0），B（0，3）同理求得C（1，0）．AB＝＝5，AC＝5，所以AB＝AC，即△ABC为等腰三角形．①当点M在BC边上时，由h1+h2＝h得：+M y＝OB，M y＝3﹣＝，把它代入y＝﹣3x+3中求得：M x＝，所以此时M（，）．②当点M在CB延长线上时，由h1﹣h2＝h得：M y﹣＝OB，M y＝3+＝，把它代入y＝﹣3x+3中求得：M x＝﹣，所以此时M（﹣，）．③当点M在BC的延长线上时，h1＝＜h，不存在；综上所述：点M的坐标为M（，）或（﹣，）．13．解：（1）根据题意，得BP＝2t，PC＝16﹣2t＝16﹣2×3＝10，AC＝8，在Rt△APC中，根据勾股定理，得AP＝＝＝2．答：AP的长为2．（2）在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝16，根据勾股定理，得AB＝＝＝8若BA＝BP，则2t＝8，解得t＝4；若AB＝AP，则BP＝32，2t＝32，解得t＝16；若P A＝PB，则（2t）2＝（16﹣2t）2+82，解得t＝5．答：当△ABP为等腰三角形时，t的值为4、16、5．（3）①点P在线段BC上时，过点D作DE⊥AP于E，如图1所示：则∠AED＝∠PED＝90°，∴∠PED＝∠ACB＝90°，∴PD平分∠APC，∴∠EPD＝∠CPD，又∵PD＝PD，∴△PDE≌△PDC（AAS），∴ED＝CD＝3，PE＝PC＝16﹣2t，∴AD＝AC﹣CD＝8﹣3＝5，∴AE＝4，∴AP＝AE+PE＝4+16﹣2t＝20﹣2t，在Rt△APC中，由勾股定理得：82+（16﹣2t）2＝（20﹣2t）2，解得：t＝5；②点P在线段BC的延长线上时，过点D作DE⊥AP于E，如图2所示：同①得：△PDE≌△PDC（AAS），∴ED＝CD＝3，PE＝PC＝2t﹣16，∴AD＝AC﹣CD＝8﹣3＝5，∴AE＝4，∴AP＝AE+PE＝4+2t﹣16＝2t﹣12，在Rt△APC中，由勾股定理得：82+（2t﹣16）2＝（2t﹣12）2，解得：t＝11；综上所述，在点P的运动过程中，当t的值为5或11时，能使DE＝CD．14．解：（1）∵3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，∴11，60，61；故答案为：60，61；（2）第一个数用字母a（a为奇数，且a≥3）表示，第二数为，则用含a的代数式表示第三个数为，故答案为：；（3）∵a2+（）2＝，（）2＝，∴a2+（）2＝（）2又∵a为奇数，且a≥3，∴由a，，三个数组成的数是勾股数．15．解：（1）如图3所示∵图形的面积表示为a2+b2+2×ab＝a2+b2+ab，图形的面积也可表示为c2+2×ab＝c2+ab；∴a2+b2+ab＝c2+ab，∴a2+b2＝c2即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．（2））如图4所示：∵大正方形的面积表示为（a+b）2；大正方形的面积也可表示为c2+4×ab∴（a+b）2＝c2+4×ab，a2+b2+2ab＝c2+2ab，∴a2+b2＝c2；即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．16．解：（1）如图1所示；（2）如图2所示；（3）如图3所示．17．解：（1）不正确，理由如下：由题意得：AG＝CD＝1米，GC＝AD＝15米，设BG＝x米，则BC＝（26﹣1﹣x）米，在Rt△BGC中，由勾股定理得：BG2+CG2＝CB2，即x2+152＝（26﹣1﹣x）2，解得：x＝8，∴BG＝8米，∴AB＝BG+GA＝9（米），∴小敏的猜想不正确，立柱AB段的正确长度长为9米．（2）由题意得：CF＝DE＝3米，∴GF＝GC+CF＝18（米），在Rt△BGF中，由勾股定理得：BF＝＝＝（米）．18．解：（1）过A作AM垂直于墙面，垂足M，根据题意可得，AM＝40cm，在Rt△AOM中，OM＝＝＝30，即凳子的高度为30cm．（2）延长BA交墙面于点N，可得∠BNC＝90°，设AB＝xcm，则CB＝x+60，BN＝x+40，CN＝90﹣30＝60，在Rt△BCN中，BN2+CN2＝BC2，即（40+x）2+602＝（60+x）2，解得x＝40，则BC＝60+40＝100（cm）．19．解：（1）∵AC⊥BD，∠CAD＝45°，∴AC＝DC，∠ACB＝∠DCE＝90°，在Rt△ABC与Rt△DEC中，，∴Rt△ABC≌Rt△DEC（HL），∴∠BAC＝∠EDC，∵∠EDC+∠CED＝90°，∠CED＝∠AEF，∴∠AEF+∠BAC＝90°，∴∠AFE＝90°，∴DF⊥AB．（2）∵S△BCE+S△ACD＝S△ABD﹣S△ABE，∴a2+b2＝•c•DF﹣•c•EF＝•c•（DF﹣EF）＝•c•DE＝c2，∴a2+b2＝c2．20．解：（1）在Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝52﹣32＝16，∴BC＝4（cm）；（2）由题意知BP＝tcm，①当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP＝BC＝4cm，即t＝4；②当∠BAP为直角时，BP＝tcm，CP＝（t﹣4）cm，AC＝3cm，在Rt△ACP中，AP2＝32+（t﹣4）2，在Rt△BAP中，AB2+AP2＝BP2，即：52+[32+（t﹣4）2]＝t2，解得：t＝，故当△ABP为直角三角形时，t＝4或t＝；（3）①当AB＝BP时，t＝5；②当AB＝AP时，BP＝2BC＝8cm，t＝8；③当BP＝AP时，AP＝BP＝tcm，CP＝（4﹣t）cm，AC＝3cm，在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2，所以t2＝32+（4﹣t）2，解得：t＝，综上所述：当△ABP为等腰三角形时，t＝5或t＝8或t＝．。

勾股定理常考压轴题汇总一．选择题（共23小题）1．我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成一个大正方形．如图，直角三角形的直角边长为a、b，斜边长为c．若b﹣a＝2，c＝10，则a+b的值为（）A．12B．14C．16D．18【答案】B【解答】解：由图可得：a2+b2＝c2，∴且a、b均大于0，解得，∴a+b＝6+8＝14，故选：B．2．如图，长方体的长为3，宽为2，高为4，一只蚂蚁从点A出发，沿长方体表面到点B处吃食物，那么它爬行最短路程是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：第一种情况：把我们所看到的前面和上面组成一个平面，则这个长方形的长和宽分别是6和3，则所走的最短线段是＝3；第二种情况：把我们看到的左面与上面组成一个长方形，则这个长方形的长和宽分别是5和4，所以走的最短线段是＝；第三种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个长方形，则这个长方形的长和宽分别是2，所以走的最短线段是＝；三种情况比较而言，第二种情况最短．所以它需要爬行的最短路线的长是，故选：B．3．如图，以Rt△ABC的三条边作三个正三角形，则S1、S2、S3、S4的关系为（）A．S1+S2+S3＝S4B．S1+S2＝S3+S4C．S1+S3＝S2+S4D．不能确定【答案】C【解答】解：如图，设Rt△ABC的三条边AB＝c，AC＝b，BC＝a，∵△ACG，△BCH，△ABF是等边三角形，∴S1＝S△ACG﹣S5＝b2﹣S5，S3＝S△BCH﹣S6＝a2﹣S6，∴S1+S3＝（a2+b2）﹣S5﹣S6，∵S2+S4＝S△ABF﹣S5﹣S6＝c2﹣S5﹣S6，∵c2＝a2+b2，∴S1+S3＝S2+S4，故选：C．4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以△ABC的各边为边作三个正方形，点G落在HI 上，若AC+BC＝6，空白部分面积为10.5，则AB的长为（）A．3B．C．2D．【答案】B【解答】解：∵四边形ABGF是正方形，∴∠F AB＝∠AFG＝∠ACB＝90°，∴∠F AC+∠BAC＝∠F AC+∠ABC＝90°，∴∠F AC＝∠ABC，在△F AM与△ABN中，，∴△F AM≌△ABN（ASA），∴S△F AM＝S△ABN，∴S△ABC＝S四边形FNCM，∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∴AC2+BC2＝AB2，∵AC+BC＝6，∴（AC+BC）2＝AC2+BC2+2AC•BC＝36，∴AB2+2AC•BC＝36，∵AB2﹣2S△ABC＝10.5，∴AB2﹣AC•BC＝10.5，∴3AB2＝57，解得AB＝或﹣（负值舍去）．故选：B．5．已知，如图长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）A．3cm2B．4cm2C．6cm2D．12cm2【答案】C【解答】解：将此长方形折叠，使点B与点D重合，∴BE＝ED．∵AD＝9cm＝AE+DE＝AE+BE．∴BE＝9﹣AE，根据勾股定理可知AB2+AE2＝BE2．解得AE＝4．∴△ABE的面积为3×4÷2＝6．故选：C．6．如图，阴影部分表示以Rt△ABC的各边为直径向上作三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作S1和S2．若S1+S2＝7，AC＝3，则BC长是（）A．3.5B．C．4D．5【答案】B【解答】解：以AC为直径的半圆的面积＝×π×＝π，同理：以BC为直径的半圆的面积＝π，以AB为直径的半圆的面积＝π，∴S1+S2＝π+π+△ABC的面积﹣π，∵∠ACB＝90°，∴AC2+BC2＝AB2，∴S1+S2＝△ABC的面积＝AC•BC＝7，∵AC＝3，∴BC＝．故选：B．7．如图，在长方体ABCD﹣EFGH盒子中，已知AB＝4cm，BC＝3cm，CG＝5cm，长为10cm 的细直木棒IJ恰好从小孔G I与底面ABCD接触，当木棒的端点Ⅰ在长方形ABCD内及边界运动时，GJ长度的最小值为（）A．（10﹣5）cm B．3cm C．（10﹣4）cm D．5cm【答案】A【解答】解：当GI最大时，GJ最小，当I运动到点A时，GI最大，此时GI＝cm，而AC2＝AB2+BC2＝42+32＝25，∴GI＝＝＝5（cm），∴GJ长度的最小值为（10﹣5）cm．故选：A．8．勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入长方形内得到的，∠BAC＝90°，AB＝6，BC＝10，点D，E，F，G，H，I都在长方形KLMJ的边上，则长方形KLMJ的面积为（）A．420B．440C．430D．410【答案】B【解答】解：如图，延长AB交KL于P，延长AC交LM于Q，由题意得，∠BAC＝∠BPF＝∠FBC＝90°，BC＝BF，∴∠ABC+∠ACB＝90°＝∠PBF+∠ABC，∴∠ACB＝∠PBF，∴△ABC≌△PFB（AAS），同理可证△ABC≌△QCG（AAS），∴PB＝AC＝8，CQ＝AB＝6，∵图2是由图1放入长方形内得到，∴IP＝8+6+8＝22，DQ＝6+8+6＝20，∴长方形KLMJ的面积＝22×20＝440．故选：B．9．国庆假期间，妍妍与同学去玩寻宝游戏，按照藏宝图，她从门口A处出发先往东走9km，又往北走3km，遇到障碍后又往西走7km，再向北走2km，再往东走了4km，发现走错了之后又往北走1km，最后再往西走了1km，就找到了宝藏，则门口A到藏宝点B的直线距离是（）A．3km B．10km C．6km D．km【答案】D【解答】解：过点B作BC⊥AC，垂足为C．观察图形可知AC＝9﹣7+4﹣1＝5（km），BC＝3+2+1＝6（km），在Rt△ACB中，AB＝（km）．答：门口A到藏宝点B的直线距离是km，故选：D．10．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，AB＝9，BC＝6，则BD的长为（）A．3B．4C．5D．6【答案】B【解答】解：∵∠ACB＝90°，AB＝9，BC＝6，∴，∵，∴AC•BC＝AB•CD，，，∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∴，故选：B．11路，居民走新路比走拐角近（）A．2m B．3m C．3.5m D．4m【答案】D【解答】解：根据勾股定理求得：AB＝＝10（m），∴AC+BC﹣AB＝6+8﹣10＝4（m），故选：D．12．如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC＝12，BC＝7，将四个直角三角形中边长为12的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（）A．148B．100C．196D．144【答案】A【解答】解：设将CA延长到点D，连接BD，根据题意，得CD＝12×2＝24，BC＝7，∵∠BCD＝90°，∴BC2+CD2＝BD2，即72+242＝BD2，∴BD＝25，∴AD+BD＝12+25＝37，∴这个风车的外围周长是37×4＝148．故选：A．13．如图，四边形ABCD中，AD⊥CD于点D，BC＝2，AD＝8，CD＝6，点E是AB的中点，连接DE，则DE的最大值是（）A．5B．C．6D．【答案】C【解答】解：如图，连接AC，取AC的中点为M，连接DM、EM，∵AD⊥CD，∴∠ADC＝90°，∵AD＝8，CD＝6，∴AC＝，∵M是AC的中点，∴DM＝AC＝5，∵M是AC的中点，E是AB的中点，∴EM是△ABC的中位线，∵BC＝2，∴EM＝BC＝1，∵DE≤DM+EM（当且仅当点M在线段DE上时，等号成立），∴DE≤6，∴DE的最大值为6．故选：C．14．如图，长为8cm的橡皮筋放置在数轴上，固定两端A和B，然后把中点C垂直向上拉升3cm到D点，则橡皮筋被拉长了（）A．2cm B．3cm C．4cm D．1cm【答案】A【解答】解：∵点C为线段AB的中点，∴AC＝AB＝4cm，在Rt△ACD中，CD＝3cm；根据勾股定理，得：AD＝＝5（cm）；∵CD⊥AB，∴∠DCA＝∠DCB＝90°，在△ADC和△BDC中，，∴△ADC≌△BDC（SAS），∴AD＝BD＝5cm，∴AD+BD﹣AB＝2AD﹣AB＝10﹣8＝2（cm）；∴橡皮筋被拉长了2cm．故选：A．15．