2014年春季新版华东师大版八年级数学下学期17.3.1、一次函数教案

正比例函数图像认识正比例函数的意义,掌握正比例函数解析式特点.能利用正比例函数知识解决相关实际问题.通过对实际问题的解决,亲身感受数学来源于生活,体会在学习中与同学合作交流获得成功的喜悦,增强学习的自信心.【重点】理解正比例函数意义及解析式特点.【难点】正比例函数的解析式的求法.【教师准备】教学中出示的例题和备选习题.【学生准备】预习本节内容.导入一:2011年开始运营的京沪高速铁路全长1318 km.设列车平均速度为300 km/h.考虑以下问题:(1)乘京沪高铁列车,从始发站北京南站到终点站海虹桥站,约需多少小时(结果保留小数点后一位)?(2)京沪高铁列车的行程y(单位:km)与运行时间t(单位:h)之间有何数量关系?(3)京沪高铁列车从北京南站出发2.5 h后,是否已经过了距始发站1100 km的南京南站?学生先独立思考上面提出的问题,再以小组为单位进行交流.教师解析:(1)1318÷300≈4.4(h).(2)y=300t.(3)y=300×2.5=750(km),故列车尚未到达距始发站1100 km的南京南站.y=300t中,变量和常量分别是什么?其对应关系是函数关系吗?谁是自变量,谁是函数?自变量与常量按什么运算符号连接起来的?由此引出今天学习的课题:正比例函数.[设计意图]通过这一环节,让学生体会到正比例函数来源于生活实际,通过实例引入,激发学生学习数学的兴趣.导入二:一九九六年,鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥(候鸟)套上标志环.4个月零1周后人们在2.56万千米外的澳大利亚发现了它.1.这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行多少千米(精确到1千米)?2.这只燕鸥的行程y(千米)与飞行时间x(天)之间有什么关系?3.这只燕鸥飞行1个半月的行程大约是多少千米?学生在练习本上独立完成,有困难的小组讨论、交流.教师总结,全班讲评.一个月按30天计算,这只燕鸥平均每天飞行的路程不少于:25600÷(30×4+7)≈202(千米).若设这只燕鸥每天飞行的路程为202千米,那么它的行程y(千米)就是飞行时间x(天)的函数.函数解析式为y=202x(0≤x≤127).这只燕鸥飞行1个半月的行程,大约是x=45时函数y=202x的值.即:y=202×45=9090(千米).以上我们用y=202x对燕鸥在4个月零1周的飞行路程问题进行了刻画.尽管这只是近似的,但它可以作为反映燕鸥的行程与时间的对应规律的一个模型.类似于y=202x这种形式的函数在现实世界中还有很多.它们都具备什么样的特征呢?今天学习的课题:正比例函数.[设计意图]通过这一环节,使学生认识到数学总是与现实问题密不可分的,人们的需要产生数学.1.正比例函数概念思路一下列问题中的变量对应规律可用怎样的函数表示?(1)圆的周长l随半径r的大小变化而变化;(2)铁的密度为7.8 g/cm3,铁块的质量m(单位:g)随它的体积V(单位: cm3)的大小变化而变化;(3)每个练习本的厚度为0.5 cm,一些练习本摞在一起的总厚度h(单位:cm)随这些练习本的本数n的变化而变化;(4)冷冻一个0 ℃物体,使它每分下降2 ℃,物体的温度T(单位:℃)随冷冻时间t(单位:分)的变化而变化.学生先独立思考上面提出的问题,再以小组为单位进行交流.教师解析:(1)l=2πr;(2)m = 7.8V;(3)h=0.5 n;(4)T=-2t.引导学生认真观察以上出现的四个函数解析式,分别说出哪些是常数、自变量和函数.函数解析式常数自变量函数(1)l=2πr2πr l(2)m=7.8V7.8 V m(3)h=0.5n0.5 n h(4)T=-2t-2 t T提问:这些函数有什么共同点?学生观察这些函数关系式,发现这些函数都是常数与自变量乘积的形式,和y=300t,y=200x的形式一样.