人教版初一下数学期中复习--压轴题专题

平面直角坐标系综合1、如图，在平面直角坐标系中，直线l 分别与 x 轴、 y 轴交于 A （4， 0）、B 两点，将线段AB 沿 x 轴正方向平移 2 个单位长度至A’B ’， AB 扫过的面积为S四边形ABB,A,=4。

（1）求B点坐标。

（2）在 y 轴上是否存在点P，使得S ABP 1 S2 请说明理由。

AOP，若存在，求出P 点坐标，若不存在，ylBOA x2、如图，直角坐标系中，C 点是第二象限一点，CB⊥ y 轴于 B，且 B（ 0，b）是 y 轴正半轴上一点， A（ a， 0）是 x 轴负半轴上一点，且 a 2 b 3 20 ，S 四边形AOBC =9。

（ 1）求 C 点坐标；yCBA O x（2）设 D 为线段 OB 上一动点，当AD⊥ AC 时，∠ ODA 的角平分线与∠CAE 的角平分线的反向延长线交与点P ，求∠ APD 的度数？yCBDFE A O xP（3）当 D 点在线段 OB 上运动时，作 DM ⊥ AD 交 CB 于 M，∠ BMD ，∠ DAO 的平分线交于N，则 D 点在运动的过程中∠ N 的大小是否变化，若不变，求出其值；若变化，请说明理由。

yC MBDNA O x如图，已知（ 0，）， B（ 0，）， C（，）且（ 2 ，4）A a b m b a- + b+3 =0 S VABC =14.3（ 1）求 C点坐标（ 2）作 DE DC，交 y轴于 E点， EF 为AED的平分线，且DFE=90o。

求证： FD 平分ADO；（3）E在y轴负半轴上运动时，连EC，点P为AC延长线上一点，EM平分∠AEC，且MPQ PM⊥ EM,PN ⊥ x 轴于 N 点，PQ 平分∠ APN ，交 x 轴于 Q 点，则 E 在运动过程中，ECA 的大小是否发生变化，若不变，求出其值。

yAFD yAD No Q xo x E MCPB C E4、（1）在平面直角坐标系中，如图 1，将线段 AB平移至线段 CD，连接 AC、BD。

【2022春人教版七下数学压轴题突破专练】专题04 解二元一次方程组一．选择题1．（2020春•南丹县期末）解方程组，用加减法消去y，需要（）A．①×2﹣②B．①×3﹣②×2 C．①×2+②D．①×3+②×2 【思路引导】先把的系数化成绝对值相等的方程，再相加即可．【完整解答】解：①×2得：4x+6y＝2③，③+②得：7x＝9，即用减法消去y，需要①×2+②，故选：C．【考察注意点】本题考查了解二元一次方程组的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力．2．（2018秋•乐清市校级月考）已知x，y是整数，满足x﹣y+3＝0，ax﹣y﹣a＝0，则整数a的所有可能值有（）个．A．4 B．5 C．6 D．8【思路引导】用含x的代数式表示出y，得到关于x的一次方程，再用含a的代数式表示出x，根据x、a都是整数，得结论．【完整解答】解：∵x﹣y+3＝0，∴y＝x+3∴ax﹣x﹣3﹣a＝0，整理，得（a﹣1）x＝a+3∴x＝＝＝1+由于x、a都是整数，所以a﹣1＝±1或±2或±4即a所有可能的值有：0、2、3、﹣1、5、﹣3．故选：C．【考察注意点】本题考查了方程、整数解等知识点．解决本题的关键是用含a的代数式表示出x后变形代数式为整数+分式的形式．3．（2012春•黄州区校级期末）如果方程组有唯一的一组解，那么a，b，c的值应当满足（）A．a＝1，c＝1 B．a≠b C．a＝b＝1，c≠1 D．a＝1，c≠1 【思路引导】此题的解法在于将两式的y用x来代替然后列出y关于x的方程，因为有唯一解，根据方程可得出a，b，c的值的条件．【完整解答】解：根据题意得：，∴1﹣x＝，∴（a﹣b）x＝c﹣b，∴x＝，要使方程有唯一解，则a≠b，故选：B．【考察注意点】该题考查的是对题意的理解和对方程组的解法的认识，结合了对分式性质的理解，考查了考生对方程、分式的理解．4．（2011春•三亚校级月考）代数式x2+ax+b，当x＝2时，其值是3，当x＝﹣3时，其值是4，则代数式a﹣b的值是（）A．﹣1B．﹣3C．8D．3【思路引导】将x＝2，其值是3，x＝﹣3，其值是4分别代入代数式中，得到关于a与b的方程组，求出方程组的解即可得到a与b的值，即可求出a﹣b的值．【完整解答】解：根据题意得：，解得：，则a﹣b＝+＝3．故选：D．【考察注意点】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．5．如果，则2x：3y等于（）A．﹣2 B．C．2 D．【思路引导】因为求2x：3y，所以必须通过解方程组求出x和y的值，然后进行解答．【完整解答】解：在中，①×4﹣②，得3x＝9，x＝3．代入①，得y＝1．∴2x：3y＝2×3：3×1＝2．故选：C．【考察注意点】这类题目的解题关键是掌握方程组解法中的加减消元法和代入消元法．6．（2021秋•榆林期末）用代入消元法解关于x、y的方程组时，代入正确的是（）A．2（4y﹣3）﹣3y＝﹣1 B．4y﹣3﹣3y＝﹣1C．4y﹣3﹣3y＝1 D．2（4y﹣3）﹣3y＝1【思路引导】把第一个方程的x代入第二个方程整理得到结果，即可作出判断．【完整解答】解：，把①代入②得：2（4y﹣3）﹣3y＝﹣1．故选：A．【考察注意点】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．7．（2021春•黄埔区校级期中）二元一次方程组的解是（）A．B．C．D．【思路引导】方程组利用加减消元法求解即可．【完整解答】解：，①×2+②，得2.7x＝5.4，解得x＝2，把x＝2代入①，得0.6﹣0.5y＝﹣0.9，解得y＝3，所以方程组的解为．故选：D．【考察注意点】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．二．填空题8．（2021春•铜梁区期末）方程组的解是．【思路引导】根据解二元一次方程组的方法可以解答此方程组．【完整解答】解：，由①，得x＝3，将x＝3代入②，得y＝﹣1，故原方程组的解是，故答案为：．【考察注意点】本题考查解二元一次方程组，解答本题的关键是明确解二元一次方程组的方法．9．（2020春•密山市期末）单项式3x2m+3n y8与﹣2x2y3m+2n是同类项，则m+n＝ 2 ．【思路引导】根据同类项定义可得，再①+②得：5m+5n＝10，进而可得答案．【完整解答】解：由题意得：，①+②得：5m+5n＝10，m+n＝2，故答案为：2．【考察注意点】此题主要考查了同类项的定义，关键是掌握所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．10．（2018春•岳阳期末）若方程组，则x﹣y＝10 ．【思路引导】两方程相减即可得出2x﹣2y＝20，两边除以2即可求出答案．【完整解答】解：①﹣②得：2x﹣2y＝20，x﹣y＝10，故答案为：10．【考察注意点】本题考查了解二元一次方程组和求代数式的值，能选择适当的方法解方程组是解此题的关键．11．（2016•广饶县开学）方程组的解一定是方程5x﹣3y＝8 与3x+8y＝9 的公共解．【思路引导】利用方程组解的定义判断即可．【完整解答】解：方程组的解一定是方程5x﹣3y＝8与3x+8y＝9的公共解．故答案为：5x﹣3y＝8；3x+8y＝9．【考察注意点】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．12．（2015春•通化校级期中）若的解是方程ax﹣3y＝2的一组解，则a的值是﹣8 ．【思路引导】先求出方程组的解，再代入方程，即可求出a．【完整解答】解：解方程组得：，把代入方程ax﹣3y＝2得：﹣a﹣6＝2，解得：a＝﹣8，故答案为：﹣8．【考察注意点】本题考查了解二元一次方程组的解，解一元一次方程的应用，能得出关于a的一元一次方程是解此题的关键．13．（2021春•长兴县月考）已知二元一次方程组，则8x+7y＝25 ．【思路引导】方程组中两方程左右两边相加即可求出所求式子的值．【完整解答】解：，①+②得：8x+7y＝25，故答案为：25．【考察注意点】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．14．（2018春•杭州期中）已知方程组，则代数式的值为﹣．【思路引导】先将原式化简，再由方程组得出4x+3y＝5，代入计算可得．【完整解答】解：原式＝+＝＝4x+3y﹣，解方程组，∴4x+3y＝5，则原式＝5﹣＝﹣．【考察注意点】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．15．（2017秋•抚州期末）对于实数x，y，定义新运算x*y＝ax+by+1，其中a，b为常数，等式右边为通常的加法和乘法运算，若3*5＝14，4*7＝19，则5*9＝24 ．【思路引导】按照定义新运算x*y＝ax+by+1，用已知的两个式子建立方程组，求得a，b 的值后，再求5*9的值【完整解答】解：根据题意知，解得：，则x*y＝x+2y+1，所以5*9＝5+2×9+1＝24，故答案为：24．【考察注意点】本题是新定义题，考查了定义新运算，解方程组．要注意运算顺序与运算符号．16．（2018春•汶上县期末）对于有理数x，y定义新运算：x*y＝ax+by﹣5，其中a，b为常数，已知1*2＝﹣9，（﹣3）*3＝﹣2，则2a﹣b＝﹣3 ．【思路引导】首先根据1*2＝﹣9，（﹣3）*3＝﹣2，可得，据此求出a、b的值各是多少；然后应用代入法，求出2a﹣b的值是多少即可．【完整解答】解：∵1*2＝﹣9，（﹣3）*3＝﹣2，∴①×3+②，可得：9b﹣20＝﹣29解得b＝﹣1，把b＝﹣1代入①，解得a＝﹣2，∴2a﹣b＝2×（﹣2）﹣（﹣1）＝﹣3．故答案为：﹣3．【考察注意点】此题主要考查了解二元一次方程的方法和应用，以及有理数的混合运算的运算方法，要熟练掌握，注意加减法在解二元一次方程组中的应用．17．（2017秋•沙坪坝区校级月考）小文同学在求解关于x、y的二元一次方程组时，解得，由于不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数⊗、⊙，请你帮忙找回这两个数⊗＝23 ，⊙＝8 ．【思路引导】把x的值代入方程组第二个方程求出y的值，再将x与y的值代入计算即可求出值所求．【完整解答】解：把x＝5代入2x﹣y＝2得：10﹣y＝2，解得：y＝8，把x＝5，y＝8代入得：15+8＝23，则⊗＝23，⊙＝8，故答案为：23；8【考察注意点】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18．（2017春•临淄区校级期中）解方程组时，甲正确解得，乙因把c写错解得，求a、b的值是a＝﹣4，b＝﹣5 ．【思路引导】直接把，，分别代入ax+by＝﹣2中可得关于a、b的方程，然后再解方程组即可．【完整解答】解：把代入ax+by＝﹣2可得：3a﹣2b＝﹣2①，把代入ax+by＝﹣2可得：﹣2a+2b＝﹣2②，①+②得：a＝﹣4，把a＝﹣4代入①得：﹣12﹣2b＝﹣2，b＝﹣5，故答案为：a＝﹣4，b＝﹣5．【考察注意点】此题主要考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握解方程组的方法是解题关键．三．解答题19．（2020秋•宣城期末）解方程（组）：（1）；（2）．【思路引导】（1）方程去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可；（2）方程组利用加减消元法求解即可．【完整解答】解：（1），去分母，得﹣2（2x﹣1）+（x﹣2）＝4，去括号，得﹣4x+2+x﹣2＝4，移项，得﹣4x+x＝4+2﹣2，合并同类项，得﹣3x＝4，系数化为1，得x＝﹣；（2），①×2+②，得，解得x＝2，把x＝2代入②，得8﹣2y＝10，解得x＝﹣1，故方程组的解为．【考察注意点】此题主要考查了解一元一次方程以及解二元一次方程组，解方程组的基本思想是消元，基本方法是代入消元和加减消元．20．（2016春•万州区期末）我们用f（x）表示不大于x的最大整数，例如：f（2.3）＝2，f （4）＝4，f（﹣1.5）＝﹣2；用g（y）表示不小于y的最小整数．例如：g（2.5）＝3，g（5）＝5，g（﹣3.5）＝﹣3．解决下列问题：（1）根据以上运算规律：f（﹣5.4）＝，g（4.5）＝．（2）若f（x）＝3，则x的取值范围是；若g（y）＝﹣2，则y的取值范围是．（3）已知x，y满足，求x，y的取值范围．【思路引导】（1）直接根据定义即可得；（2）由定义可得x、y的范围；（3）先解方程组求得f（x）、g（y）的值，再根据定义可得答案．【完整解答】解：（1）由题意，得：f（﹣5.4）＝﹣6、g（4.5）＝5，故答案为：﹣6、5；（2）∵f（x）＝3，∴x的取值范围是3≤x＜4；∵g（y）＝﹣2，∴y的取值范围是﹣3＜y≤﹣2，故答案为：3≤x＜4，﹣3＜y≤﹣2．（3）解方程组得，∴x的取值范围为﹣1≤x＜0、y的取值范围为1＜y≤2．【考察注意点】本题主要考查解二元一次方程组的能力，理解新定义得出x、y的范围，并熟练掌握解二元一次方程组是解题的关键．21．（2021春•通许县期末）对于任意的有理数a、b、c、d，我们规定，如．若x、y同时满足．求x，y的值．【思路引导】根据，得3y﹣2x＝﹣2①，2x﹣（﹣y）＝8②，进而解决此题．【完整解答】解：∵，∴3y﹣2x＝﹣2①，2x﹣（﹣y）＝8②．∴①+②，得4y＝6．∴y＝．把y＝代入②，得x＝．∴x＝，y＝．【考察注意点】本题主要考查解二元一次方程组，根据新定义得出关于x，y的二元一次方程组并熟练掌握解二元一次方程组的步骤是解决本题的关键．22．（2020春•莘县期末）甲、乙两名同学在解方程组时，甲解题时看错了m，解得；乙解题时看错了n，解得．请你根据以上两种结果，求出原方程组的正确解．【思路引导】把甲的结果代入第二个方程，乙的结果代入第一个方程，联立求出m与n 的值，即可确定出原方程组的解．【完整解答】解：把代入得：7+2n＝13，把代入得：3m﹣7＝5，解得：n＝3，m＝4，∴原方程组为，解得：．【考察注意点】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．23．（2018春•新罗区校级期中）对于实数，规定新运算：x*y＝ax+by，其中a、b是常数．已知2*1＝7，﹣1*3＝1．（1）求a、b的值；（2）求1*5的值．【思路引导】（1）利用新定义和两组对应值得到，然后利用加减法解方程组即可；（2）由（1）得新运算为：x*y＝2x+3y，然后把x＝1，y＝5代入计算即可．【完整解答】解：（1）根据题意得，解得a＝，b＝；（2）由（1）得x*y＝x+y，所以1*5＝×1+×5＝．【考察注意点】本题考查了解二元一次方程组：利用代入消元法或加减消元法解二元一次方程组．24．（2018春•泌阳县期末）善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法：解：将方程②变形：4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y＝5，③把方程①代入③，得2×3+y＝5．∴y＝﹣1．把y＝﹣1代入①，得x＝4．∴原方程组的解为．请你解决以下问题：（1）模仿小军的“整体代换法”解方程组：（2）已知x，y满足方程组，求x2+4y2的值．【思路引导】（1）仿照小军的方法将方程②变形，把方程①代入求出y的值，即可确定出x的值；（2）方程组两方程变形后，利用加减消元法求出所求即可．【完整解答】解：（1）由②得：3（3x﹣2y）+2y＝19③，把①代入③得：15+2y＝19，解得：y＝2，把y＝2代入①得：x＝3，则方程组的解为；（2）由①得：3（x2+4y2）﹣2xy＝47③，由②得：2（x2+4y2）+xy＝36④，③+④×2得：7（x2+4y2）＝119，解得：x2+4y2＝17．【考察注意点】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．25．（2017春•鼓楼区校级期末）先阅读，然后解方程组．解方程组时，可由①得x﹣y＝1，③然后再将③代入②得4×1﹣y＝5，求得y＝﹣1，从而进一步求得这种方法被称为“整体代入法”，请用这样的方法解下列方程组．【思路引导】仿照所给的题例先把①变形，再代入②中求出y的值，进一步求出方程组的解即可．【完整解答】解：，由①得，2x﹣3y＝2③，代入②得+2y＝9，解得y＝4，把y＝4代入③得，2x﹣3×4＝2，解得x＝7．故原方程组的解为．【考察注意点】本题考查的是在解二元一次方程组时整体思想的应用，利用整体思想可简化计算．26．（2017春•高平市期中）阅读理解：善于思考的小淇在解方程组时，发现方程①和方程②之间存在一定的关系，他的解法如下：解：将方程②变形为2x﹣3y﹣2y＝5③，把方程①代入方程③，得3﹣2y＝5，解得y＝﹣1．把y＝﹣1代入方程①，得x＝0．所以原方程组的解为小淇的这种解法叫“整体换元”法，请用“整体换元”法完成下列问题：（1）解方程组：i．把方程①代入方程②，则方程②变为4x+3﹣2x＝5 ；ii．原方程组的解为．（2）解方程组：．【思路引导】根据换元法，可得答案．【完整解答】解：（1）解方程组：i．把方程①代入方程②，则方程②变为 4x+3﹣2x＝5；ii．原方程组的解为；故答案为：4x+3﹣2x＝5；；（2），由①得2y＝3x﹣5③，把③代入②，得7x﹣2（3x﹣5）＝14，解得x＝4，将x＝4代入①，得12﹣2y＝5，解得y＝，原方程组的解为．【考察注意点】本题考查了解二元一次方程组，利用代入消元法是解题关键。