如图的数轴上，点A，C对应的实数分别为1，3，线段AB⊥AC于点A，且AB长为1个单位长度，若以点C为圆心，BC长为半径的弧交数轴于0和1之间的点P，则点P表示的实数为（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：由题意可得∠90°，AB＝1，AC＝3﹣1＝2，则CB＝＝，那么点P表示的实数为3﹣，故选：A．16．“四千年来，数学的道理还是相通的”．运用祖冲之的出入相补原理也可证明勾股定理．若图中空白部分的面积是11，整个图形（连同空白部分）的面积是25，则大正方形的边长是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：如下图，设图中直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边为c，∵图中空白部分的面积是11，整个图形（连同空白部分）的面积是25，∴可有，解得c2＝18，解得或（不合题意，舍去），∴大正方形的边长是．故选：D．17．如图所示的一段楼梯，高BC是3米，斜边AB长是5米，现打算在楼梯上铺地毯，至少需要地毯的长度为（）A．5米B．6米C．7米D．8米【答案】C【解答】解：∵△ABC是直角三角形，BC＝3m，AB＝5m∴AC＝＝4（m），∴如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为AC+BC＝7米，故选：C．18．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是数形结合的重要细带．数学家欧几里得利用如图验证了勾股定理．以直角三角形ABC的三条边为边长向外作正方形ACKJ，正方形ABFE，正方形BCIH，连接AH．CF，具中正方形BCIH面积为1，正方形ABFE面积为5，则以CF为边长的正方形面积为（）A．4B．5C．6D．10【答案】D【解答】解：过点C作CM⊥EF于点M，交AB于点N，∵正方形ABFE面积为5，正方形BCIH面积为1，∴CN⊥AB，BC＝1，AB＝MN＝，BN＝FN，∵△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，∴AC＝＝＝2，∴，即＝CN，∴CN＝，∴BN＝FM＝＝＝，∴CM＝CN+MN＝＝，∴CF＝10，∴以CF为边长的正方形面积为10．故选：D．19．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°．分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BCMN．四块阴影部分的面积如图所示分别记为S、S1、S2、S3，若S＝10，则S1+S2+S3等于（）A．10B．15C．20D．30【答案】C【解答】解：如图，过E作BC的垂线交ED于D，连接EM．在△ACB和△BDE中，∠ACB＝∠BDE＝90°，∠CAB＝∠EBD，AB＝BD，∴△ACB≌△BND（AAS），同理，Rt△GDE≌Rt△HCB，∴GE＝HB，∠EGD＝∠BHC，∴FG＝EH，∴DE＝BC＝CM，∵DE∥CM，∴四边形DCME是平行四边形，∵∠DCM＝90°，∴四边形DCME是矩形，∴∠EMC＝90°，∴E、M、N三点共线，∵∠P＝∠EMH＝90°，∠PGF＝∠DGE＝∠BHC＝∠EHM，∴△PGF≌△MHE（AAS），∵图中S1＝S Rt△EMH，S△BHC＝S△EGD，∴S1+S3＝S Rt△ABC．S2＝S△ABC，∴S1+S2+S3＝Rt△ABC的面积×2＝20．故选：C．20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以AB、AC、BC为直径向外作半圆，它们的面积分别记作S1、S2、S3，若S1＝25，S3＝16，则S2为（）A．9B．11C．32D．41【答案】A【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴AB2＝AC2+BC2．∵S1＝（AB）2π＝AB2＝25，∴AB2＝25×．同理BC2＝16×．∴AC2＝AB2﹣BC2＝25×﹣16×＝9×．∴S1＝（AC）2π＝AC2＝×9×＝9．故选：A．21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BDMC，记四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4．若已知S△ABC＝S，则下列结论：①S4＝S；②S2＝S；③S1+S3＝S2；④S1+S2+S3+S4＝2.5S．其中正确的结论是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④【答案】A【解答】解：由题意有Rt△EBD≌Rt△ABC，∴S4＝S；故①正确；过F作AM的垂线交AM于N，由题意，得Rt△ANF≌Rt△ABC，Rt△NFK≌Rt△CAT，所以S2＝S，故②正确；连接FP，FQ，由题意，可得△AQF≌△ACB，则F，P，Q三点共线，由Rt△NFK≌Rt△CAT可得Rt△FPT≌Rt△EMK，∴S3＝S△FPT，可得Rt△AQF≌Rt△ACB，∴S1+S3＝S Rt△AQF＝S，故③正确；S1+S2+S3+S4＝（S1+S3）+S2+S4＝S Rt△ABC+S Rt△ABC+S Rt△ABC＝S Rt△ABC×3＝3S，故④不正确．故选：A．22．如图，有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为（）尺．A．10B．12C．13D．14【答案】C【解答】解：设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，根据勾股定理得：x2+（）2＝（x+1）2，解得：x＝12，芦苇的长度＝x+1＝12+1＝13（尺），答：芦苇长13尺．故选：C．23．将四个全等的直角三角形作为叶片按图1摆放成一个风车形状，形成正方形ABCD和正方形EFGH．现将四个直角三角形的较长直角边分别向外延长，且A′E＝ME．B′F ＝NF，C′G＝PG，D′H＝HQ2所示的“新型数学风车”的四个叶片，即△A′EF，△B′FG，△C′CH．△D′HE．若FM平分∠BFE，正方形ABCD和正方形EFGH 的边长比为1：5．若”新型数学风车”的四个叶片面积和是m，则正方形EFCH的面积是（）A．B．C．3m D．【答案】B【解答】解：∵将四个全等的直角三角形作为叶片按图1摆放成一个风车形状，形成正方形ABCD和正方形EFCH．正方形ABCD和正方形EFGH的边长比为1：5．∴设正方形ABCD的边长为a，则正方形EFGH的边长为5a，设AE＝BF＝CG＝DH＝x，在△BEF中，BE2+BF2＝EF2，即（x+a）2+x2＝（5a）2，x2+ax﹣12a2＝0，（x+4a）（x﹣3a）＝0，x＝﹣4a（舍去）或x＝3a，∴BE＝4a，BF＝3a，EF＝5a，∵FM平分∠BFE，∴△EMF边EF上的高为BM，则S△BMF+S△MBF＝S△BEF，即，∴，∴BM＝，∵A'E＝ME＝BE﹣BM＝4a﹣a，若”新型数学风车”的四个叶片面积和是m，∴S△EMF＝S△EF A'＝m，∴，∴a m，∴a＝∴EF＝5a＝，∴S正方形EFCH＝EF＝，故选：B．二．填空题（共14小题）24．如图①，四个全等的直角三角形与一个小正方形，恰好拼成一个大正方形，这个图形是由我国汉代数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．如果图①中的直角三角形的长直角边为7cm，短直角边为3cm，连结图②中四条线段得到如图③的新图案，则图③中阴影部分的周长为cm．【答案】32．【解答】解：由题意得：BD＝7cm，AB＝CD＝3cm，∴BC＝7﹣3＝4（cm），由勾股定理得：AC＝＝5（cm），∴阴影的周长＝4（AB+AC）＝4×（3+5）＝32（cm）．故答案为：32．25．如图，在△ABC中，已知：∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出发，沿射线BC以1cm/s的速度运动，设运动的时间为t秒，连接P A，当△ABP为等腰三角形时，t的值为．【答案】16或10或．【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，由勾股定理得：BC＝cm，∵△ABP为等腰三角形，当AB＝AP时，则BP＝2BC＝16cm，即t＝16；当BA＝BP＝10cm时，则t＝10；当P A＝PB时，如图：设BP＝P A＝x cm，则PC＝（8﹣x）cm，在Rt△ACP中，由勾股定理得：PC2+AC2＝AP2，∴（8﹣x）2+62＝x2，解得x＝，∴t＝．综上所述：t的值为16或10或．故答案为：16或10或．26．如图，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的“勾股分割点”．已知点M，N是线段AB 的“勾股分割点”，若AM＝4，MN＝5，则斜边BN的长为．【答案】．【解答】解：当BN∵点M，N是线段AB的勾股分割点，∴BN＝＝＝，故答案为：．27．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O，若AB＝6，CD＝10，则AD2+BC2＝．【答案】136．【解答】解：∵BD⊥AC，∴∠COB＝∠AOB＝∠AOD＝∠COD＝90°，∴BO2+CO2＝CB2，OB2+OA2＝AB2＝36，OA2+OD2＝AD2，OC2+OD2＝CD2＝100，∴BO2+CO2+OA2+OB2＝36+100，∴AD2+CB2＝BO2+CO2+OA2+OB2＝136；故答案为：136．28．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（30，0）（0，12），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为15的等腰三角形时，点P 的坐标为．【答案】（9，12）或（6，12）或（24，12）．【解答】解：由题意，当△是腰长为15的等腰三角形时，有三种情况：（1）如答图①所示，PD＝OD＝15，点P在点D的左侧．过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝12．在Rt△PDE中，由勾股定理得：DE＝＝＝9，∴OE＝OD﹣DE＝15﹣9＝6，∴此时点P坐标为（6，12）；（2）如答图②所示，OP＝OD＝15．过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝4．在Rt△POE中，由勾股定理得：OE＝＝＝9，∴此时点P坐标为（9，12）；（3）如答图③所示，PD＝OD＝5，点P在点D的右侧．过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝4．在Rt△PDE中，由勾股定理得：DE＝＝＝9，∴OE＝OD+DE＝15+9＝24，∴此时点P坐标为（24，12）．综上所述，点P的坐标为：（9，12）或（6，12）或（24，12）；故答案为：（9，12）或（6，12）或（24，12）．29．《勾股》中记载了这样一个问题：“今有开门去阃（kǔn）一尺不合2寸，问门广几何？”意思是：如图推开两扇门（AD和BC），门边沿D，C两点到门槛AB的距离是1尺（1尺＝10寸），两扇门的间隙CD为2寸，则门槛AB长为寸．【答案】101．【解答】解：设OA＝OB＝AD＝BC＝r寸，如图，过D作DE⊥AB于点E，则DE＝10寸，OE＝CD＝1（寸），AE＝（r﹣1）寸，在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE2+DE2＝AD2，即（r﹣1）2+102＝r2，解得：r＝50.5，∴2r＝101，即门槛AB长为101寸，故答案为：101．30．如图，在某次军事演习中，舰艇1号在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇2号在指挥中心南偏东60°的B处，并且OA＝OB．接到行动指令后，舰艇1号向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇2号沿北偏东60°的方向以m海里/小时的速度前进．1.5小时后，指挥中心观测到两舰艇分别到达点E，F处，若∠EOF＝75°，EF＝210海里，则m的值为．【答案】80．【解答】解：延长AE、BF相交于点C，∵∠AOB＝30°+90°+30°＝150°，∠EOF＝75°，∴∠EOF＝∠AOB，又∵OA＝OB，∠OAC+∠OBC＝（90°﹣30°）+（60°+60°）＝180°，延长FB至D，使BD＝AE，连接OD，∵∠OBD＝∠OBC，∴．∠OBD＝∠A，∴△OBD≌△OAE（SAS），∴OD＝OE，∠BOD＝∠AOE，∵∠EOF＝∠AOB＝∠EOD，∴．∠EOF＝∠DOF，又∵OF＝OF，∴△EOF≌△DOF（SAS），∴EF＝AE+BF，即EF＝1.5×（60+m）＝210．解得m＝80．故答案为：80．31．如图是中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图的示意图，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，恰好拼成一个大正方形ABCD．连结EG并延长交BC于点M．若AB＝5，EF＝1，则GM的长为．【答案】．【解答】解：由图可知∠AED＝90°，AB＝5，EF＝1，∵大正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，故AE＝BF＝GC＝DH，设DE＝x，则在Rt△AED中，AD＝AB＝5，AE＝1+x，根据勾股定理，得AD2＝DE2+AE2，即52＝x2+（1+x）2，解得：x1＝3，x2＝﹣4（舍去）．过点M作MN⊥FB于点N，如图所示．∵四边形EFGH为正方形，EG为对角线，∴△EFG为等腰直角三角形，∴∠EGF＝∠NGM＝45°，故△GNM为等腰直角三角形．设GN＝NM＝a，则NB＝GB﹣GN＝3﹣a，∵MN∥AF，∴△BMN∽△BAF，∴＝，将MN＝a，AF＝3，BN＝3﹣a，BF＝4代入，得＝，解得a＝，∴MN＝GN＝，在Rt△MGN中，由勾股定理，得GM＝＝＝．