教师归纳:一般地,形如y=kx(k是常数,k≠0)的函数,叫做正比例函数,其中k叫做比例系数.[设计意图]由实际问题入手,设置情境问题,激发学生的兴趣,体会数学来源于生活,又应用于生活,让学生初步感受正比例函数在实际生活中的应用.思路二前面我们学习了函数的概念,学会了用描点法来画函数的图象,观察下列函数的解析式,发现它们有什么特点?(1)y=3x;(2)y=-6x;(3)y=x;(4)y=-x.师生共同分析:上述这些函数都是常数与自变量乘积的形式,我们把形如这样的函数叫做正比例函数.一般地,形如y=kx(k是常数,k≠0)的函数,叫做正比例函数,其中k叫做比例系数.教师强调:(1)常量:k,变量:x,y,自变量取值范围:全体实数;(2)正比例函数的函数y与自变量x之间就是正比例关系的量.[设计意图]通过观察所给函数的结构特点,让学生寻找这些函数具有的规律,让学生体会由特殊到一般来解决问题的方法.2.例题讲解(补充)下列式子,哪些表示y是x的正比例函数?如果是,请你指出正比例系数k的值.①y=;②y=;③y=-;④y=2x;⑤y=x2+1;⑥y=5x+2.〔解析〕观察所给的函数表达式,看是否满足正比例函数y=kx的形式来求解.解:①y=是正比例函数,正比例系数k=.④y=2x是正比例函数,正比例系数k=2.②,③,⑤,⑥都不是正比例函数.[设计意图]通过设计一组函数,让学生利用正比例函数的定义进行判断求解,帮助学生及时复习所学的概念.(补充)①若y=(k-1)x是正比例函数,则;②若y=2x m是正比例函数,则m=.③在函数y=(k-2)中,当k=时,为正比例函数.〔解析〕根据正比例函数定义,利用比例系数k≠0,或者x的指数为1列不等式或方程进行求解.①∵y=(k-1)x是正比例函数,∴k-1≠0,∴k≠1.②∵y=2x m是正比例函数,∴m=1.③∵函数y=(k-2)为正比例函数,∴∴k=-2.答案:①k≠1②1③-2[设计意图]通过设计一组填空题,让学生根据正比例函数的比例系数和未知数的指数来列不等式或方程来求字母的取值.(补充)若y与x-2成正比例关系,且x=4时,y=5.求y关于x的函数关系式.〔解析〕先根据y与x-2成正比例关系可设y=k(x-2),再把x=4时,y=5代入求出k的值即可.解:设y=k(x-2),则有k(4-2)=5,解得k=.所以y关于x的函数关系式为y=x-5.[设计意图]通过设计代数式之间成正比例关系,利用方程的思想进行求解,让学生更深刻理解正比例函数的定义.本节课学习了正比例函数的概念:形如y=kx(k是常数,k≠0)的函数,叫做正比例函数,其中k叫做比例系数;会用正比例函数定义来判断函数是否为正比例函数;并且会用正比例函数定义来求一些字母的取值;解题时注意:判定一个函数是否为正比例函数,要化简后再判断.1.下面四个小题中两个变量成正比例的是()A.儿童的身高和年龄B.等腰梯形的上底固定时,下底和面积C.圆柱的高和体积D.长方体的底面是边长为定值a的正方形,它的体积和高解析:儿童的身高与年龄不成正比例关系;由等腰梯形的面积公式、圆柱的体积公式可知B,C不正确;由题意知长方体的体积=a2×高,且a为定值,所以它的体积和高是成正比例的.故选D.2.若y=5x3m-2是正比例函数,则m=.解析:根据正比例函数定义,得3m-2=1,解得m=1.故填1.3.y=(k-2)x2+5x是正比例函数,则k的值为.解析:根据正比例函数定义,得k-2=0,解得k=2.故填2.4.下列式子,哪些表示y是x的正比例函数?如果是,请你指出正比例系数k的值.(1)y=-0.1x;(2)y=;(3)y=2x2; (4)y2=4x;(5)y=-4x+3; (6)y=2(x-2x2)+2x2.解:(1)表示y是x的正比例函数;正比例系数k=-0.1.(2)表示y是x的正比例函数;正比例系数k=.(3),(4),(5),(6)都不是正比例函数.5.如果y=kx(k≠0),当x=4时,y=2;那么x=-3时,y的值是多少?解:∵y=kx,当x=4时,y=2,∴4k=2,∴k=,∴y=x,∴当x=-3时,y=-.。