坐标系综合运用（压轴）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．如图①，在平面直角坐标系中，(),0A a ，(),4C b ，且满足()240a ++=，过C 作CB x ⊥轴于B ． （1）求三角形ABC 的面积；（2）若线段AC 与y 轴交于点()0,2Q ，在y 轴上是否存在点P ，使得三角形ABC 和三角形QCP 的面积相等，若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由．（3）若过B 作//BD AC 交y 轴于D ，且AE ，DE 分别平分CAB ∠，ODB ∠，如图①，求AED ∠的度数．2．如图①，在平面直角坐标系中，等边ABC ∆的顶点A ，B 的坐标分别为()5,0，()9,0，点D 是x 轴正半轴上一个动点，连接CD ，将ACD ∆绕点C 逆时针旋转60︒得到BCE ∆，连接DE ．（1）并判断CDE ∆的形状，说明理由．（2）如图①，当D 在线段AB 上运动时，BDE ∆的周长随D 点的移动而变化，求出BDE ∆的最小周长．（3）当BDE ∆是直角三角形时，直接写出点D 的坐标．3．如图，平面直角坐标系中，ABCD 为长方形，其中点A 、C 坐标分别为（﹣4，2）、（1，﹣4），且AD①x 轴，交y 轴于M 点，AB 交x 轴于N ．（1）求B 、D 两点坐标和长方形ABCD 的面积；（2）一动点P 从A 出发（不与A 点重合），以12个单位/秒的速度沿AB 向B 点运动，在P 点运动过程中，连接MP 、OP ，请直接写出①AMP 、①MPO 、①PON 之间的数量关系；（3）是否存在某一时刻t ，使三角形AMP 的面积等于长方形面积的13？若存在，求t 的值并求此时点P 的坐标；若不存在请说明理由．4．如图1，在平面直角坐标系中，点,A B 的坐标分别为(),0A a ，(),0B b ，且,a b 满足|3|0a +=，现同时将点,A B 分别向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，分别得到点,A B 的对应点,C D ，连接AC ，BD ．（1）请求出,C D 两点的坐标；（2）如图2，点P 是线段AC 上的一个动点，点Q 是线段CD 的中点，连接PQ ，PO ，当点P 在线段AC 上移动时（不与,A C 重合），请找出PQD ∠，OPQ ∠，BOP ∠的数量关系，并证明你的结论；（3）在坐标轴上是否存在点M ，使三角形MAD 的面积与三角形ACD 的面积相等？若存在直接写出点M 的坐标；若不存在，试说明理由．5．如图1，C 点是第二象限内一点, CB y ⊥轴于B ，且()0,B b 是y 轴正半轴上一点，(),0A a 是x 轴负半x 轴上一点，且()2230, 9AOBC a b S ++-==四边形.（1）A （ ），B （ ）（2）如图2，设D 为线段OB 上一动点，当AD AC ⊥时，ODA ∠的角平分线与CAE ∠的角平分线的反向延长线交于点P ,求APD ∠的度数: (注: 三角形三个内角的和为180)（3）如图3,当D 点在线段OB 上运动时，作DM AD ⊥交CB 于,,M BMD DAO ∠∠的平分线交于N ,当D 点在运动的过程中，N ∠的大小是否变化?若不变，求出其值;若变化，请说明理由.6．如图，在平面直角坐标系中，已知(,0)A a ，(,0)B b ，其中,a b 2(3)0b -=．（1）填空：a =_______，b =________；（2）若在第三象限内有一点(2,)M m -，用含m 的式子表示ABM 的面积；（3）在（2）条件下，当32m =-时，点P 是坐标轴上的动点，当满足PBM 的面积是ABM 的面积的2倍时，求点P 的坐标．7．如图，()0,A a ，(),0C c ，且()2182140c a -+-=，将点C 向上平移7个单位长度再向左平移4个单位长度，得到对应点B .（1）求点A ，点B ，点C 的坐标；（2）若点P 从点C 以2个单位长度/秒的速度沿CO 方向移动，同时点Q 从点O 以每秒1个单位长度的速度沿OA 方向移动，设移动的时间为t 秒（07t <<）.①李超在解题过程中发现：P ，Q 移动过程中四边形QOPB 的面积与移动的时间t 无关.你同意她的结论吗？请说明理由；①是否存在一段时间，使2OQB OPBA S S ∆<四边形，若存在，求出t 的取值范围；若不存在，请说明理由.8．如图，在平面直角坐标系中，点A （a ，0）在x 轴负半轴上，点C （2,0）在x 正半轴上，点B （0，b ）在y 轴正半轴上，并且a 、b 是方程组2356a b a b +=-⎧⎨+=⎩的解，连接AB 、BC ． （1）a =________，b =________；（2）经过计算AB=10，动点M 从点A 出发，沿射线AB 以每秒2个单位长度的速度匀速运动，连接MC ，设点M 的运动时间为t （t>0）秒，用含t 的式子表示①BCM 的面积S ，并直接写出t 的取值范围；（3）在（2）的条件下，点N 在线段BC 上，且BN=2CN ，连接MN.当三角形BMN 的面积为8时，求t 值，并直接写出点M 的坐标.9．如图1，在平面直角坐标系中，A （a ，0）是x 轴负半轴上一点，C 是第三象限内一点，CB①y 轴交y 轴负半轴于B （0，b ），且|a+3|+（b+4）2＝0，S 四边形AOBC ＝16．（1）求点C的坐标；（2）如图2，设D为线段OB上一动点，当AD①AC时，①ODA的平分线与①CAN的平分线的反向延长线交于点E，求①AED的度数（点N在x轴的负半轴）；（3）如图3，当点D在线段OB上运动时，作DP①AD交BC于P点，①BPD、①DAO的平分线交于Q点，则点D 在运动过程中，①Q的大小是否会发生变化？若不变化，求出其值；若变化，请说明理由．10．如图，A点的坐标为（0，3），B点的坐标为（﹣3，0），D为x轴上的一个动点且不与B，O重合，将线段AD 绕点A逆时针旋转90°得线段AE，使得AE①AD，且AE＝AD，连接BE交y轴于点M．（1）如图，当点D在线段OB的延长线上时，①若D点的坐标为（﹣5，0），求点E的坐标．①求证：M为BE的中点．①探究：若在点D运动的过程中，OMBD的值是否是定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．（2）请直接写出三条线段AO，DO，AM之间的数量关系（不需要说明理由）．11．在平面直角坐标系中，已知A(a ，0)，B(b ，0)，C(0，4)，D(6，0)．点P(m ，n)为线段CD 上一点（不与点C 和点D 重合）．（1）利用三角形COP 、三角形DOP 及三角形COD 之间的面积关系，求m 与n 之间的数量关系；（2）如图1，若a ＝﹣2，点B 为线段AD 的中点，且三角形ABC 的面积等于四边形AOPC 面积，求m 的值； （3）如图2，设a ，b ，m 满足230325a b m a b m ++=⎧⎨++=-⎩，若三角形ABP 的面积小于5，求m 的取值范围．12．如图1，在平面直角坐标系中，点()2,0A -，()5,0B -，点C 在第三象限，已知AC AB ⊥，且AB AC =．（1）求点C 的坐标；图1（2）如图2，N 为线段AC 上一动点（端点除外），P 是y 轴负半轴的一点，连接BP 、CP ，射线BN 与ACP ∠的角平分线交于D ，若45BDC ABD ∠-∠=︒，求点P 的坐标；图2（3）在第（2）问的基础上，如图3，点Q 与点P 关于x 轴对称，E 是射线PC 上一个动点，连接QE ，EF 平分QEC ∠，QM 平分EQP ∠，射线//QH EF ．试问MQH ∠的度数是否发生改变？若不变，请求其度数：若改变，请指出其变化范围．图313．在下面直角坐标系中，已知A（0，a）、B（b，0）、C（b，c）三点，其中a、b、c满足关系式|a﹣2|+（b﹣3）2＝0，（c﹣4）2≤0．（1）a＝；b＝；c＝；（2）在第二象限内，是否存在点P（m，12），使四边形ABOP的面积与①ABC的面积相等？若存在，求出点m的值；若不存在，请说明理由；（3）D为线段OB上一动点，连接CD，过D作DE①CD交y轴于点E，EP、CP分别平分①DEO和①DCB，当点D在OB上运动的过程中，①P的度数是否变化，若不变，请求出①P的度数；若变化，请说明理由．14．如图，在平面直角坐标系中，已知A(﹣2，0)，B(3，0)，C(﹣1，2)．（1）在x轴正半轴上存在一点M使S三角形COM=S三角形ABC，求出点M的坐标．（2）在坐标轴的其他位置是否存在点M，使S三角形COM=13ABCS恒成立？若存在，请写出符合条件的点M的坐标．15．如图，已知长方形ABC O中，边AB=12，BC=8．以点0为原点，O A、OC所在的直线为y轴和x轴建立直角坐标系．（1）点A的坐标为（0，8），写出B．C两点的坐标；（2）若点P从C点出发，以3单位/秒的速度向C O方向移动（不超过点O），点Q从原点O出发，以2单位/秒的速度向O A方向移动（不超过点A），设P、Q两点同时出发，在它们移动过程中，四边形OPBQ的面积是否发生变化?若不变，求其值；若变化，求变化范围．16．如图1，在平面直角坐标系中，已知点A(a,0)，B(b,0)，C(2,7)，连接AC，交y轴于D，且a25=．（1）求点D的坐标．（2）如图2，y轴上是否存在一点P，使得①ACP的面积与①ABC的面积相等？若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由．（3）如图3，若Q(m,n)是x轴上方一点，且QBC的面积为20，试说明：7m＋3n是否为定值，若为定值，请求出其值，若不是，请说明理由．17．如图，在平面直角坐标系中，已知点 (0, 3)A，(5,0)B，(5,4)C三点．（1）在平面直角坐标中画出ABC∆，求ABC∆的面积（2）在x轴上是否存在一点M使得BCM∆的面积等于ABC∆的面积？若存在，求出点M坐标；若不存在，说明理由．（3）如果在第二象限内有一点(, 1)P a，用含a的式子表示四边形ABOP的面积；（4）且四边形ABOP的面积是ABC∆的面积的三倍，是否存在点P，若存在，求出满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知(4,0)A ，将线段OA 平移至CB ，点D 在x 轴正半轴上，(,)C a b ，且|3|0b -=．连接OC ，AB ，CD ，BD ．（1）写出点C 的坐标为 ；点B 的坐标为 ；（2）当ODC △的面积是ABD △的面积的3倍时，求点D 的坐标；（3）设OCD ∠=α，DBA ∠=β，BDC θ∠=，判断α、β、θ之间的数量关系，并说明理由．19．如图1，点A 的坐标为()0,2，将点A 向右平移m 个单位得到点B ，其中关于x 的一元一次不等式152mx x -<-的解集为1x >，过点B 作BC x ⊥轴于C 得到长方形ABCO ，（1）求B 点坐标______及四边形AOCB 的面积_______；（2）如图2，点Q 从O 点以每秒1个单位长度的速度在y 轴上向上运动，同时点P 从C 点以每秒2个单位长度的速度匀速在x 轴上向左运动，设运动的时间为t 秒()02t <<，问是否存在一段时间，使得BOQ ∆的面积不大于BOP ∆的面积，若存在，求出t 的取值范围；若不存在，说明理由；（3）在（2）的条件下，四边形BPOQ 的面积是否发生变化，若不变化，请求出其值；若变化，说明理由．20．如图1，在平面直角坐标系中，点A （a ，0），B （b ，3），C （c ，0）+6a b -++2(4)c -=0． （1）分别求出点A ，B ，C 的坐标及三角形ABC 的面积．（2）如图2．过点C 作CD AB ⊥于点D ，F 是线段AC 上一点，满足FDC FCD ∠=∠，若点G 是第二象限内的一点，连接DG ，使ADG ADF ∠=∠，点E 是线段AD 上一动点（不与A 、D 重合），连接CE 交DF 于点H ，点E 在线段AD 上运动的过程中，DHC ACECED∠+∠∠的值是否会变化？若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由．（3）如图3，若线段AB 与y 轴相交于点F ，且点F 的坐标为（0，32），在坐标轴上是否存在一点P ，使三角形ABP 和三角形ABC 的面积相等？若存在，求出P 点坐标．若不存在，请说明理由．（点C 除外）21．如图1，在平面直角坐标系中，A（a，0）是x轴正半轴上一点，C是第四象限内一点，CB①y轴交y轴负半轴于B（0，b），且|a﹣3|+（b+4）2＝0，S四边形AOBC＝16．（1）求点C的坐标．（2）如图2，设D为线段OB上一动点，当AD①AC时，①ODA的角平分线与①CAE的角平分线的反向延长线交于点P，求①APD的度数；（点E在x轴的正半轴）．（3）如图3，当点D在线段OB上运动时，作DM①AD交BC于M点，①BMD、①DAO的平分线交于N点，则点D在运动过程中，①N的大小是否会发生变化？若不变化，求出其值；若变化，请说明理由．+=，22．如图所示，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A(a，0)，B(b，0)，且a，b满足|a2|0点C的坐标为(0，3).(1)求a，b的值及S三角形ABC；(2)若点M在x轴上，且S三角形ACM＝13S三角形ABC，试求点M的坐标.23．如图，在平面直角坐标系中，点A、C分别在x轴上、y轴上，CB//OA，OA=8，若点B的坐标为(a,b)，且b=4.（1）直接写出点A、B、C的坐标；（2）若动点P从原点O出发沿x轴以每秒2个单位长度的速度向右运动，当直线PC把四边形OABC分成面积相等的两部分停止运动，求P点运动时间；（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在一点Q，连接PQ，使三角形CPQ的面积与四边形OABC的面积相等？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由.24．如图，以直角三角形AOC 的直角顶点O 为原点，以OC 、OA 所在直线为x 轴和y 轴建立平面直角坐标系，点()0,A a ，(),0C b 20b -=．()1则C 点的坐标为______；A 点的坐标为______．()2已知坐标轴上有两动点P 、Q 同时出发，P 点从C 点出发沿x 轴负方向以1个单位长度每秒的速度匀速移动，Q点从O 点出发以2个单位长度每秒的速度沿y 轴正方向移动，点Q 到达A 点整个运动随之结束.AC 的中点D 的坐标是()1,2，设运动时间为(0)t t >秒.问：是否存在这样的t ，使ODPODQ S S=？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．()3点F 是线段AC 上一点，满足FOC FCO ∠=∠，点G 是第二象限中一点，连OG ，使得.AOG AOF ∠=∠点E是线段OA 上一动点，连CE 交OF 于点H ，当点E 在线段OA 上运动的过程中，OHC ACEOEC∠+∠∠的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由．25．如图1，在平面直角坐标系中，点A 为x 轴负半轴上一点，点B 为x 轴正半轴上一点，C(0，a)，D(b ，a)，其中a ，b 满足关系式：|a+3|+(b -a+1)2=0.（1）a=___，b=___，①BCD 的面积为______；（2）如图2，若AC①BC ，点P 线段OC 上一点，连接BP ，延长BP 交AC 于点Q ，当①CPQ=①CQP 时，求证:BP 平分①ABC ；（3）如图3，若AC①BC ，点E 是点A 与点B 之间一动点，连接CE,CB 始终平分①ECF,当点E 在点A 与点B 之间运动时，BECBCO∠∠的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由.26．如图，在平面直角坐标系中，已知(,0)A a，(,0)B b，其中a，b|1|0a+=，点M为第三象限内一点.（1）若(2,210)M m m--到坐标轴的距离相等，MN AB，且NM AB=，求N点坐标（2）若M为(2,)m-，请用含m的式子表示ABM∆的面积.（3）在（2）条件下，当1m=-时，在y轴上有点P，使得ABP∆的面积是ABM∆的面积的2倍，请求出点P的坐标.27．如图1，在平面直角坐标系中，A（m，0），B（n，0），C（﹣1，2），且满足式|m+2|+（m+n﹣2）2＝0．（1）求出m，n的值．（2）①在x轴的正半轴上存在一点M，使①COM的面积等于①ABC的面积的一半，求出点M的坐标；①在坐标轴的其它位置是否存在点M，使①COM的面积等于①ABC的面积的一半仍然成立，若存在，请直接在所给的横线上写出符合条件的点M的坐标；（3）如图2，过点C作CD①y轴交y轴于点D，点P为线段CD延长线上一动点，连接OP，OE平分①AOP，OF①OE，当点P运动时，OPDDOE∠∠的值是否会改变？若不变，求其值；若改变，说明理由．28．如图①，在平面直角坐标系中，点A、B在x轴上，AB①BC，AO＝OB＝2，BC＝3（1）写出点A、B、C的坐标．（2）如图①，过点B作BD①AC交y轴于点D，求①CAB+①BDO的大小．（3）如图①，在图①中，作AE、DE分别平分①CAB、①ODB，求①AED的度数．29．如图①，在平面直角坐标系中，A()0a，，C()2b，，且满足()220a++=，过点C作CB①x轴于点B．(1)__________ABCa b S===，，；(2)在y 轴上是否存在点P ，使得三角形ABC 和三角形ACP 的面积相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图①，若过点B 作BD①AC 交y 轴于点D ，且AE 、DE 分别平分①CAB 、①ODB ，求①AED 的度数.30．如图，在平面直角坐标系中，A （a ，0），C （b ，2），且满足（a+b ）2+|a -b+4|=0，过点C 作CB①x 轴于B ， （1）如图1，求①ABC 的面积.（2）如图2，若过B 作BD①AC 交y 轴于D ，在①ABC 内有一点E ，连接AE.DE ，若①CAE+①BDE=①EAO+①EDO ，求①AED 的度数.（3）如图3，在（2）的条件下，DE 与x 轴交于点M ，AC 与y 轴交于点F ，作①AME 的角平分线MP ，在PE 上有一点Q ，连接QM ，①EAM+2①PMQ=45°，当AE=2AM ，FO=2QM 时，求点E 的纵坐标.31．如图，在平面直角坐标系中,()()()A 1,0,B 3,0,C 0,2-，CD//x 轴，CD=AB ．(1)求点D 的坐标： (2)四边形OCDB 的面积S四边形OCDB；(3)在y 轴上是否存在点P ，使S ①PAB =S四边形OCDB；若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由.32．如图，在平面直角坐标系中，长方形ABCD的顶点A(a,0)，B(b,0)在坐标轴上，C的纵坐标是2,且a,b满足式子:b-=40(1)求出点A、B、C的坐标．(2)连接AC，在y轴上是否存在点M，使①COM的面积等于①ABC的面积，若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明理由．(3)若点P是边CD上一动点，点Q是CD与y轴的交点，连接OP，OE平分①AOP交直线CD于点E，OF①OE交直线CD于点F，当点P运动时，探究①OPD和①EOQ之间的数量关系，并证明.33．如图，直角坐标系中，A点是第二象限内一点，AB①x轴于B，且C(0，2)是y轴正半轴上一点，OB-OC=2，AB=4．(1)求A点坐标；(2)设D为线段OB上一动点，当①CDO=①A时，CD与AC之间存在怎么样的位置关系？证明你的结论；(3)当D点在线段OB上运动时，作DE①CD交AB于E，①BED，①DCO的平分线交于M，现在给出两个结论：①①M 的大小不变；①①BED+①CDO的大小不变．其中有且只有一个是正确的，请你选出正确结论，并给予证明．34．如图，在直角坐标系xOy 中，己知()0A ，()6B ，将线段OA 平移至CB ，点D 在x 轴正半轴上（不与点A 重合），连接OC ，AB ，CD ，BD ．（1）直接写出点C 的坐标；（2）当①ODC 的面积是①ABD 的面积的2倍时，求点D 的坐标；（3）若①OCD=25°，①DBA=15°，求①BDC ．并说明理由．35．如图，在直角坐标系xoy中，点A、B的坐标分别是A（-1，0），B（3,0），将线段AB向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到线段DC，点A、B的对应点分别是D、C，连接AD、BC．（1）直接写出点C，D的坐标；（2）求四边形ABCD的面积；（3）点P为线段BC上任意一点（与点B、C不重合），连接PD，PO．求证：①CDP+①BOP=①OPD．36．如图，以直角①AOC的直角顶点O为原点，以OC，OA所在直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，点A（0，b-=．a），C（b，080（1）点A的坐标为________；点C的坐标为________．（2）已知坐标轴上有两动点P，Q同时出发，P点从C点出发沿x轴负方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，Q点从O点出发沿y轴正方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动，点P到达O点整个运动随之结束．AC的中点D的坐标是（4，3），设运动时间为t秒．问：是否存在这样的t，使得①ODP与①ODQ的面积相等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．（3）在（2）的条件下，若①DOC=①DCO，点G是第二象限中一点，并且y轴平分①GOD．点E是线段OA上一动点，连接接CE交OD于点H，当点E在线段OA上运动的过程中，探究①GOA，①OHC，①ACE之间的数量关系，并证明你的结论（三角形的内角和为180°可以直接使用）．37．如图，在平面直角坐标系中，A（4，0），B（0，4），C是第一象限内一点，且BC①x轴．（1）连接AC，当S①ABC＝6时，求点C的坐标；（2）设D为y轴上一动点，连接AD，CD，作①BCD、①DAO的平分线相交于点P，在点D的运动过程中，试判断等式①CPA＝2①CDA是否始终成立，并说明理由．。