故答案为：．32．如图，铁路上A、D两点相距25千米，B，C为两村庄，AB⊥AD于A，CD⊥AD于D，已知AB＝15km，CD＝10km，现在要在铁路AD上建一个土特产品收购站P，使得B、C 两村到P站的距离相等，则P站应建在距点A千米．【答案】10．【解答】解：设AP＝x千米，则DP＝（25﹣x）千米，∵B、C两村到P站的距离相等，∴BP＝PC．在Rt△APB中，由勾股定理得BP2＝AB2+AP2，在Rt△DPC中，由勾股定理得PC2＝CD2+PD2，∴AB2+AP2＝CD2+PD2，又∵AB＝15km，CD＝10km，∴152+x2＝102+（25﹣x）2，∴x＝10．故答案为：10．33．如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为cm（杯壁厚度不计）．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图：将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离，A′B＝＝＝20（cm）．故答案为20．34．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD⊥BC．若P、Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是．【答案】．【解答】解：如图，连接BP，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，∴BD＝DC，∴BP＝PC，∴PC+PQ＝BP+PQ＝BQ，∴当B，P，Q共线时，PC+PQ的值最小，∴当BQ⊥AC时，BQ令AQ'＝a，则CQ'＝10﹣a，∵BQ'⊥AC，∴AB2﹣AQ'2＝BC2﹣CQ'2，即102﹣a2＝122﹣（10﹣a）2，解得a＝，∴BQ'＝＝，∴PC+PQ的最小值为，故答案为：．35．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝，AC＝6，BC＞4，点E，F分别在BC，AC边上，且AF＝CE，则AE+BF的最小值为．【答案】2．【解答】解：过A点作AG∥BC，截取AG＝AC，连接FG，BG，过B作BR⊥AG，交AG的反向延长线于R，则∠RBC＝∠BRA＝90°，∴∠GAF＝∠ACE，在△AFG和△CEA中，，∴△AFG≌△CEA（SAS），∴GF＝AE，∴AE+BF的最小值，即为BG的长，∵∠ABC＝45°，∴∠RAB＝∠EBA＝45°，∵AB＝4，∴BR＝AR＝4，∵AC＝6，∴AG＝AC＝6，∴RG＝AR+AG＝4+6＝10，∴BG＝＝＝2，即AE+BF的最小值为2．故答案为：2．36．如图，在△ABC中，AB＝9cm，AC＝12cm，BC＝15cm，M是BC边上的动点，MD⊥AB，ME⊥AC，垂足分别是D、E，线段DE的最小值是cm．【答案】．【解答】解：∵在△ABC中，AB＝9cm，AC＝12cm，BC＝15cm，∴BC2＝AB2+AC2，∴∠A＝90°，∵MD⊥AB，ME⊥AC，∴∠A＝∠ADM＝∠AEM＝90°，∴四边形ADME是矩形，∴DE＝AM，当AM⊥BC时，AM的长最短，根据三角形的面积公式得：AB•AC＝BC•AM，∴9×12＝15AM，AM＝，即DE的最小值是cm．故答案为：．37．如图，Rt△ABC中，．点P为△ABC内一点，P A2+PC2＝AC2．当PB的长度最小时，△ACP的面积是．【答案】．【解答】解：如图所示，取AC中点O，连接PO，BO，∵P A2+PC2＝AC2，∴∠APC＝90°，∴，∵BP+OP≥OB，∴当B、P、O三点共线时BP+OP有最小值，即此时BP有最小值，∵∠ACB＝90°，∴，∴BP＝BO﹣OP＝2，∴BP＝PO，又∠ACB＝90°，∴PC＝BO＝2，∴PC＝PO＝CO，∴△OPC是等边三角形，∴∠PCO＝60°，∠P AC＝30°∴AP＝＝2，∴，故答案为：．三．解答题（共4小题）38．如图，∠AOB＝90°，OA＝9cm，OB＝3cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A 出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿BC方向匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少？【答案】见试题解答内容【解答】解：∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相等，∴BC＝CA．设AC为x，则OC＝9﹣x，由勾股定理得：OB2+OC2＝BC2，又∵OA＝9，OB＝3，∴32+（9﹣x）2＝x2，解方程得出x＝5．∴机器人行走的路程BC是5cm．39．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从B出发沿射线BC以1cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．（1）求BC边的长．（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．【答案】或10或16．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，∴BC＝，当AP＝BP时，如图1，则AP＝t，PC＝BC﹣BP＝8﹣t，在Rt△ACP中，AC2+CP2＝AP2，∴62+（8﹣t）2＝t2，解得t＝；当AB＝BP时，如图2，则BP＝t＝10；当AB＝AP时，如图3，则BP＝2BC；∴t＝2×8＝16，综上，t的值为或10或16．40．今年第6号台风“烟花”登陆我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB ＝500km，经测量，距离台风中心260km及以内的地区会受到影响．（1）海港C受台风影响吗？为什么？（2）若台风中心的移动速度为28千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？【答案】（1）海港C受台风影响，理由见解答过程；（2）台风影响该海港持续的时间为小时．【解答】解：（1）海港C受台风影响，理由：∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；过点C作CD⊥AB于D，∵△ABC是直角三角形，∴AC×BC＝CD×AB，∴300×400＝500×CD，∴CD＝240（km），∵以台风中心为圆心周围260km以内为受影响区域，∴海港C受台风影响；（2）当EC＝260km，FC＝260km时，正好影响C港口，∵ED＝（km），∴EF＝2ED＝200km，∵台风的速度为28千米/小时，∴200÷28＝（小时）．答：台风影响该海港持续的时间为小时．41．请阅读下列材料：已知：如图（1）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E分别为线段BC上两动点，若∠DAE＝45°．探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系．小明的思路是：把△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE′，连接E′D，使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：（1）猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，直接写出你的猜想；（2）当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图（2），其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明；（3）已知：如图（3），等边三角形ABC中，点D、E在边AB上，且∠DCE＝30°，请你找出一个条件，使线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）DE2＝BD2+EC2；（2）关系式DE2＝BD2+EC2仍然成立．证明：将△ADB沿直线AD对折，得△AFD，连FE∴△AFD≌△ABD，∴AF＝AB，FD＝DB，∠F AD＝∠BAD，∠AFD＝∠ABD，又∵AB＝AC，∴AF＝AC，∵∠F AE＝∠F AD+∠DAE＝∠F AD+45°，∠EAC＝∠BAC﹣∠BAE＝90°﹣（∠DAE﹣∠DAB）＝45°+∠DAB，∴∠F AE＝∠EAC，又∵AE＝AE，∴△AFE≌△ACE，∴FE＝EC，∠AFE＝∠ACE＝45°，∠AFD＝∠ABD＝180°﹣∠ABC＝135°∴∠DFE＝∠AFD﹣∠AFE＝135°﹣45°＝90°，∴在Rt△DFE中，DF2+FE2＝DE2，即DE2＝BD2+EC2；解法二：将△EAC绕点A顺时针旋转90°得到△TAB．连接DT．∴∠ABT＝∠C＝45°，AT＝AE，∠TAE＝90°，∵∠ABC＝45°，∴∠TBC＝∠TBD＝90°，∵∠DAE＝45°，∴∠DAT＝∠DAE，∵AD＝AD，∴△DAT≌△DAE（SAS），∴DT＝DE，∵DT2＝DB2+EC2，∴DE2＝BD2+EC2；（3）当AD＝BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形．如图，与（2）类似，以CE为一边，作∠ECF＝∠ECB，在CF上截取CF＝CB，可得△CFE≌△CBE，△DCF≌△DCA．∴AD＝DF，EF＝BE．∴∠DFE＝∠1+∠2＝∠A+∠B＝120°．若使△DFE为等腰三角形，只需DF＝EF，即AD＝BE，∴当AD＝BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，且顶角∠DFE为120°．。

第十七章 勾股定理一、单选题1．若Rt △ABC 中，∠C =90°,c =13,a =5则b =（ ）A ．√194B ．12C ．11D ．102．下列各组数中，是勾股数的是（ ）A ．0.30.40.5,,BC ．6,8,10D ．1.5,2,2.5 3．在△ABC 中，△A ，△B ，△C 的对边分别记为a ，b ，c ，下列结论中不正确的是（ ） A ．如果△A ﹣△B ＝△C ，那么△ABC 是直角三角形B ．如果a 2＝b 2﹣c 2，那么△ABC 是直角三角形且△C ＝90°C ．如果△A ：△B ：△C ＝1：3：2，那么△ABC 是直角三角形D ．如果a 2：b 2：c 2＝9：16：25，那么△ABC 是直角三角形4．如图，在Rt ABC △中，90B ∠=︒，6AB =，9BC =，将ABC △折叠，使点C 与AB 的中点D 重合，折痕交AC 于点M ，交BC 于点N ，则线段BN 的长为( )A ．3B ．4C ．5D ．65．如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（ ）米．A ．5B ．7C ．8D ．126．一根长18cm 的牙刷置于底面直径为5cm 、高为12cm 的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为hcm ，则h 的取值范围是( )A ．5cm ＜h ≤6cmB ．6cm ＜h ≤7cmC ．5cm ≤h ≤6cmD ．5cm ≤h ＜6cm 7．如图，一客轮以16海里/时的速度从港口A 出发向东北方向航行，另一客轮同时以12海里/时的速度从港口A 出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（ ）A ．25海里B ．30海里C ．35海里D ．40海里 8．如图，数轴上的点A 表示的数是-1，点B 表示的数是1，CB AB ⊥于点B ，且2BC =，以点A 为圆心，AC 为半径画弧交数轴于点D ，则点D 表示的数为（ ）A ．1B ．C ．2.8D ．19．已知a ，b ，c 是ABC V 的三条边长，且满足22(5)12261690a b c c -+-+-+=，则关于ABC V 的形状判断正确的是（ ）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形且△B=90°D ．直角三角形且△C=90°10．如图,等腰直角三角形ABC 的直角顶点C 与平面直角坐标系的坐标原点O 重合，AC ，BC 分别在坐标轴上，AC =BC =1，△ABC 在x 轴正半轴上沿顺时针方向作无滑动的滚动，在滚动过程中，当点C 第一次落在x 轴正半轴上时，点A 的对应点A 1的横坐标是( )A ．2B ．3C ．D ．二、填空题 11．在Rt ABC V 中，90C ∠=︒，15AB =，:3:4AC BC =，则这个直角三角形的面积是____．12．如图，校园内有两棵树，相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞___米.13．如图，在5×5的正方形（每个小正方形的边长为1）网格中，格点上有A 、B 、C 、D 、E 五个点，如果要求连接两个点之后线段的长度大于3且小于4，则可以连接_____. （写出一个答案即可）14．如果一个三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2+c 2+50＝6a+8b+10c ，那么这个三角形一定是______．三、解答题15．如图，小颖和她的同学荡秋千，秋千AB 在静止位置时，下端B 离地面0.6m ，荡秋千到AB 的位置时，下端B 距静止位置的水平距离EB 等于2.4m ，距地面1.4m ，求秋千AB 的长．16．如图，在三角形纸片ABC 中，90513ACB BC AB ∠=︒==，，在AC 上取一点E ，以BE 为折痕，使AB 的一部分与BC 重合，点A 与BC 延长线上的点D 重合． （1）AC 的长=________．（2）求CE 的长17．已知：如图，在△ABC 中，AB=13，AC=20，AD=12，且AD△BC ，垂足为点D ，求BC 的长．18．如图，一块草坪的形状为四边形ABCD ，其中△B ＝90°，AB ＝3m ，BC ＝4m ，CD ＝12m ，AD ＝13m ，求这块草坪的面积．19．阅读：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数a ，b ，c ，称为勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为：22221()21()2a m n b mnc m n ⎧=-⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩其中m ＞n ＞0，m ，n 是互质的奇数． 应用：当n=1时，求有一边长为5的直角三角形的另外两条边长答案1．B2．C3．B4．B5．B6．C7．D8．A9．D10．D11．5412．1313．答案不唯一，如：AD 14．直角三角形15．4m16．（1）12；（2）103 CE17．2118．这块草坪的面积为36平方厘米．19．12，13或3，4。