例1、
例2
4分钟
结合一次函数的概念播放幻灯片8、9、10、
认真思考、辨别一次函数的解析式
使学生体会一次函数的概出一次函数，再由一次函数解决实际问题，体现出数学的应用价值播放幻灯片11、12、13、
体会数学的实际用途，树立学数学，用数学的思想
以上练习，以学生分组竞赛的方式完成，看谁做得又快又对，教师巡视指导，对完成得好的小组或个人加以表扬鼓励。
教学环境
□DVD+TV□教师机+投影（上网/不上网）
■教师机+投影+电子白板□教师机+投影+应答分析器
□电脑教室+投影（上网/不上网）□电脑教室+电子教室控制
其他：
资源与媒体应用分析
知识点
媒体内容
与形式
使用方式与时机
使用目的
资源与媒体
来源
生活实际相关的两个量之间的内在联系
幻灯片
逐步引入，讲解后，学生完成时
知识与技能
1理解一次函数的概念以及它与正比例函数的关系；
2能根据问题的信息写出一次函数的表达式，能利用一次函数解决简单的问题。
过程与方法
以问题思维为主线，通过观察、猜想、探究、归纳，让学生充分参与数学学习，获得广泛的数学经验，并体现类比、迁移、转化、数形结合的数学思想；在探索过程中，发展抽象思维及概括能力，体验特殊和一般的辨证关系。
教学关键：引导学生正确理解一次函数定义及其函数解析式；教会学生学会探索两个变量之间的函数关系，最后深刻理解一次函数解析式的特征。
教学策略
选择与设计
⑴以实现教学目标为前提：根据《数学课程标准》的要求，发展学生的思想素质和能力素质，培养学生创新意识和创造能力，力求体现以学生发展为本。