专题04解答题压轴题一、解答题1．已知AM CN ∥,点B 为平面内一点,AB BC ⊥于B ． (1)如图,直接写出A ∠和C ∠之间的数量关系．(2)如图,过点B 作BD AM ⊥于点D ,求证：ABD C ∠=∠．(3)如图,在（2）问的条件下,点E ,F 在DM 上,连接BE ,BF ,CF ,BF 那平分DBC ∠,BE 平分ABD ∠,若180FCB NCF ∠+∠=︒,3BFC DBE ∠=∠,求EBC ∠的度数．【答案】(1)90A C ∠+∠=︒ (2)证明见解析 (3)105︒ 【提示】（1）根据平行线的性质及直角三角形的性质证明即可；（2）过点B 作//BG DM ,根据同角的余角相等得出ABD CBG ∠=∠,再根据平行线的性质得到C CBG ∠=∠,即可得到ABD C ∠=∠；（3）过点B 作//BG DM ,根据角平分线的定义得出ABF GBF ∠=∠,设DBE α∠=,ABF β∠=,可得3=75αβ+︒,再根据AB BC ⊥,得到290ββα++=︒,解方程得到=15ABE ∠︒,继而得出,1590105EBC ABE ABC ∠=∠+∠=︒+︒=︒． (1) 如图1,∵//AM CN , ∴C AOB ∠=∠, ∵AB BC ⊥, ∴90ABC ∠=︒,∴90A AOB ∠+∠=︒,90A C ∠+∠=︒, 故答案为：90A C ∠+∠=︒； (2)如图2,过点B 作//BG DM ,∵BD AM ⊥, ∴DB BG ⊥, ∴90∠=︒DBG , ∴90ABD ABG ∠+∠=︒, ∵AB BC ⊥,∴90CBG ABG ∠+∠=︒, ∴ABD CBG ∠=∠, ∵//AM BG ,∴C CBG ∠=∠,ABD C ∠=∠． (3)如图3,过点B 作//BG DM ,∵BF 平分DBC ∠,BE 平分ABD ∠, ∴DBF CBF ∠=∠,DBE ABE ∠=∠, 由（2）知ABD CBG ∠=∠,∴ABF GBF ∠=∠,设DBE α∠=,ABF β∠=,则ABE α∠=,2ABD CBG α∠==∠,GBF AFB β∠=∠=,33BFC DBE α∠=∠=,∴3AFC αβ∠=+∵180AFC NCF ∠+∠=︒,180FCB NCF ∠+∠=︒, ∴3FCB AFC αβ∠=∠=+,BCF △中,由180CBF BFC BCF ∠+∠+∠=︒得 233180αβααβ++++=︒,∵AB BC ⊥, ∴290ββα++=︒, ∴15α=︒, ∴15ABE ∠=︒,∴1590105EBC ABE ABC ∠=∠+∠=︒+︒=︒． 【点睛】本题考查平行线的性质与应用、角平分线的性质、方程思想等知识,学会添加辅助线,掌握相关知识是解题关键．2．如图1,已知直线m ∥n ,AB 是一个平面镜,光线从直线m 上的点O 射出,在平面镜AB 上经点P 反射后,到达直线n 上的点Q ．我们称OP 为入射光线,PQ 为反射光线,镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角,即∠OP A=∠QPB ．（1）如图1,若∠OPQ=82°,求∠OP A的度数；（2）如图2,若∠AOP=43°,∠BQP=49°,求∠OP A的度数；（3）如图3,再放置3块平面镜,其中两块平面镜在直线m和n上,另一块在两直线之间,四块平面镜构成四边形ABCD,光线从点O以适当的角度射出后,其传播路径为O→P→Q→R→O→P→…试判断∠OPQ和∠ORQ的数量关系,并说明理由．【答案】（1）49°,（2）44°,（3）∠OPQ=∠ORQ【提示】（1）根据∠OP A=∠QP B．可求出∠OP A的度数；（2）由∠AOP=43°,∠BQP=49°可求出∠OPQ的度数,转化为（1）来解决问题；（3）由（2）推理可知：∠OPQ=∠AOP+∠BQP,∠ORQ=∠DOR+∠RQC,从而∠OPQ=∠ORQ．【解答】解：（1）∵∠OP A=∠QPB,∠OPQ=82°,∴∠OP A=（180°-∠OPQ）×12=（180°-82°）×12=49°,（2）作PC∥m,∵m∥n,∴m∥PC∥n,∴∠AOP=∠OPC=43°,∠BQP=∠QPC=49°,∴∠OPQ=∠OPC+∠QPC=43°+49°=92°,∴∠OP A=（180°-∠OPQ）×12=（180°-92°）×1244°,（3）∠OPQ=∠ORQ．理由如下：由（2）可知：∠OPQ=∠AOP+∠BQP,∠ORQ=∠DOR+∠RQC,∵入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角,∴∠AOP=∠DOR,∠BQP=∠RQC,∴∠OPQ=∠ORQ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质和入射角等于反射角的规定,解决本题的关键是注意问题的设置环环相扣、前为后用的设置目的．3．如图,直线AB∥直线CD,线段EF∥CD,连接BF、CF．（1）求证：∠ABF+∠DCF＝∠BFC；（2）连接BE、CE、BC,若BE平分∠ABC,BE⊥CE,求证：CE平分∠BCD；（3）在（2）的条件下,G为EF上一点,连接BG,若∠BFC＝∠BCF,∠FBG＝2∠ECF,∠CBG＝70°,求∠FBE的度数．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）∠FBE＝35°．【提示】（1）根据平行线的性质得出∠ABF＝∠BFE,∠DCF＝∠EFC,进而解答即可；（2）由（1）的结论和垂直的定义解答即可；（3）由（1）的结论和三角形的角的关系解答即可．【解答】证明：（1）∵AB∥CD,EF∥CD,∴AB∥EF,∴∠ABF＝∠BFE,∵EF∥CD,∴∠DCF＝∠EFC,∴∠BFC＝∠BFE+∠EFC＝∠ABF+∠DCF；（2）∵BE⊥EC,∴∠BEC＝90°,∴∠EBC+∠BCE＝90°,由（1）可得：∠BFC＝∠ABE+∠ECD＝90°,∴∠ABE+∠ECD＝∠EBC+∠BCE,∵BE平分∠ABC,∴∠ABE＝∠EBC,∴∠ECD＝∠BCE,∴CE平分∠BCD；（3）设∠BCE＝β,∠ECF＝γ,∵CE平分∠BCD,∴∠DCE＝∠BCE＝β,∴∠DCF＝∠DCE﹣∠ECF＝β﹣γ,∴∠EFC＝β﹣γ,∵∠BFC＝∠BCF,∴∠BFC＝∠BCE+∠ECF＝γ+β,∴∠ABF＝∠BFE＝2γ,∵∠FBG＝2∠ECF,∴∠FBG＝2γ,∴∠ABE+∠DCE＝∠BEC＝90°,∴∠ABE＝90°﹣β,∴∠GBE＝∠ABE﹣∠ABF﹣∠FBG＝90°﹣β﹣2γ﹣2γ, ∵BE平分∠ABC,∴∠CBE＝∠ABE＝90°﹣β,∴∠CBG＝∠CBE+∠GBE,∴70°＝90°﹣β+90°﹣β﹣2γ﹣2γ,整理得：2γ+β＝55°, ∴∠FBE ＝∠FBG +∠GBE ＝2γ+90°﹣β﹣2γ﹣2γ＝90°﹣（2γ+β）＝35°． 【点睛】本题主要考查平行线的性质,解决本题的关键是根据平行线的性质解答． 4．已知AB //CD ．（1）如图1,E 为AB ,CD 之间一点,连接BE ,DE ,得到∠BED ．求证：∠BED ＝∠B +∠D ； （2）如图,连接AD ,BC ,BF 平分∠ABC ,DF 平分∠ADC ,且BF ,DF 所在的直线交于点F ． ①如图2,当点B 在点A 的左侧时,若∠ABC ＝50°,∠ADC ＝60°,求∠BFD 的度数．②如图3,当点B 在点A 的右侧时,设∠ABC ＝α,∠ADC ＝β,请你求出∠BFD 的度数．（用含有α,β的式子表示）【答案】（1）见解析；（2）55°；（3）1118022αβ︒-+【提示】（1）根据平行线的判定定理与性质定理解答即可；（2）①如图2,过点F 作//FE AB ,当点B 在点A 的左侧时,根据50ABC ∠=︒,60ADC ∠=︒,根据平行线的性质及角平分线的定义即可求BFD ∠的度数；②如图3,过点F 作//EF AB ,当点B 在点A 的右侧时,ABC α∠=,ADC β∠=,根据平行线的性质及角平分线的定义即可求出BFD ∠的度数． 【解答】解：（1）如图1,过点E 作//EF AB ,则有BEF B ∠=∠,//AB CD ,//EF CD ∴,FED D ∴∠=∠,BED BEF FED B D ∴∠=∠+∠=∠+∠；（2）①如图2,过点F 作//FE AB ,有BFE FBA ∠=∠．//AB CD ,//EF CD ∴．EFD FDC ∴∠=∠．BFE EFD FBA FDC ∴∠+∠=∠+∠．即BFD FBA FDC ∠=∠+∠, BF 平分ABC ∠,DF 平分ADC ∠,1252FBA ABC ∴∠=∠=︒,1302FDC ADC ∠=∠=︒,55BFD FBA FDC ∴∠=∠+∠=︒．答：BFD ∠的度数为55︒； ②如图3,过点F 作//FE AB ,有180BFE FBA ∠+∠=︒．180BFE FBA ∴∠=︒-∠,//AB CD ,//EF CD ∴．EFD FDC ∴∠=∠．180BFE EFD FBA FDC ∴∠+∠=︒-∠+∠．即180BFD FBA FDC ∠=︒-∠+∠, BF 平分ABC ∠,DF 平分ADC ∠,1122FBA ABC α∴∠=∠=,1122FDC ADC β∠=∠=,1118018022BFD FBA FDC αβ∴∠=︒-∠+∠=︒-+．答：BFD ∠的度数为1118022αβ︒-+．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质,解决本题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质．5．（1）如图①,若∠B +∠D =∠E ,则直线AB 与CD 有什么位置关系？请证明（不需要注明理由）． （2）如图②中,AB //CD ,又能得出什么结论？请直接写出结论 ． （3）如图③,已知AB //CD ,则∠1+∠2+…+∠n -1+∠n 的度数为 ．【答案】（1）AB //CD ,证明见解析；（2）∠E 1+∠E 2+…∠En =∠B +∠F 1+∠F 2+…∠Fn -1+∠D ；（3）(n -1)•180° 【提示】（1）过点E 作EF //AB ,利用平行线的性质则可得出∠B =∠BEF ,再由已知及平行线的判定即可得出AB ∥CD ；（2）如图,过点E 作EM ∥AB ,过点F 作FN ∥AB ,过点G 作GH ∥AB ,根据探究（1）的证明过程及方法,可推出∠E +∠G =∠B +∠F +∠D ,则可由此得出规律,并得出∠E 1+∠E 2+…∠En =∠B +∠F 1+∠F 2+…∠Fn -1+∠D ；（3）如图,过点M 作EF ∥AB ,过点N 作GH ∥AB,则可由平行线的性质得出∠1+∠2+∠MNG =180°×2,依此即可得出此题结论． 【解答】解：（1）过点E 作EF //AB ,∴∠B =∠BEF ． ∵∠BEF +∠FED =∠BED ,∴∠B +∠FED =∠BED ．∵∠B+∠D=∠E（已知）,∴∠FED=∠D．∴CD//EF（内错角相等,两直线平行）．∴AB//CD．（2）过点E作EM∥AB,过点F作FN∥AB,过点G作GH∥AB,∵AB∥CD,∴AB∥EM∥FN∥GH∥CD,∴∠B=∠BEM,∠MEF=∠EFN,∠NFG=∠FGH,∠HGD=∠D,∴∠BEF+∠FGD=∠BEM+∠MEF+∠FGH+∠HGD=∠B+∠EFN+∠NFG+∠D=∠B+∠EFG+∠D, 即∠E+∠G=∠B+∠F+∠D．由此可得：开口朝左的所有角度之和与开口朝右的所有角度之和相等,∴∠E1+∠E2+…∠En=∠B+∠F1+∠F2+…∠Fn-1+∠D．故答案为：∠E1+∠E2+…∠En=∠B+∠F1+∠F2+…∠Fn-1+∠D．（3）如图,过点M作EF∥AB,过点N作GH∥AB,∴∠APM+∠PME=180°,∵EF∥AB,GH∥AB,∴EF∥GH,∴∠EMN+∠MNG=180°,∴∠1+∠2+∠MNG =180°×2,依次类推：∠1+∠2+…+∠n-1+∠n=(n-1)•180°．故答案为：(n-1)•180°．【点睛】本题考查了平行线的性质与判定,属于基础题,关键是过E 点作AB （或CD ）的平行线,把复杂的图形化归为基本图形．6．已知,AB ∥CD ,点E 为射线FG 上一点．（1）如图1,若∠EAF ＝25°,∠EDG ＝45°,则∠AED = ． （2）如图2,当点E 在FG 延长线上时,此时CD 与AE 交于点H ,则∠AE D 、∠EAF 、∠EDG 之间满足怎样的关系,请说明你的结论；（3）如图3,当点E 在FG 延长线上时,DP 平分∠EDC ,且∠EAP :∠BAP =l : 2,∠AED ＝32°,∠P ＝30°,求∠EKD 的度数．【答案】（1）70°；（2）EAF AED EDG ∠=∠+∠,证明见解析；（3）122° 【提示】（1）过E 作//EF AB ,根据平行线的性质得到25EAF AEH ∠=∠=︒,45EAG DEH ∠=∠=︒,即可求得AED ∠；（2）过过E 作//EM AB ,根据平行线的性质得到180EAF MEH ∠=︒-∠,180EDG AED MEH ∠+∠=︒-,即EAF AED EDG ∠=∠+∠；（3）设EAI x ∠=,则3BAE x ∠=,通过三角形内角和得到2EDK x ∠=-︒,由角平分线定义及//AB CD 得到33224x x =︒+-︒,求出x 的值再通过三角形内角和求EKD ∠．【解答】解：（1）过E 作//EF AB ,//AB CD ,//EF CD ∴,25EAF AEH ∴∠=∠=︒,45EAG DEH ∠=∠=︒, 70AED AEH DEH ∴∠=∠+∠=︒,故答案为：70︒；（2）EAF AED EDG ∠=∠+∠． 理由如下： 过E 作//EM AB ,//AB CD ,//EM CD ∴,180EAF MEH ∴∠+∠=︒,180EDG AED MEH ∠+∠+=︒, 180EAF MEH ∴∠=︒-∠,180EDG AED MEH ∠+∠=︒-,EAF AED EDG ∴∠=∠+∠；（3）:1:2EAP BAP ∠∠=, 设EAP x ∠=,则3BAE x ∠=,32302AED P ∠-∠=︒-︒=︒,DKE AKP ∠=∠,又180EDK DKE DEK ∠+∠+∠=︒,180KAP KPA AKP ∠+∠+∠=︒,22EDK EAP x ∴∠=∠-︒=-︒,DP 平分EDC ∠,224CDE EDK x ∴∠=∠=-︒,//AB CD ,EHC EAF AED EDG ∴∠=∠=∠+∠,即33224x x =︒+-︒,解得28x =︒,28226EDK ∴∠=︒-︒=︒, 1802632122EKD ∴∠=︒-︒-︒=︒．【点睛】本题主要考查了平行线的性质和判定,正确做出辅助线是解决问题的关键．7．（1）（问题）如图1,若//AB CD ,40AEP ∠=︒,130PFD ∠=︒．求EPF ∠的度数；（2）（问题迁移）如图2,//AB CD ,点P 在AB 的上方,问PEA ∠,PFC ∠,EPF ∠之间有何数量关系？请说明理由；（3）（联想拓展）如图3所示,在（2）的条件下,已知EPF α∠=,PEA ∠的平分线和PFC ∠的平分线交于点G ,用含有α的式子表示G ∠的度数．【答案】（1）90°；（2）∠PFC =∠PEA +∠P ；（3）∠G =12α 【提示】（1）根据平行线的性质与判定可求解；（2）过P 点作PN ∥AB ,则PN ∥CD ,可得∠FPN =∠PEA +∠FPE ,进而可得∠PFC =∠PEA +∠FPE ,即可求解；（3）令AB 与PF 交点为O ,连接EF ,根据三角形的内角和定理可得∠GEF +∠GFE ＝12∠PEA +12∠PFC +∠OEF +∠OFE ,由（2）得∠PEA =∠PFC -α,由∠OFE +∠OEF =180°-∠FOE =180°-∠PFC 可求解． 【解答】解：（1）如图1,过点P 作PM ∥AB , ∴∠1=∠AEP ． 又∠AEP =40°, ∴∠1=40°． ∵AB ∥CD , ∴PM ∥CD , ∴∠2+∠PFD =180°． ∵∠PFD =130°, ∴∠2=180°-130°=50°． ∴∠1+∠2=40°+50°=90°． 即∠EPF =90°．（2）∠PFC=∠PEA+∠P．理由：过P点作PN∥AB,则PN∥CD,∴∠PEA=∠NPE,∵∠FPN=∠NPE+∠FPE,∴∠FPN=∠PEA+∠FPE,∵PN∥CD,∴∠FPN=∠PFC,∴∠PFC=∠PEA+∠FPE,即∠PFC=∠PEA+∠P；（3）令AB与PF交点为O,连接EF,如图3．在△GFE中,∠G=180°-（∠GFE+∠GEF）,∵∠GEF＝12∠PEA+∠OEF,∠GFE＝12∠PFC+∠OFE,∴∠GEF+∠GFE＝12∠PEA+12∠PFC+∠OEF+∠OFE,∵由（2）知∠PFC=∠PEA+∠P,∴∠PEA=∠PFC-α,∵∠OFE+∠OEF=180°-∠FOE=180°-∠PFC,∴∠GEF+∠GFE＝12(∠PFC−α)+12∠PFC+180°−∠PFC＝180°−12α,∴∠G＝180°−(∠GEF+∠GFE)＝180°−180°+12α＝12α．【点睛】本题主要考查平行线的性质与判定,灵活运用平行线的性质与判定是解题的关键．8．已知：如图（1）直线AB、CD被直线MN所截,∠1＝∠2．（1）求证：AB//CD；（2）如图（2）,点E在AB,CD之间的直线MN上,P、Q分别在直线AB、CD上,连接PE、EQ,PF平分∠BPE,QF平分∠EQD,则∠PEQ和∠PFQ之间有什么数量关系,请直接写出你的结论；（3）如图（3）,在（2）的条件下,过P点作PH//EQ交CD于点H,连接PQ,若PQ平分∠EPH,∠QPF：∠EQF＝1：5,求∠PHQ的度数．【答案】（1）见解析；（2）∠PEQ+2∠PFQ＝360°；（3）30°【提示】（1）首先证明∠1＝∠3,易证得AB//CD；（2）如图2中,∠PEQ+2∠PFQ＝360°．作EH//AB．理由平行线的性质即可证明；（3）如图3中,设∠QPF＝y,∠PHQ＝x．∠EPQ＝z,则∠EQF＝∠FQH＝5y,想办法构建方程即可解决问题；【解答】（1）如图1中,∵∠2＝∠3,∠1＝∠2,∴∠1＝∠3,∴AB//CD．（2）结论：如图2中,∠PEQ+2∠PFQ＝360°．理由：作EH//AB．∵AB//CD,EH//AB,∴EH//CD,∴∠1＝∠2,∠3＝∠4,∴∠2+∠3＝∠1+∠4,∴∠PEQ＝∠1+∠4,同法可证：∠PFQ＝∠BPF+∠FQD,∵∠BPE＝2∠BPF,∠EQD＝2∠FQD,∠1+∠BPE＝180°,∠4+∠EQD＝180°, ∴∠1+∠4+∠EQD+∠BPE＝2×180°,即∠PEQ+2(∠FQD+∠BPF)=360°,∴∠PEQ+2∠PFQ＝360°．（3）如图3中,设∠QPF＝y,∠PHQ＝x．∠EPQ＝z,则∠EQF＝∠FQH＝5y,∵EQ//PH,∴∠EQC＝∠PHQ＝x,∴x+10y＝180°,∵AB//CD,∴∠BPH＝∠PHQ＝x,∵PF平分∠BPE,∴∠EPQ+∠FPQ＝∠FPH+∠BPH,∴∠FPH＝y+z﹣x,∵PQ平分∠EPH,∴Z＝y+y+z﹣x,∴x＝2y,∴12y ＝180°, ∴y ＝15°, ∴x ＝30°, ∴∠PHQ ＝30°． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质,角平分线的定义等知识．（2）中能正确作出辅助线是解题的关键；（3）中能熟练掌握相关性质,找到角度之间的关系是解题的关键．9．如图,以直角三角形AOC 的直角顶点О为原点,以OC 、OA 所在直线为x 轴和y 轴建立平面直角坐标系,点()0,A a ,(),0C b 满足220a b b -+-=．（1）C 点的坐标为______；A 点的坐标为______．（2）如图1,已知坐标轴上有两动点P 、Q 同时出发,P 点从C 点出发沿x 轴负方向以1个单位长度每秒的速度匀速移动,Q 点从O 点出发以2个单位长度每秒的速度沿y 轴正方向移动,点Q 到达A 点整个运动随之结束．AC 的中点D 的坐标是()1,2,设运动时间为()0t t >．问：是否存在这样的t ,使ODPODQSS=？若存在,请求出t 的值：若不存在,请说明理由．（3）如图2,过O 作//OG AC ,作AOF AOG ∠=∠交AC 于点F ,点E 是线段OA 上一动点,连CE 交OF 于点H ,当点E 在线段OA 上运动的过程中,OHC ACEOEC∠+∠∠的值是否会发生变化？若不变,请求出它的值：若变化,请说明理由．【答案】（1）()2,0C ,()0,4A ；（2）1；（3）不变,值为2 【提示】（1）根据绝对值和算术平方根的非负性,求得a ,b 的值,再利用中点坐标公式即可得出答案； （2）先得出CP =t ,OP =2-t ,OQ =2t ,AQ =4-2t ,再根据S △ODP =S △ODQ ,列出关于t 的方程,求得t 的值即可； （3）过H 点作AC 的平行线,交x 轴于P ,先判定OG ∥AC ,再根据角的和差关系以及平行线的性质,得出∠PHO =∠GOF =∠1+∠2,∠OHC =∠OHP +∠PHC =∠GOF +∠4=∠1+∠2+∠4,最后代入OHC ACEOEC∠+∠∠进行计算即可．【解答】解：（1）∵2a b -+|b -2|=0, ∴a -2b =0,b -2=0, 解得a =4,b =2, ∴A （0,4）,C （2,0）．（2）存在, 理由：如图1中,D （1,2）,由条件可知：P 点从C 点运动到O 点时间为2秒,Q 点从O 点运动到A 点时间为2秒, ∴0＜t ≤2时,点Q 在线段AO 上, 即 CP =t ,OP =2-t ,OQ =2t ,AQ =4-2t , ∴S △DOP =12•OP •yD =12（2-t ）×2=2-t ,S △DOQ =12•OQ •xD =12×2t ×1=t ,∵S △ODP =S △ODQ , ∴2-t =t , ∴t =1． （3）结论：OHC ACEOEC∠+∠∠的值不变,其值为2．理由如下：如图2中,∵∠2+∠3=90°, 又∵∠1=∠2,∠3=∠FCO , ∴∠GOC +∠ACO =180°, ∴OG ∥AC , ∴∠1=∠CAO ,∴∠OEC =∠CAO +∠4=∠1+∠4,如图,过H 点作AC 的平行线,交x 轴于P ,则∠4=∠PHC ,PH ∥OG , ∴∠PHO =∠GOF =∠1+∠2,∴∠OHC =∠OHP +∠PHC =∠GOF +∠4=∠1+∠2+∠4, ∴124414OHC ACE OEC ∠+∠∠+∠+∠+∠=∠∠+∠=2．【点睛】本题主要考查三角形综合题、非负数的性质、三角形的面积、平行线的性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,学会用转化的思想思考问题．10．如图,直线//PQ MN ,点C 是PQ 、MN 之间（不在直线PQ ,MN 上）的一个动点．（1）如图1,若1∠与2∠都是锐角,请写出C ∠与1∠,2∠之间的数量关系并说明理由；（2）把直角三角形ABC 如图2摆放,直角顶点C 在两条平行线之间,CB 与PQ 交于点D ,CA 与MN 交于点E ,BA 与PQ 交于点F ,点G 在线段CE 上,连接DG ,有BDF GDF ∠=∠,求AENCDG∠∠的值；（3）如图3,若点D 是MN 下方一点,BC 平分PBD ∠, AM 平分CAD ∠,已知25PBC ∠=︒,求ACB ADB ∠+∠的度数．【答案】（1）见解析；（2）12；（3）75° 【提示】（1）根据平行线的性质、余角和补角的性质即可求解． （2）根据平行线的性质、对顶角的性质和平角的定义解答即可． （3）根据平行线的性质和角平分线的定义以及三角形内角和解答即可． 【解答】解：（1）∠C =∠1+∠2,证明：过C 作l ∥MN ,如下图所示,∵l∥MN,∴∠4=∠2（两直线平行,内错角相等）, ∵l∥MN,PQ∥MN,∴l∥PQ,∴∠3=∠1（两直线平行,内错角相等）, ∴∠3+∠4=∠1+∠2,∴∠C=∠1+∠2；（2）∵∠BDF=∠GDF,∵∠BDF=∠PDC,∴∠GDF=∠PDC,∵∠PDC+∠CDG+∠GDF=180°,∴∠CDG+2∠PDC=180°,∴∠PDC=90°-12∠CDG,由（1）可得,∠PDC+∠CEM=∠C=90°, ∴∠AEN=∠CEM,∴190(90)90122CDGAEN CEM PDCCDG CDG CDG CDG︒-︒-∠∠∠︒-∠====∠∠∠∠,（3）设BD交MN于J．∵BC平分∠PBD,AM平分∠CAD,∠PBC=25°, ∴∠PBD=2∠PBC=50°,∠CAM=∠MAD,∵PQ∥MN,∴∠BJA=∠PBD=50°,∴∠ADB =∠AJB -∠JAD =50°-∠JAD =50°-∠CAM , 由（1）可得,∠ACB =∠PBC +∠CAM ,∴∠ACB +∠ADB =∠PBC +∠CAM +50°-∠CAM =25°+50°=75°． 【点睛】本题考查了平行线的性质、余角和补角的性质,解题的关键是根据平行找出角度之间的关系． 11．阅读理解：一个多位数,如果根据它的位数,可以从左到右分成左、中、右三个数位相同的整数,其中a 代表这个整数分出来的左边数,b 代表的这个整数分出来的中间数,c 代表这个整数分出来的右边数,其中a ,b ,c 数位相同,若b ﹣a ＝c ﹣b ,我们称这个多位数为等差数． 