人教版八年级数学下册第17章勾股定理常考题型优生辅导训练（附答案）1．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，下列说法错误的是（ ）A ．如果∠C ﹣∠B ＝∠A ，则△ABC 是直角三角形B ．如果c 2＝b 2﹣a 2，则△ABC 是直角三角形C ．如果∠A ：∠B ：∠C ＝1：2：3，则△ABC 是直角三角形D ．如果a 2+b 2≠c 2，则△ABC 不是直角三角形2．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，点M 为BC 的中点，MN ⊥AC 于点N ，则MN 等于（ ）A ．1.5B ．2.4C ．2.5D ．3.53．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，点D 在AB 上，AD ＝AC ，AF ⊥CD 交CD 于点E ，交CB 于点F ，则CF 的长是（ ）A ．1.5B ．1.8C ．2D ．2.54．如图，△ABC 中，AC ＝4，BC ＝3，AB ＝5，AD 为△ABC 的角平分线，则CD 的长度为（ ）A ．1B ．C ．D ．5．下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（ ）A ．32，42，52B ．C ．9，41，40D ．2，3，46．如图，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.5米，则梯子顶端A下落了（ ）米．A．0.5B．1C．1.5D．27．如图，在4×4方格中作以AB为一边的Rt△ABC，要求点C也在格点上，这样的Rt△ABC 能作出（ ）A．2个B．3个C．4个D．6个8．已知一个直角三角形的三边的平方和为1800cm2，则斜边长为（ ）A．30 cm B．80 cm C．90 cm D．120 cm9．如图所示的网格是正方形网格，△ABC和△CDE的顶点都是网格线交点，那么∠BAC+∠CDE＝ °．10．如图，有一个透明的直圆柱状的玻璃杯，现测得内径为5cm，高为12cm，今有一支14cm 的吸管任意斜放于杯中，若不考虑吸管的粗细，则吸管露出杯口外的长度最少为 ．11．如图，小华将升旗的绳子拉到竖直旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，此时绳子末端距离地面2m，则绳子的长度为 m．12．如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，且DE∥AC，过点E作EF⊥DE，交CB的延长线于点F．若BD＝5，则EF2＝ ．13．已知一个直角三角形的两边长分别是3和4，则第三边长的平方是 ．14．附加题：已知等腰三角形腰长为10，一腰上的高为6，则以底边为边长的正方形面积为 ．15．如图，已知∠ADC＝90°，AD＝8m，CD＝6m，BC＝24m，AB＝26m，则图中阴影部分的面积为 ．16．如图，点A、B、C分别是正方体展开图的小正方形的顶点，则∠BAC的大小为 ．17．如图，每个小正方形的边长为1，在△ABC中，点D为AB的中点，则线段CD的长为 ．18．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形B、C、D的面积依次为4、3、9，则正方形A的面积为 ．19．如图，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形所围成，在Rt△ABC中，AC＝b，BC＝a，∠ACB＝90°，若图中大正方形的面积为42，小正方形的面积为5，则（a+b）2的值为 ．20．在△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为 ．21．如图，一棵大树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下后的树顶与树根的距离为4米，这棵大树在折断前的高度为 米．22．已知：如图，△ABC的面积为84，BC＝21，现将△ABC沿直线BC向右平移a（0＜a＜21）个单位到△DEF的位置．（1）求BC边上的高；（2）若AB＝10，①求线段DF的长；②连接AE，当△ABE时等腰三角形时，求a的值．23．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：1m/s＝3.6km/h）24．如图，已知等腰△ABC的底边BC＝13cm，D是腰AB上一点，且CD＝12cm，BD＝5cm．（1）求证：△BDC是直角三角形；（2）求△ABC的周长25．如图，正方形网格中每个小正方形边长都是1，小正方形的顶点称为格点，在正方形网格中分别画出下列图形：（1）在网格中画出长为的线段AB．（2）在网格中画出一个腰长为、面积为3的等腰△DEF．26．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若点P从点A出发，以每秒2cm 的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）若点P在AC上，且满足PA＝PB时，求出此时t的值；（2）若点P恰好在∠BAC的角平分线上，求t的值；（3）在运动过程中，直接写出当t为何值时，△BCP为等腰三角形．27．如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．（1）出发2秒后，求PQ的长；（2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒钟后，△PQB能形成等腰三角形？（3）当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．28．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6cm，AC＝8cm，点O为AB的中点，连接CO．点M在CA边上，从点C以1cm/秒的速度沿CA向点A运动，设运动时间为t 秒．（1）当∠AMO＝∠AOM时，求t的值；（2）当△COM是等腰三角形时，求t的值．参考答案1．解：A、∠C﹣∠B＝∠A，即∠A+∠B＝∠C，又∵∠A+∠B+∠C＝180°，则∠C＝90°，那么△ABC是直角三角形，说法正确；B、c2＝b2﹣a2，即a2+c2＝b2，那么△ABC是直角三角形且∠B＝90，说法正确；C、∠A：∠B：∠C＝1：2：3，又∵∠A+∠B+∠C＝180°，则∠C＝90°，则△ABC是直角三角形，说法正确；D、a＝3，b＝5，c＝4，32+52≠42，但是32+42＝52，则△ABC可能是直角三角形，故原来说法错误．故选：D．2．解：连接AM，∵AB＝AC，点M为BC中点，∴AM⊥CM（三线合一），BM＝CM，∵AB＝AC＝5，BC＝6，∴BM＝CM＝3，在Rt△ABM中，AB＝5，BM＝3，∴根据勾股定理得：AM＝＝＝4，又S△AMC＝MN•AC＝AM•MC，∴MN＝＝＝2.4．故选：B．3．解：连接DF，如图所示：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝5，∵AD＝AC＝3，AF⊥CD，∴CE＝DE，BD＝AB﹣AD＝2，∴CF＝DF，在△ADF和△ACF中，，∴△ADF≌△ACF（SSS），∴∠ADF＝∠ACF＝90°，∴∠BDF＝90°，设CF＝DF＝x，则BF＝4﹣x，在Rt△BDF中，由勾股定理得：DF2+BD2＝BF2，即x2+22＝（4﹣x）2，解得：x＝1.5；∴CF＝1.5；故选：A．4．解：∵AC＝4，BC＝3，AB＝5，∴BC2+AC2＝32+42＝52＝AB2，∴∠C＝90°，过D作DP⊥AP于P，∵AD平分∠BAC，∴PD＝CD，∵S△ABC＝AC•BC＝AC•CD+AB•PD，∴4×3＝4CD+5CD，∴CD＝．故选：D．5．解：A、92+162≠252，故不是直角三角形，故不符合题意；B、（）2+（）2≠（）2，故不是直角三角形，故不符合题意；C、92+402＝412，故是直角三角形，故符合题意；D、22+32≠42，故不是直角三角形，故不符合题意．故选：C．6．解：在Rt△ABC中，AB＝2.5米，BC＝1.5米，故AC＝＝＝2米，在Rt△ECD中，AB＝DE＝2.5米，CD＝（1.5+0.5）米，故EC＝＝＝1.5米，故AE＝AC﹣CE＝2﹣1.5＝0.5米．故选：A．7．解：当AB是斜边时，则第三个顶点所在的位置有：C、D，E，H四个；当AB是直角边，A是直角顶点时，第三个顶点是F点；当AB是直角边，B是直角顶点时，第三个顶点是G．因而共有6个满足条件的顶点．故选：D．8．解：设直角三角形的两直角边分别为acm，bcm，斜边为ccm，根据勾股定理得：a2+b2＝c2，∵a2+b2+c2＝1800，∴2c2＝1800，即c2＝900，则c＝30cm．故选：A．9．解：连接AD，由勾股定理得：AD2＝12+32＝10，CD2＝12+32＝10，AC2＝22+42＝20，∴AD＝CD，AD2+CD2＝AC2，∴∠ADC＝90°，∴∠DAC＝∠ACD＝45°，∵AB∥DE，∴∠BAD+∠ADE＝180°，∴∠BAC+∠CDE＝180°﹣90°﹣45°＝45°，故答案为：45°．10．解：∵CD＝5，AD＝12，∴AC＝＝13cm，露出杯口外的长度为＝14﹣13＝1cm．故答案为：1cm．11．解：设绳子的长度为xm，则AC＝AD＝xm，AB＝（x﹣2）m，BC＝8m，在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，即（x﹣2）2+82＝x2，解得：x＝17，即绳子的长度为17m．故答案为：17．12．解：∵△ABC是等边三角形，∴∠C＝60°，∵DE∥AC，∴∠EDB＝∠C＝60°，∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90°，∴∠F＝90°﹣∠EDB＝30°，∵∠ABC＝60°，∠EDB＝60°，∴△EDB是等边三角形．∴ED＝BD＝5，∵∠DEF＝90°，∠F＝30°，∴DF＝2DE＝10，∴EF2＝DF2﹣DE2＝75．故答案为：75．13．解：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时：第三边长的平方为：42﹣32＝7；②长为3、4的边都是直角边时：第三边的长为：42+32＝25．综上，第三边的长为：25或7．故答案为：25或7．14．解：①当等腰三角形的顶角为锐角时，如图，在Rt△ABD中，AD＝＝＝8，CD＝AC﹣AD＝10﹣8＝2，在Rt△BDC中，BC2＝BD2+CD2＝62+22＝40；②当等腰三角形的顶角为钝角时，如图，在Rt△ABD中，AD＝＝＝8，CD＝AC+AD＝10+8＝18，在Rt△BDC中，BC2＝BD2+CD2＝62+182＝360；综上所知，以底边为边长的正方形面积为40，360．故填40，360．15．解：在Rt△ADC中，∵CD＝6m，AD＝8m，∠ADC＝90°，BC＝24m，AB＝26m，∴AC2＝AD2+CD2＝82+62＝100，∴AC＝10m，（取正值）．在△ABC中，∵AC2+BC2＝102+242＝676，AB2＝262＝676．∴AC2+BC2＝AB2，∴△ACB为直角三角形，∠ACB＝90°．∴S阴影＝AC×BC﹣AD×CD＝×10×24﹣×8×6＝96（m2）．故答案是：96m216．解：连接BC．根据勾股定理可以得到：AB＝BC＝，AC＝2，∵（）2+（）2＝（2）2，即AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是等腰直角三角形．∴∠BAC＝45°．故答案为：45°．17．解：根据勾股定理，AB＝＝，BC＝＝2，AC＝＝3，∵AC2+BC2＝AB2＝26，∴△ABC是直角三角形，∵点D为AB的中点，∴CD＝AB＝×＝．故答案为：．18．解：由题意：S正方形A+S正方形B＝S正方形E，S正方形D﹣S正方形C＝S正方形E，∴S正方形A+S正方形B＝S正方形D﹣S正方形C∵正方形B，C，D的面积依次为4，3，9∴S正方形A+4＝9﹣3，∴S正方形A＝2故答案为2．19．解：由图可知，（b﹣a）2＝5，4×ab＝42﹣5＝37，∴2ab＝37，（a+b）2＝（b﹣a）2+4ab＝5+2×37＝79．故答案为79．20．解：在Rt△ABD中，BD＝＝9；在Rt△ACD中，CD＝＝5，∴BC＝BD+CD＝14或BC＝BD﹣CD＝4，∴C△ABC＝AB+BC+AC＝15+14+13＝42或C△ABC＝AB+BC+AC＝15+4+13＝32．故答案为：32或42．21．解：如图所示：∵△ABC是直角三角形，AB＝3m，AC＝4m，∴BC＝＝＝5m，∴大树的高度＝AB+AC＝3+5＝8m．故答案为：8．22．解：（1）作AM⊥BC于M，∵△ABC的面积为84，∴×BC×AM＝84，解得，AM＝8，即BC边上的高为8；（2）①在Rt△ABM中，BM＝＝6，∴CM＝BC﹣BM＝15，在Rt△ACM中，AC＝＝17，由平移的性质可知，DF＝AC＝17；②当AB＝BE＝10时，a＝BE＝10；当AB＝AE＝10时，BE＝2BM＝12，则a＝BE＝12；当EA＝EB＝a时，ME＝a﹣6，在Rt△AME中，AM2+ME2＝AE2，即82+（a﹣6）2＝a2，解得，a＝，则当△ABE时等腰三角形时，a的值为10或12或．23．