第17章函数及其图象17.3一次函数1.一次函数【知识与技能】1.理解一次函数和正比例函数的概念；2.根据实际问题列出简单的一次函数的表达式．【过程与方法】探索一次函数图象的特点以及某些一次函数图象的异同点，培养学生发现问题和解决问题的能力【情感态度】通过理解函数与变量之间的关系，一次函数与一次方程的联系，发展学生的数学思维【教学重点】一次函数、正比例函数的概念及关系【教学难点】理解一次函数与正比例函数的联系和区别一、情境导入,初步认识复习回顾什么叫函数？对上节课的知识进行复习，为本节课作准备.二、思考探究，获取新知探究：一次函数的概念问题1：小明暑假第一次去北京．汽车驶上A地的高速公路后,小明观察里程碑,发现汽车的平均车速是95千米/小时．已知A地直达北京的高速公路全程为570千米，小明想知道汽车从A地驶出后,距北京的路程和汽车在高速公路上行驶的时间有什么关系,以便根据时间估计自己和北京的距离．分析：我们知道汽车距北京的路程随着行车时间而变化,要想找出这两个变化着的量的关系,并据此得出相应的值,显然,应该探求这两个变量的变化规律．为此,我们设汽车在高速公路上行驶时间为t小时,汽车距北京的路程为s千米,根据题意,s和t的函数关系式是：s=570－95t．问题2：弹簧下端挂重物，弹簧会伸长.弹簧的长度y(厘米)是所挂重物质量x(千克)的函数.已知一根弹簧不挂重物时的长度是6厘米，在一定的弹性限度内，每挂1千克重物弹簧伸长0.3厘米，求这个函数解析式.解：y=0.3x+6以上问题1和问题2表示的这两个函数有什么共同点?【归纳结论】上述两个问题中的函数解析式都是用自变量的一次整式表示的，我们称它们为一次函数．一次函数通常可以表示为y=kx＋b的形式，其中k、b是常数，k ≠0．特别地，当b=0时，一次函数y=kx（常数k≠0）也叫正比例函数，正比例函数也是一次函数，它是一次函数的特例.【教学说明】由两个实际问题所列出两个函数关系式，通过观察，总结出一次函数的解析式.三、运用新知，深化理解1.下列函数关系中，哪些属于一次函数，其中哪些又属于正比例函数？(1)面积为10cm2的三角形的底边边长a(cm)与这边上的高h(cm)；(2)长为8(cm)的平行四边形的周长L(cm)与宽b(cm)；(3)食堂原有煤120吨，每天要用去5吨，x天后还剩下煤y吨；(4)汽车每小时行40千米，行驶的路程s（千米）和时间t（小时）．分析：确定函数是否为一次函数或正比例函数，就是看它们的解析式经过整理后是否符合y=kx＋b(k≠0)或y=kx(k≠0)形式，所以此题必须先写出函数解析式后解答．解:(1)a=20h，不是一次函数．(2)L=2b＋16，L是b的一次函数．(3)y=120－5x，y是x的一次函数．(4)s=40t,s既是t的一次函数又是正比例函数．2.已知函数y=(k－2)x＋2k＋1，若它是正比例函数，求k的值．若它是一次函数，求k的值．分析：根据一次函数和正比例函数的定义,易求得k的值．解：若y=(k－2)x＋2k＋1是正比例函数,则2k＋1=0,即k=12 。

"福建省泉州市泉港三川中学八年级数学下册《18.3 一次函数的图象与性质（1）》教案 华东师大版 "教学目标知识目标使学生掌握利用两个适当的点画出一次函数的图象； 和结合图象，使学生理解掌握一次函数的性质； 能力目标探索新问题的能力，动手能力及现代化操作技术能力。

思想方法目标 初步了解数形结合 一、 教学重点与难点教学重点一次函数的图象与性质 教学难点对一次函数)0,,(≠+=k b k b kx y 为常数中b k ,的数与形的联系的理解 二、 教学方法“实践探究、启发引导、归纳概括” 的引导探究法 三、 教学过程 创设情境，引入课题 【】前面我们己学习了一次函数的概念，一般地，如果)0,,(≠+=k b k b kx y 为常数，那么y 叫x 的一次函数。

特别地：当0=b 时，一次函数就变成了正比例函数)0,(≠=k k kx y 为常数。

在同一直角坐标系中投影出13,1,3,+=+===x y x y x y x y 的函数图象，让学生观察它们的图象都是直线并引入课题。

所有的一次函数的图象都是直线。

因此要画一次函数的图象——一条直线，就没有必要把所有的点都描出来，只要描出两个点就可以了，因为两个点确定一条直线。

利用这个结论，我们可以更快地作出一次函数的图象，并对它的性质进行研究。

描点画图，归纳画法【过渡】下面我们一起来画首先共同画出正比例函数x y 5.0=与x y 5.0-=的图象。

并由此归纳出正比例函数)0,(≠=k k kx y 为常数的图象为过)0,0(和),1(k 两点的直线。

观察图象、研究性质然后提出问题1：让学生自己画图，研究正比例函数有何性质？即正比例函数)0,(≠=k k kx y 为常数中，k 对函数图象有何影响？并填写实验报告（课前印好发给学生，或者学生在网络上填写）。

研究问题1时，我首先通过几何画板与学生共同归纳正比例函数x y 5.0=与x y 5.0-=的图象性质，特别是y 随x 的变化趋势。