例如：357分成了三个数3,5,7,并且满足：5﹣3＝7﹣5； 413223分成三个数41,32,23,并且满足：32﹣41＝23﹣32； 所以：357和413223都是等差数．（1）判断：148 等差数,514335 等差数；（用“是”或“不是”填空） （2）若一个三位数是等差数,试说明它一定能被3整除； （3）若一个三位数T 是等差数,且T 是24的倍数,求该等差数T ．【答案】（1）不是,是；（2）见解析；（3）432或456或840或864或888 【提示】（1）根据等差数的定义判定即可；（2）设这个三位数是M ,10010M a b c =++,根据等差数的定义可知2a cb +=,进而得出()3352M ac =+即可．（3）根据等差数的定义以及24的倍数的数的特征可先求出a 的值,再根据是8的倍数可确定c 的值,又因为2a cb +=,所以可确定a 、c 为偶数时b 才可取整数有意义,排除不符合条件的a 、c 值,再将符合条件的a 、c 代入2a cb +=求出b 的值,即可求解． 【解答】解：（1）∵4184-≠- , ∴148不是等差数, ∵435135438-=-=- , ∴514335是等差数；（2）设这个三位数是M ,10010M a b c =++, ∵b a c b -=- ,∴2a cb +=, ∵()10010105633522a cM a c a c a c +=+⨯+=+=+ , ∴这个等差数是3的倍数； （3）由（2）知()3352,2a cT a c b +=+= , ∵T 是24的倍数, ∴352a c + 是8的倍数, ∵2c 是偶数,∴只有当35a 也是偶数时352a c +才有可能是8的倍数, ∴2a =或4或6或8,当2a =时,3570a = ,此时若1c =,则35272a c += ,若5c = ,则35+280a c = ,若9c = ,则35+288a c =,大于70又是8的倍数的最小数是72,之后是80,88当35+296a c =时10c > 不符合题意；当4a =时,35140a =,此时若2c =,则352144a c +=,若6c =,则352152a c +=,（144、152是8的倍数）, 当6a =时,35210a =,此时若3c =,则352216a c +=,若7c =,则352224a c +=, （216、244是8的倍数）,当8a =时,35280a =,此时若0c ,则352280a c +=,若4c =,则352288a c +=, 若8c =,则352296a c +=,（280,288,296是8的倍数）, ∵2a cb +=, ∴若a 是偶数,则c 也是偶数时b 才有意义, ∴2a =和6a =是c 是奇数均不符合题意, 当4,2a c ==时,423,4322b T +=== , 当4,6ac ==时,465,4562b T +===, 当8,0ac ==时,804,8402b T +===, 当8,4ac ==时,846,8642b T +===, 当8,8ac ==时,888,8882b T +===, 综上,T 为432或456或840或864或888． 【点睛】本题考查新定义下的实数运算、有理数混合运算,整式的加减运算,能够结合倍数的特点及熟练掌握整数的奇偶性是解题关键．12．阅读下面的文字,解答问题．对于实数a ,我们规定：用符号[a ]表示不大于a 的最大整数；用{a }表示a 减去[a ]所得的差． 例如：＝1,[2.2]＝1,{2.2}＝2.2﹣2＝0.2．（1）仿照以上方法计算：]＝ {5＝ ；（2）若＝1,写出所有满足题意的整数x 的值： ．（3）已知y 0是一个不大于280的非负数,且满足}＝0．我们规定：y 1＝],y 2＝y 3＝],…,以此类推,直到yn 第一次等于1时停止计算．当y 0是符合条件的所有数中的最大数时,此时y 0＝ ,n ＝ ．【答案】（1）2；32）1、2、3；（3）256,4 【提示】（1）依照定义进行计算即可；（2）由题可知,04x <<,则可得满足题意的整数的x 的值为1、2、3；（3）由0=,可知,0y 是某个整数的平方,又0y 是符合条件的所有数中最大的数,则0256y =,再依次进行计算． 【解答】解：（1）由定义可得,2=,[52=,{53∴=故答案为：2；3． （2）[]1x =,2∴<,即04x <<,∴整数x 的值为1、2、3． 故答案为：1、2、3．（3）0{}0y =,即0==,∴2t =,且t 是自然数,0y 是符合条件的所有数中的最大数, 0256y ∴=,1[16]16y ∴===,2[4]4y ===,3[2]2y ===,41y ===,即4n =． 故答案为：256,4． 【点睛】本题属于新定义类问题,主要考查估算无理数大小,无理数的整数部分和小数部分,理解定义内容是解题关键．13．对任意一个三位数n ,如果n 满足各数位上的数字互不相同,且都不为零,那么称这个数为“梦幻数”,将一个“梦幻数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三数,把这三个新三位数的和与111的商记为K （n ）,例如123n =,对调百位与十位上的数字得到213,对调百位与个位上的数字得到321,对调十位与个位上的数字得到132,这三个新三位数的和为213321132666++=,6661116÷=,所以()1236K =．（1）计算：()342K 和()658K ；（2）若x 是“梦幻数”,说明：()K x 等于x 的各数位上的数字之和；（3）若x ,y 都是“梦幻数”,且1000x y +=,猜想：()()K x K y +=________,并说明你猜想的正确性． 【答案】（1）(342)9,(658)19K K ==;（2）见解析；（3）28 【提示】（1）根据K 的定义,可以直接计算得出；（2）设x abc =,得到新的三个数分别是：acb cba bac ，，,这三个新三位数的和为100()10()()111()a b c a b c a b c a b c ++++++++=++,可以得到：()K x a b c =++；（3）根据（2）中的结论,猜想：()()28K x K y +=． 【解答】解：（1）已知342n =,所以新的三个数分别是：324,243,432, 这三个新三位数的和为324243342999++=, (342)9K ∴=；同样658n =,所以新的三个数分别是：685,568,856, 这三个新三位数的和为6855688562109++=, (658)19K ∴=．（2）设x abc =,得到新的三个数分别是：acb cba bac ，，,这三个新三位数的和为100()10()()111()a b c a b c a b c a b c ++++++++=++, 可得到：()K x a b c =++,即()K x 等于x 的各数位上的数字之和． （3）设,x abc y mnp ==,由（2）的结论可以得到： ()()()()K x K y a b c m n P +=+++++, 1000x y +=,100()10()()1000a m b n c p ∴+++++=,根据三位数的特点,可知必然有： 10,9,9c p b n a m +=+=+=,()()()()28K x K y a b c m n p ∴+=+++++=,故答案是：28． 【点睛】此题考查了多位数的数字特征,每个数字是10以内的自然数且不为0,解题的关键是：结合新定义,可以计算出问题的解,注意把握每个数字都会出现一次的特点,区别数字与多为数的不同．14．数学中有很多的可逆的推理．如果10b n =,那么利用可逆推理,已知n 可求b 的运算,记为()b f n =,如210100=,则42(100);1010000f ==,则4(10000)f =．①根据定义,填空：(10)f =_________,()310f =__________．②若有如下运算性质：()()(),()()n f mn f m f n f f n f m m⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭．根据运算性质填空,填空：若(2)0.3010f =,则(4)f =__________；(5)f =___________； ③下表中与数x 对应的()f x 有且只有两个是错误的,请直接找出错误并改正．错误的式子是__________,_____________；分别改为__________,_____________．【答案】①1,3；②0.6020；0.6990；③f （1.5）,f （12）；f （1.5）=3a -b +c -1,f （12）=2-b -2c ． 【提示】①根据定义可得：f （10b ）=b ,即可求得结论； ②根据运算性质：f （mn ）=f （m ）+f （n ）,f （nm）=f （n ）-f （m ）进行计算；③通过9=32,27=33,可以判断f （3）是否正确,同样依据5=102,假设f （5）正确,可以求得f （2）的值,即可通过f （8）,f （12）作出判断． 【解答】解：①根据定义知：f （10b ）=b , ∴f （10）=1, f （103）=3． 故答案为：1,3．②根据运算性质,得：f （4）=f （2×2）=f （2）+f （2）=2f （2）=0.3010×2=0.6020, f （5）=f （102）=f （10）-f （2）=1-0.3010=0.6990． 故答案为：0.6020；0.6990．③若f （3）≠2a -b ,则f （9）=2f （3）≠4a -2b , f （27）=3f （3）≠6a -3b ,从而表中有三个对应的f （x ）是错误的,与题设矛盾, ∴f （3）=2a -b ；若f （5）≠a +c ,则f （2）=1-f （5）≠1-a -c , ∴f （8）=3f （2）≠3-3a -3c , f （6）=f （3）+f （2）≠1+a -b -c ,表中也有三个对应的f （x ）是错误的,与题设矛盾, ∴f （5）=a +c ,∴表中只有f （1.5）和f （12）的对应值是错误的,应改正为： f （1.5）=f （32）=f （3）-f （2）=（2a -b ）-（1-a -c ）=3a -b +c -1,f （12）=f （663⨯）=2f （6）-f （3）=2（1+a -b -c ）-（2a -b ）=2-b -2c ． ∵9=32,27=33,∴f （9）=2f （3）=2（2a -b ）=4a -2b ,f （27）=3f （3）=3（2a -b ）=6a -3b ． 【点睛】本题考查了幂的应用,新定义运算等,解题的关键是深刻理解所给出的定义或规则,将它们转化为我们所熟悉的运算．15．阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于-1,记为2i 1=-①,这个数i 叫做虚数单位,那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数,复数一般表示为i a b +（a ,b 为实数）,a 叫做这个复数的实部,b 叫做这个复数的虚部,它与整式的加法,减法,乘法运算类似．例如：解方程21x =-,解得：1i x =,2i x =-．同2i ==．读完这段文字,请你解答以下问题： （1）填空：3i =______,4i =______,2342021i i i i +++⋅⋅⋅+=______． （2）已知()()i i 13i a b ++=-,写出一个以a ,b 的值为解的一元二次方程． （3）在复数范围内解方程：2480x x -+=．【答案】（1）-i ,1,0；（2）2320x x ++=；（3）122i x =+,222i x =-． 【提示】(1)根据题意21i =-,则32i i i =⋅,422()i i =,然后计算即可；(2)利用()()i i 13i a b ++=-,得到11ab -=,2ab =,3a b +=-,即可求解 (3)利用配方法求解即可． 【解答】 (1)32i i ii ,4222()(1)1i i ==-=,∵2345110i i i i i i +++=--++=,∴6789423452345()1()100i i i i i i i i i i i i i +++=+++=⨯+++=⨯=, 同理：101112130i i i i +++=, 每四个为一组,和为0, 共有(20211)4505-÷=组, ∴23452021...0i i i i i +++++=, (2)∵()()i i 13i a b ++=-,∴2i i i 13i ab a b +++=-,()1i 13i ab a b -++=-, ∴11ab -=,2ab =,3a b +=-,∴以a ,b 的值为解的一元二次方程可以为：2320x x ++=． (3)2480x x -+=, 2444x x -+=-, 22(2)4x i -=,22x i -=±,∴122i x =+,222i x =-． 【点睛】本题考查了实数的运算,解一元二次方程,熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．16．如图1,把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开,所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法．（1）图2中A、B两点表示的数分别为___________,____________；（2）请你参照上面的方法：①把图3中51⨯的长方形进行剪裁,并拼成一个大正方形．在图3中画出裁剪线,并在图4的正方形网a___________．（注：小正方形边长都为1,拼接不重叠格中画出拼成的大正方形,该正方形的边长=也无空隙）a-．（图中标出必要线段②在①的基础上,参照图2的画法,在数轴上分别用点M、N表示数a以及3的长）【答案】（1）222）①图见解析5②见解析【提示】（1）根据图1得到小正方形的对角线长,即可得出数轴上点A和点B表示的数（2）根据长方形的面积得正方形的面积,即可得到正方形的边长,再画出图象即可；（3）从原点开始画一个长是2,高是1的长方形,对角线长即是a,再用圆规以这个长度画弧,交数轴于点M,再把这个长方形向左平移3个单位,用同样的方法得到点N．【解答】（1）由图1知,2∴图2中点A表示的数是2-点B2故答案是：2-2（2）①长方形的面积是5,拼成的正方形的面积也应该是5, ∴正方形的边长是5, 如图所示：故答案是：5； ②如图所示：【点睛】本题考查无理数的表示方法,解题的关键是理解题意,模仿题目中给出的解题方法进行求解． 17．先阅读材料,再解答问题：我国数学家华罗庚在一次出国访问途中,看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根,华罗庚脱口而出,给出了答案,众人十分惊讶,忙问计算的奥妙,你知道华罗庚怎样迅速而准确地计算出结果吗？请你按下面的步骤也试一试：（1310001031000000100,那么,请你猜想：59319的立方根是_______位数 （2）在自然数1到9这九个数字中,33311,327,5===________,37=________,39=________． 猜想：59319的个位数字是9,则59319的立方根的个位数字是________．（3）如果划去59319后面的三位“319”得到数59,而3327=,3464=,由此可确定59319的立方根的十位数字是________,因此59319的立方根是________．（4）现在换一个数103823,你能按这种方法得出它的立方根吗？ 【答案】（1）两；（2）125,343,729,9；（3）3,39；（4）47 【提示】（1）根据夹逼法和立方根的定义进行解答；（2）先分别求得1至9中奇数的立方,然后根据末位数字是几进行判断即可； （3）先利用（2）中的方法判断出个数数字,然后再利用夹逼法判断出十位数字即可；（4）利用（3）中的方法确定出个位数字和十位数字即可． 【解答】（1）∵1000＜59319＜1000000, ∴59319的立方根是两位数；（2）∵3311,327,==35=125,37=343,39=729,∴59319的个位数字是9,则59319的立方根的个位数字是9； （3）∵3327=59<<3464=,且59319的立方根是两位数, ∴59319的立方根的十位数字是3, 又∵59319的立方根的个位数字是9, ∴59319的立方根是39； （4）∵1000＜103823＜1000000, ∴103823的立方根是两位数；∵3311,327,==35=125,37=343,39=729,∴103823的个位数字是3,则103823的立方根的个位数字是7； ∵3464=3195552<<=,且103823的立方根是两位数, ∴103823的立方根的十位数字是4, 又∵103823的立方根的个位数字是7, ∴103823的立方根是47． 【点睛】考查了立方根的概念和求法,解题关键是理解一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数．18．阅读材料：求2320192020122222++++++的值．解：设2320192020122222S =++++++①,将等式①的两边同乘以2, 得234202020212222222S =++++++②,用②－①得,2021221S S -=- 即202121S =-． 即2320192020202112222221++++++=-．请仿照此法计算：（1）请直接填写231222+++的值为______； （2）求231015555+++++值；（3）请直接写出20212345201920201011010101010101011-+-+-+-+-的值． 【答案】（1）15；（2）11514-；（3）111．【提示】（1）先计算乘方,即可求出答案；（2）根据题目中的运算法则进行计算,即可求出答案； （3）根据题目中的运算法则进行计算,即可求出答案； 【解答】解：（1）231248125122=++++=++； 故答案为：15； （2）设231015555T =+++++①,把等式①两边同时乘以5,得112310555555T =+++++②,由②-①,得：11451T =-, ∴11514T -=,∴31121015551455++=+++-；（3）设234520192020110101010101010M =-+-+-+-+①,把等式①乘以10,得：3456222019020202110101010101010101010M =-+-+-+-++②,把①+②,得：202111110M =+, ∴202110111M +=,∴23245201920002211101010101011001111-+-+-+-++=, ∴20212345201920201011010101010101011-+-+-+-+- 20212021101101111+=-111=． 【点睛】本题考查了数字的变化规律,熟练掌握运算法则,熟练运用有理数乘法,以及运用消项的思想是解题的关键．19．观察下列各式,并用所得出的规律解决问题：（11.414≈14.14141.4≈,……0.1732 1.732≈17.32,……由此可见,被开方数的小数点每向右移动______位,其算术平方根的小数点向______移动______位．（2 3.873≈ 1.225≈,≈_____≈______．（31=10=100=,…… 小数点的变化规律是_______________________．（4 2.154≈0.2154≈-,则y =______．【答案】（1）两；右；一；（2）12.25；0.3873；（3）被开方数的小数点向右（左）移三位,其立方根的小数点向右（左）移动一位；（4）-0.01 【提示】（1）观察已知等式,得到一般性规律,写出即可； （2）利用得出的规律计算即可得到结果； （3）归纳总结得到规律,写出即可； （4）利用得出的规律计算即可得到结果． 【解答】解：（11.414≈14.14≈141.4,……0.1732 1.732≈17.32,……由此可见,被开方数的小数点每向右移动两位,其算术平方根的小数点向右移动一位． 故答案为：两；右；一；（2 3.873≈ 1.225≈,12.250.3873≈； 故答案为：12.25；0.3873；（31=10=100=,……小数点的变化规律是：被开方数的小数点向右（左）移三位,其立方根的小数点向右（左）移动一位；（4） 2.154≈0.2154≈-,0.2154≈,0.2154-, ∴y=-0.01． 【点睛】此题考查了立方根,以及算术平方根,弄清题中的规律是解本题的关键．20．思考与探究：（1）在如图所示的计算程序中,若开始输入的数值是4,则最后输出的结果是___________．（2）在如图所示的计算程序中,若最后输出的结果是58,则开始输入的数值是___________．（3）按下面的程序计算,若开始输入的值x为正数,最后输出的结果为1621,则满足条件的x的不同值最多有多少个？【答案】（1）17；（2）6或－10；（3）6个【提示】（1）根据程序运算图可得算式4×3+5,按运算顺序进行求解即可；（2）设输入的数字为m,根据题意可得关于x的方程,解方程即可求得答案；（3）根据最后输出的结果,可计算出它前面的那个数,依此类推,可将符合题意的正数求出．【解答】（1）由题意得：4×3+5=17,故答案为：17；（2）设输入的数字为m,则有（m+2）2-6=58,解得：m=6或m=-10,故答案为：6或--10；（3）∵最后输出的数为1621,∴4[(x+5)-(-2)2]-3=1621,解得：x=405>0,又∵4[(x+5)-(-2)2]-3=405,解得：x=101>0,又∵4[(x+5)-(-2)2]-3=101,解得：x=25>0,又∵4[(x+5)-(-2)2]-3=25,解得：x=6>0,又∵4[(x+5)-(-2)2]-3=6,解得：x=54>0,又∵4[(x+5)-(-2)2]-3=5 4 ,解得：x=116>0,又∵4[(x+5)-(-2)2]-3=1 16,解得：x=1564-<0,（不符合题意）∴符合题意的正数最多有6个.【点睛】本题考查了程序运算,涉及了一元一次方程,利用平方根的解方程等知识,正确审题,弄清程序运算中的运算顺序,熟练掌握相关和运算法则和解题方法是解此类问题的关键．21．读一读,式子“1＋2＋3＋4＋5＋…＋100”表示从1开始的100个连续自然数的和．由于上述式子比较长,书写也不方便,为了简便起见,我们可以将“1＋2＋3＋4＋5＋…＋100”表示为1001n n=∑,这里“∑”是求和符号．例如：1＋3＋5＋7＋9＋…＋99,即从1开始的100以内的连续奇数的和,可表示为501(21)nn =-∑,又知13＋23＋33＋43＋53＋63＋73＋83＋93＋103可表示为1031nn=∑．通过对以上材料的阅读,请解答下列问题．（1）2＋4＋6＋8＋10＋…＋100(即从2开始的100以内的连续偶数的和)用求和符合可表示为_________．（2）1＋12＋13＋…＋110用求和符号可表示为_________．（3）计算6211nn=-∑()＝_________．(填写最后的计算结果)【答案】（1）5012nn =∑；（2）1011nn =∑；（3）50【提示】（1）根据题中的新定义得出结果即可；（2）根据题中的新定义得出结果即可；（3）利用题中的新定义将原式变形,计算即可得到结果．【解答】解：解：（1）根据题意得：2+4+6+8+10+ (100)5012nn =∑；（2）1＋12＋13＋…＋110=1011n n=∑； （3）原式=1-1+4-1+9-1+16-1+25-1+36-1=85． 故答案为：（1）5012n n =∑；（2）1011n n=∑；（3）85．【点睛】此题考查了有理数的加法和减法运算,弄清题中的新定义是解本题的关键． 22．如图,已知点()0,0O ,()2,0A ,()1,2B -．（1）求OAB 的面积；（2）点C 是在坐标轴上异于点A 的一点,且OBC 的面积等于OAB 的面积,求满足条件的点C 的坐标；（3）若点D 的坐标为()m,2,且1m <-,连接AD 交OB 于点E ,在x 轴上有一点F ,使BDE 的面积等于BEF 的面积,请直接写出点F 的坐标__________（用含m 的式子表示）．【答案】（1）2；（2）(0,4),(0,4),(2,0)--；（3）1(1,0)F m +或2(1,0)F m -- 【提示】（1）直接利用以OA 为底,进行求面积；（2）OBC 的面积等于OAB 的面积,需要分三种情况进行分类讨论； （3）根据BDEBEFSS=推导出OBDOBFSS=,然后分两种情况进行讨论,即当F 位于x 轴负半轴上时与F 位于x 轴正半轴上时．【解答】 解：（1）1122222OABB SOA y =⋅⋅=⨯⨯=． （２）作如下图形,进行分类讨论：。