解：在Rt△ABC中，AC＝30m，AB＝50m；根据勾股定理可得：（m）∴小汽车的速度为v＝＝20（m/s）＝20×3.6（km/h）＝72（km/h）；∵72（km/h）＞70（km/h）；∴这辆小汽车超速行驶．答：这辆小汽车超速了．24．（1）证明：∵BC＝13cm，CD＝12cm，BD＝5cm，∴BC2＝BD2+CD2∴△BDC为直角三角形；（2）解：设AB＝x，∵△ABC是等腰三角形，∴AB＝AC＝x，∵AC2＝AD2+CD2x2＝（x﹣5）2+122，解得：x＝，∴△ABC的周长＝2AB+BC＝2×+13＝．25．解：（1）如图所示：线段AB即为所求；（2）△DEF即为所求．26．解：（1）设存在点P，使得PA＝PB，此时PA＝PB＝2t，PC＝4﹣2t，在Rt△PCB中，PC2+CB2＝PB2，即：（4﹣2t）2+32＝（2t）2，解得：t＝，∴当t＝时，PA＝PB；（2）当点P在∠BAC的平分线上时，如图1，过点P作PE⊥AB于点E，此时BP＝7﹣2t，PE＝PC＝2t﹣4，BE＝5﹣4＝1，在Rt△BEP中，PE2+BE2＝BP2，即：（2t﹣4）2+12＝（7﹣2t）2，解得：t＝，当t＝6时，点P与A重合，也符合条件，∴当或6时，P在△ABC的角平分线上；（3）在Rt△ABC中，∵AB＝5cm，BC＝3cm，∴AC＝4cm，根据题意得：AP＝2t，当P在AC上时，△BCP为等腰三角形，∴PC＝BC，即4﹣2t＝3，∴t＝，当P在AB上时，△BCP为等腰三角形，①CP＝PB，点P在BC的垂直平分线上，如图2，过P作PE⊥BC于E，∴BE＝BC＝，∴PB＝AB，即2t﹣3﹣4＝，解得：t＝，②PB＝BC，即2t﹣3﹣4＝3，解得：t＝5，③PC＝BC，如图3，过C作CF⊥AB于F，∴BF＝BP，∵∠ACB＝90°，由射影定理得；BC2＝BF•AB，即32＝×5，解得：t＝，∴当时，△BCP为等腰三角形．27．解：（1）∵BQ＝2×2＝4（cm），BP＝AB﹣AP＝16﹣2×1＝14（cm），∠B＝90°，∴PQ＝＝＝（cm）；（2）BQ＝2t，BP＝16﹣t，根据题意得：2t＝16﹣t，解得：t＝，即出发秒钟后，△PQB能形成等腰三角形；（3）①当CQ＝BQ时，如图1所示，则∠C＝∠CBQ，∵∠ABC＝90°，∴∠CBQ+∠ABQ＝90°．∠A+∠C＝90°，∴∠A＝∠ABQ，∴BQ＝AQ，∴CQ＝AQ＝10，∴BC+CQ＝22，∴t＝22÷2＝11秒．②当CQ＝BC时，如图2所示，则BC+CQ＝24，∴t＝24÷2＝12秒．③当BC＝BQ时，如图3所示，过B点作BE⊥AC于点E，则BE＝＝，∴CE＝，∴CQ＝2CE＝14.4，∴BC+CQ＝26.4，∴t＝26.4÷2＝13.2秒．综上所述：当t为11秒或12秒或13.2秒时，△BCQ为等腰三角形．28．（1）∵AC＝8，BC＝6，∠ACB＝90°，∴AB＝＝10，∵O为AB中点，∴AO＝AB＝5，∵AO＝AM，∴AM＝5，∴CM＝3，∴t＝3；（2）①当CO＝CM时，CM＝5，∴t＝5②当MC＝MO时，t2＝32+（4﹣t）2，解得：t＝；③当CO＝OM时，M与A点重合，∴t＝8．综上所述，当△COM是等腰三角形时，t的值为5或或8．。

一、选择题1．如图，△ACB ≌△A′C B′，∠ACB ＝70°，∠ACB′＝100°，则∠BCA′度数是（ ）A ．40°B ．35C ．30°D ．45° 2．如图，OM 、ON 、OP 分别是AOB ∠，BOC ∠，AOC ∠的角平分线，则下列选项成立的（ ）A ．AOP MON ∠>∠B ．AOP MON ∠=∠C ．AOP MON ∠<∠D ．以上情况都有可能3．如图，,AD BC ⊥垂足为,D BF AC ⊥，垂足为,F AD 与BF 交于点,5,2E AD BD DC ===，则AE 的长为（ ）A ．2B ．5C ．3D ．74．如图，在ABC 和DEF 中，,B DEF AB DE ∠=∠=，添加下列一个条件后，仍然不能证明ABC DEF ≌，这个条件是（ ）A ．A D ∠=∠B ．BC EF = C ．ACB F ∠=∠D ．AC DF =5．如图，在ABC 中，AD BC ⊥于D ，CE AB ⊥于E ，AD 与CE 交于点F ．请你添加一个适当的条件，使AEF ≌CEB △．下列添加的条件不正确的是（ ）A ．EF EB = B ．EA EC = C ．AF CB =D ．AFE B ∠=∠ 6．如图所示，已知AB ∥CD ，BAC ∠与ACD ∠的平分线交于点O ，OE AC ⊥于点E ，且3OE cm =，则点O 到AB ，CD 的距离之和是（ ）A ．3cmB ．6cmC ．9cmD ．12cm7．如图，在△ABC 中，AB=5，AC=3，AD 是BC 边上的中线，AD 的取值范围是（ ）A ．1＜AD ＜6B ．1＜AD ＜4C ．2＜AD ＜8 D ．2＜AD ＜4 8．如图，AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠A ＝105°，∠D ＝25°，则∠ABE 等于（ ）A ．65°B ．60°C ．55°D ．50°9．如图所示，下面甲、乙、丙三个三角形和ABC 全等的图形是（ ）A ．甲和乙B ．乙和丙C ．只有丙D ．只有乙 10．已知如图，AC ⊥BC ，DE ⊥AB ，AD 平分∠BAC ，下面结论错误的是（ ）A ．BD +ED ＝BCB ．DE 平分∠ADBC ．AD 平分∠EDC D ．ED +AC ＞AD 11．下列说法不正确的是（ ）A ．三边分别相等的两个三角形全等B ．有两边及一角对应相等的两个三角形全等C ．有两角及一边对应相等的两个三角形全等D ．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等12．如图，点D 在线段BC 上，若1802ACE ABC x ∠=︒-∠-︒，且BC DE =，AC DC =，AB EC =，则下列角中，大小为x ︒的角是( )A ．EFC ∠B ．ABC ∠ C ．FDC ∠D ．DFC ∠ 13．如图，AD 是△ABC 中∠BAC 的角平分线，DE ⊥AB 于点E ，S △ABC =7，DE =2，AB =4，则AC 长是（ ）A ．2.5B ．3C ．3.5D ．414．如图，在下列条件中，不能判断△ABD ≌△BAC 的条件是（ ）A ．∠D=∠C ， ∠BAD=∠ABCB ．BD=AC ， ∠BAD=∠ABC C ．∠BAD=∠ABC ， ∠BAD=∠ABCD ．AD=BC ，BD=AC15．下列说法正确的是 （ ） A ．一直角边对应相等的两个直角三角形全等 B ．斜边相等的两个直角三角形全等 C ．斜边相等的两个等腰直角三角形全等 D ．一边长相等的两个等腰直角三角形全等二、填空题16．如图，已知四边形,90,3,4,5,ABCD B AB BC AC ︒∠====180BAD CAD ︒∠+∠=，180BCD ACD ︒∠+∠=，则四边形ABCD 的面积是_________．17．已知在△ABC 中，AB ＝9，中线AD ＝4，那么AC 的取值范围是____18．如图，点D 在BC 上，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥BC 交AC 于点F ，BD ＝CF ，BE ＝CD ．若∠AFD ＝145°，则∠EDF ＝_____．19．如图，点P 是AOC ∠的角平分线上一点，PD OA ⊥，垂足为点D ，且5PD =，点M 是射线OC 上一动点，则PM 的最小值为__．20．如图，ABC 的面积为215cm ，以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC ，AB 于点M ，N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP ，过点C 作CD AP ⊥于点D ，连接DB ，则DAB 的面积是______2cm ．21．如图，AD 为∠CAF 的角平分线，BD=CD ，∠DBC=∠DCB ，∠DCA=∠ABD ，过D 作DE ⊥AC 于E ，DF ⊥AB 交BA 的延长线于F ，则下列结论：①△CDE ≌△BDF ；②CE=AB+AE ；③∠DAF=∠CBD ．其中正确的结论有_____．（填序号）22．如图，射线OC 是∠AOB 的角平分线，D 是射线OC 上一点，DP ⊥OA 于点P ，DP ＝5，若点Q 是射线OB 上一点，OQ ＝4，则△ODQ 的面积是__________．23．已知△ABC ≌△DEF ，△ABC 的三边分别为3，m ，n ，△DEF 的三边分别为5，p ，q ．若△ABC 的三边均为整数，则m+n+p+q 的最大值为________．24．如图，△ACB 和△DCE 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝∠DCE ＝90°，∠ADC ＝∠BEC ，若AB ＝17，BD ＝5，则S △BDE ＝_______．25．如图，AD 是ABC 中BAC ∠的平分线，DE AB ⊥交AB 于点E ，DF AC ⊥交AC 于点F ．若28ABC S =，4DE =，8AB =，则AC =_________．26．如图，在ABC 中，AB AC =，BD CD =，点E ，F 是AD 上的任意两点、若8BC =，6AD =，则图中阴影部分的面积为__________．三、解答题27．求证：全等三角形对应边上的中线相等．（根据图形写出已知，求证并完成证明）28．我们知道，“对称补缺”的思想是解决与轴对称图形有关的问题时的一种重要的添加辅助线的策略．请参考这种思想，解决本题：如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，D 是AC 上一点，AE ⊥BD 交BD 的延长线于E ，且BD 是∠ABC 的角平分线．求证：AE ＝12BD ． 29．在学习了“等边对等角”定理后，某数学兴趣小组的同学继续探究了同一个三角形中边与角的数量关系，得到了一个正确的结论：“在同一个三角形中，较长的边所对的角较大”，简称：“在同一个三角形中，大边对大角”．即，如图：当 AB ＞AC 时，∠C ＞∠B ．该兴趣小组的同学在此基础上对等腰三角形“三线合一”性质的一般情况，继续进行了深入的探究，请你补充完整：（1）在△ABC中，AD是BC边上的高线．①如图1，若AB=AC，则∠BAD=∠CAD；②如图2，若AB≠AC，当AB＞AC时，∠BAD∠CAD．（填“>”，“<”，“=”）证明：∵AD是BC边上的高线，∴∠ADB=∠ADC=90°．∴∠BAD=90°-∠B，∠CAD=90°-∠C．∵AB＞AC，∴（在同一个三角形中，大边对大角）．∴∠BAD∠CAD．（2）在△ABC中，AD是BC边上的中线．①如图1，若AB=AC，则∠BAD=∠CAD；②如图3，若AB≠AC，当AB＞AC时，∠BAD∠CAD．（填“>”，“<”，“=”）证明：30．沛沛沿一段笔直的人行道行走，边走边欣赏风景，在由C走到D的过程中，通过隔离带的空隙P，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语，具体信息如下：如图，⊥垂足为AB//PM//CD，相邻两平行线间的距离相等AC，BD相交于P，PD CD CD=米．请根据上述信息求标语AB的长度．D．已知16。

人教版八年级数学下册第17章勾股定理常考题型专题训练（附答案）1．由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5B．∠A﹣∠B＝∠CC．a＝1，b＝2，c＝D．（b+c）（b﹣c）＝a22．如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝10，BE＝24，则EF的长是（ ）A．14B．13C．14D．143．如图，要使宽为2米的矩形平板车ABCD通过宽为2米的等宽的直角通道，则平板车的长最多为（ ）A．2B．2C．4D．44．如图，以Rt△ABC的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形．若AB＝，则图中阴影部分的面积为（ ）A．B．C．D．55．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N，则MN 等于（ ）A．1.5B．2.4C．2.5D．3.56．如图，赵爽弦图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形两条直角边长分别为a和b．若ab＝8，大正方形的边长为5，则小正方形的边长为（ ）A．1B．2C．3D．47．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D在AB上，AD＝AC，AF⊥CD交CD于点E，交CB于点F，则CF的长是（ ）A．1.5B．1.8C．2D．2.58．如图，有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一个芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B′．则这根芦苇的长度是（ ）A．10尺B．11尺C．12尺D．13尺9．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNPQ的面积分别为S1、S2、S3．若S1+S2+S3＝60，则S2的值是（ ）A．12B．15C．20D．3010．如图，方格中的点A，B称为格点（格线的交点），以AB为一边画△ABC，其中是直角三角形的格点C的个数为（ ）A．3B．4C．5D．611．平面直角坐标系上有点A（﹣3，4），则它到坐标原点的距离为 ．12．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了 步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．13．如图，要为一段高5米，长13米的楼梯铺上红地毯，至少需要红地毯 米．14．在Rt△ABC中，斜边AB＝3，则AB2+BC2+CA2＝ ．15．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BD是边AC上的高，CD＝2，则BD＝ ．16．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O．若AD＝2，BC＝4，则AB2+CD2＝ ．17．如图所示的网格是正方形网格，△ABC和△CDE的顶点都是网格线交点，那么∠BAC+∠CDE＝ °．18．如图，方格纸中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形的格点上，点C 到AB边的距离为 ．19．已知：直角△ABC的三边分别为a，b，c，且周长为9，斜边为4，则△ABC的面积 ．20．如图，一木杆在离地面1.5m处折断，木杆顶端落在离木杆底端2m处，则木杆折断之前的高为 （m）．21．如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，请你求出旗杆的高度（滑轮上方的部分忽略不计）22．如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝1.5千米，CH ＝1.2千米，HB＝0.9千米．（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明；（2）求新路CH比原路CA少多少千米？23．某中学八（1）班小明在综合实践课上剪了一个四边形ABCD，如图，连接AC，经测量AB＝12，BC＝9，CD＝8，AD＝17，∠B＝90°．求证：△ACD是直角三角形．24．已知：如图，△ABC的面积为84，BC＝21，现将△ABC沿直线BC向右平移a（0＜a＜21）个单位到△DEF的位置．（1）求BC边上的高；（2）若AB＝10，①求线段DF的长；②连接AE，当△ABE时等腰三角形时，求a的值．25．阅读下列一段文字，然后回答下列问题．已知平面内两点M（x1，y1）、N（x2，y2），则这两点间的距离可用下列公式计算：MN＝．例如：已知P（3，1）、Q（1，﹣2），则这两点间的距离PQ＝＝．特别地，如果两点M（x1，y1）、N（x2，y2）所在的直线与坐标轴重合或平行于坐标轴或垂直于坐标轴，那么这两点间的距离公式可简化为MN＝丨x1﹣x2丨或丨y1﹣y2丨．（1）已知A（1，2）、B（﹣2，﹣3），试求A、B两点间的距离；（2）已知A、B在平行于x轴的同一条直线上，点A的横坐标为5，点B的横坐标为﹣1，试求A、B两点间的距离；（3）已知△ABC的顶点坐标分别为A（0，4）、B（﹣1，2）、C（4，2），你能判定△ABC 的形状吗？请说明理由．26．如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，点D是Rt△ABC外一点，连接DC，DB，且CD＝4，BD＝3．（1）求BC的长；（2）求证：△BCD是直角三角形．27．如图1，一架云梯斜靠在一竖直的墙上，云梯的顶端距地面15米，梯子的长度比梯子底端离墙的距离大5米．（1）这个云梯的底端离墙多远？（2）如图2，如果梯子的顶端下滑了8m，那么梯子的底部在水平方向滑动了多少米？参考答案1．解：A、由题意：∠C＝×180°＝75°，△ABC是锐角三角形，本选项符合题意．B、∵∠A﹣∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝90°，∴△ABC是直角三角形，本选项不符合题意．C、∵a＝1，b＝2，c＝，∴a2+b2＝c2，∴∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形，本选项不符合题意．D、∵（b+c）（b﹣c）＝a2，∴b2﹣c2＝a2，∴b2＝a2+c2，∴△ABC是直角三角形，本选项不符合题意．故选：A．2．解：∵AE＝10，BE＝24，即24和10为两条直角边长时，小正方形的边长＝24﹣10＝14，∴EF＝＝14．故选：D．3．解：设平板手推车的长度为x米，当x为最大值，且此时平板手推车所形成的△CBP为等腰直角三角形．连接PO，与BC交于点N．∵直角通道的宽为2m，∴PO＝4m，∴NP＝PO﹣ON＝4﹣2＝2（m）．又∵△CBP为等腰直角三角形，∴AD＝BC＝2CN＝2NP＝4（m）．故选：C．4．解：S阴影＝AC2+BC2+AB2＝（AB2+AC2+BC2），∵AB2＝AC2+BC2＝5，∴AB2+AC2+BC2＝10，∴S阴影＝×10＝5．故选：D．5．解：连接AM，∵AB＝AC，点M为BC中点，∴AM⊥CM（三线合一），BM＝CM，∵AB＝AC＝5，BC＝6，∴BM＝CM＝3，在Rt△ABM中，AB＝5，BM＝3，∴根据勾股定理得：AM＝＝＝4，又S△AMC＝MN•AC＝AM•MC，∴MN＝＝＝2.4．故选：B．6．解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，∵每一个直角三角形的面积为：ab＝×8＝4，∴4×ab+（a﹣b）2＝52，∴（a﹣b）2＝25﹣16＝9，∵正方形的边长a﹣b＞0，∴a﹣b＝3，故选：C．7．解：连接DF，如图所示：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝5，∵AD＝AC＝3，AF⊥CD，∴CE＝DE，BD＝AB﹣AD＝2，∴CF＝DF，在△ADF和△ACF中，，∴△ADF≌△ACF（SSS），∴∠ADF＝∠ACF＝90°，∴∠BDF＝90°，设CF＝DF＝x，则BF＝4﹣x，在Rt△BDF中，由勾股定理得：DF2+BD2＝BF2，即x2+22＝（4﹣x）2，解得：x＝1.5；∴CF＝1.5；故选：A．8．解：设芦苇长AB＝AB′＝x尺，则水深AC＝（x﹣1）尺，因为边长为10尺的正方形，所以B'C＝5尺在Rt△AB'C中，52+（x﹣1）2＝x2，解之得x＝13，即水深12尺，芦苇长13尺．故选：D．9．解：设每个小直角三角形的面积为m，则S1＝4m+S2，S3＝S2﹣4m，因为S1+S2+S3＝60，所以4m+S2+S2+S2﹣4m＝60，即3S2＝60，解得S2＝20．故选：C．10．解：如图所示：以AB为一边画△ABC，其中是直角三角形的格点C共有4个，故选：B．11．解：∵点A（﹣3，4），∴它到坐标原点的距离＝＝5，故答案为：5．12．解：由勾股定理，得路长＝＝5，少走（3+4﹣5）×2＝4步，故答案为：4．13．解：根据勾股定理，楼梯水平长度为＝12米，则红地毯至少要12+5＝17米长，故答案为：17．14．解：∵△ABC为直角三角形，AB为斜边，∴AC2+BC2＝AB2，又AB＝3，∴AC2+BC2＝AB2＝9，则AB2+BC2+CA2＝AB2+（BC2+CA2）＝9+9＝18．故答案为：1815．解：由已知得：AD＝AC﹣CD＝8，AB＝10，∵BD是高，∴△ADB是直角三角形，∴BD2+AD2＝AB2，∴BD＝＝6．16．解：∵AC⊥BD，∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，由勾股定理得，AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，∴AB2+CD2＝AD2+BC2，∵AD＝2，BC＝4，∴AB2+CD2＝22+42＝20．故答案为：20．17．解：连接AD，由勾股定理得：AD2＝12+32＝10，CD2＝12+32＝10，AC2＝22+42＝20，∴AD＝CD，AD2+CD2＝AC2，∴∠ADC＝90°，∴∠DAC＝∠ACD＝45°，∵AB∥DE，∴∠BAD+∠ADE＝180°，∴∠BAC+∠CDE＝180°﹣90°﹣45°＝45°，故答案为：45°．18．解：∵S△ABC＝3×3﹣×1×2﹣×2×3﹣×1×3＝，AB＝＝，∴点C到AB边的距离＝＝．故答案为：．19．解：根据题意，得a+b＝5，a2+b2＝16，则ab＝[（a+b）2﹣（a2+b2）]＝（52﹣16）＝．故答案是：．20．解：∵一木杆在离地面1.5m处折断，木杆顶端落在离木杆底端2m处，∴折断的部分长为＝2.5，∴折断前高度为2.5+1.5＝4（m）．故答案为：4．21．解：设旗杆高度为x，则AC＝AD＝x，AB＝（x﹣2）m，BC＝8m，在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，即（x﹣2）2+82＝x2，解得：x＝17，即旗杆的高度为17米．22．解：（1）是，理由是：在△CHB中，∵CH2+BH2＝（1.2）2+（0.9）2＝2.25，BC2＝2.25，∴CH2+BH2＝BC2，∴CH⊥AB，所以CH是从村庄C到河边的最近路；（2）设AC＝x千米，在Rt△ACH中，由已知得AC＝x，AH＝x﹣0.9，CH＝1.2，由勾股定理得：AC2＝AH2+CH2∴x2＝（x﹣0.9）2+（1.2）2，解这个方程，得x＝1.25，1.25﹣1.2＝0.05（千米）答：新路CH比原路CA少0.05千米．23．证明：∵∠B＝90°，AB＝12，BC＝9，∴AC2＝AB2+BC2＝144+81＝225，∴AC＝15，又∵AC2+CD2＝225+64＝289，AD2＝289，∴△ACD是直角三角形．24．解：（1）作AM⊥BC于M，∵△ABC的面积为84，∴×BC×AM＝84，解得，AM＝8，即BC边上的高为8；（2）①在Rt△ABM中，BM＝＝6，∴CM＝BC﹣BM＝15，在Rt△ACM中，AC＝＝17，由平移的性质可知，DF＝AC＝17；②当AB＝BE＝10时，a＝BE＝10；当AB＝AE＝10时，BE＝2BM＝12，则a＝BE＝12；当EA＝EB＝a时，ME＝a﹣6，在Rt△AME中，AM2+ME2＝AE2，即82+（a﹣6）2＝a2，解得，a＝，则当△ABE时等腰三角形时，a的值为10或12或．25．解：（1）AB＝＝；（2）AB＝丨5﹣（﹣1）丨＝6；（3）△ABC是直角三角形理由：∵AB＝＝，BC＝＝5，AC＝＝，∴AB2+AC2＝（）2+（）2＝25，BC2＝52＝25．∴△ABC是直角三角形．26．（1）解：∵Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，∴BC＝＝＝5；（2）证明：∵在△BCD中，CD＝4，BD＝3，BC＝5，∴CD2+BD2＝42+32＝52＝BC2，∴△BCD是直角三角形．27．解：（1）根据题意可得OA＝15米，AB﹣OB＝5米，由勾股定理OA2+OB2＝AB2，可得：152+OB2＝（5+OB）2解得：OB＝20，答：这个云梯的底端离墙20米远；（2）由（1）可得：AB＝20+5＝25米，根据题意可得：CO＝7米，CD＝AB＝25米，由勾股定理OC2+OD2＝CD2，可得：，∴BD＝24﹣20＝4米，答：梯子的底部在水平方向滑动了4米。

人教版八年级下册数学第17章勾股定理培优训练题1．如图，已知AB＝10，BC＝24，CD＝26，DA＝20，AB⊥BC，求四边形ABCD的面积．2．四边形ABCD中，AB＝12，BC＝3，CD＝4，AD＝13，∠C＝90°．（1）求证：∠ABD＝90°；（2）求四边形ABCD的面积．3．为了绿化环境，我县某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，∠ADC＝90°，CD＝3米，AD＝4米，AB＝13米，BC＝12米．（1）求出空地ABCD的面积．（2）若每种植1平方米草皮需要300元，问总共需投入多少元？（1）4．如图，在平面直角坐标系中，正方形网格的每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点都在格点上．通过计算判断△ABC的形状．（2）△ABC的面积为．（3）求AB边上的高．5．如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距大厦8米处（车尾AE到大厦墙面CD），升起云梯到火灾窗口B．已知云梯AB长17米，云梯底部距地面的高AE＝1.5米，问发生火灾的住户窗口距离地面多高？6．随着疫情的持续，各地政府储存了充足的防疫物品．某防疫物品储藏室的截面是由如图所示的图形构成的，图形下面是长方形ABCD，上面是半圆形，其中AB＝1.8m，BC＝2m，一辆装满货物的运输车，其外形高2.3m，宽1.6m，它能通过储藏室的门吗？请说明理由．7．如图是某“飞越丛林”俱乐部新近打造的一款儿童游戏项目，工作人员告诉小敏，该项目AB段和BC段均由不锈钢管材打造，总长度为26米，长方形CDEF为一木质平台的主视图．小敏经过现场测量得知：CD＝1米，AD＝15米，于是小敏大胆猜想立柱AB段的长为10米，请判断小敏的猜想是否正确？如果正确，请写出理由，如果错误，请求出立柱AB段的正确长度．8．如图，在四边形ABCD中，AB＝7cm，AD＝24cm，∠BAD＝90°，BC＝20m，CD＝15cm．（1）连接BD，求BD的长；（2）求四边形ABCD的面积．9．如图，学校有一块三角形空地ABC，计划将这块三角形空地分割成四边形ABDE和△EDC，分别摆放“秋海棠”和“天竺葵”两种不同的花卉．经测量，∠EDC＝90°，DC＝6m，CE＝10m，BD＝14m，AB＝16m，AE＝2m．（1）求DE的长；（2）求四边形ABDE的面积．10．如图，琪琪准备把一支笔放入铅笔盒ABCD，竖放时笔的顶端E比铅笔盒的宽AB还要长2cm，斜着放入时笔的顶端F与铅笔盒的边缘AB距离为6cm，求铅笔盒的宽AB的长度．11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒．（1）求BC边的长；（2）当△ABP为直角三角形时，求t的值；（3）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．12．如图，一棵高10m的大树倒在了高8m的墙上，大树的顶端正好落在墙的最高处，如果随着大树的顶端沿着墙面向下滑动，请回答下列各题．（1）如果大树的顶端沿着墙面向下滑动了2m，那么大树的另一端点是否也向左滑动了2m？说明理由，（2）如果大树的顶端沿着墙面向下滑动了am，那么大树的另一端点是否也向左滑动了am？说明理由．13．如图，铁路上A，B两点相距23km，C，D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA＝15km，CB＝8km．现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km 处？14．阅读下面的情景对话，然后解答问题：（1）①根据“奇异三角形”的定义，请判断小红提出的命题是否正确，并填空（填“正确”或“不正确”）；②若某三角形的三边长分别是2、4、，则该三角形（是或不是）奇异三角形；（2）若Rt△ABC是奇异三角形，且其两边长分别为2、2，则第三边边长为；且此直角三角形的三边之比为（请按从小到大排列，不得含有分母）；（3）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．