七年级下册期中模拟测试（一）数学学科（考试时间：120分钟满分：120分）注意：本试卷分试题卷和答题卡（卷）两部分，答案一律填写在答题卡（卷）上，在试题卷上作答无效．一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）1．36的平方根是（）A．±6 B．6 C．﹣6 D．±【答案】A【解答】解：∵（±6）2＝36，∴36的平方根是±6．故选：A．2．如图，小手盖住的点的坐标可能为（）A．（4，3）B．（4，﹣3）C．（﹣4，3）D．（﹣4，﹣3）【答案】D【解答】解：小手盖住的点的坐标在第三象限，点横坐标与纵坐标都是负数，只有（﹣4，﹣3）符合．故选：D．3．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，若∠AOE＝150°，则∠AOC的度数为（）A．50°B．60°C．70°D．80°【答案】B【解答】解：∵∠AOE＝150°，∴∠BOE＝180°﹣150°＝30°，∵OE平分∠BOD，∴∠BOD＝2∠BOE＝60°，∴∠AOC＝∠BOD＝60°，故选：B．4．如图，点A为直线BC外一点，AC⊥BC，垂足为C，AC＝3，点P是直线BC上的动点，则线段AP长不可能是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【解答】解：∵AC⊥BC，∴AP≥AC，即AP≥3．故选：A．5．下列各数3.1415926，﹣，0.202202220…，π，，﹣中，无理数的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解答】解：3.1415926，﹣是分数，属于有理数；，是整数，属于有理数；无理数有﹣，0.202202220…，π，共3个．故选：C．6．下列四个图形中，不能推出∠2与∠1相等的是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：A、∵∠1和∠2互为对顶角，∴∠1＝∠2，故本选项错误；B、∵a∥b，∴∠1+∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补），不能判断∠1＝∠2，故本选项正确；C、∵a∥b，∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等），故本选项错误；D、如图，∵a∥b，∴∠1＝∠3（两直线平行，同位角相等），∵∠2＝∠3（对顶角相等），∴∠1＝∠2，故本选项错误；故选：B．7．下列命题是真命题的有（）①过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线；②同位角相等，两直线平行；③内错角相等；④在同一平面内，同垂直于一条直线的两条直线平行．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解答】解：①过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线，正确，为真命题；②同位角相等，两直线平行，正确，为真命题；③两直线平行，内错角相等，故原命题为假命题；④在同一平面内，同垂直于一条直线的两条直线平行，正确，为真命题；故真命题的个数为3个，故选：C．8．若a、b为实数，且满足，则b﹣a的值为（）A．1 B．0 C．﹣1 D．以上都不对【答案】A【解答】解：由题意得，a﹣2＝0，3﹣b＝0，解得，a＝2，b＝3，则b﹣a＝1，故选：A．9．在平面直角坐标系的第四象限内有一点M，到x轴的距离为4，到y轴的距离为5，则点M的坐标为（）A．（﹣4，5）B．（﹣5，4）C．（4，﹣5）D．（5，﹣4）【答案】D【解答】解：∵在平面直角坐标系的第四象限内有一点M，到x轴的距离为4，到y轴的距离为5，∴点M的纵坐标为：﹣4，横坐标为：5，即点M的坐标为：（5，﹣4）．故选：D．10．如图a∥b，M、N分别在a、b上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3＝（）A．180°B．270°C．360°D．540°【答案】C【解答】解：过点P作P A∥a，则a∥b∥P A，∴∠1+∠MP A＝180°，∠3+∠NP A＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝360°．故选：C．11．如图是某公园里一处矩形风景欣赏区ABCD，长AB＝50米，宽BC＝25米，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为1米，那小明沿着小路的中间，从出口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为（）A．100米B．99米C．98米D．74米【答案】C【解答】解：利用已知可以得出此图形可以分为横向与纵向分析，横向距离等于AB，纵向距离等于（AD﹣1）×2，图是矩形风景欣赏区ABCD，长AB＝50米，宽BC＝25米，则小明从出口A到出口B所走的路线长为50+（25﹣1）×2＝98米．故选：C．12．如图，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转2021次，点P依次落在点P1、P2、P3…，P2021的位置，由图可知P1（1，1），P2（2，0），P3（2，0），P4（3，1），则P2021的坐标为（）A．（2020，0）B．（2020，1）C．（2021，0）D．（2021，1）【答案】D【解答】解：根据图形可得，正方形旋转4次为一个周期，即P→P4为一周期，且相差3﹣（﹣1）＝4，∴一个周期P向右移动4个单位长度．∵2021÷4＝505…1，∴到P2021有505个周期再旋转一次，505×4﹣1＝2019，∴P2020（2019，1），由P2020→P2021与P→P1类似，∴P2021（2021，1）．故选：D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式：．【答案】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等【解答】解：题设为：两个角是对顶角，结论为：这两个角相等，故写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等，故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．14．如图，l1∥l2，l3∥l4，若∠1＝70°，则∠2的度数为．【答案】110°【解答】解：∵l1∥l2，∠1＝70°，∴∠3＝∠1＝70°，∵l3∥l4，∴∠2+∠3＝180°，∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣70°＝110°，故答案为：110°．15．如图，△ABC沿着由点B到点E的方向平移，得到△DEF，若BC＝4，EC＝1，那么平移的距离是．【答案】3【解答】解：根据平移的性质，平移的距离＝BE＝4﹣1＝3，故答案为：3．16．如图，小聪把一块含有60°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上，并测得∠1＝25°，则∠2的度数是．【答案】35°【解答】解：如图，∵AB∥CD，∴∠AEF＝∠1＝25°，∵∠MEF＝60°，∴∠2＝∠MEF﹣∠AEF＝60°﹣25°＝35°，故答案为35°．17．若第三象限内的点P（x，y）、满足|x|＝3，y2＝25．则P点的坐标是．【答案】（﹣3，﹣5）【解答】解：∵|x|＝3，y2＝25，∴x＝±3，y＝±5，∵P在第三象限，∴点P的坐标是（﹣3，﹣5）．故答案为：（﹣3，﹣5）．18．如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（1，1），（1，2），（2，2）…根据这个规律，第2019个点的横坐标为．【答案】45【解答】解：根据图形，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于x轴上右下角的点的横坐标的平方，例如：右下角的点的横坐标为1，共有1个，1＝12，右下角的点的横坐标为2时，共有4个，4＝22，右下角的点的横坐标为3时，共有9个，9＝32，右下角的点的横坐标为4时，共有16个，16＝42，…右下角的点的横坐标为n时，共有n2个，∵452＝2025，45是奇数，∴第2025个点是（45，0），第2019个点是（45，6），所以，第2019个点的横坐标为45．故答案为：45．三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）19．计算下列各式的值：【答案】6【解答】解：＝+（﹣5）+9﹣（﹣2）＝+（﹣5）+9﹣+2＝6．20．求满足下列各式x的值（1）2x2﹣8＝0；（2）（x﹣1）3＝﹣4．【答案】（1）x＝±2；（2）x＝﹣1【解答】解：（1）2x2﹣8＝0，2x2＝8，x2＝4，x＝±2；（2）（x﹣1）3＝﹣4，（x﹣1）3＝﹣8，x﹣1＝﹣2，x＝﹣1．21．一个正数的平方根是2a﹣1与﹣a+2，求a和这个正数．【答案】9【解答】解：由题意得：2a﹣1﹣a+2＝0，解得：a＝﹣1，2a﹣1＝﹣3，﹣a+2＝3，则这个正数为9．22．如图，已知单位长度为1的方格中有个三角形ABC．（1）将三角形ABC向上平移3格再向右平移2格所得三角形A'B'C'，在所给的网格中画出三角形A'B'C'的位置；（2）求出三角形A'B'C'的面积；（3）如果点C的坐标为（3，﹣1），请在所给的网格中建立平面直角坐标系．填空：①BC与B'C'的关系是；②BB'与CC'的关系是．【答案】（1）略（2）（3）平行且相等，平行且相等．【解答】解：（1）如图所示，三角形A'B'C'即为所求；（2）S△A'B'C'＝3×3﹣＝；（3）坐标系如图所示，①BC与B'C'的关系是：平行且相等，②BB'与CC'的关系是：平行且相等，故答案为：平行且相等，平行且相等．23．如图，AB，CD相交于点O，OM平分∠BOD．（1）若∠AOC＝50°，求∠AOM的度数；（2）若2∠AOD＝3∠AOC，求∠COM的度数．【答案】（1）160°(2)144°【解答】解：（1）由题意可得∠BOD＝∠AOC＝50°，∠AOD＝180°﹣∠AOC＝130°，∵OM平分∠BOD，∴∠DOM＝＝25°，∴∠AOM＝∠AOD+∠DOM＝135°+25°＝160°；（2）∵2∠AOD＝3∠AOC，∠AOD+∠AOC＝180°，∴∠AOD+∠AOD＝180°，解得∠AOD＝108°，∴∠BOD＝180°﹣108°＝72°，∠COB＝∠AOD＝108°，∵OM平分∠BOD，∴∠BOM＝＝36°，∴∠COM＝∠COB+∠BOM＝108°+36°＝144°．24．已知：如图，AE⊥BC，FG⊥BC，∠1＝∠2，∠D＝∠3+60°，∠CBD＝70°．（1）求证：AB∥CD；（2）求∠C的度数．【答案】（1）略（2）25°【解答】（1）证明：∵AE⊥BC，FG⊥BC，∴AE∥GF，∴∠2＝∠A，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠A，∴AB∥CD；（2）解：∵AB∥CD，∴∠D+∠CBD+∠3＝180°，∵∠D＝∠3+60°，∠CBD＝70°，∴∠3＝25°，∵AB∥CD，∴∠C＝∠3＝25°．25．我们知道：无理数是无限不循环的小数．下面是探究无理数的大小过程：因为12＝1，22＝4，所以1＜＜2；因为1.42＝1.96，1.52＝2.25，所以1.4＜＜1.5；因为1.412＝1.9881，1.422＝2.0164，所以1.41＜＜1.42；因为1.4142＝1.999396，1.4152＝2.002225，所以1.414＜＜1.415；……如此进行下去，可以得到的更加精确的近似值．（1）请仿照上面的思考过程，请直接写出无理数的大致范围？（精确到0.01）（2）填空：①比较大小：32（填“＞、＜或＝”）；②若a、b均为正整数，a＞，b＜，则a+b的最小值是．（3）现有一块长4.1dm，宽为3dm的长方形木板，要想在这块木板上截出两个面积分别为2dm2和5dm2的正方形木板，张师傅准备采用如图的方式进行，请你帮助分析一下，他的方法可行吗？【答案】（1）2.23＜＜2.24（2）＞，4（3）可行【解答】解：（1）∵2.232＜5＜2.242，∴2.23＜＜2.24；（2）①∵（3）2＝18，（2）2＝12，∴3＞2；故答案为：＞；②∵a、b均为正整数，a＞，b＜，∴a最小为3，b＝1，∴a+b最小为4；故答案为：4；（3）他的方法可行，理由如下：∵面积分别为2dm2的正方形边长是dm，面积分别为5dm2的正方形是dm，≈2，236＜3，+≈3.65＜4.1，∴他的方法可行．26．如图，在平面直角坐标系，点A、B的坐标分别为（a，0），（0，b），且|a﹣26|+＝0，将点B向右平移24个单位长度得到C．（1）求A、B两点的坐标；（2）点P、Q分别为线段BC、OA两个动点，P自B点向C点以2个单位长度/秒向右运动，同时点Q自A点向O点以4个单位长度/秒向左运动，设运动的时间为t，连接PQ，当PQ恰好平分四边形BOAC的面积时，求t的值；（3）点D是直线AC上一点，连接QD，作∠QDE＝120°，边DE与BC的延长线相交于点E，DM平分∠CDE，DN平分∠ADQ，当点Q运动时，∠MDN的度数是否变化？请说明理由．【答案】（1）A（26，0），B（0，8）（2）t＝（3）不变【解答】解：（1）∵|a﹣26|+＝0，∴a﹣26＝0，且8﹣b＝0，∴a＝26，b＝8，∴A（26，0），B（0，8）；（2）∵BC∥x轴，BC＝24，∴C（24，8），由题意得：BC∥OA，BP＝2t，AQ＝4t，则PC＝24﹣2t，OQ＝26﹣4t，BO＝8，∴S梯形AOBC＝×（24+26）×8＝200，当PQ恰好平分四边形BOAC时，S梯形OBPQ＝×200＝100，∴：×（2t+26﹣4t）×8＝100，解得：t＝；（3）当点Q运动时，∠MDN的度数不变，理由如下：如图1，当点D在线段CA的延长线上或AC的延长线上时，∵DM平分∠CDE，DN平分∠ADQ，∴∠NDC＝，∠QDA，∠MDC＝∠CDE，∴∠MDN＝∠NDC+∠MDC＝（∠QDA+∠CDE）＝∠QDE＝60°；如图2，当点D在线段AC上时，∵DM平分∠CDE，DN平分∠ADQ，∴∠NDQ＝∠ADQ，∠MDC＝∠CDE，设∠CDE＝α，∴∠QDC＝120°﹣α，∠ADQ＝180°﹣（120°﹣α）＝60°+α，∴∠MDN＝∠MDC+∠QDC+∠NDC＝α+120°﹣α+（60°+α）＝150°；综上所述，∠MDN的度数为150°或60°，∴当点Q运动时，∠MDN的度数不变化．。