AB＝c，AC＝b，BC＝a，且b＞a，若Rt△ABC是奇异三角形．求a：b：c．15．如图，距学校A的正南方向240m的B处有一列火车，且该火车正以80m/s的速度沿北偏东30°的方向往C移动，火车在行进的过程中发出巨大的噪音，若火车周围200m以内认为受到噪音的影响，请问：（1）该学校是否受到噪音影响？请说明理由；（2）若会受到噪音影响，求噪音影响该学校的持续时间有多长？16．已知点A（﹣2，3），B（4，3），C（﹣1，﹣3）．（1）求A，B两点之间的距离；（2）求点C到x轴的距离；（3）求三角形ABC的面积；（4）观察线段AB与x轴的关系，若点D是线段AB上一点（不与A，B重合），则点D的坐标有什么特点？17．如图，建筑物BC上有一个旗杆AB，琪琪计划用学过的知识测量该建筑物的高度，测量方法如下：在该建筑物底部所在的平地上有一棵小树FD，琪琪沿CD后退，发现地面上的点E、树顶F、旗杆顶端A恰好在一条直线上，继续后退，发现地面上的点G、树顶F、建筑物顶端B恰好在一条直线上，已知旗杆AB＝3米，FD＝4米，DE＝5米，EG＝1.5米，点A、B、C在一条直线上，点C、D、E、G在一条直线上，AC、FD均垂直于CG，请你帮助琪琪求出这座建筑物的高BC．18．在△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b．如图1，若∠C＝90°时，根据勾股定理有a2+b2＝c2．（1）如图2，当△ABC为锐角三角形时，类比勾股定理，判断a2+b2与c2的大小关系，并证明；（2）如图3，当△ABC为钝角三角形时，类比勾股定理，判断a2+b2与c2的大小关系，并证明；（3）如图4，一块四边形的试验田ABCD，已知∠B＝90°，AB＝80米，BC＝60米，CD＝90米，AD＝110米，求这块试验田的面积．19．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝15，D是AB上一点，BD＝9，CD＝12．（1）求证：CD⊥AB；（2）求AC长．20．如图，琪琪将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端12米处，发现此时绳子底端距离打结处约4米，请算出旗杆的高度．21．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，CD＝10，AD＝10．（1）求四边形ABCD的面积．（2）求对角线BD的长．22．如图，秋千OA静止的时候，踏板离地高一尺（AC＝1尺），将它往前推进两步（EB＝10尺），此时踏板升高离地五尺（BD＝5尺），求秋千绳索（OA或OB）的长度．23．如图，湖的两岸有A，B两点，在与AB成直角的BC方向上的点C处测得AC＝60米，BC＝48米．（1）求A，B两点间的距离；（2）求点B到直线AC的距离．24．如图，学校进行美化施工，已知AB＝3米，BC＝4米，∠ABC＝90°，AD＝12米，CD＝13米，学校欲在此空地上铺草坪，已知草坪每平方米80元，试问用该草坪铺满这块空地共需花费多少元？25．一艘轮船以30千米/时的速度离开港口，向东南方向航行，另一艘轮船同时离开港口，以40千米/时的速度航行，它们离开港口一个半小时后相距75千米，求第二艘船的航行方向．26．如图，某工厂A到直线公路l的距离AB为3千米，与该公路上车站D的距离为5千米，现要在公路边上建一个物品中转站C，使CA＝CD，求物品中转站与车站之间的距离．27．去年某省将地处A、B的两所大学合并成一所综合性大学，为方便A、B两地师生的交往，学校准备在相距2km的A、B两地修筑一条笔直公路（公路宽度忽略不计，如所示图中的线段AB），经测量，在A地的北偏东60°方向、B地的北偏西45°方向的C处有一半径为0.7km的圆形公园，问计划修筑的这条公路会不会穿过公园，为什么？。

人教版数学八年级下册第17章勾股定理专题培优训练（含答案）一．选择题（共11小题）1．如图，两个较大正方形的面积分别为225、289，则字母A所代表的正方形的面积为（）A．4B．8C．16D．642．已知一个直角三角形的三边的平方和为1800cm2，则斜边长为（）A．30 cm B．80 cm C．90 cm D．120 cm3．下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（）A．32，42，52B．C．9，41，40D．2，3，44．如图：a，b，c表示以直角三角形三边为边长的正方形的面积，则下列结论正确的是（）A．a2+b2＝c2B．ab＝c C．a+b＝c D．a+b＝c25．△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点P是BC边上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，则PD+PE的长是（）A．4.8B．4.8或3.8C．3.8D．56．若直角三角形的两条直角边长为a，b，斜边长为c，斜边上的高为h，则有（）A．ab＝h2B．C．D．a2+b2＝2h27．在△ABC中，若a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，则△ABC是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．直角三角形8．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了右图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2009次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（）A．2008B．2009C．2010D．19．我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）A．B．C．D．10．如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面1.5米，则小巷的宽度为（）A．2.7米B．2.5米C．2米D．1.8米11．如图，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.5米，则梯子顶端A下落了（）米．A．0.5B．1C．1.5D．2二．填空题（共6小题）12．点P（﹣5，12）到原点的距离是．13．如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，且DE∥AC，过点E作EF⊥DE，交CB的延长线于点F．若BD＝5，则EF2＝．14．已知：如图，四边形ABDC，AB＝4，AC＝3，CD＝12，BD＝13，∠BAC＝90°．则四边形ABDC的面积是．15．如图所示的一块地，已知AD＝4米，CD＝3米，∠ADC＝90°，AB＝13米，BC＝12米，这块地的面积为．16．如图，将一根长12厘米的筷子置于底面直径为6厘米，高为8厘米的圆柱形杯子中，则筷子露在杯子外面的长度至少为厘米．17．如图1，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．此图案的示意图如图2，其中四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形，△ABF、△BCG、△CDH、△DAE是四个全等的直角三角形．若EF＝2，DE＝8，则AB的长为．三．解答题（共7小题）18．如图，是一块四边形绿地的示意图，其中AB长为24米，BC长15米，CD长为20米，DA长7米，∠C＝90°，求绿地ABCD的面积．19．中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展．现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”．Rt △ABC中，∠ACB＝90°，若AC＝b，BC＝a，请你利用这个图形解决下列问题：（1）试说明a2+b2＝c2；（2）如果大正方形的面积是10，小正方形的面积是2，求（a+b）2的值．20．如图，将Rt△ABC绕其锐角顶点A旋转90°得到Rt△ADE，连接BE，延长DE、BC 相交于点F，则有∠BFE＝90°，且四边形ACFD是一个正方形．（1）判断△ABE的形状，并证明你的结论；（2）用含b代数式表示四边形ABFE的面积；（3）求证：a2+b2＝c2．21．我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：；（2）若第一个数用字母n（n为奇数，且n≥3）表示，那么后两个数用含n的代数式分别表示为和，请用所学知识说明它们是一组勾股数．22．如图，甲船以16海里/时的速度离开港口，向东南航行，乙船在同时同地向西南方向航行，已知他们离开港口一个半小时后分别到达B、A两点，且知AB＝30海里，问乙船每小时航行多少海里？23．如图，花果山上有两只猴子在一棵树CD上的点B处，且BC＝5m，它们都要到A处吃东西，其中一只猴子甲沿树爬下走到离树10m处的池塘A处，另一只猴子乙先爬到树顶D处后再沿缆绳DA线段滑到A处．已知两只猴子所经过的路程相等，设BD为xm．（1）请用含有x的整式表示线段AD的长为m；（2）求这棵树高有多少米？24．如图1，△ABC中，CD⊥AB于D，且BD：AD：CD＝2：3：4，（1）试说明△ABC是等腰三角形；（2）已知S△ABC＝40cm2，如图2，动点M从点B出发以每秒1cm的速度沿线段BA向点A运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点M运动的时间为t（秒），①若△DMN的边与BC平行，求t的值；②若点E是边AC的中点，问在点M运动的过程中，△MDE能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．参考答案一．选择题（共11小题）1．如图，两个较大正方形的面积分别为225、289，则字母A所代表的正方形的面积为（）A．4B．8C．16D．64【解答】解：∵正方形PQED的面积等于225，∴即PQ2＝225，∵正方形PRGF的面积为289，∴PR2＝289，又△PQR为直角三角形，根据勾股定理得：PR2＝PQ2+QR2，∴QR2＝PR2﹣PQ2＝289﹣225＝64，则正方形QMNR的面积为64．故选：D．2．已知一个直角三角形的三边的平方和为1800cm2，则斜边长为（）A．30 cm B．80 cm C．90 cm D．120 cm【解答】解：设直角三角形的两直角边分别为acm，bcm，斜边为ccm，根据勾股定理得：a2+b2＝c2，∵a2+b2+c2＝1800，∴2c2＝1800，即c2＝900，则c＝30cm．故选：A．3．下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（）A．32，42，52B．C．9，41，40D．2，3，4【解答】解：A、92+162≠252，故不是直角三角形，故不符合题意；B、（）2+（）2≠（）2，故不是直角三角形，故不符合题意；C、92+402＝412，故是直角三角形，故符合题意；D、22+32≠42，故不是直角三角形，故不符合题意．故选：C．4．如图：a，b，c表示以直角三角形三边为边长的正方形的面积，则下列结论正确的是（）A．a2+b2＝c2B．ab＝c C．a+b＝c D．a+b＝c2【解答】解：∵a、b、c表示以直角三角形三边为边长的正方形的面积，∴a＝AC2，b＝BC2，c＝AB2．又∵在直角△ABC中，AC2+BC2＝AB2．∴a+b＝c．故选：C．5．△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点P是BC边上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，则PD+PE的长是（）A．4.8B．4.8或3.8C．3.8D．5【解答】解：过A点作AF⊥BC于F，连结AP，∵△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，∴BF＝4，∴△ABF中，AF＝＝3，∴×8×3＝×5×PD+×5×PE，12＝×5×（PD+PE）PD+PE＝4.8．故选：A．6．若直角三角形的两条直角边长为a，b，斜边长为c，斜边上的高为h，则有（）A．ab＝h2B．C．D．a2+b2＝2h2【解答】解：∵ab＝ch∴h＝∴＝∴＝＝＝．故选C．7．在△ABC中，若a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，则△ABC是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．直角三角形【解答】解：∵（n2﹣1）2+（2n）2＝（n2+1）2，∴三角形为直角三角形，故选：D．8．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了右图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2009次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（）A．2008B．2009C．2010D．1【解答】解：设直角三角形的是三条边分别是a，b，c．根据勾股定理，得a2+b2＝c2，即正方形A的面积+正方形B的面积＝正方形C的面积＝1．推而广之，“生长”了2009次后形成的图形中所有的正方形的面积和是2010×1＝2010．故选：C．9．我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、∵+c2+ab＝（a+b）（a+b），∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；B、∵4×+c2＝（a+b）2，∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；C、∵4×+（b﹣a）2＝c2，∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；D、根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意；故选：D．10．如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面1.5米，则小巷的宽度为（）A．2.7米B．2.5米C．2米D．1.8米【解答】解：由题意可得：AD2＝0.72+2.42＝6.25，在Rt△ABC中，∵∠ABC＝90°，BC＝1.5米，BC2+AB2＝AC2，∴AB2+1.52＝6.25，∴AB＝±2，∵AB＞0，∴AB＝2米，∴小巷的宽度为0.7+2＝2.7（米）．故选：A．11．如图，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.5米，则梯子顶端A下落了（）米．A．0.5B．1C．1.5D．2【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝2.5米，BC＝1.5米，故AC＝＝＝2米，在Rt△ECD中，AB＝DE＝2.5米，CD＝（1.5+0.5）米，故EC＝＝＝1.5米，故AE＝AC﹣CE＝2﹣1.5＝0.5米．故选：A．二．填空题（共6小题）12．点P（﹣5，12）到原点的距离是13．【解答】解：∵点P（﹣5，12），∴点P到原点的距离＝＝13．故答案为：13．13．如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，且DE∥AC，过点E作EF⊥DE，交CB的延长线于点F．若BD＝5，则EF2＝75．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠C＝60°，∵DE∥AC，∴∠EDB＝∠C＝60°，∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90°，∴∠F＝90°﹣∠EDB＝30°，∵∠ABC＝60°，∠EDB＝60°，∴△EDB是等边三角形．∴ED＝BD＝5，∵∠DEF＝90°，∠F＝30°，∴DF＝2DE＝10，∴EF2＝DF2﹣DE2＝75．故答案为：75．14．已知：如图，四边形ABDC，AB＝4，AC＝3，CD＝12，BD＝13，∠BAC＝90°．则四边形ABDC的面积是36．【解答】解：连接BC，∵∠A＝90°，AB＝4，AC＝3∴BC＝5，∵BC＝5，BD＝13，CD＝12∴BC2+CD2＝BD2∴△BCD是直角三角形∴S四边形ABCD＝S△BCD+S△ABC＝×4×3+×5×12＝36，故答案为：3615．如图所示的一块地，已知AD＝4米，CD＝3米，∠ADC＝90°，AB＝13米，BC＝12米，这块地的面积为24m2．【解答】解：如图，连接AC由勾股定理可知AC＝＝＝5，又AC2+BC2＝52+122＝132＝AB2故三角形ABC是直角三角形故所求面积＝△ABC的面积﹣△ACD的面积＝＝24（m2）．16．如图，将一根长12厘米的筷子置于底面直径为6厘米，高为8厘米的圆柱形杯子中，则筷子露在杯子外面的长度至少为2厘米．【解答】解：如图所示，筷子，圆柱的高，圆柱的直径正好构成直角三角形，∴勾股定理求得圆柱形水杯的最大线段的长度，即＝10cm，∴筷子露在杯子外面的长度至少为12﹣10＝2cm，故答案为2．17．如图1，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．此图案的示意图如图2，其中四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形，△ABF、△BCG、△CDH、△DAE是四个全等的直角三角形．若EF＝2，DE＝8，则AB的长为10．【解答】解：依题意知，BG＝AF＝DE＝8，EF＝FG＝2∴BF＝BG﹣BF＝6，∴直角△ABF中，利用勾股定理得：AB＝＝＝10．故答案是：10．三．解答题（共7小题）18．如图，是一块四边形绿地的示意图，其中AB长为24米，BC长15米，CD长为20米，DA长7米，∠C＝90°，求绿地ABCD的面积．【解答】解：连接BD．如图所示：∵∠C＝90°，BC＝15米，CD＝20米，∴BD＝＝＝25（米）；在△ABD中，∵BD＝25米，AB＝24米，DA＝7米，242+72＝252，即AB2+DA2＝BD2，∴△ABD是直角三角形．∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD＝AB•AD+BC•CD＝×24×7+×15×20＝84+150＝234（平方米）；即绿地ABCD的面积为234平方米．19．中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展．现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”．Rt △ABC中，∠ACB＝90°，若AC＝b，BC＝a，请你利用这个图形解决下列问题：（1）试说明a2+b2＝c2；（2）如果大正方形的面积是10，小正方形的面积是2，求（a+b）2的值．【解答】解：（1）∵大正方形面积为c2，直角三角形面积为ab，小正方形面积为（b ﹣a）2，∴c2＝4×ab+（a﹣b）2＝2ab+a2﹣2ab+b2即c2＝a2+b2．；（2）由图可知，（b﹣a）2＝2，4×ab＝10﹣2＝8，∴2ab＝8，∴（a+b）2＝（b﹣a）2+4ab＝2+2×8＝18．20．如图，将Rt△ABC绕其锐角顶点A旋转90°得到Rt△ADE，连接BE，延长DE、BC 相交于点F，则有∠BFE＝90°，且四边形ACFD是一个正方形．（1）判断△ABE的形状，并证明你的结论；（2）用含b代数式表示四边形ABFE的面积；（3）求证：a2+b2＝c2．【解答】（1）△ABE是等腰直角三角形，证明：∵Rt△ABC绕其锐角顶点A旋转90°得到在Rt△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAE＝∠BAC+∠CAE＝∠CAE+∠DAE＝90°，又∵AB＝AE，∴△ABE是等腰直角三角形；（2）∵四边形ABFE的面积等于正方形ACFD面积，∴四边形ABFE的面积等于：b2．（3）∵S正方形ACFD＝S△BAE+S△BFE即：b2＝c2+（b+a）（b﹣a），整理：2b2＝c2+（b+a）（b﹣a）∴a2+b2＝c2．21．我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：11，60，61；（2）若第一个数用字母n（n为奇数，且n≥3）表示，那么后两个数用含n的代数式分别表示为和，请用所学知识说明它们是一组勾股数．【解答】解：（1）11，60，61；（2）后两个数表示为和，∵，，∴．又∵n≥3，且n为奇数，∴由n，，三个数组成的数是勾股数．故答案为：11，60，61．22．如图，甲船以16海里/时的速度离开港口，向东南航行，乙船在同时同地向西南方向航行，已知他们离开港口一个半小时后分别到达B、A两点，且知AB＝30海里，问乙船每小时航行多少海里？【解答】解：∵甲轮船向东南方向航行，乙轮船向西南方向航行，∴AO⊥BO，∵甲轮船以16海里/小时的速度航行了一个半小时，∴OB＝16×1.5＝24海里，AB＝30海里，∴在Rt△AOB中，AO＝＝＝18，∴乙轮船每小时航行18÷1.5＝12海里．23．如图，花果山上有两只猴子在一棵树CD上的点B处，且BC＝5m，它们都要到A处吃东西，其中一只猴子甲沿树爬下走到离树10m处的池塘A处，另一只猴子乙先爬到树顶D处后再沿缆绳DA线段滑到A处．已知两只猴子所经过的路程相等，设BD为xm．（1）请用含有x的整式表示线段AD的长为15﹣x m；（2）求这棵树高有多少米？【解答】解：（1）设BD为x米，且存在BD+DA＝BC+CA，即BD+DA＝15，DA＝15﹣x，故答案为：15﹣x；（2）∵∠C＝90°∴AD2＝AC2+DC2∴（15﹣x）2＝（x+5）2+102∴x＝2.5∴CD＝5+2.5＝7.5答：树高7.5米；24．如图1，△ABC中，CD⊥AB于D，且BD：AD：CD＝2：3：4，（1）试说明△ABC是等腰三角形；（2）已知S△ABC＝40cm2，如图2，动点M从点B出发以每秒1cm的速度沿线段BA向点A运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点M运动的时间为t（秒），①若△DMN的边与BC平行，求t的值；②若点E是边AC的中点，问在点M运动的过程中，△MDE能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．【解答】（1）证明：设BD＝2x，AD＝3x，CD＝4x，则AB＝5x，在Rt△ACD中，AC＝＝5x，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形；（2）解：S△ABC＝×5x×4x＝40cm2，而x＞0，∴x＝2cm，则BD＝4cm，AD＝6cm，CD＝8cm，AC＝10cm．①当MN∥BC时，AM＝AN，即10﹣t＝t，∴t＝5；当DN∥BC时，AD＝AN，得：t＝6；∴若△DMN的边与BC平行时，t值为5或6．②∵点E是边AC的中点，CD⊥AB，∴DE＝AC＝5，当点M在BD上，即0≤t＜4时，△MDE为钝角三角形，但DM≠DE；当t＝4时，点M运动到点D，不构成三角形当点M在DA上，即4＜t≤10时，△MDE为等腰三角形，有3种可能．如果DE＝DM，则t﹣4＝5，∴t＝9；如果ED＝EM，则点M运动到点A，∴t＝10；如果MD＝ME＝t﹣4，过点E作EF⊥AB于F，如图3所示：∵ED＝EA，∴DF＝AF＝AD＝3，在Rt△AEF中，EF＝4；∵BM＝t，BF＝7，∴FM＝t﹣7则在Rt△EFM中，（t﹣4）2﹣（t﹣7）2＝42，∴t＝．综上所述，符合要求的t值为9或10或．。

最短路径问题：第17 章勾股定理专题训练（含答案）1.用对称法求平面中最短问题例 1．高速公路的同一侧有 A、B 两城镇，如图，它们到高速公路所在直线 MN 的距离分别为AA′＝2 km，BB′＝4 km，A′B′＝8 km.要在高速公路上A′、B′之间建一个出口 P，使 A、B 两城镇到 P 的距离之和最小．求这个最短距离．2.用计算法求平面中最短问题例2．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人从A 走到B，为了避免拐角C 走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了步路(假设2 步为1 m)，却踩伤了花草．3.用展开法求立体图形中最短问题2例 3．如图，已知圆柱体底面圆的半径为π，高为 2，AB，CD 分别是两底面的直径．若一只小虫从A 点出发，沿圆柱侧面爬行到C 点，则小虫爬行的最短路线的长度是(结果保留根号)．巧用勾股定理解折叠问题1.巧用对称法求折叠中图形的面积例 1．如图所示，将长方形 ABCD 沿直线 BD 折叠，使点 C 落在点C′处，BC′交 AD 于E，AD＝8，AB＝4，求△BED的面积．2.巧用方程思想求折叠中线段的长例2．如图，在边长为 6 的正方形 ABCD 中，E 是边CD 的中点，将△ADE沿AE 对折至△AFE，延长 EF 交 BC 于点 G，连接 AG.(1)求证：△ABG≌△AFG；(2)求BG 的长．构造直角三角形，利用勾股定理解题例1．如图所示，在等腰直角三角形 ABC 中，∠ABC＝90°，点 D 为 AC 边的中点，过 D 点作DE⊥DF，交 AB 于 E，交 BC 于 F，若 AE＝4，FC＝3，求 EF 的长．例 2.如图，在△ABC 中，∠C＝60°，AB＝14，AC＝10.求 BC 的长．系统训练一、选择题（每题3 分，共30 分）1.下列说法不能推出△ABC 是直角三角形的是（）3a -b - 50 A. a 2 -c 2 = b 2 B. (a - b )(a + b ) + c 2 = 0C. ∠A ＝∠B ＝∠CD. ∠A ＝2∠B ＝2∠C2. 在两条垂直相交的道路上，一辆自行车和一辆摩托车相遇后又分别向北向东驶去，若自行车与摩托车每秒分别行驶 7.5 米、10 米，则 10 秒后两车相距（ ）米 A. 55 B. 103 C. 125 D. 1533. 如果梯子的底端离建筑物 5 米，13 米长的梯子可以达到该建筑物的高度是（）A. 12 米B. 13 米C. 14 米D. 15 米4. 如图，是 2002 年 8 月北京地 24 届国际数学家大会会标，我国古代的数学家赵爽为证明所作的“弦图”，由 4 个全等的直角三角形拼合而成.如果图中大,小正方形的面积分别为 52 和 4,那么一个直角三角形的两直角边的积等于（ ） A. 12B. 20C. 24D. 105. 等边三角形的边长为 6，则它的面积为（）A. 9B. 18C. 36D. 18 6. 若等腰三角形中相等的两边长为 10cm ，第三边长为 16cm ，那么第三边上的高为（）A. 12cmB. 10cmC. 8cmD. 6cm 7. △ABC 的三边满足 a + b - 50 + + (c - 40)2 = 0 ，则△ABC 为（）A. 等边三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 锐角三角形8. 如图，一圆柱体的底面周长为 10cm ，高 BD 为 12cm ，BC 是直径，一只蚂蚁从点 D出发沿着圆柱的表面爬行到点 C 的最短路程为（ ）cm A. 17 B. 13 C. 12 D. 149. 如图，在单位正方形组成的网格图中标有 AB 、CD 、EF 、GH 四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（ ）A. CD 、EF 、GHB. AB 、EF 、GHC. AB 、CF 、EFD. GH 、AB 、CD10. 直角三角形的两条直角边长为 a ，b ，斜边上的高为 h ，则下列各式中总能成立的是（ ）A. ab = h 2B. a 2 + b 2 = 2h 2C. 1 + 1 = 1 a b hD.1+ 1 = 1 a 2 b 2 h 2二、 填空题（每天 4 分，共 20 分） 11. 已知一直角三角形的两边分别为 3 和 4，则第三边长的平方是 。