初一数学期中考试压轴题:探索类附加题【难度】★★★★☆【考点】有理数计算、分数拆分、方程思想【清华附中期中】解答题：有8个连续的正整数，其和可以表示成7个连续的正整数的和，但不能表示为3个连续的正整数的和，求这8个连续的正整数中最大数的最小值.（4分）【解析】设这八个连续正整数为：n,n+1……n+7；和为8n+28可以表示为七个连续正整数为：k，k+1……k+6;和为7k+21所以8n+28=7k+21,k=（8n+7）/7=n+1+n/7，k是整数所以n=7,14,21,28……当n=7时，八数和为84=27+28+29，不符合题意，舍当n=14时,八数和为140，符合题意【答案】最大数最小值：21【难度】★★★★★【考点】倒数的定义、有理数计算、分类讨论思想【人大附中期中】已知x，y是两个有理数,其倒数的和、差、积、商的四个结果中，有三个是相等的，(1）填空:x与y的和的倒数是；(2）说明理由。

【解析】设x，y的倒数分别为a，b（a≠0，b≠0，a+b≠a-b)，则a+b，a-b，ab，a/b中若有三个相等,ab=a/b，即b²=1,b=±1分类如下：①当a+b=ab=a/b时：如果b=1，无解；如果b=—1，解得a=0.5②当a—b=ab=a/b时：如果b=1，无解；如果b=—1，解得a=-0。

5所以x、y的倒数和为a+b=—0。

5，或-1。

5【难度】★★★★☆【考点】绝对值化简【101中学期中】将1，2，3,…，100这100个自然数，任意分成50组，每组两个数,现将每组中的两个数记为a，b，代入中〈=”" p=”” style="max—width： 100％； border： 0px；”>进行计算，求出结果，可得到50个值，则这50个值的和的最小值为____【解析】绝对值化简得:当a≥b时，原式=b；当a所以50组可得50个最小的已知自然数，即1,2,3,4 (50)【答案】1275【老杨改编】这50个值的和的最大值为____【解析】因为本质为取小运算，所以100必须和99一组，98必须和97一组,最后留下的50组结果为:1，3，5，7……99=2500 【难度】★★★★☆【考点】有理数计算【清华附中期中】在数1,2，3，4……1998，前添符号“+”或“—”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少?（6分）【解析】最小的非负数为“0”,但是1998个正数中有999个奇数，999个偶数，他们的和或者差结果必为奇数，因此不可能实现“0”可以实现的最小非负数为“1”,如果能实现结果“1”，则符合题意相邻两数差为1，所以相邻四个数可以和为零，即n-（n+1）—(n+2)+n+3=0从3,4,5，6……1998共有1996个数,可以四个连续数字一组，和为零【答案】—1+2+3—4-5+6+7……+1995—1996-1997+1998=1【老杨改编】在数1,2,3,4……n，前添符号“+”或“-”，并依次运算,所得可能的最小非负数是多少?【解析】由上面解析可知，四个数连续数一组可以实现为零如果n=4k，结果为0;(四数一组，无剩余）如果n=4k+1，结果为1;（四数一组，剩余首项1）如果n=4k+2，结果为1；(四数一组，剩余首两项-1+2=1)如果n=4k+3,结果为0;(四数一组，剩余首三项1+2—3=0）初一数学期中考试压轴题：列方程解应用题【难度】★★★☆☆【考点】表格阅读题,列一元一次方程解应用题【五中分校期中】某校初一甲、乙两班共103人(其中甲班人数多于乙班人数，每班人数均在100以内）去游该公园，如果两班都以班为单位分别购票,则一共需付486元.(1)如果两班联合起来，作为一个团体购票,则可以节约多少钱？(2）两班各有多少名学生？【解析】(1）节省=486—103＊4=74元(2)设甲班有x人，则乙班有（103—x）人103*4.5=463。

期中满分计划之大题压轴重难点题型总结姓名：.【题型1 平行线的判定与性质综合】【例1】（2020春•石泉县期末）已知直线AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点A、C，CM是∠ACD的平分线，CM交AB于点H，过点A作AG⊥AC交CM于点G．（1）如图1，点G在CH的延长线上时，若∠GAB＝36°，求∠MCD的度数；（2）如图2，点G在CH上时，试说明2∠MCD+∠GAB＝90°．【变式1-1】（2020春•中山市期末）如图，已知AB∥CD，直线EF与AB、CD分别交于点EF，点P是射线EB上一点（与点E不重合）．FM、FN分别平分∠PFE和∠PFD，FM、FN交直线AB于点M、N，过点N 作NH⊥FM于点H．（1）若∠BEF＝64°，求∠FNH的度数；（2）猜想∠BEF和∠FNH之间有怎样的数量关系，并加以证明．【变式1-2】（2020春•邳州市期末）已知：点A在射线CE上，∠C＝∠D．（1）如图1，若AC∥BD，求证：AD∥BC．（2）如图2，若BD⊥BC，BD与CE交于点G，请探究∠DAE与∠C的数量关系，写出你的探究结论，并加以证明；（3）如图3，在（2）的条件下，过点D作DF∥BC交射线CE于点F，当∠DFE＝8∠DAE，∠BAC＝∠BAD时，直接写出∠BAD的度数为°．【变式1-3】（2020秋•福州期末）如图1，已知两条直线AB，CD被直线EF所截，分别交于点E，点F，EM 交CD于点M，AB∥CD，且∠FEM＝∠FME．（1）当∠AEF＝70°时，∠FME＝°；（2）判断EM是否平分∠AEF，并说明理由；（3）如图2，点G是射线FD上一动点（不与点F重合），EH平分∠FEG交CD于点H，过点H作HN⊥EM于点N，设∠EGF＝α．探究当点G在运动过程中，∠MHN﹣∠FEH和α之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．【题型2 平行线的判定与性质综合（作平行线）】【例2】（2020秋•朝阳区期末）【感知】如图①，AB∥CD，∠P AB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC的度数．（提示：过点P作直线PQ∥AB）【探究】如图②，AD∥BC，点P在射线OM上运动，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β，（1）当点P在线段AB上运动时，∠CPD，∠α，∠β之间的数量关系为．（2）当点P在线段A，B两点外侧运动时（点P与点A，B，O三点不重合），直接写出∠CPD，∠α，∠β之间的数量关系为．【变式2-1】（2020秋•内江期末）小明同学在完成七年级上册数学的学习后，遇到了一些问题，请你帮他解决下．（1）如图1，已知AB∥CD，则∠AEC＝∠BAE+∠DCE成立吗？请说明理由；（2）如图2，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC．BE、DE所在直线交于点E，若∠F AD＝60°，∠ABC＝40°，求∠BED的度数；（3）将图2中的点B移到点A的右侧，得到图3，其他条件不变，若∠F AD＝α°，∠ABC＝β°，请你求出∠BED的度数（用含α，β的式子表示）．【变式2-2】（2020春•武昌区期末）如图1，AB∥CD，点E在AB上，点H在CD上，点F在直线AB，CD之间，连接EF，FH，∠AEF+∠CHF=73∠EFH．（1）直接写出∠EFH的度数为；（2）如图2，HM平分∠CHF，交FE的延长线于点M，证明：∠FHD﹣2∠FMH＝36°；（3）如图3，点P在FE的延长线上，点K在AB上，点N在∠PEB内，连NE，NK，NK∥FH，∠PEN＝2∠NEB，则2∠FHD﹣3∠ENK的值为．【变式2-3】（2020秋•道里区期末）已知，AB∥CD，点E在CD上，点G，F在AB上，点H在AB，CD之间，连接FE，EH，HG，∠AGH＝∠FED，FE⊥HE，垂足为E．（1）如图1，求证：HG⊥HE；（2）如图2，GM平分∠HGB，EM平分∠HED，GM，EM交于点M，求证：∠GHE＝2∠GME；（3）如图3，在（2）的条件下，FK平分∠AFE交CD于点K，若∠KFE：∠MGH＝13：5，求∠HED的度数．【题型3 平行线的判定与性质综合（含旋转）】【例3】（2020秋•金川区校级期末）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中，∠A＝60°，∠D＝30°；∠E＝∠B＝45°）．（1）如图1，①若∠DCE＝40°，求∠ACB的度数；②若∠ACB＝150°，直接写出∠DCE的度数是度．（2）由（1）猜想∠ACB与∠DCE满足的数量关系是．（3）若固定△ACD，将△BCE绕点C旋转，①当旋转至BE∥AC（如图2）时，直接写出∠ACE的度数是度．②继续旋转至BC∥DA（如图3）时，求∠ACE的度数．【变式3-1】（2020秋•郑州期末）一副直角三角尺叠放如图1所示，现将45°的三角尺ADE固定不动，将含30°的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行．如图2：当角∠CAE＝60°时，BC∥DE．求其它所有可能符合条件的角∠CAE（0°＜∠CAE＜180°）的度数，画出对应的图形并证明．【变式3-2】（2020秋•苏州期末）数学实践课上，小明同学将直角三角板AOB的直角顶点O放在直尺EF的边缘，将直角三角板绕着顶点O旋转．（1）若三角板AOB在EF的上方，如图1所示．在旋转过程中，小明发现∠AOE、∠BOF的大小发生了变化，但它们的和不变，即∠AOE+∠BOF＝°．（2）若OA、OB分别位于EF的上方和下方，如图2所示，则∠AOE、∠BOF之间的上述关系还成立吗？若不成立，则它们之间有怎样的数量关系？请说明你的理由；（3）射线OM、ON分别是∠AOE、∠BOE的角平分线，若三角板AOB始终在EF的上方，则旋转过程中，∠MON的度数是一个定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．【变式3-3】（2020春•义乌市期末）如图，已知AB∥CD，P是直线AB，CD间的一点，PF⊥CD于点F，PE 交AB于点E，∠FPE＝120°．（1）求∠AEP的度数；（2）如图2，射线PN从PF出发，以每秒40°的速度绕P点按逆时针方向旋转，当PN垂直AB时，立刻按原速返回至PF后停止运动；射线EM从EA出发，以每秒15°的速度绕E点按逆时针方向旋转至EB后停止运动．若射线PN，射线EM同时开始运动，设运动时间为t秒．①当∠MEP＝20°时，求∠EPN的度数；②当EM∥PN时，求t的值．【题型4 坐标与平移变换】【例4】（2020春•金乡县期末）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），线段MN的位置如图所示，其中点M的坐标为（﹣3，﹣1），点N的坐标为（3，﹣2）．（1）将线段MN平移得到线段AB，其中点M的对应点为A，点N的对应点为B．①点M平移到点A的过程可以是：先向平移个单位长度，再向平移个单位长度；②点B的坐标为；（2）在（1）的条件下，若点C的坐标为（4，0），连接AC，BC，求△ABC的面积．（3）在y轴上是否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形的面积为3，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【变式4-1】（2020春•通山县期末）如图，在平面直角坐标系中，点A（2，6），B（4，3），将线段AB进行平移，使点A刚好落在x轴的负半轴上，点B刚好落在y轴的负半轴上，A，B的对应点分别为A'，B'，连接AA'交y轴于点C，BB'交x轴于点D．（1）线段A'B'可以由线段AB经过怎样的平移得到？并写出A'，B'的坐标；（2）求四边形AA'B'B的面积；（3）P为y轴上的一动点（不与点C重合），请探究∠PCA′与∠A'DB'的数量关系，给出结论并说明理由．【题型5 坐标与图形的性质综合】【例5】（2020春•鞍山期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（﹣1，0），点B的坐标是（4，0），现将线段AB向右平移一个单位，向上平移4个单位，得到线段CD，点P是y轴上的动点，连接BP；（1）当点P在线段OC上时（如图一），判断∠CPB与∠PBA的数量关系；（2）当点P在OC所在的直线上时，连接DP（如图二），试判断∠DPB与∠CDP，∠PBA之间的数量关系，请直接写出结论．【变式5-1】（2020春•三门峡期末）如图所示，A（1，0）、点B在y轴上，将三角形OAB沿x轴负方向平移，平移后的图形为三角形DEC，且点C的坐标为（﹣3，2）．（1）直接写出点E的坐标；（2）在四边形ABCD中，点P从点B出发，沿“BC→CD”移动．若点P的速度为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，回答下列问题：①当t＝秒时，点P的横坐标与纵坐标互为相反数；②求点P在运动过程中的坐标，（用含t的式子表示，写出过程）；③当3秒＜t＜5秒时，设∠CBP＝x°，∠P AD＝y°，∠BP A＝z°，试问x，y，z之间的数量关系能否确定？若能，请用含x，y的式子表示z，写出过程；若不能，说明理由．【变式5-2】（2020春•兴国县期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（a，0），B（b，b），C（0，b），且满足(a+8)2+√b+4=0，P点从A点出发沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，Q点从O点出发沿y轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动．（1）直接写出点A的坐标，点B的坐标，AO和BC位置关系是；（2）在P、Q的运动过程中，连接PB，QB，使S△P AB＝4S△QBC，求出点P的坐标；（3）在P、Q的运动过程中，当∠CBQ＝30°时，请探究∠OPQ和∠PQB的数量关系，并说明理由．【变式5-3】（2020春•新乡期末）在平面直角坐标系中，D（0，﹣3），M（4，﹣3），直角三角形ABC的边与x轴分别相交于O、G两点，与直线DM分别交于E、F点，∠ACB＝90°．（1）将直角三角形如图1位置摆放，如果∠AOG＝46°，则∠CEF＝；（2）将直角三角形ABC如图2位置摆放，N为AC上一点，∠NED+∠CEF＝180°，请写出∠NEF与∠AOG之间的等量关系，并说明理由．（3）将直角三角形ABC如图3位置摆放，若∠GOC＝140°，延长AC交DM于点Q，点P是射线GF上一动点，探究∠POQ，∠OPQ与∠PQF的数量关系，请直接写出结论（题中的所有角都大于0°小于180°）．。

解答题压轴必刷常考题【压轴题题必考】1．（安溪）如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，AO∥BC，得到一条“折线数轴”．图中点A表示﹣20，点B表示20，点C表示36．动点M从点A出发，以2个单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点N从点C出发，以1个单位/秒的速度沿着“折线数轴”的负方向运动，从点B运动到点O期间的速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为t秒．（1）填空：点A和点C在数轴上相距56个单位长度；（2）当t为何值时，点M与点N相遇？（3）当t为何值时，M、O两点在数轴上相距的长度与N、B两点在数轴上相距的长度相等．【答案】（1）56 （2）t＝（3）t的值为4或13或22或34【解答】解：（1）∵点A表示﹣20，点C表示36，∴点A和点C在数轴上相距36﹣（﹣20）＝56（个单位长度），故答案为：56；（2）由题意知，N从C到B需16s，M从A到O需10s，∴M、N在OB段相遇，根据题意得：20+（t﹣10）+16+2（t﹣16）＝56，解得t＝，答：t为时，点M与点N相遇；（3）分四种情况：①当点M在AO上，点N在CB上时，OM＝20﹣2t，BN＝16﹣t，∴20﹣2t＝16﹣t，解得t＝4，②当M在OB上，N在CB上时，OM＝t﹣10，BN＝16﹣t，∴t﹣10＝16﹣t，解得t＝13，③当M在OB上，N在OB上时，OM＝t﹣10，BN＝2（t﹣16），∴t﹣10＝2（t﹣16），解得t＝22，④当M在BC上，N在OA上时，20+2（t﹣30）＝20+（t﹣26），解得t＝34，综上所述，t的值为4或13或22或34时，M、O两点在数轴上相距的长度与N、B两点在数轴上相距的长度相等．2．（朝阳）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图1方式叠放在一起，其中∠A＝60°，∠D＝30°，∠E＝∠B＝45°．（1）若∠1＝25°，则∠2的度数为；（2）直接写出∠1与∠3的数量关系：；（3）直接写出∠2与∠ACB的数量关系：；（4）如图2，当∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，将三角尺ACD固定不动，改变三角尺BCE的位置，但始终保持两个三角尺的顶点C重合，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？请直接写出∠ACE角度所有可能的值．【答案】（1）65°（2）∠1＝∠3；（3）∠2+∠ACB＝180°（4）30°或45°或120°或135°或165°．【解答】解：（1）∵∠1＝25°，∠ACD＝90°，∴∠2＝∠ACD﹣∠1＝65°，故答案为：65°；（2）∵∠1+∠2＝∠ACD＝90°，∠2+∠3＝∠BCE＝90°，∴∠1+∠2＝∠2+∠3，∴∠1＝∠3，故答案为：∠1＝∠3；（3）∵∠ACD＝∠BCE＝90°，∴∠ACB+∠2＝∠1+∠2+∠3+∠2＝∠ACD+∠BCE＝180°，即∠2+∠ACB＝180°，故答案为：∠2+∠ACB＝180°；（4）存在，①当BC∥AD时，∵BC∥AD，∴∠BCD＝∠D＝30°，∴∠ACB＝90°+30°＝120°，∴∠ACE＝∠ACB﹣∠BCE＝120°﹣90°＝30°；②当BE∥AC时，如图，∵BE∥AC，∴∠ACE＝∠E＝45°；③当AD∥CE时，如图，∵AD∥CE，∴∠DCE＝∠D＝30°，∴∠ACE＝90°+30°＝120°；④当BE∥CD时，如图，∵BE∥CD，∴∠DCE＝∠E＝45°，∴∠ACE＝∠ACD+∠DCE＝135°；⑤当BE∥AD时，如图，过点C作CF∥AD，∵BE∥AD，CF∥AD，∴BE∥AD∥CF，∴∠ECF＝∠E＝45°，∠DCF＝∠D＝30°，∴∠DCE＝30°+45°＝75°，∴∠ACE＝90°+75°＝165°．综上所述：当∠ACE＝30°或45°或120°或135°或165°时，有一组边互相平行．故答案为：30°或45°或120°或135°或165°．3．（淇县）如图（1），AB∥CD，猜想∠BPD与∠B、∠D的关系，说出理由．解：猜想∠BPD+∠B+∠D＝360°理由：过点P作EF∥AB，∴∠B+∠BPE＝180°（两直线平行，同旁内角互补）∵AB∥CD，EF∥AB，∴EF∥CD，（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．）∴∠EPD+∠D＝180°（两直线平行，同旁内角互补）∴∠B+∠BPE+∠EPD+∠D＝360°∴∠B+∠BPD+∠D＝360°（1）依照上面的解题方法，观察图（2），已知AB∥CD，猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的关系，并说明理由．（2）观察图（3）和（4），已知AB∥CD，猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的关系，不需要说明理由．【答案】（1）∠BPD＝∠B+∠D（2）∠BPD＝∠B﹣∠D．【解答】解：（1）∠BPD＝∠B+∠D．理由：如图2，过点P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠1＝∠B，∠2＝∠D，∴∠BPD＝∠1+∠2＝∠B+∠D；（2）如图（3）：∠BPD＝∠D﹣∠B．理由：∵AB∥CD，∴∠1＝∠D，∵∠1＝∠B+∠P，∴∠D＝∠B+∠P，即∠BPD＝∠D﹣∠B；如图（4）：∠BPD＝∠B﹣∠D．理由：∵AB∥CD，∴∠1＝∠B，∵∠1＝∠D+∠P，∴∠B＝∠D+∠P，即∠BPD＝∠B﹣∠D．4．（西乡塘）如图，已知DC∥FP，∠1＝∠2，∠DEF＝30°，∠AGF＝70°，FH平分∠EFG．（1）求证：DC∥AB；（2）求∠PFH的度数．【答案】（1）略（2）∠PFH的度数为20°【解答】解：（1）∵DC∥FP，∴∠C＝∠2，又∵∠1＝∠2，∴∠C＝∠1，∴DC∥AB；（2）∵DC∥FP，DC∥AB，∠DEF＝30°，∴∠DEF＝∠EFP＝30°，AB∥FP，又∵∠AGF＝70°，∴∠AGF＝∠GFP＝70°，∴∠GFE＝∠GFP+∠EFP＝70°+30°＝100°，又∵FH平分∠EFG，∴∠GFH＝∠GFE＝50°，∴∠PFH＝∠GFP﹣∠GFH＝70°﹣50°＝20°．答：∠PFH的度数为20°．5.（海勃湾）如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1与∠2互补．（1）试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由；（2）如图2，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，EP与CD交于点G，点H是MN 上一点，且GH⊥EG，求证：PF∥GH；（3）如图3，在（2）的条件下，连接PH，K是GH上一点使∠PHK＝∠HPK，作PQ 平分∠EPK，求∠HPQ的度数．【答案】（1）AB∥CD（2）PF∥GH（3）∠HPQ的度数为45°【解答】解：（1）AB∥CD，理由如下：∵∠1与∠2互补，∴∠1+∠2＝180°，又∵∠1＝∠AEF，∠2＝∠，∴∠AEF+∠CFE＝180°，∴AB∥CD；（2）由（1）知，AB∥CD，∴∠BEF+∠EFD＝180°．又∵∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，∴，∴∠EPF＝90°，即EG⊥PF．∵GH⊥EG，∴PF∥GH；（3）∵∠PHK＝∠HPK，∴∠PKG＝2∠HPK．又∵GH⊥EG，∴∠KPG＝90°﹣∠PKG＝90°﹣2∠HPK．∴∠EPK＝180°﹣∠KPG＝90°+2∠HPK．∵PQ平分∠EPK，∴．∴∠HPQ＝∠QPK﹣∠HPK＝45°．答：∠HPQ的度数为45°．6．（黔江）（1）如图1，已知AB∥CD，则∠AEC＝∠BAE+∠DCE成立吗？请说明理由；（2）如图2，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE所在直线交于点E，若∠F AD＝60°，∠ABC＝40°，求∠BED的度数；（3）如图3，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE所在直线交于点E，若∠F AD＝α，∠ABC＝β，请你求出∠BED的度数（用含α，β的式子表示）．【答案】（1）成立（2）∠BED＝50°（3）【解答】解：（1）成立，理由：如图1中，作EF//AB，则有EF//CD，∴∠1＝∠BAE，∠2＝∠DCE∴∠AEC＝∠1+∠2＝∠BAE+∠DCE；（2）如图2，过点E作EH//AB，∵AB//CD，∠F AD＝60°，∴∠F AD＝∠ADC＝60°，∵DE平分∠ADC，∠ADC＝60°，∴，∵BE平分∠ABC，∠ABC＝40°，∴，∵AB//CD，∴AB//CD//EH，∴∠ABE＝∠BEH＝20°，∠CDE＝∠DEH＝30°，∴∠BED＝∠BEH+∠DEH＝50°．（3）如图3，过点E作EG//AB，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝β，∠ADC＝∠F AD＝α，∴，，∵AB//CD，∴AB//CD//EG，∴，，∴．7．（拱墅）小明同学在完成七年级下册数学第1章的线上学习后，遇到了一些问题，请你帮他解决一下．（1）如图1，已知AB∥CD，则∠AEC＝∠BAE+∠DCE成立吗？请说明理由．（2）如图2，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE所在直线交于点E，若∠F AD＝50°，∠ABC＝40°，求∠BED的度数．【答案】（1）∠AEC＝∠BAE+∠DCE．（2）∠BED＝45°【解答】解：（1）∠AEC＝∠BAE+∠DCE成立，理由：过点E作EF∥AB，如图，∵EF∥AB，∴∠A＝∠AEF．∵EF∥AB，AB∥CD，∴FE∥CD．∴∠C＝∠CEF．∵∠AEC＝∠AEF+∠CEF，∴∠AEC＝∠BAE+∠DCE．（2）过点E作EH∥AB，如图，由（1）的结论可得：∠BED＝∠ABE+∠EDC，∵BE平分∠ABC，∠ABC＝40°，∴∠ABE＝∠ABC＝20°．∵∠F AD＝50°，AB∥CD，∴∠ADC＝∠F AD＝50°．∵DE平分∠ADC，∴∠EDC＝∠ADC＝25°．∴∠BED＝20°+25°＝45°．8．（宜兴）如图①，已知PQ∥MN，且∠BAM＝2∠BAN．（1）填空：∠PBA＝°；（2）如图（1）所示，射线AM绕点A开始顺时针旋转至AN便立即按原速度回转至AM 位置，射线BP绕点B开始顺时针旋转至BQ便立即按原速度回转至BP位置．若AM转动的速度是每秒2度，BP转动的速度是每秒1度，若射线BP先转动30秒，射线AM才开始转动，在射线BP到达BQ之前，射线AM转动几秒，两射线互相平行？（3）如图（2），若两射线分别绕点A，B顺时针方向同时转动，速度同题（2），在射线AM到达AN之前，若两射线交于点C，过C作∠ACD交PQ于点D，且∠ACD＝120°，则在转动过程中，请探究∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．【答案】（1）120（2）AM转动30秒或110秒（3）∠BAC＝2∠BCD【解答】解：（1）∵∠BAM＝2∠BAN，∠BAM+∠BAN＝180°，∴∠BAM＝120°．∵PQ∥MN，∴∠PBA＝∠BAM＝120°．故答案为：120；（2）设射线AM转动t秒，两射线互相平行，当0＜t＜90时，如图，AM′和BP′为经过t秒后AM，BP旋转的位置，则∠MAM′＝2t°，∠PBP′＝（t+30）°，∵PQ∥MN，∴∠BM′A＝∠MAM′＝2t°，∵AM′∥BP′，∴∠AM′B＝∠PBP′．∴2t＝t+30．解得：t＝30；当90＜t＜150时，如图，AM′和BP′为经过t秒后AM，BP旋转的位置，则∠MAM′＝（360﹣2t）°，∠PBP′＝（t+30）°，∵PQ∥MN，∴∠BM′A＝∠MAM′＝2t°，∵AM′∥BP′，∴∠AM′B＝∠PBP′．∴360﹣2t＝t+30．解得：t＝110．综上所述，当射线AM转动30秒或110秒时，两射线互相平行．（3）∠BAC与∠BCD的数量关系不会发生变化，∠BAC＝2∠BCD．理由：设射线AM，BP转动时间为m秒，∴∠BAC＝（2m﹣120）°，∠ABC＝（120﹣t）°，∴∠ACB＝180°﹣（2m﹣120）°﹣（120﹣m）°＝（180﹣m）°．∵∠ACD＝120°，∴∠BCD＝120°﹣（180﹣m）°＝（m﹣60）°．∵2m﹣120＝2（m﹣60），∴∠BAC＝2∠BCD．∴∠BAC与∠BCD的数量关系不会发生变化，∠BAC＝2∠BCD．9．（仁寿）如图①．已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于点B，过点B作BD⊥AM于点D，设∠BCN＝α．（1）若α＝30°，求∠ABD的度数；（2）如图②，若点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，使得BE平分∠ABD、BF平分∠DBC，求∠EBF的度数；（3）如图③，在（2）问的条件下，若CF平分∠BCH，且∠BFC＝3∠BCN，求∠EBC 的度数．【答案】（1）30°（2）45°（3）97.5°．【解答】解：（1）延长DB，交NC于点H，如图，∵AM∥CN，BD⊥AM，∴DH⊥NC．∴∠BHC＝90°．∵∠BCN＝α＝30°，∴∠HBC＝90°﹣∠BCN＝60°．∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°．∴∠ABD＝180°﹣∠ABC﹣∠HBC＝30°；（2）延长DB，交NC于点H，如图，∵AM∥CN，BD⊥AM，∴DH⊥NC．∴∠BHC＝90°．∵∠BCN＝α，∴∠HBC＝90°﹣α．∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°．∴∠ABD＝180°﹣∠ABC﹣∠HBC＝α．∵BE平分∠ABD，∴∠DBE＝∠ABE＝α．∵∠HBC＝90°﹣α，∴∠DBC＝180°﹣∠HBC＝90°+α．∵BF平分∠DBC，∴∠DBF＝∠CBF＝∠DBC＝45°+α．∴∠EBF＝∠DBF﹣∠DBE＝45°+α﹣α＝45°；（3）∵∠BCN＝α，∴∠HCB＝180°﹣∠BCN＝180°﹣α．∵CF平分∠BCH，∴∠BCF＝∠HCF＝∠HCB＝90°﹣α．∵AM∥CN，∴∠DFC＝∠HCF＝90°﹣α．∵∠BFC＝3∠BCN，∴∠BFC＝3α．∴∠DFB＝∠DFC﹣∠BFC＝90°﹣α．由（2）知：∠DBF＝45°+α．∵BD⊥AM，∴∠D＝90°．∴∠DBF+∠DFB＝90°．∴45°+α+90°﹣α＝90°．解得：α＝15°．∴∠FBC＝∠DBF＝45°+α＝52.5°．∴∠EBC＝∠FBC+∠EBF＝52.5°+45°＝97.5°．10．（邵东）点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离记作AB．当A、B 两点中有一点为原点时，不妨设A点在原点．如图①所示，则AB＝OB＝|b|＝|a﹣b|．当A、B两点都不在原点时：（1）如图②所示，点A、B都在原点的右边，不妨设点A在点B的左侧，则AB＝OB﹣OA＝|b|﹣|a|＝b﹣a＝|b﹣a|＝|a﹣b|（2）如图③所示，点A、B都在原点的左边，不妨设点A在点B的右侧，则AB＝OB﹣OA＝|b|﹣|a|＝﹣b﹣（﹣a）＝a﹣b＝|a﹣b|（3）如图④所示，点A、B分别在原点的两边，不妨设点A在点O的右侧，则AB＝OB+OA ＝|b|+|a|＝a+（﹣b）＝|a﹣b|回答下列问题：（1）综上所述，数轴上A、B两点之间的距离AB＝．（2）数轴上表示2和﹣4A和B之间的距离AB＝．（3）数轴上表示x和﹣2的两点A和B之间的距离AB＝| ，如果AB＝2，则x的值为．（4）若代数式|x+2|+|x﹣3|有最小值，则最小值为．【答案】（1）AB＝|a﹣b|（2）6 （3）0或﹣4 （4）5【解答】解：（1）综上所述，数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|；（2）数轴上表示2和﹣4的两点A和B之间的距离AB＝2﹣（﹣4）＝2+4＝6；（3）数轴上表示x和﹣2的两点A和B之间的距离AB＝|x+2|，如果AB＝2，则x的值为0或﹣4；（4）若代数式|x+2|+|x﹣3|有最小值，则最小值为5．故答案为：（1）|a﹣b|；（2）6；（3）|x+2|；0或﹣4；（4）511．（广安）点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，例如：数轴上表示﹣1与﹣2的两点间的距离＝|﹣1﹣（﹣2）|＝﹣1+2＝1；而|x+2|＝|x﹣（﹣2）|，所以|x+2|表示x与﹣2两点间的距离．利用数形结合思想回答下列问题：（1）数轴上表示﹣2和5两点之间的距离．（2）若数轴上表示点x的数满足|x﹣1|＝3，那么x＝．（3）若数轴上表示点x的数满足﹣4＜x＜2，则|x﹣2|+|x+4|＝．【答案】（1）76（2）﹣2或4（3）6【解答】解：（1）根据题意知数轴上表示﹣2和5两点之间的距离为5﹣（﹣2）＝7，故答案为：7；（2）∵|x﹣1|＝3，即在数轴上到表示1和x的点的距离为3，∴x＝﹣2或x＝4，故答案为：﹣2或4；（3）∵|x﹣2|+|x+4|表示在数轴上表示x的点到﹣4和2的点的距离之和，且x位于﹣4到2之间，∴|x﹣2|+|x+4|＝2﹣x+x+4＝6，故答案为：6．12．（兴宁）如图，在数轴上有两个长方形ABCD和EFGH，这两个长方形的宽都是3个单位长度，长方形ABCD的长AD是6个单位长度，长方形EFGH的长EH是10个单位长度，点E在数轴上表示的数是5．且E、D两点之间的距离为14．（1）填空：点H在数轴上表示的数是，点A在数轴上表示的数是．（2）若线段AD的中点为M，线段EH上一点N，EN＝EH，M以每秒4个单位的速度向右匀速运动，N以每秒3个单位的速度向左运动，设运动时间为x秒，原点为O．当OM＝2ON时，求x的值．（3）若长方形ABCD以每秒2个单位的速度向右匀速运动，长方形EFGH固定不动，设长方形ABCD运动的时间为t（t＞0）秒，两个长方形重叠部分的面积为S，当S＝12时，求此时t的值．【答案】（1）15；﹣15（2）或．（3）t的值为9或13．【解答】解：（1）由题意可得，点H在数轴上表示的数为：5+10＝15；点A在数轴上表示的数为：5﹣14﹣6＝﹣15．故答案为：15；﹣15．（2）∵点M是线段AD的中点，∴点M表示的数为5﹣14﹣＝﹣12，又∵EN＝EH，∴点N在数轴上表示的数为：5+（15﹣5）＝，由题意可得，x秒时，点M在数轴上表示的数为：﹣12+4x，点N在数轴上表示的数为：﹣3x，∴OM＝|4x﹣12|，ON＝|3x﹣|，∵OM＝2ON，∴|4x﹣12|＝2|3x﹣|∴4x﹣12＝2（3x﹣）或4x﹣12＝﹣2（3x﹣），解得x＝或x＝．故答案为：或．（3）当CD与EF重合时，所用时间为＝7秒，由题意得：AD与EH重合的部分为＝4，如图1所示，设长方形ABCD从EF运动到AD与EH重叠部分为4时，所用的时间为t1秒，∴t1＝＝2，∴第一次重叠面积为12时，时间t为2+7＝9（秒）；当AD与EH重叠部分为4时，如图2所示，设长方形ABCD从EF运动到AD与EH重叠部分为4时，所用的时间为t2秒，∴t2＝＝6，∴第二次重叠面积S＝12时，时间t为6+7＝13（秒）；∴当长方形ABCD与长方形EFGH重叠部分的面积为12时，t的值为9或13．13．（宣化）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示﹣，设点B所表示的数为m．（1）实数m的值是；（2）求|m+1|+|m﹣1|的值；（3）在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有|2c+d|与互为相反数，求2c﹣3d的平方根．【答案】（1）2﹣（2）2 （3）±4．【解答】解：（1）m＝﹣+2＝2﹣；（2）∵m＝2﹣，则m+1＞0，m﹣1＜0，∴|m+1|+|m﹣1|＝m+1+1﹣m＝2；答：|m+1|+|m﹣1|的值为2．（3）∵|2c+d|与互为相反数，∴|2c+d|+＝0，∴|2c+d|＝0，且＝0，解得：c＝﹣2，d＝4，或c＝2，d＝﹣4，①当c＝﹣2，d＝4时，所以2c﹣3d＝﹣16，无平方根．②当c＝2，d＝﹣4时，∴2c﹣3d＝16，∴2c﹣3d的平方根为±4，答：2c﹣3d的平方根为±4．14．（锦江）阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为|AB|．当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，|AB|＝|OB|＝|b|＝|a﹣b|；当A、B两点都不在原点时，如图2，点A、B都在原点的右边，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝b﹣a＝|a﹣b|；如图3，当点A、B都在原点的左边，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝﹣b﹣（﹣a）＝|a﹣b|；如图4，当点A、B在原点的两边，|AB|＝|OB|+|OA|＝|a|+|b|＝a+（﹣b）＝|a﹣b|．回答下列问题：（1）数轴上表示1和6的两点之间的距离是数轴上表示2和﹣3的两点之间的距离是．（2）数轴上若点A表示的数是x，点B表示的数是﹣4，则点A和B之间的距离是，若|AB|＝3，那么x为．（3）当x是时，代数式|x+2|+|x﹣1|＝7．（4）若点A表示的数﹣1，点B与点A的距离是10，且点B在点A的右侧，动点P、Q 同时从A、B出发沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒个单位长度，求运动几秒后，B、P、Q三点中，有一点恰好是另两点所连线段的中点？（请写出必要的求解过程）．【答案】（1）5，5（2）﹣1或﹣7 （3）﹣4或3 （4）运动或或5秒【解答】解：（1）数轴上表示1和6的两点之间的距离是|6﹣1|＝5，数轴上表示2和﹣3的两点之间的距离是|2﹣（﹣3）|＝5．（2）数轴上若点A表示的数是x，点B表示的数是﹣4，则点A和B之间的距离是|x+4|，若|AB|＝3，则|x+4|＝3，解得x＝﹣1或﹣7．（3）当x＞1时，|x+2|+|x﹣1|＝x+2+x﹣1＝7，2x＝6，x＝3，当x＜﹣2时，|x+2|+|x﹣1|＝﹣x﹣2+1﹣x＝7，﹣2x＝8，x＝﹣4，当﹣2≤x≤1时，|x+2|+|x﹣1|＝x+2+1﹣x＝3≠7，∴当x＝﹣4或3时，代数式|x+2|+|x﹣1|＝7．（4）设运动t秒后，有一点恰好是另两点所连线段的中点，由题意，得①点B为线段PQ中点时，，解得，②点P为线段BQ中点时，，解得，③点Q为线段BP中点时，，解得t＝5．答：运动或或5秒后，B、P、Q三点中，有一点恰好是另两点所连线段的中点．15．（宣化）阅读下面的文字，解答问题．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能完全地写出来，于是小明用﹣1来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分．请解答下列问题：（1）求出+2的整数部分和小数部分；（2）已知：10+＝x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，请你求出（x﹣y）的相反数．【答案】（1）3，﹣1 （2）﹣14【解答】解：（1）∵1＜＜2，∴3＜+2＜4，∴+2的整数部分是1+2＝3，+2的小数部分是﹣1；（2）∵2＜＜3，∴12＜10+＜13，∴10+的整数部分是12，10+的小数部分是10+﹣12＝﹣2，即x＝12，y＝﹣2，∴x﹣y＝12﹣（﹣2）＝12﹣+2＝14﹣，则x﹣y的相反数是﹣14．16．（靖江）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），若点Q的坐标为（ax+y，x+ay），则称点Q是点P的“a阶派生点”（其中a为常数，且a≠0）．例如：点P（1，4）的“2阶派生点”为点Q（2×1+4，1+2×4），即点Q（6，9）．（1）若点P的坐标为（﹣1，5），则它的“3阶派生点”的坐标为；（2）若点P的“5阶派生点”的坐标为（﹣9，3），求点P的坐标；（3）若点P（c+1，2c﹣1）先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到了点P1．点P1的“﹣4阶派生点”P2位于坐标轴上，求点P2的坐标．【答案】（1）（2，14）（2）（﹣2，1）；（3）（0，﹣15）或（，0）．【解答】解：（1）3×（﹣1）+5＝2；﹣1+3×5＝14，∴点P的坐标为（﹣1，5），则它的“3级派生点”的坐标为（2，14）．故答案为：（2，14）；（2）设点P的坐标为（a，b），由题意可知，解得：，∴点P的坐标为（﹣2，1）；（3）由题意，P1（c﹣1，2c），∴P1的“﹣4阶派生点“P2为：（﹣4（c﹣1）+2c，c﹣1﹣8c），即（﹣2c+4，﹣7c﹣1），∵P2在坐标轴上，∴﹣2c+4＝0或﹣7c﹣1＝0，∴c＝2或c＝﹣，∴P2（0，﹣15）或（，0）．17．（黄山）在平面直角坐标系xOy中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到x、y轴的距离中的最大值等于点Q到x、y轴的距离中的最大值，则称P，Q两点为“等距点”．下图中的P，Q两点即为“等距点”．（1）已知点A的坐标为（﹣3，1），①在点E（0，3），F（3，﹣3），G（2，﹣5）中，为点A的“等距点”的是；②若点B的坐标为B（m，m+6），且A，B两点为“等距点”，则点B的坐标为；（2）若T1（﹣1，﹣k﹣3），T2（4，4k﹣3）两点为“等距点”，求k的值．【答案】（1）①E、F；②（﹣3，3）；（2）1或2【解答】解：（1）①∵点A（﹣3，1）到x、y轴的距离中最大值为3，∴与A点是“等距点”的点是E、F．②当点B坐标中到x、y轴距离其中至少有一个为3的点有（3，9）、（﹣3，3）、（﹣9，﹣3），这些点中与A符合“等距点”的是（﹣3，3）．故答案为①E、F；②（﹣3，3）；（2）T1（﹣1，﹣k﹣3），T2（4，4k﹣3）两点为“等距点”，①若|4k﹣3|≤4时，则4＝﹣k﹣3或﹣4＝﹣k﹣3解得k＝﹣7（舍去）或k＝1．②若|4k﹣3|＞4时，则|4k﹣3|＝|﹣k﹣3|解得k＝2或k＝0（舍去）．根据“等距点”的定义知，k＝1或k＝2符合题意．即k的值是1或2．18．（延长）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过点A（8，6）分别作x轴、y轴的平行线，交y轴于点B，交x轴于点C，点P是从点B出发，沿B→A→C以2个单位长度/秒的速度向终点C运动的一个动点，运动时间为t（秒）．（1）直接写出点B和点C的坐标B（，）、C（，）；（2）当点P运动时，用含t的式子表示线段AP的长，并写出t的取值范围；（3）点D（2，0），连接PD、AD，在（2）条件下是否存在这样的t值，使S△APD＝S，若存在，请求出t值，若不存在，请说明理由．四边形ABOC【答案】（1）0、6，8、0 （2）AP＝8﹣2t（0≤t＜4）；AP＝2t﹣8（4≤t≤7）．（3）当t为3秒和5秒时S△APD＝S四边形ABOC【解答】解：（1）B（0，6），C（8，0），故答案为：0、6，8、0；（2）当点P在线段BA上时，由A（8，6），B（0，6），C（8，0）可得：AB＝8，AC＝6∵AP＝AB﹣BP，BP＝2t，∴AP＝8﹣2t（0≤t＜4）；当点P在线段AC上时，∵AP＝点P走过的路程﹣AB＝2t﹣8（4≤t≤7）．（3）存在两个符合条件的t值，当点P在线段BA上时∵S△APD＝AP•AC S四边形ABOC＝AB•AC∴（8﹣2t）×6＝×8×6，解得：t＝3＜4，当点P在线段AC上时，∵S△APD＝AP•CD CD＝8﹣2＝6∴（2t﹣8）×6＝×8×6，解得：t＝5＜7，综上所述：当t为3秒和5秒时S△APD＝S四边形ABOC，19．（齐齐哈尔）如图①，在平面直角坐标系中，点A、B在x轴上，AB⊥BC，AO＝OB＝2，BC＝3（1）写出点A、B、C的坐标．（2）如图②，过点B作BD∥AC交y轴于点D，求∠CAB+∠BDO的大小．（3）如图③，在图②中，作AE、DE分别平分∠CAB、∠ODB，求∠AED的度数．【答案】（1）A（﹣2，0），B（2，0），C（2，3）；（2）90°（3）45°【解答】解：（1）依题意得：A（﹣2，0），B（2，0），C（2，3）；（2）∵BD∥AC，∴∠ABD＝∠BAC，∴CAB+∠BDO＝∠ABD+∠BDO＝90°；（3）：∵BD∥AC，∴∠ABD＝∠BAC，∵AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB，∴∠CAE+∠BDE＝（∠BAC+∠BDO）＝（∠ABD+∠BDO）＝×90°＝45°，过点E作EF∥AC，则∠CAE＝∠AEF，∠BDE＝∠DEF，∴∠AED＝∠AEF+∠DEF＝∠CAE+∠BDE＝45°．20．（随县）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（4，0），C（4，3）三点．（1）求△ABC的面积；（2）如果在第二象限内有一点P（m，1），且四边形ABOP的面积是△ABC的面积的两倍；求满足条件的P点坐标．【答案】（1）6（2）P（﹣8，1）【解答】解：（1）∵B（4，0），C（4，3），∴BC＝3，∴S△ABC＝×3×4＝6；（2）∵A（0，2）（4，0），∴OA＝2，OB＝4，∴S四边形ABOP＝S△AOB+S△AOP＝×4×2+×2（﹣m）＝4﹣m，又∵S四边形ABOP＝2S△ABC＝12，∴4﹣m＝12，解得：m＝﹣8，∴P（﹣8，1）．。

【2022春人教版七下数学压轴题突破专练】专题02 实数一．选择题1．（2021秋•平谷区校级期中）下列说法正确的是（）A．都是无理数B．无理数包括正无理数、零、负无理数C．数轴上的点表示的数是有理数D．绝对值最小的数是0【思路引导】各式利用实数与数轴，算术平方根，无理数的意义以及绝对值的代数意义，逐一判断即可．【完整解答】解：A、，是无理数，＝2是有理数，不符合题意；B、无理数包括正无理数、负无理数，0是有理数，不符合题意；C、数轴上的点表示的数可以是有理数，也可以是无理数，例如：π，不符合题意；D、任何数的绝对值都是非负数，所以绝对值最小的数是0，符合题意；故选：D．【考察注意点】本题考查了实数与数轴，算术平方根，无理数的意义以及绝对值的代数意义，学生必须熟练掌握才能做出正确的判断．2．（2021秋•介休市期中）下列各数中，属于无理数的是（）A．B．πC．0 D．0.7654321 【思路引导】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【完整解答】解：A、，是分数，属于有理数，故本选项不合题意；B、π是无理数，故本选项符合题意；C、0是整数，属于有理数，故本选项不合题意；D、0.7654321是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；故选：B．【考察注意点】此题考查了无理数的定义．解题的关键是掌握无理数的定义，注意初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．3．（2021秋•东城区校级期中）实数a、b、c、d在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A．ac＞0 B．|b|＜|c| C．b+d＞0 D．a＞﹣d【思路引导】由数轴可知a＜b＜0＜c＜d，再对选项进行判断即可．【完整解答】解：由数轴可知：a＜b＜0＜c＜d，∴ac＜0，∴A不符合题意；∵|b|＞|c|，∴B不符合题意；∵|b|＜|d|，∴b+d＞0，∴C符合题意；∵﹣d＞a，∴a＜﹣d∴D不符合题意；故选：C．【考察注意点】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特点，实数的运算是解题的关键．4．（2021秋•通川区校级月考）下列各式中正确的是（）A．B．C．D．【思路引导】根据算术平方根、立方根的意义对每个选项逐个分析，即可得出答案．【完整解答】解：∵＝8，∴选项A不符合题意；∵，∴选项B不符合题意；∵，∴选项C符合题意；∵，∴选项D不符合题意；故选：C．【考察注意点】本题考查了实数的运算，掌握平方根、算术平方根、立方根的定义是解决问题的关键．5．（2021秋•诸暨市期中）已知数a，b，c的大小关系如图，下列说法：①ab+ac＞0；②﹣a﹣b+c＜0；③；④|a﹣b|+|c+b|﹣|a﹣c|＝﹣2b；⑤若x为数轴上任意一点，则|x﹣b|+|x﹣a|的最小值为a﹣b．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【思路引导】首先判断出b＜0，c＞a＞0，|c|＞|b|＞|a|，再根据有理数的大小比较法则，绝对值的性质等知识一一判断即可．【完整解答】解：由题意b＜0，c＞a＞0，|c|＞|b|＞|a|，则①ab+ac＞0，故原结论正确；②﹣a﹣b+c＞0，故原结论错误；③++＝1﹣1+1＝1，故原结论错误；④|a﹣b|+|c+b|﹣|a﹣c|＝a﹣b+c+b﹣（﹣a+c）＝2a，故原结论错误；⑤当b≤x≤a时，|x﹣b|+|x﹣a|的最小值为a﹣b，故原结论正确．故正确结论有2个．故选：B．【考察注意点】本题考查了数轴和实数的大小比较，利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．6．（2021春•福田区校级期中）对于实数a和b，定义两种新运算：①a*b＝（|a﹣b|+a+b），②a⊗b＝a11b，则（5⊗3）*（3⊗5）＝（）A．355B．533C．533﹣355D．533+355【思路引导】直接利用根据新定义进而将原式变形得出答案．【完整解答】解：（5⊗3）*（3⊗5）＝533*355＝（|533﹣355|+533+355）＝（355﹣533+533+355）＝×2×355＝355．故选：A．【考察注意点】此题主要考查了实数运算，正确将原式变形是解题关键．7．（2021春•红谷滩区校级期中）下列说法正确的是（）A．实数可分为有理数和无理数B．无限小数都是无理数C．只有0的立方根是它本身D．1的任何次方根都是1【思路引导】A选项根据实数的分类进行判断；B选项，根据无限不循环小数叫无理数进行判断；C选项考虑1和﹣1；D选项，根据一个正数的平方根有两个进行判断．【完整解答】解：A．有理数和无理数统称为实数，符合题意；B．无限循环小数是有理数，无限不循环小数是无理数，不符合题意；C．立方根是它本身的数还有±1，不符合题意；D．例如1的平方根是±1，不符合题意．故选：A．【考察注意点】本题考查实数的分类，无理数的定义，立方根，平方根的性质，解题的关键是熟记这些基础知识，对于选择题，只要能举出一个反例就可以证明这个选项不对．8．（2021春•泰州月考）正方形ABCD在数轴上的位置如图所示，点D，A对应的数分别为0和1，若正方形ABCD绕顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2；按此规律继续翻转下去，则数轴上数2020所对应的点是（）A．点A B．点B C．点C D．点D【思路引导】由题意可知转一周后，A、B、C、D分别对应的点为1、2、3、4，可知其四次一循环，由次可确定出2020所对应的点．【完整解答】解：当正方形在转动第一周的过程中，1所对应的点是A，2所对应的点是B，3所对应的点是C，4所对应的点是D，∴四次一循环，∵2020÷4＝505，∴2020所对应的点是D．故选：D．【考察注意点】本题主要考查实数与数轴以及正方形的性质，确定出点的变化规律是解题的关键．9．（2021秋•诸暨市期中）若9﹣的整数部分为a，小数部分为b，则2a+b等于（）A．12﹣B．13﹣C．14﹣D．15﹣【思路引导】先估算的大小，再估算9﹣的大小，进而确定a、b的值，最后代入计算即可．【完整解答】解：∵3＜＜4，∴﹣4＜﹣＜﹣3，∴5＜9﹣＜6，又∵9﹣的整数部分为a，小数部分为b，∴a＝5，b＝9﹣﹣5＝4﹣，∴2a+b＝10+（4﹣）＝14﹣，故选：C．【考察注意点】本题考查估算无理数，掌握无理数估算的方法是解决问题的前提，理解无理数的整数部分和小数部分的表示方法是得出正确答案的关键．二．填空题10．（2021秋•济宁期末）已知a是的整数部分，b是它的小数部分，则（﹣a）3+（b+3）2＝﹣17 ．【思路引导】由于3＜＜4，由此可得的整数部分和小数部分，再进一步代入求得数值即可．【完整解答】解：∵3＜＜4，∴的整数部分＝3，小数部分为﹣3，则（﹣a）3+（b+3）2＝（﹣3）3+（﹣3+3）2＝﹣27+10＝﹣17．故答案为：﹣17．【考察注意点】此题主要考查了无理数的估算和代数式求值，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．11．（2021秋•渝中区校级月考）已知实数a、b与c在数轴上的对应位置如图所示，则下列说法中：①abc＞0；②（c+1）2＞1；③|c﹣a|＜2；④（b+1）×（c﹣1）＜﹣2，正确的是（填序号）：③④．【思路引导】根据有理数的乘法法则判断①；根据两点间的距离判断②，③；通过特殊值判断④．【完整解答】解：∵a＞0，b＞0，c＜0，∴abc＜0，故①不符合题意；∵两点间的距离|c﹣（﹣1）|＜1，∴（c+1）2＜1，故②不符合题意；两点间距离|c﹣a|＜2，故③符合题意；不妨设b＝1.5，c＝﹣0.5，则（b+1）×（c﹣1）＝2.5×（﹣1.5）＝﹣3.75＜﹣2，故④符合题意；故答案为：③④．【考察注意点】本题考查了实数与数轴，绝对值，两点间的距离，掌握在数轴上两点间的距离等于这两个点表示的数的差的绝对值是解题的关键．12．（2021秋•吉安期中）对任意两实数a、b，定义运算“*”如下：a*b＝．根据这个规则，则方程2*x＝12的解为x＝﹣或x＝．【思路引导】分x≤2和x＞2列出对应方程，再进一步解方程求出符合条件的x的值即可得．【完整解答】解：①若x≤2，则x2＝12，解得x＝﹣或x＝（舍去）；②若x＞2，则x2+2＝12，解得x＝或x＝﹣（舍去）；综上，x＝﹣或x＝．故答案为：x＝﹣或x＝．【考察注意点】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．13．（2020秋•重庆期末），，，…，，其中n为正整数，则的值是．【思路引导】先求出a1，a2，a3，a n的值，代入原式利用算术平方根和公式进行化简与计算，即可求解．【完整解答】解：∵，，，，∴，＝，＝，＝，＝，＝．故答案为．【考察注意点】本题考查数式规律问题、算术平方根、有理数的加减混合运算等知识点，解题的关键是用裂项法将分数进行化简与计算．14．（2021春•天心区月考）已知≈5.03587，≈15.92482，则≈503.587 （结果保留3位小数）．【思路引导】根据算术平方根的定义，被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就相应地向左或向右移动1位，进行解答即可．【完整解答】解：，＝，＝×，＝5.03587×100，＝503.587．故答案为：503.587．【考察注意点】此题考查了算术平方根的定义，掌握算术平方根的定义是本题的关键．15．（2019•沙坪坝区校级开学）设m＝，那么m+的整数部分是 2 ．【思路引导】根据2＜＜3，可得答案．【完整解答】解：m+＝＝＝．∵2＜＜2.5，∴12＜6＜15，∴2＜m+＝＜3，故答案为：2．【考察注意点】本题考查了估算无理数的大小，利用算术平方根越大被开方数越大得出2＜＜3是解题关键．16．（2016秋•龙泉驿区期末）在实数的原有运算法则中我们定义一个新运算“★”如下：x ≤y时，x★y＝x2；x＞y时，x★y＝y．则当z＝﹣3时，代数式（﹣2★z）•z﹣（﹣4★z）的值为﹣7 ．【思路引导】原式利用题中的新定义计算即可求出值．【完整解答】解：根据题中的新定义得：当z＝﹣3时，原式＝（﹣2）★（﹣3）×（﹣3）﹣（﹣4）★（﹣3）＝9﹣16＝﹣7，故答案为：﹣7【考察注意点】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．17．（2021秋•三元区期中）对于任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]＝4，[]＝1．现对72进行如下操作：72[]＝8[]＝2[]＝1，类似地，只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255 ．【思路引导】根据规律可知，最后的取整是1，得出前面的一个数字最大是3，再向前一步推取整是3的最大数为15，继续会得到取整是15的最大数为255；反之验证得出答案即可．【完整解答】解：∵[]＝1，[]＝3，[]＝15；所以只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255．故答案为：255．【考察注意点】本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的阅读能力和逆推思维能力．18．（2020秋•新华区校级月考）正方形ABCD在数轴上的位置如图所示，点D、A对应的数分别为0和1，若正方形ABCD绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2；则翻转2019次后，数轴上数2019所对应的点是C.（填A、B、C、D中一个字母）【思路引导】根据正方形翻转落在数轴上的顶点表示的数解决此题．【完整解答】解：经分析知：每翻转4次，正方形相对于数轴的方位与未翻转时一致．∵2019÷4＝504…3，∴2019所对应的点是C．故答案为：C．【考察注意点】本题主要考查数轴上的点表示的数，掌握本题正方形翻转落在数轴上的顶点表示的数是解决本题的关键．三．解答题19．（2021秋•房山区期末）计算：﹣+÷﹣．【思路引导】首先计算开方，然后计算除法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．【完整解答】解：﹣+÷﹣＝3﹣3+﹣＝﹣3【考察注意点】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．20．（2020秋•高州市期末）在数轴上，点A、B分别对应实数﹣10和25，点M从A点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动；点N从A点以每秒7个单位长度的速度向右匀速运动；M，N两点到达B点后均停止运动；若点M出发1秒后点N才出发．（1）点N出发后需要多长时间才追上点M？（2）从点M出发开始到点M停止运动期间，何时M、N两点之间的距离刚好为1个单位长度？【思路引导】（1）设点N追上点M需要x秒，然后根据点N与点M的运动的路程相等列出方程即可解答．（2）分四种情况讨论，①点M出发后，点N出发前，②点N出发后，点N追上动点M之前，③点N追上点M之后，④点N到达B点停止运动后，点M继续运动在到达B点前．【完整解答】解：（1）设点N追上点M需要x秒，根据题意得：7x＝5（x+1），解得：x＝2.5，答：点N追上点M需要2.5秒；（2）要分四种情况讨论：设点M出发t秒后，M、N两点之间的距离刚好为1个单位长度，①当点M出发不到1秒，点N还未出发时，M、N两点间距离为1，由题意得5t＝1，解得t＝0.2，②当点M出发1秒后，点N追上动点M之前，M、N两点间距离为1，由题意得：5t﹣1＝7（t﹣1），解得：t＝3，③当点M出发1秒后，点N追上点M之后，M、N两点间距离为1，由题意得：5t+1＝7（t﹣1），解得：t＝4，④当点N到达B点停止运动后，M、N两点间距离为1，由题意得：|25﹣（﹣10）|÷7＝5，5t＝|25﹣（﹣10）|﹣1，解得：t＝6.8＞5，答：动点M出发0.2秒或3秒或4秒或6.8秒时，M、N两点之间的距离刚好为1个单位长度．【考察注意点】本题考查了实数与数轴，一元一次方程的应用，分四种情况讨论是解题的关键．21．（2019秋•松滋市期末）如图1，在数轴上A、B两点对应的数分别是6，﹣6，∠DCE＝90°（C与O重合，D点在数轴的正半轴上）（1）如图1，若CF平分∠ACE，则∠AOF＝45°；（2）如图2，将∠DCE沿数轴的正半轴向右平移t（0＜t＜3）个单位后，再绕顶点C逆时针旋转30t度，作CF平分∠ACE，此时记∠DCF＝α．①当t＝1时，α＝30°；②猜想∠BCE和α的数量关系，并证明；（3）如图3，开始∠D1C1E1与∠DCE重合，将∠DCE沿数轴正半轴向右平移t（0＜t＜3）个单位，再绕顶点C逆时针旋转30t度，作CF平分∠ACE，此时记∠DCF＝α，与此同时，将∠D1C1E1沿数轴的负半轴向左平移t（0＜t＜3）个单位，再绕顶点C1顺时针旋转30t 度，作C1F1平分∠AC1E1，记∠D1C1F1＝β，若α，β满足|α﹣β|＝45°，请用t的式子表示α、β并直接写出t的值．【思路引导】（1）根据角平分线的定义进行计算便可；（2）①根据∠FCD＝∠ACF﹣∠ACD，求出∠ACF，∠ACD即可；②猜想：∠BCE＝2α．根据∠BCE＝∠AOB﹣∠ECD﹣∠ACD计算即可；（3）求出α，β（用t表示），构建方程即可解决问题．【完整解答】（1）∵CF平分∠ACE，∴∠AOF＝∠AOE＝45°，故答案为：45°；（2）①∵t＝1，∴∠ACD＝30t＝30°，∵∠DCE＝90°，∴∠ACE＝120°，∵CF平分∠ACE，∴∠ACF＝60°，∵∠DCF＝α，∴α＝∠ACF﹣∠ACD＝30°，故答案为：30°；②∠BCE＝2α，证明：∠BCE＝180°﹣（90°+30t）＝90°﹣30t由平分知：90°﹣α＝α+30t30t＝90°﹣2α∴∠BCE＝90°﹣（90°﹣2α）＝2α；（3）α＝∠FCA﹣∠DCA＝（90°+30t）﹣30t＝45°﹣15t，β＝∠AC1D1+∠AC1F1＝30t+（90°﹣30t）＝45°+15t，∵|α﹣β|＝45°，∴|30t|＝45°，∴t＝±，∵0＜t＜3，∴t＝．【考察注意点】本题考查角的计算、角平分线的定义、数轴、平移、旋转变换等知识，解题的关键是熟练掌握角的和差定义，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题．22．（2021春•和县期末）如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为9和6，（1）小正方形边长的值在哪两个连续的整数之间？与哪个整数较接近？（直接写结果）（2）求图中阴影部分的面积．（3）若小正方形边长的值的整数部分为x，小数部分为y，求（y﹣）x的值．【思路引导】（1）根据算术平方根可得小正方形的边长，估算在2和3之间；（2）根据有理数的乘方求出两个正方形的面积，然后根据阴影部分的面积的和为一个矩形的面积列式计算即可得解；（3）根据小正方形边长为，估算出x和y的值，再代入求值即可．【完整解答】解：（1）∵小正方形的面积为6，∴小正方形的边长为，∵4＜6＜9，∴2＜＜3，∴小正方形的边长在2和3之间；与整数2比较接近．（2）∵阴影部分的面积的和为一个长为，宽为（3﹣）的矩形面积，∴阴影部分的面积＝．（3）∵小正方形的边长为，∴x＝2，y＝，∴原式＝＝4．【考察注意点】考查列代数式、无理数的估算和算术平方根问题，得到两个正方形的边长是解决本题的关键．23．（2021秋•兰州期末）如图，已知点A、B是数轴上两点，O为原点，AB＝12，点B表示的数为4，点P、Q分别从O、B同时出发，沿数轴向不同的方向运动，点P速度为每秒1个单位，点Q速度为每秒2个单位，设运动时间为t，当PQ的长为5时，求t的值及AP 的长．【思路引导】根据题意可以分两种情况，然后根据题意和数轴即可解答本题．【完整解答】解：∵AB＝12，0B＝4，∴OA＝8，当P向左，Q向右时，t+2t＝5﹣4，得t＝，此时，OP＝，AP＝8﹣＝；当P向右，Q向左时，t+2t＝5+4，得t＝3，此时，OP＝3，AP＝8+3＝11．【考察注意点】本题考查实数与数轴，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用分类讨论的数学思想解答．24．（2021春•岳麓区月考）如图1，数轴上O点与C点对应的数分别是0、90（单位：单位长度），将一根质地均匀的直尺AB放在数轴上（A在B的左边），若将直尺在数轴上水平移动，当点A移动到点B的位置时，B与C重合；当点B移动到点A的位置时，A与O重合．（1）直尺AB的长为30 个单位长度．（2）若直尺AB在数轴上移动，且满足BC＝5OA，请借助图2求此时点A对应的数；（3）如图3，在数轴前面放一个以OC为边不透明的长方形挡板，将直尺AB放在挡板后数轴上的某处（看不到直尺的任何部分，A在B的左边），将直尺AB沿数轴以5个单位/秒的速度分别向左、向右移动，直到直尺完全被看到．①若向左移动所经历时间是向右移动所经历时间的2倍，求直尺起初放置时点A对应的数为多少？②若不透明的挡板与直尺AB同时出发，挡板沿数轴以1个单位/秒的速度向右移动，当点A对应的数为多少时，向左、向右移动所经历的时间相差2秒？【思路引导】（1）线段OA、AB、BC长度相等以及线段OC的长度，求出线段AB的长度；（2）需对直尺AB与点O、点C的位置进行分类讨论，表示出线段BC与OA的长度，利用方程求点A表示的数；（3）①由“速度×时间＝路程”，结合线段长度求A对应的数；②利用追击问题和相遇问题，求点A表示的数．【完整解答】解：（1）∵将直尺在数轴上水平移动，当点A移动到点B的位置时，B与C 重合；当点B移动到点A的位置时，A与O重合，∴OC＝3OA＝3AB＝3BC，∵O点与C点对应的数分别是0、90，∴OC＝90，∴AB＝OA＝BC＝30（单位长度），故答案为：30．（2）设点A表示的数为x，则：点B表示的数为（30+x），①如图（1），当点A在点O左侧时，OA＝﹣x，BC＝90﹣（30+x）＝60﹣x，∵BC＝5OA，∴60﹣x＝﹣5x，解得：x＝﹣15，∴点A表示的数为﹣15．②如图（2），当点A在点O右侧，点B在点C左侧时，OA＝x，BC＝60﹣x，∵BC＝5OA，∴60﹣x＝5x，解得：x＝10，∴点A表示的数为10．③如图（3），当点B在点C右侧时，很显然，OA＞BC，∴BC＝5OA不成立．综上所述：当点A对应的数为﹣15或10时，BC＝5OA．（3）①∵向左、向右移动的速度相同，向左的时间是向右时间的2倍，∴向左的路程是向右路程的2倍，即：OB＝2AC，设OB＝2a，AC＝a，则：2a+a﹣30＝90，解得：a＝40，∴OB＝80，∴OA＝80﹣30＝50，∴点A表示的数为50．②设点A对应的数为m，点B对应的数为（m+30），则：OA＝m，BC＝60﹣m，（i）当左移时间大于右移时间时，，解得：m＝46.8，（ii）当左移时间小于右移时间时，，解得：m＝37.2，综上所述：点A对应的数为46.8或37.2时，右移和左移时间相差2秒．【考察注意点】本题以数轴为背景，主要考查了学生对行程问题中追及问题和相遇问题的掌握情况．在解题的时候要注意直尺平移方向的不同，会有不同的结果，要求学生学会分类讨论．注意在用数轴上的数表示线段长度的时候要注意数字的大小，不知道大小的时候可以用绝对值表示．例如，点A表数a，点B表示数b，则AB＝|a﹣b|．25．（2020秋•广安期末）点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，例如：数轴上表示﹣1与﹣2的两点间的距离＝|﹣1﹣（﹣2）|＝﹣1+2＝1；而|x+2|＝|x﹣（﹣2）|，所以|x+2|表示x与﹣2两点间的距离．利用数形结合思想回答下列问题：（1）数轴上表示﹣2和5两点之间的距离7 ．（2）若数轴上表示点x的数满足|x﹣1|＝3，那么x＝﹣2或4 ．（3）若数轴上表示点x的数满足﹣4＜x＜2，则|x﹣2|+|x+4|＝ 6 ．【思路引导】（1）根据两点间的距离公式计算可得；（2）由|x﹣1|＝3表示的意义为：在数轴上到表示1和x的点的距离为3，据此解答可得；（3）由|x﹣2|+|x+4|表示在数轴上表示x的点到﹣4和2的点的距离之和，且x位于﹣4到2之间，据此解答可得．【完整解答】解：（1）根据题意知数轴上表示﹣2和5两点之间的距离为5﹣（﹣2）＝7，故答案为：7；（2）∵|x﹣1|＝3，即在数轴上到表示1和x的点的距离为3，∴x＝﹣2或x＝4，故答案为：﹣2或4；（3）∵|x﹣2|+|x+4|表示在数轴上表示x的点到﹣4和2的点的距离之和，且x位于﹣4到2之间，∴|x﹣2|+|x+4|＝2﹣x+x+4＝6，故答案为：6．【考察注意点】本题考查了整式的加减，数轴，利用了两点间的距离公式，线段上的点到线段的两端点的距离的和等于线段的距离．26．（2021春•罗湖区校级期末）如图，动点M、N同时从原点出发沿数轴做匀速运动，已知动点M、N的运动速度比是1：2（速度单位：1个单位长度/秒），设运动时间为t秒．（1）若动点M向数轴负方向运动，动点N向数轴正方向运动，当t＝2秒时，动点M运动到A点，动点N运动到B点，且AB＝12（单位长度）．①在直线l上画出A、B两点的位置，并回答：点M运动的速度是 2 （单位长度/秒）；点N运动的速度是 4 （单位长度/秒）．②若点P为数轴上一点，且PA﹣PB＝OP，求的值；（2）由（1）中A、B两点的位置开始，若M、N同时再次开始按原速运动，且在数轴上的运动方向不限，再经过几秒，MN＝4（单位长度）？【思路引导】（1）①把A、B两点表示在数轴上，计算出M、N两点的速度即可；②设点P在数轴上对应的数为x，根据PA﹣PB＝OP，分x的范围求出所求即可；（2）设再经过m秒，可得MN＝4（单位长度），分M与N同向与反向求出所求即可．【完整解答】解：（1）①画出数轴，如图所示：可得点M运动的速度是2（单位长度/秒）；点N运动的速度是4（单位长度/秒）；故答案为：2，4；②设点P在数轴上对应的数为x，∵PA﹣PB＝OP≥0，∴x≥2，当2≤x≤8时，PA﹣PB＝（x+4）﹣（8﹣x）＝x+4﹣8+x，即2x﹣4＝x，此时x＝4；当x＞8时，PA﹣PB＝（x+4）﹣（x﹣8）＝12，此时x＝12，则＝或1；（2）设再经过m秒，可得MN＝4（单位长度），若M、N运动的方向相同，要使得MN＝4，必为N追击M，∴|（8﹣4m）﹣（﹣4﹣2m）|＝4，即|12﹣2m|＝4，解得：m＝4或m＝8；若M、N运动方向相反，要使得MN＝4，必为M、N相向而行，∴|（8﹣4m）﹣（﹣4+2m）|＝4，即|12﹣6m|＝4，解得：m＝或m＝，综上，m＝4或m＝8或m＝或m＝．【考察注意点】此题考查了实数与数轴，弄清题意是解本题的关键．27．（2020秋•东台市期末）【背景知识】数轴是初中数学学习的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律，例如：若数轴上点A，B 分别对应数a，b．则A，B两点之间的距离为AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为．【问题情境】如图，数轴上点A，B分别对应数a，b．其中a＜0，b＞0．【综合运用】（1）当a＝﹣8，b＝2时，线段AB的中点对应的数是﹣3 ；（2）若该数轴上另有一点N对应着数n．①在（1）的条件下，若点N在点A，B之间，且满足NA﹣NB＝8NO，则数n是1或；②当n＝﹣3，a＜﹣3，且AN＝4BN时，求代数式a+4b+16的值；③当b＝3，且BN＝3AN时，小林演算发现代数式4n﹣3a是一个定值．老师点评：你的演算发现还不完整！请通过演算解释：为什么“小林的演算发现”是不完整的？【思路引导】（1）根据中点公式代入即可；（2）①用含n的代数式表示出NA、NB和NO，再列方程即可；②依题意得AN＝﹣3﹣a，BN＝b+3，再由AN＝4BN可得a与b的关系式，进而可得答案；③分a＜n＜b和n＜a两种情况，分别列方程整理可得结论．【完整解答】解：（1）＝﹣3；故答案为：﹣3；（2）①依题意得：NA＝n+8，NB＝2﹣n，NO＝|n|，因为NA﹣NB＝8NO，所以（n+8）﹣（2﹣n）＝8|n|，解得n＝1或．故答案为：1或；②当n＝﹣3，a＜﹣3时，AN＝﹣3﹣a，BN＝b+3，∵AN＝4BN，∴﹣3﹣a＝4（b+3），∴a+4b＝﹣15，∴a+4b+16＝﹣15+16＝1．③∵BN＝3AN，∴n＜b．则有以下两种情况：当a＜n＜b时：AN＝n﹣a，BN＝3﹣n，有：3﹣n＝3（n﹣a），即：4n﹣3a＝3，∴代数式4n﹣3a是一个定值；当n＜a时：AN＝a﹣n，BN＝3﹣n，有：3﹣n＝3（a﹣n），即：3a﹣2n＝3．∴代数式3a﹣2n也是一个定值．综上所述：“小林的演算发现”是不完整的．【考察注意点】本题考查线段的计算，掌握两点间的距离公式并会根据题意列代数式是解题关键．28．（2021春•阿荣旗期末）阅读理解．∵＜＜，即2＜＜3．∴1＜﹣1＜2∴﹣1的整数部分为1，∴﹣1的小数部分为﹣2．解决问题：已知a是﹣3的整数部分，b是﹣3的小数部分．（1）求a，b的值；（2）求（﹣a）3+（b+4）2的平方根，提示：（）2＝17．【思路引导】（1）根据被开方数越大算术平方根越大，可得a，b的值，（2）根据开平方运算，可得平方根．【完整解答】解：（1）∴＜＜，∴4＜5，∴1＜﹣3＜2，∴a＝1，b＝﹣4；（2）（﹣a）3+（b+4）2＝（﹣1）3+（﹣4+4）2＝﹣1+17＝16，∴（﹣a）3+（b+4）2的平方根是±＝±4．【考察注意点】本题考查了估算无理数的大小，利用被开方数越大算术平方根越大得出4＜5是解题关键。